Embed Size (px)
Citation preview
2
PËRMBAJTJA
PËRMBAJTJA
HYRJE H.1 Njohuri të përgjithshme......................................................................................................... 6 H.2 Shëndërrimi elektromekanik i energjisë ............................................................................... 8 H.2.1 Mardhëniet energjitike në sistemet elektromekanike................................................... 8 H.2.2 Energjia në sistemin e çiftimin e fushave .................................................................. 12 H.2.3 Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë ............................................................. 14
KAPITULLI I Një përshkrim i shkurtër i motorit asinkron .................................................................................... 17
1.1 Parimi i punës së makinës asinkrone................................................................................... 19 1.2 Ndërtimi i makinave asinkrone ........................................................................................... 21 1.3 Fusha magnetike e makinës asinkrone ................................................................................ 22
1.3.1 Forca magnetomotore e bobinës me hap të plotë ...................................................... 22 1.3.2 Forca magnetomotore e grupit të bobinave me hap të plotë .................................... 24 1.3.3 F.m.m e fazës ........................................................................................................... 25 1.3.4 Valët rrotulluese të f.m.m.......................................................................................... 26 1.3.5 Forca magnetomotore e pështjellës trefazore............................................................ 27
KAPITULLI II Modeli në kordinata a,b,c (modeli fazorë) i Makinës Asinkrone tre-fazore .................................... 30
2.1 Motori asinkron me rotor me faza ....................................................................................... 30 2.2 Momenti elektromagnetik ................................................................................................... 33 2.3 Ekuacionet e ekuilibrit te makines asinkrone në formën e variablave të gjendjes .............. 35
KAPITULLI III Metoda e vektorit hapësinor ............................................................................................................ 37
3.1 Kuptimi i vektorit përfaqësues ............................................................................................ 37 3.2 Paraqitja e f.m.m, induksionit, densitetin e rrymës dhe fluksin e një bobine anë të vektorëve
hapësinor përkatës ............................................................................................................... 39 3.3 Vektori hapësinor përfaqësues i f.m.m, induksionit, fluksit, densitetit te rrymës në rastin e
grupit të bobinave ................................................................................................................ 42 3.4 Vektori hapësinor përfaqësues i f.m.m, fluksit, te rrymës të pështjellës trefazore të statorit44 3.5 Vektori hapësinor përfaqsues i madhësive të pështjellës trifazore të rotorit ....................... 47 3.6 Paraqitja e vektori hapësinor në një sistem arbitrar referimi ............................................... 49 3.7 Vektori hapësinor përfaqësues i madhësive të krijuar nga kombinimi i fushës magnetike të
statorit dhe rotorit ................................................................................................................ 53 3.7 Vektori hapësinor përfaqësues i madhësive të krijuar nga kombinimi i fushës magnetike të
statorit dhe rotorit ................................................................................................................ 53 3.8 Paraqitja e vektorëve hapësinor të flukseve të statorit dhe rotorit në një sistem arbitrar referimi
............................................................................................................................................. 58 3.9 Marrdhënia midis komponentes nuleare dhe vektorit hapësinor ......................................... 61 3.10 Marrdhënia ndërmjet vlerave të çastit të madhësive fazore dhe vektorit hapësinor............ 62 3.11 Madhësia e vektorit hapësinor trefazor të rrymës në regjim të vendosur në kushte simetrike63 3.12 Madhësia e vektorit hapësinor të rrymës në një regjim të vendosur të një sistemi asimetrik64 3.13 Vektorët hapësinor i tensioneve dhe rrymave lineare në një sistem trefazor ...................... 67 3.13.1 Sistemi i lidhur në yll ............................................................................................... 67 3.13.2Sistemi trefazor në trekëndësh................................................................................... 69 3.14 Fuqia e castit, Energjia Magnetike e Rezervuar, Energjia Mekanike dhe Momenti
Elektromagnetik .................................................................................................................. 70
3
3.14.1Fuqia e çastit.............................................................................................................. 70 3.14.2Fuqia e çastit në një makinë elektrike në të cilën kalon rrymë si në stator dhe rotor 71 3.14.3Fuqia aktive dhe reaktive........................................................................................... 72 3.14.4Energjia magnetike e rezervuar në makinat elektrike................................................ 73 3.14.5Energjia magnetike e rezervuar në makinat elektrike................................................ 74 3.14.6Energjia mekanike ..................................................................................................... 75 3.15 Momenti Elektromagnetik................................................................................................... 76 3.15.1Nxjerrja e shprehjes së momentit elektromagnetik nga shprehja e energjisë mekanike76 3.15.2Nxjerrja e shprehjes së momentit elektromagnetik duke zbatuar ligjin e Amperit ... 78 3.15.3Shprehja e momentit me anë të vektorit hapësinor të shprehur në sistemin arbitrar .... dhe në atë të vecantë të referimi ................................................................................ 80 3.15.4Shprehja e momentit el-mag në termat e komponenteve të vektorëve hapësinor...... 85 3.16 Përcaktimi i llojeve të ndryshme të makinave elektrike...................................................... 88 3.16.1Makina elektrike me hapsirë ajrore kostante ............................................................. 88 3.17 Ekuacionet e ekulibrit te tensioneve të makinës asinkrone me anë të vektorëve hapësinor 95 3.17.1 Shprehja e ekuacioneve te tensioneve të makinës në sistemet e tyre natyrale me anë të vektorëve hapësinor ...................................................................................... 95 3.17.2Shprehja e ekuacione të ekulibrit të tensioneve në sistemin arbitrar të referimit. Modeli i rendit të V i Makinës Asinkrone................................................................. 96 3.17.3Llogaritja e momentit elektromagnetik në kohë reale të makinës asinkrone me anë të madhësive të statorit (vazhdim i modelit fazorë i makinës asinkrone )............... 102 3.18 Reduktimi i Modelit të Makinës Asinkrone ...................................................................... 106 3.18.1Modeli i rendit të parë ............................................................................................. 107 3.18.2Modeli i rendit të dytë ............................................................................................ .109 3.18.3Modeli i rendit të tretë ............................................................................................ .110 3.18.4Ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve për ngacmime të “vogla” të makinës............ 111 3.18.5Ekuacionet e makinës asinkrone në formën e variablave të gjendjes...................... 113 3.18.5Llogaritja e momentit .............................................................................................. 114
KAPITULLI IV Modelimi i makinave të rrymës së vazhduar.................................................................................. 118 4.1Hyrje në MRV........................................................................................................................... 118 4.2Modeli i makinës së rrymës së vazhduar me eksitim të pavarur .............................................. 120.
4.2.1 Ekuacionet e M.R.V në regjim të vendosur ........................................................... 122 4.2.2 Ekuacionet e M.R.V në rastin e ngacmimeve të vogla ........................................... 123
4.3Analiza e makinës së rrymës së vazhduar me eksitim në paralel .............................................. 123 4.3.1 Ekuacionet e M.R.V me eksitim në paralel në regjim të vendosur ......................... 124
4.4 Analiza e makinës së rrymës së vazhduar me eksitim në seri .................................................. 126 4.4.1 Ekuacionet e M.R.V me eksitim në seri në regjim të vendosur .............................. 126
4.5Analiza e makinës së rrymës së vazhduar me eksitim të përzier............................................... 127 4.5.1 Ekuacionet e M.R.V me eksitim të përzier në regjim të vendosur.......................... 129
SIMBOLET E PËRDORURA
Simboli Shpjegimi njësia usA, usB, usC :Vleftat e çastit të tensioneve të fazave A , B, C të statoritA....................V
si Fazori kompleks i rrymave të statorit .......................................................A
su Fazori kompleks i tensioneve të statorit...................................................V
ūs Vektori hapësinor i tensioneve të statorit..................................................V
4
si Vektori hapësinor i rrymave të statorit .....................................................A 1
1( )I , 1
1( )U Komponentet simetrike të renditjes së drejtë të rrymës dhe tensionit së
statorit ..................................................................................................A, V
isA, isB, iSc Vleftat e çastit të rrymave të fazës A, B, C të statorit...............................A
ira, irb, irc Vleftat e çastit të rrymave të fazës a, b, c të rotorit ..................................A
UsA, UsB, UsC Vlefta efektive të tensioneve të fazave A, B, C të statorit ........................V
IsA, IsB, IsC Vleftat efektive të rrymave në fazat e statorit ...........................................A
Ura, Urb, Urc Vleftat efektive të tensionit në fazat e rotorit............................................V
Ira, Irb, Irc Vleftat efektive të rrymave në fazat të rotorit ...........................................A
ψsA, ψsB, ψsC Vlefta e çastit e flukseve në fazat e statorit............................................. Ëb
ψra, ψrb, ψrc Vlefta e çastit e flukseve në fazat e rotorit.............................................. Ëb
LsA, LsB, LsB Induktiviteti vetjak i fazës së statorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga fluksi kryesor i fazës përkatëse dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të të njëjtës fazë.........................................................................................H
Lra, Lrb, Lrc Induktiviteti vetjak i fazës së rotorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga fluksi kryesor i fazës përkatëse dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të të njëjtës fazë.........................................................................................H
Msr Vlefta maksimale e induktivitetit reciprok ndërmjet një faze të statorit dhe një faze të rotorit (kur akset e tyre puthiten).............................................H
Lss Induktiviteti vetjak i fazës së statorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga fluksi kryesor i asaj faze, dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të të njëjtës fazë ................................................................................................H
Ls Induktiviteti vetjak i fazës së statorit i cili përfshin induktivitetin vetjak nga fluksi kryesor i krijuar nga fazat e statorit, dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të fazës përkatëse .................................................................H
Lr Induktiviteti vetjak i fazës së rotorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga fluksi kryesor i krijuar nga fazat e rotorit, dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të fazës përkatëse ................................................................H
Lrr Induktiviteti vetjak i fazës së rotorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga fluksi kryesor i asaj faze, dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të të njëjtës fazë ................................................................................................H
f1 Frekuenca e burimit të ushqimit .............................................................Hz
B Induksioni magnetik.................................................................................. T
F Forca magnetomotore ...................................................................A dredha
Zr Numri i thuprave të rotorit ......................................................................... -
W Numri i dredhave të një bobine.........................................................dredha
s Shkarja e motorit asinkron ......................................................................... -
H Intesiteti i fushës magnetike..................................................................A/m
1 Shpejtësia këndore sinkrone ........................................................ rad el/sek
5
ωr Shpejtësia këndore e rotorit ......................................................... rad el/sek
r Shpejtësia këndore e rotorit ............................................................ rad/sek
Përçueshmëria magnetike e çelikut.......................................................H/m
Përçueshmëria magnetike e ajrit ...........................................................H/m
r1 Rezistenca aktive e fazës së statorit ..........................................................Ω
r2 Rezistenca aktive e fazës së rotorit ...........................................................Ω
2r Rezistenca e aktive e qarkut të rotorit e reduktuar....................................Ω
x1 Rezistenca induktive e pështjellës së statorit ............................................Ω
x Rezistenca induktive e pështjellës së rotorit .............................................Ω
2x Rezistenca induktive e pështjellës së rotorit e reduktuar ..........................Ω
p Numri i çift poleve të makinës asinkrone .................................................. - (1)2I Komponentja e renditjes së drejtë e rrymës së rotorit...............................A (2)2I Komponentja e renditjes së kundërt e rrymës së rotorit ...........................A
me Vlefta e çastit e momentit elektromagnetik ...........................................Nm
Me Momenti el-mag që zhvillon makina në një regjim të vendosur .......... Nm Mng Momenti i ngarkesës ..............................................................................Nm
Pem Fuqia elektomagnetike e makinës asinkrone .......................................... kË
I1k Vlefta efektive e rrymës së statorit për harmonikën e k-të .......................A
U1k Vlefta efektive e tensionit në pështjellën e statorit për harmonikën e k-tëV
g Shpejtësia këndore e sistemit kordinativ të përgjithshëm................ rad/sek
6
HYRJE
MODELIMI I MAKINAVE ELEKTRIKE
H. I Njohuri të përgjithshme
Një teori, shpesh është një formulim përgjithsues i një principi që në të cilin arrihet pas studimesh e vëzhgimesh dhe një model është paraqitja e kësaj teorie në mënyrë që të mund të përdoret për parashikim ose kontroll. Që të jetë i vlefshëm një model duhet të jetë sa më realist dhe megjithatë i thjeshtë për t’u kuptuar dhe i lehtë për t’u manipuluar. Këto dy kërkesa janë kontradiktore, pasi modelet realiste janë rrallë të thjeshtë dhe modelet e thjeshtë janë rrallë realistë. Shpesh shtrirja e modelit është brenda interesave përkatëse të studimit. Pra, tiparet ose sjelljet që paraqesin interes për fushën e studimit i përfshijmë në model dhe të tjerat i injorojmë. Modelimi si i tillë i referohet procesit të analizës dhe sintezës përmes së cilit arrihet në një përshkrim matematikor të përshtatshëm që vlerëson karakteristikat dinamike përkatëse të komponentes në shqyrtim, mundësisht dhe aq më mirë në termat e parametrave që janë të përcaktueshëm lehtësisht në praktikë. Në modelimin matematik, ne mundohemi të përcaktojmë marrëdhëniet funksionale ndërmjet madhësive që studiohen. Një model pra supozohet se imiton ose riprodhon karakteristika ose kushte të caktuara të objektit aktual shpesh në një shkallë të ndryshme. Mund të marrë forma të ndryshme, formë fizike, si në modelet-shkallë apo makinat elektrike analoge të sistemeve mekanike; formë mendore, si në njohuritë intuitive dhe imagjinare; simbolike, si në paraqitjet skematike, grafike, gjuhësore apo matematike. Simulimi mund të jetë i dobishëm në shumë studime shkencore që janë si më poshtë:
1. Studimi i sistemit fizik të dhënë 2. Formulimi një hipoteze apo hartimi i një modeli matematik për ta shpjeguar atë. 3. Parashikimi i sjelljes së sistemit me anë të zgjidhjes dhe natyrës së modelit matematik. 4. Vënia në provë e saktësisë dhe vlefshmërisë së hipotezës së bërë apo të modelit të
ndërtuar.
Në varësi nga natyra e sistemit fizik aktual dhe qëllimit të simulimit përkufizimi i modelimit dhe simulimit do të jetë i ndryshëm. Në kuptimin më të gjerë të fjalës, simulimi është një teknikë që përfshin hartimin e një modeli për një proces konkret dhe kryerjen e eksperimenteve mbi modelin e hartuar.
Modelet matematike mund të klasifikohen si më poshtë:
Linearë ose jolinearë: modelet linearë përshkruhen nga ekuacione lineare në të cilat është i aplikueshëm principi i superpozimit. Modelet jolinearë, nga ana tjetër, përshkruhen nga ekuacione matematike jo linearë.
Me parametra të përqëndruar ose me parametra të shpërndarë. Modelet me parametra të përqëndruar përshkruhen nga ekuacione diferenciale me derivate të plotë që kanë vetëm një variabël të pavarur. Modelet me parametra të shpërndarë përshkruhen nga ekuacione diferenciale me derivate të pjesshme shpesh me kohën dhe një ose më shumë koordinata hapësinore si varibla të pavarur.
7
Statikë dhe dinamikë. Modelet statikë marrin parasysh regjimet e stabilizuara (të vendosura) ndërsa modelet dinamikë marrin parasysh karakteristikat gjatë regjimeve kalimtare.
Të vazhdueshëm ose diskretë. Modelet e vazhdueshëm përshkruhen nga ekuacione në të cilat variablat e varur janë të vazhdueshëm në kohë. Modelet diskrete përshkruhen nga ekuacione variablat e varur të të cilëve përcaktohen vetëm në çaste të caktuara kohe.
Të fiksuar ose statistikorë: një model quhet i vendosur nëse në të nuk merret parasysh faktori i rastit ose statistikor. Modeli quhet statistikor nëse merr parasysh faktorë të rastit.
Procedura e hartimit të një modeli është shpesh një procedurë iterative. Cikli fillon me përcaktimin e qëllimit që do realizojmë me modelin dhe kufizimet e tij, si dhe me supozimet apo lëshimet që do bëjmë, mënyrën si do përcaktojmë parametrat për modelin, dhe njohjen e ndihmës kompjuterike të mundshme në atë drejtim. Nevojitet njohje dhe kuptim i mirë dhe i thellë i disiplinës përkatëse për të bërë lëshimet e nevojshme për ta thjeshtuar modelin. Thjeshtësia është karakteristika dalluese e modelit të mirë. Një model që e tepron me detaje mund të jetë tepër i vështirë dhe madje i pavolitshëm për t’u përdorur. Por nga ana tjetër lëshimet dhe thjeshtimet e tepruara mund të na çojnë në rezultate me saktësi të pakënaqshme. Mund të ketë më shumë se një model për të njëjtin sistem fizik, që dallojnë nga preçizioni, aspekti dhe shtrirja e tyre. Për shembull një linjë transmetimi mund të paraqitet përmes një modeli me parametra të shpërndarë, ose përmes një modeli RLC me parametra të përqëndruar ose një modeli RL me parametra të përqëndruar. Po ashtu modeli i një qarku elektromagnetik me bërthamë çeliku, mund të marrë parasysh efektet e ngopjes së qarkut magnetik apo efektet e histerezisë së bërthamës në varësi të qëllimit të simulimit.
Çdo model ka parametra që duhen vlerësuar. Prandaj hartimi i një modeli varet nga metodat eksperimentale për përcaktimin e këtyre parametrave ose përndryshe modeli nuk është i plotë. Modeli i hartuar duhet verifikuar dhe duhet përcaktuar shkalla e saktësisë së tij. Verifikimi përfshin kontrollimin e saktësisë matematikore të ekuacioneve të shkruara, procedurën e zgjidhjes, dhe të lëshimeve të bëra. Shkalla e saktësisë përcakton se sa i jemi afruar (me ç’saktësi) aspekteve përkatëse të sistemit aktual me modelin e hartuar. Nëse gabimi i bërë është tepër i madh ose i papranueshëm atëherë cikli përsëritet nga e para. Të dhënat e përdorura për përcaktimin e parametrave nuk duhet të jenë të njëjta me të dhënat e përdorura për verifikimin e modelit.
Modelimi dhe simulimi kanë përdorim të gjerë. Ato janë veçantërisht të leverdisshëm kur sistemi real nuk ekziston ose është tepër i shtrenjtë, kërkon shumë kohë, ose është i rrezikshëm për t’u ndërtuar, ose kur eksperimentimi me modelin real mund të ketë pasoja të papranueshme. Të eksperimentosh me vlera të parametrave të ndryshuar apo të eksplorosh një koncept të ri ose një strategji të re operimi mund të bëhet shumë herë më lehtë në një proces simulimi sesa në një seri të tërë eksperimentesh që do të kërkohej të kryheshin mbi sistemin aktual, gjithsesi. Simulimi gjithashtu është një mënyrë e mirë studimi, një teknikë përmes së cilës studentët mund të mësojnë më shumë, të njohin më thellë dhe të kuptojnë më mirë sistemin që ata po studiojnë.
Një pyetje që bëhet menjëherë sapo kemi një model të një sistemi të dhënë është shkalla e saktësisë së tij. Pra, a reflektojnë rezultatet e simulimit rezultatet e sistemit aktual për të njëjtat kushte? Edhe për modele të sakta, duhet pasur kujdes në shtrirjen e përdorimit të modelit në një simulim më të gjerë, duke pasur një qëllim të fiksuar mirë dhe duke iu përmbajtur atij. Përndryshe do të arrinim në rezultate pa kurrfarë vlere e rëndësie.
8
H. II Shëndrrimi elektromekanik i energjisë
Principi i shëndrrimit të energjisë në paisjet e ndryshme është i njëjtë, stuktura në të cilën arrihet ajo (shëndrrimi) është në varësi të funksionit të tyre. Një kategori të shëndrrimit të energjisë janë paisjet që sherbejnë për sistemin e matjeve dhe të kontrollit ku karateristika e hyrje-daljeve e tyre është lineare. Një kategori tjetër janë paisjet që ushtrojnë një forcë të caktuar si p.sh reletë e ndryshme elektromekanike, elektromagnetët etj. Një kategori tjetër shumë e rëndësishme përfshihen paisjet që shëndrrojnë enërgjinë në mënyrë të vazhdueshme si motorët asinkronë, motorët sinkronë, gjeneratorët sinkron , gjeneratorët e rrymës së vazhdueshme etj.
H. II.1. Mardhëniet energjitike në Sistemet elektromekanike
Sistemi elektro-mekanik përbëhet nga sisteme elektrike dhe mekanike të cilët në të njëjtën kohë këto sisteme bashkëveprojnë me njëri tjetrin duke realizuar shëndrrimin e energjisë nga një formë (elektrike-mekanike) në një formë tjetër (mekanike – elektrike). Sistemi elektrik përbëhet nga fusha elektromagnetike dhe elektro-statike të cilët mund të ekzistojnë të dyja së bashku në të njëjtën kohë ose veç e veç. Zakonisht sistemet mekanike përfshijnë energjinë kinetike apo potenciale të trupave. Për të analizuar shëndrrimin e energjisë ( elektrike në mekanike) do të marrim në studim rastin më të thjeshtë të një sistemi elektromekanik i cili përbëhet nga sistemi elektrik, sistemi mekanik dhe sistemi i çiftimit të fushave siç është treguar në figurën 1.
SISTEMI ELEKTRIK
ÇIFTIMII FUSHAVE
SISTEMI MEKANIK
Fig.1 bllokdiagrama e një sistemi elementar elektromekanik
Fokusi i studimit nëmaterial do të jenë sistemet elektrike të cilët operojnë me frekuencë të ulët (50 Hz) ku rrezatimin elektromagnetik nuk do ta marrim parasysh dhe sistemin elektrik do ta pranojmë me parametra të përqëndruar. Në të gjitha hallkat e sistemit elektromekanik kemi humbje të energjisë. Humbjet në sistemin mekanik janë kryesisht janë për shkak të fërkimit të boshtit në kushineta si qarkut të rotorit me ajrin. Në sistemet elektrike ekzistojnë humbjet për shkak të kalimit të rrymës elektrike në përcjellës ( bobinë , pështjellë etj), humbjet në materialet ferromagnetike për shkak të rrymave fuko dhe lakut të histerezës si dhe humbje në dialektrikë. Duke shënuar EE energjinë e plotë të sistemit elektrik dhe EM energjinë e plotë të sistemit mekanik ateherë ekuacioni i ekulibrit të energjisë të sistemeve përkatëse do të jetë: EE=Ee+EeH+EeR (1) EM=Em+EmH+EmR (2)
Ku:
EeR është e rezervuar ( magazinuar ) në fushën elektrike apo magnetike e cila nuk bashkëvepron me sistemin mekanik.
EeH është energjia e cila përfaqëson humbjet në sistemin elektrik e cila kthehen në nxehtësi.
Ee është ajo pjesë e energjisë së sistemit elektrik që transferohet te çiftimi i fushave e cila merr pjesë në shëndrrimin e energjisë.
9
EmR është e rezervuar ( magazinuar ) në pjesët lëvizëse të sistemit mekanik dhe nuk merr pjesë te çiftimi i fushave ( nuk bashkëvepron me sistemin elektrik).
EmH është energjia e cila përfaqëson humbjet në sistemin mekanik e cila kthehen në nxehtësi.
Em është ajo pjesë e energjisë së sistemit mekanik që transferohet te çiftimi i fushave e cila merr pjesë në shëndrrimin e energjisë.
Duke shënuar me EF energjinë e plotë të transferuar në çiftimin e fushave atëherë ekuacioni i ekulibrit të energjisë në të do të jetë: EF=EfH+EfR (3)
Ku:
EfH është energjia e rezervuar ( magazinuar ) në sistemin e çiftimit të fushave.
EfR është energjia që humbet në sistemin e çiftimit të fushave. Në bazë të ligjit të ruajtjes së energjisë për sistemin elektromekanik kemi: EfH+EfR = (EE−EeH−EeR ) + ( EM −EmH−EmR ) (4) EfH+EfR =Em + Ee (5)
Në figurën 2 tregohet në mënyrë skematike marrëdhëniet e mësipërme të energjisë.
∑ ∑ ∑EE
+_
_
+_
_
_
_
+
EeH
EeR
Ee
EfR
EfHEmH
EmR
EMEm+
Sistemi elektrik Çiftimi i fushave Sistemi mekanik
fig.2 Paraqitja në mënyrë skematike e ballancave të energjisë.
Siç shikohet dhe nga figura 2, shëndrrimi i energjisë nga elektrike në mekanike dhe anasjelltas nuk varet nga:
1. humbjet në sistemin elektrik dhe mekanik përkatësisht EeH, EmH.
2. energjia e rezervuar në sistemin elektrik EeR
3. energjia e rezervuar në sistemin mekanik EmR
Në qoftë se pranojmë humbje te çiftimi i fushave të neglizhueshme ekuacioni (5) merr trajtën: EfR = Ef = Em + Ee (6)
Për të ilustruar një sistem elektromekanik elementar marrim një shembull konkret të treguar në figurën 3.
10
fig.3 Një sistem elementar elektro-mekanik
Në këtë sistem u është tensioni i burimit të sistemit elektrik të ushqimit dhe f është një forcë mekanike e jashtme e ushtruar në sistemin elektrik. Forcën elektromagnetike që ushtrohet në materialin ferromagnetik lëvizës do ta shënojmë me fe. Me r do të shënojmë rezistencën e përcjellësit në të cilën kalon rryma i dhe me L do të shënojmë induktivitetin e sistemit elektromagnetik të cilën do ta pranojmë kostant energjia në të cilën grumbullohet në të nuk merr pjesë në sistemin e çiftimit me sistemin mekanik. Sistemi mekanik i treguar në figurën 3 përfaqësohet nga:
M masa e trupit ferromagnetik i cili bën lëvizje drejtvizore
D koeficienti i shuarjes (qetësimit) të trupit lëvizës
K kostantja e sustës
Zhvendosja x0 përfaqëson një pozicion ekuilibri të sistemit mekanik. Ekuacioni i ekuilibrit të f.e.m dhe tensioneve në sistemin e dhënë elektrik do të jetë i barabartë me shprehjen:
fdiu ir L edt (7)
Ku ef është f.e.m që induktohet në bobinën me W dredha e cila do të marrë pjesë në sistemin e çiftimit të fushave. Në bazë të ligjit të Njutonit (lëvizjes) ekuacionet dinamike të sistemit të dhënë mekanik është i barabartë me ekuacionin e mëposhtëm:
2
02 e
d x dxf M D K fx x
dt dt (8)
Energjia e plotë e sistemit elekrik është e barabartë me shprehjen:
EE uidt (9)
Energjia e plotë e sistemit mekanik është e barabartë me shprehjen:
ME fdx (10)
Duke zëvendësuar shprehjen (7) te (9) përftojmë shprehjen e energjisë së plotë në trajtën e mëposhtme:
2E fE r i dt L idi e idt (11)
Termi i parë djathtas 2r i dt përfaqëson humbjet elektrike EeH për shkak të kalimit të rrymës
në përcjellësin me rezistencë r të sistemit elektrik. Termi i dytë djathtas L idi përfaqëson
energjinë magnetike të rezervuar EeR e cila siç është theksuar dhe më sipër nuk merr pjesë në
11
shëndrrimin e energjisë. Energjia e transferuar te sistemi i çiftimit të fushave nga sistemi elektrik është e barabartë me shprehjen:
e fE e idt (12)
Në mënyrë të njëtë përcaktojmë dhe shprehjen e energjisë së plotë të sistemit mekanik duke zëvendësuar shprehjen (8) te (10) duke marrë formën e mëposhtme:
22
02M e
d x dxE M dx D dt K dx f dxx x
dt dt (13)
Termi i parë dhe i tretë te shprehja 13 përkatësisht 2
02
d xM dx K dxx x
dt përfaqësojnë
mekanike të rezervuar respektivisht në masën M dhe në sustën EmR, ndersa termi i dytë 2
dxD dt
dt përfaqëson humbjet për shkak të fërkimit EmH. Energjia e transferuar te sistemi i
çiftimit të fushave nga sistemi mekanik është e barabartë me shprehjen:
m eE f dx (14)
Duhet theksuar se forca pozitive, fe është konsideruar të jetë në të njëjtën drejtim me zhvendosjen dx. Duke zëvendësuar shprehjet e mësipërme të energjisë te ekuacioni (5) përftojmë :
fR eE eidt f dx (15)
N.q.s se do të kemi një sistem elektromekanik i cili përbëhet nga disa sisteme elektrike dhe mekanike shprehja (15) merr formën:
1 1
J K
fR ej mkj k
E E E
(16)
Ku J dhe K janë hyrjet e sistemeve elektrike dhe mekanike në çiftimin e fushave. Energjia e plotë e transferuar nga sistemet elektrike te sistemi i çiftimit të fushave do të jetë:
1 1
J J
ej fj jj j
E e i dt
(17)
Energjia e plotë e transferuar nga sistemet mekanike te sistemi i çiftimit të fushave do të jetë:
1 1
K K
ej ek kk k
E f dx
(18)
Ballanca e energjisë është e barabartë me shprehjen e mëposhtme:
1 1
J K
f fj j ek kj k
E e i dt f dx
(19)
Dhe në trajtë diferenciale do të ketë formën:
1 1
J K
f fj j ek kj k
dE e i dt f dx
(20)
12
1eE
1mE
2eE
3eE
eJE
2mE
3mE
mKE
fig.4 bashkëveprimi i disa sistemeve elektrike dhe mekanike
H. II.2 Energjia në sistemin e çiftimin e fushave Për të përcaktuar forcën elektromagnetike nga shprehja (20) fillimisht duhet të
përcaktojmë energjinë e rezervuar të sistemi i çitimit të fushave. Energjia e rezervuar në çiftimin e fushave në rastin e makinave elektrike rezervohet në hapësirën ajrore të sistemit elektromekanik. Ajri duke qënë se klasifikohet si një konservues i mesëm, e gjithë energjia e rezervuar do ti rikthehet sistemit elektrik dhe mekanik. Energjia e rezervuar në një fushë konservative është funksion i variabllave të gjendjes. N.q.s trupi me masë M qëndron i palëvizur (dx=0) dhe sistemin elektrik e ushqejmë me një burim të caktuar atëherë energjia mekanike është e barabartë me zero Emk = 0 dhe shprehja (19) merr formën e mëposhtme:
1
J
f fj jj
E e i dt
(21)
f.e.m që induktohet në një bobinë është e barabartë me shrehjen fde dt , kështu që për një
sistem të vetëm elektrik shprehja (21) do të ketë formën:
fdE eidt i dt iddt (22)
Në figurën 4 është paraqitur karakteristika ëeber-ampere e sistemit elektrik. Sipërfaqja në të majtë të grafikut Δ(OAB) përfaqëson shprehjen (22) e cila është energjia e rezervuar e fushës për vlerat i=iA dhe Ψ= ΨA. Sipërfaqja në të djathtë të varësisë Ψ=f(i) paraqet ko-energjinë e barabartë si madhësi:
cE di (23)
Ko-energjinë mund ta përcaktojmë dhe me shprehjen e mëposhtme: c fE i E (24)
Ko-energjia nuk ka ndonjë kuptim fizik por është një madhësi e gjetur për të përcaktuar në një formë më të thjeshtë siç do ta shikojmë më vonë shpehjen e forcës elektromagnetike (momentit elektromagnetik) në një sistem elektro-mekanik. Zhvendosja x përcakton ndikimin (influencën) e sistemit mekanik te sistemi i çiftimit të fushave. Duke qenë se fluksi i plotë Ψ dhe rryma i kanë një varësi të caktuar ( në rast se njihet njëra madhësi në bazë të një marrdhënie të caktuar mund të përcaktojmë tjetrën ) atëherë për të përshkruar gjendjen e sistemitelektro-mekanik nevojitet përveç zhvendosjes x dhe një variabëll tjetër e cila mund të
13
jetë fluksi Ψ ose rryma i. Në qoftë se marrim zhvendosjen x dhe rrymën i si variablla gjendjeje, energjia e fushës Ef si dhe fluksi i plotë Ψ mund të shprehen si më poshtë: ( , )f fE E i x (25)
iAi
d
di
AA
O
Fig.4 energjia e rezervuar në sistemin elektrik ( , )i x (26)
Ndryshimi i fluksit të dhënë nga shprehja (26) është e barabartë:
( , ) ( , )i x i x
d di dxi x
(27)
Duke pranuar dx=0 si dhe duke zëvendësuar shprehjen (27) tek shprehja (22) përftojmë energjinë e fushës të barabartë me :
0
( , ) ( , ),
i
f
i x xE id i di di x
i
(28)
Ku
është variabëll integrimi
Ndërsa shprehja e ko-energjisë është e barabartë:
0
,,i
cE di dxi x (29)
Në rast se do të pranonim si variablla gjendjeje fluksin Ψ dhe zhvendosjen x energjia e fushës si dhe rryma do të shpreheshin si më poshtë: ( , )f fE E x (30)
( , )i i x (31)
Duke bërë zëvendësimin përkatëse përcaktojmë shprehjen e energjisë së fushës në funksion të fluksit dhe zhvendosjes
0
, ,cE i d i dx x
(32)
14
Për të përcaktuar ko-energjinë kur fluksi Ψ dhe zhvendosja x janë variablat e gjendjes fillimisht duhet të përcaktojmë ndryshimi e rrymës di të barabartë me:
( , ) ( , )i x i x
di d dxx
(33)
Dhe shprehja e ko-energjisë është e barabartë me:
0
( , ) ( , ),c
i x i xE d dx
(34)
Për sistemin elektromagnetik linear karakteristika ëeber-ampere është një vijë e drejtë dhe jepet me anë të relacioneve të mëposhtme: , L ii x x (35)
,i x L x (36)
Ndryshimi i fluksit do të jetë i barabartë me xd L di . Enrgjia e fushës për sistemin linear
do të jetë e barabartë me shprehjen:
2
0
1,
2
i
fE L d L ii x x x (37)
Në rast se do të kishim një sistem elektro-mekanik me dy sisteme elektrike me qarqe elektromagnetike lineare dhe një mekanike atëherë energjia e rezervuar mund ta përcaktojmë si më poshtë: 1 11 1 12 21 2, , L i L ii i x x x (38)
2 21 1 22 21 2, , L i L ii i x x x (39)
Duke pranuar zhvendosjen dx=0, ndryshimet përkatëse të flukseve të jenë të barabartë me shprehjen e mëposhtme: 1 11 1 12 21 2, ,d L di L dii i x x x (40)
2 21 1 22 21 2, ,d L di L dii i x x x (41)
Shprehja e Energjisë së fushës është e barabartë me shprehjen e mëposhtme:
1 2
1 2
1 1 2 11 21
0 0
11 1 12 22
0 0
2 211 1 1 12 1 2 22 2
( , , ) ( , , )( , , ),
1 1
2 2
i i
f
i i
i x i xi xi d dE di x
L d i L d L dx x x
L i i L i i L ix x x
(42)
Në trajtë të përgjithshme shprehja (42) merr formën e mëposhtme:
11 1
1, ,
2
J J
f pq p qJp q
E L i ii i x
(43)
H.II.3. Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë. Në figurën 4 është paraqitur karakteristika ëeber- ampere e qarkut elektro-magnetik
për zhvendosjen e trupit me masë M nga kordinata me x=xA në x=xB.ndryshimi i energjisë së fushës është e barabartë diferencën e sipërfaqes OACO me sipërfaqen OBDO pra:
15
ΔEf= Sip(OACO)− Sip(OBDO) (44)
i
B
O
AC
D
x = xb
x = xa
Fig.5 Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë në një sistem elektromekanik për karakteristikën ψ=f(i) ,drejtimi nga A në B
i
B
O
AC
D
x = xb
x = xa
Fig.6 Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë në një sistem elektromekanik për karakteristikën ψ=f(i) ,drejtimi nga B në A
Ndryshimi i energjisë së sistemit elektrik do të përcaktohet me anë të shprehjes së mëposhtme:
( )B
A
eE id Sip CABDC
(45)
Ndërsa ndryshimi i energjisë së sistemit mekanik do të jetë:
( ) ( ) ( ) ( )m f eE E E Sip OACO Sip OBDO Sip CABDC Sip OABO (46)
16
i
B
O
AC
D
x = xb
x = xa
Fig.7 Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë në një sistem elektromekanik për karakteristikën ψ=f(i) ,drejtimi nga A në B në A
Për të llogaritur forcën elektro-magnetike fe të një sistemi elektro-mekanik nisemi nga shprehja (20):
1 1
K J
ek k fj j fk j
f dx e i dt dE
(47)
Ose
1 1
K J
ek k j fj fk j
f dx i d dE
(48)
Energjia e fushës Ef si dhe flukset të një sistemi elektro-mekanik i cili përbëhet nga disa sisteme elektrike dhe mekanike jepet me shprehjet e mëposhtme: 1 1, , ,f f J KE E i i x x (49)
1 1, , ,j j J Ki i x x (50)
Ndryshimi i energjisë së fushës si dhe i fluksit të sistemit elektromekanike do të jenë:
1 1
J Kf f
f j kj kj k
E EdE di dx
i x
(51)
1 1
( , ) ( , )J Kj
j j kj kj k
i x i xd di dx
i x
(52)
Duke zëvendësuar shprehjet (51) dhe (52) tek shprehja (48) përftojmë sprehjen e ndryshimit të energjisë mekanike të sistemit elektro-mekanik i cili është i barabartë me:
1 11 1 1 1
( , ) ( , )J KK J J Kj f f
j kek k j j kj kj kk j j kj k
i x E Ei xdi dxf dx i di dx
i x i x
(53)
Duke e zhvilluar më tej shprehjen (53) përftojmë një formë më të thjeshtë të saj si më poshtë:
111 1 1
( , )( , ) JJK K Jj ff
jjek k k jnj n jk k jk k
i x EEi xiif dx dx di
i ix x
(54)
17
Nga shprehja (54) gjejmë shprehjen e forcës elektro-magnetike të sistemit elektrik të barabartë me shprehjen :
1
( , ),
Jf
ek jj k k
Ei xf ii x
x x
(55)
Forcën elektromagnetike të sistemit mund ta përcaktojmë shumë thjeshtë nga shprehja e ko-energjisë si më poshtë:
1
J
c j j fj
E i E
(56)
Duke derivuar shprehjen (56) në lidhje me zhvendosjen x përftojmë forcën elektromagnetike të sistemit elektro-mekanikë:
1
( , )Jfc
ek jjk k k
EE i xf i
x x x
(57)
Zakonisht në makinat elektrike shëndrrimi i energjisë mekanike në elektrike dhe anasjelltas realizohet me anë të energjisë kinetike rrotulluese të pjesës së lëvizshme (rotorit) të makinës kështu që në vend të forcës elektromagnetike përdorim momentin elektromagnetik që zhvillon sistemi elektrik i barabartë me shprehjen e mëposhtme:
cek
k
EM
(58)
18
KAPITULLI I
PARIMI I PUNES DHE NDERTIMI I MAKINES ASINKRONE
1.1 Parimi i punës së makinës asinkrone.
Në fig 1-4 është treguar në formë skematike pamja e një makine asinkrone në drejtimin aksial. Pështjella trefazore e statorit është vendosur në kanalet e bërthamës së statorit dhe lidhet me rrjetin trefazor të rrymës alternative me frekuencë 1f . Në kanalet e rotorit është vendosur pështjella trefazore e rotorit, daljet e së cilës zakonisht lidhen në të shkurtër. Çdo faze e këtyre pështjellave në makinën e treguar në fig 1-1 , është e formuar nga një dredhe ku fillimet janë shënuar me A, B, C dhe fundet me X, Y, Z. Dredhat janë të zhvendosura në hapësire me 0120 . Në rast se në pështjellën e statorit zbatohet nje sistem simetrik trefazor tensionesh atehere ne te do te kaloje nje sistem simetrik rrymash : AI , BI ,
CI .
A+
A-
B+
B-
C+
C-
b
a
rot
c
b
c
a) b)
AI
BI
CI
Fig.1.1 Paraqitja skematike e një makine asinkrone me një cift polesh (p=1)
a) Makina asinkrone trefazore. b) F.m.m në një kohë të dhënë. c) Diagrama e rrymave për një kohë të caktuar.
19
Ne fig 1-1 eshte treguar drejtimi i rrymes ne percjellesit e peshtjelles se statorit ne një cast të caktuar të kohës.
a
b
b’c’
c
a’
a
b
b’c’
c
a’Peshtjellaekuivalente e thjeshte e statorit
ias
Peshtjellaekuivalente e thjeshte e statorit
Peshtjellaekuivalente e thjeshte e statorit
iasias
Aksi magnetik i fazes AAksi magnetik i fazes A
Aksi magnetik i fazes B
Aksi magnetik i fazes C
Aksi magnetik i fazes B
Aksi magnetik i fazes C
ics
ibs
ics
ibs
Fig 1-2 Fusha magnetike e statorit.
Ne fig 1-2 shihet se fusha magnetike e krijuar nga rrymat qe kalojne ne peshtjellen e statorit ka dy pole. Në këtë rast thuhet se makina ka një çift polesh; p=1. Kjo fushë do të rrotullohet rreth pështjellës që e krijoj me shpejtësi:
p
fn 1
11
22
ku:
f1 është frekuenca e rrymës qe kalon në pështjelle p është numri i cift poleve te makinës Ω1 është shpejtesia sinkrone e fushës magnetike e krijuar nga rrymat e statorit.
Fluksi magnetik i krijuar nga rrymat që kalojnë në pështjellën e statorit duke u rrotulluar,pret përcjellësit e peshtjellave te statorit dhe rotorit dhe indukton ne to f.e.m 1e dhe
2e . Nën veprimin e f.e.m 2e te induktuar në rotor, në pështjellën tre-fazore të tij, të lidhur në të shkurtër do të kalojë një sistem simetrik rrymash. Këto rryma nga ana e tyre do të krijojnë një fluks magnetik i cili ka të njëjtën numër polesh dhe rrotullohet me të njëjtën shpejtësi dhe kahje me fushën e statorit. Pra fusha magnetike e statorit dhe e rotorit janë të palëvizshme kundrejt njëra tjetrëes dhe së bashku formojnë një fluks rezultant që rrorullohet me shpejtësi
1 . Nga bashkëveprimi i fushës magnetike rezultante dhe rrymës 2i në pështjellën e rototit në këta te fundit do të linde forca elektromagnetike ( siç tregohet në fig 1.3) dhe si rrjedhim rotori do të rrotullohet.
Fig1.3 Forca elektromagnetike në një përcjellës me rrymë
në një fushë magnetike
20
1
2 2e if
2 2e i f
1
1
Fig1.4 a,b,c. Rrymat dhe forcat në pështjellën e rotorit
Në fig 1.4 a,tregohet lakorja e induksionit rezultant B e cila rrotullohet me shpejtësi sinkrone 1 , ndërsa në fig 1-4 b tregohet drejtimi i f.e.m 2e në përcjellesit e rotorit kur ai është i palëvizshëm 0 dhe kahja e forcave elektromagnetike që veprojnë në përcjellësit e rotorit, kur rrymat e rotorit 2i dhe f.e.m 2e janë në fazë.Forca që veprojnë në këtë rast, e
rrotullojnë rotorin në drejtimin e fushës. Drejtimi i f.e.m 2e dhe i rrymave 2i do të mbetet e
pandryshuar për cdo vlerë të shpejtesisë së rotorit nga 0 deri ne 1 . Per 1 fusha magnetike e statorit nuk e pret pështjellën e rotorit prandaj në këtë të fundit nuk do të induktohet f.e.m, rrjedhimisht dhe rryma 2i do të jetë zero pra rrjedhimisht dhe forca elektomagnetike do të jetë zero. Në këtë mënyrë momenti elektromagnetik i makinës asinkrone është rrotullues kur rotori i saj rrotullohet me shpejtësi nga 0 deri në 1 . Në këtë diapazon shpejtësish makina punon në regjim motori.Në rast se rotorin e makinës e rrotullojmë me shpejtësi më të madhe se shpejtësia sinkrone > 1, në drejtim të rrotullimit të fushës, atëherë do të ndryshojë dhe drejtimi i f.e.m 2e , rrjedhimisht dhe i rrymës 2i dhe i forcave elektromagnetike f (fig 1-4 c). Makina në këtë rast punon në regjim gjeneratori dhe momenti elektromagnetik i saj është frenues. Regjimi i vendosur ( kostant ) do të arrihet kur momenti rrotullues i motorit parësor do të barazohet nga momenti elektromagnetik frenues i makinës.Një regjim tjetër i makinës asinkrone është ai i kycjes së kundërt. Në këtë rast rotori rrotullohet në drejtim të kundërt me drejtimin e rrotullimit të fushës: < 0 , atëherë drejtimi i f.e.m e2, i rrymës i2 dhe i forcave elektromagnetike do të jetë si në fig 1-4b. Momenti elektromagnetik do të veprojë në të njejtin drejtim me rrotullimin e fushës, duke penguar lëvizjen e rotorit.Në këtë mënyrë për shpejtësi të ndryshme të rrotullimit të rotorit të makinës asinkrone , ajo mund të punojë në këto regjime: Regjim motori 0 < < 1 Regjim gjeneratori > 1 Regjim i kycjes se kundërt < 0
Në analizën e punës se makines asinkrone përdoret dhe kuptimi i “shkarjes” e cila paraqet diferencën relative të shpejtësise së rotorit kundrejt shpejtësise së fushës magnetike .
1 1
1 1
n ns
n
dhe shpejtësi e rrotullimit të rotorit në varësi të shkarjes është: s 11
21
1 1n n s
1.2 Ndërtimi i makinave asinkrone.
Motori Asinkron përbëhet nga dy pjesë kryesore, nga statori e cila është pjesa e palëvizshme e makinës dhe rotori e cila është pjesa e lëvizshme. Statori i makinës formohet prej qarkut magnetik, pështjellës trefazore dhe zgjedha (fig 1.5). Elementet aktive të statorit që destinohen për formimin e fushës magnetike rrotulluese janë qarku magnetik dhe pështjella e rrymës alternative, kurse zgjedha kryen vetëm funksion konstruktiv duke fiksuar pozicionin e duhur të pjesëve aktive. Bërthama e statorit formohet prej fletësh celiku elektroteknik, zakonisht me trashesi 0.5 mm, të izoluara nga te dy anet me llak. Në makinat me fuqi te vogel rolin e izoluesit e luan oksidi i krijuar ne sipërfaqet e fletës në mënyrë natyrore ose artificiale. Kur diametri i jashtëm i fletës së statorit është më i vogël se një metër, ajo përgatitet me stampim prej një cope të vetme. Për diametër të jashtëm më të madh se një metër, fleta e statorit përgatitet prej disa segmentesh. Në anë të bredshme të statorit hapen kanalet për vendosjen e pështjellës së statorit.
Fig 1.5 Statori i një makine Asinkrone Fig. 1.6 Një fletë celiku elektroteknik e
bërthamës së statorit.
Rotori i makinës formohet prej qarku magnetik në të cilën janë hapur kanalet për vendosjen e pështjellës së rotorit ,boshti dhe ventilatori (shih fig.1.7). Elemente aktive te rotorit qe marrin pjese ne proqesin e shëndrrimit të energjisë janë qarku magnetik dhe pështjella.
Fig 1.7 Rotori i një makine Asinkrone Fig. 1.8 Një fletë celiku elektroteknik e
bërthamës së rotorit
22
Bërthama e rotorit pregatitet gjithashtu prej fletësh celiku elektroteknik me trashësi 0,5 mm, në aneë e jashtme të së cilave hapen kanale për vendosjen e pështjellës së rotorit (fig 1-7). Në varësi nga ndërtimi konstruktiv i pështjëllës së rotorit dallohen dy lloje motorësh asinkrone:
a Motor asinkron me pështjellë të rotorit në formë kafazi ose sic thuhet ndryshe me pështjellë të rotorit të lidhur në të shkurtër (fig 1.8).
b Motore asinkron me rotor me faza.
Për pergatitjen e pështjellës së rotorit në formë kafazi (fig 1-9) në çdo kanal të bërthamës së rotorit vendoset një thupër përcjellëse e paizoluar prej bakri ose alumini. Të gjitha thuprat lidhen shkurt me anë të dy unazave përcjellëse. Thuprat e rotorit, unazat dhe fletët e ventilatorit, shpeshherë pergatiten njëherësh nëpërmjet derdhjes së aluminit në kanalet e rotorit.
Fig. 1.9 Pështjhella e rotorit në formë kafazi.
Në makinat me rotor me faza pështjella trefazore e rotorit pergatitet njëlloj si e statorit. Tri daljet e saj lidhen me tri unaza përcjellëse të vendosura në boshtin e makinës dhe të izoluara prej tij. Mbi këto unaza rrëshqasin furcat nëpërmjet të cilave pështjella e rotorit lidhet me qarkun e jashtëm. Boshti i rotorit mbështetet në kuzhinetat, të cilat nga ana e tyre vendosen në kapaket të montuar në zgjedhë. Kushinetat centrojnë rotorin jo vetëm në drejtimin radial, por dhe aksial. Meqënëse hapësira ndërmjet qarkut magnetik të statorit dhe rotorit në makinat asinkrone është shumë e vogël (0,3-1 mm), boshti i rotorit duhet të jetë mjaft i ngurtë dhe përpunimi mekanik i detaleve konstruktive, që të sigurojnë pozicionin e rregullt të boshtit në hapësirë, duhet të bëhet me saktësi të lartë.
1.3 Fusha magnetike e makinës asinkrone.
1.3.1 Forca magnetomotore e bobinës me hap të plotë.
Pranojmë një makinë me hapsirë ajrore të pandryshueshme gjatë gjithë periferisë së saj në të cilën është vendosur një bobinë që ka W dredha të lidhura në seri (fig.1-11). Qarkun magnetik do ta pranojmë të pangopur. Fusha magnetike e hapësirës ajrore e krijuar nga rryma ib që kalon në bobinë tregohet në figurën 1-12. Për një vijë të induksionit magnetik të kësaj fushe mund te shkruajme :
b bHdl W i (1-1)
Duke pranuar për qarkun magnetik ç = ∞ ( Hc= 0 ), shprehja 1-1 shkruhet në formën:
2 b bH W i (1-2)
ku është hapsira ajrore (hapsira midis statorit dhe rotorit siç tregohet në figurën 1-11 Induksioni magnetik në hapsirën ajrore është:
00 2
b bb
W iB H F
(1-3)
23
-
Fa
a
f( )
1aF
-Fa
Fig. 1.11 Një bobinë me hap të plotë. Fig.1-12. Fusha magnetike dhe f.m.m e bobinaveme hap të plotë
Madhësitë:
0
(1-4)
dhe
2b b
b
W iF (1-5)
quhen përkatësisht përcjellshmëria magnetike specifike e hapsirës ajrore dhe f.m.m e bobinës në një hapsirë ajrore.
Me lëshimet e bëra përcjellshmëria magnetike specifike e hapsirës ajrore e pranojmë konstante ( = kostant ), prandaj lakorja e f.m.m në një shkallë tjetër jep dhe lakoren e shpërndarjes së induksionit magnetik në hapsirën ajrore. Sic shihet nga figura 1-12, kjo lakore është periodike, me periodë të barabartë me gjatësinë e dy ndarjeve polare. Duke e zberthyer në seri Furie, meqënëse është simetrike me boshtin e abshisave, ajo do të përmbaje harmonikat teke () (fig.1-11). Në qoftë se vendosim boshtin e ordinatave në aksin e simetrisë së bobinës (ose sic thuhte ndryshe në aksin magnetik të bobinës), f.m.m e bobinës shkruhet: 1 3 5( ) cos cos3 cos5 ...b b b bF F F F (1-6)
Amplitude e harminikës së rendit jepet me barazimin :
2
2
2 4cosb b bF F d F
(1-7)
Në rast se rryma që kalon në bobinë është sinusoidale
2 sinb bi I t (1-8)
Atëherë f.m.m e bobinës është funksion i kohës dhe sipas barazimit 1-5 do të jetë:
( ) 2 sin sin2
bb b bm
WF t I t F t (1-9)
Në këtë rast dhe amplitudat e harmonikave të rendit do të jenë funksione të kohës dhe në bazë të barazimeve (1-7) dhe (1-9) mund të shkruhet në formën e mëposhtme:
4 2 22
( ) sin sin2
b b bb b
W W IF t I t t
(1-10)
24
Ose:
( ) sinb b mF t F t (1-11)
Në këtë mënyrë kur në bobinë kalon rrymë sinusoidale, f.m.m e bobinës do të jetë: 1 3( , ) sin cos sin cos3 ...b b m b mF t F t F t (1-12)
ose
1,3,5,7..
( , ) sin cosb b mF t t F
(1-13)
Siç shihet, f.m.m e bobinës pulson në kohë me frekuencën e rrymës që kalon në të , dhe me të njëjtën frekuencë pulsojnë dhe harmonikat përbërëse të saj. Secila prej harmonikave të f.m.m është e shpërndarë gjatë hapsirës ajrore sipas një ligji sinusoidal.
1.3.2 Forca magnetomotore e grupit të bobinave me hap të plotë.
Boshtet e simetrisë së bobinave që përbëjnë grupin janë të shfazuara në hapsirë me këndin
2 p
Z m q
(1-14)
prandaj dhe harmonikat e rendit të f.m.m të secilës bobinë janë të shfazuara në hapësirë me këndin x dhe mund të paraqiten me vektorë të shfazuar nga njëri tjetri me këtë kënd. Duke mbledhur këta vektorë, gjendet amplituda e harmonikës së rendit e f.m.m të grupit të bobinave. q b pF qF k (1-15)
ku kp është koeficenti i përhapjes së pështjellës për harmonikën e rendit .
/2-/2-
fig.1-13. F.m.m e grupit te bobinave me hap të plotë
Duhet vënë në dukje se aksi i f.m.m të grupit të bobinave përputhet me aksin e simetrisë së grupit, prandaj duke vendosur boshtin e ordinatave në aksin e simetrisë së gruit të bobinave mund të shprehet me barazimin 1-13 duke vendosur Fqm në vend të Fbm
1,3,5,7..
( , ) sin cosq q mF t t F
(1-16)
25
1.3.3 F.m.m e fazës.
Në figurën 1-14 a, tregohet një fazë e një pështjelleje dyshtresore me hap të shkurtuar (< ) e një makine me një cift polesh. Mëqënëse f.m.m përcaktohet nga vendosja e përcjellësve dhe nga kahja e rrymës në to, mund të pranohet se përcellësit e shtresës së mësipërme formojnë një grup bobinash me hap të plotë dhe ato të shtresës së poshtme formojnë grupin tjetër po me hap të plotë. Akset e simetrisë së këtyre grupeve janë të zhvendosura me këndin ( 1−) . Harmonika e parë e f.m.m. të grupit të përcjellësve të shtresës së sipërme është zhvendosur në hapsirën nga harmonika e parë e grupit të formuar nga përcjellësit e shtresës së poshtme me të njëjtin kënd (në figurën 1-14,b këto harmonika janë treguar me vija të ndërprera ). Shuma e këtyre dy lakoreve jep një sinusoidë (të treguar në figurën 1-14,b me vijë të plotë), që paraqet harmonikën e parë të f.m.m të fazës. Amplituda e saj është e barabartë me shumën e vektorëve të harmonikave të parë të f.m.m të grupeve të bobinave (fig.1-15).
1 1 1 12 sin 22f q q yF F F k (1-16)
Ku ky1 është koeficenti i shkurtimit të hapit për harmonikën e parë.
Harmonikat e rendit të f.m.m. të këtyre dy grupeve janë të zhvendosura në hapsirë në këndin ( 1-) ., prandaj amplitude e harmonikës së rendit të f.m.m. të fazës është: 2f q yF F k (1-17)
1 Y
1Ff
1Fq
a
b
Fig1-14. harmonika e parë e f.m.m. të fazës në pështjellën me hap të shkurtuar.
1qF
2qF
fF
(1 )
Fig.1-15. Përcaktimi i harmonikës së parë të f.m.m. të fazës.
Duke zëvendësuar në (1-17) barazimet (1-15) dhe (1-10), amplitude e harmonikës së rendit të f.m.m. të fazës shkruhet:
2 2
( ) 2 sinf b w bF t qW k I t
(1-18)
26
ose
( ) sinf f mF t F t (1-19)
ku Ffm është vlera maksimale e amplitudës së harmonikës së rendit të f.m.m. dhe është e barabartë:
2 2
2f m b w bF qW k I (1-20)
Në pështjellat dyshtresore numri i dredhave te lidhura në seri në një fazë është:
2 bpqW
Wa
(1-21)
kurse rryma në bobinë është
b
II
a (1-22)
Ku:
a është numri i degëve në parale I është rryma e fazës
Duke pasur parasysh (1-21) dhe (1-22), shprehja (1-20) merr formën:
2 2
0.9w wf m
Wk WkF I I
p p
(1-23)
Shprehja (1-23) është e vlefshme edhe për pështjellat njështresore. Sic shihet nga fig.1-13 aksi i f.m.m. të fazës puthitet me aksin e simetrisë së pështjellës së fazës, prandaj duke marrë boshtin e ordinatave të përputhur me aksin e simetrisë së fazës, f.m.m e fazës do të jetë:
2 1
1
( , ) sin cosk
f f mF t t F
(1-24)
Nga shprehja (1-24) duket se f.m.m. e fazës përbëhet nga një seri harmonikash të palëvizshme në hapsirë dhe që pulsojnë në kohë me frekuencën e rrymës që kalon në pështjellë, prandaj dhe f.m.m. e fazës pulson me të njëjtën frekuencë.
1.3.4 Valët rrotulluese të f.m.m.
Secila prej harmonikave pulsuese të f.m.m.të fazës paraqitet si shumë e dy valëve rrotulluese:
1 1
sin( ) cos( ) sin( ) sin( )2 2f m f m f mF t F t F t (1-25)
Sic dihet secili prej termave të anës djathtë paraqet një valë rrotulluese me amplitudë të pandryshueshme të barabartë me ½ Ffm. Këto valë me amplitudë të njëjta rrotullohen në kahje të kundërta me të njëjtën shpejtësi këndore dhe të barabartë me:
(1-26)
pra vala e drejtë me shpejtësi / dhe ajo e kundërt –(/, ku =2f është frekuenca këndore e rrymës.Shpejtësia këndore e këtyre valëve e shprehur në radian gjeometrikë do të jetë:
27
2
2f
np p
(1-27)
ku :
fn
p
është numri i rrotullimeve të valëve të fushës në rrot/sek.
Në figurën 1-16 ilustrohet në mënyrë grafike zbërthimi i valës pulsuese të harmonikës së parë të f.m.m. të fazës në dy valë rrotulluese me amplituda të njëjta dhe që rrotullohen në kahje të kundërta me të njëjtën madhësi.
Fig.1-16. Vala pulsuese e f.m.m. të fazës dhe valët
rrotulluese përbërëse të saj
1.3.5 Forca magnetomotore e pështjellës trefazore.
Një pështjellë trefazore simetrike është e formuar nga tri pështjella një fazore të njëjta akset e simetrisë të të cilave janë të zhvendosura në hapsirë me 2/3 radian elektrikë. Në rast se pështjellën trefazore simetrike e ushqejmë me një sistem simetrik rrymash:
2 sin
2 sin 120
2 sin 240
A
B
C
i I t
i I t
i I t
(2-29)
atëherë secila prej fazave krijon f.m.m. të saj të shprehur me barazimin (1-24) si më poshtë:
28
2 1
1
2 1
1
2 1
1
( , ) sin cos
( , ) sin( 120 ) cos
( , ) sin( 240 ) cos
k
A f m A
k
B f m B
k
C f m C
F t t F
F t t F
F t t F
(3-30)
Fig.1-17 Paraqitja skematike e motorit asinkron trefazor.
Në këto barazime këndi matet nga aksi i secilës fazë. Për të mbledhur f.m.m. të fazave duhet që këndi të matet jo nga aksi i secilës fazë, por nga e njëjta pikë, p.sh nga aksi i fazës A. Për këtë qëllim mjafton që në barazimet e f.m.m. të fazave B,C në vend të këndit të vendosen përkatësisht këndet ( -1200 ) dhe ( -2400 ). Në përputhje me barazimin 1-25 secila prej harmonikave të f.m.m. për fazat e ndryshme shkruhet:
1 1( , ) sin( ) sin( )
2 21 1
( , ) sin 120 120 sin 120 1202 21 1
( , ) sin 240 240 sin 240 2402 2
A f m f m
B f m f m
C f m f m
F t F t F t
F t F t F t
F t F t F t
(1-31)
Termat e para të anës së djathtë paraqesin valët e drejta të f.m.m. të fazave kurse termat e dyta valët e kundërta. Valët e drejta mund të shkruhen në formën:
1( , ) sin 0 1 120
21
( , ) sin 1 1 12021
( , ) sin 2 1 1202
A f m
B f m
C f m
F t F t
F t F t
F t F t
(1-32)
Shprehja 1-32 tregon se valët e drejta të harmonikave të f.m.m. të fazave janë të zhvendosura në hapsirë me këndin ( -1 )1200. Për të gjetur shumën e tyre , harmonikat ndahen në tri grupe në ato të rendeve:
1) = 2mk+1
2) = 2mk-1
3) = m(2k+1)
A
B
Y
Z
C
X
120o 120o
120o
29
Ku k është numër i plotë pozitiv k=0, 1, 2, 3, ...Për pështjellat trefazore do të kemi në grupin e parë harmonikat e rendit =1, 7, 13, 19, në grupin e dytë harmonikat e rendit =5, 11, 17,... dhe në grupin e tretë rendin =3, 9, 15,... Për grupin e parë të harmonikave këndi i shfazimit në hapsirë është: 1 120 2 1 1 120 2 3 120 2 360mk k k (1-32)
pra ato janë të puthitura me njëra tjetrën dhe mblidhen aritmetikisht.Për grupin e dytë këndi i shfazimit në hapsirë ndërmjet valëve të drejta të f.m.m. për një harmonikë të rendit do të jetë: 1 120 2 1 1 120 6 2 120 2 360 240 120mk k k (1-33)
kështu që shuma e tyre do të jetë zero. Për grupin e tretë këndi i shfazimit : 1 120 (2 1) 1 120 6 2 120 2 360 240 240m k k k (2-34)
prandaj shuma e tyre do të jetë zero. Në të njëjtën mënyrë provohet se nga valët e kundërta të harmonikave të f.m.m. të fazave (termat e dyta të anës së djathtë në barazimin 1-31) ekzistojnë vetëm ato të grupit të dytë. Në këtë mënyrë f.m.m. e pështjellës trefazore simetrike, që ushqehet me një system simetrik rrymash, përbëhet prej harmonikave të rendit =6k+1, (1,7,13….) të cilat janë valë të drejta dhe harmonikave të rendit =6k-1, (5,11,17….) që janë valë të kundërta. Amplitude e valës së rendit , në bazë të shprehjeve (2-23) dhe (2-32) është:
3
1,352
wm f m
WkF F I
p
(2-33)
Në rastin e përgjithshëm pështjella simetrike “m” fazore, që ushqehet nga një system simetrik rrymash, krijon valë rrotulluese të f.m.m. me amplitudë:
0, 452
wm f m
WkmF F m I
p
(2-34)
Nga të gjitha harmonikat e f.m.m. të pështjellës shumefazore rëndësi të vecantë ka ajo e para:
1 1( , ) sin2 f m
mF t F t p (2-35)
e cila formon një valë të drejtë që rrotullohet në kahjen positive të renditjes së fazave me shpejtësi 1==2f dhe amplitudë të pandryshueshme të barabartë me:
11 1 0, 45
2w
m f m
WkmF F m I
p (2-36)
30
KAPITULLI 2
MODELI NË KORDINATA A, B, C (MODELI FAZORË) I MAKINËS
ASINKRONE TRE-FAZORE.
2.1 Motori asinkron me rotor me faza.
Ekuacionet që përshkruajnë transformimin e energjisë në motorin asinkron tre-fazor paraqesin në vetvete një sistem ekuacionesh diferenciale, të formuar nga ekuacionet e ekuilibrit elektrik në pështjellat e motorit si dhe ato të ekuilibrit mekanik. Për nxjerrjen e modelit matematik të motorit asinkron do të bëjmë lëshimet e mëposhtme:
Qarku magnetik pranohet i pangopur ç=kostant dhe humbjet magnetike nuk merren parasysh.
Hapësira ajrore pranohet uniforme dhe f.m.m e çdo pështjelle, pra edhe fusha magnetike e saj është shpërndarë sipas ligjit sinusoidal, gjatë periferisë së hapësirës ajrore.
Pështjellat e tri fazave të statorit janë simetrike dhe akset e tyre janë të zhvendosura në këndin 2 /3 radianë elektrikë. Të njëjtat supozime pranohet edhe për pështjellat e rotorit.
Ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve të pështjellave të statorit dhe rotorit për makinën asinkrone me rotor me faza ku skematikisht është treguar në fig. 2.1 janë si më poshtë:
sAsA s sA
du R i
dt
(2.1-1)
sBsB s sB
du R i
dt
(2.1-2)
sCsC s sC
du R i
dt
(2.1-3)
rara r ra
du R i
dt
(2.1-4)
rbrb r rb
du R i
dt
(2.1-5)
rcrc r rc
du R i
dt
(2.1-6)
Ndërsa flukset e plota të fazave të makinës asinkrone janë të barabartë me: 4 2
( ) cos cos cos3 3s ss s s s sC sr r ra sr r rb sr r rcL i i i i i i
(2.1-7)
2 4( ) cos cos cos
3 3sC ss sC s s s sr r ra sr r rb sr r rcL i i i i i i
(2.1-8)
2 4( ) cos cos cos
3 3s ss s s s sC sr r ra sr r rb sr r rcL i i i i i i
(2.1-9)
31
4 2( ) cos cos cos
3 3ra rr s r rb rc sr r sA sr r sB sr r sCL i i i i i i
(2.1-10)
2 4( ) cos cos cos
3 3rb rr rb r ra rc sr r sA sr r sB sr r sCL i i i i i i
(2.1-11)
4 2( ) cos cos cos
3 3rc rr rc s ra rb sr r sA sr r sB sr r sCL i i i i i i
(2.1-12)
sM
sMsM
rM
rM
rM
r
sAi
sBi
sCi
rbi
rai
rci
srM
fig.2.1 Paraqitja skematike e makinës asinkrone
ku :
Lss është induktiviteti vetjak i fazës së statorit.
Ms është induktiviteti reciprok ndërmjet fazave të statorit.
Ls është induktiviteti i plotë i fazës së statorit i cili merr parasysh dhe ndikimin e fazave të tjera të statorit të makinës asinkrone.
Lrr është induktiviteti vetjak i fazës së rotorit.
Mr është induktiviteti reciprok ndërmjet fazave të rotorit.
Lr është induktiviteti i plotë i fazës së rotorit i cili merr parasysh dhe ndikimin e fazave të tjera të rotorit të makinës asinkrone.
Msr është vlefta maksimale e induktiviteti reciprok ndërmjet pështjellave të statorit dhe rotori.
Rs rezistenca aktive e fazës së statorit.
Rr rezistenca aktive e fazës së rotorit.
Marrdhëniet ndërmjet induktiviteteve vetjake, reciproke të pështjellës së statorit dhe rotorit janë si më poshtë: ssmsssss MLLMLL
12
12
s sm
r rr r r rm r
r rm
M L
L L M L L M
M L
(2.1-12/1)
Në përgjithësi në makinat asinkrone numri efektiv i dredhave të statorit seff ws sW k W është i
ndryshëm nga numri efektiv i dredhave të rotorit reff wr rW k W dhe raportin e tyre do ta
shënojmë me k ( seff
reff
Wk W ). Marrdhënia ndërmjet induktivitetit të magnetizimit të statorit
32
dhe rotorit si dhe induktivitetit reciprok janë; 2kLL sm
rm dhe kLM sm
rs . Në bazë të
ekuacioneve (2.1-1) – (2.1-6) dhe (2.1-7) – (2.1-12) shkruajmë si përfundim ekuacionet e ekulibrit të tensioneve në rotor dhe stator në trajtë matricore.
1 2
2
1 2
2 1
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
s s ss s s sr r sr r sr r
s s s ss s sr r sr r sr r
sC s s s ss sr r sr r sr r
ra sr r sr r sr r r rr
rb
rc
u R pL p p p p p
u p R pL p p p p
u p p R pL p p p
u p p p R pL
u
u
1 2
2 1
cos cos cos
cos cos cos
s
s
sC
r r ra
sr r sr r sr r r r rr r rb
sr r sr r sr r r r r rr rc
i
i
i
p p i
p p p p R pL p i
p p p p p R pL i
(2.1-13)
Me dp dt është shënuar operatori diferencial, 32
1 rr dhe 3
42
rr , r
është këndi ndërmjet aksit të pështjellës së fazës A të statorit dhe aksit a të fazës së rotorit (siç është treguar në fig. 2.1). Siç shikohet në ndërtimin e ekuacioneve të tensionit të rotorit dhe statorit duhet ndërtuar një matricë me 36 elementë të cilët vështirson studimin e madhësive elektrike të makinave në kordinata fazore. Krahas saj matrica përbëhet nga elementë të cilët varen nga pozicioni i rotorit pra nga këndi r . Duhet theksuar se ekuacionet (2.1-13) të statorit janë shprehur në sistemin e referimit të palëvizshëm në stator dhe ekuacionet e tensionit të rotorit janë shprehur në sistemin e fiksuar në rotor. Ekuacionet e mësipërme mund të shkruhen dhe në trajtë matricore si më poshtë:
ss srs s
sr ssr r
Z Zu i=
Z Zu i (2.1-14)
ku: , , ,s r su u i ir janë përkatësisht vektorët shtyllor të rrymave, tensioneve të statorit dhe rotori
respektivisht:
ts sA sB sCu u uu , tr ra rb rcu u uu (2.1-15)
ts sA sB sCi i ii , tr ra rb rci i ii
Matricat e rezistencave të modelit jepen : a) Matrica e impedancave vetjake të statorit
ss ss s s
ss s ss ss s ss ss
s s ss ss
R pL pM pM
pM R pL pM p
pM pM R pL
Z R L (2.1-16)
ku s ssR L, janë matricat e rezistencave aktive dhe të induktiviteteve të statorit.
0 0
0 0
0 0
s
ss s
s
R
R
R
R ss s s
ss s ss s
s s ss
L M M
M L M
M M L
L (2.1-16/1)
Ndërsa matrica e impedancave reciproke të statorit dhe rotorit është:
1 2
2 1
1 2
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
sr r sr r sr r
sr r sr r sr r
sr r sr r sr r
pM pM pM
pM pM pM
pM pM pM
srZ (2.1-17)
33
dhe matrica e impedancave vetjake të rotorit është:
r rr r r
r r rr r
r r r rr
R pL pM pM
pM R pL pM p
pM pM R pL
rr r rrZ R L (2.1-18)
ku:
0 0
0 0
0 0
r
r
r
R
R
R
rrR (2.1-18/1)
dhe
rr r r
r rr r
r r rr
L M M
M L M
M M L
rrL (2.1-18/2)
matrica e impedancave reciproke rotor-stator është po ajo e impedancave reciproke stator-rotor por e transponuar. t
rs srZ = Z (2.1-19)
2.2 Momenti elektromagnetik
Momentit elektromagnetik të makinës asinkrone tre-fazore simetrike e cila ka p-çifte polesh e përcaktojmë duku përdorur shprehjen ko-energjisë (shih kap.I) si më poshtë:
1
2tc
er
Em p T
s r s ri i i i (2.1-20)
ku T është matrica e momentit e cila përcaktohet me shprehjen:
L
r
dT
d
(2.1-21)
ku :
L është matrica e induktiviteteve të makinës e barabartë:
1 2
2
1 2
2 1
1 2
2 1
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
ss s s sr r sr r sr r
s ss s sr r sr r sr r
s s ss sr r sr r sr r
sr r sr r sr r rr r r
sr r sr r sr r r rr r
sr r sr r sr r r r rr
L
pL
L
L
L
L
L
(2.1-22)
Në bazë të ekuacionit (2.1-21) dhe shprehjes (2.1-22) përcaktojmë matricëm e momentit e cila është:
34
000
000
000
000
000
000
12
21
12
21
2
21
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
sr
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
MT
(2.1-23)
Elementët zero në matricën e momentit elektromagnetik janë për faktin se induktivitetet vetjake dhe ato reciproke të statorit dhe rotorit janë kostant pra nuk varen nga pozicioni i rotorit ose e thënë ndryshe nga këndi r në makinën elektrike me hapësirë ajrore uniforme. Në bazë të ekuacioneve (2.1-20) , (2.1-21) dhe (2.1-23) momentin elektromagnetik mund ta shprehim në termat e rrymave të rotorit dhe statorit si dhe këndit r të rotorit si më poshtë:
321
2
12
21
sinsinsin
sinsinsin
)sinsinsin(
eee
rrcrrbrrasC
rrcrrbrrasB
rrcrrbrrasA
sre mmm
iiii
iiii
iiii
pMm
(2.1-24)
Siç shikohet nga ekuacioni (2.1-24) momenti elektromagnetik që zhvillon makina mund të monitorohet me anë të rrymave të statorit dhe rotorit si dhe këndit r . Gjithashtu duhet më
parë të llogaritet induktiviteti reciprok srM i pështjellave të statorit dhe rotorit. Në motorin
asinkron monitorimi i rrymave në rotorin në formë kafazi (rotori i lidhur në të shkurtër) është shumë i vështirë për shkak të ndërtimit të tij. Prandaj për të monitoruar momentin elektromagnetik duhet të gjejmë mënyra të tjera ku madhësitë e nevojshme të jenë lehtësisht të matshme. Përfundimisht ekuacionet (2.1-1) –(2.1-12) së bashku me ekuacionin e momementit elektromagnetik si dhe ekuacionin e lëvizjes formojnë sistemin e ekuacioneve diferenciale të makinës elektrike pra modelin matematik të makinës asinkrone në kordinata A, B, C. Këto ekuacione po i rishkruajmë më poshtë në mënyrë të përmbledhur:
sAsA s sA
sBsB s sB
sCsC s sC
du R i
dtd
u R idt
du R i
dt
,
rara r ra
rbrb r rb
rcrc r rc
du R i
dtd
u R idt
du R i
dt
(2.1-24/1)
2 4( ) cos cos cos
3 3s ss s s s sC sr r ra sr r rb sr r rcL i i i i i i
4 2( ) cos cos cos
3 3s ss s s s sC sr r ra sr r rb sr r rcL i i i i i i
2 4( ) cos cos cos
3 3sC ss sC s s s sr r ra sr r rb sr r rcL i i i i i i
4 2( ) cos cos cos
3 3ra rr s r rb rc sr r sA sr r sB sr r sCL i i i i i i
(2.1-24/2)
2 4( ) cos cos cos
3 3rb rr rb r ra rc sr r sA sr r sB sr r sCL i i i i i i
4 2( ) cos cos cos
3 3rc rr rc s ra rb sr r sA sr r sB sr r sCL i i i i i i
35
1 2
2 1 1 2 3
2
( sin sin sin )
sin sin sin
sin sin sin
sA ra r rb r rc r
e sr sB ra r rb r rc r e e e
sC ra r rb r rc r
i i i i
m pM i i i i m m m
i i i i
(2.1-24/3)
1 L2 rm ng
rm r
dp D m
d d
dt J
ti i (2.1-24/4)
Modeli matematik i makinës asinkrone në kordinata fazore përbëhet nga 14 ekuacione me 14 të panjohura ku gjashtë janë rrymat e statorit dhe rotorit, gjashtë të tjera janë flukset e plota të pështjellave, ekuacioni i momentit elektromagnetik si dhe ekuacioni i lëvizjes. Ky sistem ekuacionesh mund të zgjidhet me metoda numerike. Duhet theksuar se për shkak të prezencës së këndit r , ekuacionet e mësipërme kanë koeficentë periodik (që varen nga këndi r ) gjë që rrit kohën e llogaritjes së madhësive.
2.3 Ekuacionet e ekuilibrit te Makines Asinkrone në formën e variablave të gjendjes.
Ekuacionet e tensionit në modelin fazor të makinës siç u trajtua më lartë janë ekuacione diferenciale me koeficientë variabëll në lidhje me kohën. Në përgjithësi zgjidhja e tyre mund të realizohet me metoda numerike. Për këtë qëllim ekuacionet e ekuilibrit është mirë të shprehen në formën e variablave të gjendjes. Nga ekuacioni (2.1-50) kemi që:
d
dt u Ri Li (2.1-33)
ku u dhe i janë vektorët shtyllorë të tensioneve dhe rrymave të statorit dhe rotorit.
ts ru u u , ts ri i i (2.1-34)
R është matrica e rezistencave aktive të makinës e barabartë me : s s s r r rdiag R R R R R RR (2.1-35)
Në qoftë se zgjedhim si variabla gjendjeje rrymat e statorit dhe rotorit atëherë ekuacioni i ekuilibrit elektrik të pështjellave do të jetë:
1 1d
dt t
i LL R i L u (2.1-36)
dhe në rast se supozojmë se qarku magnetik është i pangopur d.m.th që induktivitetet nuk varen nga rryma shprehja e mësipërme merr formën :
1 1r
r
d d
dt d
i LL R i L u (2.1-37)
ku:
r është shpejtësia këndore e rotorit e shprehur në radian elektrik per sekond
r është këndi i rotorit i shprehur në radian elektrik
L
r
d
d është matrica e momentit
36
për qark magnetik jo-linear induktivitetet janë funksion i rrymës kështu që derivati i rrymës L
t
do të përmbajë dt
di)
di
dL( ku
di
dL është matrica e induktiviteteve dinamike e cila ekzistojnë
për shkak të ngopjes së qarkut magnetik. Në qoftë se si variabla gjendjeje do të përdorim flukset magnetike të pështjellave, në bazë të ekuacioneve të ekuilibrit elektrik të pështjellave do të kemi:
d
dt
ψu Ri (2.1-38)
ku ψ është vektori shtyllor i flukseve të plota të pështjellave.
tsA sB sC ra rb rc ψ (2.1-39)
ψ Li (2.1-40)
1d
dt
ψRL ψ u (2.1-41)
1i L ψ (2.1-42
siç shikohet përdorimi si variablla gjendjeje flukset magnetike, ekuacionet ( modeli ) është më i thjeshtë se në rastin kur përdorim rrymat si variabla gjendjeje. Ekuacionet e nxjerra më lartë janë të vlefshme për çdo regjim. Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale realizohet me anë të teknikave numerike. Vështirësia qëndron në faktin se matrica e induktiviteteve është funksion i kohës. Ekuacionet e ekuilibrit elektrik të pështjellave plotësohet me ekuacionin e lëvizjes si dhe ekuacionin e ekulibrit të momenteve të cilët janë:
12
i itrm ng
rm r
dLp D m
d d
dt J
(2.1-80)
rrm r
dp
dt
(2.1-81)
Parametrat e makinës në modelin me kordinata fazore janë në vlerat reale të tyre (fizike) pra nuk është e nevojshme që të transformohen. Vështërsia qëndron në faktin se modeli në vetvehte ka koeficientë të cilët varen nga koha. Ky model është i përshtatshëm kur kërkohet të merren parasysh harmonikat e larta, kur tensionet dhe rrymat nuk njihen në mënyrë eksplicite si dhe kur përdorim gjysëmpërçues për rregullimin e shpejtësisë së makinës asinkrone.
37
KAPITULLI 3
METODA E VEKTORIT HAPËSINOR
3.1 Kuptimi i vektorit përfaqësues
Në teorinë e qarqeve të rrymës së alternative, ku tensionet dhe rrymat janë sinusoidale në kohë, një metodë që përdoret zakonisht është paraqitja e madhësive që ndryshojnë në mënyrë sinusoidale me kohën, nëpërmjet një fazori kompleks. Kjo siguron një mënyrë vërtet të përshtatshme për arritjen e zgjidhjeve të dëshiruara. Në makinat e rrymës alternative janë disa madhësi fizike që mund të konsiderohen si funksione periodike ( për shembull, densiteti i fluksit, f.m.m e statorit dhe rrotorit) të cilat mund të zbërthehen në një seri madhësish harmonike që janë të shpërndara në hapësirë në mënyrë sinusoidale në zonën përreth periferisë së makinës në hapësirën ajrore. Kështu që, ashtu si në qarqet e rrymës alternative mund të paraqesim madhësitë që ndryshojnë me kohën me anën e fazorëve të kohës, po ashtu valët hapësinore sinusoidale të hapësirës ajrore mund t’i paraqesim me anën e fazorëve kompleksë hapësinorë, të cilët shpesh njihen me emrin vektorët hapësinorë, edhe pse, në fakt, emri “fazorët hapësinorë” do të ishte më korrekt. Para se të bëjmë transformimin e ekuacioneve diferencilalë të motorit asinkron është e domosdoshme që të japim kuptimin e vektorit hapësinor. Siç dihet në pështellat e makinave elektrike të rrymës alternative në regjime normale rrymat, tensionet, flukset etj janë funksione harmonikë të kohës dhe si të tillë mund të paraqiten me anën e vektorëve ( fazorët kompleks). Kështu, p.sh në një sistem trefazor, rrymat paraqiten
1
1
1
sin( )
2sin( )
34
sin( )3
a m i
b m i
c m i
i I t
i I t
i I t
(3-1)
me tre vektorë të barabartë në madhësi dhe të zhvendosur me kënd 2/3 që rrotullohen në lidhje me një aks të palëvizshëm, që quhet aksi i kohës, me shpejtësi këndore të barabartë me frekuencën këndore të rrymës fig (3.1-a). Moduli i vektorëve është i barabartë me amplitudën e rrymës ( )mI ndërsa pozicioni i tyre në lidhje me aksin e kohës përcaktohet nga këndi
ndërmjet vektorit përkatës dhe këtij aksi. Këto kënde janë të barabartë me argumentin e funksionit sinusoidal minus /2 , p.sh, për fazën a këndi ndërmjet vektorit përkatës aI dhe
aksit të kohës 1( 2)it . Në këtë mënyrë projeksionet e vektorëve në aksin e kohës
japin vlerat e çastit të rrymave në të tre fazat. Mirëpo vlerat e çastit të rrymave mund të përcaktohen ndryshe dhe pikërisht me anën e një vektori të vetëm dhe tre akseve të palëvizshme a, b, c të zhvendosura nga njëri-tjeetri me 2/3, pra tre akseve të fazave. Që projeksioni i këtij vektori në tre akset e fazave a, b, c të na japë vlerat e çastit të rrymës në këto tre faza, duhet që moduli i tij të jetë i barabartë me amplitudën e rrymës së fazës ( )mI ,
këndi ndërmjet tij dhe aksit të fazës “a” të jetë 1( 2)it dhe të rrotullohet me shpejtësi
këndore 1 të barabartë me frekuencën këndore të rrymës.
38
ci
ai
bi
cI
aI
bI
1
iai
bai
2ca i
1( )2it
1
Fig 3.1-a. Paraqitja vektoriale e rrymave të fazave. Fig.3.1-b. Paraqitja e rrymave të fazave nëpërmjet vektorit hapësinor
Një vektor i tillë quhet vektor përfaqësues dhe shënohet me i. Duke vendosur boshtin real (+1) të planit kompleks të puthitur me aksin e fazës “a” (fig 3.1-b), vektori hapësinor mund të shkruhet
22( )
3 a b ci i ai a i (3-2)
ku: ia, ib, ic janë vlerat e çastit të rrymës në fazat a, b, c.
Koeficienti 2/3 në barazimin (3-2) është i nevojshëm pasi shuma 2( )a b ci ai a i është një
vektor me modul të barabartë me 3 2 mI . Projeksioni i këtij vektori në boshtin real (aksi i
fazës “a”) është i barabartë me vlerën e çastit të rrymës në fazën “a”. Po ashtu projeksioni i këtij vektori në akset b dhe c jep vlerat e çastit të rrymave në fazat b dhe c. Në rast se në pështjellat e motorit kalojnë rryma të renditjes së drejtë dhe të kundërt, atëherë vektori hapësinor përfaqësues rezultant i rrymës në pështjella gjendet duke mbledhur vektorët hapësinor të renditje së drejtë dhe të kundërt.
1 2i i i (3-3)
Duhet theksuar se me anën e vektorit përfaqësues mund të caktohen vlerat e castit të rrymave të fazave vetëm n.q.s shuma e tyre në cdo cast kohe është e barabartë me zero 0
a b ci i i .
Në ato raste që ekziston përbërsja e renditjes zero të rrymës , vlerat e çastit të rrymave të fazave do të jenë 0ai i , 0bi i , 0ci i dhe vektori përfaqësues i rrymës jepet nga ekuacioni
20 0 0
2[( ) ( ) ( )]
3 a b ci i i a i i a i i (3-4)
ose
2 20
2[ (1 )]
3 a b ci i ai a i i a a
Prej ku
22( )
3 a b ci i ai a i (3-5)
Siç shihet vektori përfaqësues nuk varet nga përbërsja nuleare 0i , kështu që nuk mund ta
përfaqësojë atë, prandaj përbërsja nuleare duhet marrë parasysh veçmas. Paraqitja e vlerave të çastit të rrymave fazore me anën e vektorit hapsinor dhe tre akseve është e drejtë edhe në regjimet kalimtare me ndryshimin e vetëm që moduli dhe shpejtësia e këtij vektori janë funksion i kohës.
39
3.2 Paraqitja e f.m.m, induksionit, densitetin e rrymës dhe fluksin e një bobine anë të vektorëve hapësinor përkatës.
Në makinat elektrike pështjellat e saj vendosen në anën e jashtme dhe të brendshme të hapësirës ajrore ( shih kap.II ). Në këtë pështjellë kalon rryma që krijon fushën magnetike rezultante, e cila ndryshon në hapësirë dhe kohë, dhe këto ndryshime kanë efekt shumë të rëndësishëm në sjelljen e makinës në regjimet e vendosura dhe në ato kalimtare. Nëse mund të përcaktojmë fillimisht fushën magnetike të krijuar nga një bobinë e vetme, fusha magnetike rezultante e krijuar nga një sistem çfarëdo përcjellësish mund të përftohet si shumë e komponenteve të fushës të prodhuara nga bobinat e këtij sistemi. Për thjeshtësi, marrim në shqyrtim një bobinë në statorin e një makine me hapësirë ajrore uniforme, dhe shënojmë me a-a’ dy faqet e saj. Vlera e çastit e rrymës që kalon nëpër këtë bobinë është i a (t) e cila varet
nga koha, e shënuar me t, dhe duhet vënë në dukje se rryma mund të mos ndryshojë në mënyrë sinusoidale. Numri i dredhave në këtë bobinë është Wa. Do të pranojmë përcjellshmërinë magnetike të hekurit infinit, fluksi në hapësirën ajrore është radial dhe fluksit i shpërndarjes së bobinës nuk merret parasysh. Në këtë mënyrë, përcjellësit e vendosur në kanalet e statorit mund t’i pranojmë të vendosur në sipërfaqe të statorit, siç tregohet në figurën 3.2, dhe një bobinë a është zhvendosur me këndin a nga aksi i referimit, që është aksi real të sistemit ortogonal të referimit, i fiksuar në pjesën e palëvizshm të makinës (statorin).
Fig 3.2 Bobina me hap të plotë dhe vendosja e saj në hapsirë.
Në fig. 3.2 statori dhe rotori janë marrë cilindrikë, prandaj hapësira ajrore është e njëjtë. Forca magneto-motore rezultante (f.m.m) e bobinës është Waia(t)/2, dhe shpërndarja e f.m.m përgjatë periferisë tregohet në fig. 3.3, e cila ka formën drejtkëndore.
aF1
Fig.3.3 shpërndarja e f.m.m përgjatë periferisë së hapsirës ajrore.
40
Shpërndarja e f.m.m fa() e krijuar nga rryma i a (t) mund të zbërthehet në përbërësen kryesore
dhe në një numër të pafundëm harmonikash. Shpërndarja drejtkëndore e f.m.m mund të zbërthehet në serinë Furie si më poshtë:
4 1 1
( ) sin( ) sin[3( )] sin[5( )] 3 5a a a a af F
(3-6)
Meqënëse f.m.m e bobinës është simetrike me boshtin e abshisave, zbërthimi Furie do të përmbajë vetëm harmonika teke. Duke marrë parasysh vetëm termin e parë të ekuac.(3-6) e cila përfaqëson harmonikën kryesore të f.m.m, f.m.m e bobinës është e barabartë me shprehjen e mëposhtme:
1 1
2( , ) sin( ) sin( )a a a a a af t W i F
(3-7)
ku aF1 është amplituda e përbërëses kryesore të f.m.m dhe 1
2a a aF W i
. Në rast se
harmonikat e rendeve të larta (3, 5...) nuk do të merren parasysh, praktikisht një bobinë mund të zëvendësohet me një bobinë fiktive që krijon një valë sinusoidale të f.m.m të krijuar nga rryma që kalon nëpër bobinë. Duke përdorur formën komplekse të paraqitjes, ekuac. 3-7 mund të shkruhet:
21 1 1 1( , ) cos( ) Re( ) Re( )
2aj j j j
a a a a af t F F e e e f e (3-8)
ku 1af është fazori i vektorit hapësinor i f.m.m të bobinës “a”, në rastin kur vetëm harmonika e parë merret parasysh e cila mund të shprehet me:
21 1 1 1
2cos( ) sin( )
2 2a a a a
jj j j ja a a a a af F e e F e j jF e j W i e
(3-9)
Duke zgjedhur arbitrarisht 2a , vektori hapësinor mund të shprehet:
01 1
2 2jaa a a a af F W i e W i (3-9/1)
ku 0je është vektori njësi i cili përputhet me aksin magnetik të bobinës. Kështu,
aF1 është një madhësi reale, që ka drejtimin e boshtit real të planit të referimit dhe që është
zgjedhur e tillë që të përputhet me boshtin magnetik të bobinës ‘a’ (fig.3-4). Në mënyrë të njëjtë mund të përcaktojmë vektorin hapësinor të rrymës në bobinën ‘a’. Kjo është e barabartë me:
0( ) ja ai i t e (3-10)
ku ai përftohet thjeshtë duke shumëzuar ( )a
i t me vektorin hapësinor njësi 0je . Është me
rëndësi të theksojmë edhe një herë se asnjë kufizim nuk është bërë në natyrën e ndryshimit në kohë të ia(t). Shpërndarja e densitetit të rrymës në sajë të bobinës ‘a’ është shënuar me
aj , dhe
mund të përftohet duke marrë parasysh që shpërndarja e f.m.m është e barabartë me integralin e shpërndarjes së densitetit të rrymës. Pra, mund ta nxjerrim nga ekc. (3-1)
2 1 1
( ) cos( ) cos[3( )] cos[5( )] 3 5a a a a a aj W i
(3-11)
Dhe përbërësja e tij kryesore është:
1
2( ) cos( )a a a aj W i
(3-12)
41
Duke përdorur trajtën komplekse, ekc. (3-12) mund të shkruhet:
1 1
2( , ) Re Re( )aj j j
a a a aj t W i e e j e
(3-13)
a
a’
Nje bobine me W –dredha me hap te plote e cila kalon rryma i.
/2-/2-
W*i / 2
-W*i / 2
Fig.3.4 shpërndarja e f.m.m përgjatë periferisë së hapsirës ajrore kur aksi real përputhet me aksin magnetik të bobinëës.
ku 1aj është vektori ( fazori) hapësinor i densitetit të rrymës i krijuar nga bobina ‘a’, në rastin
kur merret parasysh vetëm harmonika e parë. Nga ekuac. (3-13), duke marrë a = − /2,
fazori hapësinor i densitetit të rrymës 1aj mund të shprehet:
21 1 1
2( ) aj j
a a a a aj W i t e f e j f
(3-14)
Sipas ekuac. (3-14) vektori (fazori) hapësinor i përbërëses kryesore të densitetit të rrymës së bobinës ‘a’ merret nga produkti i vlerës së çastit të rrymës me konstanten (2/)Wa dhe me vektorin njësi hapësinor, i cili merret si funksioni eksponencial i a , ku a përcakton
pozicionin e bobinës në hapësirë. Gjithashtu nga ekuacioni (3-14) rrjedh që pozicioni i
vektorit 1aj në hapësirën përcakton amplitudën e valës hapësinore të marrë në shqyrtim.
Është e rëndësishme të theksojmë që një vektor hapësinor s’është veçse paraqitja komplekse e një madhësie sinusoidale dhe si i tillë nuk është medoemos një vektor fizik. Mund të thuhet në përgjithësi se moduli i vektorit hapësinor të një madhësie të dhënë është sa amplituda e valës sinusoidale të marrë në shqyrtim dhe pozicioni i tij në planin (ortogonal) kompleks tregon pozicionin në hapësirë të maksimumit të valës. Ndryshimi në hapësirë i një madhësie, sipas kordinatës përcaktohet me anën e projeksionit të vektorit hapësinor në vektorin njësi korrespondues 0je . Duke pranuar bobinë të shpërndarë në mënyrë sinusoidale ‘a’, dhe në këtë mënyrë duke mos marrë parasysh harmonikat e rendeve të larta por vetëm harmonikën e rendit të parë, forca magneto - motore ),(1 tf a do të krijojë densitetin e fluksit ( induksionin
magnetik ) 1 ( , )ab t të hapsirës ajrore. Mëqënëse hapësirën ajrore e kemi pranuar uniforme,
me gjatësi δ, induksionin e përcaktojmë me shprehjen:
0 01 1 1
2( , ) ( , ) ( , ) cosa a a a ab t f t f t W i
(3-15)
ku 0 është përshkueshmëria magnetike e boshllëkut 0=410-7 V s/A m). Kështu, 1 ( , )ab t ka
shpërndarje të së njëjtës formë me ),(1 tf a . Meqë 1 ( , )ab t është produkti i një konstanteje
42
(0 ) dhe ),(1 tf a , vektori hapësinor i densitetit të fluksit i krijuar nga një bobinë ‘a’ është i
barabartë me produktin e kësaj konstanteje dhe vektorit hapësinor 1af . Që këtej merret:
0 01 1
2a a a ab f W i t
(3-16)
e cila më tej mund të shprehet:
00 0 01 1
2 2ja aa a a ab f W i e W it
(3-17)
Shpërndarja e plotë e fluksit të hapësirës ajrore e krijuar nga bobina ‘a’ mund të merret prej ekuacioneve (3-16) ose (3-17), sipas të cilëve vlera maksimale e densitetit të
fluksit (induksionit magnetik në hapsirës ajrore) është 01
2a a aB W i
, dhe fluksi i hapësirës
ajrore për pol është integrali i densitetit të fluksit në hapsirën polare,
2
1 1 12[ cos ] 2a a aB lr d B lr
(3-18)
ku l është gjatësia aksiale e statorit dhe r është rrezja e brendshme e statorit. Që këtej rrjedh se vektori hapësinor i fluksit të statorit për shkak të rrymës i a merr formën:
00 01
4 4jaa a a alrW i e lrW i
(3-19)
ku D është diametri i brendshëm i statorit. Vektori hapësinor i fluksit të plotë të bobinës do të jetë:
2011
2a aaa a a a
lDW W i L i
(3-20)
Në ekc. (1.1-15) aL është induktiviteti vetiak i bobinës ‘a’, e cila është e barabartë
me shprehjen:
20 2a aL lDW
(3-21)
Duhet vënë në dukje se induktiviteti vetiak është fituar duke marrë parasysh vetëm komponenten kryesore (sinusoidale) të f.m.m dhe duke neglizhuar efektin e harmonikave të rendeve të larta. Sidoqoftë, nëse të gjitha harmonikat merren parasysh, pra merret parasysh shpërndarja drejtkëndore e f.m.m ),( tf a , densiteti ifluksit do të jetë gjithashtu drejtkëndore
dhe fluksi i plotë i hapësirës ajrore për pol është: 2
2 20 0 011
2
1 1
2 2 4a a a aaa a a a a a aW W i rl d W W rli W Dli L i
(3-22)
3.3 Vektori hapësinor përfaqësues i f.m.m, induksionit, fluksit, densitetit te rrymës në rastin e grupit të bobinave.
Pështjella e një faze konsiston në një grup bobinash, në të cilat kalon e njëjta rrymë. Për shembull, nëse për lehtësi marrim parasysh pështjellën e një faze të statorit e cila përmban
sAn bobina identike me hap të plotë të lidhura në seri me njëra tjetrën të vendosur në një kanal
(pështjellë ke përqendruar) nëpër të cilat kalon rryma sAi = i a , f.m.m rezultante për pol është
43
e barabartë me
2sA a an W i t
. Në qoftë se bobinat pështjella e fazës së statorit sA janë të
vendosur në kanale të ndryshme të statorit si në fig.3-5 nën një kënd β, përbërësja kryesore e shpërndarjes së f.m.m përreth periferisë sAf ( ) do të jetë e ngjashme me atë të përshkruar
nga ekc. (3-2).
fig.3-5 f.m.m e grupit të bobinave
Në vend të termit (2
a aW i
) do të përdorim termin (2
sA a pA an W k i
) ku pAk është koefiçienti i
përhapjes së pështjellës e statorit sA për harmonikën kryesore, dhe meqë kemi marrë në shqyrtim pështjellën me hap të plotë, është i barabartë me kefiçientin e përhapjes së pështjellës që i korrespondon harmonikës kryesore, pAk = sin (β/2)/ (β/2)
Nëse bobinat e lidhura në seri nuk janë me hap të plotë, atëherë pAk duhet
shumëzuar me koefiçientin e shkurtimit të hapit yAk që i korrespondon harmonikës kryesore.
Kështu që në vend të pAk , duhet të jetë i pranishëm në shprehjen e komponentes kryesore të
f.m.m dhe faktori kwA=kpAkyA. Në këtë shprehje kwA është koefiçienti i pështjellës së fazës së statorit. Që këtej del që vektori hapësinor i përbërëses kryesore të f.m.m që i korrespondon fazës sA të statorit është i barabartë me shumën e vektorëve hapësinorë të shpërndarjes së fluksit që i korrespondojnë bobinave të veçanta. 1 1 1sA a b NsAf f f f (3-23)
Është e rëndësishme të përmendim se ekuac. (3-23) tregon një avantazh të veçantë që paraqet përdorimi i vektorit hapësinor ku për madhësitë sinusoidale, rezultantja e tyre mund të përcaktohet duke mbledhur vektorët hapësinorë të vecantë. Ekuacioni (3-23) mund të shprehet si më poshtë:
2 02 2 2 2aj j j
sAsA sA wA sA sAeff sA sAeff sA sAefff j W k i e j W i e W i e W i
(3-24)
ku në ekuac. (3-24) është zëvendësuar 2a , që do të thotë se aksi magnetik i pështjellës
së statorit sA është në pozicionin këndor = 0, i cili përputhet me aksin real të planit të referimit të palëvizshëm i fiksuar në stator. Për më tepër, në ekuac. (3-24), sAeffW është numri
efektiv i dredhave të pështjellës së statorit sA dhe është i barabartë me sAeff sA a wAW n W k ,
kështu që vektori hapësinor i f.m.m rezultante mund të shkruhet:
/2-/2-
(3Wb i)/2
(Wb i)/2
44
2
sAsA sAefff W i
(3-25)
ku sAi është vektori hapësinor i rrymës së statorit që i korrespondon fazës së statorit sA i
barabartë me: 0)( j
sAsA etii (3-26)
Në ekuac. (3-26), ashtu si edhe në ekc. (3-5), vektori hapësinor i rrymës në fazën e statorit sA është fituar duke shumëzuar vlerën e çastit të rrymës në fazën sA
sAi t me
vektorin hapësinor njësi 0je .
Siç u veprua për vektorin hapësinor të f.m.m që i korrespondonte fazës sA të statorit, në mënyrë krejtësisht të njëjtë mund të përftojmë vektorët kryesorë hapësinorë të densitetit të rrymës, të densitetit të fluksit, që i korespondojnë fazës sA të statorit. Kështu, vektori hapësinor i shpërndarjes së densitetit të rrymës për fazën sA të statorit është:
01 1 1
2 2jsAsA a b nsA sAeff sA sAeffj j j j j W i e j W i
(3-27)
ku 1aj , 1bj , 1nsAj janë vektorët hapësinor të densitetit të rrymës që i korrespondojnë
përkatësisht bobinave a, b, ... sAn . Vektori korrespondues i densitetit të fluksit për fazën sA të
statorit është:
01 1 1
2sA a b nsA sAsAeffb b b b W i
(3-28)
ku 0 është përcjellshmëria magnetike në boshllëk, është gjatësia e hapësirës ajrore.
Vektori i fluksit të plotë të fazës sA të statorit jepet me shprehjen:
201 1 1
2sA sAsA a b nsA sAeff sAlDW i L i
(3-29)
ku l është gjatësia efektive aksiale e çelikut dhe D është diametri i brendshëm i statorit. Në ekc. (1.1-24) LsA është induktiviteti vetiak i fazës së statorit sA, nëse induktiviteti i fluksit të shpërndarjes i fazes nuk merret parasysh. Kështu që ai mund të shprehet:
2 20 02 2( )sA sAeff sA wA
lD lDL W W k
(3-30)
Në analizën e shprehur më sipër është pranuar një pështjellë dypolare. Por nëse pështjella ka më shumë pole, atëherë shprehja e dhënë me ekuac. (3-30) duhet të pjestohet me p², ku p është numri i çift-poleve. Në makinën me numër çift polesh p, f.m.m kryesore është p herë më e vogël sesa f.m.m kryesore e makinës me një çift pole si dhe fluksi i hapësirës ajrore për një makinë me numër të çift poleve p, është p herë më i vogël sesa i makinës me një çift polesh me gjatësi dhe diametër të njëjtë.
3.4 Vektori hapësinor i f.m.m, fluksit, te rrymës të pështjellës trefazore të statorit.
Nëse marrim në shqyrtim pështjellën e një sistemi simetrik trefazor pështjellash ku fazat janë të zhvendosura me këndin 2 /3 nga njëra tjetra në hapësirën përreth periferisë së hapësirës ajrore, siç tregohet në fig. 2.3, dhe vlerat e çastit të rrymave të statorit për secilën fazë sA, sB dhe sC janë përkatësisht sAi t , sBi t , sCi t , atëherë vektori hapësinor i
harmonikës kryesore të një madhësie të statorit siç janë f.m.m, rryma, densiteti i fluksit, fluksi i plotë dhe kështu me radhë, mund të përftohet si shumë e vektorëve hapësinorë të së njëjtës
45
madhësi që i korrespondon përkatësisht secilës fazë. Kështu që, për shembull, vektori hapësinor i f.m.m rezultante të tre fazave të statorit mund të shprehet si: sCsBsAs ffff (3-31)
ku, për shkak të simetrisë që kemi pranuar, numri i dredhave dhe koefiçienti i pështjellës, i të tre pështjellave të statorit, janë përkatësisht të barabarta. Pra, Ws=WsA=WsB=WsC dhe kwS=kwA=kwB=kwC dhe vektorët hapësinor të f.m.m të fazave janë:
j0sA sAs ws s ws sA
2 2f W k i W k i (t)e
(3-32)
j2 3sB sBs ws s ws sB
2 2f W k i W k i (t)e
(3-33)
j4 3sC sCs ws s ws sC
2 2f W k i W k i (t)e
(3-34)
Po të zëvendësojmë ekc. (3-32)–(3-34) tek ekuacioni (3-31) marrim:
" "2s ss ws sA sB sC s ws
2 2f W k [1i (t) ai (t) a i (t)] W k i
(3-35)
Fig. 3.6 Skema e pështjellës trefazore të statorit
Ku 1, a, dhe a² janë vektorët njësi sipas drejtimit të boshteve magnetike të fazave, përkatësisht sA, sB, sC, dhe 1= 0je , a= 32je dhe a²= 34je . Operatorët 1, a, dhe a² janë vektorë hapësinorë njësi të cilët përputhet sipas akseve të pështjellave të fazave dhe nuk duhet të ngatërrohen me operatorët e kohës. Në ekuacionin (3-35) si është vektori hapësinor i
rrymave të statorit të shprehur në sistemin e referimit të fiksuar në statorin e makinës:
" 2i 1 ( ) a ( ) a ( ) cis ssA sB sCi t i t i t (3-36)
ku:
21[1 ( ) a ( ) a ( )]
cs sA sB sCi i t i t i t (3-37)
dhe c është një konstante. Nëse c= 3/2 marrim përkufizimin e formës asimetrike të vektorit
hapësinor trefazor të rrymave të statorit, dhe nëse c= 2/3 merret përkufizimi i formës simetrike të vektorit hapësinor trefazor të rrymave të statorit. Vektorët hapësinorë tre fazorë të madhësive të tjera mund të përftohen në mënyrë të ngjashme. Fluksi i plotë i një pështjelle të statorit nëse rryma në pështjellën e rotorit është zero është shumë e tri komponenteve ku njëra prej të cilave është krijuar nga rryma në pështjellën e marrë në shqyrtim, dhe dy komponentet
46
e tjera të krijuar nga kalimi i rrymës në dy pështjellat e tjera të cilët kanë lidhje induktive me të.
a
b
b’c’
c
a’Peshtjella
ekuivalente e statorit
ias
Aksi magnetik i fazes A
Aksi magnetik i fazes B
Aksi magnetik I fazes C
ics
ibs
Fig. 3.7 Skema ekuivalente e pështjellës trefazore të statorit
Kështu që, fluksi i plotë i pështjellës së statorit sA është:
( ) ( )sA sA sA AB sB AC sCL i M i t M i t (3-38)
Ku ABM dhe ACM janë përkatësisht induktivitetet reciproke ndërmjet pështjellës së fazës sA
dhe pështjellave të fazave sB dhe sC të statori, dhe meqënëse makinën e kemi pranuar simetrike induktivitet reciproke janë të barabarta MAB=MAC=MBC=Ms. Duke marrë parasysh se, për shkak të simetrisë si induktivitetet reciproke ndërmjet çdo dy pështjellave ashtu dhe induktivitetet vetiake të pështjellave të statorit janë të barabarta LsA=LsB=LsC=Lss, (iniciali i dytë s i referohet faktit që merret parasysh një pështjelle një fazore), mund të përftohen ekuacionet te mëposhtme të fluksit: )( sCsBssAsssA iiMiL (3-39)
)( sCsAssBsssB iiMiL (3-40)
)( sBsAssCsssC iiMiL (3-41)
Induktiviteti vetjak i statorit përbëhet nga induktiviteti i shpërndarjes Ls dhe induktivitet të magnetizimit Lsm pra Lss = Ls + Lsm. Duke zëvendësuar shprehjet (3-39)–(3 -41) në ekuac.(3-38) (duke pranuar gjithashtu që nuk ka rryma të renditjes nuleare në stator, pra sAi +
sBi + sCi =0) dhe duke patur parasysh se sB sC sA
i i i marrim shprehjet e mëposhtme për
flukset e statorit: ( )sA sA s sm si L L M (3-41)
( )sB sB s sm si L L M (3-42)
( )sC sC s sm si L L M (3-43)
Është e rëndësishme të vëmë në dukje se këto tri ekuacione janë të vlefshme edhe nëse shpërndarja e f.m.m pështjellave të statorit nuk është sinusoidale (pra edhe për f.m.m josinusoidale). Sidoqoftë, nëse i pranojmë shpërndarjet e f.m.m sinusoidale, induktivitetet reciproke midis pështjellave të secilës fazë mund të shprehen Ms=Lsmcos (2 / 3)= –Lsm/ 2 dhe po të zëvendësojmë këtë shprehje tek ekuac. (3-39)–(3-41) marrim:
3
[ ]2sA sA s sm sA si L L i L (3-44)
47
3
[ ]2sB sB s sm sB si L L i L (3-45)
3
[ ]2sC sC s sm sC si L L i L (3-46)
ku Ls është induktiviteti i plotë i pështjellës së një faze të statorit, e cila gjithashtu përmban ndikimin e fluksit reciprok për shkak të dy pështjellave të tjera të statorit, dhe ky induktivitet reciprok është i barabartë me (3/2)Lsm. Induktiviteti i plotë Ls, përcaktohet me shprehjen:
3
2s s sm s mL L L L L (3-47)
Në ekuac. (3-47) mL quhet induktiviteti i magnetizimit, dhe mund të shprehet si në ekuac. (3-
25). Pra, 203 3 2
2 2m sm sefL L lDW
ku sef s wsW W k është numri efektiv i dredhave të
pështjellës së statorit, dhe Ws e kwS janë numri i dredhave dhe koefiçienti i pështjellës së fazave të statorit, përkatësisht, (Ws=WsA=WsB=WsC dhe kwS=kwA=kwB=kwC ). Induktiviteti Lsm është induktiviteti i magnetizimit i pështjellës një fazore të statorit, e shumëzuar për rrymën e një faze të statori dhe koefiçientin (3/2) përcaktojmë Lm. Induktiviteti i magnetizimit Lm merr parasysh efektin e dy pështjellave të dy fazave të tjera të statorit, flukset e të cilës janë të lidhura me pështjellën e fazës së statorit në shqyrtim. Nga ekuac. (3-40)-(3-43) dhe (3-31) dhe (3-32) vektori trefazor i flukseve të statorit merret si më poshtë, në sistemin e referimit të fiksuar në statorin e makinës 21 ( ) ( ) ( )s sA sB sC st a t a t c (3-48)
ku:
21[1 ( ) ( ) ( )]s sA sB sCt a t a t
c (3-49)
ku si edhe në ekuac. (3-37), c është një konstante dhe për formën simetrike dhe atë asimetrike
c merr përkatësisht vlerat c= 3/2 dhe c= 2/3 . Duke marrë parasysh ekuacionet (3-45) –(3-47), në mungesë të rrymave të rotorit, vektori hapësinor i fluksit të statorit mund të shprehet me anën e induktivitetit të statorit Ls (i cili është përcaktuar me anë të ekc. (3-43)) dhe
vektorit hapësinor të rrymës së statorit si , si më poshtë:
2 21 1[1 ( ) ( ) ( )] 1 ss sA sB sC s sA sB sC st a t a t L i t ai t a i t L i
c c (3-50)
Në të njëtën mënyrë mund të paraqesim vektorin hapësinor trifazor të tensioneve të statorit në sistemin e palëvizshëm të referimit :
'' 21 ( ) ( ) ( )s sA sB sCu u t a u t a u t (3-51)
ku:
21[1 ( ) ( ) ( )s sA sB sCu u t au t a u t
c (3-52)
Në këto shprehje )(tusA , )(tusB dhe )(tusC -janë vlerat e çastit të tensioneve në fazat e statorit
përkatësisht sA, sB, dhe sC.
3.4. Vektori hapësinor i madhësive të pështjellës trifazore të rotorit
Duke përdorur të njëjtat parime si ato të prezantuara në paragrafin 3.3 për pështjellën
48
trifazore të statorit, mund të zbatojmë principe të ngjashme të përfaqsimit me anën e vektorëve për valë hapësinore të prodhuara nga pështjella trifazore e rotorit. Prandaj, mund të përftohen vektorët hapësinorë trifazorë të rrymave të rotorit, të flukseve të rotorit, dhe tensioneve të rotorit.
Fig. 3.8. Paraqitja skematike e nje makine tre-fazor peshtjella e rotorit
Si në ekuac. (3-37), i cili përcakton vektorin hapësinor të rrymave të statorit në termat e rrymave të çastit në tri fazat e statorit, po ashtu vektori hapësinor i rrymave të rotorit mund të shprehet me:
21[1 ( ) ( ) ( )]r ra rb rci i t ai t a i t
c (3-53)
ku )(tira , )(tirb , dhe )(tirc janë vlerat e çastit të rrymave të rotorit në fazat e rotorit,
përkatësisht ra, rb dhe rc dhe ku c është një konstante. Duhet theksuar se ekuac (3-53) jep vektorin hapësinor të rrymave të rotorit referuar sistemit të referimit të fiksuar në rotor dhe nëse duam që vektori hapësinor i rrymave të rotorit të shprehet në sistemin e referimit të fiksuar në stator, ky ekuacion duhet të kalojë përmes transformimesh të përshtatshme të cilat do të përcaktohen nga këndi i rotorit, që është këndi ndërmjet aksit të pështjellës së statorit sA dhe pështjellës së rotorit ra.
Vektori hapësinor i flukseve të rotorit mund të përcaktohet në mënyrë të ngjashme si dhe për statorin me anë të ekuac. (3-49) ku do ishte:
21[1 ( ) ( ) ( )]r ra rb rct a t a t
c (3-54)
ku )(tra , )(trb , dhe )(trc janë vlerat e çastit të flukseve të rotorit përkatësisht në fazat ra,
rb dhe rc.
Përsëri vlen të theksohet se ekuac. (3-54) është i vlefshëm në sistemin e referimit të fiksuar në rotor. Nëse nuk ka rryma në pështjellën e statorit, mund të nxirret një shprehje shumë e thjeshtë për vektorin hapësinor të flukseve të rotorit në termat e vektorit hapësinor të rrymave të rotorit dhe induktivitetit vetiak të pështjellës së rotorit. Kjo shprehje është e ngjajshme me ekuac. (3-50) e barabartë me: rrr iL (3-55)
ku rL është induktiviteti i plotë i një pështjelle të rotorit. ( Pështjellat e rotorit janw pranuar të
jenë simetrike ). Ky induktivitet mund të shprehet si shumë e induktivitetit të shpërndarjes Lr dhe atij të magnetizimit Lrm:
49
rmrr LLL 23 (3-56)
ku Lrm është induktiviteti i magnetizimit të njërës pështjellë të rotorit në se ekziston një pështjellë një-fazore e rotorit, dhe faktori (3/2)shfaqet për shkak se pështjella e secilës fazë të rotorit lidhet me dy pështjellat e tjera të rotorit. Duke pranuar hapsirën ajrore ndërmjet statorit dhe rotorit shumë të vogël, atëherë induktiviteti Lrm mund të shprehet në mënyrë të ngjashme si edhe për statorin smL , në varësi të numrit efektiv të dredhave të rotorit Wref, gjatësisë së
aksit efektiv të statorit (l) dhe diametrit të brendshëm të statorit (D) pra 203 2
2rm refL W lD
.
Numri efektiv i dredhave të rotorit mund të shprehet si Wref = Wr kwr ku Wr dhe kwr janë numri i dredhave dhe koefiçienti i pështjellës së rotorit. Nëse numri efektiv i dredhave të rotorit është sa numri efektiv i dredhave të statorit, atëherë induktivitetet e magnetizimit për një fazë janë të barabarta, Lrm = Lsm, dhe induktivitetet e magnetizimit të makinës për të tri fazat mund të shprehen si Lm =(3/2) Lrm =(3/2) Lsm. Së fundi, si të gjitha madhësitë e paraqitura me anë të vektorëve hapësinorë, vektori hapësinorë i tensioneve të rotorit mund të paraqiten:
21[1 ( ) ( ) ( )]r ra rb rcu u t au t a u t
c (3-57)
ku
)(tura , )(turb , dhe )(turc janë vlerat e çastit të tensioneve të rotorit.
3.6 Paraqitja e vektori hapësinor në një sistem arbitrar referimi.
Në kapituj në vazhdim madhësi të ndryshme të statorit dhe rotorit mund ti shprehim në një sistem ortogonal të përgjithshëm (arbitrar) i cili rrotullohet me shpejtësi këndore g .
Fillimisht le të shprehim vektorin hapësinor të madhësive sinusoidale ( rrymë , tension, fluksi etj) në një sistem arbitrar referimi i cili rrotullohet me shpejtësinë këndore g. Në figurën 3.9 janë treguar sistemet kordinative ortogonale përkatësisht: (sD,sQ) është sistemi i referimit i fiksuar në stator; (r, r) është sistemi i referimit i fiksuar në rotor; dhe sistemi (x,y) është sistemi arbitrar i referimit i cili rrotullohet me shpejtësi këndore g
fig.3.9 sistemet kordinative ortogonale të ndryshme referimi.
Vektori hapësinor i rrymës së statorit si formon këndin s në sistemin e referimit të fiksuar në stator dhe me sistemin i cili rrotullohet me shpejtësi arbitrare formon këndin (s g ). Këndet përkatëse në lidhje me shpejtësitë këndore të sistemeve kordinative janë të
barabartë përkatësisht s=st, g=gt. Në qoftë se shënojmë me sgi vektorin hapësinor të
50
rrymave të statorit në sistemin arbitrar x,y atëherë mund të shkruajmë:
( )s g g g gsj j j j tj
sg s s s si i e i e e i e i e (3-57/1)
ose
g gj j ts sg sgi i e i e (3-57/2)
Në mënyrë krejt të ngjajshme në qoftë se kemi shënuar me ri vektorin hapësinor të rrymave
në rotorit në sistemin e palëvizshëm përkundrejt rotorit dhe me rgi , vektorin përfaqësues të po
kësaj rryme në sistemin kordinativ arbitrar (x,y) i cili rrotullohet me shpejtësi këndore g, kemi:
, ( ) ( ) ( ) ( )r r g g r g r g rr rj j j j tj j
rg r r r r ri i e i e i e e i e i e (3-57/3)
ose
( ) ( )g r g rj j tr rg rgi i e i e (3-57/4)
ku;
r është këndin ndërmjet aksit real të sistemit kordinativ të fiksuar në stator dhe
sD dhe atij r të fiksuar në rotor;
r është këndi ndërmjet aksit real të sistemit kordinativ të fiksuar në rotor me vektorit hapësinor të rrymës së rotorit
Duhet thjeksuar se ri është vektori hapësinor i rrymave të rotorit i shprehur në sistemin e palëvizshëm të fiksuar në rotor. Marrdhënia ndërmjet variablave të rinj x, y dhe variablave fazore mund të nxirren si më poshtë:
2
2
0
2Re Re ( ) ( ) ( )
3
2Im Im ( ) ( ) ( )
31
( ) ( ) ( )3
g
g
j tsgsx sA sB sC
j tsgsy sA sB sC
s sA sB sC
i i i t ai t a i t e
i i i t ai t a i t e
i i t i t i t
(3-57/5)
Në mënyrë të ngjajshme për variablat e rinj të rrymave të rotorit mund të shkruajmë:
2
2
0
2Re Re ( ) ( ) ( )
3
2Im Im ( ) ( ) ( )
31
( ) ( ) ( )3
g r
g r
j trgrx ra rb rc
j trgry ra rb rc
r ra rb rc
i i i t ai t a i t e
i i i t ai t a i t e
i i t i t i t
(3-57/6)
Duke bërë veprimet te ekuacionet e mësipërme, në trajtë matricore do të kemi: , ,0 , ,s s sx y A B C
i i T (3-57/7)
, ,0 , ,r r rx y a b ci i T (3-57/8)
, ,0s x yi , , ,0r x y
i janë përkatësisht matrica shtyllore e rrymave të statorit dhe e rrymave të
rotorit në sistemin x,y,0,
51
sT , rT janë matricat e transformimit të rrymave të statorit dhe rrymave të rotorit
, ,s A B Ci , , ,r a b c
i janë përkatësisht matrica shtyllore e rrymave fazore të statorit dhe e rrymave
të rotorit.
ku:
, ,0
0
sx
s syx y
s
i
i i
i
, , ,0
0
rx
r ryx y
r
i
i i
i
,
, ,
sA
s sBA B C
sC
i t
i i t
i t
,
, ,
ra
r rba b c
rc
i t
i i t
i t
(3-57/9)
2 2cos cos cos
3 3
2 2 2sin sin sin
3 3 31 1 1
2 2 2
g g g
s g g g
t t t
t t t
T (3-57/10)
2 2cos cos cos
3 3
2 2 2sin sin sin
3 3 31 1 1
2 2 2
g r g r g r
r g r g r g r
t t t
t t t
T (3-57/11)
Këto matrica janë të vlefshme edhe për transformimin e tensioneve dhe flukseve. Kalimi nga
variablat e rinj x,y,0 në variablat bëhet me anën e matricave inverse të transformimit 1
s
T
dhe 1
r
T ,
1
, , , ,0s s sA B C x yi i
T (3-57/12)
1
, , , ,0r r ra b c x yi i
T (3-57/13)
ku
1
cos sin 1
2 2cos sin 1
3 3
2 2cos sin 1
3 3
g g
s g g
g g
t t
t t
t t
T (3-57/14)
1
cos sin 1
2 2cos sin 1
3 3
2 2cos sin 1
3 3
g r g r
r g r g r
g r g r
t t
t t
t t
T (3-57/15)
në varësi të shpejtësisë këndore të sistemit arbitrar përftojmë matricat përkatëse të sistemeve të ndryshme të paraqitur si më poshtë.
52
1. Për shpejtësi këndore të sistemit arbitrar të barabartë me zero g= përftojmë transformimine variablave në sistemin kordinativ të fiksuar në rotor (rd, rq) dhe matricat transformuese do të jenë:
, ,0
1 11
2 22 3 30 2 23
1 1 12 2 2
s D Q
T (3-57/16)
, ,0
2 2cos cos cos
3 3
2 2 2sin sin sin
3 3 31 1 1
2 2 2
r r r
r r r rD Q
t t t
t t t
T (3-57/17)
2. Për shpejtësi këndore të sistemit arbitrar të barabartë me shpejtësinë këndore të rotorit g=r përftojmë transformimin e variablave në sistemin kordinativ të fiksuar në rotor (d,q,0) dhe matricat transformuese do të jenë:
, 0
2 2cos cos cos
3 3
2 2 2sin sin sin
3 3 31 1 1
2 2 2
T
r r r
s r r rd q
t t t
t t t
(3-57/18)
1 11
2 22 3 30 2 23
1 1 12 2 2
Tr
(3-57/19)
3. Për shpejtësi këndore të sistemit arbitrar të barabartë me zero g=s përftojmë transformimin e variablave në sistemin kordinativ (X, Y) dhe matricat transformuese do të jenë:
, ,0
2 2cos cos cos
3 3
2 2 2sin sin sin
3 3 31 1 1
2 2 2
T
s s s
s s s sX Y
t t t
t t t
(3-57/20)
, ,0
2 2cos cos cos
3 3
2 2 2sin sin sin
3 3 31 1 1
2 2 2
T
s r s r s r
r s r s r s rX Y
t t t
t t t
(3-57/21)
53
3.7 Vektori hapësinor i madhësive të krijuar nga kombinimi i fushës magnetike të statorit dhe rotorit.
Vektori hapësinor i fluksit të plotë të statorit dhe rotorit duhen përcaktuar në mënyrë të ndryshme, kur ato shprehen në termat e rrymave të statorit dhe rotorit si dhe induktiviteteve të makinës. Ekuacionet (3-54 ) ku flukset përkatëse të rotorit dhe statorit rrr iL dhe
sss iL (3-50) duhen modifikuar. Fluksi i plotë i pështjellës së statorit do të përmbajë dhe
komponente të vektorit hapësinor të fluksit reciprok për faktin që në pështjellën e rotorit kalon rrymë. E njëta gjë mund të thuhet dhe për fluksin e plotë të rotorit (do të ketë dhe komponente të vektorit hapësinor të statorit). Në fig.3.9 është paraqitur në mënyrë skematike një makinë tre-fazore me një cift polesh.
x
xx
sA`
sC`sB`
sA
sBsC
Im
Rex
x
x
rbra`
rc
rc`
rarb`
ωr
θr
θ
α
Fig 3.10 Paraqitja skematike e nje makine tre-fazor
Faza “ra” e rotorit është zhvendosur nga faza sA e statorit me këndin r . Induktiviteti reciprok ndërmjet pështjellave të statorit e kemi shënuar me Ms dhe është e barabartë, Ms=−Lsm/2 dhe induktiviteti reciprok ndërmjet pështellave të rotorit me Mr i barabartë, Mr=−Lrm/2. Krahas këtyre induktiviteteve ekzistojnë dhe induktivitet reciproke ndërmjet pështjellave të statorit dhe rotorit i cili varet nga këndin r dhe vlera maksimale e induktivitetit reciprok ndërmjet pështjellës së statorit dhe rotorit e shënojmë me Msr ( kur akset magnetike të fazave të statorit dhe rotorit puthiten me njëra tjetrën). Për shkak të simetrisë së makinës vlera maksimale e induktivitetit reciprok ndërmjet fazës sB të statorit dhe fazës rb të rotorit si dhe fazës sC të statorit dhe fazës rc të rotorit janë të barabarta. Kështu që smL , rmL dhe srM mund të përcaktohen me anë të numrit efektiv të dredhave si të
statorit dhe të rotorit Wsef, Wref, të përcjellshmërisë magnetike të ajrit 0 , gjatësisë së hapsirës
ajrore , gjatësisë efektive të përcjellësave l si dhe diametrit të statorit ( të brendshëm ) D.
Kështu që vlera maksimale e induktiviteti reciprok do të jetë 02sr sef refM W W lD
.
Induktiviteti i magnetizimit e përcaktojmë Lm= ( 3/2 )Msr dhe në rast se sef refW W atëherë
kemi që Msr = Lsm=Lrm. Në qoftë se supozojmë se f.m.m në hapsirën ajrore është sinusoidale pra nuk përmban harmonikat e larta, si dhe nuk përmban komponenten nuleare atëherë fluksi i plotë i pështjellës së statorit do të jetë:
2 4cos cos( ) cos
3 3sA s sA sr r ra sr r rb sr r rcL i M i M i M i
(3-58)
4 2cos cos( ) cos
3 3sB s sB sr r rb sr r ra sr r rcL i M i M i M i
(3-59)
54
2 4cos cos( ) cos
3 3sC s sC sr r rc sr r ra sr r rbL i M i M i M i
(3-60)
duhet theksuar që sL është induktiviteti vetjak i pështjellës së statorit i cili përmban dhe
ndikimin e flukseve të dy pështjellave të statorit 32s s sL L M ku sL është induktiviteti
për shkak të fluksit të shpërndarjes së pështjellës. Induktiviteti vetjak sL mund të shprehet
dhe në një formë tjetër ssss MLL ku ssL është induktiviteti vetjak i pështjellës së statorit i
cili nuk përmban ndikimet e fazave të tjera të statorit. Duke zëvendësuar ekuacionet (3-58) - (3-60) në ekuacionin (3-49), i cili përcakton vektorin hapësinor të fluksit të statorit në sistemin e palëvizshëm të referimit i fiksuar në stator do të jetë:
rjrmsss eiLiL (3-61)
Ku srm ML2
3 dhe për një makinë me një çift pole ajo përcaktohet me shprehjen:
03m seff reffL W W lD
. Në ekuacioninin (3-61) ri është vektori hapësinor i rrymës së rotorit
i shprehur në sistemin e referimit në rotor dhe rjrei
vektori hapësinor i rrymës së rotorit por tashmë i shprehur në sistemin e palëvizshëm të referimit të fiksuar në stator.
rjrr eii
' (3-62)
Ku r është këndi i rotorit i treguar në fig.3.10. Duhet theksuar se për një makinë me një çift pole zhvendosja këndore e rotorit është e barabartë me zhvendosjen këndore elektrike, por në përgjithësi për një makinë e ndërtuar me p çift pole rmr p ku rm është këndi gjeometrik
ndërsa r është shprehur në radian elektrik. Në ekuacionin (3-61) termi rm iL është vektori
hapësinor i fluksit reciprok të statorit për shkak të rrymës së rotorit i shprehur në sistemin e
referimit në rotor. Ndërsa termi rjrm eiL është i njëjti vektor hapësinor por i shprehur në
sistemin e palëvizshëm të referimit në stator. Në të njëjtën mënyrë si në ekuacionin (3-61) mund të shprehim vektorin hapësinor të fluksit të plotë të rotorit në termat e vektorëve hapësinor të rrymave te statorit dhe rotorit. Ky fluks është i barabartë:
'smrr
jsmrrr iLiLeiLiL r (3-63)
Në përputhje me ekuacionin (3-63) komponentja e parë e fluksit të plotë është fluksi për shkak të rrymave në rotor dhe termi i dytë për shkak të rrymave në stator. Vektori hapësinor
sm iL është vektori hapësinor i fluksit reciprok i shprehur në sistemin e palëvizshëm në stator i
krijuar nga rrymat e statorit. Në rastin kur si e shumëzojmë me transformimin kompleks rje jep rj
ss eii '
ku 'si është vektori hapësinor i rrymës së statorit i shprehur në sistemin e
fiksuar në rotor dhe rjsm eiL është vektori hapësinor i fluksit reciprok të rotorit i shprehur në
sistemin e fiksuar në rotor, i krijuar nga rrymat e statorit. Në rast se f.m.m e hapsirës ajrore është sinusoidale dhe rrymat e rotorit nuk përmbajnë komponenten nuleare atëherë fluksi i plotë i fazës së rotorit do të jetë:
2 4cos cos( ) cos
3 3ra r ra sr r sA sr r sB sr r sCL i M i M i M i
(3-64)
2 4cos cos( ) cos
3 3rb r rb sr r sB sr r sA sr r sCL i M i M i M i
(3-65)
55
2 4cos cos( ) cos
3 3rc r rc sr r sC sr r sB sr r sAL i M i M i M i
(3-66)
ku rL është përcaktuar me anë të ekuacionit (3-56) srrr MLL 23 ku rL është induktiviteti
për shkaktë fluksit të shpërndarjes së rotorit. Ndryshe rL mund të përcaktohet edhe me
shprehjen rrrr MLL ku rrL është induktiviteti vetjak i pështjellës së rotorit (ku nuk
përfshihen efektet e dy pështjellave te tjera të rotorit) dhe rM është induktiviteti reciprok midis pështjellave të rotorit e barabartë me Mr=−Lrm/2, ku Lrm=(2/3)Lm. Flukset e fazave të rotorit )(tra , )(trb , )(trc , përbëhen nga një komponente e fluksit reciprok krijuar nga
rrymat në rotor dhe tre komponente të tjera të krijuar nga rrymat e statorit. Ekuacionet (3-64) - (3-66) duke i zëvendësuar në ekuacionin (3-54) përcaktojmë vektorin hapësinor të flukseve të rotorit i cili përmban një kompenente të rotorit dhe në bazë të ekuacioneve (3-36) dhe (3-53) të cilët janë respektivisht vektorët hapësinor të rrymave të statorit dhe rotorit dhe përfundimisht arrijmë në shprehjen e ekuacionit (3-63). Ne mund të përcaktojmë rrymën e
degës së magnetizimit mi si dhe vektorin hapësinor rezultant i fluksit të magnetizimit m .
Vektori hapësinor i rrymës së magnetizimit i shprehur në sistemin e referimit të palëvizshem të fiksuar në stator është:
rjrsmcmbmam eiitiataiti
ci 21
1 (3-67)
Ku , ,ma mb mci t i t i t janë vlerat e castit të rrymës së magnetizimit. Në qoftë se
induktivitetin vetjak të statorit Ls e mendojmë të përbërë si shumë e induktivitetit të shpërndarjes Ls dhe induktivitetit të magnetizimit Lm atëherë shprehja (3-61) e fluksit merr
formën rjs s rs s mL i L i i e
ku kemi produktin e induktivitetit të magnetizimit mL dhe
rrymës së magnetizimit mi . Fizikisht ky është një rezultat i pritur pasi fluksi i plotë i statorit në sistemin e palëvizshëm të referimit është i përbërë nga vektori hapësinor i fluksit të shpërndarjes së statorit dhe vektorit hapësinor të fluksit të magnetizimit. Vektori hapësinor i fluksit të shpërndarjes përcaktohet:
21[1 ( ) ( ) ( )]s s A s B s Ct a t a t
c (3-68)
Ku c është një kostante dhe ( ), ( ), ( )s A s B sCt t t janë vlerat e çastit të flukseve të
shpërndarjes së fazaves sA, sB, sC të cilat i përcaktojmë me shprehjet: tiLt sAsAs ,
tiLt sBsBs , tiLt sCsCs . Vektorin hapësinor të fluksit të magnetizimit m do ta
përcaktojmë si më poshtë:
tatatc
iLeiiL mcmbmammj
rsmmr 21
1 (3-69)
Ku , ,ma mb mct t t janë vlerat e çastit të flukseve të magnetizimit të shprehur në
sistemin e palëvizshëm të referimit. Siç shikohet vektori hapësinor i fluksit të magnetizimit është koaksial me vektorin hapësinor të rrymës së magnetizimit. Kjo është për faktin se hapësira ajrore është pranuar uniforme gjatë gjithë periferisë së saj. Megjithatë duhet theksuar se në rastet kur kemi ngopjen e qarkut magnetic është një domosdoshmëri perdorimi i ekuacioneve të tensionit i cili përmban dhe vektorin hapësinor të fluksit të magnetizimit. Në përgjithësi induktiviteti i magnetizimit Lm nuk është kostant por varet nga ngopja e qarkut magnetik. Kështu që në ekuacionin (3-69) duhet të merret parasysh ngopja e qarkut magnetik.
56
Në tranmisionet me shpejtësi të ndryshueshme zbatohet kontrolli me orientim të rrymës së magnetizimit ose të fluksit të magnetizimit ku përdoret me sukses vektori hapësinor i rrymës ose fluksit të magnetizimit. Është shumë e nevojshme të përcaktohen vektorët hapësinorë të
rrymës së magnetizimit të statorit dhe rotorit mrms ii , në mënyrë që aplikimi i tyre të thjeshtojë ekuacionet të cilat janë të nevojshme për të përshkruar metodën e kontrollit vektorial me orientim të fushës së statorit ose të rotorit. Në sistemin e palëvizshëm ato mund të shprehen:
smsm
i L (3-70)
m
jr
mrL
ei
r
, (3-71)
Në ekuacionin (3-70) i njëjti transformim kompleks ( rje ) shfaqet si në ekuacionin(3-62).
Vektori r është vektori hapësinor i fluksit të rotorit në sistemin e referimit mbi rotor dhe
rjrr e
, është vektori hapësinor i fluksit të rotorit në sistemin e palëvizshëm në stator.
Duke zëvendësuar ekuacionin (3-49) )]()()(1[1 2 tatatc sCsBsAs në ekuacionin (3-
70) vektori hapësinor i rrymës së magnetizimit të statorit në sistemin e palëvizshëm të referimit mund të shprehet:
,1 1rjs s
ms r s r ssm m
Li i e i i i
L L
(3-72)
Ku ,ri është vektori hapësinor i rrymës së rotorit në sistemin e palëvizshëm të statorit dhe s
është faktori i fluksit të shpëndarjes së fluksit dhe është i barabartë me ss
m
LL
. Ajo ka
vlera të ndryshme, për shembull për një makinë asinkrone vlera e saj është rreth 301 /s .
Në të njëjtën mënyrë nga zëvendësimi i ekuacionit (3-54) te ekuacioni (3-71) gjejmë vektorin hapësinor të rrymës së magnetizimit të rotorit në sistemin e palëvizshëm në stator:
,
' ,1 1
rjr r r
mr s r s rrm m m
e Li i i i i
L L L
(3-73)
Ku ,ri dhe
,
r është vektori hapësinor i rrymës dhe fluksit të pështjellës së rotorit në sistemin e
palëvizshëm të statorit dhe r është faktori i fluksit të shpëndarjes së fluksit të rotorit i
barabartë me rr
m
LL
. Duhet theksuar që modelimi i makinave elektrike të cilët kanë
hapsirën ajrore uniforme (si makinat asinkrone një dhe tre fazore, makina sinkrone me pole të padukshme) është shumë me leverdi të përdoren vektorët hapësinorë. Rotori i makinës asinkrone (një fazore dhe tre-fazore) është i ndërtuar në formë kafazi ku përcjellësit prej bakri ose alumini janë të lidhur në fundet e tyre me dy unaza në të shkurtër. Rotori në formë kafazi mund të kosiderohet si një sistem shumëfazorë me numër fazash të barabartë me Z2/p ku Z2 është numri i kanaleve në rotor dhe p-numri i çift-poleve. Në rast se nuk merren parasysh harmonikat e larta hapësinore atëherë një sistem shumëfazor simetrik sinusoidale mund të zëvendësohet me një qark simetrik trefazor sinusoidale. Kjo bëhet në mënyrë që i gjithë aparati i vektoreve hapësinor e përdorur deri më tani të përdoret dhe për motorin një-fazor (asinkron). Në rast të kundërt ku harmonikat e larta kanë një ndikim të dukshëm ateherë keta ndikimet do të merret në modelet e studimit. Ekzistojnë makina të tilla si makina asinkrone
57
me dy palë kanale dhe rotor me kanale të thella ku modelit dinamik të motorit duhet ti bëhet një permisim për ndërtimin e qarkut ekuivalent. Për këtë rotori i makinës mendohet i përbërë nga dy kafaze njëri shënohet i brendshëm I dhe i jashtëm O të cilët kanë lidhje induktive me njëri-tjetrin. Në këtë rast vektori hapësinor i fluksit të statorit në termat e vektorëve hapësinor të rrymës së statorit dhe rotorit në sistemin e referimit të palëvizshëm ku:
)( rIrOsmsss iiiLiL (3-74)
Ku:
sL është induktiviteti i shpërndarjes së statorit
mL është induktiviteti i magnetizimit
si vektori hapësinor i rrymës së statorit ,rOi vektori hapësinor i rrymës së pështjellës së jashtmë të rotorit ,rIi vektori hapësinor i rrymës së pështjellës së brendshme të rotorit,
të cilët janë shprehur në sistemin e palëvizshëm të referimit.
Duhet theksuar se )( rIrOs iii është vektori hapësinor i rrymës së magnetizimitnë sistemin e palëvizshëm. Vektori hapësinor i fluksit të rotorit në lidhje me pështjellën e jashtme përcaktohet:
, ' , , , ,
00
( ) ( )r s rO rI rO rIrO m IL i L i i i M i i (3-75)
Ku:
1M është induktivitet reciprok midis dy pështjellave të rotorit
OL është induktiviteti i shpërndarjes së pështjellës së jashtme.
Siç shihet vektori hapësinor i fluksit të plotë i pështjellës së jashtme ka tre komponente të cilat janë:
1. Komponentja e parë është 'rOOL i është fluksi i shpërndarjes së pështjellës së jashtme
të rotorit.
2. Komponentja e dytë )(,,rIrOsm iiiL është vektori hapësinor i fluksit e magnetizimit
të pështjellave të makinës asinkrone.
3. Komponetja e tretë , ,
1( )rO rIM i i është vektori hapësinor i fluksit reciprok midis dy
pështjellave të rotorit. Në disa raste për studimin e makinës asinkrone me dy palë kanele ky induktivitet neglizhohet. Vektori hapësinor i fluksit të plotë të pështjellës së brendshme do të përcaktohet në mënyrë të njëjtë.
)ii(M)iii(LiL,rI
,rO
,rI
,rOsm
'rII
,
rI 1 (3-76)
Ku IL ëhtë induktiviteti i shpërndarjes së pështjellës së brendshme. Vektori hapësinor i
fluksit të pështjellës së brendshme ashtu si ai i pështjellës së jashtme përbëhet nga tre komponente të cilat janë:
1. Komponentja e parë është 'rII iL është fluksi i shpërndarjes i pështjellës së brendshme
të rotorit.
2. Komponentja e dytë )(,,rIrOsm iiiL është vektori hapësinor i fluksit e magnetizimit.
58
3. Komponetja e tretë )(,,
1 rIrO iiM është vektori hapësinor i fluksit reciprok midis dy pështjellave të rotorit.
Në disa raste për studimin e makinës asinkrone me dy palë kanele ky induktivitet neglizhohet.
3.8 Paraqitja e vektorëve hapësinor të flukseve të statorit dhe rotorit në një sistem arbitrar referimi.
Siç u theksua në paragrafin 3.6 madhësi të ndryshme të statorit dhe rotorit mund ti shprehim në një sistem të përgjithshëm (arbitrar) i cili rrotullohet me shpejtësi këndore g. Kjo sjell siç do ta shohim disa avantazhe në paraqitjen e vektorëve hapësinor të madhësive të ndryshme. Për këtë fillimisht ndërtohen vektorët hapësinorë i ekuacioneve diferenciale të statorit dhe rotorit në sistemet e tyre të referimit dhe mandej këta vektorë të shprehen në sisteme të ndryshme referimi. Vektori hapësinor i rrymës së statorit në sistemin e referimit në
rotor mund të shprehet: rjss eii
, ku si është vektori hapësinor i rrymës së statorit në
sistemin e palëvizshëm në stator. Në mënyrë të njëjtë vektori hapësinor i rrymës së rotorit i
shprehur në një sistem të palëvizshëm është; rjrr eii
' ku ri është vëktori hapësinor i
rrymës së rotorit në sistemin e referimit të fiksuar në rotor. Në qoftë se marrim një sistem kordinativ ortogonal referimi me akset x,dhe y i cili rrotullohet me shpejtësi këndore arbitrare
( gg
ddt
) ku g është këndi midis aksit real ortogonal sD i fiksuar në stator dhe aksit real
x të sistemit arbitrar të referimit atëherë vektori hapësinor i rrymës së statorit i shprehur në sistemin arbitrar të referimit do të përcaktohet:
gjssg eii (3-77)
Këndin midis aksit r dhe atij sD e shënojmë me r . Ekuacionin (3-77) mund të nxirret dhe matematikisht duke konsideruar që në sistemin e palëvizshëm të referimit forma polare e
vektorit hapësinor të rrymës së statorit është: sjs si i e dhe po ky vektor në sistemin arbitrar
është ( )s g g gsj j jj
sg s s si i e i e e i e . Në mënyrë të njëjtë përcaktojmë dhe vektorët
hapësinor të flukseve dhe tensioneve në sistemin arbitrar të referimit:
gjssg euu (3-78)
gjssg e (3-79)
Në mënyrë krejtësisht të njëjtë shkruhen ekuacionet e flukseve, tensioneve, rrymave të rotorit.
Shprehja e vektorit e vektorit hapësinor të rrymës së rotorit në formë polare rjr ri i e .
Ndërkohë që këndi midis aksit real (x) të sistemit arbitrar dhe aksit real r të sistemit të referimit në rotor është rg . Vektori hapësinor i rrymave të rotorit në sistemin arbitrar do
të jetë ,rj
rg ri i e ku )(,rgrr dhe përfundimisht kemi:
, ,( ) ( )g r g r gr
j j jjrg r r ri i e e i e i e (3.80)
59
fig.3.11 sisteme kordinative ortogonale të ndryshme referimi. 1.sD,sQ është sistemi e referimit i fiksuar në stator 2. rr , është sistemi i referimit i fiksuar në rotor 3.x,y është sistemi arbitrar i referimit i cili rrotullohet me shpejtësi këndore g
Në sistemin e referimit në stator 0g dhe rjrrg eii ,
i cili është i njëjtë me ekuacionin (3-
62). Vektorët hapësinor të flukseve dhe tensioneve të rotorit shprehur në sistemin arbitrar do të jenë :
)( rgjrrg euu (3-81)
)( rgjrrg e (3-82)
Është e mundur të shprehim vektorët hapësinor të fluksit të rotorit dhe statorit në termat e vektorëve hapësinor të rrymave të statorit dhe rotorit, të parë në sistemin arbitrar të referimit. Kështu në bazë të ekuacioneve (3-61) dhe (3-62) të cilët përcaktojnë vektorët hapësinor të flukseve të statorit dhe rotorit në sistemet e tyre natyrale dhe në bazë të ekuacioneve (3-77) - (3-79) dhe (3-80) - (3-82) :
rgmsgssg iLiL (3-83)
sgmrgrrg iLiL (3-84)
Siç shikohet shprehjet janë shumë të thjeshta dhe përmbajnë dy terma: Termi i parë është komponentja e fluksit vetjak Termi i dytë është komponentja e fluksit të induksionit reciprok.
Në ndryshim nga ekuacionet (3-61) dhe (3-63), ekuacionet (3-83) dhe (3-84) nuk përmbajnë transformimin kompleks rje apo të konjuguarën e tij rje i cili varet nga këndi r . Tashmë këto janë të “fshehura” në shprehjen e vektorëve hapësinor të rrymës së statorit dhe rotorit të ndërtuar në sistemin arbitrar të referimit. Kjo është një përfundim shumë i rëndësishëm që ekuacionet diferenciale të makinës të ndërtuar në sistemin arbitrar duke përdorur vektorët hapësinor të madhësive, ato nuk do të përmbajnë transformimin kompleks rje dhe rje . Duke supozuar qarkun magnetik linear ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve të makinës do të përmbajnë koeficientë konstant. Ndërsa po të shprehen ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve të makinës në sistemet e tyre të referimit, ekuacionet diferenciale të tyre do të përmbajnë koficientë jo-kostant të cilët varen nga pozicioni i rotorit pra i këndit r . Gjithasshtu një konkluzion sinjifikativ në paraqitjen e madhësive të ndryshmë me anë të vektorëve hapësinor të ndërtuar në sistemin arbitrar të referimit pasi aplikimi i tyre bëjnë të mundur të fitohen
60
modele të ndryshme ortogonale pa qënë e nevojshme të përdoret matrica e transformimit. Në përgjithësi në teorinë e makinave elektrike në përgjithësi përdoren matricat e transformimit për krijimin e modeleve ( shih paragrafin 3.6 ). Perdorimi i vektorëve hapësinor bën të mundur të fitohen matricat e ndryshme transformuese dhe modele të ndryshme (këto do ti shohim në kapituj e mëvonshëm). Duhet theksuar se dhe kjo ka një “çmim” pasi ekuacionet e tensioneve të statorit të ndërtuar në sistemin kordinativ arbitrar, për shkak të rrotullimit të sistemit kordinativ, do të ekzistojnë f.e.m të cilët në sistemin e palëvizshëm të referimit nuk ekzistojnë. Kjo është një disavantazh i metodës. Është e mundur që nga ekuacionet (3-83) dhe (3-84) të përcaktohen komponentët e flukseve të rotorit dhe statorit sipas aksit real dhe atij imagjinar të sistemit të referimit. Makina sinkrone me pole të dukshme, rruga me të cilen mbyllet fluksi magnetik në dy akset (d dhe q) është i ndryshëm pra induktiviteti i magnetizimit nuk është i njëjtë, kështu që në vend të një induktiviteti të magnetizimit do të kemi dy sipas akseve d dhe q Lmd, Lmq. Kështu që për makinën tre-fazore me pole të dukshme induktivitetet vetjake janë të ndryshëm dhe varen nga pozicioni i rotorit. Është e rëndësishme të theksohet që vektorët hapësinorë të flukseve të rotorit dhe statorit në ekuacionet (3-83) dhe (3-84) janë shprehur në sistemin e referimt në rotor ku r=g. Ekuacionet e vektorëve hapësinor ndërtohen sipas dy akseve dhe induktivitetet zëvendësohet me vlerat e tyre sipas akseve (Lsd, Lsq Lrd, Lrq Lmd, Lmq )). Është e rëndësishme të theksohet se megjithëse kemi asimetri në makinë, në rastin kur qarkun magnetik e pranojmë të pangopur ekuacionet e ekulibrit të tensioneve do të përmbajnë induktivitete kostantë, të pavarur nga pozicioni i rotorit. Këto ekuacione korrespondojnë për makinën sinkrone me pole të dukshme shprehur në sistemin e referimit të rotorit, n.q.s në rotor ekzistojnë dy pështjella në akset përkatëse (sipas aksit D ndodhet pështjella e qetësimit dhe sipas aksit Q ndodhet pështjella e eksitimit). Eliminimi i koeficientëve variabëll me kohën është i domosdoshëm në krijimin e modeleve matematike të makinës. Parku ka ndërtuar modele të tilla për eliminimin e koefiqentëve variabëll, ku të gjitha madhësitë e statorit shprehen në sistemin e referimit të rotorit. Siç u theksua më lartë në kushtet e qarkut magnetik linear ku të gjitha madhësitë janë shprehur në sistemin kordinativ të rotorit nuk ka induktivitete që ndryshojnë me kohën. Kështu që në ekuacionet e tensioneve të makinës me pole të dukshme ekuacionet diferenciale të makinës do të kenë koeficientë kostante. Në aspektin fizik madhësitë e transformuar rrotullohen me rotorin dhe kjo siguron një rrugë të njëjtë të fluksit magnetik. Kështu që induktivitetet që varen nga koha nuk shfaqen në ekuacione. Siç paraqitet tek ekuacioni (3-67) në makinën me hapsirën ajrore kostante vektori hapësinor i fluksit të magnetizimit në sistemin arbitrar shprehet :
rgsgmg iii (3-85)
Dhe vektori i fluksit të magnetizimit në të njëjtin sistem do të jetë:
)( rgsgmmgmmg iiLiL (3-86)
Ku mL është induktiviteti i magnetizimit i cili është kostant për qark magnetik linear, ndërsa
për qark magnetik të ngopur vlera e saj ndryshon me modulin mgi . Vektori hapësinor i fluksit të shpërndarjes në sistemin arbitrar do të jetë : sgsgs iL (3-87)
Ku sL është induktiviteti i shpëndarjes së pështjellës së statorit. Vektori hapësinor i rrymës
së magnetizimit të statorit dhe rotorit shprehur në sistemin kordinativ arbitrar ( mrgmsg ii , ) përcaktohen si në ekuacionet (3-70) dhe (3-71):
sgmsg
mi L
(3-88)
61
rgmrg
mi L
(3-90)
Ku rgsg , janë përcaktuar nga ekuacionet (3-83) dhe (3-84) respektivisht. Kështu duke i
zëvendësuar këto në ekuacionet (3-88) dhe (3-90) vektorët hapësinorë të rrymës së magnetizimit të rotorit dhe statorit të shprehur në sistemin arbitrar do të jenë:
(1 )sg smsg rg sg rg sgs
m m
Li i i i i
L L
(3-91)
(1 )rg rmrg sg sg sg rgr
m m
Li i i i i
L L
(3-92)
Ku 11, rs janë koeficientët e shpërndarjes së rotorit dhe statorit s sm
L L ,
r rm
L L . Keto madhësi zbatohen në forma të ndryshme të kontrollit vektorial të
makinave elektrike.
3.9 Marrdhënia midis komponentes nuleare dhe vektorit hapësinor.
Vektorët hapësinor trefazor i trajtuar në paragrafët e mëparshëm nuk e përmbajnë vlerën e çastit të komponentes nuleare. Për një madhësi të cfarëdoshme sx të statorit dhe rx
të rotorit të cilët kanë një shpërndarje sinusoidale në hapsirë (këto madhësi mund të jenë rrymë, tension ,fluksi etj) mund të përcaktojmë vektorin hapësinor trefazor të rrymës së statorit dhe rotorit me shprehjet :
211 ( ) ( ) ( )s sA sB sCx x t ax t a x t
c (3-93)
211 ( ) ( ) ( )r ra rb scx x t ax t a x t
c (3-94)
ku c është një kostante dhe )t(x),t(x),t(x sCsBsA , )t(x),t(x),t(x scrbra janë vlerat e çastit të
madhësive të statorit dhe rotorit. Vlera e çastit nuleare e madhësive të statorit dhe rotorit i përcaktojmë me shprehjen:
02
1( ) ( ) ( )s sA sB sCx x t x t x t
c (3-95)
2
1( ) ( ) ( )r ra rb rcx x t x t x t
c (3-96)
Në rast se rryma në stator dhe rotor përmban dhe harmikën nuleare, komponentja fazore e statorit mund ta mendojmë të përbërë si shumë e dy komponenteve ku njëra komponente nuk përmban komponenten nulare dhe tjetra është komponentja nuleare. Kështu që mund të shkruajmë: '( ) ( ) ( )sA sA sox t x t x t (3-97)
'( ) ( ) ( )sB sB sox t x t x t (3-98)
'( ) ( ) ( )sC sC sox t x t x t (3-99)
Duke i zëvendësuar ekuacionet e mësipërme (3-97) - (3-99) në ekuacionin (3-93) vektori hapësinor i madhësive të statorit do të jetë:
62
,
' ' 2 ' 20
21 ( ) ( ) ( ) (1 )
3sA ssA sB sC sx x t ax t a x t x a a x
(3-100)
ku 'sx është vektori hapësinor i cili nuk përmban komponenten nuleare dhe është e barabartë
me shprehjen:
' ' ' 2 '2
1 ( ) ( )3
sA sA sB sCx x t ax t a x (3-101)
Termi i dytë 20 (1 )sx a a është i barabartë me zero. Sic duket, vektori hapësinor nuk
përfaqëson komponenten e renditjes nuleare, kështu që ajo do të merret në vecanti
3.10 Marrdhënia ndërmjet vlerave të çastit të madhësive fazore dhe vektorit hapësinor.
Siç u theksua më lartë vektori hapësinor trefazor i madhësive të statorit dhe rotorit nuk përmbajnë komponenten nuleare. N.q.s se vlera e castit e komponentes nuleare është e ndryshme nga zero, atëherë vlera e çastit e madhësive trefazore mund të gjendet me anë të vektorit hapësinor dhe komponentes nuleare si më poshtë:
0( ) Re(1 ) ( )ssA sx t x x t (3-102)
20( ) Re( ) ( )ssB sx t a x x t (3-103)
0( ) Re( ) ( )ssA sx t ax x t (3-104)
dhe
0( ) Re(1 ) ( )rra rx t x x t (3-105)
20( ) Re( ) ( )rrb rx t a x x t (3-106)
0( ) Re( ) ( )rrc rx t ax x t (3-107)
në bazë të ketyre shprehjeve dhe ekuacioneve (3-93) dhe (3-94), pjesa reale e vektorit
hapësinor ( 211 ( ) ( ) ( )s sA sB sCx x t ax t a x t
c , 21
1 ( ) ( ) ( )r ra rb scx x t ax t a x tc jepet me
anë të shprehjeve: 22 1
Re( ) Re 1 ( ) ( ) ( ) ( )3 3
s sA sB sC sA sA sB sCx x t ax t a x t x x x x (3-108)
ku:
0Re( )ssA sx x x (3-109)
0
1( ) ( ) ( )
3s sA sB sCx x t x t x t (3-110)
Si konkluzion nxjerrim se në rast se madhësitë e statorit dhe rotorit nuk përmbajnë komponenten e rënditjes nuleare atëherë vlera e çastit e madhesive të statorit dhe rotorit
)t(x),t(x),t(x sCsBsA dhe )t(x),t(x),t(x scrbra janë të barabartë me projeksionin e vektorit
hapësinor korrespondues ( rs x,x ) në akset e fazave korresponduese (sA,sB,sC dhe ra,rb,rc) siç është treguar në fig.1.8.
63
Fig. 3.12 Percaktimi i vlerave te castit me ane te vektorit hapsinor
3.11 Madhësia e vektorit hapësinor trefazor të rrymës në regjim të vendosur në kushte simetrike.
Marrim në konsideratë se makina asinkrone punon në regjim simetrik. Tensionet dhe rrymat e fazave të makinës janë sinusoidale dhe formojnë një system simetrik që përmbajnë vetëm komponenten e lidhjes së drejtë. Vlera e çastit e rrymës së fazave të sistemit trefazor do të jenë:
j( t ) j( t )a( t )
Ii I cos( t ) e e
2 (3-111)
2 2
j( t ) j( t )3 3
b( t )
2 Ii I cos( t ) e e
3 2
(3-112)
4 4
j( t ) j( t )3 3
c( t )
4 Ii I cos( t ) e e
3 2
(3-113)
ku:
I është amplituda e rrymës së fazës
është frekuenca këndore
është kënd i fazës
t është koha në sek.
Duke zëvendësuar ekuacionet (3-111) - (3-113) në ekuacionin ( 3-36) përcaktojmë vektorin hapësinor të rrymës trefazore:
~( ) 3 3 ( ) 2 4 ( )
11 13
(1 ) (1 )2 2
j t j t j t j tI Ii e a a e a a e I e i
c c (3-114)
ku 2
( )3
ja e
është operator hapësinor dhe
13
2jI
I ec
(3-115)
është moduli i vektorit hapësinor. Siç shikohet nga ekuacioni (3-114) në rastin kur pështjellën simetrike trefazore kalon një sistem simetrik rrymash trefazore (e cila përmban vetëm
64
komponenten e renditjes së drejtë) vektori hapësinor i rrymës 1i është i barabartë fazorin kompleks të fazës A dhe rrotullohet në hapsirë me amplitudë kostante në sensin pozitiv më shpejtësi sinkrone (fig.3-10).
si
Fig3-13 Gjurma e vektorit hapsinor ne regjimin asimetrik
Vija (gjurma ) e këtij vektori është një rreth me rreze 32
jI ec . Duke analizuar ekuacionin (3-
114) diagrama e vektorit hapësinor dhe atij fazor në një regjim të vendosur janë indentike kur në pështjellën tre-fazore të makinës asinkrone kalon një burim simetrik rrymash tre-fazore. Në rastin kur përdoret forma asimetrike të vektorit hapsinor, moduli i tij është i barabartë me amplitudën fazore të rrymës. Përves kësaj nga ekuacioni (3-114) nxjerrim dhe një konkluzion që fusha magnetike rrotulluese e cila rrotullohet në drejtimin pozitiv me shpejtësi këndore krijohet nga kontributi i pështjellave fazore të cilat janë të zhvendosura me këndin 2/3 grad elektrik të cilët kalojnë një rrymë e zhvendosur në kohë me të njëjtin kënd 2/3.
3.12 Madhësia e vektorit hapësinor të rrymës në një regjim të vendosur të një sistemi asimetrik.
Fillimisht marrim rastin kur një pështjellë simetrike tre-fazore e ushqejmë me një sistem rrymash tre-fazore sinusoidale të renditjes së kundërt. Vlera e çastit e rrymave fazore do të jenë:
'
'' ' ( ) ( ')
( ) cos( )2
j t j ta t
Ii I t e e (3-116)
)'t(j)t(j'''
)t(b eeI
)tcos(Ii'
3
2
3
2
23
2
(3-117)
)'t(j)t(j'''
)t(c eeI
)tcos(Ii'
3
4
3
4
23
4
(3-118)
ku:
I’ është amplituda e fazës
është frekuenca kendore.
’ këndi i fazës
Duke i zëvendësuar ekuacionet (3-116)-( 3-118) në ekuacionin (3-36) vektori hapësinor i rrymës trefazore do të jetë:
22
3322
2
311
2
~tj)t(j
')t(j)t(j
'
ieIec
I)aa(e)aa(e
c
Ii
'' (3-119)
65
ku me yll shënohet kompleksi i konjuguar:
2
2
3Ie
c
I 'j'
(3-120)
N.q.s 'I I , dhe ' (ku I dhe janë amplituda dhe faza fillestare e komponentet e
rënditjes së drejtë ndërsa I’ dhe janë amplituda dhe faza fillestare e komponente të renditjes
së kundërt) në bazë të ekuacioneve (3-119) dhe (3-120) kemi që ~
2 1i i
dhe ky vektor rrotullohet në hapsirë në drejtim të kundërt. Përgjithësisht 'I I , dhe ' , kështu që në një pështjellë e cila kalon një sistem rrymash simetrike të lidhjes së kundërt atëherë vektori
hapësinor i rrymës 2i është indentik me të konjuguarën e vektorit simbolik fazor i renditjes së
kundërt të fazës ”a” ( 2
~
i ) i cili rrotullohet me shpejtësi kostante në hapsirë në drejtimin negativ. Edhe në këtë rast gjurma që përshkon vektori është një rreth (fig.3-14). Kështu që si vektori simbolik fazor i komponentes së renditjes së drejtë dhe vektori simbolik fazor i rrymave të renditjës së kundërt rrotullohen në drejtimin pozitiv në planin kompleks, ndërsa në planin kompleks të hapsirës vektori hapësinor i rrymave të renditjes së kundërt rrotullohet në drejtimin negativ.
2i
Fig3-14 Gjurma e vektorit hapsinor ne regjimin asimetrik (Komponentja e kundërt)
Në regjim të vendosur në rasti e një asimetrie ku pështjella trefazore simetrike ushqehet me një sistem trefazor rrymash i cili përmban si komponenten e renditjes së drejtë dhe atë të renditjes së kundërt vlerat e castit të rrymave të fazave janë: ' '
( ) cos( ) cos( )a ti I t I t (3-121)
' '( )
2 2cos( ) cos( )
3 3b ti I t I t (3-122)
' '( )
4 4cos( ) cos( )
3 3a ti I t I t (3-123)
duke zëvendësuar ekuacionet e mësipërme te ekuacioni (3-36) përcaktojmë vektorin hapësinor:
'( ) ' ( )
1 2 1 2 1 23
2j t j t j t j ti Ie I e I e I e i i i i
c
(3-124)
ku :
1 32
jII ec (3-125)
''
2 32
jII ec (3-126)
66
Siç shikohet vektori hapësinor i sistemit asimetrik trefazor është i barabartë me shumën e
vektorëve hapësinor të rënditjes së drejtë dhe të renditjes së kundërt. 1I dhe 2I janë komponetet simetrike fazore të renditjes së drejtë dhe asaj të kundërt. Këto shprehje përdoren më shumë raste për analizën e një sistemi trefazor asimetrik në një regjim të vendosur. Pra vektori hapësinor rezultant i rrymës është e barabartë me shumën e vektorëve simbolik fazorë
të renditjes së drejtë dhe të konjuguarës të vektorit fazorë të renditjes së kundërt 2i . Një
system asimetrik rrymash do të krijojë një fushë eliptike dhe gjurma e vektorit hapësinor do të jetë një elips. Në fig. 3.15 është treguar vija e mbyllur që përshkon vektori hapësinor i rrymës, gjithashtu është treguar dhe vektorët simbolik fazor të renditjes së drejtë dhe të kundërt,
2 1 i~
,i~
. Për ndërtimin e gjurmës së vektorit hapësinor rezultant (fig. 3.15) fillimisht vendosen
vektorët simbolik fazor 2 1 i~
,i~
, siç u theksua më lartë ato rrotullohen në të njëjtin drejtim me
shpejtësinë këndore . Vektorët hapësinor korespondues 1 2( , )i i përcaktohen duke përdorur
shprehjet 2 1i i dhe 2 2i i
ku 2i rrotullohet në drejtimin e kundërt ( negative ) me shpejtësi
këndore .
1 1i i
2i
2 2i i
1 2si i i
Fig. 3.15 Grafiku i vektorit hapesinor ne sistemin asimetrik
Vektori hapësinor rezultant gjendet si shumë e të dyjave nga ku ndërtohet dhe elipsi. Aksi i
madh i elipsit përcaktohen në drejtimin 2/)( 'φφ dhe aksi i vogël përpendikular me të. Për
një kohë të caktuar kur 1i dhe 2i janë në një drejtim shuma e tyre do të japë një vector,
madhësia e të cilit është sa gjysma e aksit të madh të elipsit. Pas një çerek periode 1i dhe 2i janë të zhvendosur nga aksi i madh i elipsit me këndin 900 dhe këta vektorë janë në kahje të kundërt me njëri tjetrin. Vlera absolute e diferencës së këtyre vektorëve jep ose është sa
gjysma e diametrit ( aksit ) të vogël të elipsit. Në qoftëse 2 0i , vija që do të përshkojë
vektori hapësinor do të jetë përsëri një rreth. Në rast 1 2I dhe ' atëherë gjurma e
vektorit hapësinor do të jetë një vijë e drejtë ku moduli i saj ndryshon në lidhje me kohën dhe
drejtimi i saj përcaktohet 2/)( 'φφ . N.q.se 1 2I dhe 'φφ grafiku i vektorit hapësinor
përsëri do të jetë një vijë e drejtë i cili rrotullohet në drejtimin pozitiv nga aksi real me këndin
2/)( 'φφ . N.q.s. rryma në ndonjërën nga fazat është zero përsëri vektori hapësinor do të përshkruajë një vijë e drejtë që kryqëzohet me sistemin e referimit. Në këtë mënyrë sigurohemi që projeksioni i vektorit hapësinor në aksin e fazës A’ është zero, dhe kjo vijë
67
është joaksial me aksin imagjinar siç është treguar në fig.3.16 për fazat e tjera janë treguar në fig 3.17 dhe fig. 3.18.
sB
sC
isC=0
sA
Fig. 3.18 Grafiku i vektorit hapsinor n.q.s rryma e fazes C te statorit eshte zero
3.13 Vektorët hapësinor i tensioneve dhe rrymave lineare në një sistem trefazor.
3.13.1 Sistemi i lidhur në yll.
Në fig. 3.19 është paraqitur një system simetrik trefazor i lidhur në yll dhe tensionet fazore ( , , )A B Cu u u dhe tensionet lineare ( , , )AB BC CAu u u vektori hapësinor i tensionit të linjës
përcaktohet njëlloj si te vektorët hapësinor që kemi gjetur deri më tani: psh. forma asimetrike është:
23( ) ( ) ( )
2f A B Cu u t au t a u t (3-127)
Ku ( ), ( ), ( )A B Cu t u t u t dhe ( ), ( ), ( )AB BC CAu t u t u t janë vlerat e çastit të tensioneve fazore dhe
lineare. Është e mundur të ndërtojmë një marrdhënie midis vektorit hapësinor të tensioneve lineare dhe atij fazore. Për këtë fillimisht vlerat e çastit të tensioneve lineare i shprehim me vlerat e çastit të tensioneve fazore.
BAu ACu
CBu
sAu
sBu
sCusA
sB
sC
fu
3l pu j u
Fig. 3.19 Sistemi trefazor simetrik ne yll Fig. 3.20 Vektori hapsinor i tensioneve lineare dhe fazore
Atëherë kemi: ( ) ( ) ( )CB sC sBu t u t u t (3-127)
( ) ( ) ( )AC sA sCu t u t u t (3-128)
( ) ( ) ( )BA sB sAu t u t u t (3-129)
68
Duke zëvendësuar ekuacionet e mësipërme në atë (3-127) vektori hapësinor i tensioneve lineare do të shprehet
2 23( )( )
2L SA SB SCu a a u au a u (3-130)
Duke bërë thjeshtime kemi
3L fu j u (3-131)
Ku:
23( )
2f SA SB SCu u au a u (3-132)
fu është vektori hapsinor fazor i tensioneve. Siç shikohet nga ekuacioni ( 3-131 ) vektori hapësinor i tensioneve lineare mbetet mbrapa me 900 me vektorin hapësinor të fazave dhe
moduli i tij është 3 herë më e madhe se se ai fazor. Vlera e çastit e tensioneve lineare mund të shprehet në termat e vektorit hapësinor lineare si dhe në vektorin hapësinor fazor të
tensioneve. Në këtë rast pjesa reale e Lu ku ky është përcaktuar nga (3-131) dhe duke patur parasysh ekuacioni (3-100 ) kemi:
( ) Re( ) Re( 3 ) 3 ( )L f fAu t u j u m u (3-133)
Në te njëjtën mënyrë veprohet dhe për fazat e tjera vetëm me ndryshimin se vektorët hapësinor përkatës të tensioneve lineare duhet të rrotullohen me operatorët hapësinor a2 dhe a dhe pjesa reale gjendet si më poshtë:
2 2 2Re Re( 3 ) 3 ( )L f fB mu t a u ja u I a u (3-134)
Re Re( 3 ) 3 ( )L p fC mu t au ja u I au (3-135)
Në fig.3.20 është paraqitur vektori hapësinor linear dhe fazor të tensioneve në një sistem trefazor i lidhur në yll. Duke patur parasysh ekuacionet (3-133) - (3-135) si dhe fig.3.20 këndi midis aksit imagjinar dhe vektorit hapësinor fazor është i barabartë me këndin që është këndi midis aksit real dhe vektorit hapësinor të tensioneve lineare. Vektori hapësinor linear përftohet nga vektoi hapësinor fazor i rrotulluar me 090 në drejtim të akrepave të orës dhe
moduli i tij i shumëzuar me 3 . Në sistemin trefazor i lidhur në yll vektori hapësinor fazor
dhe ai linear i rrymës janë të barabartë L fi i .
3.13.2 Sistemi trefazor në trekëndësh.
Duke përdorur të njëjtat rrugë dhe konsiderata si në paragrafin e mëparshëm është e mundur të krijojmë një marrdhënie midis vektorit hapësinor të rrymave lineare me atë fazore në rastin e një sistemi simetrik trefazor të lidhur në trekëndësh. Vlerat e çastit të rrymave fazore i shënojmë sCsBsA i,i,i dhe ato lineare CBA i,i,i . Vektori hapësinor linear linear i rrymave është:
221 ( ) ( ) ( )
3L sA sB sCi i t ai t a i t (3-136)
Marrdhënia midis vektorit të vektorëve hapësinorë fazor dhe linear mund ta gjejmë duke shprehur vlerat e castit të rrymave lineare me ato fazore.
( ) ( )A sB sCi i t i t (3-137)
( ) ( )B sC sAi i t i t (3-138)
( ) ( )C sA sBi i t i t (3-139)
69
duke zëvendësuar ekuacionet ( 1.6-12) - ( 1.6-14) në ekuacionin ( 1.6-11) përcaktojmë :
223 ( ) ( ) ( ) 3
3L fsA sB sCi j i t ai t a i t j i (3-140)
Ku pi është vektori hapësinor fazor i rrymës i cili është i barabartë me shprehjen:
221 ( ) ( ) ( )
3f sA sB sCi i t ai t a i t (3-141)
Siç shikohet dhe nga ekuacioni 3-140vektori hapësinor linear i rrymës mbetet mbrapa me
këndin 90 me vektorin hapësinor fazor dhe moduli i tij shumëzohet me 3 . Vlera e çastit lineare mund të shprehen në termat e vektorit hapësinor fazor të rrymës . Në bazë të ekuacioneve (3-140) dhe (3-141) gjejmë vlerat e çastit lineare :
Re Re 3 3A L f fmi t i j i I i (3-142)
2 2 2Re Re 3 3B L f fmi t a i ja i I a i (3-143)
Re Re 3 3A L f fmi t ai ja i I ai (3-144)
Siç shikohet janë shprehje të njëjta me ekuacionet (3-133)-( 3-135).
Fig. 3.21 Sistemi trefazor simetrik ne trekendesh
3.14 Fuqia e castit, Energjia Magnetike e Rezervuar, Energjia Mekanike dhe Momenti Elektromagnetik.
Fuqia e çastit, Energjia Magnetike e Rezervuar, Energjia Mekanike dhe Momenti Elektromagnetik do të trajtohen për sistemin tre dhe dy fazor në termat e madhësive fazore dhe vektorëve hapësinor.
3.14.1 Fuqia e çastit
Në një sistem trefazor fuqia e castit në hyrje është me shumën e fuqive të çastit të secilës fazë. Pra: titutitutitutp ccabaa (3-145)
ku ti,tu,ti,tu,ti,tu ccabaa janë vlerat e çastit të rrymave dhe tensioneve të sistemit
trefazor. Ato mund të ndryshojnë në mënyrë arbitrare të cilët mund të përmbajnë dhe harmonika të rendeve të larta. Vektorët hapësinor të tensioneve dhe rrymave i përcaktojmë si më poshtë:
221 ( ) ( ) ( )
3 a b cu u t au t a u t (3-146)
221 ( ) ( ) ( )
3 a b ci i t ai t a i t (3-147)
70
Në rast se sistemi trefazor përmban dhe komponenten nuleare të rrymës dhe tensionit atëherë ato i përcaktojmë:
0
1( ) ( ) ( )
3 a b cu t u t u t u t (3-148)
0
1( ) ( ) ( )
3 a b ci t i t i t i t (3-149)
Në bazë të ekuacioneve të mësipërme fuqinë e çastit e llogarisim në termat e vektorëve hapësinor të rrymës dhe tensionit:
0 0 0 0
3 3Re 3 Re 3
2 2p u i u i u i u i
(3-150)
Duhet theksuar se në rastin e një makine elektrike (psh makinës asinkrone) ekuacionet (3-150)
korrespondojnë me fuqinë në hyrje të statorit dhe në këtë rast u , i janë vektorët hapësinor të rrymës dhe tensionit të statorit dhe 00 i,u janë vlerat e çastit të renditjes nuleare të tensionit
dhe rrymës në stator. Në qoftë se në një regjim të vendosur një pështjellë trefazore simetrike ushqehet me një sistem tre-fazor asimetrik ku :
'( ) 1 22 cos( ) 2 cos( )a tu U t U t (3-151)
'( ) 1 2
2 22 cos( ) 2 cos( )3 3b tu U t U t (3-152)
'( ) 1 2
4 42 cos( ) 2 cos( )3 3c tu U t U t (3-153)
Dhe vlerat e çastit të rrymave tre-fazore asimetrike do të jenë:
'( ) 1 1 2 22 cos( ) 2 cos( )a ti t t (3-154)
)tcos()tcos(i ')t(b 3
22322 2211
(3-155)
)tcos()tcos(i ')t(c 3
42342 2211
(3-156)
Atëherë siç u tregua në ekuacionin (3-124), vektorët hapësinor të rrymës dhe tensionet do të kenë formën
1 2( ) ( )'1 22 2j t j tu U e U e u u (3-157)
*)t(j')t(j i~i~eei 2 1 2211 22 (3-158)
Ku 1 2 2 2, , ,u u u i janë vektorët simbolik fazor të renditjes së drejtë dhe të kundërt të rrymës
dhe tensionit. Duke zëvendësuar ekuacionet (3-157) dhe (3-158) në ekuacionin (3-150) dhe duke patur parasysh që nuk ekziston komponentja nulare fuqia në hyrje është e barabartë:
**1 2 1 2
3 3( )
2 2e ep R u i R u u i i
(3-159)
të cilët e përfundojnë në dy terma:
1 1 2 2 1 2 2 1
3 3Re( ) Re( )
2 2p u i u i u i u i
(3-160)
Termi i parë paraqet produktin e rrymave dhe tensioneve të të njëjtës koponente 1 1 2 2u i u i
dhe termi i dytë përmban produktin e tensioneve dhe rrymave të komponenteve të ndryshme
1 2 2 1u i u i
. Vektorët simbolike fazorë të renditjes së drejtë dhe të kundërt të rrymës dhe tensionit në bazë të ekuacioneve (3-157) dhe (3-158) kemi:
1
~( )
1 2 j tu Ue (3-161)
71
1
~( )'
2 2 j tu U e (3-162)
1 1( ) 1 2 j ti e (3-163)
1 2( )' 2 2 j ti e (3-164)
Duke zëvendësuar ekuacionin ( 1.7-20 ) tek ekuacioni ( 1.7-16) kemi:
' '
1 2
' '1 2 2 1 2 1
( cos cos )3
cos(2 ) cos(2 )
UI Up
UI t U t
(3-164/1)
Siç shikohet nga ekuacioni (3-164/1) termi i parë përmban dy komponente të pavarur nga koha. Këto komponente janë fuqitë mesatare të renditjes së drejtë dhe të kundërt të cilët shprehen si më poshtë: 1 13 cosP UI (3-165)
' '2 23 cosP U I (3-166)
Nga analiza e bërë në një regjim të vendosur vlera e fuqisë së çastit në një sistemi simetrik rrymash është konstante. Në një sistem asimetrik krijohet gjithashtu dhe komponentja p2 e rënditjes së kundërt por përveç dy komponente 21 p,p invariante me kohën krijohen dhe dy komponente që ndryshojnë me 2-fishin e frekuencës këndore .
3.14.2 Fuqia e çastit në një makinë elektrike në të cilën kalon rrymë si në stator dhe rotor.
Në një makinë simetrike trefazore ku statori dhe rotori janë ushqyer elektrikisht vlera e çastit e fuqisë në hyrje është e barabartë me shumën e fuqisë së statorit )p( s dhe rotorit pr:
* *3
Re( )2
s s r rs rp p p u i u i (3-167)
Ku ,s r
u u dhe rs i,i janë vektorët hapësinor të statorit dhe rotorit, dhe ato janë shprehur në
sistemet e tyre të referimit. Kështu që vektori hapësinor të madhësive të statorit janë shprehur në sistemet e referimit të palëvizshëm në stator si dhe vektor hapësinor i rotorit është shprehur në sistemet e referimit të palëvizshëm në rotor. Përcaktimi i fuqisë së statorit, është e mundur të llogaritet me anë të vektorit hapësinor të rrymës dhe tensionit të statorit të shprehur në çdo sistem referimi. Transformimi në sistemin e ri të referimit nuk ndryshon modulin e vektorit hapësinor gjithashtu dhe këndi fazor ndërmjet rrymës dhe tensionit në stator mbetet i
pandryshueshëm. E njëjta gjë thuhet edhe për fuqinë e rotorit *3
Re( )2
r rrp u i kështu që
ekuacioni (3-167) mund të shkruajmë:
* ' '*3
Re( )2
s s r rp u i u i (3-168)
Ku 'ru dhe
'*ri janë vektorët hapësinor të rrymës dhe tensionit në sistemin e referimit të
palëvizshëm në stator. Këta dy vektorë përcaktohen nga ekuacioni ( 3-87 ) dhe ( 3-88 )
respektivisht ' j rr ri i e ,
' j rr ru u e dhe r është këndi midis aksit real të sistemit të referimit
në stator me aksin real të sistemit të referimit në rotor.
3.14.3 Fuqia aktive dhe reaktive
72
Në një regjim të vendosur në një sistem simetrik trefazor, ku mungon komponentja e renditjes
nuleare fuqia e plotë mund të shprehet në termat e vektorëve hapësinor të )i,u( si:
*iuS 2
3 (3-169)
Komponentja reale e S jep fuqinë aktive:
*3
Re( ) Re( )2
P S ui (3-170)
i cili për sistem simetrik trefazor jepet:
1
3Re 2 2 3 cos
2j u j ip U e I e UI (3-171)
Ku cos1 është koeficienti i fuqisë. Duhet theksuar se ekuacioni i (3-171) është e njëjtë me fuqinë që jep komponentja e renditjes së drejtë (3-165). Komponentja imagjinare e S jep fuqinë reaktive e cila përcaktohet me shprehjen:
*3
Im( ) ( )2
Q S m u i (3-172)
Ku për një sistem simetrik trefazor rrymash dhe tensionesh është:
1
3( ) 3 sin
2Q u i UI (3-173)
Në ekuacionin (3-171) dhe (3-173) 1 u i ku u, i janë fazat fillestare të tensionit dhe
rrymës. N.q.s. sistemi përmban dhe harmonikën e rendeve të lartë, fuqia aktive mund të shprehen me ekuacionin (3-171), por si shumatore e pjesëve reale të çdo harmonike.
3
Re ( ) Re 3 cos2
k kP S u i U Ik k k k
(3-174)
Në ekuacionin (3-174) ku , ki janë vektorët hapësinor të tensionit dhe rrymës të harmonikës k. Këto mundet të përcaktohen me anën e analizës Furie për sistemin trefazor të rrymës dhe tensionit cba u,u,u dhe cba i,i,i . Në ekuacionin (3-174) ,k kU I janë vlerat efektive të
harmonikës k të tensioni dhe rrymës dhe k është faktori i fuqisë. E njëjta gjë mund të fitohet
dhe fuqinë reaktive:
*
1 1 1
33 sin
2
n n n
k k k k k kk k k
Q m S m u i U I
(3-175)
3.14.4 Energjia magnetike e rezervuar në makinat elektrike.
Në këtë kapitull do te trajtohet shprehja e Energjise Magnetike e Rezervuar ne makinat elektrike tre-fazore me hapsiren ajrore uniforme. Për të gjithë tipet e makinave elektrike shnderrimi i energjise behet me anë të levizjes rrotulluese. Energjia elektrike qe merr makina nga rrjeti EE, një pjesë e saj do të mbulojë humbjet e energjisë elektrike në stator dhe rotor (Eeh ), një pjesë për të ndryshuar energjike magnetike të fushës (Eer) dhe pjesa tjetër për mbulimin e energjisë mekanike në dalje Eem. Nga sa thame më sipër kemi : E eh er emE E E E (3-176)
siç shikohet dhe nga ekuac. (3-176) ndryshimi i energjise magnetike të rezervuar të fushës është e barabartë me fuqinë në hyrje minus humbjet në rotor dhe stator si dhe fuqine mekanike. Duke marre parsysh ekuacionin (3-167) kemi:
73
' '3
Re( )2
ers s r r
dEe i e i
dt
(3-177)
ku :
s
sd
edt
(3-178)
është vektori hapësinor i f.e.m te induktuar në pështjellën e statorit të makinës e shprehur në sistemin e palëvizshëm të fiksuar në stator i cili krijohet për shkak të ndryshimit të vektorit
hapësinor ( )s . Në rast se rotori është i palëvizshëm vektori hapësinor i f.e.m te induktuar ne rotor i shprehur ne sistemin e palëvizshëm në stator do të jetë:
'r
rd
edt
(3-179)
I cili krijohet nga vektori hapësinor i fluksit reciprok te rotorit )('r kur shpejtesia e
rrotullimit te tij eshte zero ( 0 ). Në bazë te ekuacione (3-177).- (3-179) ndryshimi i energjisë magnetike të rezervuar të fushës është:
'
'3Re( )
2s rer
s rdE d d
i idt dt dt
(3-180)
Kështu që ndryshimi i energjise magnetike e rezervuar në fushë do të jetë:
'
'3Re( )
2s r
s rer
d ddE i i dt
dt dt
(3-181)
dhe integrimi i ekuac. (3-181) jep energjine magnetike të rezervuar.
3.14.5 Fuqia mekanike që zhvillon makina asinkrone
Ndryshimin e energjisë mekanike në makinën elektrike mund ta përcaktojmë nga ekuacioni (3-176): em E eh erdE dE dE dE (3-182)
ku në bazë të ekuacionit (3-167) në makinat elektrike në përgjithësi, në pështjellat e rotorit dhe statorit kalojnë rrymë elektrike, ndryshimi i energjisë elektrike mund të shprehet dhe në termat e vektorëve hapësinor të rrymës dhe tensionit të rotorit dhe statorit respektivisht:
3Re
2s s r rE Es ErdE u i u i dt dE dE
(3-183)
duhet theksuar se që ekuacioni (3-183) është nxjerrë duke patur parasysh që fuqia e çastit është e barabartë me derivatin e parë ne lidhje me kohen e energjise elektrike. Në këtë mënyrë
në ekuac.(3-183) termi 3 Re2 s sEsdE u i dt
dhe 3 Re2 r rErdE u i dt
janë ndryshimet e
energjisë elektrike në stator dhe rotor. Kjo është e vleshme në çdo sistem referimi pasi transformimi i vektorit hapësinor në një system të ri referimi moduli i tij nuk ndryshon si dhe
me transformimin në sistemin e ri këndi midis vektorëve hapësinor su dhe si të statorit si
dhe ru dhe ri nuk ndryshojnë. Kështu është e mundur që ekuac. (3-183) të rishkruhet si më poshtë:
' '3Re
2s s r rE Es ErdE u i u i dt dE dE
(3-184)
74
ku 'ru dhe
'ri jane vektoret hapësinore te tensionit dhe rrymes te rotorit ne sistemin e referimit
të palëvizshëm në stator. Në makinat elektrike jo e gjithë fuqinë që merr nga rrjeti ia jep ngarkesës ( mekanizmit ) por një pjesë e saj shkon për të mbuluar humbjet. Humbjet në makinat elektrike i klasifikojmë në;humbjet elektrike për shkak të kalimit të rrymës në pështjella; humbjet magnetike për shkak te histerezis dhe rrymave fuko; humbjet për shkak të fërkimit në kuzhineta dhe me ajrin. Për thjeshtësi do të marrim parasysh vetëm humbjet elektrike në pështjella të cilët do të jenë:
2 23 ( )2 s reh s rdE i R i R dt (3-185)
ku sR dhe rR jane rezistencat aktive të pështjellave të statorit dhe rotorit. Ekuacioni (3-185)
mund të shkruhet dhe në një formë tjetër ku moduli i vektorit hapësinor te rrymës se rotorit
ri është i njëjtë me vektorin hapësinor të rrymës së rotorit në sistemin e palëvizshem të
fiksuar në stator 'ri
22 '3
2 s reh s rdE i R i R dt
(3-186)
duke zëvendësuar ekuacionet (3-180), ( 3-183), dhe (3-186) në ekuac. (3-182) ndryshimi i energjisë mekanike mund ta shprehim si më poshte:
'22 * '* ' ' *' 3Re( ) Re Re( ) Re dt
2s r
s s s s r r rem s r r
d ddE u i R i i u i R i i
dt dt
(3-187)
Në sistemin e palëvizshëm vektori hapësinor i tensionit su është i barabartë me rënien e
tensionit në rezistencën aktive të statorit ss iR si dhe me ndryshimin e vektorit hapësinor të
fluksit të plotë të statorit sddt
. Pra;
sss s
du R i dt (3-187/1)
Siç shikohet nga ekuacioni (3-187) shuma e tre termave të parë është zero, kështu që ndryshimi i energjisë mekanike do të jetë:
2 '' ' * ' ' *
mek3 Re( ) Re dt p dt 2
rr r r rem rddE u i R i i dt
(3-188)
ku mekp është fuqia mekanike e çastit. Vektori hapësinor i tensionit të rotorit i shprehur ne
sistemin e referimit të palëvizshëm në stator ru është e barabartë me;rënien e tensionit në
rezistencën aktive në pështjellën e rotorit ('rrR i ); me ndryshimin e fuksit të plotë të rotorit
'rddt
si dhe me komponenten e f.e.m për shkak të rrotullimit të rotorit ('
r rj ). Pra :
'' 'rr rr r r
du R i jdt (3-188/1)
Vektori hapësinor në sistemin e palëvizshëm i komponentes së fundit është e barabartë me '
r rj e cila krijohet nga fakti që rotori rrotullohet me shpejtësi këndore r , në drejtimin
pozitiv ( nga faza sA e statorit në fazën ra të rotorit). Në bazë të ekuac.( 3-188) dhe duke pasur parasysh që *
rr'r
'r ii * kemi që vlera e çastit e fuqisë mekanike mund të shprehet :
75
' * ' * '' ' '3 3 3Re( ) Im( )2 2 2em r r rmek r r r r r r
dEp j i i idt (3-189/1) ' * '' '3 3 3 3( ) Im( )2 2 2 2r r r rmek r r r e r r r r rp i R j i i i
(3-189/2)
Në bazë të ekuac (1.7-50) fuqia mekanike e çastit e cila është e barabartë me shkallën e ndryshimit të energjisë mekanike, është e barabarte produktin vektorial të vektorit hapësinor të fluksit të plotë dhe rrymës së rotorit shumëzuar me shpejtesinë këndore r dhe një konstante 3/2. Nga sa theksuam më lartë është e mundur që ekuacioni (3-188) mund të shprehet me anë të vektorëve hapësinore në sistemin e referimit të fiksuar në rotor. Ajo do të ketë formën:
'2 2' '* ' '* * *3Re( ) Re Re( ) Re dt
2s r
s s s s r r r rem mek s r
d ddE p dt u i R i i u i R i i
dt dt
(3-190)
Siç shikohet ne ekuacionin. 3-190 vektoret hapësinor te statorit jane shprehur në sistemin e referimit në rotor kështu që ato mund të shprehen në termat e vektoreve korrespondues
hapësinor në sistemin e palwvizshem duke pwrdorur ek .(3-85) - (3-87) ku ,
rjs si i e ,
'rj
s su u e , ,
rjs se
. Kështu që në sistemin e referimit të rotorit, vektori hapësinor i
tensionit të statorit duhet te ballancohet me shumën e vektorit hapësinor të rënieve të tensionit
(,ss iR ), ndryshimin evektorit hapësinor të fluksit të statorit (
,
sddt
) dhe vektorit hapësinor
të tensionit ,
r sj e cila shkaktohet për shkak te rrotullimit të sistemit referues. Në bazë të
llogjikes së mësipërme kemi që tre termat e parë në anën e djathtë e ekuacionit të mësipërm
janë , ,3 Re(2 sr sj i
). Vektori hapësinor i tensionit të rotorit në sistemin e referimit në rotor
duhet te ballancohet vetëm nga dy termat, vektorin hapësinor të rënieve të tensionit në
rezistencen omike ( rr iR ) dhe ndryshimit të vektorit hapësinor të fluksit të plotë të të rotorit
rddt
. Nga kjo rrjedh qe tre termat e parë të anës së djathtë japin zero. Duke marrë në
consideratë këtë përfundim, ekuacionin e mësiperm mund ta shprehim në formën:
*3 3Re( )2 2
em s smek r s r sdEp j i idt (3-191)
Pra fuqia mekanike e çastit mund të shprehet ne termat e produktit vektorial e vektorit hapësinor te rrymave dhe flukseve te statorit. Njëllojshmëri e ekuacioneve (3-191) dhe (3-189) është për shkak të principit të “ veprim = kundërveprimit“. Duhet shënuar që ekuacioni (3-191) mund të nxirret nga ekuacioni (3-189) në një tjetër mënyrë p.sh në bazë të ekuacionit (3-92) fluksi i plote i rotorit në sistemin e referimit të palëvisshëm në stator është
' 'r sr r mL i L i . Kështu që prodhimi vektorial i fluksit të plotë të rotorit me rrymën e tij do të
jetë ' ' '
r s rr mxi L i i . Në bazë të ekuacionit (3-87) fluksi i plotë i statorit në sistemin e
palëvizshëm '
s rs s mL i L i ku vektori hapësinor i rrymës së statorit është
'r ss s mi L i L . Përfundimisht produkti vektoriali i
' 'rr i do të jetë:
' '' ( )ss sr s r s sr m m s
m
L ii L i i L i i
L
(3-192)
Duhet shenuar qe ekuac. (3-189) dhe (3-191) jane te vlefshme dhe per makinen dy-fazore.
76
3.15 Momenti Elektromagnetik
Do të trajtojmë dy mënyra të ndryshme për nxjerrjen e shprehjes së momentit elektromagnetik e cila është e vlefshme, si për makinat trefazore dhe për makinat dyfazore (makinë dyfazore me akset e fazave të zhvendosura me 90 ), gjithashtu kjo shprehje është e vlefshme si në regjime kalimtare dhe ato të vendosura. Për nxjerrjen e shprehjes së momentit elektromagnetik do të diskutohen dy metoda. Fillimisht, shprehjen e momentit elektromagnetik gjendet duke shfrytëzuar marrdhënien ndërmjet energjisë mekanike që zhvillon makina asinkrone dhe momentit elektromagnetik dhe në rastin e dytë shprehja e momentit elektromagnetik gjendet duke shfrytëzuar ligjin e Amperit.
3.15.1 Nxjerrja e shprehjes së momentit elektromagnetik nga shprehja e energjisë mekanike.
Vlera e çastit e momentit elektromagnetik me e një makine elektrike mund të gjendet direkt nga energjia mekanike duke marrë në konsideratë ndryshimin e energjisë mekanike e cila është e barabartë me fuqinë mekanike. Ndryshimi i energjisë mekanike është e barabartë me produktin e momentit elektromagnetik dhe shpejtësisë këndore të rrotorit r. Si rrjedhim për një makinë me dy pole rmr , ku r dhe rm janë përkatësisht shpejtësitë këndore të
rotorit në radian elektrik dhe në radian gjeometrik ndryshe rm është shpejtësia këndore e rotorit në radian / gjeometrik, pra mund të shkruajmë që :
eme rm mek
dE m pdt (3-193)
Duke shfrytëzuar faktin se rm është e barabartë me derivatin e parë të këndit gjeometrik të
rotorit rmrm
ddt
dhe për një makinë me p çift polesh rmr p , ku r dhe rm janë këndi
elektrik dhe këndi gjeometrik i rotorit ekuacioni (3-193) mund të shkruhet si më poshtë:
eem e rm e rm r
mdE m dt m d d
p (3-194)
Duhet theksuar që rrm p
. Duke parë ekuacionin (3-194) vemë re që ndryshimi i
energjisë mekanike në dalje është i barabartë me produktin e momentit elektromagnetik me me ndryshimin e këndit gjeometrik dr. Kjo është e njëjtë me shprehjen e ndryshimit të energjisë mekanike në sistemet mekanike të transmetimit në të cilët ndryshimi i energjisë mekanike është i barabartë me produktin e forcës me ndryshimin e zhvendosjes mekanike. Gjithsesi, në sistemet rrotulluese forca zëvëndësohët nga momenti dhe zhvendosja mekanike nga zhvendosja këndore. Siç shihet nga ekuacioni (3-194) për një makinë me numër cift polesh “p” momenti elektromagnetik mund të shprehet si:
eme
r
dEm p
d (3-195-a)
Ose duke bërë zevëndësimin dtddt
drr
rr
kemi:
eme
r
p dEm
dt (3-195-b)
Duke ditur se fuqia mekanike jepet me shprehjen:
32
em smek r sdE p idt (3-196)
77
ku s dhe si janë vektorët hapësinorë të fluksit të plotë dhe rrymës së statorit në sistemin
kordinativ të fiksuar në stator. Duke bërë zevëndësimin e shprehjes së mësipërme në ekuacionin (3-195) përftojmë një shprehje të thjeshtë të momentit elektromagnetik në termat e vektorit hapësinor të fluksit të plotë dhe rrymës së statorit e cila jepet si më poshtë
32 se sm p i (3-197)
Në mënyrë të ngjashme mund të nxjerrim dhe shprehjen e momentit elektromagnetik në termat e vektorit hapësinor të fluksit të plotë dhe rrymës së rrotorit
32 re rm p i (3-198)
Duhet theksuar që ekuacionet (3-197) dhe (3-198), janë të vlefshëm si për regjime kalimtare dhe për regjime të vendosura. Momenti elektromagnetik krijohet nga bashkveprimi i fluksit të plotë dhe rrymës së statorit ose nga bashkveprimi i fluksit të plotë dhe rrymës së rotorit. Ngjashmëria ndërmjet ekuacioneve (3-197) dhe (3-198) është për shkak të principit të veprim-kundërveprimit. Shprehjet e dhëna nga ekuacionet (3-197) dhe (3-198) tregojnë momentin elektromagnetik që vepron në rotorin e makinës. Gjithsesi momenti elektromagnetik që vepron në stator mes merret nga ekuacionet (3-197) dhe (3-198) duke bërë ndryshimin e shenjës , në sajë të zbatimit principit të veprimit dhe kundër veprimit, dhe në këtë mënyrë kemi:
rrssees ipipmm 2
3
2
3 (3-199)
Është e rëndësishme të theksojmë se shprehjet e momentit elektromagnetik të nxjerra më lart janë të vlefshme si për makinat e rrymës së vazhduar dhe ato alternative dhe së dyti ato janë të vlefshme si për makinat 3 dhe 2 fazore.
3.15.2 Nxjerrja e shprehjes së momentit elektromagnetik duke zbatuar ligjin e Amperit.
Shprehja e momentit elektromagnetik duke përdorur vektorët hapësinorë në sistemin kordinativ të fiksuar në stator. Është i njohur fakti që momenti mund të shprehet si produkt i forcës me krahun. rfmes (3-200)
Ku r-rrezja dhe f-forca. N.q.s pështjellën e vendosur në statorin e një makine elektrike me dy pole (p=1) dhe me hapsirë ajrore konstante, e mendojmë të përbërë nga një bobinë e cila ka një dredhë të vetme, dhe ku anët e bobinës i shënojmë me a dhe a si dhe duke konsideruar që në dredhë ( bobinë) kalon rryma i, shpërndarja e induksionit të fushës magnetike në periferinë e hapsirës ajrore është drejtkëndore sic tregohet në fig.3.22
Fig.3.22.Induksioni i fushës magnetike në periferinë e hapsirës ajrore
78
Duhet të theksojmë se këndi ndërmjet rrymës i dhe induksionit magnetik është /2 në hapsirë. Në bazë të ligjit të Amperit, forca që vepron në përcjellësit e statorit mund të shprehet: liBf (3-201)
Ku l -është gjatësia e rotorit (gjatësia e pjesës aktive të dredhës).Si rrjedhim duke ditur që rfmes dhe gjithashtu duke zevëndësuar ekuacionin (3-201) tek shprehja e momentit
mund të nxjerrim formën diferenciale të momentit elektromagnetik: ( )esdm rdf r d B i l r B l di (3-202)
Ku df dhe di janë derivati i forcës dhe rrymës. Është me rëndësi të theksojmë se ekuacioni (3-202) ka një zbatim të kufizuar meqënëse është pranuar që induksioni në hapsirën ajrore është konstant. Gjithsesi shumica e makinave të rrymës alternative janë projektuar posacërisht që të krijojnë një fushë magnetike sinusoidale në hapsirës ajrore. Duke qenë se fusha magnetike është sinusoidale, edhe densiteti i rrymës në periferinë e hapsirës ajrore do të jetë sinusoidale. Si rrjedhim densiteti i rrymës mund të përshkruhet nga ekuacioni: cos)( mJJ (3-203)
Ku Jm është vlera maksimale e densitetit të rrymës dhe është pozicioni këndor përreth periferisë. Duhet theksuar se f.m.m është integrali i densitetit të rrymës. Në përgjithësi, shpërndarja e induksionit në hapsirën ajrore nuk është në fazë me shpërndarjen e densitetit të rrymës, dhe mund të shprehet: )cos()( mBB (3-204)
Duke zevëndësuar ekuacionin (3-204) në ekuacionin (3-202) marrim cos( )es mdm rlB di (3-205)
Ku di është rryma elementare e barabartë me shprehjen e mëposhtme ( )di J rd (3-206)
Duke zevëndësuar ekuacionin (3-203) në ekuacionin (3-205) si dhe duke bërë zevëndësimin e shprehjes (3-201) në ekuacionin (3-204) marrim shprehjen e momentit elektromagnetik elementar i krijuar nga kalimi i rrymës elementare di në elementin e marrë në shqyrtim. 2 cos cos( )es m mdm r lB J d (3-207)
Momenti elektromagnetik total i zhvilluar merret duke mbledhur momentet elektromagnetikë elementarë. Si rrjedhim ekuacioni (3-207) duhet të integrohet në kufinj 20 .
2
2 2
0
cos cos( ) coses m m m mm r lB J d r lB J
(3-208)
Gjithsesi është më me leverdi që ta shprehim ekuacionin (3-208) në termat e fluksit të plotë nën një pol dhe rrymës. Duke pranuar një pështjellë trefazore simetrike me numrin e dredhave për fazë sN ,gjithashtu duke pranuar që pështjella është e shpërndarë me një kënd
3r si dhe duke marrë në konsideratë faktin që pështjella trefazore ushqehet nga një
sistem simetrik tensionesh, atëhere vlera maksimale e densitetit të rrymës mund të llogaritet si më poshtë:
3s ws s ws
m
N k i N k iJ
r (3-209)
79
Ku i -është moduli i vektorit hapësinor të rrymës së statorit , wsk është koeficienti i
pështjellës. Në ekuacionin (3-209) s wsW k përfaqëson numrin efektiv të dredhave të statorit
sefW . Meqënëse në përcjellsit efektiv sefW kalon rryma i , atëhere sefW i është forca
magnetomotore totale e përcjellësve te statorit e cila është e përhapur në periferinë ajrore të
barabartë me ku ky kënd është shprehur në radian. Si rrjedhim raporti i sefN i me këndin
jep vlerën maksimale të densitetit të rrymës, njësia matëse e të cilit është A/rad. Moduli i vektorit të fluksit plotë të statorit mund të shprehet në termat e modulit të vektorit të fluksit të statorit:
sws ss k W (3-210)
2mes mes mes mess
DB S B l B l B rl
p
(3-211)
Në ekuacionin (3-211) 2p është numri i poleve që në rastin e marrë në shqyrtim është 2p=2 , ndërsa mesB është vlera mesatare e induksionit të fushës magnetike dhe për një madhësi
sinusoidale kjo vlerë shprehet si :
2
mes mB B
(3-212)
mB - është vlera maksimale e induksionit të fushës magnetike. Si rrjedhim siç shikohet nga
ekuacionet (3-210) - (3-212) vlera maksimale e induksionit të fushës magnetike është:
2
s
ms ws
BW k lr
(3-213)
Kur shprehjet e Jm dhe Bm të dhëna nga ekuacionet (3-209) dhe (3-213) i zevëndësojmë në ekuacionin (3-208),shprehja e momentit elektromagnetik do të ketë formën:
3
cos2
s sesm i (3-214)
Duke ditur se shpërndaja e rrymës është integarali i densitetit të rrymës atëhere vektori hapësinor i rrymës së statorit duhet të jetë pingul me vektorin hapësinor të densitetit të rrymës. Si rrjedhim këndi hapësinor ndërmjet vektorëve hapësinor të rrymës dhe fluksit të
plotë të statorit është 2 . Ku këndin e kemi ndeshur dhe më parë në ekuacionin
(3-204). Këndi -është këndi ndërmjet induksionit të fushës magnetike dhe densitetit të rrymës ose me fjalë të tjera -është këndi ndërmjet vektorit hapësinor të fluksit të plotë të statorit dhe densitetit të rrymës. Për rrjedhojë duke marrë në konsideratë ekuacionin (3-213)
si dhe duke ditur marrdhënien 2 mund të nxjerrim shprehjen e mëposhtme të
momentit elektromagnetik që vepron në stator.
3 3
sin2 2
s s ses sm i i (3-215)
Shprehja (3-213) është e njëjtë me atë të nxjerrë në ekuacionin (3-197) n.q.s p=1. Duke ditur që e esm m atëhere momenti elektromagnetik që vepron në rotor gjendet si :
3
( )2
se es sm m p i (3-216)
80
Sic shikohet nga shprehja e fundit momenti elektromagnetik maksimal zhvillohet kur 2
)1(sin me fjalë të tjera kur vektori hapësinor i fluksit të plotë të statorit është pingul me
vektorin hapësinor të rrymës së statorit. Megjithatë në përgjithsi vektorët hapësinorë s dhe
si nuk janë pingulë.
3.15.3 Shprehja e momentit me anë të vektorit hapësinor të shprehur në sistemin arbitrar dhe në atë të veçantë të referimi.
Në ekuacionin (3-216) 32 se sm i vektorët hapësinor janë shprehur në sistemin e
referimit te palëvizshëm në stator. Sidoqoftë, një shprehje e njëjtë e momentit mund të realizohet në termat e vektorëve hapësinor të shprehur në një sistem arbitrar referimi i cili rrotullohet me shpejtësi g. Kjo realizohet për faktin fizik që ndryshimi i sistemit të referimit, këndi midis vektoreve hapësinor të fluksit të plotë dhe rrymës gjatë transformimit vlera e
këtyre madhësive në sistemin e palëvizshëm të referimit në stator ( s , si ) në sistemin arbitrar
sg , sgi është e njëjtë. Matematikisht kjo realizohet duke perdorur ekuacionin (3-85) dhe (3-
87) në bazë të cilët ss i, mund të shprehen në termat sg , sgi ku gj
sgs e
dhe gj
sgs eii . Në bazë të ekuacionit (3-81), vlera e çastit e momentin elektromagnetike është e barabartë:
sinipipeiepipm sssgsgj
sgj
sgssegg
2
3
2
3
2
3
2
3 (3-217)
Siç shikohet vlera e castit e momentit është propocional me produktin vektorial të vektorit hapësinor të fluksit të plotë dhe të rrymës së statorit ku këta vektorë janë shprehur në sistemin arbitrar. Në bazë të principit veprim-kundërveprim një shprehje e ngjajshme mund të shkruhet në termat e vektorëve hapësinor të fluksit të plotë të rotorit dhe vektorit hapësinor të rrymës së rotorit, ku këta vektorë janë ndërtuar në sistemin arbitrar të referimit. Matematikisht kjo realizohet nga ekuacionet (3-90) dhe duke marrë në konsideratë ekuacionet (3-90) dhe (3-88) ku :
32 rge rgm p i (3-218)
Ku rg rgi janë vektorët hapësinor të fluksit të plotë dhe rrymës së rotorit të shprehur në
sistemin arbitrar të referimit. Në qoftë se sistemi arbitrar është i fiksuar te vektori hapësinor i fluksit të plotë statorit atëherë sistemi i referimit do të rrotullohet me shpejtësinë e vektorit hapësinor të fluksit të plotë të statorit dhe aksi real i tij puthitet me vektorin hapësinor të
fluksit të plotë. Kështu në bazë të ekuacionit (3-217) dhe faktin që 0sgIm momenti
elektromagnetik mund të shprehet:
syssgssgsge ipiImpipm 2
3
2
3
2
3 (3-219)
ku s është moduli i vektorit hapësinor i fluksit të plotë të statorit. Me Im shënojmë pjesën
imagjinare të vektorit hapësinor, dhe sgsy ii Im jep komponenten në aksin y të vektorit
hapësinor të rrymës së statorit i shprehur në sistemin e referimit të fiksuar në vektorin hapësinor të fluksit të plotë të statorit. Kjo komponente e rrymës sipas aksit y është komponentja e rrymës së statorit që krijon momentin. Këtë komponente mund ta prcaktojmë
81
nga vektori hapësinor i shprehur në sistemine palëvzshëm si ne bazë të ekuacionin (3-85) dhe fig2.17 dhe kështu:
Im( ) Im( ) Im( )g sj j
sy sg s si i i e i e (3-220) sQ
y
is
ψs
ρssD
x
sIm( )sgsyi i
Re( )sgsyi i
Fig. 3.23 Sistemi i referimit i orientuar te fluksi hapsinor i statorit
s është këndi ndërmjet vektorit hapësinor të fluksit të plotë të statorit dhe aksit real të
sistemit të palëvizshëm të referimit. Në figurën 3.23 është treguar madhësia e këndit s .
Duke ditur faktin që vektori hapësinor i rrymës së magnetizimit i shprehur në sistemin e
palëvizshëm të referimit (ekuacioni 3-70) ( msi ), është përcaktuar me raportin e vektorit
hapësinor të fluksit të statorit i shprehur në të njëjtën system referimi )( s me induktivitetin e
magnetizimit Lm, nga ku moduli i vektorit të fluksit të plotë të statorit mund të përcaktohet
msms L i dhe ekuacioni (3-219) paraqitet tashmë në formën:
symsmsyse iipLipm2
3
2
3 (3-221)
Në bazë të ekkuacioneve (3-220) dhe (3-221) arrijmë në përfundimin që në qoftë se mbajmë fluksin e statorit kostant, që nënkupton me fjalë të tjera induktiviteti i magnetizimit (Lm) dhe vektori hapësinor i rrymës së magnetizimit të jenë kostant, është e mundur të kontrollohet momenti elektromagnetik i makinës nga komponentja e rrymës së statorit ( syi ). Ky është
principi i kontrollit të makinave të rrymës alternative me ORIENTIM TË FUSHËS SË STATORIT . Duhet shënuar që ekuacionet (3-220) dhe (3-221) janë të njëtat shprehje të momentit elektromagnetik në makinat e rrymës së vazhduar me eksitim të pavarur ku momenti krijohet nga bashkëveprimi i fluksit të pështjellës së eksitimit me rrymën në induktit. Duhet theksuar gjithashtu që si në ekuacionin (3-220) dhe (3-221),e njëjta shprehje duhet ndjekë ekuacioni (3-217) për sistemin e referimit të vecantë (special) ku ai rrotullohet me vektorin hapësinor të fluksit të plotë të rotorit dhe aksi real i tij është koaksial me vektorin hapësinor të fluksit të plotë të rotorit. Në figurën 3.24. është treguar ky sistem referimi. Në këtë rast momenti elektromagnetik është proporcional me modulin e vektorit hapësinor të fluksit të rotorit dhe me komponenten imagjinare të vektorit hapësinor të rrymës së statorit i shprehur në sistemin e fiksuar te vektori hapësinor i fluksit të rotorit. Kjo mund të provohet në baze të ekuacionit të momentit (3-217) dhe shprehjen vektorit hapësinor të fluksit të plotë të rotorit dhe statorit respektivisht të cilët janë dhënë në ekuacionet (3-87) dhe (3-90). Kështu duke zëvendësuar ekuacionin (3-91) në ekuacionin (3-82) kemi që:
82
3 3 3
( )2 2 2
sg sg sg rg sg rg sge s m mm p i p L i L i i pL i i (3-222)
sgi
syisxi
Fig. 3.24 Sistemi i referimit i orientuar te fluksi hapsinor i rotorit
Në bazë të ekuacionit (3-222) momenti krijohet nga produkti vektorial i vektorëve hapësinor të rrymës së statorit dhe rotorit. Synimi është të gjejmë një shprehje të momentit elektromagnetik i cili të përmbajë vektorin hapësinor të fluksit të plotë të rotorit dhe vektorin hapësinor të rrymës së rotorit. Termin vektorit hapësinor të fluksit të induksionit reciprok
rgm iL e shprehim me anë të ekuacionit (3-91) si më poshtë:
( )sgm mrg
rgmr
L i LL i
L
(3-223)
Përfundimisht kemi shprehjen e momentit :
3
2sge rgm p i (3-224)
Kështu që ne sistemin e veçantë të referimit sic është treguar në figurën 3.24 ku rrg
dhe produkti vektorial sgrg i është i barabartë sgr iIm momentin elektromagnetik
mund të shprehet me anë të ekuacionit të mëposhtëm:
sgrr
me iIm
L
Lpm
2
3 (3-225)
Siç shikohet, shprehja e momentit elektromagnetik është e njëjtë me ekuacionin (3-219). Në
ekuacionin (3-225) sgiIm është komponetja e rrymës së statorit i cili krijon momentin e shprehur në sistemin e referimit të fiksuar në vektorin hapësinor të fluksit të rotorit dhe ka një lidhje të caktuar me vektorin hapësinor të rrymës së statorit të shprehur në sistemin e
palëvizshëm si . Në bazë të ekuacionit (3-221) dhe rg ku r është këndi i treguar në
fig 3.24, i cili është këndi i vektorit hapësinor të fluksit të plotë të rotorit dhe aksit real të sistemit të palëvizshëm të referimit kemi që:
Im( ) Im( )rjsy sg si i i e (3-226)
Ekuacionet (3-225) dhe (3-226) janë format bazë për kontrollin e makinës asinkrone me orientim të fluksit të rotorit e cila shpesh referohet dhe si kontroll me orientim fushe (Leonhard 1985). Në qoftë se te ekuacioni (3-226) pranojme induktivitetin e magnetizimit ( mL ) dhe induktivitetin e plotë të rotorit kostant ( mrlr LLL ), duke mbajtur vektorin
83
hapësinor të fluksit të plotë të rotorit kostant, momenti elektromagnetik mund të kontrollohet me ndryshimin e komponentes së rrymës së statorit në aksin imagjinar y të shprehur në
sistemin e referimit i orientuar në vektorin hapësinor të fluksit të rotorit )eiIm( sjs
. Siç shikohet nga ekuacioni (3-226) shprehja është e njëjtë me momentin elektromagnetik që krijon motori i rrymës së vazhduar me eksitim të pavarur, ku momenti elektromagnetik është proporcional me produktin e fluksit që krijon pështjella e eksitimit dhe rrymës në qarkun e induktit. N.q.s përdorim vektorin hapësinor të rrymës së magnetizimit të përcaktuar nga
ekuacioni (3-73) dhe duke nënvizuar që moduli i vektorit hapësinor i fluksit të rotorit r
është e barabartë me produktin e induktivitetit të magnetizimit dhe modulit të vektorit
hapësinor të rrymës së magnetizimit mri , në bazë të ekuacioneve (3-225) dhe (3-226) marrim
formën e momentit:
symrr
me ii
L
Lpm
2
2
3 (3-227)
Gjithashtu mund të përdoret dhe një sistem i veçantë referimi i fiksuar mbi vektorin hapësinor të fluksit të magnetizimit , duke përdorur ekuacionin (3-96). Le të shikojmë shprehjen e momentitn elektromagnetik në sistemin e referimit të theksuar më lartë. Për këtë qëllim ekuacionin (3-219) fillimisht është rishkruar duke përfshirë vektorin hapësinor të fluksit të
magnetizimit shprehur në sistemin e përgjithshëm të referimit si . Në bazë të ekuacioneve (3-91), (3-94) dhe (3-95) nxjerrim që:
mgsgssg iL (3-228)
i cili është një rezultat i pritshëm ku vektori hapësinor i fluksit të statorit është shuma e vektorit hapësinor të fluksit të shpërndarjes dhe vektorit hapësinor të fluksit të magnetizimit. Nga zëvëndësimi i ekuacionit (3-228) në ekuacionin (3-219) përcaktojmë momentin elektromagnetik:
sgmgsgsge ipipm 2
3
2
3 (3-229)
Në bazë të ekuacionit (3-94) në makinat elektrike me hapsirë ajrore uniforme vektori hapësinor i fluksit të magnetizimit është koaksial me vektorin hapësinor të rrymës së
magnetizimit, mgmmg iL , ekuacioni (3-229) sillet në formën e mëposhtme:
3 3
2 2sg mg sge mmgm p i pL i i (3-230)
Meqënëse në sistemin e referimit me orientimin e fluksit të magnetizimit,treguar në Fig.3.25, vektori hapësinor i fluksit të magnetizimit ka vetëm komponenten sipas aksit x, duke patur parasysh që:
mmmg m L i (3-231)
Shprehja e momentit merr formën
3
2m sye mm pL i i (3-232)
ku syi është komponentja e rrymës së statorit e cila krijon momentin elektromagnetik. Këtë
rrymë e kemi gjetur me anë të ekuacionit (3-85) duke përdorur mg , ku r është këndi
84
ndërmjet vektorit hapësinor të fluksit të magnetizimit me aksin real të sistemit të referimit të palëvizshëm, sic tregohet në figurën 2.19, ku : )eiIm()iIm(i mj
ssgsy (3-233)
Siç shikohet nga ekuacioni (3-232) në rast se vektorin hapësinor të fluksit të magnetizimit është kostant, momenti elektromagnetik mund të ndryshohet komponentja e rrymës së statorit. Në këtë princip bazohet kontrolli vektorial me orientimin e fushës së magnetizimit.
Fig. 3.24 Sistemi i referimit i orientuar te fluksi hapsinor i magnetizimit
3.15.4 Shprehja e momentit elektromagnetik në termat e komponenteve të vektorëve hapësinor.
Në paragrafët e mëparshëm, trajtuam shprehjen e momentit elektromagnetik në forma të ndryshme në termat e produktit vektorial e vektorëve hapsinorë. Në këtë paragraf do të japim shprehjen e momentit të cilët përmbajnë komponente vektorëve të ndryshëm hapësinor. Duke ndjekur ekuacionin (3-233) ku momenti elektromagnetik i cili vepron në rotor mund të shprehet në termat e komponenteve të vektorëve hapësinor të fluksit të plotë dhe rrymës respektivisht sipas akseve sD dhe sQ si më poshtë:
3
( )2e sD sQ sQ sDm p i i (3-234)
Ku sQsDs j dhe sQsDs jiii dhe sQsD , , sQsD i,i janë komponentet e vektorit
hapësinor të fluksit të plotë dhe rrymës sipas akseve sD dhe sQ në sistemin e palëvizshëm të referimit. Duhet theksuar fortë se kjo është e vlefshme për çdo regjim, në regjim të vendosur dhe regjim kalimtar. Ekuacioni (3-234) është forma bazë e llogaritjes së momentit elektromagnetik në kohë reale ku komponentet e fluksit të plotë të perdorur në ekuacionin (3-234) janë shumë të lidhur me tensionin e makinës sipas akseve sD dhe sQ dhe kjo bën të mundur përcaktimin e momentit duke përdorur vlerat e rrymës dhe tensionit në pështjella e makinës. Komponentet e vektorëve hapsinor të fluksit të statorit dhe rrymës së statorit janë
respektivisht: sQsDs ji dhe sQsDs jiiii ku i dhe j janë vektorët njësi në akset real
dhe imagjinar, atëherë 3
2ssp i përcakton vektorin e momentit em ,moduli i tij është i
barabartë ssse sinipm 2
3 .
85
Fig. 3.25 Vektori i momentit elektromagnetik
Në fig 3.25 është treguar vektori i momentit ku em është përpendikulare me planin kompleks i kufizuar me vektorët hapësinor të fluksit të plotë të statorit dhe vektorin hapësinor të rrymës së statorit dhe drejtimin e tij me anë të vektorit njësi k. Moduli i vektorit të momentit është i barabartë me sipërfaqja e paralelogramit (siç është treguar në fig.3.25) shumëzuar me kostanten (3/2)p. Momenti elektromagnetik në stator mund të shprehet:
sssQsDsDsQees ip)ii(pmm 2
3
2
3 (3-235)
Kjo shprehje është e ngjajshme me shprehjen e pergjithshme të forcës sinf Bil që vepron në një përcjellës me gjatësi l, në të cilën kalon një rrymë elektrike i ,i vendosur në një fushë elektrike me induksion B dhe përcjellësi lëviz në drejtimin e fushës magnetike. Përdorimi i vektorit të momentit (që tregua më lartë), është e ngjajshëm me perdorimin e vektorit të forcës
(f), i cili përcaktohet me produktin vektorial Bli , ku është këndi midis B dhe l . Produkti vektorial gjithmonë do të jetë përpendikular me planin kompleks që përcaktohet me
vektorët B dhe l . Në qoftë se komponetet e vektorit hapësinor në dy akset shprehen në sistemin e përgjithshëm të referimit ato do ti shënojmë:
sysxsg j (3-236)
sysxsg jiii (3-237)
ku sg dhe sgi janë vektorët hapësinor të fluksit të plotë të statorit dhe vektorët hapësinor të
rrymës së statorit, dhe komponentet e tyre sipas aksit real dhe imagjinar janë shënuar me shënimin x dhe y. Një përcaktim të ngjajshëm realizohet dhe për vektorin hapësinor të fluksit të plotë të dhe të rrymës së rotorit ku mund të shprehen:
ryrxrg j (3-238)
ryrxrg jiii (3-239)
Kur ekuacionet (3-238) dhe (3-239), janë zëvëndësuar në ekuacionin (3-219) momenti elektromagnetik mund të shprehet në termat e komponenteve të fluksit të plotë dhe rrymës së statorit të shprehur në sistemin e përgjithshëm të referimit si:
3 3
( )2 2
rge sx sy sy sxsgm p i p i i (3-240)
Në mënyrë të njëjtë mund të shprehim momentin elektromagnetik në termat e komponenteve të fluksit të plotë dhe rrymës së rotorit të përcaktuar në sistemin arbitrar i cili rrotullohet me shpejtësi g. Ekuacioni i momentit do të jetë si më poshtë:
86
3 3
( )2 2
rge ry rx rx ryrgm p i p i i (3-241)
Nga ekuacionet (3-85), (3-87), (3-236-96) dhe (3-237) dhe duke ditur që komponentet në dy akse të vektorit hapësinor të fluksit dhe rrymës së statorit mund të shprehen në termat e tyre në dy akset të shprehur në sistemin e palëvizshëm të referimit të fiksuar në stator si :
sD sQs j (3-242)
s sD sQi i j i (3-243
komponentet e fluksit të statorit në sistemin e përgjithshëm të referimit në formë matricore si :
sQ
sD
sgsQ
sD
gg
gg
sy
sxT
cossin
sincos (3-244)
ku Tsg është matrica e përgjithshme e transformimit:
gg
ggsgT
cossin
sincos (3-245)
Ky transformim është shumë i rëndësishëm, ai përmban të gjithë matricat tranformuese që perdoren në teorinë e makinave elektrike të cilën lidhen komponentet e çdo madhësie të statorit të makinave të ndryshme (tensionin,rrymën etj.) sipas dy akseve në sisteme të ndryshme referimit. Duhet shënuar që matrica inverse e transformimit Tsg është e barabartë me të transponuarën e tij dhe shprehet:
gg
ggsgT
cossin
sincos1 (3-246)
Kështu mund të përcaktojmë inversin e ekuacionit (3-245)
sy
sx
sgsy
sx
gg
gg
sD
sD T
1
cossin
sincos (3-247)
Njëlloj veprohet dhe për transformimin e rrymës së statorit:
sQ
sDsg
sQ
sD
gg
gg
sy
sx
i
iT
i
i
i
i
cossin
sincos (3-28)
dhe inversi i tij:
sy
sxsg
sy
sx
gg
gg
sD
sD
i
iT
i
i
i
i 1
cossin
sincos
(3-249)
Transformimi ortogonal i madhësive të rotorit ndiqet nga ekuacionet (3-90) dhe (3-88) duke konsideruar që vektorët hapësinor të fluksit të rotorit dhe të rrymës së rotorit mund të shprehen në komponentet në akset në sistemin e tij të referimit në sistemin e përgjithshëm të referimit si:
rg rx ryj (3-250)
ryrxrg ijii (3-251)
dhe në sistemin e referimit në rotor:
r rr j (3-252)
r r ri i ji (3-253)
87
kështu që mardhënia e komponenteve në sistemin arbitrar të përgjithsëm dhe atij të palëvizshem mund të shprehet në formë matricore si më poshtë
r
rsg
r
r
rgrg
rgrg
ry
rxT
)cos()sin(
)sin()cos( (3-254)
ku Trg është matrica e pergjithshme e transformimi të rotorit
)cos()sin(
)sin()cos(
rgrg
rgrgrgT
(3-255)
ku r është këndi i rotorit. Ky transformim është shumë i rëndësishëm, ai përmban të gjithë matricat transformuese që përdoren në teorinë e makinave elektrike të cilën lidh komponentet e madhësive të ndryshme të rotorit në sisteme të ndryshme referimi. Në qoftë se në ek (3-255)
0g dhe madhesitë e rotorit janë shprehur në sistemin e palëvizshëm (të fiksuar në stator),
atëherë inversi i quajtur transformimi komutator T2 përcaktohet ).0(12
grgTT Inversi i
matricës së transformimit Trg është i barabartë me transponuarin e tij, kështu që transformimi invers mund të shprehet:
)cos()sin(
)sin()cos(1
rgrg
rgrg
rgT
(3-256)
kështu që marrdhënia e kundërt e ekuacioneve (1.7-114) është:
ry
rxrg
ry
rx
rgrg
rgrg
r
rT
1
)cos()sin(
)sin()cos( (3-257)
dhe transformimi rrymave të statorit:
r
rsg
r
r
rgrg
rgrg
ry
rx
i
iT
i
i
i
i
)cos()sin(
)sin()cos( (3-258)
dhe matrica inverse
ry
rx
rgry
rx
rgrg
rgrg
r
r
i
iT
i
i
)cos()sin(
)sin()cos(
i
i1
(3-259)
3.16 Përcaktimi i llojeve të ndryshme të makinave elektrike
Përcaktimi i vektorit hapësinor në paragrafët e mëparshëm mund të përdoret për të treguar kushtet e nevojshme për zhvillimin e një momenti elektromagnetik kostant në makinat e ndryshme elektrike. Kështu p.sh nga ekuacioni (3-218) kemi që, në qoftë se moduli i vektorit hapësinor i fluksit të plotë të statorit dhe i vektorit hapësinor të rrymës së statorit si dhe këndi midis tyre ruhet kostant ateherë momenti elektromagnetik i krijuar do të jetë kostant. Në bazë të këtyre kushteve bëhet e mundur “ndërhyrja” në tipet e ndryshme të makinave elektrike për të siguruar një moment elektromagnetik kostant në regjime të vendosura. Mëqënëse ekuacionet e vektorëve hapësinor janë përcaktuar për makinën elektrike me hapsirë ajrore uniforme, analizën po e fillojmë pikërisht me këto makina.
3.16.1 Makina elektrike me hapsirë ajrore kostante.
Supozojmë që në regjimin e vendosur pështjella tre-fazore simetrike e palëvizshme e statorit si dhe pështjella e rotorit (e cila rrotullohet me shpejtësinë e rotorit) ushqehet me një sistem simetrik tre-fazor rrymash me frekuencë këndore 1 dhe 2 respektivisht. Në bazë të
88
ekuacioneve (3-114) dhe (3-115) dhe c=2/3, vektorët hapësinor të rrymës së statorit dhe rotorit në sistemet e tyre të referimit mund të shprehen si më poshtë:
tjs
tjjss eIeeIi s 11 (3-260)
tjr
tjjrr eIeeIi r 22 (3-261)
Në qoftë se rotori rrotullohet me shpejtësi këndore r konstante atëherë këndi i rotorit r, i cili përcakton pozicionin e rotorit në cdo kohë dhe është këndi midis fazës sA të statorit dhe fazës ra të rotorit (fig.3.26).
fig.3.26. Paraqitja skematike e nje makine elektrike.
Shpejtësinë këndore r e përcaktojmë me shprehjen r rd dt dhe për një vlerë kostante
të shpejtësisë këndore të rotorit kemi që : 0r r rt (3-262)
Në ekuacionin (3-262) 0r është pozicioni i rotorit në çastin fillestarë. Mëqënëse hapsirën
ajrore e kemi pranuar të lëmuar dhe uniforme gjatë gjithë gjatësisë së saj induktivitetet vetjake të pështjellave të rotorit dhe statorit janë konstant dhe nuk varen nga pozicioni i rotorit ( r ). Ndërsa induktivitetet reciproke ndërmjet pështjellave të statorit dhe atyre të rotorit varet nga pozicioni i rotorit ( r ) p.sh induktiveteti i fazës sA të statorit dhe i fazës ra të rotorit është i
barabartë me shprehjen cos( )m rL ku mL është induktiviteti i magnetizimit. Duhet shënuar që
në makinat tre-fazore, ky induktivitet shumëzohet me koeficientin (3/2), 32m smL L . Duke
supozuar pështjellën tre-fazore të shpërndarë në mënyrë simetrike induktiviteti reciprok
ndërmjet pështjellave të statorit është: cos(2 / 3) 2 3sm m
s smL LM L . Në bazë të (3-
217) momenti elektromagnetik për një makinë me dy pole është proporcional me sipërfaqen e produktit vektorial të vektorit hapësinor të fluksit të statorit dhe vektorit hapësinor të rrymës së statorit (të cilët janë shprehur në të njëjtën sistem referimi). Ngadonjeherë është më mirë të shprehet këtë ne termat e vektorëve hapësinorë të rrymës së statorit dhe rotorit dhe këndit ndërmjet këtyre dy vektorëve. Në përgjithësi vektori hapësinor i fluksit të plotë të statorit konsiston në një komponente të vektorit hapësinor të fluksit për shkak vetëm të rrymës së statorit dhe një komponente për shkak të rrymës së rotorit. Produkti vektorial i vektorëve kolinearë është zero, kështu që momenti elektromagnetik do të jetë proporcional me produktin vektorial me komponenten e vektorit hapësinor të fluksit të plotë të statorit e krijuar nga rryma e rotorit si dhe vektorit hapësinor të rrymës së statorit. Në ekuacionin (3-217) vektori
89
hapësinor i rrymës së rotorit, ri është shprehur në sistemin e referimit të rotorit. Kështu që në këtë sistem referimi komponentja e fluksit të plotë të statorit e krijuar nga rryma e rotorit
është e barabartë ( rm iL ) . Duke shënuar zhvendosjen e fazës ra të rotorit me fazën sA të
statorit me këndin r , vektori hapësinor i shprehur në sistemin e referimit të palëvizshme,
përcaktohet me shprehjen ,rm
jrm iLeiL r ku
,ri është vektori hapësinor i rrymës së rotorit i
shprehur në sistemin e palëvizshme të referimit në stator. Momenti elektromagnetik është proporcional me produktin vektorial
'
sinrjr s s re m mm L i e i L i i (3-263)
Fig. 3.27 Paraqitja e produktit vektorial '
s ri i
Ku është këndi midis dy vektorëve hapësinor të rrymës. Shihet që momenti elektromagnetik është proporcional me produktin vektorial e vektorëve hapësinor të rrymës së statorit dhe rotorit respektivisht. Produkti vektorial është shprehur në termat e modulit të dy vektorëve hapësinor dhe të këndit () midis tyre. Në fig 3.27 tregohet interpretimi gjeometrik i produktit
vektorial sr ii ,
. Siç shihet dhe nga fig.3.27 produkti sr ii ,
është e barabartë me sipërfaqen e paralelogramit. Duhet theksuar se në ekuacionin ( 1.7-127) të dy vektorët hapësinor janë shprehur në të njëjtin sistem referimi (në sistemin e palëvizshëm). Kështu që shprehja e momentit do të jetë e ngjajshme në qoftë se ai shprehet me të njëtët vektorë hapësinor, por në një sistem tjetër referimi, derisa moduli i vektorëvë nuk influencohet nga ndryshimi i sistemit të refereimit. Edhe këndi midis dy vektorëve do të jetë i njëjtë pasi të dy do të rrotullohen me të njëjtin shpejtësi. Nga ekuacioni (3-263) nxjerrim dhe një fakt shumë të rëndësishëm fizik i cili në makinat elektrike momenti elektromagnetik tenton që aksi fushës magnetike e krijuar nga pështjella e rotorit të bashkohet me aksin fushën magnetike të krijuar nga pështjella e statorit. Momenti elektromagnetik ka vlerën maksimale për =/2. Në bazë të ekuacioneve (3-259) dhe (3-260) të cilët rryma e statorit dhe e rotorit janë marrë
sinusoidale dhe përmbajnë vetëm komponenten pozitve (të renditjes së drejtë) në regjim të
vendosur, ekuacioni (3-263) në qoftë se shumëzojmë me 3/2 përftojmë shprehjen e momentit:
sinIILm rsme 2
3 (3-264)
Ku em është momenti elektromagnetik i cili vepron në rotorin e makinës, sI dhe rI janë
amplitudat e rrymës së statorit dhe rotorit dhe është këndi ndërmjet rrymës së statorit dhe rotorit ose ndryshe këndi i momentit,
90
2 1r r st t (3-265)
Duke zëvendësuar ekuacionin ( 1.7-126) në ekuacionin ( 1.7-129) këndi i momentit shprehet: 2 1 0( )r r s rt (3-266)
Ekuacionet (3-264), (3-265) dhe (3-266) janë shumë të rëndësishëm dhe tregojnë që momenti elektromagnetik është proporcional me amplitudat e rrymës së statorit dhe rotorit si dhe këndit midis tyre. Kështu që momenti elektromagnetik vepron në atë drejtim që këndi hapësinor ndërmjet fushës së statorit dhe rotorit të zvogëlohet. Një shpjegim i thjeshtë i saj është se në rast se do të kemi dy magnetë, njëri i vendosur në stator dhe tjetri në rotor, do të krijohen dy fusha dhe momenti vepron bë drejtimin të drejtojë (afrojë) të dy magnetët. Është shumë e rëndësishme të theksohet që rryma e statorit dhe rotorit përmban vetëm komponentën e rënditjes së drejtë dhe vektorët hapësinor të rrymës së statorit dhe rotorit rrotullohen në drejtimin pozitiv me shpejtësi këndore s 1 . Vektori hapësinor i rrymës së rotorit i
shprehur në sistemin e referimit të rotorit i cili rrotullohet në sensin pozitiv me shpejtësi këndore 2 dhe pozicioni këndor r është i drejtuar nga faza sA e statorit te faza ra e rotorit kështu që rotori do të rrotullohet në kahun pozitiv. Në bazë të ekuacioneve (3-264) - (3-266) shihet që momenti elektromagnetik është funksion i kohës (pra ndryshon me këtë të fundit). Kështu që nga ekuacionet (3-265) dhe (3-266) në mënyrë që momenti elektromagnetik në regjim të vendosur të jetë kostant duhet këndi të jetë kostant. Termat në ekuacionin (3-266) që varen nga koha duhet të jenë zero dhe kjo ndodh kur plotësohet kushti: 21 r (3-267)
2
ri
si1
Fig. 3.28 vektorët hapësinor të rrymës të statorit dhe rotorit.
Në këtë rast në bazë të ekuacioneve (3-267) dhe (3-264) momenti elektromagnetik mesatar që ushtrohet në rotor është kostant dhe mund të shprehet:
0
3sin( )
2mes m s r s r rm L I I (3-268)
Interpretimi fizik i këtij ekuacioni është që momenti që zhillon makina të jetë kostant duhet që fusha e krijuar nga rryma e statorit dhe rotorit të jenë të palëvizshëm kundrejt njëra-tjetrës. Shpejtësia këndore e vektorit hapësinorë të rrymës së rotorit është 2 r dhe është e
barabartë me shpejtësinë këndore të vektorit hapësinor të rrymës së statorit 1 . Është supozuar se numri i çift poleve të pështjellave të statorit dhe rotorit janë të barabarta. Momenti elektromagnetik i një makine shumëfazore simetrike e cila ushqehet me një sistem
91
rrymash të renditjes së kundërt mund të përcaktohet duke patur parasysh që në bazë të ekuacionit (1.5-4) shpejtësia këndore e vektorit hapësinor të rrymës së statorit do të jetë 1 , e cila rrotullohet në drejtimin negativ. Kështu që në qoftë se rryma në rotor formon një sistem të drejtë, shpejtësia e vektorit hapësinor të rrymës së rotorit e parë në stator do të jetë po
2 r dhe kushti që makina të zhvillojë një moment kostant duhet që shpejtësia e dy
fushave të jetë barabarta. Në këtë mënyrë duhet që r 21 e cila jep 2 1r .
Duke përdorur konsiderata të ngjajshme si më parë, mund të tregojmë një kusht të tretë të nevojshëm për krijimin e momentit elektromagnetik ku 21 r e cila nënkupton që si pështjella e rotorit dhe statorit ushqehen me një burim simetrik rrymash të renditjes së kundërt. Dhe kushti i katërt është r 21 dhe krijohet kur pështjellën e statorit e ushqejmë me një sistem simetrik rrymash të rënditjes së drejtë dhe rotorin e ushqejmë me një sistem simetrik rrymash të renditjes së kundërt. Të katër kushtet e nevojshme që makina të zhvillojë një moment kostant mund të përgjithësohen me një shprehje të thjeshtë: r 12 (3-269)
Është shumë e rëndësishme të theksohet se për një formë specifike të rrymave të statorit dhe rotorit vetëm një nga të katër kushtet mund të jetë i vërtetë për të krijuar një moment konstant. Në qoftë se frekuenca e madhësive të rotorit është zero ( 02 ) ekzistojnë vetëm dy kushte
që janë r 1 . Në qoftë se frekuenca e madhësive në stator është zero mund të
përcaktohen dhe dy kushtet e tjera të cilat janë : r 2 . Kështu në keto raste shpejtësia këndore e rotorit do të jetë në sinkronizëm me frekuencën këndore të burimit të ushqimit. Për të fituar një makinë me shpejtësi të ndryshueshme është e nevojshme që rryma e statorit ose e rotorit duhet të jetë alternative. Duhet shënuar që për makinat me “p” cift pole rmr p ku
rm=drm/dt është shpejtësia këndore në radian gjeometrik në sekondë, ku rm është këndi i rotorit në radian gjeometrik. Në bazë të konsideratave fizike dhe matematike të dhënë më lart kusht i nevojshëm për krijimin e një momenti kostant elektromagnetik është që frekuenca këndore e madhësive të rotorit dhe statorit duhet të ndryshojnë me shpejtësinë këndore relative midis madhësive të statorit dhe shpejtësisë këndore rotorit. Kombinimet të ndryshme të ushqimit të pështjellave të makinës asinkrone (elektrik) si dhe shpejtësisë këndore të rotorit (mekanik) të cilët vertetojnë ekuacionin (3-269) përcaktojnë forma të ndryshme të makinave elektrike dhe për këtë qëllim më poshtë do të diskutojmë për disa raste konkrete. N.q.s frekuenca këndore e rrymës së rotorit është zero ( 02 ) e cila ndodh në rastin kur pështjellën e rotorit e ushqejmë me rrymë të vazhduar ose kur kemi magnet permanent në rotor, të cilët mund të konsiderohen si burim konstant rryme dhe statori është ushqyer me një rryme shumëfazore simetrike të renditjes së drejtë, për një regjim të vendosur në bazë të ekuacionit (3-265) kusht i nevojshme që makina të krijojë një moment kostant është 1 r . Këto makina prodhojnë moment mesatar vetëm te një shpejtësi e rotorit e cila është e barabartë me shpejtësinë e f.m.m të statorit. Kjo shpejtësi ndryshe quhet shpejtësi sinkrone dhe ky motor është motori sinkronë. Në bazë të ekuacionit (3-264) për 0r momenti elektromagnetik i makinës sinkrone është zero. Le të japim disa shpjegime pse momenti i lëshimit është zero. Në praktikë duke konsideruruar një makinë me dy pole dhe në rotor kemi pështjellën e eksitimit e cila është e ushqyer me rrymë të vazhduar e cila do të krijojë një fushë me një cift pole e cila gjithmonë është e palëvizshme në lidhje me rotorin por e palëvizshme edhe me statorin derisa rotori është i palëvizshëm. Për gjysmën e periodës së parë (1/100 sec) komponentja e momentit i krijuar nga bashkvveprimi i dy fushave është pozitive ndërsa në gjysmën e dytë të periodës momenti i krijuar është negativ, kështu që momenti mesatar i makinës është zero (lëshimit). Kështu që në praktikë rotori rrotullohet
92
derisa sa shpejtësia e tij të arrijë shpejtësinë sinkrone apo me anë të lëshimit asinkron ( në rotor është vendosur pështjella e lëshimit). Këto makina janë duale pra mund t’ju ndryshohet roli i statorit dhe rotorit. Makina elektrike të cilën pështjellën e statorit e ushqejmë me një sistem rrymash simetrike me frekuencë këndore 1 , dhe në pështjellat e rotorit të lidhur në të shkurtër do të kalojë një rrymë, për shkak të induksionit magnetik nga pështjella e statorit e cila ka një frekuencë këndore r 1 . Kështu që frekuenca e cila plotëson kushtet e
ekuacionit (3-269) është r 12 , kjo është një makinë asinkrone klasike e cila krijon një moment mesatar kostant për çdo shpejtësi përjashtuar asaj sinkrones. Rotori i makinës asinkrone mund të jetë :
Me rotor me faza
Me rotor në formë kafazi
Në bazë te kushteve të përcaktuar nga ekuacioni (3-269) në rast se ushqejmë si pështjellën e statorit dhe të rotorit me rryme ta vazhduar ( 021 ) është e pamundur që të zhvillojmë një moment kostant. Në mënyrë të ngjajshme kemi dhe në rastin kur në rotor dhe stator kemi magnetë përmanent. Në rast se statori është ushqyer nga një burim i rrymës së vazhduar dhe n.q.s komutatorët (kolektorët , shiko librin e makinave elektrike) janë vendosur në rotor dhe furcat janë ushqyer nga një burim i rrymës së vazhduar, komutatori do të konvertojë rrymën e vazhduar në një rrymë me frekuencë këndore r 2 . Ky kusht është përdorur për krijimin e momentit mesatar për çdo shpejtësi të rotorit të makinës së rrymës së vazhduar me kolektor në rotor. Në qoftë se statori është i ushqyer me një rrymë me frekuencë 1 dhe furçat janë ushqyer me një rrymë me të njëjtën frekuencë, atëherë për shkak të veprimit të kolektorit frekuenca këndore e rrymës së rotorit do të jetë r 1 . Kjo është një kusht i nevojshëm për krijimin e një momenti kostant elektromagnetik. Makina të tilla janë makinat klasike alternative me kolektor. Një zbatim praktik mund të jetë duke perdorur një pështjellë simetrike tre-fazore në stator dhe perdorimit të tre grupeve të furcave për një çift polesh të zhvendosur me 120 gradë elektrike (motori tre-fazor në seri). N.q.s frekuenca këndore e vektorit hapësinorë të rrymës së statorit është s 1 dhe n.q.s shpejtësia këndore e vektorit
hapësinorë të rrymës së rotorit është s 22 ( në sistemin e palëvizshëm të referimit) atëherë
në bazë të analizës fizike që trajtuam më lartë , që makina të zhvillojë një momenti mesatar kostant në regjim të vendosur duhet që fusha magnetike e statorit dhe e rotorit të jenë të palëvizshëm e cila ndodh kur plotësohet kushti srs 2 . Pra kushti i nevojshëm për
prodhimin e një momenti kostant është sr . Makina që plotëson keto kushte është
makina asinkrone që rrotullohet me shpejtësi sinkrone dhe momenti mesatar kur 0r është zero. Ka disa mënyra për të ndërtuar një makinë asinkrone me shpejtësi sinkrone, ekzistojnë pështjella shumëfazore në stator dhe në rotor (e cila mund të ushqehet me rrymë të vazhduar). Pështjella e rotorit mund të lidhet në disa mënyra, p.sh dy pështjellat e rotorit mund të lidhen në parel dhe këto të dyja lidhen në seri me pështjellën tjetër. Në qoftë se kemi një pështjellë të shpërndarë në mënyrë sinusoidale me dy pole dhe ndodhet gjithashtu një pështjellë e shpëndarë sinusoidale me një çift-polesh në rotor të një makine me hapsirë ajrore uniforme, atëherë fluksi i magnetizimit ( fluksi i hapsirës ajrore) do të jetë gjithashtu sinusoidal dhe induktiviteti reciprok statorit dhe rotorit mund të shprehet rmrsr LL cos . Kështu fuqia e
çastit e rotorit mund të shprehet :
dt
diiRi
dt
dRiup r
rrrrr
rrrr
2 (3-270)
93
Ku rr iu , janë vlerat e castit të rrymës dhe tensionit të rotorit dhe rrR , janë rezistenca aktive e rotorit dhe fluksi i plotë i rotorit. Fluksi i plotë i rotorit mund të shprehet në termat e rrymës së rotorit dhe statorit si: ssrrrr iLiL (3-271)
Ku rL është induktiviteti vetjak i rotorit i cili meqënëse kemi pranuar sipërfaqen ajrore
kostante (uniforme) konsiderohet kostant dhe srL induktiviteti reciprok.
Ndryshimi i fluksit të plotë të rotorit mund të shprehet :
dt
diLiL
dt
diLL
dt
di
dt
diL
dt
dLi
dt
d ssrsmrr
ssrrms
ssr
srs
r
sincos (3-272)
Ku r është shpejtësia këndore e rotorit dhe duke zëvendësuar ekuacionin (3-272) në ekuacionin (3-270) kemi:
2 cos sinsr r r m r r r r m s r
dip R i L i L i i
dt (3-273)
Shprehja rsmrr iiLsin përfaqëson fuqinë mekanike
rsmrrmek iiLsinp (3-274)
dhe momenti elektromagnetik që ushtrohet në rotor është e barabartë:
rsmrr
meke iiLsin
pm
(3-275)
Kjo shprehje është e njëjtë me shprehjen (3-264). E njëjta shprehje e momentit mund të fitohet dhe nga shprehja e co-energjise së fushës magnetike të hapsirës ajrore e cila është e barabartë:
rsrsrrrssc iiLiLiLW 22
2
1
2
1 (3-276)
dhe momenti elektromagnetik është i barabartë me derivatin e shprehjes së enërgjisë në lidhje me këndin r . Kështu:
cos
sinsr r m rce s r s r m s r r
r r r
L LWm i i i i L i i
(3-277)
N.q.s pështjellën e rotorit e kemi ushqyer me rrymë alternative : sss tcosIi 1 (3-278)
dhe
rrrr tcosIi (3-279)
dhe duke zëvendësuar rrymat e mësipërme në ekuacionin (3-276) përcaktojmë momentin elektromagnetik (duke patur parasysh dhe shprehjen trigonometrike) si më poshtë:
021
021
021
0021
4
1
rrsr
rrsr
rrsr
rrrsr
rsme
tcos
tcos
tcos
tcos
IILm
(3-280)
siç shikohet momenti mesatar jo-zero krijohet kur plotësohet kushti: 2121 r (3-281)
94
e cila është e njëjtë me ekuacionin (3-269) por duhet nënvizuar që ekuacioni (3-281) është nxjerrë për makinën njëfazore ndërsa ekuacioni (3-269) për makinën simetrike shumë fazore. Rezultati i dhënë në ekuacionin (3-281) është një rrjedhim i drejtë për faktin se pështjella njëfazore e ushqyer nga burimi njëfazor krijon një f.m.m pulsuese të cilët mund ta mendojmë të përbërë nga dy komponente me amplitudë sa gjysma e amplitudës fazore.
95
3.17 Ekuacionet e ekulibrit të tensioneve të makinës asinkrone me anë të vektorëve hapësinor.
3.17.1 Shprehja e ekuacioneve te tensioneve të makinës në sistemet e tyre natyrale me anë të vektorëve hapësinor.
Vektori hapësinor i tensioneve të statorit do të shprehet në sistemin e referimit të palëvizshëm të fiksuar në stator (sD, sQ). Ekuacionet e ekulibrit të tensioneve për secilën fazë janë si më poshtë:
dt
diRu sA
sAssA
(3.1-1)
dt
diRu sB
sBssB
(3.1-2)
dt
diRu sC
sCssC
(3.1-3)
ku sCsBsA u,u,u dhe sCsBsA i,i,i janë vlerat e çastit të rrymës dhe tensionit të fazave sA,sB,sC
respektivisht të cilët ndryshojnë në lidhje me kohën (t). Gjithashtu dhe sCsBsA ,, janë
vlerat e çastit të flukseve të plota të fazave të statorit, që i kemi përcaktuar në paragrafet e mëparshëm (paragrafi 3). Ekuacionet (3.1-1) dhe (3.1-3) mund ti shprehim me anë te vektorit hapësinor si më poshtë:
dt
diRu s
sss
(3.1-4)
ku sR është rezistenca aktive e pështjellës së statorit. Për thjeshtësi të gjithë vektorët
hapësinorë të madhësive i shprehim më poshtë:
sCsBsAs uaauuu 2
3
2 (3.1-5)
sCsBsAs iaaiii 2
3
2 (3.1-6)
sCsBsAs aa 2
3
2 (3.1-7)
Në mënyrë të njëjtë shprehim dhe ekuacionet e ekulibrit të tensioneve të fazave ra,eb,rc të rotorit në sistemin e referimit të fiksuar në rotor.
dt
diRu ra
rarra
(3.1-8)
dt
diRu rb
rbrrb
(3.1-9)
dt
diRu rc
rcrrc
(3.1-10)
ku rR është rezistenca aktive e pështjellës së rotorit. Duke përdour përcaktimin e vektorit hapësinor të madhësive të rotorit të dhënë në paragrafet e mëparshëm gjejmë vektorin hapësinor të tensionit të rotorit si më poshtë:
96
dt
diRu r
rrr
(3.1-11)
ku:
rcrbrar uaauuu 2
3
2 (3.1-12)
rcrbrar iaaiii 2
3
2 (3.1-13)
rcrbrar aa 2
3
2 (3.1-14)
siç shikohet ekuacionet (3.1-4) dhe (3.1-11) kanë një shprehje shumë të thjeshtë ku këto ekuacione përmbajnë dy komponente:
Njëra përfaqeson humbjet omike ne rezistencat aktive përkatëse
Tjetra përfaqëson ndryshimin e vektorit hapësinor të fluksit të plotë.
3.17.2 Shprehja e ekuacione të ekulibrit të tensioneve në sistemin arbitrar të referimit. Modeli i rendit të V i Makinës Asinkrone.
Në paragrafet e mëparshëm, sistemi i referimit arbitrar është ai sistem i cili rrotullohet me një shpejtesi këndore g të çfarëdoshme. Në këtë sistem kemi shprehur
vektorët hapësinor të madhësive të statorit dhe rotorit ( ekuacionet diferenciale te tensionit ). Rruga më e thjeshtë për të shprehur ekuacionet e tensioneve të statorit dhe rotorit në sistemin arbitrar të referimit është rregulli i trasformimit i dhënë në paragrafin (3.11). duke
zëvendësuar ekuacionet 3-86)-(3-87) ku: gjssg euu , gj
ssg e në ekuacionin (3.1-4)
kemi :
dt
edeiR
dt
diReuu
g
gg
jsgj
sgss
ssj
sgs
(3.1-15)
ku g është këndi ndërmjet aksit real të sistemit arbitrar të referimit dhe aksit real të
sistemit të referimit të fiksuar në stator (aksit magnetik të fazës sA të statorit). Duke zhvilluar
ekuacionin (3.1-15) dhe duke patur parasysh që gg
dtd
, vektori hapësinor i tensionit të
pështjellës së statorit është:
sggsg
sgssg jdt
diRu
(3.1-16)
sic shikohet vektori hapësinor i tensionit të statorit i shprehur në sistemin arbitrar të referimit përmban tre komponente të cilët janë:
1. Komponentja për shkak të rënieve të tensionit në rezistencën aktive të pështjellës statorit.
2. Komponentja e cila paraqet shkallën e ndryshimit të vektorit hapësinor të fluksit të plotë të pështjellave të statorit.
3. Komponentja e vektorit hapësinor e tensionit e cila ekziston për shkak të rrotullimit të sistemit arbitrar me shpejtësi g .
97
Ekuacionin (3.1-16) mund ta shprehim dhe me anë të vektorëve hapësinor të rrymës të statorit dhe rotorit duke supozuar që qarku magnetik është i pangopur (induktivitete kostant) duke shfrytëzuar ek.(3-91). Shprehja e vektorit hapësinor të tensionit do të jetë:
rgmsgsg
rg
m
sg
ssgssg iLiLjdt
idL
dt
idLiRu (3.1-17)
Në ekuacionin (3-21) sL dhe mL janë përkatësisht induktiviteti i plotë dhe ai i magnetizimit të
pështjellës së statorit. Vektori hapësinor i tensionit të pështjellës së rotorit i shprehur në sistemin e referimit arbitrar gjendet duke zëvendësuar ekuacionin (3-88)-(3-90) në ekuacionin (1.1-11):
dt
edeiR
dt
diReuu
rg
rgrg
(jrg)(j
rgrr
rr)(j
rgr
(3.1-18)
ku r është këndi midis aksit të fazës sA të statorit me aksin e fazës ra të rotorit. Duke
bërë derivatet e mësipërme dhe duke patur parasysh që rr
dtd , vektori hapësinor i
tensionit të rotorit është:
rgrgrg
rgrrg )(jdt
diRu
(3.1-19)
në qoftë se shpejtësia e rotorit është zero pra 0r ekuacioni (3.1-19) është i njëjtë me ekuacionin (3.1-16) i cili është një rezultat i pritshëm. Në qoftë se vektorin hapësinor të fluksit të plotë të rotorit e shprehim në termat e vektorve hapësinor të rrymave të statorit dhe rotorit atëherë duke zëvendësuar ekuacionin (3-92) në ekuacionin (3.1-19) ekuacioni diferencial i vektorit hapësinor të tensionit të rotorit në rast se qarku magnetik është i pangopur do të marrë formën:
sgmrgrrg
sg
m
rg
rrgrrg iLiL)(jdt
idL
dt
idLiRu (3.1-20)
Ky ekuacion është i vlefshëm dhe për qark magnetik të ngopur. Ekuacionet (3.1-17) dhe (3.1-19) së bashku me ekuacionin e lëvizjes mund të përdoren për studimin e sjelljes së makinës asinkrone gjatë regjimeve kalimtare.
( )
12
3
2
sgsg sgs g sg
rgrg rgr g r rg
trm L
rm r
sg rgsg s m
rg sgrg r m
rge rg
du R i j
d t
du R i j
d td
p D td d
d t J
L i L i
L i L i
m p i
Li i
(3.1-20/a)
Për këtë ekuacionet e tensioneve shprehen me anë të komponenteve të tyre në dy akset dhe mandej duke përdorur metodat analitike të ndryshme realizohet zgjidhja e ekuacioneve
98
diferencial ( p.sh një metodë është ajo e Ruge-Kuta e rendit të katërt). Paraqitja në sistemin kordinativ ortogonal e tensioneve të statorit dhe rotorit në teorinë e makinave elektrike realizohet me anë të matricës së tranformimit, ndërsa duke përdorur teorinë e vektorit hapësinor modele të ndryshme aplikohen në sisteme të ndryshme referimi pa qënë e nevojshme matricat e transformimit. Kuptimi fizik i këtij transformimi të variablave mund të përmblidhet si më poshtë.
Motori real trefazorë në pështjellat e së cilës kalojnë rrymat si dhe ri - është
zëvendësuar me një makinë fiktive dyfazore me dy çifte pështjellash të fiksuara në akset x dhe y. (fig. 1-5). Rrymat që kalojnë në pëshjtella krijojnë në hapësirën ajrore një f.m.m të njëjtë me atë të motorit real. Në këtë motor të ri dyfazorë rotori dhe statori janë të palëvizshëm
kundrejt njëri-tjetrit dhe rrotullohen në hapësirë me shpejtësinë g .
syu
sye
sxusge
rxe
rve
g
Fig. 3-29 Paraqitja skematike e makinës asinkrone në sistemin ortogonal x,y.
Në qoftë se boshtin x e perputhim me aksin real (+1) të planit kompleks dhe boshtin y me aksin Imagjinar të planit kompleks (+j) vektori hapësinor është i barabartë me vektorin kompleks fazorë. Ekuacionet e mësipërme mund ti shprehim me anë të komponenteve përkatëse sipas akseve x dhe y. Ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve:
Në stator :
0 0 0
sx s sx g sy sx
sy s sy g sx sy
s s s s
u R i p
u R i p
u R i p
(3.1-20/a)
Në rotor:
0 0 0
( )
( )
rx r rx g r ry rx
ry r ry g r rx ry
r r r r
u R i p
u R i p
u R i p
(3.1-20/b)
Ekuacionet e flukseve të statorit dhe rotorit:
99
0 0
sx s sx m sx rx
sy s sy m sy ry
s s s
L i L i i
L i L i i
L i
0 0
rx r rx m rx sx
ry r ry m ry sy
r r r
L i L i i
L i L i i
L i
Ekuacioni i momentit elektromagnetik:
ryrxrxrye iipm 2
3
dhe për madhësitë e rotorit të reduktuar në ato të statorit do të kemi:
tensionet Flukset ' ' ' ' '
' ' ' ' '
' ' ' '0 0
( )
( )
rx r rx g r ry rx
ry r ry g r rx ry
r r r ro
u R i p
u R i p
u R i p
' ' ' '
' ' ' '
' ' '0 0
rx r rx m rx sx
ry r ry m ry sy
r r r
L i L i i
L i L i i
L i
(3.1-20/c)
Momenti elektromagnetik përcaktohet me shprehjen e mëposhtme:
''''
2
3ryrxrxrye iipm (3.1-20/d)
Ekuacioni i momenteve në makinën asinkrone është
dt
dJmm rm
nge
(3.1-20/e)
Në bazë të ekuacioneve të mësipërme ndërtojmë dhe qarkun ekuivalent elektrik sipas aksit x ,y,0.
'Rr 'irx'ry g r
'Lr
'rx
E sx
E
g sy isx
usx
Ls
'urx
'Rr'iry
'rx g r
'Lr
'rx
E sy
E
g sx Ls
'ury
'ri 0
0'ru
'rL
fig 1.33 Qarku ekuivalent i Makines asinkrone sipas akseve x, y, 0.
a) Qarku elektrik ekuivalent sipas aksit real x b) Qarku elektrik ekuivalent sipas aksit imagjinar y
100
c) Qarku elektrik ekuivalent i renditjes nuleare të statorit d) Qarku elektrik ekuivalent i renditjes nuleare të rotorit.
Dhe në trajtë matricore ekuacionet e mësipërme do të jenë:
'0
'
'0
''
'''
'''
0
'
'0
00000
00
00
00000
0
00
r
ry
rx
s
sy
sx
rr
rrrrrrgmmrg
rrrgrrrmrgm
ss
mmsssss
mmsssss
r
ry
rx
s
sy
sx
i
i
i
i
i
i
pLR
pLRLpLL
LpLRLpL
pLR
pLLpLRL
LpLpLpLR
u
u
u
u
u
u
ku msss LLL dhe mrrr LLL '' .
Dhe komponentet e flukseve të plota sipas akseve x dhe y janë:
'0
'
'0
'
'
'
0
'
'0
00000
0000
0000
00000
0000
0000
r
ry
rx
s
sy
sx
r
rrm
rrm
s
mss
mss
r
ry
rx
s
sy
sx
i
i
i
i
i
i
L
LL
LL
L
LL
LL
Për makinën asinkrone me rotor në formë kafazi vektori hapësinor i tensionit të pështjellës së rotorit është zero dhe ekuacionet e mësipërme marrin formën:
Stator rotor
0 0 0
sx s sx g sy sx
sy s sy g sx sy
s s s s
u R i p
u R i p
u R i p
' ' ' '
' ' ' '
' ' '0
0 ( )
0 ( )
0
r rx g r ry rx
r ry g r rx ry
r r ro
R i p
R i p
R i p
'0
'
'0
'
'
'
0
'
'0
00000
0000
0000
00000
0000
0000
r
ry
rx
s
sy
sx
r
rrm
rrm
s
mss
mss
r
ry
rx
s
sy
sx
i
i
i
i
i
i
L
LL
LL
L
LL
LL
3.1-20/f)
''''
2
3ryrxrxrye iipm
dt
dJmm rm
nge
Në bazë të ekuacioneve (3.1-20/f) ndërtojmë dhe qarkun ekuivalent elektrik sipas aksit x ,y,0.
101
'Rr 'irx'ry g r
'Lr
'rx
E sx
E
g sy isx
usx
Ls 'Rr'iry
'rx g r
'Lr
'rx
E sy
E
g sx Ls
'ri 0
'rL
fig 1.34 Qarku ekuivalent i Makines asinkrone sipas akseve x, y, 0.
a) Qarku elektrik ekuivalent sipas aksit real x b) Qarku elektrik ekuivalent sipas aksit imagjinar y c) Qarku elektrik ekuivalent i renditjes nuleare të statorit d) Qarku elektrik ekuivalent i renditjes nuleare të rotorit.
Zakonisht pështjella e statorit të makinës asinkrone është e lidhur në yll me neutër të tokëzuar, kështu që komponentja nuleare nuk ekziston dhe ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve të makinës asinkrone do të kenë formën e mëposhtme:
' ' ' '
' ' ' '
0 ( )
0 ( )
sx s sx g sy sx
sy s sy g sx sy
r rx g r ry rx
r ry g r rx ry
rme ng
u R i p
u R i p
R i p
R i p
dm m J
dt
' ''
' ''
sx sxss m
sy syss m
rx rxm rr
ry rym rr
iL L
iL L
iL L
iL L
' ' ' '3
2e ry rx rx rym p i i
Ekuacionet e mësipërme përbëjnë modelin e rendit të pëstë të makinës asinkrone. Sic shikohet ai formohet nga katër ekuacionet diferenciale që përshkruajnë ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve sipas akseve real dhe imagjinarë të statorit dhe rotorit si dhe nga ekuacioni i ekuilibrit të momenteve në makinë (ndryshe ekuilibri mekanik). Gjithashtu modelin e plotësojnë dhe pesë ekuacione algjebrikë të cilat janë ekuacionet e flukseve të statorit dhe rotorit sipas akseve përkatëse dhe shprehja e momentit elektromagnetik.
102
3.17.3 Llogaritja e momentit elektromagnetik në kohë reale të makinës asinkrone me anë të madhësive të statorit (vazhdim i modelit fazorë i makinës asinkrone ).
Nga ekuacioni (3-28) momenti elektromagnetik ka tre-komponente 321 eee m,m,m .
Komponentja e parë e mometit ,me1 krijohet nga bashkëveprimi i rrymës së statorit të fazës
sA dhe rrymave të rotorit të transformuar në sistemin e palëvizshëm të statorit. Pra: rqsAsre iicMm 1 (2.1-25)
ku c është një kostante. Rryma e rotorit e transformuar në sistemin e palëvizshëm në stator është e barabartë me shprehjen e mëposhtme: 21 sinsinsin rrcrrbrrarq iiii (2.1-26)
ku rai rbi rci janë rrymat e fazave të rotorit të shprehur në sistemin e referimit të fiksuar në
rotor , r është këndi ndërmjet aksit të fazës sA të statorit ( aksi i fazës sA përputhet me aksin real të sistemit kordinativ ortogonal të fiksuar në stator) dhe ra të rotorit. Rryma e tranformuar e rotorit do të jetë proporcional me rezultantet e rrymës së rotorit sipas aksit q të shprehur në sistemin e referimit të fiksuar në stator ( rqi ). Për shembull në qoftë se aksi i fazës sA të statorit
përputhet me aksin e fazës ra të rotorit atëherë sipas ekuacionit (2.1-26) ana e djathtë e tij është e barabartë me 3
2 rb rci i
e cila në të vërtetë është komponentja e rrymës sipas
aksit q. Kjo komponente e rrymës së rotorit sipas aksit q do të jetë prezente në shprehjen e komponentes së fluksit të plotë sipas aksit Q të sistemit të referimit të fiksuar në stator sQ e
cila krijohet nga fazat e statori sA dhe sB, sCsBsQ (2.1-27)
Në fakt prezenca e rqi në komponenten e fluksit reciprok sCsB mund të nxirret dhe nga
zëvendësimi i ekuacioneve (2.1-8) dhe (2.1-9) në ekuacionin (2.1-27). Kështu që komponentja e parë e momentit elektromagnetik e përcaktojmë:
sAsBsCsAsQe iim )(1 (2.1-28)
Në mënyrë të njëjtë veprohet dhe për dy komponentet e tjera i të momentit. sBsCsAe im )(2 (2.1-29)
sCsAsBe im )(3 (2.1-30)
Duke zëvendësuar shprehjet e komponenteve të momentit të nxjerra më sipër, momenti elektromagnetik i makinës asinkrone është e barabartë : sCsBsAsBsCsAsAsBsCe i)(iicm (2.1-31)
ku 3
pc .
Sic shikohet momenti elektromagnetik është si shumë e komponenteve të momenteve ku secila prej tyre krijohet nga bashkeveprimi i rrymës së statorit dhe komponenten e fluksit reciprok rezultant përpendikularë me të në hapsirë. Në makinat dy-fazore me pështjellë përpendikulare momenti që zhvillon makina do të jetë sDsQsQsD ii ku
sDsQsQsD i,,i, janë komponente të fluksit të plotë dhe rrymës sipas akseve D dhe Q të
shprehur në sistemin e referimit të palëvizshëm në stator. Kjo është një rezultat i pritshëm pasi
103
momenti elektromagnetik është me produktin vektorial të vektrorëve hapësinor të flukseve dhe rrymave.Momenti ( ekuacioni 2.1-31) mund të riorganizohet si më poshtë:
sBsAsCsAsCsBsCsBsAe iiiiiipm 3
(2.1-32)
kjo shprehje mund të nxirret dhe duke llogaritur momentin elektromagnetik me anë të produktit vektorial të vektorëve hapësinor të fluksit të plotë dhe rrymës. Përfundimisht arrijmë në konkluzionin se momentin elektromagnetik të makinës asinkrone mund të monitorohet me anë të fluksit të plotë të makinës dhe rrymës së statorit. Fluksi i plotë përcaktohet nga ekuacioni (2.1-1)-(2.1-3) psh ku ndryshimi i i fluksit të plotë të fazës sA të statorit
është: )iRu(dt
dsAssA
sA
dhe integrali i saj jep fluksin e plotë të fazës sA
dt)iRu( sAssAsA . Parametri i vetëm i kërkuar është rezistenca aktive e pështjellës së
statorit sR .
Shprehja e ekuacioneve diferenciale të makinës në formën e variablave të gjendjes
Ekuacionet (3.1-17) dhe (3.1-20) mund të shkruhen dhe në formën e variablave të gjendjes ku si variabell gjendjeje mund të merret rrymat. Ekuacionet e mësipërme ku si variabla gjendjeje do të jenë rrymat do të kishin formën e mëposhtme:
' ' ' ' '
( )1sg rgsg g s g r r m s r mrsg rg
s s s r s
L k L k Lu k udij i j i
dt L T L T L
(3.1-21)
'r
mgsrrg
'r
rg'r
mrsssg'
r
sgsrgrg
L
LkLj
Ti
L
LjRki
L
uku
dt
id 1 3.1-22)
komponentet sipas akseve x,y (ortogonale) të sistemit arbitrar të referimit përcaktojnë katër ekuacionet e variblave të gjendjes. Në ekuacionet e mësipërme '
r'sdheLL janë induktivitetet e
statorit dhe rotorit gjatë procesit kalimtar, ku mund të përcaktohen dhe nga skema elektrike e dhënë më poshtë:
'rL
'sL
fig.2.31Qarku ekuivalent për përcaktimin e 'sL dhe '
rL
sr
mrs's L
L
LLLL
2
(3.1-23)
rs
mrs'r L
L
LLLL
2
(3.1-24)
ku është një koeficient që varet nga fluksi i shpërndarjes,
rsrs
m kkLL
L 11
2
(3.1-25)
104
ku sk dhe rk janë koeficientët e çiftimit të statorit dhe rotorit të cilët mund të shprehen si më
poshtë:
sms
m
s
ms LL
L
L
Lk
1 (3.1-26)
dhe
rmr
m
r
mr LL
L
L
Lk
1 (3.1-27)
ku s rdhe janë faktoret e flukseve të shpërndarjes së statorit dhe rotorit,
m
ss L
L (3.1-28)
dhe
m
rr L
L (3.1-29)
në ekuacionin (3.1-21) dhe (3.1-22) 'sT dhe '
rT janë kostantet kalimtare të kohës së statorit
dhe rotorit .
'
' ss
s
LT R (3.1-30)
'
' rr
r
LT R (3.1-31)
Paraqitja e ekuacioneve diferenciale të tensionit të statorit dhe rotorit si në formën e variabla të gjendjes është më e thjeshtë që si variabla të gjendjes të zgjidhen flukset e plota të statorit
dhe rotorit. Ekuacionet (3.1-16 ) dhe (3.1-19) përmbajnë vetëm derivatet e sg dhe rg si
dhe rrymat përkatëse. Nga ekuacionet (1.1-87) dhe (1.1-88) shprehim vektorët hapësinor të rrymave të statorit dhe rotorit në funksion të flukseve përkatëse.
's
rgrsgsg
L
ki
(3.1-32)
'r
sgsrgrg
L
ki
(3.1-33)
duke zëvendësuar ekuacionet (3.1-32) dhe (3.1-33) në ekuacionet (3.1-16) dhe (3.1-19) përftojmë ekuacionet diferenciale të tensionit të statorit dhe rotorit me anë të variablave të gjendjes në sistemin arbitrar të referimit . Ekuacionet e ekuilibrit janë :
's
rrgg'
ssgsg
sg
T
k)j
T(u
dt
d
1 (3.1-34)
)(j
TT
ku
dt
drg'
srg'
r
ssgrg
rg
1
(3.1-35)
Këto ekuacione janë të vlershme edhe për qark magentik të ngopur pra dhe për induktivitete që ndryshojnë nga rryma. Siç shikohet që ekuacionet (3.1-34) dhe (3.1-35) janë më te thjeshtë se ekuacionet (3.1-21) dhe (3.1-22) ku në keta të fundit vektrorët hapësinor të rrymës së statorit dhe rotorit janë zgjedhur si variabla gjendjeje. Kështu që në analizën e qëndrueshmërisë së makinës elektrike me haspirë ajrore uniforme (makinës asinkrone ) ku për
105
ngacmime të vogla përdoren ekuacionet (3.1-34) dhe (3.1-35). Komponentet sipas aksit real dhe imagjinar e ekuacioneve (3.1-34) dhe (3.1-35) si dhe ekuacioni i lëvizjes përshkruajnë më së miri procesin kalimtar. Duke shënuar me indeksin x komponenten reale të vektorëve hapësinor dhe y komponeneten imagjinare, ekuacionet diferenciale të makinës ku rryma është marrë si varibell i gjendjes janë:
's
rxrsxry'
s
mrrx'
r
ssy'
s
mrrgsgsx'
s
sx
L
ukui
L
Li
T
ki
L
Lk)(Li
Tdt
di
1 (3.1-36)
's
ryrsyry'
r
srx'
s
mrsy'
ssx'
s
mrrgsgsy
L
ukui
T
ki
L
Li
Ti
L
Lk)(L
dt
di
1 (3.1-37)
'r
sxsrxry'
r
rrgmsgrx'
ssy'
s
srrsx'
s
rrx
L
ukui
L
LLki
Ti
L
Lki
T
k
dt
di
1
(3.1-38)
'r
sysryry'
srx'
r
rrgmsgry'
s
rsx'
s
srrry
L
ukui
Ti
L
LLki
T
ki
L
Lk
dt
di
1
(3.1-39)
Ndërsa kur si variabla gjendjeje përdoren flukset përkatëse ekuacionet diferenciale kanë formën e mëposhtme:
rx'r
ssygsx'
ssx
sx
T
k
Tu
dt
d
1 (3.1-40)
ry'r
ssy'
ssxgsy
sy
T
k
Tu
dt
d
1 (3.1-41)
Dhe
' '
1( )rx s
rx sx rx g r ryr r
d ku
dt T T
(3.1-42)
ry'r
rxrgsy'r
sry
ry
T)(
T
ku
dt
d
1 (3.1-43)
Nga ekuacionet e ekuilibrit elektrik të pështjellave të statorit dhe rotorit i ndërtuar në sistemin arbitrar i cili rrotullohet me shpejtësi këndore g mund të përftohen ekuacionet e ekuilibrit
për cfardo sistem referimi mjafton që zëvendësojmë shpejtësinë këndore g me shpejtësinë
këndore të sistemit të referimit. Sistemet e referimit më të përdorur janë: 1. Sistemi i referimit i fiksuar në stator 0g (sD,sQ)
2. Sistemi i referimit i cili rrotullohet me shpejtësi sinkrone sg .
3. Sistemi i referimit i fiksuarn në rotor i cili rrotullohet me rg .
Zgjedhja e sistemit të referimit bëhet duke patur parasysh ndërtimin konstruktiv të makinës si dhe procesi kalimtar që do të studjohet.
1 Ekuacionet e ekuilibrit elektrike dhe atij mekanik në sistemin e referimit të fiksuar në stator 0g (sD,sQ). Aksi real i sistemit kordinativ sD përputhet me aksin e fushës
magnetike të fazës sA të statorit.
106
' ' ' '
' ' ' '
0
0
sx s sx sx
sy s sy sy
r rx r ry rx
r ry r rx ry
rme ng
u R i p
u R i p
R i p
R i p
dm m J
dt
'
'
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '3
2
sx s sx m sx rx
sy s sy m sy ry
rx r rx m rx sx
ry r ry m ry sy
e ry rx rx ry
L i L i i
L i L i i
L i L i i
L i L i i
m p i i
2. Ekuacionet e ekuilibrit elektrike dhe atij mekanik në sistemin e referimit të fiksuar në rotor g=r. Sistemi kordinativ ortogonal ra, rb ku aksi real i tij ra përputhet me aksin e fushës magnetike të fazës ra të rotorit.
' ' '
' ' '
0
0
sx s sx r sy sx
sy s sy r sx sy
r rx rx
r ry ry
rme ng
u R i p
u R i p
R i p
R i p
dm m J
dt
'
'
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '3
2
sx s sx m sx rx
sy s sy m sy ry
rx r rx m rx sx
ry r ry m ry sy
e ry rx rx ry
L i L i i
L i L i i
L i L i i
L i L i i
m p i i
3. Ekuacionet e ekuilibrit elektrike dhe atij mekanik në sistemin e referimit i cili rrotullohet me shpejtësi sinkrone g s
' ' ' '
' ' ' '
0 ( )
0 ( )
sx s sx s sy sx
sy s sy s sx sy
r rx s r ry rx
r ry s r rx ry
rme ng
u R i p
u R i p
R i p
R i p
dm m J
dt
'
'
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '3
2
sx s sx m sx rx
sy s sy m sy ry
rx r rx m rx sx
ry r ry m ry sy
e ry rx rx ry
L i L i i
L i L i i
L i L i i
L i L i i
m p i i
3.18 Reduktimi i Modelit të Makinës Asinkrone.
Siç u theksua dhe në paragrafin e mëparshëm procesi kalimtar i makinës asinkrone përshkruhet nga pesë ekuacione diferenciale pra nga modeli i rendit të pestë. Procesi kalimtar i makinës asinkrone përbëhet nga :
b) Procesi kalimtar elektromagnetik (që zhvillohet në qarkun e statorit dhe rotorit). c) Procesi kalimtar mekanik (që shpreh ndryshimin e shpejtësisë së rotorit). d) Modeli i rendit të pestë kërkon llogaritje dhe kohë të konsiderueshme.
Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale mund të zgjidhet me anë të metodes Rouge-Kuta apo teknikave të jera të integrimit. Për të pasqyruar më së miri proqesi kalimtar duhet që hapi i ntegrimit të jetë sa më i vogël. Duke marrë në konsideratë që motori asinkron është një
107
makinë simetrike, me hapsirë ajrore uniforme, sistemet kordinative më të përdorshme në vlerësimin e procesit kalimtar të makinës asinkrone janë:
a) Sistemi kordinativ i palëvizshëm (sD,sQ). b) Sistemi kordinativ që lëviz (rrotullohet) me shpejtësi sinkrone.
P.sh në rast se tensioni ushqyes i makinës asinkrone është simetrik, në rast se perdorim sistemin kordinativ i cili rrotullohet me shpejtësi sinkrone s, tensionet në sistemin e dhënë
janë madhësi të vazhduara (kostante) ('j t j t
s s ss su U e u u e U ). Zakonisht si variabla
përdoren flukset e statorit dhe rotorit në krahasim me rrymat pasi ekuacionet janë më të thjeshta, e dyta është se në të përfshihet dhe ngopja e qarkut magnetik si dhe llogaritja e procesit kalimtar kërkon më pak kohë në krahasim me rrymën pasi ndryshimi i fluksit është më i ngadaltë se rymat për shkak të inercisë elektromagnetike. Perdorimi i modelit të pestë të motorit asinkron në llogaritjen e procesit kalimtar kërkon kohë. Aplikimi i tij sidomos në simulimin e një sistemi me fuqi të madhe (ku në të kemi linja, transformatorë, gjeneratorët sinkron, motorët asinkron, gjysëm përçues etj) shton kompleksitetin e sistemit duke sjellë probleme. Prandaj reduktimi i modelit do të sjellë zvogëlimin e llogaritjeve dhe normalisht duke na siguruar dhe zgjidhje të kënaqshme të procesit kalimtar.
3.18.1 Modeli i rendit të parë.
N.q.s neglizhojmë proceset kalimtare elektromagnetike si në pështjellën e statorit dhe rotorit të makinës asinkrone në modelin e shprehur në sistemin e referimit i cili rrotullohet me
shpejtësi sinkrone g s përftojmë modelin e rendit të parë. Ekuacionet e makinës
asinkrone janë si më poshtë:
' ' ' '
' ' ' '
( )
( )
0 ( ) ( )
0 ( ) ( )
sx s sx s sy sx
sy s sy s sx sy
r rx s r ry rx
r ry s r rx ry
rme ng
du R i
dtd
u R idt
dR i
dtd
R idt
dm m J
dt
(3.1-44)
N.q.s neglizhojmë procesin kalimtar elektromagnetik pra flukset përkatëse do të pranohen
kostante (( )
0sxd
dt
( )0syd
dt
'( )0rxd
dt
'( )0ryd
dt
). Kështu që ekuacionet e
makinës asinkrone do të marrin formën e mëposhtme:
' ' '
' ' '
0 ( )
0 ( )
sx s sx s sy
sy s sy s sx
r rx s r ry
r ry s r rx
rme ng
u R i
u R i
R i
R i
dm m J
dt
(3.1-45)
108
Siç shikohet dhe nga shprehja e mësipërme ekuacionet e ekuilibrit elektrik të makinës nga ekuacione diferenciale shëndrrohen në ekuacione algjebrike dhe si ekuacion diferencial kemi vetëm ekuacionin e ekuilibrit mekanik, pra kemi përftuar modelin e rendit të parë. Momentin elektromagnetik përcaktohet me anë të shprehjes së mëposhtme:
' '
' '
3 3
2 2r r
e r s rx sy ry sxs s
k km p x p
L L (3.1-46)
Modeli i rendit të parë për makinat asinkrone me fuqi të vogël paraqet më së miri procesin kalimtar dhe devijimi nga procesi real është i vogël. Përdorimi i tij kuptohet se kërkon më pak llogaritje dhe kohë për vlerësimin e procesit kalimtar pra të analizës dinamike të motorit asinkron. Ndërsa për makinat me fuqi relativisht të madhe ky model nuk parsqyron në mënyrë korrekte procesin kalimtar. Kjo vjen për shkak se është neglizhuar procesi kalimtar elektromagnetik nga ku nuk merret parasysh një fuqi e konsiderueshme e makinës dhe shpejtësia e motorit ndryshon nga ajo aktualja (madhësia e vërtetë e saj). Pra në makinat me fuqi të madhe ky model nuk është i vlefshëm. Duhet shënuar gjithashtu dhe se në rastin e një burimi asimetrik (të paballancuar), modeli i rendit të parë nuk është i vlefshëm. Megjithatë ky model mund të përdoret në rastin e një asimetrie “të lehtë” p.sh kur motorin e ushqejmë me një tension asimetrik. Në këtë rast tensionet e statorit shprehen me anë të vlerave të castin të komponenteve simetrike. Në regjimet e vendosura në rast se nuk ekziston komponentja nuleare e tensionit, komponentja e drejtë shprehet në sistemin arbitrar të referimit i cili rrotullohet me shpejtësi sinkrone në drejtimin pozitiv. Kjo komponente në sistemin e dhënë është një madhësi kostante. Në mënyrë të njëjtë, komponentja e renditjes së kundërt shprehet në sistemin e referimit arbitrar i cili rrotullohet me shpejtësi sinkrone por në kahun negativ. Dhe kjo komponente në sistemin e dhënë të referimit do të jetë një madhësi kostante. Në këtë rast janë përdorur sistemet e ndarë të referimit të cilët rrotullohen me shpejtësi sinkrone për komponentet e drejtë dhe të kundërt dhe terminollogjia “sistemi i përbërë” është i justifikuar. Është e rëndësishme të theksohet që për shkak të aplikimit të principit të superpozimit, ekuacionet duhet të jenë linear dhe metoda aplikohet vetëm në regjimet e vendosura ose në proceset kalimtare që zhvillohet me shpejtësi kostante të rotorit. Sistemi i përbërë i referimit përdoret jo vetëm në regjimet asimetrike por dhe në rastin e një burimi jo-sinusoidal (pra përmban dhe harmonika të larta). N.q.s shënojmë me k rendin e harmonikës atëherë në sistemin e referimit i cili rrotullohet me shpejtësi 1k dhe 1k respektivisht atëherë do
fitoheshin tensione kostante, kështu që principi i superpozimit mund të aplikohet dhe në regjim të vendosur ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve rezultojnë në ekuacione të thjeshta algjebrike sipas akseve d dhe q të shprehur në sistemin e referimit i cili rrotullohet me shpejtësi 1k .
Në rast se kemi një sistem tensionesh të paballancuar su atëherë atë mund ta
shprehim me anë të komponenteve simetrike: 1 2s s su u u , 1 1
1 1j t
su cU e , 1 2
2 2j t
su cU e dhe në komponenten e renditjes nuleare. Duke supozuar për thjeshtësi që
pështjella e statorit është e lidhur në yll të patokëzuar atëherë komponentja nuleare nuk ekziston, pra kemi vetëm komponenten e drejtë dhe të kundërt. Vlera e castit e komponentes
së drejtë e shprehur në sistemin e palëvizshëm të referimit 1 1 1( )s sD sQu u ju , mund të
transformohet në sistemin e referimit që rrotullohet me shpejtësi sinkrone s si më poshtë:
1 0 0'1 1 1 1 1
j t js s sx syu U e cU e u ju (3.1-47)
109
Ku 0 është pozicioni fillestar i sistemit të ri të referimit (këndi midis aksit real të sistemit të
palëvizshëm me atë të aksit real të sistemit që rrotullohet me shpejtësi sinkone. Sic shikohet komponentja reale dhe imagjinare në sistemin e ri do të jenë:
1 1 1 0
1 1 1 0
cos
sin
sx
sy
u cU
u cU
(3.1-48)
Në një regjim të vendosur ekuacionet e tensionit të komponentes pozitive dhe negative janë ekuacione algjebrik dhe janë të pavarur nga njëra tjetra. Ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve për komponenten pozitive janë të njëjtë me ato të trajtuar në paragrafët e mëparshëm. Në ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve të rotorit do të përmbajë termin 1 r 1s (ku s është
skarja e motorit). Ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve të renditjes së kundërt janë të njëjta vetëm se në vend të termit 1s , në ekuacionet e rotorit do të kemi termin 1 r 12 s .
Madhësitë e komponentes së kundërt i shënojmë 2, 2,sx syu u , 2, 2, 2, 2,sx sy rx ryi i i i dhe
2, 2, 2, 2,sx sy rx ry . Në ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve për komponenten e renditjes së
drejtë , komponentet sipas aksit x dhe y të fluksit të rotorit përcaktohen nga parametrat e makinës, shpejtësia e rotorit dhe nga komponentet e tensionit të statorit 1 1,sx syu u . Në mënyrë
të ngjajshme flukset 2, 2,rx ry përcaktohen nga parametrat e makinës , shpejtësia e rotorit dh
tensionet 2 2,sx syu u . Momenti elektromagnetik rezultant që zhvillon makina është shuma e
tre komponenteve: a) e1m komponentja e renditjes së drejtë.
b) e2m komponentja e renditjes së kundërt. c) e3m komponentja e pulsuese e momentit (nga bashkëveprimi i
komponentes së drejtë dhe asaj të kundërt 1 2,s s .
Komponentja e tretë (momenti pulsues) sic u theksua më lartë krijohet nga bashkveprimi midis fushës magnetike të renditjes së drejtë dhe asaj të renditjes së kundërt. Momenti pulsues oshilon me dyfishin e frekuencës së burimit të ushqimit dhe vlera mesatare është zero. Kjo komponente për shkak të inercisë së makinës dhe ngarkesës mund të mos merret parasysh. Komponentja e parë e momentit e cila krijohet nga fusha magnetike e renditjes së drejtë është e barabartë me shprehjen:
' '
1 1 1 1 1 1 1' '
3 3
2 2r r
e r s rx sy ry sxs s
k km p x p
L L (3.1-49)
Komponentja e dytë e momentit e cila krijohet nga fusha magnetike e renditjes së kundërt është e barabartë me shprehjen:
' '
2 2 2 2 2 2 2' '
3 3
2 2r r
e r s rx sy ry sxs s
k km p x p
L L (3.1-50)
3.18.2 Modeli i rendit të dytë.
Marrim rastin kur motorin asinkron e ushqejmë me një burim simetrik tensionesh. Do të
pranojmë që ndryshimi i fluksit të pështjellës së statorit është zero pra ( ) 0sxddt
,
( )0syd
dt
(nuk marrim parasysh procesin kalimtar në pështjellën e statorit). Do të
110
pranojmë që raporti rxr
ryf varet vetëm nga shpejtësia e rotorit. ,rx ry janë
komponentet e fluksit reciprok të rotorit të cilët janë shprehur në sistemin e referimit që rrotullohet me shpejtësi sinkrone s . Me supozimin e bërë rreth komponenteve të fluksit
reciprok të rotorit në sistemin e referimit në stator nënkuptohet që për një cast të dhënë të kohës, pozicioni i vektorit hapësinor i fluksit reciprok të rotorit në lidhje me sistemin sinkron të referimit nuk ndryshon gjë që në përgjithësi nuk është e vërtetë. Në këtë mënyrë madhësitë
,sx sy zëvendësohen në ekuacionet e mësipërme dhe ( )rxd
dt
dhe
( )syd
dt
shprehen në
termat e tensionit të statorit dhe flukseve reciproke të rotorit. Moduli i vektorit hapësinor është i barabartë me shprehjen e mëposhtme:
2 2r rx ry (3.1-51)
ryrxrx ryr
r
ddd dt dt
dt
(3.1-52)
Sic shikohet është e mundur të përdoret një ekuacion diferencial në llogaritjen e fluksit të rotorit të cilët së bashku me ekuacionin e lëvizjes formojnë “Modelin e rendit të dytë të makinës asinkrone”.
2 2
sx s sx s sy
sy s sy s sx
rx ryr
u R i
u R i
(3.1-53)
ryrxrx ryr
r
rme ng
ddd dt dt
dt
dm m J
dt
(3.1-54)
3.18.3 Modeli i rendit të tretë.
N.q.s neglizhojmë procesin kalimtar në pështjellën e statorit (( )
0sxd
dt
,
( )0syd
dt
) atëherë
ekuacionet e ekuilibrit të makinës asinkrone janë si më poshtë:
sg rg rsg sg g
s s
rg sg srg g r
r s
rme ng
d k1u j
dt T T
d k 1j
dt T T
dm m J
dt
' '
' '
( )
(3.1-55)
e ry rx rx ry
3m p i i
2' ' ' ' (3.1-56)
111
Meqënëse sgd
0dt
, flukset e statorit janë të barabarta me shprehjen
sg rgs rsg
g s
u T k
1 j T
'
'
.
' ' ' '
' ' ' '
0 ( ) ( )
0 ( ) ( )
r rx s r ry rx
r ry s r rx ry
rme ng
dR i
dtd
R idt
dm m J
dt
'
'
' ' '
' ' '
' ' ' '3
2
sx s sx m rx
sy s sy m ry
rx r rx m sx
ry r ry m sy
e ry rx rx ry
L i L i
L i L i
L i L i
L i L i
m p i i
sx s sx s sy
sy s sy s sx
u R i
u R i
Modeli i rendit të tretë i motorit asinkron paraqet me një saktësi të konsiderueshme procesin kalimtar të saj. Megjithatë duhet theksuar se modeli i rendit të tretë rrit jolinearitetin se në rastin kur përdoret modeli i rendit të pestë. Në ndryshim nga modeli i rendit të parë , modeli i rendit të tretë mund të përdoret në vlerësimin e analizës dinamike (përgjigje) të makinave asinkrone me fuqi të madhe për ndryshime të vogla në momentin e ngarkesës kur ai punon me ngarkesë nominale. Për regjime të tilla ndryshimi i ngarkesës për shkak të kostantes mekanike të motorit efektet në rrymën e statorit janë shumë të vogla. Gjithashtu modeli i rendit të tretë mund të përdoret për sjelljen e makinës asinkrone për ngacmime të ndryshme si ndryshimi i tensionit në stator, lidhje e shkurtër në pështjellën e statorit, etj. Kjo është për faktin se ndryshimi i fluksit të statorit është më i shpejtë se ai i rotorit. Modeli i rendit të tretë nuk mund të përdoret për të studjuar procesin kalimtar të makinës gjatë lëshimit.
3.18.4 Ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve për ngacmime të “vogla” të makinës.
Ndërtimi i modelit të makinës asinkrone për ngacmime të vogla , mund të përftohet nga lineraizimi i ekuacioneve te pika e punës së makinës në regjim të vendosur. Linearizimi i ekuacioneve mund të realizohet në dy mënyra:
1. Duke përdorur zbërthimin e variabllave në serinë Furie rreth pikës së punës në regjim të vendosur (rrymë,tension,fluks etj) dhe duke neglizhuar të gjithë termat e rendit të dytë.
2. Linearizimi i ekuacioneve duke shprehur të gjithë variablat si shumë e vlerave të tyre në pikën e punës dhe me shtesat e tyre përkatëse dhe duke neglizhuar të gjitha termat që janë produkti i shtesave (pmv) me njëra-tjetrën dhe duke eliminuar termat në regjim të vendosur.
Metodën e dytë do të trajtojmë në paragrafin e mëposhtëm. Ekuacionet e ekulibrit të tensioneve në makinën asinkrone me anë të vektorëve hapësinor në sistemin e referimit i cili rrotullohet me shpejtësi këndore sinkrone ( sg ) kur qarku magnetik është pranuar linear
janë si më poshtë:
rmsss
r
m
s
ssss iLiLjdt
idL
dt
idLiRu (3.2-1)
112
smrrrs
s
m
r
rrrr iLiL)(jdt
idL
dt
idLiRu (3.2-2)
ku :
su dhe ru janë vektorët hapësinor të tensioneve të statorit dhe rotorit respektivisht të shprehur në sistemin e referimit i cili rrotullohet me shpejtësi sinkrone.
si dhe ri janë vektorët hapësinor të rrymave të statorit dhe rotorit.
Në bazë të ekuacioneve të mësipërme ndërtojmë dhe qarkun elektrik ekuivalent i cili i përgjigjet ndryshimeve të mëdha të makinës asinkrone.
ssj rsrj si ri
rusudt
d sdt
d r
'Lr 'Rr
Fig.Qarku elektrik ekuivalent i makinës asinkrone në sistemin e referimit i cili rrotullohet me shpejtësi sinkrone.
Në qarkun elektrik ekuivalent janë treguar dhe ndryshimi i flukseve të statorit dhe rotorit
(dt
d s dhe
dt
d r ). sL dhe rL janë induktivitetet për shkak të fluksit të shpërndarjes së
pështjellave dhe induktivitetet vetjake të pështjellave të statorit dhe rotorit janë të barabarta
mss LLL dhe mrr LLL . Për ngacmime të vogla tensionet mund ti përcaktojmë me
shprehjet :
0 0
0 0
0 0
s s s s s s
r r r r r r
r r r s s s
u u u i i i
u u u i i i
(3.2-3)
ku madhësitë e shprehur me zero korrespondojnë me vlerat e madhësive në regjim të vendosur ndersa madhësitë me janë për shkak të ngacmimit. Duke i zëvendësuar ekuacionet (3.2-3) në ekuacionet (3.2-1) dhe (3.2-2) dhe duke neglizhuar produktin e madhesive (pmv) dhe duke eliminuar vlerat e madhësive në regjim të vendosur përftojmë formën e ekuacioneve të vektorët hapësinor të tensioneve të statorit dhe rotorit për ngacmime të vogla të cilët janë si më poshtë:
rmsssrmsss
r
m
s
ssss iLiLjiLiLjdt
idL
dt
idLiRu
000 (3.2-4)
smrrrssmrrrs
s
m
r
rrrr iLiL)(jiLiL)(jdt
idL
dt
idLiRu
0000
(3.2-5)
ose në një trajtë tjetër
113
sssss
ssss jjdt
dLiRu
00 (3.2-6)
rrsrrsr
rrrr )(j)(jdt
dLiRu
00 (3.2-7)
ku vlerat shtesë të vektorit hapësinor të flukseve të plotë të statorit dhe rotorit mund të shprehen si më poshtë:
rmsss iLiL (3.2-8)
smrrr iLiL (3.2-9)
ndërsa flukset e plota të statorit dhe rotorit të shprehur me anë të vektorëve hapësinor në regjim të vendosur janë :
000 rmsss iLiL (3.2-10)
000 smrrr iLiL (3.2-11)
me anë të ekuacioneve (3.2-4) dhe (3.2-5) ose (3.2-6) dhe (3.2-7) ndërtojmë qarkun ekuivalent të makinës asinkrone për ngacmime të vogla .
sL
mL
`RrsRsi ri
rmsss iLiLj 0
00 rmsss iLiLj
smrrrs iLiLj 00
00 smrrrs iLiLj su ru
dt
d s dt
d r
mi
fig.2-40 qarku elektrik ekuivalent i makinës asinkrone për ngacmime të vogla
sic shikohet qarku elektrik ekuivalent është i ngjajshëm i makinës asinkrone për ngacmime të vogla është i ngjajshëm me qarkun elektrik ekuivalet të makinës që i përgjigjet ngacmimeve të mëdha. Në qarkun elektrik ekuivalent të makinës asinkrone për ngacmime të vogla kemi
dhe dy komponente ekstra, 0ssj në qarkun e statorit dhe 0rrs )(j në qarkun e
rotorit.
3.18.5 Ekuacionet e makinës asinkrone në formën e variablave të gjendjes.
Në bazë të ekuacioneve (3.2-4) dhe (3.2-5) ekuacionet e tensioneve të statorit dhe rotorit në formën e variablave të gjendjes për ngacmime të vogla ku rryma është zgjedhur si varibëll i gjendjes do të kenë formën:
r
s
r
s
s'rr
'srs
rr
s
r
s
b
b
ij
ij
L/j
L/kj
i
i
aa
aa
i
i
dt
d
0
0
0
0
2221
1211
(3.2-12)
ku :
114
0 0 0
11 ' '
012 ' '
021 ' '
1 s s s r r m
s s
s r m
r s
r mr
s r
j L k La
T L
k j La
T L
j Lka
T L
(3.2-13)
0 0 0
22 ' '
1 s s M s r r
r r
j k L La
T L
'
'
s rrs
s
r ssr
r
u k ub
L
u k ub
L
Ku sms L/Lk dhe rmr L/Lk janë kostante dhe 'sT , '
rT janë kostantet e kohes së statorit
dhe rotorit gjatë procesit kalimtar të cilët llogariten s's
's R/LT dhe r
'r
'r R/LT . Madhësitë
'sL , '
rL janë induktivitetet kalimtare të statorit dhe rotorit të cilët i kemi llogaritur në
ekuacionin (3.1-23) dhe (3.1-24). Një mënyrë më e thjeshtë e paraqitjes së ekuacionevet të tensioneve të statorit dhe rotorit është duke zgjedhur si variabla të gjendjes flukset përkatëse. Sic shikohet nga ekuacionet (3.2-6) dhe (3.2-7) përmbajnë vetëm nga një term të derivueshëm. Ekuacionet ku si variabell i gjendjes janë zgjedhur flukset në trajtë matricor janë si më poshtë:
r
s
rr
r
ss
r
s
r
s
u
u
jj
j
bb
bb
dt
d
00
0
2221
1211 0
(3.2-14)
ku :
11 0'
21 '
12 '
22 0 0'
1
1
ss
s
r
r
s
s rr
b jT
kb
T
kb
T
b jT
(3.2-15)
Duhet theksuar se matrica
2221
1211
aa
aaA dhe
2221
1211
bb
bbB lidhen midis tyre me anë të
matricës së induktiviteteve
rm
ms
LL
LLT me shprehjen 1TATB
3.18.6 Llogaritja e momentit.
Momenti elektromagnetik krijohet nga bashkëveprimi i vektorit hapësinor të rrymës së statorit dhe rotorit respektivisht. Në qoftë se vektorët hapësinor të rrymave në sistemin e referimit i
115
cili rrotullohet me shpejtësi sinkrone i shprehim me anë të komponenteve sipas aksit real dhe
imagjinar të sistemit të referimit ryrxrg jiii dhe sysxsg jiii atëherë momenti do te jetë
sxrysyrxme iiiipLm 2
3 (3.2-16).
Duke linearizuar ekuacionet te pika e punës në regjim të vendosur momenti elektromagnetik për rastin e ngacmimeve të vogla ku si variabla gjendjeje kemi marrë rrymat do të jetë:
rysxrxsysyrxsxryme iiiiiiiipLm 00002
3 (3.2-17)
në regjim të vendosur vektorët hapësinor të rrymës së statorit dhe rotorit mund të shprehen me anë të komponenteve sipas aksit real dhe imagjinar te sistemit të referimit i cili rrotullohet me
shpejtësi sinkrone 000 ryrxr jiii , 000 sysxs jiii . Nga ana tjetër momenti elektromagnetik
që zhvillon makina asinkrone mund të shprehet dhe si bashkëveprimi i vektorit hapësinor të fluksit kryesor të statorit me vektorin hapësinor të rrymës së statorit. Duke shprehur vektorin hapësinor të rrymës së statorit në funksion të flukseve përkatëse përftojmë momentin si bashkeveprim i vektorëve hapësinor të flukseve të plota të statorit dhe rotorit,
sxrysyrxs
rrs
s
re L
kp
L
kpm
'' 2
3
2
3 (3.2-18)
dhe në formë të linearizuar kemi :
0 0 0 0 0 0' '
3 3
2 2r r
e ry sx rx sy sy rx sx ry r s r ss s
k km p p
L L
(3.2-19)
ku duhet theksuar se madhesitë e shënuara me “0” janë madhesitë në pikën e punës në regjim të vendosur të makinës asinkrone dhe ato të shenuara me “Δ” janë shtesat për shkak të ngacmimit (shqetësimit ), të shprehura në sistemin e referimit i cili rrotullohet me shpejtësi sinkrone. Sic shikohet dhe nga ekuacioni (3.2-19) momenti elektromagnetik është
proporcional me shumen e dy produkteve vektoriale 0sr , 00 sr . Në figurën
2.41 është treguar dhe interpretimi vektorial i momentit elektromagnetik.
0s
0r
s
r
Fig.2.41 momenti elektromagnetik qe zhvillon motori per ngacmime te vogla.
Ekuacioni i lëvizjes i shprehur në formën e variablave të gjendjes është si më poshtë:
Lr
er m
J
p
J
Dm
J
p
dt
d
(3.2-20)
dhe duke bërë linearizimin e shprehjes te pika e punës në regjim të vendosur do të ketë formën :
116
Lr
er m
J
p
J
Dm
J
p
dt
d
(3.2-21)
Duke kombinuar ekuacionin (3.2-20) me ekuacionet (3.2-17) dhe (3.2-19) kemi :
Lr
rysxrxsysyrxsxrymr m
J
p
J
Diiiiiiii
J
Lp
dt
d
0000
2
2
3 (3.2-22)
ose
Lr
rysxrxsysyrxsxrys
rr mJ
p
J
D
JL
kp
dt
d
0000'
2
2
3 (3.2-23)
përfundimisht ekuacionet (3.2-12) duke e shkruajtur në komponentet sipas aksit real dhe imagjinar të sistemit të referimit i cili rrotullohet me shpejtësi sinkrone dhe së bashku me ekuacionin e lëvizjes (3.2-22) përftojmë ekuacionet e linearizuar të makinës asnkrone në formën e variablave të gjendjes. Paraqitja e ekuacioneve është më e përshtatshme në formën matricore dhe kur perdorim si variabell gjendjeje rrymat ato do të jenë:
Lu1 bbbxAxLs m
dt
d
(3.2-24)
ku
0 0 0 0
' ' ' '
0
/ , / / /
0 0 0 0 /
t
sx sy rx ry r
t
sy sx ry rx
t
sx r rx s sy r ry s rx s sx r ry s sy r
t
i i i i
i i i i
u k u L u k u L u k u L u k u L
p J
1
u
L
x
b
b
b
(3.2-25)
JD
JicL
JicL
JicL
JicL
LikiL
Tc
Tk
LL
LikiL
cT
L/LT
kL
ikiLT
kL
LTc
LikiL
LL
Tkc
T
sxmsymrxmrym
's
sxrrxs'r
's
r'r
mr
's
syrrys'r
'rmr'
s
r
's
sxrrxm'r
s's
mr's
's
syrrym's
mr'r
s's
0000
002
0
0020
0001
0001
1
1
1
1
A
(3.2-26) dhe
'01010
1s
mrrs
L
LkLc
(3.2-27)
'
010102
s
rrms
L
LLkc
(3.2-28)
117
Me anë të ekuacionit (3.2-24) dhe matricave përkatëse mund të analizojmë qëndrueshmërinë e makinës asinkrone. Për të studiuar qëndrueshmërinë e duhet të përcaktojmë vlerat e veta ose ndryshe autovlerat . Për të gjetur vlerat e veta ndërtojmë ekuacionet karakteristike : 05 IA det (3.2-29)
Polinomi karakteristik është një polinom i rendit të pestë të , prandaj është shumë e vështirë që të përcaktohen pesë rrënjët e polinomit në mënyrë analitike, por ato mund të përcaktohen me anë të teknikave të ndryshme numerike. Gjatë zgjidhjes së polinomit karakteristik nga pesë rrënjët dy cifte rrënjësh janë komplekse të konjuguara. Vlerat e veta varen nga parametrat e makinës si dhe kushtet e operimit. Pjesa imagjinare e vlerave të veta (rrënjëve ) paraqet frekuencën e oshilimeve ndërsa pjesa reale korrespondon me inversin e kostantes së kohës. Në qoftë se njëra nga pjesët reale të rrënjëve është positive apo gjurma e saj ndodhet në në anën e djathtë të planit kompleks atëherë sistemi është i paqëndrueshëm dhe kur të gjitha pjesët reale të rrënjëve janë negative ateherë sistemi është i qëndrueshëm. Ekuacioni karakteristik i cili korrespondon për shpejtësi kostante mund të përcaktohet dhe ekuacionet në formën e variablave të gjendjes të vektorit hapësinor të tensioneve të dhënë në ekuacionet (3.2-12) dhe (3.2-14) dhe nuk është e nevojshme të përdoret forma sipas komponenteve në dy akseve të ekuacioneve përkatëse. Duke përdorur formën e ekuacionet (3.2-14) për shpejtësi kostante ekuacioni karakteristik përcaktohet si më poshtë:
02221
12112
bb
bbdetdet IB (3.2-30)
Ekuacioni karakteristik është një ekuacion i rendit të dytë i dhënë si më poshtë: 02 cb (3.2-31)
b dhe c janë madhësi komplekse, të barabartë:
00211
rs'r
's
jTT
b (3.2-32)
'r
s's
rsrss'
r's
rs
TTj
TT
kkc 000
000
1 (3.2-33)
Nga zgjidhja e ekuacionit (3.2-31) gjejmë rrënjët:
21
022
0
2
00012 1214
112
1 'rr'
s
'r'
rr's
'rrs
's
'r'
rr's
'r'
rrs TT
TjT
T
Tkk
T
TTj
T
TTj
(3.2-34)
Në raste të vecanta kur rs RR dhe rs LL dhe kur shpejtësia e rrotullimit të rotorit është
zero rrënjët e ekuacionit karakteristik janë të barabartë:
's' T
kj
T 1
1 (3.2-35)
''2
1
T
kj
T s (3.2-36)
118
KAPITULLI IV
MODELIMI I MAKINAVE TË RRYMËS SË VAZHDUAR
4.1 Hyrje në MRV
Makinat e rrymës së vazhduar janë më të komplikuar dhe më të shtrejta vecanarisht me makinën asinkrone me rotor në formë kafazi . Megjithatë makinat e rrymës së vazhduar kanë një avantazh në lidhje me makinat e tjera pasi shpejtësia dhe ngarkesa në këto makina janë lehtësisht të kontrollueshme. Ndërsa disavantazhi kryesor i tyre është se kërkojnë një mirëmbajtje periodike. Zakonisht statori i makinës së rrymës së vazhduar është i palëvizshëm ndërsa rotori është pjesa e lëvizshme. Në figurën e mëposhtme paraqitet një gjeneratorë i rrymës së vazhduar me katër pole.
r
Fig.4.1 Paraqitja skematike e një makine të rrymës së vazhduar
Në stator vendosen polet krysore të makinës të cilët sherbejnë për të krijuar fushën magnetike kryesore të makinës. Polet mund të jenë magnetë permanent ose elektromagnetë ku këta të fundit përbëhen nga bërthama dhe rreth saj është vendosur pështjella e eksitimit. Fusha kryesore e makinës së rrymës së vazhduar është gjatësore pra sipas akseve të pështjellës së eksitimit (poleve kryesore). Rryma në pështjellën e induktit krijon fushën e saj magnetike e cila është tërthore. Kjo në makinë na shkakton deformime në fushën kryesore të makinës e cila është e dëmshme pasi në atë pjesë të qarkut magnetik që kemi rritjen e fluksit magnetik ndodh ngopja e qarkut dhe ndryshimin e parametrave të makinës. Për të zvogëluar këtë efekt në fundin e poleve kryesore vendoset pështjella e kompesimit e cila lidhet në seri me pështjellën e induktit. Gjithashtu disa seksione gjatë komutimit lidhen në të shkurtër. Në këto seksione lindin f.e.m të cilët i kemi quajtur (shih MRV) f.e.m komutuese. Për zvogëlimin e tyre krahas masave që merren në ndërtimin e makinës së rrymës së vazhduar, ndërmjet poleve kryesore vendosen polet ndihmëse. Zakonisht indukti i makinës së rrymës së vazhduar është cilindrik, prej fletësh çeliku dhe pështjella e induktit e cila përbëhet nga nga një numër i madh dredhash të cilët vendosen në mënyrë uniforme në kanalet e hapura në indukt. Pështjella e eksitimit dhe pështjella e induktit ushqehen me rrymë të vazhduar. Fundet e dredhave të induktit lidhen në pllakat kolektoriale të cilat janë të montuar në bosht. Kolektori ka formën e
119
një cilindri i cili përbëhet nga disa segmente (plaka kolektoriale) të cilat janë të izoluar si nga njëra-tjetra dhe nga boshti i makinës. Mbi kolektorin janë vendosur një grup furcash prej karboni të cilët realizojnë lidhjen elektrike të pështjellës së induktit me burimin e ushqimit (në rastin motor) dhe anasjelltas. Bashkveprimi i rrymës në indukt me fluksin që krijon pështjella e eksitimit krijon një moment të barabartë por të kundërt i cili vepron në indukt dhe stator e cila shkakton rrotullimin e induktit. Makinat e rrymës së vazhduar i grupojmë në katër nëngrupe:
1. M.R.V me eksitim të pavarur ku pështjella e eksitimit dhe e induktit ushqehen nga burime të pavarura (fig.4.2a)
2. M.R.V me eksitim në paralel ku pështjella e eksitimit është lidhur në paralel me pështjellën e induktit.
3. M.R.V me eksitim në seri ku pështjella e eksitimit është lidhur në seri me pështjellën e induktit.
4. M.R.V me eksitim të përzier . Makina në këtë rast ka dy pështjella eksitim njëra në seri me qarkun e induktit dhe tjetra në paralel me qarkun e induktit. Pështjellë ë eksitimit në seri dallohet nga ajo e eksitimit në paralel pasi ka më pak spira dhe me seksion më të trashë. Gjithashtu në makina e rrymës së vazhduar me eksitim të përzier pështjellat mund të lidhen pajtueshëm ose kundërshtim.
iu uei
eu
ii
ei
i
ii
u
a) b)
u
s ii i i
epi
esi i
ii
u
c) d)
120
epi
i
ii
u
si
e)
Fig. 4.2 Makinat e Rrymes se Vazhduar.
Makinat e rrymës së vazhduar mund të punojnë në regjim gjenerator, motor dhe në regjim frenimi. Në regjimin gjenerator fuqinë mekanike që e merr në bosht nga një motor parësor e kthen në energji elektrike. Ndërsa në regjimin motor fuqinë elektrike që merr nga sistemi i rrymës së vazhduar e kthen në fuqi mekanike në bosht duke ja transmetuar mekanizmit përkatës. Ndërsa në regjim frenimi fuqine elektrike të rrymës së vazhduar si dhe fuqinë mekanike që e merr në bosht e kthen në nxehtësi.
4.2 Modeli i makinës së rrymës së vazhduar me eksitim të pavarur. Qarku ekuivalent i motorit të rrymës së vazhduar me eksitim të pavarur është treguar në figurën 4.3.
e
R eR eLiL
iR ii
eu u
me
0M
mng
r
J
ei
fig 4.3 Qarku ekuivalent i M.R.V me eksitim të pavarur.
Ekuacioni i ekulibrit elektik të qarkut të eksitimit dhe atij të induktit në makinën e rrymës së vazhduar me eksitim të pavarur janë:
( )e e e
e e e e e
d d L iu R i R i
dt dt
(4.2-1)
121
( ) ( ) ( )i i i i i i
i i r ei e i i i i m r
d L i d L i d L iu R i M i R i e R i c
dt dt dt (3.2-2)
ku :
Re, Ri janë rezistencat omike të pështjellës së eksitimit dhe asaj të induktit. Le, Li janë induktivitetet vetjake të pështjellës së eksitimit dhe induktit. r shpejtësia këndore e induktit. Mei është induktiviteti reciprok ndërmjet pështjellave.
Në makinat e rrymës së vazhduar me magnet permanent Meiii është kostante. Në rast se qarkun magnetik e pranojmë linear pra nuk marrim parasysh efektin e ngopjes atëherë të gjitha induktivitetet e marrë më lart janë kostante. Për shkak të mekanizmit furcë-kolektor, pështjella e induktit duket si një pështjellë e palëvizshme ku aksi i fushës magnetike e pështjellës së induktit është sipas aksit tërthor të makinës ( përpendikular me aksin e fushës magnetike të pështjellës së eksitimit). Fluksi i plotë i pështjellës së eksitimit është i barabartë me produktin e rrymës së eksitimit dhe induktivitetit vetjak të pështjellës së eksitimit
e e ei L . Në ekuacionin (4.2.-2) f.e.m m rc krijohet për shkak të rrotullimit të induktit pra
të ndryshimit të fluksit magnetik të hapësirës ajrore i krijuar nga pështjella e eksitimit sipas drejtimit gjatësor. Fluksi kryesorë i makinës së rrymës së vazhduar është ei eM i dhe mc
është një kostante e cila për një makinë është e barabartë 2i
mpWc a ku p është numri i
cift-poleve të makinës , Ëi është numri i përgjithshëm i përcjellësve që ndodhen në indukt dhe a është numri i degëve në paralel. Momentin elektromagnetik e gjejmë me shprehjen : e m ei e i m im c M i i c i (4.2-3)
ekuacioni (45.2-3) mund të nxirret në disa mënyra p.sh duke përdorur shprehjen e
përgjithshme të momentit elektromagnetik me anë të produktit vektorial ime ku vektori
hapësinor i fluksit ka vetëm komponenten sipas aksit gjatësor D pra 0j dhe vektori hapësinor i rrymës së induktit ka vetëm komponenten sipas aksit tërthor Q (meqënësë aksi i
fushës së induktit është 090 me aksin e fushës së eksitimit) 0 ii ji . Produkti vektorial i
cili përcakton momentin është e barabartë e im i i . Një formë tjetër është dhe me
anë të matricës së momentit G ku te im G i i i ku G është e barabartë:
0 0
0ei
GM
ekuacioni i lëvizjes (ekuilibrit të momenteve) është i barabartë me shprehjen e mëposhtme:
re ng r
dm m J D
dt
(4.2-4)
ku :
mng është momenti i ngarkesës. J është kostantja e inercisë. D është koefiqenti i shuarjes.
Ekuacionet (4.2-1)-(4.2-4) përbëjnë përbëjnë ekuacionet e ekuilibrit elektrik të pështjellave dhe ekuilibrit mekanik. Nga to mund të llogarisim rrymën e pështjellës së eksitimit, rrymën e qarkut të induktit si dhe shpejtësinë këndore të rrotullimit gjatë procesit kalimtar. Skematikisht qarku elektrik ekuivalent që i përgjigjet ekuacioneve të mësipërme dhe
122
nga ku mund të studjojmë. Në qoftë se si variabell gjendjeje pranojmë flukset atëhëre ekuacionet marrin formën e mëposhtme:
e ee e
e
d Ru
dt L
(4.2-5)
i i r eii e
i e
d R Mu
dt L L
(4.2-6)
ngm eire i r
e i
mc Md D
dt JL L J J
(4.2-7)
4.2.1 Ekuacionet e M.R.V në regjim të vendosur
Në regjim të vendosur në ekuacionet (3.2-1)-(3.2-2) marrin formën e mëposhtme : e e eU R I (4.2-8)
i i r ei e i i m rU R M R c (4.2-9)
e m ei e i m iM c M c (4.2-10)
ku : Ii>0 në regjimin motor Ii<0 në regjimin gjenerator
Shënim: me germa kapitale janë shënuar madhësitë në regjime të vendosura.
Me anë të ekuacioneve të mësipërme ne mund të ndërtojmë karakteristika të ndryshme për makinën e rrymës së vazhduar. Karakteristika kryesore për makinat e rrymës së vazhduar është karakteristika mekanike e cila paraqet varësinë e shpejtësisë me momentin. Nga ekuacioni (3.2-9) dhe (3.9-10) nxjerrim shprehjen e shpejtësisë këndore nga momenti.
0 2 2i i i e
r rei e ei e m ei e
U R R M
M M c M
(4.2-11)
ku 0rei e
U UM I është shpejtësia e punimit pangarkesë pra kur Ii=0. Në makinat e
rrymës së vazhduar me pështjellë kompesimi Mei dhe fluksi janë kostant. Duke pranuar dhe rezistencën e plotë të qarkut të induktit kostante atëherë shpejtësinë mun ta shprehim me
ekuacionin 0 1r r ic I ,ku 1c është një kostante e barabartë me shprehjen 2
1 /ic R . Siç
shikohet varësia e shpejtësisë këndore nga rryma e induktit (ngarkesës) është një vijë e drejtë siç është treguar në figurën 4.4.
r0b
a
i ei m( )
r
Fig 4.4 Karakteristika mekanike e MRV me eksitim te pavarur.
123
Në makinat e rrymës së vazhduar pa pështjellë kompesimi për shkak të reaksionit tërthor të induktit induktiviteti reciprok midis pështjellave nuk është kostant por varet nga rryma e induktit dhe e pështjellës së eksitimit Mei=Mei(Ii, Ie) . Fluksi i makinës për shkak të reaksionit të induktit zvogëlohet dhe shpejtësia do të ndryshojë sipas kurbës b në figurë.. Në regjim të vendosur në qoftë se pranojmë koeficentin e shuarjes 0D momenti elektromagnetik është i barabartë me momentin e ngarkesës Me=Mng dhe karakteristika r(Mng) është identike me r(Me), pra do të kenë të njëjtën formë me kurbat në fig 4.4. Shpejtësia e motorit të rrymës së vazhduar me eksitim të pavarur mund të ndryshohet në disa mënyra dhe këto modele ndiqen nga ekuacioni (4.2-11). Shpejtësinë e motorit të rrymës së vazhduar me eksitim të pavarur mund ta ndryshojmë në tre mënyra:
duke ndryshuar tensionin duke ndryshuar fluksin duke lidhur në seri me qarkun e induktit një rezistencë shtesë.
Nga ekuacioni (4.2-10) momenti është proporcional me shprehjen MeiIeIi dhe në rast se pranojmë rrymën e induktit dhe të pështjellës se eksitimit kostante atëherë momenti elektromagnetik është kostant, kështu që në rast se rregullojmë shpejtësinë duke ndryshuar tensionin në indukt kjo metodë zakonisht quhet me moment kostant. Ndërsa në qoftë se tensionin dhe rrymën në indukt e mbajmë kostant dhe shpejtësinë e rregullojmë duke ndryshuar rrymën e eksitimit dhe fuqia mekanike që zhvillon motori është kostante (e cila është e barabartë me produktin e momentit elektromagnetik dhe shpejtësinë këndore) atëherë kjo metodë ndryshe quhet me fuqi kostante. Duhet theksuar se rregullimi i shpejtësisë duke ndyshuar rrymën e eksitimit ne vetëm mund ta rrisim shpejtësinë e motorit.
4.2.2 Ekuacionet e M.R.V në rastin e ngacmimeve të vogla.
Në ekuacionet (3.2-1)-(3.2-4) duke zëvendësuar madhsitë së bashku me ngacmimet: e e eu U u , u U u
e e ei I i , i i ii I i
e e em M m , ng ng ngm M m
r r r
ku me germa kapitale kemi shënuar madhësitë në regjim të vendosur , ndërsa me kemi shënuar ngacmimet atëherë ekuacionet e ekulibrit për makinat e rrymës së vazhduar me eksitim të pavarur do të jenë si më poshtë:
( )e e
e e e
d L iu R i
dt
(4.2-12)
( )i i
i i r ei e ei e r
d L iu R i M i M
dt
(4.2-13)
ng m ei i e m ei e i r rm c M i c M i J D (4.2-14)
Me anë të këtyre ekuacioneve përshkruhet më së miri proqesi kalimtar në makinat e rrymës së vazhduar me eksitim të pavarur.
4.3 Analiza e makinës së rrymës së vazhduar me eksitim në paralel.
Qarku ekuivalent i motorit të rrymës së vazhduar me eksitim në paralel është treguar në figurën 4.5.
124
+
ei r ee M i
R eR
eL
iLiR ii
eu u
+
+
-
-
-me
0M
mng
ngarkesa
r
J
ei
i
fig 4.5 Qarku ekuivalent i M.R.V me eksitim të pavarur.
Ekuacionet e ekuilibrit për MRV me eksitim në paralel janë të njëjta me ato me eksitim të pavarur vetëm se në këtë rast do të kemi që e iu u u dhe do të shprehen si më poshtë:
( )
( ) e ee e r e
d L iu u R R i
dt (4.3-1)
( )i i
i i i r ei e
d L iu u R i M i
dt (4.3-2)
ku Rr është rezistenca e reostatit të rregullimit i lidhur në qarkun e eksitimit të cilët me anë të saj ne rregullojmë rrymën e eksitimit pra fluksin kryesor të makinës. Ekuacioni i lëvizjes së makinës gjendet duke zëvendësuar në të shprehjen e momentit (4.2-3) te (4.2-4) e cila është e barabartë:
rm ei e i ng r
dc M i i m J D
dt
(4.3-3)
Ekuacionet (4.3-1) – (4.3-3) janë ekuacionet diferenciale të rendit të parë dhe zgjidhja e tyre me metodat numerike përshkruan më së miri dinamikën e sistemit. Ekuacionet e ekuilibrit të makinës së rrymës së vazhduar me eksitim në paralel mund të paraqiten me anë të variablave të gjendjes.
4.3.1 Ekuacionet e M.R.V me eksitim në paralel në regjim të vendosur
ekuacionet e ekulibrit të makinës së rrymës së vazhduar me eksitim në paralel në regjim të vendosur në qoftë se pranojmë 0D janë: ( )e e eU U R R (4.3-4)
i i r ei eU R M (4.3-5)
e ng m ei e iM M c M (4.3-6)
në regjim të vendosur rryma e pështjellës së eksitimit është e barabartë me shprehjen :
ee
U
R R
(4.3-7)
125
duke zëvendësuar ekuacionin e mësipërm te ekuacioni (4.3-5) rryma e induktit e m.r.v me eksitim në paralel është e barabartë me shprehjen:
( )
r ei e r eii
i i i e i
U M U M U
R R R R R R
(4.3-8)
ndërsa momenti elektromagnetik është i barabartë me shprehjen:
2
1( )
m ei r eie ng
e i e
c M U MM M
R R R R R
(4.3-9)
nga ekuacioni (4.3-9) nxjerrim varësinë e shpejtësisë këndore të induktit me momentin e ngarkesës Mng për regjime të vendosura :
2
2 2
( )e i nger
ei m ei
R R R MR R
M c M U
(4.3-10)
duke supozuar rezistencën e qarkut të eksitimit si dhe tensionin në indukt kostant atëherë shprehja e momentit mund të shkruhet : 0 1r r ngc M (4.3-11)
ku :
0e
rei
R R
M
(4.3-12)
ku ro është shpejtësia e punimit pa ngarkesë dhe c1 është një kostante. Duhet theksuar se nga ekuacionet (4.3-4) dhe (4.3-5) shpejtësia e punimit pa ngarkesë mund të shprehet dhe me shprehjen :
0rei e
U
M
(4.3-13)
Kështu që shprehja e momentit do të jetë :
0 2( )i ng
r rm ei e
R M
c M
(4.3-14)
r
01r 1RR
ngM
02r12 RR
fig.4.6 Ndryshimi i shpejtësisë për dy vlera të ndryshme te rezistencës në qarkun e eksitimit
Në fig.4.6 është paraqitur varësia e shpejtësisë me momentin e ngarkesës për dy vlera të ndryshme në qarkun e eksitimit. Siç shikohet nga ekuacionet (4.3-13) dhe (4.3-14) shpejtësia e motorit të rrymës së vazhduar me eksitim në paralel mund të rregullohet në tre mënyra të cilët janë :
126
Duke ndryshuar rezistencen në qarkun e eksitimit Duke ndryshuar tensionin ushqyes të induktit Duke lidhur në seri me qarkun e induktit një rezistencë shtesë.
4.4 Analiza e makinës së rrymës së vazhduar me eksitim në seri.
Sic duket dhe nga fig.4.7 pështjella e eksitimit dhe e induktit janë lidhur në seri pra i=ii=ie dhe u=ui+ues. Ekuacionet e ekuilibrit për motorin me eksitim në seri për cdo regjim (edhe gjatë proqeseve kalimtare) do të jetë:
,
[( ) ]( ) es i
es i r es i
d L L iu R R i M i
dt
(4.4-1)
dhe ai i momentit :
2,
rm es i ng r
dc M i m J D
dt
(4.4-2)
ei r ee M i
esR
esL
iL iR ii
esu u
me
0M
mng
r
J
ei
i
fig 4.7 Qarku ekuivalent i MRV me eksitim ne seri
Siç shikohet momenti elektromagnetik që zhvillon makina ndryshon me katrorin e rrymës së qarkut të induktit i, 2
,e m es i iM c M i . Në përgjithësi për shkak të ngopjes së qarkut magnetik ,
induktivitetet nuk janë kostant dhe dy ekuacionet diferenciale të rendit të parë mund të shkruhen me anë të variablave të gjendjes ku si i tillë është zgjedhur fluksi, në formën :
,( ) es ies ir
es i es i
MR Rdu
dt L L L L
(4.4-3)
2
,
1 1rm es i ng r
i es
d Dc M m
dt J L L J J
(4.4-4)
4.4.1 Ekuacionet e M.R.V me eksitim në seri në regjim të vendosur
Në regjim të vendosur ekuacionet e ekulibrit të makinës së rrymës së vazhduar me eksitim në seri (shpejtësia e rrotullimit të induktit është kostante dhe rryma në qarkun e induktit dhe të eksitimit) janë : ,( )es i r es iU R R M (4.4-5)
2,e ng m es iM M c M (4.4-6)
127
Tek ekuacioni i momentit është neglizhuar koeficenti i shuarjes ( 0D ). Duke shprehur rrymën I nga ekuacioni (4.4-5) dhe duke e zëvendësuar tek ekuacioni (4.4-6) momentin elektromagnetik mund të shprehim në formën e mëposhtme :
2
,2
,( )m es i
ees i r es i
c M UM
R R M
(4.4-7)
sic shikohet nga ekuacioni (4.4-7) mometi maksimal që zhvillon makina është për shpejtësi këndorë të barabartë me zero r=0 e cila në vlerë është e barabartë :
2
,max 2( )
m es ie
es i
c M UM
R R
(4.4-8)
Me anë të ekuacioneve (4.4-7) dhe (4.4-8) mund të ndërtojmë karakteristikën mekanike të makinës së rrymës së vazhduar me eksitim në seri për regjime të vendosura ku grafikisht është treguar në fig.4.8
r
emeM max
Sic shikohet dhe nga karakteristika mekanike e motorit momenti i lëshimit është shumë i madh dhe me zvgëlimin e momentit të ngarkesës shpëjtësia e tij rritet. Për moment të vogël të ngarkesës shpejtësia e rotorit (induktit) është shumë e madhe dhe mund të dëmtojë makinën. Për këtë arsye motorët e rrymës së vazhduar me eksitim në seri nuk duhet të lëshohen pa ngarkesë. Kontrolli i shpejtësisë në këto motora bëhet në mënyrë të njëjtë me motorët e tjerë.
4.5 Analiza e makinës së rrymës së vazhduar me eksitim të përzier.
Makina e rrymës së vazhduar me eksitim të përzier ka dy pështjella eksitimi ku njëra është lidhur në paralel me induktin e makinës dhe tjetra në seri me të sic është treguar në fig.4.9 Në rast se flukset që krijojnë pështjellat e eksitimit mblidhen atehëre këto pështjella janë lidhur pajtueshëm dhe në rast të kundërt ato janë lidhur në kundërshtim. Ekuacioni i ekuilibrit të tensionit të pështjellës së eksitimit në seri i shprehur në sistemin e palëvizshëm është i barabartë:
,( )( ) es ep ees eses es es
d M id L iu R i
dt dt (4.5-1)
dhe pështjellës së eksitimit në paralel:
,( ) ( )ep ep es ep esep ep ep
d L i d M iu R i
dt dt (4.5-2)
128
, ,
( )i ii i i r es i es r ep i ep
d L iu R i M i M i
dt (4.5-3)
eu
ei
R
epL
iu
es i r es
ep i r ep
M i
M i
,
,
iL iR
ii
u
esu
esi
esR
esL
epR
iB
A
ku :
Res, ies, Les janë rezistenca omike, rryma dhe induktiviteti vetjak i pështjellës së eksitimit në seri.
Rep, iep, Lep janë rezistenca omike ,rryma dhe induktiviteti vetjak i pështjellës së eksitimit në paralel.
Mep,es ,është induktiviteti reciprok ndërmjet pështjellës së eksitimit në seri dhe asaj në paralel
Mes,i ,është induktiviteti reciprok ndërmjet pështjellës së eksitimit në seri dhe pështjellës së induktit.
Mep,i ,është induktiviteti reciprok ndërmjet pështjellës së eksitimit në paralel dhe pështjellës së induktit.
Për regjimin gjenerator të makinës rryma është negative dhe për regjim motori është pozitive. Ekuacioni i ekuilibrit të tensioneve në trajtë matricore për makinën e rrymës së vazhduar me eksitim të përzier do të jetë : Ziu (3.5-4)
ku :
t
es ep iu u u u , t
es ep ii i i i (3.5-5)
dhe : ep i esu u u u (3.5-6)
si dhe : es ii i , i epi i i (3.5-7)
,
,
, ,
0
0es es es ep
es ep ep ep
r es i r ep i i i
R pL pM
pL R pL
M M R pL
Z (3.5-8)
129
Shprehja e momentit elektromagnetik do të përmbajë dy komponente për faktin se në stator
ndodhen dy pështjella.
1 2 , , , ,e e e m es i es i m ep i ep i m i es i ep iM M M c M i i c M i i c i M M (4.5-9)
4.5.1 Ekuacionet e M.R.V me eksitim të përzier në regjim të vendosur
Në regjim të vendosur ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve të makinës të shprehur në formë matricore do të jenë si më poshtë:
, ,
0 0
0 0es es es
ep ep ep
i r es i r ep i i i
U R I
U R I
U M M R I
(4.5-10)
ku :
ep es iU U U U , i epI I I , epep
UI R
Dhe
,
,
1 /r ep i e
i eses i r es i
U M RI I
R R M
(4.5-12)
ndërsa ekuacioni i momentit e përcaktojmë me shprehjen e mëposhtme:
2, , ,,
, ,, ,
1 / 1 /m r ep i ep es i r ep i epep ie m i ep i ep es i i
es i r es i ep es i r es i
c U M R M M RMM c I M I M I
R R M R R R M
(4.5-13)
Karakteristika mekanike e motorit të rrymës së vazhduar me eksitim të përzier janë karakteristika të ndërmjetme midis atyrë me eksitim në paralel dhe me eksitim në seri.
