Matematika I MF 2014

7/26/2019 Matematika I MF 2014

1/9

Drugi parcijalni ispit, 23. 01. 2014.

1. Odrediti presjene take i ugao izmeu krivih2 2 2 29, 6 9.x y x y x

2. Ispitati funkciju i nacrtati joj graf:2 3

ln .2 3

y

3.

Izraunati integral

3 2

3

2.

1

x xdx

Pismeni dio ispita iz Matematike I, 30. 01. 2014.

I GRUPA

1. Odrediti broj nako se zna da peti lan razvoja binoma 3 1

n

x

ne zavisi od x.

2. Dokazati da se mimoilaze prave :

2 3 1

x y za

i2 1 2

:

3 5 2

x y zb

i nai njihovu meusobnu

udaljenost.

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj graf: 2

2 42 3 .x

y e x x

4. Izraunati integral3 6

.1 x x x

dxI

e e e

II GRUPA

1. Nai sve racionalne lanove u razvoju binoma

148 2 2 .

2. Nai ravan koja prolazi kroz pravu : 5 0, 4 0a x y z x z i sa ravni 4 8 1 0x y z zatvara

ugao od0

45 .

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj graf: 22 21 4 .xy e x

4. Izraunati integral 43

11 .dx

x

III GRUPA

1.

Nai lan u razvoju binoma

10

3 2 3

1 1

1

x x

x xx x

koji ne sadri x.

2. Nai jednainu prave koja sijee prave3 5

:2 3 1

y za

i

10 7:

5 4 1

y zb

i paralelna je pravoj

2 1 3: .

8 7 1

x y zc

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj graf: 2

2

2.

3

x xy


2/9


.sin cos

dx

x x

IV GRUPA

1. U razvoju binoma

3

15 28

1

6

n

a a

a

nai lan koji ne sadri aako se zna da je zbir binomnih koeficijenata

prva tri lana jednak 79.

2. Nai taku na y osi koja je podjednako udaljena od ravni : 2 3 6 6 0x y z i

: 8 9 72 73 0.x y z

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj graf:

2

2

ln 2 ln.

x xy

4. Izraunati integral6

.sin

dx


I GRUPA

1. Izraunati 24

1231 2 3 .

2

i

2.

Rijeiti matrinu jednainu 1 1

,T TA B X I A X

ako je

2 1 3 2 1 0

0 2 1 , 0 2 1 ,

0 0 0 0 0 2

A B

a I je jedinina matrica.

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik

2

4

4 3.

2 1

xy

4. Izraunati integral

3

3

1 3.

2

x xI dx

x x

II GRUPA

1. Nai realni i imaginarni dio broja

2221 3 1 3

.6 2

iz

i

2.

Rijeiti matrinu jednainu 4 2 ,ABX X C ako je

1 1 11 0 3

0 2 , , 0 .1 2 1

3 1 1

A B C

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik2

1

3 4 .xy x e

4.

Izraunati integral

3

ln .I x xdx


3/9

III GRUPA

1. Nai realni i imaginarni dio broja

4

15

2 6.

3 7sin cos

10 10

iz

i

2.

Rijeiti matrinu jednainu 1

1 ,X B A XB B A ako je

4 1 0 0 1 1

2 6 3 , 2 2 2 .

7 8 22 1 1 1

A B

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik

2

32

4 12.

1y

x

4. Izraunati integral 2

2

ln 1.

x xI dx

x

IV GRUPA

1.

Nai sve vrijednosti korjena

44 3 3 3 3 4

3 4

i

i

u skupu kompleksnih brojeva.

2.

Rijeiti matrinu jednainu 1 1

1 1 1 1 1 1

2 2 2 ,XA B BA X I XA B

ako je

1 2 10 10, .

2 2 12 13A B

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik ln 1 2

.2 1

y


2

2 3.

8 6 9

dxI

x


I GRUPA

1. Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od realnog parametra :

6 3 21

3 2 9

3 2 13.

x y z

x y z

x y z

2. Nai jednainu prave koja prolazi kroz taku 3, 1, 1M i sijee pravu3 2

:1 1 2

y za

pod uglom

od .3


4/9

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik

2 4

22

9.

3

x xy

x

4.

Izraunati integral

2

1 1

11I dx

x

pomou smjene

21 .1

xt

II GRUPA

1.

Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od realnog parametra :

8 4 29

4 3 13

4 2 1 16.

x y z

x y z

x y z

2.

Nai jednainu ravni koja prolazi kroz pravu2 3

: ,1 2 1

y za

a sa pravom

2 3 0:

3 0

x y zb

x y z

gradi ugao 2arcsin .3

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik 2ln 5 7 .x xy e e


3

2

2 2

22

xI dx

xx

pomou smjene

32 .2

xt

x

III GRUPA

1.

Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od realnog parametra :

10 5 37

5 4 17

5 2 2 19.

x y z

x y z

x y z

2. Neka je ravan koja sadri pravu2 2 3

:1 1 2

x y za

i taku 1,1, 2 .A Nai taku koja je

simetrina koordinatnom poetku u odnosu na ravan .

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik2

2.

x

xy

xe

4.

Izraunati integral

2 2,

16 9

dxI

x

pomou smjene

2.

9

xt

x


5/9


I GRUPA

1. Dokazati matematikom indukcijom tvrdnju: 13 5 5 1 6 3 2 .n n n n n n

2.

Nai jednainu prave koja prolazi kroz koordinatni poetak i sijee prave2 2 1

:

2 1 1

x y za

i2 1

: .1

x y zb

x y z

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik

22 ln 3ln.

xy

x


3 5

2 4

cos cos.

sin sin

xI dx

x x

II GRUPA

1.

Dokazati matematikom indukcijom tvrdnju: 2 321 2 1 2 1 .n n n

2.

Date su prave1 5

:1 1 1

x y za

i

2 2 3 0: .

3 5 2 1 0

x y zb

x y z

Dokazati da se ove prave sijeku, te nai njihovu zajedniku taku i jednainu ravni koja ih sadri.

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik:

3

2

24.

3 28

xy

(Uputa: Funkcija ima jednu prevojnu taku

ija je prva koordinata 0 1,18.x )

4.

Izraunati integral2sin cos

.sin cos

xdxI

x

III GRUPA

1. Dokazati matematikom indukcijom tvrdnju: 28 135 1 3 3 5 .n n n n n

2.

Date su ravni : 2 3 0x y z i : 3 1 0,x y prava2 1 1

:1 1 1

y zp

i taka

2,2, 3 .P Ako se ravni i sijeku po pravoj ,q a je ravan koja sadri pravu pi taku P, nai

projekciju prave qna ravan .

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik:2

5 2

.

x

xy xe

4. Izraunati integral:

2

4

sin.

sin cos

xI dx

x x


6/9


I GRUPA

1.

Rijeiti jednainu4 2

2 4 0z z u skupu kompleksnih brojeva.

2. Dati su vektori: 3 2 , 2 ,a m n p b m n p

pri emu je 2, 3,m n

2,p

, , , , .3 2m n n p m p

Izraunati a

i .b


24

ln .4

xy

x

4. Izraunati integral: .1

x

x

xeI dx

e

II GRUPA

1. Rijeiti jednainu

510

6

10

1 3

1 3

i iz

i


2. Date su take: 2, 1,1 , 3, 2 ,1 , 5,1, , 4, 2, 2 .A B C D

a) Odrediti sve realne brojeve tako da take , , ,A B C D nisu vrhovi tetraedra u prostoru.

b) Ako je 1, izraunati visinu tetraedra ABCD povuenu iz vrha C.


22

3

2.

1

xy

x

Odrediti apscise taaka u kojima grafik date funkcije

sijee svoju asimptotu.

4. Izraunati integral:

2 2ln

.1 1

x xI dx

x x

III GRUPA

1. Rijeiti jednainu

114 38

2 3 2 1 3

iz

i i


2. Date su take: 1, 3, 1 , 3, 3,1 , 2,1, , 4, 4, 1 .A B C D Odrediti sve realne brojeve tako da

zapremina tetraedra ABCD bude5

.3

V Zatim, uzimajui najmanju dobijenu vrijednost za ,

izraunati uglove ABC i .BAC

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik:

1

2 1.xy x e

4. Izraunati integral22 arctg .I x x dx


7/9


I GRUPA

1. Odrediti lan razvoja binoma

21

33

2, 0

2

x yx y

y x

koji sadri stepene od x i y sa istim

izloiocem.2. Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od realnog parametra a:

1

3 3

3 2 4

2 2 .

x y z

ax y z

x az

y z a


4 2

2

2 6 2.

3

x xy

x

4.

Izraunati integral

5 3 2

5 3

1.

2

x x xI dx

x x

II GRUPA

1. Izraunatixako se zna da je esti lan u razvoju binoma 12

71

log 3 11 59 7 2

x

x

jednak 84.

2. Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od realnog parametra a:

12 5 5

3 2 3 7

1 5 3 3.

x y za x y z

a x a y z

a x y z a

3.


2

.1x

xy

e x

4. Izraunati integral3

.2

dxI

x x

III GRUPA

1. Izraunatixako se zna da je esti lan u razvoju binoma

7log 10 3 5 2 log3

2 2x

x

jednak 21.

2. Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od realnog parametra a:

1

2 5 5

4 2 1 5

4 5 3.

y z

x a y z

x y a z

x y z a

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik: 4 2ln 3 2 .y x x


8/9

4.

Izraunati integral

2

4 3 2

7 26 9.

4 4 9

x xI dx

x x


I GRUPA

1.

Rijeiti matrinu jednainu 1

2 1 1 ,X A X A X B

ako su poznate matrice:

2 1 1 0 1 0

2 2 1 , 0 0 1 .

1 1 1 1 0 0

A B

2. Nai sve brojeve mza koje prava1 2

:2 2 1

x y za

i prava bkoja prolazi kroz take 1, 1,1M m i

1, 2 1, 0 ,N m m lee u istoj ravni. Zatim, za najmanju naenu vrijednost broja m, odrediti jednainuravni koja sadri prave ai bi udaljenost take Mod prave a.

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik:2

2

11

.

x

xy e

4.

Izraunati integral4 2

1.

4 4

xI dx

x

II GRUPA

1.

Rijeiti matrinu jednainu 1 1 1,A X B C ako su poznate matrice:1 1 1

0 1 2 ,

0 1 3

A

2 0 5 0 2 1

0 1 4 , 1 1 2 .

0 1 2 1 1 0

B C

2. Nai jednainu prave a, koja prolazi kroz taku 1, 1,0 ,S paralelna je ravni : 2 2 0x y z i

sijee pravu1 1

: .

1 2 1

x y zb

Zatim odrediti zapreminu piramide ABCS, gdje su A, B, C take u kojima

ravan sijee koordinatne ose.

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik: 1

1 ln 1 .y x

(Uputa: 0y ).


2 3.

10 25

xI dx

x


9/9

III GRUPA

1.

Rijeiti matrinu jednainu1 1 1 1 ,A X C XB X C A ako su poznate matrice:

0 1 2

2 1 3 ,

1 1 1

A

1 3 5

3 , 1 1 4 .

1 1 1

B A C

2.

Data je prava2 3 0

:2 0

x za

y z

i ravan : 3 4 0.x y z Ako je M taka u kojoj prava a sijee

ravan , nai pravu bkoja sadri taku M, lei u ravni i okomita je na pravu a.

3.


2

2

4 1 1.

1 2 1

x xy

x x

4.

Izraunati integral 4 23 4 .4 4 1xI dx

x

Documents

Matematika I MF 2014