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Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica 1 Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS (para uso de alumnos)

MÓDULO IV “FUNCIONES”


I.- INTRODUCCIÓN Como primer paso para el aprendizaje de las matemáticas, es importante darse cuenta de que las matemáticas es más fácil estudiarlas en pequeñas dosis. Si bien esta afirmación es válida en casi cualquier tema, lo es aún más para el caso de las matemáticas. Dos horas de estudio al día es mucho más productivo que 10 horas en un solo día de la semana. Aunque es posible leer dos novelas en un fin de semana para un curso de literatura, es casi imposible ponerse al día en los estudios de dos semanas de matemáticas en un solo fin de semana. El estudio de las matemáticas es acumulativo y la construcción de conceptos se apoya en aquellos previamente adquiridos. También se necesita "tiempo de decantación", es decir, la oportunidad de reflexionar sobre los conceptos y las ideas antes de que otros se presenten. En segundo lugar, se debe tener presente que las matemáticas no son una disciplina para observar, sino una del tipo “hágalo usted mismo” en la cual el estudiante debe asumir un rol activo. Por esta razón usted debe resolver personalmente los problemas que se le presenten y reconocer que no existe un camino corto hacia el éxito. No obstante lo anterior, las siguientes orientaciones, las que se refieren a la preparación de clases, toma de apuntes, lectura de textos, resolución de problemas, y análisis de problemas, debieran serle útiles en el estudio de las matemáticas. 1. Preparación de clases La mirada preliminar es una parte importante del estudio, la cual no requiere de una gran cantidad de tiempo. Antes de cada clase, dé una mirada al material de apoyo y los temas que se estudiarán en la clase. Fórmese una visión general leyendo introducciones y resúmenes acerca de las materias que se estudiarán. Vea los problemas asociados a la sección para tener una idea general del enfoque de la clase. Esta vista previa debe servir de base general para el anclaje de la nueva información que se presentará en la clase. Por otra parte, revise permanentemente los aprendizajes esperados y los criterios de evaluación del programa de la asignatura, y especialmente los que serán abordados en la próxima clase. Esto le orientará respecto de los aprendizajes que debieran ser desarrollados y los indicadores o criterios que den cuenta que lo va logrando. 2. Tomar apuntes En clases, escuche activamente mientras toma apuntes. Intente aprender de la presentación del profesor. Ponga atención a los aprendizajes que se espera lograr en la clase. Anote observaciones explicativas sobre cada problema. Tenga en cuenta las condiciones particulares del problema, cómo avanzar de un paso a otro, y el por qué del enfoque adoptado para resolver el problema. Observe como cada problema se relaciona con el programa de la asignatura. Si pierde atención o no entiende algo en la clase, tome apuntes de lo que alcance y complete lo faltante más tarde. Tan pronto como sea posible después de las clases, revise y edite sus apuntes. Utilice el margen o la parte de atrás de la página contraria para resumir las materias y hacer una lista de los principales términos o fórmulas. También puede utilizar este espacio para tomar notas de algún texto, con lo que complementará sus apuntes de clase y creará una fuente de estudio integrada. Revise sus apuntes a intervalos regulares, sobre todo tan pronto como sea posible, justo antes y justo después de cada clase. Revise además que se han resuelto problemas correspondientes a todos los criterios de evaluación de los aprendizajes que se había considerado lograr en la clase.


3. La lectura de libros de texto Al leer algún libro de texto de matemáticas, en primer lugar dé una hojeada al material para obtener una visión general. Luego lea cuidadosamente, asegurándose de que entiende cada parte que esté avanzando. A medida que lee, tome notas de las nuevas definiciones y símbolos. Es muy importante que traduzca las fórmulas y conceptos abstractos en sus propias explicaciones verbales. Ponga especial atención a los problemas que se muestren como ejemplos. Usted debiera analizar los problemas de ejemplo del texto, explicando cada paso con sus propias palabras y dibujando diagramas para acompañar estas explicaciones. Como práctica, cierre el libro y rehaga los ejemplos por sus propios medios. Por último, fíjese en cómo las materias se relacionan con las materias previas, y deténgase periódicamente a explicarse a si mismo las materias estudiadas. 4. Solución de problemas La mayor parte de su tiempo de estudio debería ser dedicado al desarrollo o el estudio de preguntas que representan problemas resueltos o por resolver. Cuando desarrolle un problema, lea primero toda la pregunta para obtener una visión general. En segundo lugar, establezca la variable desconocida en sus propios términos y anote cada información que se le entrega. A continuación, elabore un plan tentativo para resolver el problema mediante la utilización de uno o más de las siguientes tácticas:

a. Establezca relaciones entre todos los hechos dados.

b. Considere las fórmulas o definiciones que pudieran ser pertinentes.

c. Trabaje hacia atrás, preguntándose: "¿Qué información necesito conocer para encontrar la respuesta?"

d. Relacione el problema con algún ejemplo o ejercicio similar visto en clases o en un texto.

e. Relacione el problema con un criterio de evaluación y aprendizaje esperado del programa de la asignatura.

f. Resuelva una versión más simple del problema utilizando números pequeños.

g. Divida el problema en varios problemas más simples. Desarrolle parte del problema y vea si está relacionado con el todo.

h. Verifique que cada paso de la solución es correcta y clara. Luego, reescriba la solución correcta desde el principio hasta el fin.


5. Análisis de problemas Después de haber trabajado un problema, analícelo. Enfóquese en los procesos utilizados (no en la respuesta) y hágase las siguientes preguntas: ¿Qué conceptos, fórmulas, y reglas apliqué? ¿Qué métodos usé? ¿Es comparable la solución con las de mis apuntes? ¿Qué aprendizajes esperados estoy logrando? ¿Puedo simplificar lo que hice?. Explique cada uno de los pasos usando sus propias palabras. De esta manera usted reforzará su comprensión del problema y le ayudará en el estudio posterior. Las sugerencias de estudio en este documento le ayudarán a mejorar su desempeño en su clase de matemáticas. Pero recuerde que los cursos de matemáticas son acumulativos, si tiene problemas con las materias al comienzo del curso, es probable que posteriormente estos problemas se multipliquen. Por lo tanto, usted debería buscar ayuda a tiempo si se encuentra con dificultades. II.- PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS Este documento contiene preguntas elaboradas por la Dirección de Evaluación de INACAP, con el objetivo de orientar a los alumnos en su estudio de las matemáticas, y a los docentes en la elaboración de las evaluaciones. Todas las preguntas están ajustadas a los criterios de evaluación y a través de ellos a los aprendizajes esperados del módulo IV “Funciones” de los programas de matemáticas con código MATBxx de INACAP. En la primera parte del documento aparecen planteadas las preguntas con 4 alternativas de solución, y en la segunda parte, se muestra su resolución y la alternativa correcta. Si bien las preguntas están planteadas en formato de selección múltiple, la mayoría de ellas son preguntas de aplicación que pueden ser también planteadas como preguntas de desarrollo.


Módulo 4. Funciones.

Aprendizaje Esperado 4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.

Criterio de Evaluación 4.1.1 Utiliza los conceptos de las funciones para interpretar datos representados en tablas o gráficamente, considerando para ello la situación de la que son extraídos.

1. De los siguientes gráficos, ¿cuáles representan funciones reales? A) B) C) D) Módulo 4. Funciones.



2. La siguiente tabla:

x y2− 40 02 4

Corresponde a las imágenes de la función:

A) 2y x= B) 2y x= − C) y x= D) y x= −





3. El gráfico que representa la función: y f(x) x 1= = − ; es: A) B) C) D) Módulo 4. Funciones.



4. El gráfico: ; corresponde a la tabla: A) B) C) D)

x y 0 1 2 0 x y 0 2 1 0 x y 1 2 0 0 x y 2 1 0 0




Criterio de Evaluación 4.1.2 Aplica reglas algebraicas y gráficas para determinar dominio y recorrido de funciones.

5. Dada la gráfica de una función, entonces su dominio es::

A) IR+ B) IR C) IR− D) { }IR 0−

Dibujo




6. Sea la función: 1f(x)x 1

=−

; entonces su recorrido es:

A) IR B) { }IR 0+ U C) { }IR 0− D) IR−




7. El recorrido de la función: 3x 1y f(x)2x 5

+= =

− ; es:

A) 1IR5

⎧ ⎫− −⎨ ⎬⎩ ⎭

B) 4IR3

⎧ ⎫− −⎨ ⎬⎩ ⎭

C) 3IR2

⎧ ⎫− ⎨ ⎬⎩ ⎭

D) 5IR2

⎧ ⎫− ⎨ ⎬⎩ ⎭





8. De acuerdo al gráfico de la función, el dominio es:

A) [ ]1, 1− B) 0IR+ C) IR+ D) ] [1, 1−

Dibujo



Criterio de Evaluación 4.1.3 Representa gráficamente funciones dadas en cualquiera de sus formas, indicando dominio, recorrido y sus características globales.

9. La función que representa la gráfica es: A) y 3= B) x 3= C) y 3= − D) x 3= −

Dibujo




10. La intersección con el eje x de la función graficada es:

A) 2 , 03

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

B) 20 ,3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

C) 20 ,3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

D) 2 , 03

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Dibujo





11. El gráfico que corresponde a la función: y f(x) 3x 2= = − ; es: A) B)

C) D)




12. Dada una función f cualquiera de recorrido: 1rec f : ,2⎡ ⎡∞⎢ ⎢⎣ ⎣

; la gráfica

correspondiente a ella es: A) B)

C) D)




Criterio de Evaluación 4.1.4 Aplica las características globales de las funciones para obtener su representación gráfica.

13. El vértice de la parábola: 2f(x) x 4= − ; está representado por: A) B)

C) D)




14. El gráfico que representa una recta de inclinación 45º y que pase por el punto P = (1,2): A) B)

C) D)





15. Sea f una función cuadrática cuyos ceros son x = -1 y x = 3; con vértice (1 , 4)− . Entonces la gráfica que lo representa es: A) B)

C) D)




16. La gráfica que representa una función lineal de pendiente negativa y coeficiente de posición positivo es: A) B)

C) D)




Criterio de Evaluación 4.1.5 Utiliza conceptos y características de las funciones para extraer información de situaciones dadas mediante enunciados, tablas, expresiones algebraicas o gráficas.

17. La tabla muestra las temperaturas de una semana de enero, entonces el día de menor temperatura es: A) Lunes B) Miércoles C) Viernes D) Domingo

Tabla Día Tº L 30ºM 32ºM 35ºJ 31ºV 28ºS 33ºD 34º




18. Sea xf(x) 2= ; entonces f(0) es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 Módulo 4. Funciones.



19. De acuerdo a la tabla, el punto de intersección con el eje x es:

A) ( )0 , 0 B) ( )0 , 3− C) ( )3 , 0 D) ( )3 , 3−

Tabla

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 y – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0





20. Si: 5x 6y f(x)3x 4

−= =

+ entonces el valor de f( 1)− es:

A) – 11

B) 17

−

C) 117

D) 35


Aprendizaje Esperado 4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a modelos lineales.

Criterio de Evaluación 4.2.1 Utiliza fórmulas para determinar la ecuación de una recta y la representa gráficamente.

21. Dados la pendiente m 2= − y el coeficiente de posición 1n2

= , entonces la

ecuación de la recta es:

A) 1y 2x2

= −

B) 1y 2x2

= +

C) 1y 2x2

= − +

D) 1y 2x2

= − −





22. Sea la función lineal 2y x 13

= − + , entonces la ecuación de la recta en su forma

general es: A) 2x 3y 3 0− + − = B) 2x 3y 3 0+ + = C) 2x 3y 3 0− − = D) 2x 3y 3 0+ − = Módulo 4. Funciones.



23. Sea: 3x 2y 1 0− + = ; la ecuación general de la recta, entonces la ecuación principal es: A) y 3x 1= +

B) 3 1y x2 2

= − −

C) 3 1y x2 2

= +

D) y 3x 1= − −





24. La gráfica asociada a la ecuación 2x 5y 3 0− + + = es: A) B)

C) D)



Criterio de Evaluación 4.2.2 Representa gráficamente funciones lineales dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando sus elementos característicos.

25. La gráfica de la función lineal 2x 3y 1 0+ − = es: A) B)

C) D)





26. Dada la tabla :

Lápices $Valor1 100 2 200 3 300 4 400

entonces el gráfico que representa los datos es: A) B)

C) D)




27. El gráfico de la función lineal asociada a la tabla

x -2 0 2y -5 -1 3

es: A) B)

C) D)





28. La gráfica que representa la función lineal y 4x 8= − es: A) B)

C) D)



Criterio de Evaluación 4.2.3 Utiliza conceptos y elementos característicos de las funciones lineales para extraer información de situaciones dadas mediante enunciados, tablas, expresiones algebraicas o gráficas.

29. Dadas las funciones lineales y 2x 1= + ; y 3 2x= − , entonces su punto de intersección es:

A) ( )0 , 2

B) 12 ,2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

C) 1 , 22

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

D) 1 , 02

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠





30. Dado el gráfico de la función lineal, entonces los puntos de intersección con los ejes coordenados son:

A) ( )3 , 4− B) ( )4 , 3− C) ( )0 , 4− ; ( )3 , 0 D) ( )4 , 0− ; ( )0 , 3

Dibujo




31. De acuerdo a la gráfica que aparece a continuación, y considerando que m es la pendiente y n el coeficiente de posición, podemos afirmar que: A) m 0 , n 0> < B) m 0 , n 0< > C) m 0 , n 0< < D) m 0 , n 0> >

Dibujo




32. Según la gráfica que aparece a continuación, la pendiente es: A) 3

B) 31

C) 31

−

D) -3

Dibujo



Aprendizaje Esperado 4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.

Criterio de Evaluación 4.3.1 Representa gráficamente funciones cuadráticas dadas mediante enunciados, tablas, o expresiones algebraicas, indicando sus elementos característicos.

33. Si en una función cuadrática 2f(x) ax bx c ; a 0= + + > , entonces una de sus posibles gráficas es: A) B)

C) D)




34. Si una función cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas, entonces una posible gráfica es: A) B)

C) D)





35. De acuerdo a la tabla:

x -2 0 1y 0 -2 0

el gráfico de la función cuadrática es: A) B)

C) D)




36. Sea una función cuadrática de la forma 2ax bx c 0+ + = , con a 0 ; c 0< < y con discriminante (Δ ) igual a cero. Entonces uno de los posibles gráficos es: A) B)

C) D)




Criterio de Evaluación 4.3.2 Utiliza los elementos característicos de una función cuadrática para interpretar su comportamiento.

37. En una función cuadrática, si el discriminante es igual a cero, entonces sus raíces son: A) Reales y Distintitas B) Reales e Iguales C) Imaginarias D) No existen Módulo 4. Funciones.



38. Sea la función cuadrática 2f(x) 2x 3x 1= + + , entonces su vértice están el cuadrante: A) I B) II C) III D) IV Módulo 4. Funciones.



39. El vértice de la función 2f(x) x 4x 5= − − se encuentra en el cuadrante: A) I B) II C) III D) IV





40. Si el discriminante de la función cuadrática es positivo, entonces ella: A) Corta al eje x en el origen B) Corta al eje x en dos puntos C) Corta al eje x en un punto D) No corta al eje x Módulo 4. Funciones.


Criterio de Evaluación 4.3.3 Aplica métodos gráfico y analítico para resolver ecuaciones de segundo grado.

41. Los ceros de la ecuación cuadrática 29x 6x 1 0+ + = ; son:

A) 1 1y3 3

−

B) – 3 y 3

C) 1 1y3 3

− −

D) 1 1y3 3




42. El gráfico representa una función cuadrática donde V es el vértice, entonces la suma de sus raíces es: A) – 8 B) – 4 C) 3 D) 4

Dibujo





43. Las raíces de la ecuación 22x 3x 2 0+ − = ; son:

A) 1 y 22

−

B) 1 y 22

−

C) 1 y 22

− −

D) 1 y 22




44. De acuerdo al gráfico, la coordenada x del vértice es: A) – 3 B) – 2 C) – 1 D) 1

Dibujo



Criterio de Evaluación 4.3.4 Utiliza la función cuadrática para modelar y resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o sociales.

45. Sea la función cuadrática 2y x 4x c= − + , entonces el valor de c para el cual y es – 3 y tiene un cero igual a 2 es: A) – 3 B) 1 C) 2 D) 4





46. Se lanza una pelota hacia arriba con un determinado ángulo respecto de la horizontal, tal que su trayectoria parabólica está dada por la función cuadrática

2 3y 5t 24t2

= − + + , entonces la altura que alcanza la pelota a los 3 segundos de

haberla lanzado es:

A) 3 m.2

B) 5 m. C) 24 m.

D) 57 m.2




47. La función ( ) 2C u 250u u= − representa el costo (miles de dólares) de producir cierta cantidad de artículos (u). ¿Cuál es el costo de producir 200 unidades? A) US$ 10.000 B) US$ 20.000 C) US$ 200.000 D) US$ 250.000





48. La altura que alcanza una piedra al ser lanzada se expresa por la función ( ) 2h t 10t t= − en donde d: altura que alcanza la piedra y t: tiempo transcurrido en

segundos. ¿En qué instantes de tiempo la piedra se encuentra a 16 metros del suelo? A) 1 y 8 seg. B) 2 y 8 seg. C) 3 y 7 seg. D) 4 y 6 seg. Módulo 4. Funciones.

Aprendizaje Esperado 4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.

Criterio de Evaluación 4.4.1 Representa gráficamente funciones exponenciales y logarítmicas, determinando sus elementos característicos.

49. Sea la función ( ) xf x e−= , entonces su gráfica es: A) B)

C) D)





50. Sea la función ( ) ( )f x log x 1= + , entonces su gráfica es: A) B)

C) D)




51. La gráfica de ( )= = −xy f x 2 1 es: A) B)

C) D)





52. La gráfica ( ) ( )= =y f x ln 2x es: A) B)

C) D)



Criterio de Evaluación 4.4.2 Aplica propiedades para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

53. Al resolver la ecuación exponencial

2 22x 1 x 3x3 9 27− = ÷ , tenemos como solución: A) 3 B) 13− C) 23− D) 33−





54. Al resolver la ecuación logarítmica ( )3 3log log 5x 2 1⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ , entonces el valor de x es: A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 Módulo 4. Funciones.



55. La solución de la ecuación x 13 2+ = es: A) log10−

B) log2 log3log3−

C) log2

D) log2 log3log2+




56. La solución de la ecuación ( )3log 2x 1 1− = − es:

A) 13

−

B) 23

C) 2

D) 112




Criterio de Evaluación 4.4.3 Utiliza las funciones exponencial y logarítmica para modelar y resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o sociales.

57. Según una ley física referida al enfriamiento de un cuerpo, la temperatura final de un objeto, transcurridos t minutos, está dada por la relación ( ) ( ) k tf t A B A 10− ⋅= − − ⋅ , donde A es la temperatura del medio, B es la temperatura

del cuerpo y k = 0,5 es constante de enfriamiento. Entonces si un cuerpo con 50ºC ubicado en un medio de 20ºC , ¿qué temperatura tendrá transcurridos 6 minutos? A) 1,997 ºC B) 19,97 ºC C) 199,7 ºC D) 1997 ºC Módulo 4. Funciones.



58. El trabajo L desarrollado por un gas que se expande a temperatura constante, desde el volumen V0 hasta el volumen V1, cuando su presión inicial es p0, se

calcula por 10 0

0

VL p V lnV

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Si 2

0p 427 kg/m= , 30v 7 m= , 3

1v 14 m= , entonces

L es: A) 14 Kg m B) 427 Kg m C) 899,78 Kg m D) 2071,82 Kg m





59. La función ( ) 0,01 tP t 3 e ⋅= ⋅ representa la población, en millones de personas, de una ciudad en t años. Entonces la población al quinto año es de: A) 31.538.132 personas B) 3.153.813 personas C) 315.381 personas D) 31.538 personas Módulo 4. Funciones.



60. La función ( ) ( )R A 1,2 log 3A 2= ⋅ + representa la intensidad en grados que tiene un sismo en un área determinada, de A Km2. Entonces, la intensidad de un sismo que afecta un área de 100 Km2 es de: A) 2,57 grados B) 3,77 grados C) 4,97 grados D) 6,17 grados


Resolución

1. De los siguientes gráficos, ¿cuáles representan funciones reales? Resolución A cada x le corresponde un único y.

ALTERNATIVA B 2. La siguiente tabla:

x y2− 40 02 4

Corresponde a las imágenes de la función: Resolución

f( 2) 4f(0) 0f(2) 4

− ===

ALTERNATIVA A 3. El gráfico que representa la función: y f(x) x 1= = − ; es: Resolución

Sea y f(x) x 1Punto int er sec ción eje X : (y 0)

0 x 1

x 1(1,0)Punto int er sec ción eje Y : (x 0)

y 0 1

y 1

(0, 1)

= = −=

→ = −

=

=→ = −

= −

−

ALTERNATIVA D


4. El gráfico: ; corresponde a la tabla: Resolución En toda función es posible determinar la intersección de ella con el eje x haciendo y = 0, del mismo modo es posible determinar la intersección de ella con el eje y haciendo x = 0. Así según el gráfico, cuando x = 1, y = 0, luego el punto de intersección con el eje x es (1,0) y cuando x = 0, y = 2, luego el punto de intersección con el eje y es (0,2)

ALTERNATIVA B 5. Dada la gráfica de una función, entonces su dominio es:: Resolución

Los valores que puede tomar x es cualquier real F(-2)=4 F(0)=0 F(2)=4

.

ALTERNATIVA B

6. Sea la función: 1f(x)x 1

=−

; entonces su recorrido es:

Resolución

1yx 1

y (x 1) 1yx y 1yx 1 y

1 yxy

=−

⋅ − =− == +

+=

ALTERNATIVA C


7. El recorrido de la función: 3x 1y f(x)2x 5

+= =

− ; es:

Resolución

1

Como :3x 1y f(x)2x 5

y (2x 5) 3x 12xy 5y 3x 12xy 3x 5y 1

5y 1x2x 3

5x 1f2x 3

2x 3 0

32x 3 x2

3Luego : Recorrido :IR2

−

+= =

−⋅ − = +

− = +− = +

+=

−+

=−

⇒ − ≠

= ⇒ =

⎧ ⎫− ⎨ ⎬⎩ ⎭

ALTERNATIVA C Módulo 4. Funciones.



8. De acuerdo al gráfico de la función, el dominio es: Resolución En toda función, es posible determinar su dominio analizando sus valores en el eje x. Es así que al ver el gráfico es posible determinar que el valor mínimo de x es 0 y el máximo tiende al infinito positivo. Por lo tanto el dominio de la función se encuentra entre dichos valores, es decir [ [∞0 , que equivale a decir los reales positivos y el

cero ( )+0IR

ALTERNATIVA B


9. La función que representa la gráfica es: Resolución

La función corta al eje y en 3.

ALTERNATIVA A 10. La intersección con el eje x de la función graficada es: Resolución

3x 2 03x 2

2x3

− ==

=

ALTERNATIVA D

11. El gráfico que corresponde a la función: y f(x) 3x 2= = − ; es: Resolución

Intersección eje x (y=0): y 3x 2 2 3x 2 / 3 x (2 / 3,0)= − ⇒ = ⇒ = ⇒ Intersección eje y (x=0): y 3x 2 y 2 (0, 2)= − ⇒ = − ⇒ −

ALTERNATIVA C

12. Dada una función f cualquiera de recorrido: 1rec f : ,2⎡ ⎡∞⎢ ⎢⎣ ⎣

; la gráfica

correspondiente a ella es: Resolución

La gráfica de la función no debe estar más a la derecha 1x 2

= .

ALTERNATIVA A


13. El vértice de la parábola: 2f(x) x 4= − ; está representado por: Resolución

2x 4 0(x 2)(x 2) 0x 2x 2

2 2 0 02 2

f(0) 4

V (0, 4)

− =+ − == −=

− += =

= −

= −

ALTERNATIVA A

14. El gráfico que representa una recta de inclinación 45º y que pase por el punto P = (1,2):

0 0

m tg 45º 1y y m(x x )y 2 1(x 1)y x 1 2

y x 1

= =− = −

− = −= − +

= +

ALTERNATIVA B

15. Sea f una función cuadrática cuyos ceros son x = -1 y x = 3; con vértice (1 , 4)− . Entonces la gráfica que lo representa es: Resolución

GRAFICAR LAS CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN

ALTERNATIVA A 16. La gráfica que representa una función lineal de pendiente negativa y coeficiente de posición positivo es: Resolución

GRAFICAR LAS CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN

ALTERNATIVA D


17. La tabla muestra las temperaturas de una semana de enero, entonces el día de menor temperatura es: Resolución

VIERNES 28º⇒

ALTERNATIVA C 18. Sea xf(x) 2= ; entonces f(0) es: Resolución

0f(0) 2 1= =

ALTERNATIVA B 19. De acuerdo a la tabla, el punto de intersección con el eje x es: Resolución Es posible determinar la intersección de la curva con el eje x, haciendo y = 0. Según la tabla, si y = 0, tenemos que x = 3, entonces el punto de intersección es (3, 0)

ALTERNATIVA C

20. Si: 5x 6y f(x)3x 4

−= =

+ entonces el valor de f( 1)− es:

Resolución

5 ( 1) 6 11f( 1) 113 ( 1) 4 1⋅ − − −

− = = = −⋅ − +

ALTERNATIVA A


21. Dados la pendiente m 2= − y el coeficiente de posición 1n2

= , entonces la

ecuación de la recta es: Resolución

y mx n1y 2x2

= +

= − +

ALTERNATIVA C

22. Sea la función lineal 2y x 13

= − + , entonces la ecuación de la recta en su forma

general es: Resolución

2y x 13

3y 2x 3

2x 3y 3 0

= − +

= − +

+ − =

ALTERNATIVA D

23. Sea: 3x 2y 1 0− + = ; la ecuación general de la recta, entonces la ecuación principal es: Resolución

3x 2y 1 03x 1 2y

3 1y x2 2

− + =+ =

= +

ALTERNATIVA C


24. La gráfica asociada a la ecuación 2x 5y 3 0− + + = es: Resolución

Como 2x 5y 3 0Eje x (y 0) Eje y (x 0)

2x 5y

= − + + == =

− +

I I

3 0 2x+ = − 5y 3 0

3 2x 5y 3

3 3x (3 / 2,0) y (0, 3 / 5)2 5

+ + =

= = −

= ⇒ = − ⇒ −

ALTERNATIVA D

25. La gráfica de la función lineal 2x 3y 1 0+ − = es: Resolución

2x 3y 1 03y 2x 1

2x 1y3

+ − == − +− +

=

ALTERNATIVA B


26. Dada la tabla :

Lápices $Valor1 100 2 200 3 300 4 400

entonces el gráfico que representa los datos es: Resolución

ALTERNATIVA C Módulo 4. Funciones.



27. El gráfico de la función lineal asociada a la tabla

x -2 0 2y -5 -1 3

es: Resolución

GRAFICAR PUNTOS

ALTERNATIVA A 28. La gráfica que representa la función lineal y 4x 8= − es: Resolución

Como : y 4x 8eje x (y 0) eje y (x 0)

0 4x 8 y 4x

= −= =

⇒ = − ⇒ =

I I

( ) ( )

88 4x

x 2 y 8

2,0 0, 8

−=

= = −

−

ALTERNATIVA C


29. Dadas las funciones lineales y 2x 1= + ; y 3 2x= − , entonces su punto de intersección es: Resolución

y 2x 1y 3 2x

2x 1 3 2x4x 2

1 1x y 2 1 y 22 2

1P ,22

= += −

+ = −=

= ⇒ = ⋅ + ⇒ =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ALTERNATIVA C

30. Dado el gráfico de la función lineal, entonces los puntos de intersección con los ejes coordenados son: Resolución

x y 0

x 4y x 0

y 3

⇒ =

= −⇒ =

=

I

I

ALTERNATIVA D 31. De acuerdo a la gráfica que aparece a continuación, y considerando que m es la pendiente y n el coeficiente de posición, podemos afirmar que: Resolución Por definición, la pendiente (m) determina el ángulo de inclinación que tiene la recta con respecto al eje x. Así, si >m 0 entonces ella, de izquierda a derecha, crece y si <m 0 entonces ella, de izquierda a derecha, decrece. Por otro lado el coeficiente de posición (n) determina el punto de intersección de la recta con el eje y. Así, si >n 0 entonces el punto de intersección se produce en el semieje y positivo, en cambio si <n 0 entonces el punto de intersección se produce en el semieje y negativo. Finalmente, de acuerdo al gráfico es posible afirmar que <m 0 (la función de izquierda a derecha decrece) y <n 0 (la función intersecta el semieje y negativo)

ALTERNATIVA C


32. Según la gráfica que aparece a continuación, la pendiente es: Resolución

2 1

2 1

1 1

2 2

Como :y yym

x x xSi :A (2,2) (x ,y )B ( 1, 7) (x ,y )Entonces :

7 2m 31 2

−Δ= =Δ −

= =

= − − =

− −= =− −

ALTERNATIVA A

33. Si en una función cuadrática 2f(x) ax bx c ; a 0= + + > , entonces una de sus posibles gráficas es: Resolución Si a es positivo, la gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola cóncava hacia arriba.

ALTERNATIVA A 34. Si una función cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas, entonces una posible gráfica es: Resolución

2b 4ac 0Δ = − > Corta al eje x en dos puntos

ALTERNATIVA B 35. De acuerdo a la tabla:

x -2 0 1y 0 -2 0

el gráfico de la función cuadrática es: Resolución

ALTERNATIVA D


36. Sea una función cuadrática de la forma 2ax bx c 0+ + = , con a 0 ; c 0< < y con discriminante (Δ ) igual a cero. Entonces uno de los posibles gráficos es: Resolución

De acuerdo a la información: a 0 concavidad negativac 0 punto en eje y negativo

0 un punto de con eje x

< ⇒< ⇒

Δ = ⇒I

I

Existen dos posibles gráficos:

ALTERNATIVA D 37. En una función cuadrática, si el discriminante es igual a cero, entonces sus raíces son: Resolución

2b 4ac 0Δ = − = Corta en un punto al eje x.

ALTERNATIVA B 38. Sea la función cuadrática 2f(x) 2x 3x 1= + + , entonces su vértice están el cuadrante: Resolución

2

1

2

2x 3x 1 0

3 9 8 3 1x4 41x2

x 1

LUEGO :1 1 32

2 43 1f4 8

3 1V , III cuadrante4 8

+ + =

− ± − − ±= =

= −

= −

− + −= −

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

ALTERNATIVA C


39. El vértice de la función 2f(x) x 4x 5= − − se encuentra en el cuadrante: Resolución

( )

2

2

f(x) x 4x 5Ya que :

b 4ac bV ,2a 4a

4 20 16V , 2, 92 4

= − −

⎛ ⎞−= −⎜ ⎟⎝ ⎠

− − −⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Por tanto, se encuentra en el cuarto cuadrante

ALTERNATIVA D 40. Si el discriminante de la función cuadrática es positivo, entonces ella: Resolución

2

Sea :b 4ac

Si :0

Δ = −

Δ >

Existen dos puntos de intersección con el eje x.

ALTERNATIVA B 41. Los ceros de la ecuación cuadrática 29x 6x 1 0+ + = ; son: Resolución

2

1 2

9x 6x 1 0(3x 1)(3x 1) 0

1x x3

+ + =+ + =

= = −

ALTERNATIVA C


42. El gráfico representa una función cuadrática donde V es el vértice, entonces la suma de sus raíces es: Resolución

1 2

1 2

x x 42

x x 8

+= −

+ = −

ALTERNATIVA A

43. Las raíces de la ecuación 22x 3x 2 0+ − = ; son: Resolución

2

2

1

2

2x 3x 2 0

3 3 4 2 2 3 9 16 3 25x2 2 4 4

3 5x41x2

x 2

+ − =

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±= = =

⋅− ±

==

=

= −

ALTERNATIVA B 44. De acuerdo al gráfico, la coordenada x del vértice es: Resolución

Como la coordenada x del vértice es: 1 2 1 2x x x x 3 1 2 12 2 2 2+ + − + −

⇒ = = = −

ALTERNATIVA C

45. Sea la función cuadrática 2y x 4x c= − + , entonces el valor de c para el cual y es – 3 y tiene un cero igual a 2 es: Resolución

23 x 4x c3 4 8 c c 1− = − +− = − + ⇒ =

ALTERNATIVA B


46. Se lanza una pelota hacia arriba con un determinado ángulo respecto de la horizontal, tal que su trayectoria parabólica está dada por la función cuadrática

2 3y 5t 24t2

= − + + , entonces la altura que alcanza la pelota a los 3 segundos de

haberla lanzado es: Resolución

( ) 2 3 57f 3 5 3 24 3 m.2 2

= − ⋅ + ⋅ + =

ALTERNATIVA D

47. La función ( ) 2C u 250u u= − representa el costo (miles de dólares) de producir cierta cantidad de artículos (u). ¿Cuál es el costo de producir 200 unidades? Resolución

Como ( ) ( )2 2C u 250u u C 200 250 200 200 10.000= − ⇒ = ⋅ − = Luego el costo de producir 200 artículos es de US$ 10.000

ALTERNATIVA A

48. La altura que alcanza una piedra al ser lanzada se expresa por la función ( ) 2h t 10t t= − en donde d: altura que alcanza la piedra y t: tiempo transcurrido en

segundos. ¿En qué instantes de tiempo la piedra se encuentra a 16 metros del suelo? Resolución

Como ( ) 2h t 10t t= − , entonces

( )

( )( )

2

2

2

1

2

h t 10t t

16 10t tt 10t 16 0

t 2 seg.t 2 t 8

t 8 seg.

= −

= −

− + =

=⎧− − ⎨ =⎩

ALTERNATIVA B


49. Sea la función ( ) xf x e−= , entonces su gráfica es: Resolución

X Y 2− 7,391− 2,72

0 1 1 0,372 0,14

ALTERNATIVA A

50. Sea la función ( ) ( )f x log x 1= + , entonces su gráfica es: Resolución

X Y 0,5− 0,3−

0 0 0,5 0,181 0,3

ALTERNATIVA D

51. La gráfica de ( )= = −xy f x 2 1 es: Resolución Asíntota horizontal y = - 1 Intersección con los ejes

Eje x (y=0) Eje y (x=0) =

= −

==

x

x

y 0, entonces0 2 11 2x 0

=

= −=

0

x 0, entoncesy 2 1y 0

ALTERNATIVA C


52. La gráfica ( ) ( )= =y f x ln 2x es: Resolución Asíntota vertical x = 0 Intersección con los ejes

Eje x (y=0) Eje y (x=0)

( )=

=

=

=

0

y 0, entonces0 ln 2x

2x e1x2

==

∃

x 0, entoncesy ln0

int eje y

ALTERNATIVA C

53. Al resolver la ecuación exponencial

2 22x 1 x 3x3 9 27− = ÷ , tenemos como solución: Resolución

2 2

2 2

2 2

2x 1 x 3x

2x 1 2 x 3 3x

2x 1 2x 9x

2

3 9 27

3 3 3

3 3

2x

−

− ⋅ ⋅

− −

= ÷

= ÷

=21 2x− = 9x

1 9x1x9

−− = −

=

ALTERNATIVA C 54. Al resolver la ecuación logarítmica ( )3 3log log 5x 2 1⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ , entonces el valor de x es: Resolución

( )( )( )

3 3 3

3

3 3

log log 5x 2 log 3

log 5x 2 3

log 5x 2 log 275x 2 27

5x 25x 5

⎡ ⎤+ =⎣ ⎦+ =

+ =

+ ===

ALTERNATIVA A


55. La solución de la ecuación x 13 2+ = es: Resolución Como x 13 2+ = , tenemos:

( )

x 1

x 1

3 2log3 log2x 1 log3 log2

xlog3 log2 log3log2 log3x

log3

+

+

=

=

+ ⋅ =

= −−

=

ALTERNATIVA B

56. La solución de la ecuación ( )3log 2x 1 1− = − es: Resolución Como ( )3log 2x 1 1− = − , tenemos que

( )3

1

log 2x 1 1

3 2x 11 1 2x3

42x3

2x3

−

− = −

= −

+ =

=

=

ALTERNATIVA B

57. Según una ley física referida al enfriamiento de un cuerpo, la temperatura final de un objeto, transcurridos t minutos, está dada por la relación ( ) ( ) k tf t A B A 10− ⋅= − − ⋅ , donde A es la temperatura del medio, B es la temperatura

del cuerpo y k = 0,5 es constante de enfriamiento. Entonces si un cuerpo con 50ºC ubicado en un medio de 20ºC , ¿qué temperatura tendrá transcurridos 6 minutos? Resolución

( ) ( )

( ) ( )

k t

12

f t A B A 10

f t 20 50 20 10

− ⋅

−

= − − ⋅

= − − ⋅6⋅

320 30 1019,97 ºC

−= − ⋅=

ALTERNATIVA B


58. El trabajo L desarrollado por un gas que se expande a temperatura constante, desde el volumen V0 hasta el volumen V1, cuando su presión inicial es p0, se

calcula por 10 0

0

VL p V lnV

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Si 2

0p 427 kg/m= , 30v 7 m= , 3

1v 14 m= , entonces

L es: Resolución

14L 427 7 ln7

2989 ln22071,82 Kg m

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅=

ALTERNATIVA D

59. La función ( ) 0,01 tP t 3 e ⋅= ⋅ representa la población, en millones de personas, de una ciudad en t años. Entonces la población al quinto año es de: Resolución

Como ( ) 0,01 tP t 3 e ⋅= ⋅ , entonces

( ) 0,015P 5 3 e 3,153813⋅= ⋅ =

ALTERNATIVA B 60. La función ( ) ( )R A 1,2 log 3A 2= ⋅ + representa la intensidad en grados que tiene un sismo en un área determinada, de A Km2. Entonces, la intensidad de un sismo que afecta un área de 100 Km2 es de: Resolución

Como ( ) ( )R A 1,2 log 3A 2= ⋅ +

( ) ( )R 100 1,2 log 3 100 2 4,97= ⋅ ⋅ + =

ALTERNATIVA C

Documents

Material de Apoyo funciones Reales.pdf