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2 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Elmódulodeestudiode laasignaturaMatemáticasFinancierasespropiedadde laCorporaciónUniversitariaRemington.Las imágenes
fuerontomadasdediferentesfuentesqueserelacionanenlosderechosdeautorylascitasenlabibliografía.Elcontenidodelmóduloestá
protegidoporlasleyesdederechosdeautorquerigenalpaís.
Estematerialtienefineseducativosynopuedeusarseconpropósitoseconómicosocomerciales.
AUTOR
PabloEmilioBoteroTobón
EstudiosdeIngenieríadeMinas,TecnólogoenContaduríayTributaria,DiplomadoenDocenciaUniversitaria,Diplomado
enlaconstruccióndeMódulos,DiplomadoenAdministraciónFinanciera.
Profesor de Matemáticas y Física en la Corporación Remington, Profesor de Física en el colegio Teresiano (Envigado),
CoordinadoracadémicodelprogramaBachilleratoSemiescolarizadodelaCorporaciónRemingtonenlassedesdeMedellíny
Envigado,DirectorRegionaldelasededeMontería(E),CoordinadoracadémicodelprogramaJóvenesconFuturoenConvenio
MunicipiodeMedellínCUR,profesordeMatemáticasenelPolitécnicoAburrá.AsesorPedagógico,MetodológicoyDidáctico
de Virtual UNIREMINGTON. Docente Virtual de la Ruta de Formación Docente de UNIREMINGTON. Instructor de la
MetodologíadeEducaciónaDistanciaparalosdiferentesCentrosTutoriales(CAT)deUNIREMINGTONenelpaís.
Elaboracióndelosmódulosparalaeducaciónadistancia
Nota:elautorcertificó(demaneraverbaloescrita)Nohaberincurridoenfraudecientífico,plagiooviciosdeautoría;encasocontrario
eximiódetodaresponsabilidadalaCorporaciónUniversitariaRemington,ysedeclarócomoelúnicoresponsable.
RESPONSABLES
JorgeAlcidesQuinteroQuintero
DecanodelaFacultaddeCienciasContables
EduardoAlfredoCastilloBuiles
Vicerrectormodalidaddistanciayvirtual
FranciscoJavierÁlvarezGómez
CoordinadorCUR-Virtual
GRUPODEAPOYO
PersonaldelaUnidadCUR-Virtual
EDICIÓNYMONTAJE
Primeraversión.Febrerode2011.
Segundaversión.Marzode2012
Terceraversión.noviembrede2015
DerechosReservados
3 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
EstaobraespublicadabajolalicenciaCreativeCommons.Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual2.5Colombia.
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
1 MAPADELAASIGNATURA..............................................................................................................................6
2 UNIDAD1TASASDEINTERÉSSIMPLEEINTERÉSCOMPUESTO......................................................................7
2.1 RELACIÓNDECONCEPTOS.....................................................................................................................8
2.2 OBJETIVOGENERAL................................................................................................................................9
2.3 OBJETIVOSESPECÍFICOS.........................................................................................................................9
2.4 TEMA1INTERÉSSIMPLE........................................................................................................................9
2.5 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE...............................................................................................................14
2.5.1 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE...........................................................................................................19
2.5.2 EJERCICIODEAPRENDIZAJE:............................................................................................................22
2.5.3 EJERCICIODEAPRENDIZAJE.............................................................................................................25
2.5.4 EJERCICIODEAPRENDIZAJE.............................................................................................................30
2.5.5 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE...........................................................................................................34
2.5.6 EJERCICIOSDEENTRENAMIENTO....................................................................................................36
2.6 TEMA2INTERÉSCOMPUESTO.............................................................................................................39
2.6.1 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE...........................................................................................................42
2.6.2 EJERCICIOSDEENTRENAMIENTO....................................................................................................45
3 UNIDAD2TASASDEINTERÉSYEQUIVALENCIAS..........................................................................................48
3.1 RELACIÓNDECONCEPTOS...................................................................................................................48
3.2 OBJETIVOGENERAL..............................................................................................................................50
3.3 OBJETIVOSESPECÍFICOS.......................................................................................................................50
4 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
3.4 TEMA1TASADEINTERÉSNOMINALYTASADEINTERÉSEFECTIVA...................................................50
3.4.1 EJERCICIODEAPRENDIZAJE.............................................................................................................52
3.4.2 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE:..........................................................................................................54
3.4.3 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE...........................................................................................................56
3.4.4 EJERCICIOSDEENTRENAMIENTO....................................................................................................57
3.5 TEMA2TASASDEINTERÉSEQUIVALENTES.........................................................................................58
3.5.1 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE...........................................................................................................60
3.5.2 EJERCICIODEAPRENDIZAJE.............................................................................................................63
3.6 TEMA3ECUACIONESDEVALOR..........................................................................................................65
3.6.1 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE...........................................................................................................67
3.6.2 EJERCICIOSDEENTRENAMIENTO....................................................................................................70
4 UNIDAD3ANUALIDADES,VALORPRESENTENETOYTASADERETORNO....................................................79
4.1 RELACIÓNDECONCEPTOS...................................................................................................................79
4.2 OBJETIVOGENERAL..............................................................................................................................80
4.3 OBJETIVOSESPECÍFICOS.......................................................................................................................80
4.4 TEMA1ANUALIDADES.........................................................................................................................80
4.4.1 EJERCICIOSDEENTRENAMIENTO....................................................................................................89
4.5 TEMA2EVALUACIÓNDEALTERNATIVASDEINVERSIÓN....................................................................91
4.5.1 EJERCICIODEAPRENDIZAJE.............................................................................................................94
4.5.2 EJERCICIOSDEENTRENAMIENTO....................................................................................................94
4.6 TEMA3INGENIERÍAECONÓMICA.......................................................................................................97
4.6.1 EJERCICIODEAPRENDIZAJE...........................................................................................................103
4.6.2 EJERCICIODEAPRENDIZAJE...........................................................................................................107
4.6.3 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE.........................................................................................................115
5 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
5 PISTASDEAPRENDIZAJE..............................................................................................................................120
5.1.1 EJERCICIOSDEENTRENAMIENTO..................................................................................................126
6 GLOSARIO....................................................................................................................................................128
7 BIBLIOGRAFÍA..............................................................................................................................................129
7 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
2 UNIDAD 1 TASAS DE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
InterésCompuesto:Enlace
Tasa de interés simple y tasa de interés compuesto - banco WWW.BCU.GUB.UY/USUARIO-
FINANCIERO/.../TASAS_SIMPLE_COMPUESTO.ASPX
8 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
2.1 RELACIÓN DE CONCEPTOS
DefinicióndeConceptos
Interés Simple: Es el interés o beneficio que se obtiene de una inversión financiera o de capital cuando
los intereses producidos durante cada periodo de tiempo que dura la inversión se deben únicamente
alcapitalinicial,yaquelosbeneficiosointeresesseretiranalvencimientodecadaunodelosperiodos
InterésCompuesto:Representalaacumulacióndeinteresesquesehangeneradoenunperíododeterminadopor
uncapital inicial (CI)oprincipalaunatasade interés(r)durante(n)periodosde imposición,demodoque los
interesesqueseobtienenalfinaldecadaperíododeinversiónnoseretiransinoquesereinviertenoañadenal
capitalinicial,esdecir,secapitalizan.
LíneasdeTiempo:Esunplanteamientográficodelasituaciónfinancieraquesemanejará.Graciasaesta,esque
nospodemosasegurardequetodaslasvariablesestánincluidasenlaformaymedidacorrecta.Alavezpermite
laverificacióndelplanteamientoyelusodelafórmulaadecuada.
FlujodeCaja:Enfinanzasyeneconomíaseentiendeporflujodecajaoflujodefondos(eningléscashflow)losflujosdeentradasysalidasdecajaoefectivo,enunperíododado.
ValorPresente:Tambiénconocidocomovaloractualizadonetoovalorpresenteneto(eninglésnetpresentvalue),cuyo acrónimo es VAN (en inglés, NPV), es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un
determinadonúmerodeflujosdecajafuturos,originadosporunainversión.
9 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
ValorFuturo:Es lacantidaddedineroquealcanzaráuna inversiónenalgunafechafuturaalganar interesesa
algunatasacompuesta.
Finanzas: Las finanzas son las actividades relacionadas para el intercambio de distintos bienes
decapitalentreindividuos,empresas,oEstadosyconlaincertidumbreyelriesgoqueestasactividadesconllevan.
2.2 OBJETIVO GENERAL Aplicarlosconceptosdeinteréssimpleeinteréscompuestoenlasdiferentesoperacionesfinancieras.
2.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS CalcularelInterésSimpledeundinerocolocadoadeterminadotiempo.
CalcularelInterésCompuesto(interéssobreinterés)deundinerocolocadoadeterminadotiempo
2.4 TEMA 1 INTERÉS SIMPLE LAS FINANZAS Lademandadebienesyserviciosqueserealizapermanentemente,noshacepartícipesdelahorro,aunquenose
hableosetratedeelloennuestravidacotidiana.Hoyporhoysehablade:
• Labolsadevalores,
• Lasacciones,
• Losbonos,
• Larentabilidad,entreotros
Porlotanto,ysinquererlo,seestáoyendohablardeunadelastantasmanerascomolasempresassecapitalizan.
Laabundanciadeldineroenelmercado,quellevaaquelasempresasypersonasdemandenmás,unexcesivo
gastodelgobierno,puedenllevaraquelademanda,enformaglobalseincremente.Ambossonmuestrasdeuna
demandamayorquelaofertay,porconsiguiente,deunincrementogeneralizadoenlosprecios,laINFLACIÓN.
10 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Nota1:
Nota 2: Si Por algúnmomento la tasa de interés (precio del dineromedido en porcentaje), se incrementa
(significaunademandadedineromayorquelaoferta),estoes,hacefaltadineroenelmercado,porlotanto:
• Las empresas se abstendrán de solicitar créditos (que los necesitan permanentemente para poder
funcionar)ydisminuyelaproducciónyelempleo,
• Existiránmenosproductosenelmercado(disminuirálaofertadebienesyservicios),y
11 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
• Subiránlospreciosalmismotiempoque,comoaumentaeldesempleohabrámenosingresosyhastala
situaciónsocialsedeterioraría.
Nota3:Eldineroquehayenlaeconomíaesadministradoporlasinstitucionesfinancieras,talescomo:
• Bancoscomerciales,
• Corporacionesdeahorroyvivienda,
• Corporacionesfinancieras,
• Compañíasdefinanciamientocomercial,y
• Cooperativasdegradosuperior.
1. Éstasentidades son intermediarios,esdecir,estánentredosagentes: recibenocaptandinerode las
empresas,delasfamilias,delasinstituciones,yaseaporquenoloestánnecesitandoporahoraoporque
es un excedente, en este caso éstos organismos ofrecen dinero y las instituciones financieras lo
demandan,locaptan;sihayunaofertayunademandahayunprecio,eseprecioeselinterés,eldepósito
sobrelosdepósitosquepaganlasentidadesfinancieras,porcaptardinerose llamaTasadeInterésde
Captación(otasadeinteréspasiva).
2. Cuandolasinstitucionesfinancierassalendeldineroquehancaptado:Estedinero(sólounaparte)lova
aofreceraotrasempresas,otrasfamiliasyaotrasinstitucionesquelorequieran;enéstaoportunidad
éstosúltimosorganismosactúancomodemandantesylasinstitucionesfinancierascomooferentes;hay
otromercado y otro precio, esta vez el precio por colocar ese dinero en la economía, lo cobran las
institucionesfinancieras,sellamaTasadeinterésdeColocación(otasadeinterésactiva).
3. Cuando las instituciones financieras también sedemandanyofrecendineroentreellas, el precioque
cobranseconoceconelnombredeTasadeInterésInterbancaria.
Nota:Esevidentequelosorganismosfinancierosno“compranhuevosparavenderhuevos”,enconsecuencia,
latasadeinterésdecolocaciónserámayorquelatasadeinterésdecaptaciónysudiferenciaseconocecomo
MARGENDEINTERMEDIACIÓNFINANCIERO.
Porejemplo:Siunacorporacióndeahorroyvivienda(Bancolombia,Davivienda,AVVILLAS)captanal8%efectivo
anualoseaelinterésquepaganaquienestengancuentaallá;estaráncolocando,prestandoal22%,másomenos,
sumargendeintermediaciónesdel14%.
EL INTERÉS Cuandoseprestadineroaalguien,hayalgoquesedebeprecisar:enquéfechalosvaapagar.
Notieneelmismoefectoeconómicocancelardentrodeunmesquecancelardentrodeunaño.Puestoqueen
nuestrosistemaeconómicohemosaceptadolacapacidadquetieneeldinerodeaumentarsumagnitudcuando
transcurreeltiempo.Estosedebealaexistenciadelinterés.
12 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
DEFINICIONES: Acontinuación,sedefiniránalgunoselementosfundamentalesparaeldesarrollodeestemódulo,enespecial
paraestaunidad,definicionestalescomo:
Valordeldineroeneltiempo.Elvalordeldineroeneltiempo,eninglés,TimeValueofMoney(TVM),es
unconceptobasadoenlapremisadequeuninversorprefiererecibirunpagomayordeunasumafijade
dineroenelfuturo,enlugarderecibirelmismoqueinvirtió,comosinolohubierausado,esdecir,el
producidodeldinerofuesenulo.
Valorrecibidooentregadoporelusodeldineroatravésdeltiempo:Sepuedeafirmarquenoeslomismo
unmillóndepesosdehoyaunmillóndepesosdentrodeunaño,puesporlosefectosdelainflación,y
otrasvariableseconómicas,nosepuedencomprarlosmismosbienesdehoydentrodeunaño,porlo
tanto,sepuedeafirmarqueeldinerotieneunvalordiferenteeneltiempo,dadoqueestáafectadopor
variosfactores,talescomo:
• La inflación que hace que el dinero pierda poder adquisitivo en el tiempo, es decir, que se
desvalorice.
• Elriesgoenqueseincurrealprestaroalinvertir,puesnosetienecertezaabsolutaderecuperar
eldineroprestadooinvertido.
• Laoportunidadquetendríaelinversorenotraactividadeconómica,protegiéndolonosólodela
inflaciónsinotambiénconlaposibilidaddeobtenerunautilidad.
Beneficioeconómicoogananciaquegeneraráuncapital(tambiéndenominadoutilidad):Esuntérmino
utilizadoparadesignar lagananciaque seobtienedeunprocesooactividadeconómica.Esmásbien
impreciso,dadoqueincluyeelresultadopositivodeesasactividadesmedidotantoenformamaterialo
"real"comomonetariaonominal.Consecuentemente,algunosdiferencianentrebeneficiosyganancia.
Precioquesepagaporelusodeldineroquesetieneenpréstamo,duranteunperíododeterminado:Este
precioesloquesedenominacomotasadeinterés(otipodeinterés)yeselpreciodeldineroopago
estipulado,por encimadel valordepositado,queun inversionistadebe recibir, porunidadde tiempo
determinado,porhaberusadosudineroduranteesetiempo.Comúnmente se le llama"elpreciodel
dinero"enelmercadofinanciero,yaquereflejacuántopagaundeudoraunacreedorporusarsudinero
duranteelperiodopreviamentedeterminado.
Rendimiento de una inversión: Es una herramienta quemide la efectividad total de la generación de
utilidades con la inversión disponible; la mejor alternativa de inversión es aquella que maximiza las
utilidades.
Nota:Antesdeentraradefinirelcálculodel interésdeuna inversión,serevisaránunosconceptosdesuma
importanciayaplicabilidadeneldesarrollodeltema.
13 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
TANTO POR CIENTO Sellamatantoporcientodeunnúmeroaunaovariasdelascienpartes-igualesenquesepuededividirdicho
número,esdecir,unoovarioscentésimosdeunnúmero.
Elsignodeltantoporcientoes%.
Así,el3%de490es14.70,porque490sedivideen100partesigualesydeellastomamostres,estoes:
!"#$##×& = !. "×& = $!. )#
ELEMENTOS DEL TANTO POR CIENTO
Base Númerodelquesetomaciertonúmero
devecesunacentésima.
SedenotaporB
Tantoporciento Númerodevecesquesetoman
centésimasdelabase.
SedenotaporT
Porcentaje Eselresultadodetomardelabase
tantoscentésimoscomoindicaeltanto.
SedenotaporP
LasumadelaBasemáselporcentaje SellamaMonto. SedenotaporM
LaBasemenoselporcentaje SellamaDiferencia. SedenotaporD
Entalformaparaelcasoquenoscompetesetiene:
!"# + $!. )# = +#!. )#(.)
!"# − $!. )# = !)+. &#(1)
14 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
RECUERDE QUE:
Larazónentredosnúmerosenterosnoesmásqueunadivisiónasí:
+2 = 2. +(345ó7)
Laigualdaddedosrazonesconformaunaproporción,así:
+2 =
$#! 89:;9<9=9:=989>?@=?@ABCé>@8í+: 2 ∷ $#: !
Loscasosgeneralesdeltantoporcientoseresuelvenpormediodelasiguienteproporción:
$##(HIJ3KLM)N(.KOPM)
= Q(LKOPM)R(HIJ3KLM),tambiénsepuedeescribir:
$##: N ∷ Q: R
Dónde:N = S@>?T, Q = V@89, R = WT=X9>?@Y9
• Nota1:El10%de100es10,porque100sedivideen100partesigualesydeellastomamos10.Es
evidentequeel100%deunnúmero,eselmismonúmero.Así,el100%de20es20.
• Nota2:Eltantoporcientosepuedeexpresarenformafraccionaria,oenformadecimal,así:
Formafraccionaria:&% = &$##
(Porciento,representadoporelsímbolo%significacentésimos).
Formadecimal:&% = #. #
EJEMPLOS DE CASOS QUE SE PRESENTAN CON EL TANTO POR CIENTO
2.5 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE Analicemos3casosgeneralesdeltantoporciento:
1. Hallarelporcentaje(Número).
2. Hallarlabase(Número).
15 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
3. Hallareltanto.
1 Hallarelporcentaje(número)
Hallarel15%<9$3.400
Procedimiento
Seutilizalaproporción:$##(HIJ3KLM)
N(.KOPM)= Q(LKOPM)
R(HIJ3KLM),Reemplazando,setiene:
$##(HIJ3KLM)$+(.KOPM) =
&. !##(LKOPM)a(HIJ3KLM)
Utilizandolapropiedadfundamentaldelasproporciones:
PRODUCTO DE MEDIOS=PRODUCTO DE EXTREMOS
Setiene:
$## ∗ a = $+ ∗ &!## → a =$+ ∗ &!##
$## → a =+$. ###$## → a = +$#
Loanterioreslaconsecuenciadeunaregladetressimples:
% $$## &!##$+ a
→ a =&!## ∗ $+
$## → a =+$###$## → a = +$#
2. Hallarlabase
Cobréel35%deloquemeadeudaban.Simedieron$2.800,¿acuántoascendíaeltotaldeladeuda?
Procedimiento
Seutilizalaproporción:
$##(HIJ3KLM)&+(.KOPM) =
a(LKOPM)2d##(HIJ3KLM)
16 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
También, $##: &+ ∷ a: 2d## → &+ ∗ a = 2d## ∗ $## →
e =2800 ∗ 100
35 → e =28000035 → e = $8000
Observeparaestecaso, ladisposiciónde laproporciónconrespectoalprimercasogeneraldel tantopor
ciento.
Utilizandolaregladetressimples:
% $&+ 2d##$## a
→ a =2d## ∗ $##
$+ → a =2d####&+ → a = $d###
3. Hallareltantoporciento:
Compréunamáquinaen$5.600yperdíenella504.¿Cuáleseltantoporcientodepérdida?
Procedimiento
Utilizandolaregladetressimples:
$ %+h## $##+#! a
→ a =+#! ∗ $##+h## → a =
+#!##+h## → a = "%
Nota:Estecaso tieneaplicaciónacadapartidadelestadodePérdidasyGanancias tomandocomobase, las
ventastotalesdefindeperíodo,equivalenteal100%.
TENGA PRESENTE QUE:
17 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
CASO EJEMPLO
a) Parahallarelporcentajedeunnúmero,es
decir,el15%de32,seobtienemediante
unasencillaregladetres,planteadaasí:
$##% − &2$+% − a → a =
&+×$+$##
a = !. d
b) Enlapráctica;paraencontrarel%deunnúmero,semultiplicaelnúmerobase,porelnúmero
porcentualysedividepor100.
Así:El20%de80→ a = 2#×d#$##
= $h
c)Parahallarunnúmero,cuandoseconoceun
tantoporcientodedichonúmero.Porejemplo:
¿Dequénúmeroes46el23%?
2&% − !h$##% − a → a =
!h×$##2&
a = 2##
d) Dadosdosnúmerossepuedeaveriguarqué
tantoporcientoesunodelotromediante
unaregladetres.
Ejemplo:¿Qué%de8.400es2.940?
d!## − $##%2"!# − a → a =
$##×2"!#d!##
a = &+%
Interpretandolarespuesta:2940esel35%de
8400.
18 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
CASOS PARTICULARES DEL TANTO POR CIENTO
SOLUCIÓN EJEMPLOS
Tantoporcientomás.
Ejemplo: ¿De qué número es 265 el 6%
más?
El número que se busca lo representamos por su
100%.Si265esel6%másqueesenúmero,265será
el100%+6%igualal106%delnúmerobuscado.Para
encontrarloplanteamosunaregladetres,así:
$#h% − 2h+$##% − a →
a =2h+×$##$#h
a = 2+#
Tantoporcientomenos.
Ejemplo: ¿De qué número es 265 el 6%
menos?
Seprocede,alcontrariodelcasoanterior,esdecir,el
6%seresta,del100%.Si265esel6%menosqueese
númerobuscado,265esel
100% -6% igual a 94%, del número buscado. Para
encontrarloplanteamos,unaregladetres,así:
"!% − 2h+$##% − a →
a =2h+×$##
"!
a = 2d$. "$
Tantopormil:Sellamatantopormildeunnúmero,aunaovariasdelasmilpartesigualesenque
sepuededividirdichonúmero,esdecir,unoovarios,milésimosdeunnúmero.Elsignodeltanto
por:miles°/oo.Eneltantopormilsecontemplanlosmismoscasosque,eneltantoporcientoysu
tratamientoessimilar.
19 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
PISTA DE APRENDIZAJE
Tengapresente:Cuandoenunproblemanosdanelmontooladiferencia,para
hallarlabaseoelporcentaje,conocidotambiéneltantoporciento.
2.5.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. Comprémercancíaporvalorde$630ydeseovenderlaganandoel15%sobreelpreciodecompra.¿En
cuántodebovenderla?
Procedimiento
Seaplicalaproporción:
$##: $## + $+ ∷ h&#:a →% $
$## − h&#$$+ − a
→ a =h&#×$$+$## → a =
)2!+#$##
→ a = $)2!. +#
2. Compréunacasaen$949,20,sielquemelavendióganóel13%.¿Cuántolecostó?
Procedimiento
Seaplicalaproporción:
$##: $## + $& ∷ a: "!". 2# →% $
$$& − "!". 2#$## − a
→ a ="!". 2#×$##
$$& → a
=)2!+#$##
→ a = $d!#
3. Unasortijamecostó$450ylavendíperdiendoel16%;¿encuántolavendí?
20 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Procedimiento
Seaplicalaproporción:
$##: $## − $h ∷ !+#: a →% $
$## − !+#d! − a
→ a =!+#×d!$##
→ a =&)d##$##
→ a = $&)d
• Laregladeinterésesunaoperaciónpormediodelacualsehallalagananciaointerésqueproduceuna
suma de dinero o capital, prestado a un tanto por ciento dado y durante un tiempo determinado;
También,puededecirse,queeslacompensaciónquerecibeelcapitalporsuusooporsucesiónaotra
persona.SerepresentaporP(interés).
Enelestudiodelasoperacionescomerciales,entranlossiguientesconceptos,apartedelinterésyareseñado:
• CAPITAL
• INTERÉS
• TIEMPO
DEFINICIÓN DE CONCEPTOS
CONCEPTO DEFINICIÓN - EJEMPLO
Capital• Eslacantidaddedineroquesepresta.Tambiénseleconoceconelnombrede
ValorActual,ValorPresenteo,simplemente,Presente.SerepresentaporR,
porioporjk.
• También se puede decir que el capital, es un depósito de dinero efectivo
productodeunarenta,estoes:Elinterés.
TasadeInterés Eslacantidaddedineroquesepagaporelalquilerde$100,oporelalquilerde$1.
ü Enelprimercasosedenominatasaporcentual,y
ü Enelsegundocaso,tasaporUNO.
Enamboscasosserepresentaráporl = P.
Porejemplo,sitengoquepagar$3,deinterésporunpréstamode$100,entonces
21 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
latasaserádel3porciento,queseescribe&%ysisetienequepagartrescentavos
porelpréstamode$1 la tasaserá0.03porUNOquetambiénsepuedeescribir
como&%,desdeque:
&% =&$##
PorCiento(Porcentaje) Eltérminoporciento,representadoporelsímbolo%significacentésimos;osea
que,2#%esotraformaderepresentar
2#$##
; #. 2#;$+
Podemosdecirtambiénquelatasadeinterés:eselvalorquesefijaenlaunidad
detiempoacada100unidadesmonetariasquesedanoserecibenenpréstamo.
Sediceporejemplo:3.5%mensual;42%anual.
Aldecirel3.5%mensual:porcada$100secobraosepagan$3,50almes;estees
elpreciofijadoacienpesosenunmes.
Nota:Mientrasnosedéningunaespecificaciónencontrario,latasadeinterésse
entenderáanual.
Al calcular la tasa de interés, el resultado vienedadoen formadecimal y como
normalmente se expresa en porcentaje, puede ser escrito como por ciento,
colocandoelpuntodecimaldoslugaresaladerechayelsímboloporcentaje.
Tiempo Esellapsoduranteelcualsehaceusoosecedeelcapitalysegúnlaspartespuede
dividirseenmeses,trimestres,semestres,años.
También podemos decir del tiempo, que es la duración del préstamo;
normalmente,launidaddetiempoeselañoylorepresentaremosporJM7.
CLASIFICACIÓN DEL INTERÉS
Existen“elinteréssimpleyelinteréscompuesto”.
22 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Nota:Enesteapartesetrabajarálocorrespondientealinteréssimple.
INTERÉS SIMPLE:
Essimplecuandoelinterésorédito,esdecir,lagananciaqueproduceelcapital,sepercibealfinal
deperíodosigualesdetiempo,sinqueelcapitalvaríe.Esdecir,elinteréssimple,eselqueproduce
uncapitalde$Cquepermanececonstanteatravésdeltiempoyporlotantolarenta(interés)que
produce,serásiempreigualdeunperíodoaotro.
Nota:Siempreseráigualdeunperíodoaotroamenosquecambielatasadeinterés.
• Cálculodelinterésqueproduceeldinero
¿Cómosecalculalasumaquesedeberecibirencadaperíodo?
Lasumadedineroqueserecibeperiódicamentecomopagaporelpréstamodeldinero,resultademultiplicarel
númerodeunidadesprestadasporlatasadeinterés.
Sielpréstamoesde$1’000.000(millóndepesos)ysedecidecobrarunatasadel2%mensual,elinterésseobtiene
multiplicando:
$1’000.000*2%=20.000
Esdecir,elinterésquesedebepagaresde$20.000(veintemilpesosmensuales).
2.5.2 EJERCICIO DE APRENDIZAJE:
ElseñorPatiñoleprestóalseñorCanolasumade$1.000,conlacondicióndequeelseñorCanoledevuelvaal
señorPatiñolasumade$1.500dosmesesdespués.
Sepuedeobservar:QueelseñorPatiñoseganó$500porprestarle$1.000alseñorCanodurantedosmeses.Esto
indicaquelosinteresesfueronde$500durantedosmeses,osea$250mensuales.
I=$500
Elproblemaplanteadosepuederepresentarenundiagramaeconómico:
23 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
• DIAGRAMA ECONÓMICO
Consisteenlarepresentacióngráficadelproblemafinanciero,quenospermitevisualizarloyhacerunadefinición
yunanálisiscorrectodelascondicionesparatransferiromanejareldinero.
Eldiagramaeconómicoconstadelossiguienteselementos:
1. Líneasdetiempo:esunalíneahorizontaldondeserepresentantodos losperiodosenloscualesseha
divididoeltiempoparaefectosdelatasadeinterés.
2. FlujodeCaja:serepresentaconunasflechashaciaarribayotrashaciaabajo(ingresos-egresos).
• TASA DE INTERÉS
Latasadeinterés(P)eslarelaciónentreloquerecibedeinterés((n)y lacantidadinicial invertida(R).Estaseexpresaenformaporcentual.
• INTERÉS SIMPLE:
valorqueseobtienenalmultiplicarelcapitalinvertidoporlatasayelplazopactado,estoes:
n = R ∗ P ∗ 7 n: Interés R: Capital invertido P: Tasa 7: Plazo
Nota1:latasa(P)yelplazo(7)operíodostienenqueestarenlamismaunidaddetiempo.
Nota2:Alcalcularlatasainterésencualquierperíodo,elcapitalinicialnuncavaavariar,pueslosinteresesnosecapitalizan.
Para visualizar la solución de problemas y comprender la deducción de las fórmulas nos apoyaremos en los
24 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
diagramasdetiempo:consisteentrazarunalíneahorizontalydividirlaenperíodosigualesdetiempo,segúnla
frecuenciadeliquidacióndeintereses.EltiempoO(cero)seconsideraelpresenteoiniciodelperíodo,eltiempo
1elfinaldelperíodo1,eltiempo2,elfinaldelperíodo2,asísucesivamentehastaagotarlosperiodospactados.
Nota:Tenerpresenteque:elfinaldelperíodo1eselprincipiodelperíododos,queelfinaldelperíododos,es
elprincipiodelperíodo3yasísucesivamentepara7períodos;eltiempo7seconsideraelmaldelperíodo7,
elfinaldelperíodo(7 − $)eselprincipiodelperíodo7.
EldiagramadeLíneasdeTiempo,puederepresentar:
ü Entradasdedineroydesembolsosqueocurrenenuntiempodado,o
ü Cuentasporcobroycuentasporpagar.ü Lasentradasdedinero,cuentasporcobrar,serepresentanporunaflecha
dirigidahaciaarriba.
ü Losdesembolsos, lascuentasporpagar, se representanporuna flecha
dirigidahaciaabajo. Diagramadetiempoparaunprestatario(personaquenecesitaysolicitadinero),estádadopor:
______ 1 _______ 2 ________ S _______ > − 1 _______
0
>?C9A:T(9o:=98@<T9>@ñT8)
Interpretación:Al iniciodelperíodouno (hoy) se recibeunpréstamode$10.000,auna tasadel24%anuala
interéssimple,durante5años.Sedebereintegraralcabodelos5años,unMonto:capitalinicial+losintereses
causadosdurantelos5años.
Diagramadetiempoparaelprestamistaoinversionista(personaquefacilitaeldineroaalguien),estádadopor:
25 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
q = . = i + $
0 ______ 1 _______ 2 ________ S S _______ > − 1 _______ 7K74ñMr
i = $$#. ###
P = 2!%47s4t
7 = +4ñMr
Interpretación:Sacardineroparaprestarlo;alfinaldelos5añossedebereintegrarunmontoovalorfuturo:quecorrespondealcapitalinicialquesecede,máslosinteresesquesegananporprestardinero.
• ¿QUÉ SE REQUIERE PARA DETERMINAR EL INTERÉS?
Estesedeterminaconociendo:
• Elcapital,• Eltiempoy• Latasadeinterés.
2.5.3 EJERCICIO DE APRENDIZAJE 1. Supongamosqueserealizaunpréstamode$1.000al1%mensualconunplazodetres(3)meses,determinar
elinterésapagarenlos3meses.
Procedimiento
Elrazonamientopuedeserelsiguiente:
Si$100ganan$1enunmes,¿cuántoganarán$1.000?
Estoequivaleaplantearunaregladetressimples:
$ $100 − 11000 − e
Efectuandoproductodemediosesigualalproductodeextremos,setiene:
$##a = $###×$ → a =$###$## → a = $#
Estoquieredecirque$1.000enunmesproducen$10al1%mensual.
26 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Veamoscuántoproducenen3meses.
Unrazonamientosimilaralanteriorresuelveelproblema,sienunmesproducen$10¿Cuántoproduciránen3
meses?
u98 $1 − 103 − e
Efectuandoproductodemediosesigualalproductodeextremos,setiene:
$ ∗ a = & ∗ $# → a =&#$ → a = &#
(Produce$30entresmeses).
Analizandolasrespuestasobtenidasseobservaque:
30noesmásqueelproductodelcapitalporlatasadeinterésyporeltiempo.
Estoes:a = $###×#. #$×& → a = &#
Deloanteriorsepuedesacarcomoexpresiónfinalparadeterminarelvalordelinteréssimplequeproduceun
capitalde$Po$C,invertidoaunatasai=R,duranten=Tperíodos,lasiguiente:
n = i×P×7(.éJMOMv47w43PM)
Tengapresenteque:alcalcularelinterés,quetantolatasadeinteréscomoeltiempo,debenquedarreducidos
alamismabase,esdecir,silatasaestádadamensualmenteyeltiempoenañossedebenconvertirlosañosa
mesesoviceversa,pararesolverproblemassinningúncontratiempoodificultadqueconllevenalerror.
1. ¿Quéinterésproduceuncapitalde$15.000al6%semestralentresaños?
Procedimiento
ü Datosdelproblema:
i = $$+. ###, P = h%rKLKrJ34t, 7 = &4ñMr
P = h% =h$## = #. #h
Recuerdeque:unañoson2semestres,3añosson6semestres (Latasade interésyel tiempodebenquedar
reducidosalamisma,base,esdecir,comotasaestádadasemestralmenteyeltiempoenaños,sedebenconvertir
27 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
losañosasemestresporquelatasasediosemestral).
ü Solución:
n = i×P×7 → n = $$+. ###×#. #h×h →
n = $+. !##
Elinterésganadoen3añosesde$+. !##
Nota1:Paratodaslasoperacionescomerciales,setomará:
• Elañocomercial=360días.
• Mescomercial=30días.
Nota2:Latasadeinterésenformadecimalserálautilizadaenelprocesomatemáticodelosejercicios
deestaunidad.Larespuestasepresentaenformaporcentual.
2. ¿Aquétasadeinterésmensualsimpleestuvoinvertidouncapitalde$40.000paraqueenuntiempode
2años,4mesesy27díasprodujera$28.900deintereses?
Procedimiento
• Seutilizalaecuación:n = i×P×7
SedespejaP → P = ni×7
• Seconvierten2años,4mesesy27díasendíasdelasiguienteforma:
• 24ñMr× &h#Oí4r $4ñM = )2#Oí4r
• !LKrKr× &#Oí4r $LKr = $2#Oí4r
• 2)Oí4r • Entonces2años,4mesesy27díasequivalena)2#Oí4r$2#Oí4r2)Oí4r = dh)Oí4r• Seconviertenestosdíasenmesesdelasiguienteforma:
28 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
1í4r .KrKr&# $dh) a
→ a = $×dh)&#
→ a = 2d. "LKrKr
Reemplazandoen P = ni×7
→ P = 2d."##!#.###×2d."
→ P = #. #2+
Comolatasavieneexpresadaenformadecimalparaexpresarlaenformaporcentuallamultiplicamospor100,
acompañadodeladenotación%,estoes:
P = #. #2+×$## → P = 2. +%
• ¿QuéperíododetiempollevaP?Enmeses,porcuanto7estádadoenmeses.
MONTO O VALOR FUTURO (.Mjx)
Sellamaasílasumadelcapitalysusintereses.
Sedicequeunaoperaciónfinancierasemanejabajoelconceptodeinteréssimple,cuandolosinteresesliquidados
nosesumanperiódicamentealcapital,esdecirlosinteresesnodevenganintereses.
Deducción:
y9@>jk = i4kPJ4tMz4tM3k3KrK7JK,. = jx = .M7JMMj4tM3xsJs3M, n = n7JK3ér →
. = jx = jk + n Recuerdeque:
n = jk×P×7
Reemplazandosetiene:
. = jx = jk + jk×P×7
Sacandofactorcomúnjk:. = jx = jk ∗ ($ + P×7)
29 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Nota:¿Cuáleslaideaprácticadelmonto?Enocasionesnosepaganperiódicamentelosinteresesyporlotantoseacumulan,debiéndose
pagaralvencimientojuntoconelcapital.
CARACTERÍSTICAS DEL VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE
1. Elcapital inicialnovaríadurantetodoel tiempode laoperaciónfinanciera,yaque los interesesnose
sumanalcapitalinicial.
2. Comoconsecuencia,latasadeinteréssiempreseaplicarásobreelmismocapital,esdecir,sobreelcapital
inicial(asíseretirenonolosintereses).
3. Losinteresesseránsiempreigualesenelmismoperíodo.
Nota1:Otraformadeexpresarelvalorfuturo,estádadaporlasiguienteexpresión:
q = R($ + 7P) Dónde:
q:Representavalorfuturo.Esdecir:elcapitalinicial+losinteresesgeneradosenuntiempodeterminado.
R:Valorpresente,capitalinvertido.
P:Interés7:Periododetiempo
Nota2:Deestaexpresiónsepuedendespejarcadaunadelasvariablesquehacenpartedeesta,así:
• R = q(${7P)
(Valor Presente)
• P = qR|$
7 (Interés)
• 7 =qR|$
P (Periodos)
30 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
2.5.4 EJERCICIO DE APRENDIZAJE ¿Quésumasetendráquepagaraltérminode3años,sisetomaronprestados$60.000al6%semestralsimple
pagaderoalvencimiento?
Procedimiento:
Datosdelproblema:
i = $h#. ###
P = h%rKLKrJ34t = #. #hrKLKrJ34t
7 = &4ñMr = hrKLKrJ3Kr
• Aplicandolaecuación:u = }~ = � ∗ (1 + C×>)
}~ = 60.000 ∗ 1 + 0.06 ∗ 6 = 60.000 ∗ (1 + 0.36)
}~ = 60.000 ∗ 1.36 → }~ = $81.600
• Calculandoelinterésgeneradoenlostresaños:
n = i×P×7 → n = h#. ### ∗ #. #h ∗ h
n = 2$. h##
INTERÉS SIMPLE MEDIANTE DIAGRAMAS DE LÍNEA DE TIEMPO
Resaltandodelconceptodeinteréssimplemediantediagramasdelíneadetiempoatravésdedosejemplos:
1. Seaelsiguientediagramadelíneasdetiempo:
_________ 1 _________ 2 _________ 3 _________ 4 __ jx =¿ ? K74ñMr
← − − 2#%47s4t−→ | ← − − 2!%47s4t − −−→ |
← − − −n =¿ ?−−→ |← − − −n =¿ ?− − − − −→ | n = i×P×7
31 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
i = $$#. ###
Procedimiento:
PRIMER PROCEDIMIENTO:
nN = n$ = n2
n$ = $#. ###×#. 2×2 = !. ###
n2 = $#. ###×#. 2!×2 = !. d##
}~ = � + ÖÜ → }~ = 10.000 + 4.000 + 4.800 → }~ = 10.000 + 8.800 →
}~ = 18.800
SEGUNDO PROCEDIMIENTO:
jx = i ∗ ($ + P ∗ 7),endonde:
n ∗ 7 = á ∗= P$ ∗ 7$ + P2 ∗ 72 ∗ 7 = #. 2 ∗ 2 + #. 2! ∗ 2 = #. dd
ConP$ = #. 2,Reemplazandosetiene:
P2 = #. 2!jx = $#. ### ∗ ($ + #. dd)
7$ = 2 → jx = $#. ### ∗ $. dd → jx = $d. d##
72 = 2
2. Seaelsiguientediagramadelíneasdetiempo:
jx = 22. ####
1 2 3 4… 23… 24 25 26… 47 48
32 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
-------- 2%LK7rs4t | &%LK7rs4t |
i =¿ ?
INTERÉS:2%LK7rs4t = 2!47s4t = !d%vP47s4t #. !d
&%LK7rs4t = &h47s4t = )2%vP47s4t #. )2
áà.â1HnäNHlHáHá = #. !d + #. )2 = $. 2#
SOLUCIÓN
PRIMER PROCEDIMIENTO:
i =¿ ?
jx = i + P → 22. ### = i + (#. !di + #. )2i)
22. ### = i + $. 2i → 22. ### = 2. 2i → i =22. ###2. 2
→
i = $$#. ###
SEGUNDO PROCEDIMIENTO:
jx = i $ + P ∗ 7 → 22. ### = i $ + $. 2# → 22. ### = i 2. 2# →
→ i =22. ###2. 2# → i = $$#. ###
Nota:Paratrabajarelinteréssimpletambiénsepuedeemplearlasiguienteexpresióndenominadamétodode
supresióndefactores:
n =i×l×N$##×àN
I=Interés
33 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
C=Capital
R=Rata,Porcentajeotasa
T=Tiempo
UT=Unidaddetiempo
Elfactorunidaddetiemposedeterminaenbasealtantoporcientodeinterés(l)(P)yaltiempo(J)(7),así:
Nota:Pararesolverestetipodeproblemassepuedeaplicarcualquieradelasdosfórmulasdeterminadas,ya
queelresultadoseráelmismo,estoes:
n =i×l×N$##×àN
R T UT
1. a) %47s4t âñMr $
b) %47s4t .KrKr $2
w)%47s4t 1í4r &h#
2. 4)%LK7rs4t âñMr $
$2
v)%LK7rs4t .KrKr $
w)%LK7rs4t 1í4r &#
34 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
M
n = i×P×7
Nota:Conlasexpresionesanterioressepuedeencontrarcualquieradeloselementosqueenellaintervienen,
haciendousodelosconocimientosnecesariosparaeldesarrolloyaplicacióndelafórmula.
2.5.5 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. ¿Cuántoproducen$5.000colocadosal15%anualduranteunaño?
Solución:
a.Aplicando:
n =i×l×N$##×àN
Setiene:n = i×l×N$##×àN
→ n = +.###×$+×$$##×$
→ n = $)+#
b.Aplicando:n = i×P×7 →
Setiene:n = +. ###×#. $+×$ → n = $)+#
2. ¿Quétiemposeránecesarioparaduplicaruncapitalde$4.000al2%mensualsimple?Elaborarel
diagramadelíneasdetiempo.
Procedimiento:
35 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
PRIMER PROCEDIMIENTO:
n = w×P×J → J =ni×P(Hws4wPó7$)
0_______1________2________3___________ss_________> − 1__________> =¿ ?A9898
� = $4.000 }~ = $8.000
SEGUNDO PROCEDIMIENTO:
Sielcapitalinicialcorrespondea$4.000yseduplicaennperiododetiempo;quieredecir,queelmontoseráde
$8.000,porlotanto:
jx = w + n → jx|i = nReemplazando:
n = d. ### − !. ### → n = !. ##
Reemplazandoenlaecuación 1: J = ni×P Hws4wPó7$ :
? =4.000
4.000×0.02 → ? =4.00080 → ? = 50
¿QUÉ UNIDAD DE TIEMPO TENDRÁ T? Comolatasaesmensual,porlotanto,eltiemposedaenmeses.
(Nota:50mesesequivalena4añosy2meses).
36 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
2.5.6 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO Es bastante importante que realices esta prueba, aunque ya hayas realizado problemas similares y hayas
respondidopreguntasiguales,yaquesonconceptosdesumaimportanciaparaeldesarrollodelaasignatura:
1. Deacuerdoalostemastratados,respondealassiguientespreguntas
a. Entuspropiaspalabrasdefineelconceptodeinterésyeldetasadeinterés
b. ¿Quéesinteréssimple?
c. Conunejemplonuméricocalculelosinteresesydefinalascaracterísticasdelinteréssimple.
d. ¿Quéesinteréssimple?
2.Analizaraqueconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________quéporcentajerepresenta80milpesos
conrespectoa1.200.000.
a. 3,15% b.6,67% c.8,25% d.11%
3.Analizaraqueconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________enquéporcentajesedebeincrementar
unsalariode$500.000paraqueseconviertaen$620.000.
a. 30% b.25% c.24% d.15%
4.Analizaraqueconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________unvendedorganeel10%decomisión
porventassigano$350.000ventadeunequipo,¿porcuántovendióelequipo?
a.$3.000.000b.$4.500.000c.$3.500.000d.$3.750.000
5.Analizaraqueconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________.Unartículotieneunpreciodeventa
de$750.000siconcedeundescuentodel8%¿cuálseríaelnuevoprecio?.
a.690.000b.630.000c.670.000d.625.000
6.Acontinuaciónencontraráunaseriedeenunciadosconcuatrorespuestas,delascualesunasolaesverdadera.
MarqueconunaXlaqueustedconsiderecorrecta.
37 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
ü Analizaraquéconceptocorrespondelasiguientedefinición:__________quéesunatasadeinterés:
a. Recipientedondesecolocaunlíquidodeinterés
b. Relaciónentreelinterésobtenidoenunperíodoyelcapitalinicialinvertido.
c. Porcentajequerepresentalarelaciónentreunaporcióndeterminadaconrespectoalcientoporciento.
d. Diferenciaentreelvalorpresenteyvalorfuturo.
ü Analizaraqueconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________Uncapital.
a. Dineroqueseinviertealinicioofinaldeunperíodo
b. Dineroqueseobtienealfinaldeunperíodo
c. Dineroinvertidoaliniciodeunperíodo
d. Dineroqueseobtieneentreladiferenciadeunvalorfuturoyunvalorpresente
ü Analizaraquéconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________quéesunflujodecaja.
a. Representalosingresosoegresosdecaja.
b. Gráficoquerepresentalosingresosyegresosdecaja
c. Representasololosingresosdecaja
d. Sololosegresos
ü Analizaraquéconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________elvalordeldineroeneltiempo
semidepormediode:
a.Latasadeinterésb.losinteresesc.lainflaciónd.dividendos
ü Analizar a que concepto corresponde la siguiente definición: _________. Valores ubicados en fechas
diferentessepuedensumarsiysolosi
a. Estáninvertidosalamismatasadeinterés.
b. Sitienenelmismovalor
c. Siestánenlamismafechafocal(futuroopresente)
d. Esindiferentesitienendiferentevalor.
38 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
7.Resuelvalossiguientesproblemasdeinteréssimple:
a . Durante cuántot iempohadeimponerse uncapita l de $ 25.000.000a l 4%para que
se convierta en$50.000.000.
b . Se prestan$5.000.000y a l cabode2 años, 7 meses y 5 d ías se rec iben# 12.500.000.
Ca lcu lar e l tanto por c iento de interés .
c . Hal lar é l tanto por c iento deinterés s imple a l quedeberá prestarse uncapita l para
quea l cabode10años los intereses sean iguales a l capita l prestado.
d . ¿Encuántot iempose cuadrupl ica uncapita l co locadoa l 6%?
e . Hal lar e l interés producidodurante 3 años, por uncapita l de $ 60.000.000, a l 3%.
f . Ca lcu lar enquése convierte , en 12meses, uncapita l de $15.000.000, a l 2 .7%.
g . ¿Durante cuántot iempohadeco locarse uncapita l de $ 75000?000a l 4%para que
se convierta en$ 150.000.000(esto es , para quese dupl ique)?
PISTAS DE APRENDIZAJE
Recuerdeque:Laregladeinterésesunaoperaciónpormediodelacualsehallalagananciaointerésqueproduce
unasumadedineroocapital,prestadoauntantoporcientodadoyduranteuntiempodeterminado;También,
puede decirse, que es la compensación que recibe el capital por su uso o por su cesión a otra persona. Se
representaporP(interés).
Tengapresenteque:Alcalcularelinterés,quetantolatasadeinteréscomoeltiempo,debenquedarreducidos
alamismabase,esdecir,silatasaestádadamensualmenteyeltiempoenañossedebenconvertirlosañosa
mesesoviceversa,pararesolverproblemassinningúncontratiempoodificultadqueconllevenalerror.
Recuerde que: Una operación financiera semaneja bajo el concepto de interés simple, cuando los intereses
liquidadosnosesumanperiódicamentealcapital,esdecirlosinteresesnodevenganintereses.
Recuerdeque:UnDiagramaEconómicoconsisteenlarepresentacióngráficadelproblemafinanciero,quenos
permitevisualizarloyhacerunadefiniciónyunanálisiscorrectodelascondicionesparatransferiromanejarel
dinero.
Recuerdeque:Undiagramaeconómicoconstadelossiguienteselementos:
• Líneasdetiempo:esunalíneahorizontaldondeserepresentantodos losperiodosenloscualesseha
divididoeltiempoparaefectosdelatasadeinterés.
• FlujodeCaja:serepresentaconunasflechashaciaarribayotrashaciaabajo(ingresos-egresos).
• TasadeInterés.
39 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
2.6 TEMA 2 INTERÉS COMPUESTO
INTERÉS COMPUESTO Eselqueproduceuncapitalquecambiaalfinaldecadaperíodo,debidoaquelosinteresesseadicionanalcapital,
paraformarunnuevocapital;esdecir:
Engeneralsedicequeelinteréscompuesto(llamadointeréssobreintereses),esaquelquealfinaldelperíodo
capitalizalosinteresescausadosenelperíodoanterior,esdecir,elcapitalvarioalfinaldecadaperíodo,porque
los interesesobtenidosse leadicionanalcapital,obteniendoasíunnuevocapitaly sobreestesecalculan los
próximosintereses.
Sesupone,entonces,quelosinteresessecapitalizan,esdecirsereinviertenautomáticamente.
Nota1:Capitalización:Esunprocesoenelcuallosinteresesquesecausanenunperíodosesumanalcapital
anterior.
Nota2:PeríododeCapitalización:Períodopactadoparaconvertirelinterésencapital.
Tambiénsepuededecir,queelinterésescompuesto,cuando:
• Los intereses que produce el capital se suman a éste, al final de cada período de tiempo,
• Formando de este modo un nuevo capital. • Es decir, los intereses producen nuevos intereses.
Ejemplo:Seauncapitalde$1.000al20%anualcompuesto.
Alfinalizarelprimerañosusinteresesserán$200loscualessereinvierten,porlotanto:
• Alcomienzodelsegundoaño,elcapitalseráde$1.200ylosinteresesdeesteañoseránde$240,que
• Alcapitalizarlosformaránuncapitalde$1.440paraelterceraño,y
• Asísucesivamente,añotrasaño,elcapitalaumentarálosinteresesyéstosaumentaránelcapital.
SE CALCULA EL INTERÉS SOBRE EL MONTO ANTERIOR, PARA FORMAR UN NUEVO MONTO.
40 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
• CÁLCULO DE LA ECUACIÓN GENERAL PARA CALCULAR EL INTERÉS COMPUESTO
Conviene,ahora,llegaraunafórmulageneralparaobtenerelmontodeuncapitalde$, jk j4tM3k3KrK7JK ,
aunatasaPporperíodoaltérminode7períodosyenformacompuesta.
Paraello,seelaboraunatablaenformanumérica,luegoenformaalgebraicayalfinalenformagráfica,teniendo
encuentaqueelcapitaldecadaperíodoeselmontodelanterior
a. Enformanumérica:
ãåçÍèêè(ëñí) ìëãîïëñîóîìîëñ îóïåçÉô ìëãîïëñöîóëñ
1 1.000 200 1.200
2 1.200 240 1.440
3 1.440 288 1.728
4 1.728 345.60 2.073,60
Latablaanteriormuestralosvaloresacumuladosalfinaldecadaaño,cuandoseinviertelasumade$1.000auna
tasade20%anualdurante4años.
b. EnformaAlgebraica:
PERÍODO CAPITAL INICIAL
INTERÉS CAPITAL FINAL
1 W W ∗ C jx$ = jk + jk(P = jk(($ + P)
2 jk ∗ (1 + C) jk(∗ 1 + C ∗ C jx2=jk(*(1+i)+jk(*(1+i)*i=
41 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
jk(∗ ($ + P)2
3 jk ∗ (1 + C)ú jk((1 + C)ú ∗ C }~ù = jk(* 1 + C ú + jk(∗ 1 + C ú ∗ C =
R ∗ ($ + P)&
: : : :
n jk(1 + C)û|ü jk(1 + C)û|ü jx7 = jk( $ + P 7|$ + jk( $ + P 7|$ ∗ P =
jk(∗ ($ + P)7
SeconcluyeentoncesquelaecuaciónparacalcularelInterésestádadapor:
jx7 = jk ∗ ($ + P)7
jx = i4kPJ4txP74t LM7JM , j4tM3xsJs3M.
jk = j4tM3R3KrK7JK, i4kPJ4tn7PwP4t.
P = N4r4OKP7JK3érk434KtkK3íMOM.
7 = äúLK3MOKkK3íMOMr.
c. En forma de diagrama de línea de tiempo
0 _________ 1 _________ 2 __________ 3 _________________SS
}~ü=}°+Ö jx2 = jx$ + jx$ ∗ P ∗ 7
jx& = jx2 + jx2 ∗ P ∗ 7
jx$ = jk + n
jx2 = jx$($ + P)
jx& = jx2 ∗ ($ + P)
42 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
jx$ = jk + jk ∗ P ∗ 7
jx2 = jk ∗ $ + P ∗ $ + P
jx& = jk ∗ $ + P 2 ∗ ($ + P)
jx$ = jk ∗ ($ + P) jx2 = jk ∗ ($ + P)2
jx& = jk ∗ $ + P &
Asísepuedecontinuar,porejemplo,paraelperíododiezsetieneque:
jx$# = }° ∗ (1 + C)ü¢
Engeneral,paraelúltimoperíodo(n)on-ésimo,setieneque:
jx7 = jk ∗ $ + P 7
Nota:Elproblemasereduceahoraadarlesoluciónalfactor:
jx = jk ∗ $ + P 7 â zK3 ∗
Delaexpresiónanteriorsepudeconocercadaunadelasvariablesquelocomponenestoes:
• jk =jx${P 7
(ValorPresente)
• P = jxjk
7 − $(Interés)
• 7 =£§(
jxjk)
£§(${P)(Periodos)
2.6.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. ¿Cuántosmesesdeberádejarseunapólizadeacumulaciónde$2.000.000quepagael3%anual,paraquese
conviertaen7.500.000?
Procedimiento
43 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
a.Tabladedatos
7 =¿ ?(Periodo)
jk = $2. ###. ###(ValorPresente–Capital)
P = &% = #, #&(Interés)
jx = $). +##. ###(ValorFuturo–Monto)
b. Utilizandolaexpresión7 =£§(
jxjk)
£§(${P)yreemplazandolosvalorescorrespondientes,setiene:
7 =£§(
jxjk)
£§($ + P) → 7 =£§(). +##. ###2. ###. ###)£§($ + #, #&) → 7 = !!, )24ñMr
Larespuestaenmesessería:
7 = !!, )24ñMr×$2LKrKr$4ñM → 7 = +&h, h!LKrKr
2. ¿Cuántoesnecesarioinvertirahoraparatener$10.000.000en10añosaunatasadeinterésdel8%?Procedimiento
a.Tabladedatos
7 = $#4ñMr(Periodo)
jk =¿ ?(ValorPresente–Capital)
P = d% = #, #d(Interés)
jx = $$#. ###. ###(ValorFuturo–Monto)
b. Utilizandolaexpresiónjk =jx${P 7
(ValorPresente)yreemplazandolosvalorescorrespondientes,se
tiene:
44 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
jk =jx${P 7
→ jk =$#.###.###${#,#d $# → jk = !. h&$. "&+
c. Solución:sedebeinvertiruncapitalde$!. h&$. "&+
3. Sisetomaunpréstamode$1.000.000durante12mesesaunatasade"1%pormes",¿cuántodebe
pagar?
Procedimiento
a.Tabladedatos
7 = $2LKrKr(Periodo)
jk = $. ###. ###(ValorPresente–Capital)
P = $% = #, #$(Interés)
jx =¿ ?(ValorFuturo–Monto)
b. Utilizandolaexpresión:jx7 = jk ∗ $ + P 7(ValorFuturo)yreemplazandolosvalorescorrespondientes,setiene:
jx7 = jk ∗ $ + P 7 → jx7 = $. ###. ### ∗ $ + #, #$ $2 →
jx7 = $. $2h. d2+
c.Solución:sedebenpagaralcabode12meseslasumade
$$. $2h. d2+
4. Unacantidadde$1,500.000sedepositaenunbancoelpagodeuna tasade interésanualdel4,3%,compuestotrimestralmente.¿Cuáleselsaldodespuésde6años?
Procedimiento
45 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
a.Tabladedatos
7 = h4ñMr(Conperiodostrimestrales,estoes4periodosporaño)
jk = $. +##. ###(ValorPresente–Capital)
P = !, &% = #, #!&(Interés)
jx =¿ ?(ValorFuturo–Monto)
b.Utilizandolaexpresión:jx7 = jk ∗ $ + P 7(ValorFuturo)yreemplazandolosvalorescorrespondientes,setiene:
jx7 = jk ∗ $ + P 7 → jx7 = $. +##. ### ∗ $ +#, #!&! ∗
!(h)→
jx7 = $. "&d. d&)
*Elinterésanualsedividepor4porqueestrimestral,porlotantotiene4periodosdecapitalizacióncada
año,conelexponentesedebemultiplicarpor4porlamismarazón.
c.Solución:Elsaldo(ValorFuturo)alcabode6añosesde:
$$. "&d. d&)
2.6.2 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO Nota: Algunosde losproblemas tienen la respuesta, esta te ayudaráenel desarrollodel problema,pero lo
interesante es el análisis que realices de cadaunodeellos, recuerdaqueen la presentacióndel tema tienes
algunosmodelosresueltos.
1.Determineelmontoacumuladode$50.000.000quesedepositanenunacuentadevaloresquepaga9%anual
convertiblemensualmente:
46 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
a)Alcabodeunaño
b)Alcabode3años
2.Cuántodinerodebepagarseaunbancoquehizounpréstamode$300.000.000sisereembolsaalañocapital
einterésylatasaaplicadaesde14%anualconvertibletrimestralmente.
3.¿Cuántodinerodebedepositarseenelbancosisedeseaacumularunmontode$450.000enunplazode4
años,ylatasadeinterésesde7%convertiblemensualmente?
4. ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por
$650.000.000 que incluye capital e intereses a 14% convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 36
meses?
5.Unadeudade$50.000.000sedocumentamedianteunpagaréqueincluyeinteresesarazónde2%trimestral,
yqueserápagaderoalcabodeunaño.¿Quécantidadpuedeobtenerseporélsisedescuentaalcabode4meses
aunatasadeinterésde10%convertiblemensualmente?
6. Hoyseinvierten$1’000.000.000enuncertificadodedepósitoatérmino(CDT)aunatasadeinterésdel3%
mensualdurante6meses, sequieresaber¿Cuántose recibeal cabode los6meses?Elaboreeldiagrama
económico.
7.¿Quéinterésproducen$50.000en12mesesal2?35%mensual?
8. ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $100.000 para que al 3% produjera $87.000 de
intereses?
9.Setienen3documentosparacobrarasí:
$500.000paraelprimerodemayode2.015
$1’050.000paraelprimerodeJuliode2.015
$350.000paraelprimerodeagostode2.015
47 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Dadasnecesidadesdeefectivo,novemosenlaobligacióndeentregarlosaunintermediofinancieroquecomo
productodesusactividadesobtienerendimientosdel3.5%mensual.
Lapreguntaes:¿Cuántodineroesperamosrecibirsilanegociaciónlarealizamoselprimerodeenerode2.015?
10.¿Cuáleselmontode$120.000invertidosal30%anualdurantetresañosydosmeses?(R/$234.000)
11. ¿Cuánto se necesita depositar hoy en una corporación que reconoce el 3%mensual, para disponer de
5’000.000alcabodeunaño?(R/$3’676.470)
12.Unapersonahipotecasupropiedadymensualmentepaga$450.000deinterés,silatasadeinterésesel3%
mensual,¿Encuántolahipotecó?
(R/$15’000.000)
13.Enunpréstamode$5’000.000acuatroañossepactauninterésdel15%semestrallosdosprimerosañosy
el16,5%semestrallosdosúltimosaños.¿Cuántoesperadeinterésenlos4años?(R/$6’300.000)
PISTAS DE APRENDIZAJE
Recuerdeque;
INTERÉSCOMPUESTO:Eselqueproduceuncapitalquecambiaalfinaldecadaperíodo,debidoaquelosintereses
seadicionanalcapital,paraformarunnuevocapital;esdecir:
Recuerdeque:
• LaCapitalizaciónesunprocesoenelcuallosinteresesquesecausanenunperíodosesumanalcapital
anterior.
• PeríododeCapitalización:Períodopactadoparaconvertirelinterésencapital.
Traigaalamemoriaque:Tambiénsepuededecir,queelinterésescompuesto,cuando:
• Losinteresesqueproduceelcapitalsesumanaéste,alfinaldecadaperíododetiempo,
• Formandodeestemodounnuevocapital.
• Esdecir,losinteresesproducennuevosintereses.
SE CALCULA EL INTERÉS SOBRE EL MONTO ANTERIOR, PARA FORMAR UN NUEVO MONTO.
48 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
3 UNIDAD 2 TASAS DE INTERÉS Y EQUIVALENCIAS
EquivalenciadeTasas:Enlace
Enlace:Tasasequivalentes-SlideShare
es.slideshare.net/angelambrosio1/tasas-equivalentes-18253991
3.1 RELACIÓN DE CONCEPTOS
49 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Definicióndeconceptos
Tasadeinterés:Latasadeinterés(otipodeinterés)eselpreciodeldineroopagoestipulado,porencimadel
valordepositado,queun inversionistadebe recibir,porunidadde tiempodeterminado,deldeudor,a raízde
haberusadosudineroduranteesetiempo.
Tasa InterésNominal: las tasasanuales, con las cuales se indica cómoy cuándo se liquidael interés,perono
correspondeaunatasareal.
Tasade InterésEfectiva:es la tasaqueefectivamenteseestápagando(Ahorros)oqueefectivamenteseestá
cobrando(Créditos).
Capitalización: La capitalización simple es un tipo de capitalización de recursos financieros que se caracteriza
porquelavariaciónquesufreelcapitalnoesacumulativa.Losinteresesquesegeneranencadaperiodonose
agregan al capital para el cálculo de los nuevos intereses del siguiente periodo, aspecto que la diferencia de
lacapitalizacióncompuesta.Deestamaneralosinteresesgeneradosencadaunodelosperiodosserániguales.
FrecuenciadeCapitalización:Eselnúmerodeveces(períodos)queenunañosemeliquidanlosinteresespara
sumarlosalcapital(reinvertirlos).
TasasEquivalentes:Sonaquellasqueteniendodiferenteconvertibilidadproducenelmismomontoalfinaldeun
año.
50 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
EcuacionesdeValor:Aplicaciónenunafechadada,delasequivalenciasdeunconjuntodevaloresquesevana
reemplazar,haciéndolotantoainteréssimplecomoainteréscompuesto.
3.2 OBJETIVO GENERAL Evaluarenformacorrectalasdiferentestasasdeinterésyequivalenciastratadasenlasactividadesfinancieras.
3.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS DefinirTasaInterésnominalysuscaracterísticas.
DefinirTasaInterésEfectivaysuscaracterísticas.
DefinirTasasdeInterésEquivalentesysuaplicabilidadenelcampofinanciero.
DeterminarlasEcuacionesdeValorysuaplicabilidadenlasfinanzas.
3.4 TEMA 1 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y TASA DE INTERÉS EFECTIVA
¿QUÉ ES TASA DE INTERÉS NOMINAL? Lasinstitucionesfinancierasconfinesprácticos,expresanelcostoorendimientocontasasanuales,entonceslas
tasasnominalessedefinencomolastasasanuales,conlascualesseindicacómoycuándoseliquidaelinterés,
peronocorrespondeaunatasareal.
Latasanominalseacompañadedosapelativosqueidentificanlafrecuenciadecapitalizaciónenunañoycomo
seliquidaelinterés.
Sedistingueconlasiguientenomenclatura:
51 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
PERIODO VENCIDO LECTURA ANTICIPADO LECTURA
MES MV Mes Vencido MA Mes Anticipado
BIMESTRE BV Bimestre Vencido
BA Bimestre Anticipado
TRIMESTRE TV Trimestre Vencido
TA Trimestre Anticipado
SEMESTRE SV Semestre Vencido
SA Semestre Anticipado
AÑO AV Año Vencido AA Año Anticipado
Nota 1: Si se pacta pagar el interés al culminar el mes, se denominará vencido.
Por lo tanto la tasa que nos ocupa se presentará con la letra P7, así:
P7 = 2!%.j
Se lee: “Veinticuatro por ciento, mes vencido”
Otra forma de expresarla: 24% nominal con capitalización mensual vencido.
Nota 2: Si se pacta pagar el interés al inicio del mes, es decir al momento de entregar la suma prestada, se denominará anticipado.
Si la tasa se conviene anticipada, se escribirá así:
P7 = 2!%.â
52 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Se lee: “Veinticuatro por ciento, mes anticipado”
Otra forma de expresarla: 24% nominal con capitalización mensual anticipada.
CARACTERÍSTICAS DE LA TASA NOMINAL
• Siempreseráunatasadeinterésanual,
• Sepuededividirporlafrecuenciadecapitalizaciónparaobtenerlatasaperiódica,osealaqueseliquida
encadaperíododelaño.
• Sólosirveparasaberquetasadeinterésperiódicosevaaliquidar.
TASA NOMINAL:
Eslatasaquesedanormalmenteparaunaño.LarepresentaremosporPoP7(tasanominal)perono
esaplicabledirectamenteenlaecuación.
Nota:Alatasanominal,siempreseleadicionandospalabrasqueindicanélnúmerodeliquidacionesdeinterés
(Númerodevecesquelosinteresessecapitalizanenunaño:L).
3.4.1 EJERCICIO DE APRENDIZAJE Decir24%CT(Capitalizableoconvertibletrimestralmente).
Significaque latasaparatodoelañoesel24%nominal,perocada3mesesse liquidan los interesesporaño.
Naturalmente,deloexpuestoanteriormente,sededucequelatasadelperíodo(untrimestreenestecaso)es
igualatasadelaño(nominal)divididaporelnúmerodeperíodosquehayenunaño,estoes:
PK = n7JK3érKxKwJPzM,Pk = n7JK3érkK3íMOM,
P7 = n7JK3ér7MLP74t,L = äúLK3MOKkK3íMOMr
53 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
PK = Pk =P7L(2)
PK = Pk =P7L =
2!%! = h%HxKwJPzMN3PLKrJ34t
Latasaquesecobracada3mesesesdel6%yestaúltimarecibeelnombredetasaefectivaparaeltrimestre.
7 = $:(Númerototaldeperíodosaquefueinvertidoelcapital).
L = !:(Lasvecesquelosinteresessesumanalcapitalsiendon=1año),yaqueelañotiene4trimestres.
Comolatasaefectivadelperíodoestrimestral,n(tiempo)=1añosereduceatrimestres.(1año=4trimestres),
yaque,paralasolucióndelosproblemasainteréscompuesto,tantolatasadelinteréscomoeltiempodeben
estarreducidosalamismabase,entraremosadefinirloqueesunatasaefectiva,delasiguientemanera:
TASA DE INTERÉS EFECTIVA: Es la tasa para un período. La representaremos porPo Pk (es la que se utiliza en la fórmula anterior).
*(A):jx = jk ∗ $ + P 7
Además,comosunombrelodiceeslatasaqueefectivamenteseestápagando(Ahorros)oqueefectivamentese
estácobrando(Créditos).Estosisuponemosquealfinaldecadaperíododelpagodeintereses,sereinvierteose
prestaelmismocapital,máslosinteresesqueestegeneró.
CARACTERÍSTICAS DE LA TASA DE INTERÉS EFECTIVA
• Todatasadeinterésperiódicaesefectiva.
• Nosepuededividir.
• Semidedentrodeunperiododeunaño.
• Puedeserperiódicaotasadeinterésefectivaanual.
• Sinoseespecificaquelatasadeinterésesefectiva,sedebesuponerqueesunatasadeinterésnominal
yquepartiendodeéstasellegaráaunaefectiva.
54 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Nota 1: Si la tasa es capitalizable, necesariamente se trata de una tasa nominal, ya que las efectivas no se
capitalizan,sinoquesonlasqueresultanalcapitalizarlasnominales.
Nota2:Eltérminocapitalizabletienequeverconlosinteresescausadosporperíodoqueseleagreganalcapital.
Elperiodopuedeser(diario-mensual-trimestral,semestral,anual).
3.4.2 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE: 1.HallarelMontoovalorfuturodeunainversiónde$25.000al30%(Capitalizableoconvertiblesemestralmente)
durante3años.
Procedimiento
a. Sehallalatasaefectivaqueseusaenlafórmula.
Donde P7 = n7JK3ér7MLP74t. L = äúLK3MOKkK3íMOMr: Número de veces que los
interesessesumanalcapitalenunaño:
AplicandolaecuaciónPK = Pk =P7Lyhallandoelnúmerototaldeperíodos,setieneque:
Comoenunañohay2períodos,en3añoshabrá6períodos(n=6).
Reemplazandoenlafórmulasetiene:
PK = Pk =P7L =
&#%2 = $+%HxKwJPzMáKLKrJ34t
Elvalorfuturoes,porlotanto:
jx7 = jk ∗ $ + P 7 → jxh = 2+. ### ∗ $ + #. $+ h →
jxh = $+). d2h, +2
2.Hallarlatasanominalcapitalizadamensualmente,sihoyseinvierteuncapitalde$30.000yalcabode2años
y6mesessetriplicó.
Procedimiento
55 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
a. Recuerdeque:
jx = jk ∗ ($ + P)7
â jx = $"#.###
jk = $&#. ###
PK =¿ ?
P7 =¿ ?
7 = 24ñMr•hLKrKr = &#LKrKr
b. Reemplazandolosvaloresconocidosen â ,setieneque:
jx = jk ∗ ($ + P)7 → "#. ### = &#. ### ∗ ($ + P)&# =
$ + P &# ="#. ###&#. ### → $ + P &# = & →
Sacandoraíz30aambosladosdelaigualdad:
$ + P &#&# = &&# → $ + P = $. #&))2"" → P = $. #&))2"" − $ →
P = #. #&))2""
(Sutasaconperíodomensual,porcuantoeltiempoestádadoenmeses).
Porlotanto:PK = &. )2""KxKwJPzM47s4t.
Latasanominalestádadapor:
PK =P7L → &. )2"" =
P7$2 → P7 = $2×&. )2""
P7 = !!. )h%47s4t, w4kPJ4tP54vtKLK7rs4tLK7JK
Nota:Lafórmuladelinteréscompuestoimplicaunatasaordinaria,esdecir,queelpago
56 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
deinteresessehacealfinaldelperíodo.
• FrecuenciadeCapitalización(¶)
Eselnúmerodeveces(períodos)queenunañosemeliquidanlosinteresesparasumarlosalcapital(reinvertirlos).
3.4.3 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.24%nominalanual,liquidadoanualmente:
• Ahorahallemoselvalorfuturode$1.000.000enunaño:
jx = jk($ + P)7 → jx = $. ###. ###($ + #, 2!)$ → jx = $. 2!#. ###
}~ = $1.240.000
2.24%nominalSV(semestreVencido)
Sehallaelvalorfuturode$1.000.000enunaño:
jx = jk($ + P)7 → jx = $. ###. ###($ +#, 2!2 )2 → jx = $. ###. ###($ + #, $2)2
jx = $. ###. ###($, $2)2 → jx = $. 2+!. !## → jx = $$. 2+!. !##
P7 =2+!.!##$.###.###
→ P7 = #, 2+! → P7 = 2+, !%
3. 24%TV(TrimestreVencido)
Sehallaelvalorfuturode$1.000.000enunaño:
jx = jk($ + P)7 → jx = $. ###. ###($ +#, 2!! )! → jx = $. ###. ###($ + #, #h)!
jx = $. ###. ###($, #h)! → jx = $. 2)h. !)+ → jx = $$. 2)h. !)+
P7 =2)h. !)+$. ###. ### → P7 = #, 2)h → P7 = 2), h%
57 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
4. 24%nominalliquidadomesvencido(MV)
Sehallaelvalorfuturode$1.000.000enunaño
jx = jk($ + P)7 → jx = $. ###. ###($ +#, 2!$2 )$2 → jx = $. ###. ###($ + #, #2)$2
jx = $. ###. ###($, #2)$2 → jx = $. 2hd. 2!2 → jx = $$. 2hd. 2!2
P7 =2hd. 2!2$. ###. ### → P7 = #, 2hd → P7 = 2h, d%
Delasactividadesanterioresseobservaque:
1. Setomólatasadeinterésnominalcomofrecuenciadequeseliquidaríaunatasainterésdel
24%,peroéstasólosirvióparasaberquéinterésperiódicoseliquidaríaencadaperiodo,
dependiendodelafrecuenciadecapitalización.
2. Amayorfrecuenciadecapitalizaciónmayorvanaserlosintereses,oseamayorvaaserla
tasadeinterésefectiva.
3. Partiendodelatasadeinterésnominal,sehallalaefectivaperiódicaylaefectivaanual.
4. Paramedirlarentabilidaddeunainversiónoelcostodeuncrédito,setomacomoreferencia
latasadeinterésefectiva.
5. Cuando la frecuencia de capitalización es anual, la tasa de interés nominal, periódica y
efectivaesigualenéstecasoal24%.
Nota:Ahoraparanotenerquehallarprimeroelvalorfuturodeuncapital,despejarlosinteresesydividirlopor
elvalorpresenteysaberquetasadeinterésefectivaseliquida,seutilizarálasiguienteExpresión:
%Öß = 1 + ÖW)û − 1 ∗ 100
3.4.4 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO 1. Calcularelvalorfuturodeunainversiónpor$100.000.000quesecapitalizainstantáneamenteaunatasa
del15%anualdurante4años.
2. Un pagaré de $ 15.000.00 se vence dentro de un mes. Calcule el valor presente al 9% compuesto
continuamente.
58 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
3. ¿A cuánto ascenderá un préstamo de 2.000.000 al cabo de un año si el interés del 26% capitaliza
mensualmente?¿CuáleslaTasaEfectivaAnual?
4. Determinarlatasaefectivasemestral,siserealizaunainversiónde$20.000.000durante2años:
• Silatasadeinterésesde7%portrimestre,
• Calcularlastasasefectivassemestralesyanuales.
• Determinarlastasasnominales.
5. Unainstituciónfinancierapublicitaquesutasadeinteréssobrepréstamosqueotorgaes1.86%mensual.
Determinarlatasaefectivaanualyelfactorsimpledecapitalizaciónpara12años.
PISTAS DE APRENDIZAJE
Recuerdeque:
a. LasCaracterísticasdelaTasaNominalson:
• Siempreseráunatasadeinterésanual,
• Sepuededividirporlafrecuenciadecapitalizaciónparaobtenerlatasaperiódica,osea
laqueseliquidaencadaperíododelaño.
• Sólosirveparasaberquetasadeinterésperiódicosevaaliquidar.
b. LasCaracterísticasdelaTasadeInterésEfectivason:• Todatasadeinterésperiódicaesefectiva.
• Nosepuededividir.
• Semidedentrodeunperiododeunaño.
• Puedeserperiódicaotasadeinterésefectivaanual.
• Sinoseespecificaquelatasadeinterésesefectiva,sedebesuponerqueesunatasade
interésnominalyquepartiendodeéstasellegaráaunaefectiva.
3.5 TEMA 2 TASAS DE INTERÉS EQUIVALENTES TASAS DE INTERÉS EQUIVALENTES
Sonaquellasqueteniendodiferenteconvertibilidadproducenelmismomontoalfinaldeunaño.
59 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Loanteriorsecompruebapartiendodelhecho,dequelasdostasasdeinteréssonequivalentes,cuandounmismo
capitalinvertidoconcadaunadeellas,produceelmismomontoenigualtiempo.
Enotraspalabras,sepuededecirquedosomástasassonequivalentescuandouncapitalinvertidooliquidado,a
cadaunadeellasnosdaenelmismo lapsode tiempoelmismovalor futuroomonto,deacuerdoa lo visto
anteriormente,liquidanelmismointerésefectivo.
Nota:Nominalyperiódicamenteserándiferentes,peroalfinaldelañoserálamismatasaefectiva.
Ejemplo:Entoncessepodrádecirqueunatasadel2%mensualseráequivalenteaunatasadel26.82%efectiva.
2%A98 24,24%Vu 24,48%S} 25,23%y} 26,82%®©
26,82%
Porlotanto,cualquiercapital invertidoacadaunadeéstastasasdeinterésdaelmismomonto,comosedijo
anteriormentedebesereniguallapsodetiempo.
Nota:Parahallarunatasadeinterésqueseaequivalenteaotraconocida,bastaconigualarlosmontos.
APLICACIONES
Aplicandoelprincipiode“TasasdeInterésEquivalente”,seresuelvencasoscomolossiguientes:
CONOCIDA HALLAR
a. La tasa nominal. La tasa nominal equivalente.
b. La tasa efectiva anual. La tasa nominal equivalente.
60 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
c. La tasa efectiva del período (mensual, trimestral, semestral). La tasa efectiva.
d. La tasa efectiva del período (mensual, trimestral). La efectiva semestral y a partir de
ésta hallar la efectiva anual.
Nota: Es convenientedistinguir los casosanteriores,por lo tanto, a continuación, se realizaránejerciciosdeaprendizajequelepermitiránasumirconpropiedadtalesdiferencias.
3.5.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.Hallarunatasadeinterésanualconcapitalizaciónsemestral,queseaequivalenteal,24%anual,capitalización
trimestral.
Procedimiento
Dados:
jx$ = jx2, wM77 = $4ñM,(Deacuerdoalprincipiodetasasdeinterésequivalentes).
Utilizandolaecuación:jx = jk ∗ $ + P 7setiene:jk ∗ $ + P∗$
2
2= jk ∗ $ + #.2!
!
!
Simplificandojkysacandolaraízcuadradaaambostérminos,queda:
$ +P ∗ $2 = $ +
#. 2!!
2→ $ +
P ∗ $2 = $ + #. #h 2 →
$ +P ∗ $2 = $ + #. #h 2 → $ +
P ∗ $2 = $. #h 2 →
$ +P ∗ $2 = $. $2&h → P = $. $2&h − $ ∗ 2 →
P = #. 2!)2 → P = 2!. )2%Anual,capitalizaciónsemestral.
Atravésdelossiguientescasosseverificarálavalidezdeloanterior:
61 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Uncapitalde$100.000yunplazode2años,hallarelmontoencadaunadeestastasas:
a) Para24.72%anualconcapitalizaciónsemestral.
jx$ = $##. ### $ + #, $2&h ! → jx$ = $##. ### $, $2&h ! →
jx$ = $##. ### $, +"&d!d#)+ → jx$ = $$+". &d!, d$
b) Para24%anualconcapitalizacióntrimestral.
jx2 = $##. ### $ + #, #h d → jx2 = $##. ### $, #h d →
jx2 = $##. ### $, +"&d!d#)+ → jx2 = $$+". &d!, d$
Conclusión:Quieredecir,queesindiferenteinvertiral24,72%anualconcapitalizaciónsemestraloal24%anual
concapitalizacióntrimestral,yaqueseobtieneelmismoresultadodebidoalprincipiodetasasequivalentes.
2.Hallarlatasaanualcapitalizadamensualmente,queseaequivalenteal24%anualefectivo.
Procedimiento
Dadaslassiguientesexpresioneseigualándolas,setieneque:
jx$ = jx2 → jk $ +P ∗ $$2
$∗$2
= jk($ + #. 2!)$ → jk $ +P ∗ $$2
$2
= jk($ + #. 2!)
jk $ +P ∗ $$2
$2
= jk($. 2!)
SimplificandolajkysacandoRAIZdoceaambostérminos,queda:
$ +P ∗ $$2 = ($. 2!)
$$2 → $ +
P ∗ $$2 = $.#$d#$!h
DespejandoP,setiene:
P = $. #$d#$!h − $ ∗ $2 → P = #. #$d#$!h ∗ $2
62 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
P = #. 2$h$)+2 → P = 2$. h$%Anualcapitalizablemensualmente
Nota1:Cálculodelatasaefectivaapartirdelatasanominalanticipada:
P =P4
$ − P4
Dónde:P4: N4r47MLP74t47JPwPk4O4
P = N4r4zK7wPO4
Nota2:Tengapresenteque,silatasadeinterésanticipadaesmensual,alreemplazarlaenlaanteriorexpresión,
seobtienelatasadeinterésvencidamensual.
1. Unacorporacióncobraunatasadel28%anualconcapitalizacióntrimestralanticipada,hallarlatasaefectiva
anualvencida.
Procedimiento
a.Sehallalatasadeinteréstrimestreanticipado:
P = 2d%!= )%Trimestreanticipado.
b.Sehallalatasadeinteréstrimestrevencido:
P =P4
$ − P4→ P =
#. #)$ − #. #) → P =
#. #)#. "&
P = #. #)+ → P = #. #)+Trimestrevencido.
c. Seaplicaelprocedimientoyaconocidoparalastasasvencidas:
63 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
SeHallalaTasaEfectivaAnualapartirdelaefectivatrimestralvencida:
jx$ = jx2
($ + P ∗ $)$∗$ = ($ + #. #)+)!
$ + P ∗ $ = $. #)+ ! → $ + P ∗ $ = $. &&+!
P ∗ $ = $. &&+! − $ → P ∗ $ = #. &&+!
P = &&. +!%Efectivoanual.
Nota 2: Existen situaciones en que el interés, se debe reconocer sobre una unidadmonetaria, cuyo valor
aumentaconeltiempo,enunporcentajedeterminado,porlotanto,paradeterminarelcostoreal(tasaefectiva)
de una determinada situación (préstamo-financiación) debe tenerse presente la tasa con que varía la unidad
monetariaylatasadeinteréscorriente,cobradasobresuvalor.
Para el caso anterior, se debe tener presente que para compensar la pérdida del poder del dinero existe el
mecanismodelacorrecciónmonetariadondePwL: Í7OPwKMJ4r4OKwM33KwwPó7LM7KJ43P4yquelospesosdemásque tienequepagarporunamismaunidadmonetaria,puedenocasionarsepor ladevaluación.
Considereunidadesmonetariastalescomoeldólary laUPAC(Unidaddepoderadquisitivoconstante), laUVR
(UnidaddeValorReal):
3.5.2 EJERCICIO DE APRENDIZAJE Hallarlatasaefectivaanualalaalternativadecomprarbienesdecapital(máquinasindustriales)acrédito,porUS
50.000(dólares)conplazodeunaño,si los interesescorrientessondel20%anual,sabiendoqueel índicede
devaluacióndelpesoconrespectoaldólarseestimaenun31%anualyenelmomentoderealizarelnegocioun
dólarequivalea$700.
Procedimiento
1. Elvalorpresentedelaobligaciónenpesos:
64 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
+#. ###àá×$)##àá = $&+. ###. ###
2. Elvalordeldólardentrode1añosecalculaconlafórmuladeInterésCompuesto.
jx = jk ∗ ($ + P)7
jk = )##
P = n1 = Í7OPwKOKOKz4ts4wPó7 = &$%
7 = $4ñM
$àá = )## ∗ ($ + #. &$)$
$àá = )## ∗ $. &$ = $"$)Valordeldólaralfinalizarelaño.
3. Laobligacióndentrode1añoconsiderandoladevaluación:
50.000™y×$917™y = $!+. d+#. ###
4. Valordelosinteresescorrientessobrelaobligacióndentrode1año:45.850.000×0.2 = $". $)#. ###
5. Paracancelar‘alfinaldelaño:Obligacióndentrode1año+1osintereses:
$!+. d+#. ### + $". $)#. ### =$55.020.000
Enresumen,setiene:
• Deudainicial:
(jk):$35.000.000
• Deudafinal:(jx):$55.020.000
65 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
• PK=¿?• 7 = $4ñM
Entonces:
jx = jk ∗ $ + P $ → ++. #2#. ### = &+. ###. ### ∗ $ + P $DespejandoP:
$ + P = ++.#2#.###&+.###.###
→ P = $, +)2 − $ → P = #, +)2 → P = +), 2%Efectivoanual.
Interpretación:Elcostorealdelafinanciaciónparaelbiendecapital,considerandoladevaluacióndelpesocon
respectoaldólaryelinteréscorriente,esdel57.2%efectivoanual.
• Actividad:Realícelayconfronteelresultadoconsuscompañerosdeclaseyluegoconeltutor.
En idéntica forma, a los pasos descritos en el ejemplo anterior, se puede calcular el costo real
efectivaanual)deunpréstamode3.000UPAC,sabiendoqueelíndicedecorrecciónmonetariaes
del20%anual,losinteresescorrientesdel15%anual,considerandoaltomarunpréstamoqueuna
UPAC=$3.500.
3.6 TEMA 3 ECUACIONES DE VALOR Estetemaesuncomplementodelostemasanteriores,nosehacerepetitivoyaquenospermitevermovimientos
financierosprácticosmuyinteresantes
ECUACIONES DE VALOR
Aplicaciónenunafechadada,delasequivalenciasdeunconjuntodevaloresquesevanareemplazar,haciéndolo
tantoainteréssimplecomoainteréscompuesto.
Esmuyfrecuenteencontrarunaovariasobligaciones,quevanasercanceladasmedianteunoovariospagos;
perodebidoaqueelpoderadquisitivodedinerocambiaconel tiempo,para lasolucióndeesteproblemase
hacennecesarioelusodelasllamadas:
66 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
ECUACIONESDEVALOR,quesonigualdadesdevaloresubicadosenunasolafecha,denominadafecha
focal.
La fecha focal (representadaporxx)es la fechaenquesehace lacomparaciónde Ingresoscon
Egresosyserepresentaporunalíneadetrazos.
Elprincipiofundamentaldeunaecuacióndevalorestableceque:
áOKsO4r = ák4¨Mr K7t4xx
á4wJPzMr = ák4rPzMr + i4kPJ4t K7t4xx
NOTAS IMPORTANTES
NOTA1 Siel trasladodecualquiervalor (Ingresos-Egresos)estádadoantesde la fecha focal,
entoncessedebellevarasuvalorfuturo.
NOTA2 Sielvalorestáenunafechaposterioralafocal,sedebetrasladaraéstapormediodel
factordelvalorpresente.
NOTA3 Losprincipiosexpuestosanteriormenteparalasecuacionesdevalorsonválidoscuando
seplanteanenInterésSimpleyenInterésCompuesto;loscambiosqueocurrensoncon
respectoalaaplicacióndelasfórmulas.
67 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
3.6.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. Analizandoalgunascuentasporcobrarycuentasporpagar,seencuentralosiguiente:
CUENTAS VALORES FECHAS
CuentasporCobrar
$$. $2#. ### Nosladebencancelaréllodeoctubre.
$$. ###. ### Paracancelarlaéllodejulio.
CuentasporPagar
$d##. ### Paracancelarel01agosto.
$&##. ### Paracancelarel01agosto.
Sisetomacomofechafocaléllodeagosto,¿Cuántodinerosobraohacefaltaenestafecha,despuésdecobrary
pagar,silosinteresesdenegociaciónsondel3?5%mensualSimple?
Procedimiento
a. Serepresentaelejemploatravésdeldiagramadelíneasdetiempo:
b. Elproblemapidequeselleventodoslosvaloresal1odeagosto,allí ladiferenciaentrelascuentaspor
cobrarylascuentasporpagarsepuedenefectuarporcuantoseubicanenUNMISMOpuntofocalenel
68 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
tiempo.
• Setrasladanlascuentasporcobraral10deagosto:
jx = jk ∗ $ + P → jx = $$. ###. ### ∗ $ + #. #&+ → jx = $$. #&+. ###
• Lasegunda,comoestáenfechaposterior(10deoctubre)alafechafocal,sedebeconsiderarcomoun
Valorfuturo,luegosecalculasuvalorpresente:
jk =$. $2#. ###$ + 2(#, #&+) =
$. $2#. ###$ + #, #) =
$. $2#. ###$, #) → jk = $$. #!h. )2d, "#
• Lasumadelascuentasporcobrar,calculadasel1ºdeagosto:
ásL4OKwsK7J4rkM3wMv343 = $$. #&+. ### + $$. #!h. )2d, "#
ásL4OKwsK7J4rkM3wMv343 = $2. #d$. )2d, "#
• Alestudiarlascuentasporpagar,seobservaqueyaestáncalculadasenel1ºdeagosto,asíquenose
requieretransformaciónalguna:
ásL4OKwsK7J4rkM3k4¨43 = $d##. ### + $&##. ###
ásL4OKwsK7J4rkM3k4¨43 = $$. $##. ###
1PxK3K7wP4:$2. #d$. )2d, "# −$$. $##. ### = $"d$. )2d, "#
• Solución:Sitodaslascuentas(porcobrarypagar)setrasladanal1ºdeagosto,setieneafecha,unsaldo
afavoriguala$981.728.90.
2.Unapersonadebepagar$10.000,convencimientoen3meses(sinintereses);$15.000en10mesesconinterés
del 20%CapitalizaciónTrimestral y$50.000, con vencimientoen15mesese interesesdel 30%Capitalización
Semestral(CS).Sivanasercanceladasconunsolopagode$X,enelmes12,hallarelvalorde$X,suponiendoun
rendimientodel24%CM(CapitalizaciónMensual).
Procedimiento
Primerosecalculanlosmontos:
a) ¿Cuántoserán$15.000dentrode10mesescon20%CT?
Latasaefectivatrimestralesdel5%
69 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
En10meses:
.KrKr N3PLKrJ3Kr$2 !$# I
→ I =$# ∗ !$2 → I =
!#$2 → I = &, &&&J3PLKrJ3Kr
jx = jk ∗ $ + P 7 → jx = $+. ### ∗ $ + #. #+ &,&&& → jx = $$). h!", #"
b) ¿Cuántoserán$50.000dentrode15mesescon30%CTlatasaefectivasemestralesdel15%yen15meses
hay2.5semestres(¿sien12meseshay2semestres,en15mesescuantoshabrá?)
En15meses:
.KrKr áKLKrJ3Kr$2 2$+ I
→ I =2 ∗ $+$2 → I =
&#$2 → I = 2, +rKLKrJ3Kr
jx = jk ∗ $ + P 7 → jx = +#. ### ∗ $ + #. $+ 2,+ → jx = $)#. "$$, $h
Alescogerlos12mesescomofechafocal(xx)yunatasadeinterésdel24%CM;setiene:
a = $#. ### ∗ $ + #. #2 " + $). h!", #" ∗ $ + #. #2 2 + )#. "$$, $h($ + #. #2)|&
a = $$$. "+#, "& + $$d. &h2. $$ + $hh. d2$, $) → a = $"). $&!, 2$
Nota1:Esfrecuenteenoperacionescomercialesexigirleundocumentonegociableaquienseendeuda.
De tal formaqueel valorque seencuentraescritoeneldocumentoyque soloesexigibleal vencimiento se
denominaValorNominal.Sieldocumentogeneraintereses,suValorNominalseráelMonto.
Laoperaciónderendimientoesconocidoporelnegociante(entrelaspartes).
70 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Nota2:Elanteriorejemplorequiereparasucomprensi6nlosconceptosde:
• InterésCompuesto
• TasasNominales(laanual),y
• LaTasaEfectiva(ladelperíodo).
3.6.2 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO a. Definacadaunodelossiguientesconceptos,sdeacuerdoalotrabajadoeneldesarrollodeltema,sitiene
alguna dudad al responder, vuelva al tema y repáselo nuevamente, es muy importante que maneje
correctamentelaconceptualización.
1. ¿Quéesunatasadeinterésnominal?Déunejemplo
2. ¿Quéesunatasadeinterésefectiva?Déunejemplo
3. ¿Quédiferenciaexisteentreunatasadeinterésnominalyunatasadeinterésefectiva?
4. ¿Quéentiendeustedporperiododecapitalizacióndeintereses?
5. ¿Quédiferenciaexisteentrecapitalizaciónvencidayanticipada?
6. ¿Quéesinflación?
7. ¿Quéesdevaluación?
8. ¿Cómoinfluyelainflaciónyladevaluaciónenlarentabilidad?
9. Citealgunascausasdelainflación.
b.Resuelvalossiguientesproblemasdeaplicaciónsobrelostemasdesarrolladosenlaunidad,tengapresente
lateoríadesarrolladaeneltemaylosejerciciosdeaprendizajepresentadosalolargodeldesarrollodelos
temasdelaunidad.
1. UncapitaldePseinvirtióal6%semestralcompuesto.Alcabode5años,seconvirtióen$176.048.76.Se
desea saber ¿Cuáles son sus intereses, qué tasa de interés nominal, periódica y efectivame liquidaron? (R/
$79.084.76)
2.¿Quéserámejorinvertirparaéstosmomentos?
Unacuentadeahorrosquemepagael24%capitalizableMV
71 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
3.UnCDTquemepagael25%anualcapitalizadocadatresmeses
Dadaunatasadel33%TV,hallarlatasaefectiva.
2. Calcularlatasaefectivaanualequivalentealatasa38%trimestralvencido.
3. HallarlatasanominalliquidadaMVequivalentealatasade43.77%efectivo.
4. Completarelsiguientecuadro.
7.Convertir30%TAenunatasadeinterésmensualequivalente:
Eltemadetasasdeinteréscomprendecuatrotiposdeconversionesqueseresuelvenconunsolométodo,ellas
son:
A. Convertirtasasvencidasenotrastasasvencidas
B. Convertirtasasvencidasentasasanticipadas
C. Convertirtasasanticipadasentasasvencidas
D. Convertirtasasanticipadasenotrastasasanticipadas
8. Determinelatasadeinterésefectivaqueserecibeenundepósitobancario,silatasanominalesdel30%
yseconvierte:
(R/30%,32.25%,33.54%,34.45%)
a)Anualmente
b)Semestralmente
c)Trimestralmente
d)Mensualmente
9. Determinalatasanominalqueproduceunrendimientodel20%anualefectivo,si latasadeinterésse
capitaliza:
72 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
(R/20%,19.08%,18.65%,18.37%)
a)Anualmente
b)Semestralmente
c)Trimestralmente
d)Mensualmente
10. Determinalatasadeinterésnominalcapitalizabletrimestralmentequeresulteequivalenteaunatasadel
25%anualconcapitalizaciónsemestral
(R/24.26%)
11. ¿Qué tasanominal capitalizablemensualmente resulta equivalente a una tasadel 24%nominal anual
capitalizabletrimestralmente?Determineelmontoacumuladode$100.000alcabodeunaño
(R/13.83%,$114.749.99)
12. ¿Quétasadeinterésmensualresultaequivalenteaunatasadel25%semestral?
(R/3.789%)
13. ¿Quétasadeinteréstrimestralresultaequivalenteaunatasamensualdel2%?
(R/6.1204%)
14. ¿Quétasadeinterésefectivaanualresultaequivalenteaunatasadel8%trimestral?
(R/36.04%)
15. Determine una tasa anual con capitalización mensual que sea equivalente al 32.2% anual con
capitalizaciónsemestral.
Determineelmontoacumuladode$5.000alcabode2años
(R/30.2308%)
16. ¿Enquéserámejorinvertir?
Ø Enbonosquepaganel25%nominalanualpormesvencido
Ø EnCDT’squepaganel24%nominalanualliquidadoportrimestreanticipado.
(R/Rentanlomismo)
17. Unacorporaciónfinancierapagael33.68%efectivoanual.
73 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Unclientedeseaquelepagueninteresespormesvencidoyotroportrimestreanticipado.¿Cuálserálatasaa
liquidaracadauno?
(R/2.448%mesvencido,7%Trimestreanticipado)
18. Hallarunatasanominalanual liquidadapormesanticipadoqueseaequivalenteal32%nominalanual
liquidadoportrimestreanticipado.
(R/32.8934%)
19. ¿Quétasadeinterésnominalanualliquidadaporsemestreanticipadoesequivalenteal26%nominalanual
liquidadoporsemestrevencido?
(R/23%)
20. Unaempresanecesita$8’000.000a tresmeses.Unbanco se losprestaal 8.5% trimestral anticipado.
¿Cuántoledebesolicitarparaqueunavezdeducidoslosinteresesleentreguenefectivamentelos$8’000?000?
(R/$8’743.169.40)
21. Unacorporaciónfinancierapagael2.5%mensualdeintereses,interesesquetienenunaretenciónenla
fuentedel7%¿Cuálserálatasamensual,despuésdedichoimpuestoycuálseríalaefectivaanual?
(R/2.325%mes,31.759año)
22. Compruebequeel12.36%paraciertoperiododetiempoyel6%paradosvecesesemismoperiodo,dan
lamismatasadeinterés.
(R/12.36%)
23. Hallarlastasasefectivasanualesequivalentesaunatasadel25%anualconcapitalización:
(R/$28.74%;28.09%,29.45%,30.61%,33.33%)
a)Mensual c)Trimestral e)Anual
b)Bimestral d)Semestral
24. Hallarlatasadeinteréstrimestralequivalenteaunatasadeinterésdel6.5%semestral.(R/3.198%)
25. Hallar la tasa de interés efectiva anual equivalente a una tasa de interés nominal anual del 27% con
capitalizaciónmensualanticipada.
(R/31.40%)
26. Hallarlatasabimestralequivalenteaunatasadeinterésdel6%semestral
(R/1.961%)
74 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
27. Silatasadecaptacióndeunacorporaciónesel8%trimestralyunclienteabreunCDTatresmesesde
$10’000.000ypideinteresesmensuales.¿Quétasadecaptaciónledaríaycuántohabráquepagarlecadamessi
retiralosintereses?
(R/2.6%mes,$260.000)
28. Unfondodeempleadospagael1.5%quincenal:
¿Cuáleslatasanominalylaefectivaanual?
¿Cuálserálanominalylaefectivamensual?
(R/36%Nominal,42.95%IE,3%Nominalmes,3.02%IEmes)
29. Hallarlatasaefectivaanualequivalenteaunatasanominalanualdel28%
Enlossiguientescasos:
a)Concapitalizaciónmensualvencida
b)Concapitalizacióntrimestralvencida
c)Concapitalizaciónmensualanticipada
d)Concapitalizacióntrimestralanticipada
(R/31.888%,31.0796%,32.7527%,33.6805%)
30. Hallarlatasaefectivaanualequivalenteaunatasanominalanualdel25%concapitalizaciónanualvencida
yconcapitalizaciónanualanticipada.
(R/25%,33.33%)
31. Hallarlatasaefectivatrimestralequivalenteaunatasanominalanualdel36%
(R/9%)
32. Hallarlatasaefectivatrimestralequivalenteaunatasaefectivaanualdel41.1981609%(R/9%)
33. Hallarlatasanominalanualconcapitalizaciónbimestralanticipadaequivalenteaunatasaefectivaanual
del35%.
75 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
(R/29.2722%)
34. Hallarunatasanominalanualliquidadaportrimestrevencidoqueseaequivalenteal30%nominalanual
liquidadaporsemestreanticipado.
35.Determinarunatasanominalanual liquidadaporsemestreanticipadoqueseaequivalenteal28%nominal
anualliquidadapormesvencido.
36. Hallarlatasaefectivatrimestralequivalenteaunatasadel6%semestralconcapitalizaciónvencida.
37. ¿Dequécapitalpodrádisponerunapersonaalcabode5años,siinvierteahora$60.000aunatasadel5%
trimestrallosdosprimerosañosyal6.5%trimestralalrestodeltiempo;todospagaderosalvencimiento?¿Qué
tasadeinterésperiódica,nominalyefectivameliquidaronencadaunodelosperíodos?
38. Dos hermanos recibieron comoherencia lamisma suma. El primero invirtió la suya al 28%anual con
capitalizacióntrimestralyelsegundoal27%anualconcapitalizaciónmensual.Sialostresañosymedioelprimero
tenía$195.173.20másqueelsegundo.
¿Aquétasadeinterésperiódica,nominalyefectivainvirtiócadauno?
39. Ciertocapitalseinvirtióaunatasaimensualcompuesta,alañoelmontoerade$239.261.04yalostres
añoserade$422.737.06.¿Cuáleselcapitalyaquetasanominal,periódicayefectivaestuvoinvertido?
(R/$180.000,2.4%)
40. Siinviertouncapitalde$476.113hoyenunfondoquecapitalizaal15%semestral,afindepoderdisponer
de $1’000.000 dentro de dos años y medio. ¿Qué tasa de interés periódico, nominal y efectivo me estarán
liquidando?
41. ACTIVIDAD Vaainvertir$10.000.000enunCDTyvaaanalizardondeesmásrentableysolicitaráinformaciónen3entidades
financieras:
Plazo, tasa de interés, forma de pago, (debe decir al asesor de la entidad que los intereses se capitalicen
periódicamente).
Elestudiantedebesolicitarlainversiónatasafijaytasavariable,(DTFeIPC).
Conbaseenloanteriorsedebecalcularlatasanominal,efectiva,periódica,retenciónenlafuenteyelvalora
recibir(VF)despuésdeimpuestos.
PISTAS DE APRENDIZAJE
76 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
• Recuerdecomosedanlosperiodos:
PERIODO VENCIDO LECTURA ANTICIPADO LECTURA
MES MV MesVencido MA MesAnticipado
BIMESTRE BV BimestreVencido BA BimestreAnticipado
TRIMESTRE TV TrimestreVencido TA TrimestreAnticipado
SEMESTRE SV SemestreVencido SA SemestreAnticipado
AÑO AV AñoVencido AA AñoAnticipado
• Recuerdeque:Silatasaescapitalizable,necesariamentesetratadeunatasanominal,yaquelas
efectivasnosecapitalizan,sinoquesonlasqueresultanalcapitalizarlasnominales.
• Recuerdeque:Eltérminocapitalizabletienequeverconlosinteresescausadosporperíodoque
seleagreganalcapital.Elperiodopuedeser(diario-mensual-trimestral,semestral,anual).
• Tengapresenteque:Paranotenerquehallarprimeroelvalorfuturodeuncapital,despejarlos
intereses y dividirlo por el valor presente y saber que tasa de interés efectiva se liquida, se
utilizarálasiguienteExpresión:
%Öß = 1 + ÖW)û − 1 ∗ 100
• Recuerdeque:
a. LasCaracterísticasdelaTasaNominalson:
b.
77 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
• Siempreseráunatasadeinterésanual,
• Sepuededividirporlafrecuenciadecapitalizaciónparaobtenerlatasaperiódica,o
sealaqueseliquidaencadaperíododelaño.
• Sólosirveparasaberquetasadeinterésperiódicosevaaliquidar.
c. LasCaracterísticasdelaTasadeInterésEfectivason:
• Todatasadeinterésperiódicaesefectiva.
• Nosepuededividir.
• Semidedentrodeunperiododeunaño.
• Puedeserperiódicaotasadeinterésefectivaanual.
• Sinoseespecificaquelatasadeinterésesefectiva,sedebesuponerqueesunatasade
interésnominalyquepartiendodeéstasellegaráaunaefectiva.
• Recuerdeque:Elcálculodelatasaefectivaapartirdelatasanominalanticipada,estádadapor:
P =P4
$ − P4
Dónde:P4: N4r47MLP74t47JPwPk4O4
P = N4r4zK7wPO4
• Tengapresenteque:silatasadeinterésanticipadaesmensual,alreemplazarlaenlaanteriorexpresión,
seobtienelatasadeinterésvencidamensual.
• Recuerdeque:Elprincipiofundamentaldeunaecuacióndevalorestableceque:
áOKsO4r = ák4¨Mr K7t4xx
á4wJPzMr = ák4rPzMr + i4kPJ4t K7t4xx
78 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
NOTAS IMPORTANTES
NOTA1 Siel trasladodecualquiervalor (Ingresos-Egresos)estádadoantesde la fecha focal,
entoncessedebellevarasuvalorfuturo.
NOTA2 Sielvalorestáenunafechaposterioralafocal,sedebetrasladaraéstapormediodel
factordelvalorpresente.
NOTA3 Losprincipiosexpuestosanteriormenteparalasecuacionesdevalorsonválidoscuando
seplanteanenInterésSimpleyenInterésCompuesto;loscambiosqueocurrensoncon
respectoalaaplicacióndelasfórmulas.
79 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
4 UNIDAD 3 ANUALIDADES, VALOR PRESENTE NETO Y TASA DE RETORNO
MatemáticasFinancieras:Enlace
Enlace:Anualidades-Matemáticafinanciera-Monografias.com
www.monografias.com›Matemáticas
4.1 RELACIÓN DE CONCEPTOS
80 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
DefinicióndeConceptos
Anualidad:Sonlosdiferentesplanesdepagoeinversionesencuotasfijasoconstantes,demaneraperiódica.
AnualidadVencida:Esaquellaenquelospagossehacenalfinaldeunperíodo.
AnualidadAnticipada:Enésta,lospagossehacenalprincipiodecadaperíodo.
TasadeRetorno:LaTIRtambiénsepuedeinterpretarcomolaMAXIMATASAdeinterésalaqueuninversionista
estaríadispuestoaobtenerunpréstamo,parafinanciarlatotalidaddelproyecto,pagandoconlosbeneficios,los
flujosnetosdeefectivo,latotalidaddelcapitalprestadoysusintereses,sinperderunsolopeso.
ValorPresenteNeto:Esunaciframonetariaqueseobtienealcompararelvalorpresentedelosingresosconel
valorpresentedelosegresosenunamismafechadeterminada.
Amortización:Tienencomofinalidadextinguirunadeudaendeterminadoplazo,concuotasperiódicas, fijaso
variables,aunatasadeinterésCsobresaldosdedeuda.
4.2 OBJETIVO GENERAL Aplicar los conceptos de anualidad, valor presente neto y la tasa interna de retorno en los diferentes planes
crediticiosyenlaevaluacióndeproyectosdeinversión.
4.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Identificarlosdiferentesplanesdepagoeinversionesencuotasfijasoconstantes,demaneraperiódicay
lasconsideracionesparaqueunaseriedepagoscumplancomoanualidades.
Identificar plenamente los dos métodos de aceptación universal para la evaluación de proyectos de
inversión,estoes:Valorpresenteneto(VPN)ylaTasainternaderetorno(TIR).
4.4 TEMA 1 ANUALIDADES Sonlosdiferentesplanesdepagoeinversionesencuotasfijasoconstantes,demaneraperiódica,quecumplen
conlassiguientescondiciones:
81 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
1. Todoslospagossondeigualvalor.
2. Todoslospagossehacenaigualesintervalosdetiempo,estoes,periódicos.
3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a lamisma tasa, a un valor
equivalente,esdecirlaanualidaddebetenerunvalorpresenteequivalenteounvalorfuturo
equivalente.
4. Elnúmerodepagosdebeserigualalnúmerodeperíodos.
Nota: Las condicionesanterioresobedecena ciertasnormasy tienenalgunas implicaciones,porejemplo: la
segundacondiciónsécumpleaunsilospagossehacencadamesocadatrimestreysinembargolaseriesesigue
llamandoanualidades.
Lasanualidadessedandedosformas:
1. AnualidadVencida
Esaquellaenquelospagossehacenalfinaldeunperíodo,porejemplo,elpagodelsueldodeunempleado,mes
pormesdurante12meses(1año),veamoslarepresentaciónatravésdeundiagramadelíneasdetiempo,así.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12meses
$ASueldo Fig.1
a. Valorpresentedeunaanualidadvencida
Eselvalorubicadoenelperíodoanterioralperíododelafechadelprimerpago,equivalenteaunaseriedepagos
igualesyperiódicos,esdecir,lasumadetodoslosvalorespresentesdetodoslospagos.
R =â
($ + P) +â
($ + P)2 + ⋯+â
($ + P)7
82 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
jR = â($ + P)7 − $P ($ + P)7
Nota:Elvalordentrodelcorchetesellamaelfactordelvalorpresentedeunaserieuniforme.
Donde:
7:eselnúmerodepagos
â:Valordecadapago
jR:Eselvalorpresentedeunaseriedepagosigualesyperiódicos
n:Latasadeinterés.
b. Valordelacuotaenfuncióndelvalorpresente
Estádadaporlasiguienteexpresión:
â = jR($ + P)7
($ + P)7 − $
Nota:Elvalorentrecorchetessedenominafactorderecuperacióndecapital.
c. ValorFuturodeunaAnualidadVencida
jx = â($ + P)7 − $
P
Nota:Elvalorentrecorchetessedenominacantidadcompuestadeunaserieuniforme.
d. Valordeunacuotaenfuncióndelvalorfuturo
â = jxP
($ + P)7 − $
Nota:Elvalorentrecorchetessedenominafondodeamortización.
83 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
e. Cálculodeltiempodenegociación
Eselnúmerodecuotasnecesariasparaamortizarunaobligación.Cuandosetrabajaconanualidadesvencidas,el
tiempodeoperaciónmedidoennúmerodeperíodos,algunasvecescoincideconelnúmerodepagoselcualno
siempresecumple.
7 = £íÆâ − £íÆ â − jR ∗ P
£íÆ $ + P
2. AnualidadAnticipada
En ésta, los pagos se hacen al principio de cada período, se puede presentar como ejemplos de anualidad
anticipada:
Elpagomensualdelarriendo,anticipadomesxmes,durante12meses.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12meses
$AArriendo Fig.2
• Lospagosarrendamientosanticipados,
• Lascuotasanticipadasporelfinanciamientodeunelectrodoméstico.
Nota:Claramenteenlosdiagramas,quesiunaanualidadempiezaconperíodoterminaconpago(fig.
1)ysi,empiezaconpagoterminaconperíodo(fig.2).
• Conceptoscomplementarios
Esbastanteimportantedeterminaralgunosconceptosantesdedefinirlasexpresionesqueseutilizaránparalos
cálculosconanualidadesanticipadas.
• Renta:Eselpagoperiódicodeigualvalor,correspondeac/u,delos$Adelosdiagramasanteriores.
• Periododelarenta:Eseltiempoquetranscurreentredospagosperiódicoscontiguos
• Plazodeanualidad:Eltiempoquetranscurreentreelprincipiodelprimerperíodoyelfinaldelúltimo
período,serepresentaporn.
• Valordeunaanualidadordinaria:Unaanualidadtienedosvalores:
84 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
VALOR DEFINICIÓN
Elvalorfuturo Enelcualtodoslospagossontrasladadosalfinaldelaanualidad
enelperíodocorrespondientealúltimopago.
Elvalorpresente Enelcual lospagossontrasladadosalpresentede laseriede
pagosubicandounperíodoantesdelperíodocorrespondiente
alprimerpago.
TABLA DE FACTORES A INTERÉS COMPUESTO
Hallar Dado Fórmula Factor
1 jx jk jx = jk ∗ ($ + P)7 jxjk, P,%, 7
2 jk jx jk = jx($
($ + P)7jkjxP,%, 7
3 jx âjx = â (
$ + P 7 − $P )
jxâ P,%, 7
4 â jx â = jx$
($ + P)7 − $ âjxP,%, 7
85 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
5 â jk â = jkP ∗ ($ + P)7
($ + P)7 − $ âjkP,%, 7
6 jk âjk = â
P ∗ $ + P 7 − $$ + P 7
jkâ P,%, 7
Latablaanteriorresumelosvaloreshalladosparacadavariableenrelaciónconlasdemás,suponiendounatasa
deinterésdelP%yunaduraciónde7períodos.
Cadafactor,enordenconsecutivoalatablaanterior,recibeelnombrede:
1. Factordecantidadcompuestoenpagosimpleoúnico.
2. Factordevalorpresenteparapagosimpleoúnico.
3. Factordecantidadcompuestaporunaserieuniforme.
4. Factordefondodeamortización.
5. Factorderecuperacióndecapital.
6. Factordevalorpresentedeunaserieuniformedepagos.
Es conveniente dar una breve explicación a c/u de los factores expresados en la tabla de factores de Interés
Compuesto,acercadesusignificaciónyempleo:
$.jx = $ ∗ ($ + P)7Expresaelmontoqueseobtienedespuésde7períodosinvirtiendounpesoauna
tasadeinterésP,enformacompuesta.Sirveparacapitalizarunsolovalor.
0
|__________________7
1…−→ ⋯−−→ ⋯−.→ ⋯−→ jx = $ ∗ ($ + P)7
2. jk = jx($
(${P)7),Indicaelvalorpresentedelpréstamoparaamortizarporperíodosigualesdetiempo.
Actividad:Realizalalíneadetiempocorrespondiente.
86 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
3. jx = $ (${P)7|$P
Indicaelmontoqueseobtienedespuésdenperíodos;invirtiendounpesoporperíodo
a una tasa de interés i en forma compuesta. Sirve para capitalizar varios valores iguales y de vencimientos
consecutivos.
|___1___2___3_____7 − $____|711111
| jx = $ (${P)7|$P
4. â = jx$
(${P)7|$
Indicaelvalordelacuotaqueesnecesarioinvertirporperíodoaunatasadeinterési;enformacompuesta
paraobtenerdespuésdenperíodos1unmontodeunpeso.Eselinversodelfactortres.(Tabladefactores
compuesto).
Con: á7 = ($ + P)7 − $
jx = â(á7P), Si jx queda: 1= â á7
P) , OM7OK:
â = $á7P,Siendo
áP una denotación idéntica a:
jxâP%, 7
+.â = jk
P∗(${P)7
(${P)7|$Indicaelvalordelacuotaquesedebepagarporperíodo,paraamortizarunpréstamodeunpesohechoan
períodosaunatasadeinterési.Eselinversodelfactor(∞±≤,i%,n).
0
87 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
jk = â(47P),
Si jk = $ → $ = â 47P
→ â = $47P
Siendo47P,unadenotación
jkâP%7
h.jk = âP ∗ $ + P 7 − $
$ + P 7
Indicaelvalordeunpréstamoquesepuederecibirhoyparaamortizarloen
7kK3íMOMr,pagandounpesoporperíodoas74J4r4OKP7JK3érPsobresaldosdedeuda.Esunfactorquedescuenta,portanto,sirveparaactualizarvariosvaloresigualesydevencimientosconsecutivos.
0 1 2 3 2 7 − $7
| | | | | |
1 1 1 1 1 1
jk = $(â7JP )
(â7JP): Denotación idéntica a (jk
â, P%, 7)
Destacarelhechodequelafinalidaddelasanualidades(Rentas)esconstituiruncapitaloextinguirunadeuda,
paraelprimercasosepuedehablardeimposición,paraelsegundodeamortización.
Con las imposiciones se busca constituir un capitalmediante la inversión periódica de un pago (cuota) fija o
variable,aunatasadeinterésPsimpleocompuesta;Supagosepuedehaceralprincipiooalfinaldelperíodo.
Detalforma,unainversiónde$Aporperíodoydurante7períodosaunatasaPcompuestaenformavencida,
tieneporexpresiónlasfórmulasdeterminadasparaello.
(Vertabladefactoresainteréscompuesto).
88 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Acontinuación,sedeterminaránlasexpresionesparalasanualidadesanticipadas:
a. Valorpresentedeunaanualidadanticipada.
jR = â($ + P)$ + P 7 − $P($ + P)7
b. Valorfuturodeunaanualidadanticipada
jx = â($ + P)7{$ − ($ + P)
P
c. Valordeunacuotaenunaanualidadanticipada
â = jR
$ + $ + P 7|$ − $P $ + P 7|$
d. Cálculodeltiempodenegociación
Eselnúmerodepagos,pagaderoscadaunoalprincipiodelperíodoyquesonnecesariosparaamortizaruna
obligación,estesepuedecalcularenfuncióndelvalorpresenteodelvalorfuturo:
• Enfuncióndelvalorpresente,estádadaporlasiguienteexpresión:
7 =£íÆâ − £íÆ â − n(jR − â)
£íÆ $ + P + $
• Enfuncióndelvalorfuturo,estádadaporlasiguienteexpresión:
7 =£íÆ
jxâ + ($ + P)
£íÆ($ + P) − $
89 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
4.4.1 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO Realizar los siguientes ejercicios aplicando los conceptos vistos; realízalo en forma colaborativa con tus
compañerosyconfróntaloconeltutor.
Recuerdequedebedesarrollarelcientoporcientodelostalleres,eslaúnicaformaquegarantizaellogrodelos
objetivospropuestosenelcurso.Eltutor,alfinalizarestaunidadexigiráacadaestudiantelaentregadelostalleres
desarrollados,éstostendránunanotaimportanteenlaevaluaciónfinal.
1. Dequécapitalpodrádisponerunapersonaalcabode10años,siduranteellosinvierte$2.000.000alfinal
decadasemestre,enunfondoquelepagael18%anualconcapitalizaciónsemestral.
Nota:Cuandolosdiferentespagos(Restas)sevaloranalprincipiodelplazo(puntofocal:Hoyprincipiodelperíodo
unoqueeselcero)estamosfrentealasamortizaciones.
Lasamortizaciones:Tienencomofinalidadextinguirunadeudaendeterminadoplazo,concuotasperiódicas,fijas
ovariables,aunatasadeinterésPsobresaldosdedeuda.
Lasamortizacionespor logeneralsondepagovencido,porque,sisetomaunpréstamoparaamortizarlocon
cuotastrimestrales,laprimeradebepagarsealtrimestresiguienteynodescontarsedeinmediato;queesbien
diferenteapagarinterésanticipadoyalacuotainicialenalgunossistemasdefinanciación.
Tengapresente:Quecadapago(anualidad) incluye:amortizacióndecapitale interesessobresaldosdedeuda
tratandosedeamortizaciones
2. ¿Quépréstamosepuedeamortizaren5añosaunatasadel25%anualpagandocuotasde$2.000.000
anuales?
Elaboraruncuadrodeamortizacióndelejercicioanterior,teniendoencuenta:
Quelosinteresesseliquidansobreelsaldodedeuda, Queelsaldodedeudaalfinaldeunperíodoeselinicialdelsiguiente,y Quelacuotacontieneinteresesyamortizacióndecapital.
Acontinuación,losenunciadosqueencabezanlascolumnasparaelcuadrodeamortización:
• Período,
• Deudaalprincipiodelperíodo,
• Interés,
• Anualidad(cuota),
• Amortizaciónreal,
90 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
• SaldodeudaalfinaldelPeríodo.
Nota:Lasanualidadesconformanunaclasificaciónatendiendoacriterios,entreotroscomolossiguientes:
1. Segúnlospagospuedenser:
a) Constantes,osea,aquellospagosenloscualestodoslostérminossoniguales.
b) Variables,cuandotodoslostérminossondiferentesentresí:
Nota:Apartirdelnumeralb,surgendossituaciones:
Una, en la cual en la posición(7n + n) hay una base Q ,la cual semodifica al final de todas las posiciones
siguientes, hasta la posición 2, en una cantidad uniforme denominada GRADIENTE (G) conocida en términos
generalescomogradientearitmético(verdiagramadelíneasdetiempo)Figura1.
7$:Posicióndondenohaypago,anteriorenunperíodoalaBase.
7$ + $:Posicióndondeestáelprimerpago.(Sumabase).
n1 n2
0 1 2 3 4 5
1.000
1.200
1.400
1.600 Variaciónlinealoaritmética
7$ + 2:PosiciónenquesedaelGradiente.
B=1.000 Gradiente200 Plazodeanualidad:1®5
Observequelaposiciónquepuedenocupar7$•72,vadeacuerdocondiferentessituacionesrepresentadasenlaslíneasdetiempo.Ademásqueenlaposición7$nohaypagoyqueelprimergradienteserepresentaenla
posición(7$ + 2).
91 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
La otra situación o circunstancia obedece a que en la posición (7$ + $) hay una sumabase (T), la cual se
modifica al final de todas las posiciones siguientes, hasta la posición72, en una proporción o porcentajeconstantedenominadatasadeescalamientoyseconoceengeneralcomogradientegeométrico.Obsérveseque
enlaposición7$,nohayflujo(pago)yquelaprimeravariaciónsedaenlaposición(7$ + 2).
Nota:Esdesumaimportancia,elestudiodeestetipodegradientes,porqueseutilizaen:
• Losfenómenosdelcrecimientodelíndicedecostosalconsumidor,
• Tasadecrecimientodelasdemandasy
• Engeneral,paraestudiarlasproyeccionesdeungrannúmerodeparámetros.
3.¿Quésignificavalordeldineroeneltiempo?
4.¿Cómoseexplicaelhechodequedoscantidadesdistintasdedineropuedenserequivalentesentresí?
5.¿Quéinversiónaceptaríaellector,suponiendoquelehanofrecidolaoportunidaddeinvertir$10.000al21%
anualsimpledurantetresaños,olosmismos$10.000al20%anualcompuesto,durantetresaños?
4.5 TEMA 2 EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN Unainversiónesunaasignaciónderecursosenelpresenteconelfindeobtenerunosbeneficiosenelfuturo.No
solo se entiende como inversión el desembolsodedinero sino tambiénel tiempodeque alguiendedica a la
capacitaciónenuncampoespecificodelsaber.
Todoinversionistafrenteunainversiónloprimeroquesepreguntaes:
92 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
¿ME CONVENDRÁ DICHA INVERSIÓN?
Paraqueestoseaunarealidadesnecesario:
• Recuperarlainversióninicial,y
• Obtenerunosexcedentes(intereses);
Nota: Estos deben superar la tasa de oportunidad, este debe superar la tasa que el inversionista está
acostumbradoamanejar(tasadeoportunidaddelinversionista).
Existendosmétodosdeaceptaciónuniversalparaevaluarproyectosdeinversión:
• Valorpresenteneto(VPN).
• Latasainternaderetorno(TIR).
Nota:Losfondosrequeridosparacubrirlainversióninicialpuedenprovenirdediferentesfuentes,talescomo:
• Recursospropios.
• Préstamodeterceros.
• Combinaciónderecursospropiosypréstamodeterceros.
1. Valorpresenteneto(VPN)
Esunaciframonetariaqueseobtienealcompararelvalorpresentedelosingresosconelvalorpresentedelos
egresosenunamismafechadeterminada.
Paraqueunaempresapermanezcaenelmercado se requiereque,éstasenun largoplazo, sean rentables y
líquidas.
Laexpresiónparacalcularelvalorpresenteneto(VPN)estádadapor:
jRä(N≥) = jRn − jRH
Dónde:
jRä:ValorPresenteNeto
N≥:TasadeOportunidad
jRn:ValorPresentedelosIngresos
93 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
jRH:ValorPresentedelosEgresos
jRä(N≥) = −R +qäH$
($ + N.≥)$ +qäH2
($ + N.≥)2 + ⋯+qäH7
($ + N.≥)7
R:InversiónInicial
qäH:FlujoNetodeEfectivo
N.≥:TasadeOportunidad(Costodedinero)
• CriteriosparaseleccionaralternativasdeacuerdoalVPN:
Elresultadodelaexpresiónanteriorgenera3alternativas:
1. CuandoeljRäesmayorquecerolaalternativasedebeACEPTAR.
jRä > # → âwKkJ43
2. CuandoeljRäesigualaceroesindiferenteaceptaronolaalternativa.
jRä = # → n7OPxK3K7JK
3. CuandoeljRäesmenorquecerolaalternativasedeberechazar.
jRä < # → lKw∂4543
2. Latasainternaderetorno(TIR)
AlanalizarelVPN,estesehacedeacuerdoaunatasadeoportunidaddelinversionista,estoquieredecirquepara
dosinversionistasayb:
• Paraaconunatasadeoportunidaddel10%,y
• Parabconunatasadeoportunidadde15%
Esposiblequeunproyectoseallamativoparaambosinversionistas,osoloparaunodeellos,oparaninguno.
94 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
SedefinelaTIRcomolatasadeinterésquehaceeljRä = #,esdecir,elvalorpresentedelosflujosdescontadosseaigualalainversióninicial.
Nota:LaTIRtambiénsepuedeinterpretarcomolaMAXIMATASAdeinterésalaqueuninversionistaestaría
dispuestoaobtenerunpréstamo,parafinanciarlatotalidaddelproyecto,pagandoconlosbeneficios,losflujos
netosdeefectivo,latotalidaddelcapitalprestadoysusintereses,sinperderunsolopeso.
4.5.1 EJERCICIO DE APRENDIZAJE Esteejercicioseremiteaanalizarelpasoapasodeunprocesodeinversióndadoenelenlace(vernumeral3)y
lossiguientesvideos,enellosencontrarásampliainformacióndeltema,ademáslaresolucióndeejerciciosysu
manejoatravésdeherramientascomoelExcel:
Video:Matemática-ValoractualnetoVANyTasainternade...
www.youtube.com/watch?v=xL5P3SO-SyQ(10:51minutos)
Video:ComoCalcularelVANylaTIRenExcel|EjemploPráctico...
www.youtube.com/watch?v=k_ul2Zl9rMQ(4:09minutos)
Enlace:DOC]:EjemploPasoaPaso:
npadron.webs.ull.es/.../Ejemplo%20ACB%20Paso%20a%20Paso.doc
4.5.2 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO 1. Definelossiguientesconceptos,esdemuchaimportanciaquelohagas,yaquetepermitiránenfrentar
lostalleresaplicativossindificultad,encasodenotenerclarounconceptoregresaaltemayrepásalo
nuevamente.
a) ¿Quéesunaanualidad?Déunejemplodelavidacotidiana.
b) ¿QuéesunaTIR?Déunejemplo.
c) ¿QuédiferenciaexisteentrelaTIRylaVPN?
d) ¿Quéentiendeustedporamortización?
e) ¿Quédiferenciaexisteentredepreciaciónyamortización?
95 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
EJERCICIOS SOBRE ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES a. Unaempresavendepianosconunacuotainicialde$300.000y12cuotasmensualesde$200.000cada
unasioperaaunatasadel24%concapitalizaciónmensual.Hallarelvalordecontado.
b. Una cooperativa ofrece un préstamo de $3.000.000 a tres años a una tasa del 26% capitalizable
bimestralmenteyustedpuedecancelarlopormediodecuotasmensualesiguales.Hallarelvalordecada
cuota.
c. Elpropietariodeunapartamentotienelassiguientesalternativas:
1.venderlodecontadopor$70.000.000
2.Arrendarlo,conuncanondearrendamientode$500.000mesvencidodurante4añosyal finaldel
mismovendérseloalaquilinopor$60.000.000si latasaesdel36%capitalizablemensualmente.¿Cuál
decisióndebetomar?
d. Paracompraruncomputadorelclientetienelassiguientesopciones:
1. Compraracréditoasícuotainicialde$400.000y12cuotasmensualesde$100.000cadauna.
2. Comprardecontadovalor$1.500.000
¿Cuáleslamejoropcióndecompra?
e. Unvehículotieneunvalordecontadode$40.000.000yseadquierefinanciadoconel30%decuotainicial
yelrestoen36cuotasigualesmensuales.Calcularelvalordelascuotassilaprimerasepagaalfinaldel
mes4.Latasadefinanciaciónesdel28%capitalizablemensualmente.
1. Losinteresesduranteelperiododegraciasecancelanmensualmente.
2. Losinteresesnosecancelanduranteelperiododegracia.
¿Cuáleselvalorapagarenelmes4?
96 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN a. Carloscompraunapartamentopor$50.000.000yesperaarrendarlopor$1.000.000pagaderosdeforma
vencidaalpartirdelprimermesydurante36meses,cuandoesperavenderlopor$70.000.000.Sisutasa
deoportunidadesdel3%mensual.¿Hizounbuennegocio?
b. Un electrodoméstico tiene un precio de contado de $2.000.000 se financia en 20 cuotasmensuales
anticipadade$130.515,93.¿Quétasadeinterésmensualcobraronporlafinanciación?
c. Unaempresatransportadoradeseaadquiriruntractocamiónporunvalorde$200.000.000.Laempresa
la utilizaría durante 5 cuando espera venderla por $120.000.000. Se esperan beneficios anuales de
$20.000.000yunoscostosdemantenimientode$8.000.000.Si la tasadeoportunidadde laempresa
transportadoraesdel15%anual.Serecomiendalacompradeltractocamión.
d. ElbancoBBVAotorgauncréditode$50.000.000aunatasadel24%anualconcapitalizacióntrimestral
plazo un año. La deuda debe ser cancelada en cuatro cuotas iguales de $12.500.000 por trimestres
vencidos,máslosinteresessobresaldos.Elbancocadavezquerecibelascuotastrimestralesconformadas
porlosinteresesylacuotadeamortizacióndeladeuda,losreinvierteaunatasadel8%trimestralcalcular
laTIRylaVPNsilatasadeoportunidadesdel6%trimestrevencido.
e. Seinviertenun$1.000.000conlaexpectativaderecibir$200.0000alfinaldecadaunodelossiguientes
10años.CalcularlaVPNsilatasadeoportunidadesdel4%anualyhallarlaTIR.
PISTA DE APRENDIZAJE
Recuerdeque:
1. CuandoeljRäesmayorquecerolaalternativasedebeACEPTAR.
jRä > # → âwKkJ43
2. CuandoeljRäesigualaceroesindiferenteaceptaronolaalternativa.
jRä = # → n7OPxK3K7JK
3. CuandoeljRäesmenorquecerolaalternativasedeberechazar.
jRä < # → lKw∂4543
Recuerdeque:
97 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Se define la TIR como la tasa de interés que hace eljRä = #, es decir, el valor presente de los flujos
descontadosseaigualalainversióninicial.
4.6 TEMA 3 INGENIERÍA ECONÓMICA 1. Introducción
Cuando sehablade IngenieríaEconómica, seestáhablandodeunaevaluaciónovaloraciónde los resultados
económicosobtenidosde las soluciones sugeridasdesde la ingeniería, estoes, lasdecisionesque se tomany
aconsejan desde su labor para lograr que una empresa sea altamente rentable y competitiva en elmercado
económico.
LaIngenieríaEconómicaintegralosconocimientosdeingenieríaconloselementosbásicosdelaEconomía,porlo
tanto, es un conjunto de herramientas, a través de las cuales se analiza cuantitativamente la viabilidad o
factibilidadeconómicayfinancieradelosproyectosdeinversión.
Podemosdecirentoncesquelaingenieríaeconómicaesunconjuntodetécnicasparatomardecisionesdeíndole
económicaenelámbitoindustrial,considerandosiempreelvalordeldineroatravésdeltiempo,porlotanto,es
ladisciplinaquesepreocupadelosaspectoseconómicosdelaingeniería;implicalaevaluaciónsistemáticadelos
costosybeneficiosdelosproyectostécnicospropuestos.
ElprincipalobjetivodelaIngenieríaEconómicaestádadopor:
LATOMADEDECISIONESBASADAENLASCOMPARACIONESECONÓMICASDELASDISTINTASALTERNATIVAS
DEINVERSIÓN
Losmétodosempleadosparaestatomadedecisionesvandesdeelusodehojasdecálculoestandarizadaspara
evaluaciones de flujo de caja, hasta procedimientos más elaborados, tales como el análisis de riesgo e
incertidumbre,ypuedenaplicarsetantoainversionespersonalescomoaemprendimientosindustriales.
Podemosdecirentoncesquelaingenieríaeconómicaesunaseriedeconceptosytécnicasmatemáticasaplicadas
en:
• Elanálisis,
• Lacomparación,y
• Laevaluaciónfinancieradealternativasrelativasaproyectosdeingeniería.
98 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Proyectosgeneradospor:
• Sistemas,
• Productos,
• Recursos,
• Inversiones,y
• Equipos.
• Porlotanto,laingenieríaeconómicaesunaherramientadedecisiónpormediodelacualsepodráescoger
unaalternativacomolamáseconómicayconlosmayoresbeneficiosposibles,favoreciendolainversión.
• Acontinuación,sedantresnotasdesumaimportanciaparaquelassugerencias,dadasdesdelaingeniería,
puedansertenidasencuentayaprobarseparasuaplicación:
Nota1:Paraquepuedanaprobarseen loeconómico, las resolucionesde losproblemasdeben impulsarun
balancepositivodelrendimientoalargoplazo,enrelaciónconloscostosalargoplazoytambiéndebenpromover
elbienestarylaconservacióndeunaorganización,construiruncuerpodetécnicaseideascreativasyrenovadoras,
permitir la fidelidad y la comprobación de los resultados que se esperan y llevar una idea hasta las últimas
consecuenciasenfinesdeunbuenrendimiento(Sullivanetal.,2004,p.3).
Nota2: “Lamisiónde la ingenieríaeconómica consisteenbalanceardichasnegociacionesde la formamás
económica”(Sullivanetal.,2004,p.3).
Nota3:Principalmentelaingenieríaeconómicaproponeformular,estimarycalcularlosproductoseconómicos
cuando existen opciones disponibles para proceder con un propósito definido, en resumen, es un grupo de
métodosmatemáticosquefacilitanlascomparacioneseconómicas(BlankyTarquin,2006,p.6).
Cuandose realizaunestudiode IngenieríaEconómica,dentrode laspreguntasmás frecuentesquesehacen,
quieneslorealizan,dependiendo,claroestá,deloquesebusca,puedenserpreguntastalescomo:
• Cuandosetratadenuevosdiseños:¿Quédiseñoseeligeentrevariasalternativassimilares?
• Cuandose tratadenuevosequipos:¿Debereemplazarseelequipoenusoporunonuevo?,yencaso
afirmativo,¿cuándodebesustituirse?
• Cuandosetratadebeneficios:¿Losbeneficiosesperadosdelproyectosonsuficientesparajustificar la
inversión?
• Cuandosetratadeseguridaddelproyecto:¿Espreferibleunproyectoconservadorymásseguroouno
demayorriesgoqueofrecebeneficiossuperiores?
Dichaspreguntastienencaracterísticascomunes:
• Implican una selección entre las diferentes opciones técnicas que se pueden evaluar para obtener
resultadosóptimos.
99 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
• Entodasestáninvolucradasconsideracionesdetipoeconómico.
• Existenotrascaracterísticasmenosevidentes,talescomo:
1. Elrequerimientodedatosadecuados,y
2. Elconocimientodelasrestriccionestecnológicasparaladefinicióndelproblemaylaidentificación
delasposiblessoluciones,parapoderdeterminarlasoluciónóptima.
Acontinuación,seencuentrandosconceptosdesumaimportanciaparalaIngenieríaEconómicaenelmomento
derealizarsugerenciasyplantearnuevosProyectos:
Factibilidadeconómica
Lafactibilidadeconómicadeunproyectotienequeverconlosbeneficiosdeinversiónderecursoseconómicosen
unaalternativadeterminada,sinimportarlafuentedeestosrecursos.
Enelanálisisdelafactibilidadeconómicaseevalúaladecisióndeinversiónindependientedeldueñodelproyecto,
seenfatizaúnicamenteenlosrecursoscomprometidosenlaempresa,excluyendoelorigendeestos.
FactibilidadfinancieraLafactibilidadfinancieradeunproyectodeinversióntieneporobjetoevaluarelretornoparalosinversionistas.
Enestaetapaloqueinteresaesdeterminarsilainversiónefectuadaporelinversionista,obtienelarentabilidad
esperadaporél.
Leermás:http://www.monografias.com/trabajos99/ingenieria-economica-generalidades/ingenieria-economica-
generalidades.shtml#ixzz3lLlY1AKw
• ConceptosbásicosdelaingenieríaEconómica
Acontinuación,seencuentranlosconceptosylosmomentosfundamentalesparaunprocesodeIngeniería
Económica:
1. ImportanciadeleingenieríaEconómica.
• Determinarclaramenteelprocesoparaladetomadedecisiones.
• Definirclaramentelosconceptosqueseinvolucraránparalatomadedecisiones.
• Referenciar problemas de ingeniería económica exitosos, que ayuden a definir con claridad nuestro
proceso.
2. Lasdecisioneseconómicasquetomanlosingenierosyotrosprofesionalesporlogeneralson:
• Elresultadodelaeleccióndeunaalternativasobreotra.Deahí laimportanciadelaingeniería
económicacomounaherramientaparalatomadedecisiones.
• Las decisiones influyen en lo que se hará, elMarco de Referencia Temporal de la ingeniería
Económicaes,básicamente,elfuturo.
3. LaIngenieríaeconómicaimplica:
100 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
• Formular,estimaryevaluar los resultadoseconómicoscuandoexistanalternativasdisponibles
parallevaracabounpropósitodefinido.
• Unconjuntodetécnicasmatemáticasquesimplificanlascomparacioneseconómicas.
4. Paraladefinicióndelproblemasedebenconsiderarlossiguienteselementos:
a. Comprensióndelproblemaydefinicióndelobjetivo.
b. Recopilacióndeinformaciónrelevante.
c. Definicióndeposiblessolucionesalternativasyrealizacióndeestimacionesrealistas.
d. Identificacióndecriteriosparalatomadedecisiones.
e. Evaluacióndecadaalternativaaplicandounanálisisdesensibilidad.
f. Eleccióndelamejoralternativa.
g. Implantarlasolución.
h. Vigilarlosresultados.
5. DefinicióndeelementosimportantesenlaelaboracióndeProyectosdeInversión:
• Proyecto:conjuntodeactividadesinterrelacionadas,conuninicioyunafinalizacióndefinida,queutiliza
recursoslimitadosparalograrunobjetivodeseado.
• Capital:Eslacantidadderecursos,bienesyvaloresdisponiblesparasatisfacerunanecesidadollevara
cabounaactividaddefinidaygenerarunbeneficioeconómicoogananciaparticular.
• Valordeldineroeneltiempo:Variacióndelacantidaddedineroenunperiododetiempodado.
• Interés:eslamanifestacióndelvalordeldineroeneltiempo.Estádadopor:
Ladiferenciaentrelacantidadfinaldedineroylacantidadinicial.
• Tasadeinterés:eselinteréspagadoenlaunidaddetiempoyseexpresaenporcentaje(%).
• Periododeinterés:Unidaddetiempodelatasadeinterés.
• Tasaderendimiento:Interésganadoduranteunperiododetiempoyseexpresacomoporcentaje(%).
TambiénsellamaRendimientoSobrelaInversión(RSI)yTasadeRetorno(TR),estocuandoseasignan
grandescantidadesdedineroenproyectosdeingeniería.
• Tasamínimaatractivaderendimiento(TMAR):tasarazonableparalafasedeeleccióndecriterios.
• Análisisdesensibilidad:Elquesellevaacaboparadeterminarcómopodríacambiarladecisióndeacuerdo
conestimacionesvariables,enespecialaquellasquepodríanvariardemanerasignificativa.
• Alternativas:Opcionesindependientesqueimplican
• Unadescripciónverbal,y
• Lasmejoresestimacionesdeparámetros.
101 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
• Costosanualesdeoperación(CAO)ocostosdemantenimientoyoperación(CMO):Sonlasestimaciones
detodoslosgastosanuales.
• Valorde salvamento:Aquellapartedel costodeunactivoqueseespera recuperarmediante ventao
permutadelbienalfindesuvidaútil.
6. Flujosdeefectivo:sonlasentradas(ingresos)ysalidas(costos)estimadasdedinero.
EntradasdeEfectivo• Gananciadeinterés
• Valordesalvamento
• Reduccionesdecostodeoperación
• Ahorrosenimpuestossobrelarenta
SalidasdeEfectivo• Costodediseño
• Costodeadquisición
• Impuestossobrelarenta
• Pagosdeinterés
7. Diagramadeflujodeefectivo:eslarepresentacióngráficadelosflujosdeefectivoduranteunperiodode
tiempodeterminado.
Referenciadode:INSTITUTONACIONALDEFORMACIÓNTÉCNICOPROFESIONALINFOTEPConceptosBásicos
deIngenieríaEconómicaFacilitadorJoelS.FaneiteRossGerenciaRegionalCentralCentroTecnológico28de
noviembre2010.
ACTIVIDAD
Serecomiendaquevisiteseelsiguienteenlace,paraquerealicesunescritodedospáginasylocompartascontus
compañerosatravésdeunforodediscusiónyluegoseloenvíenaltutorparasuvaloración:
Enlace:Laingenieríaeconómicayloscriteriosdeevaluaciónenproyectosdeinversión
domingo, 4 de marzo de 2012 Etiquetas: Alternativas de inversion, Criterios de decisión, DECISIONES, Evaluación, Flujos de
Efectivo,INGENIERIAECONOMICA,Proyectosdeinversion0comentarios
102 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
2.VALORDELDINEROENELTIEMPO
(GradientesAritméticoyGeométricoysurelaciónconelPresente)
Losproyectosdeinversióngeneranflujodeefectivoodisminuyenciertacantidadconstantecadaperiodo.
Esposible,también,quedichosproyectosgenerenflujosqueseincrementenenciertoporcentajeconstantecada
periodo.
Porlotanto,paralaIngenieríaEconómicasedefineelGRADIENTEcomolarazóndeCrecimientoConstanteen
CantidadoPorcentaje.
• GradienteAritmético
Se representa porG y se denominaGradienteAritmético oGradienteUniforme, se denomina de esta forma
porqueunaseriedeflujosdecajadadaaumentaodisminuyedeformauniforme.
Nota1:LacuantíadelaumentooladisminucióneselGradiente.
Nota2:Bienseaingresoodesembolso,cambiaenlamismacantidadcadaaño
ParaelGradienteAritméticosedaque:
• Cadapagoesigualalanteriormásunaconstante.
• SilaconstanteespositivaelGradienteseráCreciente.
• SilaconstanteesnegativaelGradienteseráDecreciente.
• SilaconstanteesigualaCero,todoslospagosseránigualesylaserieseconvertiríaenuna
Anualidad.
Nota:EnunGradientetodoslospagossondiferentes,porlotanto,sedalanecesidaddediferenciarunpagodel
otroparaelefectoseprocederádelasiguientemanera:
Lospagosserepresentarándelasiguienteforma:
Seanl7 los7pagosarealizary∑laconstantedeterminada,setieneentoncesque:
Primerpago:l$
Segundopago:l2 = l$ + ∑Tercerpago:l& = l2 + ∑ = l$ + 2∑
103 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Cuartopago:l! = l& + ∑Perol& = l$ + 2∑entonces:l! = l$ + &∑
Pagoenésimo(l7)estádadopor:
l7 = l7|$ + ∑ = l$ + 7 − $ ∗ ∑Porlotanto,elúltimotérminoestádadopor:
l7 = l$ + 7 − $ ∗ ∑
4.6.1 EJERCICIO DE APRENDIZAJE 1. RealizarlagráficadeunGradienteAritméticode6pagosconprimeracuotade$1.000.000y
a. Crecimientode$30.000,y
b. Decrecienteen$30.000
• Gráficamente:
a. Crecimientode$30.000
$1.150.000 $1.120.000 $1.090.000 $1.060.000 $1.030.000 $ 1.000.000 0 1 2 3 4 5 6
104 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
b. Decrecimiento$30.000
$ 1.000.000 $ 970.000 $ 940.000 $ 910.000 $ 880.000 $ 850.000 0 1 2 3 4 5 6 Nota: El valor del Gradiente puede ser positivo o Negativo. Cuando se pasa la línea de tiempo el valor sería negativo éste se indica colocándolo debajo de dicha línea.
Porejemplo:
RealizarlagráficadeunGradienteAritméticode6pagosconprimeracuotade$100.000ydecrecienteen$25.000.
Gráficamentesetendría:
$ 100.000 $ 75.000 $ 50.000 $ 25.000 0 0 1 2 3 4 5 6 $25.000
105 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Engeneral,larepresentacióngráficaestaríadadapor:
FÓRMULA DEL VALOR PRESENTE Tomadade:http://www.monografias.com/trabajos104/gradientes/gradientes.shtml#ixzz3lp7bdgzW
• EcuaciónparacalcularelValorPresenteenfuncióndelGradienteAritmético
Estaecuaciónestádadaporlasiguienteexpresión:
jk = ∏$P
($ + P)7 − $P − 7
$($ + P)7 ∗∗∗
Donde:
jk: }@πT=W=989>?9
∏: ∫=@<C9>?9®=C?Aé?CXTP: Ö>?9=é87:ªúA9=T<9W9=CT<T8
• EcuaciónparacalcularelValorFuturoenfuncióndelGradienteAritmético
Teniendopresentequeelvalorpresenteenfuncióndelvalorfuturoestádadopor:
106 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
jk =jx
($+ P)7
Reemplazandoenlaecuación(***)anteriorysimplificando(expresionesencoloramarillo)setieneque:
jx
($+ P)7= ∏ $
P($+ P)7 −$
P −7 $($+ P)7
jx = ∏ $P
($+P)7−$P −7 *
jx: }@πT=º;?;=T
∏: ∫=@<C9>?9®=C?Aé?CXT
P: Ö>?9=é8
7:ªúA9=T<9W9=CT<T8
• CálculodeunaAnualidad(A)dadounGradiente(G)
ElValorFuturoenfuncióndeunaAnualidadestádadopor:
jx = â (${P)7|$P
,igualandoconlaecuación*yrealizandolosprocesosaritméticoscorrespondientesse
tieneque:
â = ∏$P −
7($ + P)7 − $
107 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
4.6.2 EJERCICIO DE APRENDIZAJE Referenciadode:PDF]SeriedeGradiente(GeométricoyAritmético)ysu...-ClaseV
clasev.net/v2/pluginfile.php/79893/mod_resource/.../1/gradientes.pdf
(CálculodeGradienteysuraciónconelvalorpresenteyelvalorfuturo)
1. Unapersonadepositaenunacuentadeahorrosunacantidadanualquevadisminuyendoaunacantidad
constantede$500.000poraño.Lamagnituddelprimerdepósitoquesehaceesde$10.000.000yel
últimode$5.500.000.Sienlacuentadeahorrosseganaun15%anual¿dequémagnituddebeserun
depósitoanualconstanteduranteelmismotiempoparaqueelmontoacumuladoseaelmismo?
Procedimiento
a. Datosdelproblema
∏ = $500.000â$ = $10.000.000P = 15%
7 = 10â = −®ü + ®Ω
b. Larepresentacióndelosflujosestádadapor:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
108 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
10
Nota:Lascifrasestándadasenmillonesdepesos
c. Analíticamenteyaplicandolasfórmulascorrespondientes,setieneque:
â = â$ + ∏$P −
7($ + P)7 − $
Reemplazandolosvaloresconocidos:
â = −$#. ###. ### + +##. ###$
#, $+ −$#
$ + #, $+ $# − $ = −d. &#d. !##d. Solución: Para que el monto acumulado sea el mismo se debe realizar un depósito anual de
$d.&#d.!##--------------------------------------------
2. Setieneunpréstamode$1.000.000a5añosparapagarloen5cuotasquesevanincrementandoel20%
anual,silatasadeinterésanualesdel30%.¿Cuáleselvalordeprimeraydelaúltimacuota?
Procedimiento:
a. Paracalcularlaprimeracuota,setendríalasiguienteexpresión:
æü = 1.000.0000.3 − 0.2
1 − (1 + 0.21 + 0.3)ø= $303.190
Solución:Elvalordelaprimeracuotasería:$303.190
b. Paracalcularlaúltimacuota,setendríalasiguienteexpresión:
æø = 303.190(1 + 0.2)ø|ü = $628.695
109 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Solución:Elvalordelaúltimacuotasería:$628.695
c. ¿Cuáleselsaldounavezserealizaelpagodelaterceracuota?
Tabladedatos:
P = 2#%
jk = $$. ###. ###7 = +wsMJ4rP = &#%
l$ = $&#&. $"#á& =¿ ? á4tOMOKrksérOKt4JK3wK34wsMJ4
Procedimiento:
Paracalcularestesaldoseutilizalaexpresióndadapor:
á& = &#&. $"# ∗ $ + #. 2 &$ − $ + #. 2
$ + #. &+|&
#. & − #. 2 = $))+. &"#, 2&
Solución:Elsaldodespuésdelpagodelaterceracuotaesde:$))+. &"#, 2&
--------------------------------------------
• GradienteGeométrico
Endeterminadasocasioneslosflujosdecajacambianenporcentajesconstantesparaperiodosconsecutivosde
pagoenvezdeaumentosconstantesdedinero,denominandoaestetipodeflujodecaja:FlujosdetipoGradiente
GeométricooSeriesenEscalera.
Definición
SeentiendeporGradienteGeométricoaunaseriedepagosdondecadapagorealizadooarealizaresigualal
anterior,peromultiplicadoporunaconstantedeterminadapor1+G
Nota1:SiGespositivoelgradienteserácreciente.
110 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Nota2:SiGesnegativoelgradienteserádecreciente.
Nota3:SiG=0elgradienteseconvierteenunaanualidad.
Nota4:AlosporcentajesconstantesesloquesellamaGradienteGeométrico
Gráficamenteserepresentaría,enformageneral,delasiguientemaner
0 1 2 3 4 n-1 n
| | | | | | |
A
â(P + ∏)
â(P + ∏)2
â(P + ∏)&
â(P + ∏)7|2
â(P + ∏)7|$
• EcuacionesparaGradienteGeométrico
Leermás:http://www.monografias.com/trabajos104/gradientes/gradientes.shtml#ixzz3lp7bdgzW
ParaestetipodeGradiente,lospagosestándeterminadosdelasiguienteforma:
• PrimerPago:l$
111 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
• Elsegundopago:l2 = l$ $ + ∏
• Eltercerpago:l& = l2 $ + ∏ = 2l$ $ + ∏
• Elúltimopago(pagoenésimo):
l7 = l7|$ $ + ∏ = l$(7 − $)($ + ∏)
Tomando la siguiente ecuación y realizando las diferentes transformaciones sobre ella se obtendrán las
ecuacionesparadeterminarelValorPresenteyelValorFuturoenfuncióndelGradienteGeométrico:
• ValorPresenteparaelgradienteGeométrico
jk =l[ $ + ∏ 7 $ + P |7 − $]$ + P [ $ + ∏ $ + P |$ − $] =
l[ $ + ∏ 7 $ + P |7 − $][ $ + ∏ − ($ + P)
Entonces,simplificandoeneldenominador,setieneque:
jk =l[ $ + ∏ 7 $ + P |7 − $]
∏ − P rP∏ ≠ P
Obteniendo,despuésdelastransformacionesrealizadaslasiguienteecuación:
jk = l[7 $ + P 7 $ + P |7] → jk =l(7)$ + P
Nota:Cuando∏ = Pse presenta una indeterminación, que puede ser removida usando la regla de L'opital y
derivandoconrespectoaP,estoes:
jk =l(7)$ + P rP∏ = P
• ValorFuturoparaelgradienteGeométrico
Para calcularelValor Futurojx deesta serieGradiente semultiplicaa ambos ladosde laecuacióndelValor
Presente por el factor $ + P ∗ 7, que convierte un pago único presente,jk, en un pago único futuro,jx,equivalente,estoes:
112 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
}~ = æü(1 + C)û − 1 + ∫)û
C − ∫ , X;@><TC ≠
SisetienequeP = ∏ → jx =l$${P
×7×($ + P)7oloqueeslomismo:
jx = l$×7×($ + P)7|$
ComoP = ∏jx = l$×7×($ + ∏)7|$
Nota:Cuandosedaelsiguientelímite:
jk =l
∏ − P) tPL(7→√
$ + ¨$ + P )
7 − $
Esdesumaimportanciaanalizareltérminodadopor:
($ + ∏$ + P )
7
Setienendossituaciones,quesedebendefinirclaramente:
Cuando∏ > P:
Elnumeradorsevuelvemayorqueeldenominador,estoimplicaquelafracciónsehacemayorque1,porlotantoalevaluarel límiteéstetiendea infinito,hablandomatemáticamente;perosi∏eselporcentajedeincrementoePeslatasadeinterés,sedaríaquesi:∏ > Pseríanecesariounpresenteinfinitoparalograr,enteoría,incrementosenelpagomayoresqueelrendimientodelainversiónalatasaP.
Cuando∏ < P:
Elnumeradorsehacemenorqueeldenominador, lafracciónportantoserámenorque1y,por lotanto,
elevadoalapotencia7tenderíaa0,matemáticamentehablando;sinembargo,analizandoque∫ esel
porcentaje de incremento y queP es la tasa de interés, se observa que si∏ < Pes posible con los
113 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
rendimientos de la inversión P (Valor Presente) a la tasa P efectuar pagos que se incrementan en un
porcentaje∫ .Ahorabiensi∫ esmenorquePsetieneque:
}° =æ
∫ − C)× 0 − 1 = −æ
(∫ − Ö)
Multiplicandoporelsignomenosindicadoenlaexpresiónsetiene:
}° =æ
(Ö − ∫)
Cuando∏ = P:
Enestecasodebeevaluarseelpresenteconlaexpresión
jk =l×7$ + P
Donde es fácil notar que cuando7 tiende a infinito el valor presente también seráinfinito.
Nota: Solo será posible determinar el valor presente de un gradiente geométrico infinito cuando∫ (el
porcentajedeincremento)seamenorqueP(latasadeinterésalacualserealizalainversión).
Acontinuación,encontrarásdográficosqueteayudaránacomprender,enformaclara,elconceptode
GradienteGeométrico(tantoenformaCrecientecomoDecreciente):
• Crecientes:Formageneral:
La serie gradiente uniforme geométrica es un sistema de amortización equivalente, donde las cuotas se
incrementansucesivamenteenunporcentajedeterminado.
114 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
TG= Valor del gradiente geométrico, es la variación en porcentaje entre dos cuotas sucesivas (se puede
representarporGúnicamente).
• Decrecientes:Formageneral
Estaseriesecaracterizaporiniciarpagandocuotasmásaltas(másaltasquelascuotasdelaserieuniforme)que
vandisminuyendoenunporcentajedevalorG,valordelgradienteporcentual.Elmontodelosinteresespagados
esproporcionalmentebajo,porquelaamortizaciónacapitalserealizarápido.
Nota:Lasecuacionesdelaseriegradientecrecienteseaplicananálogamente,ladiferenciaradicaenelsentido
delsignodelvalorgradienteG:
• CuandoelgradienteescrecienteGespositivo,y
• CuandoelgradienteesdecrecienteGesnegativo.
Estegradientedecrecienteserepresenta,enformageneral,delasiguientemanera:
115 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
TomadodeUniformesGeométricasCrecientesydecrecientes–SEDE…
www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/.../SGUG.htm
4.6.3 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE Problemas referenciados de: http://www.monografias.com/trabajos29/6-llaves-maestras-matematicas-financieras/6-llaves-maestras-matematicas-financieras.shtml#ixzz3mUlU0xiO
1. Sedeseaconocercuántosedebedepositarenunbancoquepagael18%deinterés,parasolventarpor
tiempoindefinidolosgastosanualesdemantenimientodelacarreteradeaccesoalafinca,estimadosen
$1.000.000paraelprimerañoyqueaumentaen$200.000cadaaño.
Procedimiento:
TabladeDatos
P = 2#% = #. $d
116 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
i = $+##. ###
∏ = $+#. ###
jâ =¿ ?Sedebecalcularelvalorhoy,parasufragarelgastoatiempoindefinidoparaelmantenimientodelacarretera,
estosedaaplicandolasiguienteexpresión:
jâ =$. ###. ###
#. $d +2##. ###(#. $d)2 → jâ = $$. )2d. &"h
Elmontoquesedebedepositareldíadehoyesde$$$. )2d. &"h
2. ¿Cuáleselvaloractualdeuncréditoalal3?5%mensualquedebepagarseen12cuotasde$600.000cada
una,sicadacuatromesesaumentanen6%?
Procedimiento:
TabladeDatos
P = &, +% = #. #&+
isMJ4 = $h##. ###
7 =$2& = !
∏ = #, #h
jâ =¿ ?
Nota:Elcréditoespagadoen12cuotasanticipadas,lascualescadacuatromesestienenunincrementodel6%,
generandolossiguientesflujos:
�ü…ù = 600.000�ø…ƒ = 600.000 ∗ 1.06 = 636.000
117 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
�≈…üú = 636.000 ∗ 1.06 = 674.160Deloanterior,tenemoslosiguiente:
Enlaprimeraserieesuncasodeseriesuniformesavaloractual.
Lasdosúltimasseriescorrespondenagradientesgeométricos.
Por lo tanto,paraobtenerelvalorpedidoen laoperación financierasedebencombinar lascorrespondientes
fórmulas,estoes:
jâ = h##. ### ∗ $,#&+!|$#,#&+∗$,#&+!
+h##.### $,#h!
$,#&+!|$
#,#h|#,#&++
h&h. ### $, #h!$, #&+! − $
#, #h − #, #&+ = ). $+h. +!#
2. 2#&. d+# + 2!#!. 22# + 2. +d). !)# = $). $+h. +!#
Comosetratadecuotasanticipadasoprepagableseljâobtenidosemultiplicapor $ + P ,entonces:jâ = ). $+h. +!# ∗ $. #&+ = $). !#). #$#
Solución:Elvaloractualdelcréditoprepagableesde$). !#). #$#
3. 10empleadosdeunaempresareciéningresadosalamismapiensanasociarseycrearunfondodeahorros
mensualesde tal formaqueal llegar a sus5 añosde trabajoendichaempresaposeanun capital de
$10'000.000conelpropósitodeiniciarsuspropiosproyectosdeemprendimientoenconstruirsupropia
empresa.Sus ingresos lespermiten incrementarelahorromensualenun2%y laentidadbancaria les
ofreceun interésmensualdel2.5%.¿Cuántodeberá serel ahorromensual inicialdecadaunode los
empleados?
Procedimiento:
jq = $$##. ###. ###
∏ = 2%LK7rs4t
118 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
P = 2. +%LK7rs4t
7 = h#LKrKr
jâ =¿ ?Pararesolveresteproblemaseutilizarálaexpresióndeterminadapor:
jâ = $##. ###. ###(#, #2+ − #, #2)
($ + #, #2+)h# − ($ + #, #2)h# →
jâ = $!!h. !2d, +)
Porlotantolacuotaindividualquedebeaportarcadaunodelos10sociosestádadapor:
jâü¢=$!!h.!2d,+)
ü¢=$!!. h!2, dh
4. Acontinuación,encontrarásunproblemadeGradientesmontadoenExcelparaqueloanalicesytrates
deutilizaresteprocedimientocomounasoluciónprácticaentusprocedimientos:
TOMADO DE: CAPÍTULO XII DEL TEXTO: MANUAL DE MATEMÁTICA FINANCIERA; CARLOS ALIAGA
"AnualidadesconGradientesAritméticasyGeométricas"
Paraunproyectoquetieneunavidaútilde10añossehaestimadoqueelprimerflujodecajaanualseadeS/.
10,000.00 y los siguientes flujos anuales experimentarán una razón de crecimiento geométrico de 1.15.
Calcularelvalorpresentedeestosflujosdecajaconsiderandoqueelcostodeoportunidaddelcapitalesdel
15%.
nperiodosde
actualización
rentascon
gradiente
valor
presente
cargadedatos
tasadeinterés
0 15%
1 1 10.000,00 8695,65
2 2 11.500,00 8695,65 gradiente(G)
119 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
3 3 13.225,00 8695,65 15%
4 4 15.208,75 8695,65
5 5 17.490,06 8695,65 cuotabase(R)
6 6 20.113,57 8695,65 10.000,00
7 7 23.130,61 8695,65
8 8 26.600,20 8695,65
9 9 30.590,23 8695,65
10 10 35.178,76 8695,65
suma= 86.956,5217
120 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
5 PISTAS DE APRENDIZAJE
TENGA PRESENTE: CUANDO, EN UN PROBLEMA NOS DAN EL MONTO O LA DIFERENCIA, PARA HALLAR LA BASE O EL PORCENTAJE, CONOCIDO TAMBIÉN EL TANTO POR CIENTO.
Recuerdeque:Laregladeinterésesunaoperaciónpormediodelacualsehallalagananciaointerésqueproduce
unasumadedineroocapital,prestadoauntantoporcientodadoyduranteuntiempodeterminado;También,
puede decirse, que es la compensación que recibe el capital por su uso o por su cesión a otra persona. Se
representaporC(interés).
Tengapresenteque:Alcalcularelinterés,quetantolatasadeinteréscomoeltiempo,debenquedarreducidos
alamismabase,esdecir,silatasaestádadamensualmenteyeltiempoenañossedebenconvertirlosañosa
mesesoviceversa,pararesolverproblemassinningúncontratiempoodificultadqueconllevenalerror.
Recuerde que: Una operación financiera semaneja bajo el concepto de interés simple, cuando los intereses
liquidadosnosesumanperiódicamentealcapital,esdecirlosinteresesnodevenganintereses.
Recuerdeque:UnDiagramaEconómicoconsisteenlarepresentacióngráficadelproblemafinanciero,quenos
permitevisualizarloyhacerunadefiniciónyunanálisiscorrectodelascondicionesparatransferiromanejarel
dinero.
Recuerdeque:Undiagramaeconómicoconstadelossiguienteselementos:
• Líneasdetiempo:esunalíneahorizontaldondeserepresentantodos losperiodosenloscualesseha
divididoeltiempoparaefectosdelatasadeinterés.
• FlujodeCaja:serepresentaconunasflechashaciaarribayotrashaciaabajo(ingresos-egresos).
TasadeInterés.
Recuerdeque;
INTERÉSCOMPUESTO:Eselqueproduceuncapitalquecambiaalfinaldecadaperíodo,debidoaquelosintereses
seadicionanalcapital,paraformarunnuevocapital;esdecir:
Secalculaelinteréssobreelmontoanterior,paraformarunnuevomonto.
121 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Recuerdeque:
• LaCapitalizaciónesunprocesoenelcuallosinteresesquesecausanenunperíodosesumanalcapital
anterior.
• PeríododeCapitalización:Períodopactadoparaconvertirelinterésencapital.
Traigaalamemoriaque:Tambiénsepuededecir,queelinterésescompuesto,cuando:
• Losinteresesqueproduceelcapitalsesumanaéste,alfinaldecadaperíododetiempo,
• Formandodeestemodounnuevocapital.
• Esdecir,losinteresesproducennuevosintereses.
Recuerdeque:
d. LasCaracterísticasdelaTasaNominalson:
• Siempreseráunatasadeinterésanual,
• Sepuededividirporlafrecuenciadecapitalizaciónparaobtenerlatasaperiódica,osealaqueseliquidaen
cadaperíododelaño.
• Sólosirveparasaberquetasadeinterésperiódicosevaaliquidar.
e. LasCaracterísticasdelaTasadeInterésEfectivason:• Todatasadeinterésperiódicaesefectiva.
• •Nosepuededividir.
• •Semidedentrodeunperiododeunaño.
• •Puedeserperiódicaotasadeinterésefectivaanual.
Sinoseespecificaquelatasadeinterésesefectiva,sedebesuponerqueesunatasadeinterésnominalyque
partiendodeéstasellegaráaunaefectiva.
• Recuerdecomosedanlosperiodos:
•
122 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
PERIODO VENCIDO LECTURA ANTICIPADO LECTURA
MES MV MesVencido MA MesAnticipado
BIMESTRE BV BimestreVencido BA BimestreAnticipado
TRIMESTRE TV TrimestreVencido TA TrimestreAnticipado
SEMESTRE SV SemestreVencido SA SemestreAnticipado
AÑO AV AñoVencido AA AñoAnticipado
• Recuerdeque:Silatasaescapitalizable,necesariamentesetratadeunatasanominal,yaquelasefectivas
nosecapitalizan,sinoquesonlasqueresultanalcapitalizarlasnominales.
• Recuerdeque:El términocapitalizabletienequevercon los interesescausadosporperíodoquese le
agreganalcapital.Elperiodopuedeser(diario-mensual-trimestral,semestral,anual).
• Tengapresenteque:Paranotenerquehallarprimeroelvalorfuturodeuncapital,despejarlosintereses
ydividirloporelvalorpresenteysaberquetasade interésefectivase liquida,seutilizará lasiguiente
Expresión:
%Öß = 1 + ÖW)û − 1 ∗ 100
• Recuerdeque:
LasCaracterísticasdelaTasaNominalson:
• Siempreseráunatasadeinterésanual,
• Sepuededividirporlafrecuenciadecapitalizaciónparaobtenerlatasaperiódica,osealaqueseliquida
encadaperíododelaño.
• Sólosirveparasaberquetasadeinterésperiódicosevaaliquidar.
LasCaracterísticasdelaTasadeInterésEfectivason:
123 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
• Todatasadeinterésperiódicaesefectiva.
• Nosepuededividir.
• Semidedentrodeunperiododeunaño.
• Puedeserperiódicaotasadeinterésefectivaanual.
Sinoseespecificaquelatasadeinterésesefectiva,sedebesuponerqueesunatasadeinterésnominalyque
partiendodeéstasellegaráaunaefectiva.
• Recuerdeque:Elcálculodelatasaefectivaapartirdelatasanominalanticipada,estádadapor:
P =P4
$ − P4
Dónde:P4: N4r47MLP74t47JPwPk4O4
P = N4r4zK7wPO4
• Tengapresenteque:silatasadeinterésanticipadaesmensual,alreemplazarlaenlaanteriorexpresión,
seobtienelatasadeinterésvencidamensual.
• Recuerdeque:Elprincipiofundamentaldeunaecuacióndevalorestableceque:
áOKsO4r = ák4¨Mr K7t4xx
á4wJPzMr = ák4rPzMr + i4kPJ4t K7t4xx
NOTAS IMPORTANTES
NOTA1 Siel trasladodecualquiervalor (Ingresos-Egresos)estádadoantesde la fecha focal,
entoncessedebellevarasuvalorfuturo.
NOTA2 Sielvalorestáenunafechaposterioralafocal,sedebetrasladaraéstapormediodel
124 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
factordelvalorpresente.
NOTA3 Losprincipiosexpuestosanteriormenteparalasecuacionesdevalorsonválidoscuando
seplanteanenInterésSimpleyenInterésCompuesto;loscambiosqueocurrensoncon
respectoalaaplicacióndelasfórmulas.
Recuerdeque:
1. CuandoeljRäesmayorquecerolaalternativasedebeACEPTAR.
jRä > # → âwKkJ43
2. CuandoeljRäesigualaceroesindiferenteaceptaronolaalternativa.
jRä = # → n7OPxK3K7JK
3. CuandoeljRäesmenorquecerolaalternativasedeberechazar.
jRä < # → lKw∂4543
Recuerdeque:
SedefinelaTIRcomolatasadeinterésquehaceeljRä = #,esdecir,elvalorpresentedelosflujosdescontadosseaigualalainversióninicial.
Recuerdeque:CuandosehabladeIngenieríaEconómica,seestáhablandodeunaevaluaciónovaloracióndelos
resultadoseconómicosobtenidosdelassolucionessugeridasdesdelaingeniería,estoes,lasdecisionesquese
toman y aconsejan desde su labor para lograr que una empresa sea altamente rentable y competitiva en el
mercadoeconómico.
Tengapresenteque:Latomadedecisionesbasadaenlascomparacioneseconómicasdelasdistintasalternativas
deinversión.
Recuerdeque:Paraquepuedanaprobarseenloeconómico,lasresolucionesdelosproblemasdebenimpulsarun
balancepositivodelrendimientoalargoplazo,enrelaciónconloscostosalargoplazoytambiéndebenpromover
elbienestarylaconservacióndeunaorganización,construiruncuerpodetécnicaseideascreativasyrenovadoras,
permitir la fidelidad y la comprobación de los resultados que se esperan y llevar una idea hasta las últimas
consecuenciasenfinesdeunbuenrendimiento(Sullivanetal.,2004,p.3).
125 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
Traigaalamemoriaque:Lafactibilidadeconómicadeunproyectotienequeverconlosbeneficiosdeinversión
derecursoseconómicosenunaalternativadeterminada,sinimportarlafuentedeestosrecursos.
Tengapresenteque:Paraladefinicióndelproblemasedebenconsiderarlossiguienteselementos:
a. Comprensióndelproblemaydefinicióndelobjetivo.
b. Recopilacióndeinformaciónrelevante.
c. Definicióndeposiblessolucionesalternativasyrealizacióndeestimacionesrealistas.
d. Identificacióndecriteriosparalatomadedecisiones.
e. Evaluacióndecadaalternativaaplicandounanálisisdesensibilidad.
f. Eleccióndelamejoralternativa.
g. Implantarlasolución.
h. Vigilarlosresultados.
PISTAS DE APRENDIZAJE
Recuerdeque:CuandosehabladeIngenieríaEconómica,seestáhablandodeunaevaluaciónovaloraciónde
losresultadoseconómicosobtenidosdelassolucionessugeridasdesdelaingeniería,estoes,lasdecisionesque
setomanyaconsejandesdesulaborparalograrqueunaempresaseaaltamenterentableycompetitivaenel
mercadoeconómico.
Tengapresenteque:Latomadedecisionesbasadaenlascomparacioneseconómicasdelasdistintasalternativas
deinversión.
Recuerdeque:Paraquepuedanaprobarseenloeconómico,lasresolucionesdelosproblemasdebenimpulsarun
balancepositivodelrendimientoalargoplazo,enrelaciónconloscostosalargoplazoytambiéndebenpromover
elbienestarylaconservacióndeunaorganización,construiruncuerpodetécnicaseideascreativasyrenovadoras,
permitir la fidelidad y la comprobación de los resultados que se esperan y llevar una idea hasta las últimas
consecuenciasenfinesdeunbuenrendimiento(Sullivanetal.,2004,p.3).
Traigaalamemoriaque:Lafactibilidadeconómicadeunproyectotienequeverconlosbeneficiosdeinversión
derecursoseconómicosenunaalternativadeterminada,sinimportarlafuentedeestosrecursos.
Tengapresenteque:Paraladefinicióndelproblemasedebenconsiderarlossiguienteselementos:
126 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
a. Comprensióndelproblemaydefinicióndelobjetivo.
b. Recopilacióndeinformaciónrelevante.
c. Definicióndeposiblessolucionesalternativasyrealizacióndeestimacionesrealistas.
d. Identificacióndecriteriosparalatomadedecisiones.
e. Evaluacióndecadaalternativaaplicandounanálisisdesensibilidad.
f. Eleccióndelamejoralternativa.
g. Implantarlasolución.
h. Vigilarlosresultados.
5.1.1 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO
1. Elaborarunatablaparaamortizarlasumade$100.000.000en4pagos,suponiendounatasaefectivadel
8%:
• a)Concrecimientogeométricodelacuotaen10%
• b)Condecrecimientogeométricodelacuotaen-10%
DedondeelprimerpagoestádadoporR1=$26.261.470
PER. SALDODEUDA INTERESES PAGO AMORTIZACION
0 100.000.000 -- -- --
1
2
3
4
b)Dedondeseobtieneque:
PER. SALDODEUDA INTERESES PAGO AMORTIZACION
0 100.000.000.00 -- -- --
1
127 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
2
3
4
2. Cuántodebecrecerlinealmenteunaseriede8pagos,efectuadosalfinaldecadaperíodoycuyoprimer
pagoesde$600.000paraque,puestaenvalorpresente,seaequivalenteaunaseriede10pagosque
crecengeométricamenteenun25%ycuyoprimerpagoesde$100.000?Supongaunatasadel2%efectivo
paraelperíodo.
3. Sehacendepósitostrimestralescrecientesenun5%,enunacuentaquepagael5.25%efectivotrimestral,
conelfindetenerdisponibles$500.000.000elprimerodeenerode2011.Sielprimerdepósitosehace
elprimerodeabrilde2008yelúltimoelprimerodejulio2010,determinarelvalordelprimerdepósito.
4. Hallarelvalorpresentedeunaserieinfinitadepagosquecrecenun8%,silatasadeinterésesdel25%y
elprimerpagoes$300.000(Significaque,sicolocamos$3.000al25%podremoshacerinfinitonúmero
deretiroscrecientes,enun8%,conunprimerretirode$300).
128 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
6 GLOSARIO 1. Diagramaeconómico:Consisteen la representacióngráficadelproblema financiero,quenospermite
visualizarloyhacerunadefiniciónyunanálisiscorrectodelascondicionesparatransferiromanejarel
dinero.
2. TasadeInterés:Latasadeinterés(i)eslarelaciónentreloquerecibedeinterés(I)ylacantidadinicial
invertida(p).Estaseexpresaenformaporcentual
3. ValorFuturoaInterésSimple:Sedicequeunaoperaciónfinancierasemanejabajoelconceptodeinterés
simple,cuandolosinteresesliquidadosnosesumanperiódicamentealcapital,esdecirlosinteresesno
devenganintereses.
4. El interéscompuesto (llamado interés sobre intereses),esaquelqueal finaldelperíodocapitaliza los
interesescausadosenelperiodoanterior,esdecir,elcapitalvarioal finaldecadaperiodoporque los
interesesobtenidosseleadicionanalcapitalobteniendoasíunnuevocapitalysobreestesecalculanlos
próximosintereses.
5. Capitalización:Esunprocesoenelcual los interesesquesecausanenunperíodosesumanalcapital
anterior.
6. Valor futuro a interés compuesto: Consiste el calcular el valor equivalente de una cantidad P (capital
inicial)despuésdeestarganandointeresespornperíodosaunatasadeinterés(i).
7. Tasadeinterésefectiva:Comosunombrelodiceeslatasaqueefectivamenteseestápagando(Ahorros)
oqueefectivamenteseestácobrando(Créditos).Estosisuponemosquealfinaldecadaperíododelpago
deintereses,reinvertimosoprestamoselmismocapital,máslosinteresesquegénero.
129 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TRANSVERSAL
7 BIBLIOGRAFÍA • ÁlvarezArangoAlberto.MatemáticasFinancieras–McGrawHillTerceraedición—Bogotá.2009.
• Villalobos José Luis, Lecuona Valenzuela Patricia Fernández Molina Alberto Santiago Robles Reyes
Ricardo.Matemáticasfinancieras.PearsonEducación,2001
• MezaOrozcoJhonnydeJesús.MatemáticasFinancierasUsodelascalculadorasfinancierasprácticascon
Excel.ECOEEdiciones.TerceraEdición.
• BACA,Guillermo.IngenieríaEconómica.7ed.,FondoEducativaPanamericana,2002
• García,JaimeA.MatemáticasFinancieras,TerceraEdición.,PrenticeHall,1998.
• García,OscarLeón.AdministraciónFinanciera.TerceraEdición.EditorialEAFIT,1999.
• Ortiz,Alberto.GerenciaFinanciera.McGrawHill,1998
• MONTOYA,DurangoLeonel. ManualdeMatemáticas Financieras.10edición.Medellín:Multigráficas,
1998.220p
FuentesDigitales
• www.gerencie.com/resumen-matematica-financiera.html
• www.gerencie.com/funciones-sobre-gradientes-personalizadas-en-excel.html
• www.actualicese.com/actualidad/2008/10/16/tipos-de-credito-tasas-de-interes-y-su-normatividad/ -
82k–
• www.gestiopolis.com/dirgp/fin/matyevaluacion.htm
• www.gestiopolis.com/.../simulador-de-matematicas-financieras-y-sus-operaciones-basicas.htm
• www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/24/tir1.htm
• www.gestiopolis.com/recursos5/docs/fin/seisllav
• ¿QuéeslaIngenieríaEconómica?
www.fao.org/docrep/003/v8490s/v8490s02.htm
• Laingenieríaeconómica:Generalidades-Monografias.com
www.monografias.com›Economi
• ConceptosBásicosdeIngenieriaEconómica-SlideShare
es.slideshare.net/JoeloRoss/conceptos-basicos-de-ingenieria-economica
• Quéeslaingenieríaeconómica-ConocimientosWeb
www.conocimientosweb.net/portal/article2494.html
• IngenieríaeconómicadeDeGarmo
https://books.google.com.co/books?isbn=9702605296