Embed Size (px)
Citation preview
OPTOPTİİMMİİZASYONZASYON
İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan
seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını
maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir
bireyin toplam faydasını maksimize edecek tüketim
miktarlarının belirlenmesi; belirli üretim kısıtı altında toplam
maliyetin minimize edilmesi gibi çok sayıda minimizasyon ya da
maksimizasyon seçenekleri birer optimal seçimdir.
Maksimizasyon ve minimizasyon durumlarına genel olarak
uçdeğer diyoruz.
22
Biz bu konu başlığı altında yalnızca kısıtsız optimizasyon
durumlarını inceliyoruz.
Bir optimizasyon probleminde yapılacak ilk iş, amaç
fonksiyonunun belirlenmesidir. Bundan sonraki aşamada,
amacımızı (bir maksimizasyon ya da minimizasyon)
gerçekleştirecek olan değerler bulunur.
33
44Örneğin bir firmanın toplam kârını maksimize etmek istediğini
varsayalım. Bu durumda amaç fonksiyonu şöyle oluşacaktır.
( ) ( ) ( )Q TR Q TC Qπ = −
Burada amacımız, kârı (π) maksimize eden üretim miktarının
(Q) belirlenmesidir. İlk olarak optimizasyon konusuna salt
matematiksel açıdan bakalım ve ardından iktisadi uygulamaları
yapalım. y=f(x) fonksiyonuna ilişkin bazı şekiller aşağıda yer
almaktadır.
Şekil 4.1a’da sabit bir fonksiyon vardır. Fonksiyonun üzerinde
farklı x değerlerine karşılık yer alan tüm y değerleri aynı
olduğundan, bu değerleri bir optimal olarak öne süremeyiz.
Şekil 4.1b’de D noktası bir mutlak minimumdur. Fonksiyon
monotonik artan olduğundan, bir maksimuma sahip değildir.
Şekil 4.1c’de ise fonksiyonun bir maksimumu (E noktası) bir de
minimumu (F noktası), yani iki uç değeri vardır.
55
66
ŞŞekil 4.1. Uekil 4.1. Uççdedeğğer Noktalarer Noktalarıınnıın Belirlenmesin Belirlenmesi
y
x0
y
x0
y
x0
•
•
E
F
• • •AB C
•D
( )a ( )b ( )c
77GGööreli Ureli Uççdedeğğer er İİççin Birinci Tin Birinci Tüürev Srev Sıınamasnamasıı
Üzerinde çalışacağımız y=f(x) fonksiyonunun, sürekli ve
türevlenebilir olduğunu varsayıyoruz. Öyle ki, bazı durumlarda
fonksiyonun birinci türevinin alınamadığı bir noktada bir
uçdeğer söz konusu olabilir. Örneğin aşağıdaki Şekil 4.2a’da A
ve B noktaları birer uçdeğer olmakla birlikte, bu noktada
fonksiyonun tanımlı türevi yoktur. Şekil 4.2b’de ise C ve D
noktalarında birer uçdeğer vardır ve bunu birinci ve ikinci türev
sınamalarıyla anlayabiliriz.
88ŞŞekil 4.2. Gekil 4.2. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesierlerin Belirlenmesi
y
x0
( )a
y
x0
•
•
A
B •
•
C
D
( )b
y=f(x) fonksiyonunun birinci türevi x=x0 noktasında sıfıra eşitse
ve;
1. Türevin işareti, x0 ’ın solundan sağına giderken pozitiften
negatife doğru işaret değiştiriyorsa göreli maksimum.
2. Türevin işareti, x0 ’ın solundan sağına giderken negatiften
pozitife doğru işaret değiştiriyorsa göreli minimum
3. Türevin işareti, x0 ’ın solundan sağına giderken değişmiyorsa
ne göreli maksimum ne de göreli minimum vardır.
99
f´(x)=0 eşitliğini sağlayan x0 değerine kritik dekritik değğerer, f(x0) değerine
de durgunluk dedurgunluk değğerieri diyoruz. Bu anlamda, Şekil 4.2b’de yer
alan C ve D noktaları, birer durgunluk değerine sahiptir.
Ancak tüm durgunluk noktaları, bir uç değer anlamına gelmez.
Şekil 4.3a ve b’de birer durgunluk noktası olmasına rağmen, bir
göreli uçdeğer yoktur. Buna karşın Şekil 4.3c ve d’deki
durgunluk noktalarında sırasıyla bir minimum ve maksimum
vardır.
1010
1111ŞŞekil 4.3. Gekil 4.3. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesierlerin Belirlenmesi
y
x0
y
x0
y
x0
•A( )a
•D
y
x0
•B
•C
•D
0x 0x
0x 0x
( )b
( )c ( )d
ÖÖrnek 1:rnek 1:
fonksiyonunun göreli uçdeğer-
lerini bulalım.
3 2( ) 12 36 8y f x x x x= = − + +
1212
}
( ) ( )
( ) ( )
2
*2 1
*2
*1
*2
( ) 3 24 36 0
28 12 0
6
2 2 40 , 2 0
6 6 8 , 6 0
dy f x x xdx
xx x
x
x f f
x f f
′= = − + =
=− + =
=
′= → = =
′= → = =
1313
( ) ( )
( ) ( )
2 0 2 0
6 0 6 0
x f x ve x f x
x f x ve x f x
′ ′< → > > → <
′ ′< → < > → >
1414ŞŞekil 4.4. Gekil 4.4. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 1)rnek 1)
-2 2 4 6 8 10
-40
-20
20
40
60
80 3 2( ) 12 36 8y f x x x x= = − + +
y
x
•
•
1515ÖÖrnek 2:rnek 2:
ortalama maliyet fonksiyonunun
göreli uçdeğerlerini bulalım.
2( ) 5 8AC AC Q Q Q= = − +
( )
2
* *
( ) 5 8
( ) 2 5 0 2.5 , 1.75
2.5 ( ) 0 2.5 ( ) 0
AC AC Q Q Q
dAC AC Q Q Q AC QdQ
Q AC Q ve Q AC Q
= = − +
′= = − = → = =
′ ′< → < > → >
1616ŞŞekil 4.5. Gekil 4.5. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 2)rnek 2)
2 4 6 8 10
10
20
30
40
50
2( ) 5 8AC AC Q Q Q= = − +AC
Q•* 2.5Q =
1717ÖÖrnek 3:rnek 3:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3
2 *1,2
* *1 2
3 5
3 3 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1'de maksimum , 1'de minimum
y f x x x
f x x x
x f x ve x f x
x f x ve x f x
x x
= = − +
′ = − = → =
′ ′< − → > > > − → <
′ ′− < < → < > → >
= − =
∓
1818ŞŞekil 4.6. Gekil 4.6. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 3)rnek 3)
-4 -2 2 4
-2.5
2.5
5
7.5
10
12.5 ( ) 3 3 5y f x x x= = − +y
x
•
•
1919ÖÖrnek 4:rnek 4:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
*1,22
* *1 2
1 , 0
11 0 1
1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
1'de maksimum , 1'de minimum
y f x x xx
f x xx
x f x ve x f x
x f x ve x f x
x x
= = + ≠
′ = − = → =
′ ′< − → > > > − → <
′ ′− < < → < > → >
= − =
∓
2020
( ) 1 , 0y f x x xx
= = + ≠
y
x•
•
ŞŞekil 4.7. Gekil 4.7. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 4)rnek 4)
-4 -2 2 4
-15
-10
-5
5
10
15
2121İİkinci ve Daha Ykinci ve Daha Yüüksek Tksek Tüürevlerrevler
( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
2
2
12
12 3
3 , ..........,
n
n nn
n
y f x
dy f xdx
dydd ydx f x
dx dx
d yd y dddx dxd y d yf x f xdx dxdx dx
−
−
=
′=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ′′= =
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠′′′= = = =
2222ÖÖrnek 5:rnek 5:
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
3
4
54
, 11
1 1 11 1
2 1
6 1
24 1
xy f x xx
x xf x x
x x
f x x
f x x
f x x
−
−
−
−
= = ≠ −+
+ −′ = = = +
+ +
′′ = − +
′′′ = +
= − +
2323
Bir Fonksiyonda Birinci ve Bir Fonksiyonda Birinci ve İİkinci Tkinci Tüürevlerin revlerin
TanTanıımlanmasmlanmasıı
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
noktasında : 0 , 0
noktasında : 0 , 0
noktasında : 0 , 0
A f x f x
B f x f x
C f x f x
′ ′′> <
′ ′′= <
′ ′′< <
2424
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
noktasında : 0 , 0
noktasında : 0 , 0
noktasında : 0 , 0
D f x f x
E f x f x
F f x f x
′ ′′< >
′ ′′= >
′ ′′> >
2525ŞŞekil 4.8. Gekil 4.8. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesine erlerin Belirlenmesine Birinci ve Birinci ve İİkinci Tkinci Tüürev Yaklarev Yaklaşışımlarmlarıı
y
x0
A
y
x0
•
••
•
• •
B
C D
E
F( )( )
0
0
f x
f x
′ >
′′ <
( )( )
0
0
f x
f x
′ =
′′ <
( )( )
0
0
f x
f x
′ <
′′ <
( )( )
0
0
f x
f x
′ =
′′ >
( )( )
0
0
f x
f x
′ <
′′ >
( )( )
0
0
f x
f x
′ >
′′ >
( )a ( )b
2626ŞŞekil 4.9. Gekil 4.9. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesine erlerin Belirlenmesine Birinci ve Birinci ve İİkinci Tkinci Tüürev Yaklarev Yaklaşışımlarmlarıı
y
x0
y
x0
•K
•L
•M
( )( )
0
0
f x
f x
′ <
′′ >
( )( )
0
0
f x
f x
′ =
′′ =
( )( )
0
0
f x
f x
′ <
′′ <
•R
•P•N ( )
( )0
0
f x
f x
′ >
′′ <
( )( )
0
0
f x
f x
′ =
′′ =
( )( )
0
0
f x
f x
′ >
′′ >
( )a ( )b
GGööreli Ureli Uççdedeğğer er İİççin in İİkinci Tkinci Tüürev Srev Sıınamasnamasıı
Bir fonksiyonunun birinci türevi x=x0 noktasında sıfıra
eşitse ve;
( )y f x=
2727
( )
( )
0
0
maksimum
mini
0 göreli
mu0 görel mi
f x
f x
′′ < ⇒
′′ > ⇒
2828ÖÖrnek 6:rnek 6:
( )
( )
( ) ( )
( )
2
0
0
0 0
4
18 1 08
8 0
1 1, 'da minimum var.8 16
1.
2.
y f x x x
f x x x
f x f x
x f x
= = −
′ = − = → =
′′ ′′= = >
= =
2929ŞŞekil 4.10. Gekil 4.10. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 6)rnek 6)
-3 -2 -1 1 2 3
10
20
30 ( ) 24y f x x x= = −
y
x
3030ÖÖrnek 7:rnek 7:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3 2
2 * *1 2
* *1 2
* *1 1
* *2 2
3 2
3 6 0 0 , 2
6 6
0 6 0 , 2 6 0
0 , 0 2 'de maksimum var.
2 , 2 2 'de minimum var.
1.
2.
y f x x x
f x x x x x
f x x
f x f x
x f x
x f x
= = − +
′ = − = → = =
′′ = −
′′ ′′= = − < = = >
= = =
= = = −
3131ŞŞekil 4.11. Gekil 4.11. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 7)rnek 7)
-4 -2 2 4
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
( ) 3 23 2y f x x x= = − +
y
x
•
•
3232ÖÖrnek 8:rnek 8:
( )
( ) ( )
( )
3 2
2
5 20 10
3 10 20 0 reel kök yok
Ne maksimum nede minimum vard
1.
2.
ır.
106 10 0 1.676
y f x x x x
f x x x
f x x x
= = − + +
′ = − + =
′′ = − = → = =
x=1.67’de bir dönüm noktası vardır.
3333ŞŞekil 4.12. Gekil 4.12. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 8)rnek 8)
y
x
• Dönüm Noktası
-2 2 4 6
-50
50
100
150
3434İİktisadi ktisadi ÖÖrneklerrnekler
KKââr Maksimizasyonu Kor Maksimizasyonu Koşşullarullarıı
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1.
,
0
TR TR Q TC TC Q
Q TR Q TC Q
d Q TR Q TC QdQ
TR Q TC Q MR Q MC Q
= =
π = π = −
π ′ ′ ′= π = − =
′ ′= → =
3535
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
22. 0d Q TR Q TC QdQ
TR Q TC Q MR Q MC Q
π ′′ ′′ ′′= π = − <
′′ ′′ ′ ′< → <
3636ŞŞekil 4.13. Tam Rekabette Kekil 4.13. Tam Rekabette Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu
•
•TR
TCTRTC
Q1Q 2Q *Q 4Q
TFC
0
A
B
3737ŞŞekil 4.14. Kekil 4.14. Kââr Fonksiyonu ve Maksimizasyonr Fonksiyonu ve Maksimizasyon
•
π
Q1Q 2Q *Q 4Q0 • •
•
•
( )Qπ
3838ŞŞekil 4.15. Kekil 4.15. Kââr Maksimizasyonu: r Maksimizasyonu: MCMC==MRMR
Q1Q *Q0
MC
MR• •
P
P AR MR= = 1E *E
3939KKââr Maksimizasyonuna Sayr Maksimizasyonuna Sayıısal sal ÖÖrnek: Tekelci Piyasarnek: Tekelci Piyasa
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
3 2
2 3 2
3 2
1000 2
59 1315 2000
1000 2 59 1315 2000
57 315 2000
TR TR Q Q Q
TC TC Q Q Q Q
Q TR Q TC Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q
= = −
= = − + +
π = π = −
π = − − − + +
π = − + − −
4040
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 2
2 * *1 2
* *1 1
* *2 2
* *2 2
57 315 2000
3 114 315 0 3 , 35
6 114
3 6 114 96 0
35 6 114 96 0
35 , 13925 'demaksimizasyon var.
Q Q Q Q
Q Q Q Q Q
Q Q
Q Q
Q Q
Q Q
π = − + − −
′π = − + − = → = =
′′π = − +
′′π = = − + = >
′′π = = − + = − <
= π =
4141ŞŞekil 4.16a. Tekelde Kekil 4.16a. Tekelde Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu
10 20 30 40 50 60
20000
40000
60000
80000
( ) 21000 2TR Q Q Q= −
( ) 3 259 1315 2000TC Q Q Q Q= − + +
•
•
35Q
•
•
,TR TC
A
B
E
E ′
4242ŞŞekil 4.16b. Tekelde Kekil 4.16b. Tekelde Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu
10 20 30 40 50 60
-30000
-20000
-10000
10000
( ) 3 257 315 2000Q Q Q Qπ = − + − −
π
Q
•
35
13925E
4343ŞŞekil 4.16c. Tekelde Kekil 4.16c. Tekelde Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu
10 20 30 40 50 60
500
1000
1500
2000
••
353Q
MR
MC
*E
P
1E
SatSatışış Vergisi HasVergisi Hasıılatlatıınnıın Maksimizasyonun Maksimizasyonu
Bir tekelci piyasada devletin t ölçüsünde bir satış vergisi
uyguladığını varsayalım. Verginin ölçüsü ne olmalıdır ki,
devletin bu piyasadan toplayacağı satış hasılatı maksimize
olsun?
4444
( )
( )
2
2
, , 0
, , , 0
TR TR Q Q Q
TC TC Q aQ bQ c a b c
= = β − α α β >
= = + + >
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
* * 2
* 2
*
2 2
2
TC TC Q aQ bQ c tQ
TC Q aQ b t Q c
Q TR Q TC Q
Q Q Q aQ b t Q c
Q a Q b t Q c
= = + + +
= + + +
π = π = −
π = −α + β − + + +
π = − α + + β − − −
4545
4646
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
*
2*
*
2
2
2 02
2 0
2
2 02 2
1 0
b tQ a Q b t Qa
Q a
t bt tT tQa
dT b t btdt a
d Tadt
β − −′π = − α + + β − − = → =α +
′′π = − α + <
β − −= =
α +
β − − β −= = → =
α +
= − <α +
4747KKüübik Toplam Maliyet Fonksiyonunun bik Toplam Maliyet Fonksiyonunun İİncelenmesincelenmesi
( )
( ) ( )
3 2
2
Tüm değerleri için:
3
0
0
2 0 U
olmalıdır.
TC TC Q aQ bQ cQ d
Q
MC Q aQ bQ c biçimli eğri
d TFC
a
= = + + +
= +
>
+ >
= >
4848
( ) ( )
2
2
*
22* *
min
2
min
MC'nin minimum değeri:
6 2 0 03
3 2 3 23
0
3 0 0
,
3
3 03
, 0 , 0 , 3 0
dMC baQ b QdQ a
b bMC a Q b Q c a b c
b
ac
a a
ac bM b c
a c d
C
b ac
a
b
<
−
= + = → = − > →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−= > →
>
→> >
< − >
4949ŞŞekil 4.17. Toplam Maliyet Fonksiyonuekil 4.17. Toplam Maliyet Fonksiyonu
TC
Q
TFC
0
( ) 3 2
2, , 0 , 0 , 3 0a
TC TC Q a
c d b a
Q
b
Q c
c
b Q d
> <
= +
−
= +
>
+
5050ÇÇeeşşitli Fonksiyonlaritli Fonksiyonlarıın n İİncelenmesincelenmesi
ÖÖrnek 9:rnek 9:
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
2
3
3 3
2 1,1 2 2
2 01 2
8 01 2
1 11 2 0 1 2 02 2
xy f x xx
f xx
f xx
x x ve x x
= = ≠−
′ = >−
′′ = >−
− > → < − < → >
5151
( )
1 12 2
2 2lim , lim1 2 1 2
12
2 2lim 1 , lim 11 2 1 2
1
x x
x x
x xx x
x düşey asimptot
x xx x
f x yatay asimptot
− +→ →
→−∞ →∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +∞ = −∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= −
5252ŞŞekil 4.18. Fonksiyon Analizi (ekil 4.18. Fonksiyon Analizi (ÖÖrnek 9)rnek 9)
-4 -2 2 4
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5( ) 2
1 2
12
xy f xx
x
= =−
≠
5353ÖÖrnek 10:rnek 10:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3
2 2
3 3
3 0 , 3 0 0, 0
6
0 0 ; 0 0
lim , limx x
y f x x
f x x f x x x y
f x x
x f x x f x
x x→−∞ →∞
= =
′ ′= > = = → = =
′′ =
′′ ′′> → > < → <
= −∞ = ∞
5454ŞŞekil 4.19. Fonksiyon Analizi (ekil 4.19. Fonksiyon Analizi (ÖÖrnek 10)rnek 10)
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
3y x=
5555ÖÖrnek 11:rnek 11:
( )
( )
( ) } ( )( )
3
4
5
3 3
3 30 0
1 , 0
3 0 , durgunluk değeri yok.
0 012
0 0
1 1lim 0 , lim 0
1 1lim , lim
x x
x x
y f x xx
f x x
x f xf x x
x f x
x x
x x− +
−
−
→−∞ →∞
→ →
= = ≠
′ = − <
′′> → >′′ =
′′< → <
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −∞ = ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5656ŞŞekil 4.20. Fonksiyon Analizi (ekil 4.20. Fonksiyon Analizi (ÖÖrnek 11)rnek 11)
-4 -2 2 4
-150
-100
-50
50
100
150
( ) 3
1 , 0y f x xx
= = ≠
5757Kuvvet Serileri ve UKuvvet Serileri ve Uççdedeğğerin Belirlenmesierin Belirlenmesi
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 30 1 2 3
2 3 11 2 3 4
2 22 3 4
2 33 4 5
.....
2 3 4 .....
2 6 12 ..... 1
6 24 60 ..... 2 1
......................................................
nn
nn
nn
nn
f x a a x a x a x a x
f x a a x a x a x n a x
f x a a x a x n n a x
f x a a x a x n n n a x
−
−
−
= + + + + +
′ = + + + + +
′′ = + + + + −
′′′ = + + + + − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
...................
1.2.3.4..... 3 2 1nnf x n n n n a= − − −
Yukarıdaki çokterimliyi ve türevlerini, x=0 için değerlendirelim:
5858
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
1 1
2 2
3 3
4 44 4
0 0 0!
0 0 1!
0 2 0 2!
0 6 0 3!
0 24 0 4!
.............................
0 1.2.3..... 3 2 1 0 !n nn n
f x a f a
f x a f a
f x a f a
f x a f a
f x a f a
f x n n n n a f n a
= = → =
′ ′= = → =
′′ ′′= = → =
′′′ ′′′= = → =
= = → =
= = − − − → =
5959
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
0 0
1 1
2 2
3 3
00 0!
0!
00 1!
1!
00 2!
2!
00 3!
3!
.......................................................
00 !
!
nn
n n
ff a a
ff a a
ff a a
ff a a
ff n a a
n
= → =
′′ = → =
′′′′ = → =
′′′′′′ = → =
= → =
6060
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 30 1 2 3
2
3
.....
0 0 00! 1! 2!
0 0.....
3! !
nn
nn
n
f x a a x a x a x a x
f f ff x x x
f fx x R
n
= + + + + +
′ ′′= + +
′′′+ + + +
Maclaurin Serisi (ya da x=0 etrafında Taylor
kuvvet serisi açılımı)
6161Bir Bir ÇÇokterimlinin Taylor Serisiokterimlinin Taylor Serisi
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 30 1 2 3
20 0 00 0
30 00 0
.....
0! 1! 2!
.....3! !
nn
nn
n
f x a a x a x a x a x
f x f x f xf x x x x x
f x f xx x x x R
n
= + + + + +
′ ′′= + − + − +
′′′− + + − +
6262ÖÖrnek 12:rnek 12:
Aşağıdaki fonksiyonun x0=1 noktasında n=4 açılımını yapalım.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
20
30
40
54 40
1 111 2
11 14
12 1 14
36 1 18
324 1 14
f x f xx
f x x f x
f x x f x
f x x f x
f x x f x
−
−
−
−
= → = =+
′ ′= − + → = = −
′′ ′′= + → = =
′′′ ′′′= − + → = = −
= + → = =
6363
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
20 0
3 40 0 4
2 3 44
1 11 4 42 1! 2!
3 38 43! 4!
31 13 1 3 132 16 2 16 32
f x x x x x
x x x x R
f x x x x x R
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + − + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ − + − +
= − + − + +
6464ŞŞekil 4.21. Kuvvet Serisi Aekil 4.21. Kuvvet Serisi Aççııllıımlarmlarıı ((ÖÖrnek 12)rnek 12)
-4 -2 2 4
-10
-5
5
10
( ) 2 3 431 13 1 3 132 16 2 16 32
f x x x x x= − + − +
( ) 11
f xx
=+
x0=1 ’de açılım
ÖÖrnek 13:rnek 13:
Aşağıdaki fonksiyonun x0=−2 noktasında n=4 açılımını yapalım.
6565
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
20
30
40
54 40
1 2 11
1 2 1
2 1 2 2
6 1 2 6
24 1 2 24
f x f xx
f x x f x
f x x f x
f x x f x
f x x f x
−
−
−
−
= → = − = −+
′ ′= − + → = − = −
′′ ′′= + → = − = −
′′′ ′′′= − + → = − = −
= + → = − = −
6666
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 3 44
2 3 44
1 2 2 2 2
31 49 31 9
f x x x x x R
f x x x x x R
= − − + − + − + − + +
= − − − − − +
6767ŞŞekil 4.21. Kuvvet Serisi Aekil 4.21. Kuvvet Serisi Aççııllıımlarmlarıı ((ÖÖrnek 13)rnek 13)
-4 -2 2 4
-40
-30
-20
-10
10
20
( ) 11
f xx
=+
( ) 2 3 431 49 31 9f x x x x x= − − − − −
x0=−2 ’de açılım
6868Taylor Serisi ve GTaylor Serisi ve Gööreli Ureli Uççdedeğğerin Belirlenmesierin Belirlenmesi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
200 0 0 0
30 00 0
200 0 0 0
30 00 0
2!
.....3! !
2!
.....3! !
nn
nn
f xf x f x f x x x x x
f x f xx x x x
n
f xf x f x f x x x x x
f x f xx x x x
n
′′′= + − + − +
′′′− + + −
′′′− = − + − +
′′′− + + −
6969ŞŞekil 4.22. Kuvvet Serileri ve Uekil 4.22. Kuvvet Serileri ve Uççdedeğğerin erin
BelirlenmesiBelirlenmesi
y
x0
y
x0
•••
••
•( )1f x
( )0f x
( )2f x
( )1f x ( )0f x
( )2f x
0x1x 2x 0x1x 2x
( )y f x=
( )y f x=
( )a ( )b
7070
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
0 11 0 2
0 2
0 11 0 2
0 2
0 11 0 2
0 2
0 11 0 2
0 2
0, Maksimum
0
0, Minimum
0
0, Dönüm Noktası
0
0, Dönüm Noktası
0
f x f xx x x
f x f x
f x f xx x x
f x f x
f x f xx x x
f x f x
f x f xx x x
f x f x
− >< < ⇒
− >
− << < ⇒
− <
− >< < ⇒
− <
− << < ⇒
− >
7171
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
f x
f x f x f x x x
f x f x f x x x
f x f x f x x x
f x f x f x x x
+ +
+ −
− +
− −
′ ≠
′− = − >
′− = − <
′− = − <
′− = − >
1. Durum:1. Durum:
72722. Durum:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
210 0 02
210 0 02
210 0 02
210 0 02
0 , 0
0
0
0
0
f x f x
f x f x f x x x
f x f x f x x x
f x f x f x x x
f x f x f x x x
+ +
+ +
− +
− +
′ ′′= ≠
′′− = − >
′′− = − >
′′− = − <
′′− = − <
2. Durum:
MinimumMinimum
MaksimumMaksimum
73734. Durum:4. Durum:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10 0 0 0
10 0 0!
10 0 0!
10 0 0!
10 0 0!
..... 0 , 0
0
0
0
0
n n
nnn
nnn
nnn
nnn
f x f x f x f x
f x f x f x x xn tek
sayı ise f x f x f x x x
f x f x f x x xn tek
sayı ise f x f x f x x x
−
+ +
+ −
− +
− −
′ ′′= = = = ≠
− = − >⎫⎪⎬⎪⎭ − = − <
− = − <⎫⎪⎬⎪⎭ − = − >
DDöönnüüm m NoktasNoktasıı
DDöönnüüm m NoktasNoktasıı
74744. Durum (Devam4. Durum (Devamıı):):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10 0 0!
10 0 0!
10 0 0!
10 0 0!
0çift
sayı ise 0
0çift
sayı ise 0
nnn
nnn
nnn
nnn
f x f x f x x xn
f x f x f x x x
f x f x f x x xn
f x f x f x x x
+ +
+ +
− +
− +
− = − >⎫⎪⎬⎪⎭ − = − >
− = − <⎫⎪⎬⎪⎭ − = − <
MinimumMinimum
MaksimumMaksimum
7575ÖÖrnek 14:rnek 14:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
30
3
2
4 4
0
7
4 7 0 7
4 7 7 0
12 7 7 0
24 7 7 0
24 24 0
7 , 0 noktasında minimum var.
y f x x
f x x x
f x x f
f x x f
f x x f
f x f x
x y
= = −
′ = − − = → =
′ ′= − − → =
′′ ′′= − → =
′′′ ′′′= − − → =
= → = >
= =
7676ŞŞekil 4.23. Kuvvet Serileri ve Uekil 4.23. Kuvvet Serileri ve Uççdedeğğerin erin
Belirlenmesi (Belirlenmesi (ÖÖrnek 14)rnek 14)
( ) ( )47y f x x= = −
•2 4 6 8 10 12 14
100
200
300
400
7777ÖÖrnek 15:rnek 15:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
6 50
5
4
3
4 42
5 5
6 6
0
5 6 0 0
6 0 0
30 0 0
120 0 0
360 0 0
720 0 0
720 0 720 0
0 , 5 noktasında minimum var.
y f x x f x x x
f x x f
f x x f
f x x f
f x x f
f x x f
f x f
x y
′= = + → = = → =
′ ′= → =
′′ ′′= → =
′′′ ′′′= → =
= → =
= → =
= → = >
= =
7878ŞŞekil 4.24. Kuvvet Serileri ve Uekil 4.24. Kuvvet Serileri ve Uççdedeğğerin erin
Belirlenmesi (Belirlenmesi (ÖÖrnek 15)rnek 15)
-3 -2 -1 1 2 3
10
20
30
40
50
60
•
( ) 6 5y f x x= = +
7979İİki Seki Seççim Deim Değğiişşkenli Durumda Taylor Serisikenli Durumda Taylor Serisi
( ) ( ) ( )
( )
2 200 10 01 20 11 02
10 ( 1),1 0
, .....
..... ..... .....n n nn n n
z f x y a a x a y a x a xy a y
a x a x y a y−−
= = + + + + + +
+ + + + +
İlk olarak bu iki seçim değişkenli n. dereceden polinomun (0,0)
noktası için Taylor açılımını yapalım. Tüm türevlerin (0,0)
noktasında değerlendirileceğine dikkat edelim.
8080
( ) 00
10 20 11 100
01 11 02 010
0,0
2 .....
2 .....
f a
f fa a x a y ax x
f fa a x a y ay y
=
∂ ∂⎛ ⎞= + + + → =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂= + + + → =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
Benzer biçimde diğer türevleri de bulup sıfır noktasında
değerlendirirsek, aşağıdaki terimleri yazabiliriz.
8181
2 2 2
20 11 022 20 0 0
1 1, ,2! 2!
f f fa a ax yx y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Diğer tüm terimleri de (a katsayılarını) aynı yöntemle
belirledikten sonra, bu katsayıları polinomdaki yerlerine yazıp
düzenlersek, (0,0) noktasındaki Taylor açılımını elde etmiş
oluruz.
8282
( ) ( )0 0
2 2 22 2
2 20 0 0
3 3 3 33 2 2 3
3 2 2 30 0 0 0
, 0,0
1 22!
1 3 33!
.....
f ff x y f x yx y
f f fx xy yx yx y
f f f fx x y xy yx x y x y y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
+
8383
Bu açılımı (0,0) noktası dışındaki herhangi bir noktada da
yapabiliriz. Şimdi açılımı (x0 , y0) gibi rasgele bir nokta için de
yazalım. Tüm türevlerin (x0 , y0) noktasında değerlendirildiğine
dikkat edelim.
8484
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
2 2 22 2
0 0 0 02 2
3 33 2
0 0 03 2
3 32 3
0 0 02 3
, ,
1 22!
313!
3
f ff x y f x y x x y yx y
f f fx x x x y y y yx yx y
f fx x x x y yx x y
f fx x y y y yx y y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂− + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂
+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣
.....
⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦
+
8585ÖÖrnek 16:rnek 16:
fonksiyonunun (1,1) noktasındaki Taylor açılımını
yapalım.
yz x=
( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 1 2
, ln , 1
ln , ln
1 1 1 1 .....
y y yx y xx
y y yxy yy
y
z yx z x x z y y x
z x yx x z x x
x x x y
− −
− −
′ ′ ′= = = −
′′ ′′= + =
= + − + − − +
Örneğin,
( ) ( ) ( )1.031.04 1 0.04 0.04 0.03 1.0412yz x= = ≈ + + =
8686
CES CES ÜÜretim Fonksiyonunun Doretim Fonksiyonunun Doğğrusallarusallaşşttıırrıılmaslmasıı ya da ya da
Birinci SBirinci Sııra Taylor Ara Taylor Aççııllıımmıı
( )
( )
( )
1
ln ln ln 1
f
Q A K L
Q A K L
µρ−−ρ −ρ
−ρ −ρ
ρ
⎡ ⎤= δ + − δ⎣ ⎦
µ ⎡ ⎤− = − δ + − δ⎣ ⎦ρ
teriminin etrafındaki birinci sıra Taylor açılımını
yapalım.
( )f ρ 0ρ =
8787
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
0
2
0 0
00 ( ' )0
lim ln 1 ln 1 ln
ln 1 ln 1 ln 1
1
f f f
f L Hopital Kuralını Kullanalım
K L K L
L K K L K L K Lf
K L
−ρ −ρ
ρ→
ρ ρ ρ ρ −ρ −ρ
ρ ρ
′ρ = + ρ
= →
⎛ ⎞µ ⎡ ⎤− δ + − δ = −µ δ + − δ⎜ ⎟⎣ ⎦ρ⎝ ⎠
⎡ ⎤µ δρ − δ − ρ − δ − − δ δ + − δ⎣ ⎦′ ρ =δ − − δ ρ
8888
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( ) ( ) ( )
2
2
0
1 ln ln 1 ln 1
1
00 ( ' )0
1lim 1 ln ln2
K L L K K L K Lf
K L
f L Hopital Kuralını Kullanalım
f K L
ρ ρ ρ ρ −ρ −ρ
ρ ρ
ρ→
⎡ ⎤µ δ − ρ − δρ + δ − − δ δ + − δ⎣ ⎦′ ρ =δ − − δ ρ
′ = →
′ ρ = − − δ δµ −
8989
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
0 0
1ln 1 ln 1 ln ln2
1ln ln ln 1 ln 1 ln ln2
1ln ln ln 1 ln 1 ln ln2
f f f
f K L K L
Q A f K L K L
Q A K L K L
′ρ = + ρ
⎡ ⎤⎡ ⎤ρ = µ δ + − δ + − − δ δµ − ρ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− = ρ = −µ δ + − δ + − − δ δµ − ρ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + µδ + µ − δ − − δ δµρ −
