Upload
casper-b-hansen
View
11.658
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Mathematics B curricula disposition
Citation preview
“Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas”A. Einstein
Indholdsfortegnelse1 Polynomier........................................................................................................................................ 6
1.1 Beskrivelse.................................................................................................................................61.1.1 Konstanterne...................................................................................................................... 61.1.2 Diskriminanten...................................................................................................................6
1.2 Udledning af løsningsformlen................................................................................................... 71.3 Faktorisering.............................................................................................................................. 8
1.3.1 Formel beviset....................................................................................................................81.4 Eksempler.................................................................................................................................. 9
1.4.1 Med Løsningsformel.......................................................................................................... 91.4.2 Uden Løsningsformel.........................................................................................................9
2 Polynomier...................................................................................................................................... 102.1 Beskrivelse...............................................................................................................................10
2.1.1 Konstanterne.................................................................................................................... 102.2 Grafen...................................................................................................................................... 102.3 Toppunkt.................................................................................................................................. 11
2.3.1 Udledning af formlen....................................................................................................... 112.4 Rødder / Nulpunkter................................................................................................................ 12
2.4.1 For andengradspolynomier.............................................................................................. 122.4.2 For tredjegradspolynomier............................................................................................... 122.4.3 At gøre prøve....................................................................................................................12
2.5 Faktorisering............................................................................................................................ 132.6 Polynomier af højere grad........................................................................................................13
2.6.1 Alm. forskrift....................................................................................................................132.6.2 Faktoriseret forskrift........................................................................................................ 13
3 Lineære Funktioner......................................................................................................................... 143.1 Beskrivelse...............................................................................................................................14
3.1.1 Konstanternes betydning..................................................................................................143.1.2 Bestemmelse af a............................................................................................................. 143.1.3 Bestemmelse af b............................................................................................................. 14
3.2 Grafen...................................................................................................................................... 143.4 Regression................................................................................................................................153.5 Tangent.....................................................................................................................................15
3.5.1 Udledning af tangentens ligning...................................................................................... 154 Eksponentielle Funktioner...............................................................................................................16
4.1 Beskrivelse...............................................................................................................................164.2 Konstanterne............................................................................................................................ 16
4.2.1 Betydning......................................................................................................................... 164.2.2 Bestemmelse.................................................................................................................... 16
4.3 Grafen...................................................................................................................................... 174.3.1 Alm. kartesiske koordinatsystem..................................................................................... 174.3.2 Enkelt-logaritmisk koordinatsystem................................................................................ 17
4.4 Regression................................................................................................................................184.5 Udledningen af grundtallet...................................................................................................... 184.6 Differentialkvotienten for f(x) = a^x....................................................................................... 19
4.6.1 Udledningen af differential kvotienten for a^x................................................................ 194.6.2 Udledningen af differential kvotienten for e^(kx)........................................................... 194.6.3 Sammenhængen mellem k og ln(a)..................................................................................19
5 Eksponentiel vækst..........................................................................................................................205.1 Beskrivelse...............................................................................................................................20
5.1.1 Konstanternes betydningen.............................................................................................. 205.2 Fremskrivningsfaktoren........................................................................................................... 205.3 Procentvis stigning...................................................................................................................21
5.3.1 Fordoblings- og halveringskonstant.................................................................................215.4 Udledning af renteformlen.......................................................................................................215.5 Eksempler................................................................................................................................ 215.6 Differentiation..........................................................................................................................22
5.6.1 Regneregler...................................................................................................................... 226 Potensfunktioner..............................................................................................................................24
6.1 Beskrivelse...............................................................................................................................246.1.1 Konstanternes betydning..................................................................................................246.1.2 Bestemmelse af a 6.1.3 Bestemmelse af b..................................................................... 24
6.2 Grafen...................................................................................................................................... 256.2.1 Alm. kartesiske koordinatsystem..................................................................................... 256.2.2 Enkelt-logaritmisk koordinatsystem................................................................................ 256.2.3 Dobbelt-logaritmisk koordinatsystem..............................................................................25
6.3 Udledningen af a......................................................................................................................266.4 Regression................................................................................................................................266.5 Differentiation..........................................................................................................................26
6.5.1 Regneregler...................................................................................................................... 267 Differentialregning.......................................................................................................................... 28
7.1 Beskrivelse...............................................................................................................................287.1.1 Begrebet differenskvotient............................................................................................... 287.1.2 Begrebet differentialkvotient........................................................................................... 287.1.3 Begrebet differentiabel funktion...................................................................................... 28
7.2 Udledningen af differentialkvotient for ƒ(x)=x^2................................................................... 297.3 Betydning og anvendelsen af ƒ'............................................................................................... 29
7.3.1 Betydning......................................................................................................................... 297.3.2 Anvendelse....................................................................................................................... 29
8 Differentialregning.......................................................................................................................... 308.1 Beskrivelse...............................................................................................................................30
8.1.1 Begrebet differentiabel funktion...................................................................................... 308.1.2 Betydningen af differentialkvotient................................................................................. 30
8.2 Differentiation af en sum......................................................................................................... 308.3 Differentiationsregneregler...................................................................................................... 31
8.3.1 Regler i hht. omformulering.............................................................................................318.3.2 Regler i hht. konkrete tilfælde..........................................................................................31
9 Differentialregning.......................................................................................................................... 329.1 Beskrivelse...............................................................................................................................32
9.1.1 Monotoniforhold.............................................................................................................. 329.2 Tre-trinsreglen..........................................................................................................................32
9.2.1 Første trin – Opstilning af ∆ƒ...........................................................................................329.2.2 Andet trin – Differenskvotient / Sekantens hældning...................................................... 329.2.3 Tredje trin – Differentialkvotient / Grænseværdien......................................................... 32
9.3 Optimering............................................................................................................................... 3310 Integralregning.............................................................................................................................. 34
10.1 Beskrivelse.............................................................................................................................3410.1.1 Begrebet stamfunktion................................................................................................... 3410.1.2 Regneregler for konkrete tilfælde.................................................................................. 3410.1.3 Regneregler for omformulering..................................................................................... 34
10.2 Ubestemte integraler.............................................................................................................. 3510.3 Sammenhængen med areal.................................................................................................... 35
10.3.1 Eksempel........................................................................................................................ 3510.3.2 Eksempel: Areal mellem to kurver.................................................................................35
11 Integralregning...............................................................................................................................3611.1 Beskrivelse.............................................................................................................................36
11.1.1 Begrebet stamfunktion................................................................................................... 3611.1.2 Regneregler for konkrete tilfælde.................................................................................. 3611.1.3 Regneregler for omformulering..................................................................................... 36
11.2 Bestemte integraler................................................................................................................ 3711.3 Sammenhængen med areal.................................................................................................... 37
11.3.1 Eksempel: Areal under kurven....................................................................................... 3711.3.2 Eksempel: Areal mellem to kurver.................................................................................37
12 Trigonometri.................................................................................................................................. 3812.1 Beskrivelse.............................................................................................................................38
12.1.1 Retvinklede trekanter..................................................................................................... 3812.2 Udledning af formler............................................................................................................. 38
12.2.1 Vinkelsum...................................................................................................................... 3812.2.2 Sinus og cosinus.............................................................................................................3812.2.3 Tangens...........................................................................................................................38
12.3 Pythagoras' læresætning.........................................................................................................3913 Trigonometri.................................................................................................................................. 40
13.1 Beskrivelse.............................................................................................................................4013.1.1 Definition....................................................................................................................... 4013.1.2 Sinusrelationerne............................................................................................................4013.1.3 Cosinusrelationerne........................................................................................................40
13.2 Udledning af sinusrelationerne.............................................................................................. 4113.2.1 For trekant med højden indeni....................................................................................... 4113.2.2 For trekant med højden udenfor.....................................................................................41
13.3 Udledning af cosinusrelationerne.......................................................................................... 4213.3.1 For trekant med højden indeni....................................................................................... 4213.3.2 For trekant med højden udenfor.....................................................................................42
14 Statistik.......................................................................................................................................... 4414.1 Beskrivelse.............................................................................................................................44
14.1.1 Deskriptiv statistik......................................................................................................... 4414.1.2 Anvendelsesområder...................................................................................................... 44
14.2 Fordelinger.............................................................................................................................4414.2.1 Normalfordeling.............................................................................................................4414.2.2 Binomialfordeling.......................................................................................................... 44
14.3 Grafiske fremstillinger...........................................................................................................4514.3.1 Histogram.......................................................................................................................4514.3.2 Kumulerede frekvenser.................................................................................................. 4514.3.3 Sum-kurve......................................................................................................................4514.3.4 Boksplot......................................................................................................................... 45
Page 4 of 47
14.4 Deskriptorer........................................................................................................................... 4614.4.1 Hyppighed......................................................................................................................4614.4.2 Frekvens......................................................................................................................... 4614.4.3 Middeltal........................................................................................................................ 4614.4.4 Varians............................................................................................................................4614.4.5 Spredning....................................................................................................................... 4614.4.6 Kvartil-sæt – Nedre kvartil............................................................................................ 4714.4.7 Kvartil-sæt – Median kvartil.......................................................................................... 4714.4.8 Kvartil-sæt – Øvre kvartil.............................................................................................. 47
Page 5 of 47
1 Polynomier
Beskriv (udled gerne) løsningsformlen (nulpunktsformlen) for en vilkårlig
andengradsligning og gør rede for antallet af løsninger.
Giv eksempler på andengradsligninger der kan løses uden brug af den generelle
løsningsformel.
Diskuter faktorisering og vis hvordan visse andengradspolynomier kan faktoriseres.
1.1 Beskrivelse
Forskriften for en vilkårlig andengradsligning ser således ud ax2+bx+c
1.1.1 Konstanterne
a – Determinere om hvorvidt parablen er sur eller glad. Hvis a<0 vil parablen være
sur, og hvis a>0 vil parablen være glad.
b→ f ' (0) – Skæringspunktet med y-aksen for f ' ( x) , da (ax2+bx+c)'=2ax+b og
2a ·0=0 , således står kun b tilbage – med andre ord, hældningskoefficienten for
tangenten i punktet 0. Hvis b=0 , så ligger toppunktet på y-aksen.
c→ f (0) – Skæringspunktet med y-aksen for f (x ) , da a·02+b ·0=0 , således står kun
c tilbage.
Hvis både a og b har samme fortegn, ligger toppunktet til venstre for y-aksen, ligeledes hvis de
har forskellige, vil toppunktet ligge højre for y-aksen.
1.1.2 Diskriminanten
Diskriminanten b2−4ac fortæller os om polynomiet har rødder (eller nulpunkter), og i så fald,
hvor mange rødder der måtte være – eller antallet af løsninger.
d<0 → Ingen reelle løsninger, kun komplekse.
d=0 → Én løsning (dobbelt-rod), i dette tilfælde vil grafen tangere på x-aksen, hvilket betyder at roden er faktisk også et lokalt extremum.
d>0 → 2 løsninger.
Page 6 of 47
1.2 Udledning af løsningsformlen
Når vi gerne vil udlede løsnings-/nulpunkts-formlen, starter vi med at sætte udtrykket
(andengradslignings forskrift) lig med nul, da vi jo leder efter, hvor dette udtryk måtte være nul.
ax2+bx+c=0
Vi vil nu gerne isolere x;
x2+bax+ c
a=0 Dividere med a på alle led.
x2+bax=− c
aFlytter led der ikke indeholder x over på anden side af lighedstegnet.
Nu omformulere vi udtrykket på venstre side til kvadrattet på to-ledet
størrelse, da dette vil yderligere give os noget vi kan få væk fra
venstresiden.
Rykker ledet der ikke indeholder x over på anden side af
lighedstegnet.
Ganger udtrykket på højre side ud og forlænger brøkerne for at få
fælles nævner ved at gange med 4a.
Da udtrykket på højresiden har fælles nævner kan vi nu samle de to
brøker i én.
Vi bemærker på nuværende tidspunkt at diskriminantens formel optræder i tælleren på højresiden,
og at udtrykket på venstresiden er sat i 2. Ud fra regnereglen om at, ligegyldig hvilket tal der opløftes
i 2., altid vil blive et positivt tal, kan vi nu konkludere at hvis diskriminanten er mindre end nul, så er
der ingen løsninger.
Erstatter nu tællerens udtryk med variablen d, som beskriver
diskriminanten, og tager kvadratroden på begge sider.
Udregner nævnerens kvadratrod for at have en fællesnævner for
brøkerne. Vi bemærker også at udtrykket på venstresiden var i anden,
dvs. kvadratroden på højresiden skal være ±, da 4^2 = (-4)^2.
Flytter sidste led der ikke indeholder x over på højresiden, og således
står vi tilbage med løsningsformlen (nulpunktsformlen).
Page 7 of 47
(x+ b2a
)2
−( b2a
)2
=− ca
(x+ b2a
)2
=( b2a
)2
− ca
(x+ b2a
)2
= b2
4a 2− 4ac
4a2
(x+ b2a
)2
=b2−4ac
4a2
x+ b2a
=√ d4a2
x+ b2a
=± √d2a
x=−b ± √d2a
1.3 Faktorisering
Ved faktorisering af et andengradsudtryk, sættes fællesfaktoren x udenfor en – eller flere – parentes,
derved reduceres udtrykket. I faktoriseringsudtrykket kan vi i øvrigt aflæse alle nulpunkter direkte af,
da de optræder i selve funktionsudtrykket – dog negerede. Nulpunkter i 0 kan ikke direkte aflæses,
men vil kunne findes vha. nulreglen, som siger at hvis a·b=0 , så er a=0∨b=0 .
Den faktoriserede form ser således ud a (x−r1)( x−r ...)(x−rn) , hvor n er antallet af rødder –
antallet af x'er afgøre graden for polynomiet.
Eksempel på faktorisering
x2+4x → x (x+4) – i dette eksempel kan vi se at -4 er et nulpunkt, anden rod vil ligge i 0.
1.3.1 Formel beviset
Når vi vil bevise den faktoriserede form, starter vi med at erstatte de to x-værdier for rødderne med
nulpunktsformlen for hver.
a (x+ b+√d2a
)(x+b−√d2a
)
Herefter ganger vi ud;
a (x2+xb−√d
2a+x
b+√d2a
+b−√d2a
b+√d2a
) – Ganger først parenteserne sammen.
a (x2+bx−√d2a
+bx+√d2a
+b−√d2a
b+√d2a
) – Ganger x'er ind, regneregel abc=ab
c.
a (x2+bx−√d2a
+bx+√d2a
+b2+b√d−b√d−d
4a2) – Ganger brøker ud, regneregel
ab·cd
=abcd
.
a (x2+bx−√d2a
+bx+√d2a
+b2−d
4a 2) – Bemærker led der går ud med hinanden.
a (x2+ 2bx2a
+b2−d
4a2) – Ligeledes, når vi sætter på fælles brøk.
a ( 4a2 x2
4a 2+4abx
4a 2+b2−d
4a2) – Forlænger brøkerne, så vi får fællesnævner.
a ( 4a2 x2+4abx+b2−b2+4ac
4a 2) – Sætter på fælles brøk og erstatter d.
4a3 x2+4a 2bx+4a2 c
4a 2 – Nu ganger vi a ind i brøken og fjerner led.
ax2+bx+c – Brøken divideres nu ud og formlen er bevist.
Page 8 of 47
1.4 Eksempler
Herunder gives eksempler på løsning af andenligninger.
1.4.1 Med Løsningsformel
x2+4x=0
Vi undersøger først og fremmest om der er nogen løsninger, og i så fald, hvor mange, ved at udregne
diskriminanten;
d=b2−4ac →42−4 ·1 ·0=16 – d>0 , derfor vil der være 2 løsninger.
Vi udregner herefter vha. løsnings- /nulpunkts-formlen;
x=−b ± √d2a
→−4± √162 ·1
={x 2=0x 1=−4}
1.4.2 Uden Løsningsformel
Der er to metoder man kan anskueliggøre løsning af andengradsligninger uden brug af den
generelle løsningsformel.
1. Udregne diskriminanten, og se om der er løsninger – hvis ikke, kan ligningen ikke løses.
4x2+10=0 , d=−320 der er derfor ingen rødder/løsninger.
2. Faktorisering af udtrykket.
2x2+2x−4 → x (x+2)(x−1)
Page 9 of 47
2 Polynomier
Gør rede for andengradspolynomiets graf, toppunkt og rødder.
Du skal også komme ind på rødder og graf for polynomier af højere grad.
Tag også begrebet faktorisering med som forklaring.
2.1 Beskrivelse
Forskriften for et andengradspolynomium ser således ud ax2+bx+c , og polynomier af højere
grad p(x)=k n xn+k n−1 x
n−1+...+k 0 eller p(x)=k (x−r0)(x−r1) ...(x−rn) .
2.1.1 Konstanterne
a – Determinere om hvorvidt parablen er sur eller glad. Hvis a<0 vil parablen være
sur, og hvis a>0 vil parablen være glad.
b→ f ' (0) – Skæringspunktet med y-aksen for f ' ( x) , da (ax2+bx+c)'=2ax+b og
2a ·0=0 , således står kun b tilbage – med andre ord, hældningskoefficienten for
tangenten i punktet 0.
c→ f (0) – Skæringspunktet med y-aksen for f (x ) , da a·02+b ·0=0 , således står kun
c tilbage.
2.2 Grafen
Page 10 of 47
2.3 Toppunkt
T x y=(−b2a
;−d4a
)
2.3.1 Udledning af formlen
Vi starter udledningen af toppunktsformlen ved at tage udgangspunkt i polynomiets forskrift.
ax2+bx+c
Da vi ønsker at finde et toppunkt, eller rettere et maksimum eller minimum (extremum), skal vi finde
ud af hvor for en given funktion at tangenten til grafen har hældningskoefficienten 0 – f ' ( x)=0 .
Vi skriver derfor vi den differentierede forskrift op og sætter det lig nul 2ax+b=0 .
Nu da vi har en ligning, vil vi da isolere x, hvilket vil give os en formel for x-koordinaten for
toppunktet;
x=−b2a
For at finde formlen for y-koordinaten indsætter vi x-koordinatens formel i funktionsudtrykket og
reducere indtil vi har fundet et udtryk for y-koordinatens formel;
f (−b2a
)=a (−b2a
)2
+b (−b2a
)+c – Vi opskriver funktionsudtrykket.
→ ab2
4a 2+b
b2a
+c – Udregning af potenser.
→ b2
4a− b2
2a+c – Vi ser, når vi ganger ind i brøkerne at a'et vil gå ud med de
ét af a'erne i nævneren.
→ b2−2b2+4ac4a
– Vi forlænger nu brøkerne, så de har fællesnævner og sætter
dem sammen.
→−d4a
– Vi bemærker nu at diskriminanten optræder i udtrykket, dog
negeret – dvs. tilsvarende til −d .
Derved kan udtrykket ikke forkortes yderligere, og vi står nu med formlen for y-koordinaten til toppunktet.
y=−d4a
Page 11 of 47
2.4 Rødder / Nulpunkter
Når vi skal finde rødderne, eller nulpunkterne for et andengradspolynomium, bruger vi
nulpunkts-/løsningsformlen.
· For udledningen af nulpunkts-formlen, se punkt 1.2 Udledning af løsnings-formlen
Diskriminanten d afgør hvor mange nulpunkter, hvis nogen, funktionen har;
2.4.1 For andengradspolynomier
d<0 Ingen nulpunkter
d=0 1 nulpunkt (dobbelt-rod)
d>0 2 nulpunkter
2.4.2 For tredjegradspolynomier
d<0 Ét nulpunkt, og to komplekse.
d=0 1 nulpunkt (dobbelt- eller tre-dobbelt-rod)
d>0 3 nulpunkter
2.4.3 At gøre prøve
Hvis man vil gøre prøve kan man indsætte nulpunkts-formlen i andengradsligningens forskrift og
reducere udtrykket
a (−b+√d2a
)2
+b(−b+√d2a
)+c=0 – Opskrivning af udtrykket – vilkårlig af ±.
ab2+d−2b√d
4a2+b
−b+√d2a
+c=0 – Udregning af potenser.
b2+d−2b√d4a
+−b2+b√d2a
+c=0 – Ganger ind i brøkerne (a'et går ud).
b2+d−2b√d4a
+−2b2+2b √d4a
+4ac4a
=0 – Forlænger så vi får fællesnævner i alle brøker.
−b2+d+4ac4a
=0 – Vi reducere udtrykket.
−b2+b2−4ac+4ac4a
=0 – Udvider variablen d til b2−4ac .
−4ac+4ac4a
=0 – Reducere udtrykket.
−c+c=0 – Division med 4a, og således står 0 tilbage.
Page 12 of 47
2.5 Faktorisering
Faktoriseret form a (x− x0)( x−x1) , heri er x0 og x1 nulpunkter, derfor skal der være
nulpunkter ( d ≥ 0 ) for at den faktoriserede form er gældende.
Ved faktorisering af et andengradsudtryk, sættes fællesfaktoren x udenfor en – eller flere – parentes,
derved reduceres udtrykket. I faktoriseringsudtrykket kan vi i øvrigt aflæse alle nulpunkter direkte af,
da de optræder i selve funktionsudtrykket – dog negerede. Nulpunkter i 0 kan ikke direkte aflæses,
men vil kunne findes vha. nulreglen, som siger at hvis a·b=0 , så er a=0∨b=0 .
Den faktoriserede form ser således ud a (x−r1)( x−r ...)(x−rn) , hvor n er antallet af rødder –
antallet af x'er afgøre graden for polynomiet.
Eksempel på faktorisering
x2+4x → x (x+4) – i dette eksempel kan vi se at -4 er et nulpunkt, anden rod vil ligge i 0.
2.6 Polynomier af højere grad
Graden af et polynomium diktere, hvor mange rødder grafen for funktionen kan have, dog behøver
den ikke nødvendigvis have så mange rødder – i disse tilfælde er der tale om dobbelt-rødder eller
lokale extrema eller vendetangenter der ikke skærer x-aksen.
2.6.1 Alm. forskrift
Polynomiets alm. form, af n grad p(x)=k n xn+k n−1 x
n−1+...+k 0 .
2.6.2 Faktoriseret forskrift
I faktoriseret form, polynomium af n grad a (x−r1)( x−r2) ...(x−rn) , hvor r beskriver rødder.
Page 13 of 47
3 Lineære Funktioner
Gør rede for de lineære funktioner og deres grafiske billeder, herunder betydning og
bestemmelse af de konstanter, som indgår i regneforskriften.
Kom i denne sammenhæng også ind på regression.
Gør rede for tangenten til grafen for en differentiabel funktion.
3.1 Beskrivelse
Forskriften for en lineær funktion ser således ud ax+b
3.1.1 Konstanternes betydning
a – Den relative tilvækst på y-aksen, når x vokser med 1.
b→ f (0) – Skæringspunktet med y-aksen, udgangspunktet for funktionen.
3.1.2 Bestemmelse af a
Hvis 2 punkter kendes, kan a bestemmes ved a= ∆ y∆x
=y2− y1
x2−x1
3.1.3 Bestemmelse af b
Hvis et punkt kendes, kan b bestemmes ved b= yn−axn , hvor n er et vilkårligt punkt.
3.2 Grafen
Page 14 of 47
3.4 Regression
Regression er en metode hvorved man danner et funktionsudtryk for et data-sæt som kan udtrykkes
vha. en funktionsforskrift med god tilnærmelse – f. eks. en lineær funktion.
Regression udregnes hovedsageligt vha. CAS-værktøj eller lign., da udregning i hånden – selvom
muligt – er et meget langt regnestykke. Der findes op til flere metoder hvorpå regression kan
udregnes, dette afhænger af værktøjet.
Ved udregningen afgives også en såkaldt forklaringsgrad ( r2 ), som viser hvor rimeligt
funktionsudtrykket passer til data-sættet – er denne værdi højere end 0.95 kan det antages at
udtrykket er acceptabelt.
3.5 Tangent
Tangenten til en graf for en differentiabel funktion er en lineær funktion som tangere med grafen i
ét bestemt punkt. Man finder denne lineære funktion vha. formlen for tangentensligning.
3.5.1 Udledning af tangentens ligning
Vi leder efter et funktionsudtryk for tangenten i et bestemt punkt p på grafen, og da en tangent er
lineær skal vi gøre brug af de formler som hører dertil. Heraf ved vi forskriftens definition og
konstanternes betydning at hældningskoefficienten er bestemt ved;
a= ∆ y∆x
=y2− y1
x2−x1
Det er denne som vi vil tage udgangspunkt i, når vi vil finde tangentens ligning. Vi skal derfor bruge
2 punkter som vi kan indsætte i denne formel, og vi går ud fra det vilkårlige punkt p til dette og
lader x og y være ubekendte for det andet punkt, da vi søger en ligning og ikke et resultat.
f ' ( px)=y− f ( p x)x− px
– a er differentialkvotienten, erstattes derfor med f ' ( px) .
f ' ( px)(x− px)= y− f ( p x) – Ganger med størrelse i nævner for at isolere y.
f ' ( px)(x− px)+ f ( px)= y – Lægger f ( px ) til begge sidder.
Nu har vi et udtryk for tangentens ligning, herunder opskrevet som en funktion t(x).
t(x )= f ' ( px)(x− px)+ f ( px)
Page 15 of 47
4 Eksponentielle Funktioner
Gør rede for de eksponentielle funktioner og deres grafiske billeder i forskellige
koordinatsystemer.
Kom i denne forbindelse også ind på (eksponentiel) regression.
Udled formlen til bestemmelse af grundtallet a, og gør rede for differentialkvotienten
af f(x) = ax.
4.1 Beskrivelse
Forskriften for en eksponentialfunktion ser således ud bax , hvor a og b er positive konstanter.
4.2 Konstanterne
4.2.1 Betydning
a – Fremskrivningsfaktoren for den relative tilvækst på y-aksen, når x vokser med 1.
– a>1 så er funktionen voksende
– 0<a<1 vil funktionen være aftagende.
– a=1 vil funktionen være konstant.
b→ f (0) – Skæringspunktet med y-aksen, udgangspunktet for funktionen.
4.2.2 Bestemmelse
a=∆ x√ y2
y1
=x 2−x 1√ y2
y1
– For bestemmelse af konstanten a, hvor man kender to punkter.
· Se evt. punkt 4.5 Udledningen af grundtallet
b=yna xn
– For bestemmelse af konstanten b, hvor a og mindst ét punkt kendes.
Page 16 of 47
4.3 Grafen
Grafen for en eksponentialfunktion kan visualiseres på to måder, hvoraf den ene er specifikt
udformet til eksponentialfunktionen egenskaber.
4.3.1 Alm. kartesiske koordinatsystem
Vi ser at i det almindelige kartesiske koordinatsystem er det umuligt at indtegne en eksponentialfunktion i hånden – dette kræver et CAS-værktøj.
4.3.2 Enkelt-logaritmisk koordinatsystem
Indtegnes en eksponentialfunktion i det enkelt-logaritmiske koordinatsystem vil funktionen da være lineært afbilledet – i dette koordinatsystem er y-aksen defineret som 10-tals logaritmen.
Page 17 of 47
4.4 Regression
Regression er en metode hvorved man danner et funktionsudtryk for et data-sæt som kan udtrykkes
vha. en funktionsforskrift med god tilnærmelse – f. eks. en eksponentialfunktion.
Regression udregnes hovedsageligt vha. CAS-værktøj eller lign., da udregning i hånden – selvom
muligt – er et meget langt regnestykke. Der findes op til flere metoder hvorpå regression kan
udregnes, dette afhænger af værktøjet.
Ved udregningen afgives også en såkaldt forklaringsgrad ( r2 ), som viser hvor rimeligt
funktionsudtrykket passer til data-sættet – er denne værdi højere end 0.95 kan det antages at
udtrykket er acceptabelt.
4.5 Udledningen af grundtallet
Når vi vil udlede grundtallet a for den eksponentielle funktion starter vi med at perspektivere over
hvordan vi kommer fra et punkt til et andet.
Vi har to punkter på grafen for en vilkårlig eksponentialfunktion P1={x1 , y1} og P2={x2 , y2 } .
For at komme fra y1 til y2 skal vi gange y1 med fremskrivningsfaktoren a opløftet i ∆x , så
har vi et udtryk vi kan gå fra.
y2= y1· a∆ x
Herfra skal vi bare isolere a.
y2
y1
=a∆ x – Vi dividere med y1 på begge sider af lighedstegnet.
∆ x√ y2
y1
=a – Så tager vi ∆x rod på begge sider af lighedstegnet, og a er dermed isoleret.
Page 18 of 47
4.6 Differentialkvotienten for f(x) = a^x
4.6.1 Udledningen af differential kvotienten for a^x
Efter 3-trinsreglen, opstiller vi først udtrykket.
1.∆ f∆ x
→ a x+∆ x−ax
(x+∆ x)− x
Herefter reducere vi udtrykket, så meget som vi kan.
2. ax a∆ x−1∆ x
– Bemærk her at vi stiller fællesfaktoren ax udenfor brøken.
Vi opstiller sidste trin.
3. ax lim ¿∆ x→0
( a∆ x−1∆ x
) – Bemærk at de ax ingen indflydelse har på limit udtrykket.
4.6.2 Udledningen af differential kvotienten for e^(kx)
Som før opstiller vi først udtrykket.
1.∆ f∆ x
→ ek ( x+∆ x)−ekx
(x+∆ x )−x
Herefter reducere vi udtrykket, så meget som vi kan.
2. ekxekx ∆ x−1∆ x
– Bemærk at vi i denne udledning forlænger med k i dette trin.
Vi opstiller sidste trin.
3. ekx lim ¿∆ x→0
( ekx ∆ x−1∆ x
)=kekx – Hvilket beviser at (ekx) '=kekx
4.6.3 Sammenhængen mellem k og ln(a)
ax=e kx – Opstilning af ligningen.
x · ln (a)=kx · ln (e) – Tager den naturlige logaritme, og rykker eksponenterne ned.
x ·ln (a )x
=kx · ln (e)
x– Dividere x'er ud af ligningen.
ln (a )ln (e)
=k – Dividere ln(e) ud af ligningen.
ln (a )=k – Da den naturlige logaritme er modsætningen til e, bliver det 1.
Således kan vi konkludere at ved omskrivning vil k svare til ln(a).
Page 19 of 47
5 Eksponentiel vækst
Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og udled renteformlen.
Du skal også komme ind på procentvis stigning i forskellige tidsrum, samt på
fordoblings- og halveringskonstant.
Giv et praktisk eksempel på anvendelse af eksponentialfunktion (finansiel eller fysisk).
Fortæl kort om differentiation af eksponentialfunktioner, dvs. hvilke regneregler der
er i forbindelse med eksponentialfunktioner.
5.1 Beskrivelse
Forskriften for en eksponentialfunktion ser således ud bax , hvor a og b er positive konstanter.
5.1.1 Konstanternes betydningen
a – Fremskrivningsfaktoren for den relative tilvækst på y-aksen, når x vokser med 1.
– a>1 så er funktionen voksende.
– 0<a<1 vil funktionen være aftagende.
– a=1 vil funktionen være konstant.
b→ f (0) – Skæringspunktet med y-aksen, udgangspunktet for funktionen.
5.2 Fremskrivningsfaktoren
Fremskrivningsfaktoren er det tal der ganges med når x vokser med 1, dvs. den relative tilvækst i y vil
være y2= y1· a∆ x , da vi antager x er vokset med 1 vil eksponenten være redundant og derved vil
der stå y2= y1 · a – dvs. fremskrivningsfaktoren i eksponentielle funktioner kendes som a.
Dette kan også visualiseres vha. potensregnereglerne som vist nedenfor.
b·ax – Alm. eksponentialfunktion forskrift.
b·a(x+1)=b·ax · a1 – Samme funktionen hvori vi har bevæget os 1 henad x-aksen.
b·a(x+2)=b·a x · a2 – Samme funktionen hvori vi har bevæget os 2 henad x-aksen.
Hver gang vi bevæger os ∆x, skal vi derfor gange y med a opløftet til ∆x.
Page 20 of 47
5.3 Procentvis stigning
For eksponentielle funktioner gælder at funktionen vil altid vokse med en fast procent, denne
procent er defineret som fremskrivningsfaktoren, eller grundtallet, a.
5.3.1 Fordoblings- og halveringskonstant
Fordoblings- og halveringskonstanterne er den tilvækst i x der skal til for at y bliver fordoblet, eller
halveret – konstanten er derfor en bestemt ∆x værdi, denne kan udregnes hvis man kender a.
I stedet for at sætte restriktioner på kun to konstantformler, så skriver jeg den hellere op som en
variabel – dvs. k repræsentere den fremskrivning man ønsker at finde konstanten for.
T k=log(k )log(a )
– Ved fordobling indsættes 2 på k's plads, ligeledes 0.5 for halveringskonstant.
Hvis en fremskrivningskonstant kendes, kan man udregne a, det gøres ved a=T n√n
5.4 Udledning af renteformlen
K n=K 0(1+r)n , hvor n beskriver terminer, r er renten, K 0 er startkapitalen (udgangspunktet,
tilsvarende til b i eksponentialfunktionens forskrift) og K n er slutkapitalen, dvs. indestående på
kontoen efter n terminer.
K 0 · r – Vi starter med at finde et udtryk for renten af startkapitalen.
K 0+K 0 · r – Herefter finder vi et udtryk for renten tillagt startkapitalen.
K 0(1+r) – Vi kan nu se at vi har en fællesfaktor, denne stiller vi udenfor en parentes.
K 0(1+r)n – Til sidst vil vi gerne have at udtrykket skal beskrive n terminer, i stedet for 1 termin, som det gør nu. Vi inddrager derfor reglen om procentvis stigning for en eksponentiel funktion, da vi kan se at vi har en fremskrivningsfaktor vi kan bruge til netop dette – F=(1+r) . Denne sætter vi derfor i n.
K n=K 0(1+r)n – Da udtrykket nu afhænger af n og beskriver slutkapitalen, kan vi indføre størrelsen på modsatte side af lighedstegnet K efter n terminer – K n .
5.5 Eksempler
Når vi nu alligevel har udledt kapitalfremskrivningsformlen, eller renteformlen, kan vi jo tage et
eksempel for en given bank konto med en start kapital på 5000 kr., hvor renten er sat til 0.5% pa.
K n=5000·(1+0.05)n – Vi kan opstille funktionen.
6381,41=5000·(1+0.05)n – Vi kan undersøge hvad der vil stå på kontoen efter 5 år ved at indsætte 5 på n's plads.
Page 21 of 47
5.6 Differentiation
Ved differentiation af en eksponentialfunktion fås hældningskoefficienten for et givet punkt på
grafen for funktionen – dvs. tager man ƒ'(x) definere hvor stærkt voksende eller aftagende en given
eksponentialfunktion måtte være i et givet punkt på grafen.
5.6.1 Regneregler
Herunder er en liste over de differentiationsregneregler der gælder for eksponentialfunktioner.
f (x )=ax+b → f ' ( x)=x – Konstanter forsvinder.
f (x )=ex → f ' ( x)=e x – Se punkt 4.6 for regel bevis.
f (x )=ax → f ' (x)=ln (a )· a x – Se punkt 4.6 for regel bevis.
f (x )=bekx → f ' ( x)=bkekx – Se punkt 4.6 for regel bevis.
Page 22 of 47
6 Potensfunktioner
Gør rede for potensfunktioner og giv eksempler på deres grafiske billeder i forskellige
koordinatsystemer.
Udled formlen til bestemmelse af potenseksponenten a, når man kender to
støttepunkter. Kom I denne forbindelse også ind på regression.
Gør rede for tilvækst i x og y, og forskellene heri for lineære, eksponentielle- og
potensfunktioner.
Fortæl kort om differentiation af potensfunktioner, dvs. hvilke regneregler der er i
forbindelse med potensfunktioner.
6.1 Beskrivelse
Forskriften for en eksponentialfunktion ser således ud bxa , hvor x>0 , a≠ 0 og b>0 .
Den relative tilvækst i x vil give samme relative tilvækst i y, da begge akser er procentvis ændret for
potensfunktioner – denne væksttype kaldes også for procent-procentvis vækst og kan påvises vha.
formlen F y=F xa , hvor F beskriver fremskrivningsfaktoren for x og y.
6.1.1 Konstanternes betydning
a – Hældningskoefficient af grafen på dobbelt-logaritmisk papir.
– a>0 så er funktionen voksende.
– a<0 vil funktionen være aftagende.
b→ f (1) – Dvs. enhver potensfunktion har punktet P (1,b) .
6.1.2 Bestemmelse af a 6.1.3 Bestemmelse af b
a=log(
y2
y1
)
log (x2
x1
)
b=ynxna
Page 24 of 47
6.2 Grafen
6.2.1 Alm. kartesiske koordinatsystem
Vi ser at i det almindelige kartesiske
koordinatsystem er det umuligt at
indtegne en eksponentialfunktion i
hånden – dette kræver et CAS-værktøj.
6.2.2 Enkelt-logaritmisk koordinatsystem
Indtegnes en potensfunktion i det
enkelt-logaritmiske koordinatsystem
ser vi, ligesom i det alm. kartesiske
koordinatsystem at det er umuligt at
indtegne en potensfunktionen i
hånden – dette kræver et CAS-værktøj.
6.2.3 Dobbelt-logaritmisk koordinatsystem
Indtegnes en potensfunktion i det
dobbelt-logaritmiske
koordinatsystem vil funktionen da
være lineært afbilledet – i dette
koordinatsystem er både x- og y-
aksen defineret som 10-tals
logaritmen.
Page 25 of 47
6.3 Udledningen af a
Ud fra F y=F xa ved vi at når x ganges med
x2
x1
, så ganges y med (y2
y1
)a
.
Vi kan derfor kan vi opstille ligningen y1(x2
x1
)a
= y2 – nu skal vi bare isolere a.
(x2
x1
)a
=y2
y1
– Dividere y1 ud fra venstresiden.
a log(x2
x1
)=log (y2
y1
) – Tager logaritmen på begge sider og trækker a ned foran.
a=log(
y2
y1
)
log (x2
x1
)– Dividere log (
x2
x1
) væk fra venstresiden, og a er dermed isoleret.
6.4 Regression
Regression er en metode hvorved man danner et funktionsudtryk for et data-sæt som kan udtrykkes
vha. en funktionsforskrift med god tilnærmelse – f. eks. en eksponentialfunktion.
Regression udregnes hovedsageligt vha. CAS-værktøj eller lign., da udregning i hånden – selvom
muligt – er et meget langt regnestykke. Der findes op til flere metoder hvorpå regression kan
udregnes, dette afhænger af værktøjet.
Ved udregningen afgives også en såkaldt forklaringsgrad ( r2 ), som viser hvor rimeligt
funktionsudtrykket passer til data-sættet – er denne værdi højere end 0.95 kan det antages at
udtrykket er acceptabelt.
6.5 Differentiation
Ved differentiation af en potensfunktioner fås hældningskoefficienten for et givet punkt på grafen for
funktionen – dvs. tager man ƒ'(x) definere hvor stærkt voksende eller aftagende en given
potensfunktionen måtte være i et givet punkt på grafen.
6.5.1 Regneregler
f (x )=xn → f ' ( x)=nxn−1 – nxn−1
f (x )=1x
→ f ' (x)=−1
x−2 –−(a)x−2
f (x )=ln (x ) → f ' (x)=1x
– (k ·ln (x)) '= kx
Page 26 of 47
7 Differentialregning
Gør rede for begreberne differenskvotient og differentialkvotient og diskuter her ud
fra begrebet “differentiabel funktion”.
Udled udtrykket for differentialkvotienten for ƒ(x)=x2.
Du skal også komme ind på betydningen af differentialkvotient, samt på anvendelse
af ƒ'.
7.1 Beskrivelse
7.1.1 Begrebet differenskvotient
Differenskvotient er udtrykket for sekantens hældning mellem to punkter på grafen for en funktion.
Dvs. det andet udtryk vi opskriver i 3-trinsreglen ∆ f∆x
= f (x+∆ x)− f (x )∆ x
.
7.1.2 Begrebet differentialkvotient
Differentialkvotienten er tangentens hældning i et givet punkt på grafen for en differentiabel
funktion – dvs. differentialkvotienten udtrykkes når vi lader differenskvotientens ∆x gå mod nul.
f (x )=x2
f ' (x)= lim∆ x→ 0
(∆ x+2x)=2x
7.1.3 Begrebet differentiabel funktion
Hvis grænseværdien for en funktion eksistere i et punkt
P0(x0 , y0) , er funktionen differentiabel i P0 .
Hvis grænseværdien for x∈Dm( f ) – alle x-værdier i
Dm for funktionen ƒ –, så er funktionen differentiabel.
Page 28 of 47
lim∆x →0
( ∆ f∆ x
)∃
lim∆x →0
(f ( x0+∆x )− f (x0)
∆ x)∃!
7.2 Udledningen af differentialkvotient for ƒ(x)=x^2
Efter 3-trinsreglen, opstiller vi først udtrykket.
1. ∆ f∆ x
→(x+∆ x)2−x2
(x+∆ x)−x
Herefter reducere vi udtrykket, så meget som vi kan.
2. x2+∆ x2+2x ∆ x−x2
∆ x→ ∆ x2+2x ∆ x
∆ x→∆ x
∆ x+2x∆x
→∆ x+2x
Vi opstiller sidste trin, og lader ∆x gå imod nul.
3. lim ¿∆ x→0
(∆ x+2x)=2x
7.3 Betydning og anvendelsen af ƒ'
Begrebet ƒ' – udtalt f-mærke – er den afledte funktion af ƒ – dvs. at ƒ er stamfunktion til ƒ'.
7.3.1 Betydning
Den afledte funktion, ƒ', beskriver hældningen af tangenten til grafen for ƒ
– f. eks., som vist til venstre, (x^2)' = 2x.
7.3.2 Anvendelse
Vi anvender ƒ' til at bestemme hældningen af tangenten til grafen for ƒ i
bestemte punkter.
– f. eks., som vist til venstre, hældningen i punktet (0.5, ƒ(0.5)).
Page 29 of 47
8 Differentialregning
Gør rede for begrebet “differentiabel funktion”, og kom herunder ind på
betydningen af differentialkvotient.
Opstil regnereglerne for differentiable funktioner, og bevis herunder sætningen om
differentiation af en sum.
8.1 Beskrivelse
8.1.1 Begrebet differentiabel funktion
Hvis grænseværdien for en funktion eksistere i et punkt
P0(x0 , y0) , er funktionen differentiabel i P0 .
Hvis grænseværdien for x∈Dm( f ) – alle x-værdier i
Dm for funktionen ƒ –, så er funktionen differentiabel.
8.1.2 Betydningen af differentialkvotient
Differentialkvotienten er tangentens hældning i et givet punkt på grafen for en differentiabel
funktion – dvs. differentialkvotienten udtrykkes når vi lader differenskvotientens ∆x gå mod nul.
f (x )=x2
f ' (x)= lim∆ x→ 0
(∆ x+2x)=2x
8.2 Differentiation af en sum
Efter 3-trinsreglen, opstiller vi først udtrykket.
1.∆ f∆ x
→ f (x+∆ x)+g (x+∆ x)− f (x)−g (x)(x+∆ x)−x
Herefter reducere vi og omformulere udtrykket – her kan beviset allerede ses.
2.f (x+∆ x)+g ( x+∆ x)− f ( x)−g ( x)
( x+∆ x)−x→ f ( x+∆ x)− f (x)
∆ x+ g (x+∆ x)−g (x )
∆ x
Vi opstiller sidste trin, og lader ∆x gå imod nul.
3. lim ¿∆ x→0
( f (x+∆ x)− f ( x)∆ x
+ g (x+∆ x)−g (x )∆ x
)= f ' (x)+g ' (x)
Page 30 of 47
lim∆x →0
( ∆ f∆ x
)∃
lim∆x →0
(f ( x0+∆x )− f (x0)
∆ x)∃!
8.3 Differentiationsregneregler
8.3.1 Regler i hht. omformulering
( f (x )± g (x)) '= f (x) ' ± g (x )' – Led kan differentieres hver for sig.
(k · f ( x))'=k · f ' (x) – Konstanter i led kan ganges ind bagefter.
( f (x )· g (x))'= f (x) · g ' (x)+g (x) · f ' (x) – Gangeregel, for udvidelse af udtrykket.
( f (x)g (x)
) '= f ' (x) · g ( x)− f ( x) · g ' (x)(g (x))2 – Divisionregel, for udvidelse af udtrykket.
8.3.2 Regler i hht. konkrete tilfælde
f (x )=ax+b → f ' ( x)=x – Konstanter forsvinder.
f (x )=x2 → f ' ( x)=2x – nxn−1
f (x )=x3 → f ' ( x)=3x2 – nxn−1
f (x )=xn → f ' ( x)=nxn−1 – nxn−1
f (x )=1x
→ f ' (x)=−1
x−2 –−(a)x−2
f (x )=ex → f ' ( x)=e x – Se punkt 4.6 for regel bevis.
f (x )=ax → f ' (x)=ln (a )· a x – Se punkt 4.6 for regel bevis.
f (x )=bekx → f ' ( x)=bkekx – Se punkt 4.6 for regel bevis.
f (x )=ln (x ) → f ' (x)=1x
– (k · ln (x )) '= kx
Page 31 of 47
9 Differentialregning
Gør rede for bestemmelsen af monotoniforhold for en differentiabel funktion.
Fortæl om 3-trinsreglen og bring et selvvalgt eksempel.
Vis også et eksempel på optimering.
9.1 Beskrivelse
9.1.1 Monotoniforhold
Monotoniforhold er en beskrivelse af en funktions vækst og er defineret ud fra f ' (x) over
intervaller – f. eks. at funktionen går fra at være stigende (til konstant) til aftagende.
• f ' (x0)>0 – Så er funktionen voksende i x(0) .
• f ' (x0)<0 – Så er funktionen aftagende i x(0) .
• f ' (x0)=0 – Så er funktionen konstant i x(0) (lokalt extremum).
9.2 Tre-trinsreglen
9.2.1 Første trin – Opstilning af ∆ƒ
∆ f = f (x+∆ x)− f ( x)
9.2.2 Andet trin – Differenskvotient / Sekantens hældning
∆ f∆ x
=f (x+∆ x)− f ( x)
( x+∆ x)−x→
f (x+∆ x)− f (x)∆ x
9.2.3 Tredje trin – Differentialkvotient / Grænseværdien
f ' ( x)= lim∆ x→ 0
(f ( x+∆ x)− f (x)
∆ x)
Page 32 of 47
9.3 Optimering
Eksemplet går ud på at optimere en æske, hvor udgangspunktet er et flat stykke pap, og hvor vi har
dimensionerne deraf – længden 16 og bredden 8.
Vi vil nu finde den bedst mulige værdi for højden, som vi vil kalde x.
Vi starter med at finde nogle udtryk for, hvor pappet skal foldes i længde og bredde – og da den skal
foldes ved x to steder, så vil hhv. længde og bredde se således ud; l=(16−2x ) b=(8−2x) .
Når vi nu har et udtryk for to dimension af æsken indfører vi den tredje dimension, x.
R(x)=x (16−2x)(8−2x) – Funktionen R beskriver æskens rumfang.
R(x)=4x3−48x 2+128x – Omskrevet til alm. polynomium forskrift.
Nu skal vi finde ud af hvornår æskens rumfang R er størst, og det gør vi ved at differentiere R og
efterfølgende finde toppunkt (maximum) – R' (x )=0 .
R' (x )=12x 2−96x+128 – Opskrivning af den differentierede funktion.
Hvis vi ikke umiddelbart kender til grafen eller kan visualisere den, kan vi starte med at udregninge
diskriminanten, som vil fortælle os noget om hvor mange løsninger andengradsligningen måtte have.
Det er smart fordi, hvis vi ud fra diskriminanten kan se der kun er én løsning, ville vi kunne bruge
toppunktsformlen, hvorimod hvis der er to kan vi risikere at få et forkert resultat (minimum).
d=b2−4ac →−962−4∗12∗128=3072 – Da d>0 er der to løsninger, dvs. vi skal bruge nul-punktsformlen i stedet for toppunktsformlen.
Nu indsætter vi konstanterne i nul-punktsformlen og udregner de to nulpunkter.
x=−b ± √d2a
→ 96 ±√30722 ·12
={x1≈ 1.69x2≈ 6.31
} – Dvs. i ca. 6.31 og 1.69 har grafen vandret tangent.
Herfra kan vi gøre én af to ting, for at finde ud af hvilken et af de to x-værdier som er maximum.
Vi kan simpelthen indsætte x-værdierne i R (x ) og se hvilken y-værdi der er størst, eller vi kan
udregne hældningen til tangenten for grafen i intervallerne før, mellem og efter x-værdierne, således
at vi danner en oversigt over monotoniforholdet for funktionen.
R' (1) 44 – Position tangenthældning, funktionen er da voksende.
R' (1.69) 0 – Vandret tangent (lokalt maximum)
R' (4) −64 – Negativ tangenthældning, funktionen er da aftagende.
R' (6.31) 0 – Vandret tangent (lokalt minimum)
R' (8) 128 – Position tangenthældning, funktionen er da voksende.
Page 33 of 47
10 Integralregning
Gør rede for begrebet stamfunktion og for regnereglerne for ubestemte integraler.
Gør rede for sammenhængen mellem areal og stamfunktion.
10.1 Beskrivelse
10.1.1 Begrebet stamfunktion
Da integralregning er differentialregningen's modsætning, vil integration – eller
stamfunktionsbestemmelse – afgive et funktionsudtryk som, hvis differentieret, ville være den
oprindelige funktion – vi betegner stamfunktion som regel ved stort bogstav af den oprindelige.
∫ f ( x)dx=F (x) ∴ F ' (x)= f (x)
Som vist ovenfor er F (x ) stamfunktion til f (x ) , derfor (∴ er et matematisk tegn for
'derfor') må f (x) være den afledte funktion af F ( x) .
10.1.2 Regneregler for konkrete tilfælde
f (x )=a → f (x )=ax+k – …
f (x )=x → f (x )=12x2+k –
an+1
xn+1+k bemærk a=1 .
f (x )=x2 → f (x )=13x3+k –
an+1
xn+1+k bemærk a=1 .
f (x )=xn → f (x )= 1n+1
xn+1+k –a
n+1xn+1+k bemærk a=1 .
10.1.3 Regneregler for omformulering
Alle regneregler for integralregning bevises vha. differentiering af udtrykkene.
∫a
b
f ( x)± g ( x)dx=∫a
b
f (x )dx ±∫a
b
g (x)dx – Led kan integreres hvor for sig.
∫a
b
c · f (x )dx=c ·∫a
b
f (x )dx – Gange-konstanter kan rykkes udenfor.
Page 34 of 47
10.2 Ubestemte integraler
Det ubestemte integral er stamfunktionen til den givne funktion der integreres – dvs. i modsætning
til bestemt integral, som afgiver et tal-resultat, vil det ubestemte integral afgive et funktionsudtryk.
∫ f (x)dx=F (x ) – Når vi integrerer f (x) afgiver det stamfunktionen F ( x) .
Når vi differentiere går konstanter tabt, dvs. at ved integration af en funktion kan der være uendeligt
mange stamfunktioner, da vi ikke kan kende disse konstanter – derfor, hvis vi vil definere alle
stamfunktioner tilføjer vi + k til udtrykket (ie. ∫(3x2+2x+1)dx= x3+x2+x+k ).
10.3 Sammenhængen med areal
Det bestemte integral beskriver arealet under kurven i et bestemt interval – deraf bestemt integral.
10.3.1 Eksempel
Hvis vi nu tager en vilkårlig funktion f (x)=−3x2+15x og vil finde arealet under kurven i
intervallet [0;5], så integrerer vi i dette interval.
A=∫0
5
f (x )dx=[F (x)=7.5x2−x3]05 →F (5)−F (0)=62.5
Vi gennemgår lige hele udtrykket, led for led, og angiver dets betydning.
A – Variablen A beskriver det færdige resultat, arealet.
∫0
5
f ( x )dx – Integral opstilling, bestemt i intervallet [0;5] – dx betyder mht. x.
[F ( x)=7.5x2−x3]05 – F ( x) beskriver stamfunktionen, og klammerne betyder intervallet.
F (5)−F (0) – Dette er en simplificering af interval-udregningen.
Man skal være opmærksom på at, når man integrerer for at bestemme arealet under kurven at,
kurven kan være negativ i nogle intervaller – dette gør man op for ved at integrerer over flere
intervaller, og vender fortegnet de steder hvor der måtte være negative y-værdier – tilhørende Vm.
10.3.2 Eksempel: Areal mellem to kurver
For at bestemme arealet mellem to kurver integrerer vi begge funktioner og trækker den
overlappende graf fra den underliggende – dvs. A2−A1 .
∫a
b
( f (x)−g (x ))dx=[F (x)]05−[F ( x)]0
5→(F (5)−F (0))−(G (5)−G (0))=A
Page 35 of 47
11 Integralregning
Gør rede for begrebet stamfunktion og for regnereglerne for bestemte integraler.
Gør rede for sammenhængen mellem areal og bestemt integral.
11.1 Beskrivelse
11.1.1 Begrebet stamfunktion
Da integralregning er differentialregningen's modsætning, vil integration – eller
stamfunktionsbestemmelse – afgive et funktionsudtryk som, hvis differentieret, ville være den
oprindelige funktion – vi betegner stamfunktion som regel ved stort bogstav af den oprindelige.
∫ f ( x)dx=F (x) ∴ F ' (x)= f (x)
Som vist ovenfor er F ( x) stamfunktion til f (x) , derfor (∴ er et matematisk tegn for
'derfor') må f (x) være den afledte funktion af F ( x) .
11.1.2 Regneregler for konkrete tilfælde
f (x )=a → f (x )=ax+k – …
f (x )=x → f (x )=12x2+k –
an+1
xn+1+k bemærk a=1 .
f (x )=x2 → f (x )=13x3+k –
an+1
xn+1+k bemærk a=1 .
f (x )=xn → f (x )= 1n+1
xn+1+k –a
n+1xn+1+k bemærk a=1 .
11.1.3 Regneregler for omformulering
Alle regneregler for integralregning bevises vha. differentiering af udtrykkene.
∫a
b
f ( x)± g ( x)dx=∫a
b
f (x )dx ±∫a
b
g (x)dx – Led kan integreres hvor for sig.
∫a
b
c · f (x )dx=c ·∫a
b
f (x )dx – Gange-konstanter kan rykkes udenfor.
Page 36 of 47
11.2 Bestemte integraler
Det bestemte integral beskriver arealet under kurven i et bestemt interval – deraf bestemt integral. I
modsætning til et ubestemt integral, som afgiver et funktionsudtryk, afgiver bestemte et tal-resultat –
f. eks. arealet under kurven.
Når vi opskriver et bestemt integral kalder vi startværdien af arealet for den nedre grænse, og
slutværdien for den øvre grænse – dvs. at vi integrerer fra nedre grænse til øvre grænse.
11.3 Sammenhængen med areal
11.3.1 Eksempel: Areal under kurven
Hvis vi nu tager en vilkårlig funktion f (x )=−3x2+15x og vil finde arealet under kurven i
intervallet [0;5], så integrerer vi i dette interval.
A=∫0
5
f ( x)dx=[F (x )=7.5x2−x3]05 →F (5)−F (0)=62.5
Vi gennemgår lige hele udtrykket, led for led, og angiver dets betydning.
A – Variablen A beskriver det færdige resultat, arealet.
∫0
5
f ( x )dx – Integral opstilling, bestemt i intervallet [0;5] – dx betyder mht. x.
[F ( x)=7.5x2−x3]05 – F (x ) beskriver stamfunktionen, og klammerne betyder intervallet.
F (5)−F (0) – Dette er en simplificering af interval-udregningen.
Man skal være opmærksom på at, når man integrerer for at bestemme arealet under kurven at,
kurven kan være negativ i nogle intervaller – dette gør man op for ved at integrerer over flere
intervaller, og vender fortegnet de steder hvor der måtte være negative y-værdier – tilhørende Vm.
11.3.2 Eksempel: Areal mellem to kurver
For at bestemme arealet mellem to kurver integrerer vi begge funktioner og trækker den
overlappende graf fra den underliggende – dvs. A2−A1 .
∫a
b
( f (x)−g (x ))dx=[F (x)]05−[F ( x)]0
5→(F (5)−F (0))−(G (5)−G (0))=A
Page 37 of 47
12 Trigonometri
Gør rede for retvinklede trekanter, udled formler til beregning af sider og vinkler i
sådanne trekanter.
Gennemgå et bevis for Pythagoras' sætning.
12.1 Beskrivelse
12.1.1 Retvinklede trekanter
Den retvinklede trekant (også kaldt en Pythagoriansk trekant) har den egenskab, at dens ene vinkel,
ofte kaldt vinkel C som ud fra Pythagoras' læresætning, er 90° – eller vinkelret, deraf retvinklet.
12.2 Udledning af formler
12.2.1 Vinkelsum
Enhver trekant har en vinkelsum på 180°, for udledning af formel af denne sætning skal man
undersøge forholdet mellem vinkelsummen og polygonet's sideantal.
180° 360° 540° 720°
Ud fra denne perspektivering kan vi se at vinkelsummen stiger med 180° for hver kant tilføjet til den
geometriske figur. Vi kan derfor opstille en formel der beskriver dette som V n=180° (n−2) .
12.2.2 Sinus og cosinus
De to trekanter afbilledet er ensvinklede, hypotenusen i den lille er lig
med 1, da punktet P ligger på enhedscirklen – derfor må
forstørrelsesfaktoren være c. Ud fra dette kan vi se at;
b=c ·cos(A)→cos(A)= bc
og a=c ·sin (A)→cos(A)=ac
12.2.3 Tangens
tan (A)=sin (A)cos(A)
=
acbc
=ab
Page 38 of 47
12.3 Pythagoras' læresætning
Pythagoras' læresætning kan bevises på mange måder – faktisk flere hundrede. Jeg har valgt at at
bruge en forholdsvis nem og enkelt måde at føre beviset på.
Figuren til venstre viser 4 ens trekanter opstillet således at de danner en
firkant i midten.
Vi starter med at bevise at alle vinkler inde i firkanten er 90°, og det
gør vi vha. vinklerne til trekanterne. Vi kender den rette vinkel i
trekanterne, vi kender dog ikke de andre to – dem kalder vi hhv. x og y.
Vinkelsummen vil dermed være x + y + 90° = 180°, og x + y = 90°.
Der hvor vi har vinklerne til firkanten, som er ens pga. symmetrien,
mødes vinklen med x og y – vi kan derfor sige at 180 – (x + y) = z, hvor z beskriver firkantens vinkler.
Herefter etablere vi nogle udtryk for arealet af hhv. den store firkant, den lille firkant og trekanten.
(a+b)(a+b)→(a+b)2→ a2+b2+2ab
c · c eller c2– Husk at vi har bevist den rette vinkel og symmetrien.
12ab eller ab
2– Husk på at vi har 4.
Vi bemærker at udtrykket for den indvendige firkant plus de 4 trekanter bør være lig med arealet for
den store firkant – vi sætter derfor en ligning op der beskriver dette, og forsøger at løse for c.
a2+b2+2ab=c2+4( 12ab) – Opskrivning af udtrykket.
a2+b2+2ab=c2+2ab – Ganger parentesen ud.
a2+b2=c2 – Fjerner 2ab på begge sider.
Og således står vi tilbage med Pythagoras' læresætning.
Page 39 of 47
13 Trigonometri
Udled cosinus- og sinusrelationerne og diskuter deres anvendelse.
Opstil andre formler til brug i specielle trekanter.
13.1 Beskrivelse
13.1.1 Definition
sin (A)= ac
cos (A)=bc
tan (A)=sin (A)cos(A)
= ab
13.1.2 Sinusrelationerne
Sinusrelationerne anvendes hvis man skal finde en sidelængde eller vinkel hvor man har én
ubekendt i et par – par forstået på den måde at hver af udtrykkene er et par (ie.a
sin (A) ).
asin (A)
= bsin(B)
= csin (C )
=2R – Sidebestemmelse, hvor R beskriver radius for trekantens
omskrevne cirkel fra trekantens midtnormal.
sin (A)a
= sin(B)b
=sin (C )c
– Vinkelbestemmelse – kan give to løsninger (kun én rigtig).
Man kan gøre prøve om den rigtige vinkel er fundet ud fra reglen om vinkelsum (180°) i en trekant.
13.1.3 Cosinusrelationerne
Cosinusrelationerne anvendes når man ikke kender et par, som i sinusrelationerne, anvendelsen er
den samme ellers – side- og vinkelbestemmelse.
a2=b2+c2−2bc ·cos (A) – Ved sidebestemmelse af a. A og hosliggende sider skal kendes.
b2=a2+c2−2ac ·cos(B) – Ved sidebestemmelse af b. B og hosliggende sider skal kendes.
c2=a2+b2−2ab ·cos(C ) – Ved sidebestemmelse af c. C og hosliggende sider skal kendes.
cos (A)=b2+c2−a2
2bc– Ved vinkelbestemmelse af A – alle tre sider skal kendes.
cos (B)=a2+c2−b2
2ac– Ved vinkelbestemmelse af B – alle tre sider skal kendes.
cos (C )=a2+b2−c2
2ab– Ved vinkelbestemmelse af C – alle tre sider skal kendes.
Page 40 of 47
13.2 Udledning af sinusrelationerne
Når vi vil udlede sinusrelationerne, skal vi først opskrive en vilkårlig trekant som vi kan bruge til at
visualisere beviset.
13.2.1 For trekant med højden indeni
Vi ser i trekant ABC at højden h som ligger inde i trekanten,
umiddelbart kan udtrykkes på to måder, nemlig vha. sinus til
vinklen A og sinus til vinklen C, da højden h opdeler trekanten
i to, således at vi har to retvinklede trekanter – derfor gælder
sinus og cosinus reglerne for retvinklede trekanter.
Vi starter med at identificere udtrykkene hvor h vil indgå. sin (A)=hc
sin (C )=ha
Herefter isolere vi udtrykkene for h. c ·sin (A)=a ·sin (C )
Vi dividere nu med hhv. sin (A) og sin (C ) .a
sin (A)= c
sin(C )
Og således står vi tilbage med to af udtrykkene som indgår i sinusrelationerne – ønsker man at finde
det tredje udtryk, vender man bare trekanten således at grundlinjen for højden h ligger én af de
andre sider i trekanten – |AB| eller |BC|.
13.2.2 For trekant med højden udenfor
Hvis højden h ligger uden for trekanten skal vi, ligesom i første bevis,
have fundet to udtryk for højden h – vi skal her være opmærksomme
på at vi ikke kender vinklen til C i den udvidet trekant.
Vi ser at hvis vi forlænger grundlinjen til at møde linjen for højden vil
sinus til vinklen A gælde, da det da vil være en retvinklet trekant.
For at finde det andet udtryk for højden h, ser vi i den udvidet trekant at vi ikke kender vinklen til C,
men at vi kender vinklen C for den alm. trekant – vi gør derfor brug af enhedscirklen for at bevise at
sinus af begge disse vinkler vil være lig med hinanden. Den ubekendte C må være 180° - C.
I enhedscirklen aflæser vi sinus på y-aksen, vi plotter da vores to C værdier
ind i koordinatsystemet og ser ved aflæsningen at deres sinus værdier er ens.
Vi har dermed fundet de samme to udtryk for h som før, og igen som i første
bevis kan man blot bruge en anden grundlinje til højden for at finde sidste
udtryk for h – |AB| eller |BC|.
Page 41 of 47
13.3 Udledning af cosinusrelationerne
På samme måde som da vi udledte sinusrelationerne, starter vi med at opskrive en vilkårlig trekant
som vi kan bruge til at visualisere beviset.
13.3.1 For trekant med højden indeni
Vi opdeler trekanten med linjen for højden h af trekanten, og angiver
nogle udtryk for den opdelte grundlinje – hhv. x og b−x .
Nu skal have beskrevet højden h vha. Pythagoras' læresætning for
begge trekanter – vi leder altså efter to måder at udtrykke højden h.
c2=(b−x)2+h2 →h2=c2−(b−x)2 og a2=x2+h2 →h2=a2−x2
Nu da vi har to udtryk for h i anden, kan vi sætte dem lig hinanden og formulere ligningen.
c2−(b−x)2=a2−x2 – Opstilning af ligningen.
c2=a2−x2+(b−x)2 – Isolering af c2 på venstresiden.
c2=a2−x2+b2+x2−2bx – Ganger parentesen på højresiden ud.
c2=a2+b2−2bx – Fjerner led der går ud med hinanden.
c2=a2+b2−2ab cos(C ) – Da x=a· cos(C ) erstatter vi x .
13.3.2 For trekant med højden udenfor
Vi starter med at udvide trekanten, så dens grundlinje og linjen for
højden h mødes – vi kalder det forlængede stykke for x.
Nu skal vi, som før, have beskrevet h vha. Pythagoras' læresætning for
begge trekanter – den store og lille.
c2=(b+x)2+h2 →h2=c2−(b+x)2 og a2=x2+h2 →h2=a2−x2
Nu da vi har to udtryk for h i anden, kan vi sætte dem lig hinanden og formulere ligningen.
c2−(b+x)2=a2−x2 – Opstilning af ligningen.
c2=a2−x2+(b+x)2 – Isolering af c2 på venstresiden.
c2=a2−x2+b2+x2+2bx – Ganger parentesen på højresiden ud.
c2=a2+b2+2bx – Fjerner led der går ud med hinanden.
c2=a2+b2−2ab cos(C ) – Da x=a· cos(180−C ) og cos (180−C )=cos(C ) erstatter vi x.
Og dermed er cosinusrelationerne bevist.
Page 42 of 47
14 Statistik
Gør rede for de deskriptorer og grafiske fremstillinger, man gør brug af i forbindelse
med grupperede observations-sæt (deskriptiv statistik).
Du skal desuden komme ind på mindst 1 anden fordeling og fortælle om
denne/disses anvendelsesområde.
Du må gerne bygge gennemgangen på et konkret talmateriale.
14.1 Beskrivelse
14.1.1 Deskriptiv statistik
Orienteringen og udregningen af talmateriale, hvor enkelte målinger kaldes observationer, alle
målinger kaldes observations-sæt, og antallet af observationer i sættet kaldes sættets størrelse – herunder
vil jeg også referer til hhv. observationer som enkelte data, og observations-sættet som data-sættet.
14.1.2 Anvendelsesområder
Deskriptiv statistisk anvendes mange steder til at danne overblik over større talmateriale.
14.2 Fordelinger
14.2.1 Normalfordeling
Anvendes ved observations-sæt hvor der er flere muligheder, og her er det svaret der er den
afgørende data, i modsætning til den binomiale fordeling, hvor det er den der svarede.
Eksempel: 50% i alderen 20-25 år stemte på et bestemt politisk parti – mere end to svarmuligheder.
14.2.2 Binomialfordeling
Denne type fordeling er anvendt, hvis der er tale om binær data – dvs. at observationen er enten
eller (f. eks. ja og nej), og statistikken opgøres ud fra hvilke der sagde 'ja' og hvilke der sagde 'nej'.
Eksempel: 5% i alderen 20-25 år svarede at de ikke stemte på til politiske valg – to muligheder.
Page 44 of 47
14.3 Grafiske fremstillinger
Statistik kan afbilledes på mange måder, hvor hver metode viser data-sættet på en måde således at
det angiver noget specifikt om data-sættet – f. eks. er en summeret frekvenskurve nem at aflæse
kvartilsættet ud fra.
14.3.1 Histogram
Afrunding i intervaller (f. eks. i intervallet 5, ville observationen 12 blive 10), hvor y er procent.
14.3.2 Kumulerede frekvenser
Intervalinddelt ligesom histogrammet, men hvor frekvenser er aflæst som kumulerede på y-aksen,
dvs. det aflæst data hører til intervallets højreside kun.
14.3.3 Sum-kurve
I koordinatsystem, hvor x-aksen beskriver observations-sættets værdier og y-aksen beskriver den
kumulerede frekvens – dvs. frekvensen stiger kun i dette system (starter fra 0.0 og går til 1 – 100%).
14.3.4 Boksplot
Består af en x-akse, hvorpå der aftegnes hhv. mindste-værdi (minimum), nedre kvartil, median,
øvrekvartil og største-værdi (maksimum).
Page 45 of 47
14.4 Deskriptorer
En statistisk deskriptor er et tal beregnet ud fra data-sættet, som angiver specifik information om
data-sættet, samt individuelle data observationer – f. eks. består kvartilsættet af 3 deskriptorer.
14.4.1 Hyppighed
Et antal af observationer med en bestemt egenskab – f. eks. 5 observationer med samme egenskab i
hele data-sættet, derfor er hyppigheden 5 i pågældende data-sæt, med denne egenskab (eg. alder).
14.4.2 Frekvens
Frekvensen er procenten der forekommer af en bestemt observation.
f =hn
– hvor h beskriver hyppigheden, og n beskriver det samlede antal observationer.
14.4.3 Middeltal
Gennemsnittet for et observations-sæt.
x=1n∑i=1
n
xi eller x=x1+x2+...+xn
n– hvor n beskriver antallet af observationer.
14.4.4 Varians
Mål for distributionen af tal i data-sættet – hvor langt fra hinanden observationerne er, eller variere.
v=1n∑i=1
n
(x i− x)2 eller v=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+...+(xn−x)2] – n er antallet af observationer.
14.4.5 Spredning
Mål for observations-sættets midte og variation.
s=√v
Page 46 of 47
14.4.6 Kvartil-sæt – Nedre kvartil
Også kaldt 1. kvartil, beskriver det nedre kvartil at 25% af målingerne i data-sættet er mindre end
den x-værdi som aflæses ud fra den kumulerede frekvens på sum-kurven i x = 0.25.
14.4.7 Kvartil-sæt – Median kvartil
Også kaldt 2. kvartil, beskriver median kvartilet at 50% af målingerne i data-sættet er mindre end
den x-værdi som aflæses ud fra den kumulerede frekvens på sum-kurven i x = 0.50.
14.4.8 Kvartil-sæt – Øvre kvartil
Også kaldt 3. kvartil, beskriver det øvre kvartil 75% af målingerne i data-sættet er mindre end den
x-værdi som aflæses ud fra den kumulerede frekvens på sum-kurven i x = 0.75.
Page 47 of 47