Materi Kuliah - yosnex.files.wordpress.com · Perumusan Probabilitas •Mis. ada 10 bola merah & 10 bola putih yg identik (kec. warnanya), dimasukkan ke wadah tertutup. Bila diambil

Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas 1

Materi Kuliah

2

present futurepast

probabilitas,peluang bisnis,cita-cita & harapan planning, pengembangan,mau nikah,kredit motor, dll

sejarah,masa lalu,

data time series,Succes Story

Ada ketidakpastian, dg ilmu

peluang positip Optimisme

Kita sekarang menjaga kesehatan,untuk lebih sehat di masa datang

Manfaat : jarang lupa, tidak terkejut, Antisipatif, Ber-alternatif, Improvisasi, Kreatif & Inovatif

Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

Teori Probabilitas Teori Probabilitas merup. Cabang dari Ilmu

Matematika Terapan, dan mempelajari perilakudari faktor untung-untung-an

Dipengaruhi :

pemikiran teoritis & hasil observasi perjudian

cara pemecahan : harapan matematis

3Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

Perumusan Probabilitas• Mis. ada 10 bola merah & 10 bola putih yg identik (kec.

warnanya), dimasukkan ke wadah tertutup. Bila diambil 1 bola maka : terambil BOLA MERAH atau BOLA PUTIH

• Ada 2 macam kondisi :– Kondisi yang diketahui bola identik, kecuali warnanya ; bolanya

ada 10 MERAH & 10 PUTIH

– Kondisi yang tidak diketahui posisi/kedudukan bola-2 tsb ; tindakan pemilihan berdasarkan kemauan saja, tanpa merencanakan ttg yg akan dipilih


Kondisi yang diketahui

tergantung dari OBYEK-nya, mis. pada obyeksederhana DADU, KARTU, MATA UANG.Obyek yang lebih komplek merk sepedamotor, merk mie instan, jumlah penduduksuatu wilayah, dll.

harus diketahui terlebih dulu, bila perlu harussurvai atau sensus.


Kondisi yang tidak diketahui tergantung dari proses eksperimen bisa ditentukan dg perhitungan tidak dapat diduga dg PASTI, tapi dapat

dianalisa atas dasar logika ilmiah Teori Probabilitas memberikan cara

pengukuran KUANTITATIF ttg terjadinyasuatu peristiwa


Ada 3 Konsep Probabilitas1. Pendekatan Klasik2. Pendekatan Frekuensi Relatif

a) Newbold, P. (1995) dan Anderson (2002)

b) Walpole, RE. (1982)

3. Pendekatan Subyektif


KONSEP PROBABILITA1. Pendekatan Klasik : berbasis obyek-nya

Pendekatan ini menggunakan asumsi jika suatu percobaan memiliki n kemungkinan hasil, maka peluang masing-masingkejadian adalah 1/n.

Contoh: Pelemparan sebuah dadu bermata 6

Percobaan : Pelemparan sebuah dadu

Ruang Sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Probabilita : Masing-masing kejadian munculnya mata dadu memiliki peluang sama, yaitu 1/6


KONSEP PROBABILITA2. Pendekatan Frekuensi Relatif : eksperimen

a. Newbold, P. (1995) dan Anderson (2002):

Jika NA merupakan banyaknya kejadian A munculdalam suatu percobaan berulang sebanyak N, makadengan konsep relative frequency, peluang bahwa Aakan terjadi adalah

N

NAP A)(


KONSEP PROBABILITA2. Pendekatan Frekuensi Relatif: (Lanjutan)

b. Walpole, RE. (1982):

Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yg berbeda, dan masing-masing mempunyai kemungkinan yg sama untuk terjadi, dan bila tepat ndiantara hasil percobaan itu menyusun suatu kejadian A, maka peluang kejadian A adalah

10

n

mEpatau

N

nAP

n lim)()(


Pada pelemparan dadu 1000 kali, m/n akan memilikitendensi/kecenderungan ke suatu NILAI KONSTAN (1/6)

p(E) Probabilitas Statistik /Probabilitas Empiris.

Bila n maka Probabilitas empiris akan mendekati

probabilitas teoritis

11

n

mEp

n lim)(

x 1 2 3 4 5 6

m 166 169 165 167 169 164

m/n 166/1000 169/1000 165/1000 167/1000 169/1000 164/1000


KONSEP PROBABILITA3. Pendekatan Subyektif

Contoh:Pemilihan calon Manajer Pemasaran di sebuahperusahaan berdasarkan keputusan Pimpinanperusahaan, umumnya menggunakan pendekatanini. Misalkan A yang memiliki pengalaman danprestasi kerja yang lebih baik daripada B, maka Aakan diberikan peluang yang lebih besardibandingkan B.


Jadi, ...

Probabilitas dirumuskan sebagai RASIO atau

PROPORSI atau PERBANDINGAN


Variabel Random : Variation + able = berbeda/bervariasi + dapat, lawannya =

konstanta

Variabel yg nilainya merup. suatu bilangan yg ditentukan

oleh terjadinya hasil suatu percobaan

Variabel yg secara teoritis dapat menerima sembarang nilai

Terdiri atas : Variabel Diskrit bil. bulat, pencacahan, { 1, 2, 3 }

Variabel Kontinu bil. pecahan, pengukuran, { 1 x 3 }


Diagram Venn & Ruang Sampel

• Azas-azas Teori Kelompok :

– Perumusan ttg Probabilitas Matematik menggunakan istilah & pengertian ttg Teori Kelompok = Teori Himpunan = Set Theory

• Kelompok = set :

– Kumpulan dari obyek, benda atau simbol yg dapat dibedakan dan diberi batasan/rumusan/definisi yg tegas

– Definisi : Dorce, Mr. X


Diagram Venn & Ruang Sampel Tiap obyek secara kolektif membentuk suatu kelompok

dinamakan UNSUR (ELEMENT). Sehingga tiap unsur merup. anggota dari kelompok tsb.

Jika a merup. suatu obyek, sedangkan S adalah suatu Kelompok, maka : [epsilon]

a S a merup. satu unsur dari kel. S

a S a bukan merup. satu unsur dari kel. S


Diagram Venn & Ruang SampelAda 3 jenis kelompok :

1. Kelompok yg TERBATAS / Finite Set, jikasusunannya tertentu, dari awal sd akhir

2. Kelompok yg TIDAK TERBATAS / Infinite Set,jika susunannya tidak terbatas

3. Kelompok KOSONG/empty set/null set, jika

tidak memiliki unsur atau


Diagram Venn & Ruang SampelPerincian ttg KELOMPOK• Cara DAFTAR, semua unsur diuraikan.

mis. mata dadu S = { 1,2,3,4,5,6 }• Cara KAEDAH, dg menuliskan definisi atau

syaratnya. mis. mata dadu S = { x : x adalah bil. bulat dan 1 x 6 }


Diagram Venn & Ruang SampelContoh

Bila S = { 1,2,3,4,5,6 } dan N merup, kelompok yg terdiri dari angka-angka kuadrat dari rumus S, maka

N = { 1,4,9,16,25,36 } atau

N = { x2 : x merup. unsur dari S }

Jika HH = { a,i,u,e,o } maka

HH = { x : x ialah huruf hidup/vokal dari 26 abjad }


Diagram Venn & Ruang SampelKelompok & Sub-Kelompok :

Keseluruhan obyek yg membentuk kelompok yg besar dan tetap = kelompok universil / universal set / populasi = disebut KELOMPOKsaja

Kelompok yg dipilih dan dibentuk dari kelompok universil = sub kelompok / sampel


Diagram Venn & Ruang SampelKelompok & Sub-Kelompok :

• Kelompok A merup. sub-kelompok B, bila setiap unsur dari Ajuga merupakan unsur dari B, dan dinyatakan sbg A B dan Kelompok Kosong sbg sub-kelompok dari tiap kelompok

• Mis.

{ 2,4 } { 1,2,4 }

{ 1,3 } { x : x 1 }

{ 1,5 } { 1,5 } kelompok dpt merup. sub-kelompok dari dirinya sendiri. Bila kelompok A = kelompok B, maka A B dan B A = kelompok identik


Unsur Sub-kelompok• Bila n merup. bil. bulat positip, maka suatu

kelompok dg unsur sebanyak n, akan memiliki 2n sub-kelompok yg berbeda

• n=1 21 = 2 {a}, {}• n=2 22 = 4 {a}, {b}, {a,b}, {}• n=3 23 = 8 {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},

{a,b,c}, {}


Diagram Venn & Ruang Sampel

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok :

1. Komplemen atau yg bukan kel. tsb

2. Interseksi/Irisan

3. Gabungan/Union

4. Mutually Exclusive Events23Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok1. Komplemen suatu kejadian

Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S (semesta) adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A, dilambangkan dengan Ac.

Diagram Venn berikut mengilustrasikan Ac.

24

}:{ AxUxAA C Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

2. Interseksi/Irisan dari 2 atau lebih kejadian

Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A B, adalah kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B.

Diagram Venn berikut mengilustrasikan A B.

25

A B

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok

}:{ BxdanAxxBA Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok3. Union/Gabungan dari 2 atau lebih kejadian

Paduan dua kejadian A dan B, dilambangkandengan A B, adalah kejadian yang mencakupsemua unsur anggota A atau B atau keduanya.

Diagram Venn berikut mengilustrasikan A B.

26

}:{ BxatauAxxBA Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok

4. Kejadian yang saling meniadakan (Mutually Exclusive Events)

adalah suatu kejadian yang meniadakan kejadian lain untuk muncul dalam suatu ruang contoh.

27

BAS

BAHaryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


Contoh : Jika U = 26 abjad alfabet, A = sub-kelompok huruf

vokal { a,i,u,e,o }, dan B = sub-kelompok 3 huruf pertama dari alfabet { a,b,c }.

Tentukan : Ac

Bc

A B =

A B =

29

A B


Contoh : Jika U = { 1,2,3,4,5,6,7 }, A = { 1,2,3 },

B = { 2,4,6 } & C = { 1,3,5,7 } Tentukan :

Ac

Bc

Cc

A B =

A B =

30

A

C

B


Contoh : Sebuah perusahaan industri menggolongkan

pegawai A, B & C.

Gol. A = pegawai yg rajin

Gol. B = pegawai yg sehat

Gol. C = pegawai yg berpendidikan

dan mungkin saja seorang pegawai rajin, sehatdan berpendidikan. Dengan survei 100 orang.

Berapa orang yang harus di PHK ? PHK =tidak rajin, tidak sehat & tidak berpendidikan.


Contoh : Hasil survei :

32

Golongan Jumlah pegawai

A 50

B 52

C 40

A dan B 20

A dan C 13

B dan C 15

A dan B dan C 5

A

C

B

ABC

CBA

BCA

ABC

CAB CBA

CAB

BCA5

1522

?17

8 10

22

Diagram Venn menggambarkan secara sistimatis jumlah pegawai yg termasuk ke dalam suatu

golongan saja TANPA pencatatan rangkap


Solusi :

1. = 5

2. = AB – = 20 – 5 = 15

3. = AC – = 13 – 5 = 8

4. = BC – = 15 – 5 = 10

5. = A – ( + + )

6. = 50 – ( 5 + 15 + 8 ) = 22

7. = B – ( + + )

8. = 52 – ( 5 + 15 + 10 ) = 22

9. = C – ( + + )

10. = 40 – ( 5 + 8 + 10 ) = 17

11. = 100 – ( A B C )

33

Golongan Jumlah pegawai

A 50

B 52

C 40

A dan B 20

A dan C 13

B dan C 15

A dan B dan C 5

A

C

B

ABC

CBA

BCA

ABC

CAB CBA

CABBCA5

1522

?17

8 10

22

ABC

CAB ABC

CBA ABC

BCA ABC

BCA CABABC CBA

CBA ABC CAB BCA

ABC CBA BCA

ABC CAB

Solusi :


Ruang Sampel Bila tiap hasil suatu percobaan sesuai dg

salah satu unsur suatu kelompok, makakelompok tsb Ruang Sampel

Atau, semua kemungkinan hasil percobaan

Termasuk, dalam KONDISI YG DIKETAHUI

Harus ditentukan terlebih dahulu, sebelummenentukan nilai probabilitas


Ruang Sampel Sebuah ruang sampel S merup. sebuah

kelompok yg : tiap unsur dari S menyatakan satu hasil

percobaan Tiap hasil percobaan harus sesuai dg satu dan

hanya satu dari unsur S

Ruang sampel sangat khas, tergantung dariobyek yang akan ditentukan nilaiprobabilitasnya


Ruang SampelObyek Ruang Sampel :

Uang Logam, bersisi 2 2keping K=kepala,

E=ekor

1 keping RS = 21 = 2 {K, E}

2 keping RS = 22 = 4 {KK, KE, EK, EE}

3 keping RS = 23 = 8 {KKK, KKE, KEK, KEE, EKK, EKE, EEK, EEE}

4 keping RS = 24 = 16 .........


Ruang Sampel


Ruang Sampel : 52 kartu bridge


Ruang SampelObyek Ruang Sampel :

Dadu, bersisi 6 6keping

1 dadu RS = 61 = 6

2 dadu RS = 62 = 36

3 dadu RS = 63 = 216

Bila dadu MERAH & dadu PUTIH dilempar bersama, maka JUMLAH MATA DADU-nya mempunyai Ruang Sampel

S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

39

x , y 1 2 3 4 5 6

1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )

2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )

3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )

4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )

5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )

6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )


Ruang Sampel Ruang Sampel pelemparan 2 dadu tsb bisa ditulis :

S = { (x,y) | 1 x 6 ; 1 y 6 }

Maka :

Ruang Sampel terdiri atas 36 titik sampel

Probabilitas terwujudnya tiap titik sampel = 1/36

Contoh :

Buktikan probabilitas x = y sebesar 1/6

Buktikan probabilitas y x + 3 sebesar 1/6

40

x , y 1 2 3 4 5 6

1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )

2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )

3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )

4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )

5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )

6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )


RS ATURAN PENGHITUNGAN Bila obyek masih sederhana (bisa diuraikan unsur-2-

nya), maka Ruang Sampel bisa di tentukan darimenguraikan unsur-2 Ruang Sampel-nya. Obyeksederhana, misal. mata uang & dadu

Bila obyeknya lebih KOMPLEK, maka digunakan :ATURAN PENGHITUNGAN (COUNTING RULES)Terdiri :

Kaidah penggandaan (Multiplication rule) Permutasi (seluruhnya, sebagian & berbeda) Kombinasi


ATURAN PENGHITUNGAN1. Kaidah penggandaan (Multiplication rule).

Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, bilauntuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan

dalam n2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yang

pertama operasi ketiga bisa dilakukan dalam n3 cara, dandemikian seterusnya, maka k operasi dalam urutantersebut dapat dilakukan dalam n1×n2×…×nk cara.

– Dapat dijabarkan secara mudah dengan bantuandiagram pohon (tree diagram)


ATURAN PENGHITUNGANCONTOH: INVESTASI BRADLEY Bradley menginvestasikan uangnya pada 2 saham, yaitu Markley Oil dan

Collins Mining. Bradley telah menghitung kemungkinan hasilnya selama3 bulan dari sekarang. Berikut kemungkinannya :

Keuntungan (+)/kerugian (–) investasi dalam 3 bulan ($000)Markley Oil Collins Mining

10 8

5 -2

0

-20


ATURAN PENGHITUNGAN Diagram Pohon

Markley Oil Collins Mining Hasil(Stage 1) (Stage 2) Percobaan

Untung 5Untung 5

Untung 8Untung 8

Untung 10Untung 10

Rugi 20RugiRugi 20

Rugi 2Rugi 2

ImpasImpas

(10, 8) (10, 8) UntungUntung $18,000$18,000

(10, (10, --2) 2) UntungUntung $8,000$8,000

(5, 8) (5, 8) UntungUntung $13,000$13,000

(5, (5, --2) 2) UntungUntung $3,000$3,000

(0, 8) (0, 8) UntungUntung $8,000$8,000

(0, (0, --2) 2) RugiRugi $2,000$2,000

((--20, 8) 20, 8) RugiRugi $12,000$12,000

((--20, 20, --2)2) RugiRugi $22,000$22,000

Untung 8Untung 8

Untung 8Untung 8

Untung 8Untung 8Rugi 2Rugi 2

Rugi 2Rugi 2

Rugi 2Rugi 2

Untung 5Untung 5

Untung 8Untung 8

Untung 10Untung 10

Rugi 20RugiRugi 20

Rugi 2Rugi 2

ImpasImpas

(10, 8) (10, 8) UntungUntung $18,000$18,000

(10, (10, --2) 2) UntungUntung $8,000$8,000

(5, 8) (5, 8) UntungUntung $13,000$13,000

(5, (5, --2) 2) UntungUntung $3,000$3,000

(0, 8) (0, 8) UntungUntung $8,000$8,000

(0, (0, --2) 2) RugiRugi $2,000$2,000

((--20, 8) 20, 8) RugiRugi $12,000$12,000

((--20, 20, --2)2) RugiRugi $22,000$22,000

Untung 8Untung 8

Untung 8Untung 8

Untung 8Untung 8Rugi 2Rugi 2

Rugi 2Rugi 2

Rugi 2Rugi 2


ATURAN PENGHITUNGAN2. Permutasi (berbeda sama & berbeda n & r-nya) :

Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda adalah

dimana n! = n.(n-1).(n-2) … (2).(1)

(n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2) … (2).(1)

0! = 1

)!(

!

rn

nPrn


ATURAN PENGHITUNGANContoh :

Permutasi Seluruhnya : bila n = r

Dalam berapa cara 3 buku A, B & C yg berbeda dapat diletakkan secara teratur di rak buku ? ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA

Permutasi Sebagian : bila n > r

Dalam berapa carakah 2 huruf yg berbeda dari kata “ l a u t “ dapat diatur atau dipilih dalam suatu urutan tertentu ? {l,a}, {l,u}, {l,t}, {a,l}, {a,u}, {a,t}, {u,l}, {u,a}, {u,t}, {t,l}, {t,a} & {t,u}

46

61

3.2.1

!0

!3

)!33(

!333

P

12!2

4.3!.2

!2

!4

)!24(

!424

P


Contoh :

Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untukmenentukan hadiah pertama dan kedua, makabanyaknya titik contoh [ruang sampel / samplespace] adalah

47

38020.19!18

20.19!.18

!18

!20

)!220(

!20

)!(

!220

rn

nP


ATURAN PENGHITUNGAN

ATURAN PENGHITUNGAN3. Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1

diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, …, nk

berjenis ke-k adalah

Contoh:

Banyak susunan yang berbeda bila kita ingin membuat sebuah rangkaian lampu hias yang terdiri dari 3 lampu merah, 4 kuning, dan 2 biru adalah

!!...!

)!...(

!!...!

)!(

21

21

2 k

k

ki

i

nnn

nnn

nnn

n

48

1260!2!4!3

!9

!2.!4.!3

)!243(


ATURAN PENGHITUNGAN4. Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda

adalah

Contoh:

Jika dari 4 orang anggota partai X akan dipilih 2 oranguntuk menjadi anggota suatu tim Pansus, makabanyaknya kombinasi adalah

)!(!

!

rnr

nC

r

nrn

49

62

12

2!.2

4.3!.2

!2!.2

!4

)!24!.(2

!4

2

424

C


ATURAN PENGHITUNGANContoh:

Berapa jumlah kombinasi sebanyak 3 unsur yg diambil dari kelompok {a,b,c,d,e} ?

{a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e}

Probabilitas untuk memilih sebuah sampel yg terdiri dari 3 orang dari populasi yg terdiri 30 orang adalah :

50

102

20

2.1!.3

5.4!.3

!2!.3

!5

)!35!.(3

!5

3

535

C

4060

1

3.2.1

30.29.28

1

!27.3.2.1

30.29.28!.27

1

!27.!3

!30

1

)!330!.(3

!30

11)3(

330

C

orangp


Perhitungan dalam Probabilitas

1.Probabilitas suatu Peristiwa :

Bila suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah n (ruangsampel) hasil yg berbeda & memiliki kesempatan terwujudyg sama (var. random), dan bila m (suatu kejadian tertentu)dari hasil diatas merup. peristiwa A, maka Probabilitasperistiwa A adalah :

Probabilitas peristiwa bukan A adalah :

51

sampelruang

tertentukejadian

kejadianseluruh

tertentukejadian

n

mAp )(

n

mnApAp

)(1)(


Perhitungan dalam Probabilitas1.Probabilitas suatu Peristiwa :Contoh : Sebutir dadu empat sisinya dicat MERAH, dua sisinya dicat

PUTIH. Bila dadu dilempar sekali, maka : berapakah probabilitas muncul sisi MERAH ? berapakah probabilitas muncul sisi PUTIH ?

Jawab : Prob (Merah) :

Prob (Putih) :

atau

52

667,03

2

6

4)(

n

mmerahp merah

333,03

1

6

2)(

n

mputihp

putih

3

1

3

21)(1)(1)( merahpputihpputihp



2.Peristiwa yg Eksklusif : tidak ada yg sama satu sama lain Bila A & B EKSKLUSIF secara Bersama dan merup. peristiwa,

dalam sebuah ruang sampel terbatas, maka :

dimana A B = dan p (A B) = 0 Mis. Sebutir dadu dilempar sekali,

Berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 ATAU mata dadu 5?Jawab : p (A B) = p (A) + p(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3Berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 ATAU 3 ATAU 5ATAU 6 ? 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3

53

)()()( BpApBAp



3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif : ada yg sama/kembar Bila peristiwa A & B merup. suatu gabungan (union) dan TIDAK

EKSKLUSIF secara bersama dan terdapat pada sebuah ruangsampel terbatas, maka :

Contoh :Kelompok brigade tempur sukarela, ½-nya adalahSUKARELAWAN & ½-nya adalah SUKARELAWATI. 20% dariSUKARELAWATI adalah MAHASISWI, dan 60% dariSUKARELAWAN adalah MAHASISWA.Bila dipilih secara random seorang dari brigade tsb, berapakahprobabilitas seorang WANITA atau seorang Mahasiswa terpilih ?

54

)()()()( BApBpApBAp


Perhitungan dalam Probabilitas3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif :

Bila digambar Diagram Pohon-nya (Tree Diagram) :

55

N

½ N Sukarelawan

60% Mahasiswa

40% bukan Mahasiswa

½ N Sukarelawati

20% Mahasiswi

80% bukan Mahasiswi

mahasiswaHaryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif :Jawab :• Bila A = peristiwa WANITA terpilih = 0,5 SUKARELAWATI

• Pengertian Mahasiswa PEREMPUAN & LAKI-LAKI.Bila B = peristiwa MAHASISWA terpilih ada 2 asal MAHASISWA = ygPerempuan + yg Laki-laki = (20% x ½) + (60% x ½) = 10% + 30% = 40%= 0,4

• Yang RANGKAP = p (AB) = 20% x ½ = 0,1 ada mahasiswi yg WANITAsekaligus Kuliah (mahasiswa).

• Maka :p (A B) = p (A) + p(B) - p (A B)

= 0,5 + 0,4 – 0,1= 0,8 N.

56

0,4 0,3

A

B

S0,1



4.Peristiwa yg KOMPLIMENTER :

Bila terdapat peristiwa A dan peristiwa A dalamsebuah ruang sampel yg sama dan bila A meliputisemua unsur kecuali A, maka A merup. peristiwaKOMPLIMENTER bagi A

Notasi : p (A) = 1 – p(A)

Contoh lihat Perhitungan no. 1

57

_

_


_

_



Perhitungan dalam Probabilitas5.Peristiwa yg INDEPENDEN :

Bila dan hanya bila terjadi atau tidak terjadinya peristiwa PERTAMA,tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya peristiwa KEDUA.Peristiwa Pertama TIDAK TERKAIT dengan peristiwa Kedua.

Notasi : p (A B) = p (A) . p(B)

Contoh :

Pada pelemparan dua butir dadu MERAH & PUTIH, tentukan probabilitasDADU MERAH X 3 dan DADU PUTIH Y 5 !

Jawab :

Siapkan Ruang Sampelnya

tentukan P(X 3)

tentukan P(Y 5)


Perhitungan dalam Probabilitas5.Peristiwa yg INDEPENDEN :

Probabilitas dadu MERAH X 3 = 18/36 = 1/2

Probabilitas dadu PUTIH Y 5 = 12/36 = 1/3

p (A B) = p (A) . p(B) = 1/2 . 1/3 = 1/6

60

x , y 1 2 3 4 5 6

1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )

2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )

3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )

4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )

5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )

6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )


Perhitungan dalam Probabilitas6.Probabilitas BERSYARAT :

Probabilitas mengenai sebagian dari ruang sampel TERKADANG lebih penting dibandingkan seluruh dari ruang sampel Mempersempit Ruang Sampel

Misal :

Penderita SAKIT JANTUNG KOTA BANDUNG RS HS.

Daerah rawan KEBAKARAN KOTA BANDUNG Padat penduduk & industri

Terdapat perbedaan pengertian antara probabilitas peristiwa dlm SUB-KELOMPOK & probabilitas ruang sampel ASAL (kelompok) diperlukan syarat tambahan

Probabilitas yg berhubungan dg peristiwa dalam sub-kelompok dinamakan PROBABILITAS BERSYARAT.



6.Probabilitas BERSYARAT :

• Pada pelemparan dadu MERAH (x) & PUTIH (y), bila x + y < 4, berapakah probabilitas x = 1 ?

1. Hasil x + y < 4 B = {(1,1), (1,2), (2,1)} dari RS semula 36, dipersempit menjadi 3 saja. Dari RS = 3, hanya 2 dari 3 yg memenuhi x = 1 prob. x = 1 dengan syarat x + y < 4 = p(B) = 2/3.

2. Bila prob. x = 1 TANPA SYARAT x + y < 4 A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} p(A) = 6/36 = 1/6

3. Interseksi (yg rangkap) antara peristiwa A & B = A B :

p(A) = 1/6 & p(B) = 3/36 p (A B) = 2/36



6.Probabilitas BERSYARAT :

4. Bila prob. peristiwa x = 1 dengan syarat peristiwa x+y<4 dinotasikan dg p(A|B) = 2/3, maka :

p (A B) = p (B) . p (A|B)

2/36 = (3/36) . (2/3)

atau :

5. Bila probabilitas peristiwa B dg syarat peristiwa A, maka :

63

)(

)()|(

Bp

BApBAp

)(

)(

)(

)()|(

Ap

BAp

Ap

ABpABp


Variabel Random

Definisi :

Variabel = variatif + able = dapat bervariasi

Random = acak, tidak beraturan, tidak diketahui

Variabel yg nilainya merupakan suatu bilanganyg ditentukan oleh terjadinya hasil suatupercobaan

Or, Outcomes of an experiment expressednumerically


Variabel RandomTerdiri :

V.R. diskrit/discrete :

dinyatakan dg nilai-nilai atau harga-harga yg terbatasjumlahnya, atau dinyatakan dg bilangan bulat {-2, -1,0, 1, 2}

V.R. kontinu/continous :

dinyatakan dg sembarang nilai atau harga-harga ygterdapat dalam suatu interval atau kelompok intervaltertentu, atau dinyatakan dg bilangan pecahan {-2

x 2}65Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

Variabel Random DISKRITMis. :

Histogram distribusi frekuensi relatif dari hasil pengukuran/observasi variabel random X yg DISKRIT dalam suatu percobaan sebanyak 100 kali, yg juga merup. DISTRIBUSI EMPIRIS

• Apa bedanya percobaan 100 dg 1000 kali ?

– Bila n=100 ukuran histogram renggang

– Bila n=1000 ukuran histogram lebih rapat

– Bila n= mendekati kurva kontinu distribusi

teoritis 66Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

67Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitasboredom = boring = bosan = jenuh


Variabel Random DISKRITContoh :

Distribusi frekuensi timbulnyaJUMLAH MATA DADU sebagaihasil percobaan sebanyak 100kali EKSPERIMEN

Bagaimana bila dibandingkandg frekuensi relatif TEORITIS kalau yg TEORITISdirumuskan dari RUANGSAMPEL yg memenuhi.




Metode Eksperimen/Empiris

Variabel Random DISKRIT Meskipun histogram frekuensi relatif TEORITIS tidak sama dg

yg EMPIRIS (eksperimen), tapi jika percobaan diulang sampai TAK HINGGA, maka frekuensi relatif EMPIRIS akan mendekati histogram TEORITIS-nya.

Ada dua jenis Fungsi Probabilitas :

f (x) = p (X = x) ; f (x) 0 ; f (x) = 1

F (x) = p (X x) ; lim F(x) = 1 untuk x ; lim F(x) = 0 untuk x - Distribusi Kumulatif.


Variabel Random DISKRITDari Ruang Sampel : Pelemparan 2 dadu

Ruang Sampel di atas : S = { (x,y) | 1 x 6 ; 1 y 6 }

Fungsi probabilitas Jumlah Mata Dadu, X= 2, 3, ..., 12.

73

x , y 1 2 3 4 5 6

1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )

2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )

3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )

4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )

5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )

6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )


VR Diskrit Jika X menyatakan variabel random yang harganya bagi

sembarang unsur dalam S (ruang sampel) ialah JUMLAH matadadu dari sepasang dadu dalam percobaan maka fungsiprobabilitas f(x) adalah :

f(x) = p( X = x ) ; f(x) 0 ; f(x) = 1. Dalam pengambilan keputusan, selain X = x, juga probabilitas X

x atau X x. Maka probabilitas untuk X 100 atau X 100dinyatakan dg :

F(100) = p( X 100 ) atau F(100) = p( X 100 ). F (x) = fungsi probabilitas kumulatif


Variabel Random DISKRIT

Tentukan : ada perbedaan antara f(x) & F(x) f(5) = f(7) = F(3) = F(6) =




Metode Teoritis





79

Rata-rata & Standart Deviasi untuk VR Diskrit



Contoh : Tentukan Rata-rata & Standart Deviasi untuk Jumlah Mata Dadu

yg timbul sebagai hasil pelemparan sepasang dadu.

𝑅𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝜇 ∶

𝜇 = Σ 𝑥𝑖 . 𝑓 𝑥𝑖 = 2.1

36+ 3.

2

36+ 4.

3

36+ 5.

4

36+ 6.

5

36+

7.6

36+ 8.

5

36+ 9.

4

36+ 10.

3

36+ 11.

2

36+ 12.

1

36= 7


Contoh : 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖 (𝜎2) :

𝜎2 = Σ (𝑥𝑖−𝜇)2. 𝑓 𝑥𝑖 = (2 − 7)2.

1

36+ (3 − 7)2.

2

36+ (4 − 7)2.

3

36+

(5 − 7)2.4

36+ (6 − 7)2.

5

36+ (7 − 7)2.

6

36+ (8 − 7)2.

5

36+

(9 − 7)2.4

36+ (10 − 7)2.

3

36+ (11 − 7)2.

2

36+ (12 − 7)2.

1

36= 5.833

Maka, Standart Deviasi = = VAR = (5.833) = 2.415

82

Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Jumlah

f(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

Xi . f(xi) 2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 1 6/36 1 4/36 1 30/36 22/36 12/36 7

(Xi - m)2 . f(xi) 0.694 0.889 0.750 0.444 0.139 0 0.139 0.444 0.750 0.889 0.694 5.833


Contoh :Jika 4 (empat) keping uang logam dilempar, berapakah rata-rata & standardeviasi munculnya K (kepala) ? Uang Logam mempunyai

2 sisi (Kepala & Ekor) Fungsi Probabilitas :

𝑅𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 ∶ 𝜇 = Σ 𝑥𝑖 . 𝑓 𝑥𝑖 = 2.00 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖 ∶ 𝜎2 = 1.00 Maka, Standart Deviasi = = VAR = (1.00) = 1.00

83

KKKK KEKK EKKK EEKK

KKKE KEKE EKKE EEKE

KKEK KEEK EKEK EEEK

KKEE KEEE EKEE EEEE

Xi 0 1 2 3 4 Jumlah

f(xi) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 1.00

Xi . f(xi) 0 4/16 12/16 12/16 4/16 2.00

(Xi - m)2 . f(xi) 0.250 0.250 0 0.250 0.250 1.00


Harapan Matematis Bila peristiwa A1, A2, A3, ..., Ak merupakan peristiwa

independen yg lengkap terbatas, sedangkan p1, p2, p3, ..., pk

merupakan probabilitas terjadinya masing-2 peristiwa diatas. Maka, andaikan seseorang memenangkan sejumlahuang U1 bila peristiwa A1 , uang U2 bila peristiwa A2 , dst.terjadi maka :

Harapan Matematis memperoleh kemenangan A(U) :

A(U) = U1.p1 + U2.p2 + ... + Uk.pk Diterapkan dalam pertaruhan (konsep judi) & asuransi


Harapan Matematis [contoh]Pada permainan judi/taruhan/games of chance pelemparan 2(dua) uang logam dilakukan oleh si X & Y. Si X akan menerimasejumlah uang dari Y. X akan menerima :

Rp 1,000,- bila hasil pelemparan memperoleh 2K.

Rp 500,- bila hasil pelemparan memperoleh 1K.

Rp 0,- bila hasil pelemparan TIDAK memperoleh K (0K).

Berapakah yg harus dibayar oleh X kepada Y untuk setiappermainan agar taruhan dikatakan seimbang ?


Harapan Matematis [contoh]Pada permainan judi/taruhan/games of chance pelemparan 2 (dua) uang logamdilakukan oleh si X & Y. Si X akan menerima sejumlah uang dari Y. X akanmenerima :

Rp 1,000,- bila hasil pelemparan memperoleh 2K.

Rp 500,- bila hasil pelemparan memperoleh 1K.

Rp 0,- bila hasil pelemparan TIDAK memperoleh K (0K).

Berapakah yg harus dibayar oleh X kepada Y untuk setiap permainan agar taruhandikatakan seimbang ?

Soal di atas memiliki 3 peristiwa :

86

Pelemparan 2 keping Uang Logam :

KK 2K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 1,000,-

KE 1K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4

EK 1K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4

EE 0K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 0,- (kalah)

--> Rp 500,-


Harapan Matematis [contoh]Soal di atas memiliki 3 peristiwa :

Kemenangan rata-rata tiap permainan (nilai taruhantiap pengundian) :

A(U) = U1.p1 + U2.p2 + U3.p3 = Rp. 500,-87

Pelemparan 2 keping Uang Logam :

Xi 0 1 2 Jumlah

f(xi) = pk 1/4 2/4 1/4 1

Uk 0 500 1000 1500

Uk . pk 0 250 250 500


Harapan Matematis [contoh]Pada Jasa Asuransi, dari tabel Mortalita diketahui bahwa seseorang usia 25tahun dapat hidup selama setahun adalah 0.992 (992/1000), yang berartiprobabilitas mortalitanya (kematiannya) adalah 0.008 (8/1000). Bilaperusahaan asuransi akan menjual Polis kepada seseorang usia 25 tahununtuk jangka waktu setahun dg Premi Rp 10,000,- Berapakah keuntungandari perusahaan asuransi tsb ? Dengan polis asuransi sebesar Rp 1,000,000,-

Ada 2 peristiwa : [Prob.Kecil x UangBesar] vs [Prob.Besar x UangKecil]

Peristiwa pertama/meninggal dalam setahun p1 = 0.008

Peristiwa kedua/tidak meninggal dalam setahun p2 = 0.992

Peristiwa pertama mengeluarkan uang U1 = - (1,000,000-10,000) = -990,000

Peristiwa kedua menerima uang U2 = + 10,000


Harapan Matematis [contoh]Pada Jasa Asuransi, dari tabel Mortalita diketahui bahwa seseorang usia25 tahun dapat hidup selama setahun adalah 0.992 (992/1000), yangberarti probabilitas mortalitanya (kematiannya) adalah 0.008 (8/1000).Bila perusahaan asuransi akan menjual Polis kepada seseorang usia 25tahun untuk jangka waktu setahun dg Premi Rp 10,000,- Berapakahkeuntungan dari perusahaan asuransi tsb ? Dengan polis asuransi sebesarRp 1,000,000,-

Maka harapan matematisnya :

A(U) = U1.p1 + U2.p2 = [- 990,000 x 0.008 ] + [10,000 x 0,992]

= 2,000,-

dan selama positip, pihak asuransi masihmemperoleh keuntungan.


Konsep Integral


Konsep Integral


Konsep Integral


Konsep Integral


Konsep Integral


Variabel Random Kontinu Pengukuran-2 berat badan, panjang, diameter, dsb,

dinyatakan dg variabel kontinu. Variabel kontinumenyatakan sembarang nilai dalam suatu interval.Fungsinya dinamakan Fungsi Kepadatan Probabilitas(probability density function). Identik Luasan.

Jika X merupakan variabel random kontinu yg bernilai - ~s/d + ~ maka Fungsi Kepadatan yang menggambarkanprobabilitas X dalam interval a s/d b dimana a b ialah :

𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥


V.R. Kontinu – Contoh #1Variabel random X memiliki Fungsi Kepadatan sbb. :

𝑓 𝑥 = 0 ; 𝑥 ≤ 2

𝑓 𝑥 =1

18. 3 + 2. 𝑥 ; 2 < 𝑥 < 4

𝑓 𝑥 = 0 ; 𝑥 ≥ 4

Jika x = 2 dan x’ = 3, berapakah p( x < X < x’ ) atau berapakah p ( a <X < b ) ?

Jawab :

𝑝 𝑥 < 𝑋 < 𝑥′ = න2

3 1

18. 3 + 2. 𝑥 𝑑𝑥 =

4


97

no x f(x)

1 2,00 0,3889

2 2,10 0,4000

3 2,20 0,4111

4 2,30 0,4222

5 2,40 0,4333

6 2,50 0,4444

7 2,60 0,4556

8 2,70 0,4667

9 2,80 0,4778

10 2,90 0,4889

11 3,00 0,5000

12 3,10 0,5111

13 3,20 0,5222

14 3,30 0,5333

15 3,40 0,5444

16 3,50 0,5556

17 3,60 0,5667

18 3,70 0,5778

19 3,80 0,5889

20 3,90 0,6000

21 4,00 0,6111VAR00001

4.54.03.53.02.52.01.5

VA

R00

002

.7

.6

.5

.4

.3

).23.(18

1)( xxf

V.R. Kontinu – Contoh #1


Luas Segitiga=½ x alas x tinggi= ½ x 1 x 0,1111 = 0,0556

Luas Persegi Panjang = panjang x lebar= 1 x 0,3889 = 0,3889

0.1111

0.3889

Luas Total = L.Segitiga + L.Persegi Panjang = 0,0566 + 0,3889 = 0,4445 = 4/9

V.R. Kontinu – Contoh #2Variabel random X memiliki Fungsi Kepadatan sbb. :

𝑓 𝑥 = 2. 𝑥 ; 0 < 𝑥 < 1

𝑓 𝑥 = 0 ; 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎.

a. Berapakah 𝑝(1

2< 𝑋 <

3

4) ?

b. Berapakah 𝑝( −1

2< 𝑋 <

1

2) ?

Jawab :

a. 𝑝1

2< 𝑋 <

3

4= 1

2

3

42. 𝑥 𝑑𝑥 =5

16

b. 𝑝 −1

2< 𝑋 <

1

2=

−1

2

1

2 2. 𝑥 𝑑𝑥 = 1−

2

02. 𝑥 𝑑𝑥 + 0

1

22. 𝑥 𝑑𝑥 = 0 +1

4=

1

4


V.R. Kontinu – Contoh #2 Grafik

99

No x f(x)

1 0.00 0.00

2 0.05 0.10

3 0.10 0.20

4 0.15 0.30

5 0.20 0.40

6 0.25 0.50

7 0.30 0.60

8 0.35 0.70

9 0.40 0.80

10 0.45 0.90

11 0.50 1.00

12 0.55 1.10

13 0.60 1.20

14 0.65 1.30

15 0.70 1.40

16 0.75 1.50

17 0.80 1.60

18 0.85 1.70

19 0.90 1.80

20 0.95 1.90

21 1.00 2.00

f(x) = 2.x.


Luas Segitiga == ½ x alas x tinggi

= ½ x ¼ x ½ = 1/16

Luas Persegi Panjang = = panjang x lebar

= 1 x ¼ = ¼ = 4/16

Luas Total = = L.Segitiga + L.Persegi Panjang

= 1/16 + 4/16 = 5/16

V.R. Kontinu – Contoh #2 Grafik

100

No x f(x)

1 0.00 0.00

2 0.05 0.10

3 0.10 0.20

4 0.15 0.30

5 0.20 0.40

6 0.25 0.50

7 0.30 0.60

8 0.35 0.70

9 0.40 0.80

10 0.45 0.90

11 0.50 1.00

12 0.55 1.10

13 0.60 1.20

14 0.65 1.30

15 0.70 1.40

16 0.75 1.50

17 0.80 1.60

18 0.85 1.70

19 0.90 1.80

20 0.95 1.90

21 1.00 2.00

f(x) = 2.x.


VRK – Rata-rata & Standart Deviasi

101

#1 #2


VRK – Rata-rata & Standart Deviasi

Variabel random X memiliki fungsi kepadatan probabilitas sbb. :

𝑓 𝑥 = 0 ; 𝑥 ≤ 0

𝑓 𝑥 =3

8. (𝑥 − 2)2 ; 0 < 𝑥 < 2

𝑓 𝑥 = 0 ; 𝑥 ≥ 2

Tentukan Rata-rata, Varians & Standart Deviasi-nya !


Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas103

Rata-rata =

Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas104

Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas 105

VRK – Rata-rata & Standart DeviasiJawab :


Info UAS & TUGAS PraUASUAS boleh OpenBook, waktu 80-90

menit, Perhitungan &/ Teoritis, materi :Probabilitas s/d Dist.Kontinu

Soal Tugas PraUAS : slide berikutnya.




Microsoft Mathematic - V.R. Kontinu – Contoh #1


Documents

Materi Kuliah - yosnex.files.wordpress.com · Perumusan Probabilitas •Mis. ada 10 bola merah & 10 bola putih yg identik (kec. warnanya), dimasukkan ke wadah tertutup. Bila diambil