53
LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE Współczesne układy regulacji automatycznej wyposażone są w regulatory cyfrowe, co narzuca konieczność stosowania w ich analizie i syntezie odpowiednich równań dynamiki, opisujących charakter zmian sygnałów cyfrowych i dyskretnych. A/D A/D OBIEKT D/A Algorytm ZEGAR KOMPUTER u(t ) u(k) e(k) y o (t ) y(t ) y(k) y o (k) Układy regulacji automatycznej, w których informacja jest przekazywana za pomocą sygnałów dyskretnych nazywane są układami dyskretnymi. Rozróżnia się sygnały dyskretne w poziomie i sygnały dyskretne w czasie. Sygnałem dyskretnym w poziomie nazywa się sygnał przyjmujący dwie lub więcej wartości dyskretnych. Sygnałem dyskretnym w czasie nazywa się sygnał będący ciągiem impulsów. 1

Materiały do wykładu #9

  • Upload
    donhi

  • View
    227

  • Download
    3

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Materiały do wykładu #9

LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE

Współczesne układy regulacji automatycznej wyposażone są w regulatory cyfrowe, co narzuca

konieczność stosowania w ich analizie i syntezie odpowiednich równań dynamiki, opisujących charakter

zmian sygnałów cyfrowych i dyskretnych.

A/D

A/D

OBIEKTD/AAlgorytm

ZEGAR

KOMPUTER

u(t)u(k)e(k)yo(t) y(t)

y(k)

yo(k)

Układy regulacji automatycznej, w których informacja jest przekazywana za pomocą sygnałów

dyskretnych nazywane są układami dyskretnymi.

Rozróżnia się sygnały dyskretne w poziomie i sygnały dyskretne w czasie.

Sygnałem dyskretnym w poziomie nazywa się sygnał przyjmujący dwie lub więcej wartości dyskretnych.

Sygnałem dyskretnym w czasie nazywa się sygnał będący ciągiem impulsów. 1

Page 2: Materiały do wykładu #9

Operację przekształcania sygnału w czasie ciągłego w dyskretny nazywa się kwantowaniem sygnału.

Rozróżnia się kwantowanie sygnału w poziomie i kwantowanie sygnału w czasie zwane próbkowaniem.

Układy, w których występuje kwantowanie sygnału w czasie, nazywane są układami impulsowymi.

Informacja jest tu przekazywana w dyskretnych chwilach czas, zwanych chwilami impulsowania.

Modulacją impulsów nazywa się funkcję ciągłą przedstawioną w postaci ciągu impulsów, których

amplituda, szerokość i położenie wewnątrz okresu próbkowania, zwanego okresem impulsowania �� zależą od

wartości funkcji w dyskretnych chwilach czasu � = ��� (� = 0, 1, . . . ).

W przypadku, gdy obiektem

sterowania jest obiekt ciągły ��

(�), to układ

sterowania musi być wyposażony w dwa

dodatkowe elementy jakimi są impulsator

i ekstrapolator �(�) .

Oba elementy pracują synchronicznie

z zadanym okresem próbkowania ��

(sampling time).

�(�) �(�) �

�(�)

���

�(�)

�∗(�)

Rys. 1. Układ dyskretny sterowania obiektem ciągłym

�(�)

2

Page 3: Materiały do wykładu #9

�(�)

�∗(�) ���

Impulsator,

przetwarza sygnał wyjściowy ���� na jego przebieg dyskretny w czasie

�∗��� = �������� − �����

���

= ���������� − �����

���

przy czym � = 0, 1, 2, … (1)

gdzie ��� − ���� opisuje idealny impulsator, generujący impulsy typu Diraca,

y(t)

t

δ(t)

t

y*(t)

t

Zakłada się , że impulsator zamyka się i otwiera ze stałą częstotliwością (stałym ��) i pozostaje zamknięty

przez czas τ = 0, a co najwyżej przez chwilę pomijalnie małą w porównaniu z czasami odpowiedzi układu.

3

Page 4: Materiały do wykładu #9

Ekstrapolator zerowego rzędu

���� =1 − �����

� , (2)

przetwarzający dyskretny sygnał sterujący �(�) na jego postać ciągłą w czasie �(�), możliwą do podania

na wejście obiektu ciągłego.

� = ��� 1 2 � � + 1

�(�)

0

���

�(�)

1

−����

(� + 1)��

���

(� + 1)��

�(�) ���� = ��� − (� − ��)

3

3 � = ���

�(�)

1 2 � � + 1 0

4

Page 5: Materiały do wykładu #9

RÓWNANIA ROŻNICOWE

Równania różnicowe są analogiem równań różniczkowych, i uzyskuje się je poprzez dyskretyzację

równań różniczkowych.

��(�)

�� = lim∆�→�

���� − �(� − ∆�)

∆� ∆���� = ���� − �(� − 1)

���(�)

��� = lim∆�→�

��(�)�� −

��(� − ∆�)��

∆�

∆����� = ∆���� − ∆��� − 1�

= ���� − 2��� − 1� + ��� − 2�

���(�)

��� = lim∆�→�

���(�)

��� −���(� − ∆�)

���∆�

∆����� = ∆����� − ∆���� − 1�

= ���� − 3��� − 1� + 3��� − 2� − �(� − 3)

Ogólnie, różnice n - tego rzędu ∆����� funkcji dyskretnej ����w k chwili można wyznaczyć na

podstawie poniższej formuły

∆����� = ∆������� − ∆������ − 1� = ��−1�� �!

�� − 1�! !�(� − 1)

��

5

Page 6: Materiały do wykładu #9

Dyskretyzacja pochodnych względem czasu

������� ≈

���� − ��� − 1���

���(�)

��� ≈���� − 2��� − 1� + ��� − 2�

���

���(�)

��� ≈���� − 3��� − 1� + 3��� − 2� − �(� − 3)

���

⋮ ⋮

���(�)

��� ≈1

��� ��−1�� !

� − 1�! ! �(� − 1)

���

Ogólna postać symulatora cyfrowego równań różniczkowych

Równaniem różnicowym n-tego rzędu nazywamy związek między funkcją dyskretną i jej różnicami do

n-tego rzędu włącznie. Biorąc pod uwagę, że różnice n-tego rzędu można wyrazić za pomocą n -1

kolejnych wartości funkcji, możemy równanie różnicowe rzędu n-tego określić jako związek między

kolejnymi wartościami funkcji dyskretnej.

Liniowe równania zwyczajne: różniczkowe

������ + a��������� + ⋯ + a������ + a����� = ������ + b �������� + ⋯ + b������ + b�����

i różnicowe

∆����� + a��∆������ + ⋯ + a�∆���� + a����� = ∆����� + b��∆������ + ⋯ + b�∆���� + b�����

6

Page 7: Materiały do wykładu #9

� a�∆����� =

���

� b�∆�������

���

Gdy �(�) ≠ 0, to równanie jest równaniem niejednorodnym, a gdy ���� = 0 – równaniem różnicowym

jednorodnym. Warunki początkowe dla równania są dane, jeżeli znane są dla � = 0 wartości funkcji

dyskretnej �(�) oraz jej kolejnych różnic rzędu od 1 do � − 1, tzn. kiedy są dane:

�� = ��0�, �� = ��(0), . . ., ���� = ∆����(0).

Rozwiązanie równania różnicowego polega na wyznaczeniu takiej funkcji dyskretnej �(�), która spełnia

równanie przy danych warunkach początkowych.

������� − � =

���

������� − ���

��

Współczynniki równania różnicowego (różnice wsteczne) ze współczynnikami równania różniczkowego

wiążą zależności

��� = ��−1���� �� − �!

�� − �! � − �!

���

1

����a��� , ��� = ��−1���

�� − �!

�� − ��! �� − �!

���

1

����b���

7

Page 8: Materiały do wykładu #9

Przykład: Rozwiązanie równania metodą rekurencyjną, przy założeniu zerowych warunków

początkowych ��0�,��−1�, ��−2� = 0 oraz �(�) = 1 dla � ≥ 0

����� − 2� + ����� − 1� + ������ = ������

������ = ������ − ����� − 2� − ����� − 1�

���� =���� ���� −

���� ��� − 2� −

���� ��� − 1�

��0� =���� ��0� −

���� ��−2� −

���� ��−1� =

����

�(1) =���� ��1� −

���� ��−1� −

���� ��0� = �−

���� + 1 ����

�(2) =���� ��2� −

���� ��0� −

���� ��1� = −��

�� −���� �−

���� + 1 + 1� ����

��3� =���� ��3� −

���� ��1� −

���� ��2� = �−��

�� �−���� + 1 −

���� −

���� −

���� �−

���� + 1 + 1� + 1 ����

8

Page 9: Materiały do wykładu #9

Przykład: Dyskretyzacja równania różniczkowego drugiego rzędu;

Równanie różniczkowe: a��� + a��� + a�� = b��

Równanie różniczkowe: ���(� − 2) + ���(� − 1) + ��� = ���(�)

Związki pomiędzy współczynnikami: �� =a�

���

+a�

��+ 1, �� =

2a�

���

−a�

��, �� =

a�

���

9

Page 10: Materiały do wykładu #9

PRZEKSZTAŁCENIE �

Przekształcenie � jest zdefiniowane za pomocą wzoru

���� = ���(�) = ��������

���

(3)

gdzie ���� = ������, � = 0,1,2, … jest ciągiem wartości funkcji dyskretnej (sygnału dyskretnego).

Przekształcenie � przyporządkowuje funkcji dyskretnej (oryginałowi) funkcję (transformatę) ����

zmiennej z.

Tak utworzona funkcja �(�) jest nazywana jednostronną transformatą � ciągu �(�).

Gdy znana jest transformata ���� oryginał funkcji wyznacza się z odwrotnego przekształcenia �

�(�) = �������� (4)

Przekształcenie � spełnia zasadę superpozycji

��������� + ������� = ��������� + ��������� = ������� + ����(�), gdzie �� i �� − stałe

Twierdzenie o transformacie splotu.

Transformata � splotu dwóch funkcji dyskretnych �1��� i �2��� jest równa iloczynowi transformat � tych

funkcji, tj. ���1��� ∗ �2��� = ���1��� ∙ ���2��� = �1��� ∙ �2(�)

gdzie splotem ����� ∗ ����� funkcji dyskretnych ����� i ����� jest funkcja dyskretna określona wzorem

����� ∗ ����� = ���� − ���� ����

��

10

Page 11: Materiały do wykładu #9

Transformata funkcji dyskretnej przesuniętej w lewo o n okresów impulsowania:

����� + ��� = ��� − ������ + ��� = ��� − �����������

���

������

���

Jeśli ���� dla � = 0, 1, … , � − 1, to ����� + ��� = ���.

Transformata funkcji dyskretnej przesuniętej w prawo (opóźnionej) o n okresów impulsowania:

����� − ��� = ���� Twierdzenie o wartości początkowej: ��0� = lim�→ ().

Twierdzenie o wartości końcowej: ��∞� = lim�→�( − 1)()

11

Page 12: Materiały do wykładu #9

Transformaty � wybranych funkcji dyskretnych

oraz odpowiadające im funkcje ciągłe i ich transformaty

�(�) �(�) �(�) �(� ∙ ��)

(�) 1 1 (� ∙ ��)

1 1(�) 1

� − 1 1(� ∙ ��)

2 � 1

�� ��

� − 1�� � ∙ ��

3 �� 2

�� ��

��� + 1�

� − 1�� � ∙ ���

4 ���� 1

� +

� − ����� ���∙�∙��

5 � ∙ ���� 1

� + �� ���

�����

� − ����� � ∙ ���

����

6 ������ 2

� + �� ��

������ ∙ �� + �����

� − ����� � ∙ ���

����∙�∙��

12

Page 13: Materiały do wykładu #9

7 ��� �� 1

�� + ��

� sin����� − 2� cos��� + 1

sin����

8 � �� �

�� + ��

��� − � ������ − 2� � ��� + 1

� ����

9 ��� ��� �� �

�� + ��� + ��

� ���� ��� ����� − 2� ���� � ��� + ����� ����� ��� ����

10 ��� � �� � + �

�� + ��� + ��

�� − � ���� � ����� − 2� ���� � ��� + ����� ����� � ����

Wyznaczanie oryginału ���� funkcji wymiernej zmiennej zespolonej �(�) Wyznaczanie odwrotnej transformaty � metodą rozkładu na ułamki proste.

Odwołując się do zależności podanych na stronach 16 i 17 wykładu 2, poprzedniego semestru, gdzie

uwidocznione są składniki rozkładu na ułamki proste funkcji wymiernej zmiennej zespolonej s, których to

transformaty odwrotne prowadzą do funkcji eksponencjalnych typu

��� = ℒ� � � − �� , (5)

13

Page 14: Materiały do wykładu #9

oraz biorąc pod uwagę wiersz 4 tabeli transformat, łatwo spostrzec, że relacja pomiędzy dyskretną

postacią tej funkcji wykładniczej a jej transformatą � jest następująca

������ ⇆�

� − ������ =�

� − �� . (6)

Z powyższego wynika, że rozkład na ułamki proste funkcji wymiernej zmiennej zespolonej z winien

przyjąć postać

�(�) =���

� − �� +���

� − �� + ⋯ = � ���� − ��

��

(7)

Ze względu na to, że w licznikach składników rozkładu funkcji �(�) nie występują operatory s, więc

rozkład �(�) należy podzielić obustronnie przez operator z, aby po wyznaczeniu współczynników udziału

�� liczniki składników rozkładu ponownie pomnożyć przez operator z.

Transformatę odwrotną otrzymuje się z zależności

���� = ��� ���� = ���� � ���� − ���

��

(8)

14

Page 15: Materiały do wykładu #9

Przykład

Dana jest funkcja wymierna zmiennej zespolonej z.

���� =0,5�

�� − 0,5��� − 0,7�

Wyznaczyć funkcje dyskretną.

Rozwiązanie

Dzielimy obustronnie funkcję ���� i wyznaczamy współczynniki udziału (residua) rozkładu

����

�=

0,5

�� − 0,5��� − 0,7�=

��

� − 0,5+

��

� − 0,7=

−2,5

� − 0,5+

2,5

� − 0,7

który ponownie mnożymy obustronnie przez operator z, otrzymując

���� =0,5�

�� − 0,5��� − 0,7�= −2,5

� − 0,5+ 2,5

� − 0,7

Korzystając z tabeli transformat, gdzie widać, że

� − ����� → ���∙��∙�

lub �

� − ��→ ��

� , gdzie �� = �����

otrzymujemy funkcję dyskretną

����� = �������� = −2,5�0,5�� + 2,5�0,7�� .

15

Page 16: Materiały do wykładu #9

Uwzględniając idealny impulsatora otrzymujemy wartości próbek sygnału dyskretnego w chwilach

odległych od siebie o okres próbkowania ��

�∗(�) = � ��������� − �����

����

= � −2,5�0,5�� + 2,5�0,7���

����

��� − ����

Dla � = 0, 1, 2 , 3, 4

�∗��� = 0 ���� + 0,5��� − ��� + 0,6��� − 2��� + 0,545��� − 3��� + 0,444��� − 3���

0 2 4 6 8 10 0

0.2

0.4

0.6

���

�∗���

Rys. Przebieg funkcji dyskretnej z zadania 1

16

Page 17: Materiały do wykładu #9

Transmitancja operatorowa

Niech proces będzie opisany liniowym równaniem operatorowym

���� + ����� − 1� + ����� − 2� +⋯+ ����� − ��= ���� + ����� − 1� + ����� − 2� +⋯+ ����� −�

Stosując twierdzenie o przesunięciu w prawo otrzymuje się równanie operatorowe

����1 + ����� + ����� +⋯+ ����� = ������� + ����� + ����� +⋯+ �����

���� = (�)�(�) =

�� + ����� + ����� +⋯+ �����1 + ����� + ����� +⋯+ ����� =

�(���)�(���)

Podobnie korzystając z twierdzenia o przesunięciu w lewo, czyli

�������

���

���� = �������

��

���

���� = (�)�(�) =

���� + ������ + ������ +⋯+ ���� + ������ + ������ +⋯+ �� =

�(�)�(�)

17

Page 18: Materiały do wykładu #9

Wyznaczanie transmitancji dyskretnej metodą transformacji transformat

Transformata ���� funkcji dyskretnej �(�) związana jest z oryginałem zależnością (3)

Przy wyznaczaniu transformaty � na podstawie znajomości danej funkcji dyskretnej łatwiej posługiwać

się tablicą transformat, niż na podstawie powyższego wzoru definicyjnego.

Tablica, oprócz funkcji dyskretnych i ich transformat � podaje funkcje ciągłe wraz z ich transformatami

Laplace’a, odpowiadające podanym funkcjom dyskretnym. Znając postać funkcji ciągłej lub jej

transformatę w dziedzinie zmiennej zespolonej s, jednocześnie można określić odpowiadającą jej funkcję

dyskretną lub transformatę w dziedzinie zmiennej zespolonej z. Znając natomiast transformatę �

jednoznacznie można określić odpowiadającą jej funkcję dyskretną. Operacja ta nazywa się odwrotnym

przekształceniem � lub odwrotnym przekształceniem Laurenta.

Operacja wyznaczania transformaty � na podstawie znajomości transformaty Laplace’a danej funkcji

ciągłej (a nie na podstawie odpowiadającej jej funkcji dyskretnej) nazywa się transformacją transformat

���� = ��()� (9)

gdzie � oznacza symbol przekształcenia transformaty Laplace’a w transformatę � Laurenta.

Operacje te można wykonywać posługując się bezpośrednio tablicą transformat

18

Page 19: Materiały do wykładu #9

W przypadku gdy obiekt ciągły jest opisany transmitancją ciągłą jak w układzie na stronie 1,

transmitancja dyskretna obiektu z impulsatorem i ekstrapolatorem zerowego rzędu opisana jest

następująco

����� = ��������(�) = �1 − �����

� ��(�)� = � �1 − ������ ��(�)� � (10)

ale � = ���� więc

����� = �1 − ����� ��(�)� � = �z − 1

z�� ��(�)� � = �z − 1

z� �(�). (11)

Wprowadzając oznaczenie

�(�) = ��(�)� (12)

operację �(�) = ���(�) można wykonać posługując się bezpośrednio tablicą transformat, rozkładając

przedtem funkcję wymierną �(�) na ułamki proste.

19

Page 20: Materiały do wykładu #9

Przykład 1

Wyznaczyć dyskretną odpowiedź skokową układu opisanego transmitancją operatorową

����� =�

Transmitancja ekstrapolatora ma postać

���� =1 − �����

Rozwiązanie

���� =�

� ∙ �=

�� ⟹ ��� = �

� − 1��

Transmitancja dyskretna układu

���� =

− 1

��� =

− 1

� − 1��= �

− 1

Wymuszenie skokowe

���� =1

� ⟹ ��� =

− 1

Odpowiedź operatorowa

��� = ������� = �

− 1∙

− 1= �

� − 1��

Odpowiedź dyskretna (��) = � ∙ � ∙ �

20

Page 21: Materiały do wykładu #9

Odpowiedzi dyskretna układu

z ekstrapolatorem �(���) = � ∙ ��

bez ekstrapolatora �(���) = � ∙ (� + 1)

5

15

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

15

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

������

������

������

��

= 2 [s]

��

= 0.5 [s]

��

= 1 [s]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

10

15

20

� = ���

21

Page 22: Materiały do wykładu #9

Przykład 2. Wyznaczyć transmitancję dyskretną i dyskretną odpowiedź skokową jednostkową układu

sterowania gdzie człon ciągły, opisany transmitancją operatorową

����� =����� + 1� ,

jest poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu.

Rozwiązanie

Uwzględniając oznaczenie (12) związane z (11) otrzymujemy

���� =�����

s=

�� ∙ ���� + 1� =���� +

����� +���� + 1

gdzie współczynniki udziału wynoszą

��� = −� ∙ � , ��� = � , �� = � ∙ �� .

Otrzymany rozkład funkcji wymiernej w dziedzinie zmiennej zespolonej s

���� = �−�� +

1�� +�

� +1� ,

przekształcamy, posługując się tablicą transformat, w rozkład w dziedzinie zmiennej zespolonej z , stąd

���� = � ����� = ��−� �� − 1+

����� − 1�� + � �� − ������ = � �−� �� − 1

+����� − 1�� + � �� − ���

gdzie: �� = ����

22

Page 23: Materiały do wykładu #9

Poszukiwana postać transmitancji dyskretnej układu wynika z zależności (11)

����� =

� − 1

� ���� = � �−� +��

� − 1+ � � − 1

� − ��

Postać transformaty sygnału wymuszenia wynika z transformacji

��� = ��� �� = � �1 � =�

� − 1 .

Stąd odpowiedź operatorowa wynosi

���� = �������� = � �−� +

��� − 1

+ � � − 1

� − �� ∙�

� − 1= � �−� �

� − 1+

����� − 1�� + � �

� − �� .

a jej postać dyskretną określa związek

������ = ������� = ��−� + ���� + � ∙ ��� = ��� ∙ �� − ��1 − �����

5

15

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

������ �

�= 1 [s]

5

15

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

������

��

= 0.5 [s]

� = ���

23

Page 24: Materiały do wykładu #9

Przykład 3

Wyznaczyć dyskretną odpowiedź skokową układu opisanego transmitancją operatorową

����� =��

��� + 1�

Transmitancja ekstrapolatora ma postać

���� =1 − �����

Rozwiązanie

��� =��

� ∙ ��� + 1�=

�� + 1

�� = �

− ����

= �

− �

gdzie: � = ����

Transmitancja dyskretna układu

���� =

− 1

�� =

− 1

− �

Wymuszenie skokowe

���� =1

�⟹ ��� =

− 1

24

Page 25: Materiały do wykładu #9

Odpowiedź operatorowa

���� = ��������� =

� − 1

��

� − ��∙

� − 1= �

� − ��

Odpowiedź dyskretna

���� = ����= � ∙ �

���

� �

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

��

= 1 [s] ��

= 0.5 [s] ����

�� ����

��

� = ���

25

Page 26: Materiały do wykładu #9

Badanie stabilności dyskretnego układu regulacji automatycznej

Struktura dyskretnego układu regulacji automatycznej pokazana jest na rys. 4.

Zamknięty układ regulacji jest asymptotycznie stabilny, jeżeli przy wymuszeniach równych zeru

i dowolnych warunkach początkowych uchyb w układzie dąży do zera, gdy k dąży do nieskończoności.

Wynika stąd, że układ jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy

lim�→�

���� = 0, (13)

a to ma miejsce wtedy gdy

|��| < 1 , � = 1, 2, … , �

�(���) �(�)

�(�) ��

(�)

���

�(�) (���) �

�(�) (�)

�(���) �(�)

��

(�)

���

�(�)

(�)

Rys. Schemat dyskretnego układu regulacji a) i jego schemat równoważny b)

��(�)

�(���) �(��

�)

��

() ��

(���)

− ��()

(���)

a)

b) ��

() �() () �()

26

Page 27: Materiały do wykładu #9

Bieguny rzeczywiste

Weźmy pod uwagę transmitancję układu pierwszego rzędu o postaci:

���� =�(�)

�(�)=

�� + 1=

1

� + z biegunem �� = − = −

1

Odpowiadająca temu obiektowi transmitancja w dziedzinie tegoż obiektu, nie poprzedzonego

ekstrapolatorem, przyjmie postać:

��� =�()

�()=

− �����=

− �=

1

1 − z�z��= z biegunem � = �����

Odpowiadające tej transmitancji równanie różnicowe ma postać

�� � − a��� − 1� = ���� �, gdzie: � = �, �� =�

Dla warunków początkowych �(0) ≠ 0 i dla �( ) = 0 otrzymuje się równanie jednorodne

�� � − a��� − 1� = 0

o poniższym zbiorze wartości chwilowych zmiennej �( ):

��1� = ���0�

��2� = ���1� = ����0�

�� � = ����0�

27

Page 28: Materiały do wykładu #9

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51

0.5

0

0.5

1

Re{z}

Im{z}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y k( )

y k( )

k

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

0.6

0.2

0.2

0.6

1

1.4

y k( )

y k( )

k

0 a 1< 1<1− a 1< 0<

y k( ) a 1k y0⋅:=

28

Page 29: Materiały do wykładu #9

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51

0.5

0

0.5

1

Re{z}

Im{z}

y k( ) a 1k y0⋅:=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y k( )

y k( )

k0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.2

0.8

0.4

0

0.4

0.8

1.2

y k( )

y k( )

k

a1 1a 1 1−

29

Page 30: Materiały do wykładu #9

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51

0.5

0

0.5

1

Re{z}

Im{z}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

y k( )

y k( )

k0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2.5

1.5

0.5

0.5

1.5

2.5

y k( )

y k( )

k

a 1 1−< a 1 1>

y k( ) a 1k y0⋅:=

30

Page 31: Materiały do wykładu #9

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51

0.5

0

0.5

1

Re{z}

Im{z}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

y k( )

y k( )

k

y k( ) a 1k y0⋅:=

a 1 0=

Ponieważ bieguny w płaszczyźnie si z związane są relacją

Tseaz 111 ==

wynika stąd poniższa odpowiedniośćzmienności biegunów w swoich płaszczyznach:

bieguny w płaszczyźnie s

+∞<<∞− ps

bieguny w płaszczyźnie z∞<< pz0

Właściwość ta wskazuje, że bieguny dodatnie rzeczywiste w płaszczyźnie zwynikają tylko z położenia rzeczywistych biegunów w płaszczyźnie s. Tak więc, ujemne bieguny w płaszczyźnie z nie mają swego odpowiednika na osi rzeczywistej płaszczyzny s.

31

Page 32: Materiały do wykładu #9

Bieguny zespolone sprzężone

Weźmy pod uwagę transmitancję układu ciągłego

( )( )

( )( )( )21

21

2

21

2

21

2

22

2

2 212)()()(

ssssK

sK

ssK

sTsTK

susysG

nn

o

ns

n

−−+

=++

+=

++=

++==

ωω

ω

ωζωω

ζ

aa

a( ) ( )

12,1

2222

21 111

ω

ζωζω

ζωζ

jsT

T

nn

nn

±−=

−=−=

==

a

a

gdzie

Transmitancja tego obiektu w dziedzinie z

( ) ( )( )21

12

12

11

21

2

cos2

sin

)()()(

zzzzzb

zTz

zTK

zuzyzG

−−=

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

==αωα

ωωωα a

Te a−=αgdzie

Bieguny układu opisuje zależność: [ ] TjTj eeTjTz )(112,1

11sincos ωωαωωα ±−± ==±= a

Równanie jednorodne przyjmie postać 0)2()1()cos2()( 21 =−+−− kykyTky αωα

Przyjmując warunki początkowe oraz ,

)0(cos)( 1 ykTky k ⋅= ωαrozwiązanie powyższego równania opisuje związek

0)0( ≠y Ty 1cos)1( ωα=

32

Page 33: Materiały do wykładu #9

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51

0.5

0

0.5

1

Re{z}

Im{z}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.5

0.1

0.3

0.7

1.1

1.5

y k

y k

k

0 α< 1<

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

0.5

0

0.5

1

1.5

y k

y k

k

ω 1 T⋅ 30oω 1 T⋅ 150o

)0(cos)( 1 ykTky k ⋅= ωα

33

Page 34: Materiały do wykładu #9

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51

0.5

0

0.5

1

Re{z}

Im{z}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.5

0.9

0.3

0.3

0.9

1.5

y k

y k

k

ω 1 T⋅ 30o

α 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102

1.3

0.6

0.1

0.8

1.5

y k

y k

k

α 1>

)0(cos)( 1 ykTky k ⋅= ωα

34

Page 35: Materiały do wykładu #9

)0(cos)( 1 ykTky k ⋅= ωα

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51

0.5

0

0.5

1

Re{z}

Im{z}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102

1.3

0.6

0.1

0.8

1.5

y k

y k

k

ω1 T⋅ 90o

0 α< 1<

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102

1.3

0.6

0.1

0.8

1.5

y k

y k

k

ω 1 T⋅ 180o

35

Page 36: Materiały do wykładu #9

Jeżeli pojedynczy biegun, lub pojedyncza para biegunów zespolonych sprzężonych, znajduje się na

okręgu jednostkowym, wówczas układ jest na granicy stabilności (stabilny krytycznie). W przypadku

istnienia na okręgu jednostkowym biegunów wielokrotnych układ staje się niestabilny.

Stabilność układów impulsowych można badać metodami algebraicznymi i częstotliwościowymi.

Korzysta się przy tym z innego rodzaju transformacji zwanej transformacją biliniową, w której

operatorem jest zmienna w.

Transformacja biliniowa

� =1 + �

1 − �

odwzorowuje okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z na oś liczb urojonych w

płaszczyźnie w. Zatem wnętrze okręgu jednostkowego jest odwzorowywane w lewej półpłaszczyźnie

zmiennej zespolonej w.

Zachodzi tu zależność

�(�) = ��(�)|��

���

���

(14)

Ponieważ płaszczyzna w odgrywa tę samą rolę co płaszczyzna s dla układów ciągłych, dlatego też mogą tu

być stosowane kryteria stabilności opracowane dla układów ciągłych.

36

Page 37: Materiały do wykładu #9

Jeśli znana jest transmitancja

���� = ���(�)��(�)|��

������

=�(�)

(�) (15)

układu otwartego lub równanie charakterystyczne dla zmiennej zespolonej w układu zamkniętego

���� = ��� + ���� , (16)

to postępowanie przy badaniu stabilności metodą Hurwitza jest takie same jak w przypadku badania

stabilności układów ciągłych na podstawie transmitancji �().

Badając stabilność układów dyskretnych za pomocą kryterium Nyquista postępuje się tak jak

w przypadku układów ciągłych. Analogię transmitancji widmowej otrzymuje się przez podstawienie

� = �� (17)

Zmienna � związana jest z częstotliwością sygnału wejściowego zależnością

=2

�arc tan� (18)

Funkcja �(��) = ��(�)|���� może być wykorzystana do analizy stabilności układu na podstawie

kryterium Nyquista.

37

Page 38: Materiały do wykładu #9

Przykład 4

Sprawdź stabilność układu, którego równanie charakterystyczne ma postać:

���� = 27�� + 27�� + 9� + 1 = 0

���� = �����|��

���

���

= 27 �1 + �1 − �

+ 27 �1 + �1 − �

+ 91 + �1 − � + 1 =

8(� + 2)�

�1 − ���

���� = �� + 6�� + 12� + 8 = 0

∆�= 6 1

8 12� > 0 , ∆�= ∆� ∙ 8 > 0.

Układ dyskretny jest stabilny

38

Page 39: Materiały do wykładu #9

Przykład 5

Wyznacz dla jakich wartości współczynnika a układ jest stabilny asymptotycznie

���� =� + 1

�� + � + �

���� = ��(�)|��

���

���

= 1 + �1 − ��

+1 + �1 − � + � = 0

����� = ��� + 2�1 − ��� + 2 + � = 0

� > 0, 1 − � > 0 ↔ � < 1, 2 + � > 0 ↔ � > −2

1 > � > 0

Przykład 6

Wyznacz dla jakich wartości współczynnika a, dyskretny układ regulacji automatycznej o transmitancji

układu otwartego z zadania poprzedniego będzie asymptotycznie stabilny.

Równanie charakterystyczne układu regulacji ma postać

���� = �� + � + � + � + 1 = �� + 2� + � + 1

���� = ��(�)|��

���

���

= 1 + �1 − ��

+ 21 + �1 − � + � + 1

����� = ��� − 2a� + 4 + �

Układ jest niestabilny. Nie jest spełnione pierwsze kryterium Hurwitza

39

Page 40: Materiały do wykładu #9

Dokładność statyczna jest szacowana na podstawie oceny uchybu regulacji w stanie ustalonym

�� = lim���

��1 − ��� 1

1 + ���� ��(�)� = lim���

��� − 1� 1

1 + ���� ��(�)� (19)

Obliczana tu jest wartość uchybu ustalonego w zależności od typu sygnału wymuszenia i stopnia

astatyzmu układu otwartego, czyli klasy układu.

Standardowymi typami sygnałów wymuszających są:

− sygnał skokowy (sterowanie pozycyjne) ����� = �� = Az

z − 1 (20)

− sygnał liniowy (sterowanie prędkościowe) ����� = ��� = A�� z

�z − 1�� (21)

− sygnał paraboliczny (sterowanie przyspieszające) ����� = ��� = A��� z(z + 1)

�z − 1�� (22)

40

Page 41: Materiały do wykładu #9

Przy wymuszeniu skokowym uchyb pozycyjny

�� = �� = lim���

��� − 1� 1

1 + ���� ��

� − 1� = lim

���� 1

1 + ���� �� (23)

wynosi

�� =�

1 + �

(24)

i którego wartość zależy od wartości współczynnika wzmocnienia pozycyjnego określonego wyrażeniem

� = lim���

���� . (25)

W identyczny sposób można określić uchyby: prędkościowy

�� = lim���

��� − 1� 1

1 + ���� ���

(� − 1)�� =

��

(26)

gdzie wartość współczynnika wzmocnienia prędkościowego wynika z zależności

� =1

� lim���

(� − 1)���� (27)

oraz przyspieszeniowy

� = lim���

��� − 1� 1

1 + ���� ������ + 1�

2�� − 1��� =�

(27)

przy czym

=1

�� lim���

(� − 1)����� . (28)

41

Page 42: Materiały do wykładu #9

Zadanie 7

Wyznacz uchyby regulacji przy wymuszeniach:

pozycyjnym, prędkościowym i przyspieszeniowym

dla układu regulacji pokazanym na rysunku obok,

gdzie:

����� =�

���� + 1�

Transmitancja ekstrapolatora ma postać

���� =1 − �����

Rozwiąznie

Transmitancja układu otwartego ma postać (patrz przykład 2)

���� = � −� + � − 1

− � +��

− 1�

Wzmocnienie pozycyjne wynosi

�� = lim��

��� = ∞; stąd � =�

1 + ��

= 0

Wzmocnienie prędkościowe wynosi

�� =1

�� lim��

( − 1)��� =1

�� lim��

� − 1�� −� + � − 1

− � +��

− 1� = �

stąd � =���

=��

�(�) �(�) �(�)

���

��� �

�(�)

�(�)

�(�)

42

Page 43: Materiały do wykładu #9

Wzmocnienie przyspieszeniowe wynosi

�� =1

��� lim���

(� − 1)����� =1

��� lim���

(� − 1)�� �−� + � � − 1

� − �� +��

� − 1� = 0

stąd � =��

= ∞

43

Page 44: Materiały do wykładu #9

Przykład 8. Dany jest układ regulacji o transmitancji układu otwartego

���� = � ��� − 1

Dla jakich wartości wzmocnienia i okresu próbkowania układ regulacji będzie stabilny przy określonej

wartości uchybu prędkościowego regulacji. Wymuszenie układu wynosi

����� = � = ��

����� = �� ��� − 1��

Uchyb układu zamkniętego

� = lim��� �� − 1� 1

���� ��(�)� = lim��� �� − 1� � − 1

��� �� ��� − 1��� =

Wielomian charakterystyczny

���� = � − 1 + ���

���� =1 + �1 − � − 1 + ���, ��

��� = ���� + 2 − ���

Warunek stabilności układu

2 − ��� > 0 ↔ 0 < � <2

��

Ale ze względu na dokładność wzmocnienie ma też lewostronne ograniczenie

� < � <

2

��

44

Page 45: Materiały do wykładu #9

PODSTAWOWE ALGORYTMY BEZPOŚREDNIEGO STEROWANIA CYFROWEGO (DDC)

���� = �� ����� +1�� ����(�)

0

+ �� �(�)� � (29)

Algorytm pozycyjny

���� = �� ���� +���� ��(�)

���

+���� ����� − �(� − 1)�� (30)

Podstawowe wady algorytmu pozycyjnego:

− trudność w obliczaniu składnika

���� ��(�)���

− (ograniczenia pamięci – sumowanie od � = 0)

− brak zabezpieczenia przed nieograniczonym wzrostem sygnału �(�) w przypadku niemożności

wyzerowania uchybu regulacji �(�) = ��(�) − �(�) . Sygnał uchybu jest bowiem zależny od

wartości zadanej ��(�) i wobec tego wszystkie trzy składniki wzoru algorytmu zależne są od ��(�).

Wad tych pozbawiony jest tzw. algorytm prędkościowy, który oparty jest na uwzględnieniu przyrostów

zmiennych . tj. i uchybu regulacji ∆�(�) = �(�) − �(� − 1) i sterowania ∆�(�) = �(�) − ��� − 1�, przy

czym

��� − 1� = �� ��� − 1� +���� ��(�)

���

+���� ���� − 1� − �(� − 2)�� (31)

45

Page 46: Materiały do wykładu #9

Stąd, odejmując wyrażenie (30) od wyrażenia (31), algorytm prędkościowy PID przyjmuje postać

∆���� = ���� − ��� − 1� = �� �∆���� +���� ∆��� − 1� +

���� ∆��� − 1� − ∆��� − 2�� (32)

lub

∆���� = ���� − ��� − 1� = ������ + ����� − 1� + ����� − 2� (33)

gdzie

�� = �� 1 +���� � , �� = �� ���� − 2

���� − 1� , �� = ��

����

��

��

�(� − 1) ��� ���

�(� − 2) ��

���

�(�)

�(� − 1)

�(�) Δ�(�)

Algorytm prędkościowy

Algorytm pozycyjny

46

Page 47: Materiały do wykładu #9

Algorytm PID

Regulator dyskretny drugiego rzędu opisany jest poniższą transmitancją operatorową

����� =��z���z� =

�� + ����� + �����1 − ��� (34)

Zakładając skokowy charakter wymuszenia, podanego na wejście regulatora, jakim jest uchyb regulacji,

czyli

��� = 1�� = 1 dla > 0

0 dla < 0�

uzyskuje się odpowiedź regulatora w postaci ciągu wartości próbek:

��0� = ����1� = ��0� + �� + �� = 2�� + ����2� = ��1� + �� + �� + �� = 3�� + 2�� + ��⋮

��� = �� − 1� + �� + �� + �� = � + 1��� + �� + ( − 1)��

Jeżeli założy się, że kolejne próbki mają spełnić warunki ��1� < ��0� i ��� < �� − 1� ( ≥ 2 ), wówczas

otrzymuje się regulator dyskretny, którego charakter przebiegu sygnału wyjściowego (odpowiedzi) jest

podobny do powszechnie stosowanego w układach analogowych (ciągłych) regulatora PID. Przebieg

próbek tak ukształtowanego sygnału ilustruje poniższy rysunek

47

Page 48: Materiały do wykładu #9

Wartości poszczególnych próbek wynikają stąd, że dla:

��1� < ��0� �� + �� < 0 lub �� < −��

���� > ��� − 1� �� + �� + �� > 0 lub �� > −��� + ���

Zatem, aby regulator realizował algorytm typu PID,

pomiędzy jego współczynnikami qi powinny zachodzić

następujące relacje

�� > 0 �� < �� > 0 − ��� + ��� < �� < ��

k

u(k)

q0

2q0+q1

q0+q1+q2

q0-q2

1 2 3 4 0 5

q1= -q0

q0i q0i

-q 0i

-2q0i

q1= -(q0i + q2)

q0 q2

q1 q1

48

Page 49: Materiały do wykładu #9

Regulatory o skończonej odpowiedzi impulsowej – SOI

Wiadomo, że im „głębiej” bieguny układu zamkniętego przesunięte są w lewą półpłaszczyznę zmiennej

zespolonej s, tym „szybciej” układ uzyskuje wartość zadaną sygnału wejściowego. W skrajnym przypadku,

gdyby bieguny te mogły osiągnąć -∞, co w praktyce analogowych technik regulacji jest niemożliwe, układ

byłby „najszybszy”.

Z zależności � = ���� widać, że wartościom �� = −∞ biegunów w płaszczyźnie zmiennej zespolonej �

odpowiadają wartości �� = 0 biegunów w płaszczyźnie zmiennej zespolonej �. Są to więc bieguny leżące

w początku układu współrzędnych – w środku okręgu jednostkowego. Zatem jest to interesujące miejsce

lokalizacji biegunów w układach regulacji dyskretnej. Zapewnia ono bowiem minimalny czas osiągnięcia

stanu ustalonego. Wielomian charakterystyczny takiego układu regulacji miałby więc postać

����� = ���� , (35)

przy czym: � =�

� i gdzie � jest opóźnieniem transportowym występującym w układzie sterowania.

Układy z regulatorami umożliwiającymi uzyskanie takich postaci wielomianów charakterystycznych

układów zamkniętych regulacji nazywane są układami o skończonym czasie odpowiedzi impulsowej SOI..

W literaturze anglosaskiej ten typ regulacji znany jest pod nazwą deadbeat control. Regulatory realizujące

taki algorytm należą do grupy regulatorów kompensacyjnych

Regulatory kompensacyjne zapewniają uzyskanie pożądanych właściwości układu regulacji w wyniku

kompensacji całości lub fragmentu transmitancji obiektu sterowanego.

49

Page 50: Materiały do wykładu #9

Znajomość pożądanej transmitancji wynikowej

����� =

��z�

��z�=

��(�)

1 + ������

�(�)

(36)

pozwala, na drodze przekształceń algebraicznych, wyznaczyć transmitancje regulatora

����� =

1

��(�)

�����

1 − �����

(37)

Otrzymany regulator powinien spełnić warunek realizowalności, tzn. wynikowa wartość próbek sygnału

sterującego �(�) nie może zależeć od następnych - „przyszłych” - próbek uchybu regulacji (� + )

(stopień wielomianu licznika regulatora nie może być większy od stopnia wielomianu mianownika). Poza

tym stosowanie regulatorów kompensacyjnych jest możliwe tylko w sytuacjach, gdy ma się gwarancję co

do odpowiednio dobrej (pewnej) lokalizacji biegunów i zer transmitancji procesu wewnątrz okręgu

jednostkowego. Przy projektowaniu regulatorów kompensacyjnych, wymaga się również dokładnego

określenia oczekiwanej odpowiedzi układu zamkniętego w każdej dyskretnej chwili czasowej, a więc tym

samym precyzyjnego określenia transmitancji dyskretnej układu �����. Pominięcie tego wymogu może

spowodować pojawianie się, w zakresie czasowym pomiędzy poszczególnymi chwilami czasu

dyskretnego, przebiegów odpowiedzi układu o charakterze oscylacyjnym lub nieregularnego falowania -

„marszczenia" się sygnału odpowiedzi. Przebiegi te są zwykle słabo tłumione i znacząco wpływają na

sygnał sterowania.

50

Page 51: Materiały do wykładu #9

Tego niekorzystnego zjawiska, towarzyszącego układom regulacji (patrz rys na str.13) z regulatorami

kompensacyjnymi można uniknąć stosując regulator o postaci:

����� =����

����=

����(���)

1 − ���(���)���, gdzie �� = 1

∑��� (38)

gdzie �(���) i ��(���) są wielomianami transmitancji obiektu regulacji opisanego w postaci

����� =�(���)

��(���)��� =

�� + ����� + ���

�� + ⋯ + ���

1 + ���� + ���� + ⋯ + ����� , (39)

umożliwiający regulację typu SOI (DB).

Tak więc, parametry regulatora mogą być wyznaczone w bardzo prosty sposób, bo bezpośrednio na

podstawie wartości parametrów procesu (obiektu)

Transmitancja wypadkowa układu regulacji przyjmie postać

����� =����

�����=

���(�)

���, gdzie �� = 1

∑��� (40)

To oznacza, że poddając układ wymuszeniu np. skokowemu, sygnały sterujący �(�) i wyjściowy �(�)

procesu osiągną swój nowy stan ustalony po ściśle określonym czasie �� = �� + ��� .

Warto przy tym zwrócić uwagę na fakt, że wraz ze zmniejszaniem okresu impulsowania T wartość sumy

∑ �� maleje co powoduje wzrost wartości współczynnika �0

, a w rezultacie wzrost wartości próbki

początkowej sygnału sterującego, gdyż �(0) = �0. Spostrzeżenie to jest istotne ze względu na ograniczenia

jakim w praktyce podlegają wartości tego sygnału (ograniczenia poziomu sygnałów przetworników C/A,

ograniczenia źródeł zasilania, zjawisko nasycenia).

51

Page 52: Materiały do wykładu #9

Uwagi dotyczące doboru czasu próbkowania w algorytmach o optymalizowanych parametrach.

Jak wiadomo regulatory dyskretne mają ogólnie gorsze własności w stosunku do regulatorów

ciągłych. Interpretacja tego faktu jest niekiedy oparta na stwierdzeniu, że sygnały dyskretne zawierają

mniej informacji niż sygnały ciągłe. Z drugiej strony trzeba jednak podkreślić, że nie tylko zasób informacji

ale także sposób jej wykorzystania powinien być przedmiotem szczególnego zainteresowania. Ponadto na

ocenę własności regulatorów ma wpływ klasa oraz widmo częstotliwości sygnałów zakłócających. Pod

tym wzlędem trudno jest dokonać jakiejś uogólnionej oceny własności regulatorów dyskretnych.

Dla regulatorów dyskretnych jedno podstawowe stwierdzenie jest słuszne, a mianowicie to, że własności

regulacyjne pogarszają się wraz ze wzrostem okresu próbkowania. Zatem, okres próbkowania powinien

być możliwie jak najmniejszy, o ile zasadniczym podmiotem zainteresowania są własności regulacyjne.

Wybór wartości okresu próbkowania zależy nie tylko od osiągalnych własności regulacyjnych, ale także

od:

• pożądanych (wystarczająco dobrych) własności regulacyjnych,

• dynamiki procesu,

• widma częstotliwości,

• wyposażenia pomiarowego,

• wymagań operatora,

• mocy obliczeniowej i kosztów przypadających na jedną pętlę sprzężenia zwrotnego.

52

Page 53: Materiały do wykładu #9

W praktyce wartość okresu próbkowania �� dobiera się ze względu na:

− czas wysterowania procesu ��� → ���� = 0,95��(�)

1

15��� ≤ �� ≤

1

6���

− dominującą wartość czasu martwego � (opóźnienia występującego w procesie ����exp (−��)

�� ≈ �1,2 ⋯ 0,35�� dla 0,1 ≤�

��≤ 1,0

�� ≈ �0,35 ⋯ 0,22�� dla 1,0 ≤�

��≤ 10

�� ≈ �0,125 ⋯ 0,35�� dla �

��> 10

gdzie: �� - suma stałych czasowych obiektu,

− drgania na granicy stabilności �� = (0.01 ⋯ 0,05)��

− zakłócenia (tw. Shanona-Kotielnikowa) �� < ���

53