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Mathematik in der Theorie der Petri Netze
Joachim Wehler
München 1999
2
Beispiel: Petri Netz
p1
t3
p2
p3
p5
p4
t2t1
w-(t1,p1)
w+(t1,p3)
3
Definition: Petri Netz
Ein Stellen/Transitions Netz ist ein Tupel
N = ( T, P, w-, w+ ):
• T (Transitionen) und P (Stellen) disjunkte,
nicht-leere (endliche) Mengen
• Abbildungen
w-/+: T x P N.
Petri Netz (N, M): Netz N zusammen mit Anfangsmarkierung
M: P N.
4
Inzidenzabbildung
Inzidenzabbildung
w := w+ - w: T x P Z
induziert Z-lineare Abbildungen
• wT: CT(N) CP(N, Z), wT(t):= w(t, p)
• wP := wT*: CP(N) CT(N, Z) (dual).
Notation: CT(N) := Z(T), CP(N) := Z(P),
Ci(N, Z) := HomZ(Ci(N), Z), i = T, P.
N definiert Positivitätsbegriff.
5
Zustandsübergang
Transition t ist aktiviert unter Markierung Mpre, wenn
Mpre(p) w-(t, p) für alle p P (nicht-linear)
Schalten einer aktivierten Transition bewirkt Markenfluß gemäß der Zustandsgleichung:
Mpost = Mpre + wT(t) (linear)
6
Potentielle Erreichbarkeit
Notwendige Voraussetzung für die Erreichbarkeit einer Markierung Mpost in Petrinetz (N, Mpre) ist die Lösbarkeit der Zustandsgleichung über N:
M := Mpost - Mpre = wT(), CT(N)+.
Satz. Lösbarkeit über Z ist äquivalent mit
• rank wT = rank (wT, M ) =: r
• < minor (wT, r) > = < minor ((wT, M), r >.
7
Moduln über Hauptidealringen
Beweis. Transformiere wT über Z auf Smith Normalform
M( n x m, Z )
mit r = rang wT and ai | ai+1, i = 1,...,r-1.
0
a
...
a
r
1
8
Beispiel (2)
Für Markierung Mpost := Mpre + p2* gilt
• rank (w) = 3 = rank (w, M )
• < minor (w, 3) > = < 2 >
< minor ((w, M ), 3) > = < 1 >
• Mpost = Mpre + w( t1 + (1/2)(t2 + t3) )
9
Erhaltungssätze
• Modul der T-Flüsse, ZT(N, Z) := ker wT
• Modul der P-Flüsse, ZP(N, Z) := ker wP
Schaltfolgen zu T-Flüssen verändern die Markierung (den Zustand) des Petri Netzes nicht.
Die mit P-Flüssen gewichteten Markierungen sind invariant bei jeder Schaltfolge.
10
Netzklassen
•S/T-Netze: Theorie der Moduln über Z,
Lineare Programmierung
•Gefärbte kommutative Netze: Ganze
Z-Algebren, Gröbner Theorie
11
Beispiel „Die tafelnden Philosophen“
12
„Die tafelnden Philosophen“ (2)
• C := Zn , C(p) = B(t) = C konstant
• sh: Zn --> Zn, sh(x) := x+1
nehmenlinks
denkend
zurücklegenlinks
nehmenrechts
zurücklegenrechts
essend
freie Gabelnhatlinks
hatrechts
sh
sh
13 42 5
13 42 5
2
1
3
41
2
3
54
13
Definition: Gefärbtes Petri Netz
Gefärbtes Netz N = ( T, P, B, C, w-, w+):
• T (Transitionen), P (Stellen)
• B = (B(t))tT (Schaltmodi), C = (C(p))pP
(Datentypen) Familien endlicher Mengen
• Familien w-= (w-(t, p))(t,p)TxP von Farbfunktionen
w-(t, p)) HomN(B(t)N, C(p)N) (analog w+).
Gefärbtes Petri Netz: Gefärbtes Netz mit Anfangsmarkierung.
14
Definition: Farbenalgebra
Sei N = ( T, P, C, w, w ) ein homogenes gefärbtes Netz mit Farbenmenge C. Die von allen Farbfunktionen erzeugte assoziative Algebra
AZ := Z [ w( t, p), w( t, p) ](t,p)TxP EndZ (CZ)
heißt Farbenalgebra von N. Das Netz heißt kommutativ, wenn AZ kommutativ ist.
15
Kategorie AZ-Mod
• AZ-Modulstruktur von CZ
AZ x CZ CZ, (a, c) a(c).
• Inzidenzabbildung auf dem Niveau der
Farbenalgebra
wT,A: CT(N, AZ) CP(N, AZ), t w(t, -)
• Inzidenzabbildung auf dem Niveau des
Farbenmoduls
wT,C = wT,A idC: CT(N, CZ) CP(N, CZ).
16
„Die tafelnden Philosophen“ (3)
•Farbenmodul CZ = spanZ < 0,1,...,n-1 > freier
Z-Modul mit n Erzeugern
•Farbenalgebra AZ = Z [ sh ]
•Inzidenzabbildung
)A,4x5(M
sh1sh1
1100
0110
0011
1001
w C,T Z
17
Berechnung von ker wT,A
1. Lifte Problem zu linearer Abbildung zwischen freien Moduln über Polynomringen.
2. Gröbner-Theorie über Polynomringen berechnet Kern.
18
Farbenalgebra als ganze Z-Algebra
Jede Farbenfunktion
f := w+/-(t, p) AZ EndZ(CZ)
hat Minimalpolynom Pf Z [ t ]. Gauß:
Z [ f ] Z [ t ] / < Pf >.
Farbenalgebra ist ganz über Z:
AZ R / I,
I = < h1,...,hp > R := Z [ t1,...,tk ].
19
Lift über Polynomring
Studiere Inzidenzmatrix
mit
Die Restklassen von erzeugen ker wT,A.
21 nnA,T AA:w ZZ
).R,pnxn(M
h...h
...
h...h
H 22
p1
p1
,RRR:H,ww~via 221 npnn
w~kerR 1n
20
Gröbner Theorie
Buchberger Algorithmus berechnet Erzeugende eines Ideals von Polynomen.
Prinzip: Reduktion auf Kalkulation mit Monomen höchsten Grades.
Gröbner Theorie ist Grundlage der Algorithmischen Kommutativen Algebra: Faktorisierung von Idealen, Berechnung von Kernen, Syzygien, Normalisierungen ...
21
Toolunterstützung
Algorithmische Kommutative Algebra über Körpern:
• Macaulay 2:
www.math.uiuc.edu/Macaulay2
• Singular:
www.mathematik.uni-kl.de/~zca/Singular
22
„Die tafelnden Philosophen“ (4)
•ZP(N, AQ) = spanAQ
•ZT(N, AQ) = spanAQ
1
1
0
sh
sh1
,
0
1
1
1
1
1
1
1
1
23
Kommutatives Netz: Q-Erreichbarkeit
wT,C = wT,A idC: CT(N, CQ) CP(N, CQ)
•Farbenalgebra AQ:
AQ = i=1,..,k Ai mit lokalen Artin Algebren Ai,
im reduzierten Fall Zahlkörper Ai.
•Farbenmodul CQ:
CQ = i=1,..,k Ci mit Artin Moduln Ci, im
reduzierten Fall endlich-dimensionale
Vektorräume Ci über Zahlkörpern.
24
Fitting Ideale
Satz. Sei A Dedekindring und
f: An Am
A-lineare Abbildung. Für y Am sind äquivalent:
• y im f
• rang f = rang (f, y) =: r und
< minor (f, r) > = < minor ((f, y), r) > ABeweis. Lokalisierungen eines Dedekindringes sind Hauptidealringe, Lokal-Global-Prinzip.
25
Kommutatives Netz: Z-Erreichbarkeit wT,C = wT,A idC: CT(N, CZ) CP(N, CZ)
•Farbenalgebra AZ:
Reduktion, Normalisierung in Produktform,
Fitting Kriterium für wT,A über der
Normalisierung.
•Farbenmodul CZ:
Strukturtheorie torsionsfreier Moduln über
Dedekindringen (Spaltungssatz mit
invertierbarem Ideal).
26
„Die tafelnden Philosophen“ (5)
Farbenalgebra
AZ = Z [ t ] / < tn - 1 >
Kreisteilungspolynom zerfällt
tn - 1= d|n d(t) Z [ t ]
Beispiel mit n = 6 Philosophen:
1(t) = t - 1, 2(t) = t + 1, 3(t) = t2 + t +1,
6(t) = t2 - t +1
27
Spec Z [ t ] / < t6 - 1 >
Z
Q [ t ]
Q
6 [ t ]
1 [ t ]
2 [ t ]
3 [ t ]
1
11
p-1p-1
F2 [ t ] F5 [ t ]F3 [ t ]
2 3 5 ...
6 [ t ]6 [ t ]
3 [ t ]
3 [ t ]
28
Algorithmen
• Gröbner Basis: Buchberger Algorithmus für Ideal I R := Z [ t1,...,tk ].
• Faktorisierung: Gianni-Trager-Zacharias Algorithmus für Primärzerlegung
I = I1 ... In
• Normalisierung: Grauert-Remmert-de Jong Algorithmus für die Normalisierung
Z [t1,...,tm] / J
von R / rad ( I ).
29
Literatur
Reisig, Wolfgang, Rozenberg, Grzegorz (Eds.): Lectures on Petri nets I, II. Lecture Notes in Computer Science 1491, 1492. Springer, Berlin et al. 1998
Jensen, Kurt: Coloured Petri Nets. 3 Vols., Springer, Berlin et al., 1992, 1995, 1997
Vasconcelos, Wolmer: Computational Methods in Commutative Algebra and Algebraic Geometry. Springer, Berlin et al. 1998
Buchberger, Bruno; Winkler, Franz (Eds.): Gröbner Bases and Applications. London Mathematical Society Lecture Note Series 251. Cambridge University Press 1998