Material Complementar C2 2016 1 Semana04 Notas de Aula

8/19/2019 Material Complementar C2 2016 1 Semana04 Notas de Aula

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância

Semana 4 Notas de Aula

Objetivo: O objetivo destas notas é o de servir como revisão e resumo das principais fórmulas epropriedades relativas às funções logarítmicas e exponenciais, as quais você estuda nas aulas 7 a10 de seu caderno didático.Daremos ainda atenção às derivadas e primitivas das funções hiperbólicas e trigonométricasinversas.Queremos ainda dar uma pequena idéia de como você pode deduzir algumas dessas fórmulas

usando o que você já aprendeu nos cursos de cálculo, a fim de evitar a simples memorização.

Funções Logarítmicas

Nas aulas 7 e 8 de seu caderno didático, é definida a função logarítmica log y x ( também

denotada na maioria dos livros de referência por ln y x ), a saber

1

1log

x

x dt t

(1)

Do TFC, segue imediatamente que

1(log )' x

x (2)

Lá também é definida a função logarítmica de base a ( (0, ), 1a a ) , por

loglog

loga

x x

a (3)

de onde segue direto por derivação que

1(log ) '

loga x

x a (4)

Obs.: no caderno didático, você vê que as funções logarítmicas satisfazem propriedadesimportantes ( proposições 7.2 e 8.1), que você deve recordar inclusive do ensino médio.Como conseqüência da proposição 7.3 (d), existe um único número real (denotado por e ) tal que

log 1e .

Este número (conhecido como número de Euler) é certamente um dos mais importantes daMatemática e é conhecido ser um número irracional e ainda que 2 3e . Nesta semana, você jáestá vendo algumas das particularidades que este número desempenha no curso de Cálculo.



Cálculo II Notas de Aula Semana 4

Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ

P á g i n a 2

Da fórmula (3), segue, por exemplo, que

log loge x x

ou seja, a função log y x inicialmente definida é a função logarítmica cuja base é exatamente e .

Funções Exponenciais

Como visto nas aulas 9 e 10 de seu caderno didático, elas são as funções inversas das logarítmicas

log x

a y a x y

Conhecendo-se as derivadas das logarítmicas, podemos deduzir as derivadas das exponenciais.

Sendo x y a , queremosdy

dx. Siga o seguinte raciocínio:

1log log log

log

x x

a

dx dy dy y a x y y a a a

dy y a dx dx .

Ou seja

( ) ' log x xa a a (5)

Quando a e , tem-se portanto que

( ) ' x xe e (6)

Obs.1: o argumento acima pode ser (e será!) usado igualmente para deduzir as derivadas das funçõestrigonométricas inversas.

Obs.2: similarmente ao caso das funções logarítmicas, nas proposições 9.1 e 10.1 do seu caderno didáticosão mostradas algumas propriedades das funções exponenciais.A simplicidade das fórmulas (2) e (6) comparadas a (3) e (5), respectivamente, mostra uma das razões daimportância do número e no curso de Cálculo e o porquê de o logaritmo com essa base ser chamado delogaritmo natural em várias referências bibliográficas.

Exemplos:

Calcule: a) 5

3(log 4 ) ' x b)5log 2

2

0

5 x dx

Solução:

a) Note que5

5

3

log4log 4

log3

x y x . Usando as propriedades das funções logarítmicas

5 5log 4 log 4 log log 4 5log 5'

log 3 log 3 log 3 log 3 log 3

x x x y y

x

(você poderia também usar a regra da cadeia diretamente:

45

5 5

1 20 5' (4 ) '

4 log 3 4 log 3 log 3

x y x

x x x .)





P á g i n a 3

b) Note que 2 2(5 ) ' 2.5 . log5 x x . Logo

'2

255

2log5

x x .

Portanto

2 25 5

2log5 log32

x x

é uma primitiva de 25 x y .

Pelo TFC:

55 5log 2log 2 2 log 22 0

2

0 0

5 5 5 15

log 32 log 32 log 32 log 32

x x dx

Derivação Logarítmica

É um método de derivação especialmente útil na derivação de funções dadas por produtos equocientes de potências.

Exemplo: Derivar3/ 4 2

5

1

(3 2)

x x y

x

Tome o logaritmo (natural) em ambos os membros e use as propriedades da função logarítmica:

23 1log log log( 1) 5log(3 2)

4 2 y x x x .

Em seguida, derive ambos os membros em relação a variável x , notando que no lado esquerdo a regra dacadeia deve ser também usada:

2 2

' 3 2 15 3 15' .

4 2( 1) 3 2 4 ( 1) 3 2

y x x y y

y x x x x x x, ou seja

3/4 2

5 2

1 3 15' .

(3 2) 4 ( 1) 3 2

x x x y

x x x x.

A derivação logarítmica pode ser usada também para deduzir as formular das derivadas das funções

logarítmicas e exponenciais de base a qualquer (supondo que se saiba apenas a derivada da logarítmicanatural).

Exemplo: Derivar a) x y a b) loga y x

Solução:

a) tome o logaritmo natural em ambos os membros e derive:'

log log log log ' log ' log x x y y a x a a y y a y a a

y

ou seja ( ) ' log x xa a a .





P á g i n a 4

b) log y

a y x x a

Tome agora o logaritmo em ambos os membros e proceda como antes, usando propriedadesdo logaritmo e derivando em relação a x :

1 1log log log '.log '

log

y x a y a y a y x x a

. Ou seja1

(log ) 'log

a x x a

.

Outra aplicação útil da derivação logarítmica é na derivação de funções da forma ( )( ) g x y f x , ou seja,

aquelas em que a variável aparece tanto na base quanto no expoente.

Exemplo: Derive cos

2(log ) x y x

Solução: Note que a variável aparece tanto na base quanto no expoente. Assim, não podemos aplicarqualquer técnica de derivação conhecida.Usemos a derivação logarítmica. Tome o logaritmo natural em ambos os lados da equação

cos2 2log log (log ) cos .log(log ) x y x x x .

Derivando, em relação a x , usando a regra da cadeia, fica:

2

2

cos

2 2

2

' 1 1( ).log(log ) cos . .

log log 2

1 1' (log ) . ( ).log(log ) cos . .

log log 2

x

y sen x x x

y x x

y x sen x x x x x

Funções Hiperbólicas

As funções hiperbólicas básicas são definidas por

senh2

x xe e x (lê-se seno hiperbólico) e

cosh2

x xe e x (lê-se cosseno hiperbólico).

Em analogia às funções trigonométricas, são definidas as outras funções hiperbólicas:

senh

cosh

xtgh x

x (lê-se tangente hiperbólica).

cosh

senh

xcotgh x

x (lê-se cotangente hiperbólica).

1

senh sech x

x (lê-se secante hiperbólica).

1

coshcsch x

x (lê-se cossecante hiperbólica).

É um exercício você verificar que valem, entre as funções hiperbólicas, identidades similares àquelas dasfunções trigonométricas, além das derivadas, que exibimos na tabela a seguir (veja também exercícios 4 e 5da aula 9 do caderno didático)





P á g i n a 5

Função Derivada

y senh x ( ) ' cosh senh x x

cosh y x (cosh )' x senh x

y tgh x 2( ) 'tgh x sech x

y cotgh x 2

( ) 'cotgh x csch x

y sech x ( ) ' . sech x sech x tgh x

y csch x ( ) ' .csch x csch x cotgh x

Exemplo: verifique que ( ) ' . sech x sech x tgh x .

Solução:

1 2

2

1 1( ) ' ' (cosh ) ' cosh

cosh cosh cosh

1

.cosh cosh

senh x sech x sech x x x senh x

x x x

senh x

sech x tgh x x x

Exemplo: Calcule

123

0

3

4

sech xdx

Solução:

Note que 2( 3 ) ' 3 3tgh x sech x . Logo23 3

'12 4

tgh x sech x. Assim,

3( )

12

tgh x F x é uma primitiva de

2 3

4

sech x y .

Assim, pelo TFC

11/32 1 1 0 0 23

1 1 0 0 2

00

3 3 1 0 1 1 1.

4 12 12 12 12 12 1

sech x tgh x tgh tgh e e e e edx

e e e e e

Funções Trigonométricas Inversas

Segue um resumo das fórmulas de derivadas das funções trigonométricas inversas:

Função Derivada y arcsen x

2

1( ) '

1

arcsen x

x

y arccos x

2

1( ) '

1arccos x

x

y arctg x

2

1( ) '

1arctg x

x

y arcsec x

2

1( ) '

1arcsec x

x x

y arccotg x

2

1( ) '

1arccotg x

x

y arccsc x 2

1( ) '1

arccsc x x x





P á g i n a 6

Obs.: vejamos uma forma de deduzir uma dessas fórmulas, a fim de evitar a simples memorização .Tomemos , por exemplo, y arctg x .

Queremos obterdy

dx. Agora : y arctg x x tg y . Portanto , 2

'( ) secdx

x y ydy

2 2 2

1 1 1 1

sec 1 1

dy

dx dx y tg y x

dy

.

As outras fórmulas podem ser igualmente deduzidas, usando as identidades trigonométricas.

Exemplo: Calcule1/2 2

2

0

3

1 4

arctg x

dx x

Solução:

Note que2

2 2

2 2

1 3(3 ) ' 2. .3 .log 3 log 9

1 (2 ) 1 4

arctg xarctg x arctg x

x x.

Portanto2 2

2

3 3( ) '

log 9 1 4

arctg x arctg x

x . Pelo TFC

1/21/2 2 2 1 0 / 4 0/4

2

0 0

3 3 3 3 3 3 1. 3 1

1 4 log 9 log 9 log 9 log 9 log 9 log 9

arctg x arctg x arctg arctg

dx x

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