Embed Size (px)
Citation preview
Matematikte Resimle İspat
ÜnalUfuktepe
İzmir Ekonomi Üniversitesi
“Bir resim bin kelimeye bedeldir” İngiliz Atasözü
(A picture is worth more than a thousand words)
P. Halmos: “S. Lefshets, matematiği mantık olarak değil, resim olarak görürdü.”
G. Polya: “Bir resim çiz . . . ``
A. Einstein, H. Poincaré: . . . Hayal gücü . . .
J. Venn , H. Hasse : . . . Diyagramlar . . .
“. . . Görmek . . .” = “. . . Anlamak . . .”
Resimle ispat da mantıksal ve matematiksel temele dayandırılmalıdır.
Bazen, salt resim yanıltıcı olabilir.
1. Casselman, B., Pictures and Proofs, Notices , Amer. Math. Soc. , Vol. 47, No. 10, 2000, 1257-1266.
2. Dubnov, J. S., Geometrik İspatlarda Hatalar (Çeviren: A. Nazmi İlker) , Türk Matematik Derneği Yayınları, No. 5, İstanbul , 1962.
3. Nelsen, R. B., Proofs Without Words, The Mathematical Association of America, Washington, 1993.
Geometride Resimle İspat Örnekleri
Pisagor Teoremi (M.Ö. 570)
a
c
ba2 + b2 = c2
ab
c
ab
c
Öklid’in ispatı(M.Ö. 295) . .
a2 + b2
c2
a2 + b2 = c2
Chou pei suan ching’in ispatı(M.Ö. 200 ?):
a2 + b2 = c2
ba
ab
c b2
a2
c2
a2
b2
c2
c
b a
2
2
44
5
5 11
3
3
a2 + b2 = c2
c2
b2
a2
Bhaskara’nın ispatı(12. Yüzyıl) . .
20. Amerikan başkanı James A. Garfield’in ispatı(1876) . .
ac
b
Alan = 2.(1/2) ab + (1/2). c2
= (1/2).(a+b)2
a2 + b2 = c2
a
bc
Dairenin Kareye Dönüşümü
A
B.
A
B...
r
π r
r
a
π r . r = a2
Aritmetikte Resimle İspat Örnekleri
1+2+3+ . . . +98+99+100 = ?
1
2
3
...
98
99
+100
x
+ 100
+99
+98
...
+3
+2
+1
x
. . . . . . 101
. . . . . . 101
. . . . . . 101
...
. . . . . . 101
. . . . . . 101
. . . . . + 101
100 ⋅ 101
x = 1+2+3+ . . . +98+99+100 = (1/2) ⋅ 100 ⋅ 101 = 5050
C. F. Gauss
1
2
3
...
n-2
n-1
n
x
+ n
+ n-1
+ n-2
...
+ 3
+ 2
+ 1
x
. . . . . n+1
. . . . . n+1
. . . . . n+1
. . . . .
. . . . . n+1
. . . . . n+1
+ . . . . . n+1 n . (n+ 1)
x = 1+2+3+ . . . +n = (1/2). n .(n+ 1)
C. F. Gauss
Resim Bunun Neresinde? . . .
1
2
3
n-1
n
1 2 3 n-1 n n+1
x = 1+2+3+ . . . +n = (1/2). n.(n+1)
Bu ispatın eski Yunan’da bilindiği söylenir...
n.(1/2)
Aynı Sonuç İçin Başka Bir Resim:
1
2
3
n-1
n
1+2+3+ . . . +n
= (1/2).n.(n+1)
= (n2/2) + n.(1/2)
(n2/2)
Tek sayıların toplamı ...
1+3+5+7+ . . . +(2n-1) = ?
1 3 5 2n-1
1 2 3 n
1+3+5+7+ . . . +(2n-1) = n2
1
2
3
n-1
n
Nicomachus (M.Ö. 100)
Aynı sonuç için başka bir resim . . .
1 2 3 2n 1
2
3
2n
(2n)2 tane küçük kare
1+3+5+7+ . . . +(2n-1) = (1/4).(2n)2=n2
Kareye Tamamlama
x2+2ax = (x+a)2 – a2
x2
2ax+ =
x2
ax+
ax
=
x
a
(x+a)2 – a2x2+2ax =
Aritmetik Geometrik Ortalama Eşitsizliği
2baab +≤
a b
ab2ba +
Yanıltıcı Resimler . . .
Kırmızı doğru parçalarından hangisi daha uzundur?
Çapları birer birim artarak büyüyen çemberler... Boyalı alanlardan hangisi daha büyük?
π 9/4 π [(25/4) - 4]
Kenar uzunluğu 21 cm olan bir kareyi aşağıdaki gibi parçalara ayıralım:
C
B D
A
8
13
8
13
13
8
C
BA
D
CBA
D
C
B D
A
8
13
8
13
13
8
13
13 21
21×21 = 441 13×34 = 442
Leonardo Davinci’nin İspatı (1452-1519) . .
ab
c
ab
c
ab
cA
C`
B`A`
G
F
E
DC
B
C
B
B`
C`
A`
A
C`
D
E
CBB`C`+CAA`C`= c2 +2ABC
ABED + FGDE = a2 + b2 + 2ABC a2 + b2 = c2
b
Perigal(1873) . .
a
b2
a2 ac
b
a
c
a2 + b2 = c2
c2
Bir Cebir Formülü Daha ..
(a+b)2 – (a-b)2 = 4ab a+b
a-b
a+b
a-b
b
a
Başka Bir Cebir Formülü:
b
a
+a a-b
(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2 +b2 )
= +a-ba
b
b
(a+b)2 + (a-b)2 2(a2 +b2 ) =
b
Geometrik Dizinin Toplamı1+r+r2+r3 + . . . +rn + . . . = ?
1
1
(1/r)-1
r r2 r3
1-rr
1-r(1/r) =1+r+r2+r3 + . . . +rn + . . .
r
11+r+r2+r3 + . . . +rn + . . . = 1-r
