Matemàtiques 1 Mc Graw Hill

S O L U C I O N A R Imatemàtiques

Autors del llibre de l’alumneàngela Jané i sanahujaJordi Besora i torradeflotJosep m. Guiteras i Piella

Autors del material complementarimireia aran i Gràciaantoni Giménez estebanHelena Cusí moner

m. Rosa Vila atienza

Revisor tècnicagustí estévez andreu

antoni Giménez esteban

1S O L U C I O N A R I

BARCELONA - MADRID - BUENOS AIRES - CARACASGUATEMALA - LISBOA - MÈXIC - NOVA YORKPANAMÀ - SAN JUAN - BOGOTÀ - SÃO PAULOAUCKLAND - HAMBURG - LONDRES - MILÀ - MONT-REALNOVA DELHI - PARÍS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPURSAINT LOUIS - TÒQUIO - TORONTO

001-004_Sol-Mates_Batx1-cat.indd1 1 20/2/08 19:15:52

Matemàtiques 1 · Batxillerat · Solucionari

No està permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractamentinformàtic,ni latransmissiódecapformaoperqualsevolmitjà, jasiguielectrònic,mecànic,perfotocòpia,perregistreod’altresmitjans,senseelpermispreviiperescritdelstitularsdelCopyright.

Drets reservats © 2008, respecte a la primera edició en català per:

McGraw-Hill/InteramericanadeEspaña,S.A.U. EdificioValrealty,1.aplanta Basauri,17 28023Aravaca(Madrid)

ISBN:978-84-481-6776-9Depósito legal:

Autors del llibre de l’alumne: ÀngelaJanéiSanahuja,JordiBesoraiTorradeflot,JosepM.GuiterasiPiella

Editora del projecte: AlíciaAlmonacidTècnic editorial: ConradAgustíDisseny de coberta:QuinTeam!Disseny interior: McGrawHillFotografies: COVER,GETTYimages,AGEFOTOSTOCKIl·lustracions: SergiMediaiJordiSotoComposició: DigitalscreenImprès en:

IMPRÈS A ESPANYA - PRINTED IN SPAIN


�Índex LA

Solucionari del Llibre de l’alumne

Comencem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

BLOC 1. Nombres

Unitat 1. Nombres reals . . . . . . . . . . . . 11

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Unitat 2. Nombres complexos . . . . . . 22


BLOC 2. Geometria

Unitat 3. Trigonometria . . . . . . . . . . . . 32


Unitat 4. Vectors en el pla . . . . . . . . . . 42


Unitat 5. Rectes en el pla . . . . . . . . . . 53


Unitat 6. La circumferència i altresllocs geomètrics . . . . . . . . . . 72


BLOC 3. Funcions

Unitat 7. Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . 86


Unitat 8. Successions . . . . . . . . . . . . . 100


Unitat 9. Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . 108


Unitat 10. Límits i continuïtat de funcions . . . . . . . . . . . . . . 118


Unitat 11. Funcions exponenciali logarítmica. . . . . . . . . . . . . 135


Unitat 12. Funcionstrigonomètriques. . . . . . . . . 152


Unitat 13. Introducció a les derivades 163



� ÍndexLA

BLOC 4. Estadística

Unitat 14. Distribucionsbidimensionals. . . . . . . . . . . 173


Unitat 15. Probabilitat. . . . . . . . . . . . . . 185


Unitat 16. Distribució de probabilitat. . 198


Solucionari de la Guia Didàctica

Guia didàctica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Unitat1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Unitat2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Unitat3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Unitat4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Unitat5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Unitat6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Unitat7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Unitat8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Unitat9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Unitat10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Unitat11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Unitat12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Unitat13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Unitat14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Unitat15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Unitat16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250


�MATEMÀTIQUES 1 la

jComencem

Activitatsfinals 1. Determina el valor de la lletra en cadascuna d’aquestes frac-

cions per tal que representin el mateix nombre racional que 4

la fracció —: 9

ra) ——

63

68b) ——

s

52c) ——

t

ud) ———

2171

r 4 63 ? 4a) ——5—— f r5———528

63 9 9

68 4 68 ? 9b) ——5—— f s5———5153

s 9 4

52 4 52 ? 9c) ——5—— f t5———5117

t 9 4

u 4 24 ? 171d) ———5—— f u5————5 276

2171 9 9

17 323 2. Són equivalents les fraccions —— i ———? 13 247

Sí,perquè17 ? 247513 ? 32354 199

3. Simplifica les fraccions següents:

52a) —— 91

121b) 2—— 77

350c) —— 300

138d) 2—— 174

52 52:13 4a) ——5————5——

91 91:13 7

121 121:11 11b) 2——5————5 2——

77 77:11 7

350 350:50 7c) ——5—————5——

300 300:50 6

138 138:6 23d) 2——5————5 2——

174 174:6 29

4. Calcula l’expressió decimal d’aquestes fraccions i classifica els nombres decimals que obtinguis en exactes, periòdics purs o periòdics mixtos:

17a) —— 6

27b) —— 11

117c) —— 50

245d) ——— 7

17a) ——52,83

(

nombredecimalperiòdicmixt. 6

27b) ——5 20,63

(

nombredecimalperiòdicpur. 11

117c) ——5 2,34nombredecimalexacte.

50

245d) ——5 26,

(

428571nombredecimalperiòdicpur. 7

5. Determina la fracció generatriu dels nombres decimals se-güents:

a) 2,63

(

b) 1,023

(

c) 20,48

d) 1,441

(

a) f52,63

(

52,6363...

100 f5263,63...

2f5 22,63...———————— 261 29 99 f5261 f f5——5—— 99 11

b) f51,023

(

51,0233...

1 000 f51 023,3...

2100 f5 2102,3...————————— 921 307 900 f5921 f f5——5—— 900 300 48 212

c) f5 20,48 f 100 f5 248 f f5 2——5—— 100 25

d) f51,44

(

151,441441...

1 000 f51 441,441...

2f5 21,441...—————————— 1 440 160 999 f51 440 f f5———5—— 999 111

005-010_Sol_Mates_Batx1_cat.indd5 5 15/2/08 08:48:57

� COMENCEMla

6. El 63,63

(

% dels 88 alumnes de 1r de batxillerat d’un insti-tut van aprovar totes les matèries. A quants alumnes els va quedar alguna matèria pendent?

f563,63

(

563,6363...

100 f56 363,63... 2f5 263,63...————————— 6 300 700 99 f56 300 f f5———5—— 99 11

700El63,63

(

%ésel—— % 11

Vanaprovar:

700 —— 11 7 7 ? 88

———de885——de885———556alumnes 100 11 11

A88256532alumneselsvaquedaralgunamatèriapendent.

7. Calcula el resultat de les operacions següents:

3 1 3a) — 1 — : —

5 2 4

1 2b) 2 1 — ?1—2

22

3 3

4 2 1c) — : — 2 1—2

3

3 3 2

0,36

(

2 0,227 (

d) ——————— 17 1 2 —— 22

1 11 12 3 12 2 —2 2 —— : —— 2 1 6 17 17

e) ————————————————— 2 3 5 — 1 — 2 —— 3 4 12

3 1 3 3 2 19a) —1—:—5—1—5——

5 2 4 5 3 15

1 2 1 9 3 11b) 21— ?1—2

22

521— ?—521—5 —— 3 3 3 4 4 4

4 2 1 1 15c) —:—21—2

3522—5——

3 3 2 8 8

4 5 ——2——0,36

(

20,227

(

11 22 3 5 3d) ————————5———————5

——:——5—

17 5 22 22 5 12—— —— 22 22

1 11 12 3122—22——:——21 6 17 17

e) —————————————5 2 3 5 —1—2—— 3 4 12

11 11 3 ? ——2——21 6 12 43

5————————5—— 1 12

2 7 8. Quin és el nombre que multiplicat per — dóna —?

3 4 4 1I el que sumat a — dóna —? 5 2

2 7 7 2 21— x5— f x5—:—5——

3 4 4 3 8

4 1 1 4 3—1y5— f y5—2— 5 2——

5 2 2 5 10

2 9. Es venen els — d’una peça de roba i després, la meitat del

3que quedava. Quina fracció de peça s’ha venut? Quina frac-ció en queda encara per vendre?

2 1Esvenen—delapeça f quedapervendre’n—. 3 3

1 1 1 1 1Esven—delquequeda f esven—de—5— ?—5 2 2 3 2 3

15—. 6 2 1 5Entotals’havenut—1—5—delapeçaderoba.Encara 3 6 6

1quedapervendre—. 6

10. Una aixeta omple un dipòsit en 3 hores i una altra l’omple en 4. Quina part del dipòsit omplen en una hora les dues aixetes obertes alhora? Si el dipòsit està buit i s’obren si-multàniament les dues aixetes, quant trigaran a omplir-lo?

1 1 7Enunahoralesduesaixetesomplen—1—5——deldipò- 3 4 12 12sit.Trigaranaomplir-lo——h,queés1h42min51s. 7

11. Una pastilla conté un 20 % d’aspirina, un 40 % de vitami- na C i la resta és excipient. Si pesa 2,5 grams, quants mil.li-grams conté de cada component?

2,5g52 500mg

20 %de2 500mg5500mgd’aspirina

40 %de2 500mg51 000mgdevitaminaC

2 5002(50011 000)51 000mgd’excipient



412. Un tipus de llet produeix —— del seu pes en nata, i la nata

15 7els —— del seu pes en mantega. Quina fracció del pes de la 25llet representa la mantega? Quants quilograms de mantega es poden obtenir a partir de 175 kg d’aquesta llet?

7 4 28Lamantegarepresenta—— ? ——5——delpesdelallet. 25 15 375

28 28 ? 175Els——de175kg5————513,07kgdemantega. 375 375

13. Les accions d’una empresa que cotitza a la borsa van pujar un 2,5 % dilluns i un 4,8 % dimarts. Si quan va començar la sessió borsària de dilluns una acció d’aquesta empresa cos-tava 12,84 €, quin era el seu preu quan es va tancar la sessió de dimarts? Quants diners va guanyar en aquests dos dies un accionista que tenia títols de l’empresa per valor de 10 000 €?

En tancar la sessió de dimarts, una acció d’aquesta empresacostava:

12,84 ? 1,025 ? 1,048513,79€

Enaquestsdosdies,els10000€invertitsesvantransformaren:

10 000 ? 1 025 ? 1,048510 742€

L’accionistavaguanyar:

10 742210 0005742€

14. Es col.loquen 2 500 € en una llibreta a termini que garan-teix un 4,2 % de rèdit anual durant 3 anys. Si en cap mo-ment se’n retiren els interessos, quants diners hi haurà a la llibreta un cop hagin transcorregut 3 anys des que es va fer la imposició?

Alallibretahihaurà2 500 ?1,042352 828,42€.

15. Resol les equacions següents:

a) (2 x 2 1)2 2 (2 x 1 1)2 5 24

3 (1 2 x) x 1 3b) 2 2 ———— 5 ———

14 7

x 2 5 2 x 1 3c) ———— 5 ————

2 x 1 1 4 x 1 7

d) Îã2 x 2 1 5 x 2Îã2 4 1 2 x

e) 1 2 ———— 5 0 13

a) (2 x21)22(2 x11)2524 f

f 4 x224 x1124 x224 x21524 f

f 28 x524 f x5 23

3(12x) x13b) 22—————5——— f

14 7

f 282313 x52 x16 f x5 219

x25 2 x13c) ————5———— f

2 x11 4 x17f (x25)(4 x17)5(2 x11)(2 x13) f

f 4 x217x220 x23554 x216 x12 x13 f 38f 213 x23558 x13 f 221 x538 f x52—— 21

d) Îã2 x215x2Îã2 f Îã2 x2x512Îã2 f

f (Îã221) x512Îã2 f

12Îã2 2(Îã221)f x5————5——————521 Îã221 Îã221

412 x 132422 xe) 12————50 f ——————50 f

13 13

9f 922 x50 f 2 x59 f x5— 2

16. Soluciona aquestes equacions, escrivint prèviament els seus primers membres en forma de producte de factors:

a) x2 2 6 x 5 0

b) x (x 2 5) 2 2 (x 2 5) 5 0

c) (x 1 2)2 2 (x 1 2) (3 x 2 1) 5 0 x50

a) x226 x50 f x(x26)50 x2650 f x56

b) x(x25)22(x25)50 f x2550 f x55f (x25)(x22)50 x2250 f x52

c) (x12)22(x12)(3 x21)50 f

f (x12)(x1223 x11)50 f

x1250 f x1522f (x12)(322 x)50 f 3 322 x50 f x25— 2

17. Sabem que x 5 2 i y 5 23 és una de les solucions de l’equa-ció 3 x 1 b y 5 10. Calcula b i troba una altra solució de l’equació.

x52,y5233 x1b y510 f 3 ? 21b ? (23)510 f 4f 623 b510 f b52— 3 10Respostaoberta.Perexemple: x5——,y50. 3

18. Determina tres solucions de l’equació:

2 x 2 3 y 1 z 5 15

Respostaoberta.Perexemple: x50,y50,z515;

15x5——,y50,z50; x50,y525,z50. 2


� COMENCEMla

19. Resol les equacions següents:

a) 5 x2 2 75 5 0

b) 7 x2 1 15 x 5 0

c) 2 x2 2 x 2 1 5 0

2 (x 1 2)d) ———— 5 x (x 2 3)

3

e) (3 x 2 5)2 5 0

f) x3 2 5 x2 1 6 x 5 0

4 xg) — 5 —

x 9

h) x2 1 4 x 1 5 5 0

a) 5 x227550 f 5 x2575 f x2515 f x56Îã15ãb) 7 x2115 x50 f

x150f x(7 x115)50 15 7x11550 f x52—— 7

16Îã1ã1ã8ãc) 2 x22x2150 f x5———————5

4 16Îã9 163 x1515—————5———— 1 4 4 x252— 2

2(x12)d) —————5x(x23) f 2 x1453 x229 x f

3 116Îã121ã1ãã48ãf 3 x2211 x2450 f x5—————————5 6 11613 x1545————— 1 6 x252— 3

5e) (3 x25)250 f 3 x2550 f x5—(soluciódoble).

3

f) x325 x216 x50 f x150f x(x225 x16)50 x225 x1650

56Îã25ã2ãã24ã 561 x253x5————————5——— 2 2 x352

4 xg) —5— f x2536 f x566

x 9

246Îã16ã2ãã20ã 246Îã24ãh) x214 x1550 f x5————————5—————.

2 2L’equaciónotésolucionsreals.

20. Determina el valor o els valors de b per als quals l’equació x2 2 b x 1 9 5 0 té:

a) Una solució doble.

b) Dues solucions reals diferents.

c) No té solucions reals.

b6Îãb22ãã36ãx22b x1950 f x5———————

2

a) b223650 f b566

b) b2236.0 f b,26 o b.6

c) b2236,0 f 26,b,6

21. Quantes solucions reals té l’equació x2 1 y2 5 0? I l’equació x 1 y 5 0? Raona les respostes.

L’equacióx21y250téunasolasolucióreal: x5y50.

Encanvi,qualsevolparelldenombresrealsoposats,x52y,ésunasoluciódel’equacióx1y50.

22. Resol aquestes equacions:

a) x 4 2 13 x2 1 36 5 0

b) (3 x 1 1) (x4 2 16) 5 0

c) 6 x 4 1 7 x2 1 2 5 0

d) (x2 2 4)2 5 1

x25ta) x4213 x213650 f t2213 t13650

136Îã169ãã2ããã144ã 1365 t159t5——————————5———— 2 2 t254x56Îãt f x563;x562

b) (3 x11)(x 4216)50

1 3 x1150 f x52— 3

x 421650 f x 4516 f x56 4Îã16ã562

x25tc) 6 x 417 x21250 f 6 t217 t1250

1 t152— 276Îã49ã2ãã48ã 2761 2t5————————5———— 12 12 2 t25 2— 3

x56Îãt f l’equaciónotésolucionsreals.

d) (x224)251 f x224561 f

x22451 f x255 f x56Îã5f x224521 f x253 f x56Îã3

23. Troba la solució d’aquestes equacions:

a) x 2 Îããããã25 2 x2 5 1

b) Îããããã36 1 x 5 2 1 Îãxc) Îããããã2 x 2 1 1 2 5 x

d) Îããããã2 x 2 4 2 Îãããããã3 x 2 12 5 Îãããããã5 x 2 16



a) x2Îã25ã2ããx2ã51 f x215Îã25ã2ããx2ã f

f (x21)25252x2 f x222 x115

5252x2 f 2 x222 x22450 f x22x21250 f

16Îã11ãã48ã 167 x154f x5————————5———— 2 2 x2523

Lasoluciódel’equacióésx54(x523éssoluciófictícia).

b) Îã36ãã1xã521Îãx f 361x5(21Îãx )2 f

f 361x5414Îãx 1x f

f 3254Îãx f 85Îãx f x564

c) Îã2 xãã21ã125x f Îã2 xãã21ã5x22 f

f 2 x215(x22)2 f 2 x215

5x224 x14 f x226 x1550

66Îã36ãã2ã20ã 664 x155x5————————5———— 2 2 x251

Lasolucióésx55.

d) Îã2 xãã24ã2Îã3 xã2ãã12ã5Îã5 xã2ãã16ã f

f (Îã2 xãã24ã2Îã3 xã2ãã12ã )255 x216 f

f 2 x2422Îã(2 xãã2ãã4)(ããã3 x2ãã12)ã13 x2125

55 x216 f 22Îã(2 xãã2ãã4)(ããã3 x2ãã12)ã50 f

f (2 x24)(3 x212)50 f

2 x2450 f x52f 3 x21250 f x54

Lasolucióésx54.

2 x 1 7 y 5 2324. El sistema és compatible determinat.

4 x 1 k y 5 26

iyt

Quins valors pot tenir k?

2 7Siéscompatibledeterminat,—Þ—.Pertant,kÞ14. 4 k

25. Troba la solució dels sistemes següents:

x 1 y 5 8a)

x y 5 15

iyt

x y 5 6b)

x 1 y 5 3 Îã3 iyt

2 x 2 y 5 6c) y 1 1

x 2 ——— 5 1

ieyut 4

x 1 y 5 8a)

x y 5 15

iyt

y582xx ? (82x)515 f 8 x2x2515 f x228 x11550

ã86ãÎãã642ãã60ã 862 x155x5—————————5——— 2 2 x253

Six55 f y53,isix53 f y55

x55,y53;x53,y55

x y5 6b)

x 1 y 5 3 Îã3 iyt

y53Îã32x

x(3Îã32x)56 f 3Îã3 x2x256 f

f x223Îã3 x1650

3Îã36Îã27ã2ãã24ã 3Îã36Îã3 2Îã3x5—————————5—————— 2 2 Îã3Six52Îã3 f y5Îã3 ;six5Îã3 f y52Îã3x52Îã3,y5Îã3 ; x5Îã3,y52Îã3 .

2 x 2 y 5 6c) y 1 1

x 2 ——— 5 1

ieyut 4

2 x2y56 f 2y5622 x f y52 x26

y11x2———51 f 4 x2y2154 f 4 x2y55 4

4 x2(2 x26)55 f 4 x22 x1655 f 2 x521 f

1 1f x52— f y5212—226527 2 2

26. Quants nombres de quatre xifres diferents es poden escriure amb les 9 xifres significatives?

V9,459 ? 8 ? 7 ? 653 024

27. Resol l’equació:

Vx, 3 2 VRx, 3 1 65 5 0

Recorda que x només pot ser un nombre natural.

Vx,32VRx,316550 f x(x21)(x22)2x316550

x15523 x212 x16550 f x5 13 x252—— 3

Noméséssoluciódel’equacióproposadax55.

28. Per fer l’alineació d’un equip de futbol necessitem 11 juga-dors i en tenim 22. Quantes alineacions es poden fer si cada jugador pot ocupar qualsevol posició? I si dos d’ells només poden jugar de porters i sis només poden fer de defenses?

C22,115705 432alineacionsdiferents.

Si8estanfixats,enqueden14delsqualscaltriar-ne5:

C14,552 002


10 COMENCEMla

29. En una cursa participen 8 corredors. De quantes maneres diferents poden creuar la línia d’arribada tenint en compte que no n’arriben dos al mateix temps? I en cas que dos arri-bin al mateix temps?

P858!540 320maneresdiferentsdecreuarla línead’arri-bada.

Sidosarribenalmateixtempsserà:

P757!55 040

30. Forma totes les paraules possibles, tinguin o no sentit, amb les lletres de la paraula PERA. Quantes n’hi ha?

Hiha:P454!524paraulespossibles.Són:

AEPR,AERP,APER,APRE,AREP,ARPE,EAPR,EARP,EPAR,EPRA,ERAP,ERPA,PAER,PARE,PEAR,PERA,PRAE,PREA,RAEP,RAPE,REAP,REPA,RPAE,RPEA.

31. Escriu totes les ordenacions possibles de les lletres de la paraula PASSADA. Quantes n’hi ha?

7!Hiha: P7

2,3,1,15———5420ordenacionspossibles. 2!3!

32. 20 persones van a una festa i totes es donen la mà per sa-ludar-se. Quantes encaixades de mà s’han fet?

Cadaencaixadaéslatriade2personesd’entre20.

C20,25190encaixades.

33. D’una baralla de 40 cartes se’n reparteixen 3 a cada jugador. Quants jocs diferents pot rebre un qualsevol dels jugadors?

Triade3cartesde40:

40 ? 39 ? 38C40,35——————59 880jocsdiferents

3 ? 2


11MATEMÀTiQUES 1 LA

jUnitat1.Nombresreals

Activitats 1.En un problema de física es demana el temps que triga una

pilota a assolir una certa altura. Un estudiant, que ha resolt el problema correctament, arriba a la solució t √

3s. La

resposta que dóna és t 1,732050808 s. Et sembla que és correcta aquesta resposta?

Notécapsentitexpressarelresultatambtantesxifresdecimals,jaquenohihacapaparelldemesuradetempsquepuguiapre-ciarfinsalamilmilionèsimadesegon.

2.Si a 5,325 i b 2,434

a) Calcula a b i ab

b) Indica en cada cas les xifres decimals correctes.

a5,325 b2,434

5,3245 a 5,32552,4335 b 2,4345

7,7580ab7,7600 → ab7,76

Sienllocdesumarmultipliquemordenadament,s’obté:

12,95717075a b12,96492975

Pertant,a b12,96.

3.Calcula la longitud dels segments indicats a continuació. Expressa’n el resultat de manera exacta i utilitza la calcula-dora per obtenir-ne una aproximació arrodonida a les centè-simes:

a) La diagonal d d’un rectangle de costats 3 i 5 cm.

Diagonal:d

d√32

52√

9

25

√34cm5,83cm

b) El diàmetre D d’una circumferència la longitud de la qual és 10 cm.

Diàmetre:D

L 10D———cm3,18cm

c) L’altura h d’un triangle equilàter de 4 cm de costat.

Altura:h

h√42

2

22√

12cm

2√3cm3,46cm

d) L’altura h' d’un con que mesura 6 cm de radi i 9 cm de generatriu.

Altura:h'

h' √92

2

62√

45cm

3√5cm6,71cm

4.El costat més petit d’un rectangle auri mesura 2 cm. Quant mesura l’altre costat? Expressa’n el resultat de manera exacta i amb una aproximació arrodonida a les dècimes.

Mesura2,ésadir,

1√5

2 1√5cm3,2cm

2

5.Sabent que PQ PS 1 dm, demostra que el segment QR 1 √

5

mesura dm (fig. 1.5). 2

1 5 √5

QO12—2

————dm 2 4 2

√5 1 √

51

QRQOOR———————dm 2 2 2

6.Classifica els nombres següents en racionals i irracionals:

a) 2,045

(

Racional.

b) 3,88080080008... Irracional.

c) 1,9

(

Racional.

113 d) —— 114

Racional.

e) 4,3131131113...

Irracional.

( f) 0,58421

Racional.

7. Indica quins d’aquests nombres són irracionals:

a) √25

Racional.

b) 1

Irracional.

√

√


12 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA

c) √5 3

Irracional.

d) 5e

Irracional.

e) 3 2√49

Racional.

f) 7√5

Irracional.

g) √16

9

Racional.

h) √25

36

Irracional.

i) √2

(

1

6

9

)

Irracional.

1,2

(

0,25 8.Per què el número no pot ser irracional? 0,16 No pot ser irracional perquè és el resultat de sumar i dividir

nombresquesónracionals.

9.Calcula l’àrea d’un cercle de 4 cm de radi prenent els se-güents valors de :

a) L’aproximació per defecte 3,1415.

A r23,14154250,264cm2

b) L’aproximació per excés 3,1416.

A r23,14164250,2656cm2

En quin dels dos casos has obtingut una millor aproximació a la mesura real de la superfície d’aquest cercle? Per què?

La segona aproximació és més bona que la primera, ja quel’aproximacióperexcèsdelnombreésmillorquel’aproximacióperdefecte.

10.Expressa de manera exacta:

a) La longitud d’una circumferència de 6 cm de diàmetre.

L 6cm

b) L’àrea lateral d’un cilindre de 2 cm de radi i 5 cm de ge-neratriu.

Alat2rg20cm2

c) El volum d’un con de 5 cm de radi i 13 cm de generatriu

L’alturadelconmesura:

h√g2

2

r2√

132

2

52

12cm

r2h 5212V———————100cm3

3 3

11.S’ha aconseguit determinar que el radi d’una circumfe- 4 rència mesura —— cm. Se’n pot conèixer amb exactitud la longitud? I l’àrea del cercle que limita? Justifica la resposta

fent els càlculs corresponents.

Lalongituddelacircumferènciaespotconèixerambexactitud,perquè:

4L2r2—8cm

Encanvi,noméspodemsaberunvaloraproximatdel’àreadelcerclecorresponent,jaque

4 16Ar2—

2

——cm2

16 i——ésunnombreirracional.

16A——cm25,09cm2

12.Quant mesura la diagonal D d’un cub de 2 cm d’aresta? Expressa’n el resultat de manera exacta i aproxima’l a les centèsimes.

Diagonal:D

D√22

22

22√

12

cm3,46cm

13.La longitud d’una circumferència mesura 10 cm.

a) Expressa’n el resultat aproximat a les centèsimes.

L31,42cm

b) Quant mesura el radi d’aquesta circumferència? L

r——5cm 2

c) Calcula l’àrea del cercle que limita i expressa-la de manera exacta.

Ar225cm2

1 2 14.Troba cinc nombres racionals compresos entre — i —, i

ordena’ls del més petit al més gran. 2 3

Respostaoberta.Perexemple:

0,510,540,60,630,65



15.Entre quins nombres enters consecutius es troba cadascun d’aquests nombres irracionals?

a) √21

4i5

b) √54

28i27

c) 3 √2

1i2

d) 1 2

7i8

e) 3√2

4i5

1 √5

f) — —— 2 2

1i2

g) √2

2

6

15i16

h) √1

2

3

212i211

i) 3e8i9

16.Representa a la recta numèrica els nombres irracionals se-güents:

a) √1

7

b) √

13

c) √29

d) √

8

e) 1 √2

f) 3 √

5

g) 2√2

h) √

3

√5

i) √20 j) ——

2

k) √18

l) √

17 3

17.Compara aquests parells de nombres reals:

7 a) — i √

2

5 7

—√2

5

b) 1 √3 i 0,73

12 √320,73

c) i √10

√10

d) 1,9 i 221,9 22

e) √6 i √

7

2√62√

7

f) 4,9 i 54,95

√10 √

10

g) ——— i ——— 8 9

√10

√10

———— 8 9

h) 1,39

(

; i 1,4

21,39

(

; 21,4

18.Ordena del més petit al més gran els nombres reals següents i col.loca el signe de desigualtat que correspongui:

52,4

(

5; 2,99; 2,9

(

; √2; 1,42; 0; —

2

521,422√

202,

(

45—2,992,9

(

2

19.Escriu dos nombres racionals compresos entre:


a) √5 i √

6

2,41i2,42

b) √2 i √

3

21,5i21,6

c) 4 i √17

4,05i4,1

d) e i 2,9i3

20.Expressa de manera exacta:

a) L’àrea d’un triangle equilàter de 4 cm de costat.

c2 16A——√

3——√

34√

3cm2

4 4

c

26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6

i k l j h e ba fg d



b) La longitud de la diagonal d’un rectangle els costats del qual mesuren 4 i 6 cm.

d√a2

b2√16

36

√52cm2√

13cm

c) El volum d’un cilindre de 2 cm de radi i 3 cm d’altura.

Vr2h12cm3

d) L’àrea d’un hexàgon regular inscrit en una circumferència de 8 cm de diàmetre.

d Costatdel’hexàgon: c—4cm 2 3c2 342

A——√3———√

324√

3cm2

2 2

21.Aproxima per defecte i per excés fins a les mil.lèsimes ca-dascun dels nombres irracionals següents:

a) √3 b) e c)

Respostaoberta.Perexemple,prenent4xifresdecimalsperacadanombre:

22.Extreu factor comú de:

a) 3√2 5√

2

(35)√2

b) 7 3

(7231)

c) 4√a 5√

a 2√

a

(4522)√a

d) √5 a √

5 b √

5 c

√5(ab2c)

23.Les operacions amb nombres irracionals que s’indiquen a continuació donen com a resultat un nombre racional. Calcula’l en cada cas.

a) (√10)2

(√10)210

b) (15 2√3)(15 2√

3)

(152√3)(1522√

3)225212213

c) (3√7)2

(3√7)29763

d) (7 2) : 3

5(722):35:3—

3

2 e) (√

6)2 —

3

2 2 16(√

6)22—62———

3 3 3

f) √(7 2 √

2 )(7

√2 )2 11

√(7 2 √

2 )(7

√2 )2 11

√49 2 2 2 11 √

36 6

24.Si x, y, z i t representen quatre nombres reals, escriu cadascu-na d’aquestes expressions com un producte de dos factors:

a) x2y xy2

x2yxy2xy(xy)

b) x(y z) t(y z)

x(yz)t(yz)(yz)(xt)

c) z3 z2 z

z3z2zz(z2z1)

d) x2 2xy y2 t(x y)

x22xyy2t(xy)

(xy)2t(xy)(xy)(xyt)

e) z(x t) x2 2xt t2

z(x2t)2x22xt2t2

z(x2t)2(x2t)2(x2t)(z2xt)

25.Calcula sense utilitzar la calculadora:

a) 3√

10

00

10

b) 4√

12

96

6

Per defecte Per excés

√3 1,732 1,733

e 2,718 2,719

3,141 3,142



25 c) —— 81 5

— 9

d) 5√

1

21

e) 3√

0,0

01

0,1

5 1 f) —— 32 1

— 2

26.Tot i que a primer cop d’ull no ho sembli, els resultats de les arrels següents són tots racionals. Calcula’ls.

8 a) —— 18 8 4 2

——— — 18 9 3

3 2 b) —— 16 2 1 1

——— — 16 8 2

50 c) —— 98 50 25 5

———— — 98 49 7

3 3 d) —— 81 3 1 1

3

——3

—— — 81 27 3

27.Expressa en forma de potència:

a) 3√7

7

1—3

b) 4√

a3

a

3—4

c) √10

10

1—2

d) 5√

(a

2)

2

(a2)

2—5

e) 6√

65

6

5—6

1 f) —— 5 1—

1—2

5

28.Expressa en forma d’arrel:

a) 25

1—3

3√25

b) 12

1—4

4√12

c) a

3—5

5√a3

1 d) —

2——3

23√22

e) b

2—7

7√b2

29.Les potències d’exponent fraccionari verifiquen totes i ca-dascuna de les propietats de les potències d’exponent enter. Aplica aquestes propietats per expressar en funció d’una sola potència:

a) 2

1—2 2

1—3

2

1—22

1—32

1—2

1—32

5—6

b) 3

2—3 : 3

1—4

3

2—3: 3

1—43

2—3

2

1—43

5—12

c) 51—3

2

51

—3

2

51

—3

25

2—3

2 3√

4

d) ———

5√

8

23√

4 2

3√

22 22

2—3

—————————

5√

8

5√

23 2

3—5

21

2—3

23

—5 2

16—15

√

√

√

√√

√

√√

√

√√

√

√

√

√



30. Utilitza la calculadora i aproxima fins a les centèsimes aquests nombres irracionals:

a) 3√

10

2,15

b) 5√2,76

1,23

c) 1—4

1,33

d) 3√50

23,68

e) 6√

65

4,45

f) √15

0,45

31.Per simplificar una arrel del tipus n√

am, cal aconseguir que m

i n siguin nombres primers entre ells. Simplifica:

a) 12√

a10

6√

a5

b) 3√

a12

a4

c) 15√

310

3√

32

d) 4√64

4√

26√

23

32.Esbrina quina de les igualtats següents és incorrecta:

a) √ (a

b)2ab

b) 3√ a

3b3ab

c) √a2

2

ab

b2ab

Ladel’apartatb),jaque(ab)3a3b3.

33.Expressa en forma d’una sola arrel:

a) 3√

3

3√

5

3√

3 5

3√

15

b) 21—2 √

5

√2 √

5√

10

3√

12

c) ——

3√

4

12

3

——3√

3

4

31—2 6

1—2 d) ———

√15

√3 √

6 √

18 18 6

——————— ———— √

15

√

15 15 5

e) (7√

23)4

7√23 4

7√212

f) 31—6

3√

3

6√

2

6√

3

6√

32

6√

2

6√

332

6√

54

g) (a b)1—2 √

a b

√(a

b)

(a2

b)

√a2

2b

2

h) 2 √5√45 √20

i) √√134√13

j) √a 3√a2

√3√a5

6√a5

34.Expressa de la manera més senzilla possible:

1 a) √10 2 √10 — √10 2

1 5122—√10—√10 2 2

b) 3 √12 2 √75 7√3

6√3 210√3 7√3

(62107)√3 3√3

c) 4√5

3√2

12√53

12√24

12√5324

12√2000

√7 3√5

d) ———

12√10

12√76

12√54

7654

————12

——

12√10 10

√

√

√

√



35.Racionalitza les expressions fraccionàries següents:

1 a) —— √5

1 √5 √5—— ————

√5 √5 5

1 b) ———— 2 √3

1 22√3 22√3———— ————————22√3

2√3 22√3 423

12 c) —— √2

12 √2 12—— ————√2 6√2

√2 √2 2

22 d) ———— 4 √5

22 4√5 22(4√5 )———— ————————

42√5 4√5 1625

22(4√5 )——————2(4√5 )

11

36.Efectua les operacions indicades racionalitzant prèviament cada expressió fraccionària:

1 2 a) ———— ———— 5 √3 5 √3

1 52√3 52√3———— ————————;

5√3 52√3 22

2 5√3 2(5√3 )———— —————————

52√3 5√3 22

5√3 ————

11

1 2———— ————

5√3 52√3

52√3 5√3 15√3 ———— ————————

22 11 22

7 6 b) ———— ———— 4 √2 4 √2

7 42√2 7(42√2 )———— ——————————

4√2 42√2 14

42√2 ————

2

6 4√2 6(4√2 )———— —————————

42√2 4√2 14

3(4√2 ) 123√2 ————— ——————

7 7

7 6—————2 —————

4√2 42√2

42√2 123√2 4213√2 ————2 ————————————

2 7 14

37.Representa a la recta real els conjunts de nombres següents. Després, defineix-los mitjançant desigualtats:

a) [4, )

0 4

4x

b) (, 2)

022

x 22

c) [1, 3]

0 1 3

1x 3

d) (2, 5)

0 2 5

2x 5

e) [3, 0)

023

23x 0

f) (0, 3]

0 3

0x 3



40.Efectua aquestes operacions amb l’ajut de la calculadora. Expressa’n els resultats utilitzant la notació científica:

a) 2,5104 105 6,25103 1,1875105

b) (106 : 4103) : 5107 5

1,251012 1012

c) ———————— 1,6

(

10 1010 5109

d) (104 107)2 9,981013

41.Una estrella es troba a 4 anys llum de la Terra. Quina es la distància en quilòmetres que la separa del nostre planeta? Un any llum és la distància que recorre la llum en un any a la velocitat de 300000 km/s.

365dies 24h 3600s1any ———— ——— ————

1any 1dia 1h

31536000s

300000km1anyllum31536000s ——————

1s9,46081012km

4anysllum49,46081012

3,784321013km

42.Sabent que un mol d’àtoms de ferro conté 6,021023 àtoms d’aquest metall i que té una massa de 55,8 g, esbrina:

a) La massa en grams d’un àtom de ferro.

1molàtomsFe 55,8gFe1àtomFe ————————— ————————

6,021023átomsFe 1molàtomsFe

9,2710223gFe

b) El nombre d’àtoms continguts en 1 g de ferro.

1molàtomsFe 6,021023àtomsFe1gFe ———————— —————————

55,8gFe 1molàtomsFe

1,081022àtomsFe

Activitatsfinals

1. Demostra, sense utilitzar la calculadora, que el número

√1764 és racional. Realitza prèviament la descomposició en

factors primers de 1764.

1764223272

√ 1764√2232 72º23742

g) (5, )

0 5

5x

h) [2, 2)

0 222

22x 2

i) (, 0)

0x 0

j) (3,4]

2304

23x 4

k) (4,2) 2402

24x 2

3 l) [1, —) 2

321 x — 2

21 0 1 2

38.Expressa utilitzant la nova notació els conjunts de nombres reals que verifiquen:

a) x 3[23,)

b) x 4(2,4)

c) 2 x 3[22,3]

d) 5 x 21(25,21)

e) 4 x 6(24, 6]

f) x 7(7,)

39.Les inequacions 1 3x 5 i 3x 5 2 tenen solucions comunes. Troba-les, representa-les gràficament i expressa-les de dues maneres diferents.

213x5 → 263x → x22

3x52 → 3x 23 → x 21

022 21

22x 21,otambé,x[22,1).



2.Calcula el costat, el perímetre i l’àrea d’un quadrat inscrit en una circumferència de 2 cm de radi. Quina de les tres mesu-res s’expressa mitjançant un nombre racional? Expressa les altres dues de manera exacta i amb una aproximació fins a les centèsimes.

Eldiàmetredelacircumferènciacoincideixambladiagonaldelquadratimesura4cm.

Sirepresentenpercelcostatdelquadrat,esverifica:

c2c242 → 2c216 → c28 →

→ c2√2 cm2,83cm

Elperímetrepdelquadratmesura:

p4c4 2√2 8√2 cm11,31cm

il’àreaAdelquadratés:

Ac28cm2

L’únicamesuraques’expressamitjançantunnombreracionaléslasuperficiedelquadrat.

3. Dibuixa un quadrat de 2 cm de costat. Determina els punts mitjans dels seus costats i uneix-los successivament. Quina figura n’obtens? Per què? Calcula’n l’àrea i el perímetre.

S’obtèunaltrequadrat:elsseuscostatssónigualsielsquatreanglessónrectes.

Àrea: A(√2 )22cm2

Perímetre: P4√2 cm

4. Considera un nombre positiu, eleva’l al quadrat, multiplica’l per 2 i, finalment, extreu-ne l’arrel quadrada. Demostra que el quocient de la divisió entre l’últim nombre i el primer és igual a √2.

x → x2 → 2x2 → x √2 → √2

L’últimpaséspossibleperquèx0.

5.Quina condició han de verificar els coeficients a, b i c de l’equació de segon grau ax2 bx c 0, per tal que les seves solucions siguin nombres reals?

Lessolucionsdel’equacióax2bxc0sóndelaforma:

2b√b224acx————————

2a

Pertant,perquèaquestessolucionssiguinnombresrealss’hadeverificarque:

b224ac0

6.El perímetre d’un rectangle mesura 16 cm i una de les seves diagonals, 2√10 cm. Calcula’n l’àrea.

Anomenem x i y les dimensions del rectangle expressades encentímetres.Esverifica:

2x2y16 xy8

x2y2(2√10 )2 x2y240x82y

(82y)2y240 →

→ 64216yy2y240 →

→ 2y2216y240 → y228y120

8√64248 84 y16 y—————————— 2 2 y22

Siy6 → x2,isiy2,x6.

Enqualsevolcas,l’àreadelrectangleés

A12cm2

7. Troba quatre nombres racionals compresos entre 2 √5 i 2 √6.

Respostaoberta.Perexemple:4,25;4,3;4,42;4,4.

8.Representa a la recta numèrica els nombres reals següents:

3 a) — b) 1,16

(

4

c) √34 d) √8

Representacióaproximada:

d a b c

876543210212223

9.Calcula:

a) (3√5)2

(3√5 )29545

b) (√10 )4

(√10)4102100



c) (√5 √3 )(√5 √3 )

(√5 √3 )(√5 2√3 )52 32

d) (√7 )2 (√2 )2

(√7 )22 (√2 )272 25

10.Calcula:

a) (1 √2 )2

(1√2 )212√2 232√2

b) (3 √3 )2

(32√3 )2926√3 31226√3

c) (2√5 1)2

(2√5 1)220 4√5 1214√5

d) (4√2 2√3 )2

(4√2 2 2√3 )2322 16√6 12

44216√6

11.En quins casos el resultat d’una potència de base 3 és més petit que 3? Justifica la resposta amb exemples.

Semprequel’exponentésméspetitque1.

1 Perexemple: 3

1—2 1,73; 301; 321—.

3

12.Expressa com una sola potència:

a) √2 3√2

√2 3√2 2

1—2 2

1—3 2

5—6

b) 3√5 : 4

√53√5 :4

√5 51—3 :5

1—4 5

1—12

c) 7√a 2

7√a 2 a

2—7

d) (4√b3)2

(4√b3)2

4√b6 √b3 b

3—2

13.L’arrel quadrada de l’arrel cúbica d’un nombre positiu x té dos possibles resultats. Per què? Si un d’aquests és 2, quin és l’altre? Calcula x.

Perquèestractad’unaarreld’índexparell(índex6)

√3√x

6√x

L’altreresultatés22,l’oposatde2.6√x2 → x(2)664

14.Calcula:

a) √200———450

10 2√200———450

√100———225

—— —— 15 3

b) √

3—27

1√

3

—27

√

1—9

— 3

c) √242—338

11√

242—338

√121—169

—— 13

15.Escriu com una única arrel:

a) 102—3 10

–1—2

102—3 10

–1—2 10

1—6

6√10

b) 73—4 : 70,5

73—4 :70,57

3—4 :7

1—2 7

1—4

4√7

c) 22—3

3—5

22—3

3—5 2

2—5

5√22

5√4

d) 21—3 3

1—3

21—3 3

1—3

3√2

3√3

3√6

16.Quines de les desigualtats següents no són certes? Per què?

a) √9 25

3 5

b) √7 6

√7 √6

c) √a2 b2

a b

√45 d) √5 —— 3

a)Perquè3482

c)Perquèa2b2(ab)2



17.Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de les operacions següents:

a) √7 √28 √63

√7 √28 2 √63 √7 2√7 23√7

(1223) √3 0

b) √121 √169 √225

√121 √169 2 √225 11132159

c) √a 3√a2

√a 3√a2 a

1—2 a

2—3 a

7—6

6√a7 a

6√a

d) 4√b 3 : √b

4√b 3 : √bb

3—4 :b

1—2 b

1—4

4√b

18.Justifica aquestes igualtats:

a) 2√3 √12

2√3 √22 3 √12

b) 5√2 √50

5√2 √52 2 √50

1 c) —— √3 √

3—4

2

1 —√3 √ 1—2

2

3 √ 1—4

3 √

3—4 2

d) a2 n√a

n√a2n 1

a2 n√a

n√a2n a

n√a2n 1

19.Racionalitza:

20 a) —— √10

20 √10 20√10—— —————2√10

√10 √10 10

1 b) ———— √7 √5

1 √7 √5———— ————

√7 2√5 √7 √5

√7 √5 √7 √5 ———— ————

725 2

6 √6 c) ——— 6 √6

6√6 6√6 3612√6 6———— ———— ———————

62√6 6√6 3626

4212√6 72√6 ————— ————

30 5

20.Les solucions d’una inequació es troben a l’interval [5,2], i les d’una altra inequació, a l’interval [0, 4). Expressa mi-tjançant un interval les solucions comunes a totes dues in-equacions. Ajuda’t d’un gràfic.

42025

Lessolucionscomunessónlesqueestrobenal’interval:[0,2].

Avaluació

1.Digues, de manera raonada, si les afirmacions següents són certes o falses:

a) 3√ 2343 és un nombre irracional.

Fals,perquè3√ 2343 2 7.

2 b) El nombre real ——— està comprès entre els nombres

5naturals 1 i 2.

2 Cert,jaque——— 1,03. 5

c) 24 és un nombre racional.

Cert,concretamentestractad’unnombreenter.

d) El resultat de √12 3√ 3 2 √75 és 0.

Cert.

√123√ 32√752√ 33√ 325√ 3

(2325)√ 30

2.Expressa de manera exacta:a) El volum d’un cub de 3 cm de diagonal.

Sid representa ladiagonald’uncub i a la sevaaresta, esverifica:

d2 d√3 3√3d23a2→a2 —→a ——→a —— √3cm 3 3 3

Va3 (√3)3 3√3cm3



b) L’àrea lateral d’un con de 5 cm de radi de la base i 12 cm d’altura.

La generatiu del con mesura g √ 52 122 13 cm, il’àrealateral:

Alat rg65cm2

c) El radi d’una esfera de 27 cm3 de volum.

4Volumd’unaesferaderadir :V— r3→r

3

√3V

———4 3

r 3

√3·27—————

4 3

3

√ 3———4

cm

d) La hipotenusa d’un triangle rectangle, un dels catets del qual mesura el doble que l’altre.

Sirepresentemperclamesuradelcatetméspetit,l’altreca-tetmesurarà2c.Lamesuradelahipotenusad’aquesttrianglerectangles’expresarà:

h√ c2(2c)2√ 5c2c√5

3.a) Expressa en forma d’una sola arrel:

√x 7√a · 7√b2; ——; (p 4√p3)5; 3√2 · 4√3 3√y2

7√a·7√b27√ ab2

√x 6√ x3————

6√

x3

——y4

3√ y2 6√ y4

(p 4√p3)5(4√ p7)54√ p35

3√2·4√312√ 24·12√ 33 12√ 24·33

b) Expressa en forma de potència:

5√x2 a2·3√a; √ 2√ 2√2; (3√b2)2; —— √x

a2·3√aa2·a 1–3 a

7–3

√ 2√ 2√2 √ √ 23√ 2 √ √ √ 27 8√ 27 2

7–8

(3√ b2)2 3√ b4b

4–3

5√ x2

10√ x4

———— 10√ x21x2

1––10

√x10√ x5

4.Calcula i expressa de la manera més senzilla possible:

a) (3√2 7√3)(3√2 2 7√3)

(3√27√3)(3√227√3)1821472129

1b) 2√ 75 2 √ 300 —√ 12 2

1 2√ 752√ 300—√ 1210√ 3210√ 3 √ 3 2

(102101)√3√3

c) (5 2√7) 2 (5 2 2√7)

(52√7)2(522√7)52√7 2 52√74√7

d) √ (a b)2 2 4ab

√ (ab)224ab √ a222ab b2

√ (a2b)2 a2b

5.Fes les operacions indicades, racionalitzant prèviament les expressions fracionàries:

a) 3 √3 3 2 √3 ——— 2 ——— 3 2 √3 3 √3

3√3 3√3 96√33 126√3 ———· ——— ————— ———— 32√3 3√3 923 6

2√3

32√3 32√3 926√33 1226√3 ———· ——— ————— ———— 3√3 32√3 923 6

22√3

3√3 32√3 ———2 ——— 2√32(22 √3) 32√3 3√3

2√32 2√3 2√3

1 3b) √2 · ——— √8 √ 32

1 √8 √8 2√2 √2—·— —— —— ——

√8 √8 8 8 4

3 √ 32 3√ 32——·—— ——

√ 32 √ 32 32

1 3 √2 3√ 32 1 3 5 √2·——— √2——— ——— √8 √ 32 4 32 2 4 4

jUnitat2.Nombrescomplexos

Activitats 1. Identifica la part real i la part imaginària de cadascun dels

nombres complexos següents:

3 a) — 2 √3 i 7 3

a—, b 2√3 7



b) 5 ia 25, b 1

2 c) — 5 2

a 2—, b 0 5

d ) 3 ia 0, b 3

e) 0,2 ia 0,2, b 21

f ) 1 ia 1, b 21

2.Quin ha de ser el valor de p perquè el nombre complex 1

— (p 2) i sigui un nombre real? 5 Calquep220 → p2

3.Quin valor té r si sabem que el nombre complex 1 (r 3) — i és imaginari pur? 7

Calquer30 → r 23

4.Escriu les arrels quadrades de cadascun d’aquests nombres:

a) 81√281 9 i

9 b) —— 25 3√

92— 25

— i 5

c) 2√22

√2 i

d ) 25√225 5 i

1 e) — 9 1√

12— 9

— i 3

5. Resol, en el conjunt dels nombres complexos, les equacions següents:

a) x 2 49 0

x 2490 → x 2 249 →→ x 7 i

b) 16 x 2 250

16 x 2250 →

25 5→ x 2 2—— → x — i

16 4

c) x 2x1 0

x 2x10 →

21√124

→ x——————— 2

1 √3 2———i

2 2

d ) x 2 180

2x 22180 → x 2 218 →→ x 3√2 i

6.Compara les dues solucions obtingudes per a cadascuna de les equacions de l’exercici anterior. Quina o quines relacions hi trobes?

Enelsapartatsa),b)id)lesduessolucionssóndosnombresimaginarispursoposats.Enl’apartatc)lesduessolucionstenenoposadalapartimaginària.

7.Representa els afixos dels nombres complexos:

3z1 8, z2 — i, z3 4 i

2 3 z1éselpunt(28,0);z2éselpunt—,21 2 iz3éselpunt(0,24),representatsenunareferènciacarte-

siana.

8.Escriu tres nombres complexos que tinguin els seus afixos a la bisectriu del primer i el tercer quadrants. Quina relació hi ha entre la part real i la part imaginària de cadascun d’ells?

Resposta oberta. Per exemple: z1 2 2 i; z2 21 2 i,z3 √2 √2 i.Totsaquestsnombrestenenlapartrealigualalapartimaginària.

9. És possible trobar un valor de k perquè els nombres z1 3 2 i i z2 2 (1 k) i siguin iguals? Raona la resposta.

Noéspossibleperquètenenlapartrealdiferent:32.

10.Representa els afixos dels nombres complexos següents: 2 7

z1 1 i, z2—— — i, z3 2 i, 3 3

z4 2 3 i, z510



2 72—,— 3 3

11.Escriu els nombres complexos z1 5 i z2 1 i en forma polar i en forma trigonomètrica.

z1 255180°5(cos180°i sin180°)

z2 212i√2 225°

√2 (cos225°i sin225°)

21 jaquer√(21)2(21)2 √2itg ——1enelter- cerquadrant. 21

12.Troba el mòdul i l’argument del nombre complex z 2 (cos 225° i sin 225°). Expressa’l en forma binòmica.

z2(cos225°isin225°)2225°

√2 √2cos225° 2——,sin225° 2——

2 2

√2 √2z22——i2—— 2√2 2√2 i

2 2

13.Comprova que les expressions binòmiques dels nombres 2180°, 2180° i 2540° coincideixen.

Raona per què els tres nombres complexos són iguals.

2180° 22

22180°2180° 22

2540°2180° 22 (540°2360°180°)

Els tresnombrestenenelmateixmòdul ielmateixargumentprincipal.

14.Donats els nombres complexos:

4z1 2 i; z2 3 i i z3 — 3 i

3

comprova que es verifiquen les propietats associativa de la suma i associativa de la multiplicació.

Propietatassociativadelasuma:

4 (22i)(23 i)2—3 i 3

4 2 (22i)2——2i 3 3

igual

4 [(22i)(23 i)]2—3 i 3

4 2 (224 i)2—3 i—2i 3 3

Propietatassociativadelamultiplicació:

4 (22i)23 i2—3 i 3

(22i)(94 i)222i

igual

4 [(22i)(23 i)]2—3 i 3

4 (2326 i)2—3 i222i 3

15.Calcula:

2 i (1 4 i) 1 a) —————— ——— 1 2 4 i 2 i

2 i(124 i) 122 i——————————

1222 4 i 2124 i

(12 2 i)(214 i) 7 6 —————————————i

(2124 i)(214 i) 17 17

1 2i 2i 2 1——— ———————— i

22i 2i 5 5 5

7 6 2 1————i—— i 17 17 5 5

69 47 ————i

85 85

(2 3 i) (5 2 i) 3 i b) ————————— ———— 4 3 i 4 2 i

(23 i)2(522 i)————————————

43 i

235 i 423 i————— —————

43 i 423 i



329i 3 29—————————i

25 25 25

32i 422 i———— —————

42 i 422 i

10210 i 1 1——————2— i

20 2 2

3 29 1 1————i—2— i 25 25 2 2

31 33 ————i

50 50

1 3 i 3 i c) ———— ———— 1 1 4 2 i — — i 2 2

1 1 —— i 123 i 2 2

————— —————— 1 1 1 1 —2— i —— i 2 2 2 2

22i 22i—————————422 i

1 1 1 —— — 4 4 2

32i 422 i————— —————

42 i 422 i

10210 i 1 1———————2— i

20 2 2

1 1 7 3(422 i)2—2— i —2— i

2 2 2 2

2 r i16.Se sap que el quocient ———— és un nombre real. Troba

1 i el valor de r. Quin hauria de ser el valor de r perquè aquest

quocient fos imaginari pur?

2r i 1i 22r 2r———— ———— ———— ————i

12i 1i 2 2

Pertalquesiguiunnombrereal:

2r————0 → r 22

2

Pertalquesiguiimaginaripur:

22r———0 → r2

2

17.Efectua:

a) (2 i)5

(2 i)532 i 532 i

b) (4 i)3

(24 i)364 i

2 c) — i

4

5

2 162— i4

—— 5 625

i d) —

10

2

i i 10 i 2 21—10

——————— 2 210 210 1024

e) ( √ 2 i)2

(2 √ 22i)2 2

f ) (3 i 2)2

(23 i 2)29 i 49

g) (√3i )6

(2√3i)6(3 i)3 227i

h) i 225

i 225i,jaqueelresidudedividir225entre4és1.

18.Troba el nombre complex que resulta de les potències se-güents:

a) (1 2 i)5

(12 i)5(12 i)2(12 i)2(12 i)

(234 i)2(12 i)

(27224 i)(12 i)41238 i

b) (1 i)7

(212i)7((212i)2)3(212i)

(2 i)3(212i)28 i(212i)288 i

c) (2 i)6

(22i)6((22i)2)3(324 i)3

(324 i)2(324 i)

(27224i)(324 i)2117244i



1 d ) — 2 i

4

2 1 1—22 i

4

—22 i2

2

2 2

15 1612——22 i

2

——15 i 4 16

19.Calcula (1 2 i)4. Recorda que com que es tracta d’un 1

exponent negatiu, z4 —. z4

1 1(212 i)24———————————

(212 i)4 ((212 i)2)2

1 1——————————

(2324 i)2 2724i

1 27224i——————————

2724i 27224i

27224i 7 24—————2——2——i

625 625 625

20.Comprova mitjançant l’exemple 290° 1180° que no és certa la igualtat r

s

(r s)

.

290°1180°2 i21 212 i ⇒ 5 r√5 3

213 tg 22

90°180°270° → tg270°noexisteix.

21.Calcula:

√3 1 √3 1—— — i —— — i 2 2 2 2

Efectua l’operació amb les expressions binòmiques i amb les polars. Compara’n els resultats.

Enformabinòmica:

√3 1 √3 1——2— i ——— i 2 2 2 2

3 1— — 1

4 4 Enformapolar:

√3 1 √3 1——2— i1

230°; ——— i130° ⇒ 2 2 2 2

⇒ 1230° 130°10°1

Evidentmentelsdosresultatscoincideixen.

1 i22.Troba el quocient ———— utilitzant les expressions polars

1 i dels dos nombres complexos.

12 i√2 245°315°,21i√2 135°

12i————√2 315°:√2 135°1180° 21

21i

23.Calcula (1 i)5 de dues maneres diferents. Comprova que n’obtens el mateix resultat.

Sipassemdelaformabinòmicaalaformapolartenim:

(12i)5(√2 315°)5

4√2 1575°4√2 135°

Perlapotènciadelbinomi:

5 5 5(12i)5 2 i i 22

0 1 2

5 5 52 i 3

i 42 i 5 3 4 5

125 i21010 i52i

244 i4√2 135°

24.Comprova que (160°)6 1.

(160°)61360°10°1

25.Expressa en forma binòmica el resultat de (130°)15.

(130°)151450°190°i

26.Expressa en forma binòmica les arrels quartes de z 4.

4√4

4√40°⇒ mòdul

4√4√2 .Elsargumentssurtend’aplicar

0°k 360° ———————donantak elsvalors0,1,2,i3.Són:0°,90°,

4 180°i270°.

Enformabinòmica:

√2 0°√2 ; √2 90°√2 i;

√2 180° 2√2 ; √2 270° 2√2 i

27.Troba les arrels vuitenes d’1. A continuació, comprova que el producte de dues qualssevol d’aquestes arrels és també una arrel.

8√1

8√1 0° ⇒ mòdul:

8√1 1.Pertrobarelsargumentsproce-

0°k 360° dimcomenl’exercicianterior:———————ambk0,k1,

8 k2,k3,k4,k5,k6ik7.Lesarrelssón:10°,145°,

190°,1135°,1180°,1225°,1270°,1315°.Multiplicantduesarrelsqualssevolsen’obtéunademòdul1id’argumentunmúltiplede45°.



28.Una de les arrels cúbiques d’un nombre complex és 160°. Calcula aquest nombre complex i les altres dues arrels.

3√z 160° → (160°)

3z1180°

3√1180° ⇒ mòdul:1.Elsargumentssón:

180°k 360———————,k0,k1ik2

3

Lesarrelssón:

160°(jalateníem);1180°;1300°

29.Resol les equacions:

a) x 4 16 0

x4160 →

→ x4√216

4√16180° →

mòdul4√16 2

Arguments:

180°k 360°————————,k0,k1,

4

k2ik3 → 45°,135°,225°,315°.

L’equacióté4arrelscomplexes:

245°,2135°,2225°i2315°

b) x 6 i

x6i ⇒ x6√i

6√190° →

mòdul:6√1 1

Arguments:

90°k 360°——————— → k0,k1,

6

k2,k3,k4ik5

Lessisarrels:

115°,175°,1135°,1195°,1255°,1315°.

c) x 3 8 i

x3 28i ⇒ x3√28i

3√8270° →

mòdul:3√8 2

Arguments:

270°k 360°————————,k0,k1ik2 →

3→ 90°,210°,330°

Lestresarrelssón:

290°,2210°,2330°

Activitatsfinals

1.Resol les equacions següents en el conjunt dels nombres complexos:

a) x 2 2 x 2 0

22√428x22 x20 → x ——————

2

22√24 222i x1 21i ————————— 2 2 x2 212i

b) x 2 3 x 6 0

3√9224 x223 x60 → x —————— 2

3√215 3√15 i —————————

2 2

3 √15 x1 ———i 2 2 3 √15 x2 —2——i 2 2

c) x 2 25 0

x2250 → x2 225 →→ x √225 5 i

2.Donats els nombres complexos z1 2 (3 p) i i z2 5 4 i, troba el valor de p sabent que z1 z2 és un nombre real.

z1z22(3p) i(254 i)

23(7p) i

Sihadeserunnombrereal,7p 0 → p 27.

3.Calcula:

1 a) — 3 i (3 i) (2 5 i) 3

1 —3 i2(32i)(225 i) 3

1—232(3125) i

3

2 2—2i

3

b) 10 i [(1 i) (4 3i)]

10 i2[(1i)2(423i)]

10 i2(234 i)36 i



4.Comprova amb un exemple que quan se suma i quan es mul-tiplica un nombre complex pel seu conjugat s’obté un nom-bre real en cada cas.

Siguin,perexemple,z112 i;z2122 i.

z1z2(12 i)(122 i)2

z1 z2(12 i) (122 i)

124 i 2145

5.Donats el nombres complexos z1 1 3 i, z2 2 i i z3 2 i, comprova que es verifica la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma.

z1 (z2z3)(123 i) (222i2 i)

(123 i)(22i)17 i

(z1 z2)(z1 z3)(123 i)(222i)

(123 i)2 i(255 i)(62 i)17 i

S’obtéelmateixresultat.

6.Calcula en forma binòmica:

a) (2 i)2

(22i)2424 ii 2324 i

b) (2 3 i)2

(2223 i)2412 i9 i 2 2512 i

c) (1 i)2

(212i)212 ii 22 i

7.Efectua les operacions del numerador i del denominador en les expressions fraccionàries següents i després, calcula’n el quocient:

(4 7 i) (1 i) (2 i) a) —————————————— (5 i)2

(47 i)(12i)(22i)—————————————

(5i)2

(47 i)(123 i) 54 i———————————————

2510 ii 2 2410 i

Calculemelquocient:

(54 i)(24210 i) 16046 i————————————————

(2410 i)(24210 i) 676

40 23————i

169 338

10 [(1 4 i) (2 3 i)] b) ————————————— 3 i (2 √

3 i) (2 √

3 i)

102[(124 i)2(223 i)]—————————————

3i(2√3i )(22√3i )

11i 11i—————————

3 i(43) 73 i

Calculemelquocient:

(11i)(723 i) 80226 i———————————————

(73 i)(723 i) 499

40 13——2——i

29 29

z z 8. Demostra que si z és un nombre complex, el quocient ———

z z en què z és el conjugat de z, és sempre un nombre complex

imaginari pur.

Siguizab i; za2b i:

z2z (ab i)2(a2b i)—————————————

zz (ab i)(a2b i)

2 b b——i— i

2 a a

Efectivament,ésunnombreimaginaripur.

9.Escriu en forma polar els nombres complexos que tenen per afixos els vèrtexs de l’hexàgon regular de la figura 2.6.

Elvèrtexsde l’hexàgoncorresponenalsnombrescomplexosdemòdul1iargumentunanglemúltiplede60°.Sónelssegüents:10°,160°,1120°,1180°,1240°,1300°.

10.Descriu la figura que s’obtindria en representar gràficament tots els nombres complexos de mòdul 2.

Totselspuntsdelacircumferènciadecentrel’origendecoorde-nadesideradidoscorresponenatotselsnombrescomplexosdemòdul2.



11.Donat el nombre complex 160°, escriu-lo en forma binòmica. Troba’n l’oposat, el conjugat i l’invers.

1160°ab i; acos60° 1—;

2

√3 1 √3bsin60° 1——; z———i

2 2 2

L’oposat: 1 √3

2z 2—2——i 2 2

Elconjugat: 1 √3z —2——i 2 2

L’invers:

1 1———————

z 1 √3 ———i 2 2

1 √3 —2——i 2 2

—————————————— 1 √3 1 √3 ———i—2——i 2 2 2 2

1 √3 —2——i 2 2 1 √3

————————2——i 1 2 2

1 i12.Calcula ———

6

. Efectua primer la divisió i després la po-tència. 1 i

12i (12i)(12i) 22 i———6

————————6

——6

1i (1i)(12i) 2

(2i)6i 6i 2 21

13.Comprova que la suma de les arrels vuitenes de la unitat dóna com a resultat zero.

Calculemlesarrelsvuitenesd’1: 8

√1

8√

10° → mòdul:

8√11.Arguments:

0°k 360° ——————,k0,k1,k2,k3, 8

k4,k5,k6ik7.

Lesarrelssón:

10°,145°,190°,1135°,1180°,1225°,1270°,1315°

Enformabinòmica:

10°1

1 1 145°————i √2 √2

190°i

1 1 1135° 2————i √2 √2

1180° 21

1 1 1225° 2——2——i √2 √2

1270° 2i

1 1 1315° ——2——i √2 √2

Lasuma:

1 1 1 1 1————ii2————i21 √2 √2 √2 √2

1 1 1 1 2——2——i2i——2——i0 √2 √2 √2 √2

14.Descriu la figura que s’obtindria en representar gràficament tots els nombres complexos l’argument dels quals és 60°.

Totselsnombrescomplexosd’argument60°formenunasemi-rectad’origenl’origendecoordenadesiqueformaunanglede60°ambelsemieixpositiuOX.

15.Determina el valor de la suma següent:

1 i i 2 ... i 125

Caltenirencompteque:

ii 2i 3i 4i212i10

Separant1,lasumadeles125potènciessuccessivesdeiconte-nen31grupsquesumen0iquedai 125,jaque12531 41.

1ii 2...i 1251i 1251i

16.Expressa en forma binòmica el resultat de la divisió: 6120° : 330°.

6120°:330°290°.Passantaformabinòmica:290°2 i.

17.Calcula el mòdul i l’argument de la tercera potència de √3 i.

(√3 i)3 → √3 i → r2

1tg —— → 30°

√3

(230°)323

3 30°890°



18.Troba les arrels quartes de z 8 8 √3 i.

Passemaformapolar:

r82(8√3 )2256;tg√3 ,60° 4

√25660° → mòdul4√2564,arguments:

60°k 360° ———————,k0,k1,k2ik3. 4

Arrels:415°;4105°;4195°;4285°.

19.Dibuixa el triangle que té per vèrtexs els afixos de les arrels cúbiques de 8 i. De quin tipus de triangle es tracta?

3√8i

3√890° → mòdul

3√8 2;arguments:

90°k 360° ——————,k0,k1ik2. 3

Arrels:230°;2150°;2270°. Els afixos sónelspuntsque tenendecoordenadeselscomponentsenformabinòmica.

VèrtexA → 230° 2(cos30°isin30°)√3 i → (√3,1)

VèrtexB → 2150°2(cos150°isin150°) √3 i → (√3 ,1)

VèrtexC → 2270°2 i → (0,2)

RectaAB: y1 3 RectaBC: y2——x √3

3 RectaAC: y2——x √3 Eltriangleésequilàter.

20.Calcula la suma dels quadrats de les arrels cúbiques de 8. 3

√8 3√8 180° → mòdul

3√8 2;arguments:

180°k 360° ———————,k0,k1ik2. 3

Arrels:260°;2180°;2300°.Calculemelsquadrats:

(260º)24120°4(cos120°isin120°)

1 √34———i22√3 i

2 2

(2180°)24360°4

(2300°)24600°4240°

4(cos240°isin240°)

1 √34———i22√3 i

2 2

Suma:(22√3 i)4(22√3 i)0

21.Troba les arrels cúbiques de 27. Comprova que una d’aquestes arrels és el nombre real 3.

3√27

3√27180° → mòdul:

3√27 3;

Arguments:

180°k 360° ———————,k0,k1ik2. 3

Lesarrels:360°;3180°3;3300°.

22.Calcula les arrels quartes de 16 i comprova que dues d’aquestes arrels són nombres reals.

4√16

4√160° → mòdul:

4√16 2;

Arguments:

0°k 360° ——————,k0,k1,k2ik3. 4

Arrels:20°2;290°;2180°2;2270°.

Lesarrels2i2sónnombresreals.

23.Una de les arrels cúbiques del nombre complex z és 2130°. Calcula z i les altres dues arrels.

3√z 2130° → z(2130°)

38390°830°

3√8 30° → mòdul:2;

30°k 360° Arguments:—————— 3

Arrels:210°;2130°;2250°.

24.Utilitza el mètode més senzill per calcular (1 i)10. Per què creus que el mètode que has utilitzat és el més senzill?

Elmètodeméssenzilléspassarelnombrecomplexalaformapolar:

1i√2 225°

(√ 2225°)10√ 210

2250°3290°32i

25.Representa gràficament les arrels quartes de 16.

Lesarrelsquartesde16s’hanobtingutenl’exercici22.Elsseusafixossónelspunts(2,0);(0,2);(2,0)i(0,2).



Avaluació

1. Digues quins dels nombres següents són naturals, enters, racionals, reals o complexos: 2 72; 25; 0; —; 0,37; √ 2; √ 25; 3√ 81; 9i; 2— 3 5

Naturals: 2 ;Enters:–5;0;Racionals:2 7

, ;0,373 5

−;2 7

, ;0,373 5

− ;2 7

, ;0,373 5

− ;

Reals: 33, 81;33, 81;Complexos: 5,9i−

2. Resol les equacions següents en el conjunt del nombres complexos:

a)x2 25 0

x2250 →x2 225→x √ 225 5i

b)9x2 1 0

1 1 1 9x210 →x22—→x √

2—— —i

9 9 3

c)x2 x 1 0

21 √ 12 4 21 √ 3ix2x1 0→x ——————————— 2 2

1 √32 ————i 2 2

1 √32 ——2——i 2 2

d)x2 2 4x 5 0

4 √ 162 20 4 2ix224x5 0→x —————————— 2 2

2 i

22 i

3. Expressa els nombres z1 21 i i z2 1 2 √ 3i en forma polar i calcula z1

5 : z2.

z1 21 i √ 2135º;z2 12 √ 3 2300º

(z1)5 √ 2135º

5 √ 25675º 4√ 2315º

(z1)5:z2 4√ 2315º:2300º 2√ 215º

4. Donats els nombres complexos z1 1 22i ; z2 24 6i , calcula’n:

a) la suma

(1–2i)+(–4+6i)=–3+4i

b) la resta

(1–2i)–(–4+6i)=(1–2i)+(4–6i)=5–8i

c) la multiplicació

(1–2i)·(–4+6i)=–4+6i+8i+12=8+14i

d) el quocient z1 : z2

1 2 1 2 4 6 4 6 8 12 16 2 16 2 4 14 6 4 6 4 6 16 36 52 52 52 13 26

i i i i i ii i

i i i− − − − − − + − − + − −= ⋅ = = = + = +

− + − + − − +

1 2 1 2 4 6 4 6 8 12 16 2 16 2 4 14 6 4 6 4 6 16 36 52 52 52 13 26

i i i i i ii i

i i i− − − − − − + − − + − −= ⋅ = = = + = +

− + − + − − +



jUnitat3.Trigonometria

Activitats 1.Dibuixa una circumferència de 2 cm de radi, uns eixos de

coordenades amb origen en el centre de la circumferència, la bisectriu del primer i del tercer quadrants i la bisectriu del segon i del quart quadrants.

Un cop hagis dibuixat aquesta circumferència, respon el següent:

a) Indica la mesura de cadascun dels quatre angles que determinen aquestes bisectrius a partir de l’origen d’angles, el semieix positiu OX.

Elsanglesquedeterminenaquestesbisectriussón:

45°,135°,225°i315°

b) Pren les mesures necessàries per calcular les raons trigonomètriques de cadascun d’aquests angles. Compara els resultats que obtinguis amb els que et dóna la calculadora.

Calmesurarl’ordenadail’abscissadecadascundels4puntsqueen lacircumferènciadeterminenels4angles. Iaplicarlesdefinicionsdelestresraonstrigonomètriquesperacadaangletotconsiderantlalongituddelradidelacircumferènciatraçada.

2.Dibuixa un angle de 135°. Quin és el signe de cadascuna de les tres raons trigonomètriques d’aquest angle?

sin135°0;cos135°0;

tg135°0

3.Si tg 1,5, en quin quadrant pot estar l’angle ? Justifica’n la resposta.

Latangentd’unangleésnegativaenelsegonienelquartqua-drants,jaqueenaquestsquadrantselsinusielcosinustenensignesdiferents.

4.Explica per què la tangent d’un angle pot ser un nombre més gran que 1.

sin Comquesabemquetg———,semprequesincos,

esverifica:tg 1. cos

5.En una circumferència trigonomètrica dibuixa tots els angles tals que sin 0,5.

Hihadosanglesquetenensin 0,5.Sónelsangles:30°i150°.

6. Esbrina quin és el signe de cadascuna de les raons trigonomètriques dels angles:

45°, 230°, 315°, 720° i 1 000°

45° 230° 315° 720° 1 000°

Sinus 0

Cosinus

Tangent 0

Calesbrinarenquinquadrantestrobacadaangleiobtenir:

1 000°2 360°280°

7.Relaciona les raons trigonomètriques de l’angle de 210° amb les d’un angle del primer quadrant.

Relacionem210°amb30°,jaque210°180°30°:

sin210° sin30°;cos210° cos30°;

tg210°tg30°

8.Considera un angle de 850°. Redueixlo a un angle més petit de 360° i relaciona’n les raons trigonomètriques amb les d’un angle del primer quadrant.

L’equivalent a 850° en la circumferència unitat és 130°, jaque:

850°2 360°130°


33MATEMÀTIQUES 1 LA

Enelprimerquadrant,elrelacionemamb50°180°130°:

sin130°sin50°;cos130° cos50°;

tg130° tg50°

9.Un angle tal que 0° 360° verifica:

sin sin 30° i cos cos 30°

a) A quin quadrant pertany l’angle ?

Lescondicionsdel’enunciatindiquenquel’angleésdelter-cerquadrant.

b) Quant mesura ?

Lasevamesuraés:

180°30°210°

410.Sabent que cos — i 90° 180°, calcula sin

5 i tg . Quany mesura ? Utilitza la calculadora per compro

var que els resultats que has obtingut són, efectivament, correctes.

Ensindiquenquel’angleésdelsegonquadrant.Hiapliquemlesfórmules:

sin2 cos2 1→

4 3→sin2 —

2

1→sin — 5 5

sin 3 4 3tg —————:— —

cos 5 5 4

Ambl’ajutdelacalculadoratrobeml’angle:143,13°

11.Determina tots els angles compresos entre 0° i 360° la tangent dels quals sigui igual a 1.

Elsanglestalsquetg 1,verifiquensin cos.Enelprimerquadrant, 45°,ieneltercer, 225°.

12.Utilitza les relacions entre les raons trigonomètriques per determinar els angles positius més petits de 360° el sinus dels

1 quals sigui igual a —. 2 1 sin —.L’angleésdeltercerquadrantodel4tqua-

2 drant.Lessevesraonstrigonomètriquesesrelacionenambles

1 del’angle30°,jaquesin30°—. 2

Elsanglessón:

180°30°210°i360°30°330° 1

sin210°sin330° — 2

13.Si sin 0,6 i 90° 180°, calcula: sin (180° ), cos , tg , cos (180° ) i .

L’angleésdelsegonquadrant:

sin(180°)sin 0,6

cos2 1sin2 10,620,64 →→ cos 0,8

0,6tg ——— 0,75

0,8

cos(180° ) cos 0,8

Fentlainversadelsinus0,6amblacalculadoraobtenim:36,87°,peròsabemqueésdelsegonquadrant;pertant,

180°36,87°143,13°

14.a) Dedueix una expressió que et permeti calcular cos 3 en funció de cos i sin .

cos3cos(2 )

coscos2 sinsin2

Substituïmelsdobles:

cos3 cos(cos2sin2)

sin2sincos

cos33 sin2cos

b) Expressa sin 4 en funció de cos i sin .

sin4 sin2 2 2sin2 cos2

2 2 sincos·(cos2sin2)

sin4 4sincos34sin3cos

15.Sabent que cos 0,8, amb que verifica 0° 90° i sin 0,6, amb 90° 180°, calcula:

a) sin ( )

sin( )sin ·cos cos

Calcalcularprèviamentsinicos:

sin √10,82 0,6;comqueésdelprimerqua-drant,éssin 0,6.

cos √10,62 0,8;comqueésdelsegonqua-drant,cos 0,8.

Sisubstituïm:

sin( )0,6 (0,8)0,8 0,60

b) cos ( )

cos( )coscos sinsin 0,8 (0,8)0,6 0,6 1

c) sin ( )

sin( )sin cos cos sin 0,6 0,8(0,8 ) 0,6 0,96



d ) cos ( )

cos( )coscos sinsin (0,8 0,8) 0,6 0,6 0,28

e) sin 2

sin2 2sincos 2 0,6 0,8 0,96

f ) cos 2

cos2 cos2 sin2(0,8)2 0,620,28

116.Utilitza sin 30° — per calcular les raons trigonomètriques

2 de 15°. No utilitzis la calculadora i expressa els resultats en

forma exacta. Calcula prèviament cos 30°.

1 3 √3cos30°√

1—

2

√

——— 2 4 2

30° 1cos30°sin15°sin—— √

———––——

2 2

√3 1—— 2 √

2√3

√

————————— 2 2

30° 1cos30°cos15°cos——√

——————

2 2

√

2√3—————

2

sin15° 2√3tg15°————√

—————

cos15° 2√3

17.Sense utilitzar la calculadora, determina les raons trigonomètriques dels angles de 75° i 15° a partir de les raons trigonomètriques dels angles de 45° i 30°. Recorda que:

√2 cos 45° sin 45° —— 2 1 √3 sin 30° — cos 30° —— 2 2

sin75°sin(45°30°)

sin45°cos30°cos45°sin30°

√2 √3 √2 1sin75°—— —————

2 2 2 2

√6 √2————

4

cos75°cos(45°30°)

cos45°cos30°sin45°sin30°

√2 √3 √2 1cos75°—— —————

2 2 2 2

√6 √2————

4

sin75° √6 √2tg75°—————————

cos75° √6 √2

18.Si tg 2 i tg 3, calcula tg ( ), tg ( ), tg 2 i tg 2 .

tgtg 23 tg( )—————————— 1 1tg tg 12 3

tgtg 23 1 tg( )—————————— —— 1tg tg 12 3 7

2tg 2 2 4 4 tg2 —————————— — 1tg2 122 3 3

2tg 2 3 6 3 tg2 —————————— — 1tg2 132 8 4

19. Demostra que sin 90° 1 utilitzant l’expressió que obtinguis de sin 3 a partir de sin i cos i substituint després per 30°.

sin90°sin(3 30°)

sin3 sin(2 )

sincos2 cossin2

sin(cos2 sin2)

cos 2 sin cos sin3 3 sin cos2

1 1 √3sin90° —

3

3———2

2 2 2

1 9 ——1

8 8

320.Sabent que sin — i 0° 90°, troba: 5

sin —, cos — i tg —

2 2 2

L’angleéseldelprimerquadranti—també.Pertant,les

2 tresraonstrigonomètriquessónpositives:

3 3 4sin —;cos √

1—2

— 5 5 5



4 1— 1cos 5

sin—√

—————√

———— 2 2 2

1√

——

10 4 1— 1cos 5

cos—√

—————√

———— 2 2 2

9√

——

10

1 1tg — √

——

2 9 3

21.Transforma en producte:

a) 1 sin

Esverifica:1sin90°i1cos0°.Sihiapliquemlesfórmules:

1sin sin90°sin

90° 90° 2cos———— sin————

2 2

b) 1 cos

1cos cos0°cos

0 0 2cos———cos———2cos2—

2 2 2

c) 1 sin

1sin sin90°sin

90° 90° 2sin————cos————

2 2

22.Expressa en forma de producte:

a) sin 105° sin 15°

sin105° sin15°

105°15° 105° 15°2sin—————cos—————

2 2

2sin60°cos45°

b) sin 105° sin 15°

sin105° sin15°

105°15° 105° 15°2cos—————sin—————

2 2

2cos60°sin45°

23.Considera dos angles i tals que sin sin . Comprova que es verifica la igualtat:

tg ——— sin sin 2

——————— ————— sin sin tg ——— 2

Desenvolupemlasegonapartdelaigualtat:

2sin———cos——— sin sin 2 2

——————————————————––––– sin sin 2cos———sin——— 2 2

sin——— cos——— 2 2

—————— —————— cos——— sin——— 2 2

Lasegonafraccióéslainversadetg———. 2 Pertant,esverifica: tg——— sin sin 2

———————————— sin sin tg——— 2

24.Si coneixem els tres angles d’un triangle, està determinat? Per què? Com són entre ells els diferents triangles que pots dibuixar amb aquestes dades?

Siesconeixenelstresanglesd’untriangle,aquestnoésúnic.Espodendibuixarmoltstrianglestotssemblantsentreells.

25.Un dels costats d’un triangle és a i els altres dos són 2 a i 3 a. Està determinat el triangle? Intenta dibuixarlo.

3a2aa.Lalongituddelcostatmésgranésigualalasumadelsaltresdos.Perpoderdeterminareltrianglecalqueaquestalongitudsiguiméspetita.

26.Dibuixa dos segments de longituds 3 i 5 cm i un angle de 60°. Construeix tots els triangles possibles en cadascuna d’aquestes situacions:

a) Quan l’angle és el que determinen els dos costats.



b) Quan no ho és. Raona cada construcció.

27.Resol el triangle en què coneixem a 4 cm, c 8 cm i B 75°.

Hiapliquemlafórmuladelteoremadelcosinus:

b2a2c22 accosB

b242822 4 8 cos60° →b6,93cm

Percalcularunangledeltrianglecalaïllarelcosinusenlafór-mula:

b2c2a2 6,9328242

cosA—————————————— 2 b c 2 6,93 8

0,867 → A30°

B180°60°30°90°(aproximacionsalescentèsimes).

28.Els costats d’un triangle mesuren a 24 cm, b 30 cm i c 45 cm. Està determinat el triangle? En cas afirmatiu, calcula’n els tres angles.

Eltriangleestàdeterminat,jaque:

452430

Percalcularelsanglesdeltriangle,hiapliquemduesvegadeslafórmulaanterior:

b2c2a2 302452242

cosA—————————————— 2 b c 2 30 45

0,87 → A29,54°

c2a2b2 452242302

cosB—————————————— 2 c a 2 45 24

0,79 → B38,05°

C180°(29,54°38,05°)112,41°

29.Realitzant el mínim nombre de càlculs possible, classifica aquests triangles segons els seus angles:

a) a 8 cm, b 7 cm i c 6 cm

827262 → Eltriangleésacutangle.

b) a 5 cm, b 13 cm i c 12 cm

13252122 → Eltriangleésrectangle.

Calcompararelquadratdelcostatmésllargamblasumadelsquadratsdelsaltresdos.

c) a 20 cm, b 10 cm i c 6 cm

Noformentriangle,jaque20106.

30.Construeix un triangle en què B 56°, C 80° i b 12 cm. Resol aquest triangle calculantne les mesures dels altres elements.

ElselementsquehifaltensónA180°(56°80°)44°ielscostatsaicquesurtend’aplicar-hielteoremadelsinus:

a b c——— —————— →

sinA sinB sinC

a 12 c→ ————————————

sin44° sin56° sin80°

12 sin44°a—————10,05cm

sin56°

12 sin80°c—————14,25cm

sin56°

31.Utilitza el teorema del sinus per resoldre un triangle en què a 5 cm, b 8 cm i A 35,5°. Pots resoldre’l mitjantçant el teorema del cosinus?

5 8 c—————————— →

sin35,5° sinB sinC

8 sin35,5°→ sinB—————0,93 → B68,3°

5

L’angleC180°(35,5°68,30°)76,2°

5 c———————— →

sin35,5° sin76,2°

5 sin76,2°→ c—————— 8,36cm

sin35,5°

S’hipotaplicartambéelteoremadelcosinus,peròelscàlculssónmésllargs.

32.Un dels angles aguts d’un triangle rectangle mesura 35° i un dels catets, 6 cm. Utilitza el teorema del sinus per resoldre aquest triangle i comprova que obtens els mateixos resultats que amb el procediment que coneixes de l’etapa anterior.

A90°,b6cm,B35°,C55°

a 6 c————————————




Comquesin90°1,aleshores: 6

a————10,46cm sin35°

casin55°10,46 0,828,58cm

Sónlesmateixesexpressionsquelesdelstrianglesrectangles.

33.Resol el triangle en què a 24 cm, b 15 cm i A 125°. Calcula’n l’àrea.

24 15 15 sin125°—————— → sinB——————

sin125° sinB 24

0,51 → B30,8°

C180°(125°30,8°)24,2°

24 c—————————— →

sin125° sin24,2°

24 sin24,2°→ c———————12cm

sin125°

Peral’àrea:

1S—b csinA

2

1— 15 12sin125°73,8cm2

2

34. Dos motoristes surten d’un encreuament de dues carreteres sense corbes i que formen un angle de 55°. Els motoristes es desplacen amb velocitats constants de 90 i 120 km/h, respectivament. Quina distància els separarà després de tres minuts?

Calcalcularlesdistànciesrecorregudespercadamotoristaen3minuts.Aquestesdistànciessóndoscostatsd’untriangleenelquall’anglecomprèsésde55°C.

km 1ha90————— 3min4,5km

h 60min

km 1hb120————— 3min6km

h 60min

c2a2b22 a bcosC

4,5262 2 4,5 6cos55°

c5,03km

35.Una sequoia de Califòrnia es veu des d’un cert punt sota un angle de 36° i, si ens hi acostem 35 m, es veu sota un angle de 44°. Calcula l’alçària de l’arbre.

a 35——————— → a147,82m

sin36° sin8°

h—sin44° →

a

→ hasin44°102,68m

Lasequoiafa102,68m.

36.Calcula l’àrea d’un polígon regular de 15 costats si cada costat mesura 2 cm.

Descomposem el polígon en 15 triangles isòsceles iguals. En 360°

cadatriangle,l’angledesigualfa———24°,icadascundels 180°24° 15

altresdosfa——————78°. 2

2 b———————— →

sin24° sin78°

→ b4,8cm

2 4,8 sin78°A———————4,7cm2

2

Àreadelpolígon:15 4,770,5cm2

37.Les diagonals d’un paral.lelogram mesuren 16 cm i 12 cm respectivament. Un dels angles que determinen és de 40°. Calcula la longitud dels costats del paral.lelogram i el seu perímetre. Recorda que les diagonals dels paral.lelograms es tallen en el seu punt mitjà.

a282622 8 6cos40°

b282622 8 6cos140°

a5,14cm

b13,17cm

P=2a+2b=36,62cm



Activitatsfinals 1.Un angle agut és tal que tg 3. Representa’l a la cir

cumferència unitat i troba sin i cos sense utilitzar la calculadora.

sintg 3——— → sin 3cos

cos

sin2cos21 →

→ (3cos)2cos21

9cos2cos21 → 1

→ 10cos21 → cos—— √10

1 3sin3 ——————

√10 √10

2.Representa tots els angles positius més petits de 360° tals que sin 0,5.

Esrepresentay 0,5enelgràficdelacircumferènciaunitat.

3.Si 90° 180° i cos 0,8, calcula: sin , tg , cos (), sin () i tg ().

L’angleésdelsegonquadrant:sin 0itg 0.

cos 0,8 → sin2 1cos2

1 (0,8)20,36 → sin 0,6

0,6tg ——— 0,75

0,8

cos()cos 0,8

sin() sin 0,6

tg() tg 0,75

4.Quins angles del segon, tercer i quart quadrant tenen les raons trigonomètriques relacionades amb les de l’angle 35°? Escriu totes les relacions possibles entre les raons trigonomètriques de cadascun d’aquests angles i les de 35°.

Segonquadrant:180°35°145°

sin145°sin35°;cos145° cos35°;

tg145° tg35°

Tercerquadrant:180°35°215°

sin215° sin35°;cos215° cos35°;

tg215°tg35°

Quartquadrant:360°35°325°

sin325° sin35°;cos325°cos35°;

tg325° tg35°

5.Calcula les raons trigonomètriques de l’angle de 15° en funció de les de l’angle de 30°. Després, comprova amb la calculadora que els resultats que has obtingut són correctes.

30°15°——

2

Utilitzemlesfórmulesdel’angleunitat:

1cos30°sin15°√

——————0,259

2

1cos30°cos15°√

——————0,966

2

0,259 tg15°——— 0,268. Cal fer-ne la comprovació amb la

0,966 calculadora.

6.Considera un angle del tercer quadrant tal que tg 2.

Indica a quin quadrant es troben els angles 2 i —. Calcula 2

cos , sin 2 i cos —. 2

tg 2ideltercerquadrantindicaque225°270°,jaquetg225°1.N’hihaprouambferoperacionsenlade-sigualtat:

450°2 540°.Sirestem360°:

90°2 180° → segonquadrant

112,5°—135° → —ésdelsegonquadrant. 2 2



sin tg 2——— → sin 2cosi

cos sin2 cos2 1 → (2cos)2cos2 1 1 2 5cos2 1→ cos ——;sin ——→ √5 √5 → ésdeltercerquadrant.

2 1 4 sin2 2sincos 2 —— —— —— √5 √5

5

1coscos— √

————— 0,53

2 2

7.Demostra que sin 40° sin 20° cos 10°, aplicant la corresponent fórmula de transformació de suma en producte.

Hiapliquem: AB AB

sinAsinB2sin———cos——— 2 2

sin40°sin20°2sin30°cos10° 1

2 —cos10°cos10° 2

8.Demostra que la constant de proporcionalitat del teorema del sinus és 2 R, essent R el radi de la circumferència circumscrita al triangle. Per ferho, inscriu el triangle en una circumferència i compara’n els angles inscrits amb els d’un triangle en què un costat sigui un diàmetre de la circumferència.

EltriangleABCésrectangleperquèABésundiàmetre.

A

Aperquècomprènelmateixarc.

a asin

A sin

A— → ———d2 R d sin

A

9.Mirant des d’un cert punt, veiem el terrat d’un gratacels sota un angle de 60°. Amb quin angle el veuríem des d’una distància doble de l’anterior?

h Sihésl’alturaidladistància:tg60°— d h h

d———itg —— → tg60° 2 d h h h

→ 2 d—— → 2————— tg tg60° tg

2tg tg60° →

tg60°→ tg ——— → 40,89°

2

10.A un fuster li han encarregat un tauler triangular. Dos dels costats d’aquest triangle han de mesurar 1 m i 1,75 m i l’angle oposat al primer costat, 30°. Té dades suficients el fuster per fer el tauler? Raona la resposta.

Amblesdadesdelproblemanoespotferunúnictauler,talcomespotcomprovarenlafigura.

11.El radar d’un vaixell detecta un objecte en direcció est a 8 km de distància i un altre objecte en direcció nordest a 6 km. Quina distància separa els dos objectes?

Lesduesdireccionsformenunanglede45°.Calcalcularelcos-tatd’untriangleoposatal’anglede45°.Sabemqueelsaltresdossón8kmi6km.

a282622 8 6cos45° → a5,67km

12.Per fixar un pal a terra se’l subjecta mitjançant dos cables per dos punts separats 20 m. Els cables formen amb el terra angles de 75° i 60°. Determina l’altura del pal.

a 20—————— → a27,32m

sin75° sin45°

hsin60°— →

a

→ ha sin60°23,66m

L’alturadelpalés:23,66m.

13.Un jugador de golf colpeja la pilota des de la posició de sortida per tal d’introduirla al forat, que es troba a 350 m. El cop no ha estat gaire precís i la pilota, que s’ha desviat 20° de la direcció correcta, només ha assolit una distància de 180 m. A quina distància del forat s’ha aturat la pilota?

d 2180235022 180 350cos20°

d191,05m



14.Construeix un triangle de costats 10, 35 i 39 cm. Quant mesuren els seus angles?

Considerem:

a10cm,b35cmic39cm.

1023523922 35 39cosA →→ A14,25°

Podemrepetirelteoremadelcosinusoaplicareldelsinuspertrobarl’angleB:

35 10———————— → B59,49°

sinB sin14,25°

C180°(14,25°59,49°)106,26°

15.Dues persones, separades una distància de 5 km, observen alhora un avió sota angles de 80° i 65° respectivament. Suposant que les persones i l’avió es troben en el mateix pla vertical, calcula l’altura a què vola l’avió.

Lafiguraseriacomladel’exercici12.Eltercerangleés35°:

a 5———————— → a8,58km

sin80° sin35°

hsin65°— →

a

→ ha sin65°7,78km

16.Dibuixa el triangle ABC en què a 12 cm, b 15 cm i A 48°. Resol aquest triangle.

a b c————————— →

sinA sinB sinC

12 15 15 sin48° → —————— → sinB————— sin48° sinB 12

B68,27°

C180°(68,27°48°)63,73°

12 c————————— →

sin48° sin63,73°

12 sin63,73°→ c———————14,48cm

sin48°

17.Construeix el triangle ABC tal que B 40°, C 63° i a 12 cm. Resol el triangle i calcula’n l’àrea.

A180°(40°63°)77°

12 b c————————— →


12 sin40°→ b—————7,92cm

sin77°

12 sin63° c—————10,97cm sin77°

18.Explica el procediment que seguiries per calcular la longitud d’un pont que cal construir per salvar un barranc.

DesdelspuntsBiCqualssevoldelafiguraesmesurenelsangles

Bi

C.Apartirdelalongitudaespotmesurarl’ampladaquecalquetinguielpontuncopresolteltriangledelafigura.

19.Una parcel.la de 6 ha té forma de trapezi rectangle. Un dels costats paral.lels del trapezi mesura 500 m i l’angle adjacent, 60°. Calcula quants metres de tanca es necessiten per cercar la parcel.la.

Amblesincògnitesdelafiguraespodenplantejarlesequacionssegüents:

Àrea:6ha60 000m2 →

(500z)y→ ——————60 000

2 y —sin60°0,87 k

500z 1 6 ————cos60°— k 2



Enresoldreelsistemas’obté:

k149,78m

y129,71m

z425,11m

Calcalcularelperímetrepertenirelsmetresdetanca:

Pkyz5001204,6m

20.Es vol construir un túnel que travessi una muntanya en línia recta. Per tal de determinarne la longitud, es considera un punt A d’una de les boques del túnel i un al tre punt B de l’altra boca, i es mesura la distància de cadascun d’aquests punts a un altre punt O. S’obtenen 315 m i 375 m, respectivament. Si les direccions OA i OB formen un angle de 46° 54, quina és la longitud del túnel?

L’ampladadeltúneléselcostatoposatal’angle46°54ileslongitudsdonadescorresponenalsaltresdoscostats:

a2315237522 315 375cos46°54

a280,05m

21.Una torre de telecomunicacions es troba situada a la part més alta d’una muntanya. Situats en una plataforma, l’extrem de l’antena es veu sota un angle de 60°. Si ens apropem 13 m, l’extrem de l’antena es veu sota un angle de 68° i, des d’aquest mateix punt, es veu la base de la torre sota un angle de 57°. Amb aquestes dades, calcula l’alçada de la torre.

13 a—————— → a80,89m

sin8° sin60°

h 80,89———————→ h28,34m

sin11° sin147°

L’alturadelatorreésde28,34m.

Avaluació

1. La hipotenusa d’un triangle rectangle és el triple que un catet. Busqueu el valor dels angles d’aquest triangle i la relació entre la hipotenusa i l’altre catet.

Angles:

A90º(anglerecte).

B(angleagutentreelscostats3xix):

cos

B$ $1cos 70,53º

3 3x

B Bx

= = → =

B70,53º

C90º

B90º 70,53º 19,47º

Càlculdelcatetc:ApliquemelteoremadePitàgores:

( )22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 9

9 8 8 2 2

a b c x x c x x c

c x x x c x x

= + → = + → = +

= − = → = =

Relacióentrelahipotenusail’altrecatet:

3 3 3 2 3 242 2 2 2 2 2 2

h xc x

= = = ⋅ =

2. Els costats d’un triangle són de longituds 8 cm, 11 cm i 13 cm. Calculeu el valor del sinus de l’angle més petit.

Anomenem:a=8cm,b=11cm,c=13cm

Apliquemelteoremadelcosinuspertrobarl’angle

A:

a2b2c22bc·cos

A

821121322·11·13·cos

A

64290 286·cos

A

290 64 226cos

A ————————— 0,79020979→

A 37,8º 286 286

Trobeml’angle

Bambelteoremadelsinus:

a b—————— sin

A sin

B

8 11 11·sin37,8º————————→ sin

B —————— sin37,8º sin

B 8

11·0,612907 6,74197759 —————— —————— 0,842747198→

B 57,4º 8 8

Deduïmquel’angleméspetitésl’

Aillavorssin

A 0,612907

1 3. D’un angle del primer quadrant coneixeu que sin — . 3

Calculeu el valor exacte de:

a) tg

Apliquemlaigualtatfonamentaldelatrigonometria:2 2

2 2 2 21 1sin cos 1 cos 1 cos 1

3 3 α + α = → + α = → α = −

2 1 8 8 8 2 2cos 1 cos ( )

9 9 9 3 3primer quadrantα = − = → α = + = + = +

2 1 8 8 8 2 2cos 1 cos ( )

9 9 9 3 3primer quadrantα = − = → α = + = + = +

(primerquadrant)

tg

1sin 1 1 2 23cos 42 2 2 2 2 2 2

3

tgαα = = = = ⋅ =α



b) sin (2 a)

Apliquemlafórmulad’addiciódel’angledoble:

1 2 2 4 2sin(2 ) 2sin cos 2

3 3 9α = α ⋅ α = ⋅ ⋅ =

4. D’un triangle sabem que la suma de les longituds de dos costats a i b és d’11 m, que l’angle C oposat al tercer costat val 30º i que l’area és de 7 m2. Calculeu

a) La longitud de cada un dels costats del triangle.

Tenimqueab11.Sidesignemperhl’alturasobreelcostataescompleix:

11sin30º

2 2b a

h b−= ⋅ = =

de forma que la condició sobre l’àrea del triangle, que esposaràinicialmentcom

72

a h⋅ =

dónafinalment

2 11 28 0a a− + =

quetécomasolucionsa7ib4.Totesduessolucionssónequivalents,intercanviantelspapersdeaib,deformaquetriarema7ib4.

Eltercercostatcespotobteniraplicantelteoremadelco-sinus:

2 2 2 2 cos30º 65 28 3 4,062336443mc a b a b c= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = − �

4,0623364432 2 2 2 cos30º 65 28 3 4,062336443mc a b a b c= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = − �

b) Els angles del triangle.

Siesdesignaper α l’angleentreelscostatsbicelteoremadelcosinustambédóna:

2 2 2

cos 0,50763344122

b c ab c

+ −α = −⋅ ⋅

�, 0,5076334412,

de forma que 120,51º L’angle que resta serà

180º30º 29,49º

jUnitat4.Vectorsenelpla

Activitats 1. Compara els sentits dels parells de vectors (fig. 4.2) se

güents:

→p i

→q

→q i

→r

→q i

→s

→pi

→qsentitcontrari;

→qi

→rsentitcontrari;

→qi

→smateixsentit.

2. Dibuixa dos vectors que tinguin el mateix mòdul, la mateixa direcció i els sentits contraris.

3. Dibuixa dos vectors que tinguin diferent mòdul i diferent direcció. Pots compararne els sentits?

No,perquèelssentitsdedosvectorsnoméssóncomparablessitenenlamateixadirecció.

4.Determina els components cartesians i el mòdul de cadascun dels vectors següents. En cada cas fesne la representació gràfica.

a) AB→

amb A (2, 4) i B (6, 10)

AB→

(6(2),104)(8,6)

AB→

√8262 10

b) CD→

amb C (6, 2) i D (3, 2)

CD→

(36,22)(3,4)

CD→

√(3)2(4)2 5

c) EF→

amb E (0, 0) i F (1, 3)

EF→

(1,3)

EF→

√(1)2(3)2 √10

d) GH→

amb G (1, 2) i H (4, 9)

GH→

(4(1),9(2))(3,7)

GH→

√(3)2(7)2 √58

5.Es pot definir el vector nul com aquell que té l’origen i l’extrem en el mateix punt. Quins són els components cartesians i el mòdul del vector nul?

Elscomponentscartesiansdelvectornulsón(0,0)ielmòdulés0.



6.Sabent que RS→

(4, 7) i R (6, 2), determina les coordenades del punt S analíticament i gràficament.

AnomenemS(x,y)

RS→

(4,7),ambR(6,2)

(4,7)(x6,y2) →

4x6 → x10 → → 7y2 → y5

→ S(10,5)

7. Donats els punts P (5, 2) i Q (8, 2), troba els components

cartesians i el mòdul dels vectors PQ→

i QP→

. Representa’ls gràficament i compara’n el mòdul, la direcció i el sentit.

PQ→

(85,2(2))(3,4)

PQ→

√ 32425

QP→

(58,22)(3,4)

QP→

√(3)2(4)25

ElsvectorsPQ→

iQP→

tenenelmateixmòdul,lamateixadireccióisentitscontraris.

8.Les coordenades de l’extrem del vector AB→

(5, 3) són (1, 4). Determina’n les coordenades de l’origen. Fes la resolució gràfica i l’analítica.

AnomenemA(x,y)

(5,3)(1x,4y) 51x → x4

34y → y7

A(4,7)

9.Representa gràficament els vectors:

a) MN→

(5, 3) amb M (1, 2)

AnomenemN(x,y)

(5,3)(x1,y2)

x4;y5

N(4,5)

b) PQ→

(1, 4) amb Q (2, 5)

AnomenemP(x,y)

(1,4)(2x,5y)

x3;y9

P(3,9)

c) RS→

(2, 3) amb R (1, 4)

AnomenemS(x,y)

(2,3)(x1,y4)

x1;y7

S(1,7)



10.Si F→

40 N, troba els components cartesians d’aquesta força (fig. 4.13).

√2FxF

→

cos45°40——20√2 2

√2FyF

→

sin45°40——20√2 2

6F→

(20√2 ,20√2 )N

11.Expressa en forma polar el vector posició de cadascun dels punts següents:

a) (1, 1)

Mòdul:√2

Argument:tg1 → 315°6√2315°

b) (1, 1)

Mòdul:√2

Argument:tg1 → 135°6√2135°

c) (1, √3 )

Mòdul:2

Argument:tg√3 → 240°62240°

d) (√2, √2 )

Mòdul:2

Argument:tg1 → 45°6245°

e) (5, 12)

Mòdul:13 12 Argument:tg—— → 67,38°6 5

1367,38°

f) (8, 6)

Mòdul:10

3 Argument:tg— → 143,13°6 4

10143,13°

12.Calcula les coordenades cartesianes dels punts M,N,Ri S els vectors posició dels quals són, respectivament:

→m 645°

→n 4150°

→r 2240°

→s 10300°

√2mx

→mcos45°6——3√2

2

√2my

→msin45°6——3√2

2 6

M(3√2,3√2)

√3nx

→ncos150°4——2√3

2

1ny

→nsin150°4—2

26

N(2√3,2)



1rx

→rcos240°2—1

2

√3ry

→rsin240°2——√3

26

R(1,√3)

1sx

→scos300°10—5

2

√3sy

→ssin300°10——5√3

2 6S(5,5√3)

13.El vector →r té l’origen en el punt (0, 1) i l’extrem en el punt

(2, 3). El vector →t, equipolent a l’anterior, té l’origen en el

punt (2, 4). Troba’n les coordenades de l’extrem.→r(20,31)(2,4)

Representem per (x, y) les coordenades de l’extrem del vector

→t:

→t (x2,y4)

Comque→ri

→tsónequipolents,esverifica:

(2,4)(x2,y4) → x4,y8

L’extremdelvector→téselpunt(4,8).

14.Dibuixa els vectors →r i

→t de l’exercici anterior i uneixne,

mitjançant segments, els punts origen i els punts extrem. Quina figura obtens?

S’obtéunparal.lelogram.

15.Considera els punts A (3, 2), B (5, 4), C (1, 5) i D (x, y). Calcula les coordenades del punt D sabent que els vectors

AB→

i CD→

són equipol·lents.

AB→

(53,42)(2,6)

CD→

(x1,y5) 6

(2,6)(x1,y5) → x3,y1

D(3,1)

LescoordenadesdelpuntDsónD(3,1).

16.Els punts A, B i C de la figura 4.15 són tres vèrtexs consecutius d’un paral.lelogram. Troba les coordenades del quart vèrtex D.

AnomenemD(x,y).

A(2,3); B(2,6); C(4,4)

Escompleixque:

AB→

DC→

→ (4,3)(4x,4y) →→ x0,y1

Elquartvèrtexdelparal.lelogramsesituaenelpuntD(0,1).

17.Donats els vectors:→a (2, 4),

→b (5, 7) i

→c (7, 1)

comprova que es verifica:

a) →a

→b

→b

→a

b) →a (

→b

→c) (

→a

→b)

→c

c) 2(→a

→b) 2

→a 2

→b

d) (3 4)→c 3

→c 4

→c

e) →a

→b (

→b

→a)

1 f) —(4

→a) 2

→a

2

Elsresultatsques’obtenenenelsdosmembresdecadascunadelesigualtatssón:

a)(3,3); b)(4,2); c)(6,6); d)(49,7);e)(7,11);f)(4,8)

18.Determina els components dels vectors 3→v i 4

→v si

→v (3, 2). Compara el mòdul, la direcció i el sentit de cadascun dels dos vectors amb el mòdul, la direcció i el sentit del vector

→v.

3→v3(3,2)(9,6)



Mòdul:3→v3

→v

3→v Direcció:lamateixaque

→v

Sentit:elmateixque→v

4→v4(3,2)(12,8)

Mòdul:4→v4

→v

4→v Direcció:lamateixaque

→v

Sentit:l’oposata→v

19.Si →p (4, 2) i

→q (2, 3), quins són els components del

vector →s

→p

→q? Dibuixa els vectors

→p i

→q amb origen

a l’origen de coordenades i troba gràficament el vector →s.

Comprova que coincideix amb el resultat que havies obtingut. Calcula el mòdul dels vectors

→p,

→q i

→s, i comprova que es

verifica →s

→p

→q.

→s

→p

→q(4,2)(2,3)(2,5)

→p√4222 √20 2√5

→q√(2)232 √13

→s√2252 √29

6 Escompleixque:

√292√5√13

20.Donats els vectors →c (2, 7) i

→

d (5, 3), troba els components dels vectors 2

→c 3

→

d i 3→c 2

→

d.

2→c3

→d 2(2,7)3(5,3)

(4,14)(15,9) (11,5)

3→c2

→d 3(2,7)2(5,3)

(6,21) (10,6)=(–16,27)

21.S’anomenen vectors unitaris els vectors que tenen mòdul 1. Quin és el mòdul del vector

→v (3, 4)?

3 4 Comprova que el vector

→u —, — és unitari i que té la

5 5 mateixa direcció i el mateix sentit que el vector

→v. Hi ha un

altre vector unitari en la mateixa direcció que →v? Quin?

→v√32425

3 4

→u√

—

2

—2

1 5 5

Esverificaque→v5

→u.Pertant,elsvectors

→vi

→utenenlama-

teixadireccióielmateixsentit(50).

3 4 Elvector

→u—,—

→utétambélamateixadirecció

5 5 queelvector

→vitambéésunitari.

22.Raona per què el vector

1→u

→v—

→u

→v

és un vector unitari que té la mateixa direcció i el mateix sentit que el vector

→v.

1 1 Si

→u—

→v,

→u—

→v1.

→v

→v

Escompleixque→v

→v

→u,amb

→v0.Pertant,elvector

→ués

unitariitélamateixadireccióielmateixsentitqueelvector→v.

Determina els vectors unitaris en la direcció i el sentit dels vectors:

a) →a (5, 12)

→a√52(12)2 13 →

5 12→

→u——,——

13 13

b) →

b (6, 8)

→b√(6)282 10 →

3 4→

→u—,—

5 5

c) →c (2, 4)

→c√(2)2(4)2 √20 2√5 →

√5 2√5→

→u——,———

5 5

d) →d (1, √3)

→d√ 12(√3)22 →

1 √3→

→u—,——

2 2



23.Donats els vectors →a (4, 1) i

→

b (2, 3), troba’n les combinacions lineals següents:

a) 3→a 2

→b

3→a2

→

b3→a2(

→

b)

3(4,1)2(2,3)(8,9)

1 2 b) —

→a —

→

b 2 3

1 2 1 2 —

→a—

→b—(4,1)—(2,3)

2 3 2 3 10 3

——,— 3 2

c) →a 5

→b

→a 5

→b (4,1) 5(2,3) (6,16)

24.Esbrina si són linealment dependents o independents els parells de vectors següents:

a) (4, 7) i (8, 14)

4 7—— —— → linealmentindependents

8 14

b) (3, 0) i (1, 0)

(3,0) 3(1,0) → linealmentdependents

c) (5, 2) i (5, 2)

5 2—— —— → linealmentdependents

5 5

1 4 d) —, 3 i 2, — 2 3

1 — 2 3

—— —— → linealmentindependents 2 4 — 3

25.Els vectors (5, 4) i (2, a) són linealment dependents. Calcula a.

5 4 8—— — → 5a 8 → a—

2 a 5

26.Els vectors (4, 7) i (x, 14) són linealment independents. Quins valors pot tenir x?

4 7 4 1— —— → — — → x 8

x 14 x 2

xpotprendrequalsevolvalorrealdiferentde8.

27.Demostra que els vectors (1, 2), (2, 4) i (2, 1) són linealment dependents.

N’expressemunencombinaciólinealdelsaltresdos:

(2,4)k(1,2)h(2,1)

2k2h k2,h0 42kh

6 Llavorsescompleixque

(2,4)2(1,2)0(2,1)2(1,2)

ésadir,elstresvectorssónlinealmentdependents.

28.Representa gràficament els vectors de l’exercici anterior prenent per a tots ells el mateix origen.

29.Expressa el vector (2, 7) en combinació lineal dels vectors (1, 3) i (2, 1).

(2,7)k(1,3)h(2,1)

2k2h 16 1 k——, h—— 73kh6 7 7

16 1(2,7)——(1,3)——(2,1)

7 7

30.Sense fer cap càlcul, expressa els vectors →c,

→d i

→e en combi

nació lineal dels vectors →a i

→b (fig. 4.24).

→c2

→a

→d4

→a2

→b

→e2

→a2

→b



31.Quins dels parells de vectors següents són una base del pla? Justifica’n la resposta.

a) (1, 4) i (2, 8) b) (2, 0) i (1, 4)

c) (3, 2) i (1, 5) d) (1, 0) i (3, 0)

Elsdelsapartatsb)ic),jaquesónparellsdevectorslinealmentindependents.

2 0 3 2 b) —— c) ——— 1 4 1 5

32.Els components del vector →p en la base:

B{(4, 1), (5, 2)}

són (3, 1). Determina els components de →p en la base

canònica.→p3(4,1)(1)(5,2)

(12,3)(5,2)(7,5)

Elscomponentsde→penlabasecanònicasón(7,5).

33.Troba els components del vector (7, 7) en la base B{

→u1,

→u2}, on

→u1(3, 1) i

→u2 (1, 2). Comprova gràfi

cament el resultat obtingut prenent un origen comú per als tres vectors.

Expressemelvector(7,7)encombinaciólinealdelsvectorsdelabaseB:

(7,7)ku1hu2k(3,1)h(1,2)

(7,7)(3k,k)(h,2h)

(7,7)(3kh,k2h)

73kh k3;h2 7k2h6 Elscomponentsdelvector(7,7)enlabaseBsón(3,2)

(7,7)3→u12

→u2

34.Indica tots els parells de vectors de la figura 4.29 que són una base del pla. Raona la resposta.

→ai

→c;

→ai

→d;

→ai

→e;

→bi

→c;

→bi

→d;

→bi

→e;

→ci

→d;

→ci

→e;

→di

→e

Entotselscasosestractadeparellsdevectorslinealmentin-dependents(tenendiferentdirecció).

35.Donats els vectors →p (3, 4) i

→q (2, 1), calcula:

a) El seu producte escalar.→p•

→q32(4)1642

b) L’angle que formen.

→p•

→q 2 2√5

cos——————————— →

→p

→q 5√5 25

→ 79,7°

c) L’angle format pels vectors →p i

→q. Resol aquest apartat de

diferents maneres i compara’n els resultats obtinguts.

L’anglequeformenelsvectors→pi

→qéselsuplementaride

l’angle.Sielrepresentemper:

180°

180°79,70°100,3°

d) L’angle que formen els vectors →p i

→q.

L’anglequeformenelsvectors→pi

→qéselmateixqueel

queformenelsvectors→pi

→q:

79,7°

36.Donats els vectors →a (1, 2),

→b (3, 4) i

→c (2, 5),

comprova que es verifica la igualtat:→a•(

→b

→c)

→a•

→b

→a•

→c

Primermembre:→a•(

→b

→c)(1,2)•[(3,4)(2,5)]

(1,2)•(1,9)11817



Segonmembre:→a•

→b

→a•

→c

(1,2)•(3,4)(1,2)•(2,5)

51217→a•(

→b

→c)

→a•

→b

→a•

→c

37.El resultat de (→v•

→w)

→

t, és un nombre real o un vector? Per què? Fes els càlculs per a

→

v (2, 4), →

w (1, 1) i

→

t (4, 3).

Ésunvector,jaqueéselresultatdemultiplicarunnombrereal(

→v•

→w)perunvector(

→t).

(→v•

→w)

→t[(2,4)•(1,1)](4,3)

2(4,3)(8,6)

38.Donats els vectors →a (2, 1),

→b (3, 4) i el nombre real

k 3, comprova que es verifica (k→a)•

→b k(

→a•

→b).

Primermembre:

(k→a)•

→b[3(2,1)]•(3,4)

(6,3)•(3,4) 1812 6

Segonmembre:

k(→a•

→b)3[(2,1)•(3,4)]

3(2)6

39.Demostra que el triangle de vèrtexs els punts A (1, 2), B (6, 5) i C (3, 10) és rectangle en B. Quant mesuren els altres dos angles del triangle?

SiésrectangleenB,

B90°.AleshoreselsvectorsBC→

iBA→

handeserperpendiculars → BC

→•BA→

0.

BC→

(3,5);BA→

(5,3)

BC→

•BA→

15150

ComqueelscatetsBCiBAsóniguals,BC→

BA→

√ 34,eltrianglerectangleésisòscelesi,pertant,

A

C45°.

40.Troba un vector de mòdul 2 que sigui ortogonal al vector →v (4, 3). Analitza les diferents solucions que has obtingut.

Hihadosvectorsperpendicularsalvector→vquetenenelmateix

mòdulqueaquest vector:→w1 (3,4) i

→w2 (3,4). Els

vectors→w1i

→w2tenenlamateixadireccióisentitcontrari.

Comque→w1

→w25,elsvectorsqueensdemanensón:

2 2 6 8→t1—

→w1—(3,4)—,— 5 5 5 5

2 2 6 8→t2—

→w2—(3,4)—,— 5 5 5 5

Elproblematé,doncs,duessolucions.

41.Els punts A (1, 2), B (3, 5) i C (7, 4) són tres vèrtexs consecutius d’un paralel.logram. Troba les coordenades del quart vèrtex i les del punt intersecció de les diagonals. Fesne la representació gràfica.

AnomenemD(x,y)elquartvèrtexdelparal-lelogram.

AB→

DC→

→ (2,3)(7x,4y) →→ x5,y1 → D(5,1)

Lescoordenadesdelpuntintersecciódelesdiagonalsdelpa-ral.lelogram són les coordenades del puntmitjà del segmentd’extremsAiC,obé,BiD.

17 24M————,————(4,3)

2 2

42.Els punts P (3, 7) i Q (5, 13) són els extrems d’un dels diàmetres d’una circumferència. Determina’n les coordenades del centre i calcula’n el radi.

Dibuixa aquesta circumferència.

ElcentreCdelacircumferènciaéselpuntmitjàd’unqualsevoldelsseusdiàmetres.

3 5 713C————,—————(4,3)

2 2

Elradiésladistànciadelcentreaunpuntqualsevoldelacir-cumferència.

rCP→

; CP→

(1,10)

r√(1)2(10)2 √101

5

4

3

2

1

1 3 4 5 7



43.Troba les coordenades dels punts que divideixen el segment d’extrems A (12, 6) i B (0, 9) en tres parts iguals.

AB→

3AC→

,ambC(x1,y1)

(12,3)3(x112,y16)

(12,3)(3x136,3y118)

123x136 → x18

33y118 → y17

LescoordenadesdelpuntCsón(8,7).

AB→

3DB→

,ambD(x2,y2)

(12,3)3(x2,9y2) →→ (12,3)(3x2,273y2)

123x2 → x24

3273y2 → y28

LescoordenadesdelpuntDsón(4,8).

44.Els punts A (2, 5), B (3, 2) i C (1, p) estan alineats. Calcula p.

S’hadeverificarque:AB→

kBC→

:

(1,7)k(4,p2)

11k(4) → k—

4

17k(p2) → 7—(p2) →

4

→ p26

45.Determina les coordenades del baricentre del triangle de vèrtexs els punts P(3, 4), Q (2, 6) i R (4, 10).

LescoordenadesdelbaricentreGdeltrianglesón:

x1x2x3 y1y2y3G———————,——————— 3 3

5—,0 3

Activitatsfinals

1. Donats els punts A (2, 3) i B (5, q), troba q sabent que AB→

5.AB→

(3,q3) →

→ AB→

√32(q 3)2 5

32(q3)252 →

→ (q3)225 916 →

q34 → q7 → q3 √16 q34 → q1

Hihaduessolucionsperalproblema:q17iq21.

1 2. Els vectors AB

→ i BC

→ verifiquen AB

→ —BC

→. Si A (6, 2)

2 i B (0, 4), quines són les coordenades de C? AnomenemC(x,y)

1 1 AB

→—BC

→ → (6,2)—(x,y4) →

2 2

→ (12,4)(x,y4) → x12,y8

LescoordenadesdelpuntCsón(12,8).

3. Calcula els components cartesians del vector 10210°, donat en forma polar.

Representemper→vaquestvector:

vx10cos210°5√3

→v10210°

vy10sin210°5

Pertant,→v(5√3,5).

4. Sabent que F→

1 60 N i F→

2 40 N, calcula perquè el cos de la figura (fig. 4.49) es mogui en la direcció de l’eix X.

Perquèelcosesmoguienladirecciódel’eixOX,calquelasumadelscomponentssegonsl’eixOYdelesforcesF

→

1iF→

2siguiigualazero. 1

F1yF→

1sin30°60—30 2

F2y F→

2sin40sin

F1yF2y0 → 3040sin0 →

3→ sin— → 48,59°

4



5. Donats els vectors →a (5, 7),

→b (3, 6) i

→c (10, 4),

calcula:

a)→a 2

→b 3

→c

(5,7) 2(3,6)3(10,4)

(41,31)

1 b)4

→a —

→c

2 1

4(5,7) —(10,4)(15,26) 2

c)→a•

→b

(5,7)•(3,6)57

d)→b• (

→c

→a)

(3,6)•[(10,4)(5,7)]

(3,6)•(5,3)3

6. Calcula els components cartesians del vector →u que verifica

les condicions següents:

a)És unitari.

b)Té la mateixa direcció que el vector →v (6, 8), però

sentit contrari.

→v√(6)282 10

1 3 4→u——(6,8)—,— 10 5 5

7. Els vectors →v i

→w són ortogonals i tenen el mateix mòdul. Es

brina els components de →w sabent que

→v (5, 2). Quantes

solucions has trobat? Raonaho.

Si els vectors→v i

→w tenen elmateixmòdul i sónortogonals,

→v•

→w0i

→v

→w√29 .

Elproblematéduessolucions:→w1(2,5)i

→w2(2,5).

(5,2)•(wx,wy)0 5wx2wy0

√wx2wy

2 √29 6 wx2wy

2296wx2 → wy5

8. Els components del vector →a en la base B {(1, 3), (2, 1)}

són (5, 2). Quins són els components d’aquest mateix vector en la base B {(4, 1), (3, 2)}?

→a5(1,3)2(2,1)(9,13)

(9,13)k(4,1)h(3,2)

94k3h 21 61 k——; h—— 13k2h6 11 11

Elscomponentsde→aenlabaseBsón:

21 61——,—— 11 11

9. Calcula els components del vector (5, 7) en la base B {(2, 3), (1, 2)}.

(5,7)k(2,3)h(1,2)

52kh 17 1 k——;h— 73k2h6 7 7

17 1 Elscomponentsdelvector(5,7)enlabaseBsón——,—. 7 7

10. Donat el segment d’extrems els punts P (3, 5) i Q (6, 8), troba les coordenades del punt R d’aquest segment que verifica

3

→ PR ——

→ PQ.

10

Representemper(x,y)lescoordenadesdeR:

10PR→

3PQ→

→→ 10(x3,y5) 3(3,13) →

→ (10x30,10y50)(9,39) →

39 11x——;y——

10 10

39 11 LescoordenadesdeRsón——,——. 10 10

11. El baricentre d’un triangle se situa en el punt G (2, 0) i dos dels seus vèrtexs, en els punts A (3, 4) i B (6, 5). Troba les coordenades de l’altre vèrtex C del triangle.

AnomenemC(x,y)eltercervèrtex.

3(6)x2——————––– → x3

3

45y0————— → y9

3

LescoordenadesdeCsón(3,9).

12. Donat el segment que té com a extrems els punts A (3, 6) i B (6, 3), troba les coordenades del punt C, alineat amb A i B,

2 que verifiqui AC

→ —AB

→. Quants punts hi ha que verifiquen

3 aquesta condició?

Hihadospuntsqueverifiquenaquestacondició:

a)ElpuntC1situatentreAiB(C1(x1,y1))

3AC→

12AB→

→→ 3(x13,y16)2(9,9) →

→ x13,y10 → C1(3,0)



b)ElpuntC2situatalarectadeterminadapelspuntsAiBialadretadelpuntA(C2(x2,y2)).

3→

C2A 2AB

→ →

→ 3(3x2,6y2)2(9,9) →→ x29,y212 → C2(9,12)

Elspuntsqueverifiquenlescondicionsdel’enunciatdelpro-blemasónC1(3,0)iC2(9,12).

13.DeterminalamesuradecadascundelsanglesdeltriangledevèrtexselspuntsA(0,0),B(5,1)iC(4,2).

Angle

A → elméspetitdelsanglesqueformenelsvectorsAB→

iAC→

.

AB→

(5,1); AC→

(4,2)

AB→

•AC→

22cos

A———————————— → AB

→

AC→

√26 √20

→

A15,26°

Angle

B → elméspetitdelsanglesquefor-menelsvectorsBC→

iBA→

.BC→

(1,1); BA→

(5,1)

BC→

•BA→

4cos

B——————————→

B56,31° BC

→

BA→

√2 √26

Angle

C →

C180°(

A

B)108,43°

14.Dues rectes perpendiculars r i s es tallen en el punt P(2,3).SabentqueelpuntQ(3,5)pertanyalarectar,calculatperquèlarectaspassipelpuntR(t,1).

ElsvectorsPQ→

iPR→

handeserperpendiculars → PQ→

•PR→

0

PQ→

(1,8);PR→

(t2,13)

PQ→

•PR→

t28(13)0 →

→ t140 → t14

315.Sabentque

→v

→w10isin—,calculaelscompo-

5 nentscartesiansdelvector

→v

→w(fig.4.50).

→v(10cos,10sin);

→w(10cos(),10sin())

(10cos,10sin)→v

→w

(10cos10cos,10sin 10sin)

(20cos,0)

3 4 Sisin— → cos√1 sin2— 5 5

4 Aleshores,

→v

→w20 —,0(16,0)

5

16.Demostra queel baricentreG d’un trianglede vèrtexs elspuntsA (a1,a2),B(b1,b2)iC(c1,c2)estrobaenelpuntdecoordenades:

a1b1c1 a2b2c2——————,—————— 3 3

GC→

2MG→

→ (c1x,c2y)

a1b1 a2b22x————,y———— 2 2

(c1x,c2y)

(2xa1b1,2ya2b2)

c1x2xa1b1 →

a1b1c1→ x——————–– 3

c2y2ya2b2 →

a2b2c2→ y—————— 3

Avaluació

1.DonatselspuntsQ(3,2)iR(21,5),quinescoordenadeshadetenirelpuntPpertalque3

→ PQ 2

→ QR

→

0.

AnomenemelpuntP(x,y).



→ PQ QP(3,2)(x,y)(3x,2y)→ QR RQ(1,5)(3,2)(4,3)

S’hadecomplir:3→ PQ 2

→ QR

→

0

3(3 x,2 y)2(4,3) →

0

(9 3x,6 3y)(8,6) →

0

(9 3x 8,6 3y 6) →

0

(17 3x, 3y) →

0

Tenimelsistema:

17 3 0

3 0

x

y

− =− =

Lasoluciódelsistemaés17

03

x i y= = .

Llavors17

,03

P

2. Els vectors →

u (0,2) i→

v (1,1) són una base del pla?En cas afirmatiu, expressa el vector

→

a (5,2) en combinaciólineal de

→

ui →

v.

Nomésenscalveuresielsdosvectorssónlinealmentindepen-dents:

0 2→

u k·→

vperquè— — 1 1

Pertant,elsdosvectorssónlinealmentindependentsi,encon-seqüència,sónunabasedelpla.

Expressemelvector(5,2)encombinaciólinealdelsvectorsdelabase:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

5,2 0,2 1,1

5,2 0,2 ,

5,2 ,2

h t

h t t

t h t

= ⋅ + ⋅ −

= + −

= − +

Tenimelsistema:

5

2 2

t

h t

= − = +

Lasoluciódelsistemaés7

52

h i t= = − .

Pertant, ( ) ( ) ( )75,2 0,2 5 1,1

2= ⋅ − ⋅ −

3. Calcula →

a·→

a sabent que →

a·→

b 3, →

b·→

b 4 i l’angle entre →

a i →

bés de 60º.

→

b·→

b 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur

→

b2

4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur

→

b 2

→

a·→

b 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur

→

a·→

b·cos 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur

→

a·2·cos60º 3

3 3

→

a ———————— 3 2cos60º 1 2·— 2→

a·→

a →

a2

32 9

4. Els punts A(1, 2), B(5, 3) i C(6, 5) són els tres vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Troba les coordenades del quart vèrtex D i les del punt d’intersecció de les diagonals.

Elsvectors→ ABi

→ DCsónequipolents.

AnomenemD(x,y)

Llavors→ AB

→ DC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −

uur uur

B A C D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −

uur uur(5,3) (1,2)

(6,5) (x,y) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur

(4,1) (6 x,5 y)

Tenimelsistema:

4 6

1 5

x

y

= − = −

Lasolucióés:x2iy4.

ElpuntbuscatésD(2,4).

El punt d’intersecció de les diagonals és el punt mig M delssegmentsACoBD:

( ) ( ) ( )1,2 6,5 7,7 7 7,

2 2 2 2 2A C

M++ = = = =

jUnitat5.Rectesenelpla

Activitats 1.Escriu les diferents equacions de la recta que passa pel punt

P(4, 1) i té com a vector director el vector →v (2, 5).

Indica’n el pendent i l’abscissa i l’ordenada a l’origen.

Vectorial: (x,y)(4,1)k(2,5)

x42k Paramètriques:5 y15k

x4 y1 Contínua: —————— 2 5

General: 5x2y220

5 Explícita: y—x11 2

x y Canònica: ————1 22 11 — 5

5 22 m— p—— n11 2 5

2.Considera la recta d’equació vectorial:

(x, y) (3, 2) k(2, 1)

Determina quin és el valor de b per tal que el vector →v (3, b) sigui un vector director de la recta.



→v(3,b)

→v k

→u → →

u(2,1)6 3 b 3

→ —— —— → b — 2 1 2

x y 3. Per a la recta d’equació —— — 1, escriu les equacions

4 2 general i explícita. Indica’n un vector director.

x y—— — 1 → x 2y 4 →

4 2

→ x 2y 4 0

x 4 12y x 4 → y ——— → y —x 2

2 2

1m— →

→v(2,1)

2

4. El punt A(3, 1) és de la recta que passa pel punt P(2, 2) i té com a vector director

→v (1, 3)? Justifica’n la resposta.

P(2,2) y 2 x 2 ——— → →

v(1,3)6 3

→ 3xy 40

A(3,1) → 3314914 120.Noésdelarecta.

5. Quin és el pendent de la recta x 3? Per què?

No té pendent real, ja que és una recta vertical i, per tant, mtg90°.

6.Escriu l’equació canònica de la recta que té per equació explícita:

1 3y — x ——

5 10

1 3 3 y —x —— → n —— 5 10 10

1 3 y 0 → —x —— 0 → 5 10

3 3 → x — → p — 2 2

x y ———— 1

3 3 — — 2 10

2 x y 7. Considera la recta d’equació: ——— — 3 2 Es demana: un vector director, el pendent i els punts de tall

amb els eixos de coordenades.

2 x y x 2 y———— → ———— →

3 2 3 2

→→v(3,2)

2→ m —

3

x 2y 0 → ——— 0 → x 2 →

3

→ P(2,0) al’eixOX

2 y 4x 0 → — — → y — →

3 2 3

4→ Q0,— al’eixOY

3

8.Esbrina si el punt P(5, 1) pertany o no a cadascuna de les rectes. Justifica’n les respostes.

a) (x, y) (1, 1) k(2, 1)

(x,y)(1,1)k(2,1) →

x12k → 5 y1k

512k → k2 P(5,1) → 5 11k → k2

Síésdelarecta.

x 3 2k b) 5 y 1 k

532k → k1 P(5,1) → 5 11k → k0

Noésdelarecta.

c) x 2y 3 0

P(5,1) → 52340

Noésdelarecta.

x 1 y 1 d) ——— ——— 4 2

51———1

4 P(5,1) → 5 11

———1 2

Síésdelarecta.



1 3 e) y —x — 2 2

1 3 5 3P(5,1) → —5———1

2 2 2 2

Síésdelarecta.

x y f) — —— 1 3 3 — 2

5 1 5 2 7P(5,1) → ——— —— — 1

3 3 3 3 3 — 2

Noésdelarecta.

9.Escriu l’equació general de la recta que passa pels punts P (4, 5) i Q (3, 2).

P(4,5) → PQ

→

→q

→p(7,3) →

Q(3,2)6

→v(7,3) x4 y5

—————— → P(4,5) 6 7 3

→ 3x7y230

10.Sense ferne la representació gràfica, esbrina si A(1, 2), B(3, 3) i C(1, 1) estan alineats.

A(1,2) AB

→

→

b→a(2,1) →

→v (2,1)

B(3,3)6

→v(2,1)6 x1

———y2 →→ A(1,2) 2

→ x2y30

C(1,1) → 1230

Estanalineats.

3 11.Determina l’equació de la recta de pendent m — que

4 passa pel punt A (1, 3). Tot seguit representala gràfi

cament.

3ymxn → y—xn

4

3 9A(1,3) → 3—(1)n → n—

4 4

3 9y—x—

4 4

12.Troba l’equació de la recta que passa per l’origen i té un angle d’inclinació 45°. Dibuixala.

mtg tg45° 1 → yxn

0(0,0) → yx

13.Comprova que els punts A(2, 3), B(2, 1) i C(5, 1) no estan alineats. Troba les equacions de les rectes que determinen el triangle, els vèrtexs del qual són els punts A, B i C.

AB→

→

b→

a(4,2)6 AB→

kAC→

AC→

→

c→

a(3,4)

Noestanalineats.

CostatAB:

AB→

(4,2) →→

v(2,1)6 A(2,3)

x2———y3 → x2y40

2

CostatAC:

AC→

(3,4) →→

u(3,4)6 A(2,3)

x2 y3—————— → 4x3y170

3 4

CostatBC:

BC→

→

c→

b(7,2) →→

w(7,2)6 B(2,1)

x2 y1—————— → 2x7y30

7 2



14.Determina l’equació explícita de la recta que passa pels punts P(0, 2) i Q(5, 1). Quin és el seu pendent?

PQ→

→q

→p(5,3)

3

→v(5,3) → m —6 5 3

y—x2→ P(0,2) → n 2 5

15.Escriu l’equació canònica de la recta anterior.

3 y—x2 → n 2 5

3 10 y0 → —x2 0 → x— →6 5 3

10 p— 3

x y——— 1

10 2 — 3

16.Troba la mesura dels angles del triangle que formen les rectes r: x y 7 0; s: 2x 3y 6 0 i t: y 0. Fesne el dibuix corresponent.

xy70 → m1 → tg 1 →→ 135° → 45°

2 22x3y60 → m— → tg — →

3 3

→ 33,7°

180°()180°78,7°101,3°

17.Troba l’equació de la recta que passa pel punt de tall de les rectes 3x 2y 8 0 i 5x 7y 3 0, i és paral.lela a 8 x y 2

la recta ——— ——— . 5 7

3x2y806 x2,y1 → P(2,1) 5x7y30

8x y2 x8 y2—————— → ——————

5 7 5 7

→v(5,7)6 x2 y1

—————— P(2,1) 5 7

7x5y90

18.Esbrina si les tres rectes 2x y 0, x y 3 0 i 5x 4y 3 0 es tallen o no en un mateix punt.

2xy0 x1,y2 → P(1,2) xy306 2xy0 x1,y2 → P(1,2) 5x4y306 Sí,estallenenelpuntP(1,2).

19.Troba el baricentre del triangle de vèrtexs A(3, 0), B(3, 4) i C(6, 1).

MpuntmitjàdelsegmentAB → M(0,2)

C(6,1)6MC→

(6,3)

→v(2,1) 6 x y2

———— → x2y40 M(0,2) 2 1

MedianadesdeC.

9 3 NpuntmitjàdelsegmentBC → N—,—6 2 2

A(3,0)

15 3NA→

——,— 2 2 →

u(5,1)6 x3 ———y → x5y30 A(3,0) 5

MedianadesdeA.

x2y406 x2,y1 → G(2,1) x5y30

20.Classifica aquests parells de rectes en incidents, coincidents o paral.leles. En cas que siguin incidents, troba’n el punt on es tallen.

1 y 2 a) y — x 3, x 3 ——— 2 2

1 y—x3 → x2y60 2 → y2 x3——— → 2xy806 2

22 20 → Incidents;P——,—— 3 3



b) x 3y 3 0, 2x 6y 6 0

x3y30 → 2x6y60 → x3y30

6 → Coincidents

c) 3x 3y 7 0, x y 3 0

3x3y70 → xy30 → 3x3y90

6 → Paral.leles

d) (x, y) (1, 2) k(2, 3),

3x 2y 6 0

(x,y)(1,2)k(2,3) →

x1 y2→ —————— → 2 3

→ 3x2y706 Paral.leles 3x2y60

21.Determina el punt d’intersecció de les rectes:

x y— — i (x, y) (1, 2) k(1, 1)

2 3

x y —— → 3x2y0 2 3

(x,y)(1,2)k(1,1) → x1 → ———y2 → xy30

6 1 6 9

x —,y— 5 5

6 9 P—,— 5 5

22.Considera els punts P(3, 1) i Q(1, 2) i les rectes

r: 3x 4y 12 0 i s: x y 1 0

Troba l’equació de:

a) La recta paral.lela a r que passi pel punt mitjà del segment PQ.

3 M,puntmitjàdelsegmentPQ→M2,— 2 r:3x4y 120

Paral.lela → 3x4y C0

3 M2,— → 66C0 → C0 2

3x4y0

b) La recta que passa pel punt d’intersecció de r i s i té pendent m 2.

3x4y 1206 8 15 x —,y——; xy 10 7 7

8 15A—,—— 7 7

m2 → y2xn

8 15 15 16A—,—— → ————n →

7 7 7 7 31

→ n—— 7

31y2x—— → 14x7y310

7

c) La recta que passa per Q i és paral.lela a s.

s:xy 10

Paral.lela → xy C0

Q(1,2) → 12C0 → C3

xy30

d) La recta que passa per P i és paral.lela a r.

r:3x4y 120

Paral.lela → 3x4y C0

P(3,1) → 94C0 → C5

3x4y 50

Determina també les coordenades del punt on es tallen les rectes corresponents als apartats c) i d).

xy 30 17 4 x ——,y— 3x4y 50

6 7 7

17 4B——,— 7 7

23.Calcula els valors de q per tal que les rectes r i s siguin paral.leles:

r: qx 2y 4 0

s: x (q 3) y 7 0

2q ———

q3

q23q20 → q11,q22

24.Comprova que els punts A(1, 2), B(1, 0) i C(3, 4) són els vèrtexs d’un triangle rectangle. En quin dels tres punts està el vèrtex corresponent a l’angle recte? Justifica’n la resposta.

AB→

→

b→

a(2,2)6 AC→

→

c→

a(2,6)

AB→

•AC→

41280 →

A90°



BA→

AB→

(2,2)

BC→

→

c→

b(4,4)6BA→

•BC→

880 →

B90°

25.Determina l’equació de la recta perpendicular a la recta 3 y — x 6 i que passa pel punt on es tallen les rectes

4 x y 9 0 i x 2y 3 0.

xy 90 x 7,y 2 → x2y 306

→ P(7,2)

3y —x 6

4

4 Perpendicular:y —x n 3

4P(7,2) → 2—(7) n →

3

34→ n——

3

4 34y—x—— → 4x3y 340

3 3

26.Classifica els següents parells de rectes incidents segons siguin o no perpendiculars. Justifica’n les respostes.

a) 3x 5y 3 0 3x 5y 7 0

3x5y30 →→u(5,3) →

3x5y70 →→v(5,3)6

→→u•

→v259160

Nosónperpendiculars.

1 y 1 b) y —x 4 x 2 ——— 7 7

1 1 y—x4 → m — →

6 7 7

→→u(7,1)

y1 x2 x2——— → ——— 7 1 y1 ——— →

→v(1,7)

7→u•

→v77140

Nosónperpendiculars.

x 7 2h c) (x, y) k(5, 2) 5 y 1 5h

x72h →

→u(2,5)

y15h6 (x,y)k(5,2) →

→v(5,2)

6→u•

→v10100

Sónperpendiculars.

d) x 3y 8 0 9x 3y 13 0

x3y80 →→u(3,1)

→ 9x3y130 →

→v(1,3)6

→→u•

→v330

Sónperpendiculars.

27.Determina l’equació de la mediatriu del segment d’extrems els punts A(2, 3) i B(6, 1). Recorda que la mediatriu d’un segment és la recta perpendicular pel punt mitjà.

M,puntmitjàdelsegmentAB → M(2,1)

AB→

→b

→a(8,4) →

→n(2,1) →

→ 2xyC0

M(2,1) → 41C0 → C3

2xy30

28.Determina les coordenades del circumcentre i de l’ortocentre del triangle de vèrtexs A(2, 5), B(1, 1) i C(3, 2). El circumcentre és el punt on es tallen les mediatrius del triangle. L’ortocentre és el punt on es tallen les rectes que determinen les altures del triangle.

3 M,puntmitjàdelsegmentAB → M—,3 2

AB→

→b

→a(1,4) →

→n1(1,4) →

→ x4yC0

3 3 27 M—,3 → —12C0 → C—— 2 2 2

27x4y——0 → 2x8y270

2

MediatriuAB. 3 N,puntmitjàdelsegmentBC → N2,— 2

BC→

→c

→b(2,1) →

→n2(2,1) →

→ 2xyC0

3 3 11 N2,— → 4—C0 → C—— 2 2 2

112xy——0 → 4x2y110

2

MediatriuBC.

2x8y270 17 43 x ——,y—— 4x2y1106 14 14



17 43 Circumcentre:——,—— 14 14

2x8y270

Paral.lela:2x8yC0

C(3,2) → 616C0 → C22

2x8y 220 → x4y 110

AlçadadesdeC.

4x2y110

Paral.lela:4x2yC0

A(2,5) → 810C0 → C18

4x2y 180 → 2xy 90

AlçadadesdeA.

x4y110 25 13 x ——,y—— 4x2y1806 7 7

25 13 Ortocentre:——,—— 7 7

29.Donat el punt P(3, 4):

a) Determina la projecció ortogonal de P sobre la recta

r: 4x y 1.

r:4xy 10

sr → s:x4y C0

P(3,4) → 316C0 → C13

x4y 130 9 53 x ——,y—— → 4xy 106 17 17

9 53→ P——,—— 17 17

b) Troba les coordenades del punt simètric de P respecte de la recta r.

P(3,4)

9 53 P——,——6 17 17

S(x,y)

3x 9 69 ————— → x—— 2 17 17

4y 53 38 ————— → y—— 2 17 17

6 69 38

S——,—— 17 17

30.Dedueix els valors de q perquè les rectes r i s siguin perpendiculars:

r: qx y 2 0

s: (q 2) x (2q 1) y 0

r:qxy20 →→u(1,q)

s:(q2)x(2q1)y0 →

→→v(2q1,q2)

6→u•

→v0 → 2q1q22q0 →

→ q210 → q11,q21

31.Calcula l’angle que formen les rectes:

r: x y 4 0

s: y 4x 2

r:xy40 →→u(1,1)

s:y4x2 → m4 →→v(1,4)6

→u•

→v 14 5

cos———————————— →

→u

→v √2 √17 √34

5→ arccos———30,96°

√34

1 32.Considera la recta r: x y 4 0 i el punt P2, —. 2 Troba l’equació de les rectes que passen per P i formen un

angle de 60° amb la recta r.

r:xy40 →→u(1,1)

→v(1,m)6

→u•

→v 1m 1

————cos60° → ————————

→u

→v √2 √1m2 2

12mm2 1 ———————— → 48m4m2 2(1m2) 4

22m2 → 2m28m20

m24m10 → m2 √3

m12 √3

6 1y —(2 √3 )(x2) 2

1 P2,— 2

m22 √3

6 1y —(2 √3 )(x2) 2

1 P2,— 2

33.Quant mesuren els angles del triangle de vèrtexs els punts A(2, 4), B(3, 1) i C(1, 6)?

A(2,4) AB

→

→

b→

a(5,5) B(3,1)6



A(2,4) AC

→

→

c→

a(3,2) C(1,6)6 AB

→•AC

→

1510cos

A——————————— AB

→

AC→

√50 √13

5 1———————— →

5√2√13 √26

1→

Aarccos———78,7° √26

BA→

AB→

(5,5)

B(3,1) BC

→(2,7)

C(1,6)6 BA

→•BC

→

1035cos

B——————————— BA

→

BC→

√50√53

45 9———————— →

5√2√53 √106

9→

Barccos———29° √106

C180°(

A

B)180°107,7°72,3°

34.Determina les equacions de les rectes que formen un angle de 30° amb la recta 5x 2y 3 0 i passen pel punt P (x, 6), on P és un punt de la recta donada. Troba l’angle que formen aquestes rectes.

P(x,6) → 5x2y30

P(x,6) → 5x1230 → x3 → → P(3,6)

5x2y30 →→u(2,5)

→v(1,m)6

→u•

→v 25m √3

———cos30° → —————————

→u

→v √29√1m2 2

420m25m2 3—————————— →

29(1m2) 4

→ 1680m100m28787m2

13m280m 710 →

4029√3→ m———————

13

4029√3 m1———————6 13

P(3,6)

4029√3y 6———————(x 3)

13

4029√3 m2———————6 13 P(3,6)

4029√3y 6———————(x 3)

13

35.Donades les rectes

y x 3 r: x 2 — i s: y 3 ———, 3 2

determina l’angle que formen.

y r:x2 — →

→u(1,3)

3 x3 x3 y3 s:y3 ——— → —————— →6 2 2 1 →

→v(2,1)

→u•

→v 23 1

cos——————————— →

→u

→v √10√5 5√2

1→ arccos———81,87°

5√2

36.Calcula de dues maneres diferents la distància de l’origen de coordenades a la recta x 3y 7 0.

a)r:x3y706 O(0,0)

7 7 7√10 d(0,r)———————————u √19 √10 10

b)r:x3y70

sr → s:3xy C0

O(0,0) → C0 →

→ s:3xy0 7 21 x ——,y—— r:x3y706 10 10

7 21 O——,—— éselprojectatdeOsobrer. 10 10

7 21

→OO——,—— 10 10

d(O,r)d(O,O) →OO

49 441 490 7√10√

—— ——√

—————— u

100 100 100 10

37.Troba la distància entre les rectes:

2x 3y 5 0 i 4x 6y 3 0

r:2x3y50 rissónparalel.les s:4x6y306



P(2,3)ésunpuntder,aleshores:

8183d(r,s)d(P,s)———————

√16 36

7 7 7√13———————————u

√52 2√13 26

38.Els punts de la mediatriu d’un segment equidisten dels seus extrems. Tenint en compte aquesta propietat, determina l’equació de la mediatriu del segment d’extrems A(2, 5) i B(4, 7).

A(2,5)6 AX→

→x

→a(x 2,y 5)

X(x,y)

B(4,7)6 BX→

→x

→b(x 4,y 7)

X(x,y)

AX→

BX→

→ √(x 2)2 (y 5)2

√(x 4)2 (y 7)2

x24x4y210y25

x28x16y214y49

12x24y360 → x2y30

39.Determina les equacions de les bisectrius dels angles que formen les rectes r: x 2y 5 0 i s: 2x y 3 0. Comprova que són perpendiculars.

r:x2y506 s:2xy30

x2y5 2xy3————————————

√5 √5

x2y5 2xy3 → → xy8 0 →

→u(1,1)

x2y5 2xy3 → → 3x3y2 0 →

→v(3,3)

6→u•

→v3 3 0

40.Demostra que les dues bisectrius dels angles que formen dues rectes que es tallen són perpendiculars.

AxByC AxByC———————————————

√ A2B2

√ A2B2

A√ A2B2xB√ A2B2y

C√ A2B2

A√ A2B2xB√ A2B2 y

C√ A2B2

(A√ A2B2A√ A2B2)x

(B√ A2B2B√ A2B2)y

C√ A2B2C√ A2B20

→u(B√ A2B2B√ A2B2,

A√ A2B2A√ A2B2)

A√ A2B2xB√ A2B2y

C√ A2B2

A√ A2B2xB√ A2B2 y

C√ A2B2

(A√ A2B2A√ A2B2)x

(B√ A2B2B√ A2B2)y

C√ A2B2C√ A2B20→v(B√ A2B2B√ A2B2,

A√ A2B2A√ A2B2)→u•

→v(B√ A2B2B√ A2B2)

(B√ A2B2B√ A2B2)

(A√ A2B2A√ A2B2)

(A√ A2B2A√ A2B2)

(B√ A2B2)2(B√ A2B2)2

(A√ A2B2)2(A√ A2B2)2

B2(A2B2)B2(A2B2)

A2(A2B2)A2(A2B2)

B2A2B2B2B2A2

B2B2A2A2A2B2

A2A2A2B20

41.L’incentre d’un triangle és el punt on es tallen les bisectrius dels angles interiors del triangle. Troba les coordenades de l’incentre del triangle determinat per les rectes:

r: 3x 4y 5 0, s: 3x 4y 7 0 i t: 4x 3y 6 0.

r: 3x4y50

t: 4x3y606



3x4y5 4x3y6——————————————

5 5

3x4y54x3y6

x7y10 → m0 → no

3x4y54x3y6

7xy110 → m0

s: 3x4y70

t: 4x3y606 3x4y7 4x3y6

——————————————— 5 5

3x4y74x3y6

xy130 → m0 → no

3x4y74x3y6

7x7y10 → m0

7xy110

7x7y106 19 3

x ——,y— 14 2

19 3 Incentre:——,— 14 2

42.Donades dues rectes de pendents m 2 i m 3, calcula els pendents de les dues rectes bisectrius dels angles que determinen.

m2 → y 2xn → 2xyn 0

6 m3→y 3xn→ →3xyn 0

2xyn 3xyn———————————— →

√5 √10

3xyn→ 2xyn——————

√2

b1: 2√2x√2y√2n3xyn

b1: (32√2)x(1√2)y√2nn 0

2√23 (2√23)(1√2) m1——————————————— 1√2 12

5√27—————7 5√2

1

b2: 2√2x√2y√2n3xyn

b2: (32√2)x(1√2)y√2nn 0

32√2 (32√2)(√21) m2——————————————— √21 21

7 5√2

Activitatsfinals 1. Calcula l’àrea del triangle de vèrtexs els punts A(1, 1), B(3, 4)

i C(5, 2).

AC→

→c

→a(4,3)

bAC→

√1629√ 255u →

v(4,3)6 A(1,1)

x1 y1—————— → r:3x4y 70

4 3

9167 18hd(B,r)————————u

√ 25 5

1 1 18S—bh—5——9u2

2 2 5

2. Determina el valor de k per tal que les rectes: r: kx (k 1) y 2 0 i s: 3kx (3k 1) y 5 0 siguin:

a)paral.leles.

k k 1———————

3k 3k 1

3k2 k 3k23k

6k2 2k 0 → 2k(3k 1) 0 → 1

→ k1 0,k2 — 3

b)perpendiculars. →

u(1 k,k) →

v(3k 1,3k)6 →

u•→v0 → (1 k)(3k 1) k3k 0

3k2 2k 1 3k2 0 →

1→ 2k 1 0 → k —

2

jUnitat3.Trigonometria

Activitats

Actividadesdeenseñanza/aprendizaje



3. Determina l’equació de la recta que passa pel punt P(2, 4), tal que la seva perpendicular per l’origen de coordenades forma un angle de 45° amb l’eix d’abscisses.

45° → mtgtg45°16 yx O(0,0)

r:xy0

sr,s:xy C0

P(2,4) → 24 C0 → C6

xy 60

4. Els punts O(0, 0), P(4, 2) i Q(2, 6) són els vèrtexs d’un triangle. Troba el baricentre (B), el circumcentre (C) i l’ortocentre (A).

PO→

(4,2)6 PO→

•PQ→

8 80 → PQ

→(2,4)

→

P90°

ÉsuntrianglerectangleenP.

4 2 2 6 8 Baricentre:B———,——— → B2,— 3 3 3

Circumcentre:puntmitjàdelsegmentOQ → C(1,3)

Ortocentre:vèrtexP → A(4,2)

Comprova que:

a)B, C i A estan alineats.

2 AB

→2,— 3

AC→

(3,1)

Sónlinealmentdependents,pertantelspuntsA,BiC,estanalineats.

b)AB→

2BC→

.

2 AB

→2,— 3

1 BC

→1,— → 2BC

→6 AB

→2BC

→

3

1 2 21,—2,— 3 3

c)La distància de C a cada vèrtex és la mateixa.→CO(1,3),d(C,O)CO

→

√ 19√10u

CP→

(3,1),d(C,P)CP→

√ 91√10u

CQ→

(1,3),d(C,Q)CQ→

√ 19√10u

5. Escriu l’equació de la recta perpendicular a x 3y 1 0 que es troba a distància 3 del punt P (1, 1).

r:x3y 10

sr,s:3xy C0

31 Cd(P,s)3 → ——————3 →

√10

4 C C13√10 4 → ————3 √10 C23√ 10 4

s13xy 3√ 10 40

s23xy 3√ 10 40

6. Els punts A (0, 2) i B (4, 0) són dos vèrtexs d’un triangle rectangle isòsceles d’hipotenusa AB. Calcula les coordenades del tercer vèrtex C i l’àrea del triangle.

A(0,2),B(4,0),C(x,y)

CA→

(x,2y)

CB→

(4 x,y)



CA→

CB→

→

→ √ (x)2(2y)2 √ (4x)2(y)2

x244y y216 8x x2 y2 →

→ 8x4y 120 → 2xy 30

CA→

• CB→

0 → x(4 x) (2y)(y)0

4x x22y y20 →

→ x2 y24x2y0

2xy 30

x2 y24x2y06 Duessolucions:

x13,y13 → C1(3,3)

x21,y21 → C2(1,1)

C(3,3) CA

→(3,1) →

A(0,2)6→ CA

→√ 91√ 10u

CB→

CA→

√10u

1 1S—CA

→CB

→

—√ 10√ 105u2

2 2

7. Determina les equacions de les rectes que tallen la recta 2x y 3 0 en el punt d’abscissa x 3 i formen amb ella un angle de 60°.

x3 → 6y30 → y3

P(3,3)

r:2xy30 →→u(1,2)6 →v(1,m)

→u•

→v 12m 1

———cos60° → ————————

→u

→v √ 5√ 1m2 2

14m4m2 1————————— →

5(1m2) 4

→ 416m16m255m2

8 5 √ 3 11m216m10 → m—————— 11

P(3,3) 8 5 √ 3 m1——————6 11

8 5 √ 3y3——————(x3)

11

P(3,3) 8 5 √ 3 m2——————6 11

8 5 √ 3y3——————(x3)

11

8. Troba l’incentre del triangle determinat per les rectes 2x 3y 8 0, 3x 2y 25 0 i 2x 3y 4 0. Comprova que l’incentre equidista dels tres costats del triangle.

s: 3x2y 2506 t: 2x3y 40

3x2y 25 2x3y 4——————————————

√13 √13

3x2y 25 2x3y 4

xy 29 0 →

→ m 0 → No



3x2y 25 2x3y 4

5x5y 21 0 m 0

r: 2x3y 80

s: 3x2y 2506 2x3y 8 3x2y 25

—————————————— √13 √13

2x3y 8 3x2y 25

x5y 17 0

m 0 → No

2x3y 8 3x2y 25

5xy 33 0 m 0

5x5y 21 0 31 x——,y2 5xy 33 06 5

31 Incentre: I——,2 5

62 52 ——68 —— 5 5

d(I,r)—————————— √13 √13

52 52√13 4√13—————————u

5√13 513 5

93 52 ——425 —— 5 5

d(I,s)—————————— √13 √13

4√13———u

5

62 52 ——64 —— 5 5

d(I,t)—————————— √13 √13

4√13———u

5

9. Calcula l’àrea del triangle determinat per les rectes:

r: 4x y 5 0; s: x 3y 4 0 i t: 3x 2y 12 0.

r: 4xy 50 x1,y1 → A(1,1) s: x3y 406 r: 4xy 50 x2,y3 → t: 3x2y 1206 → B(2,3)

s: x3y 40 x4,y0 → t: 3x2y 1206

→ C(4,0)

AC→

→c

→a(3,1)

bAC→

√ 91√10u

294 11hd(B,s)—————————u

√10 √10

1 1 11 11S—bh—√10————u2

2 2 √10 2

10. Determina l’equació de les rectes paral.leles a la recta: 2x y 3 0 que es troben a distància 5 del punt P(1, 2).

r:2xy 30

sparal.lelaar → s:2xy C0

22Cd(P,s)5 → ———————5 →

√ 5→ C5√ 5 → C5√ 5

s1: 2xy 5√ 50

s2: 2xy 5√ 50



11. El centre d’un quadrat és el punt C(0, 3) i el punt P(2, 6) n’és un vèrtex. Troba els tres vèrtexs restants, el perímetre i l’àrea del quadrat.

x2 P(2,6) ———0 → x26 2 C(0,3) R(2,0) 6y R(x,y)

6 ———3 → y0

2

PC→

→c

→p(2,3)

→uPC

→ →

→u(3,2)

C(0,3) →

u(3,2)6 CQ→

→u → (x,y 3)(3,2)

Q(x,y)

x3 Q(3,1) y32 → y16 3x Q(3,1) ———0 → x3 2 C(0,3)6 S(3,5) 1y S(x,y) ———3 → y56 2

PQ→

→q

→p(1,5) →

→ PQ→

√ 125√ 26u

p4PQ→

4√ 26u

SPQ→

2√ 26226u2

12. Un paral.lelogram OABC té els seus vèrtexs en els punts O(0, 0), A(3, 1) i C(1, 2). Calcula les coordenades del vèrtex B i l’àrea del paral.lelogram.

OA→

(3,1)

C(1,2)

B(x,y)6 CB

→

→

b→

c(x1,y2)

CB→

OA→

→ (x1,y2)(3,1)

x13 → x4 B(4,3) y21 → y36 bOA

→

√ 91√ 10u →

uOA→

(3,1)6 x —y → r: x3y0 O(0,0) 3

16 5hd(C,r) → ——————u

√ 10 √ 10

5Sbh√ 10——5u2

√ 10

13. Determina l’equació de les rectes que contenen les altures del triangle de vèrtexs A(2, 1), B(0, 2) i C(4, 0).

A(2,1) AB

→

→

b→

a(2,1) B(0,2)6 →

n1(2,1) → 2xyC0

C(4,0) → 8C0 → C8

hc:2xy80

B(0,2) BC

→

→

c→

b(4,2) C(4,0)6 →

n2(2,1) → 2xyC0

A(2,1) → 41C0 → C5

hA:2xy50

A(2,1) AC

→

→

c→

a(6,1) C(4,0)6 →

n3(6,1) → 6xyC0

B(0,2) → 2C0 → C2

hB:6xy20



14. Dos dels vèrtexs oposats d’un rombe es troben situats en els punts A (2, 4) i C (0, 2) i el vèrtex B és un punt de l’eix d’abscisses. Determina les coordenades dels vèrtexs B i D i calcula l’àrea del rombe.

M,puntmitjàdelsegmentAC → M(1,3)→AC

→c

→a(2,2),

→n(1,1)

xyC0

M(1,3) → 13C0 → C4

xy406 x4,y0 → B(4,0) y0

4x B(4,0) ———1 → x2 2 M(1,3)6 6 D(2,6) y D(x,y) —3 → y6 2

→AC

→c

→a→ (2,2)

d→AC√ 44√ 82√ 2u;

BD→

→

d→

b(6,6)

dBD→

√ 3636√ 726√ 2u

1 1S—dd—2√ 26√ 212u2

2 2

15. Troba el punt en què es tallen les diagonals del quadrilàter que està format pels eixos de coordenades i les rectes x y 4 0 i 2x y 3 0.

O(0,0)

r:xy 406 x4,y0 → A(4,0) y0

r: xy 40 1 11 x—,y—— → s:2xy 306 3 3

1 11→ B—,—— 3 3

s:2xy 306 x0,y3 → C(0,3) x0

1 11 OB

→—,—— →

→u(1,11)6 3 3

O(0,0)

yx—— → 11xy0

11

AC→

→c

→a(4,3) →

→v(4,3)6 A(4,0)

x4 y———— → 3x4y 120

4 3

11xy0 12 132 x——,y—— → 3x4y 1206 47 47

12 132→ D——,—— 47 47

16. Calcula l’àrea del quadrilàter de vèrtexs els punts: A(3, 2); B, simètric del punt A respecte de la recta x y; C, simètric del punt B respecte de l’eix d’ordenades, i D, simètric de C respecte de l’eix d’abscisses.

A(3,2)→B(2,3)→C(2,3)→

→D(2,3)

AD→

→

d→

a(5,5)6 AB

→

→

b→

a(1,1)



1 1S1—AD

→

AB→

—√ 50√ 25u2

2 2

CB→

→

b→

c(4,0)

CD→

→

d→

c(0,6)6 1 1

S2—CB→

CD→

—4612u2

2 2

SS1S251217u2

17. Els vèrtexs corresponents al costat desigual d’un triangle isòsceles se situen en els punts A(1, 1) i B(4, 0). El tercer vèrtex C és un punt de la recta x 2y 8 0. Troba les coordenades de C i calcula el perímetre i l’àrea del triangle.

A(1,1)6 AB→

(5,1) B(4,0)

M,puntmitjàdelsegmentAB, → 3 1

→ M—,— 2 2 →

n(5,1) → 5xyC0

3 1 15 1M—,— → ———C0 →

2 2 2 2

→ C7

5xy 70

r:x2y806 6 47 6 47

x——,y—— → C——,—— 11 11 11 11

17 58AC→

→c

→a——,——

11 11

17 58AC→

√

—2

—2

11 11

2893364 √ 3653√

——————————u

112 11

bAB→

√ 251√ 26u

pAB→

2AC→

2√ 3653√26——————u

11

21 105MC→

→c

→m——,——

22 22

21 105hMC

→

√

——2

——2

22 22

44111025 √ 11466√

————————————

222 22

21√26————u

22

1S—bh

2

1 21√26 273—√26 ——————u2

2 22 22

18. Determina les bisectrius interiors dels angles del triangle de vèrtexs A (4, 5), B (5, 7) i C (4, 7).

A(4,5)6 AB→

→

b→

a(9,2) → B(5,7)

→→

u(9,2)6 x4 y5 —————— A(4,5) 9 2

2x89y45 → r:2x9y530

A(4,5) 6 AC→

→c

→a(0,2) →

C(4,7)

→→v(0,1)6 s:x40

A(4,5)



B(5,7)6 BC→

→c

→b(9,0) →

C(4,7)

→→w(1,0)6 t:y70

B(5,7)

r:2x9y530

s:x40

2x9y53——————— (x4)

√85

2x9y53√ 85 (x4)

2x9y53√ 85x 4√ 85

(√ 85 2)x9y4√ 85530 →→ m0 → No

2x9y53√ 85 (x4)

2x9y53√ 85x 4√ 85

(√ 85 2)x9y4√ 85530

m0

r:2x9y5306 t:y70

2x9y53——————— (y7)

√ 85

2x9y53√ 85 (y7)

2x9y53√ 85y 7√ 85

2x(9 √ 85)y537√ 850 m0

s:x406 x4 (y7) t:y70

x4y7 → xy110 →→ m0 no

x4y7 →→ xy30 m0

19. Dos dels vèrtexs d’un triangle rectangle són els punts B(5, 2) i C(1, 5). Calcula l’ordenada de l’altre vèrtex A sabent que la seva abscissa és x 3 i que

A 90°.

A(3,y)6 AB→

→

b→

a(2,2y) B(5,2)

A(3,y)6 AC→

→c

→a(2,5y)

C(1,5)

A90° → AB→

•AC→

0 →→ 4107yy20 →

→ y27y60 → y11,y26

A1(3,1),A2(3,6)

20. Determina les coordenades de l’ortocentre, el baricentre i el circumcentre del triangle que té per vèrtexs els punts A(4, 2), B(10, 6) i C(6, 1).

A(4,2)6 AB→

→

b→

a(6,4) B(10,6)

A(4,2)6 AC→

→

c→

a(2,3)6

C(6,1)

AB→

• AC→

12120 →

A90°

Ortocentre:elvèrtexA(4,2)

4106 261 Baricentre:——————,————— → 3 3

20 7→ G——,— 3 3

Circumcentre:puntmitjàdelsegmentBC → 5 → M8,— 2

21. Les equacions de les rectes que contenen dos dels costats d’un paral.lelogram de centre el punt C(2, 2) són y 2x i x 2y. Troba’n les coordenades dels quatre vèrtexs.

r:y2x6 x0,y0 → s:x2y



x → O(0,0)

6 ——2 → x4

2 C(2,2) Q(4,4) y Q(x,y) ——2 → y4

6 2

y2x → 2xy0

Paral.lela:2xyC0

Q(4,4) → 84C0 → C4

2xy40

x2y → x2y0

Paral.lela:x2yC0

Q(4,4) → 48C0 → C4

x2y40

2xy0 4 8 x—,y— → x2y406 3 3

4 8→ R—,— 3 3

x2y0 8 4 x—,y— → 2xy406 3 3

8 4→ P—,— 3 3

22. El costat desigual d’un triangle isòsceles mesura 4 i es troba sobre la recta d’equació y x. El vèrtex oposat és el punt C (0, 4). Determina les coordenades dels vèrtexs A i B del triangle.

yx → xy0

Perpendicular:xyC0

C(0,4) → 4C0 → C4

xy40 xy406 x2,y2 → M(2,2) xy0

A(x,x) AM

→

→m

→a(2x,2x)

M(2,2)6 AM

→

2

√ (2x)2(2x)22

2(44xx2)4

44xx22

x24x20 → x2√2

A(2 √2,2 √2),B(2 √2,2 √2)

23. El catet AB d’un triangle rectangle en A es troba sobre la recta 2x 5y 4 0 i el punt C(4, 2) és un vèrtex del triangle. Calcula les coordenades del vèrtex A i la longitud del catet AC.

r:2x5y40

Perpendiculars:5x2yC0

C(4,2) → 204C0 → C16

s: 5x2y160

5x2y160

2x5y40 6 88 12 88 12

x——,y—— → A——,—— 29 29 29 89

8104 14AC→

d(C,r)————————— √ 29 √ 29

14√ 29————u

29



24. Els punts A(1, 1), B(0, 1) i C(3, 2) són tres vèrtexs consecutius d’un paral.lelogram. Determina’n el vèrtex D i calcula’n el perímetre i l’àrea.

3 M,puntmitjàdelsegmentAC, → M1,— 2 x B(0,1)

6

—1 → x2 2 3 M1,— 2 1y 3 D(x,y) ————— → y46 2 2

D(2,4)

AB→

→

b→

a(1,2) →

→ AB→

√ 1 4√5u

AD→

→d

→a(3,3) →

→ AD→

√ 99√ 18 3√2u

p2AB→

2AD→

(2√56√2)u

bAD→

3√2u

AD→

(3,3) →→u (1,1)

A(1,1) 6 x1y1 → r:xy20

322 3hd(C,r)————————u

√2 √2

3Sbh3√2——9u2

√2

Avaluació

1. Sigui r la recta d’equació 3x 5y 2 0. Troba les equacions de les rectes paral·lela i perpendicular a r que passen pel punt (15, 4).

Rectaparal·lela:ésdelaforma3x5yC0.Substituintelpunt:

( ) ( )3 15 5 4 0 45 20 0 65C C C⋅ − − ⋅ + = → − − + = → = .

L’equaciódelarectaparal·lelaés3x5y650.

Rectaperpendicular:ésdelaforma5x3yC0.Substi-tuintelpunt:

( )5 15 3 4 0 75 12 0 63C C C⋅ − + ⋅ + = → − + + = → = .

L’equaciódelarectaperpendicularés5x3y630.

2. Els punts A(2, 5), B(6, 8) i C(22, d) estan alineats. Calcula d.

PrimeramenttrobemlarectaAB:

Unvectordirectorés→

v ( ) ( ) ( )6,8 2,5 4,3v B A= − = − =r

.

L’equaciócontínuaés:

2 54 3

x y− −=

ElpuntCcompleixaquestaequació:

22 2 5 20 5 605 15 5 20

4 3 4 3 4d d

d− − −= → = → = + = + =

3. Determina el valor de a perquè la recta x2ay 1 i la recta x3y 8 siguin:

a) paral·leles.

Lacondiciódeparal·lelismeés:

' ' '

A B CA B C

= ≠

Enelnostrecas:1 2 1 3

3 21 3 8 2

aa a

− −= ≠ → = − → = −−

.

b) perpendiculars.

Lacondiciódeperpendicularitatés:' ' 0A A B B⋅ + ⋅ =

Enelnostrecas:1

1 1 2 3 0 1 6 06

a a a⋅ − ⋅ = → − = → = .

4. a) Representa gràficament les rectes 3x y 1 0 i

x 3y 12 0.

Femelgràfic.Larecta3xy10tallaelseixosenels

punts(0,–1) i1

,03

. La rectax 3y 12 talla enels

punts(12,0)i(0,4).

b) Demostra que les dues rectes anteriors són perpendiculars.

Els vectors perpendiculars a la primera i segona rec-tes són (3,1) i (1, 3). Femel producte escalar i tenim3·1 (1)·30,ipertantsónperpendiculars.



c) Calcula el punt d’intersecció de les dues rectes.

Laintersecciól’obtenimresolentelsistema:

3 1

3 12

x y

x y

− = + =

quedónacomaresultatelpunt3 7

,2 2

.

d) Considera el triangle format per les dues rectes anteriors i per l’eix d’ordenades. Calcula’n l’àrea.

EltriangleABCtébaseCB4(1)5ialturasobreAde

longitud32

(abscissadeA).Per tant la sevasuperfícieés

1 3 155 3,75

2 2 4S = ⋅ ⋅ = =

u2

jUnitat6.Lacircumferènciaialtresllocsgeomètrics

Activitats 1.Escriu l’equació de la circumferència de centre el punt

(2, 0) i radi 2. Dibuixala.

Hiapliquemlafórmuladirectament:

(xa)2(yb)2r2 → (x2)2y24

2. Identifica el centre i el radi de la circumferència d’equació (x 3)2 (y 1)2 4 i tot seguit representala gràficament.

Sicompareml’equació(x3)2(y1)24ambl’equaciógeneral,tenimelsegüent:

a3,b1ir2,ésadir,lacircumferènciatécentre(3,1)iradi2.

3.L’equació d’una circumferència és x2 y2 16. Determina’n el centre i el radi.

Delamateixamaneraqueenl’exercicianterioresdedueix:cen-tre,(0,0)iradi,4.

4.Escriu l’equació de la circumferència de centre C(3, 1) i radi r 4. Esbrina si el punt P(3, 4) pertany a aquesta circumferència.

Hiapliquemlafórmula:

(x3)2(y1)216

PersabersielpuntP(3,4)pertanyalacircumferènciacalsubs-tituirlescoordenadesdelpuntal’equació:

(33)2(41)23694516

ElpuntPnoésdelacircumferència.

5.Determina l’equació de la circumferència que té per diàmetre el segment d’extrems els punts A(1, 4) i B(3, 0).

ElcentreCdelacircumferènciaenqüestióéselpuntmitjàdel 13 40

diàmetre,ésadir,delsegmentAB → C————–,———– → → C(1,2). 2 2

Elradidelacircumferènciaés:

→AC(2,2)√8r

Equació: (x1)2(y2)28

6.Escriu l’equació de la circumferència de centre (1, 3) i que passa per l’origen de coordenades.

C(1,3).Elradiéselmòduldelsegmentdeterminatperl’origendecoordenadesielcentre:

r→OC(1,3)√ 10

Equació: (x1)2(y3)210

7.Les equacions següents són de circumferències. Troba’n el centre i el radi.

Encadacascalaplicarlesfórmules

2am,2bn i a2b2r2p,

pertaldetrobarelcentreC(a,b)ielradir.

a) x2 y2 8x 6y 20 0

82a → a4;

62b → b3 → C(4,3)

4232r220 → r√ 5

b) x2 y2 4x 7y 0

4 2a → a 2;



7 77 2b → b— → C2,—

2 2

7 √ 65(2)2—

2

r20 → r—— 2 2

c) x2 y2 6y 7 0

6 2b → b 3;0 2a → a0 → C(0,3)02 (3)2r2 7 → r4

27 d) 3x2 3y2 5x 9y —— 0 4

Caldividirtotal’equacióper3:

5 9x2y2—x3y—0

3 4

5 5—2a → a—;3 2b →

3 6

3 5 3→ b —— → C—,——

2 6 2

5 3 9 5—2

—2

r2— → r— 6 2 4 6

8.Determina el centre i el radi de la circumferència:

(x 2)2 (y 3)2 9

Troba si hi ha algun punt de la circumferència que tingui abscissa 2.

Demaneraimmediata:C(2,3)ir3.

Pertrobarsihihaalgunpuntdelacircumferènciad’abscissa2calsubstituirxper2:

(22)2(y3)29 → (y3)2 7

Aquestaequaciónotésolucióreal,pertantnohihacappuntdelacircumferènciaquetinguiabscissa2.

9.Esbrina quines d’aquestes equacions no corresponen a una circumferència. Raona la resposta.

a) x2 y2 8x 3xy 5 0

Noésunacircumferènciaperquètéelterme3xy.

b) 3x2 2y2 5x 9y 2 0

Noésunacircumferènciaperquèelscoeficientsdex2iy2sóndiferents.

c) x2 y2 3 0

ÉsunacircumferènciadecentreC(0,0)iradir√ 3.

d) x2 y2 4x 8y 20 0

Podria ser l’equació d’una circumferència. Per estar-ne se-gurs,encalculemelcentreielradi:

4 2a → a 2;8 2b → b 4 → C(2,4)

(2)2(4)2r220 → r0

Noésunacircumferència.

4 8 e) x2 y2 —x —y 2 0 5 3

Hiapliquemlesfórmules:

4 2— 2a → a—;

5 5

8 4 2 4— 2b → b — → C—,— 3 3 5 3

2 4 14—2

—2

r22 → r2—— 5 3 225

Nohiharadi,pertantaquestaequaciónocorresponaunacircumferència.

10.Escriu les equacions de les circumferències següents:

Encadacasaplicareml’equaciógeneral:

(xa)2(yb)2r2

a) C(0, 2), r 2

x2(y2)24

b) C(2 ,0), r 2

(x2)2y24

c) C(2, 2), r 4

(x2)2(y2)216

d) C(1, 1), r √2

(x1)2(y1)22

11.Determina l’equació de la circumferència circumscrita al triangle de vèrtexs A(2, 0), B(0, 4) i O(0, 0).

El circumcentre d’aquest triangle es pot trobar gairebé d’una manera immediata. Recordes com ferho? Representa els punts en uns eixos cartesians i ho veuràs.

Els tres punts determinen un triangle rectangle d’hipotenusaAB.ElcircumcentredeltriangleéselpuntmitjàdeAB.

2 4C—,— →

2 2

→ C(1,2)iradi→OC√5r

Equació:(x1)2(y2)25



12.Una circumferència passa pels punts A(2, 1), B(2, 4) i C(0, 2). Determina’n el centre i el radi i escriune l’equació.

Perdeterminarelcircumcentrecaltrobarlaintersecciódeduesmediatrius.

3 MediatriudelcostatAB:y— 2

6 Mediatriudel costatBC:pendentdeBC → m—3; el

1 2 pendentdelaperpendicular:m —ipassapelpuntmitjà

deBC:(1,1). 3

1 4y —x—

3 3

Intersecciódelesduesmediatrius:

1 4 y —x— 3 3 1 3 5 6 —,—(centre) 3 2 2 y— 2

25 Elradi(Centre,C)√

——

2

Equaciódelacircumferència:

1 3 25x—2

y—2

—— 2 2 2

13.Expressa en la forma x2 y2 mx ny p 0, l’equació de la circumferència que passa pels punts (0, 3), (3, 0) i (1, 1).

Substituircadascundelspuntsax2y2mxnyp0.

9p(0,3) → 93np0 → n———

3

9p(3,0) → 93mp0 → m———

3

(1,1) → 11mnp0

9p 9p2——————p0 →

3 3

24→ p ———

5

7 Substituint:nm—— 5

7 7 24 Equació: x2y2——x——y——0 5 5 5

14.Dibuixa la circumferència de centre l’origen de coordenades i tangent a la recta y 2. Escriune també l’equació.

Elradiés2il’equació,x2y24.

15.La recta que passa pels punts A(1, 3) i B(3, 0) és tangent a una circumferència de centre C(3, 4). Troba l’equació d’aquesta circumferència.

Elradidelacircumferènciaés ladistànciadelcentrealarectatangent.Caltrobarprimerl’equaciód’aquestarecta.Elpendentés

3m ——

4

i,pertant,l’equaciódelarectatangentés:

3 9y —x— → 3x4y90

4 4

Elradidelacircumferènciaésladistànciadelcentre(3,4)alarecta:

33449 16r——————————

√ 3242 5


256(x3)2(y4)2——

25

16. Troba l’equació de la circumferència de centre (1, 1) i tangent a la recta y 2x 3.

Comenl’exercicianterior.Equaciódelarectatangent:

2xy30.

2(1)13 4r——————————

√ 2212 √5


16(x1)2(y1)2——

5

1 917.Una circumferència de centre C—, — és tangent a la bi 2 4 sectriu del primer i tercer quadrants. Escriu l’equació de la

circumferència.

Labisectriudelprimerideltercerquadrantséslarectad’equa-cióxy0.



1 9 7 —— — 2 4 4 7

r——————————— √ 1212 √ 2 4√ 2


1 9 49x—2

y—2

—— 2 4 32

18.Troba la posició relativa de la recta x y 0 i la circumferència x2 y2 4x 2y 1 0.

Laposiciórelativaesdeterminaresolentelsistemaformatperlesduesequacions,ladelarectailadelacircumferència:

xy0

5 x2y24x2y10

xy

5 x2x24x2x10

2x26x10 → 3√7 x1———— 6√368 2 → x——————— 4 3√7 x2———— 2

Espotafirmarquelarectaéssecantalacircumferència,jaquetédospuntsencomú:

3√7 3√7 3√7 3√7 ———,——— i ———,——— 2 2 2 2

19.Determina la posició relativa de les circumferències d’equacions:

x2 y2 12x 35 0 i (x 3)2 y2 4

x2y212x3506 x2y26x50

Restemlesduesequacions:

6x300 → x5

Substituïmx5enunadelesduesequacions:

25y23050 → y0

Lesdues circumferències són tangentsenelpunt (5,0). Calesbrinar,però,sisóntangentsexteriorsointeriors:

Centres:(6,0)i(3,0)

Radis:1i2

Ladistànciaentreelscentresés lasumadelsdosradis,ésadir,123.Pertant,lescircumferènciessóntangentsex-teriors.

20.Una circumferència amb centre en el punt (2, 3) és tangent a l’eix de les abscisses. Determina’n el radi i l’equació. Ajuda’t d’un dibuix.

Elradiésladistànciadelcentreal’eixdelesabscisses:

r3

Equació:(x2)2(y3)29

21.Expressa, per mitjà d’una inequació, la condició per tal que un punt P(x, y) sigui exterior a una circumferència de centre (1, 0) i radi √3.

Elspuntsexteriorsaunacircumferènciaestrobenaunadistàn-ciadelcentremésgranqueelradi.Lainequacióés:

(x1)2y23

22.Dibuixa la circumferència de centre l’origen de coordenades i radi 3. Sense fer cap càlcul localitza un punt interior, un d’exterior i un de la circumferència. Hi pot haver algun punt de la circumferència amb abscissa 4? Raona la resposta.

Respostaoberta.

Perexemple:

Punt interior: (1, 1); punt exterior (4, 3); punt de la cir-cumferència:(3,0).

Nohipothavercappuntd’abscissa4,jaquetotselspuntsdelacircumferènciaverifiquen3x3.

23.Escriu l’equació de la recta tangent a la circumferència C en el punt P que pertany a aquesta circumferència en els casos següents:

Encadacascaltrobarl’equaciódelarectaperpendicularalradienelpuntdetangència.Calrecordarquemm 1.

a) x2 y2 2x 4y 3 0 i P(0, 1)

Centre:(1,2);pendentCP → m1;pendentperpendicu-lar:1;equaciódelarecta:y x1.



b) x2 y2 2x 10y 13 0 i P(1, 2)

3 Centre: (1,5);pendentCP → m —;pendentper- 2

2 2 4 pendicular:—;equaciódelarecta:y—x—. 3 3 3

c) x2 y2 6 0 i P(√3, √3)

Centre:(0,0).PendentCP → m 1;pendentperpendi-cular:1;equaciódelarecta:yx 2√3.

24.Troba k per tal que la recta x y k 0 sigui tangent a la circumferència x2 y2 2.

Elsistemaformatperlesduesequacionscalquetinguinomésunasolució;ésadir,eldiscriminanthadeserigualazero.

xyk06 y xk

x2y22 x2(xk)22 →

→ x2x22kxk220

2x22kxk220

(2k)28(k22)0 → k 2

Hihaduesrectestangents.

25.Considera el feix de rectes que passen pel punt P(0, 2). Troba les dues rectes del feix que són tangents a la circumferència de centre C(1, 1) i radi √2.

ElfeixderectesquepassaperPés

ymx2


(x1)2(y1)22 →

→ x2y22x2y0

Procedimcomenl’exercicianterior:

x2(mx2)22x2(mx2)0 →

→ 0 → m11,m2 7

Lesrectessón: yx2 i y 7x2.

26.Una circumferència té com a tangents els eixos de coordenades. En quina recta es troba el seu centre?

Elcentreestrobaenunadelesduesbisectriusd’equacions:

yx i y x

27.Calcula la potència del punt P(2, 3) respecte d’una circumferència de centre l’origen de coordenades i radi 4. Quina és la posició del punt respecte de la circumferència?

Lapotènciaescalculasubstituintlescoordenadesdelpuntenl’equació de la circumferència, ja que correspon a l’expressió pd2r2.


x2y240

p22(3)249

Elpuntésexterioralacircumferència,jaquep90.

28.Considera la circumferència tangent a la bisectriu del segon i quart quadrants i de centre el punt (0, 3) i la circumferència d’equació x2 y2 14x 8y 56 0. Troba l’equació de l’eix radical de les dues circumferències. Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta que determinen els centres de les dues circumferències. Fesne un dibuix.

Caltrobarelradidelacircumferènciaqueéstangentalarectayx0:

3 3r————————

√ 1212 √2

Equació: 9

(x0)2(y3)2— → 2 9

→ x2y26y—0 2

L’equaciódel’eixradicalestrobaigualantlesduesequacions: 9

x2y26y— 2

x2y214x8y56 →→ 28x4y1030

1 Larectadelscentres(0,3)i(7,4)tépendent——,l’eixra- 1 7 dicaltépendent7.Comque7— 1,lesduesrectes

sónperpendiculars. 7

29.Intenta trobar l’eix radical de dues circumferències concèntriques de centre el punt (1, 1) i de radis 3 i 4, respectivament. Què observes? Raona la resposta.

Lesduescircumferènciestenenequacions:

(x1)2(y1)290 i(x1)2(y1)2160

Enigualar-lesobtindríem9 16.Comquenoesverificalaigualtat,noexisteixl’eixradical.

30.Determina l’equació que verifiquen tots els punts P(x, y) del pla que tenen potència 12 respecte de la circumferència x2 y2 4x 2y 1 0. Quina figura determinen?

ElspuntsP(x,y)calqueverifiquin:

x2y24x2y112 →→ x2y24x2y110

Formenunacircumferènciaconcèntricaambladonadaideradi4.



31.Fes una construcció geomètrica de l’eix radical de dues circumferències tangents, exteriors i secants.

L’eixradicaléslarectaperpendicularaladelscentrespelpuntde tangència. Si les circumferències són secants, és la rectadeterminadapelsdospuntsd’intersecció.

32.Determina el focus i la directriu de les paràboles d’equacions:

y2 6x i x2 10y

Caldeterminarelparàmetrepperobtenirelfocusiladirectriu.

y26x → 2p6 → p3

3 3 Focus:F—,0;directiu:x — 2 2

x2 10y → 2p 10 → p 5

5 5 Focus:F0,——;directiu:y— 2 2

33.Determina l’equació de la paràbola que té el vèrtex a l’origen de coordenades, l’eix és la recta y 0 i conté el punt (1, 4).

Laparàbolaseràdelaformax2aysicontéelpunt(1,4) → 1 1

→ 1a(4) → a— → x2—y. 4 4

34.Troba el valor del paràmetre p de la paràbola d’equació x2 2py, sabent que el punt P(4, 2) pertany a la paràbola.

P(4,2) → (4)22p2 → p4

35.Representa gràficament aquestes paràboles i determina’n els diferents elements:

a) y2 4x

F(1,0)

d:x1

b) x2 6y

3 F0,— 2

3 d:y— 2

c) y x2 4x

15 F2,—— 4

17 d:y —— 4

36.Escriu l’equació de les dues paràboles que verifiquen aquestes condicions: tenen el vèrtex a l’origen de coordenades, els eixos coincideixen amb els eixos de coordenades i ambdues passen pel punt (4, 4). Representa gràficament aquestes paràboles i indica’n el focus i la directriu.

La paràbola que té com a eix el d’abscisses té una equa-ciódel tipusy22px.Sipassapelpunt(4,4)tindrem: 16 8p → p 2.

Equació:y2 4x.Focus:(1,0);directriu:x1.

Laparàbolaquetécomaeixeldelesordenadestéunaequa-ciódel tipusx22py.Sipassapelpunt(4,4)tindrem: 16 8p → p 2.

Equació:x2 4y.Focus(0,1);directriu:y1.

37.Determina els semieixos, els vèrtexs, els focus i l’excentricitat de l’el.lipse d’equació:

x2 y2

— — 1 9 4

x2 y2

Siidentifiqueml’equacióamb————1obtenim: a2 b2

a3ib2.Sitenimencomptequea2b2c2 → c √5.

Vèrtexs:(3,0),(3,0),(0,2)i(0,2)

Focus:(√5,0)i(√5,0)

c √5 Excentricitat:e——— a 3



38. Escriu l’equació de l’el.lipse centrada a l’origen de coordenades, amb un focus en el punt (12, 0) i de semieix gran 13.

Siunfocusés(12,0) → c12ia13.Pertrobarbhiapliquem:

132b2122 → b225

x2 y2

Equació:————1 169 25

39.Calcula els paràmetres a, b, c i e de l’el.lipse d’equació 9x2 16y2 144.

Dividiml’equació9x216y2144per144ilasimplifiquem:

x2 y2

————1 → a4ib3; 16 9

a2b2c2 →169c2 → c√7

√7e——

4

40.Troba l’equació de l’el.lipse de centre l’origen de coordenades sabent que un dels focus se situa en el punt (2 √ 7, 0) i que passa pel punt (4, 3 √ 3).

F(2√7,0)iF(–2√7,0),P(4,3√3).EnserPunpuntdel’el.

lipseesverifica:

16 27————1 i

a2 b2

a2b2(2√7)2b228

Resolemelsistema,ambincògnitesa2ib2.

a2b228 16 27

————1 6 a2 b2

Lessolucionssón:b236ia264

x2 y2

L’equació: ————1 64 36

41.Escriu l’equació de la circumferència principal de l’el.lipse de l’exercici anterior.

Lacircumferènciaprincipaltécentre(0,0)ira8.

Equació:x2y264

42.Determina els paràmetres a, b i c i l’excentricitat de la hipèrbola que té l’equació següent:

x2 y2

—— — 1 16 9

x2 y2

Enl’equació————1, 16 9

a4ib3;c2a2b225 → c5.

c 5 Excentricitat:e—— a 4

43.Determina l’equació d’una hipèrbola equilàtera un dels focus de la qual se situa al punt (√ 2, 0). Calcula’n l’excentricitat.

Enunahipèrbolaequilàtera,abil’equacióés:x2y2a2.

F(√ 2,0) → c√ 2 →→ c2a2b22a2 →→ (√ 2)22a2 → a1

Equació:x2y21

44.Troba els valors de a, b, c i e a la hipèrbola d’equació 2x2 3y2 12.

Dividimelstermesdel’equacióper12isimplifiquem:

x2 y2

2x23y212 → ————1 → 6 4

→ a√ 6 ib2

c2a2b26410 → √ 10 √ 5

→ c√ 10ie———— √ 6 √ 3

45.El semieix real d’una hipèrbola és 3 i la semidistància focal, 10. Escriune l’equació reduïda.

Les dades que ens dóna l’enunciat ens permeten deduir que a3ic10.

10232b2 → b291

x2 y2

Equació: ————1 9 91

46.Demostra que l’excentricitat de totes les hipèrboles equilàteres és e √ 2.

c Excentricitat:e—.Enunahipèrbolaequilàtera,c2 2a2→ a √2a → c√ 2a → e——√ 2. a

Activitatsfinals

1.Esbrina si els punts P(1, 2), Q(2, 1) i R(0, 0) es troben en una mateixa circumferència. Si és així, determina’n el centre, el radi i l’equació.

Elstrespuntsnoestanalineatsi,pertant,estrobenenunama-teixacircumferència.Podemsubstituircadapuntenl’equació:

x2y2mxnyp0

(1,2) → 14m2np0 (2,1) → 412mnp0 6 (0,0) → p0



5 Resolemelsistemaitrobem:mn— 3 5 5 Equació:x2y2—x—y0 3 3

5 5 5√ 2 Centre—,—iradir——— 6 6 6

2.Determina el centre i el radi de la circumferència

2x2 y2 4x 12y 12 0.

L’equació2x2y24x12y120noéslad’unacir-cumferència,jaqueelscoeficientsdelstermesdesegongrausóndiferents.

3.a) Escriu l’equació de la circumferència de centre (3, 2) i tangent a l’eix de les abscisses.

Lacircumferènciadecentre (3,2) i tangenta l’eixde lesabscissestéradir2.L’equacióés:

(x3)2(y2)24 →→ x2y26x4y90

b) Escriu l’equació de la circumferència de centre (1, 2) i tangent a l’eix de les ordenades.

Lacircumferènciadecentre (1,2) i tangenta l’eixdelsordenadestéradir1.L’equacióés:

(x1)2(y2)21 →→ x2y22x4y40

c) Troba l’eix radical de les dues circumferències que has determinat en els apartats a) i b).

L’equaciódel’eixradicals’obtéigualantlesduesequacions:

x2y26x4y9 5

x2y22x4y4 → x— 8

d) Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta determinada pels dos centres.

La rectadeterminadapelsdoscentres (3,2) i (1,2)ésla recta d’equació y 2 que és perpendicular a la rectad’equació

5 x—. 8

4.Determina l’equació de la circumferència de radi 4 i que passa pels punts A(1, 2) i B(3, 4).

Ladistànciadelcentre(x,y)acadapuntéselradidelacir-cumferència:

√ (x1)2(y2)24 i

√ (x3)2(y4)24

x22x1y24y416

x26x9y28y1616 6

Restantisimplificants’obté:xy5

Substituintenunadelesduesequacionss’obtenendosvalors.Hihaduescircumferènciesdecentres:

(2√ 7,3√ 7) i (2√ 7,3√ 7)

Lesequacionssón:

(x(2√ 7))2(y(3√ 7))216

(x(2√ 7))2(y(3√ 7))216

5. Una circumferència és tangent a la recta y x 1 en el punt d’abscissa 3. Se sap que la circumferència també passa pel punt A(3, 1). Troba l’equació d’aquesta circumferència.

Elcentredelacircumferènciaestrobaenlaintersecciódelarectaperpendicularalatangentenelpunt(3,4)ilamedia-triudelsegmentdeterminatperaquestpuntiel(3,1).Lesequacionsd’aquestesrectessón,respectivament:y x 7 i 3

y—. 2 11 3 Elcentreéselpunt——,—.Elradiéselmòduldelvector 2 2 5 entreelcentreielpunt(3,4) → r—— √ 2 11 3 25 Equació: x——

2

y—2

—— 2 2 2

6.L’incentre d’un triangle és el centre de la circumferència inscrita en el triangle. Si els vèrtexs d’un triangle són els punts (0, 0), (0, 4) i (4, 0), quina és l’equació de la circumferència inscrita? Fesne un dibuix.

L’incentreéslaintersecciódelesbisectrius.Unadelesbisec-triuséslarectayx.Caltrobar-neunaaltra.

Consideremlesrectesy x4ix0.Labisectriudel’an- xy4

glequeformenambduesrectesés————— x,jaqueés √ 2 laquecorresponalpendentnegatiu.Elpuntd’interseccióés

(42√ 2,42√ 2)queéselcentre.Ladistànciad’aquestpuntalarectax0;perexemple,ensdónaelradir42√ 2.

Equació:

(x(42√ 2))2(y(42√ 2))2

(42√ 2)2



7. Dibuixa la circumferència que té com a equació

x2 y2 6x 6y 9 0

Considera el punt P(3, 1). Troba la potència i la posició d’aquest punt respecte de la circumferència. Troba el punt més proper i el més llunyà a P que pertanyin a la circumferència.

Potència:p32126361931.Comquep0,elpuntésexterioralacircumferència.

Larectadeterminadapelcentre(3,3)ielpunt(3,1)contéundiàmetredelacircumferència.Elsextremsd’aquestdiàmetresónelspuntsqueesdemanen.

1 Equaciódelarecta:y —x2 3

Interseccióamblacircumferència:

x2y26x6y90 6 1

y —x2 3

9·√ 10 3√ 10x1 3———— → y13———

10 10

9√ 10 3√ 10x2 3——— → y23———

10 10

Elprimerparelldevalorscorresponalpuntmésproperil’altrealmésllunyà.

8.Escriu les equacions de les rectes tangents a la circumferència x2 y2 6x 4y 4 0 en els punts en què talla els eixos de coordenades.

Elspuntsdetallambelseixosdecoordenadess’obtenenfentx0iy0,respectivament:

x2y26x4y40 6 → (0,2) x0

x2y26x4y40 6 → (3√ 5,0) y0 (3√ 5,0)

Latangentenelpunt(0,2)éslarectax0.

Pertrobarlesaltresduestangentscaldràbuscarlarectaper-pendicularalaquedeterminaelcentreambcadapunt,peraaquestpunt.Lesrectesquesen’obtenensón:

√ 5 Pera(3√ 5,0) → y——(x(3√ 5)) 2

√ 5 Pera(3√ 5,0) → y ——(x(3√ 5)) 2

9.Els punts que són d’un cercle tenen una inequació que els representa. Escriu la inequació del cercle de centre l’origen de coordenades i radi 3.

Elspuntsd’uncerclesónelsdelacircumferènciaqueellimitaitotselsinteriors.Verifiquenlainequacióx2y29.

10. Troba la posició relativa de la recta d’equació 2x 3y 4 0 i la circumferència de centre (4, 3) i radi 5.

Caldeterminarquinssónelspuntsquetenenencomúlarectailacircumferència.


(x4)2(y3)225

Calresoldreelsistemad’equacionspersubstitució:

2x4 5 2x3y40 → ————y 3

x2y28x6y0 →

2x4 → x2————

2

8x2(2x4)0 3

L’equació13x292x560téduessolucions,pertant,larectaéssecantalacircumferència.

11.Considera la circumferència x2 y2 2x 8y 12 0. Escriu l’equació de la circumferència concèntrica que té de radi √ 5 unitats més que la primera.

Lacircumferènciad’equacióx2y22x8y120técomacentreelpunt(1,4)ideradi,r√ 5.

Lacircumferènciaconcèntricatéderadi:

√ 5√ 52√ 5

Equació:

(x1)2(y4)2(2√ 5)220 →

→ x2y22x8y30

12.Des d’un punt exterior a una circumferència es poden traçar dues rectes tangents a la circumferència. Considera el punt P(2, 0) i la circumferència x2 y2 6x 4y 9 0. Traça les rectes tangents a la circumferència des del punt P. Determina les equacions d’aquestes dues rectes.

Unadelestangentséslarectay0,comespotcomprovarenlafigura.L’altratangents’obtéenferquelaintersecciódelesrectesym(x2),quepassenpelpunt(2,0),tinguinunaúnicainterseccióamblacircumferència:



ym(x2)

5 x2y26x4y90 →

→ x2[m(x2)]24m(x2)

6x90 →

→ x2m2x24m2x4m24mx

8m6x90

200 → m10 i m2——

21

20 20 m2——ensdónalarectay——(x2);m1ensdónala 21 21 rectay0.

13. Calcula la potència de l’origen de coordenades respecte de la circumferència que té el centre a la recta d’equació 2x y 0 i és tangent a l’eix d’ordenades i a la recta d’equació x y 3 0.

Enprimerlloc,caltrobarl’equaciódelacircumferència.

Sitéelcentreenlarecta2xy0significaqueelcentretécomacoordenades(x,2x).

Si és tangenta l’eixd’ordenades significaque r x i pertrobarrcalculemladistànciadelcentrealarectaxy30:

x2x3 √ 2x x3

rx—————— √ 2 √ 2x x3

Sen’obtenendosvalorsperalradi:

x1 3(√ 21) i x23(√ 21)

Pertant,hihaduescircumferències:

C1:(x3(√ 21))2(y6(√ 21))2

(3(√ 21))20

C2:(x3(√ 21))2(y6(√ 21))2

(3(√ 21))20

Percalcularlapotència,substituïmper(0,0)enelprimermem-bredecadaequació:

p1:10872√ 2; p2:10872√ 2

14.Determina la interpretació geomètrica de la potència del punt P respecte d’aquesta circumferència. Observa el triangle rectangle que es forma a la figura 6.27 i calcula la longitud del segment PT.

ElsegmentPTésunsegmentdelatangentenelpuntT.Eneltrianglerectangle:PT2d2r2,queésl’expressiódelapotèn-ciadelpuntPrespectedelacircumferència:

PT√ d2r2√ p

15.Considera les circumferències: C: x2 y2 4x 10y 20 0 i C que té el centre en el

punt (3, 7) i passa pel punt (2, 7).

Caltrobarl’equaciódelacircumferènciaCquetécentreenelpunt(3,7)iradielmòduldelvectorquedeterminenelsdospunts:(5,0)5r.

C:(x3)2(y7)252 → x2y26x14y330

a) Troba la posició relativa de les dues circumferències.

IntersecciódeCiC:

x2y24x10y200 5 x2y26x14y330

Restant: 1310x

10x4y130 → y————— 4

1310xx2—————

2

6x 4

1310x14—————330

4

L’equacióqueenresulta,116x2204x310,téduessolucions;pertant,lescircumferènciessónsecants.

b) Escriu l’equació de l’eix radical de C i C.

L’eixradicalestrobarestantlesduesequacionsquejahemresoltenl’apartatanterior.

Eixradical:10x4y130

c) Troba la intersecció de l’eix radical amb C. Què observes? Explicaho.

Laintersecciódel’eixradicalambCiambCéslamateixa,jaquel’eixradicalestàdeterminatpelspuntsd’intersecciódelesduescircumferències.

d) Calcula la longitud de la corda que determina l’eix radical amb C.

Lalongituddelacordavedeterminadaperladistànciadelsdospuntsd’intersecció.

Demaneraaproximada,aquestspuntssón(1,9,6)i(0,14,2,9).Lalongituddelacordaés3,7.

16.Determina k per tal que la recta 3x y k 0 sigui tangent a la circumferència d’equació x2 y2 6x 0. Hi ha més d’una solució? Raona la resposta.

Larectaéstangentsinoméshitéunpuntencomú.Busquemlaintersecció:y 3xk.

x2(3xk)26x0 →→ 10x2(6k6)xk20



Pertalqueaquestaequaciónoméstinguiunasolució,eldiscri-minanthadeser0:

(6k6)240k20 → 18√ 360

→ k218k90 → k——————–– 9 3√ 10 2

Hihadosvalorsdekquecorresponenaduesrectesparal.lelestangentsalacircumferència.

17.El punt P(0, 1) és de la circumferència: x2 y2 3x 2y 3 0? Troba l’equació de la recta

tangent a la circumferència per aquest punt.

El punt pertany a la circumferència perquè al substituir enl’equaciósesatisfà la igualtat.Cal trobarel centrede lacir-cumferènciaqueambelpuntP(0,1)determinenunarecta.Laperpendicularperaquestpuntéslarectatangent.

3 Centredex2y23x2y30 → C—,1 2 4 PendentdelarectaCP:m — 3 3 pendentdelaperpendicular:m — → 4 3 → y—x1ésl’equaciódelarectatangent. 4

18.Determina l’equació del lloc geomètric dels punts del pla tals que la distància al punt (2, 0) és sempre la meitat de la distància a la recta y x 8.

DonatunpuntP(x,y)posemlacondiciósegüent: 1 xy8

√ (x2)2y2——————— 2 √ 2 Sielevemaquestaexpressióalquadratobtenim: 1 (xy8)2

(x2)2y2——————— 4 2

queésl’equaciódelllocgeomètric.

19.Calcula m per tal que la recta d’equació y x m sigui tangent a l’el.lipse x2 2y2 6.

Procedimcomenl’exercici16:

x22(xm)26 →→ 3x24mx2m260

(4m)212(2m26)0 → m 3

Hihaduesrectestangentsal’el.lipse.

20. Dibuixa de manera aproximada la paràbola d’equació x2 6y.

Indica’n:

a) Les coordenades del focus.

3 Focus:F0,—— 2

b) Les equacions de la directriu i de l’eix.

3 Directriu:y——; eix:x0 2

c) La longitud de la corda perpendicular a l’eix pel focus.

3 Caltrobarlaintersecciódelaparàbolaamblarectay ——: 2

x2 6y 3 → x29→ x 3 y ——6 2

Lalongituddelacordaés:3∙2 6.

21.Troba l’equació de l’el.lipse els focus de la qual són els punts (6, 0) i (6, 0) sabent que la suma de distàncies d’un punt qualsevol de l’el.lipse als focus és constant i igual a 20.

Apartirdelesdadespodemdeduirquec6ia10.

a2b2c2 → b21003664

x2 y2

Equaciódel’el.lipse:————1 100 64

22.Escriu l’equació de la hipèrbola centrada a l’origen de coordenades sabent que un dels focus és el punt (6, 0) i que el semieix real és 5.

Apartirdelesdadespodemdeduirquec6ia5.

c2a2b2 → b2362511

x2 y2

Equaciódelahipèrbola:————1 25 11



23.Els focus d’una el.lipse centrada a l’origen de coordenades es troben situats a l’eix d’abscisses. Determina’n l’equació sabent que e 0,6 i b 8.

Perescriurel’equacióenscaltrobara.Relacionemlesdades:

c e0,6—ia2b2c2 → a264c2

a

c0,6a → a2640,36a2 →

→ 0,64a264 → a2100

x2 y2


24.Identifica els focus i els vèrtexs de la hipèrbola d’equació x2 y2

—— —— 1. Calcula’n l’excentricitat. 144 25

x2 y2

Del’equació————1esdedueix:a12ib5. 144 25

Elsvèrtexssón:(12,0)i(12,0).

c2a2b2

14425169 → c13

Focus:(13,0)i(13,0)

c 13 Excentricitat:e——— a 12

x2

25.Dibuixa la paràbola y —— i determina’n: 4

a) El focus.

Focus:dex24y → p2ielfocusF(0,1)

b) L’equació de la directriu.

Directriu:y 1

c) El vèrtex.

Vèrtex:(0,0)

x2

26. Identifica el vèrtex de la paràbola d’equació y —— x 6. 4 Relaciona el seu gràfic amb el de la paràbola de l’exercici

anterior. Dóna’n el focus i la directriu.

x2

Elvèrtexdelaparàbolay——x6éselpunt(2,5)→ 4 b → xv ——. 2a

El gràfic d’aquesta paràbola és elmateix que el de l’exercicianterior traslladantel vèrtex (0,0)alpunt (2,5). Tambéhitrasllademelfocusiladirectriu:

Focus:(2,6)

Directriu:y4

427.L’excentricitat d’una el.lipse és e —. Escriu la seva equació 5 sabent que a 10. Representala gràficament.

c 4 ce———— → c8

a 5 10

a2b2c2 → b21006436

x2 y2


28.Dibuixa de manera aproximada una hipèrbola que tingui com a vèrtex A(0, 3) i A(0, 3) i un dels seus focus sigui F(0, 5). Escriune l’equació.



Perlesdades:a3ic5

c2a2b2 → b225916

Enserl’eixd’ordenadeseldelahipèrbola,l’equacióhadeser

talqueescorresponguiambeldibuix,ésadir,quecontingui

elsvèrtexs.

y2 x2

Equaciódelahipèrbola:————1 9 16

29.Relaciona les excentricitats d’una el.lipse i d’una hipèrbola amb el número 1.

c L’excentricitatése—entoteslescòniques. a

Enl’el.lipse:ca → e1

Enlahipèrbola:ca → e1

30.Identifica les paràboles següents sabent que les seves equacions són:

a) y2 8x b) x2 8y

a)

Corresponalaparàbolad’equacióx2 8y.

b)

Corresponalaparàbolad’equacióy2 8x.

31.La circumferència principal d’una el.lipse té d’equació x2 y2 16. Escriu l’equació de l’el.lipse sabent que l’excentricitat és

1 e —. 2

Lacircumferènciaprincipaléslaqueverifica:ra.

Enlacircumferència

x2y216 → ra4

c c 1e——— → c2 →

a 4 2

→ a2b2c2 → b216412

x2 y2


x2 y2

32.Considera l’el.lipse d’equació —— —— 1. Representala 36 9 gràficament i traça la recta perpendicular a l’eix de les abs

cisses per a un dels focus. Troba la longitud del segment d’aquesta recta determinat per la seva intersecció amb l’el.lipse.

a6 i b3

a2b2c2 → c227 → c√ 27

CalbuscarladistànciaPP2PF.ElpuntPtéabscissa√ 27il’ordenadalatrobaremensubstituirenl’equació:

(√ 27)2 y2 9 3—————1 → y2— → y —

36 9 4 2

3 LadistànciaPPés2—3. 2

33.Una circumferència té el centre en la bisectriu dels segon i quart quadrants i passa pels punts (0, 3) i (1, 2). Determina’n el centre i el radi. Quina és l’equació d’aquesta circumferència?

Elcentreestrobaalamateixadistànciadelsdospunts.Estro-baenlamediatriudelsegmentquedeterminen.Laintersecciód’aquestarectaamblaquetécomaequacióy xensdónaelcentre.



Elpendentdelarectaquepassapelspunts(0,3)i(1,2)és

m 1;elde laperpendicularésm1, ipassapelpunt

1 5 mitjà—,— → yx2. 2 2

yx2 6 C(1,1) y x

Radi:mòduldelvector(1,2) → r√ 5


(x1)2(y1)25

34.Traça les dues tangents a la circumferència d’equació x2 y2 4 des del punt P(5, 5). Troba les equacions d’aquestes dues rectes.

Consideremelfeixderectesquepassenpelpunt(5,5)iimposem

lacondicióquelasevadistànciaa(0,0)siguiigualalradi2.

Recta:

y5m(x5) →

→ mxy5m50

5m52—————— → 4(m21)

√ m21

(5m5)2 → 21m250m210

50√ 736m—————— ⇒ m11,84;m2 0,54

42

(demaneraaproximada)

Lesrectes:

y51,84(x 5) i

y50,54(x5)

Avaluació

1. Donades tres circumferències, quants punts existeixen de forma que tinguin la mateixa potència respecte de les tres circumferències? Raona la resposta.

Existeixunúnicpuntque té lamateixapotència respectedecadascunadelescircumferències.S’anomenacentreradicaldelestrescircumferències.Estrobafentlaintersecciódedosdelstreseixosradicalsquelestrescircumferènciesdeterminen.

2. Troba l’equació de l’el·lipse que té un focus al punt F(2, 0) i un vèrtex al punt A(5, 0).

( ) ( )( ) ( )

,0 2,0 2

,0 5,0 5

F c F c

A a A a

→ → =

→ → =2 2 2 2 2 2 2 25 2 25 4 21a b c b b b− = → − = → − = → =

Aleshoresl’equacióés:2 2

125 21x y+ =

3. Determina els elements característics de la hipèrbola d’equació x2 y2

———— 1. 16 9

2

2

16 4

9 3

a a

b b

= → =

= → =

Vèrtexs: ( ) ( )'4,0 4,0A i A − .

Focus: 2 2 2 2 2 24 3 16 9 25 5c a b c c= + → = + = + = → =

( ) ( )5,0 ' 5,0F i F − .

Excentricitat:54

ce

a= = .

4. Donades les circumferències C1 : x

2 y2 9 0 i C2 : x2 y2 2x 6y 3 0.

a) Troba la potència i posició del punt P(1, –3) respecte a 1C .

b) Troba l’eix radical de les dues circumferències.

c) Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta que uneix els dos centres.

a) ( )221 3 9 1 9 9 1 0p = + − − = + − = > .Puntexterior.

b) Igualemlesduesequacions:2 2 2 29 2 6 3 9 2 6 3 2 6 6 0 3 3 0x y x y x y x y x y x y+ − = + − + − → − = − + − → − + + = → − + + =

2 2 2 29 2 6 3 9 2 6 3 2 6 6 0 3 3 0x y x y x y x y x y x y+ − = + − + − → − = − + − → − + + = → − + + =

c) Elscentressón: ( ) ( )1 20,0 1, 3C i C − .Un vector director de la recta que uneix els centres és→

v ( )1, 3v = −r

.

Unvectordirectordel’eixradicalés→

w ( )3,1w =ur

.

Sifemelproducteescalar:→

v•→

w (1,3)•(3,1) 1·3 (3)·1 3 3 0.

Aleshores,sónperpendicularsambduesrectes.



jUnitat7.Polinomis

Activitats

1. Indica el grau i els coeficients de cadascun d’aquests polinomis:

a) A(x) x3 3x2 2

Grau3;coeficients:1,3,0i2.

1 b) B(x) x4 √ 2 x2 —x 3

1 Grau4;coeficients:1,0,√ 2,—i0. 3

5 8 c) C(x) 3x2 —x — 4 5

5 8 Grau2;coeficients:3,—i—. 4 5

d) D(x) x4 x3 x2 x 1

Grau4;coeficients:1,1,1,1i1.

2.Escriu un polinomi que sigui:

Respostesobertes.Perexemple:

a) De tercer grau i amb dos termes.

2x37

b) De quart grau i amb cinc termes.

x43x32x27x1

c) De segon grau i amb un terme.

5x2

d) Hi ha algun polinomi de tercer grau amb cinc termes? Per què?

Nohihacappolinomide3rgrauamb5termes.Comamàximenpottenir4.

3. Indica quines de les expressions algèbriques següents no són polinomis. Justifica’n les respostes.

5 a) — 1 x 2 1

b) ——— 5

√ x4

d) —— 9

x 3 x 2 1f ) — — —

3 2 x

√

x2

c) x3 x2 x 1

x2 x 2 e) ————— x

Les expressions a) c) e) i f) no són polinomis, ja que laindeterminadaxapareixelevadaa2ia1,respectivament.Enl’ex-

x pressiód)s’obté—,quesíésunpolinomi. 3

4.Calcula, per a x 1, el valor numèric del polinomi:

A(x) x3 x2 x 1

Elvalornumérics’obtéensubstituirxper1:

A(1)(1)31(1)2(1)12

A(1)2

5.Determina els coeficients a, b i c perquè els polinomis següents siguin idèntics:

B(x) x4 x2 1 i

C(x) x4 ax3 bx2 cx 1

Identificardospolinomisdequartgrauésigualarelscoeficientsdelmateixgrau:

a0 b1 c0

6.Donats els polinomis:

3 A(x) x3 3x2 5x — 4 7 B(x) x3 —x 3 2

C(x) 2x2 4x

Calcula:

a) A(x) B(x)

3 A(x)B(x)x33x25x— 4

7 17 9 x3—x33x2——x— 2 2 4

b) A(x) B(x)

A(x)B(x)

3 7x33x25x—x3—x3

4 2

3 152x33x2—x——

2 4

c) C(x) B(x) A(x)

9 9 C(x)B(x)A(x)x2—x— 2 4



4 x

7— x2

5 x

9— x2

2 x2

3 x2

x2

x3

x3

C (x)

B (x)

A (x)

C (x)B (x)A (x)

3

3—4

9—4

d) B(x) [A(x) C(x)]

B(x)[A(x)C(x)]

11 152x35x2——x——

2 4

7— x2

5 x

4 x

11— x2

3 x2

2 x2

5 x2

x3

x3

2 x3

B (x)

A (x)

C (x)

B (x)A (x)C (x)

3

3—4

15—4

e) x2 [B(x) C(x)]

x2[B(x)C(x)]

7x2 x3—x32x24x

2

15x2 x32x2——x3

2

15x52x4——x33x2

2

1 f) 3A(x) 5B(x) —C(x) 2

13A(x)5B(x)—C(x)

2

9 698x38x2—x——

2 4

15 x

35—x

2

2x

9— x

2

9x2

x2

8 x2

3 x3

5 x3

8 x3

3 A (x)

5 B (x)

1— C (x)

2

13A (x)5B (x)— C (x) 2

9—

4

15

69—

4

g) B(x) C(x)

B(x)C(x)

2x54x47x38x212x

7— x

2

2 x2

14 x2

6 x2

x3

7 x3

4 x4

2 x5

B (x)

C (x)

3

4 x

12 x

B (x)C (x)2 x54 x47 x3 8 x212 x

h) [C(x)]3

[C(x)]3(2x24x)3

(2x24x)2(2x24x)

8x648x596x464x3

16 x3

2 x2

64 x4

32 x4

4 x4

16 x5

32 x58 x6

[C (x)]2

C (x)16 x2

4 x

64 x3

[C (x)]38 x648 x596 x464 x3

Contesta les qüestions següents i justifica les respostes:

a) Per què el grau del polinomi A(x)B(x) no és 3?

ElgraudelpolinomiA(x)B(x)noés3perquèelscoeficientsde3rgrausónoposats.

b) Quin és el grau del polinomi x2 [B(x) C(x)]?

Elgraudelpolinomix2[B(x)C(x)]és5.

c) Per què el grau del polinomi [C(x)]3 és 6?

Elgraudelpolinomi[C(x)]3és6,jaque(2x2)38x6.

d) És cert que: B(x) [A(x) C(x)] B(x) A(x) C(x)?

B(x)[A(x)C(x)]

B(x)A(x)C(x)

Éscertalaigualtat.

7. Si A(x) 3x3 2x2 7 i B(x) x4 5x3 2x, determina:

a) El polinomi C(x) que verifica A(x) C(x) B(x).

C(x)B(x)A(x)

x48x32x22x7

x45x3 2x3x32x2 7

x48x32x22x7



b) El polinomi D(x) que verifica B(x) D(x) A(x).

D(x)A(x)B(x)

x48x32x22x7

Aquestpolinomiésoposatal’anterior.

c) La relació que hi ha entre els polinomis C(x) i D(x).

Larelació:D(x)C(x)

8.Realitza la divisió (3x4x31) : (x21). Comprova que es verifica la propietat fonamental.

3x4x3 1 x21 3x4 3x2

3x2x3x3 3x2

x3 x

3x2 x 1 3x2 3

x4

Quocient:3x2x3

Residu:x4

Comprovació:

(3x2x3)(x21)(x4)

3x4x31

9.Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini quan sigui possible.

a) (6x53x42x1) : (3x3 2x 4)

6x53x4 2x 1 3x32x4

6x5 4x38x2 4

3x44x3 8x2 2x 2x2x—3x4 2x2 4x 3

4x3 6x2 2x 1 8 16

4x3 —x— 3 3

2 196x2—x—

3 3 4 Quocient:2x2x— 3

2 19 Residu:6x2—x—— 3 3

b) x6 :(x4x2 2)

x6 x4x22 x6 x4 2x2 x21

x4 2x2

x4 x2 2

3x2 2

Quocient:x21

Residu:3x22

c) (2x3 x2 3x) : (x 1)

PerRuffini:

2 1 3 01 2 1 4

1 2 1 4 4

Quocient:2x2x4 Residu:4

d) (x4 1) : (x 1)

PerRuffini:

1 0 0 0 11 1 1 1 1

1 1 1 1 0

Quocient:x3x2x1 Residu:0

e) x3 : (x 2)

PerRuffini:

1 0 0 02 2 4 8

1 2 4 8

Quocient:x22x4 Residu:8

f) (x6 1) : (x2 1)

x6 1 x21 x6 x4 x4x21

x4

x4 x2

x2 1x2 1

2 Quocient:x4x21 Residu:2

1 1 1 1 g) —x2 —x — : x — 2 3 4 2

PerRuffini: 1— 3

1 — 4

1—— 12

1 — 4

1——24

5——24

1—2

1—2

1—2

1 1 Quocient:—x—— 2 12 5 Residu:—— 24



10.En una divisió, el divisor és el polinomi x3 2x2 3, el quocient és x22x1 i el residu és 8x2. Quin és el grau del dividend? Pots calcular-lo? Fes-ho.

Dividend:

(x32x23)(x22x1)(8x2)x53x3x22x1

Eldividendésdegrau5.

x32x2 3 x22x1

x32x2 32x44x3 6x

x52x4 3x2

x5 3x3 x26x38x2

x5 3x3 x22x1

11.Determina els valors de a i b, de manera que quan dividim 1

3x4 12x2 ax b per x3 2x2 3 el residu sigui —. 2

3x4 12x2axb x32x23 3x46x3 9x 3x6

6x312x2(a9)x b6x312x2 18

1 (a9)xb18— → 2 a90 → a9 →5 1 37 b18— → b—— 2 2

12.En una divisió exacta, el dividend és x51 i el quocient, x4x3 x2 x 1. Calcula’n el divisor.

x5 1 x4x3x2x1 x5x4x3x2x x1

x4x3x2x1x4x3x2x1

Divisor:x1

13.Determina el valor de k per tal que la divisió

(2x3 x2 k): (x 2) sigui exacta.

2x3 x2 k x2 2x3 4x2 2x25x10

5x2 k 5x210x

10x k10x 20

k200 → k20

14.Tria el mètode que consideris més convenient per trobar el valor numèric d’aquests polinomis per al valor que s’indica:

3 a) —x4 5x3 4x 2 per a x 12 2

Pelteoremadelresidu:

3 — 5 0 4 2

2 12 18 276 3312 39696 3

— 23 276 3308 39698 2

Valornumèric:39698

b) x6 x4 √ 2x3 x2 per a x √ 2 Substituint:

(√ 2)6(√ 2)4√ 2(√ 2)3(√ 2)2

844210

Valornumèric:10

2 1 3 c) —x3 —x2 —x 1 per a x 5 5 5 5

Substituint:

2 1 3—(5)3—(5)2—(5)1

5 5 5

5053147

Valornumèric:47

15.Calcula el residu de la divisió (2x3 3) : (x 2). Fes-ho mitjançant els dos procediments que hem analitzat. Explica quin és el més ràpid.

Fentladivisió:

2x3 3 x2 2x3 4x2 2x24x8

4x2 34x2 8x

8x 3 8x 16

13

R13

Pelteoremadelresidu:223313

Ésmésràpidfer-hopelteoremadelresidu.

16.Determina el valor de k per tal que la divisió (x3 3x2 5x k) : (x 3) sigui exacta.

Valornumèric0perax3:

(3)33(3)25(3)k0 →→ k69



17.Troba el residu de la divisió (x9 1) : (x 1). Pots obtenir-lo sense necessitat de fer la divisió.

R(1)910

18.Comprova que P(x) x3 3x2 6x 8 és divisible per x 2. Expressa el polinomi P(x) com a producte de dos polinomis.

SiP(2)0,P(x)ésdivisibleperx2.

P(2)(2)33(2)26(2)80

DividimP(x)perx2pertrobarl’altrefactor:

1 3 6 8 2 2 10 8

1 5 4 0

P(x)(x25x4)(x2)

19.Troba el valor de k perquè el polinomi x4 k sigui divisible per x 1.

Substituirperx1

(1)4k0 → k1

1 220.Un polinomi P(x) només té els divisors 3, x2 1 i —x —. Troba P(x). 3 9

1 2P(x)3(x21)—x— 3 9

2 2x3—x2x—

3 3

21.Calcula k perquè el polinomi x3 3x2 k sigui múltiple de x 1.

Calque(1)33(1)2k0 → k4

22.Indica si són certes o falses aquestes afirmacions:

a) x4 1 és divisible per x 1.

Certa,jaque(1)410

b) x5 1 és múltiple de x 1.

Certa,1510

c) x 2 és divisor de x3 8.

Certa,(2)380

d) x7 1 és múltiple de x 1.

Certa,(1)710

e) x 3 és divisor de x3 27.

Falsa,(3)32754

23.Determina, si és possible, les arrels enteres d’aquests polinomis:

Lesarrelsenteres,sin’hiha,calquesiguindivisorsdeltermeindependent.

A(x) x3 5x2 6x

x10 A(x)x(x25x6) x25x60 →

→ x23,x32

B(x) 6x3 7x2 9x 2

B(2)0 → x2ésl’únicaarrelentera.

C(x) 2x3 2

C(x)0 → 2x320 →→ x31 → x1

D(x) x3 7x2 6x

D(x)x(x27x6)0 →

x10 → x27x60 → x21,x36

E(x) x3 2x2 x 2

E(2)0 → x2

F(x) x4 x2 2

F(1)F(1)0 → x11ix21

24. Esbrina si x 3 és una arrel del polinomi P(x) x3 2x2 9.

x3ésunaarreldeP(x),jaque:

P(3)3323290

25.Determina les arrels del polinomi:

A(x) (x2 9)(2x 1)

x290 → x13,x23 A(x)0 1 2x10 → x3— 2

26.Calcula les arrels del polinomi P(x) (x2 4)(3x 1).

x240 → x12,x22 P(x)0 1 3x10 → x3— 3



27.El polinomi B(x) (x2 4)(x 1) només té una arrel real. Per què?

x240 → (notésolució) B(x)0 x10 → x1

28.Factoritza el polinomi P(x) x3 x2 8x 12. Troba una arrel entera entre els divisors del terme independent. Determina totes les seves arrels.

Télesarrels3i2(doble).

P(x)(x3)(x2)2

29.Factoritza aquests polinomis:

a) x4 1

x41(x21)(x21)

(x21)(x1)(x1)

b) x5 x4 x 1

x5x4x1

(x1)(x1)2(x21)

1 1 0 0 1 1

1 1 2 2 2 1

1 2 2 2 1 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

c) x4 4x3 4x2

x44x34x2x2(x24x4)

x2(x2)2

d) 9x2 30x 25

9x230x25(3x5)2

x2

e) —— 9 9

x2 x x——9—3—3 9 3 3

f) x4 3x3 3x2 11x 6

x43x33x211x6

(x2)(x3)(x1)2

1 3 3 11 6 2 2 10 14 6

1 5 7 3 03 3 6 3

1 2 1 0

30.Troba les arrels d’aquests polinomis mitjançant la seva factorització:

a) x3 3x2 13x 15

x33x213x15

(x1)(x3)(x5)

Arrels:1,3i5

b) 2x4 6x3 8x

2x46x38x2x(x1)(x2)2

Arrels:0,1i2(doble).

3 c) 3x2 3x — 4

3 13x23x—3x—

2

4 2 1 Arrel:—(doble) 2

d) x3 3x2 4x

x33x24xx(x4)(x1)

Arrels:0,4i1

e) x4 x3 2x2

x4x32x2x2(x2)(x1)

Arrels:0,2i1

f) x4 3x3 3x2 11x 6

Arrels:1(doble),3i2

( ) ( )( )24 3 23 3 11 6 1 3 2x x x x x x x− − + − = − − +

131.Les arrels d’un polinomi de segon grau són 2 i — i el coeficient de x2 és 6. Quin és aquest polinomi? 3

1P(x)6(x2)x—6x210x4

3

32.Calcula el m.c.d i el m.c.m dels polinomis:

a) P(x) x2 9 i R(x) x2 6x 9

P(x)x29(x3)(x3)

R(x)x26x9(x3)2

m.c.d.:x3;m.c.m.:(x3)(x3)2



b) P(x) x2 1 i R(x) 3x2 6x 3

P(x)x21(x1)(x1)

R(x)3x26x33(x1)2

m.c.d.:x1;m.c.m.:3(x1)(x1)2

c) A(x) 3x4 3 i B(x) 3x2 3

A(x)3x433(x21)(x1)(x1)

B(x)3x233(x1)(x1)

m.c.d.:3(x1)(x1)B(x)

m.c.m.:3(x21)(x1)(x1)A(x)

d) A(x) x2 2x 3, B(x) x3 2x2 x i

C(x) x3 8x2 21x 18

A(x)x22x3(x1)(x3)

B(x)x32x2xx(x1)2

C(x)x38x221x18(x3)2(x2)

m.c.d.:1

m.c.m.:(x1)2(x3)2(x2)x

33. Troba el m.c.d. i el m.c.m. de S(x) (x 2)2 i T(x) x2 4.

Comprova que el producte dels dos polinomis que acabes de trobar és igual al producte dels polinomis S(x) i T(x).

S(x)(x2)2; T(x)(x2)(x2)

m.c.d.:x2;m.c.m.:(x2)2(x2)

Efectivament:

(x2)(x2)2(x2)S(x)T(x)

34.El m.c.d. de dos polinomis A(x) i B(x) és 1. Quin és el seu m.c.m.?

Sielm.c.d.deA(x)iB(x)és1,elsfactorsqueformenelm.c.m.sónelsdelsdospolinomis;ésadir,elm.c.m.A(x)B(x)

35.Determina si els parells de fraccions següents són equivalents:

x2 25 x 5 a) ——————— i ———— x2 7x 10 x 2

x225 x5 ———————————,jaque: x27x10 x2

(x225)(x2)

(x27x10)(x5)

1 x 1 b) ———— i ———— x 1 x2 2

1 x1 ————————,jaque: x1 x22

(x22)x21

P(x)36.Considera la fracció ———. Indica quines d’aquestes frac-

Q(x) cions són equivalents a la fracció donada:

4P(x) a) ———— 4Q(x)

4P(x) P(x) ——————— 4Q(x) Q(x)

10P(x) b) ———— 5Q(x)

3P(x) c) ————— 3Q(x)

[P(x)]2

d) ———— [Q(x)]2

P(x) Larestadefraccionsnosónequivalentsa——. Q(x)

37.Indica per a quins valors de x no té valor numèric la fracció algèbrica:

2x 7——————

2x2 x 1

Lafracciónotévalornumèricperaaquellsnombresqueanul.

lineldenominador:

x11 2x2x10 1 x2— 2

38.Simplifica aquestes fraccions algèbriques:

x2 7x 10 a) ——————— 2x2 50

x27x10 (x2)(x5)————————————————

2x250 2(x5)(x5)

x2—————

2x10



x3 1 b) —————— x2 3x 2

x31 (x1)(x2x1)————————————————–––

x23x2 (x1)(x2)

x2x1—————

x2

x3 5x 4 c) ————————— x3 3x2 3x 1

x35x4—————————

x33x23x1

(x1)(x2x4) x2x4——————————––––—————

(x1)(x22x1) x22x1

x4 16 d) ————————— x3 2x2 4x 8

x416—————————

x32x24x8

(x24)(x2)(x2)———————————x2

(x24)(x2)

3x2 5x 2 e) ——————— 4x2 4

3x25x2 (3x2)(x1)————————————————

4x24 4(x1)(x1)

3x2—————

4(x1)

39.Calcula:

2x 1 1 3 x a) ———— ———— ——— 2x 4 x2 4 x 2

2x1 1 3x ———————————;m.c.m. 2x4 x24 x2 delsdenominadors:2(x2)(x2):

(2x1)(x2)2(3x)2(x2) ——————————————————–––– 2(x2)(x2)

4x27x8———————

2(x24)

1 x2 3x b) ———— ——— x2 x x 1

1x2 3x———————

x2x x1

(1x)(1x)3x 3(1x)———————————————

x(x1)(x1) x1

40.Donades les fraccions:

1 x2 25A———, B————

x 5 x 3

x2 4x 3i C——————

x 5 calcula:

a) (AB)C

1 x225 x24x3—————————————

x5 x3 x5

(x5)(x5)(x3)(x1)——————————————––

(x5)(x3)(x5)

(x5)(x1)———————––

x5

b) (AC)B

1 x24x3—————————

x5 x5

x24x4——————

x5

x24x4 x225——————————

x5 x3

(x2)2(x5)(x5)———————————

(x5)(x3)

(x2)2(x5)————————

x3

c) 3A: C

3 x24x3———:——————

x5 x5

3(x5)——————————

(x5)(x24x3)

3——————

x24x3

2x 141.Quina fracció hem de sumar a ———— per obtenir la fracció zero? x 4

2x1 Seràlafraccióoposada:————. x4



3x42.Per quina fracció hem de multiplicar la fracció ——— per x 3 obtenir el polinomi de grau zero i de coeficient 1, és a dir,

U(x) 1?

x3 Seràlafraccióinversa:———. 3x

43.Calcula:

3 5x 2x a) ———— ——— ——— x2 1 x 1 x 1

3 5x 2x——————————

x21 x1 x1

35x(x1)2x(x1)—————————————

x21

3x27x3———————

x21

x2 4 x2 4x 4 b) ———— : —————— 3x x 2

x24 x24x4————:——————

3x x2

(x2)(x2)(x2) (x2)2

———————————————— 3x(x2)2 3x(x2)

3x c) 2 ——— x 1

3x 2x23x 2x2————————————

x1 x1 x1

x2 3 d) ———— 5 x2 1

x23 x235x25————5—————————

x21 x21

4x22—————

x21

44.Quina condició ha de verificar una fracció algèbrica per tal que sigui equivalent a un polinomi?

Unafraccióalgèbricaésequivalentaunpolinomisielpolinominumeradorésmúltipledelpolinomidenominador.

45.Comprova que el resultat d’aquesta multiplicació és 1:

x2 4 x 1 x 1 ———— ——— ——— x2 1 x 2 x 2

x24 x1 x1——————————

x21 x2 x2

(x2)(x2)(x1)(x1)——————————————1

(x1)(x1)(x2)(x2)

46.Per quina fracció algèbrica cal multiplicar 2x 1 1 ———— per obtenir ———————? x2 4 2x2 5x 2

Lafracciós’obtéenferladivisió:

1 2x1———————:————

2x25x2 x24

(x2)(x2)————————————

(x2)(2x1)(2x1)

x2————————

(x2)(4x21)

47.Calcula els nombres combinatoris següents:

6 10 80 15 15 , , , , 2 0 5 7 8

6 6·5 ———15 2 2

10 1 0

80 80! ———24040016 5 75!5!

15 15! 15·14·13·12·11·10·9 ——————————————6435 7 8!7! 7·6·5·4·3·2

15 15! ———6435 8 7!8!

48.Simplifica aquestes fraccions: 10! a) ——— 2!8! 10! 10·9 ——————45 2!8! 2

15! b) ——— 3!12! 15! 15·14·13 ————————455 3!12! 3·2



50! c) ——— 2!48! 50! 50·49 ———————1225 2!48! 2

1000! d) ——— 3!997! 1000! 1000·999·998 ———————————166167000

3!997! 3·2

49.Desenvolupa les potències següents: a)(x 2)5

5 5(x2)5 x5 x4(2)

0 1

5 5 x3(2)2 x2(2)3 2 3

5 5 x(2)4 (2)5 4 5

x510x440x380x280x32

b)(3x y)6

6 6(3xy)6 (3x)6 (3x)5y

0 1

6 6 (3x)4y2 (3x)3y3 2 3

6 6 6 (3x)2y4 (3x)y5 y6 4 5 6

729x61458x5y1215x4y2

540x3y3135x2y418xy5y6

50.Calcula el quart terme del desenvolupament de:

(x 1)12

Quartterme:

12 12! x9(1)3———x9220x9

3 9!3!

51.Donat el polinomi 2( ) 2 4C x x x= − , calcula [C(x)]3.

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

32

3 2 2 32 2 2

6 5 4 3

2 4

3 3 3 32 2 4 2 4 4

0 1 2 3

8 48 96 64

x x

x x x x x x

x x x x

− =

= + − + − + − =

= − + −

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

32

3 2 2 32 2 2

6 5 4 3

2 4

3 3 3 32 2 4 2 4 4

0 1 2 3

8 48 96 64

x x

x x x x x x

x x x x

− =

= + − + − + − =

= − + −

Activitatsfinals

1.Expressa en forma de polinomi ordenat en potències decreixents de x els resultats d’aquestes operacions:

1 a)4(x 2)x — 3

1 20 84(x2)x—4x2——x—

3 3 3

b) (x √2)2 x2

(x√2)2x2(x22√2x2)x2

x42√2x32x2

1 3x3 x2

c)— ————— x 1 3x

1 3x3x2 x2(3x1)————————————x

x 13x x(13x)

d) x3 (1 x)2

x3(1x)2x3(12xx2)

x52x4x3

2. Considera els polinomis A(x) x2 2x 3 i B(x) (x 1) (x 3). Calcula’n el valor numèric per a x 1 i x 2. Poden ser iguals aquests dos polinomis? Raona la teva resposta i comprova-ho.

A(1)1234

A(2)(2)22(2)35

B(1)2(2)4

B(2)1(5)5

Ambaixònohihaprouperquè2polinomissiguiniguals.

3.Escriu dos polinomis de tercer grau la suma dels quals sigui un polinomi de segon grau.


A(x)2x33x21 → B(x)2x3x2x

→ A(x)B(x)2x2x1

4. Troba el polinomi que sumat a P(x) x4 3x2 5x dóna com a resultat el polinomi R(x) x3 1.

Elpolinomiqueesbuscaés:R(x)P(x).

R(x)P(x)x31x43x25x

x4x33x25x1

5.Calcula a, b i c per tal que es verifiqui la igualtat:(x3 2x a)(bx c)

3x4 2x3 6x2 x 2

(x32xa)(bxc)

bx4cx32bx2(ba2c)xca

Igualantelscoeficientsdelmateixgrau:

b3;c2;ba2c1 → a1



6.Explica la relació que hi ha entre els graus dels polinomis factors i el grau del polinomi producte. Quina relació hi ha entre els graus dels polinomis dividend, divisor i residu en una divisió de polinomis?

Elgraudelpolinomiproducteéslasumadelsgrausdelsfactors.

El grau del dividend és la suma dels graus del divisor i delquocient.Elgraudelresiduésmenorqueelgraudeldivisor.

7.La potència de polinomis es defineix com a productes repetits de la base tantes vegades com indica l’exponent. (3x2 2)5és un polinomi. De quin grau? Quin és el coeficient que acompanya el terme de grau més gran? Quin és el terme independent?

En la potència (3x2 2)5, el primer terme del polinomi és (3x2)5243x10ieltermeindependent:(2)532.Pertant,elgraudelpolinomiés10.

1 8.Si A(x)3x2 — x 2, B(x)2x 3 i C(x)x33, 2 calcula:

a) B(x)3A(x) C(x) 3

9x2 —x 6 2

2x 3

927x2 —x18

218x3 3x2 12x

1518x324x2——x18

2 x3 3

1517x324x2——x21

2

B(x)3A(x)C(x) 15

17x324x2——x21 2

b) 3B(x)A(x) 2C(x) 1

3x2 —x 2 2

6x 9

927x2 —x18

218x3 3x2 12x

1518x324x2——x18

2 2x3 6

1516x324x2——x24

2

3B(x)A(x)2C(x) 15

16x324x2——x24 2

3 c)C(x) 2B(x) —A(x) 2

x3 3

4x 6

9 3—x2 —x 3

2 4

9 13x3—x2——x12

2 4

3C(x)2B(x)—A(x)

2

9 13x3—x2——x12

2 4

d) [C(x) 3A(x)]B(x)

x3 3 3

9x2 —x6 2

3x3 9x2 —x9

2

2x3

93x327x2 —x27

2

2x418x3 3x2 18x

272x415x324x2——x27

2

[C(x)3A(x)]B(x)

272x415x324x2——x27

2

9.Desenvolupa la potència (2x y)7.

7 7(2xy)7 (2x)7 (2x)6(y) 0 1 7 7 (2x)5(y)2 (2x)4(y)3 2 3 7 7 (2x)3(y)4 (2x)2(y)5 4 5 7 7 2x(y)6 (y)7 6 7

128x7448x6y672x5y2560x4y3

280x3y484x2y514xy6y7



10. Calcula el coeficient de x5 en el desenvolupament de (x 2)12.

Elcoeficientdex5éseltermedeldesenvolupament:

12 x12h ·2h→ 12h 5→ h7 h

12Coeficient: ·27101376 7

11.Determina el coeficient de x14 en el desenvolupament de (x2 x)10.

Delamateixamaneraqueal’exercicianterior:

10 (x2)10h ·(x)h→ h

→ x202h ·xh x20h x14→

→ 20 h14→ h6

10Coeficient: (1)6210 6

12.Hi ha algun polinomi que multiplicat per x 4 doni com a resultat el polinomi 2x2 5x 12? Si la resposta és afirmativa, quin és?

Elpolinomiéselquocientdeladivisió:

(2x25x12):(x4)

Siésexacta,existiràaquestpolinomi:

2 5 12 4 8 12

2 3 0

Elpolinomiés:2x3

13.Donat el polinomi A(x) 2x3 x2 4x 1, determina, si existeix, un altre polinomi C(x) tal que el quocient de la divisió A(x) : C(x) sigui 2x 3 i el residu, 4.

A(x) C(x) ... 2x3

...4

A(x)C(x)(2x3)(4)

C(x)[A(x)4] :(2x3)x22x21

2x3 x24x3 2x3 2x33x2 x22x1

4x24x 34x26x

2x32x3

14.Troba el dividend d’una divisió en què el quocient és 3x2 2x 1; el divisor, 2x2 x i el residu, x 1.

D(x) (2x2 x)(3x22x1)(x1)

6x4x32x1

3x22x 1 2x2 x

3x32x2 x 6x44x32x2

6x4 x3 xx 1

6x4 x3 2x 1

15.Calcula m per tal que la divisió següent sigui exacta:

(x4 x3 2x2 x 7m) : (x2 x 1)

x4 x32x2 x 7m x2x1 x4 x3 x2 x21

x2 x 7m x2 x 1m

7m 1m

1 7m10 → m— 7

16.Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini sempre que sigui possible.

a) (x3 3x2 2x) : (2x 1)

x3 3x22x 2x1 1 1 5 3 x3—x2 —x2—x— 2 2 4 8

5—x22x

2 5 5

—x2—x 2 4

3—x

4 3 3

—x — 4 8

3—

8

1 5 3 Quocient:—x2—x— 2 4 8

3 Residu:— 8



b) x5 : (x2 1)

x5 x21x5x3 x3x

x3

x3x

x

Quocient:x3x

Residu:x

c) (x4 2x2 1) : (x 2)

PerRuffini:

1 0 2 0 1 2 2 4 4 8

1 2 2 4 9

Quocient:x32x22x4

Residu:9

d) (x6 x3 x 1) : (x 1)

PerRuffini:

1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1

1 1 1 2 2 1 2

Quocient:x5x4x32x22x1

Residu:2

17.Calcula c per tal que el residu de la divisió següent sigui 2:

[2(c 1) x3 3x2 5 (1 2c)x c 2] : (x 3)

Pots fer-ho de dues maneres. Explica-les.

Es pot fer calculant el residu de la divisió i trobant el valornumèricdelpolinomiensubstituirx3.

2(c1)333325(12c)3

c22

8c——

85

18.Esbrina si el polinomi 6x2 6x 12 és divisible per 2x 4. Pots donar la resposta sense fer la divisió?

Elpolinomiésmúltiplede2.

6x26x126(x2x2)

2x42(x2)

22220.Sí,ésdivisible.

19.Calcula el valor numèric del polinomi següent per a x 2.

1 3 7—x3 —x2 —x 8

2 4 2

Fes-ho pel procediment més curt.

1 3 7—(2)3—(2)2—(2)8

2 4 243788

20.Dels nombres enters 1, 1, 2, 2, 4 i 4, quins són arrels del polinomi A(x) x3 3x2 6x 8? Quins no ho són?

Calbuscarelvalornumèricdelpolinomiperacadaunadelessuposadesarrels.

Elvalornumèricészeroi,pertant,sónarrels:1,2i4.Larestanohosón.

21.Quines són les arrels enteres del polinomi x8 1? Raona la resposta. Té alguna arrel entera el polinomi x8 1? Per què?

Lesarrelsenteresdex81són1i1quefanzeroelvalornumèricdelpolinomi.x81notéarreljaque181(1)812.

22.Factoritza els polinomis següents:

a) A(x) 3x3 75x

A(x)3x375x

A(x)3x(x225)3x(x5)(x5)

b) B(x) 3x3 18x2 27x

B(x)3x318x227x

B(x)3x(x26x9)3x(x3)2

c) C(x) 2x4 12x3 18x2

C(x)2x412x318x2

C(x)2x2(x3)2

1 d) D(x) —x2 3x 9 4

1 D(x)—x23x9 4

1 D(x)—x3

2

2

23.Determina el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis:

A(x) 2x5 6x4 8x2, B(x) x3 x i C(x) x4 x3 x2 x

A(x)2x2(x1)(x2)2

B(x)x(x1)(x1)

C(x)x(x1)2(x1)

m.c.d.(x1)x m.c.m.2x2(x1)2(x1)(x2)2



24.Calcula:

1 x x 1 x2 1——— ——— ———

1 x 1 x x2 1

Caltenirencompteque1x(x1).m.c.m.x21.

(1x)(x1) (x1)(1x)——————————————

x21 x21

x21 3x23—————————

x21 x21

25.Donades les fraccions següents:

x 2 x 3A(x) —————— i B(x) ———,

x2 6x 9 x2 4

calcula:

A(x)B(x), A(x) : B(x) i B(x) : A(x)

(x2)(x3)A(x)B(x)———————————

(x3)2(x2)(x2)

1———————

(x3)(x2)

(x2)(x2)(x2)A(x):B(x)———————————

(x3)2(x3)

(x2)2(x2)———————

(x3)3

(x3)3

B(x):A(x)——————— (x2)2(x2)

Avaluació

1. Contesta raonadament les qüestions següents:

a) En restar dos polinomis de tercer grau obtenim un polino-mi de segon grau. Quina relació hi ha entre els coeficients de més grau dels dos polinomis?

Elsdoscoeficientsdegraumésaltsónoposats.

b) Un polinomi P(x) és divisible per x + 1. Per a quin valor es verifica P(x) = 0?

Perax=–1esverificaP(–1)=0.

c) El grau d’un polinomi P(x) és 3. Quin és el grau del poli-nomi [P(x)]2?

Elgraude[P(x)]2és6=3·2.

d) Si x = 2 és una arrel de P(x), que podem afirmar sobre el valor de P(2)?

Six =2ésunaarreldeP(x) → P(2)=0.

2. Comprova les igualtats següents:

7 7 7 7a) … 27

0 1 2 7

17213535217112827

8 8 9b) 5 6 6

8 8·7·6·5·4 —————— 56 5 5·4·3·2

8 8·7·6·5·4·3 —————— 28 6 6·5·4·3·2

9 9·8·7·6·5·4 ——————— 845628 6 6·5·4·3·2

15 15c) 1 14

15 15! 15!·14! ——— ———15 1 1!·14! 1!·14!

15 15·14! ——— 15 14 14!

1515

3. Determina el valor de k per tal que P(x) = x4 – 2x3 + 7x + k sigui divisible per x + 1.

Si P(x) és divisible per x + 1, llavors P(–1) = 0 i per tant1+2–7+k=0 → k=4.

4. Realitza les operacions següents:

2x 5 5 ——— ——— x2 9 3x 9

2 2 2

2

2 2 2 2

2 5 5 6 15 5( 3) 6 15 5 15 309 3 9 3( 3)( 3) 3 27 3 27

2 5 2 6 (2 5)2( 3) 4 10·

9 7 ( 3)( 3)7 7 21

x x x x x xx x x x x x

x x x x x x xx x x x x x x

− − − + − − − −− = = =− − − + − −

− − − − −= =− − + +

2 2 2

2

2 2 2 2

2 5 5 6 15 5( 3) 6 15 5 15 309 3 9 3( 3)( 3) 3 27 3 27

2 5 2 6 (2 5)2( 3) 4 10·

9 7 ( 3)( 3)7 7 21



− − − + − − − −− = = =− − − + − −

− − − − −= =− − + +

2x2 5x 2x 6 ———— ·——— x2 9 7x2

2 2 2

2

2 2 2 2

2 5 5 6 15 5( 3) 6 15 5 15 309 3 9 3( 3)( 3) 3 27 3 27

2 5 2 6 (2 5)2( 3) 4 10·

9 7 ( 3)( 3)7 7 21



− − − + − − − −− = = =− − − + − −

− − − − −= =− − + +

·

2 2 2

2

2 2 2 2

2 5 5 6 15 5( 3) 6 15 5 15 309 3 9 3( 3)( 3) 3 27 3 27

2 5 2 6 (2 5)2( 3) 4 10·

9 7 ( 3)( 3)7 7 21



− − − + − − − −− = = =− − − + − −

− − − − −= =− − + +

5. Troba les arrels del polinomi

P(x) = x4 – 6x3 + 10x2 + 6x – 11 i realitza’n La factorització.

P(x)=(x–1)(x+1)(x2–6x+11);arrels:1,–1.



jUnitat8.Successions

Activitats

1. Intenta deduir l’expressió del terme general de cadascuna d’aquestes successions:

1 1 1 1 1 a) —, —, —, —, ——... 2 4 6 8 10

1——

2 n

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36...

n2

c) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...

(2 )n

2. Troba els termes que falten fins arribar al 10è de les successions de l’exercici 1.

a)1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

, , , , , , , , ,2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

b)1,4,9,16,25,36,49,64,81,100

c) 2,4, 8,16, 32,64, 128,256, 512,1024− − − − −

n2

3.an ——— és l’expressió del terme general d’una succes- n 1

sió. Calcula els termes a 7 i a 100. Pots determinar l’expressió del terme an 1 en funció de n?

72 49a 7—————

71 8

1002 10 000a100————————

1001 101

(n1)2 (n1)2

an1————————— n11 n

n 1 4.El terme general d’una successió és: an ————. Calcula

n els termes a100 i a1000.

Substituïmnpeltermeques’indica:

101a 100——1,01

100

1001a 1000———1,001

1000

5.Representa a la recta real els deu primers termes de la suc- 2 n cessió an ———. n 1

6.Estudia la monotonia de les successions següents:

1 a) an —— n 2

1 1 n2n22 n1 ——————————————— (n1)2 n2 n2(n1)2

2 n1——————0peratotn

n2(n1)2

Successiómonòtonadecreixent.

Hiapliquemelcriteriderestaruntermedel’anterioriobservarelsignedeladiferència.

b) bn n3

(n1)3n3

n33 n23 n1n3

3 n23 n10peratotn

Monòtonacreixent.

n 1 c) cn ——— n

(n1)1 n1 n2n21———————————————

n1 n (n1)n

1—————0peratotn

(n1)n

Monòtonacreixent.

n 2

d) dn ——— n 2

(n1)2 n2

———————— (n1)2 n2

n25 n2———————0peratotn

(n3) (n2)

Monòtonacreixent.

e) en n2 n3

(n1)2(n1)3[n2n3]

3 n2n0peratotn

Monòtonadecreixent.



f ) fn 2 n 25

2 (n1)25(2 n25)20

peratotn

Monòtonacreixent.

7.Determina, si existeixen, les fites superior i inferior de cadascuna de les successions de l’activitat anterior.

a)Fitesinferiors:k0.

Fitessuperiors:K1.

b)Fitesinferiors:k1.

Notéfitasuperior.

c) Fitesinferiors:k0.

Fitessuperiors:K1.

1 d)Fitesinferiors:k—. 3 Notéfitasuperior.

e)Notéfitainferior.

Fitessuperiors:K0.

f )Fitesinferiors:k23.

Notéfitasuperior.

8.Escriu el terme general de la successió dels múltiples de 5. El nombre 6000 és una fita superior d’aquesta successió? Raona la resposta. Està fitada inferiorment aquesta successió?

an5 n; a 12006 000

Ambn1200, an6 000.

Noésunafitasuperior.

Lafitainferiorés5iqualsevolk5.

9.Calcula els termes avançats d’aquestes successions per poder-ne establir el límit en cada cas:

Encadascundelsapartatscalcalcular2o3termesavançats:

1 a) an —— n 2

a 1000,0001;

a 10000,000001 → 0

n b) bn ——— n 8

100 1000b100——; b1000——— → 1

108 1008

n2 1 c) cn ——— n2 1

9 999c 100————;

10 001

999 999c 1000—————0,999... → 1

1000 001

100 d) dn ——— n

100d1000———0,1;

1000

100d100 000————0,001 → 0

100 000

e) en n2 100

e1009 900; e10 00099 999 900 →

f ) fn n3 100

f100999 900;

f1000999 999 900 →

g) gn n2 50 n 125

g1005 125;

g10 00099500125 →

2 n2 1 h) hn ———— n2

h 1001,9999; h 10001,999999 → 2

10.Classifica les successions anteriors en convergents i divergents.

Sónconvergentslesquetenenlímitnuméric:a),b),c),d)ih).

Sóndivergentslesquetenenlímitdeltipusinfinit:e),f )ig).

11.Troba els cinc primers termes de la successió an (2)n 1.

Substituïmnper1,2...5:

a14; a 28;a 316;

a432;a564

12.Escriu el terme general de dues successions divergents de límit .


ann2100; bnn23 n3



13.Calcula els termes que ocupen les posicions 100 i 1 000 en les successions de terme general:

n 10 n 2 100an ———— i bn —————

n n 10

Pots dir quin és el límit de cadascuna?

110 1010a100——1,1; a1000———1,01→ 1

100 1000

10 100 1010b100—————;

110 11

1000 100 100 010b1000———————→

1010 101

Quanelnombrededecimalsespreveuil.limitatésmillordeixarelsresultatsenformadefracció.

14.Considera les successions {an}: 1, 4, 9, 16, 25... i 1 1 1 1

{bn}: 1, —, —, —, —... 2 3 4 5

a) Troba el terme general de an i bn.

1ann2; bn—

n

b) Determina els cinc primers termes i el terme general de cadascuna de les successions següents:

{an bn} {an bn} {anbn}

an{n bn} 5—— {bn an} bn

n31{anbn}———— →

n

9 28 65 126→ 2,—,——,——,——

2 3 4 5

n31{anbn}———— →

n

7 26 63 124→ 0,—,——,——,——

2 3 4 5

{anbn}n → 1,2,3,4,5

{n bn}1 → 1,1,1,1,1

an5——n3 → 1,8,27,64,125 bn

1n3

{bnan}——— → n

7 26 63 124→ 0,——,——,——,——

2 3 4 5

15.Escriu els deu primers termes de la successió {an}n, en què

n 1 an ———. n

n1 9 64 625 7776——— n

→ 2;—;——;——;————; n 4 27 256 3125

2,522;2,546;2,565;2,581;2,594...

16.Calcula quin és el límit de cadascuna de les successions següents:

2 n1 n a) an ——— ——— n n 1

2 n1 n—————— ⇒

n n1

⇒ 213(sumadelímits)

1 1 b) bn —— : — n 2 n

1 1 n 1——:———— → 0

n2 n n2 n

1 1 c) cn —— — n 2 n

1 1 nn2 1n————————— → 0

n2 n n3 n2

1 d) dn 5 : — n

15:—5 n →

n

17.Escriu els termes generals de dues successions convergents el límit de les quals sigui zero. Calcula el límit de les dues possibles successions quocient.


2 2 nan— i bn———

n n21

an 2 n22—————— → 1;

bn 2 n2

bn 2 n2

—————— → 1 an 2 n22



5 000 n 5 000 an18.Donades an ——— i bn —————, calcula lim —— i bn

n n 1 bn

lim ——. an

an 5 000 n5 000lim——lim———————0

bn n25 000 n

jaqueelgraudelpolinomidenominadorésmésgranqueeldelnumerador.

bn n25 000 nlim——lim———————

an 5 000 n5 000

19.Considera les successions an n 2 1 i bn 35 n. Comprova que són successions divergents. Calcula el límit de cadascuna de les successions següents:

{an bn} {an bn}

{an bn} {an : bn}

{bn an} {bn : an}

lim(n21); lim35 n

lim{anbn}

lim{an bn}

lim{anbn}lim(n2135 n)

n21lim{an :bn}lim———

35 n

lim{bnan}lim(35 nn21)

35 nlim{bn:an}lim———0

n21

3 n 5 n 2

20.Calcula el límit de les successions an —— i bn ———. 150 n 1

Són divergents? Calcula el límit de cadascuna de les successions següents:

{an bn} {an bn} {an bn}

{an : bn} {bn an} {bn : an}

3 nlimanlim——;

150

5 n2

limbnlim——— n1

Sóndivergents.

3 n23 n750 n2

lim{an bn}lim———————— 150 n 150

15 n3

lim{an bn}lim————— 150 n150

3 n23 n750 n2

lim{an bn}lim———————— 150 n 150

3 n23 n 3 1lim{an :bn}lim————————

750 n2 750 250

lim{bn an}

750 n23 n23 nlim—————————

150 n 150

750 n2

lim{bn :an}lim————250 3 n23 n

21.Calcula el límit de cadascuna de les successions següents:

2 n a) an ———— 3 n 5

2 n 2 n 2lim————lim————

3 n5 3 n 3

1√

n b) bn ——— n

1√

n √

n 1lim———lim——lim——0

n n √

n

1 c) cn 100 — n

1lim100—lim100100

n

d ) dn n 2 nn 3

lim(n2nn3)lim(n3)

800 e) en ——— 2n 3

800lim——0

2 n3

n1 f ) fn ———— n 2

n1 n 1lim————lim——lim——0

n2 n2 n

22.Troba, si existeixen, els límits següents:

n 3

a) lim —— 2 n

n3 n2

lim——lim—— 2 n 2



b) lim 0,2n

2 1lim0,2nlim——n

lim—— → 0 10 5n

c) lim (1)n

Noexisteix,jaqueésunasuccessióoscil.lant.

1 d ) lim — 5 n

3

1 1lim—5n

lim——0 3 35n

2 n 2 e) lim ———

n——n1

n 3

2 n2lim———

n——n1 212,jaque:

n3

2 n2 nlim————2 i lim———1

n3 n1

n f ) lim ———

1—n

n 5

nlim———

1—n 101,jaque:

n5

n 1lim————1 i lim—0

n5 n

123.Calcula: lim 1 — n

. n 1 1 Tingues en compte que: 1 — 1 ——. n n

1 1lim1—n

lim1——n (1)———

1 n n

1 1lim1——n1

e1— n e

24.Determina els límits següents:

n 2 a) lim ——— n

n 1

n2 n2 lim———n

lim1———1n

n1 n1

1lim1———

n (n 1)———n 1

n1

1 lim1———n 1

n———n 1 e1e

n1

n 3 b) lim 2 ——— 3 n

n 1

n3lim11———3n

n1

2lim1———3n

n1

1lim1———

3n n 1

———2

2

———n 1

n1 ——— 2

1lim1———

n 1———

2

6n

———n 1

n1 ——— 2

e6

1 c) lim 1 —— 3n 1

2 n

1lim1——3n1

2 n

1lim1——

2n (3n1)————

2n 2n

1lim1——2n

3n1——

2n e3

—2

2 n

3 n d ) lim 4 ——— n2

n 5

3 nlim13———n2

n5

15lim1———n2

n5

1lim1———

n2 (n5)——

15 15——n5

n5 ——— 15

1lim1———

n5——

15

15n2

——n5

n5 ——— 15

e



Activitatsfinals

1.La successió 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... és la successió de Fibonacci. Aquesta successió té una regla recurrent que permet, a partir d’un cert valor de n, determinar-ne qualsevol terme si es coneixen els anteriors. Escriu-ne cinc termes més i indica la recurrència enunciada.

Apartirdelsegonterme,cadascundelstermeséslasumadelsdosanteriors.

Cinctermesmés:

55,89,144,233,377

anan1an2peratotn2

2.Dibuixa triangles equilàters successius a partir dels punts mitjans del triangle equilàter immediatament anterior. Si el primer triangle mesura 1 cm de costat, comprova que la seva √

3

àrea és —— cm2. 4 Calcula els termes a2, a4 i a7 de la successió de les àrees.

Pots escriure l’expressió del terme general an d’aquesta successió? Té límit la successió d’aquestes àrees? Quin és?

1 3 √

3h√

1—√

———

4 4 2

√

3 √

3a11 ——:2——cm2

2 4

1 L’àreadecadatriangleés—deladeltriangleanterior: 4

√

3 √

3 √

3a2——cm2; a4——cm2; a7——cm2;

42 44 47

√

3limanlim——0

4n

3.Esbrina si aquesta afirmació és certa: 2 és una fita inferior de la successió

2 n 2an ———

2

Quin és el límit d’aquesta successió?

2noésunafitainferiordelasuccessió,jaquea102.

2 n2 2 nlim———lim——

2 2

4.Considera la successió de terme general an (√

3)n. Té fites inferiors aquesta successió? A partir de quin terme tots el que el segueixen són més grans que 81? Té fita superior aquesta successió?

a1√

3iqualsevolk√

3ésunafitainferior.

(√

3)n81 → 3n

2 34 ⇒

n⇒ —4 → n8

2

Aquestasuccessiónotéfitasuperior:

lim(√

3)n

5.Calcula els límits següents:

a) lim (3 n 5) (2 3 n)

lim(3n5)(23n)

lim(9 n221n10)

lim(9 n2)

n2 n b) lim ——— — n 1 2

n2 nlim———— n1 2

n2n n2

lim————lim—— 2 n2 2 n

nlim—

2

√

4n2 n c) lim ————— 2 n 3

√

4n2n 2nlim—————lim——1

2 n3 2 n

5 d ) lim — √

n n

5lim—√

n0

n



n n 31 e) lim ———— n 2

nn31lim—————

n2

n3

lim——lim(n) n2

3 nn 2

f ) lim ———— 1 n 2

3 nn 2

lim limn2

n21 1 n 2

6. Troba el valor de k per tal que es verifiqui:

k n 2 3lim ———— 2

1 n 2

k n23lim————

1n2

k n2

lim——k2 → k2 n2

7.Determina aquests límits:

1 a) lim — 5n

5

1 1lim—5n

lim——0 5 55n

n 3 3 n 2 1 b) lim —————— n 5 2 n

n 33 n 21 n3

lim——————lim—— n 52 n n5

1lim—0

n2

n 1 c) lim ——— √

n

n1 nlim———lim——lim√

n

√

n √

n

√

5 n 3 3 n 2

d ) lim —————— √

n3 5 n 1

√ 5n 33 n 2 √ 5n 3

lim——————lim——— √ n 35 n1 n

32

n 2 1 e) lim ———

2n——n1

n

n21lim———

2n——n1

2 n

3 n 2 3 n 2 2 f ) lim ——— ———— n 1 n 1

3 n 2 3 n 22lim———————

n1 n1

6 n22 n2 6 n2

lim———————lim———6 n21 n2

g) lim (√ 3n √ n)

lim(√ 3n√ n)lim√ n(√ 31)

h) lim 300n

1lim300nlim———0

300n

n 3 i) lim ——— n

n 5

n3 lim———n

ésdeltipusdelnúmeroe: n5

Dividimlafracció:

n3 n5

n5 1 2

2lim1———n

n5

1lim1———

n 5——

2

n 2

——n 5

n5 ——— 2

1e2—

e2

5 n 2 3 j) lim ————

3—n

n 2

5 n 23lim————

3—n 501

n2

8.El límit d’una successió, el terme general de la qual és una fracció algèbrica, és 1. Explica la relació que hi ha entre els graus dels polinomis numerador i denominador, i entre els coeficients dels termes que determinen aquests graus.

Elspolinomisnumeradoridenominadorsóndelmateixgrauielscoeficientsdelsrespectiustermesdemajorgrausóniguals.




Totsaquestslímitssóndeltipusdelnúmeroe:

3 a) lim 1 ——— n

n 5

3lim1———n

n5

1 lim1———

n 5——

3

n

3——n 5

e3

n5 ——— 3

6 b) lim 1 — 2 n

n

6lim1—2 n

n

1lim1——

n—6

2 n 6—n

e12

n —— 6

n 3 n 2

c) lim ———— n

n 3 1

n 3n 2

lim———— n

n 31

Dividimlafracció:

n3n2 n31

n3 1 1 n21

n21lim1————n

n31

1lim1————

n

n31 ———— n21

1 lim1————

n3 1———n2 1

n n2 1———n3 1

n31 ———— n21

1lime

n3 n———n3 1 e1—

e

2 n d ) lim 3 ——— n 1

n 1

2 nlim3 ——— n 1

n1

2 nlim12———n 1

n1

2lim1———n 1

e2

n1

n 1 e) lim 2 ———2 n

n

n1lim2 ———2 n

n

n1lim11———2 n

n

1lim1——2 n

n

1lim1——

n

1—n

(2 n)

n

lime2n—n e2

n 2 5 f ) lim ———— 5n

n 2 1 n 25 4

lim———— 5n

lim1———5n

n 21 n21

1lim1———

5n

n21 ——— 4

1 lim1———

n2 1———4

5n

4———n2 1

n21 ——— 4

lime20n———

n2 1 e01

10.Expressa en funció del número e la fórmula de l’interès continu que ve donada per:

rCt lim C0 1 ——— t n

100 n

rlim1———t n

100 n

1lim1———

tn

100 n ——— r

1lim1———

100n———r

t n r———100n

100 n ——— r

etr——

100 → CtC0 etr——

100



Avaluació

1. Sabent que en una progressió geomètrica a1 3 i a4 24, troba terme general de la successió i la suma dels set primers termes.

Eltermegenerales an3∙2n−1

Laraóés2ilasumaserà7

7

3(2 1)381

1S

−= =

2. Donada la successió 3

2n

na

n−= ,

a) Comprova si la successió és creixent o decreixent.

Lasuccessióéscreixent:

2 21

2 32 4 2 6 2 6 0 6

2 2 2n n

n na a n n n n n

n n+− −> → > → − > − + − → > −+

2 21

2 32 4 2 6 2 6 0 6

2 2 2n n

n na a n n n n n

n n+− −> → > → − > − + − → > −+

sempreéscert.

b) Troba si la successió és fitada.

Ésfitada,lafitainferiorés−1ilasuperior1/2.

3. Calcula els següents límits:

a)

∞

b)

−5

c)

0

d)

multiplicantidividintpelconjugat,0

e)

ésdenombree,2

1

62

62 1·

1

2 16 1

lim 1 lim 111

6

n nn

n

enn

− +−

+∞

+ = + = = ∞ −−

f)

2

4. Quina és la suma dels cent primers nombres naturals? I la dels dos-cents primers nombres parells?

Elsnombresnaturalssónunaprogressióaritmèticaded1,ipertant

100

1 100.100 5050

2S

+= =·100

5050

La successió dels nombres parells també és una progressióaritmèticaded2

2,4,6,8,10…

Lasumadelsdos-centsprimersnombresés

200

2 400·200 40200

2S

+= =·20040200.

jUnitat9.Funcions

Activitats 1.Defineix la variable independent i la variable dependent en

els casos següents:

a) L’import que cal pagar en una benzinera i els litres de benzina que hi comprem.

x: litresdebenzina

y: importeneuros

b) El pes d’una persona i la seva edat.

x: edat

y: pes

c) L’espai recorregut per un cotxe i la velocitat a què circula.

x: velocitat

y: espairecorregut

d) El volum d’una esfera i la longitud del diàmetre.

x: longituddeldiàmetre

y: volumdel’esfera

2.Representa la variable independent per x i la variable dependent per f (x) i troba, sempre que sigui possible, l’expressió algèbrica de cadascuna de les funcions de l’exercici anterior.

a) f (x)p x,essentpelpreud’unlitredebenzinaen€.

b) Noéspossible.

c) Caldriasabereltipusdemoviment.

d) f (x)— x3

6

3.Escriu l’expressió algèbrica i troba el domini de les funcions següents:

a) A cada valor del radi d’una esfera li assignem la seva superfície.



f (x)4 x2; Df

b) La diagonal d’un quadrat depèn de la longitud del costat.

f (x)√

2c ; Df

c) Al radi d’una circumferència li assignem l’àrea de l’hexàgon regular inscrit.

3√

3f (x)——— x2; Df

2

d) La longitud de l’aresta d’un cub és funció del volum.

f(x)3√

x; Df

4.Determina el domini de les funcions:

1 f (x) 3 x 7, g (x) 2 x2 7 x 11 i h (x) ——— x 1

Df

Dg

Dh{x x10}{1}

5. Troba el domini de les funcions següents:

x 1 a) f (x) —————— x2 6 x 5

Df{x x26 x50}{1,5}

b) g(x) √

4 3x

4 Dg{x 43 x0}—, 3

7 x 8 c) h (x) ———— x 2 5

Dh

d) k (x)

3√3

4 x 5

Dk

2 e) p (x) — x 3 5 x 2 3

Dp

x 2 4 ———— si x< 2 x f ) t (x) 5 2 x ——— si x 2 x 3

Dt{x x0ix30}

{0,3}

6.Amb les funcions f, g i h dels exemples anteriors, comprova que es verifiquen les propietats de la suma i del producte de funcions.

Suma

Commutativa:

x3x2x2 f (x)g (x)g (x)f (x)———————— x21

Associativa:

f (x)[g (x)h (x)][f (x)g (x)]h (x)

2 x 44 x 3x25 x6————————————––

(x21) (x3)

Elementneutre:

O (x)0peralestresfuncions.

Elementsimètric:

x 22 2x 2

f :f (x)———————— x1 x1

xg:g (x)———

x 21

x 2

h:h (x)——— x3

Producte

Propietatcommutativa:

x(x 22)f (x) g (x)g (x) f (x)———————––

(x1) (x1)2

Propietatassociativa:

f (x) [g (x) h (x)][f (x) g (x)] h (x)

x 3(x 22)———————————

(x1) (x1)2(x3)

Elementneutre:I (x)1peralestresfuncions.

Elementsimètric:

1 x1Peralafuncióf :—(x)———

f x 22

1 x 21Peralafuncióg:—(x)———

g x

1 x3Peralafuncióh:—(x)———

h x2

Propietatdistributivadelamultiplicaciórespectedelasuma:

f (x)[g (x)h (x)]f (x) g (x)f (x) h (x)

(x22)(x 43 x)———————————––

(x1)2(x1)(x3)



7.A partir de les funcions f i k dels exemples, escriu l’expressió 1 1 1 1 algèbrica de les funcions —, —, —— i ——. Troba’n el domini. f k f k

1 1 x1—(x)————— f f (x) x22

1 1 1—(x)—————— k k(x) √

x1

1 1 x1——(x)—(x)——— f f x22

1 1 1—(x)—(x)———— k k √

x1

D 1—f

D 1—f

{x x220}

{√2,√

2 }

D 1—k

D 1— k

{x x10}

(1,)

8.Donades les funcions:

2 x4 x2f (x) ———— i g (x) ————

x3 3 x9

1 — f g f 1 Determina l’expressió de les funcions —, —, — i — i troba’n el domini. g f g g — f

2 x4 ———— f f (x) x3—(x)——–————— g g (x) x2 ———— 3 x9

(2 x4)(3 x9) 6 x 230 x36—————————————————

(x3)(x2) x 25 x6

x2 ———— g g (x) 3 x9—(x)——————— f f (x) 2 x4 ———— x3

(x2)(x3) x25 x6—————————————————

(3 x9)(2 x4) 6 x230 x36

1 1 — —— f f (x) 1—(x)———————— g g (x) f (x) g (x)

1 1————————————————

2 x4 x2 2 x28 ———— ———— ———— x3 3 x9 3 x227

3 x227————

2 x28

1 1 f (x)

—(x)————— g g (x) g (x) — —— f f (x)

6 x230 x36————————

x25 x6

D f—g

D 1—

g—f

{x x25 x60}

{3,2}

Dg—f

{x 6 x230 x360}

{2,3}

D

1—f

—g

{x 2 x280}{2,2}

9. Amb les funcions f (x) 7 x 4, g (x) 2 x2 1 i h (x) x 9, comprova les propietats associativa i de l’element neutre de la composició de funcions.

Propietatassociativa:

[h (g f )] (x)h[(g f )(x)]h[g (f (x))]

h[g (7 x4)]h(2 (7 x4)21)

h(98 x2112 x31)

98 x2112 x319

98 x2112 x22

[(h g) f ] (x)(h g) (f (x))h[g (f (x))]

98 x2112 x22

Elementneutre:

(f I) (x)f (I (x))f (x)7 x4

(I f ) (x)I (f (x))f (x)7 x4




1 3f (x) 32 x i g (x) — x—,

2 2

comprova que són inverses l’una de l’altra. Fes-ho també gràficament.

(g f ) (x)g (f (x))g (32 x)

1 3 3 3—(32 x)——x—x

2 2 2 2

(f g) (x)f(g (x))

1 3 1 3f—x—32—x—

2 2 2 2

3x3x

f (x)32 x

1 3g (x)— x— 2 2

111.Comprova que la funció inversa de f (x) — és ella mateixa. x

1 1(f f ) (x)f(f (x))f——x →

x 1 — x

1→ f1 (x)f(x)—

x

x 4 3x12.Amb les funcions f (x) ——— i g (x) ———: x 2 x 1

a) Troba l’expressió algèbrica i el domini de: g f, f g, f f, g g, f 1 i g1.

x4(g f ) (x)g (f (x))g———

x2

x4 3(x4) 3 ——— ———— x2 x2

—————————————— x4 x4x2 ———1 —————— x2 x2

3(x4) 3 x12————————

2 x6 2 x6

Dg f{3,2}

3 x(f g) (x)f (g (x))f——— x1

3 x 3 x4 x4 ———4 —————— x1 x1

—————————————— 3 x 3 x2 x2 ———2 —————— x1 x1

7 x4————

5 x2

2Df g51,— 5

x4(f f) (x)f(f (x))f——— x2

x4 x44 x8 ———4 ———————— x2 x2

——————————————— x4 x42 x4 ———2 ———————— x2 x2

5 x12—————

3 x8

8Df f52,— 3

3 x(g g) (x)g (g (x))g——— x1

3 x 9 x 3——— ——— x1 x1

————————————— 3 x 3 xx1 ———1 ————— x1 x1 9 x

———— 4 x1

1Dg g51,— 4

x4y——— → x y2 yx4 →

x2

→ xyx42y →→ x (y1)42y

42y 42xx———— → f 1(x)————

y1 x1

Df 1 {1}



3 xy——— → x yy3 x →

x1

→ 3 x x yy → x (3y)y

y xx——— → g1(x)———

3y 3x

Dg1{3}

b) Comprova que les funcions f 1 i g1 són les inverses de f i g respectivament.

x4(f 1 f ) (x)f 1(f (x))f 1——— x2

x4 42——— x2

—————— x4 ———1 x2

4 x82 x8 ———————— x2

———————— x4x2 —————— x2 2 x

——x 2

42 x(f f 1) (x)f (f 1(x))f ———— x1

42 x 4 2 x4 x 4 ———4 ————————– x1 x1

——————————————— 42 x 4 2 x2 x 2 ———2 ————————– x1 x1

2 x——x

2

3 x(g1 g) (x)g1(g (x))g1——— x1

3 x 3 x ——— ——— x1 x1

————————————— 3 x 3 x33 x 3——— ————— x1 x1

3 x——x

3

x(g g1) (x)g (g1(x))g——— 3x

x 3 x 3——— ——— 3x 3x

——————————— x x3x ———1 ———— 3x 3x

3 x——x

3

Activitatsfinals

1.En una certa zona, la quantitat de sofre que hi ha a l’atmosfera, en parts per milió, evoluciona d’acord amb la funció s (t) 2,1 0,2 t 0,03 t 2, on t és el temps expressat en anys. Determina la presència de sofre en l’actualitat i quants anys han de transcórrer perquè s’assoleixi novament el valor actual.

s (0)2,1.Actualmenthiha2,1partspermiliódesofre.

s (t)2,1 → 2,10,2 t0,03 t 22,1 →→ 0,03 t 20,2 t0

t0

t (0,03 t0,2)0 → 0,03 t0,2 0 → 0,2

→ 0,03 t0,2 → t———6,6

(

anys 0,03

2.Defineix la funció que expressa la suma de dos nombres enters tals que el seu producte és 18. Troba’n el domini.

18 x218S (x)x——————

x x

Ds{18,9,6,3,2,1,1,2,3,6,9,18}

3.En un triangle, la suma de les longituds de la base i l’altura és 15 cm. Expressa l’àrea del triangle en funció de la longitud de la base. Troba el domini d’aquesta funció.

x (15x) 1 15S (x)—————— x2——x encm2

2 2 2

Ds(0,15)

4.Volem construir una capsa sense tapa amb una cartolina quadrada de 12 cm de costat. Per fer-ho, retallem quadrats iguals de costat x cm en cadascuna de les quatre cantonades de la cartolina. Determina l’expressió algèbrica que ens dóna el volum de la capsa (fig. 9.9), en funció del valor de x. Indica el domini d’aquesta funció.

V (x)(122 x)2x(14448 x4 x2)x

4 x348 x2144 xencm3

Dv(0,6)



5. Troba el domini de la funció que expressa l’àrea d’un rectangle de 30 cm de perímetre en funció de la longitud d’un dels costats.

2 x2 y30 → xy15 → y15x

Sx yx(15x)15 xx 2

S (x)15 xx 2encm2, Ds(0,15)

6.L’altura d’un cilindre és el triple del radi de la base. Escriu l’expressió del volum del cilindre en funció del radi de la base. Quin serà el volum del cilindre per a un radi de 5 cm? Quin és el valor del radi de la base si el volum del cilindre és de 24 cm3? Troba el domini de la funció suposant que el volum màxim és de 3,75 105 cm3.

V r 2h r 2 3 r3 r 3 → V (r)3 r 3

V (5)3 53375 cm3

24 3 r 3 → r 38 → r3√

82cm

3,75 1053 r 3 → 3,75 105 375 000

→ r 3———————— 3 3

125 000cm3 → r50cm

Dv(0,50)

7.Dos nombres naturals sumen 20. Expressa’n el producte en funció d’un d’ells. Troba el domini d’aquesta funció. Comprova que 15 és del domini, i que 28 no ho és.

P (x)x (20x)20 xx 2

Dp{x 1<x<19}

15 Dp, 28 Dp

8.Es vol construir una finestra formada per un quadrat i un semicercle de radi x (fig. 9.10). Troba les expressions del perímetre i de l’àrea de la finestra en funció de x. Indica el domini de cadascuna d’aquestes funcions.

2 xp (x)6 x———6 x x(6) x

2

x2 x2 8S (x)(2 x)2——4 x2————x2

2 2 2

DpDs(0,)

9.El radi d’una taca d’oli circular creix a un ritme de 3 cm per minut i el centre es troba a 9 cm del marge de la taula.

a) Expressa la funció que assigna a cada instant t el valor del radi de la taca.

r (t)3 t, tenminir (t)encm.

b) Quant trigarà la taca d’oli a arribar al marge de la taula?

3 t9 → t3min

c) Escriu l’expressió algèbrica de la funció que assigna a cada instant t el valor de l’àrea de la taca d’oli.

S r 2 (3 t)2 9 t 29 t 2

S (t)9 t 2 encm2

d) Calcula l’àrea en l’instant en què la taca arriba al marge de la taula.

S (3)9 3281 cm2

10.Suposem que establir una trucada telefònica costa 0,50 € i, a partir d’aquest moment, el preu és de 0,30 € per minut. Troba l’expressió algèbrica de la funció que ens determina l’import d’una trucada telefònica en funció de la seva durada. Quant costarà una trucada de 8 minuts? Quants minuts ha durat una trucada l’import de la qual és de 5,30 €?

f (t)0,50,3 t,tenmin,f (t)en€

f (8)0,50,3 80,52,42,9€

0,50,3 t5,3 → 0,3 t4,8 → t16min

11.La funció f (t)2 t 25 t expressa la distància recorreguda per un mòbil en funció del temps, on t s’expressa en segons i f (t), en metres. Troba la distància recorreguda pel mòbil entre els instants t1 s i t2 s. Quant de temps trigarà el mòbil a recórrer una distància de 75 m?

f (2)f (1)2 225 225

8102511m

2 t 25 t75 → 2 t 25 t750 →→ t5 s

12.En mesurar la temperatura a diferents alçades, s’ha observat que la temperatura disminueix 1 °C cada 200 m d’alçada. Si en un dia determinat la temperatura arran de terra és de 12 °C, escriu l’expressió algèbrica de la funció t (h), essent h l’alçada en metres i t (h) la temperatura en °C. Quina temperatura hi haurà a 6 km d’alçada? A quina alçada hi haurà una temperatura de 50 °C?

ht (h)12——

200

6 000t (6 000)12———123018 °C

200

h12——50 →

200

→ h12 400m12,4km



13.Dividim un segment de 10 cm de longitud en dues parts. Expressa la suma de les àrees dels triangles equilàters construïts sobre cadascuna d’aquestes dues parts (fig. 9.11), en funció del costat d’un dels triangles. Troba’n el domini.

√

3 √

3S (x)——x2——(10x)2

4 4

√

3 √

3——x2——(10020 xx2)

4 4

√

3 √

3——x225√

35√

3x——x2

4 4

√

3——x25√

3x25√

3encm2

2

Ds(0,10)

14.Troba el domini de les funcions següents:

2 a) f (x)———————— x 2 10 x 16

Df{x x210 x160}

{2,8}

2 b) g (x) √

— x 8

3

2Dg5x —x80 3

(,12]

c) h(x)3√

8 x5

Dh

7 x d) k (x)———— 3 x 2 3

Dk

15.Defineix una funció que tingui per domini els conjunts:

Respostesobertes,perexemple:

a) Df {2, 7} 1

f (x)——————— x29 x14

b) Dg {x x 0}

1g (x)———

√

x

c) Dh (, 3]

h(x)√

x3

d) Dq q (x)x2x4

e) Dp {x x 2, x 0}

10p (x)————

x22 x

16.Determina el domini de cadascuna de les funcions següents:

2 x a) f (x)———— √

3 x

Df{x 3x0}(,3)

4 x 1 b) g (x)———— x 2 7 x

Dg{x x27 x0} {0,7}

2 x 1 c) h (x)—————

3√

8 x3

Dh{x 8x30} {2}

x ——— si x 0 x 1 d) k (x) 5 3 x 1 ———— si x 0 2 x 5

Dk{x x10 i 2 x50}

5 51,—

2

17.Donades les funcions f (x)3 x24 i g (x)3 (x1)2, troba:

a) (fg) (x)

(fg)(x)f (x)g (x)

3 x 243(x1)2

3 x 243 x 26 x3

6 x 26 x1



b) g(x2)

g(x2)3(x21)23(x3)2

3(x 26 x9)3 x 218 x27

c) (f g) (x)

(f g) (x)f (x) g (x)

(3 x 24) 3 (x1)2

(3 x 24) 3 (x 22 x1)

(3 x 24) (3 x 26 x3)

9 x 418 x 33 x 224 x12

g d) — (x) f g g (x)— (x)—— f f (x)

3(x1)2 3 x 26 x3————————————

3 x 24 3 x 24

e) (f g) (x)

(f g) (x)f (g (x))f (3 (x1)2)

3 (3 (x1)2)243 9 (x1)44

27(x 44 x 36 x 24 x1)4

27 x 4108 x 3162 x 2108 x23

f ) (g f ) (x)

(g f ) (x)g (f (x))g (3 x 24)

3 (3 x 241)23 (3 x 25)2

3 (9 x 430 x 225)

27 x 490 x 275

18.Troba el domini de la funció representada en cadascuna de les gràfiques (fig. 9.12).

a) b)

a)Df[3,1] [0,3)

b)Dg(3,2]

19.Defineix una funció a trossos que tingui per domini

Df {x x 0}.

Respostaoberta,perexemple:

1 — six1 x f (x) 5 x six1

20. Calcula f(3), f(1), f(0), f(1) i f(2), i troba el domini de:

2 x 3 x 1

x2 1 f (x) 5 ——— 1 x 1 x 2

√

x 3 x 1

f (3)2(3) 3639

(1)21 2f (1)——————

12 3

1f (0)—

2

11f (1)———2

12

f(2)√

5

Df

21.El nombre d’articles n produïts en una empresa un dia qualsevol, t hores després de l’inici de la feina, és

n (t) t2 20 t, amb una jornada laboral de vuit hores diàries. Si el cost de producció de n articles és, en euros, c(n) 5 6n, determina l’expressió de la funció c(t) que en dóna el cost en funció del temps. Indica’n el domini.

c (t)c (n (t))c (t 220 t)

56 (t 220 t)56 t 2120 t

6 t 2120 t5

Dc(0,8]

2 x 1 x 2 122.Siguin f (x) ———— i g (x) ———— x 1 3 x

f a) Troba les funcions: f g, f g, —, f f, g g, f 1. g

(fg) (x)f (x)g (x)

2 x1 x 21————————

x1 3 x

3 x (2 x1)(x1) (x21)——————————————–––

3 x(x1)



6 x 23 xx 3x 2x1—————————————–

3 x (x1)

x 37 x 24 x1—————————

3 x(x1)

x 37 x 24 x1—————————

3 x 23 x

(f g) (x)f (x) g (x)

2 x1 x 21———— ————

x1 3 x

(2 x1) (x 21) (2 x1) (x1)————————–————————––

(x1)3 x 3 x

2 x23 x1———————

3 x

2 x1 ———— f f (x) x1— (x)——————— g g (x) x 21 ——— 3 x

3 x(2 x1) 6 x23 x———————————————

(x1)(x21) x3x2x1

2 x1(f f ) (x)f(f (x))f———— x1

2 x1 4 x2x1 2————1 ——————– x1 x1

——————————————— 2 x1 2 x1x1 ————1 ——————– x1 x1

3 x3 x1———————

3 x x

x 21(g g) (x)g (g (x))g——— 3 x

x 21 ———2

1 3 x

——————— x 21 3——— 3 x

x 42 x 219 x 2

————————— 9 x 2

——————————— x 21 ——— x

x 411 x 21 x 411 x 21——————————————

9 x(x 21) 9 x 39 x

2 x1y———— → x yy2 x1 →

x1

→ 2 xxyy1 → x (2y)y1

y1 x1x——— → f 1(x)———

2y 2x

b) Troba el domini de cadascuna de les funcions anteriors.

DfgDf gDff

{x x0,x10}{0,1}

D f—g

{x x 210}{1,1}

Dgg{x x0,x 210}

{1,0,1}

Df1{x 2x0}{2}

c) Comprova que f 1 és la funció inversa de f.

2 x1(f1 f ) (x)f1(f (x))f1———— x1

2 x1 ————1 x1

———————— 2 x1 2———— x1

2 x1x1 ———————— x1 3 x

————————————x 2 x22 x1 3 ————————— x1

x1(f f1) (x)f ——— 2x

x1 2———1 2x

———————— x1 ———1 2x

2 x22 x ———————— 2x 3 x

————————————x x12x 3 ——————— 2x

x23.Donada la funció f(x) ———, comprova que (f f)(x) x. x 1 Per què creus que passa això? Justifica’n la resposta.

x(f f ) (x)f (f (x))f——— x1

x x ——— ——— x1 x1

————————————x x xx1 ———1 ————— x1 x1

Perquèf1(x)f (x),ésadir,éslainversad’ellamateixa.



24.Troba la funció inversa i fes-ne la comprovació en cada cas, per a cadascuna de les funcions següents:

x 1 a) f (x)——— x 2

x1y——— → x y2 yx1 →

x2

→x xy12 y→x (1y)12 y

12 y 12 xx———— → f 1(x)————

1y 1x

x1(f1 f ) (x)f1(f (x))f1——— x2

x1 12——— x2 ——————— x1 1——— x2

x22 x2 ———————— x2 3 x

————————————x x2x1 3 ——————— x2

12 x(f f1) (x)f (f 1(x))f ———— 1x

12 x ————1 1x —————— 12 x ————2 1x

12 x1x ———————— 1x 3 x

————————————x 12 x22 x 3 ————————— 1x

b) g(x)√ x2 2

y√ x22 → y2 x22 →

→ x2 y22 → x√ y22 →

→ g1(x) √ x22

(g1 g) (x)g1(g (x))

g1(√ x22)√ (√ x22)22

√ x222√ x2x

(g g1) (x)g (g1(x))

g(√ x22)√ (√ x22)22

√ x222√ x2x

1 c) h (x)—x3 2

1y—x 3 → 2 yx 6 →

2

→ x2 y 6 → h1(x)2 x 6

(h1 h) (x)h1(h (x))

1 1h1—x 32—x 3 6

2 2

x 66x

(h h1) (x)h (h 1(x))

1h (2 x 6)—(2 x 6) 3

2

x 33x

Avaluació

1. Troba el domini de les funcions següents. Representa també gràficament les funcions dels apartats a, b i c i indica’n el recorregut.

a) f(x) 5

b) f(x) 2x + 1

c) f(x) x2 2x + 3

d) f(x)

e) f(x)

f) f(x)

g) f(x)

h) f(x)

i) f(x)

a)Df,Rf {5}

y

x



b)Df ,Rf

y

x

c)Df ,Rf[2,+∞)y

x

d){0,4}

e) )7,

2 +∞

f)

g)(0,+∞)

h)

i)Df (−∞,0]U(1,+∞),Rf

2. Siguin 3 2

( )3

xf x

x−=+

, 2

( )3

xg x

x=

+ i h(x) = x2 – 1. Calcula:

a) f + g

b) f · g

c) f: g

d) f h

a) ( )2 3 2

( )3

x xf g x

x+ −+ =

+

b)( )

2 3 2

2 2

(3 2) 3 2· ( )

( 3) 6 9x x x x

f g xx x x

− −= =+ + +

c)

d)(f oh)(x)2 2

2 2

3( 1) 2 3 5( )( )

( 1) 3 2x x

f g xx x

− − −= =− + +

�

3. I) Troba la funció inversa de:

a) f(x) 1

3 2xx−+

b) g(x) 2x 5

II) Comprova que (g–1o g) (x) x

a)

1

1 13 2 1 3 2 1

3 2 3 2

2 1 2 1(3 1) 2 1 ( )

1 3 1 3

x yy x xy x y xy y x

x y

x xy x x y f x

x x−

− −= → = → + = − → − = − − →+ +

+ +− = − − → = → =− −

1

1 13 2 1 3 2 1

3 2 3 2

2 1 2 1(3 1) 2 1 ( )

1 3 1 3


x y

x xy x x y f x

x x−

− −= → = → + = − → − = − − →+ +

+ +− = − − → = → =− −

1

1 13 2 1 3 2 1

3 2 3 2

2 1 2 1(3 1) 2 1 ( )

1 3 1 3


x y

x xy x x y f x

x x−

− −= → = → + = − → − = − − →+ +

+ +− = − − → = → =− −

b) 15 52 5 2 5 ( )

2 2x x

y x x y y g x−+ += − → = − → = → =

c)(g211 (2 5) 5 2( )( )

2 2x x

g g x x− − += = =�

4. Un venedor té un salari mensual que està determinat per un sou fix més un cert percentatge sobre el volum de vendes que ha fet durant el mes. Si ven per valor de 2000 €, el seu salari és de 1200 € i, si ven per valor de 2500 €, el salari és de 1300 €. Trobeu el percentatge que guanya sobre el total de vendes i el sou fix.

b,soufix

a,%delvolumdevendes

Busquemunafunciódelaformay=ax+b

Sabem1200 2000

1300 2500

a b

a b

= + = +

Resolentperreducció,restantlesequacions−100500a→→ a1/50,220%ib800.

Així,elpercentatgequeguanyasobreeltotaldevendesésdel20%ielsoufixsón800€.

jUnitat10.Límitsicontinuïtatdefuncions

Activitats x 2 1.Donada la funció f (x) ———: x 1

a) Troba el límit de la funció per a x 4, x 1 i x 2.

x4, x → 4; f (x) → 2

x → 4; f (x) → 2x→4lim f(x)2

2

2 3 2

(3 2)( 3) 3 7 6( )

( 3) 3f x x x x

xg x x x x

− + + −= = + +

2

2 3 2

(3 2)( 3) 3 7 6( )

( 3) 3f x x x x

xg x x x x

− + + −= = + +



x1, x → 1; f (x) →

x → 1; f (x) → Noexisteix

x→1limf (x)perquèelslímitslateralssóndiferents

x2, x → 2; f (x) → 0

x → 2; f (x) → 0x→2lim f(x)0

b) Indica si es creixent o decreixent per a x 4 i x 2.

x4, x → 4; f (x) → 2

Ésdecreixentjaquex↑,f (x)↓

x → 4; f (x) → 2

Ésdecreixentjaquex↓,f (x)↑

→Decreixent.

x2, x → 2; f (x) → 0

Ésdecreixentjaquex↑,f (x)↓

x → 2; f (x) → 0

Ésdecreixentjaquex↓,f (x)↑

→Decreixent.

x2 2 x 2.Donada la funció f (x) ———— : 3 x

a) Troba el límit de la funció en x 0.

x → 0; f (x) → 0,6

(

x → 0; f (x) → 0,6

(

2

x→0lim f(x)0,6

(

— 3

b) Què pots dir del creixement de la funció en el punt x 0? Justifica’n la resposta.

x0 Df.Nopodenparlardecreixementenx0.


2 x 5 x 2

a) x → lim ——————

3 x 2 1

2x5 x2 5 x2 5

x→lim ——————

x→lim ————

3 x21 3 x2 3

7 x 3 b)

x → lim ————

4 x 2 2

7 x3 7 x

x→lim ————

x→lim ——

4 x22 4 x 2

7

x→lim ——0

4 x

c) x→

lim (√ 3x2 5x 9 √ 3x2 x 1)

x→

lim (√ 3x25x9√ 3x2x1)

(√ 3x25x9)2(√ 3x2x1)2

x→

lim —————————————————— √ 3x25x9√ 3x2x1

3x25x93x2x1

x→

lim ———————————————— √ 3x25x9√ 3x2x1

6x10

x→

lim ———————————————— √ 3x25x9√ 3x2x1

6 x

x→lim ————————

√ 3 x 2√ 3 x 2

6 x 6 x

x→

lim ——————x→lim ————

√ 3x√ 3x 2 √ 3x

6 3 3√ 3————————√ 3

2√ 3 √ 3 3

d) x →

lim (√ x 2 1 x 2)

x→

lim (√ x21x2)

x→

lim [√ x21(x2)]

(√ x21)2(x2)2

x→

lim —————————— √ x21x2

x21x24 x4

x→

lim ——————————— √ x21x2

4 x3

x→

lim ————————— √ x21x2

4 x 4 x

x→

lim ————x→

lim ——— √ x2x xx

4 x

x→

lim ———2 2 x

e) x →

lim (3x3 2 √ 5x4 3x2 7)

x→

lim (3x32√ 5x43x27)

x→

lim (3 x 3)

1 3 x3

f) x →

lim ———— 5 x2 2

13 x3 3 x3

x→

lim ————x→

lim ——— 5 x22 5 x2

3 x

x→

lim —— 5



x 5 g)

x →

lim ——— x 3

x 2

x5

x→

lim ——— x3

x2

3

x→

lim 1———x 2———

3 3———

x 2

(x3)

x2

elim

x→3(x 3)———

x 2 elim

x→3x——x e3

x2 x 2 1 x 3

h) x →

lim ————————— 2 x 3 x 2 5

x2x2 1x3

x→

lim ————————— 2 x3 x25

x 42 x37 x27 x13

x→

lim ——————————————— 2 x33 x210 x15

x 4 x

x→

lim ———x→

lim —— 2 x3 2

6 x 4 5 x3 2 x2 3 i)

x → lim ———————————

2 x3 x2 2 x 7

6 x45 x32 x23

x→lim ———————————

2 x3x22 x7

6 x 4

x→lim ———

x→lim 3 x

2 x3

2 2 x j)

x → lim 3 ————

x 1———2

x 4

22 xx→lim 3————

x 1———2

x4

6

x→lim 1———

x 1———2

x4

6

x→lim 1———

x 4———6

6———x 4

·x 1———

2

x4

e lim

x→3x 3———

x 4 e3

3 x 3 2 4 x 1 k)

x →

lim ———— ———— x 2 5 6 x 2 3

3 x32 4 x1

x→

lim ———— ———— x25 6 x23

12 x 43 x38 x2

x→

lim ——————————— 6 x 433 x215

12 x 4

x→

lim ———2 6 x 4

3 x 3x2

l) x →

lim —————— 3 x

1 2 x2

3x3x2

x→

lim —————— 3x

12 x2

3x3x2

x→

lim ——————lim

x→(3x)

12 x2

3x2

x→

lim ———lim

x→(3x)

2 x2

3 2—

—

0 2 3

4.Troba el límit de la funció

x3 5 x2 6 x f (x) ——————— en x 0, x 1, x 2 i x 3. x3 3 x2 2 x

x35 x26 x

x→0lim ———————

x33 x22 x

x (x25 x6 )

x→0lim ———————

x (x23 x2)

x 25 x6 6

x→0lim ———————3

x 23 x2 2

x35 x26 x 2

x→ 1lim ————————

x33x22x 0

x35 x26 x

x→ 2lim ———————

x33 x22 x

(x2) (x23 x)

x→ 2lim ————————

(x2) (x2x)

x 23 x 2

x→ 2lim ———————1

x 2x 2

x35 x26 x 0

x→ 3lim ————————0

x33 x22 x 6

5.Calcula els següents límits de funcions:

x √ 3 x 10 a) lim ———————— x → 5

x 2 25

x√ 3 x10lim ———————

x→5 x225



x2(√ 3x10)2

lim ———————————— x→5(x225)(x√ 3x10)

x23 x10

lim ————————————

x→5(x225)(x√ 3x10)

(x5) (x2) lim ——————————————— x→5 (x5)(x5)(x√ 3x10)

x2lim ———————————

x→5 (x5)(x√ 3x10)

7 7—————

10 10 100

x 1 2 x 3 b)

x → 0 lim ——————— 6x2 3x3

x1 2 x3

x→0lim ——————— 6 x2 3 x3

x (x1)2 (2 x3)

x→0lim ———————————

6 x3

x2x4 x6

x→0lim ————————

6 x3

x23 x6 6

x→0lim ————————

6 x 3 0

2 x 3 2 x 2 c)

x → 1 lim ————:———— x 2 1 x 1

2 x3 2 x2

x→1lim ————:————

x21 x1

(2 x3) (x1)

x→1lim ————————

(x21) (2 x2)

(2 x3) (x1)

x→1lim ———————————

(x1) (x1) (2 x2)

2 x3 5 5

x→1lim ————————————

(x1) (2 x2) 2 4 8

x 2 2 x 1 d)

x → 1 lim —————————

x 3 3 x 2 3 x 1

x22 x1

x→1lim —————————

x33 x23 x1

(x1)2

x→1lim ————

(x1)3

1 1

x→1lim ————

x1 0

2 x3 5 x 2 7 x e)

x → 0 lim ————————

8x2 x———3x

3 x 2 4 x

2 x35 x 27 x

x→0lim ———————— 8x2 x———

3x 3 x 24 x

x (2 x 25 x7)

x→0lim ————————

limx→ 0

x(8x 1)————3x

x (3 x4)

2 x25 x7

x→0lim ————————

limx→ 0

8x 1————3

3 x4

7 7 7——

1—3

3√

—

3√

— 4 4 4

x 3 4 f )

x → 2 lim ——————

1—x

x2 2 x 2

x34

x→2lim ———————

1—x

x22 x2

x34

x→2lim ———————

limx→ 2

1—x

x22 x2

6 6—

1—2

√

— 5 5

3 x 2 9 x 30 g)

x → 2 lim ————————

16 2 x 3

3 x 29 x30

x→2lim ————————

162 x 3

(x2) (3 x15)

x→2lim ———————————

(x2) (2 x24 x8)

3 x15 7

x→2lim ————————

2 x 24 x8 8

x 3 2 x 2 3 x h)

x → 3 lim ———————

27 x 3

x32 x23 x

x→3lim ———————

27x3

(x3) (x2x)

x→3lim ———————————

(x3) (x 23 x9)

x2x 4

x→3lim ————————

x23 x9 9

3 x 9 i)

x → 3 lim ————

x3 27

3 x9

x→3lim ————

x327



3 (x3)

x→3lim ———————————

(x3) (x23 x9)

3 1

x→3lim ———————

x 23 x9 9

x 2 x 2 6.Donada la funció f (x) ———————, calcula’n el límit

x 2 5 x 6 quan x tendeix a: 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1 i 1.

x2x2 4

x→3lim ————————

x25 x6 0

x2x2 4

x→3lim ————————

x25x6 0

Noexisteixellímit.

x2x2

x→2lim ——————

x25 x6 (x2)(x1)

x→2lim ————————

(x2)(x3)

x1

x→2lim ———3

x3

x2x2

x→2lim ———————

x25 x6 (x2) (x1)

x→2lim ————————

(x2) (x3)

x1

x→2lim ———3

x3

x2x2

x→2lim———————3

x25 x6

x2x2

x→1lim ——————0

x25 x6

x2x2

x→1lim ——————0

x25 x6

x2x2

x→1lim ——————0

x25 x6

7.Donada la funció f(x) √ x 4, indica’n el domini i dedueix-ne el límit quan x tendeix a: 4, 4, 4.

Df{x x40}[4,)

/∃ x→4lim √ x4

jaqueelsvalorsméspetitsde4nosóndeldomini.

x→4lim √ x40,ipertant:

/∃ x→4lim √ x4

8.Calcula el límit de la funció definida a trossos: x2 x ————— x 1 2x2 2x f(x) 5 x2 1 ———— x 1 2x 2

quan x tendeix a 0, 0, 0, 1, 1, 1, 3, 3, 3.

x 2x

x→0lim f (x)

x→0lim —————

2 x22 x

x (x1)

x→0lim —————

2 x (x1)

x1 1

x→0lim —————— 2 (x1) 2

x2x

x→0lim f (x)

x→0lim —————

2 x22 x

x (x1)

x→0lim —————

2 x (x1)

x1 1

x→0lim ——————

2 (x1) 2

1 d’on:

x→0lim f (x)—

2

x2x

x→1lim f (x)

x→1lim —————0

2 x 22 x

x 21

x→1lim f (x)

x→1lim ————

2 x2

(x1) (x1)

x→1lim ——————— 2 (x1)

x1

x→1lim ———1

2

/∃x→1lim f (x)

x21

x→3lim f (x)

x→3lim ————2

2 x2

x21

x→3lim f (x)

x→3lim ————2

2 x2

x→3lim f (x)2




2 x 2 2 x f (x) ————— i x x 3

5 x ——— si x 0 x 1 g (x) 5 x 2

——— si x 0 x 1

Estudia’n la continuïtat en x 1, x 0 i x 1.

Df{x xx30} {1,0,1}

2 x22 x

x→1lim f (x)

x→1lim —————

xx3

2 x (x1)

x→1lim ———————— (xx2) (x1)

2 x

x→1lim ————1

xx2

2 x22 x

x→1lim f (x)

x→1lim —————

xx3

2 x (x1)

x→1lim ————————

(xx2) (x1)

2 x

x→1lim ————1

xx2

d’on: /∃ f (1), ja que x 1 Df. Discontinuïtat evitable enx1.

2 x22 x

x→0lim f (x)

x→0lim —————

xx3

x (2 x2)

x→0lim ————— x (1x2)

2 x2

x→0lim ————2

1x2

2 x22 x

x→0lim f (x)

x→0lim —————

xx3

x (2 x2)

x→0lim —————

x (1x2)

2 x2

x→0lim ————2

1x2

d’on: /∃ f (0), ja que x 0 Df. Discontinuïtat evitable enx0.

S’evitenlesduesdiscontinuïtatsdefinintunanovafunció:

f (x) x1ix0 h (x)5 1 x1 2 x0

2 x22 x 4

x→1lim f (x)

x→1lim —————— xx3 0

2 x22 x 4

x→1lim f (x)

x→1lim ——————

xx3 0

/∃f (1),jaquex1Df

Discontinuïtatasimptòticaenx1.

Dg{x x10ix10}

{1,1}

5 x 5

x→1lim g (x)

x→1lim ———— x1 0

5 x 5

x→1lim g (x)

x→1lim ————

x1 0

Discontinuïtat asimptòtica en x 1. /∃ g (1), ja quex1Dg.

5 x

x→0lim g (x)

x→0lim ———0 x1

x2

x→0lim g (x)

x→0lim ———0

x1

f (0)0

Contínuaenx0.

x2 1

x→1lim g (x)

x→1lim ———— x1 0

x2 1

x→1lim g (x)

x→1lim ————

x1 0

Discontinuïtatasimptòticaenx1./∃g (1),jaquex1Dg.

10.Estudia la continuïtat de la funció:

2 x 2 6 x 4 f (x) ———————— 1 x 4

Df{x 1x 40} {1,1}

Calestudiar-laenx 1ix 1.

2 x26 x4 12

x→1lim ——————————

1x 4 0

2 x26 x4 12

x→1lim ——————————

1x 4 0

/∃f (1),jaquex1Df




2 x26 x4

x→1lim ————————

1x 4

(x1) (2 x4)

x→1lim —————————————

(x1) (x3x2x1)

2 x4 1

x→1lim —————————

x3x2x1 2

2 x26 x4

x→1lim ————————

1x 4

(x1) (2 x4)

x→1lim —————————————

(x1) (x3x2x1)

2 x4 1

x→1lim —————————

x3x2x1 2

/∃f (1),jaquex1Dg

Discontinuïtatevitableenx1.S’evitadefinintunanovafunció:

f (x) x 1 g (x)5 1 — x 1 2

11.En la funció

p x 1 ———— si x 1 x 4 f (x) 5 x 1 ———— si x 1 x 2 1

a) Troba el valor de p perquè sigui contínua en x 1.

p x1 p1

x→1lim f (x)

x→1lim ———————

x4 3

x1

x→1lim f (x)

x→1lim ————

x2x

x1

x→1lim ————

x (x1)

1

x→1lim —1

x

p1 f (1)——— 3

Sihadesercontínuaenx1 →

p1 → ———1 → p4 3

b) Hi ha algun altre punt en què la funció és discontínua? Justifica’n la resposta.

No,perquèDf.Perap4f (x)éscontínuaentotselsreals.

12.Estudia la continuïtat de la funció:

2x 1 si x 1

x 3 g(x) 5 ——— si 1 x 1 2x

x ——— si x 1 x 2

Dg{x 2 x0ix20} {0,2}.

Calestudiarlacontinuïtatenx1,x0,x1ix2.

x→1lim g (x)

x→1lim (2 x1)1

x3

x→1lim g (x)

x→1lim ———1

2 x

g (1) 1

Contínuax 1.

x3 3

x→0lim g (x)

x→0lim ————

2 x 0

x3 3

x→0lim g (x)

x→0lim ————

2 x 0

/∃g (0)jaquex0Dg


x3

x→1lim g (x)

x→1lim ———2

2 x

x

x→1lim g (x)

x→1lim ———1

x2

g (1) 2

Discontinuïtatdesaltenx 1.

x 2

x→2lim g (x)

x→2lim ————

x2 0

x 2

x→2lim g (x)

x→2lim ————

x2 0

/∃g (2)jaquex2Dg




13.A partir de la gràfica:

Df

a) Indica quin és el límit de la funció quan x tendeix a , , , 4, 4, 4, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2.

x→

lim f (x)0;x→

lim f (x);

/∃x→lim f (x)

x→4lim f (x)2;

x→4lim f (x);

/∃x→4lim f (x); f (4)2

x→2lim f (x)1;

x→2lim f (x)1;

x→2lim f (x)1; f (2)0

x→0lim f (x);

x→0lim f (x)2;

/∃x→0lim f (x); f (0)2

x→1lim f (x)0;

x→1lim f (x)0;

x→1lim f (x)0; f (1)0

x→2lim f (x)2;

x→2lim f (x)1;

/∃x→2lim f (x); f (2)1

b) Justifica i classifica les discontinuïtats de la funció representada gràficament.


Discontinuïtatevitableenx2.S’evita

f (x) x2 definintg (x)5 1 x2


Discontinuïtatdesaltx2.

14.Dibuixa una gràfica d’una funció que verifiqui les condicions següents:

a) Df {0};

b) x → lim f (x) 0;

c) Presenti aquestes discontinuïtats: asimptòtica en x 0, evitable en x 2 i de salt en x 4.

Respostaoberta,perexemple:

Activitatsfinals

1.Calcula els límits a l’infinit de les funcions polinòmiques següents:

a) p (x) 4 x 4 x 3 12 x 2 x 3

x→

lim p (x)

x→

lim (4 x4x312 x2x3)

x→

lim 4 x4

x→

lim p (x)

x→

lim (4 x 4x312 x2x3)

x→

lim 4 x 4

d’on:x→lim p (x)

b) q (x) 2 x 3 6 x 2 8

x→

lim q (x)x→

lim (2 x36 x28)

x→

lim (2 x3)

x→

lim q (x)x→

lim (2 x36 x28)

x→

lim (2 x3)

d’on:/∃x→lim q (x)



2. Troba el límit quan x → , x → i x → de les funcions racionals:

7 x 3 a) f (x) ————— 2 x 3 x

7 x3

x→

lim f (x)x→

lim ————

2 x3x

7 x

x→

lim —— 2 x3

7

x→

lim ——0 2 x2

7 x3

x→

lim f (x)x→

lim ———— 2 x3x

7 x

x→

lim —— 2 x3

7

x→

lim ——0 2 x2

x→lim f (x)0

12 x 2 2 x 5 b) g (x) ——————— 6 x 2 8 x 12 x22 x5

x→

lim g (x)x→

lim ————————

6 x28 x

12 x2

x→

lim ——2 6 x2

12 x22 x5

x→

lim g (x)x→

lim ———————— 6 x28 x

12 x2

x→

lim ——2 6 x2

x→lim g (x)2

x 4 2 c) h (x) ——————— 7 x 3 20 x 1

x 42

x→

lim h (x)x→

lim ————————

7 x 320 x1

x 4

x→

lim —— 7 x 3

x

x→

lim — 7

x 42

x→

lim h (x)x→

lim ———————— 7 x 320 x1

x 4

x→

lim —— 7 x 3

x

x→

lim — 7

/∃ x→lim h (x)

x 3 4 x 2 3 x 3.Donada la funció f (x) ———————: x 2 x 2

a) Calcula el límit de f (x) quan x → 2 i x → 1.

x34 x23 x 30

x→2

lim —————————— x2x2 0

x34 x23 x 30

x→2

lim —————————— x2x2 0

/∃ x→2lim f(x)

x34 x23 x

x→1lim ———————

x2x2

(x1) (x23 x)

x→1lim ————————

(x1) (x2)

x23 x 2

x→1lim —————

x2 3

1 b) Determina el límit de la funció — (x) quan x → 0,

x → 1 i x → 3. f

x2x2 2

x→0

lim ————————— x34 x23 x 0

x2x2 2

x→0

lim ————————— x34 x23 x 0

/∃ x→0lim f(x)

x2x2

x→1lim ———————

x34 x23 x

(x1) (x2)

x→1lim ————————

(x1) (x23 x)

x2 3

x→1lim —————

x23 x 2

x2x2 10

x→3

lim ————————— x34 x23 x 0

x2x2 10

x→3

lim —————————— x34 x23 x 0

/∃ x→3lim f(x)

4.Calcula:

x 6 x 4 a)

x → 2 lim ———— ———— x 2 4 x 2 2 x

x6 x4

x→2lim ———————— x24 x22 x



(x6)x(x4) (x2)

x→2lim ———————————————

x (x2) (x2)

x26 xx22 x8

x→2lim —————————————

x (x2) (x2)

4 x8

x→2lim —————————

x (x2) (x2)

4 (x2)

x→2lim —————————

x (x2) (x2)

4 4 1

x→2lim ——————————

x (x2) 2(4) 2

x √ 4 x 3 b)

x → 3 lim ———————

x 2 3 x

x√ 4 x3

x→3lim ———————

x23 x

x2(√ 4x3)2

x→3lim —————————————

(x23x)(x√ 4x3)

x24 x3

x→3lim —————————————

(x23x)(x√ 4x3)

(x3) (x1)

x→3lim —————————————

x(x3)(x√ 4x3)

x1 2 1

x→3lim ————————————

x(x√ 4x3) 36 9

3 x 1 x 2 x c)

x → 1 lim ———— ———— 2 x 2 2 x 3

3 x1 x 2x

x→1lim ———— ———— 2 x2 2 x3

(3 x1) (x 2x)

x→1lim —————————

(2 x2) (2 x3)

(3 x1) x (x1)

x→1lim —————————

2(x1) (2 x3)

x (3 x1) 4 2

x→1lim ——————————

2 (2 x3) 2 5 5

5.Per calcular alguns límits cal utilitzar el mètode del doble conjugat. Consisteix a multiplicar el numerador i el denominador pel conjugat de cadascun d’ells. Tot emprant el mètode del doble conjugat, calcula:

3x √ x2 32

x → 2 lim ————————

√ x 2 x

3x√ x232

x→2lim ————————

√ x2x

[(3x)2(√ x232)2](√ x2x)

x→2lim ——————————————————

[(√ x2)2x2](3x√ x232)

(9x2x232)(√ x2x)

x→2lim ————————————————

(x2x2)(3x√ x232)

(8x232)(√ x2x)

x→2lim ——————————————————

(x2x2)(3x√ x232)

8(x2)(x2)(√ x2x)

x→2lim ——————————————————

(x2)(x1)(3x√ x232)

8(x2)(√ x2x)

x→2lim ——————————————

(x1)(3x√ x232)

8 4 4 32——————

3 12 9

6.a) Mitjançant una taula de valors comprova que:

x → 0 lim (1x)

1—x e

b) Sabent que x → alim [1f (x)]

1——f(x) e si

x → alim f (x) 0,

calcula:

x 1

x → 1 lim 1 ——— 2———

3x3

x 1 a)

g (x)(1x)1—x

g (0,1)(10,1)1—

0,11,1102,5937425

g (0,01)(10,01)1——

0,01

1,011002,7048138

g (0,001)(10,001)1——

0,001

1,00110002,7169239

x→0lim g (x)e

g (0,1)(10,1)1——

0,10,910

1 ——10

1,1

(

102,867972 0,9

1 g (0,01)——100

0,99

1,01

(

1002,731999

1 g (0,001)———1000

1,001

(

1000

0,999

2,7196422

x→0lim g (x)e



Pertant,x→0lim (1x)

1—x e.

b) x1

x→1lim 1——— 2———

3x3 x1

x1

x→1lim 1———

x 1———x 1

x 1———x 1

2———3x 3

x1

ex→1lim 2(x 1)————————

(x 1)3(x1)e

x→1lim 2————

3(x1)

e

1—3

x1 jaque

x→1lim f(x)

x→1lim ———0

x1

x x 7.Raona per què la funció f (x) ———— no té límit quan

x → 0. x

xx xx

x→0lim ————

x→0lim ———0

x x

xx xx

x→0lim ————

x→0lim ———

x x

2 x

x→0lim ——2

x xx/∃

x→0lim ————

x

8.Calcula el límit de:

x ——— si x 0 x 2 x

3 x 9 f (x) 5 ——— si 0 x 3 x 2 9

3 x ——— si x 3 x 3

quan x tendeix a , , , 1, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 3, 3.

x

x→

lim f (x)x→

lim ——— x 2x x 1

x→

lim ——x→

lim —0 x 2 x

3 x 3 x

x→

lim f (x)x→

lim ———x→

lim —3

x3 x

/∃x→lim f (x)

x 1

x→1lim f (x)

x→1lim —————

x 2x 0

x 1

x→1lim f (x)

x→1lim —————

x 2x 0

/∃x→1lim f (x)

x

x→0lim f (x)

x→0lim ———

x2x

x

x→0lim —————

x (x1)

1

x→0lim ———1

x1

3 x9

x→0lim f (x)

x→0lim ————1

x 29

x→0lim f (x)1

3 x9

x→3lim f (x)

x→3lim ————

x29

3 (x3)

x→3lim ———————

(x3) (x3)

3 1

x→3lim ————

x3 2

3 x 3

x→3lim f (x)

x→3lim ————

x3 2

/∃x→3lim f (x)

1 9.Les funcions f (x) x, g (x) — i h (x) √ x són contí-

x nues en x 0? Justifica’n les respostes.

x→0lim f (x)

x→0lim x0

x→0lim f (x)

x→0lim x0

f (0)0

f (x)éscontínuaenx0.

1 1

x→0lim g (x)

x→0lim ———

x 0

1 1

x→0lim g (x)

x→0lim ———

x 0

/∃g (0)jaquex0Dg

g (x)ésdiscontínuaenx0.Ésunadiscontinuïtatasimptòtica.

/∃x→0lim h (x)jaqueDh[0,)

x→0lim h (x)

x→0lim √ x0

f (0)0

h (x)ésdiscontínuaenx0.



10.La funció

1 si x 0 f (x) 5 x 2 si x 0

és contínua en x 0? I en x 1? Raona les respostes.

x→0lim f (x)1

x→0lim f (x)

x→0lim (x2)2

f (0)1

Enx0lafuncióf (x)presentaunadiscontinuïtatdesalt.

x→1lim f (x)

x→1lim (x2)3

x→1lim f (x)

x→1lim (x2)3

f (1)3

Enx1lafuncióf (x)éscontínua.

11.Justifica raonadament per què una funció polinòmica és contínua per a tot x.

Siguip (x)unafunciópolinòmica.

Dp

x→alim p (x)

x→alim p (x)p (a) → éscontínuaa.

12.Classifica les discontinuïtats de cada funció per al valor de x que s’indica:

1 a) f (x) ——— en x 3 x 3

1 1

x→3lim f (x)

x→3lim ————— x3 0

1 1

x→3lim f (x)

x→3lim —————

x3 0

/∃f (3),jaquex3Df


x si x 1 b) g (x) 5 en x 1 x 2 2 si x 1

x→1lim g (x)

x→1lim x1

x→1lim g (x)

x→1lim (x 22)3

g (1)3

Discontinuïtatdesaltenx1.

13.Estudia la continuïtat de la funció

2 x 2 8 f (x) ————— en x 0 i x 2. x 3 2 x 2

2 x 28 8

x→0lim ———————

x 32 x 2 0

2 x 28 8

x→0lim ———————

x 32 x 2 0

/∃f (0),jaquex0Df


2 x 28 2 (x2) (x2)

x→2lim —————

x→2lim —————————

x 32 x 2 x 2(x2)

2 (x2)

x→2lim —————2

x 2

2 x 28 2 (x2) (x2)

x→2lim —————

x→2lim —————————

x 32 x 2 x 2(x2)

2 (x2)

x→2lim —————2

x 2

/∃f (2)jaquex2Df

Discontinuïtatevitableenx2.

f (x)six2 S’evitadefinintg (x) 5 2six2

14.Explica per què té una discontinuïtat evitable en x 1 la funció:

2 si x 1

f (x) 5 x 3 ——— si x 1 2

Com es pot evitar la discontinuïtat?

x→1lim f (x)2

x3

x→1lim f (x)

x→1lim ———2 2

/∃f (1)

Efectivament,ésunadiscontinuïtatevitable.

2 six1

S’evitadefinintg (x) 5 x3

——— six 1 2



15.Troba el domini i estudia la continuïtat de les funcions irracionals:

a) f (x) √ x 1

Df{x x10}[1,)

/∃ x→1lim (√ x1)

x→1lim (√ x1)0

f (1)0

Ésdiscontínuaenx1.

b) g (x) √ 4 x 2

Dg{x 4x 20}[2,2]

/∃ x→2lim √ 4x 2

x→2lim √ 4x20

g (2)0


x→2lim √ 4x20

/∃ x→2lim √ 4x2

g (2)0


16.Estudia la continuïtat de la funció següent:

3 x 9f (x) —————

2 x 2 18

Df{x 2 x 2180}{3,3}

3 x9 18

x→3lim ———————

2 x 218 0

3 x9 18

x→3lim ——————— 2 x 218 0

/∃f (3)jaquex3Df


3 x9 3 (x3)

x→3lim —————

x→3lim —————————

2 x 218 2 (x3) (x3)

3 1

x→3lim ——————

2 (x3) 4

3 x9 3 (x3)

x→3lim —————

x→3lim —————————

2 x 218 2 (x3) (x3)

3 1

x→3lim ——————

2(x3) 4

/∃f (3),jaquex3Df.

Discontinuïtatevitableenx3,s’evitadefinint:

f (x) x3 g (x) 5 1 — x3 4

17.A partir de la gràfica, descriu tots els punts de discontinuïtat de la funció partentera, definida per a tot nombre real x com la funció f (x) que hi fa correspondre el nombre enter més gran n tal que n x.

A partir de la gràfica s’observa que x , hi ha unadiscontinuïtatdesaltiéscontínuaenelsaltrespunts.

18.Descriu el domini i les discontinuïtats de les funcions següents:

x 3 a) f (x) ——— x

Df{x x0}{0}

x3 3

x→0lim —————

x 0

x3 3

x→0lim —————

x 0

/∃f (0)jaquex0Df


3 x 15 b) g (x) ———— x 2 5 x

Dg{x x 25 x0}{0,5}

3 x15 15

x→0lim ——————

x 25 x 0

3 x15 15

x→0lim ——————

x 25 x 0

/∃g (0),jaquex0Dg




3 x15 3 (x5)

x→5lim ————

x→5lim —————

x 25 x x (x5)

3 3

x→5lim ——

x 5

3 x15 3 (x5)

x→5lim ————

x→5lim —————

x 25 x x (x5)

3 3

x→5lim ——

x 5

/∃g (5),jaquex5Dg


g(x) six5 S’evitadefinintq(x) 5 3 — six5 5

x 3 x 2

c) h (x) ———— x 2

Dh{x x 20}{0}

x 3x 2 x 2(x1)

x→0lim ————

x→0lim —————

x 2 x 2

x→0lim (x1)1

x 3x 2 x 2(x1)

x→0lim ————

x→0lim —————

x 2 x 2

x→0lim (x1)1

/∃h (0),jaquex0Dh


h (x) six0 S’evitadefinintr (x) 5 1 six0

d) p (x) x 2 9

p (x)x 29éspotdefiniraixí:

x 29 si x3 o x3 p (x) 5 9x 2 si 3x3

Dp

x→3lim p (x)

x→3lim (x 29)0 x→3

lim p (x)x→3lim (9x 2)0

p (3)0

Contínuaenx3.

x→3lim p (x)

x→3lim (9x 2)0 x→3

lim p (x)x→3lim (x 29)0

p (3)0

Contínuaenx3.

19.Troba el domini i estudia la continuïtat de la funció:

x 2 3 x 1 —————— si x 1 x 2

x 2 1 f (x) 5 ——— si 1 x 1 x 1

x 1 ——— si x 1 2 x

Df{x x 20i2 x0}

{2,2}

x 23 x1

x→2lim f (x)

x→2lim ——————

x2

1——

0

x 23 x1

x→2lim f (x)

x→2lim ———————

x2

1 —— 0

/∃f (2),jaquex2Df


x 23 x1

x→1lim f (x)

x→1lim ———————1

x2

x 21

x→1lim f (x)

x→1lim ————0

x1

f (1)0


x 21

x→1lim f (x)

x→1lim ———

x1

(x1) (x1)

x→1lim ————————

x→1lim (x1)2

x1

x1

x→1lim f (x)

x→1lim ———2

2x

f (1)2

Contínuaenx1.



x1 3

x→2lim f (x)

x→2lim —————

2x 0

x1 3

x→2lim f (x)

x→2lim ————— 2x 0

/∃f (2)jaquex2Df


20.Estudia la continuïtat de la funció f (x) x 2 1 en els punts x 1 i x 1.

f (x)x 21espotdefinir:

x 21 si x1 o x1 f (x) 5 1x 2 si 1x1

x→1lim f (x)

x→1lim (x21)0 x→1

lim f (x)x→1lim (1x2)0

f (1)0

Contínuaenx1.

x→1lim f (x)

x→1lim (1x 2)0 x→1

lim f (x)x→1lim (x 21)0

f (1)0

Contínuaenx1.

21.El novembre de 1999, el preu del franqueig d’una carta en funció del seu pes era:

Fins a 20 g 0,21 Més de 20 g fins a 50 g 0,27 Més de 50 g fins a 100 g 0,45 Més de 100 g fins a 200 g 0,75 Més de 200 g fins a 350 g 1,35 Més de 350 g fins a 1 kg 1,95 Més d’1 kg fins a 2 kg 3,01

a) Representa per x la variable pes i per f (x) la variable preu i escriu l’expressió algèbrica de la funció.

0,21si0x20 0,27si20x50 0,45si50x100 f (x) 5 0,75si100x200 1,35si200x350 1,95si350x1 000 3,01si1 000x2 000

xengif (x)eneuros.

b) Indica’n el domini.

Df(0,2 000]

c) Fes-ne la representació gràfica.

d) Estudia les discontinuïtats.

Ésdiscontínuadesaltenx20,x50,x100,x200,x350ix1 000.

22.Troba el valor de k per tal que la funció

x k si x 0 f (x) 5 2 x 2 k x 6 si x 0

sigui contínua en el punt x 0.

x→0lim f (x)

x→0lim (xk)k

x→0lim f (x)

x→0lim (2 x 2k x6)6

f (0)k

Contínuaenx0 → k6.

23.Sigui la funció:

k x ——— si x 2 x 3

3 x h f (x) 5 ———— si 2 x 1 x 2

x 1 ——— si x 1 2 x

a) Troba els valors de k i h que fan que la funció f (x) sigui contínua en els punts x 2 i x 1.

k x

x→2lim f (x)

x→2lim ———2 k

x3

3 xh 6h

x→2lim f (x)

x→2lim ——————— x2 4

f (2)2 k

6h Contínuaenx2 → 2 k——— 4



3 xh

x→1lim f (x)

x→1lim ————h3

x2

x1

x→1lim f (x)

x→1lim ———1

2 x

f (1)1

Contínuaenx1 → h31

h31 → h4

6h 64 10 52 k————————— →

4 4 4 2

5→ k—

4

b) Hi ha algun valor de x per al qual la funció és discontínua? Justifica-ho.

Df{x x30}{3}

5 x

x→3lim f (x)

x→3lim ————

4 (x3)

15 —— 0

5 x

x→3lim f (x)

x→3lim ———

4 (x3)

15 —— 0

/∃f (3),jaquex3Df


24.Donada la gràfica d’una funció (fig. 10.11):

a) Indica’n el domini.

Df{1}

b) Digues-ne el límit quan x tendeix a

, , , 1, 1, 1, 1,

1, 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5.

c) Descriu-ne les discontinuïtats. Justifica-les.

b)ic)

x→

lim f (x)0 /∃x→lim f (x)

x→

lim f (x)1

x→1lim f (x)1 x→1

lim f (x)1 x→1lim f (x)1

f (1)1

Contínuaenx1.

x→1lim f (x)

x→1lim f (x) x→1

lim f (x)

/∃f (1),jaquex1Df


x→3lim f (x)2 /∃

x→3lim f (x) x→3

lim f(x)1

f (3)1


x→5lim f(x)3 x→5

lim f (x)3 x→5lim f (x)3

f (5)2


f (x) x5 S’evitadefinintg (x) 5 3 x5

Avaluació

1. Calcula els límits següents:

a) limx→ ∞

3x3 4

x 2 16

limx→ ∞

3x3 4

x 2 16



b) limx→ 3

x2 6

x 2 3x

limx→ 3

x2 6

x 2 3x

3

0, però el límit per l’esquerra és

− ∞ iellímitperladretaés+ ∞ .

c) limx→ +

limx→ +

c) limx→ +

limx→ +

2

2

3

2

2 7 23 2 ·

7 2 23 2 3 22 21 20 4

lim 212

22 2

7 7 2 1lim 1 lim 1 lim 1

22 27 2

x xx

x xx x x x

xx x x

x x xe

xx xx

e

+ −−− +

− − − +∞

+→+∞ →+∞ →+∞

+ − = = + = + = = ++ + −

limx→ + 8

2

2

3

2

2 7 23 2 ·

7 2 23 2 3 22 21 20 4

lim 212

22 2

7 7 2 1lim 1 lim 1 lim 1

22 27 2

x xx

x xx x x x

xx x x

x x xe

xx xx

e

+ −−− +

− − − +∞

+→+∞ →+∞ →+∞

+ − = = + = + = = ++ + −

limx→ +

2. Estudia la continuïtat de la funció següent en x 1 i en x 2.

2

5 2 1

( ) 4 1 2

2

x x

f x x

x x

+ ≤ −= − < ≤

>

si

si

si

2

5 2 1

( ) 4 1 2

2

x x

f x x

x x

+ ≤ −= − < ≤

>Enx 1laimatgeval3,ielslímitslateralssón3i4,pertanttenimunadiscontinuïtatdesalt.Enx2laimatgeielslímitslateralscoincideixenivalen4,pertantéscontínuaenaquestpunt.

3. A partir de la gràfica de la funció següent, fes l’estudi de la continuïtat en els punts que s’indiquen en la taula:

punts x =−5 x=−3 x=0 x=3

imatges f(−5)= f(−3)= f(0)= f(3)=

càlcul de límits laterals 5

lim ( )x

f x−→−

=

5lim ( )

xf x

+→−=

5lim ( )

xf x

→−=

3lim ( )

xf x

−→−=

3lim ( )

xf x

+→−=

3lim ( )x

f x→−

=

0lim ( )x

f x−→

=

0lim ( )x

f x+→

=

0lim ( )x

f x→

=

3lim ( )x

f x−→

=

3lim ( )x

f x+→

=

3lim ( )x

f x→

=tipus de discontinuïtat

punts x =−5 x=−3 x=0 x=3

imatges f(−5)=1 f(−3)= 2 f(0)=–2 f(3)noexisteix

càlcul de límits laterals 5

lim ( )x

f x−→−

= −∞

5lim ( ) 0

xf x

+→−=

5lim ( ) no

xf x

→−= ∃

3lim ( ) 2

xf x

−→−=

3lim ( ) 4

xf x

+→−=

3lim ( ) nox

f x→−

= ∃

0lim ( ) 1x

f x−→

= −

0lim ( ) 1x

f x+→

= −

0lim ( ) 1x

f x→

= −

3lim ( )x

f x+→

= +∞

3lim ( )x

f x+→

= +∞

3lim ( )x

f x→

= +∞

tipus de discontinuïtat

disc.asimptòtica disc.desalt disc.evitable disc.asimptòtica



4. Troba el domini i estudia la continuïtat de la funció

f(x) .

Lafuncióésdiscontínuaenx3ix3quesónelspuntsque anul·len el denominador i que per tant no pertanyen aldomini.Eldominiés{3,3}.

Enx3elslímitslateralssón ∞ i ∞ i laimatgenoexisteix,aixíquetenimunadisc.asimptòtica.

Enx3laimatgenoexisteixperòellímitsiival1/3,pertantladiscontinuïtatésevitable.

jUnitat11.Funcionsexponencialilogarítmica

Activitats

1.Calcula les potències d’exponent racional següents:

2— 3—4 ; 3,24,5; 70,3; 10

2—5; e

1—8 .

3

2 3—3—4—

3—41,50,751,355403

3 2

3,24,5187,57498

1 1 170,3—0,3

—————— 7 70,3 1,79279

0,5577898

10

2—5 100,42,5118864

1 1 1e

1—8—

1—8—0,125

——— e e e0,125

1—————0,8824969

1,1331485

2.Escriu i calcula els sis primers termes d’una successió que tingui per límit 4 √ 3.

4√ 341,7320508

414; 41,710,556063; 41,7311,004335;

41,73211,034887; 41,732011,034887;

41,7320511,035652

4; 10,556063; 11,004335; 11,034887;

11,034887; 11,035652

3.Repeteix l’activitat anterior per a 3.

1 1 13—

—————— 3 3 33,415927

1 1————0,037

)

33 27

1 1———————0,0331836

33,1 30,135326

1 1———————0,0317570

33,14 31,489136

1 1———————0,0317221

33,141 31,523749

1 1————————0,0317047

33,1415 31,54107

1 1————————0,0317016

33,14159 31,544189 )0,037 ; 0,0331836; 0,0317570; 0,0317221;

0,0317047; 0,0317016

4. Troba les cinc primeres aproximacions per defecte de les potències:

a) 2e

2e22,7182818

224; 22,76,4980192;

22,716,5432165; 22,7186,5796006;

22,71826,5805127

4; 6,4980192; 6,5432165; 6,5796006;

6,5805127

b) 3√ 2

3√ 231,4142136

313; 31,44,6555367;

31,414,706965; 31,4144,727695;

31,41424,7287339

3; 4,6555367; 4,706965; 4,727695;

4,7287339

5 c) —

4 5—

1,253,1415927

4

1,2531,953125; 1,253,11,9971976;

1,253,142,0151039;

1,253,1412,0155536;

1,253,14152,0157785

1,953125; 1,9971976; 2,0151039;

2,0155536; 2,0157785



5.Representa gràficament les funcions exponencials f(x)ex i g(x)ex.

f(x)ex

x ex

1 e2,7182818

2 e27,3890561

0 1

1 1 e1—0,3678794 e

f(x)ex,persimetriarespectedel’eixOYdelafuncióf(x)ex.

6.A partir de la gràfica de la funció y2x, dibuixa, fent les translacions necessàries, la gràfica de les funcions:

y2x

x 2x

1 2

2 4

0 1

1 0,5

a) y2x 1

Apartirdelagràficadey2x,estraslladaunaunitatcapaladreta.

b) y2x 1

Apartirdelagràficadey2x,estraslladaunaunitatcapaamunt.

c) y2x 1 1

Apartirdelagràficadey2x,estraslladaunaunitatcapal’esquerraiunaunitatcapaavall.

1 7.Determina les antiimatges de —— ; 0,125; 512 i

5√ 8 en la

16 funció f(x)2x. Has d’expressar cadascun d’aquests nombres

com una potència de base 2.

1 12x—— → 2x— →

16 24

→ 2x24 → x4

1 12x0,125 → 2x— → 2x— →

8 23

→ 2x23 → x3

2x512 → 2x29 → x9

32x

5√ 8→ 2x

5√ 23 → 2x2

3—5 → x—

5

8.Comprova que es verifiquen les propietats dels apartats j), k), l) i m) amb les funcions exponencials següents:

1f(x)2x, g(x)3x, h(x)—x

2 1

i p(x)—x

3

j) g(x)3x; g(1)3, g(2)329 →→ g(1)g(2)



1 1p(x)—x

; p(1)—, 3 3

1 1p(2)—2

— → p(1)p(2) 3 9

k) f(x)2x

x 2x

1h (x)—

x

2

1 x —

x

2

1 1 — 2 1 2 — 4 0 11 22 4

1 2

2 4

0 1

1 1 — 2

1 2 — 4

l) f(x)2x

1 1f(1)21—, f(2)22—,

2 4 1

f(3)23— 8

f(1)2, f(2)224, f(3)238

1 p(x)—x

3

1p(1)—1

3, 3

1p(2)—2

329, 3

1p(3)—3

3327 3

1 1 1p(1)—, p(2)—2

—, 3 3 9

1 1p(3)—3

—— 3 27

m)f(x)2xig(x)3x

f(1)2 g(1)f(1) g(1)3 1 f(1)21— 2 g(1)f(1) 1 g(1)31— 3

1 9.La gràfica de la funció f(x)ax passa pel punt (1, —). 5 Determina el valor de a.

f(x)ax

f(1)0,2 1 —0,2 → a5 1 a f(1)a1—

a

10.Quan es defineix la funció exponencial de base a, per quin motiu s’imposa la condició que aquesta base sigui positiva?

Sia0hihauriavalorsdexquenotindrienimatge,perexemple:

(2)

1—2√ 2

11.Resol aquestes equacions exponencials:

a) 2x2x 12x 1 64

2x2x 12x 164 →

→ 2x x 1 x 126 → 23x26 →

→ 3x6 → x2

b) 73x 2 √ 7x 1

73x 2√ 7x1 → 73x27x 1———

2 →

x1 3→ 3x2——— → x—

2 5

c) 1 3 9 27 ... 3x 364

13927...3x364,

1392781243364,

3x243 → 3x35 → x5

d) 11x2 3x 2 1

11x23x21 → x23x20 →

→ x12, x21



1 e) ——x3

323x 2

16

1 1 ——x 3

323x2 → —x 3

16 24

(25)3x2 → (24)x3(25)3x2

24x12215x10 → 2

→ 4x1215x10 → x—— 11

f) 9x 43x 3 0

9x43x30 →→ (32)x43x30 →

→ (3x)243x30

Si3xt → t24t30 →→ t13,t21 → x11,x20

151 g) 5x 1 5x 2 5x —— 25

1515x 15x 2 5x—— →

25

5x 15155x——5x——

25 25

1 1515x5——1—— →

25 25

151 151 → 5x———— → 5x1 → x0 25 25

a11

h) ax2 2x 4 —— a8

a11

ax2 2x 4—— → ax2 2x 4a3 → a8

→ x2 2x 43 →

→ x2 2x 10 → x1

12.Calcula, aproximant-la fins a les centèsimes, la solució de cadascuna de les equacions:

a) 3x 17

32,5716,834554 x2,58 32,5817,020521 b) 5x 0,8

50,140,7982597 x0,14 50,130,8112111

1 c) — x

7 2

0,52,817,0128458 x2,81 0,52,806,9644045 13.Elabora una taula de valors i dibuixa les gràfiques de les

funcions:

a) f(x) ln x

x lnx

1 0

e 1

e2 2

1 — 1

f

e

b) g(x) log 1—4

x

x log1—4

x

1 0

4 1

1 — 1 4

1 1 — —

g

2 2

1 1 14.Utilitzant les funcions logarítmiques en base 2, 3, — i —,

2 3 comprova les propietats dels apartats i), j) i k) de la funció

logarítmica.

i) f(x)log2x, f(2)log221,

f(4)log242 → f(2)f(4)

g(x)log1—2

x, g(2)log1—2

21,

g(4)log1—2

42 → g(2)g(4)

j)



x→0lim (log2x),

x→

lim (log2x)

x→0lim (log1

—2

x),

x→

lim (log1—2

x)

k) f(x)log2x, h(x)log3x

f(8)log283,

h(8)log382 → log28log38

1 1f—log2—1,

3 3

1 1h—log3—1, →

3 3

1 1→ log2—log3— 3 3

k(x)log1—3

x, g(x)log1—2

x

k(4)log1—3

42,

g(4)log1—2

42 →

→ log1—3

4log1—2

4

1 1k—log1

—3

—1, 2 2

1 1g—log1

—2

—1 → 2 2

1 1→ log1

—3

—log1—2

— 2 2

g(x)log1—2

x, f(x)log2x

g(2)log1—2

21,

f(2)log221 → log1—2

2log22

1 1g—log1

—2

—2, 4 4

1 1f—log2—2 →

4 4

1 1→ log1

—2

—log2— 4 4

15.A partir de la gràfica y log2x, dibuixa, aplicant les translacions corresponents, les gràfiques:

ylog2x x log2x

1 0

2 1

4 2

1 — 1 2

1 — 2 4

a) y log2(x 1)

Apartirdelagràficadey log2x,estraslladaunaunitatcapal’esquerra.

b) y log2x 1

Apartirdelagràficadey log2x,estraslladaunaunitatcapaavall.

16.Demostra les igualtats:

1loga b loga — log 1

—a

b b

Suposemquelogabp → apb

1 1 1loga—loga—loga—p

b ap a

logaap(p)plogab

1log1

—a

blog1—a

aplog1—a

—p

a

(p)plogab



17. Troba, sense utilitzar la calculadora, els logaritmes següents:

a) log749log749log77

22

b) log3729

log3729log3366

1 c) log9— 9 1

log9—log9911

9

d) log11 3√ 121

log113√ 121log11

3√ 112

2log1111

2—3—

3

e) log2341log23410

f) log 1—3

27

1log1

—3

27log1—3

33log1—3

—3

3 3

g) log 1—5

125

log1—5

125log1—5

53

1log1

—5

—3

3 5

h) log 1—6

7√ 216

log1—6

7√ 216log1

—6

7√ 63log1

—6

6

3—7

1 3log1

—6

—

3—7—

6 7

i) log22515

log22515log225√ 225

1log225225

1—2—

2

18.Calcula x en cadascuna d’aquestes igualtats:

a) log3x 1 1

log3x1 → x31 → x— 3

1 b) logx—— 2 25

1 1logx——2 → x2—— →

25 25

1 1→ ——— → x225 → x5

x2 25

c) logx63 3

logx633 → x363 →

1 1→ x3—3

→ x— 6 6

1 d) log x — 2

1logx— → x10

1—2 → x√ 10

2

2 e) ln x — 3 2

lnx— → xe

2—3

3

f) log√ 7

x 2

log√ 7

x2 → x(√ 7)2

1 1 1——2

— → x— √ 7 7 7

19.Si log 3 m, escriu en funció de m:

a) log8100

log8100log(81100)

log81log100log342

4log324m2

b) log √ 3000 1

log√ 3000—log3000 2 1

—log(31000) 2 1 1

—(log3log1000)—(m3) 2 2

c) log 7√ 0,27

1log

7√ 0,27—log0,27

7 1 27 1

—log———(log27log100) 7 100 7



1 1—(log332)—(3log32)

7 7 1

—(3m2) 7

1 d) log—— 729

1log——log729log36

729

6log36m

1 e) log——6

2,43

1 1log——6

6log—— 2,43 2,43

2436(log2,43)6log—— 100

6(log243log100)

6(log352)6(5log32)

6(5m2)1230m

0,9 f) log—— 7,29

0,9 90 10log——log——log——

7,29 729 81

log10log811log34

14log314m

g) log 0,3 3

log0,3log—log3log10m1 10

h) log 0,3

)

1log0,3

)

log—log3m 3

10 i) log—— 81 10

log——14m 81

20.a) Desenvolupa l’expressió següent aplicant logaritmes neperians als dos membres de la igualtat següent:

(a2 b3 c)

1—3

p —————— d5 m2

(a2b3c)

1—3

lnpln—————— d5m2

ln(a2b3c)

1—3ln(d5m2)

1—ln(a2b3c)ln(d5m2)

3 1

—(lna2lnb3lnc) 3

(lnd5lnm2) 1

—(2lna3lnblnc) 3

(5lnd2lnm) 2 1

—lnalnb—lnc5lnd2lnm 3 3

b) Escriu sense logaritmes decimals: 5

log p — (3 log a 2 log b log c 7 log d) 2 5

logp—(loga3logb2logclogd7) 2 5 a3c

—log——— 2 b2d7

a3c a3clog———

5—2 → p———

5—2

b2d7 b2d7

21.Expressa la relació que hi ha entre log 2 i ln 2.

ln2log2——— → ln2ln10log2

ln10

log2o ln2——— → log2logeln2

loge

22.Utilitza la calculadora per trobar:

log5,2 12,45, log13 87, log0,3 0,675, ln , log e

log12,45log5,212,45—————

log5,2 1,0951694

——————1,529559 0,7160033

log87log1387————

log13 1,9395193

——————1,7411292 1,1139434

log0,675log0,30,675—————

log0,3 0,1706962

——————0,3264547 0,5228787

ln1,1447299

loge0,4342945



23.Quina relació hi ha entre loga b i logb a?

logbb 1logab—————— →

logba logba

→ logablogba1

124. Donats els números √ 21, —, 2, 0,2 i 123, ordena’ls del més

petit al més gran: 3

a) Els seus logaritmes en base 7.

1log70,2log7—log72

3

log7√ 21log7123

1 b) Els seus logaritmes en base —. 3

log1—3

123log1—3

√ 21log1—3

2

1log1

—3

—log1—3

0,2 3

25.Per què log1 x no és una funció?

logx logxlog1x——————

log1 0

26.Dues de les quatre expressions següents són equivalents. Indica quines són i demostra-ho.

a) ln (ab) ln (ac) b) ln (ab) ln (ac)

c) ln (ab ac) d) ln a ln (b c)

ln(abac)ln[a(bc)]lna ln(bc)

c) i d)27.Determina la solució de les equacions logarítmiques

següents:

3 a) log2 x

2log2 x—2 4

3log2x

2log2x—2 → 4 x2

→ log2————log24 3 x— 4

x2

————4 → x24x3 → 3 x— 4

→ x24x30 → x13,x21

b) 2 [1 log (2x 3)] 4 log √ 5x 3

2[1log(2x3)]4log√ 5x3

1log(2x3)2log√ 5x3

log10log(2x3)2log√ 5x3

10log————log(√ 5x3

)2

2x3

10————5x3;

2x3

1010x29x9

10x29x190 → x1

log 2 log (11 x2) c) ———————————2 log (5 x)

log2log(11x2)———————————2

log(5x)

log2log(11x2)2log(5x)

log[2(11x2)]log(5x)2

2(11x2)(5x)2;

222x22510xx2

13x210x30 → x13,x2—

3

28.Resol els sistemes:

log xlog y2 a) 5 xy15

Soluciona’l de dues maneres diferents.

logxlogy2 → 5 → log(xy)log100 → xy100

xy15

xy100

5 xy15 → x15y

(15y)y100 → 15yy2100 →→ y215y1000 → y5

x15y15520 → → x20

2 log y3 log x1 b) 5 log xlog y3

Soluciona’l de dues maneres diferents.

5 2logy3logx1

logxlogy3



b1) 2logy3logx1

3logy3logx9 5logy3logx10

logy2 → y100

logxlogy3 → → logx3logy321 →

→ x10 y2

b2)5 log—log10 x3

log(xy)log1000

5 y2

—10 x3

1000 xy1000 → y——— x

1000 106

———2 —— x x2

—————10; ———10; x3 x3

106

——10; x5105 → x10 x5

1000 1000y——————100 →

x 10

→ y100

29.Aplicant logaritmes, resol l’equació exponencial 53x 1 17.

53x117 → 3x1log517 →→ 3xlog5171

1 1 log17x—(log5171)————1 3 3 log5

1 1,2304489——————1 3 0,69897

1 1—(1,76037441)—2,7603744

3 3

0,9201248; x0,9201248

30. En una entitat bancària es dipositen 15025 al 3% d’interès compost anual. Quin és el benefici que s’obtindrà al cap de cinc anys? Repeteix el problema suposant que l’interès sigui continu. Compara’n els resultats obtinguts.

Compost→ CC0(1r)t15025(10,03)5

150251,03517418,09

b17418,09150252393,09

Continu→CC0ert15025e0,035

15025e0,1517456,56

b17456,56150252431,56

31. El pH d’una dissolució és 11,25. Quina és la concentració d’ions hidrogen que hi ha a la dissolució? I la d’ions hidroxil?

pH11,25 → log[H3O]11,25 →

→ log[H3O]11,25

[H3O]1011,255,62341331012mol/L

pOH14pH1411,252,75 →→ log[OH]2,75

[OH]102,751,7783103mol/L

o [H3O][OH]1014 →

1014 1014

→ [OH]————————————— [H3O

] 5,62341331012

1,7783103mol/L

Activitatsfinals 1.Dibuixa en uns mateixos eixos de coordenades les funcions

3 2 exponencials —x

i —x

i les funcions logarítmiques 2 3 log 3

—2

xi log 2—3

x.

3 y—x 3

x —x

2

0 1 3 1 — 2 9 2 — 4 21 — 3

2

Apartirdelatauladevalorsesdibuixalagràficadelafunció 3 —x

;apartird’aquesta,persimetriaambl’eixOY,esdibuixa 2 2 lade—x

. 3

Perdibuixarleslogarítmiquesn’hihaprouamblasimetriadelesduesexponencialsrespectedelarectayx.



2. Es considera la funció exponencial f(x) ax. Demostra que si el punt (p, q) és un punt de la seva gràfica, també ho és 1

el punt p, —. qf(x)ax

Sabemquef(p)q,pertantapq

1 1f(p)ap——— →

ap q 1

→ p,—tambéésdelagràfica. q

3. Determina el punt en què la gràfica de cadascuna de les funcions següents talla l’eix de les ordenades:

a)f(x) 5ex

f(0)5e05 → (0,5)

b) h(x) 3 2ax

h(0)32a0321 →→ (0,1)

1 c) g(x) 2 — x 1

3

1g(0)2— 01

3

1 22—— →

3 3

2→ 0,—

3

d) p(x) 1 32x

p(0)130110 → (0,0)


a)x4 256

x4256 → x444 →

1 1→ x4— 4

→ x— 4 4

1 b) √ 3 √ 3 √ 3 √ 3 — 1 x

3

1√ 3 √ 3 √ 3 √ 3 —1x

→ 3

→ 315

——16 3x 1 →

15 31→ ——x 1 → x ——

16 16

c)3x5x 1 10125 3x5x

3x5x 110125 → ——10125 → 5

→ 3x5x101255

3x5x34535 → 3x5x3454 →→ 15x154 → x 4

d)√ √7 6√7 49

x—2

√ √76√749

x—2 →

→ √ 7√749

x—2 →

3→ 7

3—47x → x —

4

1 e) 27x3 —— 125

1 127x3—— → x3———— →

125 27125 1

→ x3——— 3353

1 1 1x3—— → x3——3

→ x—— 153 15 15

f)54x 352x 10 0

54x352x100 →→ (52x)2352x100

t52x, t23t100 → t5 1

52x5 → 2x1 → x— 2

3 g) 5x 1 2 ——— 5x 2

3 5x 352

5x 12——— → —2—— 5x 2 5 5x

(5x)2105x375 →→ (5x)2105x3750

t5x, t210t3750 → t25

5x25 → 5x52 → x2

1 h) (ax 3)x — 2x

a

1(ax 3)x—2x

→ ax2 3xa2x → a

→ x23x2x

x25x0 → x (x5)0 →→ x10,x25



i)(2x)

2—5

5√ e4

(2x)

2—5

5√ e4 → (2x)

2—5e

4—5 →

→ 2xe

4—5

5—2

1 12xe2 → 2x— → x——

e2 2e2

j) 7x 7x 1 7x 2 2793

7x7x 17x 22793 →

→ 7x77x497x2793

7x(1749)2793 → 2793

→ 577x2793 → 7x———49 57

7x49 → 7x72 → x2

5. Demostra que si f(x) 3x, aleshores

f(x) f(x 2) —— i f(x 3) 27f(x). 9

f(x)3x

f(x2)3(x 2)3x 2

3x 3x f(x)——————

32 9 9

f(x3)3(x 3)3x 33x33

273x27f(x)

6. Hem rebut a casa una carta que ens augura bona sort si n’enviem una fotocòpia a cinc persones. En cas contrari, si trenquem la cadena, la sort se’ns girarà en contra. Quina funció expressa el nombre de persones que rebran la carta successivament, si no es trenca la cadena?

0 1 25 ,5 ,5 ,...,5( ) 5

x

xf x =

7. Determina el punt en què la gràfica de cadascuna d’aquestes funcions talla l’eix de les abscisses:

a)f(x) log (x 3)

f(x)0 → log(x3)0 →

→ x31 → x2 → (2,0)

b)g(x) ln (2x 5)

g(x)0 → ln(2x5)0 →

→ 2x51 → 2x6 →

→ x3 → (3,0)

c)h(x) log3 √ 3x

h(x)0 → log3√ 3x0 →

→ √ 3x1 → 3x1 →

1 1→ x— → —,0 3 3

5 d) p(x) log5 — x

5 5p(x)0 → log5—0 → —1 →

x x

→ x5 → (5,0)

8. Calcula els logaritmes següents sense utilitzar la calculadora:

1 1a) log4 — b)log5

3√ 25 c) log 1

—a

a√ 3 d) log ——; 16 √ 10

1e) log 1

—2

2 f) log9 — g) log0,001 0,1 3

1 1 a)log4—log4—log44

22 16 42

2 b)log5

3√ 25log5

3√ 52log55

2—3—

3

1 c)log1

—a

a√ 3log1—a

—√ 3

√ 3 a

1 1 d)log——log——

√ 10 10

1—2

1 1 log—

1—2log10

1—2—

10 2

1 e)log1

—2

2log1—2

—1

1 2

1 1 1 f)log9—log9——log9——

3 √ 9 9

1—2

1 1 log9—

1—2log99

1—2—

9 2

g)log0,0010,1log0,0013√ 0,001

1 log0,0010,001

1—3—

3



9. Calcula:

a)loga blogb a

logbblogablogba———logba logba

1———logba1

logba

1 b)log 1

—a

a logb — b

1log1

—a

alogb — b

1 log1

—a

—1

logbb1112

a

10. Si log 2 m, expressa en funció de m:

a)log 1600

log1600log(16100)

log16log100log242

4log224m2

b)log 5√ 0,0002

1log

5√ 0,0002—log0,0002

5

1 2—log———

5 10000

1 1—(log2log10000)—(m4)

5 5

c)log √ 0,0064

1log√ 0,0064—log0,0064

2

1 64—log———

2 10000

1—(log64log10000)

2

1 1—(log264)—(6log24)

2 2

1—(6m4)3m2

2

1 d) log ———3

1,28

1 1log—— 3

3log—— 1,28 1,28

3(log1,28)3log1,28

1283log——3(log128log100)

100

3(log272)3(7log22)

3(7m2)21m6

e)log 12,5 100

log12,5log——log100log8 8

2log2323log223m

f) log 0,87

8log0,877log0,87log——

107(log8log10)7(log231)

7(3log21)7(3m1)21m7

11. Determina l’expressió de log x que correspon a cadascuna de les igualtats següents:

3a2 b a) x ——— 2

c3 d 3a2b 3a2b

logxlog——— 2

2log——— c3d c3d

2[log(3a2b)log(c3d)]

2[log3loga2logb

(logc3logd)]2[log32loga

logb(3logclogd)]2log3

4loga2logb6logc2logd

a (b c) b) x

4√

————— d5

a(bc)logxlog

4√

————— d5

1 a(bc)—log—————

4 d5

1—{log[a(bc)]logd5}

4 1

—[logalog(bc)5logd] 4 1 1 5

—loga—log(bc)—logd 4 4 4

a3 b4 c

1—6

c) x ——————

m

2—3 n √ p

a3b4c

1—6

logxlog—————

m

2—3n√ p



log(a3b4c

1—6)log(m

2—3n√ p )

loga3logb4logc

1—6

(logm

2—3lognlog√ p )

13loga4logb—logc

6

2 1—logmlogn—logp 3 2

13loga4logb—logc

6

2 1—logmlogn—logp

3 2

h d) x ————— mnpqr h

logxlog———— mnpqr

loghlog(mnpqr)logh

(logmlognlogplogqlogr)

loghlogmlogn

logplogqlogr

12. Estableix l’expressió de x corresponent a:

1 a) ln x 3 ln a 2ln b — ln c 2

lnxlna3lnb2ln√ c ln(a3b2)ln√ c

a3b2 a3b2

ln—— → x—— √ c √ c b) log x 1 — (3log a 2log b) 7 (log c 4log d) 5 1

logx—(loga3logb2) 5

7(logclogd4)

1 a3

—log——7log(cd4) 5 b2

a3

log5√

——log(cd4)7

b2

a3

5√

——

b25√ a3

log—————log————— → (cd4)7

5√ b2c7d28

5√ a3

→ x—————

5√ b2c7d28

c) log4x log4 c log4 d 3log4 a 2log4 b ———————— 3

log4xlog4a3log4b

2

1—(log4clog4d)

3

1log4(a

3b2)—log4(cd) 3

log4(a3b2)log4

3√ c d

a3b2 a3b2

log4——— → x———

3√ c d

3√ c d

1 d) lnx — (3ln a ln b ln c 5 ln d) 2

1lnx—(lna3lnblnclnd5)

2

1—[lna3lnb(lnclnd5)]

2

1—[ln(a3b)ln(cd5)]

2

1 a3b—ln——

2 cd5

a3b a3bln√

—— → x√

——

cd5 cd5

13. Calcula logx (logx x√x). 1

logx(logxx√x)logx√xlogxx

1—2—

2

14. Es consideren les quatre expressions següents:

loga (p2 q2); 2logap 2logaq

2 loga (p q); loga(p q) loga(p q).

A totes elles es verifica que p q 0.

a)Demostra que dues d’aquestes expressions són equivalents.

loga(p2q2)

loga[(pq)(pq)]

loga(pq)loga(pq)

b)Calcula el valor de la primera expressió per a a 2, p 3 i q 1.

loga(p2q2)log2(3

21)

log2(91)log28log2233




a) 2logx 4log2 3logx

x2 x2

log—logx3 → ——x3 → 24 16

→ x216x3 → 16x3x20

x2(16x1)0x0→ 16x10 →

1→ x——

16

x b) 3log2x 2log2— 2log23 1 3

x3

log2———log2(322) →

x —2

3

x3 x3

→ ———18 → ——18 x x2

—2

— 3 9

9x3

——18x0→ 9x18 → x2

x2

lnx c) 3lnx ln32 —— 2

x3 x3

ln——ln√ x → ——√ x → 32 32

x3

→ ——32 → x

5—232

√ x

x32

2—5

5√ 322

5√ 210

224 → x4

d) ln2 ln(11 x2) 2ln (5 x)

ln[2(11x2)]ln(5x)2 →

→ 2(11x2)(5x)2 →

→ 222x22510xx2

13x210x30 → x13,x2—

3

10logx 1 e) —————— — 1 102logx 2

x 1———— → 2x1x2 →

1x2 2

→ x22x10 → x1

x f) 2logx 3 log—— 10

xlogx2log1000—— →

10

x→ x21000—— → x2100x

10

x2100x0 → x(x100)0x0→

x0→ x1000 → x100

g) 73x 2 140

3x2log7140 →→ 3xlog71402 →

1→ x—(log71402)

3

1 log140—————2 3 log7

1 2,146128——————2 3 0,845098

1 1—(2,53950182)—0,5395018

3 3

0,1798339 → x0,1798339

16. Calcula x en cadascuna de les igualtats següents:

1 a) log3 √ x — 2

1log3√ x— → √ x3

1—2 →

2

→ x

1—23

1—2 → x3

b) logx 2x 2

logx2x2 → x22x →

→ x22x0 → x(x2)0x0→

x0→ x20 → x2

1 c) log 1

—3

x — 2

1 1 log1

—3

x— → x—

1—23

1—2

2 3

√ 3 → x√ 3

d) logx √ 2 3

logx√ 23 → x3√ 2 → x32

1—2 →

→ x2

1—2

1—3 → 2

1—6

6√ 2 → x

6√ 2



1 e) logx ——— 3 2√ 2 1 1

logx———3 → x3——— → 2√ 2 2√ 2

1 1 1 1→ ——— → ———— →

x3 √ 23 x3 (√ 2)3

→ x√ 2

3 f) log4x — 2

3 log4x— → x4

3—2√ 43√ 26

2

238 → x8

17. Determina el valor de a per tal que quan incrementem en tres unitats el logaritme en base a de 6, obtinguem el logaritme en base a de 48.

loga63loga48 →

→ loga6logaa3loga48

loga(6a3)loga48 → 6a348 →

→ a38 → a2

18. En el país dels nombres es poden escoltar converses molt estranyes. Fixa’t en aquesta i intenta identificar-ne els dos personatges.

y: Sóc el teu logaritme decimal.

x: Ep! Sóc deu vegades més gran que tu.

x10, y1

19. Resol els sistemes d’equacions següents:

log x log y 3 a) 5 2 log x 2 log y 1

5 4logx 5 → logx— → x10

5—4

4

7 4logy 7 → logy— → y10

7—4

4

log x log y 1 b) 5 3x 5y 35

x —10 y x10, y1 3x5y35

log x 3 log y 5 c) x2

5 log — 3 y

7logx14 → logx2 → x100

7logy7 → logy1 → y10

x2 y2 11 d) 5 log x log y 1

x2y211

10 1 x——, y— 3 3 x —10 y

2 log y 3 log x 1 e) 5 log (x y) 3

5logx5 → logx1 → x10

5logy10 → logy2 → y100

logx (y 18) 2 f) 1

5 logy (x 3) —

2

x2y18 3 81 x—, y—— 2 4 √ yx3

20. El pare de l’Albert i el Jordi és matemàtic. Quan li pregunten

les edats dels seus fills, respon: «La potència de base 2 i exponent l’edat del Jordi és igual a la potència de base 8 i exponent 5 menys l’edat de l’Albert. D’altra banda, el logaritme en base l’edat de l’Albert de 64 és igual a l’edat del Jordi». Quina és l’edat de cadascun dels dos nois?

x:edatdel’Albert;y:edatdelJordi;x,ynaturals.

2y85x 2y(23)5x 2y2153x logx64y xy64 xy64

y153x xy64

x4anys, y3anys

21. La taxa de despoblació d’una ciutat és del 1,5% anual. Suposant que aquesta taxa no es modifica, quants anys hauran de transcórrer perquè la població actual es redueixi a la meitat? Si actualment aquesta ciutat té 100000 habitants, quants en tindrà d’aquí a set anys?

hh0(1r)t

1,5% → r0,015

hh00,985t

1 —h0h00,985t

2



0,50,985t → log0,5

→ tlog0,9850,5———— log0,985

0,30103——————45,862365

0,0065638

t46anys

hh00,985t1000000,9857

89961habitants

22. Escriu l’enunciat d’un problema relatiu a diners o població, de manera que la seva resolució condueixi a l’equació:

1500001,08x 200000

Perexemple:

Quantsanyshaurandepassarperquèuncapitalde150000al8%anualesconverteixien200000?

a)Situa, raonadament, entre dos nombres enters consecutius el valor de x que és solució de l’equació.

1500001,08x200000 → 200000

→ 1,08x————1,3

)

150000

1,08x1,3

)

; 1,0831,259712;

1,0841,360489; 3x4

b)Aïlla x, utilitzant el tipus de funció matemàtica que consideris adient.

1,08x → 1,3

)

→ xlog1,081,3

)

c)Calcula el valor de x.

log1,3

)

0,1249387xlog1,081,3

)

———————— log1,08 0,0334237

3,7380221

23. El radi és un element radioactiu. Una mostra de radi es descompon per emissió de radiacions d’acord amb l’equació:

m 10 e4,36104t

on m és la massa de la mostra expressada en grams i t el temps expressat en anys.

a)Quina és la massa de radi (en grams) que hi ha inicialment a la mostra?

m10e4,36104010e010g

b)Quans grams de radi hi haurà d’aquí a 1000 anys?

m10e4,36104100010e4,36101

10e0,4366,466177g

c)El període de semidesintegració d’un element radioactiu es defineix com el temps que triga una determinada quantitat d’aquest element a reduir-se a la meitat. Determina el període de semidesintegració del radi.

510e4,36104t→e4,36104t

0,5 → 4,36104tln0,5

ln0,5 0,6931471t————————————

4,36104 0,000436

1590anys

d)Demostra que aquest període de semidesintegració és independent de la massa inicial de la mostra de radi.

m0——m0e4,36104t →

2

→ e4,36104t0,5

ln0,5t—————— → Nodependem

4,36104

24. El nivell d’intensitat del so es mesura en decibels segons l’ex-

pressió: 0

10logI

DI

= , on I0 10–12 W/m2 és la intensitat del so

anomenada llindard’audició i I, la intensitat del so de la qual en volem determinar el nivell d’intensitat.

a) Calcula els decibels (dB) que li corresponen a la intensi-tat del llindar d’audició.

0

0 0

10log 10log 10log1 0I I

DI I

= = = =

b) Si la intensitat del so que produeix un reactor és de I 8 · 102 W/m2, calcula el seu nivell d’intensitat.

214

120

8 1010log 10log 10log8 10 149,031dB

10I

DI −

⋅= = = ⋅ =

c) El so que es coneix com el llindardeldolor li corresponen 120 dB, quina intensitat té aquest so?

12 12 212

120 10log 10 10 1W/m10

II −

−= → = ⋅ =

Avaluació

1. Fes una taula de valors i representa gràficament en els ma-teixos eixos de coordenades cadascuna de les funcions se-güents:

f(x) 3x

g(x) log3 x

Elabora també una llista de les característiques de cada cor-ba i compara-les.



x f(x)3x

2 1/91 1/30 11 32 93 27

x g(x)log3x1 02 0,6313 19 2

Característiquesde y 3x:

Dy , Ry , contínua, creixent, passa per (0,1),

lim 0, limx x

y y→−∞ →+∞

= = +∞

Característiquesdey=log3x:

Dy , Ry , contínua, creixent, passa per (1,0),

0*lim , limx x

y y→ →+∞

= −∞ = +∞

Lesduesfuncionssóncreixentsicontínues.Améssónsimètri-quesrespectelabisectriudelprimerquadrantjaquesóninver-sesunadel’altra.

2. Resol les equacions o sistemes següents:

a) log5 x 3

5–3x→x1/125

b) 3x+1 150

x 1log3150→x1log150/log3→x3,5609

c) 9x 3x+1 54 0

32x3·3x540→canvit3x,t23t540→→ t9,t6(notésentit)→x2

d) 2x 2x+1 2x+2 2x+3 480

canvi t2x, t 2t 4t 8t 480→ 15t 480→t32→x5

e) 2 log x log(3 x) log 4

log x2 log(12 4x) → x24x12 0 → x 2,x 6(notésentit)

f) log xlog (y 12) 1( )log log 12 12 4

x yx y

+ + =− = 2x y 4

y 2x 4 → substituint a la primera equaciólog x log (2x 8) 1 → log(2x2 8x) log 10 →2x28x100→ x1,x5(notésentit)→y2.

3. Si log3 p 5 i log3 q 2, calcula els resultats de les ope-racions següents aplicant les propietats dels logaritmes:

a) log3 (p· q)

log3plog3q523

b) log3 p2

2log3p10

c) log3 (p· q3 )

log3p3log3q561

p5

d) log3 —— q

5log3plog3q25227

4. La datació de restes arqueològiques es pot fer a partir de la quantitat de carboni 14 (14C) que contenen. La quantitat re-sidual de 14C que trobem al fòssil segueix la llei exponencial:

q(t) q0 · 2q

5700

on q0 és la quantitat inicial de 14C que contenia el fòssil quan era viu, q és la quantitat de 14C que trobem al fòssil i t el temps en anys.

a) Escriu la funció que es fa servir per datar restes arqueo-lògiques, és a dir, la funció que s’utilitza per determinar l’edat d’un fòssil en funció de la quantitat de 14C que conté en relació amb la d’un ésser viu.

57002 2

0 0 0

( ) ( ) ( )2 log 5700·log

5700

tq t q t t q tt

q q q

− −= → = → = −

b) Quina és l’edat d’una mòmia si la quantitat de 14C que presenta és la meitat de la que tindria si la persona fos viva?

02 2

0

/2 15700·log 5700·log 5700·( 1) 5700

2q

t tq

= − = = − = − − =

→ 02 2

0

/2 15700·log 5700·log 5700·( 1) 5700

2q

t tq

= − = = − = − − =

02 2

0

/2 15700·log 5700·log 5700·( 1) 5700

2q

t tq

= − = = − = − − = anys



jUnitat12.Funcionstrigonomètriques

Activitats

1.Representa gràficament la funció y sin xen l’interval [, ]. Elabora’n una taula de valors i dibuixa-la amb detall.

Tauladevalors:

x 0—2

—2

sinx 0 1 0 1 0

2. Tenint en compte la gràfica de la funció sinus, dibuixa les gràfiques de les funcions següents:

a) y sin x 2

Translaciódelafunció2unitatsnegatives.

b) y sin x— 4

Translaciódelavariablexax—. 4

c) y sin x — 1 2

Translaciódex,—aladretai1capamunt. 2

d) y 3 sin x

Elsvalorsdesinxesmultipliquenper3,peracadax.

3.Representa gràficament les funcions:

a) f(x) sin 3x

2 Període—— 3



b) f(x) sin x

Període2

c) f(x) sin 4x

Període— 2

d) f(x) sin (2x)

Període

4.Representa gràficament la funció y 2 sin x. Indica’n el recorregut i el període.

Elrecorregutés[2,2]ielperíodeés2.

5. Dibuixa la gràfica de la funció y cos x en l’interval [2, 2]. Elabora’n una taula de valors i pren com a model la gràfica del text.

Tauladevalors:

x 2 3 ——2

— 2

0—2

3 ——2

2

cos x 1 0 1 0 1 0 1 0 1

6.Representa gràficament aquestes funcions:

a) y cos x 1

Translaciódelafunció1.

b) y cos x — 4

Translaciódex,—aladreta. 4



c) y cos x 2

Translaciódelafunció2.

d) y cos x — 4

Translaciódex,—al’esquerra. 4

7.Construeix la gràfica i indica el període de cadascuna d’aquestes funcions:

a) f(x) cos 4 x

Període— 2

Lafuncióf(x)cos4xtédeperíode:

2 ———

4 2

b) f(x) cos x

Període2

Lafuncióf(x)cosxtédeperíode2jaquenoméséslasimètricadecosxrespectedel’eixdelesabscisses.

8.Determina el recorregut de les funcions:

a) f(x) 2 cos x

Recorregut:[2,2]

b) f(x) 2 cos x

Recorregut:[2,2]

c) f(x) 3 cos x

Recorregut:[3,3]

d) f(x) cos 3x

Recorregut:[1,1]

9. Indica quins d’aquests angles no pertanyen al domini de la funció f(x) tg x:

7 32——, ——, 324°, 32,

4 5

15——, 900° i 990°

2

Nopertanyenaldominidelafuncióelsanglestalsqueelseu 15

cosinusés0.Sónelsmúltiplesimparellsde—.Són:— i990°. 2 2

10.Utilitza la calculadora per elaborar una taula de valors que et permeti representar amb precisió la gràfica de la funció

f(x) tg x en l’interval —, —. 2 2



Taula:

x

— 2

— 4

0—4

—2

tgx 1 0 1

11.Aplica a la gràfica de l’exercici anterior una translació de dues unitats en la direcció de l’eix d’ordenades i en el sentit positiu d’aquest eix. Quina és l’expressió algèbrica de la funció que correspon a aquesta gràfica?

L’expressiódelafuncióés:f(x)tgx2.

1312. Determina els límits laterals de la funció y tg x en x ——. 2 13 x——noésdeldominidelafunció. 2

13

x→ —— 2

lim tgx 13

x→ —— 2

lim tgx

13.Raona per què les funcions y arc sin x i y arc cos x tenen el domini restringit a l’interval [1, 1].

Lesfuncionsyarcsinusxiyarccosx teneneldominirestringit a [1, 1] perquè són les funcions respectivamentinversesdeysinxiycosxquetenenderecorregut[1,1].

14.Considera la funció y arc tg x. Indica l’interval en què els valors que assoleix la funció són més grans que 1.

180 180 L’intervalés:——,,jaquearctg——1.

15.Representa a la circumferència trigonomètrica l’angle que 2 mesura —— rad. Dibuixa les sis raons trigonomètriques 3 d’aquest angle i mesura-les. Compara els resultats experi-

mentals amb els que obtens amb la calculadora. En cas que hi hagi diferències, justifica-les.

2 L’angle——ésdelsegonquadrant.Elsvalorsaproximatsquees 3 podenobtenirenlacircumferènciaderadi1són:

sin0,8;cos0,5; tg1,7;cotg0,5;

sec2; cosec1,1

316.Considera un angle tal que —— i sin 0,6. 2 Determina’n les altres cinc raons trigonomètriques.

L’angleésdeltercerquadrant.

sin0,6 →

→ cos√ 1(0,6)20,8

0,6 1 4tg———0,75; cotg———;

0,8 tg 3

1 5sec————

0,8 4

1 5cosec————

0,6 3

17.Explica les particularitats que observes en calcular la secant i la cosecant de cadascun d’aquests angles:

a) — 2

— → sin1, 2 1 cos0 → sec——— → Noexisteix cos

1cosec———1

sin



3 b) 3 i —— 2

3 → sin0,

1cos1 → sec———1

cos 1

cosec——— → Noexisteix sin

3 c) f —— 2 3 3

—— → sin——1, 2 2 3 1

cos——0 → sec—— → 2 cos

→ Noexisteix

1cosec———1

sin

3 18. Si cotg — i és un angle que verifica — , 4 2 calcula les altres cinc raons trigonomètriques.

ésunangledelsegonquadrant. 3 4

cotg— → tg— 4 3

4tg21sec2 → —2

1 3 5

sec2 → secα— 3 3

cos—; 5

3 4sin√

1——2

—; 5 5 5

cosec— 4 119.Per què no és possible la igualtat sec —? 3 1 Laigualtatsec—implicariacos3, 3 cosaquenoéspossible.

20. Explica el motiu pel qual hi ha angles que no tenen cosecant.

Notenencosecantelsanglestalsquesin0.Sóntotselsanglesdelaforma:kambkunnombreenter.

321.Considera un angle tal que —— 2 i tg 1. 2 Determina el valor de les altres raons trigonomètriques

d’aquest angle.

L’angleésdelquartquadrant.

tg1.Aixòindicaelsegüent: √ 2 √ 2

sincos——;cos—— 2 2

cotg1; cosec√ 2; sec√ 2

22.Quins són els valors reals que no pot prendre la funció f(x) cosec x? Per què?

f(x)cosecxnoestàdefinidaperatotselsvalorsque fan sinx0 → xk,onkésqualsevolnombreenter.

23.Dibuixa un angle tal que tg 2. Hi ha més d’un angle més petit que 2 que verifica aquesta condició? Raona la resposta.

Hihaunangledelsegonquadrantiundelquartqueverifiquentg2.

24.Indica tots els angles compresos entre 0 i 2 que compleixen cosec 1. Representa’ls gràficament a la circumferència unitat.

3 Sicosec1 → sin1.Nomésl’angle——verifica aquestacondició. 2

25.Identifica tots els angles compresos entre 0 i 2 que no tenen cotangent.

Elsanglesquenotenencotangentsónelsquetenenelssinusigual cos a0 → cotg———. sin

sin0 → 0 i

26.Expressa el domini de cadascuna de les funcions f(x) cosec x, f(x) sec x i f(x) cotg x. Indica’n les discontinuïtats i classifica-les. Quin és el recorregut de cada funció?

Dominisóntotselsvalorsdelavariablequepermetencalcularf(x).

1f(x)cosecx——— →

sinx→ Df{xk,k }



En els punts que no són del domini, les discontinuïtats sónasimptòtiques.

1f(x)secx——— →

cosx (2k1)

→ Df{x—————,k } 2

Lesdiscontinuïtatssónasimptòtiques.

Enlesduesfuncionselrecorregutés:

(,1][1,)

cosxf(x)cotgx——— →

sinx

→ Df{xk,k }

Elrecorregutés.

27.Verifica la identitat:

1 cos sin 2————— ————— ———

sin 1 cos sin

Desenvolupemelprimermembredelaigualtat: 1cos sin

—————————— sin 1cos

(1cos)2sin2——————————––

sin(1cos)

12coscos2sin2——————————————––

sin(1cos)

2(1cos) 2————————–———

sin(1cos) sin

Enobtenirelsegonnombredelaigualtat,quedacomprovadalaidentitat.

28.Comprova la identitat:

cos 2 2 cos2 1

cos2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21

Desenvolupantelprimernombres’obtéelsegon.Pertant,ésunaidentitat.

29.Resol aquestes equacions trigonomètriques:

Lessolucionsesdonenenl’interval[0,2].

a) sin x — 1 2

sinx—1 → 2

→ x—— → x0 2 2

b) 2 cos x 1 0

2cosx10 → 1 2

→ cosx——;x1——, 2 3

4 peròtambéhihaunaltreangledeltercerquadrant:x2——. 3

c) 2 sin2 x sin x 1

2sin2xsinx1.Calprendreunaincògnitaauxiliar:

sinxt → 2t2t10 →

1√ 18 1 → t—————— 1 4 — 2 Substituintelsvalorsdet:

sinx1 → x1— 2

11 ————x2 1 6 6 sinx— → x 2 7 ——x3 6

d) 2 sin x tg x

sinx2sinxtgx → 2sinx—— →

cosx

sinx→ 2sinx———0

cosx

1 sinx2———0 → cosx

sinx0 → x0ip

→→ x10,x2

1 1 2———0 → cosx— → cosx 2

5 → x3—,x4—— 3 3

e) 2 cos2 x cos 2x 1

2cos2xcos2x1

Substituïmcos2xcos2xsin2x.

2cos2xcos2xsin2x1;comque1sin2xcos2x,laigualtatésunaidentitat.

f) cos x sin 2x (sin x cos x)2

cosxsin2x(sinxcosx)2

cosx2sinxcosx

sin2x2sinxcosxcos2x

cosx1 → x0



30.Les equacions trigonomètriques següents tenen solució immediata. Expressa, en cada cas, totes les solucions.

a) tg x √ 3 2 5

tgx√ 3 → x1——,x2—— 3 3

b) cotg x 1

3 7cotgx1 → x1——,x2——

4 4

c) sec x 2

secx2 →

1 7 11 → sinx— → x1——,x2—— 2 6 6

d) cosec x 2

cosecx2 →

1 5→ cosx— → x1—,x2——

2 3 3

31.Comprova que les igualtats següents són identitats:

1 1 a) tg —— ————— tg sin cos

1 sin costg————————

tg cos sin

sin2cos2 1——————————————

cossin cossin

b) sin 2 sin — cos — 2 2

Éslaigualtatdelsinusdel’angledoble, jaque2—. 2

32.Representa gràficament la funció f(x) cotg x 2.

a) Quin és el seu domini?

Df{xk,k }

b) Presenta discontinuïtats? Quines?

Lesdiscontinuïtatsenelspuntsquenosóndeldominisónasimptòtiques.

c) Passa pel punt —, 0? 2

Nopassapelpunt—,0 → 2

→ f —cotg—220 2 2

d) Quin és el seu període?

Elperíodeés.

33.Resol l’equació següent:

tg2 x 3 tg x 2 0

Considera primer que la incògnita és tg x.

tg2x3tgx20

Calferelcanvitgxt:

t23t20 →

3√ 328 2 → t——————— 2 1

tgx2 → x1arctg21,11rad

5tgx1 → x2—; x3——.

4 4

Activitatsfinals

1.Defineix la funció f(x) cotg x. Indica’n el domini, el recorregut i les característiques més importants. Dibuixa’n la gràfica.

cosxf(x)cotgx———

sinx



Df{xk,k }.Contínuaentotelseudomini.

Presentadiscontinuïtatsasimptòtiquesenelspuntsquenosóndeldomini.Elperíodeés.

2.Dibuixa la gràfica de les funcions següents. Per a cada funció, especifica’n el domini, el recorregut i el període.

a) y 3 sin x

y3sinx: Dy;recorregut:[3,3].

Període:2.

b) y 3 cos x

y3cosx: Dy;recorregut:[3,3].

Període:2.

c) y tg x 2

ytgx2:

(2k1)Dy5x—————,k ;

2

recorregut:.Període:.

d) y cotg x 1

ycotgx1:

Dy{xk,k };

recorregut:.Període:.

3.Considera la funció f(x) tg x. Troba els límits laterals en els valors de x de l’interval [, ] en què la funció és discontínua.

Lafuncióf(x)tgxpresentadiscontinuïtatsasimptòtiques enelspuntsx—ix—. 2 2

x→ — 2

lim f(x)

x→ — 2

lim f(x)

x→ — 2

lim f(x)

x→ — 2

lim f(x)

4.El període de la funció f(x) cos kx és —. Calcula k. 2 Elperíodedef(x)cosxés2;elperíodedef(x)coskx

serà:

2 2 —— → ——— → k4

k k 2

5.Se sap que cotg 2. A quins quadrants pot situar-se l’angle ? Determina les restants raons trigonomètriques de l’angle per a cadascun dels possibles quadrants.

Sicotg2,potserdelprimerideltercerquadrants.

1 sintg———— → cos2sin →

2 cos

→ sin2(2sin2)1

1sin2—

5



Enelprimerquadrant:

1 2 1sin——; cos——; tg—;

√ 5 √ 5 2

√ 5sec——; cosec√ 5

2

Eneltercerquadrant:

1 2 1sin——; cos——; tg—;

√ 5 √ 5 2

√ 5sec——; cosec√ 5

2

6.Defineix la funció f(x) arc cotg x com la funció inversa de la funció f(x) cotg x i indica’n el domini i el recorregut. Dibuixa la gràfica de la primera funció a partir de la gràfica de la segona tenint en compte que, pel fet de ser funcions inverses, aquestes gràfiques han de ser simètriques respecte de les bisectrius del primer i tercer quadrants.

Eldominidelafuncióés,queéselrecorregutdelafuncióf(x)cotgx.

Elrecorregutésl’interval(0,)quecorresponalperíodedelafuncióf(x)cotgx.

7.Resol aquestes equacions trigonomètriques:

cos x 1, tg x √ 3,

cotg x 1 i sec x 1

cosx1 → x

Siampliem:x(2k1),k .

4tgx√ 3 → x1—ix2——

3 3

Ampliant: x—k,k . 3

3 7cotgx1 → x1——ix2=——

4 4

3 Ampliant:x——k,k . 4

secx1 → cosx1 → x0

Ampliant:x2k,k .

8.Esbrina si la igualtat

1 sin 2x (sin x cos x)2

és una identitat o una equació.

1sin2x12sinxcosx

(cosxsinx)2

cos2x2sinxcosxsin2x

12sinxcosx

Ésunaidentitat.

9.Aquestes igualtats, són identitats?

1 sin cos a) ———— ———— cos 1 sin

1sin cos—————————— →

cos 1sin

→ (1sin)(1sin)

1sin2cos2

Ésunaidentitat.

1 sec 1 cos b) ———— ———— 1 sec 1 cos

Noésunaidentitat:

1 11———:1——— cos cos

cos1 1cos——————————

cos1 1cos

cotg2 1 c) ————— cotg 1 tg

Noésunaidentitat:

cotg21 1————————

1tg tg

10.Comprova que aquestes igualtats són identitats:

cotg cotg a) tg ( ) ———————— cotg cotg 1

sin()tg()——————

cos()



sincoscossin————————————

coscossinsin

sincos cossin————————————

sinsin sinsin———————————————

coscos sinsin————————————

sinsin sinsin

cotgcotg—————————

cotgcotg1

1 1 b) ———— ———— 2 sec2 1 sin 1 sin

1 1————————

1sin 1sin

1sin1sin——————————–—

1sin2

2————2sec2

cos2

11.Resol les equacions trigonomètriques següents:

Lessolucionsesdonenenl’interval[0,2).

5 a) sin x cos2 x — 4

5sinxcos2x— →

4 5

→ sinx1sin2x— 4

5Femsinxt → t1t2— →

4

→ 4t24t10 →

4√ 1616 1→ t—————————

8 2

1 5sin x— → x1—,x2——

2 6 6

b) cos x 1 sin x

cos x 1 sin x. Les solucions són immediates, noméspodenser:

3cosx0 → x1—,x2——,

2 2

osinx0 → x30,x4.

c) 2 sin2 x tg x 0

2sin2xtgx0 → sinx

→ 2sin2x———0 → cosx

1→ sinx2sinx———0

cosx

sinx0 → x10,x2 i 1 2sinx———0 → 2sinxcosx1 cosx

2sinxcosxsin2x1 →

→ 2x— → x—→ x3— 2 4 4 x d) 6 cos2 — cos x 1 2

x 1cosx Calsubstituircos2——————. 2 2

1cosx6————cosx1 →

2

→ 33cosxcosx1 →→ 4cosx2

1 2 4cosx— → x1—— i x2——

2 3 3

1 e) sin x cos x —— √ 2 Calcanviar: cosx√ 1sin2x:

1sinx(√ 1sin2x)—— →

√ 2 1

→ √ 1sin2x——sinx √ 2 Elevemalquadrat:

1sin2x

1 2———sinxsin2x →

2 √ 2 2 1

→ 2sin2x——sinx—0 √ 2 2

Utilitzemelcanvi: 2 1

sinxt → 2t2——t—0 √ 2 2 2 ——√ 6 √ 2

t——————sinx 4

Prenemvalorsaproximats:

sinx0,966 →→ x11,3rad,x21,84rad

sinx0,26 →→ x33,4rad,x46,02rad



cotg x tg x f) —————— 2 cotg x tg x

cotgxtgx——————2

cotgxtgx

Multipliquemelnumeradorieldenominadordelafracciópertgx0.

1tg2x————2 →

1tg2x

→ 1tg2x22tg2x → 1

→ 3tg2x1 → tgx—— √ 3

5 7 11 x1—, x2——, x3——, x4—— 6 6 6 6

3 sin x cos y 2 g) 5 sin x 3 cos y 1

Resolemelsistemaperreducció:

5 3sinxcosy2 → sinx3cosy1

→ 9sinx3cosy 6

sinx3cosy1

1 10sinx5 → sinx— 2

3 1cosy2——

2 2

5 Elsvalorsdex: —i——; 6 6 5 elsdey: —i——. 3 3

Combinantelsvalorsdexideys’obtenenquatresolucionsdiferents.

12.Si —, demostra que: 2

(sin sin )(cos cos )

1 sin 2

Substituïmsin22sincositenimencomptequesi — → sincosicossin: 2

(sincos)(cossin)

(sincos)2

sin22sincoscos2

12sincos1sin2

13.Resol l’equació tg x 2 en l’interval [0, ].

tgx2.Enl’interval[0,],noméshihaunangledelprimerquadrantqueverifiquilaigualtat:

xarctg21,107rad

14.En un examen de matemàtiques es demanaven totes les

√ 3 solucions de l’equació tg x ——. Indica raonadament quina 3 d’aquestes respostes és la correcta:

a) x — k, k 6

7 b) x — k, k i x —— k, 6 6

k

√ 3 Lessolucionsdel’equaciótgx——noméspodenserdos 3 angles,undelprimerquadrantiundeltercer,menorsde2.

Pertant,toteslessolucionsjaestanexpressadesenl’apartata)quejaincloulesdel’apartatb).

15.Resol les equacions:

a) sin x cos x — 3

Els únics angles que tenen el sinus igual al cosinus són elsanglescomplementarisenelprimerquadrantielscorresponentseneltercer.

sinxcosx— →

3

→ xx—— →

3 2

→ 2x— → x1——

6 12

13 Elcorresponentdeltercerquadrantésx2=—— 12

b) cos2 x sin2 x

cos2xsin2x → cos2xsin2x0 → — 2 → cos2x0 → 2x 3 —— 2

3x1—, x2——

4 4



c) 6 cos2 x cos 2x 1

6cos2xcos2x1

Substituïmcos2x:

6cos2xcos2xsin2x1 →→ 7cos2x(1cos2x)1 →

→ 8cos2x2 → 1 1

→ cos2x— → cosx— 4 2

1 5cosx— → x1—, x2——;

2 3 3

1 2 4cosx— → x3——,x4——

2 3 3

Avaluació

1. El període de la funció f(x) sin kx és — . Calcula k. 2

Elperíoded’aquesttipusdefuncióés2kπ

.

Aleshores,2

4 42

k kkπ π= → π = π → = .

2. Donada la funció f(x) tg x 1 .

a) Determina quin és el seu domini?

Domini: ( )2 1 /2

x k kπ − = + ∈

� �,( )2 1 /

2x k k

π − = + ∈

� �( )2 1 /2

x k kπ − = + ∈

� � .

b) Presenta discontinuïtats? Quines?

Discontinuïtatsasimptòtiques a ( )2 1 /2

x k kπ= + ∈ �,( )2 1 /2

x k kπ − = + ∈

� �.

c) Passa pel punt ,04π

?

05tg0 1 0 1 1 0 24

tgπ= + → = + → ≠ .Nopassapelpunt ,0

4π

.

d) Quin és el seu període?

Període: π .

3. Resol l’equació següent a l’interval [0,2] : sin x 1 cos x.

sin 1 cosx x= −

Hoelevemtotalquadrat:

( )22

2 2

2 2

2

sin 1 cos

sin 1 2cos cos

1 cos 1 2cos cos

2cos 2cos 0

x x

x x x

x x x

x x

= −

= − +

− = − +

− =

Arapodemextreurefactorcomú:

( )2cos cos 1 0x x − =

Lessolucionssón:

cosx 0→ x1

2 rad,x2

2 rad

cosx 10→ x 1→ x30 rad,x42 rad

4. Comprova que la igualtat següent és una identitat:

cos () cos ()———————————— tg. sin () sin ()

( ) ( )( ) ( )

cos cos

sin sintg

α − β − α + β= β

α + β + α − β tg.

Substituïmlesfórmulestrigonomètriques:

cos cos sin sin cos cos sin sintg

sin cos sin cos sin .cos sin cos2sin sin

tg2sin costg tg

α ⋅ β + α ⋅ β − α ⋅ β + α ⋅ β = βα ⋅ β + β ⋅ α + α β − β ⋅ αα ⋅ β = βα ⋅ β

β = β

jUnitat13.Introduccióalesderivades

Activitats

1. La gràfica velocitat-temps corresponent a dos mòbils és la que pots veure a la dreta (fig. 13.2).

a) Quina és la velocitat de cada mòbil a l’instant inicial, quan t 0?

Al’instantinicial,v1v20.

b) Com pots veure, la velocitat de cada mòbil augmenta a mesura que passa el temps. En quin cas augmenta més de pressa? Per què?

Lavelocitatdelmòbil2augmentamésdepressa,jaqueperaqualsevolvalort0,escompleixv2v1.

c) Quin dels dos mòbils haurà recorregut una distància més gran després de 5 s d’haver començat el moviment?

Elmòbil2,jaqueentotmomentt0lasevavelocitatésmésgran.

2. Quina és la velocitat mitjana del ciclista de l’exemple anterior durant els 10 s?

1200 120vm[0,10]—————12m/s

100 10

3. A partir de la gràfica distància-temps següent (fig. 13.4), calcula en km/h:

a) La velocitat mitjana del mòbil en cadascun dels intervals de temps [0, 2], [2, 3,5] i [3,5, 4,5].

1200 120vm[0,2]——————60km/h

20 2



320120 180vm[2,3,5]———————120km/h

3,52 1,5

387300 87vm[3,5,4,5]———————87km/h

4,53,5 1

b) La velocitat mitjana del mòbil durant les 4,5 h que ha durat el trajecte.

3870vm[0,4,5]—————86km/h

4,50

4. La funció f(x) x3 2 sempre és creixent. Calcula’n la variació mitjana a cadascun dels intervals següents: [3, 1], [0, 2] i [5, 7].

En quin dels tres intervals té un creixement més ràpid?

f(1)f(3) 1(25) 26 Interval[3,1]:——————————————13 1(3) 13 2

f(2)f(0) 102 8 Interval[0,2]:————————————4 20 2 2

f(7)f(5) 345127 218 Interval[5,7]:————————————109 75 2 2

Lafuncióf(x)x32téelcreixementmésràpidenl’interval[5,7].

5. Demostra que la variació mitjana de la funció f(x) 3x 1 sempre és la mateixa, independentment de l’interval [x1, x2] considerat.

f(x2)f(x1) 3x21(3x11) 3x23x1————————————————————— x2x1 x2x1 x2x1

3(x2x1)—————3

x2x1

Enqualsevolinterval[x1,x2]lavariaciómitjanadelafuncióés3.

6. Quant val la variació mitjana de la funció f(x) 5 en qualsevol interval [x1, x2]?

Valzero,jaqueestractad’unafuncióconstant.

7. Calcula la variació mitjana de la funció f(x) x2 4x a l’interval [2,9, 3,1]. Creix o decreix aquesta funció al voltant de x 3?

f(3,1)f(2,9) 2,793,19 0,4—————————————————2

3,12,9 0,2 0,2

Fes-ne la representació gràfica i tot seguit comprova la teva resposta.

Podemesperarquelafuncióf(x)x24xdecreixialvoltantdex3.Hocomprovemalagràficadelafunció.

8. Representa gràficament la funció d 40t 5t2 corresponent al moviment del cos de l’exemple anterior. Quant triga a assolir l’altura màxima? Quin és el valor d’aquesta altura? Quant triga a tornar al punt de llançament?

Elcosqueesconsidera: –Triga4saassolirl’alturamàxima. –Elvalord’aquestaalturaés80m. –Triga8satornaraltrecopalpuntdellançament.

9. Calcula la velocitat d’aquest cos en els instants t 4 s i t 8 s. Interpreta’n els resultats obtinguts.

f(t)f(4) 40t5t280v(4)lim——————lim———————

t→4 t4 t→4 t4

5(t28t16) 5(t4)2

lim————————lim————— t→4 t4 t→4 t4

lim[5(t4)]0 t→4

t4s→v(4)0

f(t)f(8) 40t5t20v(8)lim——————lim———————

x→8 t8 t→8 t8

5t(t8)lim——————lim(5t)40

x→8 t8 t→8

t8s→v(8)40m/s

Perat4s,elcoscanviaelsentitdelseumoviment.Passats8s,elcostornaalaposiciódesortida.Fixa’tquehiarribaalamateixavelocitatambquèhaestatllançat,peròmovent-seensentitcontrari.D’aquíelsignemenysdev(8).



10. On es troba el cos en els instants t 3 s i t 5 s? Quina és la seva velocitat en cadascun d’aquests instants?

t3s→df(3)75m. t5s→df(5)75m. t3sit5s→elcosestrobaalamateixaposició:a75m

delpuntdellançament.

f(t)f(3) 40t5t275v(3)lim——————lim————————

t→3 t3 t→3 t3

5(t28t15) 5(t3)(t5)lim————————lim————————

t→3 t3 t→3 t3

lim[5(t5)]5·(2)10m/s t→3

f(t)f(5) 40t5t275v(5)lim——————lim————————

t→5 t5 t→5 t5

5(t3)(t5)lim————————lim[5(t3)]

t→5 t5 t→5

5·210m/s

Naturalment,perat3s,elcosestàentrajectòriaascendent(v0).Encanvi,quantt5s,elcosjaestàentrajectòriadescendent(v0).Enambdósinstants,elmòduldelavelocitatéselmateix:10m/s.

11. Sabem que la funció f(x) x2 6x és decreixent al voltant de x 4. Quantifica aquest decreixement a partir del f(x) f(4)

càlcul de lim —————— . Interpreta’n el resultat obtingut. x→4 x 4

f(x)f(4) x26x8 lim——————lim——————— x→4 x4 x→4 x4

(x2)(x4) lim————————lim(2x)2 x→4 x4 x→4

Peravalorsdexpròximsa4,lafuncióf(x)disminueixdel’ordrededuesvegadeselqueaugmentax.

12. Fes el mateix estudi de l’activitat anterior per a x 3.

Fixa’t en la gràfica de la funció i interpreta el resultat que has obtingut.

f(x)f(3) x26x9 lim——————lim—————— x→3 x3 x→3 x3

(x3)2

lim—————lim(3x)0 x→3 x3 x→3

Alsvoltantsdex3,lafunciópràcticamentnovaria.

13. Representa gràficament la funció f(x) 2x 3. Calcula f(2), f(0) i f(3). Interpreta’n els resultats.

f(2h)f(2)f(2)lim——————————

h→0 h

2(2h)37 42h37 lim——————————lim——————— h→0 h h→0 h

2hlim——lim22

h→0 h h→0

Tambéesverifica:f(0)f(3)2.

Lafuncióf (x)2x3decreixsempredelamateixamanera,és a dir, presenta un decreixement uniforme. En general,f(x0)2,x0∈.

14. Donada la funció f(x) ax b, demostra que f(x0) a, independentment del valor x0 considerat.

f (x0h)f(x0)f(x0)lim———————— h→0 h

a(x0h)b(ax0b)lim—————————————

h→0 h

ax0ahbax0b lim————————————

h→0 h ah

lim——limaa h→0 h h→0

15. Calcula, si és possible:

a) f(8) si f(x) √ x 1

f (8h)f(8) √ 8h13 f(8)lim————————lim———————— h→0 h h→0 h

√ 9h3 (√ 9h3)(√ 9h3) lim——————lim————————————— h→0 h h→0 h(√ 9h3)



9h9 hlim————————lim————————

h→0h(√ 9h3) h→0 h(√ 9h3)

1 1lim———————

h→0√ 9h3 6 1 b) f — si f(x) 4 x2

2

1 1 f —hf — 1 2 2

f—lim—————————— 2 h→0 h

1 1 4 —h

2

4— 2 4lim————————————

h→0 h

1 1 4—h h24— 4 4 h(1h)

lim—————————————lim—————— h→0 h h→0 h

lim(1h)1 h→0

1 c) f(0) si f(x) — x

Noexisteixf(0),jaquex0nopertanyaldominidelafunció 1

f(x)—→noexisteixf(0). x

16. Representa gràficament la funció f(x) x2 2x 4 i indica’n, a partir de la gràfica, els intervals de creixement i decreixement. Comprova que f(1) 0.

Decreixent:(∞,1) Creixent:(1,∞)

f(1h)f(1) f(1)lim———————— h→0 h

(1h)22(1h)43 lim—————————————— h→0 h

12hh222h43 lim———————————————— h→0 h

h2

lim—limh0 h→0 h h→0

17. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció f(x) (2 x)2 és creixent o decreixent en x 6. Fes el mateix estudi en x 1.

f(6h)f(6) f(6)lim——–––––––––––—

h → 0 h

44(6h)(6h)216lim—–––––––––––––––––––––––––––––——

h→0 h

4244h3612hh216lim—––––––––––––––––––––––––––––––––––——

h→0 h h28h h(h8)

lim——–––—lim——–––——lim(h8)8 h→0 h h→0 h h→0

→ f(6)0→creixentenx6. f(1h)f(1)

f(1)lim—–––––––––––––––—— h→0 h

44(1h)(1h)29lim—––––––––––––––––––––––––––––––––——

h→0 h

444h12hh29 h26hlim—––––––––––––––––––––––––––———lim———–—

h→0 h h→0 h

h(h6)lim—–––––—lim(h6)6→f(1)0

h→0 h h→0

→decreixentenx1.

18. Com ha de ser una funció perquè la derivada sigui nul·la en tots i cadascun dels punts del seu domini? Per què?

Lafuncióhadeserconstant,f(x)K,K∈.Ésaixíperquèsiunafuncióésconstant,lasevavariacióészeroperaqualsevolvalordex∈Df .

19. Calcula si és possible:

a) f(4) si f(x) √ x

Noéspossible,jaquenoexisteix

f(4):f(4)√ 4 ∈

2 b)f(1)sif(x)— x 2 –––––––2 f(1h)f(1) 1h

f(1)lim——–––––––––––––—lim——––––––— h→0 h h→0 h

222h —–––––––––— 1h 2h 2

lim—–––––––––—lim—––––––—lim—––—2 h→0 h h→0 h(1h) h→0 1h

c)f(0) sif(x)2x21

f(0h)f(0) f(h)f(0)f(0)lim——–––––––––––—lim——––––––––—

h→0 h h→0 h

2h211 2h2

lim—–––––––——lim––––––lim2h2·00 h→0 h h→0 h h→0



d) f(2) si f(x) 10x 3

f(2h)f(2)f(2)lim—–––––––––––—––––—

h→0 h

10(2h)3(17)lim——––––––––––––––––––––––—

h→0 h

2010h317lim—–––––––––––––––––——

h→0 h 10h

lim––––lim1010 h→0 h h→0

20. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:

a) f(x) x 7

(xh)7(x7)f(x)lim—––––––––––––––––––––––––——

h→0 h

xh7x 7 hlim——–––––––––––––––––—lim––––lim11

h→0 h h→0 h h→0

b) f(x) 1 2x2

12(xh)2(12 x2)f(x)lim—–––––––––––––––––––––––––——

h→0 h

12(x22xhh2)12 x2

lim—––––––––––––––––––––––––––––––—— h→0 h

12x24xh2h212 x2

lim—––––––––––––––––––––––––––––––—— h→0 h

2h (2xh)lim——–––––––—lim2(2xh)4 x

h→0 h h→0

1 c) f(x) —, x ≠ 0 x 1 1 x x h –––––––— –––––––––––– xh x (xh)·x

f(x)lim——––––––––––—lim—–––––––—— h→0 h h→0 h

h 1 1lim—––––––––—lim—–––––—––––

h→0 h(xh)x h→0 x(xh) x2

1 d) f(x) —, x ≠ 0 x2

1 1 x2 (x h)2

–––––––––––– —–––––––––––— (x h)2 x2 x2(xh)2

f(x)lim—–––––––––——lim——––––––-––— h→0 h h→0 h

x2 x2 2xhh2 h(2xh)lim——––––––––––––––—lim—––––––––——

h→0 hx2(xh)2 h→0 hx2(xh)2

(2xh) 2x 2lim—––––––—–––––––––

h→0 x2(xh)2 x4 x3

e) f(x) √ x, x 0

√ xh√ xf(x)lim——––––––––––—

h→0 h

(√ xh√ x )(√ xh√ x )lim———–––––––––––––––––––––––––—

h→0 h(√ xh√ x )

x h x hlim—–––––––––––——lim——––––––––––––—

h→0 h(√ xh√ x ) h→0 h(√ xh√ x )

1 1lim—–––––––––––———–––—

h→0 √ xh√ x 2√ x

f) f(x) 3 33 0

f(x)lim––––––––lim—0 h→0 h h→0 h

g) f(x) 3x2 2x 1

3(xh)22(xh)1(3x22x1) f(x)lim————––––––––––––––––––––––––––––––——— h→0 h

3x26xhh22x2h13x22x1 lim————––––––––––––––––––––––––––––––––––———— h→0 h

h(h6x2) lim——–––––––––—lim(h6x 2)6x 2 h→0 h h→0

h) f(x)

ππ 0f(x)lim––––––––lim—0

h→0 h h→0 h

21. Sense fer-ne la representació gràfica, determina els intervals de creixement i decreixement de la funció

f(x) x2 6x 8. Quant val f(3)?

(xh)26(xh)8(x26x8) f(x)lim——–––––––––––––––––––––––––––––––—————— h→0 h

x22xhh26x6h8x26x8 lim———–––––––––––––––––––––––––––––––––––———— h→0 h

h22xh6h h(h2x6) lim——––––––––––——lim——––––––––––––— h→0 h h→0 h

lim(h2x6)2x6 h→0

f(x)0→2x60→2x 6→2x6→x3

(∞,3)funciócreixent

f(x)0→2x60→2x 6→2x6→

(3,∞)funciódecreixent

f(3)2·360



22. Donada la funció f(x) 6 x2, calcula f(2) i f(4). Indica si la funció és creixent o decreixent en x 2 i en x 4.

6(xh)2(6x2)f(x)lim—–––––––––––––––————

h→0 h

6x22xh h26x2 h(2xh)lim——–––––––––––––––––––––——lim—–––––––——

h→0 h h→0 h

lim(2xh)2x h→0

f(2)2·(2)40→

lafuncióéscreixentenx2

f(4)2·480→

lafuncióésdecreixentenx4

23. Donada la funció f(x) x4, calcula f(x) de dues maneres diferents:

a) Aplicant la definició de funció derivada.

(xh)4x4

f(x)lim—–––––––——— h→0 x

x44x3h6x2h24xh3h4x4

lim———–––––—––——––––––––––––––—— h→0 h

h(4x36x2h4xh2h3)lim———––––––––––––––––––——

h→0 h

lim(4x36x2h4xh2h3)4x3

h→0

b) A partir de la segona regla que acabem de veure.

f(x)4x3


1 a)f(x)— x4

4f(x)4x5—

x5

b)f(x)x7

f(x)7x6

1 c) f(x) –––– √ x

1 1 1f(x)—x3/2—––——––—

2 2√ x3 2x√ x

d) f(x) 3

√ x2

2 2f(x)—·x1/3––––––

3 33

√ x

e) f(x) 5

√ 2

f(x)0

1 f) f(x)— x6

6f(x)6x7—

x7

25. Donada la funció f(x) x3, calcula f(1) i f(1). Indica si la funció és creixent o decreixent en aquests dos punts, i en cas que hi presenti el mateix tipus de variació, digues on és més ràpida aquesta variació.

(xh)3x3

f(x)lim—–—––––—— h→0 h

x33x2h3xh2h3x3

lim———–––––––––––––––––——— h→0 h

h(3x23xhh2)lim——––––––––––——lim(3x23xhh2)3x2

h→0 h h→0

f(1)3·123; f(1)3·(1)23

f(1) f(1)30→lafuncióéscreixentenx1ienambdóspuntscreixamblamateixarapidesa.

26. Pot decréixer en algun punt la funció de l’exercici anterior? Per què?

No,perquèf(x)3x2$0peraqualsevolx∈

27. Considera la funció:

f(x) 3

√ x. Calcula f(1) i f(8). Interpreta’n els resultats obtinguts.

1 1f(x)—x2/3––––––––

3 33

√ x2

1 1 1 1f(1)––––––––––; f(8)––––––––––––

33

√ 1 3 33

√ 64 12

f(1)0if(8)0→lafuncióéscreixentenx1itambéenx8.

f(1)f(8)→lafunciócreixambmésrapidesapropdex1quepropde x8.


a) f(x) 3x3 5x2 7

f(x)9x210x

1 b) f(x) x — 3 x 1

f(x)1— x2



x4 3x2

c)f(x)–––––– 5 7

4 6f(x)—x3—x

5 7

d) f(x) √ 10 √ x

1f(x)––––––

2√ x

e) f(x) (2x 3)2

f(x)8x12

1 2 f) f(x) — — 7 x3 x 3 2

f(x)—–––– x4 x2

29. Indica per a quins valors de x s’anul·la la derivada de la funció f(x) x3 5 x2 3x 4.

f(x)3 x210x3

1f(x)0→3 x210x30→x3ix—

3

30. Determina els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) x2 4x 7.

f(x)2x4 f(x)0 → 2x40→x2 f(x)0 → x2 (∞,2)funciódecreixent (2,∞)funciócreixent

31. Demostra que la derivada de la funció polinòmica de segon grau f(x) ax2 bx c s’anul·la per al valor de x corresponent al vèrtex de la paràbola que en resulta de representar-la gràficament.

f(x)2axb b

f(x)0 → 2axb0→2axb→x=––– 2a

32. La distància d’un mòbil a un punt de referència ve donada per l’expressió d f(t) 10 12t t2, d en metres i t en segons.

a) Determina l’expressió de la funció que permet calcular la velocitat del mòbil en qualsevol instant.

vf(t)122tm/s.

b) Indica raonadament si en algun moment aquest mòbil canvia el sentit del seu moviment.

Elmòbilnocanviaelsentitdelmoviment,jaquev(t)≠0perat0→lavelocitatd’aquestmòbilnos’anul·laperat$0.

33. Troba l’equació d’una funció f(x) que tingui per derivada la funció f(x) representada en la gràfica (fig. 13.12). Pots trobar-ne més d’una? Per què?

Compleixen la condició que s’estableix a l’enunciat totes lesfuncionsdeltipusf(x)xK,ambK∈.

Activitatsfinals

1. Aplicant la definició, calcula la derivada de cadascuna de les funcions següents en x 3:

a) f(x) x2 1

(3h)21(8)f(3)lim—-––––––––––––––––––––––—

h→0 h

96hh218 h(6h)lim——–––––––––––––––––––––—lim—–––——

h→0 h h→0 h

lim(6h)6 h→0

b) f(x) √ 1 x

√ 1(3h)2 √ 4h2f(3)lim——––––––––––––––––— lim——–––––––—

h→ 0 h h→0 h

(√ 4h2)(√ 4h2) 4h4lim———––––––––––––––––––—— lim—––––––––––——

h→ 0 h(√ 4h2) h→ 0 h(√ 4h2)

h 1 1lim————–––––— lim——–––––––—––––

h→ 0 h(√ 4h2) h→ 0 √ 4h2 4

1 c) f(x) — x

1 1 33h ––––––––––––– ——–––––— 3h 3 3(3h)

f(3)lim–––––––––––––––– lim––––––––––––– h→0 h h→0 h

h 1 1lim——––––––— lim—–––––———

h→0 3h(3h) h→0 3(3h) 9

1 2. Donada la funció f(x) —––—, és possible calcular f(2)?

Per què? x 2

No,perquèx2∉Df

3. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció f(x) (x 4)2 és creixent o decreixent en x 3,5.

f(x)(x4)2x28x16→f(x)2x8

f(3,5)2·3,58781

f(3,5)0→lafuncióésdecreixentenx3,5



4. En la gràfica (fig. 13.15) hem representat la funció f(x), derivada d’una certa funció f(x). Quina és l’expressió algèbrica de f(x)? I la de f(x)? Pots trobar-ne més d’una?

f(x)2x→f(x)x2C,ambC ∈

Pertanthihainfinitesfuncions,lafuncióderivadadelesqualsésf(x)2x.

5. Compara la rapidesa del creixement de la funció f(x) x3 2x en els punts d’abscisses x 2 i x 2.

f(x)x32x→f(x)3x22 f(2)3·(2)22140 f(2)3·222140

Comquef(2) f(2),lafunciócreixamblamateixarapidesaenx2queenx2.

6. Aplicant la definició, calcula la funció derivada de:

a) f(x) x3 3

(xh)33(x33)f(x)lim—––––––––––––––––––———

h→0 h

x33x2h3xh2h33x33lim————–––––––––––––––––––––––––––——

h→0 h

h(3x23xhh2)lim——–––––––––––—— lim(3x23xhh2)3x2

h→0 h h→0

b) f(x) x 3x2

xh3(xh)2(x3x2)f(x)lim——––––––––––––––––––––––––———

h→0 h

xh3x26xh3h2x3x2

lim————––––––––––––––––––––––––——— h→0 h

h(16x3h)lim———–––––––––— lim(16x3h)16x

h→0 h h→0

c) f(x) 5√ x

5√ x h 5√ xf(x)lim——–––––––––——

h→0 h

5(√ x h √ x )(√ x h √ x )lim————–––––––––––––––––———

h→0 h(√ x h √ x )

5(x h x) 5hlim———–––––––––— lim——––––—–––––—

h→0h(√ x h √ x ) h→0h(√ x h √ x )

5 5lim——––––––––––— —––—

h→0 √ x h √ x 2√ x

7. Indica raonadament el signe de la funció f(x) corresponent a la funció f(x) representada en la gràfica de la figura 13.16, en cadascun dels intervals següents:

(∞, 1) (1, 1) (1, ∞)

x∈(∞,1)→lafuncióéscreixent→f(x)0 x∈(1,1)→lafuncióésdecreixent→f(x)0 x∈(1,∞)→lafuncióéscreixent→f(x)0

8. Indica els intervals de creixement i decreixement de la fun-ció f(x) 3x 5. Verifica la teva resposta fent-ne la representació gràfica.

f(x)3x5→ f(x)3

f(x)0peraqualsevolx∈→lafuncióésdecreixententotelseudomini.


a) f(x) 2x4 3x2 1

f(x)8x36x

b) f(x) √ x3 3

√ x2

3 2 3 2f(x)—x1/2–––––x1/3—√ x––––

2 3 23

√ x

2 c) f(x) 1 — x2

4f(x)2·(2)x3–––

x3

d) f(x) 3(x2 7x 12)

f(x)6x21

e) f(x) √ 5x

√ 5f(x)—–—

2√ x

f) f(x) (2 6x)2

f(x)2472x



10. Per a un determinat mòbil, la distància d en metres a un punt de referència en funció del temps t en segons ve donada per l’expressió:

d f(t) 10t 2t2

a) Troba l’expressió algèbrica que et permeti calcular la velocitat d’aquest mòbil en qualsevol instant.

vf(t)104t,enm/s

b) Indica a quina distància del punt de referència es troba quan canvia el sentit del moviment.

v0→104t0→t2,5s

df(2,5)10·2,52·2,5212,5m.

c) Interpreta físicament el signe de la velocitat per a t 2,5 s.

t2,5s→v0→elmòbilesmouensentitnegatiucadacopmésdepressa.

11. A conseqüència de la dilatació, la longitud L d’una barra metàl·lica augmenta amb la temperatura T d’acord amb l’expressió:

L 8(1 104 · T), on L s’expressa en centímetres i T, en graus centígrads.

a) Quina és la longitud de la barra a 0 ºC? I a 100 ºC?

L(0ºC)8cm;L(100ºC)8,08cm

b) Quan augmenta més bruscament la longitud d’aquesta barra, si T 50 ºC o si T 80 ºC? Per què?

L(T)88·104T→L(T)8·104cm/ºC

ComqueL(T)nodepèndelatemperatura,lalongituddelabarraaugmentaamblamateixarapidesaindependenmentdelatemperatura.

12. Representa gràficament les funcions f(x) 2x 3 i g(x) 2x 3. Què obtens?

Quina de les dues funcions creix més de pressa al voltant de x 0? I al voltant de x 10? Procura respondre les dues últimes qüestions sense fer cap càlcul i argumenta’n la resposta.

S’obtenenduesrectesparal·leles.

Escompleixquef(x)g(x)2→lafunciófilafunciógcreixenamblamateixarapidesa,independenmentdelvalordelavariablex.

Avaluació

1. Donada la funció: f(x) 3x2 5,

a) Calcula la variació mitjana de f(x) en l’interval [2, 5].

b) Calcula, aplicant la definició de derivada, la derivada de f(x) en x 1.

a)interval[ ] (5) (2) 80 17 632,5 : 21

5 2 5 2 3f f− −= = =

− −

b)f( ) ( )

( )

2 2

0

2

0 0

3 5 3 5'( ) lim

6 3lim lim 6 3 6

h

h h

x h xf x

hxh h

x h xh

→

→ →

+ + − += =

+= = + =

( ) ( )

( )

2 2

0

2

0 0

3 5 3 5'( ) lim

6 3lim lim 6 3 6

h

h h

x h xf x

hxh h

x h xh

→

→ →

+ + − += =

+= = + =

b)f(1)'(1) 6 1 6f = ⋅ =

2. Calcula, aplicant les regles de derivació, les derivades de les següents funcions, simplificant al màxim:

a)f(x)x4 2x3 3x 7

f(x)4x36x23

b) f(x) 5

√ x3

f3 2

15 5

5 2

3 3 3'( )

5 5 5f x x x

x

− −= = =

c) f(x) 3

x2

1

x

f 3 23 2

6 1'( ) 6f x x x

x x− − −= − − = −

d) f(x) √ x

x4

f

12

8

8 8

11

2'( )

22

x x xf x

xx

xxx

x x x

−⋅ − ⋅

= =

−= =

⋅

12

8

8 8

11

2'( )

22

x x xf x

xx

xxx

x x x

−⋅ − ⋅

= =

−= =

⋅

3. Donada la funció f(x) 5x 2x3, indica raonadament si és creixent o decreixent en els puntsx 0 i x 3.

2'( ) 5 6f x x= −

'(0) 5 0f = > → lafuncióéscreixentenaquestpunt.2'(3) 5 6 3 0f = − ⋅ < → lafuncióésdecreixentenaquestpunt.



4. Comencem a observar dos mòbils A i B que tenen trajectòries que segueixen, respectivament, les equacions següents:

A: s(t) t3 i B: e(t) 27t

on s i e són les distàncies recorregudes en km des del moment en que comencem a observar i t és el temps transcorregut en hores.

a) Calcula les funcions velocitat de cadascun dels dos mòbils.

2( ) '( ) 3( ) '( ) 27

A

B

v t s t tv t e t

= == =

mesuradesenkm/h

b) Calcula la velocitat inicial de cadascun dels dos mòbils.

(0) '(0) 0(0) '(0) 27km/h

A

B

v sv e

= == =

c) En un cert instant de temps, els dos mòbils tenen la mateixa velocitat. Calcula aquest instant de temps.

2

( ) ( )3 27 3h

A Bv t v tt t

= →= → =

2

( ) ( )3 27 3h

A Bv t v tt t

= →= → =

d) Calcula els km que han recorregut cadascun d’ells des que comencem a observar fins el moment en que tenen la mateixa velocitat.

3(3) 3 27km

(3) 27 3 81km

s

e

= == ⋅ =


173MATEMÀTIQUES 1 la

jUnitat14.Distribucionsbidimensionals

Activitats

1.En una població de 25 famílies s’ha estudiat la variable X: «nombre de cotxes que té la família», i s’han obtingut les dades següents:

0, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1

Construeix la taula de freqüències i de percentatges corresponent.

xi ni Ni fi Fi pi Pi

0 2 2 0,08 0,08 8 % 8 %

1 12 14 0,48 0,56 48 % 56 %

2 8 22 0,32 0,88 32 % 88 %

3 3 25 0,12 1,00 12 % 100 %

25 1,00 100 %

2.La taula 14.2, que apareix incompleta, representa les qualificacions obtingudes per 80 alumnes de primer de batxillerat d’un institut.

Qualificació Freqüènciaabsoluta

Freqüènciarelativa

Suspens

Aprovat

Notable

Excel.lent

—

20

16

—

0,375

—

—

—

a) Completa la taula amb les freqüències absolutes i relatives que falten.

b) Elabora la taula de freqüències i de percentatges corresponent.

a)ib)

xi ni fi pi Ni Fi Pi

S 30 0,375 37,5 % 30 0,375 37,5 %

A 20 0,25 25% 50 0,625 62,5 %

N 16 0,2 20% 66 0,825 82,5 %

E 14 0,175 17,5 % 80 1 100 %

80 1 100 %

xi

3. Troba la mitjana, la variància i la desviació típica de les variables X i Y de la taula 14.6.

Nombred’horesveient

latelevisió

Nombred’horesdormint

Nombredepersones

43321

6 7 8 910

3162010 1

5

i1

xini

141x——————2,82h n 50

5

i1

x2ini

413

x

2————x2——7,9524 n 50

0,3076h2

5

i1

x2ini

x√

————x2 n

√ 0,3076 0,55462h

5

i1

yini

390y—————— 7,8h n 50

5

i1

y2ini

3082

y

2—————y2———60,84 0,8h2

n 50

5

i1

y2ini

y√

————y2√ 0,8 0,89443h n

4.Calcula la variància de la variable de la taula 14.3 utilitzant la primera expressió.

Númerodecalçat Nombred’alumnes

353637384042

415172010 4

6

i1

(xi x)2ni

209,4432——————————— 2,992

n 70


174 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla

5.Amb les dades de la taula 14.3, comprova les propietats de la mitjana, la variància i la desviació típica. Per ferho, suma 2 i multiplica per 3 cada valor de la variable.

Númerodecalçat Nombred’alumnes

353637384042

415172010 4

yx2

6

i1

yini

2777y——————— 39,67x2 n 70

6

i1

y2ini

y

2—————y2 n

110377————1573,8222 2,992

y

2

70

y√2,992 1,73x

z3x

6

i1

zi2ni

7911z——————— 113,013x n 70

6

i1

zj2ni

z

2————z2 n

895941————12772,23 26,9271

70

9x

232x

2

z√ 26,9271 5,193x

6.Les dades del consum de carburant d’una flota de camions al llarg d’un dia es poden observar a la taula de freqüències següent (taula 14.5):

Consumdecarburant Nombredecamions

(0, 10](10, 20](20, 30](30, 40](40, 50](50, 60](60, 70]

81210142116 9

Completa la taula amb les columnes necessàries per calcular x i x.

Consum xi ni xi·nix

i

2 xi

2ni

(0,10] 5 8 40 25 200

(10,20] 15 12 180 225 2 700

(20,30] 25 10 250 625 6 250

(30,40] 35 14 490 1225 17150

(40,50] 45 21 945 2 025 42 525

(50,60] 55 16 880 3 025 48 400

(60,70] 65 9 585 4 225 38 025

90 3 370 155 250

7

i1

xini

3370x——————— 37,4

(

n 90

7

i1

x2ini

x√

————x2 n

155250√

————1402,0864

90

√ 322,913617,97

7.A partir de la taula següent, en què s’indica l’alçada i el pes de 24 alumnes de primer de batxillerat:

Pesenkg

59 55 52

Alçadaencm

179 163 156

Pesenkg

68 59 62 63 71 59 55

Alçadaencm

177 170 173 164 176 174 165

Pesenkg

51 58 83 80 49 58 64

Alçadaencm

165 172 174 188 153 158 161

Pesenkg

70 66 58 58 72 57 55

Alçadaencm

177 174 170 167 174 173 162



a) Calcula la mitjana i la desviació típica de cadascuna de les dues variables.

X:«pes»,Y:«alçada»

24

i1

xi 1482x—————— 61,75kg

n 24

24

i1

x2i

x√

———x 2 n

93232√

————3813,0625

24

√ 71,60428,4619kg

24

i1

yi 4065y—————— 169,375kg

n 24

24

i1

yi2

y√

————y2 n

690043√

————28687,8906

24

√ 63,90117,9938cm

b) Dibuixa el diagrama de dispersió.

c) La relació entre les dues variables, és directa o inversa? Raona la resposta.

Ésdirecta,jaqueelnúvoldepuntssegueixunatrajectòriacreixent.

d) Indica les coordenades del punt mitjà de la distribució.

M(x,y) → M(61,75;169,375)

e) Comprova que el punt mitjà no forma part del diagrama de dispersió.

Talcoms’observaalagràficadel’apartatb),elpuntMnoformapartdeldiagramadedispersió.

8.La classificació final de la lliga de futbol de primera divisió de la temporada 19981999, després de 38 jornades, va ser:

Equips PG PE PP

1. Barcelona

2. R. Madrid

3. Mallorca

4. València

5. Celta

6. Deportivo

7. Espanyol

8. Athlètic

9. Saragossa

10. R. Societat

11. Betis

12. Valladolid

13. Atlético

14. Oviedo

15. Racing

16. Alavès

17. Extremadura

18. Vilareal

19. Tenerife

20. Salamanca

24

21

20

19

17

17

16

17

16

14

14

13

12

11

10

11

9

8

7

7

7

5

6

8

13

12

13

9

9

12

7

9

10

12

12

7

12

12

13

6

7

12

12

11

8

9

9

12

13

12

17

16

16

15

16

20

17

18

18

25

Representa el diagrama de dispersió de les distribucions bidimensionals següents. Quin tipus de relació, directa o inversa, hi ha entre les dues variables en cadascun dels tres casos?

a) Lloc a la classificaciópartits guanyats.

Ésinversa.

b) Lloc a la classificaciópartits empatats.

Noespotassegurar.



c) Lloc a la classificaciópartits perduts.

Directa.

9.Calcula xy de l’exemple de la taula 14.6 utilitzant la primera de les expressions de la covariància.

5

i1

(xix)(yiy)ni

21,8xy———————————

n 50

0,436

10.Donada la taula:

xi 4 6 8 12

yi 2 3 4 6

Justifica mitjançant el càlcul de r, i sense dibuixar el núvol de punts, que els punts del diagrama de dispersió de la distribució se situen en una línia recta creixent.

xy 4,375r——————————————

xy 2,95803991,4790199

4,375———1

4,375

Elnúvoldepuntssónelspuntsd’unarectacreixent.

11.A partir d’aquest experiment amb dues variables:

xi 0 4 6 8 12 14 16 22 26

yi 4 3 8 6 7 13 2 11 0

a) Calcula la covariància i el coeficient de correlació lineal.

9

i1

xiyi

648xy————xy——126

n 9

72720

xy 0r——————0

xy xy


c) Relaciona el valor del coeficient amb els punts del diagrama de dispersió.

Nohiharelació,jaquer0.

12.Les alçades en polzades de 12 pares i els seus fills són les següents:

Pares 65 63 67 64 68 62

Fills 68 66 68 65 69 66

Pares 70 66 68 67 69 71

Fills 68 65 71 67 68 70

Calcula el coeficient de correlació lineal i extreu conclusions sobre la relació entre les dues variables estudiades.

xy 3,3611111r———————————0,7027

xy 2,65621,80085

La relació entre lesdues variables és linealdirecta i bastantforta.



13.A partir de la taula de valors següent:

xi 2 4 5 6 8 11

yi 18 12 10 8 7 5

a) Calcula el coeficient de correlació lineal.

xy 11,16

(

r——————————— xy 2,886754,20317

0,9203

b) Multiplica cada valor de xi de la taula per 2 i sumali 6; multiplica cada valor de yi per 3 i restali 15. Troba el coeficient de correlació entre els dos nous sistemes de valors i explica per què s’obté o no el mateix resultat que abans.

x i2 xi6 10 14 16 18 22 28

y i3 yi15 39 21 15 9 6 0

xy 67r———————————

xy 5,773512,6095

0,9203

Degutalespropietatsdelamitjana,deladesviaciótipusidelacovariància,elvalordernovaria.

14.Calcula la covariància i el coeficient de correlació lineal en els tres casos de l’exercici 8.

T:«llocenlaclassificació»,X:«partitsguanyats»,Y:«partitsempatats»,Z:«partitsperduts».

20

i1

tixi

a) tx————tx n

2437———10,514,15 26,725

20

tx 26,725rtx————————————

tx5,766284,70399

0,98527

20

i1

tiyi

b) ty————ty n

2130———10,59,7 4,65

20

ty 4,65rty————————————

ty5,766282,64764

0,30458

20

i1

tizi

c) tz————tz n

3413———10,514,15 22,075

20

x 22,075rtz————————————

tz5,766284,36205

0,87764

15.S’ha observat l’alçada X en metres i el pes Y en quilograms de 9 nadons i s’han obtingut aquests resultats:

x 0,5; x 0,026; y 3,4;

y 0,392, i xy 0,01

Calcula el coeficient de correlació lineal i escriu l’equació de la recta de regressió de Y sobre X.

xy 0,01r—————————0,98116

xy 0,0260,392

xyyy———(xx)

x

2

0,01y3,4—————(x0,5) →

0,000676

→ y14,793x3,996

16.Cinc nens de 2, 3, 5, 7 i 8 anys d’edat pesen, respectivament, 14, 20, 30, 35 i 42 kg.

X:«edat»,Y:«pes»


xy 22,8r———————————

xy 2,2803510,0876

0,99116

b) Escriu l’equació de la recta de regressió que expressa el pes en funció de l’edat.

xyyy———(xx)

x

2

22,8y28,2——(x5) →

5,2

→ y4,385x6,277



c) Estima quant pesarà un nen de 6 anys.

x6anys →

→ y4,38566,27732,6kg

17.Els pesos i les alçades de 12 alumnes són els que figuren en la taula següent:

Pesenkg Alçadaencm

706372606670746562676568

155150180135156168178160132145139152


X:«pes»,Y:«alçada»

xy 51,361275r———————————

xy 3,9965314,88754

0,8632

b) Escriu l’equació de cadascuna de les dues rectes de regressió.

xyyy———(xx)

x

2

51,361113y154,16

(

————(x66,83

(

) → 15,9723

→ y3,22x60,75

xyxx———(yy)

y

2

51,361113x66,83

(

————(y154,16

(

) → 221,639

→ x0,23y31,11

c) Dedueix l’alçada d’un o d’una alumna que pesa 64 kg.

x64kg

y3,226460,75145,1cm

d) Estima el pes d’un o d’una alumna que mesura 162 cm.

y162cm

x0,2316231,1168,6kg

18.Un centre comercial sap els clients que el poden visitar en funció de la distància, en quilòmetres, a què se situï d’un nucli de població, segons les dades que figuren a la taula següent:

Nre.declients(centenars)

8 7 6 4 2 1

Distància(quilòmetres)

15 19 25 23 34 40

X:«distància»,Y:«nombredeclients»

a) Calcula la covariància i el coeficient de correlació lineal.

6

i1

xiyi

xy————xy n

603——264,6

(

20,8333 6

xyrxy———

xy

20,8333————————0,95017

8,56352,5604


c) Si el centre comercial se situa a 30 km, quants clients pot tenir?

xyyy———(xx)

x

2



20,8333y4,6

(

————(x26) → 73,333

→ y 0,284x12,053

x30km →

→ y 0,2843012,0533,53 →

→ 353clients

19.La taula següent recull les qualificacions de 40 alumnes a les matèries de matemàtiques i física:

MatemàtiquesX 3 4 5 6 6 7 7 8 10

FísicaY 2 5 5 6 7 6 7 9 10

Nre.d’alumnes 4 6 12 4 5 4 2 1 2

a) Troba les mitjanes i les desviacions típiques, escrivint prèviament les distribucions marginals de X i Y.

xi 3 4 5 6 7 8 10

ni 4 6 12 9 6 1 2

yj 2 5 6 7 9 10

nj 4 18 8 7 1 2

7

i1

xini

220x——————5,5

n 40

7

i1

xi

2ni

x√

————x2 n

1314√

———30,25√ 2,6 1,61245

40

6

j1

yjnj

224y——————5,6

n 40

6

j1

yj

2nj

y√

————y2 n

1378√

———31,36√ 3,09 1,75784

40

b) Calcula r.

xy 2,6r———————————

xy 1,612451,75784

0,9173

c) Quina nota de matemàtiques es pot esperar que tregui un alumne o una alumna que té un 7,5 de física? És fiable la predicció?

xyxx———(yy)

y

2

2,6x5,5——(y5,6) →

3,09

→ x0,84y0,788

y7,5 → x0,847,50,7887,1

Ésfiableperquèlarelacióentrelesduesvariableséslinealforta.

20.L’alçada mitjana d’una mostra de pares és d’1,68 m, amb una desviació tipus de 5 cm, i l’alçada mitjana d’una mostra dels seus fills és d’1,70 m, amb una desviació tipus de 7,5 cm. El coeficient de correlació entre les alçades de pares i fills és 0,7.

X:«alçadadelspares»,Y:«alçadadelsfills» x1,68 ; x0,05 ; y1,7 ; y0,075

r0,7

a) Calcula la covariància de la distribució.

xyr———→xyrxy xy

0,70,050,0750,002625

b) Estima l’alçada d’un fill sabent que la del seu pare és d’1,66 m.

YsobreX: xy

yy———(xx)

x

2

0,002625y1,7————(x1,68) →

0,0025

→ y 1,05x0,064

x1,66m→

→ y 1,051,660,0641,68m

c) Quina podem esperar que sigui l’alçada d’un pare si la del seu fill és d’1,72 m?

XsobreY: xy

xx———(yy)

y

2



0,002625x1,68————(y1,7) →

0,005625

→ x0,46

(

y0,886

(

y1,72 →

→ x0,46

(

1,720,886

(

1,69m

21.En una fàbrica de components electrònics s’han seleccionat 12 treballadors, entre els que havien entrat a treballar durant els tres últims mesos, s’ha observat el nombre de peces defectuoses que havien produït, i se n’ha obtingut la taula següent:

Nombredesetmanestreballades(X)

Nombredepecesdefectuoses( Y)

7 9 614 81210 4 211 1 8

262028162318242638223225

a) Determina l’equació de la recta de regressió y ax b.

xyyy———(xx)

x

2

19,72

(

y24,83

(

———(x7,6

(

) → 14,2219

→ y 1,39x35,46

b) Estima el nombre de peces defectuoses que produiria un treballador amb cinc setmanes d’experiència.

x5 → y 1,39 535,46

29pecesdefectuoses

22.Per què els quocients de les divisions entre els coeficients de x i de y de les rectes de regressió donen sempre com a resultat un nombre positiu? Què passaria en el cas que tots dos quocients fossin iguals a 1? Raona les respostes.

Perquèelscoeficientsaictenenelmateixsigne.

Lesduesvariablestindrienlamateixadesviaciótipus:

a y

2

—1 → ——1 c

x

2

x

2y

2 → xy

23.Les equacions de les rectes de regressió d’una distribució bidimensional són:

11y 7x 6, la de Y sobre X

2x 3y 1, la de X sobre Y

a) Troba r i indica el tipus de relació que hi ha entre les dues variables.

11y 7x6 → 7 6 → y——x—— →

6 11 11 xy 7 → a—— ——

x

2 11

2x 3y1 → 3 1 → x—y— → 2 2 xy 3 → c—— —

y

2 2

7 3r√ ac√

——— 11 2

21√

——0,977

22

Larelacióéslinealdirectamoltforta.

b) Calcula la mitjana de cadascuna de les variables.

7 6 y ——x—— 11 11 3 1 x —y— 6 2 2

3 7 6 1x ———x———

2 11 11 2 21 9 1

x——x——— 22 11 2 1 29

——x —— → x 29 → y19 22 22

x 29 , y19

c) Dedueix quina de les dues variables té una desviació típica més gran.

xy 7 —— —— a

x

2 11 14————————— →

c xy 3 33 —— —

y

2 2

y2 14 y 14

→ ———— → ——√

——

x

2 33 x 33

0,65134

d’on:xy



24.De dues variables, X i Y, es té la informació següent: la variància de X és 3, la mitjana i la desviació tipus de Y són 1 i 2, respectivament, i l’equació de la recta de regressió de Y sobre X és 2x 3y 6.

x

23 , y1 , y2 ,

22x3y6 → y —x2

3

Troba:

a) La mitjana de X. 2y1 → 1 —x2 → 3 3 3

→ x— → x— 2 2

b) La covariància de X i Y.

xy 2a——— →

x

2 3

2 2→ xy —

x

2 —3 2 3 3

c) El coeficient de correlació lineal.

xy 2 1r————— —— 0,57735

xy √32 √ 3 d) L’equació de la recta de regressió de X sobre Y.

xyxx———(yy) →

y

2

3 2→ x— ——(y1)

2 4

3 1x— —(y1) →

2 2

3 1 1→ x— —y— →

2 2 2

1→ x —y2

2

Activitatsfinals 1.Els 30 alumnes d’una classe de primer de batxillerat van

obtenir les notes següents en dues proves diferents de matemàtiques:

(73, 29), (41, 24), (83, 34), (71, 27), (39, 24),

(60, 26), (51, 35), (41, 18), (85, 33), (88, 39),

(44, 27), (71, 35), (52, 25), (74, 29), (50, 13),

(42, 13), (85, 40), (53, 23), (85, 42), (44, 22),

(66, 25), (60, 21), (33, 26), (43, 19), (76, 29),

(51, 25), (57, 19), (25, 17), (40, 17) i (76, 35).

La primera nota de cada parell correspon a la primera prova, que està puntuada sobre 100 punts, i la segona nota és de la segona prova, puntuada sobre 50 punts.

a) Dibuixa el diagrama de dispersió.

b) Calcula el coeficient de correlació lineal.

xy 103,36779r—————————— 0,7737

xy 17,61917,5828

c) Compara els dos resultats per donar la màxima informació sobre la relació existent entre les dues notes.

La relacióentre lesduesnotesés lineal,directa ibastantforta.

2.A partir de la taula de valors següent, calcula el coeficient de correlació lineal i analitza’n el significat. Escriu l’equació de cadascuna de les dues rectes de regressió.

y x 1 2 3 4 5

1 1

2 6 1 3

3 2 1 4

4 1 1

xy 0,425r———————————

xy 1,071210,74162

0,53497 → relacióindirectadèbil

YsobreX: xy

yy———(xx)

x

2

0,425y2,5————(x2,55) →

1,1475

→ y 0,37x3,44



XsobreY: xy

xx———(yy)

y

2

0,425x2,55———(y2,5) →

0,55

→ x 0,773y4,48

3.En una distribució bidimensional s’han obtingut els paràmetres estadístics següents:

x 5, y 6, 2x 5; 2

y 8,5 i r 0,997

Calcula la covariància i escriu l’equació de la recta de regressió que expressa la variable X en funció de la variable Y.

xyr——— → xyrxy xy

0,997√ 5√ 8,56,5

XsobreY: xy

xx———(yy)

y

2

6,5 x5——(y6) → x 0,765y0,412 8,5

4.La taula següent expressa el preu mitjà dels preus en dòlars de les accions i obligacions a la borsa de Nova York entre els anys 1950 i 1959:

Anys Accions Obligacions

1950 32,22 102,43

1951 39,87 100,93

1952 41,85 97,43

1953 43,23 97,81

1954 40,06 98,32

1955 53,29 100,07

1956 54,14 97,08

1957 49,12 91,59

1958 40,71 94,85

1959 55,15 94,65

A partir d’aquestes dades calcula el coeficient de correlació lineal entre les variables. Interpreta cadascun dels resultats.

X:«anys»;Y:«accions»;Z:«obligacions»

a) AnysAccions.

xy 14,728rxy———————————

xy 2,872287,19553

0,7126

Existeix una relació lineal directa bastant forta entre elsanysilesaccions.

b) AnysObligacions.

xz 7,111rxz———————————

xz 2,872283,06096

0,8088

Larelacióentreelsanysilesobligacionséslinealinversaibastantforta.

c) AccionsObligacions.

yz 10,9416ryz———————————

yz 7,195533,06096

0,4968

Larelacióéslinealinversaforçadèbilentrelesaccionsilesobligacions.

5.El consum d’energia per càpita en milers de kWh i la renda per càpita en milers de dòlars en sis països de la UE són els següents:

Consum Renda

Alemanya 5,7 11,1

Bèlgica 5,0 8,5

Dinamarca 5,1 11,3

Espanya 2,7 4,5

França 4,6 9,9

Itàlia 3,1 6,5

X:«renda»;Y:«consum»

a) Calcula r i interpreta’n el resultat.

xyr——

xy

2,5078———————— 0,93179

2,46491,0919

Existeixunarelaciólinealdirectaifortaentrelesduesvariables.



b) Quina predicció podem fer sobre el consum d’energia per càpita a Grècia si sabem que en aquest país la renda és de 4,4 milers de dòlars? És fiable la predicció obtinguda?

YsobreX: xy

yy———(xx)

x

2

2,5078y4,36

(

————(x8,63

(

) → 6,0755

→ y 0,413x0,803

x4,4 → y0,4134,40,803

2,6milersdekWh

Laprediccióésmoltfiable,jaquer1.

6.A partir d’un estudi estadístic realitzat a una mostra de 100 estudiants, s’ha observat una alçada mitjana de 155 cm, amb una desviació tipus de 15,5 cm. A més, es va obtenir la recta de regressió de X (pes en quilograms) sobre Y (alçada en centímetres):

2 160x —y ——

3 3

Determina:

a) El pes mitjà dels 100 estudiants.y155cm →

2 160→ x—155——50 →

3 3

→ x50kg

b) La covariància de X i Y.

2 xy——— → 3

y

2

2 2→ xy—

y

2—15,52160,16

(

3 3

c) El signe del coeficient de correlació entre el pes i l’alçada.

r0perquèxy0.

7.A les biblioteques de sis poblacions s’ha analitzat l’afluència de lectors (X en milers de persones) i el nombre de llibres prestats (Y). Les dades es recullen en la taula següent:

X 0,5 1 1,3 1,7 2 2,5

Y 180 240 250 300 340 400

a) Quina és la mitjana del nombre de llibres prestats en el conjunt de totes les biblioteques?

6

i1

yi 1710y——————285llibres

n 6

b) Escriu la recta de regressió que expressa el nombre de llibres que hi ha en préstec en funció de l’afluència de lectors.

YsobreX: xy

yy———(xx)

x

2

46,6

(

y285———(x1,5) → 0,43

→ y 108,53x122,21

c) Si acudissin 1500 lectors a una biblioteca, quants llibres es deixarien en préstec?

x1,5és lamitjanade lavariableX;per tant,y285llibres.

8.La creixent inclinació de la torre de Pisa ha generat nombrosos estudis sobre la seva futura estabilitat. En la taula següent es presenten les mesures de la seva inclinació entre els anys 1978 i 1982. Les dades d’inclinació s’han codificat com a dècimes de mil.límetre que depassen els 2,9 m, de manera que la inclinació l’any 1978, que va ser de 2,9667 m, apareix en la taula com a 667.

Any Inclinació Any Inclinació

19781979198019811982

667673688696698

19831984198519861987

713717725742757

X:«anys»;Y:«inclinació»

a) Creus que la inclinacio de la torre té una tendència lineal que augmenta amb el temps? Justifica’n la resposta.

xy 77,8r————————————

xy 2,8722827,38686

0,98903

Efectivament,existeixunatendèncialinealcreixent,jaquer1.

b) Calcula la recta de regressió de la inclinació sobre el temps.

YsobreX: xy

yy———(xx)

x

2



77,8y707,6———(x1982,5) →

8,25

→ y 9,43x17987,976

c) El 1918 la inclinació de la torre era de 2,9071 m. Quin seria el valor ajustat segons la recta que has obtingut en l’apartat anterior? A què és deguda la diferència entre els dos valors?

x1918 →

→ y9,43191817987,976

98,76499

Lainclinacióestimadaseriade2,9099m.Ladiferènciaentreelsdosvalorsesprodueixperquèl’any1918ésmoltméspe-titqueelprimeranyqueapareixalataula,pertant,elvalorestimatnoésfiable.

9.Durant un mes s’han observat les despeses de manutenció i l’ingrés total de 6 famílies, i els resultats obtinguts són:

Despesesenmilersd’ Ingressosenmilersd’

1,51,82,42,83,23,2

2,43,23,64,24,44,5

X:«ingresos»;Y:«despeses»


xy 0,4769r——————————— 0,97867

xy 0,74480,65426

b) Determina l’equació de la recta de regressió que expressa les despeses en funció dels ingressos.

YsobreX: xy

yy———(xx)

x

2

0,4769y2,483

(

————(x3,716

(

) → 0,55472

→ y 0,86x0,712

c) Quines despeses tindria una família amb un ingrés mensual de 3800 ?

x3,8 → y0,863,80,712

2,6milersd’

10.Les equacions de les rectes de regressió d’una distribució bidimensional són:

2 26 y —x ——, la de Y sobre X. 3 3

x 0,5y 7, la de X sobre Y.

a) Calcula la mitjana de cada variable.

2 26 y —x—— 6 3 3

x 0,5y7

2 1 26y ——y7——

3 2 3 1 14 26

y—y———— 3 3 3 2

—y 4 → y6 3 1

x —67 2

374 → x4

b) Troba el coeficient de correlació lineal.

xy xyr √

————

x

2 y

2

2 1 1 √

—— √

—

3 2 3

0,57735

c) Quina de les dues variables té una desviació típica més gran? Justifica’n la resposta.

xy 2 —— — a x

2 3 4———————— →

c xy 1 3 —— —

y

2 2

y

2 4 y 4→ ——— → ——√

—

x

2 3 x 3

1,1547 d’on:

xy

d) Calcula el valor de n tal que x ny.

y——1,1547 → x

x 1→ —————0,866 →

y 1,1547

→ x0,866y

Pertant:n0,866



11.En una mostra de dotze individus s’han estudiat dues variables, de les quals sabem que:

x 6 , x √ 6 ,

12

i1

yi2 380

Al mateix temps, se sap que l’equació de la recta de regressió que expressa X en funció de Y és:

x 0,89y 1,55

Calcula:

a) La mitjana i la variància de la variable Y.x6 → 60,89y1,55 →

4,45→ 0,89y4,45 → y———5 →

0,89

→ y5

yi

2 380

y

2——y2——256,6

(

n 12

b) La covariància i el coeficient de correlació lineal.

xy xyc—— → 0,89—— →

y

2 y

2

→ xy0,89y

20,896,6

(

5,93

(

xy 5,93(

r———————— 0,93814 xy √ 6√ 6,6

(

c) L’equació de la recta de regressió de Y sobre X. xy

yy———(xx) →

x

2

5,93

(

→ y5———(x6) 6

y5 0,98

(

(x6) →

→ y5 0,98

(

x5,93

(

y0,98

(

x0,93

(

Avaluació

1. Si estudiem les qualificacions de matemàtiques i educació física dels alumnes d’un centre obtenim un coeficient de correlació entre dues variables igual a 0.02. Com interpretaries aquest resultat?

El signe negatiu indica una posició decreixent dels punts, elvalortantpropera0indicamoltpocacorrelaciólineal.

2. Explica què significa distribució bidimensional, posa’n un exemple.

Respostaoberta.

3. La mitjana dels pesos d’una població és de 65 kg i la de les altures és de 170 cm, les desviacions típiques són de 5 kg i 10 cm, respectivament, i la covariància d’ambdues variables és de 40. Calcula la recta de regressió dels pesos respecte de les altures. Què pots preveure que pesarà un individu de 180 cm d’alçada?

y0,4x3

Perunindividude180cmd’alçadaelpesseria69kg.

4. En 4 viatges del trajecte BarcelonaGirona un conductor ha observat les velocitats mitjanes i els consums de gasolina següents:

Velocitatx(km/h) 105 117 90 120Consumy(L/100km) 6,5 7,5 6 8,2

a) Calcula les variàncies de les variables x i y, la covariància i el coeficient de correlació. Escriu les expressions algèbriques corresponents.

108 13,63827,05 1,6295

9,60,9497

x

y

xy

XY

r

= σ == σ =

σ ==

11,81100,8559

b) Escriu la recta de regressió de y respecte x.

y0,00688x0,382

c) Quin consum es podria esperar d’un viatge fet a 130 km/h de mitjana?

D’unviatgefeta130km/hdemitjanaespodriaesperarunconsumde8,562Lcada100km.

jUnitat15.Probabilitat

Activitats 1.Escriu l’espai de successos S associat a l’experiment aleatori

E: «llançar una moneda enlaire».

S{{c},{x},{c,x},∅}

2.Utilitzant nombres combinatoris, demostra que el nombre de successos associats a un experiment aleatori de 3, 4 i n elements és, respectivament, 8, 16 i 2n.

3 3 3 3 0 1 2 3

13318

4 4 4 4 4 0 1 2 3 4

1464116

n n n n n... 0 1 2 n1 n

(11)n2n



3.Es consideren els successos A: «obtenir un nombre primer» i B: «obtenir un nombre més petit que 10» de l’experiment aleatori E: «treure una bola d’una urna amb 20 boles numerades de l’1 al 20».

a) Defineix A i B per extensió.

A{2,3,5,7,11,13,17,19}

B{1,2,3,4,5,6,7,8,9}

b) Troba els successosA,

B, A B, A B,

A B,

A B,A B i B A

A{1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20}

B{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

AB{1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,13,17,19}

AB{2,3,5,7}

AB{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,

18,20}

AB{2,3,5,7,10,11,12,13,14,15,16,17,18,

19,20}

AB{11,13,17,19}

BA{1,4,6,8,9}

c) Defineix els successos de l’apartat b) per comprensió.

A:«obtenirunnombrecompost»

B:«obtenirunnombremajorque9»

AB:«obtenirunnombreprimeroméspetitque10»

AB:«obtenirunnombrecompostoméspetitque10»

AB:«obtenirunnombrecompostoméspetitque10»

AB:«obtenirunnombreprimeromajorque9»

AB:«obtenirunnombreprimeromajorque10»

BA:«obtenirunnombreméspetitque10inoprimer»

4. Justifica raonadament:

a) A B A i A B B SemprequeesverificaABesverificaA iesverificaB,

aleshoresABAiABB.

b) A A B i B A B SemprequeesverificaAesverificaAB,aleshoresAA

B,isemprequeesverificaBesverificaAB;pertant,BAB.

c) A B A B SemprequeesverificaABesverificaAiesverificaB,ales-

horestambéesverificaAB;pertant,ABAB.

d) A A, A i B Qualsevolsuccèsestàinclosensímateix.Elsuccèsimpossi-

bleestainclòssempreenqualsevolsuccès.

5.Demostra que A B i B A constitueixen successos incompatibles.

(AB)(BA)(AB)(B

A)

A(BB)

AA

A

6. Justifica mitjançant diagrames les igualtats següents:

a) A B A (A B) A B

b) B A B (A B) A B

7.Demostra gràficament la propietat 7 de les operacions amb successos.

8.Si A i B són dos successos tals que A B, justifica que:

a) A B A

b) A B B

c) B

A



d) A B

e) A B

9.En l’experiment aleatori E: «llançar dos dardells a la diana», considerem els successos A: «fa diana amb el primer» i B «fa diana amb el segon». Expressa en funció d’A i B els successos:

a) Fa diana amb el primer, però no amb el segon.

AB

b) Fa diana amb algun dels dos.

AB

c) Falla tots dos.A

B

d) Fa diana amb només un.

(AB)(BA)

10.En l’experiment aleatori «extreure una carta d’una baralla de 48 cartes», calcula la probabilitat dels successos següents:

a) Treure una carta que sigui un nombre primer.

A:«extreureunacartaquesiguiunnombreprimer» → Card(A)20.

20 5p(A)————

48 12

b) Que la carta que extraiem no sigui un as.

B:«extreureunacartaquenosiguias» → Card(B)44.

44 11p(B)————

48 12

c) Que sigui una figura d’espases.

C:«extreureunafigurad’espases» → Card(C)3.

3 1p(C)————

48 16

d) Treure una carta de copes.

D:«extreureunacartaquesiguicopes»→ Card(D)12.

12 1p(D)———

48 4

11.D’una classe on hi ha 20 noies i 15 nois escollim dos alumnes a l’atzar.

Calcula la probabilitat que:

a) Siguin dues noies.

A:«quesiguinduesnoies»

2019 ——— C20,2 2 1019

p(A)—————————— C35,2 3534 3517 ——— 2

219 38—————

717 119

b) Siguin un noi i una noia.

B:«quesiguinunnoiiunanoia»

2015 2015 2015p(B)——————————

C35,2 3534 3517 ——— 2

203 60—————

717 119

c) Entre els escollits hi hagi un alumne o una alumna determinats.

C:«quehihagil’alumnex»

34 34 2p(C)—————————

C35,2 3534 35 ——— 2

12.A la cua de la taquilla d’un cinema hi ha 14 persones. Quina és la probabilitat que dues persones determinades estiguin juntes?

A:«queduespersonesdeterminadesestiguinjuntes»

13P2 132p(A)——————

P14 14!

132 1————————

141312! 712!

13.Calcula la probabilitat que quan girem una fitxa de dòmino s’obtingui:

a) Un nombre de punts més gran que 8.

A:«obtenirmésde8punts»

6 3p(A)————

28 14



b) Un nombre de punts que sigui múltiple de 3.

B:«obtenirunnombredepuntsquesiguimúltiplede3» 9

p(B)—— 28

c) Un nombre de punts que sigui més gran que 8 i múltiple de 3.

3CAB → p(C)——

28

d) Una fitxa doble.

D:«obtenirunafitxadoble»

7 1p(D)———

28 4

14.Llancem dos daus enlaire. Calcula la probabilitat d’obtenir:

a) Suma de punts igual a 10.

A:«obtenir10punts»

3 1p(A)————

36 12

b) Suma de punts senars.

B:«obtenirunnombresenardepunts»

18 1p(B)———

36 2

c) Almenys un 6 en un dels daus.

C:«obteniralmenys6puntsenundau»

11p(C)——

36

d) Només un 6 en un dau.

D:«obtenirnomésun6enundau»

10 5p(D)————

36 18

15. Es tira una moneda enlaire 4 vegades. Quina és la probabilitat que surtin 4 cares? I que surtin 2 cares i 2 creus? I almenys 2 creus?

A:«obtenir4cares»

1p(A)——

16

B:«obtenir2caresi2creus»

6 3p(B)———

16 8

C:«obteniralmenys2cares»

11p(C)——

16

16.Donats dos successos A i B, tals que

3 1 5p(A) —, p(B) — i p(A B) —,

8 2 8

calcula:

p(A B), p(A), p(

B), p(

A

B), p( A B),

p(A B) i p(A

B).

p(AB)p(A)p(B)p(AB)

p(AB)p(A)p(B)p(AB)

3 1 5 2 1 —————

8 2 8 8 4

3 5p(

A)1p(A)1——

8 8

1 1p(

B)1p(B)1——

2 2

p(A

B)p(

AB)1p(AB)

5 31——

8 8

1 3p(

AB)1p(AB)1——

4 4

1 1 1p(

AB)p(B)p(AB)———

2 4 4

3 1 1p(A

B)p(A)p(AB)———

8 4 8

17.Sabem que la probabilitat que demà plogui és 0,4; que plogui demà passat és 0,3 i que plogui cadascun dels dos dies, 0,2.

p(A)0,4,p(B)0,3ip(AB)0,2

Calcula la probabilitat que:

a) Plogui, com a mínim, un dels dos dies.

p(AB)p(A)p(B)p(AB)

0,40,30,20,5

b) No plogui cap dia.

p(A

B)p(

AB)1p(AB)

10,50,5



c) Només plogui demà.

p(AB)p(A)p(AB)

0,40,20,2

d) Plogui només un dels dos dies.

p[(AB)(

AB)]

p(AB)p(

AB)

p(A)p(AB)p(B)p(AB)

p(A)p(B)2p(AB)

0,40,320,20,3

18.Un dau està trucat, de manera que les probabilitats d’obtenir les diferents cares són proporcionals als nombres que hi figuren.

SiguiSi{i},i1,2,3,4,5,6

Tenimque:

p(S6)6p(S1),p(S5)5p(S1),

p(S4)4p(S1),p(S3)3p(S1),

p(S2)2p(S1)

ipertant:

p(S6)p(S5)p(S4)p(S3)p(S2)

p(S1)6p(S1)5p(S1)4p(S1)

3p(S1)2p(S1)p(S1)

121p(S1)1 → p(S1)——

21

Si llancem el dau una vegada, calcula la probabilitat de:

a) Cadascun dels successos elementals.

1 2p(S1)——,p(S2)——,

21 21 3 1 4

p(S3)———,p(S4)——, 21 7 21 5 6 2

p(S5)—— i p(S6)——— 21 21 7

b) Obtenir un nombre més gran que 4.

B:«obtenirmésde4punts»

5 2 11p(B)p(S5)p(S6)—————

21 7 21

c) Aconseguir un nombre senar.

C:«obtenirunnombresenardepunts»

p(C)p(S1)p(S3)p(S5)

1 1 5 9 3————————

21 7 21 21 7

19.Llancem dos daus i considerem el nombre de punts de les cares superiors.

Calcula la probabilitat dels successos següents:

a) A: «el nombre de punts de les dues cares superiors suma 7».

6 1p(A)———

36 6

b) B: «el producte dels nombres de les cares superiors és 12».

4 1p(B)———

36 9

c) A B; A B; A;

B.

2 1p(AB)————;

36 18

8 2p(AB)———;

36 9

1 5p(

A)1p(A)1——;

6 6

1 8p(

B)1p(B)1——

9 9

20.Demostra que, efectivament, la independència de successos és simètrica.

SiBésindependentdeA → p(B/A)p(B)

D’on: p(AB)p(A)p(B/A)p(A)p(B)

itambé p(AB)p(BA)p(B)p(A/B) 6

→ p(A)p(B)p(B)p(A/B)

Pertant:

p(A/B)p(A) →AésindependentdeB

21.Sabent que: p(A) 0,3; p(

B) 0,6 i p(A/B) 0,32

calcula: p(A B), p(A B), p(A/

B), p(B/A)

p( A B) i p(

B/

A)

p(AB)p(BA)p(B)p(A/B)

0,40,320,128

p(AB)p(A)p(B)p(AB)

0,30,40,1280,572



p(AB) p(A)p(AB)

p(A/B)—————————————

p(B) p(

B)

0,30,128 0,172—————————0,287

0,6 0,6

p(AB) 0,128p(B/A)————————0,427

p(A) 0,3

p(

AB)1p(AB)

10,5720,428

p(B

A) p(

BA)

p(B/

A)——————————

p(A) p(

A)

p(

AB) 0,428————————0,61143

p(A) 0,7

22.Indica la probabilitat de la unió de dos successos independents.

p(AB)p(A)p(B)p(AB)

p(A)p(B)p(A)p(B/A)

p(A)p(B)p(A)p(B)

23.Calcula la probabilitat p(B/A) en aquests casos:

a) A B

AB → ABA →→ p(AB)p(A)

D’on: p(AB)

p(B/A)—————1 p(A)

b) A B

AB → p(AB)0

D’on: p(AB)

p(B/A)—————0 p(A)

24.Tenim una caixa amb 5 cargols de capçal rodó, dos dels quals són defectuosos, i 8 cargols de capçal quadrat, dels quals només 3 són correctes. Escollim un cargol a l’atzar. Calcula la probabilitat:

Q:«obteniruncargoldecapçalquadrat»

D:«obteniruncargoldefectuós»

a) Que sigui de capçal quadrat, si sabem que és correcte. 3 —— p(Q

D) 13 1

p(Q/D)—————————

p(D) 6 2

—— 13

b) Que sigui defectuós, si sabem que és de capçal rodó.

2 —— p(D

Q) 13 2

p(D/Q)—————————

p(Q) 5 5

—— 13

25.Disposem de 2 bosses amb boles blanques, vermelles i negres. En una bossa hi ha 3 boles blanques, 4 vermelles i 5 negres. L’altra bossa conté 5 boles blanques, 7 vermelles i 2 negres. Si agafem una bola de cada bossa, quina probabilitat hi ha que siguin del mateix color?

B:«obtenirbolablanca»

V:«obtenirbolavermella»

N:«obtenirbolanegra»

S:«obtenirlesduesbolesdelmateixcolor»

p(S)

p(B1B2)p(V1V2)p(N1N2)

p(B1)p(B2)p(V1)p(V2)

1 5 1 1p(N1)p(N2)—————

4 14 3 2

5 1———

12 7

5 1 5 53———————

56 6 84 168

26.A les últimes eleccions municipals, a la ciutat A els grocs han obtingut el 20% dels vots; els verds el 30%, i els grisos el 50%. A la ciutat B, els percentatges respectius han estat: 40%, 45% i 15%. Escollim una de les dues ciutats a l’atzar i una persona que hi visqui. Quina probabilitat hi ha que aquesta persona hagi votat el partit groc? Suposant que la persona escollida hagi votat efectivament el partit groc, quina probabilitat hi ha que visqui a la ciutat A?

A: «escollirlaciutatA»

B: «escollirlaciutatB»

G: «escollirunapersonaquehagivotatelpartitgroc»

p(G)p(AG)p(BG)

p(A)p(G/A)p(B)p(G/B)

0,50,20,50,40,10,20,3

p(A)p(G/A) 0,50,2p(A/G)———————————

p(G) 0,3

0,1———0,3

(

0,3



27.Un joier compra els rellotges a dues cases proveïdores. La primera li serveix el 60% dels rellotges, dels quals el 0,4% són defectuosos. La segona li proporciona la resta, essentne defectuosos l’1,5%. Un dia, el joier, quan es disposa a vendre un rellotge, observa que no funciona. Troba la probabilitat que el rellotge procedeixi de la segona casa proveïdora. Si el rellotge venut funcionés correctament, troba la probabilitat que provingui del primer proveïdor.

A: «escollirunrellotgedelaprimeracasaproveïdora»

B: «idemdelasegonacasaproveïdora»

D: «escollirunrellotgedefectuós»

p(B) p(D/B)

p(B/D)—————————————— p(A)p(D/A)p(B)p(D/B)

0,40,015———————————

0,60,0040,40,015

0,006———0,7143

0,0084

p(A)p(D/A)

p(A/D)——————————————

p(A)p(D/A)p(B)p(

D/B)

0,60,996 0,5976——————————————0,6027

0,60,9960,40,985 0,9916

28.En un institut s’organitza una excursió a una estació d’esquí. El 65% dels alumnes viatjarà en un autobús gran i la resta ho farà en un de petit. Es coneix que el 90% dels alumnes que viatja a l’autobús petit sap esquiar, mentre que dels alumnes que viatgen a l’autobús gran saben esquiar el 60%. S’escull un o una alumne/na a l’atzar i resulta que no sap esquiar. Quina probabilitat hi ha que viatgi a l’autobús petit? I si sap esquiar, quina probabilitat hi ha que viatgi al gran?

G:«escollirunalumnedel’autobúsgran»

S:«escollirunalumnequesapesquiar»

0,6 S

0,65 G

0,4S

0,9 S

0,35G

0,1S

p(G)p(

S/

G)

p(G/

S)——————————————

p(G)p(S/G)p(

G)p(

S/

G)

0,350,1 0,035——————————————0,1186

0,650,40,350,1 0,295

p(G)p(S/G)p(G/S)——————————————

p(G)p(S/G)p(G)p(S/

G)

0,650,6 0,39——————————————0,553

0,650,60,350,9 0,705

Puntfinal

Aplicant els continguts de la probabilitat estudiats en aquesta unitat, calcula les probabilitats dels successos plantejades pel cavaller De Méré a Blaise Pascal, és a dir, la probabilitat d’obtenir almenys un sis quan llancem un dau quatre vegades, i la probabilitat d’obtenir almenys un doble sis quan llancem dos daus 24 vegades.

Enllançarundauquatrevegades,esdefineix:

A: «obteniralmenysunsis»

453652451p(A)———————————

64

500150201 671—————————————0,5177

1296 1296

Enllançardosdaus24vegadesesdefineix:

B:«obteniralmenysundoblesis»

35p(B)1——

24

10,50860,4914 36

p(A)p(B)

Activitatsfinals

1.Si A i B són dos successos tals que p(A) 0,4; p(

A

B) 0,9 i p(A B)0,8; A i B són incompatibles?

Són independents? Justifica ambdues respostes.

p(A

B)p(

AB)0,9 → p(AB)

1p(

AB)10,90,1

Comque:

p(AB)0 → AB → AiB

nosónincompatibles.

p(AB)p(A)p(B)p(AB) →→ p(B)p(AB)p(AB)p(A)

0,80,10,40,5

p(A)p(B)0,40,50,2 6 p(AB)0,1

p(AB)p(A)p(B) → AiB

nosónindependents.



2.Suposem que A i B són dos successos independents tals que la probabilitat que succeeixi algun dels dos és de 0,7 i la probabilitat que succeeixin tots dos alhora és de 0,2. Calcula p(A) i p(B).

p(AB)p(A)p(B)p(AB) →→ p(A)p(B)p(AB)p(AB)

0,70,20,9

Enserindependents:

p(AB)p(A)p(B) →→ p(A)p(B)0,2

p(A)p(B)0,9 6 p(A)p(B)0,2

p(A)0,5,p(B)0,4 o

p(A)0,4,p(B)0,5

3.Dels successos A i B sabem que

1p(

A

B) —;

5 2 3

p(A) —; p(B) —

3 4

Calcula:

a) p(A B)

p(AB)1p(

AB)

1 41p(

A

B)1——

5 5 b) p(A B)

p(AB)p(A)p(B)p(AB) →

→ p(AB)

p(A)p(B)p(AB)

2 1 4 7—————

3 4 5 60 c) p(B/A)

7 —— p(AB) 60 7

p(B/A)—————————— p(A) 2 40 — 3 d) p(A/B)

p(AB)p(A/B)—————

p(B)

7 —— 60 7

————— 1 15 — 4

e) p(A/B)

p(A/B)1p(A/B)

7 81————

15 15 f) p(A/

B)

p(AB)

p(A/B)—————

p(B)

2 7 ——— p(A)p(AB) 3 60

——————————————— p(

B) 3

— 4 11 —— 20 11

————— 3 15 — 4

4.Demostra que, si A i B són dos successos independents, també ho són els successos

A i

B.

p(A

B)p(

AB)1p(AB)

1[p(A)p(B)p(AB)]

1[p(A)p(B)p(A)p(B)]

1{1p(A)1p(

B)

[1p(A)][1p(

B)]}

p(A)1p(

B)[1p(

A)][1p(

B)]

p(A)1p(

B)1p(

A)p(

B)

p(A)p(

B)p(

A)p(

B)

5.Calcula la probabilitat que en llançar quatre vegades un mateix dau la suma dels punts obtinguts sigui diferent de 4 i de 24.

A:«obtenirunasumadepuntsiguala4o24»

A{(1,1,1,1),(6,6,6,6)}

2 2 1p(A)—————— →

64 1296 648

1 647→ p(

A)1p(A)1————

648 648

6. En una sala en què hi ha 20 persones, 14 de les quals llegeixen el diari, 10 prenen cafè i 8 fan totes dues coses. Si seleccionem dues persones a l’atzar, calcula la probabilitat que:



a) Totes dues prenguin cafè i no llegeixin el diari.

A:«duespersonesprenguincafèinollegeixineldiari»

C2,2 1p(A)———————

C20,2 2019 ——— 2

1 1—————

1019 190

b) Totes dues només facin una de les dues coses.

B:«lesduesnomésfacinunacosa»

C6,2C2,262p(B)—————————

C20,2

65 ——112 2 15112

—————————————— 1019 190

28 14————

190 95

c) Cap de les dues no faci res.

C:«capdelesduesnofacires»

43 —— C4,2 2 23

p(C)——————————— C20,2 1019 1019

3 3—————

519 95

d) Totes dues facin ambdues coses.

D:«lesduesfacinlesduescoses»

87 —— C8,2 2 47

p(D)——————————— C20,2 1019 1019

27 14—————

519 95

7.Determina la probabilitat d’obtenir a la Loteria primitiva 6 encerts, 5 encerts i el complementari, i 4 encerts jugant una sola combinació de 6 nombres.

A:«6encerts» 1 1

p(A)———————— C49,6 13983816

B:«5encertsielcomplementari»

C6,51 6 1p(B)————————————

C49,6 13983816 2330636

C:«4encerts»

C6,4C43,2 13545 645p(C)——————————————

C49,6 13983816 665896

8.Calcula la probabilitat que en llançar un dau la suma dels punts de les cares visibles sigui més gran que 18.

A: «sumadepuntsdelescaresvisiblessiguimésgranque18»

B: «puntsdelacaranovisiblesigui1o2» → B{1,2}

2 1p(A)p(B)——

6 3

9.D’una caixa que conté 5 boles numerades de l’1 al 5:

a) Extraiem una bola rere l’altra fins a treureles totes. Quina probabilitat hi ha que surtin en l’ordre natural?

A:«quesurtinenordrenatural»

1 1 1p(A)—————

P5 5! 120 b) S’extreu una bola i es retorna a la caixa, i es repeteix

això cinc vegades. Quina és ara la probabilitat que surtin en l’ordre natural? Quina probabilitat hi ha que surti les cinc vegades la mateixa bola?

1 1 1p(A)———————

VR5,5 55 3125

B:«quesurtilamateixabola»

5 5 1 1p(B)———————

VR5,5 55 54 625

10.Cinc persones es troben a l’interior d’un ascensor situat a la planta baixa d’un edifici que consta de planta baixa i sis pisos. Suposant que totes tenen la mateixa probabilitat de baixar en qualsevol dels sis pisos, calcula les probabilitats següents:

a) Que totes les persones baixin al mateix pis.

A: «quetotesbaixinenelmateixpis»

1 6 1p(A)6—5

—— 6 65 64

1———0,000772

1296

b) Que no baixi ningú als tres primers pisos.

B: «quenobaixiningúalstresprimerspisos»

5 5 5p(B)—5

—5

—5

6 6 6

5—15

0,0649 6 c) Que als cinc primers pisos baixi una persona a cada pis.

C: «quebaixiunapersonaacadapisdelscincprimerspisos»

1 5 1 5 1 5p(C)——4

——3

——2

6 6 6 6 6 6

1 5 1 1 5————5

—10

0,0000207 6 6 6 6 6



11.Un estudiant s’ha preparat 22 temes d’un programa compost de 30 temes, dels quals surten 3 per sorteig. Calcula la probabilitat que:

a) Respongui correctament dos temes.

A: «responguicorrectament2temes»

2221 ——— 8 C22,2C8,1 2

p(A)——————————— C30,3 302928 ————— 32

11218 1132 66————————————

102914 529 145

b) No respongui correctament cap dels tres temes.

B: «noresponguicorrectamentcapdels3temes» 876 ———— C8,3 32

p(B)————————— C30,3 302928 ————— 32

87 2 2——————————

102914 529 145

12.a) Quan llancem dos daus, quina probabilitat hi ha d’obtenir un nombre de punts la suma dels quals sigui 9? I que la suma sigui múltiple de 3?

A:«sumadepuntsiguala9»

4 1p(A)———

36 9

B:«sumasiguimúltiplede3»

12 1p(B)———

36 3

b) Si en llançar dos daus ha sortit un nombre de punts la suma dels quals és un múltiple de 3, calcula la probabilitat que la suma sigui 9.

4 —— p(AB) 36

p(A/B)———————— p(B) 12 —— 36

4 1———

12 3

13.En una facultat universitària, el 25% dels estudiants ha suspès les matemàtiques, el 15% ha suspès la química i el 10% ha suspès totes dues assignatures. Si seleccionem un alumne o una alumna a l’atzar, determina la probabilitat que:

M:«hagisuspèslesmatemàtiques»

Q:«hagisuspèslaquimica»

1 3 1p(M)—, p(Q)——, p(MQ)——

4 20 10

a) Suspengui les matemàtiques, si ha suspès la química. 1 —— p(MQ) 10 2

p(M/Q)————————— p(Q) 3 3 —— 20

b) Suspengui la química, si ha suspès les matemàtiques. 1 —— p(MQ) 10 2

p(Q/M)————————— p(M) 1 5 — 4

c) Suspengui les matemàtiques o la química.

p(MQ)p(M)p(Q)p(MQ)

1 3 1 6 3—————————

4 20 10 20 10

14.Un automòbil, abans de sortir al mercat, se sotmet a tres controls de qualitat: mecànic, elèctric i de planxa. La probabilitat que fallin els controls és, respectivament, 0,02, 0,01 i 0,07. Si la fàbrica treu al mercat 500 cotxes cada any, quants automòbils sortiran amb algun defecte?

M:«quefallielcontrolmecànic»

p(M)0,02 → p( M)0,98

E:«quefallielcontrolelèctric»

p(E)0,01 → p( E)0,99

X:«quefallielcontroldeplanxa»

p(X)0,07 → p( X)0,93

S:«quefallialmenysundelscontrols»

p(S)p(M)p( E)p(

X)

p( M)p(E)p(

X)p(

M)p(

E)p(X)

p(M)p(E)p( X)p(M)p(

E)p(X)

p( M)p(E)p(X)p(M)p(E)p(X)

0,020,990,93



0,980,010,930,980,990,07

0,020,010,930,020,990,07

0,980,010,070,020,010,07

0,0184140,0091140,067914

0,0001860,0013860,000686

0,0000140,097714

5000,09771448,85749automòbils

15.Disposem d’una moneda trucada, en la qual la probabilitat que surti cara és el doble de la probabilitat que surti creu; una caixa A amb 5 boles vermelles, 3 de blanques i 4 de grogues i una altra caixa B amb 4 boles vermelles, 2 de blanques i 6 de grogues. Llancem la moneda enlaire, si surt cara traiem 2 boles consecutivament de la caixa A, i si surt creu les traiem de la caixa B. Calcula la probabilitat que:

a) Surti creu quan llancem la moneda.

p(C)p(X)1 6 p(C)2p(X)

2p(X)p(X)1 → 3p(X)1 →

1 2→ p(X)—,p(C)—

3 3

b) Surtin dues boles del mateix color.

S:«lesduesbolesdelmateixcolor»

2 5 4 1 2p(S)————————

3 12 11 4 11

1 3 1 1 3———————

3 11 3 3 11

1 1 1 5—————— 6 11 2 11

2 5 1 1——————— 3 33 22 11

1 1 1 5——————— 3 11 66 22

2 19 1 1 19 1————————

3 66 3 3 99 9

30 10————

99 33

c) Surtin una bola blanca i l’altra groga.

T:«surtinunabolablancail’altragroga»

2 1 4 1 3p(T)———————

3 4 11 3 11

1 1 6 1 2——————— 3 6 11 2 11

2 1 1 1 1 1—————————— 3 11 11 3 11 11

2 2 1 2——————

3 11 3 11

2 1 2 2——————

3 3 11 11

d) Surtin una bola vermella i una altra blanca, en aquest ordre.

M: «surtinunavermellail’altrablanca,enaquestordre»

2 5 3 1 1 2p(M)—————————

3 12 11 3 3 11

5 2 19——————

66 99 198

16.Un ordinador personal està contaminat per un virus i està carregat amb dos programes antivirus P1 i P2, que actuen independentment, l’un després de l’altre. El programa P1 detecta la presència del virus amb una probabilitat de 0,9 i el programa P2 el detecta amb una probabilitat de 0,8. Quina probabilitat hi ha que no es detecti el virus?

A:«noesdetectielvirus» → AP1

P2

p(A)p(P1

P2)p(

P1)p(

P2)

0,10,20,02

17.Disposem de dues caixes A i B. La caixa A conté 4 boles blanques i 2 boles negres i a la caixa B hi ha 3 boles blanques i 5 de negres. Escollim una caixa a l’atzar i traiem una bola, a continuació, la introduïm a la caixa no escollida i traiem una altra bola d’aquesta caixa. Calcula la probabilitat que:

a) La segona bola sigui negra.

S:«lasegonabolasiguinegra»

1 2 5 1 2p(S)—————

2 3 9 3 3

3 2 5 3———— 8 7 8 7

1 10 2 3 15———————— 2 27 9 28 56

1 1463 1 209 209—————————

2 1512 2 216 432

b) La primera sigui negra i la segona blanca.

T: «laprimerasiguinegrailasegonablanca»

1 1 1 5 4p(T)————— 2 3 3 8 7

1 1 5 1 59 59—————————

2 9 14 2 126 252



c) Totes dues boles siguin blanques.

D: «lesduesbolessiguinblanques»

1 2 4 3 5p(D)—————

2 3 9 8 7

1 8 15—————

2 27 56

1 853 853———————

2 1512 3024

18.Es realitza un sorteig entre tres alumnes. Per establirne el guanyador, s’escriu en un paper la paraula premi i es deixen dos paperets en blanc. Què és preferible, escollir primer, segon o tercer?

Si:«treurepremiescollitenellloci»,i1,2,3

1 1r → p(S1)— 3

2n → p(S1S2)

2 1 1 p(

S1)p(S2/

S1)———

3 2 3

3r → p(S1

S2S3)

p(

S1

S2)p(S3/(

S1

S2))

p(

S1)p(

S2/

S1)p(S3/(

S1

S2))

2 1 1 ——1— 3 2 3

Noimporta,jaquelaprobabilitatéslamateixa.

19.a) Calcula la probabilitat que la suma dels punts obtinguts sigui 4 quan llancem un dau, quan en llancem 2, quan en llancem 3 i, finalment, quan en llancem 4.

A:«obtenir4punts»

1 Enllançarundau:P(A)— 6

3 1 Enllançardosdaus:P(A)———— 36 12

3 1 Enllançartresdaus:P(A)———— 216 72

1 Enllançarquatredaus:P(A)——— 1296

b) Un senyor ha llançat un nombre desconegut de daus, entre 1 i 4, i la suma dels punts obtinguts ha estat 4. Quina probabilitat hi ha que hagi llançat dos daus?

B:«hallançatdosdaus»

p(AB)p(B/A)—————

p(A) 1 —— 12

—————————————— 1 1 1 1 ———————— 6 12 72 1296 1 —— 12 1296 108

—————————— 343 12343 343 ——— 1296

20.D’una cistella en què hi ha 20 pomes, 4 de les quals estan macades, en cau una en una altra cistella en què hi havia 6 pomes macades i 18 en bon estat. Escollim una poma de la segona cistella i no està macada. Quina probabilitat hi ha que la poma que ha caigut de la primera cistella fos bona?

B: «quesiguiunapomabona»

p(B1)p(B2/B1)p(B1/B2)————————————––––––— p(B1)p(B2/B1)p(

B1)p(B2/

B1)

4 19 76 —— —— 5 25 125

————————————————— 4 19 1 18 76 18 —— —— ———— 5 25 5 25 125 125

76 —— 125 76 38

—————— 94 94 47 —— 125

21.En un institut el 65% dels alumnes són noies. El 10% dels nois no practica cap esport, mentre que el 70% de les noies fa esport. Escollim un o una alumne/na a l’atzar i resulta que fa esport. Quina probabilitat hi ha que sigui noia? I que sigui noi si no fa esport?

S:«quel’alumneescollitfaciesport»

N:«quesiguinoia» p(N)p(S/N)

p(N/S)—————————————— p(N)p(S/N)p(

N)p(S/

N)

0,650,7 0,455——————————————0,590

(

0,650,70,350,9 0,77

p(N)p(

S/

N)

p(N/

S)——————————————

p(N)p(

S/

N)p(N)p(

S/N)



0,350,1——————————

0,350,10,650,3

0,035————0,152174

0,23

22.Disposem de tres monedes. La primera té dues cares; a la segona la probabilitat de sortir cara i de sortir creu és la mateixa, i a la tercera la probabilitat que surti cara és del 30%. S’escull una d’aquestes tres monedes a l’atzar i es llança enlaire. Sabent que ha sortit cara, calcula la probabilitat que la moneda escollida hagi estat la primera.

p(M1/C)

p(M1)p(C/M1)——————————————————————

p(M1)p(C/M1)p(M2)p(C/M2)p(M3)p(C/M3)

1 —1 3

—————————————— 1 1 1 1 3 —1————— 3 3 2 3 10

1 1 — — 3 3 5

———————————— 1 1 1 3 9 ———— — 3 6 10 5

23.En una determinada fàbrica d’electrodomèstics s’ha detectat que un de cada 100 frigorífics té un defecte al sistema de congelació. Per solucionar el problema, es posa en marxa un dispositiu per poder detectar aquest defecte abans que el frigorífic surti al mercat. No obstant això, aquest dispositiu no és fiable del tot, concretament, si el frigorífic té el defecte, el dispositiu el detecta en el 95% dels casos, mentre que si no el té, el dispositiu el dóna com a defectuós en un 2% de les vegades. Si el dispositiu de control indica que un frigorífic és defectuós, quina probabilitat hi ha que el frigorífic no tingui cap defecte?

D:«quesiguidefectuós»

S:«quedetectieldefecte»

p(D)p(S/

D)

p(D/S)——————————————

p(D)p(S/

D)p(D)p(S/D)

0,990,02———————————

0,990,020,010,95

0,0198————0,675768

0,0293

24.En una població, el 30% dels habitants pateix una malaltia. Es realitza una prova per diagnosticarla i s’anomenen A i B els dos únics resultats possibles de la prova. Se sap que si la prova es fa a un individu que té la malaltia, la probabilitat que el resultat sigui A és del 90%, però si es fa a un individu sa, la probabilitat que el resultat sigui A és del 5%.

M:«quetinguilamalatia»

a) Es fa la prova a un individu seleccionat a l’atzar. Quina probabilitat hi ha que el resultat sigui B?

p(B)p(MB) p(MB)

p(M)p(B/M)p(M)p(B/

M)

0,30,10,70,95

0,030,6650,695

b) Es fa la prova a una persona i s’obté com a resultat B. Quina probabilitat hi ha que no tingui la malaltia?

p(MB)

p(M/B)—————

p(B) p(

M)p(B/

M) 0,70,95

———————————— p(B) 0,695

0,665———0,95683

0,695

Avaluació

1. D’una baralla espanyola de 48 cartes en traiem una a l’atzar. Són independents els esdeveniments “treure un rei” i “treure una espasa”? Raona la resposta.

p(rei)4 148 12

=

p(espasa)12 148 4

= → p(rei)·p(espasa) p(rei ∩ espasa)

Sí,elsdosesdevenimentssónindependents.

p(rei ∩ espasa)148

2. Tenim una urna amb 4 boles blanques, 4 de negres i 2 de vermelles. En traiem 3 consecutivament, i retornem cada vegada la bola a la urna abans de treure la següent. Calcula la probabilitat que almenys dues siguin blanques

Duesbolesblanquesenspodensortir:bbx;bxb;xbb.

Tresbolesblanquesnoméspodenaparèixerd’unamanerabbb

p(2blanquesU3blanques)p(2blanques)p(3blanques)

4 4 6 4 4 4 288 64 352

3 · · · · 0,35210 10 10 10 10 10 1000 1000 1000

⋅ + = + = =



3. Un producte està format per tres parts A, B i C. En el procés de fabricació s’ha comprovat que la probabilitat que aparegui un defecte a A és 0,03, un defecte a B és 0,02 i un defecte a C és 0,01. Si sabem que els tres esdeveniments són independents, calcula la probabilitat que un producte elegit a l’atzar no tingui cap dels defectes.

DA:esdevenimenttenirundefecteenA

p(DA)0,03i ( )Ap D 0,97

DB:esdevenimenttenirundefecteenB

p(DB)0,02i ( )Bp D 0,98

DC:esdevenimenttenirundefecteenC

p(DC)0,01i ( )cp D 0,99

( )A B Cp D D D∩ ∩0,97·0,98·0,990,9411

4. En una cadena de muntatge hi ha una etapa on 3 robots A, B i C solden peces. La probabilitat que la soldadura sigui defectuosa i el percentatge de peces que solda ens la dóna la taula següent:

Robots Probabilitatdesoldaduradefectuosa

Pecesquesoldaelrobot

A 0,002 18%B 0,005 42%C 0,001 40%

Quin és el percentatge de soldadures defectuoses? Si escollim una peça i és defectuosa en la soldadura, quina és la probabilitat que l’hagi soldat el robot C?

a)Sianomenemd:esdevenimentdefectuósenlasoldadura

p(d)p(A)·p(d|A)p(B)·p(d|B)p(C)·p(d|C)

0,18·0,0020,42·0,0050,40·0,0010,00286

b)AplicantelteoremadeBayes

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) |( | )

| | |0,40 0,001 0,0004

0,13990,4 0,001 0,18 0,002 0,42 0,005 0,00286

p C p d Cp C d

p C p d C p A p d A p B p d B

⋅= =

⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ = =

⋅ + ⋅ + ⋅

jUnitat16.Distribuciódeprobabilitat

Activitats 1.Llancem una moneda enlaire quatre vegades. Definim la va

riable aleatòria X com el nombre de cares que surtin.

a) Determina la funció de probabilitat i la funció de distribució de la variable X.

1 1p[X0]——; p[X1]—;

16 4

3 1p[X2]—; p[X3]—;

8 4

1p[X4]——

16

0 six0

1 —— si0x1 16

5 —— si1x2

F(x)

5 16

11 —— si2x3 16

15 —— si3x4 16

1 six4

b) Representa gràficament la funció de probabilitat i la funció de distribució.

c) Calcula l’esperança matemàtica i la desviació típica.

1 3 1

5

i1

xipi—2—3—

4 8 4

1 1 3 3 14——————

16 4 4 4 4

8—2

4



√

5

i1

x2

ipi2

1 3 1 1√

—4—9—16——4

4 8 4 16

1 3 9√

———14√ 11

4 2 4

2.En l’experiment aleatori de llançar dos daus enlaire definim la variable aleatòria X com X(a, b) max(a, b), on (a, b) són els resultats que mostren els dos daus. Determina la funció de probabilitat i calcula l’esperança matemàtica.

xi1 2 3 4 5 6

pi

1——36

1——12

5——36

7——36

1—4

11——36

1 1 5

6

i1

xipi1——2——3——

36 12 36

7 1 11 1 14——5—6—————

36 4 36 36 6

5 7 5 11 161————————4,472

(

12 9 4 6 36

3.La funció de probabilitat d’una variable aleatòria discreta està expressada en aquesta taula:

xi2 1 0 2 4

pi

1—8

1—6

1—8

1—4

1—3

a) Determina la funció de distribució i representala gràficament.

0 six 2

1 — si2x1 8

7 —— si1x0

F(x)

5 24

5 —— si0x2 12

2 — si2x4 3

1 six4

b) Troba l’esperança, la variància i la desviació típica.

1 1 1

5

i1

xipi 2—1—0—

8 6 8

1 12—4—

4 3

1 1 1 4 17 ——————1,416

(

4 6 2 3 12

2 5

i1

xi

2pi 2

1 1 1 (2)2—(1)2—02—

8 6 8

1 1 17 22—42———2

4 3 12

1 1 16 289 ——1————

2 6 3 144

719—— 4,99305

(

144

719 √ 719√

—————2,2345

144 12

4.La variable aleatòria discreta uniforme és aquella que pren valors 1, 2, 3… n, amb probabilitats:

1pi — i 1, 2, 3... n

n

Calcula la funció de distribució, l’esperança i la desviació típica d’aquesta variable.

0 six1

1 — si1x2 n

F(x)

5 ...

n1 ——— sin1xn n

1 sixn



1 1 1 1

n

i1

xipi 1—2—3—...n—

n n n n

1—(123...n)

n

1 n1 1 (n1)n n1—————————————

n 2 n 2 2

2 n

i1

xi

2pi 2

1 1 1 1 n1 12—22—32—...n2————2

n n n n 2

1 (n1)2

—(149...n2)———— n 4

1 [n(2n3)1]n (n1)2 n21—————————————————

n 6 4 12

n21 1 n21√

—————√

————

12 2 3

5.A partir de la variable aleatòria de l’exemple 2:

a) Comprova la segona propietat de la funció de probabilitat de la distribució binomial.

6

i0

p[Xi]p[X0]p[X1]

p[X2]p[X3]p[X4]

p[X5]p[X6]

15625 56

—————1 56 56

b) Defineix la funció de distribució.

0 six 0

4096 ——— si0x1 15625

2048 ——— si1x2 3125

2816 ——— si2x3

F(x)

5 3125

3072 ——— si3x4 3125

624 —— si4x5 625

15624 ——— si5x6 15625

1 six6

6.Calcula:

1 a) p[X 5], en B7, — 3

7 1 2p[X5]—5

—2

5 3 3

1 4 214 74 2821———————————

35 32 37 36 729

1 b) p[X 2], en B5, — 2

p[X2]p[X0]p[X1]p[X2]

5 1 5 1 5 1—5

—5

—5

0 2 1 2 2 2

1 5 10 16 24 1———————— ———

25 25 25 25 25 2

2 c) p[X 3], en B8, — 3

p[X3]1p[X3]

1(p[X0]p[X1]p[X2]p[X3])

8 1 8 2 1 8 2 11 —8

——7

—2—6

0 3 1 3 3 2 3 3

8 2 1—3—5

3 3 3

1 16 112 4481————————

38 38 38 38

577 577 59841——1——————

38 6561 6561

3 d) , 2 i , en B10, — 5

3np10—6

5

3 2 122npq10————

5 5 5

12 3√ npq √

——2√

—

5 5

7.Llancem una moneda enlaire 100 vegades. Estableix la probabilitat d’obtenir:

1 X:«nombredecares» → B100,— 2



a) 47 cares. 100 1

p[X47] —100

47 2

100 21000,0666

47

b) 35 creus. 100 1

p[X65] —100

65 2

100 21000,000864

35

c) Almenys 2 cares.

p[X2]1p[X2]

1(p[X0]p[X1])

100 1 100 11 —100

—100 0 2 1 2

1(21001002100)

1[2100(1100)]11012100

d) Cap creu. 100 1

p[X100] —100

2100 100 2

7,889·1031

8.Una família de Tarragona té cinc fills. Suposant que la probabilitat que un dels fills sigui nen és 0,45, calcula la probabilitat que siguin:

X:«númerodenens» → B(5;0,45)

a) Tres nens i dues nenes.

5p[X3] 0,4530,552

3

100,0911250,30250,27565

b) Menys nens que nenes.


5 5 5 0,555 0,450,554 0,4520,553 0 1 2

0,05032840,2058890,3369094

0,59313

c) Una sola nena.

5p[X4] 0,4540,55

4

50,04100630,550,11277

d) Cap nen. 5

p[X0] 0,5550,05033 0

9.El 2% dels articles produïts en una fàbrica és defectuós. Calcula el nombre esperat i també la desviació tipus d’articles defectuosos en una comanda de 10000 unitats.

1 X:«númerod’articlesdefectuosos» → B10000,—— 50

1 10000np10000—————

50 50

200articlesdefectuosos

1 49√ npq√

10000————

50 50

10472 1027 1007√

——————————

502 50 50

14articlesdefectuosos

10.Determina el nombre esperat de nenes en una família de vuit fills, si suposem igualment probable la distribució de sexes. Quina és la probabilitat que la família tingui el nombre esperat de nenes?

1 X:«númerodenenes» → B8,— 2 1

np8—4nenes 2

8 1 70 35 35p[X4] —8

—————— 4 2 28 27 128

11.Tenim un dau en forma de tetràedre, és a dir, amb quatre cares que són triangles equilàters. Numerem les cares de l’1 al 4 i considerem la variable aleatòria X: «nombre d’1» per a n 5.

a) Estudia la distribució binomial corresponent.

1 1p— → B5,— 4 4

b) Defineix les funcions de probabilitat i de distribució.

5 3 35 243p[X0] —5

————— 0 4 45 1024

5 1 3p[X1] ——4

1 4 4 1 34 405

5—————— 4 44 1024



5 1 3p[X2] —

2

—3

2 4 4 1 33 270 135

10————————— 42 43 1024 512 5 1 3

p[X3] —3

—2

3 4 4

1 32 90 4510—————————

43 42 1024 512

5 1 3p[X4] —

4

— 4 4 4

1 3 155——————

44 4 1024

5 1 1 1p[X5] —

5

————— 5 4 45 1024

243F(0)p[X0]p[X0]———

1024

F(1)p[X1]p[X0]p[X1]

243 405 648 81———————————

1024 1024 1024 128

F(2)p[X2]p[X0]p[X1]p[X2]

81 135 459——————

128 512 512

F(3)p[X3]p[X0]p[X1]p[X2]p[X3]

459 45 504 63————————

512 512 512 64

F(4)p[X4]

p[X0]p[X1]p[X2]p[X3]p[X4]

63 15 1023————————

64 1024 1024

F(5)p[X5]


p[X4]p[X5]

1023 1 1024—————————1

1024 1024 1024

d’ons’obtélafunciódedistribució:

0 six 0 243 ——— si0x1 1024 81 —— si1x2 128 459 F(x)

5 —— si2x3 512 63 —— si3x4 64 1023 ——— si4x5 1024 1 six5

c) Calcula’n l’esperança i la desviació típica. 1 5

np5——1,25 4 4

1 3√ npq√

5——

4 4

√ 15——0,968246

4

12.El 3% de les peces elaborades per una màquina és defectuós. Les peces es venen en caixes de 25 unitats cadascuna. Quina és la probabilitat que una caixa contingui com a màxim una peça defectuosa?

3 X:«nombredepecesdefectuoses» → B25,—— 100

p[X1]p[X0]p[X1]

25 97 25 3 97 ——

25

————24

0 100 1 100 100

0,46697470,36106290,82804

13.Una determinada malaltia té un índex de mortalitat del 20 %. Si en un hospital hi ha sis persones afectades, calcula la probabilitat que almenys la meitat dels pacients sobrevisqui.

4 X:«nombredepersonesquesobreviuen» → B6,— 5

p[X3]1p[X3]

1(p[X0]p[X1]p[X2])

6 1 6 4 11 —

6

——5

0 5 1 5 5

6

4

1 —

2

—4

2 5 5

1(0,0000640,0015360,01536)10,016960,98304



14.El 55 % dels treballadors d’un organisme oficial són dones. Per llei, el 25 % dels alts càrrecs han de ser dones. Si es trien 5 funcionaris a l’atzar, quina és la probabilitat que 3 siguin dones? I si la elecció només es fa entre els alts càrrecs?

11 X:«nombrededones» → B5,—— 20

5 11 9p[X3] ——

3

——2

3 20 20

113 92 107811010————————

203 202 205

1078110 107811—————————0,33691

3200000 320000

1 X:«nombrededones» → B5,— 4

5 1 3p[X3] —

3

—2

3 4 4

1 32 90 9010—————————

43 42 45 1024

45——0,08789

512

15.Si X representa una variable aleatòria contínua:

a) Demostra que f(x) és una funció de densitat:

1 — si 0 x 2 f(x) 5 2

0 si x [0, 2]

1. Per la mateixa definició de f(x), tenim que f(x) 0, x.

2. L’àreadelrecintequedeterminalagràficadef(x)ambl’eixOXés:

1 1A(20)—2—1u2

2 2

Per1i2tenimquef(x)ésunafunciódedensitat.

b) Representala gràficament.

16.Per a la funció de densitat de l’exercici anterior, calcula:

a) p[X 1] 1

p[X1]— 2

1 b) pX — 2 1 3

pX—— 2 4

1 3 c) p— X — 4 2

1 3p—X—

4 2

3 1pX—pX—

2 4 3 1 5

——— 4 8 8

17.En una variable aleatòria contínua X es defineix la funció:

kx si x [0, 5] f(x) 5 0 si x [0, 5]

a) Calcula el valor de k per tal que la funció f(x) sigui una funció de densitat.

55k 25kA——————

2 2

25k 2———1 → k——

2 25

b) Troba p[2 X 3,5] per al valor de k calculat en l’apartat anterior.

p[2X3,5]p[X3,5]p[X2]

7 7 4 ——— 2—— 2 25 25

—————————— 2 2

49 4 33——————

100 25 100



18.Contesta raonadament cadascuna d’aquestes qüestions a partir de la taula de la distribució normal reduïda:

a) Per què el primer valor de probabilitat que es troba a la taula és 0,5?

PerquèlagràficadelafunciódedensitatdeladistribuciónormalN(0,1)éssimètricarespectedelvalorz0isabemquep[Z0]0,5.

b) Quin és el valor de p[Z 4,5]? I el valor de p[Z 5]?

p[Z4,5]1

perquèsegonslataula:

p[Z4] 1

p[Z5]0

perquè:p[Z5]p[Z5]

ip[Z5]1p[Z5]110

19.Si Z és una variable N(0, 1), calcula:

a) p[Z 2,38]

p[Z2,38]p[Z2,38]

1p[Z2,38]10,9913

0,0087

b) p[Z 1,64]

p[Z1,64]0,9495

c) p[Z 1,03]

p[Z1,03]p[Z1,03]0,8485

d) p[Z 0,82]

p[Z0,82]1p[Z0,82]

10,79390,2061

e) p[1,5 Z 3]

p[1,5Z3]p[Z3]p[Z1,5]

0,998650,93320,06545

f) p[0,79 Z 0,79]

p[0,79Z0,79]

2(p[Z0,79]0,5)

2(0,78520,5)20,28520,5704

20.A partir de la taula, comprova a la distribució N(0, 1) que:

a) A l’interval (1, 1) es troba el 68,26% del total de la probabilitat.

p[1Z1]2(p[Z1]0,5)

2(0,84130,5)20,3413

0,6826

p[1Z1]0,6826 → 68,26%

b) A l’interval (2, 2) es troba el 95,44% del total de la probabilitat.

p[2Z2]2(p[Z2]0,5)2(0,97720,5)20,47720,9544

p[2Z2]0,9544 → 95,44%

c) L’interval (3, 3) inclou el 99,74% del total de la probabilitat.

p[3Z3]2(p[Z3]0,5)2(0,99870,5)20,49870,9974

p[3Z3]0,9974 → 99,74%

21.Considerem X una variable N(8, 3). Calcula:

a) p[X 9]

p[X9]p[Z0,33]0,6293

b) p[X 7]

p[X7]p[Z0,33]p[Z0,33]0,6293

c) p[6 X 7,5]

p[6X7,5]p[0,67Z0,17]

p[0,17Z0,67]p[Z0,67]p[Z0,17]

0,74860,56750,1811

d) p[7,2 X 8,7]

p[7,2X8,7]p[0,27Z0,23]

p[Z0,23]p[Z 0,27]p[Z0,23](1p[Z0,27])p[Z0,23]p[Z 0,27]1

0,59100,606410,1974

22.Tenint en compte que l’àrea que es dóna fa referència a una distribució normal N(0, 1), determina el valor o els valors de la variable Z en cadascun dels casos següents:

a) L’àrea entre 0 i z és 0,3770.

p[0Zz]0,3770 →→ p[Zz]0,8770 → z1,16

b) L’àrea a l’esquerra de z és 0,8621.

p[Zz]0,8621 → z1,09

c) L’àrea entre 1,5 i z és 0,0217.

p[1,5Zz]0,0217 →→ p[Zz]p[Z1,5]0,0217

p[Z1,5]p[Z1,5]

1p[Z1,5]10,93320,0668



p[Zz]0,06680,0217 →→ p[Zz]0,0885 →→ p[Zz]0,0885

p[Zz]10,08850,9115 →→ z1,35 → z1,35

23. En una població s’estableixen dos grups A i B. Els quocients intel.lectuals d’ambdós grups es distribueixen segons N(100, 30) i N(120, 35), respectivament. S’escull un individu de cada grup de manera aleatòria i independent. Calcula:

X:«quocientintel.lectual grupA»

Y:«quocientintel.lectual grupB»

a) La probabilitat que l’individu del grup A tingui un quocient intel.lectual superior a 90.

p[X90]p[Z0,33]

p[Z0,33]0,6293

b) La probabilitat que l’individu del grup B tingui un quocient intel.lectual superior a 90.

p[Y90]p[Z0,86]

p[Z0,86]0,8051

c) La probabilitat que ambdós tinguin un quocient intel.lectual superior a 90.

p[X90]p[Y90]

0,62930,80510,50665

24.Suposem que el pes dels atletes de marató segueix una distribució normal N(62, 3,4).

X:«pesenkg»

a) Calcula la probabilitat que un atleta pesi més de 65 kg.

p[X65]p[Z0,88]

1p[Z0,88]10,81060,1894

b) El 70% dels atletes no supera un determinat pes. Quin és aquest pes?

p[Xx]0,7

p[Zz]0,7 → z0,52 →→ xz3,40,5262

63,768kg

25.Calcula la probabilitat d’obtenir entre 4 i 7 creus, ambdues incloses, en fer 12 llançaments d’una moneda utilitzant:

X:«nombredecreus»

a) La distribució binomial.

1 B12,— 2

p[4X7]p[X4]p[X5]p[X6]p[X7]

12 1 12 1 12 1 12 1 —12

—12

—12

—12

4 2 5 2 6 2 7 2 1 12 12 12 12

—— 212 4 5 6 7 1 3003 3003

——(495792924792)—————— 212 212 4096

0,73315

b) L’aproximació normal de la distribució binomial. 1 1 B12,—; np12—6; 2 2

√ npq

1 1√

12——√ 31,732

2 2

N(6;1,732)

p[3,5X7,5]

p[1,44Z0,87]p[Z0,87]p[Z1,44]p[Z0,87]p[Z1,44]

p[Z0,87](1p[Z1,44])0,8078(10,9251)0,80780,07490,7329

26.Es llança un dau 180 vegades. Troba la probabilitat d’obtenir el número 6 entre 29 i 32 vegades (ambdues incloses).

1 B180,—; X:«nombrede6» 6 1 np180—30; 6 6

1 5 √ npq√

180——√ 255

6 6 N(30,5)

p[28,5X32,5]p[0,3Z0,5]

p[Z0,5]p[Z0,3]

p[Z0,5]p[Z0,3]

p[Z0,5](1p[Z0,3])

0,6915(10,6179)

0,69150,38210,3094

27.Tirem enlaire 500 vegades una moneda que ha estat trucada, 2 de manera que la probabilitat d’obtenir creu és —. Calcula 5 la probabilitat que el nombre de cares no difereixi de 300:

3 X:«nombredecares» → B500,— 5



3 np500—300; 5

3 2√ npq√

500——

5 5

√ 12010,95

N(300;10,95)

a) En més de 10 tirades.

p[289,5X310,5]

p[0,96Z0,96]

2(p[Z0,96]0,5)

2(0,83150,5)20,33150,663

b) En més de 20 tirades.

p[279,5X320,5]

p[1,87Z1,87]

2(p[Z1,87]0,5)

2(0,96930,5)20,46930,9386

28.Quan llancem 120 vegades un dau normal, quina és la probabilitat que la cara 4 surti exactament 24 vegades? I que surti 14 vegades com a màxim?

1 X:«nombrede4» → B120,— 6 1 np120—20; 6

1 5 600 √ npq √

120——√

——

6 6 36 5

—√ 64,08 3 N(20;4,08)

p[23,5X24,5]p[0,86Z1,1]p[Z1,1]p[Z0,86]0,86430,80510,0592

p[X14,5]p[Z 1,35]p[Z1,35] 1 p[Z1,35]

10,91150,0885

29.Troba la probabilitat d’obtenir més de 36 vegades el número 6 en 50 tirades d’un parell de daus no trucats.

11 X:«nombrede6» → B50,—— 36 11 np50——15,27

(

; 36

11 25 √ npq√

50————3,26

36 36 N(15,27

(

;3,26)

p[X35,5]p[Z6,2]0

30.Es llança 2500 vegades el dau de l’exercici 11. Calcula la probabilitat d’obtenir el número 3:

1 X:«nombrede3» → B2500,— 4 1 np2500—625; 4

1 3 √ npq√

2500——21,65

4 4

N(625;21,65)

a) 400 vegades.

p[399,5X400,5]

p[10,42Z10,37]

p[10,37Z10,42]

p[Z10,42]p[Z10,37]0

b) La meitat de les vegades que es llança.

p[1249,5X1250,5]

p[28,84Z28,89]

p[Z28,89]p[Z28,84]0

c) Més de 1000 vegades.

p[X999,5]p[Z17,3]0

31.Calcula p[X 8] per a una variable que segueix una distribució 1 binomial B40, —. 5

Comparaho amb el resultat que s’obté fent ús de l’aproximació normal. És bona aquesta aproximació? Per què?

40 1 4 p[X8] —8

—32

0,15598 8 5 5

1 B40,— 5

1 np40—8; 5

1 4 √ npq√

40——2,53

5 5

N(8;2,53)

p[7,5X8,5]p[0,2Z0,2]

2(p[Z0,2]0,5)

2(0,57930,5)20,07930,1586

Totiquen30,noésmoltbonaaproximacióperquèp0,2noésunvalorpropera0,5.



32.La probabilitat que un vaporitzador d’insecticida mati un mosquit és 0,75. Si dirigim el vaporitzador contra 100 mosquits, quina és la probabilitat de matarne almenys 75? I de matarne menys de 50?

B(100;0,75); X:«nombredemosquitsmorts»

np1000,7575;

√ npq√ 1000,750,25 √ 18,754,33

N(75;4,33)

p[X74,5]p[Z0,12]

p[Z0,12]0,5478

p[X50,5]p[Z5,66]0

Puntfinal

1Llancem una moneda p q — 200 vegades (n 200) i 2definim la variable X: «nombre de cares».

1X:«nombredecares» → B200,— 2 1np200—100 2

1 1√ npq√

200——7,07

2 2

N(100;7,07)

a) Quin serà el risc per a un interval de confiança d’amplitud 2l 20?

2l20 → l10

p[90X110]p[1,41Z1,41]2(p[Z1,41]0,5)2(0,92070,5)

20,42070,8414 →→ 10,84140,1586

d’ontenimque15,86%.

b) Si fem una predicció amb un risc del 5%, quin serà l’interval de confiança?

5% → p[100l1X100l1]

0,95peral1z1

p[X100l1]0,975

p[Zz1]0,975 →

→ z11,96 →

→ l17,071,9613,86

L’intervaldeconfiançaés:

(86,14;113,86)

c) Calcula el valor de l de l’interval de confiança per a 2,5 %.

2,5% → p[X100l2]0,9875

peral2z2

p[Zz2]0,9875 →

→ z22,24 →

→ l27,072,2415,84

Activitatsfinals 1. Troba la probabilitat d’obtenir:

a) Dos èxits mitjançant la distribució 1 B4, —. 3 X:«nombred’èxits» 4 1 2

p[X2]—2

—2

2 3 3

1 22 24 8 86———————

32 32 34 33 27 1 b) Més de tres èxits mitjançant la distribució B6, —. 2

p[X3]

p[X4]p[X5]p[X6]

6 1 6 1 6 1—6

—6

—6

4 2 5 2 6 2

1 22 11 11—6

(1561)—————— 2 26 25 32

1 c) Menys de dos fracassos mitjançant la distribució B4, —. 4

p[X2]p[X3]p[X4]

4 1 3 4 1—3

——4

3 4 4 4 4

1 3 1 12 14——————

43 4 44 44 44

13 13————

44 256

2 2.Un equip A té una probabilitat p — de guanyar un partit. 3 Si l’equip juga 6 partits, calcula la probabilitat que:

2 X:«nombredepartitsguanyats» → B6,— 3

a) Guanyi dos partits.

6 2 1p[X2]—2

—4

2 3 3 22 1 60 20 20

15———————— 32 34 36 35 243



b) Perdi més de la meitat dels partits.

p[X3]

p[X0]p[X1]p[X2]

6 1 6 2 1—6

——5

0 3 1 3 3

6 2 1—2—4

2 3 3

1 12 60 73 73—————————

36 36 36 36 729

3. Llancem 10 daus alhora. Definim la variable aleatòria X: «nombre de daus en què s’obté la cara 1». Calcula:

1 B10, — 6

a) p[X 3]

10 1 5p[X3]—3

—7

3 6 6

1 57

120——0,15505 63 67

b) p[X 7]

p[X7]p[X7]

p[X8]p[X9]p[X10]

10 1 5 10 1 5—7—3

—8—2

7 6 6 8 6 6

10 1 5 10 1—9

——10

9 6 6 10 6

0,0002480,00001860,0000008

0,000000020,0002674

c) p[X 5]

p[X5]p[X0]p[X1]

p[X2]p[X3]p[X4]

10 5 10 1 5—10

——9

0 6 1 6 6

10 1 5 10 1 5—2—8

—3—7

2 6 6 3 6 6

10 1 5—4

—6

4 6 6

0,16150560,32301120,29071

0,15504540,05426590,98454

4.Determina el nombre esperat de respostes correctes en un examen tipus test de 10 preguntes. Cada pregunta consta de 4 possibles respostes, de les quals, només una és correcta i se suposa que cada pregunta es contesta a l’atzar.

1 B10,—;perX:«nombrederespostescorrectes» 4

1 np10—2,5respostescorrectes 4

5.Se sap que un determinat medicament millora els símptomes d’una malaltia en dos de cada tres pacients. Si administrem aquest medicament a set malalts, calcula la probabilitat que:

X:«nombredepersonesquemillorenambelmedicament» → 2 → B7,— 3

a) Millorin quatre persones.

7 2 1p[X4]—4

—3

4 3 3

24 1 3524

35—————— 34 33 37

560———0,25606

2187

b) Milloren tres persones com a mínim.

p[X3]1p[X3]

1(p[X0]p[X1]

p[X2])

7 1 7 2 11—7

—

—6

0 3 1 3 3

7 2 1—2—5

2 3 3

1 (0,00045720,00640150,0384088)

10,04526750,95473

c) Millorin les set persones.

7 2p[X7]—7

0,05853 7 3

6.Estudis recents han confirmat que el 70% dels portadors del virus de la SIDA ha consumit algun tipus de droga. A la sala d’espera d’una consulta especialitzada en aquesta malaltia s’hi troben, en un cert moment, sis persones portadores del virus. Determina la probabilitat que cap de les sis persones hagi consumit drogues.

X:«nombredepersonesquehanconsumitdroga»

B(6;0,7) 6

p[X0]0,360,000729 0



7.Se sap que només el 5% de les persones que visiten un logopeda són de classe social baixa. Si a la consulta d’un logopeda hi ha cinc persones, troba la probabilitat que:

X:«nombredepersonesdeclassesocialbaixa»

B(5;0,05)

a) Cap sigui de classe social baixa.

5p[X0]0,9550,773781

0

b) Almenys dues no siguin de classe social baixa.

p[X3]1p[X3]

1(p[X4]p[X5])

5 510,0540,950,055

4 5

1 (0,00002970,0000003)

10,00003000,99997

8.Sigui X una variable aleatòria contínua que segueix una distribució normal N(, ). Determina:

3p — X 2 2

3p— X 2

2

3p—Z2

2

p[Z2]p[Z 1,5]

p[Z2]p[Z1,5]p[Z2](1p[Z1,5])

0,9772(10,9332)0,97720,0668

0,9104

9.Demostra que el 99,74% del total de l’àrea de recinte que determina la funció de densitat amb l’eix OX en una distribució normal N(, ) es troba a l’interval:

( 3, 3)

p[3X3]p[3Z3]

2(p[Z3]0,5)2(0,99870,5)

20,49870,9974 → 99,74%

10.Troba la probabilitat que una variable cotínua prengui valors compresos entre 32 i 40 en una distribució N(50, 5).

p[32X40]p[3,6Z2]

p[2Z3,6]p[Z3,6]p[Z2]

0,999840,97720,02264

11.La durada de l’embaràs de les dones segueix una distribució normal, amb una mitjana de 266 dies i una desviació tipus de 16 dies. Calcula el percentatge d’embarassos amb una durada màxima de 244 dies.

X:«duradadel’embaràsendies» → N(266,16)

p[X244]p[Z1,38]p[Z1,38]

1p[Z1,38]10,91620,0838

El8,38%d’embarassos.

12.La mitjana de pes de 500 persones és 70 kg i la desviació típica, 3 kg. Suposant que el pes es distribueixen normalment, determina el nombre de persones que pesa:

X:«pesenkg» → N(70,3)

a) Entre 60 i 75 kg.

p[60X75]p[3,33Z1,67]

p[Z1,67]p[Z3,33]

p[Z1,67]p[Z3,33]

p[Z1,67](1p[Z3,33])

0,9525(10,99957)

0,95250,000430,95207

5000,95207476personespesenentre60i75kg.

b) Més de 90 kg.

p[X90]p[Z6,67]0

50000 → cappersonapesamésde90kg.

c) Menys de 64 kg.

p[X64]p[Z 2]p[Z2]

1p[Z2]10,97720,0228

5000,022811personespesenmenysde64kg.

13.La nota mitjana de les proves d’accés a una facultat va ser de 5,8 amb una desviació típica d’1,75. Si van ser admesos tots els estudiants amb una nota superior a 6 i considerant que la distribució és normal:

X:«notes» → N(5,8;1,75)

a) Quin va ser el percentatge d’estudiants admesos?

p[X6]p[Z0,11]

1p[Z0,11]

10,54380,4562 → 45,62%

b) Quina és la probabilitat que exactament quatre de cada deu estudiants fossin admesos?

B(10;0,4562);Y:«nombred’estudiantsadmesos»

10p[Y4]0,456240,54386

4

0,23522

c) Si haguessin admès el 55% dels estudiants, quina hauria estat la nota de tall en aquesta facultat?

p[Xx]0,55 → p[Zz]0,55 →→ p[Zz]0,55 → z0,13

z 0,13 → xz

1,75(0,13)5,85,57



14.La data de caducitat d’un medicament és el 31 de desembre d’un determinat any. Sabem que, després d’aquesta data, l’efectivitat del medicament segueix una distribució normal la mitjana de la qual és de 300 dies i la desviació típica, de 100 dies.

X:«diesquepassendeladatadecaducitat» → N(300,100)

a) Calcula la probabilitat que no sigui efectiu el 31 de desembre de l’any següent.

p[X365]p[Z0,65]0,7422

b) Quin dia s’haurà de consumir si volem tenir un 80% de probabilitat que sigui efectiu?

p[Xx]0,8 → p[Zz]0,8 →

→ p[Zz]0,8 → z0,84

z 0,84 → xz

100(0,84)300216dies

216diesdesprésdeladatadecaducitat.

15.En un estadi esportiu es volen instal.lar focus per il.luminar el terreny de joc. El temps de funcionament dels focus segueix una distribució normal, amb una mitjana de 40 hores i una desviació típica de 4 hores.

X:«tempsdefuncionamentdelsfocusenhores» → N(40,4)

a) Si escollim un focus a l’atzar, quina és la probabilitat que il.lumini un mínim de 30 hores?

p[X30]p[Z 2,5]

p[Z2,5]0,9938

b) Si es compren 1500 focus, quants podem esperar que funcionin 30 hores com a mínim?

15000,99381490,71491focus

16.Per aprovar unes oposicions es necessita obtenir en una prova 100 punts com a mínim. Sabem que la distribució dels punts obtinguts és normal, amb una mitjana de 110 punts i una desviació típica de 15 punts.

X:«nombredepuntsobtinguts» → N(110,15)

a) Quina és la probabilitat que aprovi un opositor?

p[X100]p[Z0,67]

p[Z0,67]0,7486

b) Si es presenten 1000 opositors i només es disposa de 300 places, quants punts s’hauran d’aconseguir per guanyar una d’aquestes places?

p[Xx]0,3 → p[Zz]0,3 →→ p[Zz]0,7 → z0,52

x z

150,52110117,8punts

17.El percentatge d’espanyols amb estudis mitjans és del 35%. Si triem vuit persones a l’atzar, calcula la probabilitat que entre 3 i 5 (ambdós inclosos) tinguin estudis mitjans, aplicant:

X:«nombred’espanyolsquetenenestudismitjans»

a) La distribució binomial.

B(8;0,35)

p[3X5]

p[X3]p[X4]p[X5]

8 8 80,3530,6550,3540,6540,3550,653

3 4 5

0,27858580,18750970,08077340,5468689

b) L’aproximació normal a la binomial.

np80,352,8

√ npq√ 80,350,651,35

B(8;0,35) → N(2,8;1,35)

p[2,5X5,5]p[0,22Z2]p[Z2]p[Z0,22]p[Z2]p[Z0,22]

p[Z2](1p[Z0,22])0,9772(10,5871)0,97720,41290,5643

18.El nombre de fulls que empaqueta una màquina segueix una distribució normal, amb una mitjana de 1000 fulls i una desviació típica de 10 fulls. Un paquet de fulls s’accepta si en té entre 995 i 1005. Es demana:

X:«nombredefulls» → N(1000,10)

a) La probabilitat que un paquet sigui acceptat.

p[995X1005]p[0,5Z0,5]2(p[Z0,5]0,5)

2(0,69150,5)20,19150,383

b) La probabilitat que exactament dos paquets de cada deu siguin acceptats.

B(10;0,383);Y:«nombredepaquetsacceptats»

10p[Y2]0,38320,6178

20,13864

c) Si el 65% dels paquets té més d’un determinat nombre de fulls, quants fulls té cadascun d’aquests paquets?

p[Xx]0,65 → p[Zz]0,65 →→ p[Z z]0,65 → z0,39

z 0,39 → xz10(0,39)1000996fulls



19.Es llança 100 vegades un dau. Calcula la probabilitat d’obtenir el número 5:

X:«nombredevegadesquesurtel5»

1 B100,— 6

1 np100—16,6

(

6

1 5 √ npq√

100——3,73 6

6 6

N(16,6

(

;3,73)

a) Menys de 18 vegades.

p[X18,5]p[Z0,49]0,6879

b) Més de 14 vegades.

p[X13,5]p[Z0,85]

p[Z0,85]0,8023

c) Exactament 20 vegades.

p[19,5X20,5]

p[0,76Z1,03]

p[Z1,03]p[Z0,76]

0,84850,77640,0721

20.El temps que es necessita perquè una ambulància arribi a l’hora a un hospital es distribueix normalment amb una mitjana de 12 minuts i una desviació típica de 3 minuts.

X:«tempsquenecessital’ambulància» → N(12,3)

a) Determina la probabilitat que el temps que trigui a arribar es trobi entre 10 i 19 minuts.

p[10X19]p[0,67Z2,33]

p[Z2,33]p[Z0,67]

p[Z2,33]p[Z0,67]

p[Z2,33](1p[Z0,67])

0,9901(10,7486)

0,99010,25140,7387

b) Calcula el temps en minuts per al qual la probabilitat que l’ambulància es retardi sigui del 15%.

p[Xx]0,15 → p[Zz]0,15 →→ p[Zz]0,85 → z1,04

z 1,04 → xz

3(1,04)128,88minuts

21.La mitjana del pes dels habitants d’una ciutat és de 65 kg, amb una desviació típica de 5 kg. Suposant una distribució normal dels pesos, és zero la probabilitat que en escollir una persona a l’atzar pesi més de 100 kg? Justifica’n la resposta.

X:«pesenkg» → N(65,5)

p[X100]p[Z7]0.Sí,észero.

22.Se sap que les notes d’un determinat examen segueixen una distribució normal. El 17,5% dels alumnes que s’han examinat ha obtingut una nota que supera els 7 punts, mentre que la nota del 15,7% no arriba als 5 punts. Calcula:

X:«notes» → N(,)

p[X7]0,175

p[X5]0,157

a) La nota mitjana de l’examen.

p[Zz1]0,175 →→ p[Zz1]0,825 → z10,93

p[Zz2]0,157 →→ p[Z z2]0,843 →

→ z21,01 → z2 1,01

7 0,93——— d’ons’obté: 5 1,01——— 6

7 ——— 0,93 7 5 —————— → 6,04 0,93 1,01 5 ——— 6 1,01

b) El percentatge d’alumnes que van obtenir una nota compresa entre 5 i 7 punts.

p[5X7]p[X7]p[X5]

1p[X7]p[X5]

10,1750,1570,668

23.Llancem una moneda 50 vegades. Troba la probabilitat que el nombre de cares que obtinguem es trobi entre 12 i 16 (ambdues incloses). Utilitza:

X:«nombredecares»

a) La distribució binomial corresponent.

1 B50,— 2



p[12X16]

p[X12]p[X13]p[X14]p[X15]p[X16]

50 1 50 1—50

—50

12 2 13 2

50 1 50 1 50 1—50

—50

—50

14 2 15 2 16 2

0,00763

b) L’aproximació normal a la binomial.

1 np50—25 2

1 1 √ npq√

50——3,54

2 2

N(25;3,54)

p[11,5X16,5]

p[3,81Z2,4]

p[2,4Z3,81]

p[Z3,81]p[Z2,4]

0,999930,99180,00813

24.Suposem una distribució normal N(50, ) en què p[X 70] 0,0228. Determina el valor de i calcula p[X 45].

p[X70]0,0228

p[Zz]0,0228 → p[Zz]0,9772 →→ z2

7050 70502———— → ————10

2

N(50,10)

p[X45]p[Z0,5]p[Z0,5]

1p[Z0,5]10,69150,3085

25.Dues variables aleatòries contínues X i Y segueixen una distribució normal la mitjana de la qual és zero. A més, p[X 2] p[Y 3] 0,1587. Calcula’n les variàncies corresponents.

0enambdues.

p[X2]0,1587

p[Zz]0,1587 → p[Zz]0,8413 →→ z1

p[Y3]0,1587

21— → 12 →

1

24,delavariableX 1

31— → 23 →

2

29,delavariableY 2

Avaluació

1. Quina diferència hi ha entre variable estadística i variable aleatòria? Quines condicions ha de complir una distribució perquè segueixi el model binomial?

Respostaoberta.

2. Tenim una moneda trucada de manera que la probabilitat de treure cara és quatre vegades la de treure creu. Tirem 6 vegades la moneda. Calcula la probabilitat de:

a) Treure dues vegades creu.

b) Treure com a màxim dues vegades creu.

a)p[x2]0,24576

b)p[x≤2]0,90112

3. De 1 000 mesures de talles se’n va obtenir una mitjana de 165 cm i una desviació típica de 8 cm. Se suposa que la distribució és normal i es demana:

a) Quantes mesures són més petites de 157 cm?

b) Quantes estan entre 167 i 181 cm?

a)1000·p[x≤157]1000·0,1587 ≈ 159

b)1000·p[167≤x≤181]1000·0,3785378

4. En un gran estadi esportiu es volen instal·lar focus per il·luminar el camp de joc. El subministrador assegura que el temps de vida dels focus segueix, aproximadament, una distribució normal amb mitjana de 40 h i desviació tipus de 4 h.

a) Escollim un focus a l’atzar. Quina és la probabilitat que duri com a mínim 30 h?

b) Si es compren 1 500 focus, quants es pot esperar que durin com a mínim 30 h?

c) Si es comprova que només 1 400 focus dels 1 500 comprats duren més de 30 h, és cert el que assegura el subministrador?

a)p[x≥30]0,9938

b) 1500 · 0,9938 1490,7. És a dir, aproximadament 1491focus.

c)Elpercentatgedefocusquenofuncionendesprèsde30hés

14000,9333

1500= .

Busquem a les taules de la normal quantes hores de vidatindriaunabombetaambaquestaprobabilitat

p[z≥–zo]p[z≤zo]0,9333 → zo1,50 →

→ 301,5

4X− = − → X 36hores.Pertant,lamitjanaés

de36horesdeduradainode40horescomdiuelfabricant.


Documents

Matemàtiques 1 Mc Graw Hill