SPRING  2013  –  Calculus  101C  –  Test  2  

Show  ALL  work  for  full  credit  

1   A)   Graph  the  surface    𝑧 = 1 −  𝑥! −  𝑦!    (and  the  path  on  the  surface  from  part  B)  

B)   Find  the  vector  function  and  its  domain  that  represents  the  path  of  steepest  ascent  ON  THE  surface  if  

you  are  starting  at  the  point         !  !     , !

 !   , 0  and  stopping  at  the  extrema.    Intuitively,  this  path  should  be  

easy  to  see  on  the  surface.    Verify  your  intuition  using  the  math  theory  and  techniques  from  this  chapter.    (your  vector  function  should  have  3  components  since  it’s  on  the  surface)  

 

 

2   Create  a  list  of  all  possible  candidates  for  the  absolute  maximum  and  minimum  values  of  the  following  function  that  are  in  the  closed  set  bounded  by  the  triangle  with  vertices      (  0  ,  0  )    ,    (  0  ,  3  )    ,    and    (  2  ,  3  ).  

  𝐹 𝑥, 𝑦 = 3𝑥! + 4𝑦! − 9𝑥 − 16𝑦 + 2    

 

 

3   Find  the  equation  of  the  plane  through  the  points  (2  ,  0  ,  3)  ,  (1  ,  1  ,  0)  ,  and  (3  ,  2  ,  -­‐1).  

 

 

4   The  temperature  at  any  point  in  a  homogeneous  body  is  given  by        𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒!!! + sin 𝑥𝑧    

What  is  the  direction  of  the  greatest  drop  in  temperature  at  the  point      2  , 0  ,𝜋    ?  

 

 

5   𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥! + 𝑥𝑦            Compute  the  total  differential    as  (  x  ,  y  )  changes  from    (  2  ,  1  )    to    (  2  ,  2  ).  

 

 

6   A)      Identify  the  following  surface  by  circling  the  correct  name.        B)      Also  draw  a  rough  sketch  of  the  surface.  

(Hyperboloid  of  2  sheets,    Hyperboloid  of  1  sheet,    Cone,    Hyperbolic  Paraboloid,    Elliptic  Paraboloid,    Ellipsoid,    or  Plane)  

𝑥! = 𝑧! + 𝑦! +  1  

 

 

7   Find  the  equation  of  the  plane  containing  the  lines              𝑟! 𝑡    =       6 4 1  +    𝑡   2 −4 0    

and          𝑟! 𝑡    =       4 5 3  +    𝑡   1 −2 0    .  

 

8  

Let        ℎ 𝑡 = 𝑚    𝑥  , 𝑦          where      𝑥 𝑢, 𝑣 = 𝑓  𝑢 𝑡    , 𝑣 𝑡        and      𝑦 𝑢, 𝑣 = 𝑔  𝑢 𝑡    , 𝑣 𝑡    

  Find  the  formula  for        !!!"        (hint:  draw  a  tree  and  use  the  chain  rule)  

 

9   What  is  the  greatest  area  that  a  rectangle  can  have  if  the  length  of  its  diagonal  is  2  ?  

Let  the  rectangle  be  in  the  first  quadrant  with  two  of  its  sides  along  the  coordinate  axes;  then  the  vertex  opposite  the  

origin  has  coordinates  (  x  ,  y  ),  with  x  and  y  positive.    The  length  of  its  diagonal  is   𝑥! + 𝑦! = 2    ,  and  its  area  is  xy.    Thus,  we  formulate  the  problem  to  be  that  of  maximizing    𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦      subject  to  the  constraint    𝑥! + 𝑦! − 4 = 0  .      

A)   Use  Lagrange’s  Method  to  find  the  maximum.  

 

 

B)   Substitute  the  constraint  into  the  function  to  find  the  maximum.    You  should  get  exactly  the  same  answer  as  in  part  A.    (You  can  parameterize  the  constraint  first  if  you  want,  whatever  you  find  the  easiest)  

 

10   A)   Sketch  the  surface  A:        𝑥! + 𝑦! − 𝑧! = 1      

B)   The  plane    2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 4    and  the  surface  A  intersect  creating  a  space  curve  C.    Find  a  Vector  Function  that  represents  the  tangent  line  to  the  space  curve  C  at  the  point  (  1  ,  2  ,  2  ).  

  (your  vector  function  should  have  3  components)  

   

11   Find  the  directional  derivative  of  the  function  𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 sin 𝑧    at  the  point   1  , 2  , !!        in  the    

direction  of  the  vector    𝑎 = 𝚤 + 2𝚥 + 2𝑘    .  

 

12   Find  the  linear  approximation  of  the  function    𝑓(𝑥, 𝑦) =   𝑥! +  𝑦!      at  the  point      3  ,−4  , 5   .