D DA AF FT TA AR R I IS SI IDAFTAR ISIB BA AB B I I : : P PE EN NY YE EL LE ES SA AI IA AN N P PD D D DE EN NG GA AN N D DE ER RE ET T K KU UA AS SA A1 11.1. Fungsi Analitik , Titik Ordiner dan Titik Singular 11.2. Power Series Method 31.3. Persamaan dan Polinomial Legendre 81.3.1. Persamaan Legendre 81.3.2. Polinomial Legendre 111.3.3. DeretPolinomial Legendre 131.4. Metode Frobenius 151.5. Persamaan Bessel 231.5.1. Fungsi Bessel Jenis Pertama231.5.2. Fungsi Bessel Jenis Kedua351.5.3. Fungsi Bessel Termodifikasi411.5.4. Persamaan yang bisa ditransformasikan ke dalam PD Bessel45B BA AB B I II I : : D DE ER RE ET T F FO OU UR RI IE ER R4 48 82.1. Fungsi PeriodikError! Bookmark not defined.82.2. Deret Fourier502.3. Fungsi Genap dan Fungsi GanjilError! Bookmark not defined.62.4. Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah Jangkauan (Half -Range)Error! Bookmark not defined.7B BA AB B I II II I : : P PE ER RS SA AM MA AA AN N D DI IF FE ER RE EN NS SI IA AL L P PA AR RS SI IA AL L 6 63 33.1. Pendahuluan633.2. Penyelesaian Masalah Syarat Batas643.2.1.Pengintegralan seperti PD Biasa 643.2.2 . Pemisalan by axe u+= 663.2.3.Pemisahan Variabel 69 Persamaan Konduksi Panas 1 dimensi73 Aliran Panas Konduksi 2 dimensi79 Getaran tali(Persamaan Gelombang 1 dimensi) 81DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 1Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaB BA AB B I IP PE EN NY YE EL LE ES SA AI IA AN N P PE ER RS SA AM MA AA AN ND DI IF FE ER RE EN NS SI IA AL L D DE EN NG GA AN N D DE ER RE ET T K KU UA AS SA A1.1.Fungsi Analitik, Titik Ordiner Dan Titik SingularFungsif(x)dikatakananalitikdix=x0jikaderetTaylor0 nn0 0) n (! n) x x ( ) x ( f konvergen di sekitar titik x = x0Contoh :f (x) = ln x ; akan diselidiki apakah f (x) analitik di x = 1Deret Taylor dari f (x) di sekitar x = 1 adalah :f (x) = ln x f (1) = 0f (x) = x1f (1) = 1f (x) = 2x1 f (1) = -1f (x) = 3x2f (1) = 2f) iv ((x) = 4x3 . 2 . 1 f) iv ((1) = -3!f) n ((x) = n1 nx)! 1 n ( ) 1 ( f) n ((1) = (-1)1 n(n-1)!Deret Taylor: 0 nn 1 n! n) 1 x ( )! 1 n ( ) 1 ( = 0 nn 1 nn) 1 x ( ) 1 (; n0Pokok Bahasan :!Fungsi Analitik, Titik Ordiner dean Titik Singular!Power Series Method!Persamaan dan Polinomial Legendre!Metode Frobenius! Persamaan BesselDIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 2Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya= 1 nn 1 nn) 1 x ( ) 1 (Sehingga untuk deret Taylor dari f(x) = ln x di atas, yaitu: 1 nn 1 nn) 1 x ( ) 1 (; uji konvergensinya adalah sebagai berikut:n) 1 x ( ) 1 (1 n) 1 x ( ) 1 (aan 1 n 1 n nn1 n + ++= 1 nn ) 1 x )( 1 (+ = 1 nn ) 1 x (+ = 1 nn+1 x di sekitar x = 10 1 x 1 0aan1 n + ; jadi konvergenBerarti f(x) = ln x analitik di x = 1.Fungsi-fungsiyanganalitikdisebarangnilaixdiantaranyaadalahfungsi-fungsi:Polinomial;sinx;cosx;ex;termasukjumlahan,selisih,hasilkali, dan hasil bagi dari fungsi-fungsi tersebut. Hasil bagi dari fungsi analitikakan menjadi tidak analitik jika penyebutnya 0.Contoh :f(x) = x3 + 2x2 + x + 9,5f(x) = cos 2x +x4 +sin x + 1f(x) = 2xe-x + tg xf(x) = 0f(x) = x cos x 2x sin 1 dan sebagainya.Bilapersamaandiferensialberbentuk:y+P(x)y+Q(x)y=0maka didefinisikan:1.Titik x0disebut titik ordiner (ordinary point) dari PD di atas jika P(x), danQ(x)analitikpadax=x0.Jikasalahsatuataukeduafungsitersebuttidakanalitikdix=x0,makax0disebuttitiksingular(singularpoint)dariPD di atas.DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 3Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya2.Titikx0disebuttitiksingularteratur(RegularSingularPoint)dariPDdiatas, jikax0 titik singular dari PD dan fungsi (x- x0) P(x)dan(x- x0)2 Q(x)analitik di x0.Catatan : koefisien dari y harus samadengan 1.Contoh:1.PD : y -xy + 2y = 0; selidiki di sekitar x = 0; 2 = Q(x)x- = P(x) merupakan fungsi-fungsipolinomial yang analitik di mana-mana, x = 0 merupakan titikanalitik.2.PD : (x2 - 4) y + y = 0; di x = 2P(x) = 0 analitik di mana-manaQ(x) = 4 x12Q(x) =01 tidak analitikx = 2 merupakan titik singular.3.PD : 2x2y + 7x (x + 1)y - 3y = 0 ; di titik x = 0; ++03) 0 ( Qx 23) x ( Q07) 0 ( Px 2) 1 x ( x 7) x ( P2x 2) 1 x ( 72tidak analitik di x = 0x = 0 titik singularkarena:analitik23) x ( Q 0) - (x1) (x 7/2 P(x) 0) - (x2; + maka x = 0 merupakan titik singular teratur.1.2.PowerSeriesMethod(PenyelesaianPDdenganpenderetandisekitar titik ordiner)Teorema 1 :Bila P,Q, dan R dalam PD : y + P(x) y + Q(x) y = R(x).........................................(1-1)DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 4Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayaadalahfungsianalitikdix=x0(x0merupakantitikordinerdariPD)makasetiap penyelesaian dari (1) analitik di x = x0 dan dapat dinyatakan dalambentuk deret kuasa dari x x0 :+ 0 m2 1 1 0m0 m) x ( y a ) x ( y a ) x x ( a y ..........(1-2)a0dan a1 adalah konstanta sembarang.Contoh :1.Selesaikan PD : y - xy + 2y = 0Penyelesaian:; 2 ) x ( Qx ) x ( PPdanQanalitikdiaman-mana,x=0merupakantitikordiner.Sehingga 0 m 0 mmmmmx a ) 0 x ( a y merupakanpenyelesaianpersamaan differensial...... x a ..... x a x a a x a yss0 m22 1 omm+ + + + + + + + 0 m23 2 11 mm..... x a 3 x a 2 a x a m y + + + z m24 3 22 mm..... x a 4 . 3 x a 3 . 2 a 2 x a m ) 1 m ( ysubstitusi y, y dan y ke PD : + 2 mm0 mm1 m1 mm2 mm0 x a 2 x a m x x a m ) 1 m ([ ][ ][ ] 0 ....... x sa ....... x a 3 x a 2 x a 2....... x sa ....... x a 3 x a 2 x a..... x a ) 2 s )( 1 s ( ...... x a 4 . 3 x a 3 . 2 a 2 . 1ss3322 1ss3322 1s2 s24 3 2 + + + + ++ + + + + ++ + + + + + + ++kumpulkan suku-suku yang mengandung x dengan pangkat sama.(2a2 + 2a0) + x(6a3 a1 + 2 a1) + .....+[(s + 1)(s + 2) as+2 sas + 2as] xs = 0samakan koefisien sisi sebelah kiri dan kanan tanda sama dengan:DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 5Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayakoefisien x0 : 2a2 + 2a0 = 0 a2 = -a0koefisien x1 : (6a3 a1 + 2a1) =0 a3 = 1a61koefisien xs : (s + 1)(s + 2) as+2 sas + 2as = 0s 2 sa) 2 s )( 1 s (2 sa+ ++ rumus rekursi untuk s = 0,1,2,...Dari rumus rekursibisa ditentukan nilai am untuk sembarangss = 0 002a2a 2a 113a616aa 1 s 0 a 2 s4 1 135a201) a61(20120aa 3 s 030a 2a 4 s46 1 157a16801) a1201(42342a 3a 5 s 063a 4a 6 s08 PUPD :.... x a x a x a a x a y3322 1 00 mmm+ + + + .... x a16801x 0 x a1201x 0 x a61x a x a a y716 514 3120 1 0+ + + + .....) x16801x1201x61x ( a ) x 1 ( a y7 5 3120 + 2 1 1 0y a y a y + 21x 1 y DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 6Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya..... x16801x1201x61x y7 5 32 2.Selesaikan PD :2 x xy " y ) 4 x (2+ + +Penyelesaian:Masing-masing ruas dibagi dengan) 4 x (2+menjadi:4 x2 xy4 xx" y2 2++++Cek apakah P, Q, dan R analitik di titik x = 0P(x) = 0 analitik di titik x = 0Q(x) =4 xx2+ analitik di titik x = 0R(x) = 4 x2 x2++ analitik di titik x = 0x = 0 merupakan titik ordiner PD, sehingga penyelesaian PD: 0 mmmx a y 1 m1 mmx a m ' y 2 m2 mmx a m ) 1 m ( " ySubstitusikan y ; y dan y ke PD :) 4 x (2+ x x a m ) 1 m (2 m2 mm+ 2 x x a0 mmm+ atau: + + 2 m 2 m2 mmmmx a m ) 1 m ( 4 x a m ) 1 m ( 2 x x a0 m1 mm+ +atau :.... x sa ) 1 s ( .... x a 20 x a 12 x a 6 x a 2ss55443322+ + + + + +DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 7Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya.... x a ) 2 s )( 1 s ( 4 .... x a 80 x a 48 x a 24 a 8s2 s3524 3 2+ + + + + + + ++2 x .... x a .... x a x a x a x as1 s433221 0+ + + + + + +Persamaan identitas :Koefisien2 a 8 : x20 41a2 1 a a 24 : x0 31 + 24a30241a 0 a a 48 a 2 : x1 4 22 + + 48)21a (a14+ 0 a a ) 2 s ( ) 1 s ( 4 a s ) 1 s ( : x1 s 2 s ss + + + + +

) 2 s )( 1 s ( 4a s ) 1 s ( aas 1 s2 s+ + + ++Rumus rekursifuntuk s = 2,3,4,......Rumus rekursif ini tidak berlaku untuk s = 0dan s = 1, karena koefisien x0dan x1 dalam ruas kanan PD (1) tidak nol. Sehingga untuk s = 2,3,....... :s = 2 : 96148a482 1 a) 4 )( 3 )( 4 (a 2 aa1 1 214 + + s = 3 : 320a1601804 a 4 1 4 1) 5 )( 4 )( 4 (a 6 aa0 0 325+ + + Jadi PUPD :........ x )320a1601( x )96148a( x )24a241( x41x a a y5 0 4 1 3 0 21 0+ + + + + + + .....) x1601x961x241x41( y5 4 3 2+ + + + + +05 3a .....) x )3201x2411 (14a .....) x481x ( + DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 8Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya! ! ! " ! ! ! # $! ! ! ! ! ! ! " ! ! ! ! ! ! ! # $cpy2 1 1 0y5 4 3 2) x ( y a ) x ( y a .....) x1601x961x241x41( y + + + + dengan :....... x3201x2411 ) x ( y5 31+ + ....... x481x ) x ( y42+ yc = penyelesaian komplementer, yaitu penyelesaian PD Homogen :0 xy " y ) 4 x (2 + +yp = penyelesaian partikulir, yaitu penyelesaian PD Non-Homogen :2 x xy " y ) 4 x (2+ + +Bila x = x0 0 digunakan transformasi :t = x-x0x = t + x01dtdydt dx Sehingga PD : y + P(x)y + Q(x)y = 0 menjadi:dtdy1dtdydxdtdtdydtdy' y 1]1

1]1

1]1

1]1

dtdydxddxdydtddtdydxddxdydxddxy d" y22= 22dty d) x t ( P ) x ( P0+ ) x t ( Q ) x ( Q0+ PD menjadi : 22dty d +0 y ) x t ( Qdtdy) x t ( P0 0 + + + .1.3. Persamaan dan Polinomial Legendre1.3.1Persamaan LegendrePersamaan difeensial dengan bentuk umum sebagai berikut :( 1 - x2 ) y'' - 2xy' + n ( n + 1 ) y = 0.............................................................. (1-3)dengan n real : disebut persamaan LegendreDIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 9Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayajika masing masing ruas dibagi dengan( 1-x2 ); PD menjadi :y'' - 2x 1x 2y' + 2x 1) 1 n ( n+ y = 0Terlihatbahwax=0merupakantitikordinerdariPD;sehingaPDdiatasbisadiselesaikandenganpenderetandisekitartitikordiner,denganmengambil :y =0 mmmx a .....................................................................................................(1-4)y'= 1 m1 mmx ma...............................................................................................(1-5)y' '= 2 m2 mmx ma ) 1 m ( ..................................................................................(1-6)substitusikan y, y dan y ke PD :(1-x2)x 2 x ma ) 1 m (2 m2 mm ) 1 n ( n x ma1 m1 mm + 0 mmmx a = 0.............(1-7)atau 2 m2 mmx ma ) 1 m ( - 2 x ma ) 1 m (m2 mm 1 mmmx ma +n(n+1)0 mmmx a =0atau ....... x a ) 2 s )( 1 s ( ........ x a 4 . 3 x a 3 . 2 a . 2 . 1s2 s24 3 2+ + + + + + ++......... x sa 2 ...... 4 x a 4 . 3 3 x a 3 . 2 x a 2 . 1ss 4 322 ........ x sa . 2 ..... x a 3 . 2 x a 2 . 2 x a 1 . 2ss3322 1 0 ........ x a ) 1 n ( n ...... x a ) 1 n ( n x a ) 1 n ( n a ) 1 n ( nss22 1 0 + + + + + + + + + +kumpulkan x dengan pangkat yang sama, diperoleh persamaan:koefisien x0 :0 2 0 2a2) 1 n ( na 0 a ) 1 n ( n a ) 2 ( 1+ + +koefisien0 a ) 1 n ( n a ) 1 ( 2 a ) 3 ( 2 : x1 1 31 + + 1 3 1 3a6) 2 n )( 1 n (a 0 a ) 1 n ( n 2 ( a 6 + + +koefisien 0 a )] 1 n ( n s 2 ) 1 s ( s [ 2 a ) 2 s )( 1 s ( : xs ss + + + + + +DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 10Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayas 2 sa) 2 s )( 1 s () 1 s n )( s n (a+ ++ + + .............................................................................(1-8)rumus rekursif untuk s = 0,1,2,3,......dari rumus rekursif bisa diturunkan :0 0 2a! 2) 1 n ( na) 2 ( 1) 1 n ( na ; 0 s+ + 1 1 3a! 3) 2 n )( 1 n (a) 3 ( 2) 2 n )( 1 n (a ; 1 s+ + 0 2 4a ]! 2) 1 n ( n[) 4 ( 3) 3 n )( 2 n (a) 4 ( 3) 3 n )( 2 n (a ; 2 s++ +

0a! 4) 3 n )( 1 n ( n ) 2 n ( + + 1 3 5a! 3) 2 n )( 1 n () 5 ( 4) 4 n )( 3 n (a) 5 ( 4) 4 n )( 3 n (a ; 3 s+ + +

1a! 5) 4 n )( 2 n )( 1 n )( 3 n ( + + PU.PD:403120 1 ox a! 4) 3 n )( 1 n ( n ) 2 n (x a! 3) 2 n )( 1 n (x a! 2) 1 n ( nx a a y1]1

+ + +1]1

+ +1]1

+ + + ...... x a! 5) 4 n )( 2 n )( 1 n )( 3 n (51+1]1

+ + + ..........................................................(1-9)atau

++ +1]1

+ + ++ 314 2ox! 3) 2 n )( 1 n (x a ..... x! 4) 3 n )( 1 n ( n ) 2 n (x! 2) 1 n ( n1 a y1]1+ + ......... x! 5) 4 n )( 2 n )( 1 n )( 3 n (5atau) x ( y a ) x ( y a y2 1 1 0+ .....................................................................................(1-10)dengan :...... x! 4) 3 n )( 1 n ( n ) 2 n (x! 2) 1 n ( n1 ) x ( y4 21++ + ++ ..............................(1-11)DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 11Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya........ x! 5) 4 n )( 2 n )( 1 n )( 3 n (x! 3) 2 n )( 1 n (x ) x ( y5 32+ + ++ ........(1-12)1.3.2Polinomial LegendreDalambeberapaaplikasi,parameterndalampersamaanLegendreadalahbilanganbulatpositif) 0 n ( .Jikanadalahbilanganbulatpositif,untuks=nsisikananpersamaan(1-15)samadengannol,dan0 a2 n+ ;.... ;......... 0 a ; 0 a ; 0 a8 n 6 n 4 n + + +sehingga,-jikangenap;persamaan(1-xx)akantereduksimenjadisuatupolinomial derajat n dalam x-jikanganjil;Persamaan(1-xx)akantereduksimenjadisuatupolinomial derajat n dalam xuntukngenapmaupunganjilpolinomialderajatnyangterjadidisebutpolinomial Legendre, ditulis dengan ) x ( Pn. Bentuk umum dari) x ( Pn bisaditurunkandengan cara sebagai berikut:rumus rekursif (1-8) diperoleh2 s sa) 1 s n )( s n () 2 s )( 1 s (a++ + + + ; 2 n s ........................................................(1-13)sehinggauntuks=0;1;2;3;...........;n1,nilai sa dapatdinyatakandalam na (n adalah pangkat tertinggi dari x dalam polinomial).Koefisien an merupakan konstanta sembarang, dipilih sebagai berikut:'4 ; 3 ; 2 ; 1 n ;) ! n ( 2)! n 2 (0 n ; 1a2 nn.......................................................................(1-14)pemilihannilaianinidilakukanagaruntuksebarangpolinomial) x ( Pn;harga1 ) 1 ( Pn ,sehingga : )! 2 n ( )! 1 n ( 2)! 2 n 2 (an2 n DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 12Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya2 n 4 na) 3 n 2 ( 4) 3 n )( 2 n (a )! 4 n ( )! 2 n ! 2 2)! 4 n 2 (n )! m 2 n ( )! m n ( ! m 2)! m 2 n 2 () 1 ( anmm 2 n sehingga) x ( Pnyang merupakan penyelesaian dari persamaan Legendrebisa dinyatakan secara umum :m 2 nM0 mnmnx)! m 2 n ( )! m n ( ! m 2) m 2 n 2 () 1 ( ) x ( P ...............................................(1-15)....... x)! 2 n ( )! 1 n ( ! 1 2)! 2 n 2 (x) ! n 2)! n 2 (2 nnn2 n + dengan : 2nM untuk n genap danM 21 n untuk n ganjil.Beberapa polinomialLegendre orde n :1 ) x ( P0 x ) x ( P1) 1 x 3 (21) x ( P22 ) x 3 x 5 (21) x ( P33 ) 3 x 30 x 35 (81) x ( P2 44+ ) x 15 x 70 5 x 63 (81) x ( P35+ secara grafis) x ( Pnbisa digambarkan sebagai berikut:Pn(x)1 -1x1P0P1P2P3P4Rumus - rumus rekursif untuk polinomial Legendre:1.) x ( P1 nn) x ( P x1 n1 n 2) x ( P1 n n 1 n ++++DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 13Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya2.) x ( P ) 1 n 2 ( ) x ( ' P ) x ( ' Pn 1 n 1 n+ +RumuspolinomialLegendre ) x ( PnbisadituliskandalambentukformulaRodrigues sebagai berikut:n 21 n nnn n) 1 x ( Pdxd! n 21) x ( P DuabuahpolinomialLegendreyangberbedaakansalingtegakluruspada interval 1 x 1 < < ; sehingga:1.dx ) x ( P ) x ( Pn11m; m n2. 1 n 22dx ) x ( P112n+1.3.3 Deret Polinomial LegendreJikaf(x)memenuhisyaratDirichletdalaminterval-1 penyelesaian basisuntuk PD (1-18) adalah:.......) x a x a a ( x ) x ( y22 1 0r11+ + + ................................................................... (1-29)DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 18Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya.......) x A x A A ( x x ln y k ) x ( y22 1 0r1 22+ + + + ............................................ (1-30)Contoh :1. SelesaikanPD : 0 yx 41' yx 21" y + + (kasus 1)Penyelesaian :Titik x = 0 merupakan titik singular teratur, sehingga +0 mr mmx a y .PD dituliskan : 0 y ' y 2 " xy 4 + +Substitusikany, y, yke PD diperoleh:[ ][ ][ ] 0 ........ x a ....... x a x a x a...... x a ) r 1 s ( 2 ..... x a ) 2 r ( r 2 x a ) 1 r ( 2 x a r 2..... x a ) r s )( r 1 s ( 4 ........ x a r ) 1 r ( 4 x a ) 1 r ( r 40 x a x a ) r m ( 2 x a ) 1 r m )( r m ( 4s rs2 r21 r1r0s r1 s1 r2r11 r0s r1 sr11 r00 m 0 mr mm1 r mm0 m1 r mm + + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + ++ + ++++ +++ + +Persamaan Indicial :0 r ;21r0 r21r0 r 2 ) 1 r ( r 42 12 + Koefisien dari: xs r+...... , 2 , 1 , 0 s ;) 1 r 2 s 2 )( 2 r 2 s 2 (aa0 a a )21r s )( 1 r s ( 40 a a ) 1 r s ( 2 a ) r s )( 1 r s ( 4s1 ss 1 ss 1 s 1 s+ + + + + + + + + + + + + + + ++++ +Untuk,21r r1 rumus rekursi menjadi :DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 19Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya. seterusnya dan ,! 7a6 . 7aa ,! 5a4 . 5aa ,2 . 3aa...... , 2 , 1 , 0 s ;) 1 r 2 s 2 )( 2 r 2 s 2 (aa0 230 1201s1 s + + + + +...... , 2 , 1 , 0 m ,)! 1 m 2 (a ) 1 (a0mm+ .......) x1201x611 ( x x)! 1 m 2 () 1 (x ) x ( y20 mamm2 110+ + +Untuk, 0 r r1 rumus rekursi menjadi :. seterusnya dan ,! 6A5 . 6AA ,! 4A3 . 4AA ,1 . 2AA...... 3 , 2 , 1 , 0 s ;) 1 s 2 )( 2 s 2 (AA0 230 1201s1 s + + +! m 2A ) 1 (Ammm .......) x241x211 ( A x! m 2) 1 () x ( y200 mmm2+ + PUPD:

,_

+ + + + + + + + + + ....... x241x211 k .......) x1201x611 ( x k y.....) x241x211 ( A c . x1201x611 ( x a c y c y c y222120 220 1 2 2 1 12. Selesaikan PD : x (x-1)y + (3x-1)y + y = 0 (kasus 2)Penyelesaian :x = 0 merupakan titik Singular teratur dari PD, sehinggaSubstitusikan: PD ke " y , ' y , y0 x a x a ) r m ( x a ) r m ( 3x a ) 1 r m ( ) r m ( x a ) 1 r m ( ) r m (r m0 mm1 r m0 mmr m0 mm1 r m0 mmr m0 mm + + ++ + + + ++ ++ ++Persamaan indicial :[ ] 0 r ; 0 r atau 0 a r ) 1 r ( r2 , 120 Koefisien0 r r dengan x2 1s r + maka rumus rekursi :DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 20Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya0 a a ) 1 s ( a s 3 a s ) 1 s ( a ) 1 s ( ss 1 s s 1 s s + + + + + +s 1 sa a +Sehingga : .......... a a a2 1 0 0 m1 00 m0 m0 1x 11y ; 1 a dipilih bila ;x 1ax a ) x ( yPenyelesaian basis kedua dicari denganpersamaan (1-28) ataudengan memisalkan :x 11). x ( u ) x ( y ) x ( u y1 2 Substitusikan: PD ke " y , ' y , y0 uy ) ' uy y ' u )( 1 x 3 ( ) " uy ' y ' u 2 y " u )( 1 x ( x1 1 1 1 1 1 + + + + + y1 adalah penyelesaian PD, sehingga :0 y ' u ) 1 x 3 ( ) ' y ' u 2 y " u )( 1 x ( x1 1 1 + + 0x 11' u ) 1 x 3 ( )) x 1 (1' u 2x 11" u )( 1 x ( x2 ++x 1x lny u yx ln u ,x1' ux1ln x ln ' u lnx1' u" u0 ' u " xu1 2 +PUPD:x 1x lncx 11c y c y c y2 1 2 2 1 1+ + 3. Selesaikan PD :0 1)y (x 1)xy' (x y" 1)x (x2 2 2 2 + + + (kasus 3)Penyelesaian :x = 0 merupakan titik Singular teratur dari PD, sehingga r m0 mmx a y+Substitusikan: PD ke " y , ' y , yDIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 21Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya0 x a ) 1 x (x a ) r m ( ) 1 x ( x a ) 1 r m ( ) r m ( ) 1 x (r m0 mm2r m0 mm2 r m0 mm2 ++ + + + + +++ Kalikan dan sederhanakan diperoleh persamaan :0 x a ) 1 r m )( 1 r m ( x a ) 1 r m (r m0 mm2 r m0 mm2 + + + +++ + Persamaan Indicial :1 r ; 1 r0 ) 1 r )( 1 r (2 1 +0 a0 ra ) 2 r ( : x Koefisien111 r + +,....... 3 , 2 , 1 , 0 s , 0 a ) 1 r s ( ) 3 r s ( a ) 1 r s ( : x Koefisien2 s s2 2 r s + + + + + +++ +Untuk, 1 r r1 diperoleh rumus rekursi:......... , 0 a , 0 a , 0 a sehingga , 0 a...... , 2 , 1 , 0 s ; a) 2 s )( 4 s (sa7 5 3 1s22 s + + +Untuk 0 a 0 s2 sehingga.......... , 0 a , 0 a , 0 a8 6 4 x a y0 1 Untuk1 r r2 , rumus rekursinya adalah :) 0 a memenuhi tidak ( 0 a, a04a 0 s...... , 2 , 1 , 0 s ; a) 2 s ( s) 2 s (a0 00 2s22 s ++Penyelesaian basis yang kedua bisa ditentukan berdasarkan teorema2kasus3denganr=-1ataudenganmemisalkan( )( ) ) x ( xu a x u x y y0 1 2 .[ ][ ] [ ] ) x ( ' u 2 ) x ( " xu a ) x ( ' u x ) x ( " u ) x ( ' u a " yx ) x ( ' u ) x ( u a ' y0 0 20 2+ + + + DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 22Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 0 ) x ( xu a 1 x x ) x ( ' u ) x ( u xa 1 x ) x ( ' u 2 ) x ( " xu a x 1 x: sehingga , PD ke " y dan , ' y , y kan Substitusi020202 22 2 2 + + + + + masing-masing ruas dibagi dengan: x a0( ) [ ] ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1]1

+ + 1]1

+ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + x 21x ln x k x k yx 21x ln x c x a c yy c y c y : PD PUx 21x ln x ) x ( xu ) x ( yx 21x ln ux1x1x1 x' ux1 xlnx) 1 x )( 1 x (ln) 1 x ln( ) 1 x ln( x ln 3 ' u ln1 x11 x1x3) 1 x ( xx 3' u" u) 1 x ( x3 x' u" u0 ) x ( ' u 3 x ) x ( " xu 1 x0 ) x ( ' xu 3 x ) x ( " u x 1 x0 ) x ( u 1 x ) x ( ' xu 1 x ) x ( u 1 x ) x ( ' xu 1 x 2 ) x ( " u x 1 x0 ) x ( u 1 x x ) x ( ' u ) x ( u 1 x ) x ( ' u 2 ) x ( xu x 1 x2 1 2 0 12 2 1 1223 3232322222 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2Soal Metode Frobenius.1. 0 xy 4 ' y 2 " xy + +2. 0 y ) 1 x ( ' y ) x 2 1 ( " xy + +3. 0 y21' y ) 1 x (21" y ) x 1 ( x + + 4. 0 y 4 ' y ) 1 x ( " y ) 1 x (2 + 5. 0 y ) x 2 1 ( ' xy ) x 2 1 ( " y x ) x 1 (2 + + + +6. 0 y 9 ' xy 5 " y x2 + Jawaban:1. x 2 sin x y ; x 2 cos x y1211 DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 23Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya2. x ln e y ; e yx2x1 3. x 1 y ; x y2 1+ 4.2221) 1 x ( y ; ) 1 x ( y 5.22 1x x ln x y ; x y + 6. x ln x y ; x y3231 1.5. Persamaan Bessel1.5.1Fungsi Bessel Jenis PertamaBentuk umum PD Bessel :0 y ) x ( xy y x2 2 ' " 2 + +.................................(1-31)dengan parameter yang diketahui dan nilai 0.Persamaan ini biasanya muncul dalam masalah getaran; medan-medanelektrostatik;masalahkonduksipanasdansebagainya.UntukmenyelesaikanPDBesselini,digunakanmetodaFrobeniusdenganpenderetandisekitarx=0(x=0merupakantitiksingularteraturuntukPDBessel di atas).Penyelesaian PD mempunyai bentuk :r m0 mmmm0 mrx a x a x ) x ( y+ .................................................................(1-32)dengan syarat nilai0 a0 . Sehingga :1 r m0 mm'x a ) r m ( ) x ( y ++ mm0 m1 rx a ) r m ( x+ ..........................................(1-33) + + 0 m") 1 r m )( r m ( ) x ( y 2 r mmx a + + + 0 m2 r) 1 r m )( r m ( x mmx a ...(1-34) PD nya menjadi :1]1

+1]1

+ +1]1

+ + 0 mmmr 2 20 mmm1 r0 mmm2 r 2x a x ) x ( x a ) r m ( x x x a ) 1 r m )( r m ( x x=0atau,0 x a x a x a ) r m ( x a ) 1 r m )( r m (r m0 mm2 2 r m0 mmr m0 mmr m0 mm + + + + +++ +++ ..(1-35)DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 24Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaJika x tidak selalu nol, maka yang pasti = 0 adalah koefisien-koefisien daris rx+ :Koefisien rx:r ) 1 r ( 20 0a r a + 0 a0 ) r r r (2 2 + 0 a0 ) r (2 2 0 a0 ;0 a0 Persamaan indical : t 2 . 12 2r ; 0 r ...................................................(1-36)Koefisien 1 rx+ :0 a a ) 1 r ( a ) 1 r ( r121 1 + + +) 1 r r r (2 2 + + + 0 a1 ) r 1 r 2 (2 2 + + 0 a1 ) 1 r 2 ( + 0 a1 ; (2r +1) tidak selalu 001 aKoefisien s rx+ :) r s )( 1 r s ( + + ) r s ( as+ + +sa 0 a as22 s [ ]2) 1 1 r s )( r s ( + + +2 s sa a [ ]2 2) r s ( +2 s sa a 2 22 ss) r s (aa + .... (1-37)Untuk r = :sa = - ) 2 s ( sas 2 sa) s (a2 s2 2 22 s2 22 s + + + + s = 2 ) 1 ( 4a) 2 2 ( 2aa0 02 + + s = 3 0) 2 3 ( 3aa13 + s = 4 ) 1 ( 4 ). 2 ( 4 . 2a) 2 4 ( 4aa0 24 + + + Karena 1a = 0 ;0 , maka untuk s ganjil0 as dan untuk s genap = 2m ;m =1,2,3,.DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 25Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya2 m 2 m 2a) m 2 2 ( m 21a+ ) m ( m 212+ 2 m 2aKarena 0a sembarang dan0 a0 , maka bisa dipilih ) 1 ( 21a0+ Dengan ! ) ( ) 1 ( + untuk = 0, 1, 2, 3, sehingga :m = 1 ) 1 ( 21) 1 ( 21) 2 2 ( 2aa202+ + +

) 2 ( 2 ! 11) 2 ( 21) 1 ( ) 1 ( 212 2 2+ + + + + + + m = 2 ) 2 ( 21) 2 ( 2 . 21) 2 ( 2 2aa2 2 224+ + + +

) 3 ( 2 ! 21) 3 ( 2 . 214 4+ + + + m = 3 ) 3 ( 2 ! 21) 3 ( 2 . 31) 3 ( 3 2aa4 2 246+ + + +m = m ) 1 m ( 2 ! m1) 1 ( a2mmm 2+ + + m 22m0 mmx) 1 m ( 2 ! m1) 1 ( y+ + + + .......................................................... (1-38)Fungsi y yang merupakan penyelesaian PD berbentuk deret tak hingga inidisebut Fungsi Bessel Jenis Pertama orde dan dinotasikan dengan) x ( JJadi,m 22m0 mmx) 1 m ( 2 ! m1) 1 ( ) x ( J+ + + + m 22m0 mmx) 1 m ( 2 ! m1) 1 ( x ) x ( J+ + + .............................................. (1-39)Untuk akar indicial yang lain, yaitu r = - ;m 20 m2m -mx) 1 m ( 2 ! m1) 1 ( ) x ( J+ + + + ......................................... (1-40)DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 26Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaUntukbukaninteger(bukanbilanganbulat),maka) x ( Jdan) x ( J tidak bergantungan secara linier, sehingga PU PD Bessel :) x ( J C ) x ( J C ) x ( y- 2 1 + .......................................................................... (1-41)Untuk integer (bulat) ; misalkan = n ; n = 0, 1, 2, 3, ) 1 m n ( 2 ! mx) 1 () 1 m n ( 2 ! mx(-1)x) 1 m n ( 2 ! m1) 1 ( ) x ( J2m n -m 2 nn mm2m n -m 2 n 1 - n0 mmm 2 n2m n -0 mmn+ + ++ + + + ++ ++ + + Karena untuk m = 0, 1, 2, ..(n-1) ; harga + + ) 1 m n ( , maka :++ + + n m2m n -m 2 nmn) 1 m n ( 2 ! mx) 1 ( ) x ( JMisalkan, ;+ n p mn m p0 p n n p nm1 p 1 n p -n 1 m n -n 2p 2m n - + + + + + + + + + Sehingga,) x ( J (-1)) 1 n p ( 2 ! px) 1 ( x (-1)) 1 p ( 2 )! n p (x) 1 ( ) x ( Jnn0 pn 2pp 2p n n0 pn 2pn p 2n pn+ + + + ++++Jadi untuk = n bulat ;[ ] ) x ( J K ) x ( J C ) 1 ( C ) x ( y) x ( J C ) 1 ( ) x ( J C ) x ( J C ) x ( J C ) x ( yn n 2n1n - 2nn 1 n 2 n 1 + + + belummerupakanPUPDBessel,karenahanyamemuatsatukonstantasembaranguntukPDorde2.UntukmenentukanPenyelesaianBasisyanglain pada kasus = n bulat ini akan dibahas pada bagian FungsiBesselJenis Kedua.Fungsi Bessel Jenis Pertama untuk n = 0, 1, 2, .(bulat)m 22m n0 mm nnx) 1 m n ( 2 ! m1) 1 ( x ) x ( J+ + +DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 27Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya...... .......... .......... ..........2304x64x4x- 1..... .......... ..........) ! 3 ( 2x) ! 2 ( 2x2x- 1.. ..........(3) 2! 2 x ) 1 ((2) 1! 2 x ) 1 () 1 ( 0! 2x (-1)

x) 1 m ( 2 ! m1) 1 ( ) x ( J 0 n6 4 22 662 442244 222 100 0m 20 m2mm0+ + + + ++++ ... .......... .......... .......... ..........384x16x2x

. .......... .......... ..........3! 2! 2x2! 1! 2x2x

. ..........(4) 2! 2 x ) 1 () 3 ( 1! 2 x ) 1 ((2) 0! 2 x (-1)

x2) (m 2 ! m1) 1 ( ) x ( J 1 n5 3553355 233 111 01 m 21 2m0 mm1 + + ++++ ++yy 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12x x-Akar-akar dari0 ) x ( J0dan0 ) x ( J1Berikutiniadalah5buahakarpositifpertamadari0 ) x ( J0 dan0 ) x ( J1 dalam4desimal,besertaselisihantara2akaryangberurutan :DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 28Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya) x ( J0) x ( J1Akar Selisih AkarSelisih4048 , 2 x1 3,11535201 , 5 x2 3,13366537 , 8 x3 3,13787915 , 11 x4 3,13949309 , 14 x58317 , 3 x1 3,18390156 , 7 x2 3,15791735 , 10 x3 3,15023237 , 13 x4 3,14694706 , 16 x5 Untuk2 1 ;m 221m 20 mmx) 1 m ( 2 ! m1) 1 ( x ) x ( J212121+ + +++ +! 2) (! 1) (! 0) () x ( J) (m m!(-1) ) ( 2129252x21232x212x0 m 23m m 22x2925212121Catatan :) ( ) 1 ( + ) (21DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 29Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya

.. ..........! 5x! 3x12 / 1) 2 / x ( .... ..........5 3 2 ! 2x3 2 ! 1x12 / 1) 2 / x ( .........3/2 5/2 ! 2) 2 / x (3/2 ! 1) 2 / x (12 / 1) 2 / x () x ( J4 2 2 / 124 2 2 / 14 2 2 / 1211]1

+ 1]1

+ 1]1

+ Ekspansi Mc.Laurin 1]1

0 nnn) 0 ( f! nx) x ( fdari :...... ..........! 8x! 4x2!x- 1 x Cos...... ..........! 7x! 5x3!x- x x Sin8 4 27 5 3+ + + + Jadi : x Sinx2 x Sinx1 2 x

...... ..........! 7x! 5x! 3xxx12 / 1) 2 / x () x ( J7 5 3 2 / 12 / 11]1

+ + Sin xx2) x ( J2 / 1Dengan cara yang sama bisa ditentukan : x Cosx2) x ( J2 / 1

,_

x cosxx sin x2) x ( J2 / 3

,_

+sin xxx cos x2) x ( J2 / 3Rumus-rumus untuk fungsi Bessel :1.[ ] ) x ( J x ' ) x ( J x1 2.[ ] ) x ( J x ' ) x ( J x1 + DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 30Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya3.) x ( Jx2) x ( J ) x ( J1 1 + +4.) x ( ' J 2 ) x ( J ) x ( J1 1 + Rumus integral yang meliputi fungsi Bessel1. + C ) x ( J x dx ) x ( J x12. + ) x ( J 2 dx ) x ( J dx ) x ( J1 13.C ) x ( J x dx ) x ( J x1+ + Contoh :1.) x ( J ) x ( Jx2) x ( J ) x ( J1 2 / 1 2 / 1211 2 / 1 2 / 3 +

1]1

x CosxSin x x2 x Cosx2- Sin xx2x11]1

+ Sin xx x Cosx2- x Cosx2- Sin xx2x1 ) x ( J ) x ( Jx) ( 2) x ( J ) x ( J1 2 / 1 1/2 -211 2 / 1 2 / 32.[ ] ) x ( J x d x dx ) x ( J x x dx ) x ( J x22 212 214 ) x ( J x 2 ) x ( J xdx ) x ( J x ) x ( J x x232422222 2[ ]C ) x ( J x 2 ) x ( J x) x ( J x d 2 ) x ( J x33243324+ C ) x ( J ) x 16 x 4 ( ) x ( J ) x x 8 () x ( J x 2 ) x ( J x 8 ) x ( J x 16 ) x ( J x ) x ( J x 2) x ( J ) x ( J (x) Jx2x4x 2 ) x ( J ) x ( Jx2x) x ( J ) x ( Jx2.2x 2 ) x ( J ) x ( Jx2x1304 213021 04131 0 130 141 230 14+ + + + 1]1

,_

1]1

1]1

1]1

DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 31Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya3.[ ] [ ] ) x ( J x d x - dx ) x ( J x x dx ) x ( J x2-2 532 533 [ ][ ][ ] + + + + + + + + + dx ) x ( J 15 ) x ( J x 15 ) x ( J x 5 ) x ( J x) x ( J d x 15 ) x ( J x 5 ) x ( J xdx ) x ( J x 15 ) x ( J x 5 ) x ( J xdx ) x ( J x 15 ) x ( J x 5 ) x ( J xdx ) x ( J x 5 ) x ( J x 5 ) x ( J x) x ( J x d x 5 ) x ( J x) x ( J x x 5 ) x ( J xdx ) x ( J x 5 ) x ( J xdx ) x ( J x (x) J x x0 0 12230 12230 12231 1223311122311 - 32321 323522235222-2 5Contoh aplikasi :Vibrasi dari Rantai yang TergantungSuaturantaidenganmassapersatuanpanjangkonstan,denganpanjangLdigantungtegakluruspadasuatutumpuantetapOsepertidalam gambar. Pada saat t = 0, rantai ditempatkan dengan membentuksudut terhadap bidang vertikal, kemudian dilepaskan.x=0x=xx=LFU=(x,t)W(x)yxL = panjang rantai= densitas rantai (massa persatuan panjang) = konstan= sudut penyimpangan rantai terhadap bidang vertikalDIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 32Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaU(x,t) = besarnya simpangan di titik x = x pada rantai terhadap vertikalpada saat tBerat bagian rantai di bawah sembarang titik (x = x ) = W (x)W (x) =g (L-x)Karena rantai menyimpang sejauhterhadap bidang vertikal, maka,W (x)gaya tekan yang bekerja secara tangensial pada gerakrantai.Sehingga komponen horisontal dari gaya tekan[ ] ) x ( W :F (x) = W (x)sinJika0 ;W (x) Sin W (x) tg =W(x) x) t , x ( UAmbil bagian kecil rantai dari x sampaix +x ; denganx 0maka besarnya perubahan gaya : F (x+x) - F (x)F(x+x) - F (x) = W(x+x) ) x x () t , x x ( U + + - W(x) x) t , x ( U =0 xlim [W(x+x) ) x x () t , x x ( U + + - W(x)x) t , x ( U] xx = 1111]1

+ + + xx) t , x ( U) x ( w) x x () t , x x ( U) x x ( wx0 xlim ( )1]1

1]1

xUx L gxxx) t , x ( U) x ( wxxHukum Newton II : F = ma= massa xpercepatan-percepatan vibrasi : 22xU-massa dari bagian kecil rantai (x) = xDIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 33Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaGaya 22tUx F , gaya ini sama dengan perubahan gaya F(x+x) - F(x),jadi :1]1

xU) x L ( gxxtUx221]1

xU) x L (xg x1]1

xU) x L (xgtU22Bilagerakannyamerupakangerakperiodikdalamtdenganperiode2/, maka :) t cos( ) x ( y ) t , x ( U + ) t sin( ) x ( ytU + ) t cos( ) x ( ytU222 + ) t cos( ) x ( ' yxU + 1]1

+ xU) x L (xg ) t cos( ytU222[ ] ) t cos( y' ) x L (xg ) t cos( y2 + + [ ] y' ) x L (x) t cos( g ) t cos( y2 + + [ ] [ ] " y ) x L ( ' y g y' ) x L (xg y2 + " y ) x L ( ' y yg2 + g; 0 y ' y " y ) x L (22 2 + DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 34Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaMisal : L-x = z ;1dxdz dzdydzdy1dxdzdzdydxdy' y 2222dzy ddxdydzd1dzdydxddxdydxddxy d" y 1]1

1]1

1]1

Sehingga persamaan menjadi :0 ydzdydzy dz222 + +Misal : s2dzds;2sds4ds s 2dz4sz ; z 2 s22 22221 dsdyzdsdyz 22dsdys2dzdsdsdydzdy21212 2 dzdydsdzdsdyz21dsdydzdzdsdyz21dsdyzdzddzdydzddzy d212321232122 + 1]1

+ 1]1

1]1

1]1

+ dsdyzdsdzdsdyz21212123221 223dsy dzdsdyz21 + Persamaan menjadi0 ydsdyzdsy dzdsdyz21z221221 223 + +1]1

+ , atau0 ydsdyz z21dsy d22121222 +1]1

+ + 0 ydsdyz21dsy d221222 + + 0 ydsdyz21dsy d21122 + +DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 35Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya + + 0 ydsdys1dsy d22 PD Bessel dengan = 0Penyelesaian PD :) s ( J ) s ( y0Sehingga) g / x L 2 ( J ) x ( y0 Syaratbatas:padax=0rantaiberadapadaposisitetappadasetiapsaat : y(0) = 00 ) g / L 2 ( J 0 g / 0 L 2 ( J ) 0 ( y0 0 Akarpositifpertamadari0 ) g / L 2 ( J0 adalah2,4148,berarti4048 , 2 g / L 2 ;L / g24048 , 2 .Frekuensigetaran(gerakan)rantai=2siklus/satuanwaktu=L / g44048 , 2 siklus/satuan waktu1.5.2.Fungsi Bessel jenis keduaPersamaandiferensialBesselberbentuk:0 y ) n x ( ' xy " y x2 2 2 + + denganpenyelesaian:( ) x J c ) x ( J c ) x ( yn 2 n 1 + .Untuk n bilangan bulat, Jn(x) dan J-n(x) bergantungan secara linear, makaharusdicaripenyelesaianbasiskeduaselainJn(x)untukmemperolehpenyelesaian umum PD Bessel untuk n bilangan bulat.c1danc2adalahkonstantasembarang,dipilih + n sinFc ;n sinn cos FE c2 1, E dan F adalah konstanta sembarang.PUPD Bessel menjadi :) x ( jn sinF) x ( Jn sinn cos FE ) x ( yn n 1]1

+1]1

+ ) x ( jn sinF) x ( Jn sinn cos F) x ( J E ) x ( yn n n + DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 36Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya1]1

+ n sin) x ( J n cos ) x ( JF ) x ( J E ) x ( yn nn) x ( FY ) x ( J E ) x ( yn n+ dimana ' bulat bilangan n ;p sin) x ( J p cos ) x ( Jlimbulat bilangan n ;n sin) x ( J n cos ) x ( J) x ( Yp pn pn nnFungsi Yn(x) disebut fungsi Bessel jenis kedua.Untuk n = 0 PD Bessel menjadi :0 xy ' y " xy + +Akar-akar persamaan indicial: 0 r2 , 1 ,sehingga + + + + + 1 m2 mm20 00 21 m1 mm00 21 mmm 0 2x A ) 1 m ( mxJx' J2 x ln " J " Yx A mxJx ln ' J ' Y. x A x ln ) x ( J ) x ( YSubstitusikan" Y dan , ' Y , Y2 2 2kePD(1),kemudiandisederhanakandandiperoleh : + + +1 m 1 m 1 m1 mm1 mm1 mm 00 x A x A m x A ) 1 m ( m ' J 2Berdasarkan fungsi Bessel jenis pertama untuk n = 0diperoleh : 1 m 1 m1 m 21 m 2 m2 m 21 m 2 m0)! 1 m ( ! m 2x ) 1 () ! m ( 2x m 2 ) 1 () x ( ' JPersamaan menjadi : + + +1 m 1 m 1 m1 mm1 mm22 m 21 m 2 m0 x A x A m)! 1 m ( ! m 2x ) 1 (Koefisien dari 0 A : x10Koefisien dari,...... 3 , 2 , 1 s , 0 A A ) 1 s 2 ( : x1 s 2 1 s 22 s 2 + + +DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 37Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya........ , 0 A , 0 A , 0 A7 5 3 Koefisien dari 41A 0 A 4 1 : x2 21 s 2 + +Untuk s = 1,2,3, berlaku :0 A A ) 2 s 2 (! s )! 1 s ( 2) 1 (s 2 2 s 22s 21 s + + ++++untuk s =1 diperoleh : 1283A 0 A A 16814 2 4 + +Rumus untuk menentukan A2m :,.... 3 , 2 , 1 m ,m1....31211) ! m ( 2) 1 (A2 m 21 mm 2 ,_

+ + + +bila: maka ,m1...31211 hm+ + + + + 1 m2 m 2m1 m0 2) ! m ( 2h ) 1 (x ln ) x ( J ) x ( yJ0 dan y2(x) merupakan penyelesaian yang bersifat linear independence,sehingga:a(y2+bJ0)jugamerupakanpenyelesaianbasis.Bilaa=2,2 ln b maka :+1]1

+1 mm 22 m 2m1 m0 0x) ! m ( 2h ) 1 ( 22xln ) x ( J2) x ( Y ........................................ (1-42)....... 0 5772156649 , 0 ,m1.......4131211 hm + + + + + ,konstantaEuler+++++ +1]1

+0 mn m 2n m 2n m m1 mn nx)! n m ( ! m 2) h h ( ) 1 ( 12xln ) x ( J2) x ( Y 1 n0 mn m 2n m 2x! m 2)! 1 m n ( 1.................................................................... (1-43)0 h0 Sehingga PUPD Bessel untuk semua nilai n adalah :) x ( Y c ) x ( J c ) x ( yn 2 n 1+ DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 38Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya Rumus-rumus rekursi yang berlaku untuk) x ( Jnjuga berlaku untuk) x ( Yn.Contoh :1.Selesaikan PD:0 y ) 4 x ( ' xy " xy + +PD:0 y ) 4 x ( ' xy " y x2 2 + + merupakan PD Bessel dengan n = 2.PUPD-nya :) x ( Y C ) x ( J C ) x ( y2 2 2 1+ dengan[ ] ++++ + 1]1

++

,_

0 k2 k 2k10 k2 k 22 20 k2 k 2k2)! 2 k ( ! k)2x() 2 k ( ) k ( ) 1 (1)2x( )! k 1 (1) x ( J )2x( ln2) x ( Y) 3 k ( ! k2x) 1 () x ( J2. PD:0 y ) x ( ' xy " y x2 2 2 2 + + ; (subst x = z)Misalkan:z = x dxdzzxJadi, dzdydxdzdzdydxdy' y22222dzy ddzdydxddxdydzddzdydxddzdydxddxdydxddxy d" y

,_

,_

,_

,_

,_

PD menjadi:0 y ) x (dzdyxdzy dx2 2 22222 + ,_

+

,_

0 y )z(dzdy zdzy d z222222222 +

,_

+

,_

DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 39Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya + + dengan z dan y dalam Bessel PD 0 y ) z (dzdyzdzy dz2 2222PU PD:) x ( Y C ) x ( J C ) x ( y) z ( Y C ) z ( J C ) z ( y2 12 1 + + 3.0 xy ' y ) n 2 1 ( " xy + + + ) u x y (n Misalkanu x yn ;maka :[ ]22n 1 n 2 n22n 1 n 1 n 2 nn 1 n n 1 n22n 1 ndxu dxdxdunx 2 u nx ) 1 n (dxu dxdxdunxdxdunx u nx ) 1 n (dxduxdxdu x ndxddxdux u x ndxddxy ddxdux u x ndxdy + + + + 1]1

+ 1]1

+ + 0 u x xdxdux u nx ) n 2 1 (dxu dxdxdunx 2 u nx ) 1 n ( xn n 1 n22n 1 n 2 n +1]1

+ + +1]1

+ + PD menjadi:[ ] 0 u xdxduxdxu dx u x n 2 n n n0 u xdxdunx 2u x n 2dxdux u nxdxu dxdxdunx 2 u nx ) 1 n (1 n n221 n 1 n 2 21 n n1 n 2 n 1 n221 n n 1 n + + + + ++ + + ++ + + + masing-masing ruas dibagi dengan:nx0 u ) x n x (dxdudxu dx0 xudxdudxu dx u x n1 222221 2 + + + + + masing-masing ruas dikalikan dengan x : + + 0 u ) n x (dxduxdxu dx2 2222 PD Bessel dalam u dan xdengann DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 40Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaPU PD:[ ]) x ( Y x C ) x ( J x C) x ( Y C ) x ( J C x ) x ( u x ) x ( yu x y ; ) x ( Y C ) x ( J C ) x ( unn2 nn1n 2 n 1n nnn 2 n 1 + + + 4.) z x , u x y ( ; 0 y ) 3 x ( 4 ' xy 3 " y x2 2 4 2 + Misalkanu x y2 ;maka:( )222222 2222 2dxu dxdxdux 4 u 2dxu dxdxdux 2dxdux 2 u 2dxdux u x 2dxddxy ddxdux u x 2 u xdxddxdy+ + + + + ,_

+ + PD menjadi:Misalkan :x 2dxdzz x 22222dzu dx 4dzdu2dzdux 2dzdx 2dzdu2dxdudzdx 2dzdu2dzdudxdx 2dzdu2dzdux 2dxddxu ddzdux 2dxdzdzdudxdu+

,_

+

,_

+

,_

+ ,_

( ) ( )( )( ) 0 u 16 x 4dxduxdxu dxx dengan dibagi 0 u x 16 x 4dxduxdxu dx0 u x 12 x 4 x 6 x 2dxdux 3 x 4dxu dx0 u x ) 3 x ( 4dzdux xu 2 x 3dxu dxdxdux 4 u 2 x42242 2 6 32242 6 2 2 3 32242 4 2222 2 + + + + + + + + ,_

+ +

,_

+ +DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 41Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaPD menjadi:( )2 dengan z dan u dalam Bessel PD 0 u ) 4 x (dzduxdzu dxx 4 dengan dibagi 0 u ) 16 x 4 (dzdux 4dzu dx 40 u ) 16 x 4 (dzdux 2 x 2dzu dx 40 u ) 16 x 4 (dzdux 2 xdzu dx 4dzdu2 x22222 4 22244 2 22244222 2 + + + + + + +

,_

+

,_

+PU PD : ) z ( Y C ) z ( J C ) z ( u2 2 2 1+ ) x ( Y C ) x ( J C ) x ( u x z22 222 12+ [ ] ) x ( Y C ) x ( J C x ) x ( u x ) x ( y u x z22 222 12 2 2+ 1.5.3Fungsi bessel termodifikasi (modified Bessel function)PersamaanDiferensial:0 y ) n x ( ' xy " y x2 2 2 + + ................................................................................ (1-44)dikenal dengan nama persamaan Bessel termodifikasi orde n. Karena bisaditulis :0 y ) n x i ( ' xy " y x2 2 2 2 + ............................................................................. (1-45)yang merupakan persamaan Bessel dengan variable bebas ix danmempunyai penyelesaian umum: ) ix ( Y C ) ix ( J C yn 2 n 1+ ............................ (1-46)dengan ,DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 42Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya+++++++ + + + + + 0 kk 2 nk 2 nnn0 kk 2 nk 2 n k 2k nn0 kk 2 nk 2 nkn) 1 k n ( ! k 2x) ix ( J i) 1 k n ( ! k 2x i) 1 ( i ) ix ( J) 1 k n ( ! k 2) ix () 1 ( ) ix ( JBentuk[ ] ) ix ( J inn merupakan fungsi baru yang berharga real dan disebutfungsi Bessel termodifikasi jenis pertama orde n yang dinotasikan denganIn(x).+++ + 0 kk 2 nk 2 nn) 1 k n ( ! k 2x) x ( I ........................................................................ (1-47)I-n(x)didapat dengan mengganti n dengan n sebagai berikut :+ + + + 0 kk 2 nk 2 nn) 1 k n ( ! k 2x) x ( I.........................................................................................................(1-48)Untuk n tidak bulat In dan I-n merupakan penyelesaian yang linearindependenc e dari PD (1-44) sehingga penyelesaian umum PD (1) adalah:) x ( I c ) x ( I c yn 2 n 1 + , nbilangan bulat................................................... (1-49)Untuk n bulat :(-1)n J-n (ix) = Jn (ix)(i2)n J-n (ix) = Jn (ix)in J-n (ix) = i-n Jn (ix)I-n (x) = In (x)UntuknbilanganbulatI-n(x)=In(x)lineardepedenc e,sehinggaperludidefinisikanpenyelesaianbasisyanglainyangbersifatlinearindependence dengan In(x) sebagai berikut :DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 43Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaDipilih nBcnBA csin,sin 22 1 maka) x ( BK ) x ( AI yn sin) x ( I ) x ( I2B ) x ( AI y) x ( In sinB2) x ( In sinB2) x ( AI yn nn nnn n n+ 1]1

+ + '1]1

1]1

bulat bilangan n ;n sin) x ( I ) x ( I2limbulat bilangan n ;n sin) x ( I ) x ( I2) x ( K dengann nn pn nnKn (x) disebut fungsi Bessel termodifikasi orde n jenis kedua. PD Bessel termodifikasi bisa dinyatakan dengan : x2y + xy (2x2 + n2)y =0 dengan PUPD: y = c1 In(x) + c2 I-n(x) untuk n bilangan bulaty = c1 In(x) + c2Kn(x) untuk n = bilangan bulatUntuk = i, maka PD menjadi :0 y ) n ix ( ' xy " y x0 y ) n ix ( ' xy " y x2 2 22 2 2 + + + +Dan PUPD :) x i ( K c ) x i ( I c yn 2 n 1+ ) x i ( K c ) x i ( J c y2 1n 22 3n 1+ + + + + ++++0 kk 2 nk 2 n k 3 kn 2 30 kk 2 nk 2 n 2 3 k2 3n) 1 k n ( ! k 2x i ) 1 (i) 1 k n ( ! k 2) x i ( ) 1 () x i ( Ji3k = 1 ; k = 0,4,8,..i3k = -i ; k = 1,5,9,..i3k = -1 ; k = 2,6,10,..i3k = i ; k = 3,7,11,..Untuk k ganjil real ) x i ( J2 3n DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 44Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaUntuk k genap imaginer ) x i ( J2 3n Untuk k = 2j j k 3 k) 1 ( i ) 1 ( k = 2j+1i ) 1 ( i ) 1 (j k 3 k sehingga ( ) + 1]1

+ + +++ + + ++ +++I Rn 2 30 j 0 jj 4 2 nj 4 2 n jj 4 nj 4 n jn 2 3 2 3ni i) 2 j 2 n ( )! 1 j 2 ( 2x ) 1 (i) 1 j 2 n ( )! j 2 ( 2x ) 1 (i ) x i ( JMenurut Rumus de Moivre :4n 3sin i4n 3cos2sin i2cos in 2 3n 2 3+

,_

+Catatan :2sin i2cos z i z)abtg arc sin( i )abtg arc cos( ib a z+ + + Jadi,

,_

+2n 3sin i2n 3cos ) x i ( J2 3n( ) +I Ri =

,_

+ ,_

R I I R2n 3sin2n 3cos i2n 3sin2n 3cosdengan:Bern x= I R2n 3sin2n 3cosBeinx= R I2n 3sin2n 3cosUntuk n = 0:Bero x= Ber x=( )( ) [ ]o j2 j 4j 4 j! j 2 2x 1DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 45Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaBeiox= Bei x = ( )( ) [ ]+++o j2 2 j 42 j 4 j! 1 j 2 2x 1Dengan cara yang sama fungsi) x i ( K2 1ndapat juga dinyatakan dalamjumlahan : (deret real) + i (deret real) seperti di atas, dengan( ) x Kei i x Ker x i Kn n2 1n+ Sehingga PU PD :( ) 0 y n ix ' xy " y x2 2 2 + +adalah :) x Kei x Ker ( c ) x iBei x Ber ( c yn n 2 n n 1+ + + 1.5.4. Persamaan yang bisa ditransformasikan kedalam PD Bessel1.PD : ( ) 0 y x ' xy ) 1 K 2 ( " y x2 r 2 2 2 + + + +dengan , , , r k konstantaakan mempunyai PU PD :[ ] ) r ax ( Y C ) r ax ( J C x yrr 2rr 1k + s r 2b 4 ) r 1 (ns r 2a 22s r 22+ + + Jika a < 0 Jn dan Yn diganti dengan In dan KnJika n bulat Yn dan Kn diganti dengan J-n dan I-nContoh :1.PD :0 ay ' y " y x + +Dikalikan dengan x :0 axy ' xy " y x2 + +0 0 0 k ; 0a a ; 2 1 r ; 0 k2 2 2 22 DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 46Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayajadi PU PD :[ ]) ax 2 ( Y C ) ax 2 ( J C) ax 2 ( Y C ) ax 2 ( J C x y0 2 0 10 2 0 10+ + 2.PD :0 y ) 3 x 5 x 4 ( ' y ) 3 x 4 ( x " y x2 8 2 2 + + +a = - 3 ; b = 2 ; c = 3 ; d = - 5p = 4 ; q = 11 n ; 5 ; 2 1 ; 2 PU PD :[ ] ) 5 x ( K c ) 5 x ( I c e x y1 2 1 12 x 24+ 3.PD :0 y ) x 1 ( ' xy " y x2 + + dibagi x3 :0 yx1x1x' yx" y2 3 21]1

+ + 0 y ) x x ( )' ' y x (3 2 1 + + r = -1; s = -2; a = b = 1; = 0; =2 1 ; = 2; n = 0PUPD :[ ] ) x 2 ( J c ) x 2 ( J c x y0 2 0 1+ 4.PD :04) '1" ( 92 + + yxy yxy0 yx 94) y ' yx1" y (2 + + , dikalikan x20 y94y x ' xy " y x2 2 + + + + 0 y ) 9 4 x ( ' xy " y x2 2 PD Bessel dengan n = 2/3PUPD :) x ( J c ) x ( J c y3 2 2 3 2 1 + 5.PD :) r ( R R ;R' Rr1R" R +Dikalikan Rr2 PD menjadi : 0 r ' rR " R r2 2 PD Bessel termodifikasi dengan = ; n = 0PUPD :) r ( K c ) r ( I c R2 2 0 1 + 6.PD : 0 2 ' " + + ixy y xyDIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 47Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayaatau + + 0 y ix 2 ' xy " y x2 2PD Bessel dengani 2 PUPD :) i 2 x ( Y c ) i 2 x ( J c y0 2 0 1+ Soal Latihan.Selesaikan PD berikut !1. 0 y ) 4 x ( ' xy " y x2 2 + +2. ) z x ( ; 0 y41' y " xy + +3. ) z x ( ; 0 y )41x 4 ( ' xy " y x2 4 2 + +4. ) z x , u x y ( ; 0 y ) 3 x ( 4 ' xy 3 " y x2 2 4 2 + 5. ) z x , x u y ( ; 0 y )43x (41" y x2 + +6. ) z x , x u y ( ; 0 y x " y2212 +Jawaban :1. ) x ( Y B ) x ( J A y2 2+ 2. ) x ( Y B ) x ( J A y0 0+ 3. ) x ( Y B ) x ( J A y241241+ 4. [ ] ) x ( Y B ) x ( J A x y22222+ 5.1]1

+ ) x ( J B ) x ( J A x y21216.1]1

+ ) x21( Y B ) x21( J A x y241241DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 48Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaB BA AB B I II ID DE ER RE ET T F FO OU UR RI IE ER R2.1 Fungsi PeriodikFungsif(x)dikatakanperiodikdenganperiodaP,jikauntuksemuaharga x berlaku:) x ( f ) P x ( f + ;Padalah konstanta positif.Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau sering disebutperioda dari f(x).Contoh :Fungsi sin x mempunyai perioda 2; 4; 6; ...... karena sin (x+2) =sin (x+4) = sin (x+6) = ..........= sin x.Periode dari sin nx atau cos nx ; dengan n bilangan bulat positifadalah 2/n.Periode dari tan x adalah .Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif.Gambar grafik dari fungsi-fungsi yang periodik, misalnya :Pokok Bahasan!Fungsi Periodik!Deret Fourier!Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil!Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah Jangkauan (Half-Range)DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 49Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayayxy = sin xy = cos x0Perioda 2xyx0Perioda 2(a)(b) 2 2yxPerioda(c)xPerioda0(d)yxPerioda0(e)Fungsif(x)dikatakankontinupadasetiapsegmen(piecewisecontinuousfunction),bilaf(x)hanyakontinupadainterval-intervaltertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. HargaDIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 50Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayaf(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsif(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval).xx1x2x30 x4f(x)2.2 Deret FourierDalambeberapapermasalahanyangberhubungandengangelombang(gelombangsuara,air,bunyi,panas,dsb);pendekatandengan deret Fourier yang suku-sukunya memuat sinus dan cosinus seringdigunakan.DenganmengekspansikankedalambentukderetFourier;suatufungsiperiodikbisadinyatakansebagaijumlahandaribeberapafungsi harmonis, yaitu fungsi dari sinus dan cosinus (fungsi sinusoidal).Definisi Deret Fourier :Jikafungsif(x)terdefinisipadainterval(-L;L)dandiluarintervaltersebutf(x)periodikdenganperiode2L;makaderetFourieratauekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut di definisikan sebagai :1. + 1 nLx nnLx nn0) sin b cos a (za) x ( f ............................................................... (2-1)dengan koefisien Fourier n nb , a ditentukan oleh :2.dx cos ) x ( fL1aLL Lx nn ; dx ) x ( fL1aLL0 ................................................ (2-2)dx sin ) x ( fL1bLL Lx nn ; n = 0, 1, 2, 3, .......... .............................................. (2-3)Jika interval (L;L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2Lmaka :DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 51Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya3.dx cos ) x ( fL1aL 2 CC Lx nn +;dx ) x ( fL1aL 2 CC0 + ............................................ (2-4)4.dx sin ) x ( fL1bL 2 CC Lx nn +; n = 0, 1, 2, 3, .......... .............................................. (2-5)dengan C sembarang bilangan real.Jika C = -L maka rumus (2-4) dan (2-5) akan sama dengan (2-2)dan (2-3).Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/kondisi Dirichlet.Syarat / Kondisi DirichletTeorema : Jika,1.f(x)terdefinisidanbernilaitunggal,kecualipadabeberapatitikyang banyaknya berhingga pada interval (-L:L).2.f(x) periodik dengan perioda 2L.3.f(x)danf(x)merupakanfungsi-fungsiyangkontinupadasetiapsegmen pada interval (-L;L).MakaderetFourier(2-1)dengankoefisien(2-2)dan(2-3)atau(2-4)dan (2-5)konvergen ke :a.f(x) ; jika x merupakan titik kontinu pada interval (-L;L)b.;2) x ( f ) x ( f ++jika x adalah titik diskontinu.Contoh :1.Tentukan deret Fourier dari fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai :' < 0 maka aliran panas terjadi dari bidang IImengalirkebidangI,sebab u+ u >uFluks panas = jumlah panas persatuan panjang persatuan waktusebanding denganu ; berbanding terbalik dengann Fluks panas dari I ke II = nukK = konstanta pembanding = = konduktivitas termal ; k > 00 n ;maka0 u ,karenabidangIdanbidangIImakinberimpit,sehingga,fluks panas yang melewati bidang I = nuknukit lim0 u0 n Fluks panas yang melewati volumexSNWQRVTPzyMisalkanpanasmasukdandankeluardalamarahxpositif,ypositif,zpositif Fluks panas yang melewati permukaan elemen volum :Bidang PQRS = xxukDIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 72Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas BrawijayaBidang NPST = yyukBidang NPQW = zzukJumlah panas yang masuk pada masing masing sisi bidang selamat =(Fluks panas) x (luas bidang ) xt sehinggaJumlah panas yang masukmelalui permukaan elemen volum :Bidang PQRS = xxuk t ) z y ( Bidang NPST =yyuk t ) z x ( Bidang NPQW = zzuk t ) y x ( Jumlah panas yang keluar melalui permukaan elemen volum:Bidang PQRS = x xxuk + t ) z y ( Bidang NPST = y yyuk + t ) z x ( Bidang NPQW = z zzuk + t ) y x ( Perubahan panas yang terjadi pada volumev dalam arah x, y, dan z= ( panas masuk - panas keluar ) pada masing masing sisi bidang Perubahan panas dalam volumez y x v adalah :Arah x ={ }x x xxukxuk +t ) z y ( Arah y ={ }y y yyukyuk +t ) z y ( Arah x ={ }zx z zzukzuk +t ) z y ( perubahan yang terjadi dalam volume vDIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 73Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya+ ;' +t ) z y (xukxukxx x+ ;' +t ) z x (yukyukyy yt ) y x (zukzukzz z ;' +(i)Jikamassadarivolumev adalahm,makabanyaknyapanasyangdibutuhkan untuk menaikkan temperatur dari u menjadi u u + adalah:u m = ( massa x panas jenis x kenaikan temperatur)m=z y x ,=densitas/massajenisdarivolumev=massapersatuan volumepanasyangdibutuhkanuntukmenaikkantemperatursampaiu padavolumeu z y x v (ii)panasyangdibutuhkanuntukmenaikkantemperatur v =denganjumlah perubahan panas dari masing masing sisi ; atau (i) = (ii)+ ;' +t ) z y (xukxukx x x+ ;' +t ) z x (yukyuky y yt ) y x (zukzukz z z ;' +=jika masing masing ruas dibagidengant z y x menjadi:zzukzukyyukyukxxukxukz z z y y yx x x++ + + +tu Jika 0 z , 0 y , 0 x ,maka nilai limitnya sama dengantuzukz yuky xukx 1]1

+1]1

+1]1

z y xDIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 74Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayakarena k konstan maka :tuzuy xuk222u 222 1]1

++tuu k2 Persamaan atur untuk konduksi panas 3 dimensi adalah :uktu2atauu ctu2 ....................................................................... (3-2) dimanakcdifusivitasPersamaan konduksi panas satu dimensix=0x=L xBatangdenganpenampangseragamdiisolasisecaralateral.Panjangbatang=Ldandiletakkanpadasumbux.Temperaturpadabatang pada suatu waktu hanya tergantung pada posisi x , u = u(x,t).Persamaan atur untuk konduksi panas 1 dimensi :22xuctu ;0 tL x 0> ........................................................................ (3-3)Adaduamacamsyaratbatasuntukmasalahperpindahanpanaskonduksi yaitu kondisi batas (boundary condition) dan kondisi awal (initialc ondition).Kondisi batas adalah kondisi pada batas (ujung) batang padawaktu t sembarang. Kondisi awal adalah temperatur padaxsembarangpada waktu t=0.Syarat batas untuk perpindahan panas konduksi1 dimensi adalah :1.Jikatemperaturawalnyaadalahf(x)dantemperaturpadaujungdijaga konstan pada nol, maka kondisi batasnya :0 ) t , l ( u0 ) t , 0 ( u pada waktu t>0DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK IIOleh : Tim Matematika-Jurusan Teknik MesinProgram Semi Que IV 75Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijayakondisiawal pada t = 0 : L x 0 ); x ( f ) 0 , x ( u untukpertimbanganfisisbiasanyatemperaturdibatasidenganM ) t , x ( u