MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I · PDF fileDivisión de un polinomio por x-a. Regla de Rufini. Teorema del resto. Factorización de un polinomio. Ecuación de primer

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

1. Número reales

Operaciones, valor absoluto. Números irracionales. Los números reales. La recta real. Intervalos y semirrectas. Valor absoluto de un número real. Radicales. Propiedades. Expresión decimal aproximada. Errores. Notación científica. Logaritmos. Propiedades.

2. Aritmética Mercantil

Aumentos y disminuciones porcentuales. Cálculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final. Intereses bancarios. ¿Qué es la “tasa anual equivalente” (T.A.E.)? Amortización de préstamos. Progresiones geométricas. Cálculo de anualidades o mensualidades para amortizar deudas.

3. Polinomios. Ecuaciones de primer y segundo grado. Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Operaciones con polinomios. Raíz de un polinomio. Cálculo del valor numérico de un polinomio. División de un polinomio por x-a. Regla de Rufini. Teorema del resto. Factorización de un polinomio. Ecuación de primer grado. Ecuación de segundo grado. Problemas de enunciado. Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución, interpretación gráfica. Sistemas de inecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Resolución, interpretación gráfica.

FUNCIONES

4. Funciones elementales

Concepto de función. Dominio de definición de una función. Funciones lineal y cuadrática. Valor absoluto de una función. Composición de funciones. Función inversa o recíproca de otra. Algunas transformaciones de funciones. Funciones de proporcionalidad inversa. Funciones potenciales. Interpolación lineal y cuadrática.

5. Funciones Exponenciales, logarítmicas trigonométricas

Logaritmos, definición, propiedades, ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Funciones exponencial y logarítmica. Propiedades y Graficas. Las funciones seno, coseno y tangente. Propiedades y Graficas. Funciones periódicas sencillas. Funciones definidas "a trozos".

6. Limites. Continuidad

Límite de una función en un punto. Cálculo de límites. Comportamiento de una función cuando x . Cálculo de límites. Ramas infinitas. Asíntotas. Ramas infinitas en las funciones exponenciales y logarítmicas. Discontinuidades. Continuidad.

7. Derivadas. Aplicaciones

Tasa de variación de una función en un intervalo. Tasa de variación de una función en un punto. Derivada. Derivada de las funciones elementales. Reglas de derivación. Aplicaciones de a función derivada. Aproximación lineal de una función. Diferencial. Determinación de la variación de una función por el signo de su derivada. Máximos y mínimos. Determinación de la concavidad de una función por el signo de la segunda

derivada. Puntos de inflexión. Representación de polinomios y fracciones racionales conocidos sus puntos singulares.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

8. Estadística

Gráficos estadísticos. Barras e histogramas. Tablas de frecuencias. Parámetros estadísticos. Parámetros de centralización y dispersión: Media, moda, recorrido, percentiles, varianza, y desviación típica para datos aislados y agrupados. Desigualdad

de Chebyshev: 2( ) 1 1/P x k X x k k . Coeficiente de variación. Medidas de

posición en distribuciones dada por intervalos. Estadística descriptiva. Gráficos. Interpretación gráfica de un histograma: la distribución uniforme a trozos. Percentiles. Polígono de frecuencias acumuladas. Diagrama de caja y bigotes.

9. Variables bidimensionales

Tablas de doble entrada. Variables bidimensionales, variables marginales. Regresión lineal: La dependencia lineal entre las variables marginales. Recta de regresión: hay dos rectas de regresión. El método de los mínimos cuadrados. Ajuste de una recta a una nube de puntos, grado de ajuste. Correlación. Medida de la correlación. Interpretación de fenómenos sociales y económicos en los que intervengan dos variables.

10. Cálculo de probabilidades

Principio fundamental del recuento. Diagrama de árbol. Variaciones con y sin repetición. Permutaciones sin repetición. Factorial de un número. Números combinatorios. El binomio de Newton. Experimento aleatorio. Espacio muestral. Sucesos aleatorios. Operaciones. Ley de Laplace. Probabilidad del suceso contrario, de la unión de sucesos. Experimentos compuestos. Sucesos dependientes e independientes. Probabilidad condicionada. Probabilidad total

11. Distribuciones de probabilidad. Variable discreta

Distribuciones estadísticas. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. El modelo de Bernuilli. Función de probabilidad de la variable binomial. La función de distribución de la variable binomial. Ajuste de un conjunto de datos a una binomial.

12. Distribuciones de probabilidad. Variable Continua

Función de densidad de una variable continua. Distribución uniforme a trozos. La campana de Gauss y la variable normal. La distribución normal estándar. Tipificación de una variable. Manejo de la tabla de la función de distribución de la Normal típica para el cálculo de probabilidades. Teorema de Moivre: Aproximación de la distribución binomial por la normal (npq>5). Ajuste de un conjunto de datos a una normal -Recta de Henry-

CONOCIMIENTOS MÍNIMOS

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

CONTENIDOS DESTREZAS

Aritmética y Álgebra

Números reales, Operaciones con potencias y radicales, notación científica

Aritmética mercantil: interés simple y compuesto

Ecuación de primero y segundo grado.

Sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado.

Inecuaciones con una y dos incógnitas

Se requiere un manejo con soltura de estos conceptos.

Intereses, TAE, amortización de préstamos

Interpretación geométrica. Cálculo de las soluciones. Aplicación a la resolución de problemas de enunciado.

Planteo de problemas cuya solución puede ser una ecuación o un sistema donde intervienen ecuaciones de primer y segundo grado.

Funciones

Definición de función. Dominio. Composición de funciones.

El alumno debe conocer las gráficas de las funciones elementales y las funciones definidas a trozos a partir de estas.

Límites de funciones. Cálculo de límites.

Interpolación

Idea intuitiva de la noción de límite. Estudio gráfico de la continuidad. Asíntotas de una función.

Funciones exponencial y logarítmica. Gráfica de la función:

( 1, 0, 0)bxy a a b b

Manejar las propiedades de las potencias.

El logaritmo es la operación inversa de

la exponencial. ó logyaa x y x

Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

El logaritmo es sinónimo de exponente. Manejo de las propiedades:

log( ) log( ) log( )x y x y

log( / ) log( ) log( )x y x y

log( ) log( )nx n x

Cálculo diferencial

Derivada de una función en un punto. Aplicaciones.

Derivación de sumas, productos, cocientes, potencias de funciones elementales, incluyendo la regla de la cadena:

Gráficas de funciones

Pendiente de la recta tangente. Ecuación de la recta tangente.

dydz dz

dx dy dx

Funciones polinómicas y elementales

Estadística y Probabilidad

Calcular los estadístico fundamentales en variables unidimensionales y bidimensionales.

Representación gráfica de los datos estadísticos.

Cálculo de la recta de regresión, estimaciones.

Sucesos Aleatorios. Probabilidad

Probabilidad condicionada

Frecuencias absolutas y relativas. Media, mediana, percentiles, varianza, desviación típica, coeficiente de variación.

Covarianza, coeficiente de correlación lineal.

Ajustar una recta a una nube de puntos.

Uso de las rutinas estadísticas de la calculadora, para calcular los estadísticos de variable bidimensional, y la recta de regresión.

Distribuciones de probabilidad de variable discreta. Parámetros.

Modelo de probabilidad de Laplace.

Calcular probabilidades de ocurrencia de sucesos en poblaciones binomiales

La Distribución normal

Manejo del modelo de Bernouilli para la distribución Binomial, cálculo de probabilidades.

La variable z~ N(0,1). Tipificación de una variable normal. Manejo de tablas para el cálculo de las probabilidades

1

Aritmética y álgebra.

Ejercicio nº 1.- Indica cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales:

3 78,5 9 16 3 2 1,555…

6

Solución:

Naturales: 16

Enteros: 9; 16

7Racionales: 8,5; 9; 16; ; 1,555

6

Reales: Todos

Ejercicio nº 2.- Halla el valor de la siguiente expresión, utilizando la definición de logaritmo:

18116 55

34 logloglog

Solución:

5

140

5

4213418116 53

245

534

54

loglogloglogloglog

Ejercicio nº 3.- Calcula y simplifica al máximo:

96

a) 2781

48275b)

22

22c)

Solución:

3 55 2

4

96 27 96 3 2 3a) 27 2 2 2 4 2

81 81 3

31338353225348275b) 42

2

2232

246

24

2424

2222

2222

22

22c)

Ejercicio nº 4.- Una máquina, trabajando 8 horas diarias, tarda 3 días en fabricar 6 000 piezas. Calcula cuánto tardaría en fabricar 5 000 piezas si trabajara 10 horas diarias. Solución:

6 000 : 3 2 000 piezas diarias que fabrica trabajando 8 horas al día.

En un hora fabrica 2 000 : 8 250 piezas.

En diez horas fabrica 250 · 10 2 500 piezas.

En fabricar 5 000 tardará, si trabajara 10 horas diarias, 5 000 : 2 500 2 días. Ejercicio nº 5.-

El precio de un piso subió un 15 en el año 1998 y bajó un 20 en el 1999. Si su precio en el 2000 es de 225 000 euros, ¿cuál era su precio hace dos años? Di cuál es el índice de variación y explica su significado. Solución:

Índice de variación: 1,15 · 0,80 0,92

euros 22,5652440,92

000225 :años dos hace Precio

El índice de variación, 0,92, representa una disminución del 8 en el precio del piso. Ejercicio nº 6.-

Halla en cuánto se transforma un capital de 5 000 euros depositado durante 6 meses al 9 anual, si los períodos de capitalización son mensuales. Solución:

mensual. %75,012

9 a ecorrespond anual %9

Al cabo de seis meses se habrá transformado en:

5 000 · 1,00756 5 229,26 euros

Ejercicio nº 7.- Factoriza el polinomio:

xxxx 99 234

3

Solución: Sacamos factor común:

9999 23234 xxxxxxxx

1 1 –9 –9

3 3 12 9

1 4 3 0

–3 –3 –3

1 1 0

13399 234 xxxxxxxx

Ejercicio nº 8.- Efectúa estas operaciones y simplifica:

xx

x

x

x

x

x

2

22

1

1

Solución:

xxxx

xxxx

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

22

22

22

2

2

2

2

1221222122

1

1

Ejercicio nº 9.- Halla las soluciones de las ecuaciones:

2

1

3

1

6

2a)

xxx

22 6

3

3

1

4

5b)

xx

Solución:

2 1 1a)

6 3 2

x x x

2 22 3 3

6 6 6

xx x

2 2 2 3 3x x x

4

2 3 3 2 2x x x

2 7x

7

2x

2 2

5 1 3b)

34 6x x

2

2 2 2

15 4 6

12 12 12

x

x x x

215 4 6x

215 6 4x

29 4x

2

32

3

4

9

4

92

x

xxx

1 2

3 3Hay dos soluciones: ;

2 2x x

Ejercicio nº 10.- Resuelve estos sistemas:

a) 3 4 2 0

02 2

x x y

x y

2

b) 2 5 0

1

4

x y

xy x y

Solución:

a) 3 4 2 03 12 2 2 0 5 2 12

0 002 2

x x yx x y x y

x yx y x y y x

5 2 12 5 2 12 3 12 4x y x x x x

4y x y

La solución es: x 4; y 4

2 2

2 22

b) 2 5 0 2 5 02 5 0

1 14 4 1

4 4

x y x yx y

x xxy y xy x y xy y

5

2Despejamos de la primera ecuación: ; y sustituimos en la segunda:

5

xy y

2 2 2 2 22 2 22 2 8 4 8 16

4 4 1 4 1 15 5 5 25 5 25

x x x x x xx x x x

2 2 2 2 2 240 16 25 1 24 25 25 25 25 5x x x x x x x

2Calculamos el valor de sustituyendo en :

5

xy y

2 5Si 5 2

5x y

2 5Si 5 2

5x y

Las soluciones son:

1 1

2 2

5; 2

5; 2

x y

x y

Ejercicio nº 11.- La edad de un padre hace dos años era el triple de la edad de su hijo. Dentro de once años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Solución: Llamamos x a la edad actual del padre e y a la edad actual del hijo. Así:

Hace dos años, la edad del padre era el triple de la edad del hijo:

232 yx

Dentro de once años, el padre tendrá el doble de edad que el hijo:

11211 yx

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

2 3 2 2 3 6 3 4

11 2 2211 2 11

x y x y x y

x yx y

11 2 22 3 4 11 2 22 3 2 22 4 11 15x y y y y y y

3 4 45 4 41x y

El padre tiene 41 años y el hijo, 15 años.

6

Ejercicio nº 12.- Resuelve e interpreta gráficamente esta inecuación:

513 x Solución:

Resolvemos la inecuación:

3 1 5 3 6 3 6 2x x x x

22 : ,x/xSoluciones

La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 2, la recta y 3x 1, va por

encima de la recta y 5; es decir, 3x 1 5:

Ejercicio nº 13.- Para trabajar en el campo, se contratan dos cuadrilla de segadoras. Una de ellas corta un campo de trigo en 4 horas. Si trabajaran juntas tardarían 2 horas y 24 minutos. Calcula cuánto tardaría la otra cuadrilla en cortar el mismo campo. Solución:

1Si la primera cuadrilla tarda 4 horas en cortar el campo en 1 hora corta del campo

4

Ambas cuadrillas tardarían en cortar el campo 2 horas y 24 minutos:

24 2 122 2 hora

60 5 5

En 1 hora cortarían:

12 51: del campo

5 12

Por tanto, siendo x la parte del campo que cortaría la segunda cuadrilla en 1 hora, se tiene que:

1 5 5 1 2 1

4 12 12 4 12 6x x

1La segunda cuadrilla cortaría en 1 hora, del campo; luego para cortar todo el campo

6tardaría 6 horas.

7

Ejercicio nº 14.- De los números que se dan a continuación, di cuáles son naturales, enteros, racionales o reales:

23 639 25 24 5 8,315

4 5

Solución:

Naturales: 39; 25

Enteros: 39; 25; 5

23 6Racionales: 39; ; 25; 5; ; 8,315

4 5

Reales: Todos

Ejercicio nº 15.- Halla el valor de x en cada caso, utilizando la definición de logaritmo:

xlog 32a) 2 3b) 3 xlog

Solución:

532232a) 2 xxlog x

2733b) 33 xxxlog

Ejercicio nº 16.- Opera y simplifica al máximo las expresiones:

45

805a)

182128b)

25

5c)

Solución:

3

545

3

4

53

525

45

805

45

805a)

2

4

21426283222182128b) 27

5 5 25 5 2 5c) 5 2 5

5 45 25 2 5 2

8

Ejercicio nº 17.- Un grifo tarda 6 minutos en llenar un depósito y otro lo llena en 3 minutos. Calcula el tiempo que tardaría en llenarse el depósito si estuvieran abiertos los dos grifos a la vez. Solución:

depósito. de 6

1 llenará minuto un en depósito, el llenar en minutos 6 tarda grifo primer el Si

depósito. de 3

1 llenará minuto un en depósito, el llenar en minutos 3 tarda grifo segundo el Si

Entre los dos juntos, en un minuto llenarán:

depósito. de

2

1

3

1

6

1

minutos. 2 llenarlo en tardarán dos, los entre depósito de 2

1 llenan minuto un en Si

Ejercicio nº 18.- Durante un curso escolar el número de alumnos matriculados en un colegio fue de 500. El curso

siguiente, este número se redujo en un 5 y, el siguiente, aumentó un 12. a) ¿Qué variación total de alumnos ha habido en esos años?

b) ¿Cuál es el número de alumnos matriculados que había después de las dos variaciones?

Solución:

a) 100 5 95 Una reducción del 5 tiene como índice de variación 0,95.

100 12 112 Un aumento del 12 tiene como índice de variación 1,12. El índice de variación total es:

0,95 · 1,12 1,064

que corresponde a un aumento del 6,4. b) El número final de alumnos será:

500 · 1,064 532 Ejercicio nº 19.-

Averigua cuál es el capital que colocamos al 6 anual durante 5 años, sabiendo que al final teníamos 2 676,45 euros. Solución:

9

Llamamos C al capital inicial. Al cabo de los 5 años se transformó en:

C · 1,065 2 676,45 euros

Por tanto:

euros 000206,1

45,67625

C

Ejercicio nº 20.- Descompón en factores el siguiente polinomio:

234 54 xxx Solución: Sacamos factor común:

5454 22234 xxxxxx

Buscamos las raíces de x

2 – 4x – 5 resolviendo la ecuación:

2

54 16 20 4 36 4 6

4 5 02 2 2

1

x

x x x

x

Por tanto:

1554 2234 xxxxxx

Ejercicio nº 21.- Calcula:

1

5

1

3

1

122

2

x

x

x

x

x

x

Solución:

1

1

1

533122

1

5

1

13

1

112

1

5

1

3

1

12

22

222

2

2

222

2

xx

xxxxxx

x

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

Ejercicio nº 22.- Obtén las soluciones de las ecuaciones siguientes:

10

06420a) 24 xx

1245b) xx

Solución:

06420a) 24 xx

06420

:Cambio

2

242

zz

zxzx

4

16

2

1220

2

14420

2

25640020

z

zz

2444

4161616

2

2

xxxz

xxxz

Hay cuatro soluciones: x1 4, x2 2, x3 2, x4 4

b) 5 4 2 1x x

2

5 4 2 1x x

25 4 4 4 1x x x

20 4 3x x

4

3

8

61

8

71

8

491

8

4811x

xx

Comprobación:

válida Es12391 x

válida es No2

11

2

3

2

1

4

1

4

3

x

Hay una solución: x 1 Ejercicio nº 23.- Resuelve los siguientes sistemas:

a) 23 5

3 2 8

x y

x y

b) 3 2 1

2 11

6 2

x y

x y

11

Solución:

5 3 30a) 2 5 3 30

3 5 15 15 153 14

3 2 8 3 6 8

x y x yx y

x yx y x y

Despejamos de la segunda ecuación:

xy 314

Sustituimos en la primera ecuación:

5 3 14 3 30 5 42 9 30 4 12 3

14 3 14 9 5

x x x x x x

y x


b) 3 2 1 3 2 1

3 2 1 6 6 3 6

x y x y

x y x y

3 2 1

6 3

x y

x y

Despejamos x en la 2.ª ecuación: x 3 6y

Sustituimos en la primera:

3 3 6 2 1 9 18 2 1 9 18 1 2y y y y y y

2 2 2 29 18 1 2 9 18 1 4 4 4 14 8 0y y y y y y y

22 7 4 0y y

2 1

7 49 32 7 81 7 9 4 2

164 4 44

4

y

Sustituimos en la ecuación x 3 6y :

1 6Si 3 3 3 0

2 2

Si 4 3 24 27

y x

y x

Comprobamos las soluciones obtenidas en la primera ecuación, 3 2 1:x y

1 10, 0 2 1 Válida.

2 2x y

27, 4 81 8 9 8 1 Válida.x y

Las soluciones son:

1 1 2 2

10, ; 27, 4

2x y x y

Ejercicio nº 24.-

12

2La suma de dos números es 10 y la de sus inversos, . Hállalos.

15

Solución: x, y son los números buscados.

10 10

1 1 2 1 1 2 1 1 2

15 10 15 10 15

x y y x

x y x x x x

15 10 2 1015

15 10 15 10 15 10

x x xx

x x x x x x

150 15x 15x 2 2 220 2 2 20 150 0 10 75 0x x x x x x

15 510 100 300 10 400 10 20

2 2 25 15

y

x

y

Los números son –15 y 5. Ejercicio nº 25.- Resuelve e interpreta gráficamente:

532 x Solución:


482532 xxx

Soluciones: x / x 4 , 4

La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 4, la recta y 2x 3 queda por

debajo de la recta y 5; es decir, 2x 3 5:

Ejercicio nº 26.-

13

Racionaliza y opera, simplificando al máximo, la siguiente expresión:

2 3 2 3

3 2 3 2

Solución:

2

22

2 3 2 3 3 2 4 4 3 3 2 3 3 4 2 32 3 2 3

3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

7 4 3 4 3 7 1414

3 4 1

Ejercicio nº 27.- Escribe cada uno de los siguientes números donde corresponda en la tabla:

3 3 127 27 27 25 5,37

8 2

NATURALES

ENTEROS

RACIONALES

REALES

Solución:

3

3

3

3

NATURALES

ENTEROS 27;

RACIONALES 27;

REALES 27;

27; 25

27; 25

3 127; ; 25; ; 5,37

8 2

3 127; 27; ; 25; ; 5,37

8 2

Ejercicio nº 28.- Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

2

132343

2127 logloglog

14

Solución:

2

91

2

53

2

127

2

132343

21

25

21 2

3727

loglogloglogloglog

Ejercicio nº 29.- Halla y simplifica:

4

1805a)

28263b)

12

12c)

Solución:

1535352

5325

4

1805

4

1805a) 22

2

22

774737227328263b) 22

22312

2212

1212

1212

12

12c)

Ejercicio nº 30.- Se mezclan 30 kg de arroz de 0,75 euros/kg con 20 kg de arroz de 0,8 euros/kg. ¿A cuánto sale cada kilogramo de la mezcla? Solución:

En total hay 30 20 50 kg de arroz.

El total cuesta 30 · 0,75 20 · 0,8 22,5 16 38,5 euros.

Cada kilogramo de la mezcla cuesta 38,5 : 50 0,77 euros. Ejercicio nº 31.-

El número de habitantes de una cierta población aumentó hace tres años en un 2. El año siguiente,

el aumento fue del 3; y, el siguiente, del 4. a) ¿Cuál ha sido el porcentaje total de aumento?

b) Si inicialmente eran 6 000 habitantes, ¿cuántos había después de los tres años de aumento? Solución:

15

a) El índice de variación para un aumento del 2 es de 1,02.

El índice de variación para un aumento del 3 es de 1,03.

El índice de variación para un aumento del 4 es de 1,04.

El índice de variación total es:

1,02 · 1,03 · 1,04 1,0926

que corresponde a un 9,26 de aumento. b) Después de los tres años habrá:

6 000 · 1,0926 6 555,6 6 556 habitantes Ejercicio nº 32.- Halla el tanto por ciento anual de interés al que debe colocarse un capital de 3 000 euros para que en dos años se transforme en 3 307,5 euros. Solución:

Si se coloca al r anual durante dos años, se transforma en:

2

3000 1 3307,5 euros.100

r

Despejamos r : 2

3307,51

100 3000

r

2

1 1,1025100

r

1 1,1025100

r

1 1,05 0,05 5%100 100

r rr

Ejercicio nº 33.- Factoriza:

xxxx 632 234 Solución: Sacamos factor común:

632632 23234 xxxxxxxx

16

1 2 3 6

–2 –2 0 –6

1 0 3 0

32632 2234 xxxxxxx

Ejercicio nº 34.- Opera y simplifica:

21

121:

1

1

x

x

xx

Solución:

2 2

2 2 2 2 2 2

11 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1:

1 11 1 1 1 1 1

x xx x x x x x x x x

x x xx x x x x x

Ejercicio nº 9.- Resuelve:

a) 1 1 1x x

x

x

x

x 1

6

16

1b)

Solución:

a) 1 1 1x x

2 21 1 0 0x x x

03148062816

062816

612616166

12616166

16

16

16

116

16

6

1

6

16

1b)

22

2

222

222

22

xxxx

xx

xxxxx

xxxxx

xx

x

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

17

4 1

16 414 196 96 14 100 14 10

16 16 16 24 3

16 2

x

x

x

2

3;

4

1 :soluciones dosHay 21

xx

Ejercicio nº 35.- Halla la solución de estos sistemas:

a) 42

21

2

x yx

x yx y

b) 3 5

12 1 2

3

xy

x y

Solución:

2 8a) 4

2 82 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 2 2 2 2

x y x y xx

x y x

x y x y x y x y x yx y

3 88 3

4 3 2

x yy x

x y

4 3 2 4 3 8 3 2 4 24 9 2 13 26 2x y x x x x x x

8 3 8 6 2y x


b) 3 53 5 3 5

16 1 6 6 72 1 2

3

xyxy xy

x y x yx y

Despejamos y de la 2.ª ecuación: y 7 – 6x

Sustituimos en la primera:

3x(7 – 6x) 5 21x – 18x2 5 18x

2 – 21x 5 0

30 5

21 441 360 21 81 21 9 36 6

12 136 36 36

36 3

x

Calculamos en cada caso el valor de y, sustituyendo en y 7 – 6x.

18

5 5Si 7 6 7 5 2

6 6x y

1 1Si 7 6 7 2 5

3 3x y

Las soluciones son:

1 1

5, 2

6x y

2 2

1, 5

3x y

Ejercicio nº 36.- Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que, si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros; y si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros. ¿Cuántos amigos son y cuál es el precio total que tienen que pagar? Solución: Llamamos x al número de amigos e y al precio total de la cena.

Si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros, es decir:

20x 5 y Si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros, es decir:

15x 20 y Resolvemos el sistema de ecuaciones:

20 520 5 15 20 5 25 5

15 20

x yx x x x

x y

955100520 xy

Son 5 amigos y el precio total es de 95 euros. Ejercicio nº 37.- Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

1 2 1 0

3 1 9 0

x

x

Solución:

1 2 1 0 1 2 1 0 2 2 1

23 3 9 0 3 63 1 9 0

x x x x

xx xx

19

Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir:

1 y 2 / 1 2 1, 2x x x x

Ejercicio nº 38.- Comprueba que:

3 1000 10 4

3

log a log a

log a

Solución:

3 33 3

1

2

1000 10 10 10 10 10

1

2

log a log a log a log a log a log a

log a log alog a

3

11 2110 10 433 3

1 1 1 1 3

2 2 2 2

log alog a log a log alog log a log log a

log a log a log a log a

Ejercicio nº39.- Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:

318 3 21 8 2 3,5

2 4 2

Solución:

3

3

3

Naturales: 1; 8

18Enteros: ; 1; 8; 2

2

18 3Racionales: ; ; 1; 8; 2; 3,5

2 4

Reales: Todos

Ejercicio nº 40.- Teniendo en cuenta la definición de logaritmo, halla el valor de x en cada caso:

5a) 2 xlog 327b) xlog

20

Solución:

3225a) 52 xxxlog

327327b) 3 xxlogx Ejercicio nº 41.- Efectúa y simplifica:

50

983a)

45280b)

13

3c)

Solución:

5

373

5

7

52

723

50

983

50

983a)

2

2

5256543525245280b) 24

3 3 13 3 3 3 3c)

3 1 23 13 1 3 1

Ejercicio nº 42.- Una persona se gasta la novena parte del dinero que lleva en la frutería, la cuarta parte del resto lo gasta en la carnicería, y la mitad de lo que le queda después de las dos compras lo gasta en la pescadería. Al final, le sobran 30 euros. ¿Cuánto dinero llevaba? Solución:

total. del 9

8 otros quedan le frutería, la en

9

1 gasta Si

:decir es ,9

8 de

4

1 gasta carnicería la En

total del

9

2

9

8

4

1

.3

2

9

6 quedan le y

9

3

9

2

9

1 gastado ha pescadería la a y frutería la a ir de Después

En la pescadería gasta la mitad de lo que le queda:

3

1

3

2

2

1

3

2 de

2

1

21

Por tanto, al final de las compras, le quedan:

euros. 30 son que total, del

3

1

3

1

3

2

Así, el total que llevaba serán:

30 · 3 90 euros Ejercicio nº 43.-

El precio de un ordenador que costaba 1 200 euros fue rebajado en un 8. Posteriormente, se le

aplicó otra rebaja del 10. a) ¿Qué porcentaje de rebaja supone en total?

b) ¿Cuánto costaba después de las dos rebajas? Solución:

a) 100 8 92 El índice de variación para una rebaja del 8 es de 0,92.

100 10 90 Índice de variación, 0,9. El índice de variación total es:

0,92 · 0,9 0,828, que corresponde a una rebaja del 17,2. b) El precio final será:

1 200 · 0,828 993,6 euros Ejercicio nº 6.-

Calcula en cuánto se transforman 3 500 euros depositados durante dos años al 6 anual si los períodos de capitalización son trimestrales. Solución:

trimestral %5,14

6anual %6

En dos años hay 8 trimestres.

Al cabo de los 8 trimestres tendríamos:

3 500 · 1,0158 3 942,72 euros

Ejercicio nº 44.- Factoriza el siguiente polinomio:

233 xx

22

Solución:

1 0 –3 –2

2 2 4 2

1 2 1 0

–1 –1 –1

1 1 0

23 1223 xx xx

Ejercicio nº 45- Calcula:

xx

xx

x

x

x

x

2

7513

2

22

2

Solución:

xxxx

xxxxxx

xx

xx

xx

xx

xx

x

xx

xx

x

x

x

x

2

2

2

752632

2

75

2

213

2

2

2

7513

2

2

22

222

2

2

22

2

2

2

Ejercicio nº 46.- Resuelve estas ecuaciones:

03637a) 24 xx

3

1

6

1

2

12b)

2

xxx

Solución:

03637a) 24 xx

03637

:Cambio

2

242

zz

zxzx

1

36

2

3537

2

122537

2

144136937

z

zz

23

1111

6363636

2

2

xxxz

xxxz

Hay cuatro soluciones: x1 6, x2 1, x3 1, x4 6

026

22136

6

22

6

1

6

36

3

1

6

1

2

12b)

2

2

2

2

xx

xxx

xxx

xxx

8 2

12 31 1 48 1 49 1 7

12 12 12 6 1

12 2

x

x

x

3

2;

2

1 :soluciones dosHay 21

xx

Ejercicio nº 47.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 2 3 3 4

22

x x y y

xy

2 2b) 2 2

3 1

x y

x y

Solución:

a) 2 3 3 4 2 3 3 3 46 4

2 42 42

2 2 22

x x y y x x y yx y

x yxx yy

Sumando las dos ecuaciones queda:

6 4

2 4

18 8

x y

x y

yy

Tomando la segunda ecuación, hallamos x :

2242442 yxyx

Por tanto, la solución es: x 2; y 1

24

2 2b) 2 2

3 1

x y

x y

Despejamos en la segunda ecuación: y 1 – 3x

Sustituimos en la primera ecuación:

2x2 – (1 – 3x)

2 –2

2x2 – (1 – 6x 9x

2) –2

2x2 – 1 6x – 9x

2 –2

7x2 – 6x – 1 0

16 36 28 6 64 6 8

2 114 14 14

14 7

x

Si 1 1 3 2

1 3 10Si 1

7 7 7

x y

x y

Las soluciones son:

1 1 2 2

1 101, 2; ,

7 7x y x y

Ejercicio nº 48.- Se mezcla cierta cantidad de café de 1,2 €/kg con otra cantidad de café de 1,8 €/kg, obteniendo 60 kg al precio de 1,4 euros/kg. ¿Cuántos kilogramos de cada clase se han utilizado en la mezcla? Solución: Llamamos x a la cantidad de café utilizado del primer tipo e y a la cantidad del segundo tipo. Así:

x y 60 (pues hemos obtenido 60 kg de mezcla)

1,2x 1,8y 60 · 1,4 (este es el precio total de la mezcla) Resolvemos el sistema de ecuaciones:

60 60

1,2 1,8 84

x y y x

x y

1,2 1,8 84 1,2 1,8 60 84 1,2 108 1,8 84

1,2 1,8 84 108 0,6 24 40

x y x x x x

x x x x

60 60 40 20y x

Se han utilizado 40 kg del primer tipo y 20 kg del segundo tipo. Ejercicio nº 49.- Resuelve e interpreta gráficamente la siguiente inecuación:

042 x

25

Solución:

2

24404 22

x

xxxx

La parábola y x2 4 corta al eje x en x 2 y en x 2.

En el intervalo [2, 2] toma valores negativos o nulos. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los

puntos del intervalo [2, 2]:

Ejercicio nº 50.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 20 1 3x x

4 3 2b) 2 3 7 12 4 0x x x x

Solución:

a) 20 1 3 20 3 1x x x x

Elevamos al cuadrado:

2 2

20 3 1 20 9 6 1 1x x x x x

12 6 1 2 1 1 4 5x x x x

Comprobamos la solución:

5 20 5 1 25 4 5 2 3

La solución es x 5.

b 2x4 3x

3 7x

2 12x 4 0

Aplicamos la regla de Ruffini:

26

2 3 7 12 4

1 2 1 8 4

2 1 8 4 0

2 4 6 4

2 3 2 0

2 4 2

12 1 0 2 1 02

x x

Las soluciones son:

2 3 4

1, 1, 2, 2,

2x x x x

Ejercicio nº 51.- Di cuáles de los siguientes números son naturales, cuáles son enteros, cuáles son racionales y cuáles son reales:

7 1212 36 6 95 3,12

5 6

Solución:

12Naturales: 12; ; 36

6

12Enteros: 12; ; 36; 95

6

7 12Racionales: 12; ; ; 36; 95; 3,12

5 6

Reales: Todos

Ejercicio nº 52.- Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

125a) 5log

0001

1b) log

2c) 2log

Solución:

35125 a) 355 loglog

31b) 10 3

1000log log

2

122c) 2

1

22 loglog

27

Ejercicio nº 53.- Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

275

48a)

147108b)

3

632c)

Solución:

5

242

5

4

53

232

75

2482

75

48a)

2

4

337367332147108b) 232

22

3

236

3

326

3

186

33

3632

3

632)c

2

Ejercicio nº 54.- Tres socios invierten 20, 40 y 60 miles de euros, respectivamente, en un negocio. Al cabo de un tiempo obtienen 18 000 euros de beneficio. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Solución:

Entre los tres socios invierten 20 40 60 120 miles de euros.

Por cada mil euros invertidos corresponden 18 000 : 120 000 0,15 euros de beneficio.

0,15 · 20 3 3 000 euros le corresponden al primero.

0,15 · 40 6 6 000 euros le corresponden al segundo.

0,15 · 60 9 9 000 euros le corresponden al tercero. Ejercicio nº 55.-

Un artículo que costaba 300 euros sufrió un aumento del 25 en su precio. Después tuvo un

segundo aumento del 15 y luego se rebajó un 20. a) Calcula el índice de variación total.

b) ¿Cuál es el precio final? Solución:

a) 100 25 125 Índice de variación, 1,25.

100 15 115 Índice de variación, 1,15.

100 20 80 Índice de variación, 0,8. El índice de variación total será:

28

1,25 · 1,15 · 0,8 1,15 (que corresponde a un 15 de aumento en el precio). b) El precio final es:

300 · 1,15 345 euros Ejercicio nº 56.-

Hemos colocado un capital de 6 500 euros al 5 anual, y al cabo de un tiempo se ha transformado en 8 295,83 euros. Calcula los años transcurridos, sabiendo que los períodos de capitalización han sido anuales. Solución: Al cabo de n años tendremos:

6 500 · 1,05n 8 295,83 euros.

Despejamos n:

8295,831,05

6500

1,05 1,276 5 años

n

n n



1 3 –4 –12

2 2 10 12

1 5 6 0

–2 –2 –6

1 3 0

3221243 23 xxxxxx


29

x

x

xx 3

12

2

1

12

12

Solución:

2 2 2

2 1 2 2 1 2 1 2 11 1 2 2 1

2 1 2 3 2 1 2 3 2 2 1 3

x x x x xx x

x x x x x x x x x

2

2

2 11 2 1

2 2 1 3 6

x x

x x x x


xx

x 28

27a)

xx 21113b)

Solución:

2a) 7 2

8

xx x

28 56 16

8 8 8 8

xx x

8 56 2 16x x x

8 16 2 56x x x

9 54x

546 6

9x x

b) 3 1 11 2x x

3 1 2 11x x

2 2

3 1 2 11x x

29 1 4 44 121x x x

29 9 4 44 121x x x

20 4 53 130x x

1053 2 809 2 080 53 729 53 27

26 138 8 8

8 4

x

x

x

Comprobación:

30

válida Es10220119119310 x

válida es No2

13

4

132

2

3111

2

911

4

93

4

13x

Hay una solución: x 10 Ejercicio nº 60.- Averigua la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

2 2a) 3

4

1 3

y xx

x y

5 2b) 2

3

2 1

x y

x y

Solución:

2 2 2 2 4 12a) 3

4 4 4 4

1 3 1 3

y x y x xx

x y x y

2 2 4 12 3 2 10

4 4 4

y x x x y

x y x y x y

3 4 2 10 12 3 2 10 2 2y y y y y y

4 4 2 2x y


5 2b) 2

3

2 1

x y

x y

Despejamos x de la 2.ª ecuación: x 1 – 2y ; y sustituimos en la primera:

2 1 2 2 3 1 25 2 5 32

1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2

y y yy

y y y y y y y y

2 215 2 4 6 12 12 25 2 0y y y y y y

482

25 625 96 25 529 25 23 24

2 124 24 24

24 12

y

Calculamos, en cada caso, el valor de x sustituyendo en la ecuación x 1 – 2y :

31

Si 2 1 4 3

1 1 1 5Si 1 2 1

12 12 6 6

y x

y x

Las soluciones son:

1 1

2 2

3; 2

5 1;

6 12

x y

x y

Ejercicio nº 61.-

Hemos comprado un pantalón y una camiseta por 44,1 euros. El pantalón tenía un 15 de descuento

y la camiseta estaba rebajada un 10. Si no tuvieran ningún descuento, habríamos tenido que pagar 51 euros. ¿Cuánto nos ha costado el pantalón y cuánto la camiseta? Solución: Llamamos x al precio del pantalón sin el descuento e y al precio de la camiseta sin descuento. Así:

51 51

0,85 0,9 44,1

x y y x

x y

0,85 0,9 44,1 0,85 0,9 51 44,1 0,85 0,9 44,1 45,9

0,05 1,8 36

x y x x x x

x x

51 51 36 15y x

El pantalón costaba 36 euros y la camiseta 15 euros, sin los descuentos.

Por tanto, el precio del pantalón (con descuento) ha sido de:

36 · 0,85 30,6 euros y el de la camiseta (con descuento) ha sido de:

15 · 0,9 13,5 euros Ejercicio nº 62.- Resuelve el sistema de inecuaciones:

3 2 7 4

2 1 4

x

x

Solución:

3 2 7 4 3 6 7 4 3 3 1

2 2 4 2 6 32 1 4

x x x x

x x xx

32

Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir:

11/3y1 ,xxxx

Ejercicio nº 63.- Un grifo tarda en llenar un estanque dos horas más que otro grifo. Si se abren los dos grifos a la vez, el estanque se llena en 2,4 horas. ¿Cuánto tiempo tardará el primer grifo en llenar el estanque? ¿Y el segundo grifo solo? Solución: Llamamos x a las horas que tarda uno de los grifos en llenar el estanque. Como el otro grifo tarda dos

horas más, tardará x 2. Es decir:

estanque del 2x

1 llena hora una enhoras 2grifo 2

estanque del x

1 llena hora una enhoras grifo 1

er

x

x

Entre los dos llenan, en una hora:

estanque del 2

11

xx

Como los dos grifos juntos tardan 2,4 horas en llenar el estanque, en una hora llenarán

estanque. del 4,2

1

Por tanto:

4,2

1

2

11

xx Resolvemos la ecuación:

2,4 2 2,4 2x x x x

22,4 4,8 2,4 2x x x x

20 2,8 4,8x x

vale) (no 2,1

4

2

2,58,2

2

04,278,2

2

2,1984,78,2

x

xx

Uno de los grifos tardaría 4 horas en llenarlo y el otro grifo tardaría 6 horas.

33

Ejercicio nº 64.- Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:

318 3 21 8 2 3,5

2 4 2

Solución:

3

3

3

Naturales: 1; 8

18Enteros: ; 1; 8; 2

2

18 3Racionales: ; ; 1; 8; 2; 3,5

2 4

Reales: Todos

Ejercicio nº 65.- Halla el valor de la siguiente expresión, utilizando la definición de logaritmo:

18116 55

34 logloglog

Solución:

5

140

5

4213418116 53

245

534

54

loglogloglogloglog

Ejercicio nº 66.- Halla y simplifica:

4

1805a)

28263b)

12

12c)

Solución:

1535352

5325

4

1805

4

1805a) 22

2

22

774737227328263b) 22

22312

2212

1212

1212

12

12c)

34

Ejercicio nº 67.- Un grifo tarda 6 minutos en llenar un depósito y otro lo llena en 3 minutos. Calcula el tiempo que tardaría en llenarse el depósito si estuvieran abiertos los dos grifos a la vez. Solución:

depósito. de 6

1 llenará minuto un en depósito, el llenar en minutos 6 tarda grifo primer el Si

depósito. de 3

1 llenará minuto un en depósito, el llenar en minutos 3 tarda grifo segundo el Si

Entre los dos juntos, en un minuto llenarán:

depósito. de

2

1

3

1

6

1

minutos. 2 llenarlo en tardarán dos, los entre depósito de 2

1 llenan minuto un en Si

Ejercicio nº 68.-

El precio de un ordenador que costaba 1 200 euros fue rebajado en un 8. Posteriormente, se le

aplicó otra rebaja del 10. a) ¿Qué porcentaje de rebaja supone en total?

b) ¿Cuánto costaba después de las dos rebajas? Solución:

a) 100 8 92 El índice de variación para una rebaja del 8 es de 0,92.

100 10 90 Índice de variación, 0,9. El índice de variación total es:

0,92 · 0,9 0,828, que corresponde a una rebaja del 17,2. b) El precio final será:

1 200 · 0,828 993,6 euros Ejercicio nº 69.-

Calcula en cuánto se transforman 3 500 euros depositados durante dos años al 6 anual si los períodos de capitalización son trimestrales. Solución:

trimestral %5,14

6anual %6

En dos años hay 8 trimestres.

35

Al cabo de los 8 trimestres tendríamos:

3 500 · 1,0158 3 942,72 euros



1 3 –4 –12

2 2 10 12

1 5 6 0

–2 –2 –6

1 3 0

3221243 23 xxxxxx


x

x

xx 3

12

2

1

12

12

Solución:

2 2 2

2 1 2 2 1 2 1 2 11 1 2 2 1

2 1 2 3 2 1 2 3 2 2 1 3

x x x x xx x

x x x x x x x x x

2

2

2 11 2 1

2 2 1 3 6

x x

x x x x


xx

x 28

27a)

xx 21113b)

36

Solución:

2a) 7 2

8

xx x

28 56 16

8 8 8 8

xx x

8 56 2 16x x x

8 16 2 56x x x

9 54x

546 6

9x x

b) 3 1 11 2x x

3 1 2 11x x

2 2

3 1 2 11x x

29 1 4 44 121x x x

29 9 4 44 121x x x

20 4 53 130x x

1053 2 809 2 080 53 729 53 27

26 138 8 8

8 4

x

x

x

Comprobación:

válida Es10220119119310 x

válida es No2

13

4

132

2

3111

2

911

4

93

4

13x

Hay una solución: x 10 Ejercicio nº 73.- Averigua la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

2 2a) 3

4

1 3

y xx

x y

5 2b) 2

3

2 1

x y

x y

37

Solución:

2 2 2 2 4 12a) 3

4 4 4 4

1 3 1 3

y x y x xx

x y x y

2 2 4 12 3 2 10

4 4 4

y x x x y

x y x y x y

3 4 2 10 12 3 2 10 2 2y y y y y y

4 4 2 2x y


5 2b) 2

3

2 1

x y

x y

Despejamos x de la 2.ª ecuación: x 1 – 2y ; y sustituimos en la primera:

2 1 2 2 3 1 25 2 5 32

1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2

y y yy

y y y y y y y y

2 215 2 4 6 12 12 25 2 0y y y y y y

482

25 625 96 25 529 25 23 24

2 124 24 24

24 12

y

Calculamos, en cada caso, el valor de x sustituyendo en la ecuación x 1 – 2y :

Si 2 1 4 3

1 1 1 5Si 1 2 1

12 12 6 6

y x

y x

Las soluciones son:

1 1

2 2

3; 2

5 1;

6 12

x y

x y

Ejercicio nº 74.- Se mezcla cierta cantidad de café de 1,2 €/kg con otra cantidad de café de 1,8 €/kg, obteniendo 60 kg al precio de 1,4 euros/kg. ¿Cuántos kilogramos de cada clase se han utilizado en la mezcla? Solución: Llamamos x a la cantidad de café utilizado del primer tipo e y a la cantidad del segundo tipo. Así:

x y 60 (pues hemos obtenido 60 kg de mezcla)

1,2x 1,8y 60 · 1,4 (este es el precio total de la mezcla)

38

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

60 60

1,2 1,8 84

x y y x

x y

1,2 1,8 84 1,2 1,8 60 84 1,2 108 1,8 84

1,2 1,8 84 108 0,6 24 40

x y x x x x

x x x x

60 60 40 20y x

Se han utilizado 40 kg del primer tipo y 20 kg del segundo tipo. Ejercicio nº 75.- Resuelve e interpreta gráficamente:

532 x Solución:


482532 xxx

Soluciones: x / x 4 , 4

La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 4, la recta y 2x 3 queda por

debajo de la recta y 5; es decir, 2x 3 5:


a) 20 1 3x x

4 3 2b) 2 3 7 12 4 0x x x x

Solución:

a) 20 1 3 20 3 1x x x x

Elevamos al cuadrado:

39

2 2

20 3 1 20 9 6 1 1x x x x x

12 6 1 2 1 1 4 5x x x x

Comprobamos la solución:

5 20 5 1 25 4 5 2 3

La solución es x 5.

b 2x4 3x

3 7x

2 12x 4 0

Aplicamos la regla de Ruffini:

2 3 7 12 4

1 2 1 8 4

2 1 8 4 0

2 4 6 4

2 3 2 0

2 4 2

12 1 0 2 1 02

x x

Las soluciones son:

2 3 4

1, 1, 2, 2,

2x x x x

1

Funciones Elmentales. Funciones exponenciales, logarítmicas.

Ejercicio nº 1.-

:calcula, y12 funciones las Dadas 2 xxgxxf

xgf a)

xfg b)

Solución:

1212a)2

xxxfxgfxgf

1212b) 22 xxgxfgxfg

Ejercicio nº 2.- Dadas las funciones:

1y2

2

xxgx

xf

Explica como, a partir de ellas, se pueden obtener por composición estas otras:

122

1 2

x

xqx

xp

Solución:

xfgxqxgfxp

Ejercicio nº 3.-

Dada la gráfica de la función y f(x):

1 1a) Calcula 1 y 0 .f f

1b) Representa gráficamente en los mismos ejes , a partir de la gráfica de .f x f x

Solución:

1a) 1 0 porque 0 1.f f

2

1 0 1 porque 1 0.f f

b)

Ejercicio nº 4.- Halla la inversa de la siguiente función:

f x x2 7

Solución: Cambiamos x por y, y despejamos la y :

22 7 2 7

7

xx y x y y

Por tanto:

1 2

7

xf x

Ejercicio nº 5.- Consideramos la gráfica:

a) Halla la expresión analítica de la función correspondiente. b) ¿Cuál es el dominio de dicha función? c) Estudia la continuidad y el crecimiento. Solución: a) Es una función exponencial de base mayor que 1, que pasa por los puntos (0, 1), (1, 4)...

Su expresión analítica es y 4x.

b) Dominio

c) Es una función continua y creciente.

3

Ejercicio nº 6.- Representa la gráfica de la función:

2

4

1

x

y

Solución:

La función está definida y es continua en .

.14

1 pues e,decrecient Es

solución. tiene no 04

1 porque eje al corta No

2

x

X

Hacemos una tabla de valores:

3 2 1 0 1

4 1 1 4 1 16 1 64

x

y

La gráfica será:

Ejercicio nº 7.- Un coche que nos costó 12 000 euros pierde un 12% de su valor cada año. a) ¿Cuánto valdrá dentro de un año? ¿Y dentro de 3 años? b) Obtén la función que nos da el precio del coche según los años transcurridos. Solución: a) Dentro de un año valdrá:

12 000 · 0,88 10 560 euros Dentro de tres años valdrá:

12 000 · 0,883 8 177,66 euros

b) Dentro de x años valdrá y euros, siendo:

4

y 12 000 · 0,88x

Ejercicio nº 8.-

2 1 1

Dadas las funciones y . Calcula y .1 2

x xf x g x f g x g f x

x x

¿Qué relación hay entre fx y gx? Solución:

2 1 31

2 1 1 12 1 31

21 1

x xx x xg f x g x

xx

x x

1 2 2 2 32 11 2 2 2

1 1 2 321

2 2 2

x x x xx x x xf g x f x

x x xx

x x x

Es decir y son funciones inversas.f g x g f x f g

Ejercicio nº 9.-

:halla1 y

4

23:funciones siguientes las Dadas 2 ,

xxg

xxf

xgf a)

xgg b)

Solución:

4

13

4

233

4

2131a)

2222

xxx

xfxgfxgf

22112111b) 2424222 xxxxxxgxggxgg

Ejercicio nº 10.- Sabiendo que:

2

1y3 2

xxgxxf

Explica cómo se pueden obtener por composición, a partir de ellas, las siguientes funciones:

23

1

2

322

x

xqx

xp

5

Solución:

xfgxqxgfxp

Ejercicio nº 3.- Esta gráfica corresponde a la función y = f(x):

A partir de ella:


1b) Representa, en los mismos ejes, la función .f x

Solución:



b)

Ejercicio nº 11.- Calcula la función inversa de:

f x x2 1

Solución: Cambiamos x por y, y despejamos la y:

12 1 2 1

2

xx y y x y

Por tanto:

6

1 1

2

xf x

Ejercicio nº 12.- Observa la siguiente gráfica:

a) Halla la expresión analítica de la función correspondiente. b) Indica cuál es su dominio de definición y estudia la continuidad y el crecimiento de la función. Solución: a) Es una función exponencial que pasa por ( 0, 1), ( 1, 3), ( 2, 9)... Su expresión analítica es:

y 3x

creciente. Es

continua. función una Es

Dominiob)

R

Ejercicio nº 13.- Dibuja la gráfica de:

y = 1 log2 x

Solución:

Dominio ( 0, )

Hacemos una tabla de valores.

1 4 1 2 1 2 4 8

3 2 1 0 1 2

x

y

La gráfica será:

7

Ejercicio nº 14.- Colocamos en una cuenta 2 000 euros al 3% anual. a) ¿Cuánto dinero tendremos en la cuenta al cabo de un año? ¿Y dentro de 4 años? b) Halla la expresión analítica que nos da la cantidad de dinero que tendremos en la cuenta en

función del tiempo transcurrido (en años). Solución: a) Dentro de un año tendremos:

2 000 · 1,03 2 060 euros

Dentro de cuatro años tendremos:

2 000 · 1,034 2 251,02 euros

b) Dentro de x años tendremos y euros, siendo:

y 2 000 · 1,03x

Ejercicio nº 15.- En el contrato con el trabajo de un empleado figura que su sueldo subirá un 5% anual. Si empieza cobrando 15 200 € :

a Halla la expresión analítica que nos da su sueldo en función de los años trabajados.

b ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse su sueldo? Solución:

a Sea:

x n. de años trabajados

y sueldo euros)

Incremento del 5% I.V. es 1,05 Dentro de x años su sueldo será:

y 15 200 · 1,05 x

b Buscamos el valor de x tal que 15 200 · 1,05 x 2 · 15 200 1,05

x 2 x 15 años

8

Su sueldo se duplicará después de 15 años.

Ejercicio nº 16.-

:Calcula1 y3

por definidas están y funciones Las2

. xxgx

xfgf

xgf a)

xfgg b)

Solución:

3

12

3

11a)

22

xxx

xfxgfxgf

23

113

133

b)2222

xxxg

xggxfggxfgg

Ejercicio nº 17.- Las funciones f y g están definidas por:

x

f x g x x1

y3

Explica cómo, a partir de ellas, por composición, podemos obtener:

3

1y

3

1

xxq

xxp

Solución:

xgfxqxfgxp

Ejercicio nº 18.- Esta es la gráfica de la función y = f(x):


9

1b) Representa en los mismos ejes a partir de la gráfica de .f x f x

Solución:



b)

Ejercicio nº 19.- Halla la función inversa de:

f x x2 1


12 1 1 2

2

xx y x y y

Por tanto:

1 1

2

xf x

Ejercicio nº 20.- Considera la siguiente gráfica:

a) Escribe la expresión analítica de la función correspondiente. b) Estudia la continuidad y el crecimiento de la función e indica cuál es su dominio de definición.

10

Solución:

1a) Es una función logarítmica con base menor que 1, que pasa por los puntos ,1 ,

2

12

1, 0 , 2, 1 , 4, 2 , Su expresión analítica es:

y log x

,0 Dominio

.edecrecient Es

continua. función una Esb)

Ejercicio nº 20.- Dibuja la gráfica de la siguiente función:

y 21 x Solución:



2 1 0 1 2 3

8 4 2 1 1 2 1 4

x

y

La gráfica es:

Ejercicio nº 21.- En un contrato de alquiler de una casa figura que el coste subirá un 2% cada año. Si el primer año se pagan 7 200 euros (en 12 recibos mensuales): a) ¿Cuánto se pagará dentro de 1 año? ¿Y dentro de 2 años? b) Obtén la función que nos dé el coste anual al cabo de x años. Solución:

a) Dentro de un año se pagarán 7 200 · 1,02 7 344 euros.

Dentro de dos años se pagarán 7 200 · 1,022 7 490,88 euros.

11

b) Dentro de x años se pagarán:

y 7 200 · 1,12x euros

Ejercicio nº 22.-

61

La función 0,3 indica el nivel de alcohol en la sangre en mg ml desde2

f t

que alcanza su nivel máximo t 0. Calcula cuánto tiempo tendría que esperar una persona para poder conducir si el mínimo legal fuera 0,06 mg/ml de alcohol en sangre. Solución:

Buscamos el valor de t que haga f t 0,06.

1 1 1 10,3 0,06 0,2 2 5 2,32

2 2 2 5

t t t

t t h

Tendría que esperar 2 horas y 19 minutos, aproximadamente. Ejercicio nº 1.- Considera las funciones f y g definidas por:

1y3

1 2

xxgx

xf

Calcula:

xgf a)

xfg b)

Solución:

33

111a)

222 xx

xfxgfxgf

9

82

9

9121

9

121

3

1

3

1b)

2222

xxxxxxxxgxfgxfg

Ejercicio nº 23.- Explica cómo se pueden obtener por composición las funciones p(x) y q(x) a partir de f(x) y g(x), siendo:

52y322,23,2 xxqxxpxxgxxf

Solución:

12

xfgxqxgfxp

Ejercicio nº 24.- A partir de la gráfica de y = f(x):


1b) Representa, en los mismos ejes, f x.

Solución:



b)

Ejercicio nº 25.- Obtén la función inversa de:

f x x2 3


22 3 3 2

3

xx y y x y

Por tanto:

1 2

3

xf x

13

Ejercicio nº 26.- a) Halla la expresión analítica de la función cuya gráfica es:

b) Estudia los siguientes aspectos de la función: dominio, continuidad y crecimiento. Solución: a) Es una función logarítmica que pasa por los puntos ( 1, 0), ( 3, 1), ( 9, 2)... Su expresión analítica será:

b • Dominio (0, ) • Es una función continua • Es creciente

Ejercicio nº 276.- Representa la función:

xlogy4

1

Solución:

Dominio ( 0, )

.14

1 porque edecrecient Es


1 16 1 4 1 4 8

2 1 0 1 1,5

x

y

La gráfica es:

Ejercicio nº 28.-

14

Una población que tenía inicialmente 300 individuos va creciendo a un ritmo del 12% cada año. a) ¿Cuántos individuos habrá dentro de un año? ¿Y dentro de 3 años? b) Halla la función que nos da el número de individuos según los años transcurridos. Solución: a) Dentro de un año habrá:

300 · 1,12 336 individuos Dentro de tres años habrá:

300 · 1,123 421 individuos

b) Dentro de x años habrá y individuos, siendo:

y 300 · 1,12x (toma y entero)

Ejercicio nº 29.-

1

La gráfica de la función pasa por los puntos 1, y 1, 8 . Calcula y 2

xy ka k a

y di si se trata

de una función creciente o decreciente. Solución:

f(x ka x

2

1

1

11 1 1Por pasar por 1, 1 122 2 2

8 16Por pasar por 1, 8 1 8 8

f k a kaa

kaf k a

1

por ser la base de la función exponencial 0 .4

a a a

1 1 1Como 2

2 4 2ka k k

1 1

La función 2 es creciente por ser 14 4

x

f x a

Ejercicio nº 30.-

2Sabiendo que 1 halla : yf x x x g x x ,

xfg a)

xgg b)

15

Solución:

2 2 2a) 1 1g f x g f x g x x x x x x

b) 1 1 1 2g g x g g x g x x x

Ejercicio nº 31.- Con las funciones:

x

xgxxf1

y12

hemos obtenido, por composición, estas otras:

11

y1

122

xxq

xxp

Explica cómo, a partir de f y g, se pueden obtener p y q. Solución:

xgfxqxfgxp

Ejercicio nº 32.-

La siguiente gráfica corresponde a la función y f(x):

1 1a) Calcula 3 y 1f f

1b) Representa, en los mismos ejes, a partir de la gráfica de .f x f x

Solución:



b)

16

Ejercicio nº 33.-

:que sabiendoCalcula 1 ,xf

f x x 3


3 3x y y x

Por tanto:

1 3f x x

Ejercicio nº 34.- a) ¿Cuál es la expresión analítica de la función correspondiente a esta gráfica?

b) Indica cuál es el dominio de definición y estudia la continuidad y el crecimiento de la función.

Solución:

a) Es una función exponencial con base menor que 1, que pasa por los puntos ( 2, 4),

1

1, 2 , 1 , Su expresión analítica será:2

x

y

2

1

e.decrecient Es

continua. Es

Dominiob)

R

Ejercicio nº 35.- Representa gráficamente la siguiente función:

y = 3x 1 Solución:

17


No corta al eje X porque 3x 1

0 no tiene solución.

Es creciente, puesto que 3 1.


3 2 1 0 1

1 9 1 3 1 3 9

x

y

La gráfica es:

Ejercicio nº 36.- Un trabajador va a ganar, durante el primer año, un sueldo de 15 000 euros, y el aumento del sueldo va a ser de un 2% anual. a) ¿Cuál será su sueldo anual dentro de un año? ¿Y dentro de dos años? b) Halla la expresión analítica que nos da su sueldo anual en función del tiempo (en años). Solución: a) Dentro de un año ganará:

15 000 · 1,02 15 300 euros Dentro de dos años ganará:

15 000 · 1,022 15 606 euros.

b) Dentro de x años su sueldo será de y euros, siendo:

y 15 000 · 1,02x

Ejercicio nº 37.- Calcula la función inversa de las siguientes funciones:

a) 2 1y x

3b

2

xy

x

18

Solución: Intercambiamos x por y, y despejamos la y :

22 2 1

a 2 1 2 1 2 1 1 22

xy x x y x y x y y

Por tanto:

2

1 1

2

xf x

3 3

b) 2 3 2 32 2

x yy x x y y xy x y

x y

2

3 2 3 23

xxy y x y x x y

x

Por tanto:

1 2

3

xf x

x

Ejercicio nº 38.- Considera las funciones f y g definidas por:

1y3

1 2

xxgx

xf

Calcula:

xgf a)

xfg b)

Solución:

33

111a)

222 xx

xfxgfxgf

9

82

9

9121

9

121

3

1

3

1b)

2222

xxxxxxxxgxfgxfg

Ejercicio nº 39.- Con las funciones:

x

xgxxf1

y12

hemos obtenido, por composición, estas otras:

11

y1

122

xxq

xxp

Explica cómo, a partir de f y g, se pueden obtener p y q.

19

Solución:

xgfxqxfgxp

Ejercicio nº 40.-

Dada la gráfica de la función y f(x):


1b) Representa gráficamente en los mismos ejes , a partir de la gráfica de .f x f x

Solución:



b)

Ejercicio nº 41.- Halla la inversa de la siguiente función:

f x x2 7


22 7 2 7

7

xx y x y y

Por tanto:

1 2

7

xf x

20

Ejercicio nº 42.- Observa la siguiente gráfica:

a) Halla la expresión analítica de la función correspondiente. b) Indica cuál es su dominio de definición y estudia la continuidad y el crecimiento de la función. Solución: a) Es una función exponencial que pasa por ( 0, 1), ( 1, 3), ( 2, 9)... Su expresión analítica es:

y 3x

creciente. Es

continua. función una Es

Dominiob)

R

Ejercicio nº 43.- Representa la función:

xlogy4

1

Solución:

Dominio ( 0, )

.14

1 porque edecrecient Es


1 16 1 4 1 4 8

2 1 0 1 1,5

x

y

La gráfica es:

21

Ejercicio nº 44.- Colocamos en una cuenta 2 000 euros al 3% anual. a) ¿Cuánto dinero tendremos en la cuenta al cabo de un año? ¿Y dentro de 4 años? b) Halla la expresión analítica que nos da la cantidad de dinero que tendremos en la cuenta en

función del tiempo transcurrido (en años). Solución: a) Dentro de un año tendremos:

2 000 · 1,03 2 060 euros

Dentro de cuatro años tendremos:

2 000 · 1,034 2 251,02 euros

b) Dentro de x años tendremos y euros, siendo:

y 2 000 · 1,03x

Ejercicio nº 45.-

61

La función 0,3 indica el nivel de alcohol en la sangre en mg ml desde2

f t

que alcanza su nivel máximo t 0. Calcula cuánto tiempo tendría que esperar una persona para poder conducir si el mínimo legal fuera 0,06 mg/ml de alcohol en sangre. Solución:

Buscamos el valor de t que haga f t 0,06.

1 1 1 10,3 0,06 0,2 2 5 2,32

2 2 2 5

t t t

t t h

Tendría que esperar 2 horas y 19 minutos, aproximadamente.

1

Límites de funciones, continuidad y ramas infinitas.

1. Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:

a) xlim f x

b)

xlim f x

2c)

xlim f x

2d)

xlim f x

0e)

xlimf x

Solución:

a) xlim f x

b) xlim f x

2

c) 2xlim f x

2

d) 4xlim f x

0

e) 0xlimf x

2. Calcula:

2

2a) 3

xlim x

8b) 1 2

xlim x

Solución: a) 25 b) 5 3. Calcula el límite de f(x) en x = 2.

Solución:

Calculamos los límites laterales: +

4. Halla el límite siguiente:

133

5423

2

1

xxx

xxlimx

Solución: +

6 5

1 2

x x

x x f

2

5. Calcula el límite cuando y cuando delasiguientefunciónx x :

3

421 2 xxxf

Solución: --

6. Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

3a)

5 3x

xlim

x

3b)

5 3x

xlim

x

Solución: a) 1 b) 1

7. :xf función la a ecorrespond gráfica siguiente La

Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad. Solución:

• En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que

1 1

lim lim .x x

f x f x

• En x 2 sí es continua. 8. Estudia la continuidad de:

1si13

1si22

xx

xxxxf

Solución:

• Si x 1, la función es continua.

• Si x 1: 1 1

No es continua en 1 porque lim lim . Es decir, no tiene límite en ese punto.x x

x f x f x

3

9. Averigua las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:

2

32

xx

xxf

Solución:

Las asíntotas verticales son x 1 y x 2. Posición de la curva respecto a las asíntotas:

21

10. Halla las ramas infinitas, cuando y cuando de la función :x x ,

3

2

x xf x

Solución:

3

2x

x xlim

3

2x

x xlim

11. Sea la función:

3

13

x

xxf

Halla las ramas infinitas cuando x-> +x-> - Solución:

3

13

x

xlim

x

3

13

x

xlim

x

12. Halla las ramas infinitas cuando x-> +yx-> -de la función

1

122

2

x

xxf

Solución:

21

12

21

12

2

2

2

2

x

xlim

x

xlim

x

x

4

13. La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua?

2

23 2

x

xxf

Halla la asíntota horizontal u oblicua). Solución: Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, la función tiene una

asíntota oblicua. Asíntota oblicua: y = 3x-6. 14. Estudia la continuidad de la función:

1si 1

1

2 1si 1 x 3

2

2 si 3

xx

xf x

x

Solución:

fx es continua en 1, 3

15. Resuelve:

2 3

2a)

2 4x

x xlim

1

2b) 3x

xlim

4

c)x

lim tg x

Solución: a) 0, b) 1/3, c) 1. 16. Calcula el siguiente límite:

22

1

2x

xlim

x

Solución:.

17. Halla el límite cuando x + de las siguientes funciones:

3

a) 12 2

x xf x

2 33 2b)

5

x xf x

Solución: a)-b)

5

Ejercicio nº 18 Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha

de x 2:

22

1

2x

xlim

x

Solución:

222222 2

1

2

1

2

1

x

xlim

x

xlim

x

xlim

xxx

2

Ejercicio nº 19 Calcula y representa gráficamente la información obtenida:

12

432

2

1

xx

xxlimx

Solución:

1

4

1

41

12

43

1212

2

1

x

xlim

x

xxlim

xx

xxlim

xxx

Calculamos los límites laterales:

1

4

1

4

11 x

xlim

x

xlim

xx

1

Ejercicio nº 20

tegráficamen representa yfunciones siguientes las decuando límite el Halla x

la información que obtengas:

3

a) 12 2

x xf x

6

2 33 2

b)5

x xf x

Solución:

3

a) 12 2x

x xlim

2 33 2b)

5x

x xlim

Ejercicio nº 21 Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:

2

3

3 1a)

2x

xlim

x

3

2

2b)

1x

xlim

x

Solución:

2

3

3 1a) 0

2x

xlim

x

3

2

2b)

1x

xlim

x

7

Ejercicio nº 22

:xf función la de gráfica la es Esta

a) ¿Es continua en x = 2?

b) ¿Y en x 0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad. Solución:

a) No es continua en x 2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).

b) Sí es continua en x 0. Ejercicio nº 23 Comprueba si la siguiente función es continua:

0si2

2

0si12 2

xx

xxxf

Solución:


• Si x 0:

8

2

0 0

00 0

2 1 1

21 Es continua en 0 porque 0 .

2

0 1

x x

xx x

lim f x lim x

xlim f x lim x lim f x f

f

Ejercicio nº 24 Sea la función:

12

12

xx

xf

Halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas. Solución:

2 2 1 0 1x x x

Solo tiene una asíntota vertical: x 1 • Posición de la curva respecto a la asíntota:

221

1

12

1

xxx

2121 1

1

1

1

xlim

xlim

xx

1

Ejercicio nº 25

Halla las ramas infinitas, cuando y de la siguiente función y x x

representa los resultados obtenidos:

xxx

xf 223

23

Solución:

xxx

lim

xxx

lim

x

x

223

223

23

23

9

Ejercicio nº 26

Halla las ramas infinitas, cuando y cuando de la función :x x ,

x

xxxf

1

2 3

Representa la información obtenida. Solución:

x

xxlim

x

xxlim

x

x

1

2

1

2

3

3

Ejercicio nº 27

Halla las ramas infinitas, cuando y cuando de la siguiente función y x x ,

situa la curva respecto a ellas:

2

x

xxf

Solución:

12

12

x

xlim

x

xlim

x

x

1

Ejercicio nº 28

10

Dada la función:

2

12 2

x

xxf

halla su asíntota oblicua y representa la posición de la curva respecto a ella. Solución:

22 1 92 4 Asíntota oblicua: 2 4

2 2

xx y x

x x

9Cuando , 0 La curva está por encima de la asíntota.

2x

x

9Cuando , 0 La curva está por debajo de la asíntota.

2x

x

• Representación:

Ejercicio nº 29- Calcula los siguientes límites:

23

4a)

2 3xlim

x x

2

3b) 9

xlim x

Solución:

23

4 4 4 2a)

9 6 3 18 92 3xlim

x x

2

3b) 9 9 9 0 0

xlim x

Ejercicio nº 30

:xf de gráfica la Dada

11

a) ¿Es continua en x 1?

b) ¿Y en x 2? Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad. Solución:

a) Sí es continua en x 1.

b) No, en x 2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una discontinuidad evitable.

Ejercicio nº 31 Estudia la continuidad de la función:

4si15

4si3

1

2 xx

xx

xf

Solución:


• Si x 4:

4 4

2

44 4

11

3

15 1 También es continua en 4 porque 4 .

4 1

x x

xx x

xlim f x lim

lim f x lim x x lim f x f

f

Ejercicio nº 32 Halla las asíntotas verticales de:

24

1

xxf

12

Sitúa la curva respecto a ellas. Solución:

24 0 2, 2.x x x

Las asíntotas verticales son x 2 y x 2. • Posición de la curva respecto a ellas:

2

1 1

4 2 2x x x

2222 4

1

4

1

xlim

xlim

xx

2222 4

1

4

1

xlim

xlim

xx

2 2

Ejercicio nº 33 Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:

42

42

2

x

xlimx

Solución:

22

4

2

2

22

22

42

4

22

2

2

xlim

x

xxlim

x

xlim

xxx

2

2 Ejercicio nº 34 Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

4a) 2xlim x x

3 2

b) 23 2x

x xlim x

Solución:

13

4a) 2xlim x x

3 2

) 23 2x

x xb lim x

Ejercicio nº 35 Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:

4

4

2a)

4 3x

x xlim

x

32

2

1

123b)

xx

xxlimx

Solución:

4

4

2 1 1a)

3 34 3x

x xlim

x

1/3

2

2 3

3 2 1b) 0

1x

x xlim

x x

1

Derivación.

Ejercicio nº 1.- Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

25

3 a)

xy

42 b) xy

Solución:

2

a) 5 0 5 Dominio 5x x

b) 2 4 0 2 4 2 Dominio 2,x x x

Ejercicio nº 2.- Calcula los siguientes límites :

21

1a)

1xlim

x

3

5b)

3x

xlim

x

2

21

2 3c)

1x

x xlim

x

Solución:

21

1 1 1a)

1 1 21xlim

x

3

5b)

3x

xlim

x

Hallamos los límites laterales:

3

5

3

5

3

3

x

xlim

x

xlim

x

x

2

21 1 1

1 32 3 3 4c) 2

1 1 1 21x x x

x xx x xlim lim lim

x x xx

2

Ejercicio nº 3.- Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:

3a) 2 3xlim x x

2

2 1b)

1x

xlim

x

2

2 1c)

1x

xlim

x

Solución:

3a) 2 3xlim x x

2

2 1b) 0

1x

xlim

x

2

2 1c) 0

1x

xlim

x

Ejercicio nº 4.-

:caso cada en Calcula xf'

53 2

a)7

x xf x

4b) f x x cosx

3

3c)

1

xef x

x

Solución:

415 2

a) '7

xf x

3 4 3 4b) ' 4 cos 4 cosf x x x x sen x x x x sen x

3 3 3 2 3 3 2 3 3 2

2 2 23 3 3

3 1 3 3 1 3 1c) '

1 1 1

x x x xx x e x e x x e x xf x

x x x

Ejercicio nº 5.- Representa gráficamente:

3

1a)

3

xy

b) 2 xy

Solución:

1a) Sobre la recta , hallamos su valor absoluto:

3

xy

b) Hacemos una tabla de valores:

2 1 0 1 2

4 2 1 1/ 2 1/ 4

x

y

La gráfica sería:

Ejercicio nº 6.- Dada la función:

0si1

0si1 2

xx

xxxf

a) Estudia su continuidad. b) Dibuja su gráfica. Solución:

a) Si x 0, la función es continua.

Si x 0:

4

2

0 0

0 0

1 1

1 1 También es continua en 0.

0 1

x x

x x

lim f x lim x

lim f x lim x x

f

Es una función continua.

b) Si x 0, es un trozo de parábola.

Si x > 0, es un trozo de recta.

La gráfica es:

Ejercicio nº 7.-

Subiendo una montaña, medimos la temperatura a 360 m de altura, y esta era de 8 C. Cuando

estábamos a 720 m de altura, la temperatura era de 6 C. a) Estima, mediante interpolación lineal, la temperatura que había a 500 m de altura. b) Halla la expresión analítica de la recta que nos da la temperatura en función de la altura, y

represéntala gráficamente. Solución:

a) Sabemos que f (360) 8 y que f (720) 6. Por tanto:

360360720

868

xxf

360360

28 xxf

10180

1 xxf

Así:

f (500) 7,22 C

b) Hemos obtenido la expresión analítica en el apartado a).

.xxf 10180

1

Su representación gráfica es:

5

Ejercicio nº 8.- Dada la función:

22 xxf

derivada. de definición la utilizando ,1 Calcula f'

Solución:

22

0 0 0

1 1 1 2 1 1 2 2 1' 1

h h h

f h f h h hf lim lim lim

h h h

2

0 0 0

222 2

h h h

h hh hlim lim lim h

h h

Ejercicio nº 9.-

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f x 2x 2 3x 1 en el punto de abscisa

x 1. Solución:

' 4 3f x x

La pendiente de la recta es ' 1 7.f

Cuando 1, 4.x y

La recta será:

37774174 xxxy

Ejercicio nº 10.- Dada la siguiente función:

2714 xxxf

a) ¿Es creciente o decreciente en x 0? ¿Y en x 4? b) Halla los tramos en los que la función es creciente y en los que es decreciente. Solución:

6

a) ' 14 14f x x

' 0 14 0 Creciente en 0.f x

' 4 42 0 Decreciente en 4.f x

b) Estudiamos el signo de la derivada:

' 0 14 14 0 1f x x x

' 0 14 14 0 14 14 1f x x x x

' 0 14 14 0 14 14 1f x x x x

La función es creciente en , 1 y decreciente en 1, . Tiene un máximo en 1.x

Ejercicio nº 11.- Averigua cuáles son las asíntotas de la siguiente función y representa gráficamente la posición de la curva respecto a ellas:

92

x

xxf

Solución:

Asíntota horizontal: y = 0

09

;09 22

x

xlim

x

xlim

xx

Asíntotas verticales: 3; 3x x

9

;9 2

32

3 x

xlim

x

xlim

xx

9

;9 2

32

3 x

xlim

x

xlim

xx

Representación:

Ejercicio nº 12.- Halla y representa gráficamente los puntos de tangente horizontal de la siguiente función:

5)(1)( 2 xxf(x)

7

Solución:

2

' 2 1 5 1 1 2 5 1f x x x x x x x

1 2 10 1 1 3 9 0

1 Punto 1, 0

3 Punto 3 32

x x x x x

x

x ,

2 2

1 5 ; 1 5x xlim x x lim x x

0).(1, en mínimo y 32)3,( en Máximo

Ejercicio nº 13.-

a Representa la gráfica de la función:

224 42 xxxf

b Sobre la gráfica anterior, estudia el dominio de f (x), su continuidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función

Solución:

2 4 2 4a) 4 2 2 ; 4 2 2x xlim x x lim x x

Puntos de corte con los ejes:

)xz (siendo 02420224 eje el Con 2242 zzxxX

0)1,55;Punto(1,55x

0)(1,55; Punto1,55x2,4 z

vale) no(4,0

4

16164z

z

2,0Punto20 eje el Con yxY

Puntos singulares:

3 2

0 Punto 0,2

8 8 8 1 0 1 Punto 1,4

1 Punto 1,4

x

f x x x x x x

x

Gráfica:

8

b Dominio


Creciente en , 1 0, 1 y decreciente en 1, 0 1, .

Ejercicio nº 14.-

a Representa gráficamente la siguiente función:

1

12

x

xxxf

b A partir de la gráfica, estudia la continuidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f (x).

Solución:

a) Dominio 1


. eje al corta No2

411010 eje el Con 2 XxxxyX


Asíntota vertical: x 1

xflimxflimxx 11

;

Asíntota oblicua:

2 1 1 es asíntota oblicua.

1 1

x xx y x

x x

1Si , 0 La curva está por encima de la asíntota.

1x

x

1Si , 0 La curva está por debajo de la asíntota.

1x

x

Puntos singulares:

9

2

2

2

22

2

2

1

2

1

1122

1

1112'

x

xx

x

xxxxx

x

xxxxxf

2

0 Punto 0, 1

' 0 2 2 0

2 Punto 2, 3

x

f x x x x x

x

Gráfica:

b Continuidad:

continua. es ,1 Si x

Si 1, es discontinua, pues tiene una rama infinita asíntota vertical).x

Creciente en , 2 0, y decreciente en 2, 1 1, 0 .

Ejercicio nº 15.- Los beneficios o las pérdidas obtenidos por una cadena de alimentación desde su apertura vienen dadas por la función:

2

2

3 si 0 2

6 5 si 2

1

x

f x xx

x

siendo x el número de años y f x los miles de euros.

a ¿Qué ocurrió los dos primeros años?

b Estudia la continuidad de la función.

c Con el paso del tiempo, ¿hacia qué valor se estabiliza el beneficio? Solución:

a Los dos primeros años, la cadena de alimentación tiene pérdidas por valor de 3 000 €.

b 1.er

tramo: y 3 función constante y, por tanto, continua en todo su dominio.

22

2

6 52. tramo: función continua en todo su dominio ( 1 0 para cualquier

1

xy x

x

valor de x.

10

Estudiamos la continuidad en el punto de ruptura x 2:

22

22

222

3 3

No existe el , luego es discontinua en 6 5 29

51

xx

x

xx

lim f x lim

lim f x f xx

lim f x limx

x 2

2

2

c) 6 56

1x x

xlim f x lim

x

Con el paso del tiempo, el beneficio anual se estabiliza entorno a los 6 000 €.

Ejercicio nº 16.-

a Dibuja la gráfica de la siguiente función:

xxxxf 23 2

b A partir de la gráfica, di cuál es el dominio de f (x), estudia su continuidad y di cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función.

Solución:

3 2 3 2a) 2 ; 2x xlim x x x lim x x x


3 2 2

0 Punto 0, 0

Con el eje 2 2 1 0

1 Punto 1, 0

x

X x x x x x x

x


Puntos singulares:

2

1 Punto 1, 04 16 12 4 2

' 3 4 1 0 2 16 6

6 3

x

f x x x xx

1 4

Punto ,3 27

Gráfica:

11

b Dominio


Creciente en , 1 0, y decreciente en 1, 0 .

Ejercicio nº 17.-

a Representa la gráfica de la función:

2

3 4

x

xxf

b Ayúdate de la gráfica para estudiar la continuidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f (x).

Solución:

a) Dominio 0


0;6,1Punto6,14040 eje el Con 33 xxyX

Con el eje Y: no corta el eje Y, pues x 0 no está en el dominio.

Asíntotas verticales: x 0

xflimxflimxx 00

;

Asíntota oblicua:

3

2 2

4 4 es asíntota oblicua.

xx y x

x x

2

4Si , 0 La curva está por debajo de la asíntota.x

x

2

4Si , 0 La curva está por debajo de la asíntota.x

x

Puntos singulares:

12

4

44

4

322 823243'

x

xxx

x

xxxxxf

3

3

4

3

4

4 888

x

x

x

xx

x

xx

3' 0 8 0 2 Punto 2, 3f x x x

Gráfica:

b Continuidad:

continua. es,0Si x

Es discontinua en x 0, pues tiene una rama infinita (asíntota vertical).

Creciente en , 2 0, y decreciente en 2, 0 .

ESTADÍSTICA Ejercicio nº 1.- En un grupo de personas se pregunta por el número de veces que han visitado al dentista en el último año. Las respuestas obtenidas se recogen en la siguiente tabla:

N. de visitas 0 1 2 3 4 5

N. de personas 2 40 83 52 18 5

a) Halla la media y la desviación típica.

b) ¿Cuántas personas hay en el intervalo ? ¿Qué porcentaje del total x σ , x σ

representan? c) Otro grupo de personas, ha visitado al dentista en el último año una media de 2,52

veces, con una desviación típica de 1,37. Halla el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión en ambos grupos.

Solución: a)

Media:

295,2

200

459

n

xfx ii

Desviación típica:

999,0998,0295,2200

1253 22

2

xn

xf ii

un nrepresentaquepersonas,13552 83hay , intervalo el En 294,3

296,1 b)

xxx

x

total. del %5,67100200

135

1 2

0,999 1,37c) . . 0,435 ; . . 0,544

2,295 2,52C V C V

x x

La dispersión es mayor en el segundo caso.

Ejercicio nº 2.-

Las estaturas en cm y los pesos en kg de seis deportistas se recogen en la siguiente tabla:

Estatura 186 190 189 190 192 193

Peso 85 86 86 90 90 87

Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Solución:

xi yi xi2 yi

2 xiyi

186 85 34 596 7 225 15 810

190 86 36 100 7 396 16 340

189 86 35 721 7 396 16 254

190 90 36 100 8 100 17 100

192 90 36 864 8 100 17 280

193 87 37 249 7 569 16 791

Total 1140 524 216 630 45 786 99 575

Medias:

1906

1140x

33,876

524y

Desviaciones típicas:

2216630190 5 2, 24

6x

24578687, 33 4, 47 2, 11

6y

Covarianza:

99575190 87, 33 3, 13

6xy

Coeficiente de correlación:

66,011,224,2

13,3

yx

yxr

Hay una relación positiva entre las variables, aunque no es demasiado fuerte.

Ejercicio nº 3.- Se han medido dos características en una población mediante pruebas evaluables de 0 a 10 puntos, obteniendo los siguientes resultados en los primeros seis individuos:

a

a

1. prueba 7,3 5,2 6 8,5 5 4,1

2. prueba 3,4 5,5 4,5 2,3 5,7 6,5

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,998).que(Sabemos?estimación esta fiable ¿Es(7)Calculab) r.y ˆ

Solución:

a

xi yi xi2 xiyi

7,3 3,4 53,29 24,82

5,2 5,5 27,04 28,6

6 4,5 36 27

8,5 2,3 72,25 19,55

5 5,7 25 28,5

4,1 6,5 16,81 26,65

Total 36,1 27,9 230,39 155,12

Medias:

02,66

1,36x

65,46

9,27y

Varianza de X :

16,202,66

39,230 22x

Covarianza:

14,265,402,66

12,155xy

Coeficiente de regresión de Y sobre X :

99,016,2

14,22

x

xyyxm

Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X :

y 4,65 0,99 x 6,02 y 0,99x 10,61

ˆb) (7) 3,68. La estimación es bastante fiable, puesto que 0,998 (muy próxima y r

a –1) y x 7 está dentro del intervalo de valores que estamos considerando.

Ejercicio nº 4.- Una empresa de publicidad hace una encuesta entre los lectores de una revista para saber su edad aproximada y estudiar si deben anunciarse en la revista. Las respuestas obtenidas se reflejan en la siguiente tabla:

Edad 10,13 13,16 16,19 19,22 22,25 25,28

N. de lectores 110 248 115 20 4 3

a) Calcula la media y la desviación típica.

b ¿Es un grupo homogéneo o disperso en cuanto a la edad? Si la empresa anuncia productos para adolescentes, ¿les conviene poner un anuncio en esa revista?

c) En otra revista B, la media de edad de los lectores es de 37,53 años con una desviación típica de 5,21. Calcula el coeficiente de variación en ambos casos y compara la dispersión en los dos grupos.

Solución: a) Hallamos la marca de clase, xi, de cada intervalo y hacemos la tabla:

Intervaleo xi fi fixi fixi2

10,13 11,5 110 1265 14547,5

13,16 14,5 248 3596 52 142

16,19 17,5 115 2012,5 35218,75

19,22 20,5 20 410 8 405

22,25 23,5 4 94 2209

25,28 26,5 3 79,5 2106,75

500 7457 11429

Media:

914,14500

7457

n

xfx ii

Desviación típica:

22 2114629

14,914 6,83 2,61500

i if xx

n

b) Es un grupo bastante homogéneo; la mayoría de los lectores son adolescentes, por tanto, sí

les conviene poner el anuncio en la revista.

2,61 5,21c) . . 0,175; . . 0,139

14,914 37,53A BC V C V

x x

La dispersión es un poco mayor en el primer caso.

PROBABILIDAD

Ejercicio nº 1

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar

la probabilidad de:

1 Seleccionar tres niños.

2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

3Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

1 Seleccionar tres niñas.

Ejercicio nº 2

Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales

a y cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la

tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de

que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

Ejercicio nº 3

La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1.

La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la

probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no

haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos:

I = Producirse incidente.

A = Sonar la alarma.

Ejercicio nº 4- Una moneda con probabilidad de cara 0,6 se lanza ocho veces. Calcula la probabilidad de obtener cara: a) Alguna vez. b) Más de seis veces. Halla la media y la desviación típica. Solución:

Si llamamos x “n. de caras en 8 lanzamientos”, se trata de una distribución binomial con

n 8; p 0,6: B (8; 0,6)

99930401010 8a) ,,xpxp

10606040608876 87b) ,,,,xpxpxp

Hallamos la media y la desviación típica:

8,46,08 np

39,192,14,06,08 npq

Ejercicio nº 5- La temperatura en grados Fahrenheit de una cierta localidad sigue una distribución

N 68, 4. Calcula la probabilidad de que la temperatura en esa localidad:

a) Supere los 75 F.

b) Esté entre 65 F y 70 F. Solución:

0401095990175117514

6875

4

6875a) ,,,zp,zp

xpxp

b)65 68 68 70 68

65 70 0,75 0,54 4 4

xp x p p z

75,015,075,05,075,05,0 zpzpzpzpzpzp

4649,07734,016915,0

Ejercicio nº 6- Una urna contiene 6 bolas con números pares y 9 bolas con números impares. Si hacemos diez extracciones con reemplazamiento, calcula la probabilidad de obtener número impar: a) Alguna vez. b) Más de 8 veces. Halla la media y la desviación típica. Solución:

Si llamamos x “n. de impares en diez extracciones”, se trata de una distribución binomial

9 3

con 10; 0,6: 10; 0,615 5

n p B

99990401010 10a) ,,xpxp

0460604060101098 109b) ,,,,xpxpxp


66,010 np

55,14,24,06,010 npq

Ejercicio nº 7

El 4% de una población padece una cierta enfermedad. Si elegimos al azar un grupo de 200 personas de esa población, calcula la probabilidad de que padezcan la enfermedad más de 15 de ellas. Solución:

Si llamamos x “n. de personas que padece la enfermedad”, entonces x es una binomial

Con 200 0,04, en la que tenemos que calcular 15 .n y p p x

La calculamos aproximando con una normal.

La media de es 200 0,04 8; su desviación típica es 7,68 2,77.x np npq

1,0 es 77,2;8 es '04,0;200 es NzNxBx

0034,09966,0171,2171,277,2

85,155,15'15

zpzpzpxpxp

Ejercicio nº 8.- La probabilidad de que un cierto experimento tenga éxito es 0,4. Si repetimos el experimento 15 veces, calcula la probabilidad de que tenga éxito: a) Alguna vez. b) Menos de dos veces. Halla la media y la desviación típica. Solución:

Si llamamos x “n. de éxitos”, se trata de una distribución binomial con n 15; p 0,4:

B 15; 0,04

99950601010 15a) ,,xpxp

005060401560102 1415b) ,,,,xpxpxp


64015 ,np

90163604015 ,,,,npq

Ejercicio nº 9.-

La tensión de una determinada línea eléctrica sigue una distribución N 100, 20. Calcula la probabilidad de que el valor de la tensión en esa línea: a) Sea mayor que 150. b) Esté entre 130 y 140. Solución:

006209938015215220

100150

20

100150a) ,,,zp,zp

xpxp

512251

20

100140

20

100

20

100130140130b) ,zpzpz,p

xpxp

044,09332,09772,0

Ejercicio nº 10.- El 4% de una población padece una cierta enfermedad. Si elegimos al azar un grupo de 200 personas de esa población, calcula la probabilidad de que padezcan la enfermedad más de 15 de ellas. Solución:

Si llamamos x “n. de personas que padece la enfermedad”, entonces x es una binomial

Con 200 0,04, en la que tenemos que calcular 15 .n y p p x


La media de es 200 0,04 8; su desviación típica es 7,68 2,77.x np npq

1,0 es 77,2;8 es '04,0;200 es NzNxBx

0034,09966,0171,2171,277,2

85,155,15'15

zpzpzpxpxp

Ejercicio nº 11.- Dos de cada ocho niños de una determinada zona tienen caries. En un grupo de 50 niños de esa zona, ¿cuál es la probabilidad de que tengan caries más de 20? Solución:

Si llamamos x “n. de niños con caries”, entonces x es una binomial con n 50;

.xp,p 20 calcular que tenemos que la en,2508

2


La media de x es np 50·0,25 12,5; su desviación típica es:

.06,3375,975,025,050 npq

es 50; 0,25 ' es 12,5; 3,06 es 0, 1x B x N z N

0045,09955,0161,2161,206,3

5,125,205,20'20

zpzpzpxpxp

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I · PDF fileDivisión de un polinomio por x-a. Regla de Rufini. Teorema del resto. Factorización de un polinomio. Ecuación de primer