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PABLO
EFFENBERGER
MATEMÁTICA2.° SECUNDARIA CABA
#EducandoGeneracionesCC 61075385ISBN 978-950-13-2594-2
III
Derechos reservados Kapelusz Editora S.A. Prohibida su copia, reproducción y distribución.
Capítulo5
• Posiciones relativas de una recta y una
circunferencia.
• Posiciones relativas de dos circunferencias.
• Arcos, cuerdas y ángulo central.
• Ángulos inscriptos y semiiscriptos.
• Figuras inscriptas en una circunferencia.
• Polígonos regulares.
• Perímetro y superficie de un polígono regular.
• Relación entre polígonos regulares.
Geometría
Derechos reservados Kapelusz Editora S.A. Prohibida su copia, reproducción y distribución.
Teoría
Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia
Trazar las siguientes circunferencias.
a) Tangente a todos los lados del cuadrado. b) Tangente a uno de los lados del triángulo y que
su centro sea el vértice opuesto.
Trazar las siguientes rectas.
a) T: tangente a la circunferencia y que pase por el
punto a.
b) S: tangente a la circunferencia y que pase por el
punto b.
c) N: que pase por los puntos a y b.
Marcar.
d) El punto c en la intersección de las rectas S y T.
e) El triángulo abo.
Observar la figura y responder.
a) ¿Cuáles son las posibles longitudes del segmento mc ?
b) ¿Cuánto mide el segmento am ?
c) ¿Cuáles son las posibles longitudes del segmento bm ?
3
2
1
– Una circunferencia es el conjunto de los puntos del plano que están a la misma distancia r (radio) de un punto fijo o (centro).
En una circunferencia, existen los puntos interiores (o), exteriores (g) o los puntos de la circunferencia (m).
– Una recta puede estar en distintas posiciones respecto de una circunferencia. Una recta es:
• Exterior, si no tiene puntos en común con la circunferencia.• Secante, si corta a la circunferencia en dos puntos.• Tangente, si la corta en un solo punto y es perpendicular a su radio.
M es exterior a C a ; r . R es secante a C b ; r . P es tangente a C c ; r .
C o ; r
m
r
o
g
M
ar
R
b
m
pr
P
csr
5 cm
a
m
c
s
b
a
o
b
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Teoría
Posiciones relativas de dos circunferencias
Escribir las condiciones que deben cumplir r1, r2 y ab para que las circunferencias sean:
a) Tangentes exteriores.
b) Secantes.
c) Concéntricas.
Trazar las siguientes circunferencias.
a) Concéntrica con la roja y de 2 cm de radio. c) Tangente interior con la azul y de 2 cm de radio.
b) Tangente exterior con la verde y de 2,5 cm de radio.
d) Secante con la anaranjada y que pase por su centro.
5
4
Dos circunferencias pueden estar en distintas posiciones en el plano, una respecto de la otra.• Secantes: tienen dos puntos en común.• Concéntricas: tienen el centro en común y radios distintos.• Tangentes: tienen un solo punto en común.
Secantes Concéntricas Tangentes exteriores Tangentes interiores
Desafío
abr2r1
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Teoría
Arcos, cuerdas y ángulo central
– Dos puntos de una circunferencia determinan dos arcos de circunferencia.
– El segmento que tiene por extremos a dos puntos de una circunferencia es una cuerda.
– La cuerda que pasa por el centro de la circunferencia es el diámetro y es dos veces la longitud del radio.
• El segmento ab es una cuerda.
• La cuerda pg es el diámetro.
• Los puntos a y b determinan los arcos amb y asb.
– Todo ángulo cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia se llama ángulo central.
• α∧ es el ángulo central correspondiente al arco erf.
• β∧ es el ángulo central correspondiente al arco enf.
Calcular el ángulo central correspondiente al arco verde.
Calcular la longitud de la cuerda roja en cada circunferencia.
Trazar en cada circunferencia.
a) Una cuerda, mediatriz de la cuerda verde. b) Un radio, bisectriz del ángulo central sop∧
.
8
7
6
a) b)
a
m
p
r
r
bg
s
en
f
r
8 cmo
d
g
130°
6 cm
a
b
c
5 cm
6 cm
m
o
r
m
r
s
o
p
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Teoría
Ángulos inscriptos y semiinscriptos
– Un ángulo está inscripto en un arco de circunferencia cuando su vértice es un punto de ese arco y sus lados pasan por los extremos del arco.
– Un ángulo está semiinscripto en un arco de circunferencia cuando su vértice es uno de los extremos del arco, uno de sus lados pasa por el otro extremo del arco y el otro lado es tangente a la circunferencia.
• El ángulo bac∧
está inscripto en el arco bac.
• El ángulo bac∧
abarca el arco bdc.
• α∧ es el ángulo central correspondiente al ángulo
inscripto bac∧
.
• Todo ángulo inscripto es igual a la mitad del ángulo
central correspondiente.
• El ángulo prs∧
está semiinscripto en el arco pgr.
• El ángulo prs∧
abarca el arco rep∧
.
• φ∧ es el ángulo central correspondiente al ángulo
semiinscripto prs∧
.
• Todo ángulo semiinscripto es igual a la mitad del
ángulo central correspondiente.
bac∧
α∧
2
prs∧
φ
∧
2
Decidir si los ángulos arb∧
y amb∧
son iguales. Justificar la respuesta.
Trazar el ángulo pedido en cada caso y su ángulo central correspondiente.
Calcular la amplitud del ángulo α∧
en cada figura.
a) Inscripto en el arco epf. b) Semiinscripto en el arco rsm.
a) hmt∧
inscripto en el arco hmt. b) abc∧
semiinscripto en el arco bra.
11
9
10
Desafío
a
b
d
o
c
rs
go
e
p
m
o
b
r
s
m
h
a
t
r
m
a
b
p
o
f
a
e
23°a
rb
co
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Repaso
Plantear y resolver.
Trazar una circunferencia que cumpla con cada condición.
a) Tangente a la recta S y que pase por el punto m. b) Tangente a las rectas P y T.
14
13
12
a) Que pase por los cuatro vértices del cuadrado. c) Concéntrica con la circunferencia azul y
tangente exterior con la roja.
b) Que sea tangente a dos de los lados del
rectángulo.
d) Tangente interior con la circunferencia verde y
tangente exterior con la marrón.
a) ¿Cuál es la amplitud del ángulo central
correspondiente de un ángulo inscripto
de 54° 38' 27"?
b) ¿Cuál es la amplitud del ángulo semiinscripto
al que le corresponde un ángulo central de
77° 43' 18"?
Trazar la circunferencia que cumpla con cada una de las siguientes condiciones.
P
T
S
m
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Calcular el valor de x en cada figura.
Calcular y responder.
a) ¿Cuál es la amplitud de un ángulo inscripto en una circunferencia cuyos lados pasan por los
extremos de uno de sus diámetros?
b) ¿Cuál es la amplitud de un ángulo semiinscripto en una circunferencia si uno de sus lados pasa por
el centro?
Hallar la amplitud del ángulo pedido en cada figura.
Calcular el dato pedido en cada figura.
a) La cuerda ms . b) El ángulo ω
∧.
18
16
17
15
a) bac∧
b) mro∧
a)
= °= °=
28
130
x
sbp∧
sor∧
pbr∧
b)
= °=
108
x
mat∧
agt∧
120°
36 cm
24 cm
45° 60°
28 c
m
m
s
23°
b
a
o
m
c
216°
o
m
rg
ma
o
g t
r
o
ps
b
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Teoría
Figuras inscriptos en una circunferencia
Una figura está inscripta en una circunferencia si todos sus vértices son puntos de la circunferencia.
El triángulo verde y el cuadrilátero rojo están inscriptos en una circunferencia.
Calcular los ángulos interiores del trapecio isósceles.
Calcular los ángulos interiores del triángulo spm.
Trazar las siguientes figuras inscriptas en una circunferencia.
a) Un rectángulo. b) Un pentágono con dos ángulos rectos.
21
20
19
a
c
b
o
m
a
p
s
r
96°
118°
s
m
p
84°
162°
a b
dc
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Teoría
Polígonos regulares
Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos interiores iguales.• Todos los polígonos regulares se pueden
inscribir en una circunferencia.• Los ángulos centrales correspondientes a
cada lado son iguales.
Un polígono regular inscripto en una circunferencia queda dividido en triángulos isósceles iguales, su altura se denomina apotema (Ap).
Plantear y resolver.
Construir los siguientes polígonos regulares.
Observar los polígonos y responder.
c) ¿Qué tipo de triángulo es regular? d) ¿Qué tipo de cuadrilátero es regular?
a) Triángulo. b) Cuadrilátero.
a) ¿Cuánto mide el lado de un polígono regular
inscripto en una circunferencia de 6 cm de
radio cuya apotema mide 4,5 cm?
b) ¿Cuánto mide la apotema de un polígono
regular inscripto en una circunferencia de
11 cm de diámetro cuyo lado mide 8 cm?
23
22
Pentágono regular
Ángulo central 3605
72° = °
r p2 2A2
( )l2= +ApA 2ApAA
r Ap22
( )l2= +ApAA 2 Ap r22
( )l2= −r
l 2 r ApA2 2ApAA2 r
Calcular la apotema de un hexágono regular inscripto en una circunferencia de 5 cm de radio.24
Desafío
72°72°72°
72°
72°
Ap
r
r
l Ap
r l2
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Teoría
Superficie de un polígono regular
• La superficie de un polígono regular de n lados es igual a la suma de los n triángulos que se determinan en el polígono.
• Longitud de una circunferencia y superficie de un círculo.
La superficie de cada triángulo es:
Longitud:
La superficie del polígono es:
Superficie:
Calcular la superficie del triángulo equilátero verde.
La circunferencia anaranjada es tangente interior con la azul y pasa por su centro.
Calcular en la figura.
a) La longitud de ambas circunferencias.
b) La superficie de ambos círculos.
Decidir si las siguientes magnitudes son o no directamente proporcionales.
c) La longitud de una circunferencia y su radio. d) La superficie de un círculo y su radio.
Hallar la superficie de la figura roja.
27
25
26
l . Ap2
Perímetro del polígono
nl . Ap
2n . l . Ap
2⋅ =
2 . . r . r2
=ob 11 cm
a
b
c o
r
lAp
10 cm
24 cm
18
cm o
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El perímetro de un hexágono regular es de 48 cm.
Calcular la superficie del hexágono.
Plantear y resolver.
a) ¿Cuántas vueltas tiene que dar, cómo mínimo,
una rueda de 60 cm de diámetro para recorrer
250 m?
b) ¿Cuál es la superficie del mayor círculo que
se puede cortar de un cuadrado de 32 cm
de perímetro?
a) c)
b) d)
Hallar la superficie de las figuras pintadas.
30
28
29
Desafío
28 cm
12 cm
6 cm
7,4
cm
5 cm
6 cm
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Repaso
Trazar las siguientes figuras inscriptas en una circunferencia.
a) Un triángulo isósceles. b) Un romboide.
Hallar los ángulos interiores del trapecio isósceles.
Hallar los ángulos interiores del pentágono.
Hallar la longitud de la curva verde.
Calcular la superficie de la figura amarilla.
31
32
33
34
35
60° 60°
6 cm
62°
156°
a b
cd
o
28 cm
280°
m
t
p
s
r
o
100
Derechos reservados Kapelusz Editora S.A. Prohibida su copia, reproducción y distribución.
Calcular en cada figura.
a) La longitud del arco verde. b) El radio de la circunferencia.
Plantear y resolver.
Trazar las siguientes figuras inscriptas en una circunferencia.
Hallar la superficie de las figuras pintadas.
a) ¿Cuál es el diámetro de una rueda que en
640 vueltas recorre 2 km de distancia?
b) ¿Cuál es la superficie del mayor semicírculo que
se puede cortar en un rectángulo de 7 cm de
base y 3 cm de altura?
a) Un pentágono regular. b) Un eneágono regular.
a) b)
36
37
38
39
10 cm
6 cm
72°
20 cm
o
85°
9,6
cm
o
101
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Integración
Trazar en cada figura.
Trazar el ángulo pedido en cada caso y su ángulo central correspondiente.
Hallar la amplitud de los ángulos rsv∧
y smp∧
.
40
41
42
a) Una recta paralela y una recta perpendicular a la
recta A, que sean tangentes a la circunferencia.
c) Una circunferencia tangente interior a la verde y
que la recta C sea tangente a esa circunferencia.
a) Inscripto en el arco erg. b) Semiinscripto en el arco pms.
b) Una circunferencia concéntrica con la
anaranjada y que la recta B sea tangente a esa
circunferencia.
d) Una circunferencia que sea tangente exterior a
ambas circunferencias.
A
o
C
o
B
o
o
a
a
e
r
g
s
m
b
p
h
s
32°
r
s
o
v
p
m102
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Hallar la amplitud de los siguientes ángulos.
Trazar un triángulo cuyos lados sean paralelos a los del triángulo rojo y tangentes a la
circunferencia.
Hallar la amplitud de los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros.
43
44
45
a) cad∧
y dbc∧
c) mso∧
b) rmp∧
y pbm∧
d) bem∧
a) b)
218°
e
a
b
m
86°
a
bd
c
21°
m
o s
152°
r
m
a
b
p
78°
126°
o
a
d
b
c
61°
152°
37°
e
f
g
h
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Integración
Analizar y explicar en cada caso si la longitud de la curva roja es o no igual a la de la curva verde.
Un reloj analógico tiene una aguja negra que indica los minutos y una roja que indica las horas.
Plantear y resolver.
a) ¿Qué ángulo recorre la aguja negra cada 5 minutos?
b) ¿Qué ángulo recorre la aguja roja cada 30 minutos?
c) ¿Cuál es el ángulo entre las agujas a las 5:10?
Un ventilador de 60 cm de diámetro tiene 4 paletas iguales.
Calcular la superficie de todas las paletas.
Hallar la superficie de las figuras pintadas.
46
47
48
49
a) b)
a) b)
20°
24 cm
18 cm
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