Math (51pages)

រពះ ជ ចរកកមពជ ជត សន រពះម ក រត

រកសងអបរ យវជន នងក

េមេរៀនសេងខប

មខវជជ ៖ គណតវទយ

សរមបេរតៀមរបឡងសញញ បរតមធយមសក ទតយភម នងបេពញវជជ េលើកទ២

សមយរបឡង ១៣ ត ២០១៤

1

បញជអតថបទ .................................................................. 3 លមតនៃអៃគមៃ

................................................................. 3 I. មមម ៀៃសមខេប

....................................................... 3 1.បបមាណវធមលើលមត

................................... 4 2. លមតនៃអៃគមៃជបបបទះញកញាប

........................................ 4 3. លមតនៃអៃគមៃបតមោណមាបត

4. លមតនៃអៃគមៃអ ច .................................. 4 សបណខសសែល

....................................... 4 5. លមតនៃអៃគមៃមោោ តមៃសែ

.............................................. 15 មេ មវ ៃខ បែមទវនៃអៃគមៃ

................................................................ 15 I.មមម ៀៃសមខេប

1.មេ មវនៃអៃគមៃ ....................................................... 15 2.បែមទវនៃអៃគមៃ ..................................................... 19

................................................................... 21 II. លហាតគ

2

......................................................................... 29 ចៃៃកផលច

............................................................... 29 I. មមម ៀៃសមខេប

.................................................................... 30 II.លហាតគ

មោៃក .............................................................................. 39 I.មមម ៀៃសមខេប ................................................................ 39

1.បា រា បល ..................................................................... 39 2.មអលប ...................................................................... 40 3.អ សែបល .................................................................... 41

II.លហាតគ .................................................................... 42

3

លមតនៃអៃគមៃ

I. មមម ៀៃសមខេប

1.បបមាណវធមលើលមត

បបើ lim

x af x

L

0L

0L

0

0

បបើ lim

x ag x

0M

0

0

ប ោះ lim

x af x g x

L M

0

?

ប ោះ lim .

x af x g x

.L M

0

?

0

ប ោះ

limx a

f x

g x

L

M

0

0

?

?

?

?

កណតសគាល : រាងមនកណតគ : 0; 0 ; ;

0

4

2. លមតនៃអៃគមៃជបបបទះញកញាប លមតតតង

1lim lim ; lim 0

n

n x x xx ; x

x

លមតតតង

ជាចននគតរឡាទបវជជមាន នងគ 0

0

1lim x

x

n

x

ជាចននគតរឡាទបវជជមាន នងបសស 0

0

1lim x

x

n

x

ជាចននគតរឡាទបវជជមាន នងបសស 0

0

1limx

x

n

x

3. លមតនៃអៃគមៃបតមោណមាបត

0 0

lim 1 ; lisin 1 cos

m 0x x

x x

x x

4. លមតនៃអៃគមៃអ ចសបណខសសែល

lim

x

xe ; lim 0 ; lim

xx

x x

ee

x

បបើ 0n ប ោះ lim

x

n x

e

x នង lim 0

n

x x

x

e

5. លមតនៃអៃគមៃមោោ តមៃសែ

lim

x

lnx ; 0

lim

x

lnx ; lim 0

x

lnx

x ;

0lim 0

x

xlnx

បបើ 0n ប ោះ0

lim 0 ; lim 0

n

n x x

lnx x lnx

x

5

II. លហាតគ

1. 2

2

2 3

1

x xf x

x ; គណ lim

xf x

ចបមលើយ

a. ចប ោះតគប 0x ;

2

2 2 2

22

22

1 3 1 32 22 3

11111

xx x x x x xf xx

xxx

b. បគបាន 1lim 0

x x ;

2

1lim 0

x x

ដបចនោះ 2

1 3lim 2 2

x x x នង

2

1lim 1 1

x x

វបាក lim 2

x

f x

2.

2

1

1

xf x

x

គណ lim x

f x ; 1

lim ; lim x x

f x f x

ចបមលើយ

ក.

2 22

2

11

1 1lim lim

2 11lim lim

21 1

f

x x x x

xx x x

xx xx x

x x

1lim 0

x x

ខ.

2 22

2

11

1 1lim lim

2 11lim lim

21 1

x x x x

xx x x

f xx xx x

x x

1lim 0

x x

6

គ.

21 1

1liml

1im

x x

xf x

x

1

lim 1 2

x

x នង 2

1lim 1 0

x

x

បោយ 2

1 0 x ចប ោះ 0 x


lim

x

f x

3.គណ លមតខាងបតោម :

ក. 1

1m

1li

x

x

x ; ខ.

32

2im

2

8l

x

x

x ; គ.

0

1li

1m

sin x

x

x x

ចបមលើយ

ក. 1 1 1 1

1 11 1 1 1

1 211lim lim li

1lim

1 1m

x x x x

x xx x

x xx x x x

ខ. 32

2im

2

8l

x

x

x

បយើងដងថា 3 3 2 2 a b a b a ab b ដបចនោះ 3 28 2 2 4 x x x x

តាង

3 2

2 2 2 22 2

8 2 2 4 2 2

x xxf x

x x x x x

2

2 4

2 2 4 2 2

x

x x x x

2

2

2 2 4 2 2

x

x x x x

2

1

2 4 2 2

x x x

3 22 2

lim l2 2 1 1

8 482 4im

2 2

x x

x

x x x x

7

គ. 0

1lim

1

x

x x

sinx

តាង

1 1 1 11 1

1sin sin 1x x

x x x xx x f x

x x

2

1 1sin xx

x

x

1 1sin

2

x

x

x x

0 0

lim limsin

2

1 1x

x x

xf x

x x

0 0

lim lim2

1sin 1x

x x

x

x x ;

0 0

sinlim lim

sin1

x

x

x x

x

x

1 4.គណ 2 24lim 1 1

xx x

បយើងបឃើញ 24lim 1

x

x ; 2lim 1

x

x

ជារាងមនកណត x បយើងឧបមា 1x

2 2

2 2

1 14 1 4 4

x x x

x x

បោយ 1x ; x x នង 2

2

14 1 4 x x

x

ដចគាន ដដរ 2 2

2 2 2

1 1 11 1 1 1

x x x x

x x x

ដបចនោះ 2 2

2 2

1 14 1 1 4 1 f x x x x x

x x

2 2

1 14 1

x

x x

8

lim

x

x នង 2 2

1 14 1 2 1 1lim

x

x x

វបាក lim

x

f x

5.កណតលមតតតង 1 ននអនគមន f កណតបលើ \ 1; 1

បោយ 2

3 1

1

x f x

x

ក. 2

1 1 3 1 4lim lim 1 0

x xx ; x

ខ.សកាសញញា នន 2 1x បោយបតបើតារាងខាងបតោម

គ. 2

1

1

li m 1 0x

x

x នង 2

1

1

li 0m 1x

x

x

វបាក 1

1

limx

x

f x នង 1

1

limx

x

f x

6. លហាតគរ

ក. គណ 0

sin5lim

5

x

xx បយើងតាង 5X x

បគបាន 0

sin1lim

X

X

X


sin5lim 1

5

x

x

x

ខ. គណ 4 4

2sin 2sin

lim l4

4 4

m4

i

π πx x

π πx x

π πx x

តាង ; 4

π

X x 4

π

x ប ោះ 0X

9


4

2sinsin

lim lim4

2 2 1 2

4

π Xx

πx

X

π Xx

គ. គណ 0 0

5 5

5 5 5

2sin52sin5lim

5 5 5lim

xx

x x

x

x x x

0

2sin5 5 5lim

x

x x

x

0 0

sin5lim(10 ) 5 5

5lim

x

x

xx

x

10 2 5 20 5

ឃ. គណ 3

3li

3

m

π

x

cosx sinx

πx

បយើងបាន 3 13 2

2 2

cosx sinx cosx sinx

23 3

π π sin cosx cos sinx

2sin 2sin3 3

π π x x

3 3

3 3

33

lim lim 2

π πx x

πsin x

cosx sinx

ππxx

តាង ;3 3

π π

X x x បោយ 0X


3

lim li3

2 2

3

m 2lim

π X X

x

cosx sinx sinX sinX

π X Xx

10

7. លហាតគរ

ក.គណ 0 2

m2

l1

i

x

cos x

x បយើងតាង 2X x

0 0 0

lim lim li1

0m11

X X X

cosXcosX cosX

X X X

ខ.គណ 2

12

l

2

im

πx

πcos x

πx

បយើងតាង 2

π

X x ; បបើ 2

π

x បោយ 0X


2

11 12

lim lim lim 0

2

π X Xx

πcos x

cosX cosX

π X Xx

គ. គណ

2

0 0lim lim

1 11

1 1

x x

cosx cosxcos x

x cosx x cosx

1 0 cosx ឬ 1 cosx ឬ 2 , x π kπ k

បយើងបាន

2

0 0 0lim lim lim

11 10

1

x x x

cosxcos x cosx

x cosx x x

8.លហាតគរ

គណ លមតខាងបតោម :

a. 2lim

x

x lnx b. 2lim

x

x lnx

c. 0

lim

x

lnx

x d.

3

2lim

x

lnx

x

11

ចបមលើយ

a. តាង 2 f x x lnx

2lim

x

x នង lim

x

x

ដបចនោះ lim

x

f x

b. តាង 2 f x x lnx 2lim

xx នង lim

xlnx

វាមានរាងមនកណត

2 2

21

lnxf x x lnx x

x

2 2

2lim lim lim. 1

x x x

lnxx lnx x

x

2

1 m 0li

x

lnx

x

c. តាង lnx

f xx

កណតបលើ 0,

0 0 0 0 0

lim lim lim lim1

li1

m

x x x x xf x f x lnx lnx

x x

d. តាង

3

2

( )

lnx f x

x កណតបលើ 0,

3lim ( )

x

lnx នង 2lim

x

x


បដើបមបើគណ លមតបនោះបយើងតាង 3

2x X ដបចនោះ2

3X = x នង lim

xX

12

3

33 332

2 33

2

3

( ) 32

2

lnXlnX lnX

f xX X

X

3 3

2lim

3lim

x

X

lnXf x

X

ដត lim 0

X

lnX

X

ដបចនោះ 0lim

x

f x 9.លហាតគរ

a. lim 1

x

x e x b.

2lim

x

x

e

x

c. 0

lim

x x

x

e e

x d. lim

1

x

x

e

x

ចបមលើយ a. តាង 1 x

f x e x ;lim lim 1

x

x xe x


1

1 1

x x

x x

x f x e x e

e e

lim li1

1m

x

x x x x

xf x e

e e

lim li1

1m

x

x x x x

xe

e e

10 ;lim li 0m

x x x x

x

e e

11 1 ;lim lim

x

x x x x

x e

e e

ដបចនោះ lim

x

f x

13

b. 2

lim

x

x

e

x

តាង 2 2

1

xxe

f x ex x

ដត lim 0

x

xe នង

2lim

1 0

x x

ដបចនោះ 0lim

x

f x

c. តាង

x x

e ef x

x

0 0 0 0

lim lim lim li1

m( )

x xx x

x x x x

e ef x e e

x x

0(li ) 2m

x x

xe e នង

0

0

1limx

x

x

បយើងបាន 0

0

limx

x

f x

0

lim( ) 2x

x x

e e នង 0

0

l m1

ix

x

x

បយើងបាន 0

0

limx

x

f x

d. តាង 1 1

x x

e ef x

x x x

lim lim lim1

x

x x x

ef x

x x

ដត limx

x

e

x នង 1

lim 0x

x

បយើងបាន lim

x

f x

14

15

មេ មវ ៃខ បែមទវនៃអៃគមៃ

I. មមម ៀៃសមខេប

1.មេ មវនៃអៃគមៃ a.របមនតបលើបដរបវ

ដដនកណតននអនគមន

នង

√

√

16

លកខខណឌ

អនគមន

អនគមនមានបដរបវកណតបលើចប ល ោះ

អនគមន នង មានបដរបវ

បៅបលើចប ល ោះ នង ចននបថរ

អនគមន នង មានបដរបវ

បៅបលើចប ល ោះ នង បលើ

អនគមនបណដា ក: មានបដរបវបលើ ,

មានបដរបវបលើ

មានបដរបវបលើ , បលើ

√

√

-បបើ ជាចននគត , មានបដរបវបលើ -បបើ ជាចននគត , មានបដរបវ នង បលើ

17

b.បដរបវ ននអនគមនតតបោណមាតត

ដដនកណត

( )

18

( )

C.បដរបវ ននអនគមនអចសបណងដសែល នង បោោរតបនដព

ដដនកណត

19

2.បែមទវនៃអៃគមៃ a.តពមទវននអនគមនជបតបទោះញកញាប

អនគមន

តពមទវ

√

√

| |

20

b.តបមាណវធបលើតពមទវ

អនគមន

តពមទវ

21

√

√

II. លហាតគ 1.គណ បដរបវននអនគមនខាងបតោម :

ក. ខ.

គ. √ ឃ. √

ចបមលើយ

ក. បយើងបាន

ខ. បយើងតាង ឬ

ឬ

គ. √ បយើងតាង ឬ

√

√

22

√ បយើងបាន

√

√

ឃ. √ បយើងបតបើរបមនត

√

√

√

( √ ) (

√ )

( √ ) (√ )

√ ( √ ) (

√ )

( √ )(√ )

√

( √ )

√

2. គណ បដរបវននអនគមនខាងបតោម :

ក. ខ.

គ. ឃ.

ចបមលើយ

ក. មានរាង បោយ

បគបាន ( )

ខ. មានរាង ( )បោយ

តាមបដរបវននអនគមនបណដត កបយើងបាន

[ ( )] ( ) គ. ( ) [ ( )]

កនងសណរ ខ បយើងបាន

( )

23

ឃ.

បយើងបតបើរបមនត នង

3.គណ បដរបវននអនគមនខាងបតោម

ក. ខ.

គ. ឃ.

ចបមលើយ

ក. បយើងបាន

ខ.

ប ោះ

ដបចនោះ

គ. បយើងបាន

ឃ.

បយើងបតបើរបមនត (

)

(

)

4.គណ បដរបវបនតប ទ បននអនគមន

ចបមលើយ

បយើងបឃើញ ( ) បោយ នង

( )

24

( )

ចប ោះ

5. គណ បដរបវននអនគមន

ចបមលើយ

បយើងតាង

បយើងបាន ( )

6. គណ បដរបវននអនគមនខាងបតោម

ក. ខ.

គ.

ឃ.

ង. ច.

ចបមលើយ

ក.

ខ.

គ.

ដបចនោះ

25

ឃ.

ដបចនោះ

ង.

ដបចនោះ

ច.

បយើងតាង

នង

7. បបើ កណតតពមទវននអនគមន

ដដល វាយកតនមល 4 ចប ោះ ។

តពមទវទបៅ


ដបចនោះតពមទវតតកណតគ

8. រកតពមទវននអនគមនខាងបតោម :

ក.

ខ.

គ.

√

ចបមលើយ

ក.

តពមទវនន គ

តពមទវនន

គ

បយើងបានតពមទវនន

ខ.

26

( ) ដបចនោះ

ឬ

គ.

√ បយើងតាង

√

√

ដបចនោះ √

9. រកតពមទវននអនគមនខាងបតោម :

ក.

ខ.

គ.

ឃ.

ចបមលើយ

ក.

តាង នង

ដបចនោះ តពមទវ នន គ | |

ចប ោះ | | បគោចបាន

ខ.

បយើងតាង នង

ដបចនោះ តពមទវនន គ | |

ដតចប ោះតគប

ដបចនោះ

គ.

តាង នង

ដបចនោះ តពមទវនន គ | |

27

ដបចនោះ

ដបចនោះ

ឃ.

តាង នង


10. គណ តពមទននអនគមនខាងបតោម

ក. ខ.

គ.

ចបមលើយ

ក. តាង នង

ដបចនោះ តពមទវនន គ

ខ. តាង នង

បយើងបាន ដបចនោះ តពមទវនន គ

គ. តាង នង


ដបចនោះ តពមទវនន គ

28

29

ចៃៃកផលចI. មមម ៀៃសមខេប -ចននកផលច បៅថាទតមងពជគណតននចននកផលច។

បៅថាដផនកពត ប ើយ បៅថាដផនកនមតត ដដល នង ជា

ចននពត នង ។

-បបើ នង ប ោះបគបាន

នង -ចននកផលចឆលល សននចននកផលច តាងបោយ

-ចននកផលចផទយននចននកផលច តាងបោយ

-បបើបគមានចននកផលច ប ោះម ឌលនន តាងបោយ

| | √ -បបើ ជាចននកផលចប ោះ | | | | | |

-បបើ នង ជាចននកផលចប ោះបគបាន | | | | | |

|

|

| |

| | | | | | | |

-វចទរ ជារបភាពននចននកផលច តាង ជាមតចបផតនន

បៅថាោគយម ងននចននកផលច ។ បដើមបគណ ម បយើងតតវបោោះ

30

សរាយតបពនធសមោរ :

{

√

√

បៅថាទតមងតតបោណមាតតននចននកផលច

-បបើ នង ប ោះបគបាន

; ជាចននគតរឡាទប

(តទសតបទដមរ)(Moivre)

-បបើ ជាចននកផលចមនសនែ ប ើយ ជាចននគតវជជមាន

ប ោះ មាន ឬសទ គ

II.លហាតគ 1.គណ នង

ក. ខ. √ √ √

គ. √ √

ចបមលើយ

ក.

31

ខ. √ √ √

(√ √ ) ( √ ) √ (√ √ )— √ √ √ √ √ √ (√ √ )( √ ) (√ )( √ ) ( √ )( √ ) √ (√ )

√

(√ √ )

( √ )

(√ √ )( √ )

( √ )

√ ( √ )( √ )

( √ )

√

គ. √ √

( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) √ ( √ )( √ ) (√ )

( √ )

( √ )

( √ )( √ )

( √ )( √ )

( √ ) ( √ )

√

√

√

2.សរបសរចននកផលចខាងបតោមជាទតមងពជគណត

ក. √ √

√ √ ខ.

គ. ឃ.

ចបមលើយ

ក. √ √

√ √

(√ √ )(√ √ )

(√ √ )(√ √ )

32

ខ.

គ.

បយើងបតបើឯកលកខណោះភាព


ឃ.

3.សរបសរចននកផលចខាងបតោមជាទតមងតតបោណមាតត

ក. √ ខ.

គ. √ ឃ.

√

ចបមលើយ

ក. √ √

បយើងោចទាញបាន √

នង

ឬ

ដបចនោះ (

)

បយើងបាន មានម ឌល នង ោគយម ង

របបៀបមយ ងបទៀតតាមរមនត

√(√ ) √

√



)

33

ខ.

√ √

{

√

√

√

√

ដបចនោះ √ (

)

គ. √

√ (√ )

√

{

√


) (

)

ឃ.

√

√(

) (

√

)

√

√

{

√

√

ដបចនោះ

4. បគមានចននកផលច

បគបោយ នង

ក. សរបសររាងពជគណត ជាអនគមននន នង

ខ. រកទ កទនងរវាង នង បដើមបបោយ ពត

គ. រកទ កទនងរវាង នង បដើមបបោយ នមតត

34

ចបមលើយ

ក. សរបសររាងពជគណត ជាអនគមននន នង

ខ. ពត លោះតតាដត ដផនកនមតតបសមើ ឬ

នង ( នង )

ដបចនោះ ទ កទនងរវាង នង បដើមបបោយ ពត គ

នង ( នង )

គ. នមតត លោះតតាដត ដផនកពតបសមើ ឬ

នង ( នង )

ដបចនោះ ទ កទនងរវាង នង បដើមបបោយ នមតត គ

នង ( នង )

5. ក. បោោះសរាយបៅកនង សមោរ √

បយើងតាងបោយ ឬសរបសសមោរដដលដផនកនមតតវជជមាន

នង តាងបោយ ឬសមយបទៀត។

ខ. a.កណតម ឌល នង ោគយម ងននចននកផលច នង

b.កណតម ឌល នង ោគយម ងននចននកផលច (

)

35

ចបមលើយ

ក. បោោះសរាយបៅកនង សមោរ √

( √ ) ( √ )

( √ )

√ √

√ √

√ √

√ √

ខ.a.កណតម ឌល នង ោគយម ង នង

√ √ ; | | √

នង { √

√

បយើងបានទតមងតតបោណមាតតនន (

)

√ √ | | √

នង { √

√

បយើងបានទតមងតតបោណមាតតនន (

)

b. កណតម ឌល នង ោគយម ងនន (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) មានម ឌល |(

) | នង ោគយម ងបសមើ

36

6. កណត នង ជាអនគមននន នង ។

ចបមលើយ

បយើងបតបើតទសតបទដមរ :


មយ ងបទៀត

បត ោះ

( ) ( ) បយើងបាន

( ) 7. ក.គណ ចប ោះតនមលននចននគតរឡាទប ។

ខ.ទាញយកតនមល

ចបមលើយ

ក. ចប ោះ

ចប ោះ

ចប ោះ

ចប ោះ

37

ចប ោះ

បយើងបឃើងមានខបបសមើ 4 សតមាបសវតននសវយគណរបស

ដបចនោះ បបើ ចប ោះ ជាចននគតរឡាទបវជជមានប ោះ

បបើ ចប ោះ ជាចននគតរឡាទបវជជមានប ោះ



ខ.ទាញយកពលទធផលខាងបលើគណ

តាមវធដចកអឃលដ បោយ បយើងបាន

ដបចនោះ ដដល

វបាក

8.បោោះសរាយបៅកនងសណចននកផលច សមោរ

( )( ) បោយគតដល

( )( ) ( √ )( √ ) បយើងបានឬសរបសសមោរ

√ √ 9.បគកណតបៅកនងសណចននកផលច សមោរ

ក.កណតចននពត បដើមបបោយ

(បតបើឯកលកខណោះភាព )

38

( )

បោយតបដចបយើងបាន {

ឬ {

( ) ខ.បោោះសរាយសមោរ

( ) ឬ ឬ ឬ ( √ )

ឬ √ ឬ √ ឬ √ ឬ √ ចបមលើយរបសសមោរគ :

√ √ គ.សរបសរជាទតមងតតបោណមាតត ឬសរបសសមោរ

√ (

√

) (

)

√ (

√

)

39

មោៃក

I.មមម ៀៃសមខេប

1.បា រា បល

ក.សមោរសតងោននបា រា បលដដលមានកពលជាគលអកសកអរបោបន

កពល កណ ប ទ តតបាបទស សមោរសតងោ ពណ

0,0

,0p

x p

2 4y px

អកសឆលោះជាអកសោបសស 0p បា រា បលដបរភាពផតបៅរក ទស 0x 0p បា រា បលដបរភាពផតបៅរក ទស 0x

0,0

0, p

y p

2 4x py

អកសឆលោះជាអកសអរបោបន 0p បា រា បលដបរភាពផតបៅរក ទស 0y 0p បា រា បលដបរភាពផតបៅរក ទស 0y

40

ខ.សមោរសតងោននបា រាបលដដលមានកពលខសពគលអកសកអរបោបន

កពល

កណ

ប ទ ត

តបាបទស

សមោរសតងោ

ពណ

,h k

,h p k

x h p

24y k p x h

អកសឆលោះជាអកសបដក 0p បា រា បលដបរភាពផតបៅរក ទស 0x 0p បា រា បលដបរភាពផតបៅរក ទស 0x

,h k

,h k p

y k p

24x h p y k

អកសឆលោះជាអកសឈរ 0p បា រា បលដបរភាពផតបៅរក ទស 0y 0p បា រា បលដបរភាពផតបៅរក ទស 0x

2.មអលប ក.សមោរសតងោននបអលបដដលមានផចតជាគលអកសកអរបោបន

ផចត អកសធ កណ កពល សមោរសតងោ

0,0

បៅបលើអកស ោបសស

,0c

,0a

2 2

2 21

x y

a b

0a b ដដល2 2 2c a b

0,0

បៅបលើអកសអរបោបន

0, c

0, a

2 2

2 21

x y

b a


41

ខ.សមោរសតងោននបអលបដដលមានកពលខសពគលអកសកអរបោបន

ផចត អកសធ កណ កពល សមោរសតងោ

,h k

ជាអកសបដក

,h c k

,h a k

2 2

2 21

x h y k

a b


,h k

ជាអកសឈរ

,h k c

,h k a

2 2

2 21

x h y k

b a


3.អ ពែបល ក.សមោរសតងោននអដពបលដដលមានផចតជាគលអកសកអរបោបន

ផចត

អកសទទង

កណ

កពល

សមោរ សតងោ

ោសមតត

0,0

បៅបលើអកសោបសស

,0c នង ,0c

,0a នង ,0a

2 2

2 21

x y

a b

2 2 2c a b

b

y xa

នងb

y xa

0,0

បៅបលើអកសអរបោបន

0,c នង 0, c

0,a នង 0, a

2 2

2 21

y x

a b

2 2 2c a b

a

y xb

នងa

y xb

42

ខ.សមោរសតងោននអដពបលដដលមានផចតខសពគលអកសកអរបោបន

ផចត អកសទទង

កណ កពល សមោរសតងោ ោសមតត

,h k

សរសបនងអកសោបសស

,h c k

នង ,h c k

,h a k

នង ,h a k

2 2

2 21

x h y k

a b

2 2 2c a b

b

y k x ha

នង

b

y k x ha

,h k

សរសបនងអកសអរបោបន

,h k c

នង ,h k c

,h k a

នង ,h k a

2 2

2 21

y k x h

a b

2 2 2c a b

a

y k x hb

នង

a

y k x hb

II.លហាតគ 1.រកសមោរសតងោរនន

បា រា បល ដដលមាន

កណតតងចណច 0, 1F

នងប ទ តតបាប ទស 1y ។

ចបមលើយ

កណF សថតបៅបលើ

អកសអរបោ បនប ោះអកស

ឆលោះជាអកសអរបោបន។ បោយកពលសថតបៅបលើអកសឆលោះនងជាចណច កណដត លរវាងកណនង

ចនចតបសពវរវាង ប ទ តតបាបទសនងអកសឆលោះដដលចណចបនោះមានកអរបោបន 0,1 ។

43

បយើងបានកពលជាគល អកសកអរបោបន ដបចនោះបា រា បល មានសមោរ 2 4x py ,

0, 0, 1 1F p F p បយើងបាន 2 4x y បា រា បលោតតាមចណច

2, 1 ; 2, 1 ។

2.បា រា បលមយមានកពលបៅតតងចណច 0,0O នងកណF សថតបៅបលើអកសោបសស។

ក.រកសមោរសតងោននបា រា បលបបើវាោតតាមចណច 8,8A ។

ខ.រកតនមលនន 1x បបើចណច 1, 4B x សថតបៅបលើបា រា បល។

ចបមលើយ

ក.បា រា បលមានកពល 0,0O

នងកណសថតបៅបលើអកស

ោបសសប ោះ អកសោបសស

ជាអកសឆលោះននបា រា បល។

សមោរននបា រា បលមាន

រាង 2 4y px , 8,8A បៅ

បលើបា រា បលបយើងបាន

28 4 8 2p p

ដបចនោះ សមោរសតងោរននបា រា បលគ

2 8y x , : ,0 2,0F p

ខ.រកតនមលនន 1x

1, 4B x បៅបលើបា រា បលដដលមានសមោរ 22

1 18 4 8y x x ឬ 1 2x

44

3.រកសមោរសតងោននបា រា បលដដលមានកពល 2,1 នង កណតតងចណច 4,1

ចបមលើយ

អកសឆលោះននបា រា បល

ជាអកសបដក (កពលនង

កណមានអរបោបនដចគាន )

បយើងបតបើសមោរ :

2

4y k p x h

កពល : , 2,1 2, 1V h k h k

កណ : , 4,1 4F h p k h p

ឬ 2p

សមោរសតងោរននបា រា បលបនោះគ

2

1 8 2y x

សមោរប ទ តតបាបទស 0x h p

4.រកកអរបោបនកពល កណ នង សមោរប ទ តតបាបទសននបា រា បលដដលមានសមោរ

2

1 4 3x y ។

ចបមលើយ

សមោរបនោះមានរាង : 2

4x h p y k ដដលមានកណមានក អរបោបន ,h k p

កពល ,h k នងប ទ ត តបាបទសមានសមោរ y k p បោយបតបៀបបធៀប

2

1 4 3x y នងសមោរខាង បលើបយើងបាន 1, 3, 1h k p

45

កអរបោបនកពល

, 1,3h k

កអរបោបនកណ

, 1,4h k p

សមោរប ទ តតបាបទស

3 1 2y k p

5. រកសមោរសតងោននបអលបដដលមានកណមយជាចណច 1,0 នង

ចណចកពលពរបៅតតងចណចពរបៅតតងចណច 2,0 នង 2,0 រចសងបអលបប ោះ។

ចបមលើយ

បោយកពលជា

ចណច 2,0 នង 2,0

ប ោះផចតននបអលបគ

គលអកស 0,0O ប ើយ

អកសធជាអកសោបសស។

,0 2,0 2

,0 1,0 1

a a

c c

46

2 2 2c a b ឬ 2 2 2 4 1 3b a c

បអលបមានសមោរ :

2 2

2 21

x y

a b

ឬ

2 2

14 3

x y

6.បគបោយសមោរ 2 236 4 36x y

ក. បងហា ញថាសមោរបនោះជាសមោរបអលប។ រកតបដវងអកសធ,អកសតច,កអរបោបនននកពល

ទាងពរ នង កអរបោបនននកណទាងពរននបអលប។

ខ. សងបអលបប ោះ។

ចបមលើយ

ក. បយើងដចកអងគទាងពរននសមោរបោយ36


136 36

x y ឬ

2 2

2 21

1 3

x y វាមានរាង

2 2

2 21

x y

b a , 0a b

ជាសមោរបអលប ដដលមានផចតជាគល អកសកអរបោបន នងមានអកសធបៅបលើអកស អរបោ

បន។ តាមសមោរបនោះ បយើងទាញបាន 3a នង 1b អកសធតបដវង 2 2 3 6a

នង អកស តចតបដវង 2 2 1 2b ខ.សងបអលបសមោរ 2 236 4 36x y

កពល ទាងពរមាន កអរបោបន

0,3 នង 0, 3 បយើងបាន

2 2 2 2 23 1 8c a b 2 2c , កណទាងពរ

មានកអរបោបន 0,2 2

នង 0, 2 2

47

7. រកសមោរននបអលបដដលមានកពលទាងពរជាចណច 3,2 នង 5,2 នង មាន

អកសតចតបដវង 4 ឯកតា។

ចបមលើយ

កពលទាងពរសថតបៅ

បលើបលងបដកប ោះបអលប

មានសមោរសតងោ

2 2

2 21

x h y k

a b

បោយផចតននបអលបជា

ចណចកណដត លននអងកត

ភាជ បកពលទាងពរប ោះបគបានកអរបោបនននផចតបអលប :

5 3 2 2,

2 2h k

ឬ 1, 2h k

តបដវងអកសធ 2 2 22 5 3 2 2 8 8a

តបដវងអកសតច 2 4 2b b

ដបចនោះ សមោរសតងោននបអលបគ 2 2

2 2

1 21

4 2

x y

ឬ

2 21 2

116 4

x y

8. បគមានសមោរ 2 24 16x y

ក. បងហា ញថាសមោរបនោះជាសមោរអដពបល។

កណតកអរបោបនកពល នង កអរបោបនកណ។

ខ. រកោសមតត។

គ.សងអដពបល។

48

ចបមលើយ

ក.បគមាន 2 24 16x y បយើងដចកអងគទាងពរបោយ16

បយើងបាន 2 24

116 16

x y ឬ

2 2

2 21

4 2

x y

បយើងបាន 4, 2a b

កអរបោបនកពលទាងពរគ 4,0 នង 4,0

2 2 2 16 4 20c a b បយើងបាន 20 2 5c

កអរបោបនននកណទាងពរគ 2 5,0 នង 2 5,0

ខ.សមោរោសមតត

by x

a នង b

y xa


2y x នង 1

2y x

គ.សងអដពបល

បដើមបសងអដពបលបគ

បៅកពល នង គសចត

បោណដកងដដលមាន

បបណដត យ 8ឯកតា

នងទទងតបដវង4ឯកតាប ើយផចតបៅគលអកសកអរបោបន។ រចបយើងគសោសមតតបោយ

ប ល យអងកតតទងននចតបោណដកងបនោះ។ រចបយើងគសអដពបល

49

9.បគបោយសមោរ 2 216 4 36y x

ក.បងហា ញថាសមោរបនោះជាសមោរអដពបល។

កណតកអរបោបនននកពល នង កណរបសអដពបល។

ខ.រកសមោរោសមតតននអដពបល។

គ.សងអដពបលប ោះ។

ចបមលើយ

ក.បយើងដចកអងគទាងពរននសមោរ 2 216 4 36y x បោយ36


136 36

y x ឬ

2 241

9 9

y x ឬ

2 2

2 21

33

2

y x

ដបចនោះវាមានរាង 2 2

2 21

y x

a b ដដលជាសមោរអដពបលមានអកសទទងបៅបលើអកស

អរបោបន បយើងបាន 3, 3

2a b កអរបោបនកពលទាងពរគ 3

0,2

នង 30,

2

2

2 2 2 23 9 45 93 9 5

2 4 4 4c a b

35

2c កអរបោបនននកណគ 3

0, 52

នង 30, 5

2

ខ.សមោរោសមតត 3

12

3 2

ay x x x

b ឬ 1

2y x

3

12

3 2

ay x x x

b ឬ 1

2y x

50

គ.បដើមបសងអដពបល

បយើងបៅកពលប ើយ

គសចតបោណដកង

ដដលមានបបណដត យ

6 ឯកតា នង ទទង

3ឯកតាប ើយមាន

ផចតបៅគលអកសកអរ

បោបន។គសអងកតតទង

នង ប ល យអងកតតទងទាងពរបយើងបានោសម តតទាងពររបសអដពបលប ោះ។

Documents

Math (51pages)