Matematyka dyskretnacopy Andrzej Łachwa UJ 2014

andrzejlachwaujedupl

115

Literatura obowiązkowa

[1] KARoss ChRBWright Matematyka Dyskretna Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1996

[2] RLGraham DEKnuth OPatashnik Matematyka Konkretna Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1996

[3] RJWilson Wprowadzenie do teorii grafoacutew Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1998

[4] Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatykoacutewhttpwazniakmimuweduplindexphptitle=Matematyka_dyskretna_1

Inne źroacutedła będą podawane w trakcie wykładoacutew

Ważne informacjeKonsultacje czwartki 14‐15 piątki 9‐10 pok 450aSlajdy z wykładoacutew będą udostępnione na stronie Zakładu PiGK w zakładce DydaktykaMateriały Materiały te są przeznaczone wyłącznie dla uczestnikoacutew zajęćEgzamin

po uzyskaniu zaliczenia ćwiczeń pisemny w zakresie wiedzy teoretycznej i umiejętności rozwiązywania zadań

egzamin poprawkowy we wrześniu

Matematyka dyskretna łączy i wykorzystuje roacuteżne działy matematyki aby dostarczyć informatykom podstaw teoretycznych oraz metod niezbędnych do konstruowania i analizy algorytmoacutew

W programie studioacutew mamy ponadto logikę i teorię mnogości analizę matematyczną algebrę i geometrię rachunek prawdopodobieństwa oraz inne przedmioty z elementami matematyki Niektoacutere z treści opisanych w literaturzenaszego przedmiotu będą wprowadzane w ramach tamtych przedmiotoacutew Np treści rozdziałoacutew 2 3 9 10 13 oraz częściowo 1 11 12 podręcznika [1] czyli obejmujące niemal połowę tego podręcznika Mimo tego niektoacutere tematy są na tyle ważne że będą omawiane także na naszych zajęciach

Zbiory i relacje

ZbioryGdy moacutewię o zbiorze monet w portmonetce to najlepszą strukturą danych może okazać się torba czyli zbioacuter z powtoacuterzeniami

Gdy myślę o czasie jaki upłynie od teraz do końca dzisiejszego dnia to najlepszym modelem tego odcinka czasu wydaje mi się zbioacuter mereologiczny

Gdy słyszę o wysokiej opłacalności pewnej inwestycji to właściwym modelem tej oceny będzie zbioacuter rozmyty (fuzzy set)

Gdy wybieram nowy komputer to biorę pod uwagę zbioacuter komputeroacutew ktoacutery pojmuję jako zbioacuter przybliżony (rough set)

Są jeszcze zbiory dystrybutywne i roacuteżne inne (intuicjonistyczne bipolarne aproksymowane przedziałowe probabilistyczne etc)

Zob min

Łachwa A Ktoacutery zbioacuter wybrać 2006 httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Podobieństwo zbioroacutew 2008httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Rozmyty świat zbioroacutew liczb relacji faktoacutew reguł i decyzji EXIT Warszawa 2001

Pawlak Z (1994) Hard and soft sets Rough Sets Fuzzy Sets and Knowledge Discovery W P Ziarko (ed) s23‐37

Pawlak Z Skowron A (2007) Rudiments of rough sets Information Sciences vol 177 s3‐27

Zbiory dystrybutywneWedług G Cantora (1883) zbioacuter to każda wielość ktoacutera da się pomyśleć jako jedność tzn każdy ogoacuteł określonych elementoacutew ktoacutery można za pomocą jakiegoś prawa powiązać w całość

Tak rozumianym zbiorem jest na przykład ogoacuteł liczb pierwszych a prawem ktoacutere wiąże w całość te liczby jest definicja liczby pierwszej Liczby pierwsze to 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 itd Rozstrzygnięcie czy dana liczba jest pierwsza może być jednak trudne np 4 294 967 297 Nie zmienia to faktu że albo jest ona albo nie jest liczbą pierwszą

Dwa zbiory są roacutewne jeśli mają te same elementy

nN n jest liczba parzystą 0 2 4 6 8 hellip

1 2 3 2 2 2 1 3 3

(ndash1)n nN ndash1 1

1 12 1 2

(1 2) = 1 12

Używamy symboli = (czasami ) (litera alfabetu greckiego)(litera alfabetu norweskiego)

UWAGA dla operacji definiowania nie powinniśmy używać tego samego symbolu co dla relacji roacutewności

Często wygodnie jest ustalić pewien zbioacuter U zwany uniwersum i rozpatrywać jego elementy i jego podzbiory Wtedy zbioacuter A elementoacutew uniwersum U ma dopełnienie A do uniwersum U roacutewne UA (gdzie symbol oznacza roacuteżnicę zbioroacutew)W tych wykładach zajmować się będziemy zbiorami co najwyżej przeliczalnymi tzn albo skończonymi albo nieskończonymi ale roacutewnolicznymi ze zbiorem liczb naturalnychI często będziemy starać się najpierw określić uniwersum a potem moacutewić o zbiorze elementoacutew tego uniwersum Dlaczego Dlatego żeby wiedzieć o czym moacutewimy o liczbach przedmiotach kolorach czy zwierzętach

Rodzina wszystkich podzbioroacutew zbioru U z operacjami sumy iloczynu i dopełnienia oraz z wyroacuteżnionym zbiorem pustym i zbiorem pełnym jest algebrą Boolea

Roacuteżnicą symetryczną zbioroacutew A i B nazywamy zbioacuter tych elementoacutew wymienionych zbioroacutew ktoacutere nie należą do nich jednocześnie Operator ten oznaczamy przez

Jeżeli A1 A2 hellip są zbiorami to przez Ui=12 Ai oznaczamy sumę tych zbioroacutew Indeksy mogą być wyrażone inaczej np bdquoiIrdquo albo bdquo5ltilt12rdquo Podobnie dla iloczynu

Produkt kartezjański zbioroacutew A i B oznaczamy przez AtimesB produkt AtimesA oznaczamy przez A2 i podobnie dla większej liczby zbioroacutew np AtimesAtimesA oznaczamy przez A3

Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementoacutew oznaczamy przez |A|

Jak wiemy |AtimesB| = |A| |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)

Na oznaczenie przedziałoacutew liczbowych używamy nawiasoacutew okrągłych i kwadratowych ale (7 9) może oznaczać przedział i może oznaczać parę liczb

Jeśli moacutewimy o przedziale liczbowym to musimy wskazać jaki zbioacuter liczb stanowi nasze uniwersum Możemy np moacutewić o przedziale liczb naturalnych przedziale liczb wymiernych itd

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Literatura obowiązkowa

[1] KARoss ChRBWright Matematyka Dyskretna Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1996

[2] RLGraham DEKnuth OPatashnik Matematyka Konkretna Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1996

[3] RJWilson Wprowadzenie do teorii grafoacutew Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1998

[4] Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatykoacutewhttpwazniakmimuweduplindexphptitle=Matematyka_dyskretna_1

Inne źroacutedła będą podawane w trakcie wykładoacutew

Ważne informacjeKonsultacje czwartki 14‐15 piątki 9‐10 pok 450aSlajdy z wykładoacutew będą udostępnione na stronie Zakładu PiGK w zakładce DydaktykaMateriały Materiały te są przeznaczone wyłącznie dla uczestnikoacutew zajęćEgzamin

po uzyskaniu zaliczenia ćwiczeń pisemny w zakresie wiedzy teoretycznej i umiejętności rozwiązywania zadań

egzamin poprawkowy we wrześniu

Matematyka dyskretna łączy i wykorzystuje roacuteżne działy matematyki aby dostarczyć informatykom podstaw teoretycznych oraz metod niezbędnych do konstruowania i analizy algorytmoacutew

W programie studioacutew mamy ponadto logikę i teorię mnogości analizę matematyczną algebrę i geometrię rachunek prawdopodobieństwa oraz inne przedmioty z elementami matematyki Niektoacutere z treści opisanych w literaturzenaszego przedmiotu będą wprowadzane w ramach tamtych przedmiotoacutew Np treści rozdziałoacutew 2 3 9 10 13 oraz częściowo 1 11 12 podręcznika [1] czyli obejmujące niemal połowę tego podręcznika Mimo tego niektoacutere tematy są na tyle ważne że będą omawiane także na naszych zajęciach

Zbiory i relacje

ZbioryGdy moacutewię o zbiorze monet w portmonetce to najlepszą strukturą danych może okazać się torba czyli zbioacuter z powtoacuterzeniami

Gdy myślę o czasie jaki upłynie od teraz do końca dzisiejszego dnia to najlepszym modelem tego odcinka czasu wydaje mi się zbioacuter mereologiczny

Gdy słyszę o wysokiej opłacalności pewnej inwestycji to właściwym modelem tej oceny będzie zbioacuter rozmyty (fuzzy set)

Gdy wybieram nowy komputer to biorę pod uwagę zbioacuter komputeroacutew ktoacutery pojmuję jako zbioacuter przybliżony (rough set)

Są jeszcze zbiory dystrybutywne i roacuteżne inne (intuicjonistyczne bipolarne aproksymowane przedziałowe probabilistyczne etc)

Zob min

Łachwa A Ktoacutery zbioacuter wybrać 2006 httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Podobieństwo zbioroacutew 2008httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Rozmyty świat zbioroacutew liczb relacji faktoacutew reguł i decyzji EXIT Warszawa 2001

Pawlak Z (1994) Hard and soft sets Rough Sets Fuzzy Sets and Knowledge Discovery W P Ziarko (ed) s23‐37

Pawlak Z Skowron A (2007) Rudiments of rough sets Information Sciences vol 177 s3‐27

Zbiory dystrybutywneWedług G Cantora (1883) zbioacuter to każda wielość ktoacutera da się pomyśleć jako jedność tzn każdy ogoacuteł określonych elementoacutew ktoacutery można za pomocą jakiegoś prawa powiązać w całość

Tak rozumianym zbiorem jest na przykład ogoacuteł liczb pierwszych a prawem ktoacutere wiąże w całość te liczby jest definicja liczby pierwszej Liczby pierwsze to 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 itd Rozstrzygnięcie czy dana liczba jest pierwsza może być jednak trudne np 4 294 967 297 Nie zmienia to faktu że albo jest ona albo nie jest liczbą pierwszą

Dwa zbiory są roacutewne jeśli mają te same elementy

nN n jest liczba parzystą 0 2 4 6 8 hellip

1 2 3 2 2 2 1 3 3

(ndash1)n nN ndash1 1

1 12 1 2

(1 2) = 1 12

Używamy symboli = (czasami ) (litera alfabetu greckiego)(litera alfabetu norweskiego)

UWAGA dla operacji definiowania nie powinniśmy używać tego samego symbolu co dla relacji roacutewności

Często wygodnie jest ustalić pewien zbioacuter U zwany uniwersum i rozpatrywać jego elementy i jego podzbiory Wtedy zbioacuter A elementoacutew uniwersum U ma dopełnienie A do uniwersum U roacutewne UA (gdzie symbol oznacza roacuteżnicę zbioroacutew)W tych wykładach zajmować się będziemy zbiorami co najwyżej przeliczalnymi tzn albo skończonymi albo nieskończonymi ale roacutewnolicznymi ze zbiorem liczb naturalnychI często będziemy starać się najpierw określić uniwersum a potem moacutewić o zbiorze elementoacutew tego uniwersum Dlaczego Dlatego żeby wiedzieć o czym moacutewimy o liczbach przedmiotach kolorach czy zwierzętach

Rodzina wszystkich podzbioroacutew zbioru U z operacjami sumy iloczynu i dopełnienia oraz z wyroacuteżnionym zbiorem pustym i zbiorem pełnym jest algebrą Boolea

Roacuteżnicą symetryczną zbioroacutew A i B nazywamy zbioacuter tych elementoacutew wymienionych zbioroacutew ktoacutere nie należą do nich jednocześnie Operator ten oznaczamy przez

Jeżeli A1 A2 hellip są zbiorami to przez Ui=12 Ai oznaczamy sumę tych zbioroacutew Indeksy mogą być wyrażone inaczej np bdquoiIrdquo albo bdquo5ltilt12rdquo Podobnie dla iloczynu

Produkt kartezjański zbioroacutew A i B oznaczamy przez AtimesB produkt AtimesA oznaczamy przez A2 i podobnie dla większej liczby zbioroacutew np AtimesAtimesA oznaczamy przez A3

Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementoacutew oznaczamy przez |A|

Jak wiemy |AtimesB| = |A| |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)

Na oznaczenie przedziałoacutew liczbowych używamy nawiasoacutew okrągłych i kwadratowych ale (7 9) może oznaczać przedział i może oznaczać parę liczb

Jeśli moacutewimy o przedziale liczbowym to musimy wskazać jaki zbioacuter liczb stanowi nasze uniwersum Możemy np moacutewić o przedziale liczb naturalnych przedziale liczb wymiernych itd

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Ważne informacjeKonsultacje czwartki 14‐15 piątki 9‐10 pok 450aSlajdy z wykładoacutew będą udostępnione na stronie Zakładu PiGK w zakładce DydaktykaMateriały Materiały te są przeznaczone wyłącznie dla uczestnikoacutew zajęćEgzamin

po uzyskaniu zaliczenia ćwiczeń pisemny w zakresie wiedzy teoretycznej i umiejętności rozwiązywania zadań

egzamin poprawkowy we wrześniu

Matematyka dyskretna łączy i wykorzystuje roacuteżne działy matematyki aby dostarczyć informatykom podstaw teoretycznych oraz metod niezbędnych do konstruowania i analizy algorytmoacutew

W programie studioacutew mamy ponadto logikę i teorię mnogości analizę matematyczną algebrę i geometrię rachunek prawdopodobieństwa oraz inne przedmioty z elementami matematyki Niektoacutere z treści opisanych w literaturzenaszego przedmiotu będą wprowadzane w ramach tamtych przedmiotoacutew Np treści rozdziałoacutew 2 3 9 10 13 oraz częściowo 1 11 12 podręcznika [1] czyli obejmujące niemal połowę tego podręcznika Mimo tego niektoacutere tematy są na tyle ważne że będą omawiane także na naszych zajęciach

Zbiory i relacje

ZbioryGdy moacutewię o zbiorze monet w portmonetce to najlepszą strukturą danych może okazać się torba czyli zbioacuter z powtoacuterzeniami

Gdy myślę o czasie jaki upłynie od teraz do końca dzisiejszego dnia to najlepszym modelem tego odcinka czasu wydaje mi się zbioacuter mereologiczny

Gdy słyszę o wysokiej opłacalności pewnej inwestycji to właściwym modelem tej oceny będzie zbioacuter rozmyty (fuzzy set)

Gdy wybieram nowy komputer to biorę pod uwagę zbioacuter komputeroacutew ktoacutery pojmuję jako zbioacuter przybliżony (rough set)

Są jeszcze zbiory dystrybutywne i roacuteżne inne (intuicjonistyczne bipolarne aproksymowane przedziałowe probabilistyczne etc)

Zob min

Łachwa A Ktoacutery zbioacuter wybrać 2006 httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Podobieństwo zbioroacutew 2008httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Rozmyty świat zbioroacutew liczb relacji faktoacutew reguł i decyzji EXIT Warszawa 2001

Pawlak Z (1994) Hard and soft sets Rough Sets Fuzzy Sets and Knowledge Discovery W P Ziarko (ed) s23‐37

Pawlak Z Skowron A (2007) Rudiments of rough sets Information Sciences vol 177 s3‐27

Zbiory dystrybutywneWedług G Cantora (1883) zbioacuter to każda wielość ktoacutera da się pomyśleć jako jedność tzn każdy ogoacuteł określonych elementoacutew ktoacutery można za pomocą jakiegoś prawa powiązać w całość

Tak rozumianym zbiorem jest na przykład ogoacuteł liczb pierwszych a prawem ktoacutere wiąże w całość te liczby jest definicja liczby pierwszej Liczby pierwsze to 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 itd Rozstrzygnięcie czy dana liczba jest pierwsza może być jednak trudne np 4 294 967 297 Nie zmienia to faktu że albo jest ona albo nie jest liczbą pierwszą

Dwa zbiory są roacutewne jeśli mają te same elementy

nN n jest liczba parzystą 0 2 4 6 8 hellip

1 2 3 2 2 2 1 3 3

(ndash1)n nN ndash1 1

1 12 1 2

(1 2) = 1 12

Używamy symboli = (czasami ) (litera alfabetu greckiego)(litera alfabetu norweskiego)

UWAGA dla operacji definiowania nie powinniśmy używać tego samego symbolu co dla relacji roacutewności

Często wygodnie jest ustalić pewien zbioacuter U zwany uniwersum i rozpatrywać jego elementy i jego podzbiory Wtedy zbioacuter A elementoacutew uniwersum U ma dopełnienie A do uniwersum U roacutewne UA (gdzie symbol oznacza roacuteżnicę zbioroacutew)W tych wykładach zajmować się będziemy zbiorami co najwyżej przeliczalnymi tzn albo skończonymi albo nieskończonymi ale roacutewnolicznymi ze zbiorem liczb naturalnychI często będziemy starać się najpierw określić uniwersum a potem moacutewić o zbiorze elementoacutew tego uniwersum Dlaczego Dlatego żeby wiedzieć o czym moacutewimy o liczbach przedmiotach kolorach czy zwierzętach

Rodzina wszystkich podzbioroacutew zbioru U z operacjami sumy iloczynu i dopełnienia oraz z wyroacuteżnionym zbiorem pustym i zbiorem pełnym jest algebrą Boolea

Roacuteżnicą symetryczną zbioroacutew A i B nazywamy zbioacuter tych elementoacutew wymienionych zbioroacutew ktoacutere nie należą do nich jednocześnie Operator ten oznaczamy przez

Jeżeli A1 A2 hellip są zbiorami to przez Ui=12 Ai oznaczamy sumę tych zbioroacutew Indeksy mogą być wyrażone inaczej np bdquoiIrdquo albo bdquo5ltilt12rdquo Podobnie dla iloczynu

Produkt kartezjański zbioroacutew A i B oznaczamy przez AtimesB produkt AtimesA oznaczamy przez A2 i podobnie dla większej liczby zbioroacutew np AtimesAtimesA oznaczamy przez A3

Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementoacutew oznaczamy przez |A|

Jak wiemy |AtimesB| = |A| |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)

Na oznaczenie przedziałoacutew liczbowych używamy nawiasoacutew okrągłych i kwadratowych ale (7 9) może oznaczać przedział i może oznaczać parę liczb

Jeśli moacutewimy o przedziale liczbowym to musimy wskazać jaki zbioacuter liczb stanowi nasze uniwersum Możemy np moacutewić o przedziale liczb naturalnych przedziale liczb wymiernych itd

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Matematyka dyskretna łączy i wykorzystuje roacuteżne działy matematyki aby dostarczyć informatykom podstaw teoretycznych oraz metod niezbędnych do konstruowania i analizy algorytmoacutew

W programie studioacutew mamy ponadto logikę i teorię mnogości analizę matematyczną algebrę i geometrię rachunek prawdopodobieństwa oraz inne przedmioty z elementami matematyki Niektoacutere z treści opisanych w literaturzenaszego przedmiotu będą wprowadzane w ramach tamtych przedmiotoacutew Np treści rozdziałoacutew 2 3 9 10 13 oraz częściowo 1 11 12 podręcznika [1] czyli obejmujące niemal połowę tego podręcznika Mimo tego niektoacutere tematy są na tyle ważne że będą omawiane także na naszych zajęciach

Zbiory i relacje

ZbioryGdy moacutewię o zbiorze monet w portmonetce to najlepszą strukturą danych może okazać się torba czyli zbioacuter z powtoacuterzeniami

Gdy myślę o czasie jaki upłynie od teraz do końca dzisiejszego dnia to najlepszym modelem tego odcinka czasu wydaje mi się zbioacuter mereologiczny

Gdy słyszę o wysokiej opłacalności pewnej inwestycji to właściwym modelem tej oceny będzie zbioacuter rozmyty (fuzzy set)

Gdy wybieram nowy komputer to biorę pod uwagę zbioacuter komputeroacutew ktoacutery pojmuję jako zbioacuter przybliżony (rough set)

Są jeszcze zbiory dystrybutywne i roacuteżne inne (intuicjonistyczne bipolarne aproksymowane przedziałowe probabilistyczne etc)

Zob min

Łachwa A Ktoacutery zbioacuter wybrać 2006 httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Podobieństwo zbioroacutew 2008httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Rozmyty świat zbioroacutew liczb relacji faktoacutew reguł i decyzji EXIT Warszawa 2001

Pawlak Z (1994) Hard and soft sets Rough Sets Fuzzy Sets and Knowledge Discovery W P Ziarko (ed) s23‐37

Pawlak Z Skowron A (2007) Rudiments of rough sets Information Sciences vol 177 s3‐27

Zbiory dystrybutywneWedług G Cantora (1883) zbioacuter to każda wielość ktoacutera da się pomyśleć jako jedność tzn każdy ogoacuteł określonych elementoacutew ktoacutery można za pomocą jakiegoś prawa powiązać w całość

Tak rozumianym zbiorem jest na przykład ogoacuteł liczb pierwszych a prawem ktoacutere wiąże w całość te liczby jest definicja liczby pierwszej Liczby pierwsze to 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 itd Rozstrzygnięcie czy dana liczba jest pierwsza może być jednak trudne np 4 294 967 297 Nie zmienia to faktu że albo jest ona albo nie jest liczbą pierwszą

Dwa zbiory są roacutewne jeśli mają te same elementy

nN n jest liczba parzystą 0 2 4 6 8 hellip

1 2 3 2 2 2 1 3 3

(ndash1)n nN ndash1 1

1 12 1 2

(1 2) = 1 12

Używamy symboli = (czasami ) (litera alfabetu greckiego)(litera alfabetu norweskiego)

UWAGA dla operacji definiowania nie powinniśmy używać tego samego symbolu co dla relacji roacutewności

Często wygodnie jest ustalić pewien zbioacuter U zwany uniwersum i rozpatrywać jego elementy i jego podzbiory Wtedy zbioacuter A elementoacutew uniwersum U ma dopełnienie A do uniwersum U roacutewne UA (gdzie symbol oznacza roacuteżnicę zbioroacutew)W tych wykładach zajmować się będziemy zbiorami co najwyżej przeliczalnymi tzn albo skończonymi albo nieskończonymi ale roacutewnolicznymi ze zbiorem liczb naturalnychI często będziemy starać się najpierw określić uniwersum a potem moacutewić o zbiorze elementoacutew tego uniwersum Dlaczego Dlatego żeby wiedzieć o czym moacutewimy o liczbach przedmiotach kolorach czy zwierzętach

Rodzina wszystkich podzbioroacutew zbioru U z operacjami sumy iloczynu i dopełnienia oraz z wyroacuteżnionym zbiorem pustym i zbiorem pełnym jest algebrą Boolea

Roacuteżnicą symetryczną zbioroacutew A i B nazywamy zbioacuter tych elementoacutew wymienionych zbioroacutew ktoacutere nie należą do nich jednocześnie Operator ten oznaczamy przez

Jeżeli A1 A2 hellip są zbiorami to przez Ui=12 Ai oznaczamy sumę tych zbioroacutew Indeksy mogą być wyrażone inaczej np bdquoiIrdquo albo bdquo5ltilt12rdquo Podobnie dla iloczynu

Produkt kartezjański zbioroacutew A i B oznaczamy przez AtimesB produkt AtimesA oznaczamy przez A2 i podobnie dla większej liczby zbioroacutew np AtimesAtimesA oznaczamy przez A3

Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementoacutew oznaczamy przez |A|

Jak wiemy |AtimesB| = |A| |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)

Na oznaczenie przedziałoacutew liczbowych używamy nawiasoacutew okrągłych i kwadratowych ale (7 9) może oznaczać przedział i może oznaczać parę liczb

Jeśli moacutewimy o przedziale liczbowym to musimy wskazać jaki zbioacuter liczb stanowi nasze uniwersum Możemy np moacutewić o przedziale liczb naturalnych przedziale liczb wymiernych itd

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Zbiory i relacje

ZbioryGdy moacutewię o zbiorze monet w portmonetce to najlepszą strukturą danych może okazać się torba czyli zbioacuter z powtoacuterzeniami

Gdy myślę o czasie jaki upłynie od teraz do końca dzisiejszego dnia to najlepszym modelem tego odcinka czasu wydaje mi się zbioacuter mereologiczny

Gdy słyszę o wysokiej opłacalności pewnej inwestycji to właściwym modelem tej oceny będzie zbioacuter rozmyty (fuzzy set)

Gdy wybieram nowy komputer to biorę pod uwagę zbioacuter komputeroacutew ktoacutery pojmuję jako zbioacuter przybliżony (rough set)

Są jeszcze zbiory dystrybutywne i roacuteżne inne (intuicjonistyczne bipolarne aproksymowane przedziałowe probabilistyczne etc)

Zob min

Łachwa A Ktoacutery zbioacuter wybrać 2006 httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Podobieństwo zbioroacutew 2008httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Rozmyty świat zbioroacutew liczb relacji faktoacutew reguł i decyzji EXIT Warszawa 2001

Pawlak Z (1994) Hard and soft sets Rough Sets Fuzzy Sets and Knowledge Discovery W P Ziarko (ed) s23‐37

Pawlak Z Skowron A (2007) Rudiments of rough sets Information Sciences vol 177 s3‐27

Zbiory dystrybutywneWedług G Cantora (1883) zbioacuter to każda wielość ktoacutera da się pomyśleć jako jedność tzn każdy ogoacuteł określonych elementoacutew ktoacutery można za pomocą jakiegoś prawa powiązać w całość

Tak rozumianym zbiorem jest na przykład ogoacuteł liczb pierwszych a prawem ktoacutere wiąże w całość te liczby jest definicja liczby pierwszej Liczby pierwsze to 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 itd Rozstrzygnięcie czy dana liczba jest pierwsza może być jednak trudne np 4 294 967 297 Nie zmienia to faktu że albo jest ona albo nie jest liczbą pierwszą

Dwa zbiory są roacutewne jeśli mają te same elementy

nN n jest liczba parzystą 0 2 4 6 8 hellip

1 2 3 2 2 2 1 3 3

(ndash1)n nN ndash1 1

1 12 1 2

(1 2) = 1 12

Używamy symboli = (czasami ) (litera alfabetu greckiego)(litera alfabetu norweskiego)

UWAGA dla operacji definiowania nie powinniśmy używać tego samego symbolu co dla relacji roacutewności

Często wygodnie jest ustalić pewien zbioacuter U zwany uniwersum i rozpatrywać jego elementy i jego podzbiory Wtedy zbioacuter A elementoacutew uniwersum U ma dopełnienie A do uniwersum U roacutewne UA (gdzie symbol oznacza roacuteżnicę zbioroacutew)W tych wykładach zajmować się będziemy zbiorami co najwyżej przeliczalnymi tzn albo skończonymi albo nieskończonymi ale roacutewnolicznymi ze zbiorem liczb naturalnychI często będziemy starać się najpierw określić uniwersum a potem moacutewić o zbiorze elementoacutew tego uniwersum Dlaczego Dlatego żeby wiedzieć o czym moacutewimy o liczbach przedmiotach kolorach czy zwierzętach

Rodzina wszystkich podzbioroacutew zbioru U z operacjami sumy iloczynu i dopełnienia oraz z wyroacuteżnionym zbiorem pustym i zbiorem pełnym jest algebrą Boolea

Roacuteżnicą symetryczną zbioroacutew A i B nazywamy zbioacuter tych elementoacutew wymienionych zbioroacutew ktoacutere nie należą do nich jednocześnie Operator ten oznaczamy przez

Jeżeli A1 A2 hellip są zbiorami to przez Ui=12 Ai oznaczamy sumę tych zbioroacutew Indeksy mogą być wyrażone inaczej np bdquoiIrdquo albo bdquo5ltilt12rdquo Podobnie dla iloczynu

Produkt kartezjański zbioroacutew A i B oznaczamy przez AtimesB produkt AtimesA oznaczamy przez A2 i podobnie dla większej liczby zbioroacutew np AtimesAtimesA oznaczamy przez A3

Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementoacutew oznaczamy przez |A|

Jak wiemy |AtimesB| = |A| |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)

Na oznaczenie przedziałoacutew liczbowych używamy nawiasoacutew okrągłych i kwadratowych ale (7 9) może oznaczać przedział i może oznaczać parę liczb

Jeśli moacutewimy o przedziale liczbowym to musimy wskazać jaki zbioacuter liczb stanowi nasze uniwersum Możemy np moacutewić o przedziale liczb naturalnych przedziale liczb wymiernych itd

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

ZbioryGdy moacutewię o zbiorze monet w portmonetce to najlepszą strukturą danych może okazać się torba czyli zbioacuter z powtoacuterzeniami

Gdy myślę o czasie jaki upłynie od teraz do końca dzisiejszego dnia to najlepszym modelem tego odcinka czasu wydaje mi się zbioacuter mereologiczny

Gdy słyszę o wysokiej opłacalności pewnej inwestycji to właściwym modelem tej oceny będzie zbioacuter rozmyty (fuzzy set)

Gdy wybieram nowy komputer to biorę pod uwagę zbioacuter komputeroacutew ktoacutery pojmuję jako zbioacuter przybliżony (rough set)

Są jeszcze zbiory dystrybutywne i roacuteżne inne (intuicjonistyczne bipolarne aproksymowane przedziałowe probabilistyczne etc)

Zob min

Łachwa A Ktoacutery zbioacuter wybrać 2006 httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Podobieństwo zbioroacutew 2008httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Rozmyty świat zbioroacutew liczb relacji faktoacutew reguł i decyzji EXIT Warszawa 2001

Pawlak Z (1994) Hard and soft sets Rough Sets Fuzzy Sets and Knowledge Discovery W P Ziarko (ed) s23‐37

Pawlak Z Skowron A (2007) Rudiments of rough sets Information Sciences vol 177 s3‐27

Zbiory dystrybutywneWedług G Cantora (1883) zbioacuter to każda wielość ktoacutera da się pomyśleć jako jedność tzn każdy ogoacuteł określonych elementoacutew ktoacutery można za pomocą jakiegoś prawa powiązać w całość

Tak rozumianym zbiorem jest na przykład ogoacuteł liczb pierwszych a prawem ktoacutere wiąże w całość te liczby jest definicja liczby pierwszej Liczby pierwsze to 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 itd Rozstrzygnięcie czy dana liczba jest pierwsza może być jednak trudne np 4 294 967 297 Nie zmienia to faktu że albo jest ona albo nie jest liczbą pierwszą

Dwa zbiory są roacutewne jeśli mają te same elementy

nN n jest liczba parzystą 0 2 4 6 8 hellip

1 2 3 2 2 2 1 3 3

(ndash1)n nN ndash1 1

1 12 1 2

(1 2) = 1 12

Używamy symboli = (czasami ) (litera alfabetu greckiego)(litera alfabetu norweskiego)

UWAGA dla operacji definiowania nie powinniśmy używać tego samego symbolu co dla relacji roacutewności

Często wygodnie jest ustalić pewien zbioacuter U zwany uniwersum i rozpatrywać jego elementy i jego podzbiory Wtedy zbioacuter A elementoacutew uniwersum U ma dopełnienie A do uniwersum U roacutewne UA (gdzie symbol oznacza roacuteżnicę zbioroacutew)W tych wykładach zajmować się będziemy zbiorami co najwyżej przeliczalnymi tzn albo skończonymi albo nieskończonymi ale roacutewnolicznymi ze zbiorem liczb naturalnychI często będziemy starać się najpierw określić uniwersum a potem moacutewić o zbiorze elementoacutew tego uniwersum Dlaczego Dlatego żeby wiedzieć o czym moacutewimy o liczbach przedmiotach kolorach czy zwierzętach

Rodzina wszystkich podzbioroacutew zbioru U z operacjami sumy iloczynu i dopełnienia oraz z wyroacuteżnionym zbiorem pustym i zbiorem pełnym jest algebrą Boolea

Roacuteżnicą symetryczną zbioroacutew A i B nazywamy zbioacuter tych elementoacutew wymienionych zbioroacutew ktoacutere nie należą do nich jednocześnie Operator ten oznaczamy przez

Jeżeli A1 A2 hellip są zbiorami to przez Ui=12 Ai oznaczamy sumę tych zbioroacutew Indeksy mogą być wyrażone inaczej np bdquoiIrdquo albo bdquo5ltilt12rdquo Podobnie dla iloczynu

Produkt kartezjański zbioroacutew A i B oznaczamy przez AtimesB produkt AtimesA oznaczamy przez A2 i podobnie dla większej liczby zbioroacutew np AtimesAtimesA oznaczamy przez A3

Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementoacutew oznaczamy przez |A|

Jak wiemy |AtimesB| = |A| |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)

Na oznaczenie przedziałoacutew liczbowych używamy nawiasoacutew okrągłych i kwadratowych ale (7 9) może oznaczać przedział i może oznaczać parę liczb

Jeśli moacutewimy o przedziale liczbowym to musimy wskazać jaki zbioacuter liczb stanowi nasze uniwersum Możemy np moacutewić o przedziale liczb naturalnych przedziale liczb wymiernych itd

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Zob min

Łachwa A Ktoacutery zbioacuter wybrać 2006 httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Podobieństwo zbioroacutew 2008httprepozytoriumkaedupl

Łachwa A Rozmyty świat zbioroacutew liczb relacji faktoacutew reguł i decyzji EXIT Warszawa 2001

Pawlak Z (1994) Hard and soft sets Rough Sets Fuzzy Sets and Knowledge Discovery W P Ziarko (ed) s23‐37

Pawlak Z Skowron A (2007) Rudiments of rough sets Information Sciences vol 177 s3‐27

Zbiory dystrybutywneWedług G Cantora (1883) zbioacuter to każda wielość ktoacutera da się pomyśleć jako jedność tzn każdy ogoacuteł określonych elementoacutew ktoacutery można za pomocą jakiegoś prawa powiązać w całość

Tak rozumianym zbiorem jest na przykład ogoacuteł liczb pierwszych a prawem ktoacutere wiąże w całość te liczby jest definicja liczby pierwszej Liczby pierwsze to 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 itd Rozstrzygnięcie czy dana liczba jest pierwsza może być jednak trudne np 4 294 967 297 Nie zmienia to faktu że albo jest ona albo nie jest liczbą pierwszą

Dwa zbiory są roacutewne jeśli mają te same elementy

nN n jest liczba parzystą 0 2 4 6 8 hellip

1 2 3 2 2 2 1 3 3

(ndash1)n nN ndash1 1

1 12 1 2

(1 2) = 1 12

Używamy symboli = (czasami ) (litera alfabetu greckiego)(litera alfabetu norweskiego)

UWAGA dla operacji definiowania nie powinniśmy używać tego samego symbolu co dla relacji roacutewności

Często wygodnie jest ustalić pewien zbioacuter U zwany uniwersum i rozpatrywać jego elementy i jego podzbiory Wtedy zbioacuter A elementoacutew uniwersum U ma dopełnienie A do uniwersum U roacutewne UA (gdzie symbol oznacza roacuteżnicę zbioroacutew)W tych wykładach zajmować się będziemy zbiorami co najwyżej przeliczalnymi tzn albo skończonymi albo nieskończonymi ale roacutewnolicznymi ze zbiorem liczb naturalnychI często będziemy starać się najpierw określić uniwersum a potem moacutewić o zbiorze elementoacutew tego uniwersum Dlaczego Dlatego żeby wiedzieć o czym moacutewimy o liczbach przedmiotach kolorach czy zwierzętach

Rodzina wszystkich podzbioroacutew zbioru U z operacjami sumy iloczynu i dopełnienia oraz z wyroacuteżnionym zbiorem pustym i zbiorem pełnym jest algebrą Boolea

Roacuteżnicą symetryczną zbioroacutew A i B nazywamy zbioacuter tych elementoacutew wymienionych zbioroacutew ktoacutere nie należą do nich jednocześnie Operator ten oznaczamy przez

Jeżeli A1 A2 hellip są zbiorami to przez Ui=12 Ai oznaczamy sumę tych zbioroacutew Indeksy mogą być wyrażone inaczej np bdquoiIrdquo albo bdquo5ltilt12rdquo Podobnie dla iloczynu

Produkt kartezjański zbioroacutew A i B oznaczamy przez AtimesB produkt AtimesA oznaczamy przez A2 i podobnie dla większej liczby zbioroacutew np AtimesAtimesA oznaczamy przez A3

Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementoacutew oznaczamy przez |A|

Jak wiemy |AtimesB| = |A| |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)

Na oznaczenie przedziałoacutew liczbowych używamy nawiasoacutew okrągłych i kwadratowych ale (7 9) może oznaczać przedział i może oznaczać parę liczb

Jeśli moacutewimy o przedziale liczbowym to musimy wskazać jaki zbioacuter liczb stanowi nasze uniwersum Możemy np moacutewić o przedziale liczb naturalnych przedziale liczb wymiernych itd

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Zbiory dystrybutywneWedług G Cantora (1883) zbioacuter to każda wielość ktoacutera da się pomyśleć jako jedność tzn każdy ogoacuteł określonych elementoacutew ktoacutery można za pomocą jakiegoś prawa powiązać w całość

Tak rozumianym zbiorem jest na przykład ogoacuteł liczb pierwszych a prawem ktoacutere wiąże w całość te liczby jest definicja liczby pierwszej Liczby pierwsze to 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 itd Rozstrzygnięcie czy dana liczba jest pierwsza może być jednak trudne np 4 294 967 297 Nie zmienia to faktu że albo jest ona albo nie jest liczbą pierwszą

Dwa zbiory są roacutewne jeśli mają te same elementy

nN n jest liczba parzystą 0 2 4 6 8 hellip

1 2 3 2 2 2 1 3 3

(ndash1)n nN ndash1 1

1 12 1 2

(1 2) = 1 12

Używamy symboli = (czasami ) (litera alfabetu greckiego)(litera alfabetu norweskiego)

UWAGA dla operacji definiowania nie powinniśmy używać tego samego symbolu co dla relacji roacutewności

Często wygodnie jest ustalić pewien zbioacuter U zwany uniwersum i rozpatrywać jego elementy i jego podzbiory Wtedy zbioacuter A elementoacutew uniwersum U ma dopełnienie A do uniwersum U roacutewne UA (gdzie symbol oznacza roacuteżnicę zbioroacutew)W tych wykładach zajmować się będziemy zbiorami co najwyżej przeliczalnymi tzn albo skończonymi albo nieskończonymi ale roacutewnolicznymi ze zbiorem liczb naturalnychI często będziemy starać się najpierw określić uniwersum a potem moacutewić o zbiorze elementoacutew tego uniwersum Dlaczego Dlatego żeby wiedzieć o czym moacutewimy o liczbach przedmiotach kolorach czy zwierzętach

Rodzina wszystkich podzbioroacutew zbioru U z operacjami sumy iloczynu i dopełnienia oraz z wyroacuteżnionym zbiorem pustym i zbiorem pełnym jest algebrą Boolea

Roacuteżnicą symetryczną zbioroacutew A i B nazywamy zbioacuter tych elementoacutew wymienionych zbioroacutew ktoacutere nie należą do nich jednocześnie Operator ten oznaczamy przez

Jeżeli A1 A2 hellip są zbiorami to przez Ui=12 Ai oznaczamy sumę tych zbioroacutew Indeksy mogą być wyrażone inaczej np bdquoiIrdquo albo bdquo5ltilt12rdquo Podobnie dla iloczynu

Produkt kartezjański zbioroacutew A i B oznaczamy przez AtimesB produkt AtimesA oznaczamy przez A2 i podobnie dla większej liczby zbioroacutew np AtimesAtimesA oznaczamy przez A3

Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementoacutew oznaczamy przez |A|

Jak wiemy |AtimesB| = |A| |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)

Na oznaczenie przedziałoacutew liczbowych używamy nawiasoacutew okrągłych i kwadratowych ale (7 9) może oznaczać przedział i może oznaczać parę liczb

Jeśli moacutewimy o przedziale liczbowym to musimy wskazać jaki zbioacuter liczb stanowi nasze uniwersum Możemy np moacutewić o przedziale liczb naturalnych przedziale liczb wymiernych itd

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Dwa zbiory są roacutewne jeśli mają te same elementy

nN n jest liczba parzystą 0 2 4 6 8 hellip

1 2 3 2 2 2 1 3 3

(ndash1)n nN ndash1 1

1 12 1 2

(1 2) = 1 12

Używamy symboli = (czasami ) (litera alfabetu greckiego)(litera alfabetu norweskiego)

UWAGA dla operacji definiowania nie powinniśmy używać tego samego symbolu co dla relacji roacutewności

Często wygodnie jest ustalić pewien zbioacuter U zwany uniwersum i rozpatrywać jego elementy i jego podzbiory Wtedy zbioacuter A elementoacutew uniwersum U ma dopełnienie A do uniwersum U roacutewne UA (gdzie symbol oznacza roacuteżnicę zbioroacutew)W tych wykładach zajmować się będziemy zbiorami co najwyżej przeliczalnymi tzn albo skończonymi albo nieskończonymi ale roacutewnolicznymi ze zbiorem liczb naturalnychI często będziemy starać się najpierw określić uniwersum a potem moacutewić o zbiorze elementoacutew tego uniwersum Dlaczego Dlatego żeby wiedzieć o czym moacutewimy o liczbach przedmiotach kolorach czy zwierzętach

Rodzina wszystkich podzbioroacutew zbioru U z operacjami sumy iloczynu i dopełnienia oraz z wyroacuteżnionym zbiorem pustym i zbiorem pełnym jest algebrą Boolea

Roacuteżnicą symetryczną zbioroacutew A i B nazywamy zbioacuter tych elementoacutew wymienionych zbioroacutew ktoacutere nie należą do nich jednocześnie Operator ten oznaczamy przez

Jeżeli A1 A2 hellip są zbiorami to przez Ui=12 Ai oznaczamy sumę tych zbioroacutew Indeksy mogą być wyrażone inaczej np bdquoiIrdquo albo bdquo5ltilt12rdquo Podobnie dla iloczynu

Produkt kartezjański zbioroacutew A i B oznaczamy przez AtimesB produkt AtimesA oznaczamy przez A2 i podobnie dla większej liczby zbioroacutew np AtimesAtimesA oznaczamy przez A3

Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementoacutew oznaczamy przez |A|

Jak wiemy |AtimesB| = |A| |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)

Na oznaczenie przedziałoacutew liczbowych używamy nawiasoacutew okrągłych i kwadratowych ale (7 9) może oznaczać przedział i może oznaczać parę liczb

Jeśli moacutewimy o przedziale liczbowym to musimy wskazać jaki zbioacuter liczb stanowi nasze uniwersum Możemy np moacutewić o przedziale liczb naturalnych przedziale liczb wymiernych itd

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Często wygodnie jest ustalić pewien zbioacuter U zwany uniwersum i rozpatrywać jego elementy i jego podzbiory Wtedy zbioacuter A elementoacutew uniwersum U ma dopełnienie A do uniwersum U roacutewne UA (gdzie symbol oznacza roacuteżnicę zbioroacutew)W tych wykładach zajmować się będziemy zbiorami co najwyżej przeliczalnymi tzn albo skończonymi albo nieskończonymi ale roacutewnolicznymi ze zbiorem liczb naturalnychI często będziemy starać się najpierw określić uniwersum a potem moacutewić o zbiorze elementoacutew tego uniwersum Dlaczego Dlatego żeby wiedzieć o czym moacutewimy o liczbach przedmiotach kolorach czy zwierzętach

Rodzina wszystkich podzbioroacutew zbioru U z operacjami sumy iloczynu i dopełnienia oraz z wyroacuteżnionym zbiorem pustym i zbiorem pełnym jest algebrą Boolea

Roacuteżnicą symetryczną zbioroacutew A i B nazywamy zbioacuter tych elementoacutew wymienionych zbioroacutew ktoacutere nie należą do nich jednocześnie Operator ten oznaczamy przez

Jeżeli A1 A2 hellip są zbiorami to przez Ui=12 Ai oznaczamy sumę tych zbioroacutew Indeksy mogą być wyrażone inaczej np bdquoiIrdquo albo bdquo5ltilt12rdquo Podobnie dla iloczynu

Produkt kartezjański zbioroacutew A i B oznaczamy przez AtimesB produkt AtimesA oznaczamy przez A2 i podobnie dla większej liczby zbioroacutew np AtimesAtimesA oznaczamy przez A3

Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementoacutew oznaczamy przez |A|

Jak wiemy |AtimesB| = |A| |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)

Na oznaczenie przedziałoacutew liczbowych używamy nawiasoacutew okrągłych i kwadratowych ale (7 9) może oznaczać przedział i może oznaczać parę liczb

Jeśli moacutewimy o przedziale liczbowym to musimy wskazać jaki zbioacuter liczb stanowi nasze uniwersum Możemy np moacutewić o przedziale liczb naturalnych przedziale liczb wymiernych itd

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Rodzina wszystkich podzbioroacutew zbioru U z operacjami sumy iloczynu i dopełnienia oraz z wyroacuteżnionym zbiorem pustym i zbiorem pełnym jest algebrą Boolea

Roacuteżnicą symetryczną zbioroacutew A i B nazywamy zbioacuter tych elementoacutew wymienionych zbioroacutew ktoacutere nie należą do nich jednocześnie Operator ten oznaczamy przez

Jeżeli A1 A2 hellip są zbiorami to przez Ui=12 Ai oznaczamy sumę tych zbioroacutew Indeksy mogą być wyrażone inaczej np bdquoiIrdquo albo bdquo5ltilt12rdquo Podobnie dla iloczynu

Produkt kartezjański zbioroacutew A i B oznaczamy przez AtimesB produkt AtimesA oznaczamy przez A2 i podobnie dla większej liczby zbioroacutew np AtimesAtimesA oznaczamy przez A3

Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementoacutew oznaczamy przez |A|

Jak wiemy |AtimesB| = |A| |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)

Na oznaczenie przedziałoacutew liczbowych używamy nawiasoacutew okrągłych i kwadratowych ale (7 9) może oznaczać przedział i może oznaczać parę liczb

Jeśli moacutewimy o przedziale liczbowym to musimy wskazać jaki zbioacuter liczb stanowi nasze uniwersum Możemy np moacutewić o przedziale liczb naturalnych przedziale liczb wymiernych itd

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementoacutew oznaczamy przez |A|

Jak wiemy |AtimesB| = |A| |B| |P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)

Na oznaczenie przedziałoacutew liczbowych używamy nawiasoacutew okrągłych i kwadratowych ale (7 9) może oznaczać przedział i może oznaczać parę liczb

Jeśli moacutewimy o przedziale liczbowym to musimy wskazać jaki zbioacuter liczb stanowi nasze uniwersum Możemy np moacutewić o przedziale liczb naturalnych przedziale liczb wymiernych itd

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Przykłady zadań

Udowodnij że A cap (BC) = (AcapB) (AcapC) za pomocą diagramoacutew Venna

Udowodnij formalnie

że (AB i AC) ABcapC oraz

że (A cap B cap C) = A U B U C

Sprawdź czy prawdziwe są zdania

(AcapB = AcapC B=C) (AB = AC B=C)

(AUB = AUC B=C) (AB AB A=B) (AB = AB)

Czy to prawda że dla dowolnego zbioru S zbioacuter P(S) ma co najmniej 2

elementy

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Udowodnij że S jest zbiorem)toS)

Czy to prawda że [0 1] (0 1) = 0 1

Wyznacz zbioacuter [0 3] [2 6] oraz zbioacuter [0 3]

Wypisz elementy P(P(A)) gdzie A=a b

Wypisz elementy P(AB) gdzie A=a b B=01

Przypomnij definicję algebry Boolea

Udowodnij że odejmowanie zbioroacutew nie jest działaniem przemiennym

Narysuj diagram Venna dla 4 zbioroacutew

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

RelacjeRelacja E = (x x) xS jest relacją roacutewności w zbiorze S

Piszemy xEx lub x=x lub (x x)E

Relację odwrotną do relacji A oznaczamy A‐1

Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką że

xCy wtw gdy istnieje zS takie że xAz i zBy

Piszemy wtedy xABy

Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację bdquopotęgirdquo np xAAy = xA2 y xAAAy = xA3 y hellip

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Domknięciem relacji A w zbiorze S z uwagi na operację składania relacji nazywamy relację Ad w zbiorze S taką że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x z1 z2 hellip zn‐1 zn=y taki że z0 A z1 A z2 A hellip A zn‐1 A zn

Zatem xAd y wtw gdy istnieje n takie że xAny

Jest to jedno z wielu możliwych domknięć relacji A Nazywamy je roacutewnież przechodnim domknięciem A Inne to np zwrotne domknięcie A czy symetryczne domknięcie A W każdym przypadku chodzi o najmniejszą relację przechodnią (zwrotną symetryczną czy jeszcze inną) zawierającą relację A

LematPrzechodnie domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacjiAd = A A2 A3 hellip An hellip

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Formalne określenie domknięciaNiech α będzie rodziną relacji w zbiorze S A dowolną relacją w S Relacja Ad jest domknięciem A w zbiorze relacji α gdy

(1) A Ad

(2) Ad α

(3) dla każdej relacji B jeżeli A B i B α to Ad B

A zatem domknięciem relacji A z uwagi na własność α jest najmniejsza relacja zawierająca A i posiadająca własność α

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Reprezentacja macierzowa

Niech S będzie zbiorem n‐elementowym i A relacją w S

Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n Na przecięciu i‐tego wiersza i j‐tej kolumny wpisujemy 1 jeśli xi Axj w przeciwnym wypadku 0 Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez aij a całą macierz przez [aij]

Oczywiście istnieje n roacuteżnych numeracji zbioru S czyli n roacuteżnych macierzy opisujących relację A w S

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są zerami określa relację pustą

Macierz ktoacuterej wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną (uniwersalną)

Macierz [ij] gdzie ij=1 dla i=j oraz ij=0 dla ij określa relację roacutewności

Symbol ij nazywamy deltą Kroneckera Macierz [ij] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną Nazywamy ja macierzą Kroneckera

Macierz [aij] = [1ndashij] określa relację nieroacutewności

Lemat

Tylko dla tych czterech relacji (pustej pełnej roacutewności i nieroacutewności) ich macierze pozostają niezmienione dla roacuteżnych numeracji zbioru S

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się następujące własności relacji

zwrotność

(x x) R dla wszystkich xS

symetria

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

przechodniość

(x y) R i (y z) R (x z) R dla wszystkich xS yS zS

Lematy

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2 R

Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Relacja niezwrotna to relacja ktoacutera nie jest zwrotna

tzn (x x) R dla pewnego xS

Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna) to nowa własność

(x x) R dla wszystkich xS

Lematy

Relacja zwrotna zawiera relację roacutewności

Relacja pełna i relacja roacutewności są zwrotne

Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną

Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej

Relacja pusta jest przeciwzwrotna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Relacja asymetryczna to relacja ktoacutera nie jest symetryczna

(x y) R i (y x) R dla pewnych xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną gdy z dwoacutech zależności xRy yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa

(x y) R (y x) R dla wszystkich xS yS

Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną gdy prawdziwość dwu zależności xRy yRx jest roacutewnoważna roacutewności x i y

(x y) R i (y x) R wtw x=y

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Lematy

Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej

Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A‐1

Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy AA‐1=

Relacje pusta pełna roacutewności i nieroacutewności są symetryczne

Relacja pusta jest roacutewnież przeciwsymetryczna

Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna

Relacja roacutewności nie jest przeciwsymetryczna

Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy AA‐1 E (gdzie E to relacja roacutewności)

Relacje pusta i roacutewności są antysymetryczne

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Niech R relacja w zbiorze S Wprowadza się kolejne własności relacji

spoacutejność

(x y)R lub (y x)R dla wszystkich xS

słaba spoacutejność

(x z)R i (y z)R dla pewnego zS (x y)R lub (y x)R

Lematy

Relacja lt w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest hellip

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Własności relacji a działania na relacjach

Jeśli A B są zwrotne to AB AB AB A‐1 Ad są zwrotne

Jeśli A B są przeciwzwrotne to AB AB A‐1 są przeciwzwrotne

Jeśli A B są symetryczne to AB AB A‐1 są symetryczne

Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A‐1 jest przeciwsymetryczna

Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja AB jest przeciwsymetryczna

Jeśli A B są antysymetryczne to AB A‐1 są antysymetryczne

Jeśli A B są przechodnie to AB A‐1 i Ad są przechodnie

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Roacutewność roacutewnoważność podobieństwo tolerancja

Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głoacutewnie do budowania zbioroacutew (zbioacuter składa się z elementoacutew podobnych) I choć termin bdquozbioacuterrdquo może być pojmowany na wiele sposoboacutew oraz często zastępujemy go terminami bdquotyp encjirdquo czy bdquoklasa obiektoacutewrdquo nie zmienia to istoty sprawy Łącząc elementy w zbioacuter podejmujemy decyzję na czym ma polegać ich podobieństwo

Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozroacuteżnialność a nie roacutewność

Roacutewność jest szczegoacutelnym przypadkiem nierozroacuteżnialności i szczegoacutelnym przypadkiem podobieństwa Roacutewność (identyczność) to także zastępo‐walność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Podobieństwo obiektoacutew danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją (relacją zwrotną i zarazem symetryczną) Nie jest zaś wymagana przechodniość a to dlatego że obiekty podobne nie są identyczne nieznacznie roacuteżnią się od siebie i te drobne roacuteżnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektoacutew całko‐wicie roacuteżnych od tych początkowych

Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa roacuteżniące się tylko jedną literą np możemy w taki sposoacuteb przekształcić słowo bdquokotrdquo w słowo bdquolewrdquo

kot ndash kos ndash los ndash lis ndash lin ndash len ndash lew

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Zbioacuter U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa W szczegoacutelności okazuje się że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementoacutew uniwersum U w taki sposoacuteb że elementami podobnymi są te ktoacutere mają co najmniej jedną wspoacutelną cechę

Lematy

Jeśli A i B są tolerancjami to AB AB A‐1 Ad są tolerancjami

Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją roacutewnoważności zawierającą A

Jeśli A jest zwrotna to AA‐1 AA‐1 A A‐1 są tolerancjami

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

W matematyce podobieństwo często definiuje się nie jako relację tolerancji lecz jako szczegoacutelną relację roacutewnoważności ndash roacutewnokształtność

Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne gdy mają te same kąty i proporcje mają taki sam kształt ale mogą mieć roacuteżną wielkość Podobnie w algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi gdy mają ten sam kształt z dokładnością do wspoacutełczynnikoacutew liczbowych Przykłady takie można mnożyć

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka że

lub kroacutecej

Dziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) przeciwdziedzinę (obraz) przezIm(f)

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Wykresem funkcji liczbowo‐liczbowej nazywamy zbioacuter punktoacutew na układzie wspoacutełrzędnych gdzie argument jest odciętą punktu a wartość funkcji jest rzędną Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący)

Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to

χA S 0 1 χA(x)=1 dla xA 0 wpp

Funkcja dwoacutech zmiennych to funkcja ktoacuterej dziedziną jest zbioacuter par (wciąż jednak zbioacuter) Piszemy np f XG Y rarr Z Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Zadania roacuteżneCzy suma dwoacutech relacji roacutewnoważności w X jest roacutewnoważnością w X

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew (AB)B=A

Czy prawdą jest że dla dowolnych zbioroacutew AB= wtw A=B

Wyznacz obraz zbioru ‐2 ‐1 0 przez funkcję fRR f(x)=x Czy prawdą jest że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)

Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X Czy + minus ∙ są 2‐argumentowymi operacjami w R

Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5

Czy to prawda że dla dowolnych R1 R2 X2 jest (R1 R2)

‐1 = R1‐1 R2

‐1

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna

Proszę nauczyć się alfabetu greckiego Czy potrafisz odczytać litery κ λ μ ν ξ ο π

Po każdym wykładzie proszę przeczytać odpowiednie fragmenty podręcznikoacutew i wykładoacutew internetowych rozwiązać zadania ćwiczenia zastanowić się na zadanymi pytaniami udowodnić lematy

Inne źroacutedłaJA Szrejder Roacutewność podobieństwo porządek WNT 1975

httpwwwdeltamiedupltematmatematykateoria_mnogosci20110212Diagramy_Venna