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Mathematik erleben in Lernumgebungen - Klasse 7/8

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Inhalt des Zusatzmaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Literatur zu den Lernumgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 Paradiddles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

kombinatorische Überlegungen, Baumdiagramme

2 Kaugummi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Flächenberechnung, Schätzen, spezifische Größen

3 Iterationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

lineare Funktionen, Berechnungsvorschriften

4 Die Mitte finden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

geometrische Konstruktionen, Schwerpunkt, Maßstab

5 Das richtige Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Volumenberechnung, Messen, Messfehler

6 Wasser marsch! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Volumenmessung, Schätzen, Größen

7 Auto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Zuordnungen, Proportionalität

8 Airplay-Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Tabellen & Diagramme, Statistik

9 Schriften und Schriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Messen, Proportionalität

10 Rabatt, Rabatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Zuordnungen, Prozentrechnung

11 Die Macht der Gewohnheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Variablen & Terme, Gleichungen, zusammengesetzte Größen

12 Feuerbachkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

geometrische Konstruktionen

13 Tour de France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Tabellen & Diagramme, Steigung, Größen

14 Holzeisenbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Kreis & Kreisteile, Winkel, Messen

15 Alles Flaschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

kombinatorische Überlegungen

16 Buchstabensalat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Prozente, Zuordnungen

17 Alte Kleider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Tabellen & Diagramme, Prozente

Kopiervorlagen zu den Lernumgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Anleitung für die GeoGebra-Datei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Inhaltsverzeichnis

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Inhalt des Zusatzmaterials

Alle 17 Lernumgebungen als Farbversion (PDF)

8 Kopiervorlagen in Farbe zu den Lernumgebungen:

1 Paradiddles

2 Kaugummi

4 Die Mitte finden

6 Wasser marsch!

9 Schriften und Schriften

13 Tour de France

15 Alles Flaschen

16 Buchstabensalat

1 Film zur Lernumgebung 6 Wasser marsch!

1 GeoGebra-Datei zur Lernumgebung 12 Feuerbachkreis

2 Excel-Dateien zu den Lernumgebungen 3 Iterationen und 5 Das richtige Maß

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Wie lernen wir Mathematik?Vor Kurzem war die Tochter von Freunden bei uns zu Besuch. Sie wollte ein wenig Mathematik üben. Am nächs-ten Mittwoch, so erzählte sie, schriebe sie eine Klassenar-beit zur Prozent- und Zinsrechnung und da wolle sie noch ein paar Aufgaben rechnen und eine kompetente Person an der Seite haben, damit man ihr sagen könne, ob sie die Aufgaben richtig oder falsch mache. Eigentlich braucht sie niemanden, der sich an ihre Seite setzt, denn ihre Noten in Mathematik sind hervorragend, sie hat alle Formeln im Kopf und kann sie auch umstellen, sodass sie jeweils aus-rechnen kann, was in der Aufgabe gesucht wurde. Die Auf-gaben im verwendeten Buch waren so gemacht, dass man immer anhand der Satzstellungen erkennen konnte, was gesucht und was gegeben ist. „‚Vorher‘ heißt Grundwert, oder?“, fragte sie dazwischen einmal.

Irgendwann im Verlaufe dieses Sonntagmorgens kam ich auf die haarsträubende Idee, zu fragen, was eigentlich Zinsen sind, immerhin betrieb sie ja nach eigenen Anga-ben „Zinsrechnung“ und insoweit war die Frage gar nicht so abwegig. Sie hatte keinen blassen Schimmer. Sie fragte mich sogar: „Muss ich das denn wissen, um es ausrechnen zu können?“ Nein, das musste sie natürlich nicht und da ich kein Mathemissionar sein will, beerdigte ich das Thema einstweilen. Dann ließ es mich aber doch nicht los und ich griff zu einem alten Mathematikbuch aus der Hauptschule, in dem es auch ein Kapitel zur Zinsrech-nung gab. Ich nannte ihr zwei Aufgaben daraus und bat sie, diese auszurechnen. Auch dieser Versuch war zum Scheitern verurteilt. „Das ist ja ganz anders formuliert als in unserem Buch. Da weiß ich gar nicht, was was ist“, entgegnete sie mir. Ich legte diesen Versuch nun endgül-tig zu den Akten und beschränkte mich darauf, mich neben sie zu setzen und alle fünf Minuten „Richtig!“ zu sagen.

Diese Episode macht ein grundsätzliches Dilemma des Mathematikunterrichts deutlich, das in der Fachdidaktik schon sehr lange diskutiert wird, an den Schulen aber leider bisher nicht immer wahrgenommen wird: Mathema-tik wird gemacht, aber oft nicht verstanden. Wer aber nicht versteht, was er tut, der kann nicht wirklich nachhaltig Mathematik lernen und – das ist der Kern der Mathematik – vielfältig in Situationen anwenden. Wenn Texte immer so gestrickt sind, dass eine Decodierung alleine aufgrund ihrer Syntax und nicht der Semantik erfolgen muss, dann bilden sie alles ab, aber keine authentischen und lebendi-gen Situationen, in denen Mathematik benötigt wird. Wenn das Üben sich auf das Anwenden bestimmter Formeln beschränkt, anstatt übend zum Verstehen zu gelangen, dann ist es kein sinnvolles Üben, weil jeder immer auf der Stufe stehen bleibt, die er schon zuvor innehatte, sein Wissen also nicht gestört wird, sodass er es schafft auf eine andere Wissensstufe zu gelangen.1 Dieser Idee tra-

1 Das Erlangen neuer Wissensstufen durch das erfolgreiche Stören alten Wissens, durch den Diskurs und die Kommunikation ist eines der The-

gen z. B. Konzepte wie das Produktive Üben 2 Rechnung, die nicht auf einer Stufe verbleiben, sondern immer wieder den Blick in die nächste Stufe sowohl der mathematischen als auch der allgemeinen Kompetenzen wagen.

Gute Aufgaben müssen dem Lernbedürfnis des verste-henden Mathematiklernens Rechnung tragen. Verschie-dene Bedingungen sind an gute Aufgaben zu stellen, damit sie wirkliches Lernen ermöglichen. Sie müssen dazu anregen, Mathematik zu entdecken und zu erleben. Sie müssen die allgemeinen mathematischen Kompeten-zen im Blick haben und sie sollten in ihrer Art authentisch sein, d. h. nichts anderes vorgeben, als sie zu leisten in der Lage sind. Sie müssen vor allem dazu einladen, Mathematik zu betreiben, ohne nur belehrend zu wirken, so wie eine Einladung immer auch einen Zugang ermög-licht. Neben diesen Bedingungen erscheint es sinnvoll, Aufgaben in übergeordnete Kontexte – gleich ob mathe-matischer Art oder aus der Umwelt ergründet – einzubet-ten. Diese Einbettung in Kontexte und somit auch in kon-krete Situationen ermöglicht den Schülern, Mathematik im Zusammenhang zu erkennen, vernetzend zu betreiben und situiert als sinnvolle Tätigkeit zu erfahren. Das ist eine Grundvoraussetzung des Lernens im konstruktivistischen Kontext.

Mathematiklernen funktioniert dann, wenn man an funda-mentalen „roten“ Linien der Mathematik entlangarbeitet und immer wieder kumulativ neue Kenntnisse erwirbt, die mit altem, bereits erworbenen Wissen kompatibel sind, quasi mit diesem verknüpft werden können. Mathematik wird nicht in einzelnen Kapiteln gelernt, bei denen man scheinbar so tut, als hätten sie nichts miteinander zu tun, sondern in vernetzten Welten, in denen die Mathematik als Möglichkeit zum Lösen von Problemen wahrgenom-men wird. Also muss Mathematik nicht abbilddidaktisch erworben werden als ein Spiegelbild der universitären Mathematik, sondern in einem Erlebnis eingebettet sein, ebenso wie eine Sprache am besten gelernt wird, wenn man sie spricht, hört, schreibt und liest.

men, dass man bei Vygotsky (in anderer Schreibung auch Vygotskij oder Wygotski) findet. Der russische Psychologe (1896–1934) postulier-te das Konzept der Zone der nächsten Entwicklung. Vygotsky unter-schied zwischen zwei Entwicklungsniveaus: zum einen das Niveau der aktuellen Entwicklung des Kindes – bestimmt als das, was das Kind al-lein leisten kann – und zum anderen das Niveau, das es in Zusammen-arbeit mit einem Erwachsenen oder einem anderen Kind erreicht. Mit Zone der nächsten Entwicklung bezeichnete Vygotsky den Abstand zwi-schen diesen beiden Entwicklungsniveaus (alleine vs. in Zusammen-arbeit, vgl. Wikipedia-Artikel zum Stichwort Wygotski, zuletzt abgerufen am 22.09.2014; Lizenz CC BY-SA).Unterricht hat sich nach Vygotsky an der Zone der nächsten Entwicklung und nicht nur am aktuellen Entwick-lungsniveau des Kindes zu orientieren.

2 Geprägt wurde dieser Begriff vor allem durch Heinrich Winter (Winter, H. (1984). Begriff und Bedeutung des Übens. Mathematik Lehren, 2, 4–11.). Im Primarbereich sind vor allem die Bücher von Müller und Wittmann bekannt (Wittmann, E. Ch. & Müller G. N. (1990/1992). Handbuch pro-duktiver Rechenübungen (Vols. 1–2). Stuttgart: Klett.).

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Lernumgebungen – Was ist das?Der Begriff der Lernumgebungen ist keine neue Erfin-dung. Bereits John Dewey3 spricht von sogenannten „Learning environments“ und meint damit Situationen und Möglichkeiten, in denen Wissen und Theorien angewandt werden können. Theorien und Wissen sind nach Dewey nichts anderes als Werkzeuge. „Wie im Falle aller Werk-zeuge liegt ihr Wert nicht in ihnen selbst, sondern in ihrer Fähigkeit zu arbeiten, die sich in den Konsequenzen ihres Gebrauchs zeigt.“4 So sollen Lernumgebungen dazu bei-tragen, diese Konsequenzen zu erkennen, einzuordnen und zu bewerten. Dazu benötigen die Schüler vielfältige und vernetzende Zugänge, die das Werkzeug Mathematik als sinnvoll erscheinen lassen und die es möglich machen, Mathematik zu betreiben.

Lernumgebungen sollen vier grundlegende Vorausset-zungen erfüllen:

Sie sollten miteinander verbundene Aufgaben beinhalten. Diese Verbindung kann entweder über einen innermathe-matischen Zusammenhang geschehen oder über einen Umweltkontext, der sich idealerweise auch in die (Er-)Lebenswelt der Kinder erstreckt.

Lernumgebungen sollten außerdem dem Prinzip der natürlichen Differenzierung folgen. Das bedeutet, dass in jeder Lernumgebung Aufgaben unterschiedlicher Kom-plexitätsgrade zu finden sein müssen, die von unter-schiedlichen Schülern in unterschiedlicher Zeit bearbeitet werden können. Idealerweise betrachten die Aufgaben ein Thema oder einen Themenkomplex unter verschiede-nen Gesichtspunkten und regen dazu an, in diesem Thema noch weitere Varianten zu suchen.

Lernumgebungen haben kein genau festgelegtes Ende, keine gemeinsame, sondern nur eine individuelle Ergeb-nissicherung – auch mithilfe der Lösungen auf den Kom-mentarseiten – und keinen gemeinsamen Abschluss. Sie regen an, weiterzuarbeiten, können aber auch jederzeit beendet werden und sind nicht notwendigerweise kom-plett zu bearbeiten. Das widerspräche auch der natürli-chen Differenzierung.

Lernumgebungen sind situiert. Sie nutzen Mathematik, um Situationen zu erklären und zu klären, sie lassen Mathematik entdecken und spannen einen vernetzenden Bogen nicht nur in andere mathematische Teilgebiete, sondern auch in andere Wissensgebiete, um deutlich zu machen, dass Wissen nicht in isolierten Welten stattfin-det, sondern immer mit etwas anderem verbunden ist.Naturgemäß enthalten sie viele Aufgaben, in denen der

3 Dewey, J. (1976–1983). The Middle Works, 1899–1924 (Vols. 1–15). Carbondale/Edwardsville: Southern Illinois University Press. Dewey, J. (1981–1990). The Later Works, 1925–1953 (17 Vol.). Carbondale/Ed-wardsville: Southern Illinois University Press.

4 Dewey, J. (1989). Die Erneuerung der Philosophie. Hamburg: Junius, 190.

Schüler erklären, erläutern, begründen oder zusammen-führen muss. Denn dies sind Aufgaben, in denen die Netze zu anderen Themen- und Wissensgebieten geknüpft werden.

Aufgaben in Lernumgebungen regen dazu an, Mathema-tik (neu) zu entdecken und laden dazu ein, Mathematik zu betreiben, manchmal ohne es selbst zu merken. Die Her-ausbildung allgemeiner mathematischer Kompetenzen wie Kommunizieren, Argumentieren, Problemlösen oder auch Modellieren – so wie in den Lehr- und Bildungsplä-nen gefordert – ist ein zentrales Anliegen von Lernumge-bungen. So finden sich viele Aufgaben zum Begründen, Erklären, Erläutern und zum einfachen Textverstehen in ihnen. Auch Aufgaben, die zunächst schwierig erschei-nen, weil man kein Lösungskonzept zur Hand hat, sind in Lernumgebungen häufig anzutreffen. Sie regen dazu an, Möglichkeiten auszuprobieren und auszuloten und immer wieder auf verschiedenen Wegen zu versuchen, eine Lösung oder auch viele Lösungen zu einem Problem zu finden.

Etablierung im deutschsprachigen MathematikunterrichtBereits seit einigen Jahren setzen Schulbücher teilweise auf vernetzende Aufgaben. In einigen Büchern ist mittler-weile auch eine Abkehr von der thematisch geordneten Struktur zu erkennen. Diese Fokussierung auf eine strenge Abfolge von Themen führte in der Vergangenheit oft dazu, dass Themen aufgegriffen, nach der dazugehö-renden Klassenarbeit aber auch sogleich wieder verges-sen wurden. Die didaktische Entwicklung von Schulbü-chern hin zu einem vernetzenden Ansatz hat einen deut-lichen Schub durch das in der Schweiz erschienene mathbu.ch für die Klassenstufen 7, 8 und 9 erfahren, das an das Grundschulwerk Zahlenbuch anknüpft und die Idee der Lernumgebung in konsequenter Weise in einem Schulbuch umsetzt. Der anfänglichen Skepsis ist mittler-weile Begeisterung in der didaktischen Welt gefolgt, aller-dings gepaart mit einem immensen Druck auf die Struktu-rierung des Unterrichts hin, der bei der Beschäftigung mit Lernumgebungen anders aussehen muss als im klassi-schen Fall. Der Klett-Verlag hat nun auch für den deut-schen Markt ein Schulbuch mit Lernumgebungen ver-öffentlicht, das sich eng an dem Schweizer Vorbild mathbu.ch orientiert und als Das Mathematikbuch für Gymnasien erschienen ist. Kumulativer Erwerb von Wis-sen und Können zeichnet diese Bücher aus, die didaktisch fundiert versuchen, situierte Lernumgebungen zu gestal-ten und mit produktiven Übungsaufgaben zu verknüpfen.

Mit unseren Kopiervorlagen wollen wir nun einen weiteren Beitrag zur Etablierung von Lernumgebungen leisten. Anders als in einem Schulbuch geben wir keine gewünschte Reihenfolge vor, sondern überlassen es der Lehrkraft, an welcher Stelle sie welche Lernumgebung

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einsetzen möchte. Dennoch sollte man sich darüber im Klaren sein, dass ein vordergründiges Abhaken von The-men mit den Lernumgebungen nicht möglich ist.

Sinnvoller Einsatz – didaktischer und methodischer RahmenMit Lernumgebungen zu arbeiten bedeutet, den Kindern zu vertrauen. Vertrauen, dass jeder ein wenig Mathematik mitnimmt; vertrauen, dass es nicht tragisch ist, wenn jeder am Ende einer Stunde an einer anderen Stelle angekom-men ist; vertrauen, dass es nicht ein Ergebnis gibt, das es herauszufinden gilt, sondern vielleicht 25 verschiedene Ergebnisse.

Lernumgebungen erfordern auf der anderen Seite aber auch den vollen Einsatz der Lehrkraft, denn jeder Schüler oder jede Gruppe ist an einer anderen Stelle, auf einem anderen Weg und bei einem anderen Problem. Das bedeutet, sowohl beratend als auch diagnostisch tätig zu sein und dies alles auf einer sehr individuellen Ebene, die versucht, jedem Schüler beim Betreiben von Mathematik gerecht zu werden. Das muss nicht immer funktionieren, darauf müssen Sie vorbereitet sein. Eine wichtige Voraus-setzung ist aber in jedem Fall, dass das Unterrichtsarran-gement so gestaltet ist, dass den Schülern ein möglichst guter Rahmen zur selbstständigen Tätigkeit geboten wird.

Lernumgebungen sind normalerweise für eine Doppel-stunde konzipiert und können gut in einen kooperativen methodischen Rahmen eingebunden werden. Eine Anrei-cherung mit zusätzlichem Material kann in einigen Fällen sinnvoll sein und die Kopiervorlagen gut ergänzen. Es ist nicht immer notwendig, eine Lernumgebung passend zu einer gerade behandelten Thematik einzusetzen. Viel-mehr ist es auch möglich, die Lernumgebungen als ver-netzendes, wiederholendes Element zu verwenden, um die Sinnhaftigkeit von Mathematik an vielen Stellen zu verdeutlichen. Gleichzeitig greift man damit auf mathema-tische Themengebiete zurück, die bereits behandelt wur-den, und aktiviert so vorhandenes Wissen bei den Schü-lern.

Im Sinne einer optimalen Nutzung der natürlichen Diffe-renzierung, die in den Aufgaben steckt, sollte man nicht alle Lernenden alle Aufgaben bearbeiten lassen, sondern nach der einführenden Aufgabe die Schüler – eventuell nach einer Beratung durch die Lehrperson – über ihr wei-teres Vorgehen entscheiden lassen. Natürlich ist auch die Einbindung von Lernumgebungen in Wochenpläne oder Freiarbeit möglich und sinnvoll.

Problemlos kann man auch einzelne Aufgaben aus einer Lernumgebung herauslösen und diese einzeln bearbeiten lassen. Viele der Aufgaben beinhalten in sich auch eine natürliche Differenzierung und damit eine steigende Pro-gression hinsichtlich der kognitiven Tätigkeit.

In der Praxis bereits bewährt haben sich die Lernumge-bungen als Aufgaben für ein regelmäßig geführtes Lern-tagebuch oder auch als Langzeitaufgabe, bei der dem Schüler immer wieder eine dezidierte Rückmeldung zu seinen individuellen Fortschritten gegeben wird. Gerade hierbei kommt das Prinzip der natürlichen Differenzierung zu seiner vollen Entfaltung. So eingesetzt kann der ver-netzende Charakter wiederum wertvolle Beiträge zum Wiederholen und Üben leisten.

Eine reflektierende und individuelle Unterstützung ist bei Lernumgebungen besonders ertragreich und unterstützt den Lernprozess deutlich. Diese müssen nicht unbedingt umfangreich, sondern sollten eher pointiert sein und den Lernprozess des einzelnen Schülers kurz in den Blick nehmen.

Aufbau des BuchesJeder Lernumgebung ist ein ausführlicher Kommentar zugeordnet, der nicht nur eine Einordnung in allgemeine di daktische Prinzipien, in grundlegende Zielsetzungen von Mathematikunterricht, Kategorisierungen der Aufga-ben nach Leitideen und Kompetenzbereichen sowie Anforderungsniveaus enthält, sondern natürlich auch die Lösungen zu den Aufgaben. Darüber hinaus finden Sie in vielen Fällen zusätzliche Internetlinks oder Literaturtipps, die ein weiteres Einlesen in das Thema ermöglichen oder eventuell an der einen oder anderen Stelle aktuellere Informationen liefern. Am Ende des Buches befinden sich Kopiervorlagen, die für einige der Lernumgebungen benö-tigt werden. Im beiliegenden Zusatzmaterial sind überdies noch Excel- und GeoGebra-Dateien, die sie zu einigen Lernumgebungen im Unterricht zusätzlich einsetzen kön-nen. Außerdem enthält das Zusatzmaterial alle Lernum-gebungen in einer Farbversion, sodass Sie diese auch farbig ausdrucken und in Ihrer Klasse einsetzen können.

Wir haben versucht, zu jeder Lernumgebung die mathe-matischen Themen in Stichworten festzuhalten, die in der Lernumgebung schwerpunktmäßig vertreten sind. Es wäre gegen die Natur einer Lernumgebung, wenn diese Aufzählung als vollständig bezeichnet würde. Dennoch gibt sie einen guten Überblick und erleichtert die Auswahl zu bestimmten Zeitpunkten im Schuljahr.

Der nun vorliegende Band für die Klassenstufen 7 und 8 greift erneut eine Reihe von Umweltsituationen und mathematischen Situationen auf, um sie in Lernumgebun-gen zu entdecken, zu bearbeiten und zu diskutieren. Basierend auf den Lehrplänen für diese Klassenstufen liegen die mathematischen Schwerpunkte in der Prozent-rechnung, der Betrachtung von Zuordnungen, aber auch in der Weiterentwicklung geometrischer Fähigkeiten und Fertigkeiten. Gemäß dem Anspruch einer kumulativen Weiterentwicklung der Kompetenzen werden vor allem im kommunikativen und im argumentativen Bereich komple-

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xere Aufgaben gestellt, die der altersgemäßen Entwick-lung angepasst sind. Die Modellierung als eigenständige Tätigkeit rückt mehr in den Vordergrund und auch die Nutzung des Taschenrechners ist bei vielen Lernumge-bungen für diese Klassenstufen obligatorisch, damit die Schwerpunkte sich nicht hin zu reiner Rechenfertigkeit verschieben. Entsprechende Hinweise finden Sie in den didaktischen Kommentaren. Dank der nun vorhandenen mathematischen Kenntnisse sind Schüler jetzt in der Lage, einzelne Situationen besser beurteilen zu können als in den Klassenstufen 5 und 6. Die verstärkte Teilhabe dieser Altersgruppe an gesellschaftlichen Prozessen for-dert diese vernetzende Kompetenz ein und so tragen The-men wie „Rabattkarten“, „Verkehrskosten“ oder „Altklei-dersammlungen“ auch zu einer Allgemeinbildung im bes-

ten Sinne bei. Wir hoffen, eine spannende und anspruchs-volle Zusammenstellung interessanter Themen für Ihren Unterricht vorbereitet zu haben, die es Ihnen ermöglicht, motivierend, differenziert und kooperativ Mathematik zu unterrichten.

Wir wünschen Ihnen und insbesondere Ihren Schülern viel Spaß mit den Lernumgebungen und einen ertrag-reichen Mathematikunterricht. Wir freuen uns über An-regungen und Fragen zu unseren Ideen, die Sie gern an uns senden dürfen (matthiasroemer@gmx.de oder karlcharon@gmx.de).

Karl Charon Matthias Römer

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Literatur zu den Lernumgebungen

Vorbemerkung: Diese Literaturliste erhebt in keinem Fall einen Anspruch auf eine Vollständigkeit hinsichtlich einer der in diesem Band vorgestellten didaktischen Ideen. Vielmehr soll sie einen Überblick über Bücher und Aufsätze geben, die man sich anschauen kann, wenn man etwas mehr über Lernumgebungen und deren grundlegende Idee erfahren möchte.

Affolter, W. et al. (2013). mathbuch 1. Mathematik für die Sekundarstufe I. Zug (CH): Klett und Balmer.

Affolter, W. et al. (2014). mathbuch 2. Mathematik für die Sekundarstufe I. Zug (CH): Klett und Balmer.

Affolter, W. et al. (2015). mathbuch 3. Mathematik für die Sekundarstufe I. Zug (CH): Klett und Balmer.

Affolter, W. et al. (2008). Das Mathematikbuch 5. Lernumgebungen. Stuttgart: Klett.

Affolter, W. et al. (2009). Das Mathematikbuch 6. Lernumgebungen. Stuttgart: Klett.

Affolter, W. et al. (2010). Das Mathematikbuch 7. Lernumgebungen. Stuttgart: Klett.

Affolter, W. et al. (2010). Das Mathematikbuch 8. Lernumgebungen. Stuttgart: Klett.

Affolter, W. et al. (2011). Das Mathematikbuch 9. Lernumgebungen. Stuttgart: Klett.

Arnold, R. (2007). Ich lerne, also bin ich. Eine systemisch-konstruktivistische Didaktik. Heidelberg: Carl-Auer.

Bohnsack, F. (2005). John Dewey – Ein pädagogisches Portrait. Weinheim: Beltz.

Dumont, H., Istance, D. & Benavides, F. (Hrsg.) (2015). The Nature of Learning – Die Natur des Lernens. Wein-heim: Beltz.

Gerstenmaier, J., Mandl, H. (1995). Wissenserwerb unter konstruktivistischer Perspektive. Zeitschrift für Pädagogik, 6, 867–888.

Hirt, U., Wälti, B. (2014). Lernumgebungen im Mathematikunterricht (4. Aufl.). Seelze: Kallmeyer.

Müller, G. N., Steinbring, H., Wittmann, E. Ch. (Hrsg.) (2004). Arithmetik als Prozess. Seelze: Kallmeyer.

Reich, K. (2006). Konstruktivistische Didaktik. Weinheim: Beltz.

Römer, M. & Charon, K. (2015): Mathematik erleben in Lernumgebungen – Klasse 5–6. Hamburg: AOL-Verlag.

Siebert, H. (2005). Pädagogischer Konstruktivismus. Weinheim: Beltz.

Voß, R. (2005) (Hrsg.). Unterricht aus konstruktivistischer Sicht. Weinheim: Beltz.

Winter, H. W. (2016). Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht (3. akt. Aufl.). Wiesbaden: Springer Spektrum.

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Rudiments werden von Schlagzeugern wie eine Art Alphabet geübt. Es gibt 40 Rudiments, die man als die Bausteine aller Trom-melrhythmen betrachten kann. Ihr Ursprung liegt wohl in den Rhythmen, die Marschtrommler in Armee-verbänden spielten, um den Gleichschritt zu garantieren und um Signale zu geben.

1  Paradiddles

1 Um ihre Schlagtechnik zu trainieren, üben Schlagzeuger sogenannte Rudiments. Dies sind kurze Abfolgen von Schlägen mit festgelegter Reihenfolge, wann links oder wann rechts geschlagen wird.

a) Beim sogenannten Single-Stroke-Roll wird einfach abwechselnd mit der rechten und der linken Hand geschlagen. Versuche das, indem du auf deinen Oberschenkeln trommelst. Starte auch einmal mit der linken Hand. Ändert sich dabei etwas?

b) Beim Double-Stroke-Roll wird abwechselnd immer zweimal mit der gleichen Hand geschlagen (R-R-L-L- usw.). Kannst du diese Figur genauso schnell schlagen wie den Single-Stroke-Roll?

c) Bei der Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, den Handsatz für vier Schläge zu gestalten, kann ein Baumdiagramm nach folgendem Schema helfen:

Zeichne dir ein vollständiges Baumdiagramm für die vier Schläge. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

d) Markiere in deinem Baumdiagramm einen Pfad für einen Single-Stroke-Roll in einer Farbe. Markiere auch einen Double-Stroke-Roll.

e) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die vier Schläge, bei denen nur einmal (zweimal, dreimal) mit rechts geschlagen wird?

Hier siehst du, wie man mit Noten eine solche Übung notieren kann. Darunter steht der Handsatz, also die Angabe, welcher Schlag mit welcher Hand ausgeführt wird.

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a) In welchem Zusammenhang stehen die beiden Viererpäckchen? Markiere jeweils die Pfade der beiden im Baumdiagramm. Was fällt dir auf?

b) Viererpäckchen, die sich so wie beim Single-Paradiddle zueinander verhalten, kann man invers zueinander nennen. Erfinde selbst Figuren, die aus zwei zueinander inversen Päckchen bestehen. Kann man sie gut spielen?

c) Wie viele unterschiedliche Schlagfolgen findet man, die, dem Single-Paradiddle entsprechend, aus zwei zueinander inversen Päckchen aufgebaut sind? Wie viele Schlagfolgen findet man allgemein für zwei (drei, vier) Sechzehntelpäckchen?

3 Wichtig für Schlagzeuger ist ein gutes Timing. Das bedeutet unter ande-rem, dass sie in der Lage sein müssen, das Tempo zu halten. Deshalb üben Schlagzeuger Rudiments mit einem Metronom. 2013 schaffte der 23-jährige Kanadier Tom Grosset 1 200 Schläge in einer Minute, indem er einen Single-Stroke-Roll spielte.

2 Der sogenannte Single-Paradiddle ist ein Rudiment, mit dem man die Koordination zwischen rechter und linker Hand gut trainieren kann.

a) Bei einem Metronom stellt man ein, wie viele Viertelnoten man in einer Minute spielen kann. Wie viele Takte hat Tom Grosset bei seinem Weltrekord gespielt?

b) Welches Tempo müsste man am Metronom einstellen, wenn man die 1 200 Schläge von Tom Grosset als Sechzehntelnoten interpretiert?

c) Betrachtet man Videos von Grosset, so sieht man, dass die Stockspitze sich pro Schlag nur etwa 5 bis 10 cm von der Schlagfläche nach oben bewegt. Überschlage die Geschwindigkeit, mit der sich die Stockspitzen bewegen.

Musiker verwenden ein Metronom, um nach einem gleichmäßigen Tempo spie-len zu können. Oft funktio-niert ein Metronom mit einem Pendel. Klassisch werden auf einem Metronom Tempoangaben wie Largo für langsame Tempi oder Presto für schnelle Tempi angegeben. Diese stammen aus dem Italienischen. Mit einem Metronom stellt man ein, wie viele Grundschläge eines Taktes (im Vierviertel-takt, wären das die Viertel) man pro Minute spielen möchte.DJs sprechen daher von bpm (engl. beats per minute).

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Mathematik erleben in Lernumgebungen - Klasse 7/8

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