Upload
setya-permana
View
244
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
1/22
MATEMATIKA TEKNIK
Pertemuan 2
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
2/22
PENYELESAIAN PDB O
Integrasi Langsung
Pemisahan Varibel
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
3/22
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIAS
Bentuk sederhana persamaan diferensial orde 1 adalah :
Fungsi y dapat dicari dengan cara mengintegralkanf(x), yaitu :
Namun demikian pada kebanyakan, persamaan diferensial yang di
soal umumnya tidak sesederhana itu bentuknya.
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
4/22
INTEGRASI LANG
Jika PDB dapat disusun dalam bentuk
, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.
Contoh
Maka
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
5/22
CONTOH
Untuk mencari fungsiy (x), persamaan tersebut diintegralkan l
Maka :
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
6/22
CONTOH
Maka
Sehingga solusi umumnya
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
7/22
LATIHAN
Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan integrasi lang
1.
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
8/22
PEMISAHAN VARIABEPERSAMAAN DIFERENSIAL TER
Sebuah persamaan diferensial terpisahkan (PDT) adalah setiap per
diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk berikut
Bentuk PDT di atas dapat dirubah menjadi PDT berikut dimana kovariabelx dan komponen variabel terikaty terpisahkakan dengan ta
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
9/22
PEMISAHAN VARIABEPERSAMAAN DIFERENSIAL TER
Memecahkan persamaan diferensial dipisahkan cukup mudah, yaitu
melakukan integrasi pada ruas kanan dan kiri dari persamaan di atas
menjadi seperti berikut:
Setelah diintegralkan akan diperoleh jawaban dari PDT tsb apakah smplisit atau eksplisit. Perlu dicatat tidak semua solusi persamaan dif
disebut eksplisit
eksplisit jika dapat dituliskan dalam bentuk
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
10/22
Jika persamaan diferensial berbentuk
yaitu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau p
dan fungsi y, maka penyelesaian PD dengan cara memisahkan variabelnya sehi
kita kumpulkan dengan dy dan faktor x dengan dx.
Contoh
Pisahkan variabel sehingga Integralkan kedua ruas
Hasilnya
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
11/22
CONTOH
Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemis
variabel :
Pisahkan variabel sehingga
Integralkan kedua ruas
Hasilnya cukup ditulis SOLUSI UMUM
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
12/22
Kita perlu mengetahui tentang interval val iditasbagi banyak solus
interval validitas adalah kisaran nilai (domain) variabel independen
ini, di mana solusi tersebut valid (terdefinisikan). Dengan kata lain
untuk menghindari pembagian dengan nol, bilangan kompleks, log
angka negatif atau nol, dll Sebagian besar solusi yang akan kita dap
persamaan diferensial dipisahkan tidak akan berlaku untuk semua n
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
13/22
CONTOHCari solusi dari PDberikut dan tentukan interval vali ditas nya!
Solusi
Karena diketahui kondisi tambahanbahway(1)=1/25 maka dari solusi
implisit di atas dapat diaplikasikan
sebagai berikut:
Dengan dem
solusi spesifsebabagai be
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
14/22
LANJUTAN
Selanjutnya kita perlu mencari interval validitasnya dari solusi PDT tsb. Pertam
ada pembagian oleh nol; yaitu pada saat
karena hal ini akan menyebakan pembagian dengan bilangan NOL. Ini akan m
kemungkinan interval validitas, yaitu:
Namun hanya satu dari 3 kemungkinan interval validitas yang memenuhi syara
nilai x=1 dari kondisi inisial yaituy(1)=1/25. Sehingga interval validitasnya ad
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
15/22
LATIHAN
Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemis
1.
2.
3.
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
16/22
PERSAMAAN DIFERENSIA
Sebuah persamaan diferensial dengan bentuk :
dinamakan persamaan diferensial eksak (exact differential equation) jika terdap
sedemikian rupa sehingga pada daerah tert
Oleh karenanya, persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi :
Solusi dari persamaan ini adalahf (x,y) k , k adalah nilai konstanta tertentu
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
17/22
Apabila maka persamaan diferensial
dikatakan eksak jika dan hanya jika
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
18/22
CONTOH
Buktikan bahwa persamaan diferensial berikut bersifat eksak dan tentukan solu
diferensial tersebut :
enguji sifat eksak
Terbukti
Fungsi diferensialnya adalah :
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
19/22
LANJUTAN
dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan :
Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah :
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
20/22
CONTOH
Buktikan bahwa persamaan diferensial berikut bersifat eksak dan tentukan solu
diferensial tersebut :
Menguji sifat eksak
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
21/22
LANJUT
adalah merupakan persamaan diferensial bersifat eksak. Fungsi diferensialnya a
dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan :
Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial
tersebut adalah :
7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1
22/22
BERIKUTNYA
PERSAMAAN DIFERENSIAL TIDAK EKSAK
PERSAMAAN BERNAULLI
MINGGU DEPAN