Matematiki fakultet - argo.matf.bg.ac. Primeri teorija Reavanje SMT roblemap Argo grupa i SMT SMT tutorijal Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs Matematiki fakultet ARGO Seminar, April

  • View
    218

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of Matematiki fakultet - argo.matf.bg.ac. Primeri teorija Reavanje SMT roblemap Argo grupa i SMT SMT...

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    SMT tutorijal

    Milan Bankovi

    milan@matf.bg.ac.rs

    Matematiki fakultet

    ARGO Seminar, April 2010.

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Outline1 Uvod

    Logika prvog reda

    Teorije prvog reda

    Zadovoljivost u teoriji (SMT)

    2 Primeri teorija

    Prazna jednakosna teorija (EUF)

    Realna aritmetika (RA)

    Celobrojna aritmetika (IA)

    Teorija nizova3 Reavanje SMT problema

    SMT i SAT

    Gramzivi pristup

    Lenji pristup

    DPLL(T )4 Argo grupa i SMT

    Argo grupa i SMT

    alldifferent reava

    Budui rad ArgoSMT

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Outline1 Uvod

    Logika prvog reda

    Teorije prvog reda

    Zadovoljivost u teoriji (SMT)2 Primeri teorija

    Prazna jednakosna teorija (EUF)

    Realna aritmetika (RA)

    Celobrojna aritmetika (IA)

    Teorija nizova

    3 Reavanje SMT problema

    SMT i SAT

    Gramzivi pristup

    Lenji pristup

    DPLL(T )4 Argo grupa i SMT

    Argo grupa i SMT

    alldifferent reava

    Budui rad ArgoSMT

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Outline1 Uvod

    Logika prvog reda

    Teorije prvog reda

    Zadovoljivost u teoriji (SMT)2 Primeri teorija

    Prazna jednakosna teorija (EUF)

    Realna aritmetika (RA)

    Celobrojna aritmetika (IA)

    Teorija nizova3 Reavanje SMT problema

    SMT i SAT

    Gramzivi pristup

    Lenji pristup

    DPLL(T )

    4 Argo grupa i SMT

    Argo grupa i SMT

    alldifferent reava

    Budui rad ArgoSMT

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Outline1 Uvod

    Logika prvog reda

    Teorije prvog reda

    Zadovoljivost u teoriji (SMT)2 Primeri teorija

    Prazna jednakosna teorija (EUF)

    Realna aritmetika (RA)

    Celobrojna aritmetika (IA)

    Teorija nizova3 Reavanje SMT problema

    SMT i SAT

    Gramzivi pristup

    Lenji pristup

    DPLL(T )4 Argo grupa i SMT

    Argo grupa i SMT

    alldifferent reava

    Budui rad ArgoSMT

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Logika prvog redaTeorije prvog redaZadovoljivost u teoriji (SMT)

    Outline1 Uvod

    Logika prvog reda

    Teorije prvog reda

    Zadovoljivost u teoriji (SMT)2 Primeri teorija

    Prazna jednakosna teorija (EUF)

    Realna aritmetika (RA)

    Celobrojna aritmetika (IA)

    Teorija nizova3 Reavanje SMT problema

    SMT i SAT

    Gramzivi pristup

    Lenji pristup

    DPLL(T )4 Argo grupa i SMT

    Argo grupa i SMT

    alldifferent reava

    Budui rad ArgoSMT

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Logika prvog redaTeorije prvog redaZadovoljivost u teoriji (SMT)

    Logika prvog reda

    Jezik i semantika

    Logiki simboli: >, , , , , , , , , prebrojiv skupvarijabli V

    Nelogiki simboli: signatura = (,, ar). Funkcijski simboliarnosti nula nazivaju se konstante.

    Termovi, atomike formule, literali, klauze, slobodne i vezane

    promenljive, zatvorene formule (reenice)...

    Model: M = (D, I) odreuje interpretacije funkcijskih ipredikatskih simbola.

    Interpretacija termova i formula: I (t) D, I (F ) {0, 1}Formula F je zadovoljiva ako postoji model u kome je tana, a

    valjana ako je tana u svim modelima.

    Logika prvog reda je neodluiva.

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Logika prvog redaTeorije prvog redaZadovoljivost u teoriji (SMT)

    Teorije prvog reda

    Deduktivna denicija

    Teorija T je denisana rekurzivnim skupom aksioma AReenica A je teorema teorije T ako pripada deduktivnomzatvorenju DC (A)Ako je A skup aksioma teorije T , pisaemo A = Ax(T )

    Semantika denicija

    Teorija T je denisana skupom modelaReenica A je valjana u teoriji T ako je tana u svim njenimmodelima

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Logika prvog redaTeorije prvog redaZadovoljivost u teoriji (SMT)

    Zadovoljivost u teoriji (SMT)

    Denicija

    Formula A je zadovoljiva u teoriji T (ili T -zadovoljiva) ako jeformula Ax(T ) A zadovoljiva u logici prvog reda.Problem ispitivanja zadovoljivosti u teoriji se naziva SMT

    problem (engl. Satisability Modulo Theory)

    SMT problem je u optem sluaju neodluiv

    Postoje odluive teorije kao i odluivi fragmenti neodluivih

    teorija

    Procedure odluivanja za (odluive) SMT probleme zovu se

    SMT reavai (solveri)

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Logika prvog redaTeorije prvog redaZadovoljivost u teoriji (SMT)

    Zadovoljivost u teoriji (SMT)

    Kvantikatori i SMT

    Egzistencijalni kvantikatori: skolemizacija

    Univerzalni kvantikatori: problem ??

    Postoje teorije koje doputaju eliminaciju kvantikatora

    Uglavnom razmatramo SMT probleme za bazne formule (bez

    kvantikatora). Ovo umanjuje optost ali je u praksi esto

    dovoljno za izraavanje problema od interesa

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Logika prvog redaTeorije prvog redaZadovoljivost u teoriji (SMT)

    Zadovoljivost u teoriji (SMT)

    Primene SMT-a

    Verikacija softvera i hardvera

    Problemi rasporeivanja

    Optimizacioni problemi

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Prazna jednakosna teorija (EUF)Realna aritmetika (RA)Celobrojna aritmetika (IA)Teorija nizova

    Outline1 Uvod

    Logika prvog reda

    Teorije prvog reda

    Zadovoljivost u teoriji (SMT)2 Primeri teorija

    Prazna jednakosna teorija (EUF)

    Realna aritmetika (RA)

    Celobrojna aritmetika (IA)

    Teorija nizova3 Reavanje SMT problema

    SMT i SAT

    Gramzivi pristup

    Lenji pristup

    DPLL(T )4 Argo grupa i SMT

    Argo grupa i SMT

    alldifferent reava

    Budui rad ArgoSMT

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Prazna jednakosna teorija (EUF)Realna aritmetika (RA)Celobrojna aritmetika (IA)Teorija nizova

    Prazna jednakosna teorija (EUF)

    Denicija

    Signature svih teorija koje prouavamo sadre binarni

    predikatski simbol = (jednakost) koji se interpretira kaoreeksivna, simetrina i tranzitivna relacija kongruentna sa

    svim funkcijama i relacijama kojima se interpretiraju ostali

    simboli u signaturi. Ovakve teorije zovu se jednakosne teorije.

    Signatura prazne jednakosne teorije (Equality with

    Uninterpreted Functions) osim jednakosti sadri jo i

    proizvoljan skup funkcijskih simbola ije interpretacije nisu

    ksirane ni na koji nain osim to moraju biti saglasne sa

    aksiomama jednakosti (ovo su jedine aksiome teorije)

    Fragment EUF-a bez kvantikatora je odluiv. Procedure

    odluivanja su obino zasnovane na kongruentnim zatvorenjima

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Prazna jednakosna teorija (EUF)Realna aritmetika (RA)Celobrojna aritmetika (IA)Teorija nizova

    Realna aritmetika (RA)

    Denicija

    Signatura: 0, 1,+, ,,=,Aksiome: Aksiome jednakosti + uobiajene aksiome polja

    realnih brojeva

    Teorija je odluiva

    Njen fragment je linearna realna aritmetika (LRA) koja je

    odluiva u 2-eksponencijalnom vremenu. Fragment LRA bez

    kvantikatora odluiv je u polinomijalnom vremenu

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Prazna jednakosna teorija (EUF)Realna aritmetika (RA)Celobrojna aritmetika (IA)Teorija nizova

    Celobrojna aritmetika (IA)

    Denicija

    Signatura: 0, 1,+, ,,=,Teorija je zadata semantiki (skup svih reenica koje su tane

    u uobiajenoj strukturi celih brojeva)

    Teorija je neodluiva

    Njen fragment je linearna celobrojna aritmetika (LIA) koja je

    odluiva u 2-eksponencijalnom vremenu. Fragment LIA bez

    kvantikatora odluiv je i NP-kompletan

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    Prazna jednakosna teorija (EUF)Realna aritmetika (RA)Celobrojna aritmetika (IA)Teorija nizova

    Teorija nizova

    Denicija

    Signatura: =, funkcijski simboli read, write

    Aksiome:

    (a)(i)(v)(read(write(a, i , v), i) = v)(a)(i)(j)(v)((i = j) read(write(a, i , v), j) =read(a, j))

    Teorija je neodluiva, ali je njen fragment bez kvantikatora

    odluiv i NP-kompletan

    Primena: verikacija softvera

    Milan Bankovi milan@matf.bg.ac.rs SMT tutorijal

  • UvodPrimeri teorija

    Reavanje SMT problemaArgo grupa i SMT

    SMT i SATGramzivi pristupLenji pristupDPLL(T )

    Outline1 Uvod

    Logika prvog reda

    Teorije prvog reda

    Zadovoljivost u teoriji (SMT)2 Primeri teorija

    Prazna jednakosna teorija (EUF)

    Realna aritmetika (RA)

    Celobro