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Lineare Algebra und Diskrete Mathematik für dieInformatik

Mathematik für die Informatik I

Goethe-Universität Frankfurt am Main

Wintersemester 2019/2020

Dr. Samuel Hetterich

14. Oktober 2019

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Das vorliegende Skript beinhaltet Auszüge aus dem Buch Mathematik für die Informatik I vonSamuel Hetterich erschienen im Analog Verlag, Frankfurt, 2018, welches unter der ISBN 978-3-947940-00-4 zu finden sein wird. Die Nutzung (alleine die digitale und analoge Vervielfältigung -Kopien und Ausdruck) dieser Auszüge ist ausschließlich im Rahmen der Vorlesungen „Mathematikfür die Informatik I“ im WS 2019/20 gelesen an Goethe-Universität Frankfurt am Main zulässig.

Für das Buch Mathematik für die Informatik I von Samuel Hetterich erschienen im Analog Verlag,Frankfurt, 2018 gelten die folgenden urheberrechtliche Hinweise.

c© 2018 Analog Verlag Samuel Hetterich, Idsteiner Straße 149, D-60326 Frankfurt

Das Werk, einschließlich seiner Teile und besonders der vorliegende Auszug, ist urheberrechtlichgeschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohneZustimmung des Verlages und des Autors unzulässig. Dies gilt insbesondere für die elektronischeoder sonstige Vervielfältigung, Übersetzung, Verbreitung und öffentliche Zugänglichmachung.

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Grundlagen

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Grundbegriffe

Mathematische Aussagen

Unter einer mathematischen Aussage versteht man eine mathematische Formel oder eine formal-logische Aussage, der ein Wahrheitswert „wahr“ oder „falsch“ zugewiesen werden kann. Dabeigelten zwei Regeln.

• Eine mathematische Aussage ist entweder „wahr“ oder „falsch“ (es gibt keine dritte Möglich-keit).• Eine mathematische Aussage kann nicht gleichzeitig „wahr“ und „falsch“ sein.

Bausteine mathematischer Aussagen

• Ein mathematisches Objekt ist eines der in den unterschiedlichsten Teilgebieten der Ma-thematik eingeführten und studierten abstrakten Objekte. Das können Zahlen, Mengen,Vektoren oder geometrische Körper, aber auch Abbildungen, Graphen, Terme und vieles mehrsein.• Eine Variable ist ein Platzhalter für mathematische Objekte in einer mathematischen Aussage

und wird manchmal auch als Veränderliche bezeichnet. Als Variable dienen beliebige Zeichen.An jeder Stelle in einer mathematischen Aussage, an der dieselbe Variable auftaucht, muss beieiner Belegung der Variable dasselbe mathematische Objekt auftauchen. Eine Variable kannmit einem Definitionsbereich (eine Menge zulässiger Objekte) ausgestattet sein, muss diesjedoch nicht. Ist kein Definitionsbereich angegeben, darf eine Variable in der mathematischenAussage mit jedem mathematischen Objekt belegt werden. Abhängig von der konkretenBelegung kann die Aussage dann wahr oder falsch sein.• Ein Operator ist eine mathematische Vorschrift, zur Erzeugung von mathematischen Objek-

ten aus mathematischen Objekten (Summenzeichen, Rechenvorschriften, Integral, Element-zeichen, Gleichheitszeichen).• Ein logischer Operator ist eine Vorschrift zur Erzeugung von mathematischen Aussagen aus

mathematischen Aussagen oder mathematischen Objekten (vergleichen oder verknüpfen). Inder folgenden Tabelle sind die von uns verwendeten logischen Operatoren aufgelistet.

Negation ¬ „ Es gilt nicht . . . “ (¬[n ≥ 2])

ODER ∨ „ Es gilt . . . oder . . . “ ([n ≥ 2] ∨ [n ≤ 2])

Exklusives ODER ∨ „ Es gilt entweder . . . oder . . . “ ([n ≥ 2] ∨ [n ≤ 2])

UND ∧ „ Es gilt . . . und . . . “ ([n ≥ 2] ∧ [n ≤ 2])

• Ein Quantor spezifiziert, ob eine Aussage für (mindestens) ein, für genau ein, für alle oderfür kein mathematisches Objekt gilt.

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Allquantor ∀ „ Für alle . . . “ (∀n ∈ N : n ≥ 0)

Existenzquantor ∃ „ Es existiert (min.) ein . . . “ (∃n ∈ N : n ≥ 5)

∃! „ Es existiert genau ein . . . “ (∃!n ∈ N : n2 = 9)

@ „ Es existiert kein . . . “ (@n ∈ N : n < 0)

• Es werden Klammern in mathematischen Aussagen gesetzt, um deutlich zu machen, aufwelche Teile der Aussage sich beispielsweise ein logischer Quantor bezieht. Sie tragen sozur besseren Lesbarkeit bei. Wir schreiben mathematische Aussagen nun stets mit eckigenKlammern und nicht wie bislang in Anführungszeichen.• Ein technisches Zeichen ist ein Symbol, welches die Lesbarkeit einer formal notierten

mathematischen Aussage verbessern soll. Dabei verwendet man Kommata und häufig einenDoppelpunkt. Das Komma trennt Aussagebausteine, der Doppelpunkt lässt sich als „. . . mit(der Eigenschaft). . . “, „. . . ist . . . “ oder „. . . so, dass. . . “ übersetzen.

Ein Wort zu logischen Operatoren

• Negation. Die Negation oder auch Verneinung einer Aussage A ist die Aussage ¬A, welchegenau dann wahr ist, wenn A falsch ist und genau dann falsch ist, wenn A wahr ist. Wendetman diese Definition auf ¬A an, stellt man fest, dass A die Negation der Aussage ¬A ist.• Konjunktion. Die Konjunktion oder UND-Verknüpfung zweier Aussagen A und B ist eine

Aussage A ∧ B welche wahr ist, wenn A und B wahr sind und falsch ist, wenn mindestenseine der Aussagen A oder B falsch ist.• Disjunktion. Die Disjunktion oder ODER-Verknüpfung zweier Aussagen A und B ist eine

Aussage A ∨ B welche wahr ist, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist, undfalsch ist, wenn beide Aussagen A und B falsch sind.• exklusives ODER. Die exklusive ODER-Verknüpfung zweier Aussagen A und B ist eine

Aussage A∨B welche wahr ist, wenn genau eine der Aussagen A und B wahr und eineAussage falsch ist. Sie ist falsch, wenn entweder beide Aussagen A oder B wahr oderbeide Aussagen A oder B falsch sind. Sie wird auch als ausschließende ODER-Verknüpfungbezeichnet. Man schließt aus, dass beide Aussagen entweder beide wahr oder beide falschsind.

Implikation und Äquivalenz

Definition. Es seinen A und B mathematische Aussagen.

Es impliziert A die Aussage B wenn gilt: B ist immer wahr, wenn A wahr ist. In diesem Fallschreibt man

A =⇒ B.

Es sind A und B äquivalent, wenn A die Aussage B impliziert und umgekehrt auch B die AussageA impliziert. In diesem Fall schreibt man

A ⇐⇒ B.

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Operatorrangfolge

Operatorrangfolge.

Es gilt Negation-vor-Konjunktion-vor-Disjunktion-vor-Implikation.

Mathematische Aussagen sortieren und beweisen

Definition. Ein (mathematischer) Satz ist eine widerspruchsfreie logische Aussage, die aus Axio-men und bereits bekannten Sätzen hergeleitet werden kann. Das Herleiten wird als Beweisbezeichnet und besteht aus Implikationen an deren Anfang widerspruchsfreie logische Aussagenund an deren Ende der Satz steht.

Lemma. Für beliebige mathematische AussagenA,B und C gelten die folgenden Gesetze bezüglichdes UND- und des ODER-Operators.

• Die Kommutativgesetze

A ∧ B ⇔ B ∧A und A ∨ B ⇔ B ∨A

• Die Assoziativgesetze

[A ∧ B] ∧ C ⇔ A ∧ [B ∧ C] und A ∨ B ⇔ B ∨A

• Die Distributivgesetze

[A ∧ B] ∨ C ⇔ [A ∨ C] ∧ [B ∨ C] und [A ∨ B] ∧ C ⇔ [A ∧ C] ∨ [B ∧ C]

Mengen

Definition. Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekteunserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte werden als Elementebezeichnet.

Definition. Es sei A eine Menge.

• Die Schreibweise x ∈ A bedeutet, dass x ein Element der Menge A ist.• Mengen werden mit „{ “ und „}“ den Mengenklammern geschrieben.• Eine Menge ist definiert, wenn angegeben ist, welche Elemente in ihr enthalten sind. Dies

kann deskriptiv - durch Angabe einer definierenden Eigenschaft (A = {n ∈ N : n ist gerade})- und konstruktiv - durch Aufzählung aller in ihr enthaltenen Elemente (A = {2, 4, 6, 8, 10}) -geschehen. Wenn bei Mengen mit unendlich vielen Elementen das Bildungsgesetz klar ist,können auch unendliche Aufzählungen verwendet werden (A = {2, 4, 6, 8, . . .}).• Eine Menge A heißt endlich, wenn A nur endlich viele Elemente besitzt.• Die Anzahl der Elemente einer endlichen MengeAwird als die Kardinalität vonA bezeichnet

und mit |A| notiert (auch Mächtigkeit genannt). Ist A nicht endlich, so schreibt man |A| =∞.• Die leere Menge notiert mit ∅ ist diejenige Menge, die keine Elemente enthält. Sie hat

Kardinalität 0.

Definition. Es seien A und B zwei Mengen.

• Wir nennen die Mengen A und B gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

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• Es bedeutet A ⊂ B (bzw. B ⊃ A), dass A eine Teilmenge von B ist, das heißt jedes Elementvon A ist auch ein Element von B.• Eine Teilmenge A von B heißt echt, wenn A nicht gleich B oder der leeren Menge ist.• Mit A ∪B bezeichnen wir die Vereinigung von A und B; die Menge aller Elemente, die inA oder in B enthalten sind.• Außerdem ist A ∩ B der Durchschnitt von A und B; die Menge aller Elemente, die in A

und B enthalten sind.• Mit A \ B, gesprochen „A ohne B“, bezeichnen wir die Menge aller Elemente von A, die

nicht Element von B sind (auch Differenz genannt).• Mit A4B bezeichnen wir die symmetrische Differenz von A und B; die Menge aller

Elemente, die entweder in A oder in B aber nicht in beiden Mengen enthalten sind.• Es bezeichnet A × B die Produktmenge von A und B, die Menge aller geordneten Paare(x, y) mit x ∈ A und y ∈ B (auch kartesisches Produkt genannt).• Mit An bezeichnen wir das n-fache kartesische Produkt von A mit sich selbst. Die Elemente

von An sind die geordneten n-Tupel (x1, . . . , xn) mit x1, . . . , xn ∈ A.• Für eine Menge A is die Potenzmenge P(A) die Menge aller Teilmengen von A inklusive

der leeren Menge ∅.

Definition. Es sei A eine Menge. Dann nennt man die Mengen B1, . . . , Bn eine Partition derMenge A, wenn

• ∅ 6= Bi ⊂ A für alle i = 1, . . . n

• B1 ∪ . . . ∪Bn = A

• Bi ∩Bj = ∅ für alle i, j ∈ N mit 1 ≤ i < j ≤ n.

Lemma. Für beliebige MengenA,B und C gelten die folgenden Gesetze bezüglich der Vereinigungund des Durchschnitts.

• Die Kommutativgesetze

A ∩B = B ∩A und A ∪B = B ∪A.

• Die Assoziativgesetze

(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) und (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

• Die Distributivgesetze

(A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) und(A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

Definition. Die Fakultät einer natürlichen Zahl ist eine Abbildung, welche eine natürliche Zahln ∈ N∗ auf das Produkt 1 · 2 · · · (n − 1) · n und die 0 auf 1 abbildet. Man schreibt dann n! =

1 · 2 · · · (n− 1) · n bzw. 0! = 1.

Definition. Für zwei natürliche Zahlen n, k ∈ N mit n ≥ k ist der Binomialkoeffizient(n

k

)=

n!

(n− k)! · k! .

Lemma. Sei M eine Menge der Kardinalität |M | = n. Dann hat M genau(n

k

)verschiedene

Teilmengen der Kardinalität k.

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Zahlen

Die natürlichen Zahlen

Die Peano-Axiome

Definition. Wir nennen eine Menge N die Menge der natürlichen Zahlen, wenn sie die folgendenEigenschaften besitzt.

P1. 0 ∈ N[Es gibt eine natürliche Zahl, welche mit 0 bezeichnet wird.]

P2. ∀n(n ∈ N⇒ n′ ∈ N)[Für jede natürliche Zahl n gibt es eine natürliche Zahl n′, welche als Nachfolger bezeichnet wird.]

P3. ∀n(n ∈ N⇒ n′ 6= 0)

[Die 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.]

P4. ∀n,m(m,n ∈ N⇒ (m′ = n′ ⇒ m = n))

[Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.]

P5. ∀N(0 ∈ N ∧ ∀n(n ∈ N⇒ (n ∈ X ⇒ n′ ∈ N))⇒ N ⊆ N)

[Enthält eine Menge N die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n′, sind die

natürlichen Zahlen eine Teilmenge von N .]

Die ganzen, rationalen und reellen Zahlen

Definition. Wir bezeichnen mit

Z = {0,−1, 1,−2, 2,−3, 3, . . .}

die Menge der ganzen Zahlen, mit

Q ={ nm

: n,m ∈ Z mit m 6= 0}

die Menge der rationalen Zahlen und mit R die Menge der reellen Zahlen.

Definition. Bezeichnet Z einen Zahlenbereich, so ist für eine Zahl x ∈ Z

Z≤x = {z ∈ Z : x ≤ z} Z<x = {z ∈ Z : x < z}Z≥x = {z ∈ Z : x ≥ z} Z>x = {z ∈ Z : x > z} .

Weiter bezeichnet Z+ die echt positiven Zahlen des Zahlenbereichs Z.

Abbildungen

Definition (Abbildungen). Eine Abbildung (oder auch Funktion) f : D → B, x 7→ f(x) bildetWerte aus dem Definitionsbereich D, eine beliebige Menge, in den Bildbereich B, eine beliebigeMenge, ab. Jedem Element x ∈ D wird durch f genau ein Bild f(x) ∈ B zugeordnet. Gilt f(x) = y

für ein y ∈ B, so nennt man x das Urbild von y.

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Definition. Sei f : D → B, x 7→ f(x) eine Abbildung. Für eine Teilmenge Z ⊂ D ist

f(Z) = {f(z) : z ∈ Z}

die Bildmenge (manchmal auch einfach das Bild) von Z unter f . Wir nennen f(D) auch das Bildvon f und schreiben Bild(f) = f(D). Umgekehrt bezeichnen wir für C ⊂ B mit

f−1(C) = {x ∈ D : f(x) ∈ C}

die Urbildmenge (manchmal auch einfach das Urbild) von C unter f .

Definition. Sei f : D → B, x 7→ f(x) eine Abbildung und D′ ⊂ D eine Teilmenge des Definitions-bereichs von f . Dann nennen wir die Abbildung f |D′ : D′ →, x 7→ f(x) die Restriktion von f aufD′.

Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Definition. Eine Abbildung f : D → B heißt

• injektiv, wenn je zwei verschiedene x, x′ ∈ D auch verschiedene Bilder besitzen, wenn alsogilt

x 6= x′ =⇒ f(x) 6= f(x′).

• surjektiv, wenn jeder Bildpunkt y ∈ B tatsächlich auch ein Urbild x ∈ D besitzt mity = f(x),wenn also gilt

∀ y ∈ B ∃ x ∈ D : f(x) = y.

• bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.

Spezielle Abbildungen

Abbildungsverknüpfungen

Definition. Es seien zwei Abbildungen f, g : D → B gegeben, wobei auf dem Bildbereich eineAddition und eine Multiplikation definiert ist.

Die Abbildung f + g mit (f + g)(x) 7→ f(x)+ g(x) nennen wir die Summe der Abbildungen f undg.

Die Abbildung f · g mit (f · g)(x) 7→ f(x) · g(x) nennen wir das Produkt der Abbildungen f und g.

Definition. Es seien zwei Abbildungen f : D → B und g : B → B′ gegeben.

Die Abbildung f ◦ g mit (f ◦ g)(x) = f(g(x)) nennen wir die Komposition der Abbildungen f undg.

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Die Identitätsabbildung

Definition. Sei M eine beliebige Menge. Dann nennen wir die Abbildung idM : M → M dieIdentitätsabbildung auf M , falls f(m) 7→ m für alle m ∈M .

Die Umkehrabbildung

Definition. Sei f eine bijektive Abbildung. Dann hat für jedes y ∈ B die Menge f−1({y}) genau einElement x ∈ D und wir schreiben einfach x = f−1(y). Die Abbildung f−1 : B → D, y 7→ f−1(y)

ist in diesem Fall ebenfalls bijektiv und heißt die Umkehrabbildung von f .

Lemma. Sei f : D → B eine bijektive Abbildung. Dann ist

f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = idD.

Die Summe und das Produkt

Definition. Es seien D und B eine Menge. Es sei weiterhin eine injektive Abbildung f : D →B, x 7→ f(x) gegeben. Wir nennen f dann einen Index von B über der Indexmenge D undnennen für ein b ∈ f(D) mit f(d) = b das Element d den Index von b. Wir schreiben dann mitunteretwas lax für die Abbildung f auch einfach (f(x))x∈D und für ein Element d ∈ D auch f(d) = fd.

Definition. Seien A und D beliebige Mengen und B : D → P(A) ein Index auf der Potenzmenge,also der Menge aller Teilmengen von A. Dann bezeichnet⋃

i∈D

Bi = {x ∈ A : es gibt ein i ∈ I mit x ∈ Bi}

die Vereinigung aller Mengen in (Bi)i∈I . Analog ist⋂i∈D

Bi = {x ∈ A : für alle i ∈ I gilt x ∈ Bi}

der Durchschnitt aller Mengen in (Bi)i∈I .

Definition. Sei f : A → R ein Index der reellen Zahlen R über einer endlichen Menge A 6= ∅.Dann existiert ein bijektiver Index g : {1, . . . , k} → A von A über der Indexmenge {1, . . . , k} ⊂ N.Wir definieren die Summe∑

a∈A

f(a) = f(g(0)) + f(g(1)) + . . .+ f(g(k))

und das Produkt ∏a∈A

f(a) = f(g(0)) · f(g(1)) · · · f(g(k)).

Falls A die leere Menge ist, interpretieren wir die Summe als 0 und das Produkt als 1.

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Beweise

Direkter und indirekter Beweis

Direkter Beweis.

B =⇒ C1 =⇒ C2 =⇒ . . . =⇒ Cn =⇒ A

Indirekter Beweis.

[¬A =⇒ C1 =⇒ C2 =⇒ . . . =⇒ Cn =⇒ ¬B] =⇒ [B =⇒ A]

Beweis durch Kontrapositon

Beweis durch Kontraposition.

[¬A2 ∧ B =⇒ C1 =⇒ C2 =⇒ . . . =⇒ Cn =⇒ ¬A1] =⇒ [A1 =⇒ A2]

Beweis von Äquivalenzen

Äquivalenzbeweis.

[A1 =⇒ A2] ∧ [A2 =⇒ A1] =⇒ [A1 ⇔ A2]

Der Ringschluss

Äquivalenzbeweis per Ringschluss.

[A1 ⇒ . . .⇒ An ⇒ A1]⇒ [∀i, j ∈ N : 1 ≤ i < j ≤ n : Ai ⇔ Aj ]

Nützliche Beweistechniken

Wir lernen noch einige Situationen kennen, die häufig auftreten und für die es nützliche Beweis-techniken gibt.

Existenzbeweise

Konstruktiver Existenzbeweis

[∃ Verfahren zum Finden von X] =⇒ [∃X]

Nicht-konstruktiver Existenzbeweis

[Existenz von X lässt sich nicht widerlegen] =⇒ [∃X]

Fallunterscheidung

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Vollständige Fallunterscheidung

[A ∧ F1] ∨ · · · ∨ [A ∧ Fn]⇐⇒ A

Allbeweise

Allbeweis durch ein Gegenbeispiel widerlegen

[∃x ∈M : ¬A(x)] =⇒ ¬A

Mengenbeweise

Mengenbeweise

Wähle x ∈M beliebig und zeige die Aussage für x. Da x beliebig aus M gewählt war, gilt die Aussage fürganz M .

Mengengleichheit.

[A ⊂ B] ∧ [B ⊂ A] =⇒ [A = B]

Vollständige Induktion

Lemma (Induktionsprinzip). Angenommen, eine Menge A ⊂ N hat die beiden folgenden Eigen-schaften.

i. 0 ∈ Aii. Wenn 0, . . . , n ∈ A, dann gilt auch n+ 1 ∈ A.

Dann gilt A = N.

Vollständige Induktion

Wir führen die Induktion über n.

Induktionsverankerung: Die Aussage A(0) ist wahr.

Induktionsannahme: Wir nehmen an die Aussage A(n) ist wahr für ein n ∈ N.

Induktionsschluss: Wir zeigen, dass dann die Aussage A(n+ 1) wahr ist, also A(n)⇒ A(n+ 1) gilt.

Satz (Kleiner Gauß). Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist

1 + 2 + . . .+ n =

n∑i=1

i =n(n+ 1)

2.

Beweise - mehr als ein Weg führt nach Rom

Lemma. Sei A eine endliche Menge mit Kardinalität n. Die Potenzmenge P(A) von A hat Kardi-nalität 2n.

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Relationen

Definition. Eine (binäre) Relation zwischen zwei Mengen A undB ist eine TeilmengeR ⊂ A×B.Im Falle A = B spricht man von einer Relation auf A.

Definition. Eine Relation auf einer Menge A heißt . . .

• . . . reflexiv, wenn für alle a ∈ A gilt

(a, a) ∈ R.

• . . . symmetrisch, wenn für alle a, b ∈ A gilt

(a, b) ∈ R =⇒ (b, a) ∈ R.

• . . . transitiv, wenn für alle a, b, c ∈ A gilt

(a, b) ∈ R und (b, c) ∈ R =⇒ (a, c) ∈ R.

Äquivalenzrelationen

Definition. Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitivist.

Definition. Es sei R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A. Für (a, b) ∈ R schreibt man kurza ∼R b und sagt dann a und b sind äquivalent bezüglich R.

Äquivalenzklassen

Definition. Es sei R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A. Für jedes Element a ∈ A ist dieÄquivalenzklasse

[a]R = {b ∈ A : (a, b) ∈ R}

die Menge der zu a äquivalenten Elemente aus A.

Lemma. Es sei R eine Äquivalenzrelation über einer Menge A. Für zwei Elemente a, b ∈ A istgenau dann [a]R = [b]R, wenn a ∼R b. Ist a 6∼R b, so gilt [a]R ∩ [b]R = ∅.

Definition. Es sei M ⊂ A eine Äquivalenzklasse einer Äquivalenzrelation R auf einer Menge A.Ein Element x ∈M heißt Vertreter der Äquivalenzklasse M , denn es gilt [x]R =M .

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Rechnen

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Rechnen mit ganzen Zahlen

Teilbarkeit

Definition. Seien a, b ∈ Z zwei ganze Zahlen. Es teilt die Zahl a die Zahl b, wenn es eine ganzeZahl k ∈ Z gibt mit

k · a = b.

Für a teilt b schreiben wir a|b. Teilt a nicht b, schreiben wir a - b.

Im Fall a|b nennt man a einen Teiler von b und man sagt b ist ein Vielfaches von a.

Gilt zusätzlich 1 < a < |b|, so nennt man a einen echten Teiler von b.

Primzahlen

Definition. Eine Zahl n ∈ N heißt Primzahl, falls n genau zwei Teiler in N hat.

Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik). Jede natürliche Zahl n ∈ N mit n ≥ 2 besitzt eineeindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen

n = pk11 · pk22 · · · p

kmm (Primfaktorzerlegung von n).

Dabei seien . . .

• . . . die Anzahl der Primzahlen m und die Exponenten k1, . . . , km natürliche Zahlen.• . . . die Primzahlen aufsteigend sortiert, also p1 < · · · < pm.

Modulo-Rechnung

Reste

Definition. Es seinen a,m ∈ Z mit m 6= 0. Wir bezeichnen mit

Restm (a) = min{r ∈ N : ∃ k ∈ Z mit a = k ·m+ r}.

den Rest, der beim Teilen von a durch m entsteht. Die Zahl m wird dann auch als der Modulbezeichnet.

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Reste berechnen

Definition. Sei c ∈ R gegeben. Dann ist die untere Gaußklammer

bcc = maxa∈Z{a ≤ c}

von c, die nächst kleinere ganze Zahl zu c und die obere Gaußklammer

dce = mina∈Z{a ≥ c}

von c, die nächst größere ganze Zahl zu c.

Lemma. Für zwei ganze Zahlen a,m ∈ Z mit m 6= 0 gilt

Restm (a) = a− k ·m mit k =⌊ am

⌋.

Lemma. Es seien a, b,m ∈ Z und k ∈ N. Dann gelten

i. Restm (a+ b) = Restm (Restn (a) + b)

ii. Restm (a · b) = Restm (Restn (a) · b)iii. Restm

(ak)

= Restm(Restn (a)

k)

Modul-Gleichungen

Definition. Es sei m ∈ N≥2, dann gilt für a, b ∈ Z

a ≡ b (mod m) ⇔ Restm (a) = Restm (b)

und wir sagen dann, „a und b sind äquivalent mod m“.

Die Zahl m bezeichnet man dabei als (den) Modul der Modul-Gleichung a ≡ b (mod m).

Modul-Gleichungen als Äquivalenzrelation

Lemma. Für jedes m ∈ N≥2 ist

Rm = {(a, b) ∈ Z× Z : a ≡ b (mod m)}

eine Äquivalenzrelation.

Lemma. Es sei m ∈ N≥2. Dann sind für zwei Zahlen a, b ∈ Z die folgenden Aussagen äquivalent.

A1. Es teilt m die Differenz a− b.A2. Es gibt ein k ∈ Z mit a = k ·m+ b.A3. Es gilt Restm (a) = Restm (b).

Korollar. Es sei m ∈ N≥2. Dann gilt für Zahlen a1, a2 ∈ Z mit a1 ≡ a2 (mod m) und b ∈ Z

i. a1 + b ≡ a2 + b (mod m)

ii. a1 · b ≡ a2 · b (mod m)

iii. ak1 ≡ ak2 (mod m) für k ∈ N

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Lemma. Sei m ∈ N≥2. Für a ∈ Z ist die Äquivalenzklasse von Rm die Menge

[a]Rm ={k ·m+ a mit k ∈ Z}.

Es gibt m verschiedene Äquivalenklassen in Rm, welche von den natürlichen Zahlen kleiner mrepräsentiert werden.

Der euklidische Algorithmus

Der größte gemeinsame Teiler (ggT)

Definition. Für zwei ganze Zahlen a, b ∈ Z, nicht beide 0, ist der größte gemeinsame Teiler

ggT(a, b) = max{n ∈ N : n|a und n|b}.

die größte natürliche Zahl, die sowohl a als auch b teilt.

Definition. Zwei Zahlen a, b ∈ Z heißen teilerfremd, wenn ggT(a, b) = 1 gilt.

Man sagt auch „a und b sind relativ prim“.

Lemma. Für drei ganze Zahlen a, b, n ∈ Z ist ggT(a · b, n) ein Teiler von ggT(a, n) · ggT(b, n).

Berechnung des ggT für kleine Zahlen

Lemma. Seien für zwei natürliche Zahlen a, b ∈ N die Faktorisierung

a = pm11 · pm2

2 · · · pm`` und b = pn1

1 · pn22 · · · p

n``

in die selben ` Primfaktoren pi mit Exponenten mi, ni ∈ N für i ∈ {1, 2, . . . , `} gegeben. Dann ist

ggT(a, b) = pk11 · pk22 · · · p

k`` mit ki = min{mi, ni} für i ∈ {1, 2, . . . , `}.

Vorüberlegung zum euklidischen Algorithmus

Lemma. Es seien a, b ∈ N mit a ≥ b > 0. Wir setzten r = Restb (a). Dann gilt

ggT(a, b) = ggT(a− b, b) = ggT(r, b).

Der euklidische Algorithmus

Algorithmus (Euklidischer Algorithmus).

Input: a, b ∈ N mit a < b.Output: d = ggT(a, b).

while b > 0 doSetze k = ba

bc.

Setze r = a− k · b.Setze a = b und b = r.

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end whilereturn a.

Lemma. Der euklidische Algorithmus mit Input a, b ∈ N terminiert nach endlich vielen Schrittenund liefert als Ausgabe ggT(a, b).

Das Lemma von Bézout

Definition. Es seien a, b ∈ N. Gibt es ganze Zahlen s, t ∈ Z, so dass

s · a+ t · b = ggT(a, b)

gilt, nennen wir die Zahlen s und t die Bézout-Multiplikatoren zu a und b.

Der erweiterte euklidische Algorithmus

Algorithmus (Erweiterter euklidischer Algorithmus).

Input: a, b ∈ N mit a ≥ b.Output: rj−1 = ggT(a, b) und die Gleichung rj−1 = sj−1 · a+ tj−1 · b.

Setze r0 = a und r1 = b.Setze s0 = 1 und s1 = 0.Setze t0 = 0 und t1 = 1.Setze j = 1.while rj > 0 do

Setze mj =⌊rj−1

rj

⌋.

Setze rj+1 = rj−1 −mjrj .Setze sj+1 = sj−1 −mjsj .Setze tj+1 = tj−1 −mjtj .Setze j = j + 1.

end whilereturn (rj−1, sj−1, tj−1).

Lemma. Es sei (rn, sn, tn) der Output des erweiterten euklidischen Algorithmus mit Input a, b ∈ Nmit a ≥ b. Dann gilt für die Zwischenergebnisse

ri = si · a+ ti · b für alle i ∈ {0, 1, . . . , n}.

Insbesondere gilt also rn = ggT(a, b) = sn · a+ tn · b.

Lemma (Lemma von Bézout). Alle Paare von natürlichen Zahlen a und b ∈ N besitzen BézoutMultiplikatoren.

Die eulersche ϕ-Funktion

Definition. Die eulersche ϕ-Funktion ϕ : N+ → N+ lautet

ϕ(n) = |{m ∈ {1, . . . , n} : ggT(m,n) = 1}|.

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Satz. Für eine Primzahl p ∈ N gelten die folgenden Aussagen.

• Es ist ϕ(p) = (p− 1).• Allgemeiner gilt ϕ(pk) = pk−1(p− 1) mit dem Exponenten k ∈ N+.• Ist n = pk11 · p

k22 · · · p

k`` die Primfaktorzerlegung von n , so gilt

ϕ(n) = pk1−11 · (p1 − 1) · pk2−1

2 · (p2 − 1) · · · pk`−1` · (p` − 1).

Lemma. Es seien n,m ∈ N. Es gilt genau dann

ϕ(m · n) = ϕ(m) · ϕ(n),

wenn ggT(m,n) = 1.

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Algebraische Strukturen

Algebraische Strukturen - Einleitung

Rechenoperationen sind Abbildungen

Definition. Seien M und M ′ zwei beliebige Mengen mit M ⊂M ′. Dann nennen wir eine Abbil-dung ◦ : M ′ ×M ′ → M ′ eine Verknüpfung auf M . Wir schreiben dann für das Bild von zweiElementen m1,m2 ∈M auch m1 ◦m2.

Definition. Für Zahlen s, t, n ∈ N mit n ≥ 2 sei

s�n t = Restn (s · t) und s⊕n t = Restn (s+ t).

Definition. Für eine Zahl n ∈ N≥2 definieren wir

Zn = {k ∈ N : k < n}und Z∗n = {k ∈ N : k < n und ggT(k, n) = 1}.

Gruppen

Die Halbgruppe

Definition. Eine Halbgruppe (H, ◦) ist ein Tupel aus

• einer Menge H und• einer Verknüpfung ◦ : H ′ ×H ′ → H ′ wobei H ⊂ H ′ ist,

so dass folgende Axiome gelten.

H1. a ◦ b ∈ H ∀a, b ∈ H (Abgeschlossenheit)H2. a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c ∀a, b, c ∈ H (Assoziativität)

Die Gruppe

Definition. Eine Gruppe (G, ◦) ist ein Tupel aus

• einer Menge G und• einer Verknüpfung ◦ : G′ ×G′ → G′, wobei G ⊂ G′ ist,

so dass die folgenden Axiome gelten.

G1. (G, ◦) bildet eine Halbgruppe (Abgeschlossenheit + Assoziativität)G2. ∃ e ∈ G : ∀a ∈ G : e ◦ a = a (Neutrales Element)G3. ∀a ∈ G : ∃ a ∈ G : a ◦ a = e (Inverses Element)

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Weitere Rechenregeln in Gruppen

Lemma. Es sei (G, ◦) eine Gruppe. Dann gilt

Ga. Es gibt in (G, ◦) genau ein neutrales Element e.

und für alle a ∈ G gelten

Gb. Es gibt genau ein inverses Element a zu a.Gc. Das inverse Element zu a ist a.Gd. Es gilt a ◦ a = a ◦ a.Ge. Es gilt e ◦ a = a ◦ e.

Lösungen linearer Gleichungen

Lemma. Sei (G, ◦) eine Gruppe. Dann hat die Gleichung a ◦ x = b für alle a, b ∈ G eine Lösungx ∈ G mit a = a ◦ b.

Abelsche Gruppen

Definition. Eine Gruppe (G, ◦) heißt abelsch, wenn das folgende Axiom erfüllt ist.

GS. a ◦ b = b ◦ a ∀a, b ∈ G (Kommutativität (Symmetrie))

Untergruppen

Definition. Sei (G, ◦) eine Gruppe. Sei U eine Teilmenge von G. Bildet (U, ◦) eine Gruppe, sonenne wir diese eine Untergruppe von (G, ◦).

Lemma (Untergruppenkriterium). Sei (G, ◦) eine Gruppe. Eine Teilmenge U von G ist zusammenmit der Verknüpfung ◦ genau dann eine Untergruppe von (G, ◦), wenn gelten

UG1. a ◦ b ∈ U ∀a, b ∈ U (Abgeschlossenheit)UG2. a ∈ U ∀a ∈ U (Inverses Element)

Lemma. Untergruppen abelscher Gruppen sind abelsche Gruppen.

Die Gruppenordnung

Definition. Seien eine Gruppe (G, ◦), ein Gruppenelement a ∈ G und eine natürliche Zahl n ∈ Ngegeben. Dann nennen wir die n-fache Verknüpfung von a mit sich selbst verknüpft mit e

an = a ◦ a ◦ . . . ◦ an Stück

◦ e

die n-te Potenz von a.

Definition. Sei G eine Gruppe. Wir nennen die Kardinalität der Menge G die Ordnung der GruppeG. Man schreibt für die Ordnung von G auch |G|. Ist G von endlicher Ordnung, nennt man G eineendliche Gruppe.

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Definition. Sei (G, ◦) eine Gruppe. Für jedes Gruppenelement a ∈ G definieren wir die Ordnungdes Elements a als

|a| = min{n ∈ N+ : an = e}

den kleinsten Exponenten, so dass an dem neutralen Element entspricht. Gibt es kein n ∈ N+ mitan = e, dann setzten wir an =∞.

Definition. Sei G eine Gruppe und a ∈ G eine beliebiges Gruppenelement. Dann definieren wir

〈a〉 = {an : n ∈ N}

die Menge aller Potenzen von a.

Lemma. Sei (G, ◦) eine Gruppe und a ∈ G eine beliebiges Gruppenelement. Es ist (〈a〉, ◦) eineUntergruppe von G der Ordnung |a| mit 〈a〉 = {a0, a1, . . . , a|a|−1}.

Definition. Sei (G, ◦) eine Gruppe. Wir nennen die Abbildung ta : G→ G mit ta(x) = a ◦ x die(Links-)Translation von G um a.

Lemma. Es sei G eine Gruppe. Die Translation ta von G um a ist für jedes a ∈ G bijektiv.

Satz. Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Für jedes Element a ∈ G teilt die Ordnung von a dieOrdnung von G.

Satz von Lagrange

Definition. Sei (G, ◦) eine Gruppe mit der Untergruppe (U, ◦). Wir definieren eine Relation ∼Uauf G durch

a ∼U b⇐⇒ ∃ u ∈ U : b = a ◦ u.

Lemma. Sei (G, ◦) eine Gruppe mit der Untergruppe (U, ◦). Die Relation ∼U auf G ist eineÄquivalenzrelation.

Satz (Satz von Lagrange). Sei G eine endliche Gruppe. Für jede Untergruppe U von G teilt dieOrdnung von U die Ordnung von G.

Korollar. Sei G eine endliche Gruppe mit Ordnung |G| = n. Für jedes Element a ∈ G gilt |a| teiltn.

Verknüpfungstabellen von Gruppen

Lemma. Bezüglich der Verknüpfungstabelle einer Gruppe (G, ◦) gelten die folgenden Aussagen.

av1. In jeder Zeile und in jeder Spalte taucht jedes Gruppenelement genau einmal auf.av2. In der Zeile des neutralen Elements e ∈ (G, ◦) befindet sich in der mit a ∈ G indizierten

Spalte das Element a.In der Spalte des neutralen Elements e ∈ (G, ◦) befindet sich in der mit a ∈ G indiziertenZeile das Element a.

av3. Die Verknüpfungstabelle ist genau dann symmetrisch (a ◦ b = b ◦ a für alle a, b ∈ G), wenn(G, ◦) abelsch ist.

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Die Gruppe Z∗n

Satz. Es sei n ∈ N≥2. Dann ist (Z∗n,�n) eine abelsche Gruppe.

Die Gruppe Sn

Definition. Eine Permutation der Länge n für n ∈ N+ ist eine Bijektion

σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}.

Man schreibt eine Permutation auch als σ = [σ(1), σ(2), . . . , σ(n)] und bezeichnet mit Sn dieMenge aller Permutationen der Länge n.

Ferner definiert man das Vorzeichen oder Signum von σ ∈ Sn als

sign(σ) =∏

1≤i<j≤n

σ(i)− σ(j)i− j .

Definition. Sei σ eine Permutation der Länge n und M eine Teilmenge von {1, . . . , n} mit |M | =m.

Gilt

• σ(M) =M und• σ(M ′) 6=M ′ für jede Teilmenge M ′ von M ,

dann nennen wir M einen Zykel von σ.

Man schreibt (i1, i2, . . . , im), wobei

• i1 eine beliebiges Element aus M und• is+1 = σ(is) für alle s ∈ {1, . . . ,m− 1} ist.

Umgekehrt interpretiert man (i1, i2, . . . , im), wobei i1, . . . , im ∈ {1, . . . , n} alle verschieden sind,als die Permutation σ mit

• σ(is) = is+1 für alle s ∈ {1, . . . ,m− 1},• σ(im) = i1) und• σ(i) = i für alle i ∈ {1, . . . , n} \ {i1, . . . , im}.

Lemma. Es ist |Sn| = n!

Lemma. Die Menge Sn bildet mit der Verkettung von Abbildungen ◦ eine Gruppe. Für n ≥ 2 istsie nicht abelsch.

Definition. Wir bezeichnen die Gruppe (Sn, ◦), wobei ◦ der Verkettung zweier Abbildungenentspricht, als die Permutationsgruppe der Ordnung n.

Lemma. Es gilt die folgenden Aussagen.

SPa Für alle σ ∈ Sn ist sign(σ) ∈ {−1, 1}.SPb Für alle σ, τ ∈ Sn ist sign(σ ◦ τ) = sign(σ) · sign(τ).

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Ringe und Körper

Ringe

Der Ring

Definition. Ein Ring (R,+, ·) ist ein Tripel aus

• einer Menge R,• einer Verknüpfung + : R′ ×R′ → R′ und• einer Verknüpfung · : R′ ×R′ → R′ wobei R ⊂ R′ ist,

so dass die folgenden Axiome gelten.

R1. (R,+) bildet eine abelsche Gruppe (Addition)R2. (R, ·) bildet eine Halbgruppe (Multiplikation)R3. a · (b+ c) = a · b+ a · c ∀a, b, c ∈ R (Distributivgesetz I)R4. (a+ b) · c = a · c+ b · c ∀a, b, c ∈ R (Distributivgesetz II)

Körper

Definition. Ein Körper (K,+, ·) ist ein Tripel aus

• einer Menge K,• einer Verknüpfung + : K′ ×K′ → K′ und• einer Verknüpfung · : K′ ×K′ → K′ wobei K ⊂ K′ ist,

so dass die folgenden Axiome gelten.

K1. (K,+) ist abelsche Gruppe (e = 0) (Addition)K2. (K \ {0}, ·) ist abelsche Gruppe (Multiplikation)K3. a · (b+ c) = a · b+ a · c ∀a, b, c ∈ K (Distributivgesetz)

Endliche Körper

Satz. Der Restklassenring Zn ist genau dann eine Körper, wenn n eine Primzahl ist.

Vektorräume

Der Vektorraum

Definition. Eine Menge V zusammen mit

• einer (inneren) Verknüpfung ⊕ : V ′ × V ′ → V ′ und• einer (äußeren) Verknüpfung � : K× V ′ → V ′, wobei V ⊂ V ′ ist,

nennt man einen Vektorraum über dem Körper K, falls die folgenden Axiome gelten.

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V1. (V,⊕) ist abl. Gruppe (Vektoraddition)V2. λ� ~v ∈ V ∀λ ∈ K, ~v ∈ V (Abge. Skalarmult.)V3. 1K � ~v = ~v ∀~v ∈ V (Neutral. der 1K)V4. (λ · µ)� ~v = λ� (µ� ~v) ∀λ, µ ∈ K, ~v ∈ V (Assoziativität)

VD1. (λ+ µ)� ~v = λ� ~v ⊕ µ� ~v ∀λ, µ ∈ K, ~v ∈ V (Distrib. I)VD2. λ� (~v ⊕ ~w) = λ� ~v ⊕ λ� ~w ∀λ ∈ K, ~v, ~w ∈ V (Distrib. II)

In der Gruppe (V,⊕) bezeichnen wir

• das neutrale Element mit ~0.• das zu ~v ∈ V inverse Element mit −~v.

Elemente eines Vektorraums werden als Vektoren bezeichnet.

Der Vektorraum Kn

Definition. Ein n-dimensionaler Spaltenvektor über einem Körper K ist eine Abbildung ~v :

{1, 2, . . . , n} → K geschrieben als

~v =

v1...

vn

wobei die Komponenten v1 = v(1), v2 = v(2), . . . , vn = v(n) von ~v den Bildern unter derzugehörigen Abbildung entsprechen.

Definition. Wir bezeichnen die Menge der n-dimensionalen Spaltenvektoren über dem Körper Kmit Kn.

Definition. Sei K ein beliebiger Körper. Für zwei n-dimensionale Spaltenvektoren ~v und ~w ∈ Kn

definieren wir die Addition

~v ⊕ ~w =

v1...

vn

⊕w1

.

.

.

wn

=

v1 + w1...

vn + wn

und für λ ∈ K die skalare Multiplikation

λ� ~v = λ�

v1...

vn

=

λ · v1...

λ · vn

.Lemma. Sei K ein beliebiger Körper. Dann ist Kn ein Vektorraum.

Interpretation von Vektoren des Rn

Weitere Regeln in Vektorräumen

Lemma. Es sei (V,⊕,�) ein Vektorraum über einem Körper K. Dann gilt

Va. Die Menge V ist nicht leer.

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Vb. Für alle λ ∈ K und ~v ∈ V gilt

λ� ~v = ~0 ⇐⇒ λ = 0K oder ~v = ~0

Vc. Für alle λ ∈ K und ~v ∈ V gilt −1K � ~v = −~v.

Untervektorräume

Definition. Sei (V,⊕,�) ein Vektorraum über einem Körper K. Sei U eine Teilmenge von V . Bildet(U,⊕,�) einen Vektorraum über dem Körper K, so nenne wir diesen eine Untervektorraum (oderUnterraum) von (V,⊕,�).

Lemma (Unterraumkriterium). Sei (V,⊕,�) ein Vektorraum über einem Körper K. Eine TeilmengeU von V ist zusammen mit den Verknüpfungen⊕ und� genau dann eine Unterraum von (V,⊕,�),wenn gelten

UV0. ∅ 6= U ⊂ VUV1. v ⊕ w ∈ U ∀v, w ∈ U (Abgeschl. der Addition)UV2. λ� v ∈ U ∀λ ∈ K,∀v ∈ U (Abgeschl. der Skalarmutliplikation)

Korollar. Sei (V,⊕,�) ein Vektorraum über einem Körper K. Dann sind (V,⊕,�) und ({0},⊕,�)Unterräume von (V,⊕,�).

Lemma. Sei (V,⊕,�) ein Vektorraum über einem Körper K und (U,⊕,�) ein Untervektorraumvon (V,⊕,�). Dann gelten

UVa. 0 ∈ UUVb. −v ∈ U ∀v ∈ U (Abgeschl. der Addition)

Strukturerhaltende Abbildungen

Gruppenhomomorphismen

Definition. Seien (G, ◦) und (H, ∗) Gruppen. Wir nennen eine Abbildung f : G → H einenGruppenhomomorphismus, wenn gilt

f(x ◦ y) = f(x) ∗ f(y) für alle x, y ∈ G.

Isomorphe Gruppen

Definition. Zwei Gruppen (G, ◦) und (H, ∗) heißen isomorph, wenn es einen bijektiven Gruppen-homomorphismus f von G nach H gibt.

Wir nennen f dann einen Gruppenisomorphismus. Für g ∈ G mit f(g) = h schreiben wir g ∼= h.

Lemma. Seien (G, ◦) und (H, ∗) isomorphe Gruppen. Dann gilt |G| = |H|.

Korollar. Alle Gruppen der Ordnung 2 sind isomorph zueinander.

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Körperhomomorphismen

Definition. Seien (K,+, ·) und (K′,⊕,⊗) Körper. Wir nennen eine Abbildung f : K → K′ einenKörperhomomorphismus, wenn für alle x, y ∈ K gilt

f(x+ y) = f(x)⊕ f(y) und f(x · y) = f(x)⊗ f(y).

Definition. Zwei Körper (K,+, ·) und (K′,⊕,⊗) heißen isomorph, wenn es eine bijektivenKörperhomomorphismus f von K nach K′ gibt. Wir nennen f dann einen Körperisomorphismus.Für x ∈ K mit f(x) = y schreiben wir x ∼= y.

Satz. Sei n ∈ N. Alle endlichen Körper der Ordnung n sind isomorph.

Satz. Für jede Primzahl p und jede positive natürliche Zahl n existiert (bis auf Isomorphie) genauein Körper mit pn Elementen.

Definition. Sei p ∈ N eine Primzahl und n ∈ N. Dann bezeichnen wir den (bis auf Isomorphie)eindeutigen Körper mit pn Element als Fpn . Dabei heißt p die Charakteristik von Fpn . UnendlicheKörper haben Charakteristik 0.

Lemma. In endlichen Körpern mit der Charakteristik p gilt die „falsche binomische Formel“

(x+ y)p = xp + yp.

Homomorphismen auf Vektorräumen alias lineare Abbildungen

Definition. Seien (V,⊕,�) und (V ′,+, ·) Vektorräume über dem Körper K. Eine Abbildung f :

V → V ′ heißt Vektorraumhomomorphismus oder linear, falls sie die folgenden Bedingungenerfüllt.

L1. f(v + w) = f(v) + f(w) ∀v, w ∈ V (Additivität)L2. f(λ · v) = λ · f(v) ∀v ∈ V, λ ∈ K (Homogenität)

Definition. Seien f, g : V → V ′ lineare Abbildungen auf den Vektorräumen V und V ′ über demKörper K und λ ∈ K.

• Wir definieren die Abbildung λ · f : V → V ′ durch x 7→ λ · f(x).• Wir definieren die Abbildung f + g : V → V ′ durch x 7→ f(x) + g(x).

Korollar. Seien f, g : V → V ′ und h : V ′ → V ′′ lineare Abbildungen auf den Vektorräumen V, V ′

und V ′′ über dem Körper K. Dann gelten die folgenden Aussagen.

La. Für jede Zahl λ ∈ K ist λ · f linear.Lb. Die Abbildung f + g ist linear.Lc. Die Abbildung h ◦ f : V → V ′′ ist linear.

Proposition. Sei f : V → V ′ eine bijektive lineare Abbildung. Dann ist auch ihre Umkehrabbil-dung f−1 : V → V ′ linear.

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Isomorphie von Vektorräumen - Teil 1

Definition. Zwei Vektorräume (V,⊕,�) und (V ′,+, ·) über demselben Körper K heißen iso-morph, wenn es eine bijektive lineare Abbildung f von V nach V ′ gibt. Wir nennen f dann aucheinen Vektorraumisomorphismus. Für v ∈ V mit f(v) = w schreiben wir v ∼= w.

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Lineare Algebra

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Basis und Dimension

Erzeugung und lineare Abhängigkeiten

Definition. Es seien v1, . . . , vk Vektoren in einem K-Vektorraum V . Eine Summe der Form

k∑i=1

µi · vi = µ1 · v1 + . . .+ µk · vk mit µ1, . . . , µk ∈ K

nennen wir eine Linearkombination der Vektoren v1, . . . , vk.

Lässt sich ein Vektor v ∈ V als Linearkombination der Vektoren v1, . . . , vk schreiben, also

v = µ1 · v1 + . . .+ µk · vk mit µ1, . . . , µk ∈ K

sagen wir, dass v eine Linearkombination der Vektoren v1, . . . , vk ist.

Der Spann von Vektoren

Definition. Es seien v1, . . . , vk Vektoren in einem K-Vektorraum V . Die Menge aller Linearkombi-nationen der Vektoren v1, . . . , vk

span(v1, . . . , vk) =

{k∑i=1

µivi : µ1, . . . , µk ∈ R

}

nennen wir den Spann von v1, . . . , vk.

Außerdem setzten wir für Teilmengen U von V mit |U | =∞

span(U) =⋃

W⊂U :|W |<∞

span(W )

und span(∅) = {0}.

Lemma. Seien U ⊂ V eine Menge von Vektoren in einem K-Vektorraum V . Dann ist span(U) einUntervektorraum von V .

Lemma. Es sei U = {v1, . . . , vk} eine Menge von Vektoren eines K-Vektorraums V . Es ist vj genaudann eine Linearkombination der übrigen Vektoren U \ {vj}, wenn span(U) = span(U \ {vj}).

Die Standardeinheitsvektoren

Definition. Für alle i ∈ {1, . . . , n} nennen wir den Spaltenvektor in Kn, dessen i-te Komponente1 und alle anderen Komponenten 0 sind den i-ten Standardeinheitsvektor und bezeichnen ihnmit e(i).

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Die Menge aller Standardeinheitsvektor bezeichnen wir mi tBs = {e(1), . . . , e(n)}.

Lemma. Es gilt span(e(1), . . . , e(n)

)= Kn.

Lineare Unabhängigkeit

Definition. Wir nennen eine endliche Menge von Vektorenv1, . . . , vk ∈ V eines K-Vektorraums V linear unabhängig falls die 0 eine eindeutige Darstel-lung

k∑i=1

µi · vi = µ1 · v1 + . . .+ µk · vk = 0 mit µ1, . . . , µk ∈ K

als Linearkombination der Vektoren v1, . . . , vk besitzt.Gilt dies nicht, nennen wir die Vektoren v1, . . . , vk linear abhängig.

Eine unendliche Menge von Vektoren U eines K-Vektorraums V nennen wir linear unabhängig,falls es keine endliche linear abhängig Teilmenge von U gibt. Gilt dies nicht, nennen wir U linearabhängig.

Eine linear unabhängige Menge heißt maximal linear unabhängig, falls für jeden Vektor v ∈ V \Udie Menge U ∪ {v} linear abhängig ist.

Lemma. Vektoren v1, . . . , vk eines K-Vektorraums sind genau dann linear abhängig, wenn es einenVektor vj ∈ {v1, . . . , vk} gibt, der sich als Linearkombination der anderen Vektoren

vj =

k∑i=1i 6=j

µi · vi

mit µ1, . . . , µj−1, µj+1, . . . µk ∈ K schreiben lässt.

Proposition. Es sei U eine Menge von Vektoren aus einem K-Vektorraum V . Dann lässt sich jederVektor w ∈ span(U) genau dann eindeutig aus U linear kombinieren, wenn U linear unabhängigist.

Lemma. Die Standardeinheitsvektoren e(1), . . . , e(n) sind linear unabhängig im Kn.

Die Basis

Definition. Sei V ein K-Vektorraum. Dann nennen wir eine Menge von Vektoren U ⊂ V einErzeugendensystem von V , wenn span(U) = V . Wir bezeichnen mit |U | die Größe eines Erzeu-gendensystems.

Ein Erzeugendensystem U ∈ V heißt minimal, falls es keinen Vektor u ∈ U gibt, so dass U \ {u}ein Erzeugendensystem von V ist.

Hat V ein endliches Erzeugendensystem, dann nennen wir V endlich erzeugt.

Definition. Sei B ⊂ V eine Menge von Vektoren aus einem K-Vektorraum V . Wir nennen B eineBasis von V , wenn die beiden folgenden Aussagen gelten.

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B1. Die Vektoren in B sind linear unabhängig.B2. Die Menge B ist ein Erzeugendensystem von V .

Lemma. Die Menge Bs = {e(1), . . . , e(n)} der Standardeinheitsvektoren bildet eine Basis des Kn.

Definition. Wir bezeichnen die Menge Bs = {e(1), . . . , e(n)} der Standardeinheitsvektoren als dieStandardbasis des Kn.

Proposition. Sei B ⊂ V eine endliche Menge von Vektoren aus einem K-Vektorraum V . Dannsind die folgenden Aussagen äquivalent.

Ba Es ist B eine Basis von V .Bb Es ist B ein minimales Erzeugendensystem von V .Bc Es ist B eine maximale linear unabhängige Menge in V .Bd Jeder Vektor aus V hat eine eindeutige Darstellung als Linearkombination von Vektoren ausB.

Die Dimension

Satz. Sind v1, . . . , vn und w1, . . . , vk Basen eines K-Vektorraums V , dann ist k = n.

Definition. Hat ein Vektorraum V eine Basis B = {v1, . . . , vn} mit n ∈ N so sagen wir, dass V dieDimension n hat und schreiben dim(V ) = n.

Hat V keine endliche Basis von V , so sagen wir, dass V unendlich Dimension hat.

Isomorphie von Vektorräumen - Teil 2

Satz. Jeder n-dimensionale K-Vektorraum ist isomorph zum Kn mit n ∈ N.

Basisaustauschsätze

Lemma. Sei v1, . . . , vk eine Basis eine K-Vektorraumes V . Sei z = µ1v1 + . . . + µkvk eine Li-nearkombination wobei µj 6= 0 ist. Dann ist auch v1, . . . , vj−1, z, vj+1, . . . , vn eine Basis vonV .

Lemma (Basisaustauschsatz von Steinitz). Es seien w1, . . . , wk linear unabhängige Vektoren undv1, . . . , vn eine Basis eines K-Vektorraums V . Dann gilt k ≤ n und es gibt n − k paarweiseverschiedene Vektoren vk+1, . . . , vn ∈ {v1, . . . , vk}, so dass w1, . . . , wk, vk+1, . . . , vn eine Basis vonV ist.

Basis - eine Frage der Existenz

Korollar. Jeder endlich erzeugte Vektorraum hat eine Basis.

Definition. Sei A eine beliebige Menge. Wir bezeichnen eine Relation ∼ auf A als Halbordnungauf A, wenn die folgenden Axiome gelten.

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HO1. a ∼ a ∀a ∈ A (Reflexivität)HO2. Ist a ∼ b und b ∼ a, dann ist a = b ∀a, b ∈ A (Antisymmetrie)HO3. Ist a ∼ b und b ∼ c, dann ist a ∼ c ∀a, b, c ∈ A (Transitivität)

Wir bezeichnen A dann als halb geordnet. Wir bezeichnen eine Halbordnung ∼ auf A als Total-ordnung auf A, wenn außerdem gilt

TO1. Es ist entweder a ∼ b und b ∼ a ∀a, b, c ∈ A (Totalität)

Wir bezeichnen A dann als total geordnet.

Definition. Sei A eine beliebige Menge und ∼ eine Halbordnung auf A und B eine beliebigeTeilmenge von A

Wir nennen a ∈ A ein maximales Element in A, wenn es kein Element b in A gibt mit a ∼ b unda 6= b.

Wir nennen B ⊂ A eine total geordnete Teilmenge von A, wenn ∼ eine Totalordnung auf B ist.

Wir nennen a ∈ A eine Schranke zu B, wenn b ∼ a für alle b ∈ B.

Lemma. Sei A eine total geordnete Menge. Dann gilt für jede endliche Teilmenge U von A

TT1. Es ist U total geordnet.TT2. Es gibt eine maximales Element in U .

Lemma (Lemma von Zorn). Es sei A eine halbgeordnete Menge. Es enthält A ein maximalesElement, wenn jede total geordnete Teilmenge von A eine Schranke hat.

Lemma. Jeder Vektorraum hat eine Basis.

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Matrizen

Die Matrix

Definition. Sei S eine beliebige Menge und n,m ∈ N. Eine m× n-Matrix A ist eine Abbildung

A : {1, . . . ,m} × {1, . . . , n} → S, (i, j) 7→ Aij .

Die Menge aller m× n-Matrizen bezeichnen wir mit Sn×n. Wir schreiben eine Matrix in der Form

A =

A1,1 A1,2 A1,3 · · · A1,n

A2,1 A2,2 A2,3 · · · A2,n

A3,1 A3,2 A3,3 · · · A3,n

.

.

.

.

.

.

.

.

.. . .

.

.

.

Am,1 Am,2 Am,3 · · · Am,n

,nennen die 1× n-Matrix A(i) = (Ai1, . . . , Ain) die i-te Zeile von A und entsprechend die m× 1-

Matrix A(j) =

A1j

.

.

.

Amj

die j-te Spalte von A. Die einzelnen Zahlen Aij heißen die Einträge von

A. Falls m = n, nennen wir M eine quadratische Matrix.

Wir bezeichnen die Menge der Einträge Aii mit i ∈ min{m,n} als die Diagonale der Matrix A.

Rechnen mit Matrizen über algebraischen Strukturen

Addition von Matrizen

Definition. Es sei S eine Gruppe mit additiver Verknüpfung und seien A,B ∈ Sn×m. Die MatrixC = A+B ist die Matrix mit den Einträgen Cij = Aij +Bij .

Multiplikation von Matrizen mit Skalaren

Definition. Es sei S ein Vektorraum über einem beliebigen Körper K. Ist A ∈ Sm×n und λ ∈ K,dann ist B = λ ·A = A · λ die Matrix mit den Einträgen Bij = λ ·Aij .

Lemma. Sei S ein Vektorraum über dem Körper K. Dann gelten

Ma. A+B = B +A ∀A,B ∈ Sm×n (Kommutativg.)MAa. (A+B) + C = A+ (B + C) ∀A,B,C ∈ Sm×n (Assoz. d. Add.)MAb. (λ · µ) ·A = λ · (µ ·A) ∀λ, µ ∈ K, A ∈ Sm×n (Assoz. d. Mult.)MDa. (λ+ µ) ·A = λ ·A+ µ · S ∀λ, µ ∈ K, A ∈ Sm×n (Distrib. I)MDb. λ · (A+B) = λ ·A+ λ ·B ∀λ ∈ K, A,B ∈ Sm×n (Distrib. II)

Proposition. Sei K ein beliebiger Körper und n,m ∈ N+. Es bildet Kn×m mit der Addition von

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Matrizen und der Multiplikation von Matrizen mit einem Skalar einen Vektorraum.

Multiplikation von Matrizen mit Spaltenvektoren

Definition. Sei A ∈ Km×n und v ∈ Kn. Dann ist w = A · v der Vektor mit Einträgen wi =∑nk=1Ai,kvk für i ∈ {1, . . . ,m}, also

w =

A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · · A2n

.

.

.

.

.

.. . .

.

.

.

Am1 Am2 · · · Amn

·v1v2

.

.

.

vn

=

A11v1 + A12 · v2 + · · · + A1nvnA21v1 + A22 · v2 + · · · + A2nvn

.

.

.

.

.

.. . .

.

.

.

Am1v1 + Am2 · v2 + · · · + Amnvn

.

Interpretation der Multiplikation von Matrizen mit Spaltenvektoren

Lemma. Das Produkt einer MatrixA ∈ Km×n und einem Vektor v ∈ Kn ist eine Linearkombinationder Spalten von A, deren Koeffizienten den Komponenten von v entsprechen. Es ist also

A · v =

n∑i=1

vi ·A(i).

Lemma. Das Produkt einer Matrix A ∈ Km×n und einem Vektor v ∈ Kn ist ein Vektor w ∈ Km,dessen Komponenten dem Skalarprodukt der transponierten Zeilenvektoren von A mit dem Vektorv entsprechen. Es ist also

wi =⟨AT(i), v

⟩.

Multiplikation von Matrizen mit Matrizen

Definition. Seien A ∈ Kk×m und B ∈ Km×n gegeben. Dann ist die Matrix C = A · B gegebendurch die Matrix C, deren Spaltenvektoren den Produkten C(i) = A · B(i) mit i ∈ {1, . . . , n}entsprechen.

Lemma. Sei S ein Vektorraum über dem Körper K. Dann gelten

Ma. (A ·B) ·B = A · (B · C) ∀A ∈ Sm×n, B ∈ Sn×k, C ∈ Sk×`Mb. A · (B +B′) = A ·B +A ·B′ ∀A ∈ Sm×n, B,B′ ∈ Sn×kMc. (A+A′) ·B = A ·B +A′ ·B ∀A,A′ ∈ Sm×n, B ∈ Sn×k

Korollar. Es sei S ein beliebiger K-Vektorraum. Dann gilt

MMa. (A ·B) · v = A · (B · v) ∀A ∈ Sk×m, B ∈ Sm×n, v ∈ Sn (Assgstz.)

Transposition

Definition. Es sei S eine beliebige Menge. Es sei A ∈ Sm×n eine Matrix. Die zu A transponierteMatrix AT ∈ Sn×m ist die Matrix, mit den Einträgen ATij = Aji.

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Spezielle Matrizen

Definition. Wir nennen die quadratische n× n-Matrix über einem Körper, deren i-ter Spaltenvek-toren dem i-ten Standardeinheitsvektor entspricht Einheitsmatrix der Dimension n, welche wirmit idn bezeichnen.

Lemma. Für jede n×n-Matrix A gilt idn ·A = A · idn = A. Ferner gilt idn · v = v für jeden Vektorv ∈ Rn.

Definition. Seien A,B n × n-Matrizen über einem Körper. Wir sagen, dass B zu A invers ist,wenn A · B = B · A = idn. Falls es eine Matrix B gibt, die zu A invers ist, heißt A invertierbaroder regulär, andernfalls heißt A singulär.

Definition. Für einen Vektor v ∈ Kn bezeichnen wir mit diag(v) die n×n-Matrix, deren Diagonalegerade dem Vektor v entspricht, während alle anderen Einträge gleich 0 sind. Wir sagen, dass einem × n-Matrix Diagonalform hat (oder eine Diagonalmatrix ist), wenn kein Einträg außerhalbder Diagonalen ungleich Null ist.

Lemma. Für jeden Vektor x ∈ Kn gilt

diag(v) · x =

v1x1v2x2

.

.

.

vnxn

.Definition. Sei A ∈ Kn×n. Mit Ak für k ∈ N bezeichnen wir also das Produkt

Ak = A ·A · . . . ·Ak Stück

· idn

Definition. Eine n× n-Matrix A heißt symmetrisch, wenn

AT = A.

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Matrizen & lineare Abbildungen

0.1 Darstellungsmatrix zur Standardbasis

Definition. Sei f : Kn → Km eine lineare Abbildung. Wir nennen die m× n-Matrix M(f), derenSpalten den Bildern der Standardeinheitsvektoren des Kn unter der Abbildung f entsprechen, dieDarstellungsmatrix (oder darstellende Matrix) von f . Es ist also

M(f)(1) = f(e(1)), M(f)(2) = f

(e(2)), . . . , M(f)(n) = f

(e(n)

).

Lemma. Sei f : Kn → Km eine lineare Abbildung. Dann gelten

Da Für alle v ∈ Kn ist f(v) =M(f) · v.Db Es gibt genau eine Matrix A ∈ Km×n mit f(v) = A · v für alle v ∈ Kn.

Lemma. Sei A ∈ Km×n. Dann gibt es eine lineare Abbildung f : Kn → Km mit M(f) = A.

Definition. Sei A ∈ Km×n. Dann bezeichnen wir die durch A dargestellte linear Abbildung mitfA : Kn → Km, wobei fA(v) = A · v.

Proposition. Es gelten

DLa. M(f + g) = M(f) +M(g) ∀f, g : Kn → KmDLb. M(λ · f) = λ ·M(f) ∀λ ∈ K, f : Kn → KmDLc. M(g ◦ f) = M(g) ·M(f). ∀f, g : Kn → Km

Proposition. Sei A ∈ Kn×n. Dann ist A genau dann invertierbar, wenn die lineare Abbildung fAein Isomorphismus ist.

0.2 Dimensionssatz

Definition. Sei f : Kn → Km eine lineare Abbildung. Wir definieren den Kern von f als

Kern(f) = {v ∈ Kn : f(v) = 0} .

Sei A ∈ Km×n. Wir definieren den Kern und das Bild von A als

Kern(A) = { v ∈ Kn : A · v = 0 } und

Bild(A) = { A · v : v ∈ Kn }.

Analog definieren wird den Linkskern und das Linksbild von A als

LKern(A) = { v ∈ Kn : vT ·A = 0 } und

LBild(A) = { v ·A : vT ∈ Kn }.

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Lemma. Es sei A ∈ Km×n, b ∈ Km und x ∈ Kn so, dass A · x = b. Dann gilt für jeden Vektorz ∈ Kern(A), dass A · (x+ z) = b. Ist umgekehrt x′ ein Vektor mit A · x′ = b, so ist z = x− x′ imKern von A.

Lemma. Sei A ∈ Km×n. Dann ist Bild(A) = span(A(1), . . . , A(n)

).

Lemma. Sei A ∈ Km×n. Dann sind Kern(A) und Bild(A) Vektorräume.

Satz. Sei A ∈ Km×n. Dann gilt

dim (Kern(A)) + dim (Bild(A)) = n.

0.3 Basiswechsel

Definition. Sei B = {b1, . . . , bn} eine Basis des Kn. Dann nennen wir für jeden Vektor v ∈ Kn

v[B] =

v[B]1

.

.

.

v[B]n

[B]

mit v =

n∑i=1

v[B]i · bi

den Spaltenvektor von v zur Basis B.

0.3.1 Basiswechselmatrix

Definition. Seien B1 = {a1, . . . , an} und B2 = {b1, . . . , bn} zwei Basen des Kn. Dann heißt dieMatrix M [B1,B2] die Basiswechselmatrix von der Basis B1 zur Basis B2, deren i-te Spalte demSpaltenvektor a[B2]i von ai zur Basis B2 entspricht.

Lemma. Seien B1 = {a1, . . . , an} und B2 = {b1, . . . , bn} zwei Basen des Kn. Dann lässt sich fürjeden Vektor v ∈ Kn, dessen Spaltenvektor v[B1] zur Basis B1 gegeben ist, der Spaltenvektor zurBasis B2 berechnen mittels

M [B1,B2] · v[B1] = v[B2].

Außerdem gilt M [B1,B2] ·M [B2,B1] = idn.

Lemma. Sei B = {b1, . . . , bn} eine Basis des Kn. Dann gilt für alle v, w ∈ Kn und λ ∈ K

BWa w[B] + v[B] = (w + v)[B]

BWb λ · v[B] = (λ · v)[B]

0.3.2 Darstellungsmatrizen zu beliebigen Basen

Definition. Sei f : Kn → Km eine lineare Abbildung, B1 = {a1, . . . , an} eine Basis des Kn undB2 = {b1, . . . , bm} eine Basis des Km. Wir nennen die m× n-Matrix M [B1,B2](f), deren Spaltenden Spaltenvektoren zur Basis B2 der Bilder der Basisvektoren aus B1 unter der Abbildung fentsprechen, die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basen B1 und B2. Es ist also(

M [B1,B2](f))(i)

= (f (a1))[B2] für alle i ∈ {1, . . . , n}.

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Lemma. Sei f : Kn → Km eine lineare Abbildung und B1 = {a1, . . . , an} eine Basis des Kn sowieB2 = {b1, . . . , bm} eine Basis des Km. Dann gilt

M(f) =M [B2,Bs] ·M [B1,B2](f) ·M [Bs,B1]

Sei außerdem v ∈ Kn mit w = f(v). Dann gilt

M [B1,B2](f) · v[B1] = w[B2].

0.3.3 Ähnliche Matrizen

Definition. Zwei quadratische Matrizen A,B ∈ Kn×n heißen ähnlich, wenn es eine invertierbarequadratische Matrix S ∈ Kn×n gibt mit

S−1 ·A · S = B.

Lemma. Die Einheitsmatrix idn ist nur zu sich selbst ähnlich.

0.4 Lineare Gleichungssysteme

Definition. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist ein System von m Gleichungen in n Unbe-kannten x1, . . . , xn der Form

A1,1 · x1 + A1,2 · x2 + . . .+ A1,n · xn = b1

A2,1 · x1 + A2,2 · x2 + . . .+ A2,n · xn = b2

.

.

.

.

.

.. . .

.

.

.

.

.

.

Am,1 · x1 + Am,2 · x2 + . . .+ Am,n · xn = bm

mit Koeffizienten A1,1, . . . , Am,n ∈ K und der rechten Seite b1, . . . bm ∈ K.

Ist die rechte Seite gleich 0, also b1 = . . . = bm = 0, nennt man das LGS homogen. Ein nichthomogenes LGS wird auch inhomogenes LGS genannt.

Wir bezeichnen mit L = {x ∈ Kn : x löst das LGS} die Lösungsmenge des LGS.

Lemma. Die Lösungsmenge eines lineare Gleichungssystem entspricht (lässt sich identifizierenmit)

L = {x ∈ Kn : A · x = b},

wobei A ∈ Rm×n die Matrix, deren Einträge den Koeffizienten des LGS und b ∈ Rm der Spalten-vektor ist, dessen Einträge der rechten Seite des LGS entsprechen.

0.4.1 Das Gaußsche Eliminationsverfahren

Definition. Sei A ∈ Km×n und b ∈ Km. Die Gleichung A ·x = b schreiben wir als Tableau, indemwir die Einträge der Matrix A um den Vektor b ergänzen, jedoch durch eine senkrechte Linie

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abgegrenzt, in eckigen Klammern notieren. Es ist dann

[A|b] =

A1,1 . . . A1,n b1

.

.

....

.

.

.Am,1 . . . Am,n bm

.Die Lösungen eines Tableaus sind die Lösungen der zugehörigen Gleichung A · x = b.

Zwei Tableaus heißen äquivalent, wenn sie dieselben Lösungen haben. Wir schreiben dann[A|b] ≡ [A′|b′], falls [A|b] und [A′|b′] äquivalent sind.

Definition. Eine Matrix A ∈ Rm×n hat Zeilen-Stufen-Form (ZSF), wenn es ein ` ∈ N mit1 ≤ ` ≤ m+ 1 gibt, so dass gelten.

ZSF1 Für alle i ∈ N mit 2 ≤ i < ` enthält die i-te Zeile mindesten eine führende Null mehr, als die(i− 1)-te Zeile.

ZSF2 Für alle i ∈ N mit ` ≤ i ≤ m enthält die i-te Zeile nur Nullen.

Definition. Ein Tableau [A|b] hat Zeilen-Stufen-Form, wenn die Matrix A Zeilen-Stufen-Form hat.Wir nennen eine Zeile von [A|b] Nullzeile, wenn die Matrix A in dieser Zeile nur Nullen hat undder Eintrag von b in dieser Zeile Null ist.

Definition. Es sei [A|b] ein Tableau. Dann bezeichnen wir die folgenden Umformungen auf [A|b]als Gauß-Schritte.

G1. Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.G2. Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar.G3. Vertauschen zweier Zeilen.G4. Streichen einer Nullzeile.

Lemma. Sei [A|b] ein Tableau. Das Tableau [A′|b′] ist äquivalent zu [A|b], wenn es durch einenGauß-Schritt aus [A|b] hervorgeht.

Proposition. Jedes Tableau [A|b] lässt sich in endlich vielen Gauß-Schritten in ein äquivalentesTableau [A′|b′] in Zeilen-Stufen-Form umformen.

0.4.2 Rückwärtseinsetzen findet die Lösungsmenge

Definition. Sei [A|b] ein Tableau in Zeilen-Stufen-Form mit A ∈ Km×n. Für alle Zeilen mit Indexi, die keine Nullzeilen sind definieren wir die Weite

w(i) = min{j ∈ {1, . . . , n} : Aij 6= 0} − 1

von Zeile i als den kleinsten Spaltenindex, der von 0 verschiedenen Einträge in Zeile i minus 1.Nullzeilen haben Weite n.

Außerdem definieren wir die Schrittweite

s(i) = w(i+ 1)− w(i)

von Zeile i als die Differenz der Weiten von Zeile i+ 1 und i für alle i ∈ {1, . . . ,m− 1} und dieSchrittweite s(m) = n− w(m) von Zeile m.

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Für Zeile i ist

Ii(A) = {j ∈ {1 . . . n} : w(i) + 1 < j < w(i+ 1) + 1}

die Indexmenge der Spalten mit Index größer w(i) + 1 und kleiner w(i+ 1) + 1.

0.4.3 Gaußsches Eliminationsverfahren im Kleid der Matrixmultiplikation

Definition. Es sei . . .

• . . .S[i, j] die m×m-Matrix, die aus der Einheitsmatrix idm durch Vertauschen der i-ten undder j-ten Zeile hervorgeht.• . . .T [i, j, λ] die m×m-Matrix, deren Diagonaleinträge alle gleich 1 sind, deren Eintrag in

Zeile i und Spalte j gleich λ ist, und deren übrige Einträge gleich 0 sind (ist i = j, dann istder entsprechende Diagonaleintrag in Zeile und Spalte i gleich λ ∈ R).• . . .U [i] die m× (m− 1)-Matrix, die aus der Einheitsmatrix idm durch Weglassen der iten

Zeile hervorgeht.

Satz. Zu jeder m× n-Matrix A gibt es eine invertierbare m×m-Matrix C, so dass C ·A ZSF hat.

Korollar. Zu jederm×n-MatrixA gibt es eine invertierbarem×m-Matrix C und eine invertierbaren × n-Matrix D und eine Zahl r ≤ min{m,n}, so dass C · A ·D = Er. Dabei ist Er die Matrix,deren erste r Diagonaleinträge gleich 1 und deren übrige Einträge gleich 0 sind.

0.4.4 Zeilen- und Spaltenrang

Definition. Für eine Matrix A ∈ Rm×n sei der Zeilenrang von A definiert als

dim(span

(A(1), . . . , A(m)

))und der Spaltenrang von A definiert als

dim(

span(A(1), . . . , A(n)

)).

Korollar. Für jede Matrix A stimmen Zeilen- und Spaltenrang überein.

Definition. Für eine Matrix A ∈ Rm×n sei der Rang von A gleich dem Zeilenrang von A. Wirschreiben dann für den Rang von A auch rang(A).

Korollar. Sei A eine m × n-Matrix und b ∈ Rm. Es gibt genau dann ein x ∈ Rn mit A · x = b,wenn die Matrix A denselben Rang wie die Matrix (A, b) hat, die aus A durch Hinzufügen von bals (n+ 1)-ter Spalte entsteht.

Korollar. Sei A eine m× n-Matrix vom Rang r. Sei l die Dimension des Kerns von A. Dann geltendie beiden folgenden Aussagen.

• Es ist n = r + l.• Es ist A genau dann invertierbar, wenn m = n = r.

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Orthogonalität

Das Standardskalarprodukt und die euklidische Norm

Definition. Es seien v, w ∈ Rn. Das (Standard-)Skalarprodukt der Vektoren v und w ist definiertals

〈v, w〉 = v1 · w1 + . . .+ vn · wn =

n∑i=1

viwi.

Definition. Es sei v ∈ Rn. Die euklidische Norm des Vektors v ist definiert als

‖v‖ =√〈v, v〉 =

√v21 + . . .+ v2n.

Rechenregeln für das Skalarprodukt und die euklidische Norm

Lemma (Cauchy-Schwarz-Ungleichung). Für Vektoren v, w ∈ Rn gilt stets

| 〈v, w〉 | ≤ ‖v‖ · ‖w‖.

Proposition. Es seien v, w, y ∈ Rn und λ ∈ R, dann gelten die folgenden Aussagen.

SPa. 〈v, y〉 = 〈y, v〉 (Symmetrie)SPb. 〈v + w , y〉 = 〈v , y〉 + 〈w , y〉 (Additivität im ersten Eintrag)SPc. 〈λ · v , y〉 = λ · 〈v , y〉 (Homogenität im ersten Eintrag)

Proposition. Für alle v, w ∈ Rn und λ ∈ R gelten die folgenden Aussagen.

ENa. ‖v‖ = 0 ⇔ v = 0 (Definitheit)ENb. ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (Dreiecksungleichung)ENc. ‖λ · v‖ = |λ| · ‖v‖ (Absolute Homgenität)

Geometrische Interpretation der euklidischen Norm

Geometrische Interpretation des Skalarprodukts

Definition. Zwei Vektoren v, w ∈ Rn heißen orthogonal, wenn gilt 〈v, w〉 = 0.

Lemma. Für zwei Vektoren v, w ∈ Rn gilt stets

〈v, w〉 = ‖v + w‖2 − ‖v‖2 − ‖w‖2

2.

Lemma. Zwei orthogonale Vektoren v, w ∈ Rn stehen senkrecht aufeinander.

Korollar. Das Skalarprodukt ist invariant unter Drehungen und Spiegelungen des Rn.

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Lemma. Es seien v, w ∈ Rn und α ∈ [0, π] der Winkel, der zwischen v und w eingeschlossen wird.Es gilt

〈v, w〉 = ‖v‖ · ‖w‖ · cos(α).

Matrix-Vektor-Multiplikation mit Skalarprodukten

Lemma. Seien eine Matrix A ∈ Rk×m und ein Vektor v ∈ Rm gegeben. Dann ist das Produkt vonA und v gegeben durch

A · v =

〈A(1), v〉〈A(2), v〉

.

.

.

〈A(k), v〉

einen Vektor, dessen Einträge dem Skalarprodukt der Zeilen von A und dem Vektor v entsprechen.

Lemma. Seien zwei Matrizen A ∈ Rk×m und B ∈ Rm×n gegeben. Dann ist das Produkt von Aund B gegeben durch

A ·B =

⟨A(1), B

(1)⟩ ⟨

A(1), B(2)

⟩· · ·

⟨A(1), B

(n)⟩⟨

A(2), B(1)

⟩ ⟨A(2), B

(2)⟩· · ·

⟨A(2), B

(n)⟩

.

.

.

.

.

.. . .

.

.

.⟨A(m), B

(1)⟩ ⟨

A(m), B(2)

⟩· · ·

⟨A(m), B

(n)⟩

eine Matrix, deren Einträge dem Skalarprodukt der Zeilen von A und den Spalten von B entspre-chen.

Orthonormalbasen

Definition. Wir nennen eine Menge von Vektoren v1, . . . , vk orthogonal, wenn alle paarweiseverschiedenen Vektoren in v1, . . . , vk orthogonal sind.

Für einen Vektor v ∈ Rn mit v 6= 0 ist v = v‖v‖ der zu v gehörige normierte Vektor. Ein Vektor, für

den gilt v = v, wird auch als normierter Vektor bezeichnet.

Ferner heißen die Vektoren v1, . . . , vk orthonormal, wenn v1, . . . , vk orthogonal und normierteVektoren sind.

Sei V ein Vektorraum mit dim(V ) = k. Wir nennen v1, . . . , vk eine Orthonormalbasis von V , fallsv1, . . . , vk orthonormal sind.

Das orthogonale Komplement

Definition. Sei V ein Vektorraum und W ⊂ V ein Untervektorraum. Das orthogonale Komple-ment von W in V ist

W⊥ = {v ∈ V : 〈v, w〉 = 0 ∀ w ∈W}.

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Lemma. Sei W = span(b1, . . . , bm) ein Unterraum eines Vektorraums V ⊂ Rn. Sei A die m× n-Matrix, deren Zeilenvektoren den Vektoren b1, . . . , bm entsprechen. Dann gilt

W⊥ = Kern(A).

Korollar. Die Menge W⊥ ist ein Untervektorraum von V .

Lemma. Sei W ein Unterraum eines Vektorraums V . Dann gilt(W⊥

)⊥=W.

Orthogonalisierungsverfahren

Lemma. Wenn die Vektoren v1, . . . , vk alle ungleich 0 und orthogonal sind, dann sind sie linearunabhängig.

Das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren

Wir lernen ein Orthogonalisierungsverfahren näher kennen, das nach Jörgen Pedersen Gram undErhard Schmidt benannt Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren. Wir betrachten zunächsteinen Schritt des Verfahrens.

Algorithmus (GramSchmidtStep).

Input: b1, . . . , bm ∈ V linear unabhängig.Output: b2, . . . , bm ∈ V orthogonal zu b1 mit span(b1, b2, . . . , bm) = span(b1, . . . , bm).

for i = 2 to m do

bi = bi −〈bi, b1〉〈b1, b1〉

· b1end forreturn b2, . . . , bm.

Lemma. Für eine linear unabhängig Menge b1, . . . , bm ∈ V liefert GramSchmidtStep(b1, . . . , bm)eineMenge von Vektoren b2, . . . , bm ∈ V , welche alle orthogonal zu b1 sind mit

span(b1, b2, . . . , bm) = span(b1, . . . , bm).

Algorithmus (GramSchmidt).

Input: b1, . . . , bm ∈ V linear unabhängig.Output: b1, . . . , bm ∈ V linear unabhängig und orthogonal mit span(b1, . . . , bm) = span(b1, . . . , bm).

Setze b1 = b1.for i = 1 to m-1 do

(bi+1, . . . , bm) = GramSchmidtStep(bi, . . . , bm)

end forreturn b1, . . . , bm.

Satz. Für eine linear unabhängig Menge b1, . . . , bm ∈ V liefert GramSchmidt(b1, . . . , bm) eineMenge von orthogonalen Vektorenb1, . . . , bm ∈ V mit span(b1, . . . , bm) = span(b1, . . . , bm).

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Satz. Jeder reelle Vektorraum V hat eine Orthonormalbasis.

Definition. Sei für einen Vektorraum V eine Orthonormalbasis B = {b1, . . . , bn} gegeben. Dannlässt sich jeder Vektor v ∈ V schreiben als

v =

n∑i=1

〈v, bi〉 · bi.

Die Zahlen 〈v, bi〉 werden Fourierkoeffizienten von v bezüglich der Basis b1, . . . , bn genannt.

Die orthogonale Projektion

Proposition. Sei V ein Vektorraum und W ⊂ V ein Untervektorraum. Die Abbildung

f :W ×W⊥ → V,

(w1, w2) 7→ w1 + w2

ist bijektiv und es giltdim(W ) + dim(W⊥) = dim(V ).

Korollar. Es sei V ein K-Vektorraum und U ein Untervektorraum von V . Dann lässt sich jederVektor v ∈ V eindeutig als Summe v = v′ + v′′ mit v′ ∈ U und v′′ ∈ U⊥ schreiben.

Definition. Sei V ein K-Vektorraum und U ein Untervektorraum von V . Sei v ∈ V beliebig mitder Darstellung v = v′ + v′′ mit ′v ∈ U und v′′ ∈ U⊥.

Dann ist die Abbildung P⊥U : V → U mit v 7→ v′ die orthogonale Projektion von V auf U .

Dann ist die Abbildung DU : V → U mit v 7→ ‖v′′‖ der Abstand zu U .

Orthogonale Abbildungen

Orthogonale Matrizen

Definition. Eine n× n-Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt

AT ·A = idn.

Wir nennen eine lineare Abbildung f : Rn × Rn orthogonal, wenn ihre Darstellungsmatrix M(f)

orthogonal ist.

Satz. Wenn A eine orthogonale n× n-Matrix ist, dann gilt

〈A · v,A · w〉 = 〈v, w〉

für alle v, w ∈ Rn. Ferner ist AT orthogonal.

Lemma. Wenn A,B orthogonale n× n-Matrizen sind, dann ist A ·B orthogonal.

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Normen und Metriken

Norm - ein Längenbegriff für Vektoren

Definition. Es sei V ein Vektorraum. Eine Abbildung norm : V → R nennt man eine Norm auf V ,falls die folgenden Axiome für alle x, y ∈ V und λ ∈ K gelten.

N1. norm(x) ≥ 0 (Positivität)N2. norm(x) = 0 ⇐⇒ x = 0 (Absolute Homogenität)N3. norm(x+ y) ≤ norm(x) + norm(y) (Dreiecksungleichung)

p-Normen für Vektoren über den Vektorräumen Kn

Definition. Für p ∈ N+ nennen wir die Abbildung ‖ · ‖p : Rn → R mit

‖x‖p = (|x1|p + . . .+ |x2|p)1p = p

√√√√ n∑i=1

|xi|p

die p-Norm auf Kn.

Die Abbildung ‖ · ‖ : Rn → R mit

‖x‖∞ = max {|x1|p, . . . , |xn|p} .

bezeichnen wir als die∞-Norm oder Maximumsnorm auf Rn.

Lemma. Für jedes p ∈ N+ und p =∞ ist die p-Norm ‖ · ‖p eine Norm.

Metrik - ein Abstandsbegriff auf Mengen

Definition. Es sei A eine beliebige Menge. Eine Abbildung d : A×A→ R ist eine Metrik, wennfolgende Axiome gelten.

M1. d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ A (Positivität)M2. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ A (Symmetrie)M3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ A (Dreiecksungleichung)

Induzierte Metriken

Lemma. Für jede Norm ‖ · ‖ auf Rn ist die Abbildung d : Rn × Rn → R mit d(x, y) = ‖y − x‖eine Metrik.

Definition. Sei d eine Metrik auf einem Vektorraum Kn und sei ‖ · ‖ eine Norm auf diesem. Giltd(x, y) = ‖x− y‖ für alle x, y ∈ K, dann nennt man die Metrik d durch die Norm ‖ · ‖ induziert.

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Hammingabstand

Definition. Es sei A eine beliebige Menge. Der Hammingabstand ist die Abbildung dist : An ×An → R mit

dist(x, y) = | {i ∈ {1, . . . , n} : xi 6= yi} |,

welche zwei Tupeln x, y ∈ An die Anzahl der Positionen, an denen sie sich unterscheiden, zuordnet.

Lemma. Sei A eine beliebige Menge. Dann ist der Hammingabstand eine Metrik auf An.

Geometrie unterschiedlicher (induzierter) Metriken

Definition. Sei A eine Menge, auf welcher eine Metrik d definiert ist und x ∈ A. Dann definierenwir

Br(x,A) = {y ∈ A : d(x, y) ≤ r}

die Kugel (oder den Ball) um x mit Radius r in A und

Sr(x,A) = {y ∈ A : d(x, y) = r}

die Sphäre (oder die Oberfläche) um x mit Radius r in A bezüglich der Metrik d.

Handelt es sich bei der Metrik d um den Hammingabstand auf An, so nennen wir Br(x,An) auchdie Hammingkugel um x mit Radius r.

Norm - ein allgemeiner Längenbegriff

Matrixnormen

Definition. Sei f : Rm×n → Rm·n ein Isomorphismus und ‖ · ‖v eine Vektornorm auf Rm·n. Dannnennen wir die Abbildung ‖ · ‖∗ : Rm×n → R mit ‖A‖∗ = ‖f(A)‖v die über die Vektornorm ‖ · ‖v

gebildete Matrixnorm Rm×n.

Satz. Sei eine Norm ‖ · ‖v auf Rm·n gegeben. Die über ‖ · ‖∗ gebildete Matrixnorm auf Rm×n isteine Norm.

Definition. Eine Abbildung f : Rm×n × Rn×` → R+ heißt submultiplikativ, wenn für alleA ∈ Rm×n und B ∈ Rn×` gilt

f(A ·B) ≤ f(A) · f(B).

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Natürliche Matrixnormen

Definition. Sei ‖ · ‖v eine Norm auf dem Rn und dem Rm. Dann nennen wir eine Abbildung‖ · ‖ : Rm×n → R≥0 mit

‖A‖ = maxx∈Rn

x 6=0

{‖A · x‖v

‖x‖v

}

die durch die Norm ‖ · ‖v induzierte (natürliche) Matrixnorm (oder Operatornorm).

Lemma. Gegeben sei eine Norm ‖ · ‖v auf Rn und Rm. Die durch ‖ · ‖v induzierte Matrixnorm‖ · ‖ auf Rn×m ist eine Norm.

Lemma. Sei ‖ · ‖v eine Norm auf Rn und Rm. Dann lässt sich für jede Matrix A ∈ Rn×m dieinduzierte natürliche Matrixnorm berechnen mittels

‖A‖ = maxx∈Rn

‖x‖=1

{‖A · x‖v} .

Lemma. Sei ‖ · ‖ eine Norm auf Rn und Rm. Die induzierte natürliche Matrixnorm ‖ · ‖ auf Rn×m

ist submultiplikativ.

Natürliche Matrixnormen berechnen

Definition. Wir bezeichnen die durch die p-Norm auf Rn und Rm induzierte natürliche Matrixnormauf Rm×n als p-Matrixnorm und schreiben für diese ebenfalls ‖ · ‖p.

Lemma. Sei A ∈ Rm×n. Es gelten folgende Formeln.

• ‖A‖1 = maxj=1,··· ,n

m∑i=1

|Aij |.

• ‖A‖2 =√k, wobei k der größte Eigenwert von AT ·A ist.

• ‖A‖∞ = maxi=1,··· ,m

n∑j=1

|Aij |.

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Die Determinante

Das Parallelotop und das orientierte Volumen

Definition. Es seinen m Vektoren b1, . . . , bm ∈ Rn gegeben. Wir nennen die Menge

Pn(b1, . . . , bm) = {λ1 · b1 + . . .+ λm · bm : λ1, . . . , λm ∈ [0, 1]}

das Parallelotop der Vektoren b1, . . . , bm ∈ Rn in Dimension n.

Wir sagen ein Parallelotop Pn(b1, . . . , bm) in der Dimension n hat Dimension n′, wenn dim(span(b1, . . . , bm)) =

n′.

Für eine Matrix A ∈ Rm×n schreibt man statt P({A(1), . . . , A(n)}) auch kurz P(A).

Definition. Es seien b1, . . . , bm ∈ Rn und U = span(b1, . . . , bm−1). Dann setzen wir V(∅) = 1 und

V(P(b1, . . . , bm)) = V(P(b1, . . . , bm−1)) · DU (bm)

das Volumen des Parallelotops P(b1, . . . , bm).

Lemma. Es seien b1, . . . , bm ∈ Rn. Dann ist genau dann

V(P(b1, . . . , bm)) = 0,

wenn die Vektoren b1, . . . , bm linear abhängig sind.

Lemma. Es sein b1, . . . , bm−2, a, b Vektoren des Rn. Dann gilt

V(P(b1, . . . , bn−2, a, b)) = V(P(b1, . . . , bm−2, b, a)).

Definition. Es seien b1, . . . , bm ∈ Rn. Weiterhin setzten wir für alle i ∈ {1, . . . ,m} . . .

• . . .Ui = span(b1, . . . , bi). U0 = span{∅} = {0}[der Untervektorraum, der von b1, . . . , bi aufgespannt wird]

• . . . U⊥i .[das orthogonale Komplement von Ui−1 in Ui]

• . . . e(i)⊥ = PU⊥i⊥ (e(i)).

[die Projektion des Standardeinheitsvektors e(i) auf U⊥i ]

• . . . si = sign⟨bi, e

(i)⊥

⟩.

[das Vorzeichen des Skalarprodukts von bi mit der Projektion e(i)⊥ ]

Dann ist

Vo(P(b1, . . . , bm)) = V(P(b1, . . . , bm)) ·m∏i=1

si

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das orientiertes Volumen des Parallelotops P(b1, . . . , bm).

Volumen von Parallelotopen und LGS

Definition. Es sei A ∈ Km×n. Dann definieren wir für alle v ∈ Kn, λ ∈ K und i ∈ {1, . . . ,m}

A 4i v = A für A ∈ Km×n mit A(j) =

{v für j = i

A(j) sonst

A ≺i λ = A für A ∈ Km×n mit A(j) =

{A(j) · λ für j = i

A(j) sonst

Vom orientierten Volumen im Rn zur Determinanten beliebigerVektorräume

Definition. Wir nennen eine Abbildung det : Kn×n → K eine normierte alternierende Multili-nearform, wenn die folgenden Axiome für alle A ∈ Kn×n, v, w ∈ Kn, i,∈ {1, . . . , n} gelten.

ML1. det(A 4i w) = det(A) + det(A 4i (w −A(i))) (Add. in d. Zeilen)ML2. λ · det(A) = det(A ≺i λ) (Homog. in d. Zeilen)ML3. ∃i, j : i 6= j : A(i) = A(j) =⇒ det(A) = 0 (Alternierend)ML4. det(idn) = 1 (Normiertheit)

Definition (Leibniz-Formel). Die Determinante einer Matrix A ∈ Rn×n ist

det(A) =∑σ∈Sn

sign(σ) ·n∏i=1

Aiσ(i).

Proposition. Die Abbildung det : Kn×n → K, welche einer Matrix A den Wert det(A) der Leibniz-Formel zuordnet, ist eine normierte alternierende Multilinearform.

Definition. Es sei A ∈ Km×n. Dann definieren wir für alle v ∈ Km, λ ∈ K und i ∈ {1, . . . , n}

A 4 iv = A für A ∈ Km×n mit A(j) =

{v für j = i

A(j) sonst

A ≺iλ = A für A ∈ Km×n mit A(j) =

{A(j) · λ für j = i

A(j) sonst

Proposition. Seien A,B,C ∈ Kn×n. Die Abbildung det : Kn×n → K, welche einer Matrix A denWert det(A) der Leibniz-Formel zuordnet, hat die folgenden Eigenschaften.

DETa. Wenn B aus A durch Vertauschen von zwei Zeilen entsteht, gilt det(B) = −det(A).DETb. Es ist det(A) = det(A 4i (A(i) + λ ·A(j))) für i, j ∈ {1, . . . , n} mit i 6= j.DETc. Wenn A in Zeilen-Stufen-Form ist, gilt det(A) =

∏ni=1Aii.

DETd. Es gilt det(A ·B) = det(A) · det(B).DETe. Die Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn det(A) 6= 0. In diesem Fall gilt det(A) =det(A−1)−1 = 1

det(A−1).

DETf. Es gilt det(AT ) = det(A).

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Berechnung der Determinante

Die Determinante in den Spezialfällen n = 2 und n = 3

Lemma. Es sei A ∈ R2×2 mit A =(a b

c d

). Die Determinante von A lässt sich über zwei Summan-

den berechnen. Es ist det(A) = a · d− b · c.

Lemma (Sarrusregel). Es sei A ∈ R3×3 mit A =

(a α x

b β y

c γ z

). Die Determinante von A lässt sich über

sechs Summanden berechnen. Es ist det(A) = a ·β · z+α ·y · c+x · b ·γ− c ·β ·x−γ ·y ·a− z · b ·α.

Die Determinante durch Entwicklung nach Zeile und Spalte bestimmen

Definition. Sei A ∈ Rn×n und k, ` ∈ {1, . . . , n}. Die Streichungsmatrix von A in Zeile k undSpalte ` ist die Matrix A[k,`] ∈ R(n−1)×(n−1) welche der Matrix A, deren k-te Zeile und `-te Spaltegelöscht wurden, entspricht.

Lemma (Laplacesche Entwicklungssatz). Sei A ∈ Kn×n. Dann gibt es zwei Fälle.

• Es ist n = 1: Dann ist A = (A1,1) mit A1,1 ∈ K und det(A) = A1,1.• Es ist n > 1: Dann gilt für alle ` ∈ {1, . . . , n}

det(A) =

n∑i=1

(−1)i+`Ai,` · det(A[i,`]

).

Die Determinante mithilfe des Gauß’schen Eliminationsverfahrens bestimmen

Die Aussagen ML1-ML4 und DETa - DETf ermöglichen eine geschickte Berechnung der Determi-nante. Wir können die Matrix n× n mit dem Gaußverfahren (d.h. durch geeignetes Vertauschenvon Zeilen und Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen) auf ZSF bringen. Dabeiverändert sich der Betrag der Determinante nicht. Das Vorzeichen ändert sich jedes Mal, wenn wirzwei Zeilen vertauschen. Die Determinante einer Matrix in ZSF können wir mit DET6 unmittelbarausrechnen. Wenn also B die Matrix in ZSF ist, die wir mit dem Gaußschen Eliminationsverfahrenbekommen und k die Anzahl der Zeilenvertauschungen ist, die wir auf dem Weg von A zu B

durchgeführt haben, gilt det(A) = (−1)k det(B).

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Eigen- und Singulärwerte

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition. Sei A eine n× n-Matrix.

Eine reelle Zahl k heißt Eigenwert von A, wenn es einen Vektor v 6= 0 gibt, so dass A · v = k · v.

Entsprechend heißt ein Vektor v Eigenvektor von A zum Eigenwert k, falls A · v = k · v.

Ferner heißt die Menge aller Eigenvektoren von A zum Eigenwert k Eigenraum von A zumEigenwert k. Man schreibt

ERk(A) = {v ∈ Rn : A · v = k · v}.

Lemma. Es sei k ein Eigenwert einer Matrix A ∈ Rn×n. Der Eigenraum ERk(A) zum Eigenwert kist ein Unterraum des Rn.

Lemma. Sei A ∈ Rn×n und seien k1 wie k2 verschiedene Eigenwerte der Matrix A. Dann istERk1(A) ∩ ERk2(A) = {0}.

Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen

Eigenräume berechnen

Lemma. Sei A ∈ Rn×n und k ein Eigenwert der Matrix A. Dann ist der Eigenraum ERk(A) derKern der Matrix A− k · idn.

Eigenwerte berechnen

Definition. Sei A ∈ Rn×n. Die Abbildung

charA : R→ R, k 7→ det(A− k · idn)

heißt das charakteristische Polynom von A.

Lemma. Eine reelle Zahl k ist genau dann ein Eigenwert von einer n × n-Matrix A, wenncharA(k) = 0.

Lemma. Seien A,B ∈ Rn×n ähnliche Matrizen. Dann gilt charA = charB .

Korollar. Seien A,B ∈ Rn×n ähnliche Matrizen. Dann haben A und B die gleichen Eigenwerte.

Lemma. Seien A,B ∈ Rn×n ähnliche Matrizen mit dem Eigenwert k. Dann sind die EigenräumeERk(A) und ERk(B) zum Eigenwert k isomorph.

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Diagonalisierbarkeit

Lemma. SeiA ∈ Rn×n eine Matrix in Diagonalform. Dann ist der Standardeinheitsvektor e(i) ∈ Rn

ein Eigenvektor zum Eigenwert Aii.

Definition. Eine quadratische Matrix A ∈ Rn×n heißt diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zueiner Matrix B in Diagonalform ist.

Algebraische und geometrische Vielfachheiten

Definition. Sei p ∈ R[x] ein beliebiges Polynom und x1 ∈ R Nullstelle von p, also p(x1) = 0. Dannnennen wir

vp(x1) = max{` ∈ N : Es gibt ein q ∈ R[x] mit (x− x1)` · q = p}

die Vielfachheit der Nullstelle x1 in p.

Definition. Sei k ∈ R ein Eigenwert einer Matrix A ∈ Rn×n. Dann nennt man die Dimension desEigenraums ERk(A) die geometrische Vielfachheit von k. Da k ein Eigenwert ist, ist k Nullstelledes charakteristischen Polynoms charA von A. Die Vielfachheit dieser Nullstelle nennt man diealgebraische Vielfachheit von k.

Lemma. Sei k ∈ R ein Eigenwert einer Matrix A ∈ Rn×n. Dann ist die geometrische Vielfachheitvon k kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit von k.

Diagonalisierbarkeit - Symmetrische Matrizen

Satz. Zu jeder symmetrischen n× n-Matrix A existieren

• eine orthogonale n× n-Matrix U und• reelle Zahlen k1, . . . , kn (nicht notwendigerweise verschieden),

so dass UT ·A · U = diag(k1, . . . , kn), dabei sind . . .

• . . . die Zahlen k1, . . . , kn genau die Eigenwerte von A.• . . . die Spalten von U eine Orthonormalbasis, die aus Eigenvektoren von A besteht.

Lemma. Wenn A eine symmetrische Matrix ist, dann existieren eine positive natürliche Zahl n,reelle Zahlen k1, . . . , kn (nicht notwendigerweise verschieden) und ein q ∈ {−1, 1}, so dass

charA(k) = q ·n∏i=1

(k − ki).

Diagonalisierbarkeit - allgemeine Matrizen (Singulärwertzerlegung)

Satz. SeiA einem×n-Matrix. Dann existieren eine orthogonalem×m-Matrix V , eine orthogonalen× n-Matrix U und eine m× n-Matrix in Diagonalform D, so dass V T ·A · U = D.

Definition. Die Darstellung A = V ·D ·UT aus Satz 0.4.4 nennt sich die Singulärwertzerlegungvon A. Die Diagonaleinträge der Matrix D heißen entsprechend die Singulärwerte von A.

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RIEBKommunikation -

mathematische Grundlagen

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Daten verschlüsseln

Public-Key-Kryptographie

Jeder Teilnehmer des Systems besitzt . . .

• . . . einen eigenen öffentlichen Schlüssel e (zum Encodieren).• . . . einen eigenen geheimen Schlüssel d (zum Decodieren).

Die Ver- und Entschlüsselungsalgorithmen E (encode) und D (decode) müssen nun die folgendenVoraussetzungen erfüllen.

• Für c = E(a) gilt stets D(c) = a (D. h. D ist die Umkehrfunktion zu E).• Der Verschlüsselungsalgorithmus E(a) kann für eine Nachricht a mit Kenntnis von e leicht

berechnet werden.• Der Entschlüsselungsalgorithmus D(c) kann mit Kenntnis von d leicht berechnet werden.• Der Entschlüsselungsalgorithmus D(c) kann ohne Kenntnis von d nur schwer berechnet

werden.

Das RSA-Schema.

RSA-Schema

Schlüsselerzeugung.

• Wähle Primzahlen p, q und berechne N = p · q– Berechne ϕ(N) = (p− 1) · (q − 1)

– Wähle e ∈ Z∗ϕ(N)– Berechne d = e−1 ∈ Z∗ϕ(N)

• Öffentlicher Schlüssel: e,N• Geheimer Schlüssel: d

Encodierung.

• Wähle die Nachricht a ∈ {2, . . . ,N− 1}• Berechne mit dem öffentlichen Schlüssel e,N den Cyphertextc = Rest(ae,N)

Decodierung.

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• Berechne mit dem geheimen Schlüssel d und einem Teil des öffentlichen Schlüssels N ausdem Cyphertext c die Nachricht a = Rest(cd,N)

Korrektheit des RSA-Schemas

Lemma (Korrektheit des RSA-Schemas). Unter den Voraussetzungen des RSA-Schemas an e,N, d

und a lässt sich aus dem Cyphertext c = Rest(ae,N) stets wieder a mittels a = Rest(cd,N)

berechnen.

Sicherheit des RSA-Schemas

Fact 0.1. Unter der Annahme, dass das Faktorisieren großer Zahlen schwer ist, ist es schwer, dengeheimen Schlüssel d aus dem öffentlichen Schlüssel e,N zu berechnen.

Das RSA-Signaturschema

RSA-Signaturschema

Es sei (e,N) und d ein RSA-Schlüsselpaar.

Signatur erzeugen.

• Wähle eine Nachricht a ∈ {2, . . . ,N− 1}• Berechne mit dem privaten Schlüssel d,N die Signaturs = Rest(ad,N)

Signatur verifizieren.

• Berechne mit dem öffentlichen Schlüssel e aus der Signatur s die Nachricht a = Rest(se,N)

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Daten übertragen

Allgemeine Codes über allgemeinen Alphabeten

Definition. Ein Alphabet A = {a1, . . . , ak} ist eine endliche Menge von mindestens zwei unter-schiedlichen Symbolen, also ist k ≥ 2.

Ein Wort w über dem Alphabet A der Länge ` ist ein Tupel (ai1 , . . . , ai`) ∈ A` der Länge ` von

Elementen aus A.

Die Menge aller Wörter bezeichnet man mit A∗ = ∪∞`=1A` .

Definition. Ein Code C über dem Alphabet A ist eine nicht-leere Teilmenge von A∗.

Ein Codewort eines Codes C, ist ein Wort, welches in C enthalten ist.

Ein Blockcode der Länge n ist ein Code, in welchem alle Codewörter Länge n haben.

Ein binärer Code ist ein Code über dem Alphabet F2 = {0, 1}.

Dekodierung

Das MLD-Verfahren

Definition. Es sei C ein Blockcode über dem Alphabet A der Länge n und w ∈ An. Wir nennen

dC(w) = min{dist(c, w) : c ∈ C}

den Abstand von w zum Code C und

CC(w) = |C ∩ BdC(w)(w)|

die w-nahen Codewörter in C.

Definition. Es sei C ein Blockcode über dem Alphabet A der Länge n.

Es ist MLD : An → C ∪ {Fehler} eine als MLD-Verfahren bezeichnete Abbildung, welche fürein Wort w ∈ An das eindeutige w-nahe Codewort c ∈ CC(w) (also falls |CC(w)| = 1) und sonstFehler ausgibt.

Definition. Für einen Blockcode C definieren wir

d(C) = min{dist(x, y) : x, y ∈ C, x 6= y}

den kleinsten Abstand zweier Codewörter als Minimalabstand von C.

Lemma. Es sei C ein Blockcode. Es ist genau dann C∩Bd(c) = {c} für alle c ∈ C, wenn d < d(C).

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Korollar. Für einen Code C ist der Minimalabstand

d(C) = max{d ∈ N : C ∩ Bd−1(c) = {c} für alle c ∈ C}.

Definition. Ein Blockcode C heißt . . .

• . . . k-fehlererkennend mit k ∈ N, wenn für jedes Codewort c ∈ C das Ändern von bis zu kStellen in c stets kein Codewort erzeugt.• . . . k-fehlererkorrigierend mit k ∈ N, wenn für jedes Codewort c ∈ C das Ändern von bis

zu k Stellen in c stets ein Wort erzeugt, welches durch MLD wieder auf c abgebildet wird.

Lemma. Ein Blockcode C ist genau dann k-fehlererkennend, wenn für jedes Codewort c ∈ C gilt

C ∩ Bk(c) = {c}.

Lemma. Ein Blockcode C ist genau dann k-fehlerkorrigierend, wenn für jedes Codewort c ∈ C gilt

C ∩ B2k(c) = {c}.

Satz. Ein Code C mit Minimalabstand d = d(C) ist . . .

• . . . genau dann k-fehlererkennend, wenn k < d mit k ∈ N.• . . . genau dann k-fehlerkorrigierend, wenn k < d

2für k ∈ N.

Satz (Hamming-Schranke). Seien |A| = a und n ∈ N. Sei C ein k-fehlerkorrigierender Blockcodeder Länge n über A. Dann gilt

|C| ≤ an ·

(k∑i=0

(n

i

)· (a− 1)i

)−1

.

Daten aufbereiten

Definition. Wir bezeichnen eine endliche Menge von Daten als Datenmenge. Es sei D eineDatenmenge und A ein Alphabet mit k unterschiedlichen Symbolen. Wähle n ∈ N+ so, dasskn ≥ |D|.

Wir nennen eine injektive Abbildung CONVERT : D → An eine Konvertierung der Datenmenge D.Wir nennen die Bilder der Abbildung CONVERT Datenwörter der Datenmenge D unter A.

Lineare Codes

Lineare Codes sind Untervektorräume

Definition. Ein Code C über dem Alphabet Fq heißt linearer Code, wenn C ein Untervektorraumvon Fnp ist.

Einen linearen Code, der als Vektorraum die Dimension k hat, nennt man einen [n, k]-Code.

Hat ein [n, k]-Code Minimalabstand d, dann nennt man ihn einen [n, k, d]-Code.

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Lemma. Der Minimalabstand eines linearen Codes C erfüllt

d(C) = min{dist(c, 0) : c ∈ C, c 6= 0}.

Die Generatormatrix linearer Codes

Definition. Sei C ein [n, k]-Code und g1, . . . , gk ∈ C seien linear unabhängig. Dann ist die Matrix

G =

g1

.

.

.

gk

mit Zeilen G(i) = gi eine Generatormatrix von C.

Lemma. Jeder [n, k]-Code besitzt eine Generatormatrix.

Lemma. Es sei G eine Generatormatrix eines [n, k]-Codes C. Dann ist C = LBild(G).

Datenwörter auf Codewörter abbilden

Definition. Sei D eine Menge von Datenwörtern der Länge k über dem endlichen Körper Fq. Füreinen [n, k]-Code C mit n ≥ k über Fq sei G eine Generatormatrix. Wir definieren eine AbbildungKG : Fkq → Fnq , so dass ein Datenwort w ∈ D auf

KG(w) = w ·G

das w mittels G zugeordnete Codewort in C abgebildet wird.

Lemma. Sei D eine Menge von Datenwörtern der Länge k über dem endlichen Körper Fq. Füreinen [n, k]-Code C mit n ≥ k über Fq sei G eine Generatormatrix.

• Es ist Bild(KG) = C.• Die Abbildung KG ist injektiv.

Korollar. Ein [n, k]-Code über dem Fq enthält qk Codewörter.

Systematische Positionen

Definition. Ein Blockcode C über dem Fq heißt systematisch in den Stellen J = {j1, . . . , jk},wenn zu jedem Vektor x ∈ Fkp genau ein Codewort c ∈ C existiert mit x = (cj1 , . . . , cjk ).

Lemma. Für jeden [n, k]-Code über dem Fq, der systematisch in den Stellen J ⊂ {1, 2, . . . , n} ist,gilt |J | = k.

Definition. Eine Generatormatrix der Form G = (idk A) eines linearen [n, k]-Codes über einemFq nennen wir die kanonische Generatormatrix.

Definition. Sei G eine k × n-Matrix und J = {i1, i2, . . . , is} ⊂ {1, 2, . . . , n} eine Menge vonStellen. Dann ist GJ die k× s-Matrix, deren Spaltenvektoren den Spaltenvektoren von G mit Indexin J entsprechen.

Lemma. SeiG eine Generatormatrix eines [n, k]-CodesC über einem Fq und J = {i1, i2, . . . , is} ⊂

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{1, 2, . . . , n} eine Menge von Stellen. Sei w ∈ Fkq ein Datenwort mit zugeordnetem Codewortc = w ·G. Dann ist c[J] = w ·G[J].

Korollar. Sei G eine Generatormatrix zu einem [n, k]-Code. Ein Datenbit i ∈ {1, 2, . . . , k} trägtgenau dann zur Berechnung des Codenbits j ∈ {1, 2, . . . , n} bei, wenn Gij 6= 0.

Lemma. Jeder [n, k]-Code C ist genau dann in k Stellen J ⊂ {1, 2, . . . , n} systematische, wennfür alle Generatormatrizen die Spalten von GJ linear unabhängig sind.

Lemma. Jeder [n, k]-Code C ist genau dann in den ersten k Stellen systematisch, wenn er einekanonische Generatormatrix besitzt.

Korollar. Jeder [n, k]-Code C ist genau dann in den ersten k Spalten linear unabhängig, wenn ereine kanonische Generatormatrix besitzt.

Lemma. Jeder [n, k]-Code ist systematisch in k Stellen.

Prüfstellen aus Daten berechnen

Definition. Es seien n, k ∈ N so dass m = n − k ≥ 0 ist und p1, . . . , pn−k Abbildungen von Fkqnach Fq. Dann nennen wir einen Code

C ={(w, p1(w), . . . , pm(w)) : w ∈ Fkq

}einen (n, k)-Kontrollstellencode über den Abbildungen p1, . . . , pm.

Satz. Es ist ein (n, k)-Kontrollstellencode über den Abbildungen p1, . . . , pm genau dann ein [n, k]-Code, wenn die Abbildungen p1, . . . , pm lineare Abbildungen sind.

Lemma. Jeder in den ersten k Stellen systematische [n, k]-Code C ist ein (n, k)-Kontrollstellencodemit den linearen Abbildungen pn−k = Gn−k, . . . , pn = Gn für die kanonische Generatormatrix Gvon C.

Die Kontrollmatrix linearer Codes

Definition. Es sei C ein [n, k]-Code. Eine Matrix H ∈ Fn×`q ist eine Kontrollmatrix von C, fallsfür alle x ∈ Fnq gilt

x ∈ C ⇐⇒ x ·H = 0

Satz. Es sei C ein [n, k]-Code mit kanonischer Generatormatrix G = (idk A). Dann ist

H =(−A

idn−k

)eine Kontrollmatrix von C.

Lemma. Es sei C ein [n, k]-Code über dem Fq mit Generatormatrix G. Eine Matrix H ∈ Fn×`q istgenau dann eine Kontrollmatrix von C, wenn gelten

• G ·H = 0 ∈ Fk×`q

• rang(H) = n− k

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Binäre Hammingcodes

Definition. Für alle ` ∈ N≥2 setzen wir

n` = 2` − 1 und k` = 2` − 1− `.

Wir bezeichnen einen binären [n`, k`]-CodeC als binären Hammingcode, wennC 1-fehlerkorrigierendist.

Definition. Es sei G` eine binäre n` × n`-Matrix der Form

G` = (idn` , B`)

wobei B` eine n` × `-Matrix ist, deren Zeilen den gespiegelten mit führenden Nullen aufgefüllteBinärdarstellungen der Zahlen 1, 2, . . . , n` entsprechen.

Außerdem sei GH` die Matrix, welche aus G` durch das Streichen aller Spalten und Zeilen mitIndex 2m für ein m ∈ N hervorgeht.

Lemma. Für G` = (idn` , B`) gilt, dass in jeder Zeile der Matrix B` mindestens zwei Einsenenthalten sind und nicht zwei Zeilen identisch sind.

Satz. Der von der Matrix GH` erzeugte Code ist ein Hammingcode.

Hammingcodes als (n`, k`)-Kontrollstellencodes

Definition. Sei C` der durch GH` erzeugte Hammingcode. Seien

Np` = {20, 21, . . . , 2`−1} und Nd

` = {1, 2, . . . , k`} \Np`

gegeben. Wir indizieren die ersten k` Stellen eines Codeworts in C` aufsteigend mit den Zahlen inNd` und die letzten Stellen aufsteigend mit den Zahlen in Np

` . Für c ∈ C` ist also

c = (d3, d5, d6, d7, d9, . . . , dk` , p1, p2, p4, . . . , p2`−1).

Lemma. Die Prüfstelle p2i des als (n`, k`)-Kontrollstellencode aufgefassten binären Hammingcodesberechnet sich als Summe der Datenstellen, welche in der i-ten Stelle der Binärdarstellung 1 sind.

Fehlerkorrektur von Hammingcodes

Lemma. Es sei C` der von der Matrix GH` erzeugte Hammingcode. Sei c ∈ C` und w ∈ Fn`2 ein

Wort mit dist(c, w) = 1. Die Wort c und w unterscheiden sich an der Stelle, deren Binärdarstellunggleich c ·B` + c′ ·B` entspricht.

Ändert man also in einem Codewort c eines Hammingcodes ein Datenbit dk, und berechnet für die(an einer Position geänderten) Datenbits die Paritätsbits neu, so ändern sich genau die Paritätsbitsin deren Berechnung dk vorkommt. Welche Paritätsbits ändern sich? Es sind die Paritätsbits p2j ,deren Indizes zu k summieren! Ändert man z.B. Bit d5 so sind p1 und p4 für die neuen Datenanders als für die Originaldaten in c. Dies kann man Verwenden um das Orignialdatenwort aus wzu rekonstruieren.

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Hamming Codes über beliebigen Körpern

Definition. Sei k ∈ N und n = qk−1q−1

für eine Primzahlpotenz q. Ein Hammingcode ist ein[n, n− k]-Code über Fq, der 1-fehlerkorrigierend ist.

Lemma. Sei k ∈ N. Über jedem endlichen Körper Fq gibt es 1-fehlerkorrigierende lineare Codesmit Blocklänge n = qk−1

q−1und Dimension n− k.

Hamming Codes sind perfekt

Definition. Es sei A eine nicht-leere und endliche Menge und es seinen n, r ∈ N. Ein BlockcodeC ∈ An heißt k-perfekt, wenn gilt

An =⋃c∈C

Bk(c) und ∅ =⋂c∈C

Bk(c).

Satz. Es sei A endlich und nicht leer und es seinen n, k ∈ N. Für einen Code C ∈ An sind dannäquivalent

• C ist k-perfekt.• C ist k-fehlerkorrigierend und es gilt

|C| = |A|n ·

(k∑i=0

(n

i

)· (a− 1)i

)−1

.

Satz. Jeder Hammingcode ist 1-perfekt.