NÚMEROS Y OPERACIONES 2

Secuencias de actividadesEducación Secundaria

Claudia ComparatoreLiliana Kurzrok

SOLUCIONARIOMATEMÁTICASerie Temática

Índice Capítulo 1: Los números naturales ............................................................. 3

Capítulo 2: Iniciación a las prácticas algebraicas ................................... 5

Capítulo 3: Los números enteros ................................................................. 7

Capítulo 4: Los números racionales .......................................................... 11

Capítulo 5: Iniciación en el estudio de las ecuaciones ............................... 14

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ISBN 978-987-576-537-5

Números y operaciones

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Matemática | Serie TemáticaSecuencias de actividades • Geometría 1 • Geometría 2 • Geometría 3 • Geometría 4 • Probabilidad y estadística

• Números y operaciones 1 • Números y operaciones 2 • Números y operaciones 3• Iniciación al álgebra y al estudio de funciones 1• Iniciación al álgebra y al estudio de funciones 2

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Solucionario

Este solucionario desar-rolla la propuesta didáctica de Matemática

Serie Temática

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Secuencias de actividades • Geometría 1 • Geometría 2 • Geometría 3 • Geometría 4 • Probabilidad y estadística

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Gerente general Claudio De Simony Directora Alina Baruj

AutoresLiliana Kurzrok (coord.)Claudia Comparatore

EditorasLiliana KurzrokClaudia Comparatore CorrectoraLaura Susin

Jefa de arteEugenia EscamezCoordinación de Diseño gráfico Diego Lucero

Fotografías Archivo ClarínJefa de Preprensa y fotografía Andrea BalbiSelección de imágenes Silvina PiaggioDanae Tzicas

© Tinta fresca ediciones S.A. Corrientes 526 (C1043AAS) Ciudad Autónoma de Buenos Aires

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Capítulo 1: Los números naturales

Página 5 1. a. No sirve porque no calcula el descuento.b. Sirve. Calcula el valor total por artículo y le resta los descuentos.c. Sirve. Primero se calcula el precio de cada artículo con el descuento y después el valor total que se debe pagar.d. No sirve, del mismo modo que el a., no calcula el descuento.e. No sirve, suma en lugar de restar el descuento.f. Sirve, calcula el total de todos los artículos y le resta el descuento total.2. a. Tiene que sumar 1 porque esta restando 1 de más.b. 457 – 100 + 1 = 358 234 – 200 + 1 = 35 987 – 900 + 1 = 88 675 – 100 + 2 = 5773. Es múltiplo de 2, de 3 y de 4, porque 72 = 2 × (2 × 2) × 3 × 3 = 2 × 4 × 3 × 3.Es múltiplo de 7 y de 5, porque 35 = 5 × 7.Es múltiplo de 10 también, porque 72 × 35 = 10 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7.No es múltiplo de 11, porque 11 es primo y no es divisor de 35 ni de 72.4. Si, porque sumar cuatro veces un número más cinco veces el mismo número es lo mismo que sumarlo nueve veces.5. Es correcto.

Páginas 6 y 76. a. 8 4 b. 10 5

7. a.1.024 b.100 c. 18. b. y h., porque 35 + 84 = 119.c. y e., porque 5 32 es 32 veces 5, 5 41 es 41 veces 5, en total se está multiplicando 73 veces.d. y n., porque se divide al producto de 41 factores 5 por el producto de 32 factores 5, hay 32 factores que se simplifican, por lo tanto quedan 9 factores.i. y m. (5 × 5 × 5) 4 = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) = 5 12 9. a. No, porque la potenciación no es distributiva respecto de la suma.b. Sí, porque al elevar a la décima a 2 3 se esta multiplicando 10 factores iguales a éste, por lo tanto se tienen 30 factores.c. No, porque en total se tienen 13 factores.d. No, no hay ninguna relación con la información dada.e. Sí, porque se multiplican 20 factores 2 con 10 factores 2, en total hay 30 factores.f. No, no hay ninguna relación con la información dada.g. Sí, porque 2 15 × 2 15 tiene en total 30 factores 2.h. Sí, porque en la división se cancelan los 10 factores comunes de los dos números, y queda: 2 40 : 2 10 = 2 30 .10. a. Falsa, por ejemplo (1+2) 2 = 3 2 = 9; 1 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5b. Verdadera. c. Verdadera.11. El d. tiene más cifras porque tiene 50 – 2 = 48 ceros y un uno, o sea 49 cifras, mientras que el a. tiene 27, el b. tiene 19 y el c. tiene 20.12. a. (3 × b) 2 × c 5 = 9 × 7.569 × 32 = 2.179.872b. b 4 × c 10 = ( b 2 ) 2 × ( c 5 ) 2 = (7.569) 2 × (32) 2 = 58.664.715.264c. c 5 : (2 × b) 2 = 32 : (4 ×7.569) = 0,001056942792971330426740652662174713. a. Sí se puede resolver, (5 × n) 3 = 5 3 × n 3 = 125 × 961.504.803b. Sí se puede resolver, n 6 = ( n 3 ) 2 = (961.504.803) 2 c. Sí se puede resolver, (n : 3) 3 = n 3 : 3 3 = 961.504.803 : 27d. Sí se puede resolver, n 3 × n 3 = ( n 3 ) 2 = (961.504.803) 2

14. 2 75 × 3 25 × 5 25 × 4 4 ______________ 7 3 × 2 3 × 5 6 × 3 6 .

15. a., c., b. b. es el mayor porque tiene mayor cantidad de cifras igua-les a 0, tiene 5 mientras que los otros dos números tienen 4, mientras que a. es menor que c. porque 25 es menor que 52 y tienen la misma potencia de 10 como segundo factor.16. a. 16 b.15 c. 5 d. 117. c. y d. dan el mismo resultado, también g. y h., porque la poten-ciación es distributiva respecto de la multiplicación y la división, pero no lo es respecto de la suma y de la resta.18. a. √

____ 900 = √

______ 9 × 100 = √

__ 9 × √

____ 100 = 3 ×10 = 30

b. 3 √

_____ 64.00 =

3 √

_________ 64 × 1.000 =

3 √___

64 × 3 √_____

1.000 = 4 × 10 = 40c. 11.d. √

______ 14.400 = √

_________ 144 × 100 = √

____ 144 × √

____ 100 = 12 × 10 = 120

e. 60 2 = 3.600f. 90 2 = 8.100

Páginas 8 y 919. Puede disfrazarse de 75 maneras.20. a. 40.320 b. 5.040 21. a. 24 b. 40.320 c. Tiene razón Javier, 8! es mas que el doble de 4!.22. a. i. 5.040 ii. 116.280 iii. 657.720b. i. 210 ii. 4.845 iii. 27.40523. De 1.140 maneras.24. a. 120 b. 3.125 25. a. 15.120 b. Hay 729 números capicúas.

Página 10 Aprender con calculadora1. Calculadora común: 64.895,5. Científica 124.868. Esto sucede porque la calculadora científica jerarquiza las operaciones pero la común no lo hace.

2.a. 897.589.999 × 386.698 =(897.000.000 + 589.000 + 999) × (386.000 + 698) = 897.000.000 × 386.000 + 897.000.000 × 698 + 589.000 × 386.000 + 589.000 × 698 + 999 × 386.000 + 999 × 698. Se aplica la propiedad distributiva, y luego con la calculadora común se resuelven los productos de las cifras diferentes de 0, se agregan los 0 que correspondan mentalmente y luego se suman los productos parciales. 3. Por ejemplo: a. 444.444 + 111.111 + 2.400 + 100b. (444.444 + 111.111) × 11.000 : 24. a. i. Tiene 4 cifras, porque al multiplicar 38 × 10.000 se obtiene un numero mayor que 358.560 y al multiplicarlo por 1.000 se obtiene uno menor, quiere decir que el cociente está entre 1.000 y 10.000, por lo tanto tiene 4 cifras.ii. El cociente tiene 3 cifras, haciendo un análisis similar al del ítem anterior, el cociente está entre 100 y 1.000.iii. El cociente tiene 5 cifras, porque está entre 10.000 y 100.000.iv. El cociente tiene 5 cifras, porque está entre 10.000 y 100.000.5. a. Cociente 17 y resto 7. En la calculadora se obtiene 17,21212121, por lo tanto el cociente es 17. Para calcular el resto se puede hacer, por ejemplo, 568 – 17 × 33 = 7.b. Cociente 34 y resto 15. En la calculadora se obtiene 34,6, por lo tanto el cociente es 34. Para calcular el resto se puede hacer, por ejemplo, 865 – 34 × 25 = 15.6. a. Multiplica por 10. b. 7 veces.7. a. 13 b. 140 c. 5 d. 88. a. i. 23 ii. 16 iii. 253 iv. 51 v. 84b. Con una calculadora común se puede resolver cada término por sepa-rado e ir guardándolos en la memoria suma o resta según corresponda.

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SOLUCIONARIO

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Páginas 11 y 12 Integrar lo aprendido1. a. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Son 10.b. No es cierto porque 96 tiene los mismos divisores que 48 además de 96 y 32.2. 2, 3 y 5.3. a. Sí, porque 25 × 40 = 1.000 y 25 × 8 = 200.b. Sí, porque 25 × 20 = 500 y 500 – 25 = 475.c. Sí, porque 25 × 20 = 500 y 25 × 2 = 50.d. Sí, porque 25 × 40 = 1.000 y 1.000 + 25 = 1.025.e. Sí, porque 25 ×100 = 2.500, 25 × 40 = 1.000, 25 × 8 = 200 y 2.500 + 1.000 + 200 = 3.700.4. El primer término es múltiplo de 6, el segundo es19 = 18 + 1 = 6 · 3 + 1, por lo tanto el resto es 1.5. a. Si consideramos un número cualquiera de cuatro cifras, por ejemplo, se lo puede escribir de la siguiente manera: 1.000 × a + 100 × b + 10 × c + d = (999 × a + 99 × b + 9 × c ) + (a + b + c + d). Como en el primer sumando son todos múltiplos de 3, para que el número sea múltiplo de 3 también tiene que serlo el segundo, es decir, la suma de sus cifras.b. El criterio es similar al anterior, si la suma de las cifras es múltiplo de 9, entonces el número también lo es, se analiza del mismo modo que en el ítem anterior.6. a. 19, porque el primer sumando es múltiplo de 27 y 8 + 19 = 27.b. 5, porque el primer sumando es múltiplo de 13 y 8 + 5 = 13.c. 1, ya que el primer sumando es múltiplo de 9 porque 27 lo es y 8 + 1 = 9.d. 1, ya que el primer sumando es múltiplo de 3 porque 27 lo es y 8 + 1 = 9, que también es múltiplo de 3.e. 31, porque el primer sumando es múltiplo de 39 porque 27 × 13 = 9 3 × 13 = 9 × 39, y 8 + 31 = 39.7.a. 120 b. 720 8. 40.320 9.a. 720 b. 46.65610. a. Por ejemplo: 18 × 9 – a × 4 ; a × 5 + b × 9. b. (a + b) × c; a × c + b × c.11. a. No. b. No. c. Sí. d. No.12. Al dividir por 28, el cociente es 17 y el resto 5, porque 28 ×16 + 33 = 28 ×16 + 28 + 5 = 28 ×17 + 5. Al dividir por 16, el cociente es 30 y el resto 1, porque 28 ×16 + 33 = 28 × 16 + 2 ×16 + 1 = 30 ×16 + 1.13. a. 5, porque 780.005 = 780 × 1.000 + 5.

b. 42, porque 783.042 = 783 ×1.000 + 42.c. 450, porque 195.450 = 195 × 1.000 + 450.d. 834, porque 645.834 = 645 × 1.000 + 834.14. a. 2, porque 4.606 + 2 = 4.608. b. 4, porque 4.606 + 4 = 4.610.c. 0, porque 4.606 + 7 = 4.613. d. 2, porque 4.613 + 2 = 4.615.15.a. 5, porque 2.748 + 6 + 5 = 2.759. b. 0, porque 2.754 = 2.748 + 6.c. 4, porque 2.758 = 2.748 + 6 + 4.d. 0, porque 3.048 = 2.748 + 300 y 300 es múltiplo de 6.16. a. Distributiva de la potencia respecto de la multiplicación, pro-ducto de potencias de igual base y asociativa del producto.b. 4 4 × 3 3 = 4 × (4 × 3) 3 = 4 × 12 3 = 4 × 1.728 = 6.912 5 5 × 4 4 = 5 × (5 × 4) 4 = 5 × 20 4 = 5 × 160.000 = 800.000 (n +1) n+1 × n n = (n + 1) × (n + 1) n × n n = (n + 1) × [(n + 1) × n] n c. (n + 1) n × (n + 1) × n n 17. a. 2 5 × 3.200.000 b. (3.200.000) 2 c. 3.200.000 : 2 5 18. No, porque (2 × a) 2 = 4 × a 2 .19. a. 5 3 × 512 × 531.441 b. 512 2 × (531.441) 2 c. 531.441 : 512 d. 531.441 : (8 × 512)20. a. 18 × 4 b. 18 2 c. 18 2 d. 18 : 2 e. 18 : 3f. No es posible, porque no hay información sobre la suma de a y b.g. No es posible, porque no se conoce el valor de a.h. 6 ×18 i.18 j. 321. Hago √

___ 49 × √

___ 16 = 7 × 4.

22. a. Verdadero. Todo número par puede escribirse como 2n con n un número entero, entonces si se eleva al cuadrado queda 2 . 2 . n² que sigue siendo par.b. Verdadero ya que la raíz de 4 es 2.c. Verdadero porque cada vez que se multiplica por 10 se agrega un 0, entonces este número tiene 589.689 ceros.d. Falso, la raíz cuadrada de 10 no da entero.23. a. 2 × 10111 b. 4 × 10202 c. 4 × 10202

d. 1099 e. 5 ______ 2 × 10 19 f. 2 × 1099

24. a. Son 24 menúes. b. Es cierto son 48 menúes.

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NÚMEROS Y OPERACIONES 2

capítulo 2

Capítulo 2: Iniciación a las prácticas algebraicas

Página 131. a. Los dos chicos tienen razón, no alcanza con poner ejemplos para demostrar una propiedad válida para todos los números naturales. El ensa-yo con algunos ejemplos puede resultar útil para encontrar regularidades.b. Propiedad distributiva.c. Se puede usar la misma propiedad que en b. cualquiera sea el número por el que se empiece porque no depende del número sino de las opera-ciones de multiplicar por 2, por 3, por 4. Sumar un número más su doble, más su triple, más su cuádruple es lo mismo que sumar 10 veces el núme-ro, por lo tanto es una multiplicación por 10, que siempre termina en 0.2. 917 : 36 tiene cociente 25 y resto 17, 917 : 25 tiene cociente 36 y resto 17.3. a. 928 : 36 tiene cociente 25 y resto 28.Como 28 es mayor que 25, 28 no puede ser el resto de una divi-sión por 25, sin embargo, si escriben 28 = 25 + 3, entonces 928 = 25 × 36 + 28 = 25 × 36 + 25 + 3 = 25 × 37 + 3. Luego en la división 928 : 25 el cociente es 37 y el resto es 3, ya que 3 es menor que 25.b. i. Julián está pensando que el resto tiene que ser menor que el divi-sor y 28 es mayor que 25.ii. Significa escribir otras operaciones con el mismo resultado, el divi-dendo, 928, y que permitan analizar qué valores tomarán cociente y el resto, manteniendo en ella el divisor, 25. Es lo que se hizo en a.iii. Es lo mismo, porque 25 × 36 + 25 + 3 = 25 × 36 + 25 × 1 + 3 = 25, (36 + 1) + 3 = 25 × 37 + 3. Se usa la propiedad distributiva.4. 72 × 38 + 77 = 72 × 38 + 72 + 5 = 72 × (38 + 1) + 5 = 72 × 39 + 5, entonces en la división 2.813 : 72 el cociente es 39 y el resto es 5.72 × 38 + 77 = 72 × 38 + 38 + 38 + 1 = 74 × 38 + 1, entonces en la divi-sión 2.813 : 38 el cociente es 74 y el resto es 1.5. En 4.112:75, el cociente es 54 y el resto es 62. En 4.112 : 54, el cocien-te es 76 y el resto es 8.6. Al dividir por 35 el cociente es 27 y el resto 19. Al dividir por 27 el cociente es 35 y el resto 19.7. a. Al dividir por 38 el cociente es 23 y el resto 29. Para dividir por 23 conviene escribir como 23 × 38 + 23 + 6 = 23 × 39 + 6, entonces el cociente es 39 y el resto 6.b. Es cierto, depende de si lo que queda sumando es mayor o menor que el divisor. 8. b. y f. son los únicos múltiplos de 4.a. No es múltiplo de 4, porque 12 × 252 + 1 = 4 × 3 × 252 + 1, entonces el resultado de esta cuenta tiene resto 1, y no 0, al dividirlo por 4.b. Es múltiplo de 4, porque 12 × 252 + 4 = 4 × 3 × 252 + 4, donde el primer término es múltiplo de 4 y al sumarle 4 se obtiene otro múltiplo de 4.c. No es múltiplo de 4, porque 12 × 252 + 7 = 4 × 3 × 252 + 4 + 3, que es un múltiplo de 4 más 3, con lo cual tiene resto 3 al dividirlo por 4.d. No es múltiplo de 4, porque, como 488 = 122 × 4 y 11 = 2 × 8 + 3, enton-ces 15 × 488 + 11 = 15 × 122 × 4 + 2 × 4 + 3, donde los dos primeros suman-dos son múltiplos de 4 y el tercero es 3, luego tiene resto 3 al dividirlo por 4.e. No es múltiplo de 4, porque 15 × 488 + 3 = 15 × 122 × 4 + 3, que es un múltiplo de 4 más 3, luego tiene resto 3 al dividirlo por 4.f. Es múltiplo de 4, porque 12 × 252 + 480 = 4 × (3 × 252 + 120)9. b., c., d. y e. son los únicos que tienen resto 8 al ser divididos por 9.a. No tiene resto 8, porque: 85 × 8 + 85 = 85 × 8 + 85 × 1 = 85 × (8 + 1) = 85 × 9, entonces es múltiplo de 9, o sea que tiene resto 0. Se aplica la propie-dad distributiva.b. Tiene resto 8, porque: 85 × 8 + 93 = 85 × 8 + 85 + 8 = 85 × 9 + 8c. Tiene resto 8, porque: 1.256 × 90 + 8 = 1.256 × 10 × 9 + 8, que es un múltiplo de 9 más 8. Se aplica la propiedad asociativa del producto.d. Tiene resto 8, porque 4.265 × 18 + 17 = 4.265 × 2 × 9 + 9 + 8 = (4.265 × 2 + 1) × 9 + 8. Se aplica la propiedad distributiva y la propiedad asociativa del producto.

e. Tiene resto 8, porque es un múltiplo de 9 al que se le suma 8.f. No tiene resto 8, porque: 81 × 98 + 27 = 9 × 9 × 98 + 9 × 3 = 9 × (9 × 98 + 3), que es un múltiplo de 9, entonces tiene resto 0 al dividirlo por ese número. Se aplica la propiedad distributiva y la propiedad asociativa del producto.10. a. Por ejemplo: 23 × 75 + 10. Hay infinitas maneras de completarlo porque se elige cualquier número natural, se lo multiplica por 23 y se le suma 10. b. Por ejemplo: 85 × 23 + 33. Hay infinitas maneras de completarlo porque se puede elegir cualquier múltiplo de 23. De esa manera el pri-mer sumando será múltiplo de 23, y al sumarle 33 que es 23 + 10, el resto de la división por 23 va a dar 10.c. 56 × 23 + 10. Hay infinitas maneras de completarlo porque se pue-de elegir cualquier múltiplo de 23 para el primer número, y cualquier múltiplo de 23 más 10 para el segundo. 11. Si n tiene resto 7 se puede escribir como 10 . k + 7, si se le suma 6 queda 10 . k + 13 = 10 . k + 10 + 3, entonces el resto es 3.Si se lo multiplica por 2 queda 10 . 2k + 14 = 10 . 2k + 10+ 4, por lo tanto el resto es 4.

Páginas 16 y 1712. a. La cantidad de cuadraditos que tiene que pintar, que son 16.b. Tiene que pintar 112 cuadraditos.c. La cantidad de cuadraditos que tiene que pintar, que serían 396.d. Por ejemplo: cantidad de cuadraditos por lado × 4 – 4e. Por ejemplo: (cantidad de cuadraditos por lado – 1) × 4, o cantidad de cuadraditos por lado × 2 + (cantidad de cuadraditos por lado – 2) × 2 o (cantidad de cuadraditos por lado – 2) × 4 + 4 o cantidad de cuadraditos por lado × cantidad de cuadraditos por lado – (cantidad de cuadraditos por lado – 2) × (cantidad de cuadraditos por lado – 2)f. Sí, porque es múltiplo de 4. g. No, porque no es múltiplo de 4.h. Se puede saber verificando que el número que se le da a la compu-tadora sea múltiplo de 4. Será correcta si es múltiplo de 4. Si se analizan las fórmulas propuestas puede deducirse que el número total de cua-draditos pintados es siempre un múltiplo de 4.i. Lo que dice Silvia es correcto. j. i., iii. y iv. son las únicas que sirven.i. Sí sirve. Se consideran los cuadraditos de cada lado menos uno, 4 veces, porque contándolos de esta forma se va recorriendo todo el contorno del cuadrado, que tiene 4 lados.ii. No sirve, porque da números mayores. Es similar a la c., que es la correcta.iii. Sí sirve. Se consideran los cuadraditos por lado 4 veces, pero al con-tarlos de esta manera, los 4 cuadraditos de los vértices se cuentan dos veces, luego hay que restarlos una vez, por eso se resta 4.iv. Sí, sirve. Se consideran los cuadraditos del medio de cada lado, sin los cuadraditos de los vértices, 4 veces, y luego se suman los cuadradi-tos de los vértices, que quedaron sin contar, por eso se suma 4.v. No sirve. El primer sumando cuenta los cuadraditos que no están pin-tados, ya que es el área del cuadrado no pintado, y luego se le suma 4, pero todo esto no tiene correspondencia con los cuadraditos pintados.13. a. En el visor de la calculadora aparece el mismo número repetido dos veces.b. Con todos los números de tres cifras pasa lo mismo.c. Esto sucede porque 7 × 11 × 13 = 1.001.

Páginas 18 y 1914. a. En el primer caso 25 pétalos y en el segundo 106 pétalos. b. Número de lentejuelas × 3 + 1.c. No, porque no puede ser un múltiplo de 3 y 30 lo es. La cuenta del ítem c. muestra que el número total de pétalos tiene resto 1 al ser divi-dido por 3, por lo tanto no puede ser un múltiplo de 3.

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d. Sí, porque 9 × 3 + 1 = 28. Le corresponderían 9 lentejuelas. 15. a. 20 fósforos en el primer caso y 179 en el segundo. b. Sí, 9 × 3 + 2 = 29c. Las únicas fórmulas que lo permiten son ii. y iii.i. No sirve. Para dos triángulos esta fórmula devuelve que se necesitan 7 fósforos, pero contando en el dibujo se observa que tiene 8 fósforos.ii. Sí sirve. Esta fórmula cuenta que por cada triángulo siempre hay 3 fósforos, que pueden contar de izquierda a derecha, contando diago-nales y horizontales, y al final, a la derecha, quedan 2 fósforos diagona-les sin contar, entonces hay 3 fósforos por cada triángulo más dos que cierran el último.iii. Sí sirve. Esta fórmula es similar a la anterior, cuenta los 5 fósforos del primer triángulo y luego va contando 3 fósforos por cada triángulo que quedó, todos menos el primero.16. a. 19 baldosas blancas. 118 baldosas blancas.b. Sí, con 13 baldosas anaranjadas.c. m × 2 + 6 = b, donde m es la cantidad de baldosas anaranjadas y b la cantidad de baldosas blancas.17. Todas son correctas porque describen con exactitud la forma en que cuentan los fósforos, además, si cada expresión (que condice con la explicación) es escrita en su mínima expresión, todas se pueden transformar en 3 × n + 1.

Páginas 20 y 2118. a. 128, el doble, porque si a × b = 64, entonces a × (b × 2) = (a × b) × 2 = 64 × 2. Aplicando la propiedad asociativa del producto.b. Sí, es el cuádruple, porque(a × 2) × (b × 2) = (2 × a) × (2 × b) = 2 × (a × 2) × b = 2 × (2 × a) × b = (2 × 2) × (a × b) = 4 × 64. Aplicando las propiedades asociativa y conmutativa del producto.c. Sí, es 6 veces el área dada, porque (a × 3) × (b × 2) = (3 × a) × (2 × b) = 3 × (a × 2) × b = 3 × (2 × a) × b = (3 × 2) × (a × b) = 6 × 64.Aplicando las propiedades asociativa y conmutativa del producto.19. a. El doble: 120. b. La mitad: 30.c. Las dos operaciones se compensan porque multiplicar y dividir por un mismo número son operaciones inversas, entonces queda igual: 60.d. Sí, porque basta con analizar las propiedades de la multiplicación.20. a. No varía porque se compensa multiplicar por 2 y dividir por 2.b. No varía porque se compensa multiplicar por 4 y dividir por 4.c. No se puede saber, porque (m + 1) × n = m × n + n y, entonces es necesario conocer el segundo número.21. Ídem ejercicio 20.22. Son las mismas operaciones con los mismos números, solo cam-bia el contexto del problema. Entonces se puede usar la información del 20. para resolver el 21., pero hay que recontextualizarla.23. a. 89,1 cm 2 b. Se reduce un 1%.

Página 22 Aprender con la computadora1. c. Porque lo que se pone en B1 es como una fórmula que dice que hay que multiplicar por 4 el número que está en A1.d. 28 e. Idem c.f. Multiplicando por 4 todos los números de la columna A.2. b. = A1*33. b. Infinitas filas haciendo 18 + 25*k con k cualquier número natural mayor o igual que 18

c. Los valores deben ser mayores que 18 porque ese es el resto y el divisor debe ser mayor.

Páginas 23 y 24 Integrar lo aprendido1. a. a 2 b. Se cuadriplica, (2 × a) 2 = 4 × a 2 c. No es posible, es necesario conocer el lado del cuadrado. Ya que (a + 1) 2 = a 2 + 2 × a + 12. a. 7 b. 0 c. 6 d. 2 e. 5 f. 173. a. Si se puede, porque: p × 3 × q × 3 = p × q × 3 × 3 = 90 × 9 = 810.b. Si se puede, porque: p × 4 × q × 3 = p × q × 12 = 90 × 12 = 1.080.c. No se puede porque (p + 2) × q = p × q + 2 × q, y entonces es necesario conocer el valor del segundo número.4. a. Si, se puede, porque a × 3 × b × 3 = a × b × 9 = 90 × 9 = 810.b. Si porque a × 4 × b × 3 = a × b × 12 = 90 × 12 = 1.080.5. a. 96, porque a × 2b = 2 × a × b = 2 × 48.b. 24, igual que a.c. 48, porque se compensa multiplicar por 2 y dividir por 2.d. No se puede, depende del valor de a. 6. a. 20 b. 62 c. 6 × 25 + 2 d. 6 × G + 2e. Si usó 458 chicas necesita 76 grandes. Si usó 355 chicas necesita 58 grandes pero le sobran 5 chicas.7. a. 53 b. 103 c. Sí, sobran 2. d. 37 rayadas y sobran 2 punteadas. e. 5 × B + 38. a. Sí, porque necesita 2 × 87 + 1 fósforos.b. 99 triángulos y sobra 1 fósforo. c. 2 × t + 1c. i. Falso, por ejemplo el de 12 triángulos.ii. Verdadero, el de 18 no y el de 4 sí.iii. Verdadero porque es un número par más 1.iv. Verdadero, ídem anterior.9. a. 8 b. 18 c. Sí, con 60 marrones. d. Sí, con 81 marrones.e. i. Falso, depende de los marrones si estos son pares el resultado lo será si no será impar.ii. Verdadero, explicado antes.iii. Verdadero, explicado en i.f. Las que sirven son ii. iii. y iv.10. 311. a. 3b. No, cualquiera que sea de la forma 15 por un número natural más 3.

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Capítulo 3: Los números enteros

Página 251. a. 1.880 metros. b. El valle de la Muerte, a 86 metros.c. 3.453 metros, 3.367 + 86 = 3.453.2. a.

Nació Murió Vivió

Thales de Mileto 624 a.C. 546 a.C. 78 años

Pitágoras de Samos 580 a.C. 520 a.C. 60 años

Euclides 325 a.C. 265 a.C. 60 años

Arquímedes 287 a.C. 212 a.C. 75 años

b. Thales de Mileto.c. Thales de Mileto y Pitágoras de Samos pudieron haberse conocido. Euclides y Arquímedes también. d. Thales de Mileto nació hace 2.633 años, Pitágoras de Samos hace 2.589 años, Euclides hace 2.334 años, Arquímedes hace 2.296 años.

Páginas 26 y 273.

Anterior Número Posterior

–1 0 1

0 1 2

–2 –1 0

–10 –9 –8

–100 –99 –98

–871 –870 –869

4. Las dos tienen razón.5. a.

–6 4–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

b.

–200 500300–100 0 100 200 400

7.

–500 5000–100–250

–525

200 350

8. La escala puede ser, por ejemplo, 10.

–98 –83 –45 –25 5

8

74 100

9. a. 2

5 15

b. Hay 15 números.

5 19

c. Hay un solo número.

3

d. 2

3–3

10. a.m 9 87 84 36 –57

–m (opuesto de m) −9 −87 −84 –36 57

m –87 –65 –94 –79 –24

–m (opuesto de m) 87 65 94 79 24

b. Es falso porque, por ejemplo el opuesto de −57 es 57 que es positivo11.

a 7 –3 –86 487

Distancia de a a 0 7 3 86 487

12. a. Verdadera. b. Falsa.c. Falsa, si a es negativo –a es positivo.d. Verdadera, porque los números naturales son positivos.13. a. 2

− 100 100

b. 13

− 6 60− 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4 5

c. Infinitos

− 51 51− 52 52... ...

d. 2

3 7

14. a. i. a = 3 o a = –3 ii. No existen valores de a.iii. a = 0. iv. Los números positivos. v. Los números negativos.b. No es cierto, porque si a es positivo su modulo es a, pero si es nega-tivo, su modulo es –a.

Páginas 28 y 29 15. a. Gabriel Sofía

1o mano –40 20

2o mano –40 + 8 = –32 20 –10 = 10

3o mano –32 –10 = –42 10 + 10 = 20

b. Sí, puede ser. Por ejemplo, que Sofía corte con –40 y Gabriel saque más de 22 puntos, o que Sofía corte con –10 y Gabriel saque más de 52.c. No, no puede ser, porque tendría que sumar 80 o más puntos, y eso no es posible, lo máximo que se puede sumar es 75 (dos 12, dos 11, dos 10 y un 9).16. a. Ezequiel escribe los puntos en contra como números positivos y los puntos ganados como negativos, así siempre suma. Es correcto porque sumar un número negativo es lo mismo que restar su opuesto.b. 40 puntos en contra, mas 15 a favor, son 25 en contra. 35 a favor y 10 en contra, son 25 a favor.25 en contra, mas 10 en contra, son 35 en contra. 25 a favor, más 21 a favor, son 46 a favor. Están todas bien resueltas.

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c. Gabriel Sofía

1o mano –40 20

2o mano –40 + 8 = –32 20 + (–10) = 10

3o mano –32 + (–10) = –42 10 + 10 = 20

17. Bruno tiene razón, el signo de la suma depende del signo de los sumandos.18. a. 32 b. –822 c. –31 d. –123 e. –300 f. 30419. a. –23 b. 14 c. 45720. Sí, porque como tienen distinto signo hay que restar sus módulos, pero, como éstos son iguales, el resultado es cero.

Páginas 30 y 3121. a. 30 b. –15 c. –64 d. 3822. Sí, es cierto, es la definición de resta.23. a. 51 b. –90 c. –100 d. 80 e. –80 f. 20 g. –50 h. –2024. a. Es cierto.b. i. –11 ii. –50 iii. –70 iv. 70 v. –80 vi. –30 vii. 33 viii. –6025. Por ejemplo, 50 – 5, – 40 – 5, – 50 – (–5). Hay infinitas restas que dan el mismo resultado. 26. Por ejemplo, – 40 – 45; 20 – 105; –90 – (–5). Hay infinitas restas que dan el mismo resultado.27. a. Verdadera. b. Verdadera. c. Verdadera. d. Falsa, por ejemplo, 15 – (–5) = 20. Siempre da un resultado positivo. Si a > 0 y b < 0, a – b = a + (–b), pero como b < 0, –b > 0, luego a + (–b) es la suma de dos números positivos y, por lo tanto, es positivo.28. a. 4. b. –8.29. b. 1.325 – 397 = 1.325 – 400 + 3 = 925 + 3 = 928c. 482 – 504 = 482 – 400 – 80 – 24 = 82 – 80 – 24 = 2 – 24 = –2230. Se cumple si b es negativo.31. a. Entre –12 y 2, porque, al restar 2, el segmento de la recta numé-rica se traslada dos unidades hacia la izquierda.b. Entre 20 y 40, porque 30 – (–10) = 40 y 30 – 10 = 20.

Páginas 32 y 3332. a. y b. son ciertas, c. no es cierta.33. Es correcto.34. Por ejemplo: a. – 840 + 570 = –800 + (–40) + 500 + 70 = – 800 + 500 + (–40) + 70 = –300 + 30 = –270

= –900 + 60 + 500 + 70 = –900 + 500 + 60 + 70 = –400 + 130 = –270

b. 780 + (–562) = 700 + 80 + (–500) + (–62) = 700 + (– 500) + 80 + (– 62) = 200 + 18 = 218= 800 + (–20) + (–500) + (–62) = 800 + (–500) + (–20) + (– 62) = 300 + (–82) = 218

c. –1.450 + (–850) = –1.400 + (–50) + (–850) = –1.400 + (–900) = –2.300= –1.450 + (–800) + (–50) = –1.450 + (–50) + (–800) = –1.500 + (– 800) = –2.300

35. a. Falsa. b. Falsa, siempre da negativo. c. Verdadera. d. Falsa, tienen que ser opuestos.36. Sí, es cierto, porque 258 – 40 – 25 = 258 – (40 + 25)37. a. y c., b. y d. 38. Sí, es cierto.39. Es cierto porque al sacar 25 – 19 se están restando solo 6 que es lo mismo que sacar 25 y agregar 19.40. a. 150 b. – 450 c. – 45041. a. y c.42. b. y c.b. Es negativo, porque el sumando de mayor valor absoluto es negativo.c. Es negativo, porque los dos sumandos son negativos.

Páginas 34 y 3543. a. i. (–1) × 8 = 8 × (–1) = (–1) + ( –1) + (–1) + (–1) + (–1) + ( –1) + (–1) + (–1) = –8

ii. –7 iii. –12 iv. –2b. Sí, es cierto, porque multiplicar un número natural por –1 es lo mis-mo que sumar –1 tantas veces como ese número, y su resultado es el opuesto de ese número.44. a. Marisa: 8 × (–3) = (–3) + ( –3) + (–3) + (–3) + (–3) + ( –3) + (–3) + (–3) = –24. Sol: 8 × (–3) = 8 × (–1) × 3 = (–1) × 8 × 3 = –24.b. Marisa: (–5) × 3 = 3 × (–5) = (–5) + ( –5) + (–5) = –15. Sol: (–5) × 3 = (–1) × 5× 3 = (–1) × 15 = –15c. Marisa: 9 × (–2) = (–2) + ( –2) + (–2) + (–2) + (–2) + ( –2) + (–2) + (–2) + (–2) = –18. Sol: 9 × (–2) = (–2) × 9 = (–1) × 2 × 9 = (–1) × 18 = –18.d. Marisa: (–8) × 4 = 4 × (–8) = (–8) + (–8) + (–8) + (–8) = –32. Sol: (–8) × 4 = (–1) × 8 × 4 = (–1) × 32 = –32.45. El opuesto de –1 es 1 porque ambos números tienen el mismo valor absoluto y distinto signo.46. Usan que el 0 es el elemento neutro de la suma y resta de enteros, la propiedad distributiva del producto respecto de la resta de enteros. En el tercero usan que multiplicar por 0 siempre da 0 y que el 1 es el elemento neutro del producto. Finalmente, en el cuarto paso, utilizan la propiedad que estudiamos en 43., 44. y 45. de la página anterior.47. Es correcto, utilizan las propiedades deducidas en los problemas anteriores.48. a. (–8) × (–20) = (–1) × 8 × (–1) × 20 = [(–1) × (–1)] × (8 × 20) == 1 × 160 = 160b. (–90) × 80 = (–1) × (90 × 80) = (–1) × 7.200 = – 7.200c. 4.000 d. 75.000e. 72 × (–10) = 72 × (–1) × 10 = (–1) × (72 × 10) = (–1) × 720 = –720f. (–5) × (–20) × (–8) = (–1) × 5 × (–1) × 20 × (–1) × 8 = = (–1) × (–1) × (–1) × 5 × 20 × 8 = 1 × (–1) × 800 = – 800g. 4.800 h. 9.10049. El producto de números enteros conserva las propiedades de los números naturales porque puede pensarse como un producto entre números naturales multiplicados por (–1), por lo tanto lo único que varía es el signo del mismo.50. a. <, porque los factores tienen el mismo valor absoluto, pero el primer producto es negativo y el segundo es positivo.b. =, porque los factores tienen el mismo valor absoluto y los dos pro-ductos tienen el mismo signo.51. a. Verdadera, porque al multiplicar dos de esos factores se obtiene un número positivo, que al ser multiplicado por el tercero, que es negativo, da resultado negativo.b. Falsa, el resultado es siempre positivo. Al multiplicar de a pares los números negativos, se obtienen números positivos que al multiplicarse entre sí dan positivos.c. Verdadera, porque al multiplicar de a pares los números negati-vos, se obtienen números positivos que al multiplicarse por un factor negativo, darán un resultado negativo.d. Verdadera, porque al multiplicar de a pares los números negativos, se obtienen números positivos que al multiplicarse entre sí dan un reultado positivo.52. a. i. 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20, 4 × 15, 5 ×12, 6 ×10, y los que resultan de conmutar estos.ii. 1 × 65, 5 × 13, y los que resultan de conmutar estos.iii. 1 × 13 y 13 × 1. iv. 1 × 25, 5 × 5, 25 × 1. v. 1 × 71 y 71 × 1.b. Sí, cambiaría, porque al incluir los productos con números negati-vos, se agregarían los pares de factores opuestos de los anteriores. Por ejemplo, en d. se agregarían: –1 × –25, –5 × –5, –25 × –1.53. a. Si existe, puede ser cualquier número negativo, porque si lo es, tiene su opuesto positivo y al multiplicarlo por 5 dará positivo. Hay infi-nitos valores posibles. b. Por cualquier número menor que –5. Hay infinitos valores posibles.

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capítulo 2

Páginas 36 y 3754. a. 4 b. 4 c. –4 d. –455. Sí, es cierto lo que dice Silvia, es la definición de división.56. a. Positivo. D : d = C si C × d = D. Si los dos son positivos, entonces el cociente tiene que ser tal que al multiplicarlo por el divisor, que es positivo, el resultado, que es el dividendo, sea positivo, y la única forma de que esto suceda es que el cociente sea positivo. Si los dos son nega-tivos sucede lo mismo, el análisis es similar.b. Negativo. Si el dividendo es positivo y el divisor es negativo, entonces el cociente tiene que ser tal que al multiplicarlo por el divisor, que es negativo, el resultado, que es el dividendo, sea positivo, y la única forma de que esto suceda es que el cociente sea negativo. Si el dividendo es negativo y el divi-sor es positivo sucede lo mismo, el análisis es similar.57. a. –17 b. 2 c. –9 d. 48 e. 32 f. 9 g. –28 h. –410 i. 8 58. a. m tiene que ser negativo y –m un divisor de 10. Entonces m puede tomar 4 valores: –1, –2, –5 y –10.b. m tiene que ser positivo y un divisor de 14. Entonces m puede tomar 4 valores: 1, 2, 7 y 14.c. m tiene que ser negativo y –m un divisor de 5. Entonces m puede tomar 2 valores: –1 y –5.d. m tiene que ser positivo y un divisor de 10. Entonces m puede tomar 4 valores: 1, 2, 5 y 10.59. a. 4 b. 2 60. a. > b. = c. = d. < e. < f. <61. a. c = –5 y r = 1. b. c = –6 y r = 3. d. c = 3 y r = 1 .

Páginas 38 y 3962. Se basa en la conmutatividad y asociatividad del producto de números enteros, lo hace para facilitar el cálculo.63. a. Facilita el cálculo al descomponer los números en una potencia de 10 más un número de una cifra. Usa la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.b. a. –205 × 46 = [(–200) + (–5)] × (46) = (–200) × 46 + (–5) × 46 = –9.200 + (–230) = –9.430b. –307 × 39 = [(–300) + (–7)] × 39 = –300 × 39 + (–7) × 39 = –11.700 + (– 273) = –11.973c. –409 × 75 = [(–400) + (–10) + 1] × 75 = –400 × 75 + (–10) × 75 + 1 × 75 = –30.000 + (–750) + 75 = –30.000 + (–675) = –30.67564. i. –168, la suma de los dobles es el doble de la suma.ii. 84, la suma de los opuestos es el opuesto de la suma.iii. No es posible saberlo, porque no se puede aplicar ninguna propiedad de la suma. Por ejemplo: –80 + (–4) = –84 y –90 + 6 = –84, pero –160 + –2 = –162 mientras que –180 + 3 = –177, son distintos.iv. No es posible saberlo.65. a. 222, la suma de los triples es el triple de la suma.b. –74, porque –k – z = – (k + z) = – 74.c. No es posible saberlo.d. No es posible saberlo, porque la información disponible no es suficiente. e. –370, porque –5 × k – 5 × z = (–5) × k + (– 5) × z = (–5) × (k + z) == (–5) × 74 = –370.f. No es posible.66. a. 69, porque 3 × m – 3 × n = 3 × (m – n) = 3 × 23 = 69.b. –23, porque –m + n = – (m – n) = – 23.c. No es posible saberlo. d. No es posible saberlo. e. –115, porque –5 × m + 5 × n = (–5) × m – (– 5) × n = (–5) × (m – n) == (–5) × 23 = –115.67. a. –376, el cuádruple del producto.b. –94, no varía el valor absoluto porque los opuestos tienen el mismo y tampoco el signo porque cambian los dos.c. –94, el doble y la mitad son operaciones inversas.68. a. No puede resolverse porque a × (b + 3) = a × b + a × 3 = 45 + a × 3, entonces es necesario conocer el valor de a.

b. Puede resolverse, a × (b × 5) = (a × b) × 5 = 45 × 5 = 225.c. Puede resolverse, 3 × a × 4 × b = (a × b) × (3 × 4) = 45 × 12 = 540.d. Puede resolverse, a × (–b) = – (a × b) = –45.e. Puede resolverse, a × (–2) × b = (–2) × (a × b) = (–2) × 45 = –90.f. –3 × a × 3 × b = (–3 × 3) × (a × b) = (–9) × (a × b) = (–9) × 45 = –405.69. a. −30 b. −2 c. −120 d. 10 e. 10 f. a

Páginas 40 y 4170. a. 24 tiene 8 divisores naturales. b. 24 tiene 16 divisores enteros.c. Hay el doble de divisores enteros, porque se incluyen los opuestos de los divisores naturales.71. a. Sí, porque (–15) × 100 = –1.500b. No, porque –31 × 15 = –465 y –32 × 15 = –480.c. No, porque 37 × 15 = 555 y 36 × 15 = 540.d. Sí, porque –69 × 15 = –1.035. e. Sí, porque 240 × 15 = 3.600.72. –60, –30, –20, –15, –12, –10, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Son 24.73. Sí, porque 94.875 × (–3) + 94.875 × (–2) = 94.875 × (–3 + (–2)), apli-cando la propiedad distributiva.74. –25 × 96 = (–1) × 5 2 × 2 5 × 3. Entonces es múltiplo de 2, 3, 4 = 2 2 , 5, 10 = 2 × 5, 20 = 2 2 × 5, –2 = 2 × (–1), –3 = 3 × (–1), –4 = 2 2 × (–1),–5 = 5 × (–1), –10 = 2 × (–5) y –20 = 2 2 × (–5).No es múltiplo de 7 ni de –7 porque 7 es primo y no está en la descomposición en factores de potencias de primos que se mostró al principio.75. Es cierto, porque si a es divisor de b entonces existe un número entero n tal que n × a = b, pero entonces – n × –a = b, es decir que –a también es divisor de b.76. Sí, porque en total se tiene 12 veces el numero –72.948.77. Sí, porque 87.053 × (–3) + 87.053 × (–4) = 87.053 × (–3 + –4) == 87.053 × (–7) = 87.053 × (–1) × 7, aplicando las propiedades distributiva y asociativa del producto.78. Sí es posible. Por ejemplo: 10 es divisor de –36 ×15 pero no es divi-sor de ninguno de los dos factores. Para obtenerlo se puede escribir cada factor como producto de otro números y asociarlos de modo de encontrar nuevos divisores.79. –926 : 35, cociente –27, resto 19. –926 : –27, cociente 35, resto 19.926 : 35, cociente 26, resto 16. Como –27 × 35 + 19 = –926, luego–27 × 35 = –926 – 19 = –945, luego 27 × 35 = 945 y 26 × 35 = 945 – 35 = 910, luego 26 × 35 + 16 = 926. 926 : 27, cociente 34, resto 8. Como 27 × 35 = 945, por lo que hicimos para la cuenta anterior, entonces 27 × 34 = 945 – 27 = 918, luego 27 × 34 + 8 = 926.80. –452 : 32, cociente –15, resto 28.–452 : –15, cociente 31, resto 13, porque –452 = –15 × 32 + 28 == –15 × 31 + (–15) + 28 = –15 × 31 + 13.452 : 15, cociente 30, resto 2, como –452 = –15 × 32 + 28, entonces 452 = 15 × 32 + (–28) = 15 × 30 + 15 + 15 + (–28) = 15 × 30 + 2.

Páginas 42 y 4381. a. (–3)5 b. (–7)4

82. a. 36 b. 1 c. 100.000 d. –1 e. 1 f. 183. Sí, da distinto. Porque cuando el exponente es par se tiene un número par de factores, entonces, multiplicando los –1 de a pares quedan todos factores 1, que darán, como resultado final, 1. Sin embargo, cuando el número de factores es impar, multiplicando los –1 de a pares quedan todos factores 1 salvo uno que es –1, por lo cual el resultado final será –1.84. a. Sí, es cierto. Porque cuando el exponente es par se tiene un número par de factores negativos, entonces, multiplicándolos de a pares quedan todos factores positivos, que darán, como resultado final, un número positivo.

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SOLUCIONARIO

capítulo 3

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7. Multiplicando por –1. 8. Multiplicando por –1.9. Se pueden obtener b. y d., multiplicando el resultado obtenido por –1, a. y c. no se pueden obtener fácilmente porque no se puede apli-car ninguna propiedad.

Páginas 45 y 46 Integrar lo aprendido1. a. –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1. b. –6, –5, –4. Hay solo 3. c. –1, 0, 1.2. El 1 y el 2 usando como medida la distancia del 3 al 4.3.

–40 20–30 –20 –10 0 10

4.

–6 0 1

–3 20 1

5.

–80 80

–100

–60 –35

–10

0 20 100

6. a.

0 a− a

b.

0a − a

7. a. 2 números.

− 40 40

b. 29 números.

− 15 0 15− 1 1

c. Infinitos, son los mayores que 20 o menores de –20.

− 21

− 22

21

22

... ...

d. 2 números.

− 5 21

8. a. –104 × 35 = (–100 –4) × 35 = –100 × 35 + (–4) × 35 = –3.500 + (–140) = –3.640b. 207 × (–15) = (–207) × 15 = (–200 –7) × 15 = –200 × 15 + (–7) × 15 == –3.000 + (–105) = –3.105c. –305 × (–22) = 305 × 22 = (300 + 5) × 22 = 300 × 22 + 5 × 22 = = 6.600 + 110 = 6.710

b. Sí, es cierto. Porque cuando el exponente es impar se tiene un número impar de factores negativos, entonces, multiplicándolos de a pares quedan todos factores positivos salvo uno que es negativo, que darán, como resultado final, un número negativo.c. Sí, las verifica, porque las propiedades de la potenciación se basan en las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación, que también valen para los números enteros.85. Dan el mismo resultado:b. y h., resolviendo la suma que está entre paréntesis;c., e. y o.; c. y e. por la propiedad del producto de dos potencias de igual base, e. y o. por la propiedad de la potencia de otra potencia;m. y n., por la propiedad de la potencia de otra potencia.86. Sí, es posible, porque m = m 7 : m 6 , dividimos sus valores absolutos, que es 4, y sabemos que tiene que dar negativo, o sea que m = –4.87. a. 23 × p3 b. (p3)2 c. No se puede resolver con la información dada. d. p3 : 43 e. (p3 ) 2 88. a. <, porque la base es negativa y el exponente es impar entonces el resultado es negativo.b. >, porque la base es negativa y el exponente par entonces el resul-tado es positivo.c. <, porque al ser el exponente impar en los dos, el que tiene la base negativa da negativo y el que la tiene positiva da positivo.d. =, porque el exponente es par, entonces los dos son positivos, y tie-nen el mismo valor absoluto ya que las bases son iguales.89. a. –10 b. 3 c. 5 d. –1090. a. No es posible, no hay ningún número entero que elevado a la cuarta de –64, todos dan positivo, pero la raíz quinta de –243, sí es –3, porque (–3)5 = –243.b. Sí, es cierto, porque no hay ningún numero entero que elevado al cuadrado de negativo, todos dan positivo.91. a. Se pueden calcular porque el radicando es positivo.b. y c. No se pueden calcular porque los radicandos son negativos y los exponentes son pares.d. Se puede calcular porque el exponente es impar.92. Tiene razón Nacho, no se pueden aplicar las propiedades sobre números que no existen, se está encontrando el resultado de una ope-ración que no lo tiene.93.

3 √______

3.775 = 3 √______

3 3 × 5 3 = 3 √___

3 3 × 3 √___

5 3 = 3 × 5 =15 3 √_______

−3.775 = 3 √___________

(−1) × 3 3 × 5 3 = 3 √____________

(−1) 3 × 3 3 × 5 3 = 3 √_____

(−1) 3 × 3 √_____

(−3) 3 × 3 √

___ 5 3 =

= (−1) × 3 × 5 = −15

94. √_______

11.664 = √___

81 × √____

144 = 9 × 12 = 10895.

5 √______

7.776 = 5 √___

32 × 5 √____

243 = 2 × 3 = 6 5 √_______

−7.776 = 5 √_________

(−1) × 7.776 = 5 √____________

(−1) 5 × 7.776 = 5 √_____

(−1) 5 × 5 √_____

7.776 = = (−1) × 6 = −6

Página 44 Aprender con la calculadora1. Se aprieta la tecla como la que se muestra en la foto antes de intro-ducir el número. En algunas calculadoras la tecla tiene señalado (–) en vez de / . 2. a. Resta 15. b. A partir del 60, 4 veces.c. Los múltiplos de 15: b., c., d. y e.3. a. Multiplica por –10.b. Porque al multiplicar dos negativos da producto positivo, pero si éste se multiplica por un factor negativo, entonces da negativo, y así sucesivamente.c. A partir del –1.000, 7 veces.4. Multiplicar por –1. Sumar 687. Sumar 3.680.5. Restar 1.000.000 o sumar –1.000.000.6. Multiplicar por 100.

11

NÚMEROS Y OPERACIONES 2

capítulo 4

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Capítulo 4: Los números racionales

Página 471. a. Es cierto. Al repartir las pizzas sobran más de 3 pizzas.b. El cociente, 171, es la cantidad de pizzas enteras que lleva a cada empresa. Sobran 4 pizzas.2. La representan todas menos c. a. Si se dividen las pizzas en dos grupos de 43 pizzas y se dividen a las per-sonas en dos grupos de 3 personas. Las primeras 43 pizzas se dividen en

3 pedazos iguales, las otras también. A cada persona le tocan 43 ___ 3 de pizza.

b. Primero se reparten las pizzas enteras. Le corresponden 14 pizzas enteras a cada persona. Sobran 2 pizzas. Esas las parten en 6 pedazos iguales y se le da 2 de esas porciones a cada persona.d. Se divide cada pizza en 6. Cada persona recibe 86 : 6.e. Es similar a b.f. Cada pizza se divide en 6 partes iguales. Cada persona se lleva una

porción de cada pizza. En total son 86 de 1 __ 6 que son 86 ___ 6 .

3. Sí, es cierto, porque se podría realizar el reparto, dividiendo las 172 pizzas en dos grupos de 86 pizzas y repartir cada grupo entre 6 de las

12 personas. En ese caso cada persona recibiría 86 ___ 6 .

4. a. ii., iii. y v.. Para que un número fraccionario pueda escribirse como

fracción decimal, el denominador de la fracción irreducible tiene que tener solamente factores 2 y 5 al ser escrito como producto de números primos.b. ii. –0,4 iii. 0,625 v. 0,3755. a., c. y e.; b. y f..6. a. i. 1 __ 5 , 5 ___ 25 , 14 ___ 70 ii. – 138 ____ 24 , – 207 ____ 36 , – 184 ____ 32 iii. – 18 ___ 10 , – 36 ___ 20 , – 90 ___ 50

b. Hay infinitas fracciones equivalentes a cada una.

Página 487. a. 30 guardas rayadas. b. 40 guardas punteadas.

c. 6 2 __ 5 guardas punteadas. d. 3 3 __ 4 e. 5 __ 8 f. 8 __ 5

8. Hay que dibujar un segmento de: a. 20 cm b. 8 cm c. 32 cm 9. Un segmento de 14 cm.10. a. El resultado de una división entre números fraccionarios (salvo que el denominador sea 0) es un número fraccionario.b. Con los números naturales eso no siempre ocurre. Por ejemplo, con ellos, no se puede medir una guarda de 9 cm con una de 2 cm.

Página 49

11.

12.

– 9 ___ 10 – 3 __ 5 0 1

13. Conviene tomar una escala tal que la unidad sea 1 __ 6 , es decir que la distancia entre el 0 y el 1 sea de 6 unidades.14. Lo que dice Silvia es correcto, porque se pueden tomar fracciones equivalentes a las dos que hay que ubicar, y el mínimo común múltiplo entre los denominadores es 35.15. Dividir el intervalo entre 0 y 1 en 20 partes iguales. 16. Lo que dice Javier es correcto.

d. 35 – 23 × 105 = 35 – 23 × (100 + 5) = 35 – 23 × 100 + (–23) × 5 = = 35 – 2.300 – 115 = –2.380e. 64 – 102 × 36 = 64 – (100 + 2) × 36 = 64 – 100 × 36 – 2 × 36 = = 64 – 3.600 – 72 = –3.608f. –96 × 87 = (– 100 + 4) × (90 – 3) = (–100) × 90 + (–100) × (–3) + 4 × 9 + 4 × (–3) = –9.000 + 300 + 360 –12 = –8.352.9. a. 3x b. 2 – 5n c. 3m + 1010. a. En el visor de la calculadora aparece el mismo número repetido dos veces.b. Con todos los números de tres cifras pasa lo mismo.c. Esto sucede porque 7 × 11 × 13 = 1.001. 11. ((n + 8) × 3 – 4 + n) : 4 + 7 – n = 12, es decir que siempre el resultado es 12, para cualquier número n que se elija al principio.12. a. Sí, es cierto, porque al transformarla queda: 2n 2 + 6n + 4n + 12 – 2n 2 – 10n = 10n + 12 –10n = 1213. Los números mayores o iguales a 1.14. n debe tener resto 1 al dividirlo por 3.15. Sí, es cierto, porque n + n + 1 + n + 2 = 3 · (n + 1), que es múltiplo de 3.16. n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4 · (n + 1) + 2, que no es múltiplo de 4.17. Para ningún valor, porque, como 6 es par, al multiplicar cualquier número por 6, el resultado también será par.18. No es cierto. Al reducir la expresión queda: 6 m + 34, luego no puede sumarse un número fijo, depende de m, y m debe ser impar. 19. Para ningún número, porque queda 10 y + 6 = 10 y + 5 + 1 que tiene resto 1 al dividirlo por 5.20. Sí, porque 2 × a × 3 × b = (2 × 3) × (a × b) = 6 × (–36) = –216, por las propiedades conmutativa y asociativa del producto de números enteros.21. a. –50. Como el producto es negativo, los factores deben tener diferente signo, por lo tanto sus opuestos también. El producto de los opuestos es también –50.b. 50. Como los factores tenían distinto signo, al considerar el opuesto de uno de los factores por el otro factor, estos nuevos factores tendrán el mismo signo y el producto será 50.22. La misma justificación que 21.23. a. Habrá que multiplicarlo por un numero menor que –4. Como (–4) × (–15) = 60, para que el resultado sea mayor que 60, el primer fac-tor deberá ser un número negativo de módulo mayor que 4.b. Habrá que multiplicar por un numero mayor que 4, como4 × (–30) = –120, para que el resultado sea menor que –120, el primer factor deberá ser un número positivo de módulo mayor a 4.24. Es correcto, aplica la propiedad distributiva.25. Si la fecha es: a del mes b, queda:(2 × a × 10 + 2) × 5 + b = (20 × a + 2) × 5 + b = 100 × a + 10 + b.Si al número final se le resta 10, queda el número del día multiplicado por 100, y al sumársele el número del mes, éste aparecerá en las dos últimas cifras.26. Si E es la edad (E + 27 – 18 +15 + E) : 2 = (2 × E + 24) : 2 = E + 12. Para saber la edad hay que restarle 12 al número que dice el señor.27. a. n2 entre 0 y 9 y n3 entre 0 y 27b. z2 entre 0 y 9, z3 entre – 27 y 0 c. k2 entre 0 y 16, k3 entre –64 y 64.

0 2− 1

__ 2

− 1

__ 4

1 _ 2 1 _ 4

12

SOLUCIONARIO

17.

– 1 __ 5 0,25b.

0

– 1 __ 3 1 __ 3 a.

0

Páginas 50 y 5118. a. –0,83 b. 15,6 c. 15 d. –3,8 e. –9,541 f. 211,2319. Todos, al simplificar los denominadores tienen como divisores 2 y/o 5.

20. a. 1.234 _____ 100 b. – 56.578 ______ 10.000 c. 546.444 _______ 1.000 d. – 980.002 _______ 1.000 e. 23.242.223 __________ 10.000

21. a. Al multiplicar F por 10 se corre la coma un lugar y queda 2,2222 = 2 + 0,222…Como quedan infinitas cifras después de la coma, 0,222… es F. Como 10 F = 2 + F, entonces 9 F = 2.b. i. 12 ___ 99 ii. 5 __ 9 iii. 3 __ 9 = 1 __ 3 c. Multiplica por una potencia de 10 para poder tener una expresión decimal que solo tiene expresión periódica en la parte decimal para hacer el procedimiento de Ariel.

d. i. 993 ____ 900 ii. – 10.002 ______ 990 iii. 11 ___ 90

22. a. i. 9 ___ 90 = 1 ___ 10 ii. 18 ___ 9 = 2 iii. 117 ____ 900 = 13 ____ 100 iv. 117 ____ 900 = 13 ____ 100

b. Esto ocurre siempre usando el procedimiento anterior.

Páginas 52 y 5323. a. Pagaría $5,45, porque no se consiguen monedas de 1 centavo.b. Pagaría $54,90, porque no se puede pagar un décimo de centavo.c. Pagaría $7, porque no se consiguen monedas de 1 centavo.d. Pagaría 789,25, porque no se pueden pagar dos décimos de centavo.24 a. y b. Bruno truncó el número a una cifra después de la coma, en cambio Julián lo redondeó. Aproximan a un solo decimal porque las monedas de 5 centavos y de 1 centavo no se consiguen fácilmente ya que tienen muy poco valor.25. a. i. 4,568 ii. –123,989 iii. 3,547 iv. –989,766b. i. 4,567 ii. –123,989 iii. 3,546 iv. –989,765c. Se obtiene lo mismo al truncar que al redondear cuando la cifra a partir de la que se quiere cortar el número es menor que 5.26. Infinitos. Todos desde 7,455 hasta 7,465, sin incluir a éste último. 27. Infinitos. Todos desde 87,367 hasta 87,368, sin incluir a éste último. 28. Infinitos. Todos desde 7,675 hasta 7,685, sin incluir a éste último. 29. a. Entre – 3,805 y −3,795 b. Entre – 3,825 y – 3,815 30. El número debe ser de la forma −5,82 y el siguiente después de2 debe ser menor a 5. 31. a. Entre 11, 8 y 12. b. Entre 5,4 y 6,6. 32. a. Entre 47 y 49. b. Entre 1 y 3. c. Entre 47 ___ 49 y 45 ___ 51 . d. Entre – 51 ___ 45 y – 49 ___ 47 .

Páginas 54 y 5533. a.

Cantidad de gallinas

2 6 9 25 75 205 351

Bolsas de maíz

3 9 13,5 37,5 112,5 307,5 526,5

b. Sí, es 1,5.

capítulo 4

c. Las variables son directamente proporcionales porque al doble de gallinas, le corresponde el doble de maíz, al triple de gallinas, le corres-ponde el triple de maíz, etc.d. La fórmula es: bolsas de maíz = 1,5 · cantidad de gallinas.34. a. Obtienen la misma tonalidad porque Tamara pone la mitad de cada uno de los colores que pone Dalia.

b. Ariel tiene que agregar 3 ___ 10 litro de pintura blanca. c.

Litros de pintura amarilla

1 2 __ 3 15 __ 4 7 __ 3 1.25 23 __ 15

Litros de pintura blanca

3 __ 2 1 45 __ 8 7 __ 2 15 ___ 8 2,30

d. Sí, se relacionan de manera directamente proporcional y la cons-

tante de proporcionalidad es 3 __ 2 .

e. Pintura blanca = 3 __ 2 · Pintura amarilla

35. a. 37,8 b. 56,17 c. 0,27 d. 3,6 e. P = S : 3,6 f. S = P · 3,636. a. Obtienen la misma tonalidad.b. Sí, porque al 24 es el doble de 12 y 54 el doble de 27.

c. 90 litros de pintura blanca. Muchas opciones siempre que el cocien-

te entre blanca y negra sea mayor que 9 __ 4 .

d. 10 litros de blanca. Muchas opciones siempre que el cociente entre

blanca y negra sea menor que 9 __ 4 .

Páginas 56 y 5737. Por 1,13, porque calcular un aumento del 13% es hallar el 113% de

esa cantidad, que es lo mismo que multiplicar por 113 ____ 100 = 1,13.

38. a., b., c., d., f., g., i. y j.39. a. i., iii. y iv. b. i. ii. y iii..40. No es correcto, hay que multiplicar por41.

0 1 __ 5 1 __ 5 + 1 __ 4

42.

– 1 __ 3

0

– 1 __ 3 + 1 __ 2

43. Hay infinitas sumas. 44. Hay infinitas restas.45. a. es igual a b., d. es igual a g., e. es igual a f. y h. es igual a i.

46. a. 12 ___ 75 b. – 0,0003 c. 31 ___ 19 d. 0,253

47. No es cierto. Si el número racional es negativo, su opuesto es positivo.

48. a. 41 ___ 63 b. 74 ___ 85 c. 3.457 _____ 288

d. 11 ___ 45 e. – 87 ___ 56 f. – 15 ___ 32

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73. a. 6,2 × 10 6 b. –4,2 × 10 22 c. 5,2572 × 10 –12 d. 2,2599999999999992975 × 10 –12 74. e. < c. < a. = d. < b. 75. El b. y el d.

Páginas 64 y 6576. a. i. y iv. b. iv. c. i. y iv.77. Sí es cierto porque ambos son mayores que 1. 78. a. Es menor. b. Es menor. c. Es mayor.79. a. < b. > c. <d. < e. < f. = g. > h. < i. = j. = k. > l. > m. <80. c., d., b., a.81. Bruno tiene razón.82. Hay infinitos posibles para cada uno de ellos.

Páginas 66 y 67

83. Por ejemplo 57 ___ 20 . Hay infinitos.

84. a. Por ejemplo: 12 ___ 6 . Hay solo 5, porque el denominador está fijo y el numerador debe ser un número natural que esté entre 7 y 13.

b. Por ejemplo: 15 ___ 12 . Hay 11, porque 7 __ 6 = 14 ___ 12 y 13 ___ 6 = 26 ___ 12 , el denominador está

fijo, entonces el numerador debe ser un número natural entre 14 y 26.

c. Por ejemplo: 29 ___ 18 . Hay 17, porque 7 __ 6 = 21 ___ 18 y 13 ___ 6 = 39 ___ 18 , el denominador está fijo,

entonces el numerador debe ser un número natural entre 21 y 39.d. Hay infinitos. 85. a. 1, 2, 3 y 4. b. –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 y 4.

c. –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 y 98 ____ 100 . Hay infinitos.

86. a. No hay mayor número natural.b. 4c. 487. a. 4 b. 1c. No existe, porque siempre se puede encontrar uno mayor en el con-junto a cualquier racional dado en él. Esto sucede porque el extremo superior del conjunto, 5, no está incluido en el mismo, a diferencia de lo que sucedía en el problema 86.d. No existe, por la misma razón que en c.88. a. Ninguna de las tres opciones es posible con números naturales.b. i. Si, por ejemplo, a = –1, a 2 > a 3 . En general esto sucede si a es negativo.ii. Si, por ejemplo, b = –2, b 3 > b 5 . En general esto sucede si b es negativo.iii. Si c es entero esta inecuación no tiene solución.c. Con números racionales las tres inecuaciones tienen solución.

iii. Si, por ejemplo, c = 1 __ 2 , entonces ( 1 __ 2 ) 2

= 1 __ 4 > 1 ___ 16 = ( 1 __ 2 ) 4

. En general esto

sucede si c está entre 0 y 1 o entre –1 y 0.

Página 68 Aprender con la calculadora1. Los resultados son los mismos solo que están expresados de distin-tas maneras.2. Como no uso los paréntesis, la calculadora solo elevó al cuadrado al denominador.

3. a. 529 _____ 8.281 b. 23 _____ 8.231

4. a. 9,72000088 × 10–11

b. No, porque el numerador es menor que 1 y el denominador mayor, con lo cual el resultado es un número menor a 1.

5. a. i. 315.377 _______ 98.010 ii. 41.303 ______ 11.832

b. Conviene expresarlos como fracciones.

Páginas 58 y 5949. a.

Base delrectángulo (m)

2 14 3 14 ___ 5 1 __ 3 10

Altura delrectángulo (m)

7 1 14 ___ 3 5 42 7 __ 5

b. La base puede tomar cualquier número positivo. c. Igual que b.c. Hay infinitos rectángulos que tienen 14 cm2 de área.50. a. Solo hay un par: 13 · 1. b. Hay infinitos.

51. a. i. 8 ii. –2 iii. – 1 __ 5 iv. 7 __ 8 v. – 9 ___ 13 vi. – 20 ___ 29

b. Sí, es correcto, siempre y cuando el número no sea 0.52. a. Hay infinitos. b. Hay infinitos. 53. Hay infinitos.

54. – 9 __ 7

55. a. No es cierto. Por ejemplo, no existe ningún número entero que multiplicado por 2 de 3.b. Sí, es cierto. Por ejemplo si los números son 2 y 6, existe el número pedido: 2 · 3 = 6. Eso ocurre cuando un número es múltiplo de otro.

56. a. 28 ____ 225 b. 9 ___ 35 c. 674 ____ 75 57. a. – 3 __ 7 · (– 56 ___ 27 )

b. Por ejemplo: 22 : 2.c. Por ejemplo: 7 : 9.

58. a. – 1 ___ 15 b. – 2 __ 9 c. – 3 ___ 63 d. – 1 ___ 72 e. – 1 __ 3 f. – 3 __ 8

59. Porque con esta definición todos los números racionales son múl-tiplos de cualquiera.

Páginas 60 y 61

60. a. 125 ____ 27 b. – 125 ____ 27 c. 4 ___ 49 d. 4 ___ 49 e. 3 __ 5 f. – 3 __ 2

61. a., b. y d.. Falsas, por ejemplo, para d = 2 no se cumple.c. Verdadera. e. Verdadera, porque (4 · r) 3 = 4 · r · 4 · r · 4 · r = 64 · r 3 .f. Falsa, porque12 es ése número, 12 2 = 144.g. Falsa, para a = 16 no se cumple. h. Falsa, por ejemplo, (–1) 4 = 1.

62. Son inversos. Porque 2 5 : 2 3 = 2 5 ___ 2 3 y 2 3 : 2 5 = 2 3 __ 2 5 , entonces si multipli-

can estos números obtienen 1.63. a. Lo que dice Nacho es correcto. b. 164. a. 1 b. 1 c. 1.000.000.000 d. 25 e. 5 f. 1 _________ 1.953.125 65. Darán el mismo resultado: a. y h.; b. y j. 66. a. 3 –7 b. (–0,5) –8 c. 1 d. son iguales e. son iguales

f. 0,6 5 : 0,6 9 g. ( 140 ____ 100 ) 2

h. son iguales

Páginas 62 y 6367. a. 57.910.000, 108.200.000, 146.600.000, 227.940.000, 778.330.000, 1.429.400.000, 2.870.990.000, 4.504.300.000.b. Es correcto. c. 5,791 × 10 7 ; 1,082 × 10 8 ; 1,466 × 10 8 ; 2,2794 × 10 8; 7,7833 × 10 8 ; 1,4294 × 10 9 ;2,87099 × 10 9 ; 4,5043 × 10 9 .68. 0,00000000000000000000000166. 69. La segunda. 3,12 × 10 –21 = 0,312 × 10 –20 < 2,3 × 10 –20 porque 0,312 < 2,3.70. a. Verdadera. b. Verdadera. c. Falsa. d. Falsa. 71. a. – 4 b. 3 c. –5 d. 772. a. 1,39 × 10 7 b. 1,12 × 10 –5 c. 9,8654 × 10 4 d. 3,14245 × 102 e. 6,95 × 10 11 f. 1,879 × 10–6 g. 5,8941 × 102 h. 1,26 × 10–3

14

SOLUCIONARIO

6. Multiplicar por 100. 7. Multiplicar por 1.000.000.000.8. a. 2,4473551 × 10 10 b. 1,2 × 10 31 c. –1,231899988 × 10 7

Páginas 69 y 70 Integrar lo aprendido1. a., f. y g.; b., e. y h.; c., i. y l.; d. y j.

2. 19 ___ 70

3. a. 29 ___ 35 b. – 14 ___ 15 c.– 15 ___ 14 d. – 29 ___ 35 e. 174 ____ 391 f. 17 ___ 46 g. – 174 ____ 391 h. 46 ___ 17 4. Sí, es cierto. Porque si se sumara un número positivo se le estaría agregando algo y entonces el resultado sería mayor que el inicial.

5. a. – 61 ____ 180 b. 9 __ 8 c. 1.633 _____ 878 d. 4.889 _____ 392 e. 1.033 _____ 56

6. No es cierto, porque, por ejemplo, si m = 2 y b = , 1 __ 2 , m · b = 1, el resul-tado es menor que m y sin embargo b no es negativo.

7. a. A = – 1 __ 2 , B = 4 __ 3 , C = 1 __ 2 . b. A = 1 __ 2 , B = 3 __ 2 , C = 9 __ 4 .

8. A = 1,28 × 10 –6 , B = 2,24 × 10 –6

9. Los números a ubicar son 1, 2 y 3.10. Por ejemplo: a. 2,7121898 b. 27,119456 c. 271,24399 d. 2.712,000111. a. < b. = c. <12. 56,83 × 10 9 : 10.000 = 56,83 × 10 5 = 5.683.00013. a. De 1,445 a 1,455. b. De 3,2435 a 3,2445. c. De 0,05 a 0,15.d. De 13,5 a 14,5. e. De 1.206,5 a 1.207,5. f. De 11,5 a 12,5.g. De 12.344,5 a 12.345,5. h. De 0,0025 a 0,0035. i. De 0,00025 a 0,00035.14. a. Entre 0,45 y 0,55. b. Entre 0,75 y 0,85.15. a. Entre 0,5 y 0,6. b. Entre 0,8 y 0,9.16. a. 9,2 × 10 21 b. 9,785 × 10 –22 c. 7,665 × 10 124 d. –2,30355 × 10 –340 17. a. 0,394182 b. 0,394182 c. 0,000000394182 d. 39.418,2

18. a. Hay 124, todos los que están entre 9 __ 8 = 1.125 _____ 1.000 y 10 ___ 8 = 1.250 _____ 1.000 , es decir, entre 1,125 y 1,250.

b. Hay infinitos.19. Hay 34, todos los que están entre 75 = 2.625 _____ 35 y 76 = 2.660 _____ 35

20. Hay 28. Todos desde 11 ___ 9 hasta 38 ___ 9 , incluyendo a los extremos.

21. a. No existe. b. 8,3. c. Dos, el 7 y el 8. d. Infinitos.

e. Infinitos. f. Infinitos. g. 723 ____ 100 h. 55 ___ 9 i. 119 ____ 15

22. Son todas ciertas para a > 123. f.

Capítulo 5: Iniciación en el estudio de las ecuaciones

Página 711. ((n + 8) × 3 – 4 + n) : 4 + 7 – n = 12, es decir que siempre el resultado es 12, para cualquier número n que se elija al principio.2. Si E es la edad (E + 27 – 18 +15 + E) : 2 = (2 × E + 24) : 2 = E + 12. Para saber la edad hay que restarle 12 al número que dice el señor.3. Si la fecha es: a del mes b, queda:(2 × a × 10 + 2) × 5 + b = (20 × a + 2) × 5 + b = 100 × a + 10 + b.Si al número final se le resta 10, queda el número del día multiplicado por 100, y al sumársele el número del mes, éste aparecerá en las dos últimas cifras.

Páginas 72 y 734. a. 3x b. 2 – 5n c. 3m + 105. a. Sí, es cierto, porque al transformarla queda: 2n 2 + 6n + 4n + 12 – 2n 2 – 10n = 10n + 12 –10n = 12b. No es cierto, porque queda 6n 2 + 12, por lo tanto depende del valor de n. Por ejemplo, para n = 1, la expresión toma el valor 18.c. Sí es cierto.6. Es cierto porque 7k es múltiplo de 7 y si se le suma 2 eso no alcanza para repartir uno más, por lo tanto eso es lo que sobra, el resto.7. a. 5 b. 3 c. 3 d. 108. Al reducir la expresión queda: 5n – 34 = 5 · (n – 7) + 1, entonces el resto es 1. Hay infinitos números que se le pueden agregar.9. Sí, es cierto, porque n + n + 1 + n + 2 = 3 · (n + 1), que es múltiplo de 3.10. a. No es cierto, por ejemplo 102 + 1 = 101 que no es múltiplo de 5b. Es cierto con 4 da 17 que no es múltiplo de 511. Para ningún valor, porque, como 6 es par, al multiplicar cualquier número por 6, el resultado también será par.12. n debe tener resto 1 al dividirlo por 3.13. Para ningún número, porque queda 10 y + 6 = 10 y + 5 + 1que tiene resto 1 al dividirlo por 5.14. Sí, es cierto.15. No es cierto. Al reducir la expresión queda: 6 m + 34, luego no puede sumarse un número fijo, depende de m, y m debe ser impar.

Páginas 74 y 7516. Sí existe, solo si n = 4 la expresión dará por resultado 4, porque al reducir la expresión queda: n.17. a. m = 0 b. m = −1 c. Ningún número. d. Todos los números.18. No es cierto, porque si bien h = 10 verifica la igualdad, no es el único porque la igualdad es equivalente a: 18h – 46 = 18h – 46, que es válida para cualquier número h que se elija.19. No es correcto, si bien 0 · n = 8 es una igualdad equivalente a la dada, no es cierto que n = 0 sea un valor que la verifica porque 0 · 0 da 0 y no 8. Ningún número verifica esta igualdad.20. Es correcto, porque cualquier número multiplicado por 0 da 0.21. No se verifica para ningún valor.22. Es una manera de resolver la ecuación pensando en las operaciones.23. a. n = 1 b. n = 2 c. n = 3 d. n = 1824. a. n puede tomar cualquier valor.b. Ningún valor verifica la igualdad. c. n = 11 ___ 21 d. n = – 13 ___ 4

Páginas 76 y 7725. Sí es cierto porque si el primer par es 2k el siguiente es 2k + 2 y el tercero 2k + 4, la suma queda 6k + 6 que es múltiplo de 6. 26. Sí porque queda 7 veces el número y eso es múltiplo de 7.27. a. Verdadera, porque 5 × n + 5 × m = 5 × (n + m) por la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.b. Falsa, por ejemplo 11 + 4 = 15 es múltiplo de 5, pero 11 y 4 no lo son.

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NÚMEROS Y OPERACIONES 2

16. Por ejemplo: “Piense un número, súmele 3, al resultado duplíque-lo, réstele 10, al resultado divídalo por 2, reste el número que pensó y súmele 10”.17. El resultado es siempre – 40.18. a. 45 b. 300 c. 780 d. No es posible.19. Los dos tienen 6 años. 20. a. El perímetro es igual.b. El área se reduce en el cuadrado de lo que se achica del lado.21. a. 2 × (la primera columna) b. 7 × (la primera columna)22. a. b = −10 b. b = −2 c. b = 2 d. Ningún valor cumple con la igualdad.23. Porque queda como resultado el 100 por la fecha entonces es la fecha seguida por 2 ceros al sumarle el mes, que como máximo tiene 2 dígitos, queda el mes en el lugar delos ceros.

c. Verdadera, porque ese número se puede escribir como a × 2 y como b × 3, a × 2 = b × 3, entonces, como 2 y 3 son primos, a es múltiplo de 3 y b es múltiplo de 2, y entonces a = c × 3 y b = c × 2. Luego ese número se escribe a × 2 = (c × 3) × 2 = c × (3 × 2) = c × 6.d. Verdadera, porque si es múltiplo de 6, se escribe: 6 × n = 2 ×3 × n, que es múltiplo de 2 y de 3.e. Verdadera. f. Verdadera. g. Falsa. h. Verdadera.28. Es correcto porque la suma de cuatro números consecutivos empezando en n se puede escribir como 4 × n + 6.29. b. Es correcto porque la suma de 10 números consecutivos empe-zando en n se puede escribir como 10 × n + 45 y multiplicar a un número por 10 es lo mismo que agregarle un cero al final.30. 27 31. 20, 21, … , 29 32. 12, 15, 18 y 21.33. Las edades son 14 y 28. 34. El padre tiene 40 años y el hijo 12.35. $5.36. Se llevan, $12.000, $36.000 y $48.000. 37. El resultado es siempre 1. 38. $7,50 Página 7839. Transforma la división escribiéndola como el algoritmo y transfor-ma en un producto. 40. a. n = 18 b. n = –16 c. n = 541. Porque si 1 dividido (n + 3) es 8, 8 . (n + 3) es 1, por la propiedad de la división. 42. Siempre que no sea 0. 43. Son iguales a. d. e. y h.Son iguales b. f. y g. 44. a. 2 y –2 b. –245. a. x = 1 o x = – 5 b. x = 0

Páginas 79 y 80 Integrar lo aprendido1. a. 78 b. 1.275

c. E × (E + 1) _________ 2 d. Sí, con 30 estrellas en la base.

2. Es cierto, porque 9 n 1 + (9 n 2 + 1)+ … +(9 n 9 + 8) = 9 · ( n 1

+ n 2 + … + n 9 )+ 36, es múltiplo de 9.3. Sí, es cierto. 4. Sí, es cierto.5. a. 3, porque al reducir la expresión se obtiene 7g – 52 = 7g – 49 – 3. Sumando 3 queda 7g – 49, que es la diferencia de dos múltiplos de 7 y, por lo tanto, es múltiplo de 7. b. 1, porque al reducir la expresión se obtiene 4d – 13 = 4d – 12 – 1. Sumando 1 queda 4d – 12, que es la diferencia de dos números pares y, por lo tanto, par.c. Deben ser números de la forma 4k + 2 con k un número entero. 6. No, porque 4 y 6 no son coprimos. Por ejemplo 12 es múltiplo de 4 y de 6 pero no de 24.7. a. 8 b. 38. Todos los números impares cumplen esta condición. 9. No es cierto, si n es 1.000, por ejemplo, da mayor.10. Sí, es cierto.11. Los números son de la forma 7k + 5 con k un número entero. 12. No es cierto. Por ejemplo, 12 + 36 = 48 que no es múltiplo de 18.13. Sí es cierto.14. Si le resta 35 al número que le da el señor, las dos cifras de este resultado son el valor de los números de la ficha.15. a. Le suma 5, da 30, y divide por 2, la persona tiene 15 años.b. Le resta 5 y luego divide por 2.

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