Material Estudio

1

I.- Exponente Natural

an = axax....... xa si: nz+ ; n2 a : Base n : Exponente + ; n par

Obs: ()n - ; n impar

Ejemplo: (-2)3 = -8

(-3)4 = 81

Ejemplo: 72

y

X

y

X- ......

y

Xx

y

Xx

y

X

II. Potencia de bases Iguales:

am.an = am+n ; a R m,n N Ejm:

2

a5.a6.a7 = a18

24 . 23 . 22 . 26 = 24+3+2+6 = 215

3x+y+z = 3x . 3y . 3z III. Cociente de bases Iguales:

05.- nm Nnm; nmanb

ma a cero

Ejm:

2131013

1213

37

1

97

67 yx5

y5

x5

6

6 4 2

4

22 2

2

5a 3b

5a 3b (3a b) 5a 3b 3a b

3a b

xx x

x

PROBLEMAS

01.- Calcular:

A = 9x2 + 7x2 + 5x2 + 4x2

a) 21x2 b) 29x2 c) 25x2 d) x2 e) 22x2 02.- Reducir:

B = 11x4 + 7x4 3x4 a) 15x4 b) 10x4 c) 20x4 d) 20x4 e) 16x4

3

03.- Efectuar: C = 9x9 4x9 + 7x9 6x9 - 5x9

a) 2x9 b) -2x9 c) -x9 d) x9 e) 0

04.- Calcular:

B = 320 + 320 a) 3040 b) 3020 c) 2.320 d) 0 e) 1 05.- Efectuar:

2 2 2 2C 6 8 5 3

a) 10 b) 4 c) 6 d) 14 e) 18 06.- Simplificar:

15 veces

12 veces

a.a.a. ... .a.a

a.a.a. ... .a.a

a) a b) a2 c) a3 d) a4 e) a5

07.- Realizar:

50 veces

50 50 50 50

50 veces

a a a ... a

a.a.a. ... .a.a

a) 1 b) 50 b) 25 d) a e) a50 08.- Efectuar: m.m2.m3.m4. ... .m8.m9 a) m45 b) m30 c) m40 d) m-45 e) m

09.- Efectuar: x2y3x4y5x6x7

4

a) x12 b) y15 c) xy d) x12y15 e) xy15

10.- Simplificar:

5 7 9

8 3 6

2 x3 x4

4 x2 x3

a) 162 b) 128 c) 256 d) 48 e) 96 11.- Efectuar:

17 x x 12 3 4 1 35 .5 .5 .5

a) 5 b) 25 c) 125 d) 625 e) 1 12.- Calcular:

4 n n 2

3n 1 2 3n

7 x7

7 x7


15 10 9 5 10 11

20

a xb xc xa xb xc

(abc)

a) a b) b c) c d) abc e) 1 14.- Efectuar:

25

5

5A

25

a) 1 b) 5 c) 510 d) 59 e) 515

15.- Reducir:

10 veces

2 2 2 2 x 2

(20 x) veces

m .m .m . ... .m .m

m.m.m. ... .m.m

5

"2n" veces

"n" veces

x.x.x. .... .xM

x.x. ... .x

a) m b) m2 c) m3 d) m4 e) 1

16.- Efectuar:

20 21 23

18 20 22

2 .2 .2M

2 .2 .2

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16 17.- Calcular:

a) x b) nx c) xn d) 1 e) N.A 18.- Efectuar:

12 16

8 20

a bM

a b

a) 1 b)

4a

b

c) a4b4 d)

4

4

b

a e) N.A.

19.- Calcular:

512 veces10 veces

M (2.2.2. ... .2) (2 2 ... 2)

a) 1 b) 1 c) 0 d) 2502 e) 2522

20.- Efectuar:

30 veces

(m.m. ... .m.m)

30 veces

(m.m. ... .m.m)

a) m30 b) m900 c) m30m d) 3030mm e)

30mm

6

21.- Calcular:

20 factores 10 factores

4.4.4. ... .4 16.16.16. ... .16


5 8 12 3 10

7 4 3 5 2

6m m 14mm 13m m

m m .m m m

a) m7 b) 5m6 c) 7m6 d) 2m6 e) 1

Practica 01.- Simplificar:

2 4 6 1 3 5nB (x .x .x ... "n" veces)(x .x .x ... "n" veces)

a) 1 b) x c) xn d) n e) N.A.

02.- Simplificar:

n 3 n 3 n 3

n 7 n 7 n 7

3 .3 .3 ...(n 5)vecesB

3 .3 .3 ...(n 1)veces

a) 1 b) 32 c) 8 d) 38 e) 36

03.- Simplificar:

B = ma+2 . m3+a . m4 - 2a

a) m2 b) m4 c) m6 d) m8 e) m9 04.- Efectuar:

4

25x125B

5

a) 25 b) 5 c) 125 d) 1 e) 100 05.- Efectuar:

7

x x x x

3x 7 7x 3

2 .4 .8 .16B

2 .2

a) 1024 b) 512 c) 256 d) 128 e) 64

I. Multiplicacin de Exponentes

(am)n = am.n a R m,n N Ejm:

(((23)2)4)5 = 23x2x4x5 = 2120

(x3)4.(x3)5 = x12.x15=x27 II. Exponente Nulo a 0 = 1

70 = 1 (2ab)0 = 1

(-4+ 2 )0 = 1

III.- Exponente Negativo

a-1 = a

1

a-n = Nn 0a na

1

III.- Potencia

(a.b)n = an.bn , a;b R n N

Observacin

3

2

3 2 2 3

2 3 4 5 6

11 21 10

B ( 2 ) ( 2 )

(((X ) ) ) .XM

X .(X )

Ejemplo:

-3 32 3

3 2

8

(x.y)5 = x5.y5

23.33 = (2.3)3 = 63

0Rb Nn nb

nan

b

a

Ejm:

3 3

3

x x

y y

100240602402

6022

202

302

2x

2 22x 4x 6y

y 3y 6y 4x3

aa a b

b b ab

PROBLEMAS 01.- Calcular:

0

24A 7 4 3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1 e) 0 02.- Efectuar:

0 0 00 0 0B 3 2 3 4 7 (2 3) 5

a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

9

03.- Efectuar:

2 n3n 33 2422 x2

a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1 04.- Efectuar: (72n+1)2 x (72 - n)4

a) 77 b) 78 c) 710 d) 79 e) 75

05.- Calcular:

23 1 3

3 27 1A

5 10 2

a) 144 b) 121 c) 169 d) 100 e) 81 06.- Efectuar:

n 4 n 3

n 2

2 2B

2

a) 20 b) 30 c) 3 d) 2 e) 0 07.- Efectuar:

n 3 n 25 5C

5n

a) 10 b) 20 c) 15 d) 0 e) 1 08.- Efectuar:

2 4 5 6 20

7 8

(x ) .(x ) .xB

(x )

10

a) x b) x2 c) x3 d) x4 e) x5 09.- Simplificar:

m 1 m 2n

m 1 4 n 1

5 25C

125 .(5 )

a) 0 b) 1 c) 5 d) 125 e) 25 10.- Reducir:

9 35 7

82

x . xB

x

a) x b) x3 c) x8 d) x7 e) x9 11.- Calcular:

21 2 3

4 2 1A

7 5 2

a) 4 b) 16 c) 64 d) 256 e) 2 12.- Reducir:

2 3 2 5 4

3 2

3(xy) x y x yB

2x y

a) x2+y b) 2x2y c) x2y3 d) 3xy2 e) x2y2

13.- Calcular:

3 100 2 8E ( 7) 4 3

3 5

a) 0 b) 1 c) 1 d) 6 e) 2 14.- Hallar:

11

m 3 m

m m 1

6 .4F

8 .3

a) 36 b) 66 c) 48 d) 65 e) 72

15.- Hallar:

3x 2 3x 4 3x 3

x 1 x x 1

5 5 5E

5 .5 .5

a) 55x+7 b) 6 c) 31 d) 155 e) 1

16.- Calcular:

290822F 5 a) 25 b) 125 c) 625 d) 3125 e) 5 17.- Reducir:

x 1 x 2 x 3 x 4

x 1 x 2 x 3 x 4

2 2 2 2E

2 2 2 2

a) 2 b) 4 c) 16 d) 32 e) 64 18.- Siendo: xx = 5 Calcular:

3 x

4 x

(x )A

(x )

a) 5-1 b) 25 c) 125 d) 625 e) 1

19.- Sabiendo que: mm = 3

m 1mS m

es: a) 3m+1 b) 311 c) 27 d) 9 e) 3 20.- Efectuar:

12

2mm 2 mm m

m 32m

9 .81 3.9

3. 3

a) 18/27 b) 27/26 c) 26/15 d) 26/27 e) 1 21.- Calcular:

1 2 13 3 9

B 275 4 20

a) 20 b) 50 c) 49 d) 400 e) 7

22.- Hallar:

034n n

nn n

21 63C

7 21

a) 1 b) 24 c) 32 d) 81 e) 54 23.- Reducir:

y xx 2 2

2yx

y 2

2y . yD

2 .y

a) 2x b) 2y c) x d) y/2 e) x/2

24.- Reducir:

148 2 9

52 11 2 6

15 .(3.2 ) 5.2

(5 .2) 12.2 .9

13

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

PRACTICA 01.- Calcular:

6 9 42 9 8

B3 4 27

a) 1 b) 2/3 c) 8/27 d) 9/4 e) 3/2 02.- Reducir:

3 4

3 2

15 x6B

9 x4 x125

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03.- Efectuar:

23 22 2

4 22 x 2

a) 4 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256 04.- Efectuar:

3 2 2 3B ( 2 ) ( 2 )

a) 0 b) 5 c) 125 d) 1 e) 100 05.- Efectuar:

3

2

2 3 4 5 6

11 21 10

(((X ) ) ) .XM

X .(X )

a) 1024 b) 512 c) 256 d) 128 e) 64

14

Obs:

(am)n = am.n Obs

Si: ax = bx ab x = 0

Definicin Son aquellas ecuaciones cuya incgnita aparece en el exponente de la forma:

Si: ax = ay x = y a>0 a 0 Ejemplo:

Resolver: (25)x1 = (24)x+2 25x5 = 24x+8

Como las bases son iguales 5x 5 = 4x + 8 x = 13 OBSERVACIN

Si: aa = bb a = b Ejemplo: Si:

x 2

a 3 7 3

x 2 x 2

a 7 a 7

PROBLEMAS 01.- Calcular x en:

4x 25 25

a) 1 b) 2 c) 1 d) 0 e) 5 02.- Hallar x en:

x 1 3x 5 5x 9 52 .2 .2 2

15

a) 4 b) 6 c) 8 d) 2 e) 10 03.- Hallar x en:

x 3 2x 1125 25

a) 10 b) 9 c) 2 d) 11 e) 12 04.- Resolver:

4 x 6 x 10 x 4 x3 .9 .27 81

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 05.- Resolver:

x 3 2x 54 163 3

a) 3/13 b) 7/12 c) 1/3 d) 10/3 e) 1/9 06.- Resolver:

3x 1 x 52 22 4

a) 1/2 b) 7/2 c) 12/7 d) 1/7 e) 8 07.- Resolver:

3 2x x 1x 2 3 52 . 2 . 2 1

a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 08.- Resolver:

x9

3

3

a) 2 b) 3 c) d) 9/2 e) 2/3 09.- Hallar x en:

x 42x 22 162 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10.- Hallar en:

16

6 4x x x . x x

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 1/8 11.- Hallar x en:

x 1x 13 42 2

a) 0 b) 4 c) 7 d) 1 e) 19 12.- Calcular x en:

3 2 11 2 4

2163 5 11

a) b) 3/2 c) 2/3 d) 2 e) 3

14.- Resolver: x 1 x 22 .4 8

a) 2/3 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/2 e) -1/2 15.- Resolver:

x832 512 a) 1 b) 3 c) 3-1 d) 2 e) 5/4

16.- Hallar:

2M X 5

Luego de resolver:

x2 64 23 81 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 17.- Resolver:

(x 3) veces " x " veces

8.8.8. ... .8 16.16.16. ... .16

17

a) 4 b) 9 c) 2/3 d) 2 e) 1/8 18.- Calcular:

x2 2x3 481 27 a) 2 b) 2-1 c) 2-2 d) 3-1 e) 2-3

19.- Resolver:

4x 4(4x) 64

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 20.- Resolver:

2x 2

x 1

6 1

16144

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 21.- Hallar x en:

x 1 3x 5 5x 9 52 .2 .2 2

a) 4 b) 6 c) 8 d) 2 e) 10 22.- Hallar x en:

x 3 2x 1125 .25

a) 10 b) 9 c) 2 d) 11 e) 12 23.- Resolver:

x 1 x 22 .4 8

a) 2/3 b) -2/3 c) 3/2 d) 3/2 e) 1/2 24.- Resolver:

x 3 2x 54 163 3

a) 3/13 b) 13/3 c) 1/3 d) 10/3 e) N.A. 25.- Resolver:

18

3x 1 x 52 22 4

a) b) 7/2 c) 12/7 d) 1/7 e) 8 26.- Resolver:

2x 2x3 481 27

a) 2 b) c) d) 1/3 e) 1/8 27.- Resolver:

x 3 x 327 93 27

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 28.- Hallar x

x 42x 22 162 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 29.- Hallar x

7 x3

x

2 22

2 2

a) 1 b) 4 c) 3 d) e) 30.- Hallar:

3x 1x 3 48 32

a) 13/9 b) 9/13 c) 1/3 d) 1/6 e) 1/5

19

Expresin Algebraica

La expresin que enlaza variables y/o constante mediante un numero finito de adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, potenciaciones, y/o radicales, y donde los exponentes e ndices son constantes; se llama expresin algebraica. La representacin simblica que nos permite reconocer quienes son las variables de una expresin algebraica, se llama notacin matemtica. Ejm:

F(x;y) = ;1y

x3xy2

las variables son x e y.

G(x;y;z) =

n2x

3

2

z42y1x

; las variables son x,y,z.

En las siguientes expresiones algebraica:

P(x;y) = 2m3/1ynx33xy2 .

Son variables x e y ;

Son constantes: 2 ; 3 ; n ; 3

1 ; m2.

Las constantes que se representan con smbolos literales se llaman parmetros. En el ejemplo anterior, m y n son parmetros. Las siguientes expresiones no son algebraicas:

F(x) = 1- ........3x

1

2x

1

x

1

G(x) = x2+2x+2x ; H(x;y) = 2x3+logxy-seny2 Termino Algebraico La expresin algebraica que no admite las operaciones de adicin y/o sustraccin (entre sus variables), se llama termino algebraico: Ejm:

R(x;y) = - 1/24axs(x) ;y

2x3

T(x;y;z) = 4-5xU(x) ;yz

1nx

Son trminos algebraico.

En el siguiente termino algebraico:

20

T(x;y) = :tiene se,4y

3x5

Son variables x e y Es coeficiente: 5 ; y Son exponentes: 3 , 4. Termino Semejantes Dos o mas trminos algebraicos son semejantes, si presentan las mismas variables, coeficientes no nulos; y con respecto a las variables, coeficientes no nulos; y con respecto a las variables comunes, iguales exponentes. Ejm: Los trminos algebraicos:

A(x;y) = 2x3y5 N(x;y) = 5y3x2

1son semejantes

Los trminos algebraicos:

M(x;y) = -2y

3x2)x(N

2y

3x4

No son semejantes, pues no tienen las mismas variables. Valor Numrico (V.N.) Si le asignamos valores a las variables de una expresin algebraica y efectuaron las operaciones que se indican, el numero real que se obtiene se llama valor numrico de la expresin algebraica. Por ejm el valor numrico de:

A(x;y) = 1y

x3xy2

cuando x = -2 ; y = 3, es:

A(-2;3) = 92

612

13

)2(3)3)(2(2

A(-2;3) = -9 EJERCICIOS

01.- Efectuar:

a) x7 . x4 . x5 =

21

b) 2x5 . -3x4 = c) -9x4y7 . 2x5y6 =

d) a-(b + a) + (-a + b) (-a + 2b) = e) (a + b) - (-a - b) + (-b + a) (3 - b) = f) 5x + (-x - y) [-y + 4x] + {x 6} = g) 9x2(x5 6x3 + 3) h) x4y7 (x5 + y8 x3y2) = i) 3x5y4 (4 2x6y3 + x4) =

02.- Sumar:

a) (+5b) + (+16b) b) (-10y3) + (-7y3) c) (+7s) + (-10s) d) (-20abc) + (- abc) e) (+13a) + (-2a) + (-a) f) (2x2) + (-8x2) + (-15x2)

03.- Sumar algebraicamente:

a) (+4b) + (-2b) (-3b) b) (+2cd) (-3cd) + (-10cd) (5cd) c) (-5x2) (-x2) (+3x2) d) (-4abc2) (-abc2) (3abc2) (-12abc2) e) 9xy + 8x 7xy 6x + 2y f) 5x2y + 10xy2 8yx2 7y2x

04.- Dividir: 27x4 por 9x3 a) 3x b) 2x c) 4x d) 4x e) 3x 15x5 25x4 por 5x3 a) 3x2 + 5x b) 3x2 + 5 c) 3x2 5x d) 3x2 2x e) 3x2 - 4x

a2 ab ac por a

22

a) abc b) a+b+c c) a-b-c d) a+b-c e) a+b+c 05.- Sean los trminos semejantes:

2a 1 b 31t 3ax y

a 3 2b 92t 4bx y

Calcular a + b a) 2 b) 2 c) 10 d) 16 e) 14 06.- Calcular a2 + b2; dados los trminos semejantes:

2a b a 3ba1t 3ax y

2 a 3 2b 32t a x y

a) 60 b) 85 c) 74 d) 13 e) 89 07.- Si los trminos:

a 1 a 2 b 41t 2x x y y

a 3 a 32t 3x y xy

Sumados, se pueden reducir a uno slo calcular ab. a) Imposible b) 12 c) 8 d) 44 e) 16 08.- Halle la suma de coeficientes de los trminos semejantes:

2 2a 10 b 11t 3b x y

a 72t 4ax y

a) 1 b) 0 c) 8 d) 4 e) 24 09.- Sean los trminos semejantes:

2m 3 n 51t PRx y

23

2 m 1 82t 2n x y

2 R P 23t 3m x y

Halle t1 + t2 + t3 a) 18x8 b) 30xy8 c) 78xy8 d) 26xy8 e) 36xy8

10.- Sea los trminos semejantes:

mn1 1

m m n1t (xy) x y

6

m 2n n2t (x ) y

Calcular m+n+mn a) 0 b) 12 c) 6 d) 9 e) 10 11.- Seale verdadero (V) o falso (F): P(x) = 2x

12 5x19 7x + 18 a. Su trmino independiente es 18 ....................... ( ) b. Uno de los coeficientes es 32 ........................... ( ) c. La suma de los coeficientes es 32... ( ) d. El coeficiente del trmino lineal es de 7 ............ ( )

12.- Si:

2 3 4 97(x)f x 2x 3x 4x ... 97x

Hallar f(-1)

a) 97 b) 48 c) 49 d) 49 e) 97 13.- Si:

2(x)g x 11x 30

Obtener g(1) + g(5) + g(6)

24

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 0 14.- Sabiendo que :

(x)P 3x 1

(x)Q x 2

Calcular: Q(P(2)) a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 4 15.- Sabiendo que:

100 98

xP x 4x 5x 2

Calcular: (0) (1) (2)P P P

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 16.- El trmino independiente y la suma de coeficientes de:

4 2

(x)P x ax 5x b

Son 2 y 7 respectivamente. Hallar a2 + b2 a) 17 b) 25 c) 5 d) 34 e) 13 17.- Si:

9 3

(3x 2)P x x 10

Calcular: P(1) + P(-5) a) 8 b) 5 c) 3 d) 4 e) 1 18.- Sabiendo que:

2 3 48 49 50(x)P 1 x x x .... x x x

Calcular: (0) (1) ( 1)E P P P

a) 0 b) 50 c) 51 d) 52 e) 53

25

PRACTICA 01.- Dividir: P(x) por 5x

2

Si: 3 4 2

(x)P 15x 25x 125x , Sealando el trmino independiente.

a) 25 b) 5 c) 25 d) 5 e) 125 02.- Sean los trminos semejantes:

3m 1 2n 5

1t 5ax y

m 3 n 5

2t 6bx y

Hallar mn a) 5 b) 10 c) 10 d) 6 e) 6

03.- Si: (x)P 4x 5

(x)Q 2x 2

Hallar: P(1)P Q

a) 1 b) 2 c) -3 d) -5 e) 2

04.- Dado: 2

(x)P 2x mx 1

Si: P(-1) = -6; entonces m2 es:

a) 36 b) 49 c) 1 d) 7 e) 25

05.- Si: (x 1)P 2x 3

Calcular: (0) (1) (2)P P P

a) 21 b) 11 c) 19 d) 25 e) 23

TEORA DE GRADOS 1. Grado: Caracterstica de toda expresin algebraica que puede ser de dos

clases: relativo, cuando se refiere a una sola variable y absoluto, cuando se refiere a todas sus variables

26

2. Grados en un monomio

a) Grado Relativo: Respecto a una variable, es el exponente de dicha variable

b) Grado Absoluto:Esta dado por la suma de los grados relativos de las variables.

Ejemplo:

4 5 2P(x,y,z) 7 2x y z

G.A.: 4+ 5 +2 = 11 G.R.(x) = 4 G.R.(y) = 5 G.R.(z) = 2

3. Grados de un Polinomio

a) Grado Relativo: Respecto a una variable, esta dado por el mayor exponente de dicha variable en el polinomio

b) Grado Absoluto: Se calcula mediante el trmino de mayor grado absoluto. P(x,y) = 5x2y7 - 3x4y2 + 4x2y2 9 6 4 Luego el grado absoluto (G.A.) del polinomio es 9. Adems: G.R.(x) = 4 (Mayor exponente de x) G.R.(y) = 7 (Mayor exponente de y)

PROBLEMAS

01.- Sea el polinomio:

3 2m n

(x,y)P (2mx y )

(x)GR 6 ; (y)GR 8

Calcular el coeficiente. a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 64 02.- Dado el polinomio:

4 n 1

(x)P (n 1) x

Calcular el coeficiente, si dicho polinomio es de segundo grado. a) 9 b) 8 c) 10 d) 6 e) 7 03.- Si el polinomio:

32 2a 3

(x)P (a 3) x

27

es de sptimo grado, calcular su coeficiente. a) 12 b) 144 c) 147 d) 141 e) 140 04.- Calcular el grado absoluto del polinomio.

8 4 2 4 2 4 8 9 4 2

(x,y,z)P 2x y z (xy) z x y x y z

a) 14 b) 12 c) 15 d) 13 e) 16 05.- Si el polinomio:

m 1 m 2 m 4(x)P mx 2mx 3mx

es de grado absoluto 7. Sealar la suma de coeficientes. a) 18 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 06.- Sea el polinomio:

m 9 m 5 m 7 m 2m 1 3(x;y)F x y x y x y

Cuyo grado absoluto es 27. Calcular GR(x) GR(y) a) 21 b) 10 c) 11 d) 31 e) N.A. 07.- Dado el polinomio:

4 5 2

(x)P 2x 3x 8x x 4;

Sealar verdadero o falso segn corresponda: I. El coeficiente superior es 2. II. Su grado es 4. III. El trmino cuadrtico es x2.

IV. La suma de coeficiente es 10. a) VVVF b) FVFV c) VVVV d) FFFV e) FFVV 08.- Seale verdadero (V) o falso (F):

12 19

(x)P 2x 5x 7x 18

I. Su trmino independiente es 18 ............( )

28

II. Uno de los coeficientes es 18 ................( ) III. La suma de coeficiente es 32 ................( ) IV. El coeficiente del trmino lineal es 7.......( ) V. Su grado es 19 .......................................( )

09.- Seale verdadero (V) o falso (F):

2 15

xH 5a x

I. Su grado es 17. ....................... ( ) II. No es polinomio. ...................... ( ) III. Su coeficiente es 5. ................. ( ) IV. Es un monomio ....................... ( )

10.- Sea: a 2 a 9 a 5

xP ax 2ax x

Sea un polinomio de grado 13. Seale la suma de coeficientes. a) 3a b) 4a c) a+3 d) 12 e) 13 11.- Halle el coeficiente del monomio:

aab 1 3 4

x;y 1 b

3 x yM

(x y)

Si: (x) (y)GR 10; GR 4

a) 9 b) 27 c) 81 c) 243 e) 37

12.- Dado el polinomio:

a 2 b 5 a 3 b a 1 b 6

(x;y)P x y 2x y 7x y

De donde: (p) (x)GR 17; GR 4

Hallar a + b a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 13.- Hallar la suma de los coeficientes del polinomio:

a 3 3b a 1 2b a 5b 3(x;y)P 4a b x y (5a 2b)x y (a 3b)x y

Si el grado relativo a x es 7 y su grado absoluto es 12.

29

a) 0 b) 1 c) 2 c) 2 e) N.A. 14.- Halle el coeficiente de:

4n nn n

n 1(x)R (n 3) . x

Si su grado es 32.

a) 2 b) 1 c) 9 d) 12 e) 5

15.- Sea el monomio: 5m 2 10 5m

(x;y)

2P x y

5

Hallar su grado. a) 1 b) 2 c) 3 d) 12 e) 10

16.- Si el monomio: 7 a

yM 7 3y

es de grado 12, hallar a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17.- Hallar el grado del siguiente polinomio:

3 16 4 1 15

(x;y)P 4 x y 2 x y

a) 16 b) 17 c) 20 d) 22 e) 23 18.- Si el polinomio P(x) es de cuarto grado. Hallar m.

1 m 2 m 3 m

(x)P 7x 6x 5x

a) 1 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 19.- El grado P(x) es 18. Hallar m

m m(x)P x 2 x 4 a) 1 b) 6 c) 9 d) 10 e) 18 20.- Dado el monomio:

b 2a 3b 5b a

x;yM 4a x y

Si: (M) (x)GA 10 GR 7

Sealar su coeficiente.

30

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 64 21.- En la siguiente adicin de monomios:

a 6 a b 2c cx x bx

3 2

Calcular: a + b + c a) 3 b) 5 d) 6 d) 9 e) 14 22.- Dado el monomio:

2a 2 3b

(x;y)M (a b)x y

Donde: Coef(M) = GR(x) ; GA(M) = 27

Hallar ab a) 5 b) 7 c) 12 d) 35 e) 42 23.- En el siguiente polinomio:

a b 1 a 1 b a 2 b 2 a 3 b 1

(x;y)P x y x y x y x y

En donde: (x) (P) (y)GR 10 GA 13 GR ?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 24. En el siguiente polinomio:

a 3 b 2 6 a a 2 b 3 a b

(x;y)P 7x y z 5 y z

En donde: (x) (y) (P)GR GR 3 GA 13

Calcular: a + b a) 5 b) 6 c) 7 d) 11 e) 12 25.- Del polinomio:

5 7 9 8 10 3 13 2

(x;y;z)P 4x y 6x z 9x y z 5x y

Calcular GR(x) + GR(y) + GR(z) + GA[P] a) 38 b) 42 c) 45 d) 35 e) 40 26.- Dado el polinomio P(x; y)

31

2 m 3 5 m 4 4 m 5 6 m 2(x;y)P 7x y 4x y 3x y x y

Hallar GR(x) + GR(y) + GA(P) a) 2m + 6 b) 2m + 2 c) 2m + 20 d) 2m + 16 e) 2m + 14 27.- Sea el polinomio:

a 5 a 1 a 2 a 9 a 7 a 2(x;y)P 2x y 3x y 4x y

De grado absoluto 33. Calcular el valor de a a) 11 b) 13 c) 14 d) 15 e) 17

28.- Sea el monomio: M(x;y) = 3ab-1 x3a+b y 4a-b

Hallar su coeficiente, si: GR(x) = 10 y GR(y) = 4 a) 18 b) 24 c) 216 d) 48 e) 72

29.- Si el grado de la expresin:

n 2n nn(x)M x es 729.

Hallar n a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 9

30.- Sea el polinomio: P(x; y)

Donde: 2a 6 5 a 2 a 4 3 2a 7 a 5 a 9

(x;y)P 2x y 3x y x y x y

Calcule el grado absoluto mnimo que puede tomar P(x; y)

a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 17

PRACTICA 01.- Del polinomio:

3 9 2 7 5 9 5 2

(x;y;z)P 4x y z 8x y 6x y z 3yz

Calcular GR(x) + GR(y) + GA(z) + GA(P)

32

a) 36 b) 37 c) 38 d) 26 e) N.A.

02.- Dado el polinomio: 52 3a 7

(x)P (a 4) x ; de grado 8. Hallar su coeficiente.

a) 125 b) 100 c) 85 d) 68 e) 104 03.- Sea e l monomio:

n 4a 5 3b 6 2a b 2 6a 2b5

(x;y;z)P 7 x y z

Hallar su grado. a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) N.A. 04.- Sea el polinomio:

a 7 a 6 a 3 a 3 a 10 a 5

(x;y;z)P a x y z ax y z

Hallar el valor de a, si su grado absoluto es 30. a) 6 b) 13 c) 17 d) 15 e) N.A.

05.- Hallar , si la expresin es de segundo grado.

1/ 37 3

(x) 4

x . xM

x

a) 1 b) 2 c) 6 d) 5 e) 7 1. Polinomio Homogneo Es aquel polinomio en el cual todos sus trminos son de igual grado absoluto. Ejemplo:

P(x,y) = x2y12 + x6y8 + 2x10y4

Grados: 14 14 14 P(x) es homogneo de grado 14. 2. Polinomio Ordenado

33

Un polinomio ser ordenado con respecto a una variable, si los exponentes de dicha variable estn: aumentando o disminuyendo, a partir del primer trmino. Ejemplo: P(x) = x

8 + x5 + 2x4 5x 3 Es un polinomio ordenado en forma descendente (los exponentes de x estn disminuyendo a partir del primer trmino) 3. Polinomio Completo Un polinomio ser completo con respecto a una variable, si dicha variable posee todos los exponentes, desde el mayor hasta el exponente cero, inclusive. Ejemplo: P(x) = 2x

3 + x2 + x4 2x 6x P(x) es completo

Propiedad En todo polinomio completo y de una sola variable, el nmero de trminos es equivalente al grado aumentado en la unidad. Es decir: si P(x) es completo

# Nmero de Trminos de P(X) = Grado + 1

Ejemplo: P(x) = x

16 + x15 + x14 + ........ + x2 + x + 1 GA [P(x)] = 16 # de trminos de P(x) = 16 + 1 = 17

4. Polinomios Idnticos ( ) Dos polinomios son idnticos si tienen el mismo valor numrico para cualquier valor asignado a sus variable. En dos polinomios idnticos los coeficientes de sus trminos semejantes son iguales. Es decir: Se cumple: 5. Polinomios Idnticamente Nulos

a = m b = n c = p

34

Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables. En todo polinomio idnticamente nulo reducido, sus coeficientes son iguales a cero.

Es decir si: ax2 + bx + c 0

Se cumple que: a = 0 b = 0 c = 0

PROBLEMAS

01.- Halle (a + b)(ab), sabiendo que:

a 2b a b b 2b a a b 8(x;y)P x y 15x y 2x y

Es un polinomio homogneo. a) 60 b) 100 c) 160 d) 200 e) 240 02.- Calcular la suma de coeficientes del polinomio:

2 a 7 a b b 4(x;y)P a x bx y aby

Sabiendo que es homogneo. a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39

03.- Si: a b b c c d d 4

(x)P x 2x 3x 4x

Es completo y ordenado ascendentemente. Calcular abcd. a) 12 b) 12 c) 6 d) 6 e) 3 04.- Si el polinomio:

a 18 a b 15 c b 16(x)P 18x 32x 18x

Es completo y ordenado en forma ascendente. Calcular a+b+c

35

a) 18 b) 32 c) 36 d) 68 e) 92 05.- Calcular a + b + c, Sabiendo que:

2(x)Q (a b 1)x (b c 2)x (c a 4)

2(x)P 4X 3X 2

Adems: Q(x) = P(x)

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 06.- Si los polinomios:

2(x)P a(x 1) b(x 2) 2

(x)Q (x 2)(x 1) (x 3)(x 2)

Son idnticos. Calcular ab a) 0 b) 1 c) 2 d) 1 e) 2 07.- Dado los polinomios idnticos:

3 a(x)P x 4x

a 2(x)Q x (b 2a)x

Calcular: a + b a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

08.- Si: 3(a b 2)x (a c 3)x (b c 5) 0

Determinar a b + c a) 2 b) 1 c) 2 d) 1 e) 0

36

09.- Si el polinomio:

2 2(x;y)P (a 4)xy (a b 20x y)

Se anula para cualquier valor de sus variables.

Determinar ab

a) 4 b) 8 c) 16 d) 64 e) 72 10.- Dado el siguiente polinomio idnticamente nulo:

2(x)P (ab ac 3)x (ac bc 4)x (ab bc 5)

Seale el valor de: N = abc(a + b)(a+c)(b+c) a) 3 b) 12 c) 20 d) 45 e) 60 11.- En el polinomio homogneo:

a 3 a 1 b 2 b 8(x;y)P ax abx y 2by

Determine la suma de sus coeficientes. a) 3 b) 2 c) 1 d) 2 e) 3 12.- Calcular a + b + c, si el polinomio:

a 3 2 b 5 8 c 4 10 9(x;y)P x y 5x y 6x y x y

es homogneo. a) 44 b) 43 c) 42 d) 41 e) 40} 13.- Si el siguiente polinomio:

4b a c

3a 9 a b 3 2(x)P 3x x 6 x

37

es completo y ordenado crecientemente. Calcular a + b + c a) 1 b) 3 c) 6 d) 10 e) 15 14.- Dado el polinomio completo y ordenado en forma decreciente:

4a 3b 3 2a 5b 6 5a b 5(x)P x 5x 10x ...

Calcular a + b a) 15 b) 10 c) 5 d) 2 e) 1 15.- Dados los polinomios idnticos:

3 3(x;y)P (a b)x (b c)y

3 3(x;y)Q (c a)(x y )

Determinar a 2b 3c

a 2b 3c

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16.- Sea el polinomio completo y ordenado descendentemente:

m a b c(x)P x ... x x x ... 1

Calcular: a b c

b

a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 1/3 17.- Hallar el trmino independiente del polinomio completo y ordenado descendentemente.

20 a n 5 a 17(x)P x x ... x x ... 2n

a) 72 b) 144 c) 18 d) 48 e) 56 18.- Calcular la suma de coeficientes del polinomio homogneo.

38

2a b 3 b a 2b a b 8

(x;y)P 2ax b x y x y

a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 9 19.- Calcular a + b, si el polinomio:

a b 2n n 1 3n n 8(x;y)P x y (n 1)x y (ab)x y

;

Es homogneo. a) 12 b) 9 c) 28 d) 32 e) 19 20.- Calcular a + b + c, si:

2 2ax(x 1) b(x c) x 3x 8x 12

a) 8 b) 6 c) 10 d) 11 e) 12 21.- Sea el polinomio:

2(x)P (ax b)(x 2) 3(x c)

Si: P(x) 0. Hallar a + b + c a) 1 b) 1 c) 2 d) 0 e) 2 22.- Dada la siguiente identidad:

2Ax(x 1) Bx(x 2) C(x 1)(x 2) 5x x 4

Calcular A.B.C a) 16 b) 24 c) 32 d) 36 e) 42 23.- Sea el polinomio completo y ordenado descendentemente:

m 2 m n 1 m p 7 p q 2(x)P 2x 3x 5x x

Calcular q a) 7 b) 9 c) 8 d) 13 e) 5

39

24.- El polinomio completo y ordenado: n 2 n 3 m 10

(x)F 8x 9x ... x tiene 20 trminos, halle m + n

a) 27 b) 30 c) 31 d) 29 e) 32 25.- Calcular a + b

Si: a 1 2a 5 9 n n 5 b 3 8

(x;y)P x y x y x y

Es homogneo. a) 12 b) 14 c) 13 d) 15 e) 18 26.- Sea el polinomio homogneo de grado 24.

2n 1 n 2 m 2n m p m(x;y)P x y x y x

Calcular p a) 15 b) 29 c) 19 d) 17 e) 18 27.- Halle la suma de coeficientes del polinomio homogneo:

n 3 2n 1 n 12 a b(x;y)P x y (a b)x y (n 1)x y

a) 17 b) 16 c) 22 d) 21 e) 20

28.- Sean los polinomios: (x)P bx(x 2) c(x 3a)

2(x)F 5x x 66

Si: P(x) F(x). calcular a + b + c a) 16 b) 18 c) 20 d) 17 e) 21

29.- Sean los polinomios:2

(x)P (x 3)(mx px q) (2x n)

3(x)Q x 4x 5

Si: P(x) Q(x) entonces n es: a) 14 b) 12 c) 28 d) 16 e) 15 30.- Sabiendo que:

2 2(x a)(bx 3) c 4 2bx 9x 3x 4

Hallar a + b - c a) 1 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8

40

PRACTICA 01.- Si; P(x) es ordenado y completo respecto de x, hallar m+n

P(x) = x4 + xm+1 + xn-8 + x +1 a) 10 b) 8 c) 6 d) 14 e) 12 02.- Calcular mn, sabiendo que el polinomio

m 4 6 2 3 5 n

(x;y)P 5x y 3x y 2x y

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4 03.- Si: m(x+n) + n(x+m) = 3x + 18

Calcular:

11 1

m n

a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) N.A.

04.- Calcular m + n + p, si: P(x) Q(x)

Siendo: 2

(x)P 4x 3x 2

2

(x)Q (m n 1)x (n p 2)x (p m 4)

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 05.- Sabiendo:

2 2 2 2 2

(x;y)P (a b) x (a c) xy (b c) y

2 2

(x;y)F abx 2acxy 3bcy

Adems: P(x;y) F(x;y)

Calcular: 2 2

2 2

a b a c bc

b a b c

a) 0 b) 1 c) 1 d) 2 e) N.A.

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