Matemáticas y Filosofía. Una reflexión desde el lenguaje€¦ · la naturaleza y lenguajes personales y comunitarios para designar otros lenguajes, que ‘exceden’ a los lenguajes

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Micro espacios de investigación, ISSN2444-9245 Nº 1, Julio-Diciembre 2015, pp. 29-49

Micro espacios investigación 1 (2015): 29-49

Matemáticas y Filosofía. Una reflexión desde el lenguaje

Mathematics and Philosophy. A reflection from Language

Javier Leach Universidad Complutense de Madrid

[email protected]

Resumen: Estudio las relaciones entre la matemática y el lenguaje, distinguiendo entre el len-guaje del signo, propio de las ciencias de la naturaleza, y el lenguaje del símbolo, propio de la metafísica. Uso los nombres de lenguajes públicos para designar los lenguajes de las ciencias de la naturaleza y lenguajes personales y comunitarios para designar otros lenguajes, que ‘exceden’ a los lenguajes públicos. En el segundo apartado, muestro cómo ha evolucionado históricamente el lenguaje matemático en los dos últimos siglos. En el tercero estudio las relaciones entre los dos lenguajes, públicos y personales y los valores. El cuarto muestra el fracaso del positivismo lógico y su evolución hacia el que llamo positivismo tecnológico. Concluyo el artículo con una llamada a una posible y necesaria integración de los dos tipos de lenguaje.

Palabras clave: Lenguaje público, lenguaje personal, fundamentación de la matemáti-ca, pluralismo semántico, valores públicos, valores personales, positivismo lógico, positi-vismo tecnológico

Recibido: 9/12/2015 Aceptado: 19/12/2015

Abstract: This article studies the relationship between mathematics and the languages. I distin-guish between the language of sign, which we use in the sciences of nature, and the language symbol, which we use in metaphysics. I use the name of public languages to designate the lan-guages of the natural sciences and I use the name of personal languages to designate other lan-guages that 'exceed' the public languages. In the second section, I show how the mathematical language has historically evolved in the last two centuries. n the third section I study the relation-ship between the two languages and the values. The fourth section show the failure of logical positivism and its development towards what I call technological positivism. I conclude the article with a call for a possible and necessary integration of the two types of languages.

Keywords: Public language, personal language, foundations of mathematics, semantic pluralism, public values, personal values, logical positivism, technological positivism

Cómo citar este artículo: Leach, J. (2015) “Matemáticas y filosofía. Una reflexión desde el lengua-je”, Micro espacios de investigación 1: 29-49



INTRODUCCIÓN Este artículo reflexiona sobre la matemática y la filosofía desde el punto de vista del lenguaje. En otro artículo reciente titulado ‘Matemáticas y Religión’ he inten-tado explicar, también desde el lenguaje, algunas interrelaciones entre la matemática y la fe religio-sa. Allí he mostrado la importancia que tiene la reflexión filosófica pa-ra poner de manifiesto esas inter-relaciones teológicas entre la ma-temática y la fe religiosa. Aquí abordo directamente el papel del lenguaje en el estudio de las inter-relaciones entre la matemática y la filosofía. TIPOS BÁSICOS DE LENGUAJE Y DE PENSAMIENTO En el libro ‘Matemáticas y Religión, nuestros lenguajes del signo y del símbolo’ distingo tres tipos básicos de lenguaje que llamo respectiva-mente a) lenguajes del signo for-mal, b) lenguajes del signo repre-sentativo y c) lenguajes del símbo-lo. En ese libro, llamo lenguajes del signo formal a los lenguajes propios de la matemática, que están formados por constructos mentales con un significado for-malmente definido; llamo lengua-jes del signo representativo a los lenguajes propios de las ciencias empíricas, que representan datos empíricamente observados; y lla-

mo lenguajes del símbolo a los lenguajes de la metafísica. Distin-go, pues, dos tipos de lenguajes del signo llamándolos en un caso lenguajes del signo representativo y en el otro caso lenguajes del sig-no formal, y un tipo de lenguaje del símbolo. DOS TIPOS DE LENGUAJE DEL SIGNO Por ser la matemática una ciencia autónoma, los lenguajes de la ma-temática, llamados del signo for-mal, merecen en ese libro una consideración aparte especial fren-te a los lenguajes de las ciencias de la naturaleza, llamados del sig-no representativo. Sin embargo, los lenguajes del signo formal y del signo representativo están fuertemente relacionados porque los constructos mentales de la ma-temática son un lenguaje distin-guido de las ciencias de la natura-leza que no es meramente mental, ya que permite representar rela-ciones físicas reales. Es más, po-demos decir que las ciencias de la naturaleza modernas se caracteri-zan por tener a la matemática co-mo lenguaje privilegiado.

Por la importancia que tiene la matemática como lenguaje de las ciencias de la naturaleza, trato en ese libro a los lenguajes del signo formal y a los lenguajes del signo representativo de una forma uni-taria llamándolos a ambos lengua-



jes del signo frente a los lenguajes del símbolo, nombre que reservo para los lenguajes de la metafísi-ca. Un ejemplo de enunciado en un lenguaje del signo representativo

es la fórmula física , donde F representa la fuerza ejer-cida sobre un cuerpo, m la masa del cuerpo y a la aceleración que adquiere ese cuerpo cuando se le aplica la fuerza F. La fórmula física

puede ser considerada una fórmula de matemática aplica-da donde los signos F, m y a re

presentan magnitudes físicas. Otro ejemplo de lenguaje del

signo formal de la matemática es

el enunciado . En la

fórmula matemática los signos 6, 3 y 2 representan números que son constructos ma-temáticos, que pueden ser, como en nuestro ejemplo anterior, valo-res de una fuerza física, la masa

de un cuerpo y la aceleración a la que se somete el cuerpo cuando se le aplica dicha fuerza. Pero los números 6, 3 y 2 pueden ser usa-dos en otras fórmulas y en otras ciencias de la naturaleza para me-dir numéricamente cualquier otra magnitud científica. LENGUAJES PÚBLICOS Y LENGUAJES PERSONALES Tanto los lenguajes del signo for-mal como los lenguajes del signo representativo se caracterizan por tener una semántica pública, en-tendiendo por semántica pública

aquella que siempre y bajo cual-quier circunstancia significa lo mis-mo para todos. Por ejemplo, todo el mundo entiende igual las

fórmulas y , por eso decimos que su significa-do semántico es público.

En este artículo simplificaré la distinción entre signo representati-vo y signo formal y sólo me refe-riré a la distinción básica entre



lenguajes del signo y lenguajes del símbolo. Llamaré lenguajes públicos a los lenguajes del signo y lenguajes personales y comuni-tarios, o simplemente lenguajes personales, a los lenguajes del símbolo.

Al distinguir dos tipos de len-guajes —que a partir de ahora lla-maré lenguajes públicos y lengua-jes personales— admito dos tipos de pensamiento humano, el pen-samiento público y el pensamiento personal. A cada tipo de lenguaje corresponde un tipo de pensa-

miento. El pensamiento público es el pensamiento científico-técnico por el que controlamos científica y tecnológicamente la realidad. El pensamiento personal y comunita-rio es el pensamiento específica-mente metafísico, que, como vere-mos más adelante, excede semán-ticamente al pensamiento público. De ahí el que use a veces la pala-

bra meta-física (más allá del pen-samiento público la física) para referirme al pensamiento perso-nal.

Llamaré, por lo tanto, lenguajes públicos a los lenguajes de las ciencias de la naturaleza expresa-bles con fórmulas matemáticas, porque su significado semántico busca ser público, es decir, busca permanecer siempre igual para todos, independientemente de cuáles sean las opciones persona-les de aquél que entiende ese sig-nificado. Dicho con otras palabras,

el lenguaje científico es público porque significa lo mismo en cual-quier contexto cultural y filosófico, en Europa o en la China, en África o en Latinoamérica.

Además de estos lenguajes públicos, propios de las ciencias de la naturaleza, me referiré a otros lenguajes cuyo significado no puede ser expresado plena-



mente con fórmulas matemáticas, porque su significado semántico ‘excede’ al de los lenguajes públi-cos de la matemática. A estos len-guajes, que tienen un significado metafísico que va más allá de las ciencias de la naturaleza, los llamo en el libro ‘Matemáticas y Religión’ lenguajes del símbolo y aquí los denominaré lenguajes personales

y comunitarios. Los llamaré así porque su significado semántico tiene aspectos personales y comu-nitarios que exceden al significado de los lenguajes públicos. Entre los aspectos personales y comuni-tarios propios de estos lenguajes incluiré sobre todo las opciones y valores personales. En ocasiones omitiré la calificación de comunita-rios por redundante y llamaré a estos lenguajes simplemente len-guajes personales.

El uso que hago de las palabras ‘excede’, ‘lenguaje personal’ y ‘lenguaje público’ es central en este artículo y espero que el signi-ficado que quiero dar a esas ex-presiones se entienda mejor más

adelante, a lo largo del artículo. De momento basta con que en-tendamos que los lenguajes per-sonales exceden semánticamente a los lenguajes públicos de la ma-temática, porque el significado de los lenguajes formales de la ma-temática no incluye opciones y va-lores personales.

LENGUAJES OBJETIVOS Y LENGUAJES SUBJETIVOS Un motivo importante por el que en este artículo uso los nombres de lenguajes públicos y lenguajes personales, un tanto novedosos con respecto a otros artículos, es porque en este artículo quiero su-perar la división que se hace en algunas ocasiones entre lenguajes objetivos y lenguajes subjetivos, considerando que los lenguajes de la ciencia son objetivos frente a otro tipo de lenguajes que se cali-fica como subjetivo, haciendo co-rresponder la dicotomía objetivo-subjetivo a la dicotomía científico-



no científico. La dicotomía ‘lenguaje

objetivo’-‘lenguaje subjetivo’ pre-tende dividir nuestro lenguaje y nuestro conocimiento de la reali-dad en dos partes, la parte objeti-va, que conocemos objetivamente y que expresamos con un lenguaje objetivo, y la parte subjetiva. En este artículo, en vez de decir que los lenguajes de las ciencias de la naturaleza tienen un significado semántico objetivo, contrapuesto al significado subjetivo de otros lenguajes, diré que los lenguajes de las ciencias de la naturaleza tienen un significado público, y hablaré de otros lenguajes metafí-sicos que tienen un significado personal que excede, pero incluye, al significado público.

PLURALISMO SEMÁNTICO DE LA MATEMÁTICA Evito utilizar el nombre de lengua-jes objetivos para los lenguajes de la matemática y de las ciencias de la naturaleza, y los llamo lengua-jes públicos porque me parece que ese nombre es más adecuado para describir el pluralismo semántico actual de los lenguajes de la matemática y de las ciencias de la naturaleza. Al mismo tiempo, también evito utilizar el nombre de subjetivos para los lenguajes per-sonales, porque creo que los len-guajes personales tienen aspectos comunitarios importantes que no

son subjetivos. Uno de los motivos por los que

escribo este artículo es mostrar cómo la evolución del lenguaje matemático ha ido demostrando a lo largo de estos dos últimos si-glos el pluralismo de la semántica del lenguaje matemático. David Hilbert fue un matemático muy influyente a caballo entre los si-glos XIX y XX. Hilbert fue famoso por proponer un programa de fun-damentación de la matemática. El programa de Hilbert intentó en la primera mitad del siglo XX conver-tir el lenguaje matemático en un sistema finito deductivo, consis-tente y completo, reduciendo la consistencia de los sistemas ma-temáticos a la consistencia de la aritmética. La demostración del teorema de incompletitud de la aritmética de K. Gödel probó que el programa de Hilbert era imposi-ble porque, si la aritmética es con-sistente, la aritmética no se puede deducir de un conjunto finito de axiomas. FUNDAMENTACIÓN DE LA MATEMÁTICA Dado que la matemática es el len-guaje privilegiado de la ciencia, la búsqueda de la unidad de la cien-cia ha llevado a diversas formas y escuelas de fundamentación unita-ria de la matemática. El programa de Hilbert buscaba demostrar la unidad y la consistencia de la ma-



temática, y con ello la unidad y consistencia del conocimiento científico, pues la búsqueda de la unidad del conocimiento científico tiene su máxima expresión en la búsqueda de la unidad del len-guaje científico.

Consideraré que las distintas corrientes y escuelas de funda-mentación de la matemática que aparecieron y se desarrollaron en-tre los siglos XIX y XX pueden re-ducirse, de un modo general, a dos: La clásica y la constructivista. La diferencia básica entre las es-cuelas clásica y constructivista de fundamentación de la matemática está en que la escuela clásica con-sidera que todo enunciado ma-

temático, formalmente bien cons-truido, o es verdadero o es falso, mientras que la escuela constructi-vista considera que sólo podemos aceptar como verdaderos o falsos aquellos enunciados cuya verdad o falsedad hemos demostrado me-

diante la construcción de una de-mostración matemática. EL PROGRAMA DE HILBERT Y EL PLURALISMO SEMÁNTICO El programa de Hilbert buscaba mostrar, dentro de la fundamenta-ción clásica de la matemática, la unidad mecánica deductiva de los sistemas formales de la matemáti-ca. Pero la matemática constructi-vista puede ser interpretada, des-de un punto de vista clásico, como un subconjunto de la matemática clásica que puede ser demostrado siguiendo métodos constructivis-tas, que son siempre más estrictos que los clásicos.

El

fracaso del programa de Hilbert no llevó sólo a la matemática clásica al pluralismo semántico, llevó a toda la matemática al plu-ralismo de sistemas formales. Frente a las semánticas constructi-vistas la semántica clásica perma-



neció como una posible opción. Después del intento de lograr una única fundamentación de la ma-temática, la matemática, clásica o constructivista, consta de una plu-ralidad de sistemas deductivos, todos ellos semánticamente váli-dos. LA OBJETIVIDAD DE LOS LENGUAJES MATEMÁTICOS Y LOS LENGUAJES PÚBLICOS La pluralidad de escuelas a la que han llevado los trabajos de funda-mentación de la matemática de los últimos siglos ha mostrado que, aunque el lenguaje matemá-tico formalizado es el más objetivo de los lenguajes, no es totalmente objetivo pues su fundamentación semántica depende de opciones de escuela, y sin embargo aunque el lenguaje matemático no es to-talmente objetivo, sí que es un lenguaje totalmente público. A lo largo del siglo XX, sobre todo en la primera mitad del siglo XX, los trabajos de fundamentación de la matemática han dado como resul-tado una pluralidad de plantea-mientos distintos acerca de la semántica de la matemática que tienen muchos aspectos subjetivos y de escuela pero que siempre procuran ser públicos.

En efecto, las distintas aproxi-maciones filosóficas a la semántica del lenguaje matemático, y a la verdad o falsedad de los enuncia-

dos matemáticos, se basan en ar-gumentos que en último término dependen de razones subjetivas y de escuela, pero todas las semán-ticas matemáticas se construyen siempre con argumentos formula-dos en un lenguaje público que todo el mundo puede entender. El lenguaje de la matemática siempre es público porque busca tener siempre el mismo significado en cualquier contexto cultural, pe-ro no siempre es objetivo.

Por ejemplo, el intuicionismo iniciado por el matemático holandés L. E. J. Brower se man-tiene como una de las formas más conocidas del constructivismo ma-temático. Los matemáticos intui-cionistas tienen una visión cons-tructiva de la matemática según la cual sólo es verdadero un enun-ciado matemático cuando hemos podido construir una demostración de que efectivamente es verdade-ro, mientras que los matemáticos clásicos admiten el principio lógico del ‘tercero excluido’ según el cual todo enunciado matemático bien formulado o bien es verdadero o bien es falso. Para un matemático clásico basta con demostrar por ‘reducción al absurdo’ que la ne-gación de un enunciado E produce una contradicción para considerar que está demostrado que el enun-ciado E es verdadero. Porque para un matemático clásico E es verda-dero o es falso. Si la negación de E lleva a una contradicción, la ver-



dad de E queda demostrada. Los argumentos intuicionistas

son públicos e igualmente son públicos los argumentos de los matemáticos clásicos, pero hay elementos subjetivos en ambas argumentaciones, tanto en la in-tuicionista como en la clásica. UNA MIRADA A LA HISTORIA DE LA FILOSOFÍA Uno de los resultados que preten-do mostrar en este artículo es cómo la evolución del lenguaje matemático ha influido a lo largo de la historia en la evolución de la reflexión filosófica. Este paralelis-mo entre la evolución histórica de la matemática y la evolución histó-rica de la filosofía, quiere resaltar la importancia del lenguaje ma-temático, considerándolo como un humus intelectual que contribuye, junto con otras circunstancias, al desarrollo histórico de la reflexión filosófica.

En particular quiero mostrar cómo el pluralismo, la apertura y la globalidad que caracterizan al lenguaje matemático contemporá-neo, están influyendo en el plura-lismo, la apertura y la globalidad de la reflexión filosófica actual. Esta influencia tiene en algunos aspectos un efecto contrario al que ejercía la matemática en la filosofía al comienzo de la época moderna en el siglo XVII, cuando el determinismo matemático re-

percutía en el determinismo de la filosofía racionalista de pensado-res como Descartes y Leibniz, en-tre otros.

LOS LENGUAJES Y LOS VALORES Los lenguajes tienen que ver con el pensamiento, los valores tienen que ver con el querer, con el bus-car, con la intencionalidad y la fi-nalidad. En este apartado quiero mostrar que, aunque hay dos ti-pos de valores, valores públicos y valores personales, que corres-ponden a los dos tipos de lengua-jes, los valores actúan transversal-mente sobre los dos tipos de len-guajes, unificándolos. DOS TIPOS DE LENGUAJES Y UNA MISMA REALIDAD En este apartado voy a hablar de valores que unifican y para empe-zar quiero hacer notar que cuando hablo de dos tipos de lenguaje, el lenguaje público y el lenguaje per-sonal, y cuando hablo consecuen-temente de dos tipos de pensa-miento, el pensamiento público y el pensamiento personal, no trato de yuxtaponer dos realidades se-paradas, como si la realidad signi-ficada por un tipo de lenguaje, y un tipo de pensamiento, estuviese yuxtapuesta y separada de la sig-nificada por el otro.



Por lo contrario, cuando describo dos tipos de lenguaje y los separo llamándolos lenguaje público y lenguaje personal, trato de expli-car, desde dos niveles lingüísticos distintos, una misma y única reali-dad, de tal modo que los dos nive-les lingüísticos, público y personal, nos permiten mirar e interactuar con la realidad desde dos niveles, un nivel público más externo que hace que la realidad sea tecnológi-camente manipulable y un nivel personal que excede, y a la vez incluye, al nivel público.

El estudio de la capacidad que tienen los dos tipos de lenguajes de expresar distintos tipos de va-lores nos ayudará a conectar los dos lenguajes con la única reali-dad. Empezaremos mostrando la existencia de un cierto paralelismo entre los dos tipos de lenguajes y los dos tipos de valores. VALORES PÚBLICOS Y VALORES PERSONALES De un modo semejante a cómo hay lenguajes públicos y lenguajes personales, también hay valores públicos y valores personales. Cualquier enunciado público, por ejemplo 2+2 = 4, expresa valores públicos. Entre los valores públicos del enunciado 2 +2 = 4 está, por ejemplo, la precisión semántica. Por precisión semántica quiero de-cir que todo el mundo entiende lo mismo cuando lee o escucha el

enunciado 2 + 2 = 4. La precisión semántica de los enunciados y de los teoremas matemáticos es un valor público porque da satisfac-ción intelectual por sí misma y además porque es útil posibilitan-do la aplicación mecánica y tec-nológica de la ciencia, sobre todo mediante los lenguajes formales de la informática. Otro valor públi-co es el hecho de que todo el mundo entienda lo mismo cuando lee y entiende la demostración de cualquier teorema matemático, como por ejemplo la demostración del teorema de Pitágoras. El hecho de que todo el mundo en-tienda del mismo modo lo que se quiere decir con una demostración matemática tiene el valor de po-ner en contacto diversas formas culturales de pensamiento. Y ese es un valor público.

Además de la precisión semán-tica, también valoremos los enun-ciados matemáticos porque son aplicables a las ciencias experi-mentales y a la tecnología. Por ejemplo, la capacidad de repeti-ción experimental de los hechos científicos sobre todo si están enunciados matemáticamente es un valor público que se puede hacer presente en cualquier cir-cunstancia y en cualquier cultura. Son también valores públicos la capacidad de manipular y trans-formar tecnológicamente la natu-raleza de acuerdo con leyes for-muladas matemáticamente; la



consistencia del pensamiento ma-temático etc. Todos esos son valo-res públicos, que nos mueven por igual a todos, sea cual sea nuestra cultura y nuestra motivación per-sonal.

Pero, así como los lenguajes públicos expresan valores públi-cos, los lenguajes personales ex-presan valores personales, que exceden a los valores públicos. El significado de los valores persona-les se caracteriza por su singulari-dad que afecta a la propia identi-dad, tanto personal como comuni-taria, de la persona que se mueve por esos valores.

Por ejemplo, los valores de la solidaridad y la misericordia perso-nal tienen un significado que exce-de a los hechos y a los datos científicos, porque afectan a la identidad personal y comunitaria del que usa lenguajes personales, en los que se expresan dichas rea-lidades. La solidaridad o la falta de solidaridad son valores personales que afectan a la identidad perso-nal y comunitaria. LOS VALORES UNEN DESDE LA REALIDAD LOS DOS TIPOS DE LENGUAJES Los valores, públicos y personales, unen los dos tipos de lenguaje, públicos y personales. Los unen porque, dado un problema concre-to, tanto los valores públicos como los personales, nos impulsan a to-

mar opciones que llevan a expre-sar el problema, que es único y real, y nos hacen formular el pro-blema usando ambos tipos de len-guaje.

Por ejemplo, cuando tratamos el problema del desarrollo ecológi-co de la tecnología actual nos mueven tanto valores públicos co-mo valores personales. El proble-ma del desarrollo ecológico puede ser tratado científica y tecnológi-camente con un lenguaje público, o puede ser tratado personal y co-munitariamente con un lenguaje personal. Son dos perspectivas del mismo problema. Entre los valores públicos que mueven a utilizar los lenguajes públicos para estudiar científicamente el problema del desarrollo ecológico está, en pri-mer lugar, el mismo carácter público de los lenguajes científi-cos, la claridad formal de los len-guajes públicos, la racionalidad, la capacidad científica de repetir los hechos formulados en un lenguaje público, etc. Y entre los valores personales y comunitarios que afectan a la identidad del que se mueve por ellos, están la solidari-dad entre distintas razas y cultu-ras que nos mueve a plantear el problema ecológico, la sensibilidad ecológica con la naturaleza, gran cantidad de problemas culturales, etc.



EXPRESIÓN IMPLÍCITA Y EXPLÍCITA DE LOS VALORES Sin embargo, los lenguajes públi-cos se diferencian de los persona-les porque los lenguajes públicos no expresan explícitamente los valores, los lenguajes públicos sólo expresan implícitamente valo-res y opciones públicas que pre-tenden ser válidas para todos, mientras que los lenguajes perso-nales expresan, posiblemente de un modo explícito, valores perso-nales que motivan personalmente. La aceptación implícita de los valo-res públicos, por ejemplo el carác-

ter público de la ciencia y la tec-nología, es común a todas las per-sonas, culturas y sociedades. La aceptación explícita de los valores personales, por ejemplo la solida-ridad y la misericordia, supone por lo contario una opción personal y comunitaria.

INTERACCIÓN ENTRE LOS LENGUAJES PÚBLICOS Y LOS LENGUAJES PERSONALES El estudio de la interacción entre los lenguajes públicos y los len-guajes personales es el reto filosó-fico al que quiero enfrentarme en este artículo. Como acabamos de ver, una diferencia entre estos lenguajes está en el nivel lingüísti-co desde el que se expresa la rea-lidad, que afecta al modo público o personal en el que se expresan los valores. Pues, mientras me-diante los lenguajes públicos se expresan implícitamente valores

públicos, que posibilitan la ciencia y la tecnología, mediante los len-guajes personales también expre-samos otros valores que dan sen-tido a la vida personal individual y comunitaria.



VALORES IMPLÍCITOS Y VALORES EXPLÍCITOS Los valores pueden ser públicos o personales pero no pueden ser expresados explícitamente en un lenguaje público. Los lenguajes públicos sólo expresan implícita-mente la finalidad, lo que quere-mos, los valores. Los lenguajes personales se diferencian e inter-relacionan a la vez con los lengua-jes públicos y los lenguajes perso-nales porque los valores persona-les no niegan sino que exceden y afirman los valores propios de la ciencia y la tecnología.

Un ejemplo de lenguaje público y de valor público lo encontramos en cualquier libro científico de física, de biología o de neurocien-cia. En esos libros se enuncian for-malmente una serie de leyes que explican hechos científicos, que pueden ser reproducidos en cir-cunstancias culturales distintas y que mantienen, por lo tanto, el mismo significado en cualquiera de los contextos culturales en los que los podamos reproducir. Y to-do eso son valores públicos que todo el mundo reconoce.

Por lo contrario, si buscamos un ejemplo de lenguaje personal lo podemos encontrar, por ejemplo, en un libro de filosofía confucianis-ta china donde nos encontramos, entre otras palabras de difícil tra-ducción, por ejemplo con la pala-bra ‘Li’, que es compleja de tradu-

cir a un lenguaje occidental ya que sólo la podemos entender desde el contexto de la cultura y los valores confucianistas. En efecto, esa palabra se traduce a un idioma occidental de un modo distinto según se refiera a una ley de la naturaleza o a un comporta-miento personal y comunitario. En el primer caso se traduce como ‘rito’ o ‘razón’ y en el segundo ca-so se traduce como ‘costumbre’ o ‘regla social’. Y a través de las dos traducciones entendemos los que no sabemos chino algo la palabra ‘Li’. EXCESO SEMÁNTICO Llamaré exceso semántico a la ca-pacidad que tienen los lenguajes personales de expresar valores personales y comunitarios. El ex-ceso semántico se contrapone a la simplicidad escueta de la semánti-ca de los lenguajes públicos. La semántica de los lenguajes públi-cos necesita simplificarse para permanecer pública. La semántica de los lenguajes personales y co-munitarios ‘excede’ a la semántica de los lenguajes públicos porque, a diferencia de lo que ocurre con los lenguajes públicos, hay aspec-tos del significado de estos len-guajes personales y comunitarios que sólo se entienden desde el interior de la misma persona que los usa, desde el interior de sus opciones y valores, y desde el in-



terior de sus relaciones comunita-rias. Es decir, sólo se entienden cuando la persona que los entien-de se transforma interiormente.

Por ejemplo, el lenguaje de la filosofía confucianista china sólo se entiende desde la comprensión de la persona y de la sociedad tal como las entiende el humanismo confucianista. Desde fuera del contexto confucianista es muy difí-cil entender el lenguaje de esa fi-losofía. Podemos decir que de algún modo es necesario ‘hacerse confucianista’ para entender el lenguaje confucianista. LENGUAJES INTERRELACIONADOS POR LOS VALORES Hemos visto que las semánticas de los lenguajes públicos sólo pueden expresar valores públicos mientras que las semánticas de los lenguajes personales y comu-nitarios pueden expresar valores personales y comunitarios que de-penden de opciones personales. Vamos a ver ahora que los valores personales y comunitarios exce-den a los valores públicos.

Por ejemplo, el enunciado ma-temático <siempre puede ser di-bujada una línea recta que une dos puntos cualesquiera> es una traducción al español del primer axioma de la geometría de Eucli-des. Ese enunciado geométrico se ha aceptado tradicionalmente co-

mo verdadero por su claridad y por su consistencia lógica con los otros axiomas de la geometría de Euclides. Por su claridad puede ser formulado en un lenguaje formal y una vez escrito en un lenguaje formal puede demostrarse su con-sistencia lógica con los otros axio-mas de la geometría de Euclides.

Los lenguajes públicos expresan valores públicos como, por ejem-plo, la claridad y la consistencia lógicas, mientras que la semántica de los lenguajes personales expre-sa valores que pueden dar, o ne-gar, sentido, motivación y finali-dad a la existencia humana.

Ambos lenguajes están interre-lacionados por los valores pues los valores públicos como la claridad lógica y la globalidad han influido históricamente e influyen actual-mente en los distintos valores, motivaciones y opciones persona-les que expresamos mediante los lenguajes personales. LENGUAJES PÚBLICOS, ABIERTOS Y PLURALES La apertura y la pluralidad actual del lenguaje matemático son im-portantes para este artículo por-que su descubrimiento histórico nos lleva a replantear las relacio-nes filosóficas entre los lenguajes públicos y los lenguajes persona-les. Como veremos la apertura y pluralidad, han contribuido decisi-vamente a pasar de una época



filosófica que buscaba la unidad racional del conocimiento al plura-lismo filosófico actual. DEL POSITIVISMO LÓGICO AL POSITIVISMO TECNOLÓGICO El pluralismo actual de los lengua-jes públicos ha hecho caer uno de los principales valores del positi-vismo lógico de principios del siglo XX que era la búsqueda de la uni-dad de la ciencia. Actualmente la búsqueda de la unidad de la cien-cia, que fue una de las principales pretensiones de positivismo lógico ha perdido radicalmente importan-cia frente a la apertura y el plura-lismo de las corrientes científicas. Sin embargo hay un valor tecnoló-gico que permanece y que está basado en la creencia en que a tecnología puede llevar a nuestra cultura a un crecimiento continuo. DOS MOMENTOS HISTÓRICOS Dos momentos históricos que han contribuido de manera decisiva a considerar los lenguajes públicos como abiertos y plurales son: (a) El fracaso en la primera mitad del siglo XX de los intentos filosóficos de reducir las matemáticas a un solo sistema formal mecánicamen-te controlable (formalismo clásico) o una construcción mental (constructivismo). (b) La descrip-ción propuesta por Alan Turing en la mitad del siglo XX, mediante la

máquina de Turing, de cualquier proceso formal como un proceso mecánico. Esta descripción no es solo importante por sus conse-cuencias sobre la indeterminación de la matemática, sino también, porque dio lugar al concepto fi-losófico de inteligencia artificial, que busca reducir cualquier pen-samiento humano a un proceso formal mecánico ejecutable por una máquina.

Los dos grandes intentos de fundamentar de un modo único la matemática, el formalismo y el constructivismo, han mostrado las limitaciones de los lenguajes públi-cos. El formalismo clásico fracasó en su intento de reducir las ma-temáticas a un único sistema for-mal, fracasó sobre todo con la de-mostración del teorema de incom-pletitud de la aritmética de Gödel. Por otra parte, el intento del cons-tructivismo matemático de reducir las matemáticas a construcciones mentales ha quedado, después de muchas discusiones sobre la fun-damentación de la matemática, como un posible modo de funda-mentar la matemática que es váli-do, junto con otros modos distin-tos también de fundamentarla.

El fracaso del intento de reducir la matemática a un único sistema fue un revés para los planteamien-tos del positivismo lógico del Círculo de Viena que buscaban la unidad de la ciencia. Por los teore-mas de incompletitud, los lengua-



jes formales necesitan expresarse lingüísticamente mediante una pluralidad de sistemas deductivos. Ese fracaso, junto con desarrollo de la tecnología, sobre todo de la tecnología basada en los lenguajes formales de la informática ha hecho pasar, a lo largo del siglo XX, del positivismo lógico al positi-vismo tecnológico.

El positivismo lógico tenía entre sus metas el lograr la unidad de la ciencia, que desde el punto de vis-ta del lenguaje se puede identifi-car con la unidad del lenguaje científico. Esta unidad no pudo alcanzar la unidad de los sistemas formales deductivos, pero esa fal-ta de unidad de los sistemas lógi-cos no afectó al optimismo tec-nológico que aseguraba que había una solución tecnológica para ca-da problema.

El positivismo tecnológico ac-tual ya no busca la unidad de la ciencia. El positivismo tecnológico parte del pluralismo científico ac-tual DESCRIPCIÓN MECÁNICA DE LOS PROCESOS FORMALES El lenguaje científico actual es en muchos casos indeterminista, pero no hay que confundir determinis-mo con mecanicismo. El hecho de que la ciencia actual admita mu-chas leyes indeterministas no quiere decir que no busque expre-sarse en un lenguaje mecánico.

Los procesos formales son mecá-nicos pero no son necesariamente deterministas. Una máquina de Turing es un proceso mecánico pero puede tener un árbol de de-cisión indeterminado y entonces el proceso descrito por la máquina de Turing es indeterminado, aun-que es mecánico. Por otra parte, muchas leyes de la ciencia moder-na son leyes estadísticas y descri-ben sucesos que sólo están alea-toriamente determinados. Diferen-tes y sucesivas crisis y revolucio-nes científicas que tuvieron lugar durante los dos últimos siglos han hecho abandonar una forma de-terminista de ver la ciencia, y han hecho que comprendamos cada vez menos la ciencia como un conjunto determinista de conoci-mientos y en su lugar la veamos cada vez más como "ciencia abier-ta y plural". CIENCIA METODOLÓGICAMENTE AUTÓNOMA Pero la ciencia, aunque es abierta y plural, es metodológicamente autónoma, y puede encerrarse de-ntro de su metodología y de su lenguaje, permaneciendo agnósti-ca ante todo conocimiento no científico y negando la validez de cualquier otro tipo de conocimien-to que 'exceda' al conocimiento científico.



CONCLUSIÓN: INTEGRACIÓN DE LOS DOS LENGUAJES DISTINTOS Por ser el lenguaje científico meto-dológicamente autónomo, cons-truido sobre un suelo semántica-mente firme, el conocimiento público de las ciencias de la natu-raleza tiene la posibilidad de en-cerrarse sobre sí mismo. Pero por ser el lenguaje público de la cien-cia abierto y plural está capacitado para dar un ‘salto metafísico’ y buscar una fundamentación filosó-fica fuera del lenguaje científico. A lo largo de este artículo he expli-cado algunas vicisitudes de ese 'salto'. Ese salto no es un salto en la oscuridad del vacío, no es un salto ciego, es un salto que arras-tra consigo el suelo firme de las ciencias de la naturaleza. LA INFORMACIÓN Actualmente es frecuente reducir el conocimiento a la información pero es menos frecuente el análi-sis filosófico de la riqueza personal del lenguaje con el cual se trasmi-te la información. Generalmente cuando se habla de información se relaciona la palabra información con la informática y consecuente-mente con el lenguaje formal y ahí termina el análisis filosófico.

En este artículo he seguido un camino que, partiendo de la cien-cia abierta y plural, conduce a

otros tipos de conocimiento perso-nal, que van más allá de la cien-cia. En este viaje, que va desde la ciencia a la filosofía, he pretendido distinguir y unir al mismo tiempo dos tipos de conocimiento. Los he distinguido principalmente a través del lenguaje en el que cada uno de ellos se expresa, y los he unido por los valores que están presentes de forma transversal en los dos tipos de conocimiento. LA INFORMACIÓN Y EL LENGUAJE Tuve ocasión hace poco de dar una clase a postgraduados de filo-sofía de la Universidad Sun Yat-sen de Cantón, en China. Antes había tenido doce clases a las que muchos de los presentes habían asistido y creía que estaba en con-diciones de hacerles algunas pre-guntas. Comencé haciéndoles una pregunta aparentemente sencilla. Les pregunté ¿qué es lógica? Un alumno me contestó diciendo que lógica es la ciencia que estudia las inferencias. Me pareció que la res-puesta era correcta y que era apta para empezar el diálogo que quer-ía tener con ellos. Le continué pre-guntando si era importante el len-guaje en el que hacemos las infe-rencias, y así iniciamos un intere-sante diálogo acerca de la lógica y los lenguajes.

Hacemos una inferencia cuando queremos convencer a alguien de algo. Este artículo está lleno de



inferencias con las que intento convencer al lector de algunas cuestiones filosóficas que relacio-nan los lenguajes formales con otros lenguajes cuya semántica excede a la de la matemática. DOS NIVELES DE INFORMACIÓN Y LENGUAJE He distinguido dos niveles de in-formación por el lenguaje utilizado en su transmisión. Utilizo la pala-bra "información" en el sentido más amplio y general posible. El lenguaje es el canal a través del cual recibimos y comunicamos in-formación a distintos niveles. Los dos niveles de información corres-ponden a los dos tipos de lenguaje de los que venimos hablando.

El primer nivel básico de infor-mación es el que expresamos me-diante los lenguajes públicos. El segundo nivel de información lo expresamos mediante los lengua-jes más amplios personales-comunitarios. Hablo de niveles de información no como quien habla en un lenguaje público de dos ni-veles del agua. Hablo de niveles dando a la palabra nivel un signifi-cado personal. El nivel de informa-ción personal ‘excede’ al nivel de información público.

INFORMACIÓN PERSONAL Voy a terminar con un ejemplo. Supongamos que tenemos una

furgoneta llena de libros al azar y queremos guardar la información contenida en los libros que llenan la furgoneta. Para ello, con la ayu-da de un procesador de texto digi-talizamos la información contenida en los libros y la guardamos en la memoria de en un archivo electró-nico. Esta información medida en bytes puede ocupar, por ejemplo, 1 GB de memoria. Decimos que la cantidad de información guardada es de 1 GB.

Supongamos que un amigo, que me conoce bien, llena la mis-ma furgoneta con otros libros, no elegidos al azar sino con libros que él sabe que son, por su conte-nido, de gran valor para mí. Calcu-lado en bytes, la cantidad de in-formación contenida en estos otros libros importantes para mí hacinados en la camioneta sigue siendo aproximadamente 1 GB de memoria. La cantidad de informa-ción no ha cambiado, pero el valor personal que la nueva información tiene para mí ha cambiado radical-mente.

El cálculo de los Bites de me-moria responde un análisis público de la información. Según ese aná-lisis no hay diferencia entre el contenido de las dos furgonetas. Podemos hacer un segundo análi-sis público señalando la diferencia de contenidos y un tercer análisis público en el que se exprese for-malmente la importancia que tie-nen para mí los libros de la segun-



da furgoneta. Pero sólo mediante un lenguaje personal podré expre-sar la importancia que esos libros tienen para mi. INTEGRACIÓN DE LOS DOS LENGUAJES La conclusión de este artículo es una llamada cultural a la integra-ción de los dos lenguajes, el len-guaje público y el lenguaje perso-nal. La ciencia y la tecnología ne-cesitan del lenguaje público, pero la relación comunitaria, en la que llegamos a ser personas necesita del lenguaje personal.





NOTA AUTOBIOGRÁFICA JAVIER LEACH es doctoro en Matemáticas (1977, Madrid y Freiburg), licenciado en Filosofía (1965, Barcelona) y Bachiller en Teología (1973, Alemania). Desde 1987, ha sido Profesor Titular en la Facultad de In-formática de la Universidad Complutense en el área de Lenguajes y Siste-mas Informáticos. Desde su creación en 2003 hasta 2011 ha sido Direc-tor de la Cátedra de Ciencia, Tecnología y Religión de la Universidad Co-millas de Madrid. En 2011, se retiró como Director de la Cátedra de Cien-cia, Tecnología y Religión es miembro del Comité Permanente. Desde 2012 profesor jubilado de la Universidad Complutense y actualmente co-laborador honorífico.

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Matemáticas y Filosofía. Una reflexión desde el lenguaje€¦ · la naturaleza y lenguajes personales y comunitarios para designar otros lenguajes, que ‘exceden’ a los lenguajes