Material Complementar C2 2016 1 Apêndice03

8/19/2019 Material Complementar C2 2016 1 Apêndice03

1/14

ApêndiceGABARITOS DOS SIMULADOS DA AP13

GABARITO DO SIMULADO 1

Soluç ˜ ao da 1a Quest ˜ ao

Seja R = R1 ∪ R2 a região pedida, onde R1 é a região situadaabaixo do eixo x e R2 é a região situada acima do eixo x.

Então, a área da região é A( R) = A( R1) + A( R2).

Cálculo de A( R1):

A( R1) = 0−2

[( y3 − y)− ( y− y2)]dy = 0−2

( y3 + y2−2 y)dy

= y4

4+ y3

3−2 y

2

2

0−2

= −

(−2)44

+ (−2)3

3− (−2)2

= −

4− 83−4

=

8

3 unidades de área.

Cálculo de A( R2):

A( R2) = 1

0

[( y

− y2)

−( y3

− y)]dy =

1

0

(2 y

− y2

− y3)dy

= 2 y2

2− y

3

3− y

4

4

10

=

1− 1

3− 1

4

=

12−4−3

12

= 5


Assim,

A( R) = A( R1)+ A( R2) = 8

3+

5

12 =

32 + 5

12 =

37



2/14

Caderno de Cálculo II | Gabaritos dos Simulados da AP1


Notemos inicialmente que

F ( x) = x2

3 x

t −1t 2 + 1

dt =

03 x

t −1t 2 + 1

dt +

x20

t −1t 2 + 1

dt

= − 3 x

0

t −1t 2 + 1

dt +

x20

t −1t 2 + 1

dt .

Derivando, temos

F ( x) =− d

dx 3 x

0 t −1t 2 + 1dt +

d

dx x2

0 t −1t 2 + 1dt .

E usando a 1a forma do Teorema Fundamental do Cálculo e

a Regra da Cadeia, temos

F ( x) = −3

3 x−19 x2 + 1

+ 2 x

x2 −1 x4 + 1

.


a.

x3 e x

2

dx

Considere u = x2 ⇒ du = 2 xdxdv = x e x

2dx ⇒ v = 1

2 e x

2

Integrando por partes, temos x3 e x

2

dx = 1

2 x2 e x

2 − 12

2 xe x

2

dx

x3 e x

2

dx = 1

2 x2 e x

2 − 12e x

2

+C = 1

2e x

2

( x2 −1) +C .

b.

40

x√ 1 + 2 x

dx

Considere u = 1 + 2 x ⇒ du = 2dx e x = 12

(u−1)Se x = 0, então u = 1.

Se x = 4, então u = 9.

256 C E D E R J


3/14

A P ˆ E N D I C E

3

1

M ´ O

D U L O 1

Portanto,

40

x

√ 1 + 2 x dx = 9

1

12

(u

−1)

√ udu

2 = 1

4 9

1u 12 −u− 12du

= 1

4

2

3u

32 −2u 12

91

= 1

4

2

3

u

32 −3u 12

91

= 1

6[(27−9)− (1−3)] = 20

6=

10

3

c.

π 2

π

4

cotg3( x) cossec2 xdx

Fazendo a substituição u = cotg(t )

⇒ du =

−cossec2(t )dt

Fazendo a mudança dos limites de integração

se t = π

4⇒ u = 1 se t = π

2⇒ u = cotg

π

2

= 0

Obtemos π 2

π

4

cotg3( x) cossec2 xdx = − 0

1u3du =

10

u3du

= u4

4

10

= 1

4


a. A região R é mostrada na Figura 3.1:

0

y x

=

y

x

1

e

y

e

= x

= 1

x =

0

x

1

Figura 3.1

C E D E R J 257


4/14


b. Na Figura 3.2, mostramos também um retângulo tı́pico

(ou representativo) vertical na região:

0

y x

=

y

x

1

e

y

e =

x =

1

x =

0

x

1

Figura 3.2

Neste caso, a representação da área é feita por uma inte-

gral em relação à variável x:

A( R) = 1

0 e x−√ xdx.

c. Dessa forma, a região R precisa ser dividida em duas re-

giões. Na Figura 3.3, mostramos um retângulo represen-

tativo horizontal em cada região:

0

y

x

1

e

x = l n y

x =

1

x =

0

1

x y

=

2

Figura 3.3

258 C E D E R J


5/14

A P ˆ E N D I C E

3

1

M ´ O

D U L O 1

Neste caso, a representação da área é feita por duas inte-

grais em relação à variável y:

A( R) = 1

0( y2 −0)dy +

e1

(1− ln y)dy.

d. Observe-se que a representação mais conveniente é, neste

caso, a representação em relação à variável x:

A( R) =

10

e x−√ xdx = 1

0

e x− x 12

dx = e x−2 x

32

3

10

= e1 − 23−e0 = e− 2

3−1 = e− 5

3unidades de área.

GABARITO DO SIMULADO 2


a. A região R é mostrada na Figura 3.4:

2 x

Figura 3.4

b. Nesta forma, a região R precisa ser dividida em duas re-

giões, na Figura 3.5 mostramos um retângulo representa-

tivo vertical em cada região.

2 x

Figura 3.5

C E D E R J 259


6/14



gral em relação à variável x:

A( R) = 1

0(( x2 + 1)−1)dx +

21

2 x −1

dx

=

10 x2 dx +

21

2

x−1

dx.

c. Na Figura 3.6 mostramos também um retângulo tı́pico

(ou representativo) horizontal na região.

2

x

Figura 3.6


gral em relação à variável y:

A( R) = 2

1

2 y − y−1

dy.

d. Observe-se que a representação mais conveniente é, neste

caso, a representação em relação à variável y:

A( R) =

21

2

y− y−1

dy = 2 ln | y|−2( y−1)

32

3

21

= 2ln2− 23

= 6ln2−2


Se a representação mais conveniente para você é a repre-sentação em relação à variável x. Então

A( R) = 1

0 x2 dx+

21

2

x−1

dx =

x3

3

10

+(2 ln | x|− x)2

1

= 1

3+ 2ln2−2−2 ln1

0

+1

A( R) = 6ln2−2


260 C E D E R J


7/14

A P ˆ E N D I C E

3

1

M ´ O

D U L O 1


Observe que o integrando f (t ) = cost 2 é uma função contı́nuapara todo t número real.

F ( x) =

(ln x)2 x2

cos(t 2)dt =

1 x2

cos(t 2)dt +

(ln x)21

cos(t 2)dt

F ( x) = − x2

1cos(t 2)dt +

(ln x)21

cos(t 2)dt .

Logo, utilizando a 1a forma do TFC e a regra da cadeia em cada,

somando, obtemos

F ( x) = −cos( x2)2[ x2] + cos(ln x)22 [(ln x)2]Ou seja,

F ( x) = −cos x42 x+cos(ln x)42 x

ln x

=

2

x ln x

cos(ln x)4 −2 x cos( x4).


a. Para resolver a integral definida, usaremos o método de

substituição:

Faça a substituição u = tg 2 x ⇒ du = sec22 x2dx ⇒du

2 = sec22 xdx. Precisamos também fazer a mudança dos

limites de integração. Enquanto x varia de 0 até π

8, u varia

de u = 0 até u = 1. Logo,

π 80

(1 + tg 2 x)3sec22 xdx = 12

10

(1 +u)3du

= 1

2

(1 +u)4

4

10

= 1

8

(2)4−1 = 15

8 .

b. Neste caso, para calcular

21

ln x

x2 dx, usaremos a fórmula

de integração por partes para integrais definidas. Faça

u = ln x

⇒ du =

1

xdx, dv =

1

x2 dx

⇒ v =

x−1

−1

=

−

1

x.

C E D E R J 261


8/14


Assim,

21

ln x x2

dx = (ln x)−1 x2

1

− 21

−1 x 1 x dx= − ln 2

2 +

21 x−2 dx = − ln 2

2 +

x−1

−12

1

= − ln 22 − 1

x

21

= − ln 22

− 12

+ 1 =

1− ln 2

2

.

Do Cálculo I, sabemos que

2 x = eln 2 x

= e x ln 2

⇒2 xe x = e x ln 2e x = e x(1+ln 2).

Logo, 2 xe xdx =

e x(1+ln 2)dx =

1

(1 + ln 2)

(1+ln 2)e x(1+ln 2)dx

= e x(1+ln 2)

(1 + ln 2) +C =

2 xe x

(1 + ln 2) +C .


a. Lembre que o gráfico de y = 4 − x2 é uma parábola devértice em (0,4) que abre para baixo. O esboço do gráficoda função f no intervalo dado é mostrado na Figura 3.7.

[ [

Figura 3.7 Figura 3.8

262 C E D E R J


9/14

A P ˆ E N D I C E

3

1

M ´ O

D U L O 1

b.

30 f ( x)dx =

30

(4− x2)dx = 4 x− x3

3 3

0

=

4(3)− 3

3

3 = 12−9 = 3.Para interpretar o resultado em termos de áreas, observe

na Figura 3.7 que a função f ( x) = 4− x2 é maior ou iguala zero no intervalo [0,2] e a função f é menor ou igualque zero no intervalo [2,3]. Logo, a integral definida dadapode ser interpretada como a diferença de áreas: 3

0(4− x2)dx =

20

(4− x2)dx + 3

2(4− x2)dx

= A( R1) +

− A( R2) = A( R1)

− A( R2)

onde as regiões R1 e R2 são mostradas na Figura 3.8. A

diferença, neste caso, é o número positivo 3 e indica que

a diferença dada é positiva, isto é, A( R1) > A( R2) o quepode ser visto também na Figura 3.8.

c. Observe que, neste caso, a região R pedida é a união das

regiões R1 e R2 mostradas na Figura 3.8, logo A( R) = A( R1) + A( R2).

A( R1) = 2

0 f ( x)dx =

2

0(4− x2)dx = 4 x− x

3

3 2

0

=

4(2)− 2

3

3

= 8− 8

3=

16

3.

A( R2) = − 3

2 f ( x)dx = −

32

(4− x2)dx = −4 x+ x3

3

32

=

−4(3) + 3

3

3

−−4(2) + 2

3

3

= −12 + 9 + 8− 8

3

= 5

−8

3

= 7

3

.

Portanto,

A( R) = A( R1) + A( R2) = 16

3+

7

3=

23

3unidades de área.

d. Note que

30| f ( x)|dx =

20| f ( x)|dx +

32| f ( x)|dx

Observe na Figura 3.8 que a função f ( x) = 4− x2 é maiorou igual a zero no intervalo [0,2] e a função f é menor ouigual a zero no intervalo [2,3].

C E D E R J 263


10/14


11/14

A P ˆ E N D I C E

3

1

M ´ O

D U L O 1

Figura 3.9 Figura 3.10

Logo, utilizando as propriedades da integral definida po-

demos dizer que 2−1

| x2 −1|dx = 1−1

| x2 −1|dx + 2

1| x2 −1|dx

= 1−1

(1− x2)dx + 2

1( x2 −1)dx

= x− x3

3

1−1

+ x3

3 − x

21

= 4

3 +

4

3 =

8

3.


a. Faça a substituição u = (1−t 4) ⇒ du =−4t 3dt ⇒ t 3dt =−du

4 . Logo, t 3(1− t 4)7dt = −1

4

u7 du

= −14

u8

8 +C = − 1

32(1− t 4)8 +C .

b.

e1

1− ln x x

dx = e

1

1

xdx−

e1

ln x

xdx

= ln xe

1− e

1

ln x

x dx = 1−

e1

ln x

x dx (3.1)

Faça u = ln x⇒ du = 1 x dx. Mudando os limites de inte-

gração, temos que: se x = 1 ⇒ u = ln 1 = 0 e se x = e ⇒u = lne = 1.

C E D E R J 265


12/14


Logo,

e1

ln x

x dx = 1

0 udu =

u2

2 1

0 =

1

2. (3.2)

Substituindo (3.2) em (3.1), resulta e1

1− ln x x

dx = 1− 12

= 1

2.


a. Faça u = x⇒ du = dx, dv = sec2 xdx ⇒ v = tg x.Assim,

xsec2 xdx = x tg x−

tgsdx (3.3)

Por outro lado,

tg xdx = −

du −sen xdxcos x

u= − ln |cos x|+C (3.4)

Substituindo (3.4) em (3.3), resulta xsec2 xdx = x tg x+ ln |cos x|+C .

b.

(sent )

12 cos3t dt =

(sent )

12 cos2t · cost dt

=

(sent )

12 (1− sen2t ) · cost dt .

Faça a substituição u = sen t ⇒ du = cost dt , logo

(sent )12

1− sen2t · cost dt = u 12 (1−u2)du=

u12 −u 52

du =

2u32

3− 2u

72

7+C

= 2sen

32 t

3 − 2sen

72 t

7 +C .

266 C E D E R J


13/14

A P ˆ E N D I C E

3

1

M ´ O

D U L O 1


a. Nesta forma, a região R precisa ser dividida em duas sub-

regiões como mostra a Figura 3.11. Mostramos também

nela um retângulo representativo vertical em cada sub-

região.

y x=1+

Figura 3.11

Neste caso, a representação da área é feita por duas inte-

grais em relação à variável x:

A( R) =

1

0 1 +

√ x

− ( x−1)2

dx+

2

1 (3− x)− ( x−1)2

dx.

Ou, em forma equivalente,

A( R) = 1

0

1 +

√ x dx+

21

(3− x)dx− 2

0( x−1)2dx.

b. Nesta forma a região R também precisa ser dividida em

duas sub-regiões como é visto na Figura 3.12. Nela mos-

tramos também um retângulo representativo horizontal em

cada sub-região.

y x=1+

Figura 3.12

C E D E R J 267


14/14


Neste caso, a representação da área é feita também por

duas integrais em relação à variável y:

A( R) = 1

0((1 +

√ y)− (1−√ y))dy+

21

(3− y)− ( y−1)2dy

= 2

02√ ydy +

21

(2 + y− y2)dy

c. Se a representação mais conveniente para você é a representação

em relação à variável x, então

A( R) = 1

0

1 +

√ xdx +

21

(3− x)dx− 2

0( x−1)2dx

= x + 2 x3

2

3

10

+ 3 x− x22

21

− ( x−1)33

20

= 1 + 2

3 + 4−3 + 1

2− 2

3 =

5


Se a representação mais conveniente para você é a representação

em relação à variável y, então

A( R) = 4 y

32

3

10

+

2 y+

y2

2 − y

3

3

21

= 4

3 +

4 + 2− 83

−

2 + 1

2− 1

3

= 2 +

1

2

= 5


268 C E D E R J

Documents

Material Complementar C2 2016 1 Apêndice03