Matemática 1

JOSÉ MIGUEL CUBILLOS MUNCA

REVISIÓN PEDAGÓGICA

MARTHA NUBIA CARDONA PRIETO

Escuela Superior de Administración PúblicaPrograma Administración

Pública Territorial Núcleo

FUND

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DirectorLUIS FRANCISCO JORDÁN PEÑARANDA

Subdirector AcadémicoTOMÁS ERNESTO CONCHA SANZ

Decano Facultad de Ciencias Políticas y AdministrativasJOSÉ ELÍAS YÁÑEZ PÁEZ

Jefe Departamento de PregradoMARÍA EUGENIA SERRANO DE ROMERO

Coordinador de A.P.T.CARLOS MORENO OSPINA

Coordinación Editorial

Helena Gardeazábal Garzón

Concepto Gráfico

Marcela Otero Morales

Diagramación

Sandra Patricia Sánchez D.

Fotomecánica e Impresión

Grupo de Artes Gráficas e Impresos, ESAP

© Escuela Superior de Administración Pública© José Miguel Cubillos Munca

ISBN:

Bogotá D.C., Agosto de 2002

Impreso en Colombia

Printed in Colombia

Escuela Superior de Administración Pública

P resentación

Este documento forma parte integral del conjunto de módulos prepara-dos por la Escuela Superior de Administración Pública con el fin de desa-rrollar su Programa de Administración Pública Territorial en la modalidada distancia.

De acuerdo con los criterios orientadores de la metodología y del Pro-grama, este módulo busca convertirse en la herramienta fundamental ybásica mediante la cual el estudiante a distancia adquiere de maneraautónoma los conocimientos y habilidades exigidas dentro de los están-dares de calidad establecidos para la educación superior.

En todo proceso educativo el estudiante es el actor principal. En la edu-cación a distancia, además, el estudiante es el responsable fundamentaldel proceso, es quien despliega su energía, capacidad y disciplina en eldesarrollo de las actividades tendientes a la adquisición del conocimien-to. La institución educativa, por su parte, ofrece y pone a su disposiciónlos instrumentos que acompañan el proceso de autoaprendizaje, así comolos tutores que orientan el proceso y el andamiaje académico-adminis-trativo que soporta el Programa en su conjunto.

Como institución educativa que desarrolla programas bajo la metodolo-gía de educación a distancia, la ESAP presenta estos módulos a sus es-tudiantes y tutores para que de una manera coordinada, armónica ycreativa los utilicen en su interacción académica hacia el logro de losobjetivos de formación del Programa, y para que de forma constructivarealicen sus aportes para el mejoramiento de los mismos. Cada módulodebe ser asumido como un actor más del proceso educativo y, por ende,como sujeto activo del permanente proceso de autoevaluación que im-plica la búsqueda continua de la calidad académica.

NúcleoFundamentación

Del NúcleoFundamentación

El Programa de Administración Pública Territorial está confor-mado por nueve núcleos temáticos, uno de los cuales es el deFundamentación. Su intencionalidad es que el estudiante ad-quiera formación y aprendizaje en algunas de las disciplinas re-lacionadas con la administración pública, que permitirán aladministrador público territorial contar con herramientas detrabajo tanto para el desarrollo de la gestión administrativa,como para adelantar labores investigativas dentro de la admi-nistración pública.

El núcleo temático de Fundamentación está integrado por lossiguientes módulos:

• Matemática I.• Informática I.• Matemática II.• Informática II.• Informática III.• Estadística I.• Estadística II.• Matemática Financiera.

Matemática 1

TABLA DE CONTENIDO

MATEMÁTICA 1

INTRODUCCIÓN .................................................................................... 15

CAPÍTULO 1 .......................................................................................... 19

1. LÓGICA Y PROPOSICIONES .......................................................... 222. CONECTORES LÓGICOS ................................................................ 283. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA ................................................... 34

CAPÍTULO 2 ......................................................................................... 41

1. NOCIONES GENERALES ................................................................ 442. CLASES DE CONJUNTOS .............................................................. 483. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS .............................................. 544. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES

CON CONJUNTOS ........................................................................ 605. TRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULER ............................... 646. CONJUNTO DE NÚMEROS ............................................................ 687. PRÁCTICA REFLEXIVA .................................................................. 74

CAPÍTULO 3 .......................................................................................... 79

1. FUNCIONES .................................................................................. 822. EVALUACIÓN ................................................................................ 1023. PRÁCTICA DE ENTRENAMIENTO ................................................... 1024. PRÁCTICA DE APLICACIÓN ........................................................... 103

CAPÍTULO 4 .......................................................................................... 107

1. FUNCIONES CÓNICAS ................................................................... 1102. FUNCIONES EXPONENCIALES ....................................................... 1203. EVALUACIÓN ................................................................................ 127

CAPÍTULO 5 .......................................................................................... 130

1. REPASO DE CONCEPTOS .............................................................. 1342. NOCIÓN DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN ......................................... 1363. CÁLCULO DE LOS LÍMITES ............................................................ 1484. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.................................................. 1585. EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO ................................................. 171

CAPÍTULO 6 .......................................................................................... 175

1. DIFERENCIACIÓN.......................................................................... 1782. REGLAS DE DERIVACIÓN .............................................................. 1803. APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS ..................................... 1864. PRÁCTICA DE APLICACIÓN ........................................................... 209

OBJETIVOS GENERALES

• Desarrollar las competencias lógico matemáticas delfuturo administrador público territorial, base funda-mental para la toma de decisiones, la comunicacióny planificación.

• Adquirir herramientas de análisis que permitan apo-yar la comprensión de algunas de las temáticas es-tudiadas en la carrera.

• Estudiar algunas aplicaciones de la matemática en laadministración y la economía, especialmente las quese refieren a la maximización de los beneficios, la efi-ciencia de los procesos, lo mismo que a la minimiza-ción de los costos.

Introducción

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Lógica1 Introducción

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Matemática I

INTRODUCCIÓN

El módulo Matemática I, hace parte del núcleo de Fundamenta-ción. Busca el desarrollo del razonamiento matemático algorítmiconecesario para la planificación y toma de decisiones, lo mismo quela apropiación de herramientas matemáticas necesarias para losprocesos de formación y aprendizaje del programa.

Para el estudio del módulo con un nivel de aprovechamiento ópti-mo, es necesario el apoyo de un software educativo de libre uso, elcual puede ser copiado e instalado en el computador de que dis-ponga el estudiante en su casa o trabajo, lo mismo que en la ESAPy que se encuentra en el CD-ROM de apoyo. Otro software es elDERIVE el cual sólo puede ser utilizado en los equipos de la escue-la, dadas las limitaciones de licenciamiento del programa.

El contenido básico del módulo abarca los elementos principalesdel cálculo infinitesimal o diferencial, sin embargo no se centra enel desarrollo de los conceptos meramente matemáticos, sino enlas aplicaciones a las áreas pertenecientes al campo de la adminis-tración pública; por ello, se presentan las ideas y definiciones bá-sicas sin ahondar en demostraciones, centrándose principalmenteen los ejemplos de aplicación. Por esta razón también se omitenalgunas funciones como las trigonométricas, por su escasa aplica-bilidad en este campo.

La estructura de cada capítulo del módulo corresponde a una bre-ve introducción, objetivos y plan de contenido presentados en laprimera página doble. Luego las lecciones conformadas por un tí-tulo, un texto introductorio, un desarrollo de los temas que hacenreferencia luego a unos ejemplos, explicaciones, gráficos, notas ydefiniciones que apoyan tal desarrollo. Con cada lección, unos ejer-cicios y preguntas que sirven como estrategia de aprendizaje per-mitiendo reflexionar o clarificar aspectos básicos del tema que seestudia. Al final de capítulo se presenta una autoevaluación que lepermite al estudiante asegurar que ha asimilado los contenidos yque está en capacidad de presentar sus evaluaciones.

Capítulo 1Lógica

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Lógica1

LÓGICA

1¿Qué es la lógica?: “La lógica es el estudio de los métodosy principios que se usan para distinguir el razonamientobueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición noimplica que sólo el estudiante de lógica pueda razonarbien o correctamente. Pensar así es tan erróneo como creerque para correr bien se requiere estudiar la física y la fisio-logía asociadas con esa actividad. Algunos atletas exce-lentes ignoran por completo los procesos complejos quetienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están com-pitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que sabenmucho al respecto no se atreverían a incursionar en elterreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso y mus-cular básico, la persona que posee tales conocimientosno puede sobrepasar al ‘atleta natural’.”

Irving M. Copi y H Cohen, Introducción a la lógica. Edi-torial Limusa. México, 1972. p5.

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Matemática I

PLAN DEL CAPÍTULO

1. LÓGICA Y PROPOSICIONES

2. CONECTORES LÓGICOS

3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA

OBJETIVOS GENERALES

• A partir de ejemplos relacionados con la administra-ción pública, apoyar la presentación de los conteni-dos relativos a la lógica matemática para dar al estu-diante elementos que le permitan argumentar cohe-rentemente e interpretar adecuadamente los enuncia-dos presentados por otros.

• Con el estudio de esta unidad el estudiante adquirirálos conocimientos básicos para luego poder definiradecuadamente los conjuntos, dentro de los cualesse cumplen las funciones.

• Mediante la elaboración de un escrito sobre un ensa-yo acerca del entendimiento reflexivo en Hegel, el es-tudiante extrapola la lógica eminentemente matemá-tica hacia el abordaje de la lógica en la filosofía de lasciencias.

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Lógica1

Doc. 1 Introducción a la LógicaMatemática

Se ha dicho y escrito con frecuencia frasessimilares a ésta: ‘Este Gobierno tiene buenasintenciones, pero los elementos entorpecen eldespliegue de su buena voluntad’. Y de estamanera se justifica al soberano el que se rom-pan las reglas del juego establecidas en laConstitución y se improvisen leyes ad hoc deacuerdo con la máxima: mejor es ir haciendomientras vamos viendo. En general, se ha he-cho común la percepción de que los gobier-nos y gobernantes que elegimos eran buenosen el papel, pero el país que les tocó manejarinmanejable, y si de algo ha servido el pasadoes para justificar la inmovilidad del presente.

Desde un punto de vista teórico el problema detrasfondo es sobre la existencia de una correla-ción entre sintaxis y semántica. Para fijar ideas,denominemos por El Plan a un conjunto finito deproposiciones y reglas de inferencia; la naturale-za específica de las mismas no nos interesa.Entonces la cuestión a resolver es cuán factiblees que todo lo que en teoría se puede deducir deEl Plan del gobieno de turno es realizable y, recí-procamente, si todos los beneficios posibles detener, dentro de los límites establecidos por nues-tro modo de gobierno, son deducibles a partir deEl Plan. Más precisamente, lo que nos interesadeterminar es si El Plan es correcto y, a la vez,semánticamente suficiente o completo. ➥

1. LÓGICA Y PROPOSICIONES

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógicaproporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico seemplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o nocorrectos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en lasciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en formaconstante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad, como por ejemplo expresar una idea, locual hacemos en todo momento. Al comunicarnos, lo hacemos expresando proposiciones. Una proposicióno enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es unelemento fundamental de la lógica matemática.

1.1 Conocimiento previo de la lógica

• Siguiendo la teoría constructivista, antes de seguir con elcontenido, revise el conocimiento previo que tiene acercade la lógica con el ejercicio 1, basado en el Doc 1.

1.2 Definición de lógica

• Se entiende por lógica aquel procedimiento intelectual, quetodo ser pensante ejercita claro, exacto y ordenado, apli-cando el tratado de las leyes del pensamiento y dedicado,en su mayor parte, a estudiar las maneras como el enten-dimiento avanza o fracasa en su avance.

• Por desgracia en las épocas en que la ciencia progresa rápi-damente, y con amplitud, frecuentemente se descuida lareflexión acerca de los fundamentos científicos mismos. Talcosa ocurrió con la matemática en el siglo XVIII, y con labiología en el siglo XIX. Y en nuestros días el significadofilosófico de la nueva lógica, el carácter de sus supuestos ylas perspectivas de sus aplicaciones posibles sólo despiertanun interés muy menguado para la meditación reflexiva.

1.3 También es una Ciencia

• La lógica es también la disciplina que estudia la estructura,fundamento y uso de las expresiones del conocimiento hu-mano. Cuenta con una serie coherente de ideas y razona-mientos que permiten de cierta manera afirmar que es laciencia del pensamiento. En el Doc. 2 podemos ver que lalógica puede ser abordada dividiéndola en dos tipos.

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Matemática I

Existe un plan, en el sentido definido anteriormente, para la Matemática que es correcto y completo, por lo que, a riesgo deparecer sofistas, si asumimos que nuestro universo es matematizable, concluimos que un plan correcto y completo debe serposible para nuestra nación. Siguiendo este curso de ideas, usted puede que se sienta tentado a estudiar un curso de Fundamen-tos de la Matemática y, por traslación del razonamiento matemático al problema social que nos incumbe, halle una explicaciónsatisfactoria al por qué no hemos tenido un gobierno con un plan correcto y completo. El utilizar el discurso científico paraexplicar eventos sociales no debe incomodar a nadie, puesto que este modo de retórica lo pusieron de moda los mismossociólogos. Así que procedamos sin temores.

El elemento esencial para garantizar la correctitud de El Plan, cualquiera sea éste, es que sea conservativo respecto a la validezde sus premisas; esto es, si las hipótesis son ciertas, entonces lo que se deduce a partir de ellas, siguiendo los principios deinferencia establecidos, debe también ser cierto. Esto no es difícil de lograr y no se necesita elaborar proposiciones y reglas muysofisticadas. En general, basta legislar los derechos fundamentales del hombre y establecer unos cuantos silogismos, comoaquel famoso de Aristóteles: si se tiene que la proposición A implica proposición B y se tiene A, entonces necesariamente setiene B. Aunque no todas las leyes del pensamiento son silogismos, éstos pueden llevarnos un largo trecho a través de un granconjunto de propuestas válidas que se deducen a partir de nuestro conjunto inicial de ideas válidas. Suponiendo entonces quelos principios de inferencia en El Plan son conservadores del valor de verdad, como expliqué antes, ante una proposición falsaque quienes gobiernan afirman haber derivado de acuerdo con El Plan, usted puede concluir con certeza que este plan esincorrecto o nuestros gobernantes nos engañan.

Un poco más difícil es demostrar la suficiencia semántica. Lo que debe usted hacer es comenzando desde cero, agregar al universotodos los individuos posibles a los cuales las leyes en El Plan hacen referencia, hasta que inductivamente usted rellena el mundode todos los beneficios posibles de obtener. Así, de una manera constructiva, usted determina las limitaciones del Gobierno.

La conclusión final de esta lección de Lógica es que, para su tranquilidad, si los planes futuros y bien intencionados de unpresidente y su equipo no se materializan, no crea que es sólo por insuficiencia semántica que usted y yo compartimos, comoherederos del desastroso país que fuimos, sino también, y más probablemente, por incorrectitud del conjunto de ideas econó-micas, sociales y políticas que diseñan quienes nos gobiernan.

Argimiro Arratia. Artículo publicado en El Universal,Sección de Opinión, cuerpo 1, p.6, Caracas,miércoles 30 de agosto, 2000.

Doc. 1 Continuación

EJERCICIO 1

• Describa en un parrafo de tres a cinco renglones lo que significa para usted la lógica.

• ¿Que elementos de la lectura anterior encuentra relacionados con la lógica matemática?

• Justifique si la idea central de la lectura corresponde a un problema objeto de la lógica o no.

• Discuta a cerca del valor de verdad del enunciado “Suponiendo entonces que los principios deinferencia en El Plan son conservadores del valor de verdad, como expliqué antes, ante una proposi-ción falsa que quienes gobiernan afirman haber derivado de acuerdo con El Plan, usted puede con-cluir con certeza que este plan es incorrecto o nuestros gobernantes nos engañan.” No se preocupe,inténtelo con los conocimientos que tiene en este momento.

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Lógica1

1.4 Proposiciones

• Enunciado (o declaracion verbal) suceptible de ser verda-dero o falso, este se denotará por las letras

p, q, r

con o sin subíndices. El carácter fundamental de un enun-ciado es que o bien es verdadero, o bien es falso, pero noambas cosas. La verdad o falsedad de un enunciado sellama su valor de verdad. Algunos enunciados son compuestos,es decir están formados por enunciados simples y varias co-nectivas. Ejemplo 1.

• La propiedad fundamental de los enunciados compuestoses que su valor de verdad está determinado por completopor el valor de verdad de cada uno de los enunciados sim-ples y por el modo como se les reúne para formar el enun-ciado compuesto.

• Los razonamientos a que se hace referencia en este apartedel módulo son relativamente simples, como los mostra-dos en el ejemplo 2.

“La primera es conocida como el conjunto de leyes que rigen nuestro pensamiento cuando pensamos correctamente. En rigor,el pensar correctamente se da cuando existen determinadas condiciones fisiológicas, educativas y morales. Pero no se puedeesperar que ningún tratado de lógica se ocupe de las condiciones fisiológicas y morales que son necesarias para tener unamente sana; La lógica formal consiste entonces en el estudio de las inferencias. La segunda es conocida como la teoría científicadel razonamiento, con exclusión de los procesos sicológicos que intervienen en él, y que se divide en cálculo de enunciados ycálculo de predicados. Su desarrollo ha permitido efectuar la formalización de las matemáticas. Las palabras o locucionesutilizadas en el lenguaje corriente son sustituidas por símbolos. La lengua así formada es un sistema de símbolos en el cual lasformas lógicas ocupan el lugar de las formas gramaticales.”

Rodríguez Yolanda. Cálculo Infinitesimal. Documento interno de compilación de contenido para el programa deAdministración Pública Municipal y Regional de la ESAP,p.67.

Doc. 2 La lógica puede ser formal o lógica matemática

EJEMPLO 1

“En el sistema político español hay unamonarquía parlamentaria estable y enel francés un gobierno democráticodirigido por un presidente” es unamuestra de un enunciado compuestopor dos enunciados simples: “En elsistema político español hay una mo-narquía parlamentaria estable” el pri-mero y el segundo “En el sistema po-lítico francés hay un gobierno demo-crático dirigido por un presidente”.

“¿Quien será el próximo presidente deColombia?” no se considera un enun-ciado, por que no se puede definir sies falso o verdadero.

“Los países toman dinero prestado enlos mercados de capitales o piden ainstituciones financieras internaciona-les para pagar infraestructuras” estaproposición está formada por dosenunciados simples “Los países to-man dinero prestado en los mercadosde capitales para pagar infraestructu-ras” y “Los países piden a institucio-nes financieras internacionales parapagar infraestructuras”

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Matemática I

EJEMPLO 2

1. En 1993 Perú tenía un gobierno democrático o tenia unrégimen dictatorial.

2. En 1993 Perú no tenía un gobierno democrático

3. Luego Perú tenía un régimen dictatorial.

El señor Diaz es el vecino del concejal que vive en la casade al lado, entonces el señor Diaz vive a la mitad del cami-no entre Bogotá y Tunja. El señor Diaz no vive a mitad decamino entre Bogotá y Tunja

Luego, el señor Díaz no es el vecino del concejal que viveen la casa de al lado.

Todo razonamiento de este tipo general contiene al menosun enunciado compuesto. Al estudiar tales razonamientos,se acostumbra dividir todos los enunciados en dos cate-gorías generales: los simples y los compuestos. Un enun-ciado simple es aquel que no contiene ningún otro enun-ciado como parte constituyente de sí mismo. Un enucia-do compuesto es aquel que contiene otro enunciado comoparte constituyente de sí mismo.

EJERCICIO 2

• ¿Cual es la idea principal que se in-tenta expresar en la lectura 3?.

• Según la misma lectura, ¿Cuál es elproblema lógico que se presenta alcomunicar ideas por medio del len-guaje?

• Subraye los términos que aún no co-noce para la comprensión total deltexto. Remítase a los libros de filoso-fía que tenga a su alcance para acla-rarlos, de no tenerlos consulte a sututor.

EJERCICIO 3

• De las lecturas que le han asignadoen los otros módulos, tome 5 ejem-plos de enunciados simples y 5 deenunciados compuestos.

• ¿Cuales ejemplos de enunciado fue-ron más fáciles de conseguir?. Esto,¿Qué le permite suponer?

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Lógica1

➥

El sistema ciencia comunica en el particular código de la verdad objetiva y sistemática. La ciencia fáctica presupone una lógicabivalente –verdad / falsedad–, aunque algunas teorías presuponen lógicas no ordinarias.

Cuando definimos la función de la lógica en el proceso del conocer científico, de acuerdo a la dialéctica, ésta consiste en“adaptarse a la realidad”. Es la definición débil, representacionista. Sin embargo, al proceder de este modo, confundimos lalógica con la estructura de la realidad y con algunos otros conceptos, tales como el de modelo. La función de la lógica no esadaptarse a la realidad, sino más bien en hacer ésta comunicable en términos de conjunto de proposiciones verdaderasvinculadas sistemáticamente. Más precisamente, la función de la lógica es el cálculo de proposiciones, en un sentido inductivoo deductivo, que permita validar la conexión entre proposiciones. Los resultados de estos cálculos son multiformes, y van desdeel desprendimiento de nuevas proposiciones (generación de hipótesis) hasta la evaluación de teorías (control).

Pero no hay que olvidar que la pretensión hegeliana es dar cuenta de la transformación, y es por ello que incorpora la categoríade contradicción. La hipótesis general es simple: la transformación es cambio, y el cambio es obra de la oposición de entidadescontrarias, que explica la transformación de los estados de las entidades que se oponen. Hegel plantea que la dialéctica es unarepresentación de lo real viviente, que en cuanto y en tanto unidad, contiene los términos de identidad y de contradicción.

El problema se plantea cuando comunicamos esta idea a través del lenguaje. Supongamos el siguiente ejercicio: Es cierto queuna entidad es A y ~ A.

Pero la mera inclusión de “y” en la sintaxis de la proposición nos demuestra que:

A ~ A A ∧∧∧∧∧ ~ AV F FF V F

La refutación pueril a esta conclusión es que la lógica proposicional no encaja con la realidad. Pues bien, úsese el lenguajeordinario, lo que tenemos es la siguiente oración: “las cosas son no son al mismo tiempo”. ¿Y por qué no está en la oración el“y”? Porque el “y” es la lectura del ∧∧∧∧∧, que es la conjunción o producto lógico. Sin embargo, más de uno insistirá: Si tomamos unperíodo, encontraremos A y ~ A como estados. Pero, como es obvio, ya no estamos comunicando lo que originalmentequeríamos comunicar: esta nueva comunicación es la de un proceso o “secuencia temporalmente ordenada de acontecimien-tos, tal que cada miembro de la secuencia toma parte en la determinación del miembro siguiente”, como por ejemplo el procesovital (vida–muerte).

La única manera de comunicar la idea original es mediante una “paradoja”, y las paradojas son problematizaciones (no sondescripciones o explicaciones) de la realidad, que se resuelven adicionando en la formulación lingüística una tercera entidad. Enel caso de la dialéctica, el problema se resuelve sólo si la tercera entidad es de un nivel de realidad distinto al nivel de los dostérminos antitéticos (o aparentemente antitéticos) que incluye. Lo veremos en la siguiente parte y final.

Por otra parte, algunos han confundido el problema de la lógica y la representación de otro modo. Es lo denominado “lógicaborrosa”.

Doc. 3 Lógica como representación y lógica como lenguaje

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Matemática I

A modo de ejemplo, expongamos la siguiente idea: “la lógica formal tradicional no encaja con nuestro objeto de estudio, por dosrazones al menos. La primera... porque se requiere un modo de pensar no lineal, sino reticular y, mejor todavía, sistémico... Lasegunda razón es todavía más obvia. La lógica formal en que hemos sido entrenados se basa en el empleo cualitativo deinclusión y exclusión...para caracterizar los fenómenos sociales y encajarlos en los esquemas tipológicos que, explícita oimplícitamente, utilizamos como referencia”. En suma, supone la tesis que la lógica debe “adaptarse a la realidad”. Pero escuestionable también por otras razones.

El primer argumento se rebate con dos ejemplos simples: i) El estudio general de la continuidad lo emprende la topología, quees una creación matemática de Poincaré; y, ii) los códigos de los sistemas Luhmannianos son binarios. Tanto la teoría delcontinuum como el pensamiento sistémico, matemática y sociología, no sólo no son incompatibles con la lógica formal, sinoque la requieren.

El segundo argumento, confunde un caso particular de agrupaciones científicas, el más simple, la clasificación divisoria, contoda la amplia gama de clasificaciones posibles. Si la división es correcta (el dominio del discurso es igual a la unión de A y ~Ay que la intersección de A y ~A es ~ ), un elemento pertinente podrá ser incluido en el subconjunto de uno de los términos.

Si un elemento es excluido de ambos subconjuntos, está mal definido el elemento (vaguedad) o existe independencia entre elcriterio de división y el elemento (el agua no puede ser incluida en la dicotomía comestible/ no–comestible; sino en la dicotomíabebible/ no–bebible).

Además, concibe la tipología como un instrumento “anterior”, más elemental, respecto de la clasificación; cuando no lo es. Unatipología es el resultado de un sistema de coordenadas, un espacio de atributos. Teórica y metodológicamente, una tipologíaimplica una correlación que un agregado social posee entre dos conceptos de clase, con niveles de medición variados, como lapropuesta de Fromm, grado de autoridad de los padres y grado de aceptación (de dicha autoridad) por los hijos; y que le produjocuatro tipos de relaciones de autoridad: autoridad absoluta, autoridad normal, falta de autoridad y rebelión. Por lo tanto, latipología es un subproducto del juego teórico y metodológico entre dos clasificaciones, en el ejemplo anterior, la clasificaciónentre autoridad de los padres (que en realidad es de un tipo especial, la ordenación, puesto que establece relaciones asimétricasy transitivas entre dos miembros, por ejemplo, un miembro con autoridad débil y otro con autoridad fuerte) y la clasificación degrados de aceptación de los hijos (también ordenada: baja, media, fuerte).

Esta refutación no impide estar de acuerdo en que “definir exactamente lo que es y lo que no es el objeto examinado” es muydifícil, pues “A veces, la vaguedad conceptual refleja una nebulosidad o indeterminación objetiva, no en el sentido de que loshechos sean confusos, pero sí en el de que entre los géneros naturales hay a menudo formas de transición. Estas formas detransición impiden una demarcación tajante, dan lugar a vaguedad conceptual y pueden arruinar incluso clasificaciones”. Peroeste problema no lo resuelve un continuum donde el fenómeno se ubica entre dos tipos ideales, a lo Weber, puesto que volvemosal mismo argumento anterior.”

Gilbert Galassi, Jorge. “Lógica y Epistemología de la Ciencia Social. Ensayo sobre el entendimiento reflexivo en Hegel”. EnCinta de Moebio No.5. Abril de 1999. http://rehue.csociales.uchile.cl/publicaciones/moebio/05/frames13.htm,

Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile

Doc. 3 Continuación

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Lógica12. CONECTORES LÓGICOS

Los conectores lógicos son enlaces que permiten formar enunciados compuestos por más de una proposi-ción. Estos conectores son la parte fundamental de la llamada lógica booleana, muy de moda actualmente porsu importancia en los sistemas computacionales.

2.1 La Conjunción

• El primer tipo de enunciado compuesto que se estudiaráes la CONJUNCION. Cuando dos enunciados se combi-nan mediante la palabra “y”, el enunciado compuesto re-sultante es una conjunción y los dos enunciados que secombinan son llamados “conjuntivos”. Ejemplo 3.

• Para determinar el valor de verdad de los enunciados com-puestos se debe tener en cuenta que existe una conexiónnecesaria entre el valor de verdad de una conjunción y losvalores de verdad de sus componentes, el cual puede es-tudiarse en la explicación 1.

2.2 La negación de un enunciado

• Se forma generalmente agregando un “no” en el enuncia-do original. También es posible expresar la negación de unenunciado anteponiéndole la frase “ es falso que” o “nose da el caso que”. Se acostumbra a usar el símbolo “~”para expresar la negación de un enunciado. Revise la ex-plicación 2 aplicada al ejemplo 4.

2.3 La Disyunción

• Conocida también como la alteración de dos enunciadosse forma insertando la palabra “o” entre ellos. Estos sonconocidos como los disyuntivos (o alternativos). Vea la ex-plicación 3 aplicada al ejemplo 5.

EJEMPLO 3

“La participación ciudadana es un de-recho y un deber” es una conjuncióncuyo primer conjuntivo es “La partici-pación ciudadana es un derecho” ycuyo segundo conjuntivo es “La parti-cipación ciudadana es un deber”. Paratener un símbolo cuya única función seaconectar los enunciados conjuntiva-mente se introduce el símbolo “Ù” . Laconjunción anterior puede escribirseasí: “La participación ciudadana es underecho” Ù “La participación ciudada-na es un deber”. Con mayor generali-dad, si p y q son dos enuciados cua-lesquiera, su conjunción puede excri-birse p Ù q .

EJERCICIO 4

• Como representamos el enun-ciado escrito así “La participa-ción ciudadana es un derechoy un deber de obligatorio cum-plimiento”.

• Representa tambien “El plande desarrollo debe ser com-pleto y correcto”.

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Matemática I

EXPLICACIÓN 2

La negación de todo enunciado verdadero esfalsa y la negación de todo enunciado falso esverdadera. Lo anterior se representa median-te una tabla así:

P ~ p Explicación

V F Si negamos un enunciado que es ver-

dadero hemos construido un enun

ciado falso.

F V Si negamos un enunciado que es fal-

so hemos construido un enunciado

verdadero.

La tabla de verdad puede considerarse comola definición del símbolo de negación “~”.

EXPLICACIÓN 1

UNA CONJUNCION ES VERDADERA SIAMBOS COMPONENTES SON VERDADE-ROS Y FALSA EN CASO CONTRARIO.

Dados dos enunciados, p y q , hay solamen-te cuatro conjuntos posibles de valores deverdad que se les pueden asignar, donde elvalor de verdad de un enunciado es p y qverdad y el valor de verdad de un enunciadofalso es falsedad. Expresando los valoresde verdad con mayúsculas V y F , estos sepueden plantear por medio de una tabla deverdad de la siguiente manera:

p q p ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ q Explicación

V V V Si p es verdadero y q

es verdadero, p ∧ q

es verdadero

V F F Si p es verdadero y

q es falso, p ∧ q es

falso

F V F Si p es falso y q es

verdadero, p ∧ q es

falso

F F F Si p es falso y q es

falso, p ∧ q es falso

Como lo muestra la tabla de verdad quedefine el símbolo “∧” , una conjunción esverdadera si, y sólo si, ambos compues-tos son verdaderos.

EJEMPLO 4

Si P representa el enunciado “Todos losgobernantes son justos”, los enunciados“ No todos los gobernantes son justos”,“Algunos gobernantes no son justos”, “Es falso que todos los gobernantes sonjustos”, pueden simbolizarse indistintamen-te como ~ M.

30

Lógica1

EJEMPLO 5

La palabra “ó” tiene dos significados:

“Se otorgarán primas en caso de enfermedad o desempleo”;la intención, es afirmar que se aprobarán las primas no sola-mente a personas enfermas o a personas sin empleo, sinotambién a las que al mismo tiempo estén enfermas y sin em-pleo. En este sentido la palabra “o” es llamada en sentidoinclusivo.

La palabra “o” también se usa en un sentido fuerte o exclusi-vo, cuyo significado no es “al menos uno”, sino “al menosuno y a lo sumo uno”.

Si en el menú de precio fijo de un restaurante se indica “ensa-lada o postre”, lo que se quiere decir es que, por el precio dela comida, el comensal puede elegir uno u otro, pero no am-bos.

EXPLICACIÓN 3

UNA DISYUNCIÓN INCLUSIVA ES VERDADERA SI UNO DE LOS DISYUNTI-VOS O AMBOS SON VERDADEROS. SOLAMENTE EN EL CASO EN QUEAMBAS SEAN FALSAS ES FALSA LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA.

De acuerdo al ejemplo 5 se interpreta la disyunción inclusiva de dosenunciados en el sentido que afirma la verdad de al menos uno de los dosenunciados y su disyunción exclusiva como si afirmara que al menos unode los dos enunciados es verdadero. Este significado común parcial,según el cual al menos uno de los disyuntivos es verdadero constituyetodo el significado de “o” inclusivo y una parte del significado del “o”exclusivo. El “o” se representa con el símbolo “ ∨” y queda simbolizadapor la siguiente tabla

p q p ∨ q La disyunción es

V V V Verdadera si alguno de sus enunciados es ver-dadero

V F VF V VF F F Falsa si todos sus enunciadosson falsos.

31

Matemática I

2.4 El Condicional

• Si se combinan dos enunciados utilizando laexpresión “si” antes del primero y luego seescribe entre ellos la palabra “entonces” elenunciado compuesto resultante es un con-dicional (también llamado enunciado hipotéti-co, una implicación o un enunciado implicativo).En un condicional, el componente que sehalla entre el “si” y el “entonces” es llamadoantecedente o premisa y el componente quesigue a la palabra “entonces” es el consecuen-te, ó conclusión. Véanse los ejemplos 6y 7.

EJEMPLO 6

“Si el plan de gobierno es realizable, entonces nuestrogobernante ha actuado honestamente”. En este enun-ciado “el plan de gobierno es realizable” es el antece-dente, y “nuestro gobernante ha actuado honestamen-te” es el consecuente.

Un enunciado condicional afirma que su antecedenteimplica su consecuente. No afirma que su antecedentesea verdadero, sino solamente que si el antecedente esverdadero, entonces su consecuente también es verda-dero. Tampoco afirma que el consecuente sea verda-dero, sino solamente que su consecuente es verdaderosi el antecedente lo es.

Se sabe que en un enunciado condicional “Si p enton-ces q” es falso, en caso de que la conjunción ( p ∧ ~ p)sea verdadera, es decir, en el caso de que su antece-dente sea verdadero y su consecuente falso. Para quesea verdadero un condicional, pues debe ser falsa laconjunción indicada, esto es, debe ser verdadera su ne-gación ~(p ∧ ~ q). Expresado de otro modo, para queun condicional “Si p entonces q ” sea verdadero, debeser verdadera también ~(p ∧ ~ q), la negación de laconjunción de su antecedente con la negación de suconsecuente. El símbolo usado comúnmente para re-presentar la expresión “si-entonces” es “→” . La tablade verdad correspondiente es:

Aquí las dos primeras columnas sirven de guía, la terce-

p q ~ q p ∧ ~ q ~(p ∧ ~ q) (p→q) El condicional es

V F V V F F Falso, sólo en el caso en elque de una verdad se llega auna falsedad

F V F F V V Es consistente que de unaF F V F V V falsedad se llegue a una ver--V V F F V V dad, de una falsedad a otra, o

de una verdad a otra.

ra se llena tomando como punto de referencia la segun-da, la cuarta tomando como referencia la primera y latercera, la quinta tomando como referencia la cuarta yla sexta es idéntica a la quinta por definición.

EJEMPLO 7

(p→q) : “Si Pedro ha hecho un trabajocomunitario notable, puede salir elec-to como concejal”

Si P es falsa, es decir, “Pedro no hahecho un trabajo comunitario notable”y es cierto que “Pedro sale electocomo concejal”, el razonamiento(p→q) sigue siendo cierto, aún si noes electo. Pero si “Pedro ha hecho untrabajo comunitario notable” y “Pedrono es elegido concejal” tendremos queel enunciado (p→q) es falso.

32

Lógica1

EXPLICACIÓN 4

UNA PROPOSICIÓN BICONDICIONAL ES VER-DADERA CUANDO LAS DOS PROPOSICIONESQUE LA FORMAN TIENEN EL MISMO VALORDE VERDAD.

Lo anterior se puede representar mediante unatabla así:

P q p ↔q La proposición bicondi-

cional es

V V V verdadera sí los dos

enunciados que la con -

forman tienen el mismo

F F V valor de verdad, entién

dase, ambas verdaderas

o ambas falsas.

V F F Falsa si los enunciados

F V F tienen distinto valor de

verdad, es decir uno ver

dadero y otro falso o vi

ceversa.

2.5 Doble condicional

• Al unir dos enunciados utilizando la expresión “si y solosí” en el enunciado compuesto, el resultante es un doblecondicional. Aquí se incluyen los conceptos de condiciónnecesaria y condición suficiente (Doc. 4), existen circuns-tancias que deben ser necesarias para que se produz-can. Se simboliza cualquiera de estas oraciones por elsímbolo “ ↔” y en general, “q es una condición necesariade p” y “p sólo si q”. Cada uno de los enunciados sim-ples es consecuencia del otro, como se ve en el ejemplo8. Para mejor comprensión vaya a la explicación 4 don-de se sintetiza esto en una tabla de valores de verdad.

EJEMPLO 8

“Se efectúa una licitación pública si ysolamente si el monto de la adquisi-ción excede la mayor cuantía”.

Utilizando el condicional para unir es-tos enunciados se tiene que

“Si se efectúa una licitación pública en-tonces el monto de la adquisición ex-cede la mayor cuantía”, aquí se sim-boliza q → p

“Si el monto de la adquisición excedela mayor cuantía entonces se efectúauna licitación pública”. (p → q)

La primera implicación es necesariapara que se de la segunda, la segun-da es suficiente para que se de la pri-mera.

Luego se puede escribir “Se efectúauna licitación pública si y solamente siel monto de la adquisición excede lamayor cuantía” lo que simbólicamen-te se representa: (p ↔ q)

33

Matemática I

“Hay conceptos que empleamos frecuentemente en nuestros razona-mientos y que, en tanto se manifiesten en el marco del lenguaje ordi-nario, no suelen crear ningún problema de ambigüedad, entre otrosmotivos porque normalmente el propio contexto extralingüístico queproporciona la vida cotidiana es suficiente para solucionar dichosproblemas. Pero la cosa se complica cuando necesitamos hacer unuso científico de los mismos. Evidentemente, por ejemplo, no pode-mos decir que según Einstein todo es relativo, con el significado queestamos acostumbrados a dar a dicha expresión en el lenguaje natu-ral. Habrá que ser rigurosos con su significado científico.

Pues bien, lo mismo que con los conceptos ocurre con determinadasrelaciones de tipo lógico. Aquí vamos a tratar fundamentalmente deaclarar y diferenciar el uso lógico de lo que se ha venido llamandoCONDICIÓN NECESARIA y CONDICIÓN SUFICIENTE, cuyo empleo enel lenguaje se lleva a cabo a través de oraciones condicionales y otrasequivalentes, así como de analizar la presencia de tales estructurasrelacionales, así definidas, en el lenguaje natural y el modo en quepueden descubrirse.

Se entiende equivalentes desde el punto de vista del significado, de loque se quiere decir. Por ejemplo:

a) Si llueve, crecen las plantasb) Al llover, crecen las plantasc) Cuando llueve, crecen las plantas.d) El crecimiento de las plantas se debe a la lluvia..

Zaldivar Soriano, Santiago.“ Estructura Lógica de las OracionesCondicionales”. En: Eúphoros Nº 2 Centro Asociado de la UNED

Algeciras. pp. 67-96.

Doc. 4 Estructura lógica de las oraciones condicionales

34

Lógica13. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA

EJEMPLO 9

“bien suba o baje el dólar, nuestra moneda seguirá siendodébil”. La expresión «bien sea» se asimila a conjunción. Larepresentación de esta tautología se observa en la siguien-te tabla de verdad:

p q ~ p p ∧∧∧∧∧~p (p ∧∧∧∧∧~p) →→→→→ q

V V F F V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

• Elabore dos enunciados y represente con ellos la tauto-logía de la tabla anterior.

De una forma de enunciado que solamente tiene ejemplosde sustitución falsos se dice que es contradictoria o que esuna contradicción, y es lógicamente falsa.

Cuando en las formas de enunciados que se tienen entrelos ejemplos de sustitución hay tanto verdaderos comofalsos, son llamados formas de enunciados indetermina-das o que son una indeterminación.

p q ~p p →→→→→ q q →→→→→ ~p (p →→→→→ q) ↔↔↔↔↔ (q →→→→→ ~p)

V V F V F FV F F F V F

F V V V V V

F F V V V V

• Elabore dos enunciados y represente con ellos la con-tradicción de la tabla anterior.

3.1 Formas de Enunciados

Una forma de enunciado que sólo tiene ejemplos de sustitución verdaderos es una forma tautológica de enun-ciado o una tautología. Esta resulta de hallar el valor de verdad de la combinación de varias proposicionescompuestas.

35

Matemática I

EJEMPLO 10

En el razonamiento “Ningún atleta esvegetariano”. “Todos los jugadores defútbol son atletas”. Luego, “Ningún ju-gador de fútbol es vegetariano”, tantola premisa como la conclusión son pro-posiciones categóricas. Aquí las pre-misas y la conclusión del razonamien-to son aserciones acerca de la clasede todos los atletas. La clase de todoslos vegetarianos y la clase de todos lojugadores de fútbol.

Las clases pueden estar relacionadasentre sí de diversas maneras. Si todomiembro de una clase es miembro deotra clase, se dice que la primera estáincluida o contenida en la segunda.Si solamente algunos miembros de unaclase son también miembros de otra,se dice que la primera está contenidaparcialmente en la segunda.

EJEMPLO 11

También pares de clases que no tie-nen ningún miembro en común. Comola clase de todos los triángulos y laclase de todos los círculos. Las pro-posiciones categóricas afirman o nie-gan estas diversas relaciones entreclases.

3.2 Proposiciones Categóricas

Las proposiciones de este tipo pueden ser con-sideradas como aserciones acerca de clases, queafirman o niegan que una clase esté incluidaen otra, total o parcialmente.

EJEMPLO 12

Hay cuatro formas típicas de proposiciones ca-tegóricas que son:

Todos los políticos son mentirosos

Ningún político es mentiroso

Algunos políticos son mentirosos

Algunos políticos no son mentirosos

La primera es una proposición universal afir-mativa. Es una aserción de dos clases, la detodos los políticos y la de los mentirosos, yafirma que la primera clase está incluida o con-tenida en la segunda; esto significa que todomiembro de la primera clase es también de lasegunda. En este ejemplo, el término sujeto“políticos” designa la clase de todos los políti-cos, y el término predicado “mentiroso” de-signa la clase de todos los mentirosos. Todaproposición universal afirmativa puede escri-birse así:

Todo S es P.

La segunda “Ningún político es mentiroso” esuna proposición universal negativa. Niega uni-versalmente de los políticos que sean mentiro-sos. Hace una aserción acerca de dos clases,dice que la primera clase está excluida de lasegunda, - totalmente excluida-, lo que equi-vale a decir que no hay ningún miembro de laprimera que sea también miembro de la se-gunda. Toda proposición universal negativapuede escribirse así:

Ningún S es P

La tercera “Algunos políticos son mentirosos”es una proposición particular afirmativa. Comoes obvio, lo que se afirma en este caso es quealgunos miembros de la clase de todos lospolíticos son también miembros de la clasede todos los mentirosos. Esta proposición noafirma ni niega que todos los políticos seanmentirosos; no se pronuncia sobre la cuestión.No afirma literalmente que algunos políticosno sean mentirosos

36

Lógica1

Figura 1. ¿Qué expresan los cuantificadores?

3.3 Cuantificadores

Los cuantificadores se utilizan para precisar el lenguaje mate-mático, cuando una proposición se cuantifica, se sabe cuán-tos elementos la satisfacen. En la figura se muestran las posibi-lidades que se deben describir con los cuantificadores:Cuantificador universal, cuantificador existencial, la negacióndel cuantificador universal y la del existencial.

La expresión “para todo” se denomina cuantificador universaly se simboliza por ∀ .

EJEMPLO 13

• Sea m un municipio,

∀

m tiene un plan de desarrollo.

La expresión “existe algún” se denomina cuantificadorexistencial y se simboliza ∃

Las expresiones para indicar el cuantificador existencialson: para algún x algunos x..., hay un x tal que...,algúnx..., existe un x tal que...,...

EJEMPLO 14

· Sea x un número,∃ x : x + 10 = 5,significa que existe algún x tal quehace valida la ecuación x + 10 = 5

· Sea m un municipio, ∃ m: m no tie-ne un plan de desarrollo. Nos ha-bla de la existencia de por lo me-nos un municipio que no tiene plande desarrollo.

Negar una proposición que utiliza elcuantificador universal, significa que secambia éste por el existencial y se nie-ga la proposición.

37

Matemática I

EJEMPLO 15

· El que sea cierto que “exista un municipio que no tiene plan de desarrollo”, vuelve falsa la proposición“Todo municipio tiene un plan de desarrollo”.

Negar una proposición que maneja el cuantificador existencial, significa que el cuantificador existenciales reemplazado por el universal y se niega la proposición.

Ejemplo

· Si se niega que “exista un municipio que no tiene plan de desarrollo”, se afirma la proposición “Todomunicipio tiene un plan de desarrollo”.

EVALUACIÓN

Desarrolle con su grupo de estudio, los siguien-tes ejercicios. Si tiene dificultades, repase la uni-dad cuidadosamente y consulte a sus compañe-ros de equipo, si aún perseveran las dificultadesanótelas y preséntelas al tutor en la próxima se-sión presencial.

1. Sean “p” “Hay movimientos al margen de laley” y “q “ “Hay redistribución del ingreso“.Describir con un verbalmente los siguientesenunciados:

a) ~p

b) p ∧ q

c) p v q

d) p ↔ q

e) p → ~ q

f) p ∧ ~ q

g) ~p ∧ ~ q

h) p ↔ ~ q

i) ~~ q

j) (p ∧ ~ q) → p

2. Escribir los siguientes enunciados en forma sim-bólica, utilizando “p” y “q” para representar

a) Diana tiene un buen abogado

b) Carlos no presenta una queja

c) No es cierto que Diana tiene un buen aboga-do

d) Diana tiene un buen abogado y Carlos pre-senta una queja

e) Carlos presenta una queja entonces Diana tie-ne un buen abogado

f) Diana no tiene un buen abogado si y solo si,Carlos presenta una queja

g) Diana no tiene un buen abogado si y solo si,Carlos no presenta una queja

3. Escribir los siguientes enunciados en formasimbólica, utilizando “p” , “q, “r”, etc., pararepresentar. Resalte las inconsistencias que sepresenten en la redacción, si existen.

a) Como una característica general, desde losdenominados estadios prehistóricos cultura-les como son el salvajismo y la barbarie has-ta llegar a la denominada civilización y laseras modernas y postmodernas, ha existidoun común denominador y es la lucha del hom-bre contra la naturaleza.

b) Se arrasa la biodiversidad y empiezan a trans-formarse los niveles permisibles para la vidahumana y animal por la contaminación atmos-férica. ➥

38

Lógica1

c) Con la globalización se ha venido abajo unade las premisas fundamentales de la moder-nidad como es la idea de vivir y actuar enespacios cerrados y recíprocamente delimita-dos de los Estados nacionales y de sus res-pectivas sociedades nacionales.

d) La incertidumbre del presente y la angustia delfuturo inmediato unidos al agotamiento de lasformas tradicionales de interpretar organizar ysolucionar los problemas aumenta la sensa-ción de orfandad y pérdida de sentido.

e) Además de las contaminaciones por densidadde población y erosión por el proceso urbani-zador, se presenta en los centros pobladosun tipo especial de contaminación del suelopor la inadecuada disposición de los residuossólidos, provenientes de tales concentracio-nes humanas.

4. Determinar el valor de verdad de cada uno delos siguientes enunciados compuestos

a) Si 5 + 4 = 9, entonces 4+ 2 = 8

b) No es cierto que España está en Inglaterra,entonces Portugal está en Alemania.

c) No es verdad que 8 – 3 = 6 si, y solo si,45 / 9 = 8

d) “Perú ha tenido guerra con todos sus vecinoso Bolivia no tiene salida al mar”

e) “Perú ha tenido guerra con todos sus vecinosy Bolivia no tiene salida al mar”

f) Hay una democracia participativa si y solo sial-gunos pueden votar.

g) El gobierno es legítimo si y solo si hay unademocracia representativa.

5. Elabore las tablas de verdad de cada propo-sición.

a) ~ (p → ~q)

b) ~ p ∧ q

c) ~ (p ∧ q) ∧ ~ (p ↔ q)

d) (p ∧ q) → (p v q)

e) p → (p ∧ q)

f) p → (p v q)

6. Sea A = { 1, 2, 3, 4 ,5}, hallar el valor deverdad de los siguientes enunciados y demos-trarlo.

a) (∃ x∈ A) (x + 3 < 5)

b) (

∀

x ∈ A) (x + 3 < 10)

c) (

∀

x ∈ A) (x + 3 ≤ 10)

d) (∃ x∈ A) (x + 3 = 10)

7. Ahora que ha estudiado el capítulo, discutanuevamente acerca del valor de verdad delenunciado “Suponiendo entonces que los prin-cipios de inferencia en El Plan son conserva-dores del valor de verdad, como expliqué an-tes, ante una proposición falsa que quienesgobiernan afirman haber derivado de acuerdocon El Plan, usted puede concluir con certezaque este plan es incorrecto o nuestros gober-nantes nos engañan.”

8. Para resolver este ejercicio se le sugiere inves-tigar en textos de derecho administrativo so-bre la jerarquía de los actos administrativos.

Represente y establezca el valor de verdadde los siguientes enunciados:

a) Existe una norma de mayor jerarquía que laLey del Plan de Desarrollo.

b) Todas las normas internas son de menor jerar-quía que los tratados internacionales suscri-tos por Colombia.

c) La única norma que guarda un vínculo jerár-quico con todas las restantes es la Constitu-ción, superior a todas las demás, cualquierasea su tipo, contenido o naturaleza

EVALUACIÓN

➥

39

Matemática I

d) En el ordenamiento constitucional colombia-no, todas las leyes, cualquiera sea su tipo odenominación, son jerárquicamente igualesentre sí.

e) Las Leyes reglamentarias que son de mayorjerarquía que las leyes comunes.

f) Existe por lo menos una norma de menor je-rarquía que las leyes marco.

g) No existen normas de inferior jerarquía que losdecretos.

h) Todos los decretos son de inferior jerarquíaque las leyes.

i) El decreto legislativo es de mayor jerarquíaque la ley.

9. Elabore un cuadro sinóptico con los conteni-dos básicos estudiados en esta unidad.

10.Presente tres ejemplos relacionados con laadministración pública en los cuales se nie-guen enunciados falsos y tres en que se nie-guen enunciados verdaderos. Establezca encada caso el valor de verdad de la negación.

11.Analice y escriba lo que sucede en los siguien-tes textos, (provenientes de un grupo de discu-sión en Internet) con respecto a la doble nega-ción. ¿Se presenta esta con frecuencia en el dis-curso público?. Si conoce ejemplos, cítelos.

1. “Juan le impide que voltee.

2. Juan le impide voltear.

3. El doctor le prohibió que tome esas pasti-llas.

4. El doctor le prohibió tomar esas pastillas.

• Las oraciones anteriores, que pertenecenal español actual, tienen un significado cla-ro y evidente. Pero también existen las si-guientes oraciones en el español actual:

5. Juan le impide que no voltee.

6. Juan le impide no voltear.

7. El doctor le prohibió que no tome esas pas-tillas.

8. El doctor le prohibió no tomar esas pasti-llas.

• Luego de constatar que la oración (5) equi-vale interpretativamente a la oración (1); la(6), a la (2); la (7), a la (3) y la (8), a la (4),cabe hacer la siguiente pregunta: ¿se pue-den considerar a las oraciones de la (5) ala (8) como casos de doble negación,como lo son, por ejemplo, las siguientesoraciones:

9. No hay nadie en el salón.

10. No llegó nadie a la cita.

11. Juan no estudia nunca sus cursos.

12. Pedro no ha venido todavía a la casa.”

Mauricio Aguirre Villanueva

EVALUACIÓN

➥

“El único ejemplo que se me ocurre por el mo-mento proviene de la nunca bien ponderadatecnocumbia. En efecto, una de las (no muyelaboradas) letras de este género dice algocomo esto (s.e. u o.):

“Le he prohibido a mis ojosque NO te busquen más,le he prohibido a mis labiosque NO te llamen más” (etc.)

En todo caso, es notable que mucha gentebaile y cante esto sin notar (?) la doble nega-ción. ¿Tendrá algo que ver Forma Lógica oes, simplemente, eso a lo que los puristas alu-den cuando se quejan de que «cada vez sehabla peor»? ¿O es que en el arte vale todo?”

Héctor H.G. Velázquez

40

Lógica1

1. Hay movimientos al margen de la ley” y “q “ “Hayredistribución del ingreso”

a) No hay movimientos al margen de la ley

b) Hay movimientos al margen de la ley y hay redistri-bución del ingreso

c) Hay movimientos al margen de la ley o hay redistri-bución del ingreso

d) Hay movimientos al margen de la ley si solo si hayredistribución del ingreso

e) Si hay movimientos al margen de la ley entonces nohay redistribución del ingreso

f) Hay movimientos al margen de la ley o no hay redis-tribución del ingreso

g) No hay movimientos al margen de la ley y no hayredistribución del ingreso

h) Hay movimientos al margen de la ley, si solo si, nohay redistribución del ingreso

i) Es falso que no hay redistribución del ingreso

PRÁCTICA REFLEXIVA

Haga un escrito de 20 a 30 renglones (en forma individual) sobre la aplicabilidad de la lógica en el desempeñodel Administrador Público.

Ahora descanse y diviértase un poco leyendo esto:

MÉTODO CIENTÍFICO:

Van Dumholtz tiene dos grandes frascos delante de sí, uno con muchas pulgas y el otro vacío. Saca cuidadosamente una pulgadel frasco, la pone ante el frasco vacío, da un paso atrás y dice “salta”, tras lo cual la pulga salta al frasco. Metódicamente,saca otra pulga, la pone en la mesa, dice “salta” y la pulga salta al frasco que estaba vacío al principio. Cuando haterminado de cambiarlas de frasco de este modo, saca una del frasco que ahora está lleno, le quita cuidadosamente las patasde atrás y la coloca en la mesa frente al primer frasco. Ordena “salta”, pero la pulga no se mueve. Saca otra pulga del frasco,le quita cuidadosamente las patas de atrás y la coloca en la mesa frente al primer frasco. Vuelve a ordenar “salta”, pero lapulga no se mueve. Van Dumholtz continúa metódicamente el mismo procedimiento con las pulgas restantes y obtiene losmismos resultados. Entusiasmado, Van Dumholtz anota en su cuaderno: “Cuando se le quitan las patas traseras a unapulga, deja de oír.”

ALGUNAS RESPUESTAS

j) Si hay movimientos al margen de la ley y nohay redistribución del ingreso, entonces haymovimientos al margen de la ley

2. Se define primero “p” como Diana tieneun buen abogado y “q” como Carlos pre-senta una queja.

a) p b) ~q c) ~p

d) p ∧ q e) q → p f) ~ p↔ q

g) ~ p ↔ ~q

4. a) F b) F c) Vd) V e) F f) F

6. a) V b) V c) V d) F