MATERI 3

MATEMATIKA TEKNIK 1

PEMETAAN LAPLACE

1

Kawasan Waktu Vs Kawasan Frekuensi

2

Kawasan Waktu Vs Kawasan Frekuensi

3

Kawasan Kompleks4

Pemetaan Laplace

Introduction

The solution of most electrical circuit problems can be

reduced ultimately to the solution of differential equations.

The use of Laplace transforms provides an alternative

method to those discussed in first and second order

differential equations for solving linear differential

equations.

5

Laplace Notation

6

Pendahuluan

7

Pemetaan Laplace didefinisikan sebagai berikut :

dengan fungsi f(t) terdefinisi untuk seluruh t≥0

Contoh 1.

Tentukanlah pemetaan Laplace dari f(t) = 1

Jawab.

Tujuan8

Setelah mempelajari Pemetaan Laplace maka diharapkan :

1. Dapat memetakan suatu fungsi dalam kawasan waktu (t)

kekawasan kompleks (s).

2. Dapat memetakan balik (Invers) dari kawasan kompleks (s)

kekawasan waktu (t).

3. Dapat membuat model matematis suatu rangkaian Listrik R, L

dan C.

4. Dapat menyelesaikan suatu Linear Time Invariant System

dengan menggunakan metode Laplace.

Fungsi dalam kawasan waktu (t) ke

kawasan kompleks (s).9

f(s)f(t)

Penyelesaian Persamaan Laplace

10

Menggunakan Persamaan Laplace(1), Teorema(2) dan Melihat table Laplace(3) dari beberapa fungsi f(t) yang telah ada pada tabel Laplace

1. Persamaan Laplace11

Persamaan Laplace12

Contoh 1.

1. Tentukanlah pemetaan Laplace dari f(t) = 1

Jawab.

Gunakan persamaan Laplace

Contoh13

1.

2.

3.

4.

3£

2t£

2te£

t2sin£

2. Teorema14

Teorema 115

Teorema 216

Teorema 317

Teorema 418

3. Tabel19

20

21

Tugas 3A22

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

t2£

4t£

5t2£

6t3£

32t£

3

3

2£ tt

-t2 4e3£ te

t2cos3t4sin2£

Fungsi dalam kawasan kompleks (s) ke

kawasan waktu (t). (INVERS)23

f(s) f(t)

Inverse Laplace Transforms24

Definition of the inverse Laplace transform

Contoh25

1.

2.

3.

4.

Inverse Laplace transforms using partial

fractions26

Tugas 5B27

1.

2.

3.

4.

3s

1£ 1-

2

1-

s

6£

3s

s£

2

1-

4s

1£

2

1-

5.

6.

7.

8.

25s

1£

2

1-

13

4£ 1-

s

4

1-

s

6£

4s

7s£

2

1-

Penerapan Pemetaan Laplace pada

Persamaan Diferensial28

Penerapan Pemetaan Laplace pada

Persamaan Diferensial29

Pemetaan Laplace adalah tool yang sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan diferensial. Dipakainya Pemetaan Laplace dalam menyelesaikan persamaan diferensial dikarenakan pemetaan Laplace mengubah persamaan dalam kawasan waktu menjadikawasan s (kompleks).

Pemetaan Laplace mengubah persamaan diferensial menjadi bentuk aljabar biasa.

Penyelesaian persamaan diferensial adalah dengan mengubah balik pemetaan Laplace sehingga diperoleh suatu penyelesaian dalam kawasan waktu t (waktu)

30

The Laplace transforms of derivatives31

The Laplace transforms of derivatives

Contoh32

Latihan

33

Selesaikanlah persamaan diferensial berikut.

1. y’’−y = 0 dengan y(0) = 1 dan y’(0)=0.

Solusi

Tugas 5C

34

Selesaikanlah persamaan diferensial berikut.

1. y’’−3y’+2y = 0 dengan y(0) = 1 dan y’(0)=0.

2. y’+3y=0. dengan y(3) = 1;

3. y’’−4y’+4y = 0 dengan y(0) = 1 dan y’(0)=1.

4. y’’-4y’-3y=0. dengan y(0) = 0 dan y’(0)=1.

5. y’’−4y’+13y = 0 dengan y(0) = 1 dan y’(0)=0.

6. y’’+2y’+2y=0. dengan y(0) = 1 dan y’(0)=0.

Tugas 5C

35

Soal Tambahan

Penerapan Pemetaan Laplace pada Filter

36

RF Filter Sebuah rangkaian filter merupakan rangkaian yang

dapat melewatkan sinyal dari satu range frekuensitertentu tetapi menghadang sinyal frekuensi yang lainnya.

Rangkaian filter ini merupakan gabungan darirangkaian reaktansi yang terdiri dari induktor dankapasitor.

37

RF Filter Design – Basic Filter Types

38

Filter Attenuation Profiles

39

RF Filter Parameters

Insertion Loss:

Ripple

Bandwidth: BW 3dB = fu3dB – fL

3dB

Shape Factor:

Rejection

210 10 1in

in

L

PIL log log

P

min

max

A

A

BWSF

BW

Contoh40

Contoh41

Low pass filter (LPF)

42

Low pass (3 elemen)

Contoh43

Low pass (7 elemen)

L3L2L1

C1C2 C3

C4