Upload
others
View
15
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Matematika Ekonomi, MKK30234
FEBI, IAIN Palopo
9/20/2016 ©Aswad2016 1
9/20/2016 ©Aswad2016 2
Definisi 1.1.
Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek
yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa
disebut dengan elemen-elemen atau anggota-
anggota dari himpunan.
9/20/2016 ©Aswad2016 3
Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf
kapital seperti A, B, D, dsb. Sementara untuk
menyatakan setiap elemennya digunakan huruf
kecil seperti a, b, c, dsb.
a ∈ A : a adalah anggota/elemen dari himpunan A
b ∉ A : b bukan anggota dari himpunan A
Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam
beberapa cara:
1. Enumerasi
Contoh 1: A = {1, 2, 3, 4}
2. Notasi pembentuk himpunan
Contoh 2: A = {x| x < 5, x ∈ ℕ}
B = {x| 0 ≤ x < 1, x ∈ ℝ}
Cara ke-2 sangat sering digunakan terutama
untuk kasus himpunan yang tidak berhingga
(infinite set).
9/20/2016 ©Aswad2016 4
Definisi 1.2.
Suatu himpunan dengan jumlah elemen yang berhingga disebut dengan himpunan berhingga (finite set). Jumlah elemen dari himpunan berhingga A disebut dengan kardinal dari himpunan A dan dinotasikan dengan n(A) atau |A|.
Himpunan dengan jumlah elemen yang tidak berhingga disebut dengan himpunan tak berhingga (infinite set).
9/20/2016 ©Aswad2016 5
Contoh 3.
Berdasarkan Contoh 2, maka
n(A) = 4, dan n(B) = ∞
9/20/2016 ©Aswad2016 6
Definisi 1.3.
1. Himpunan B disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan A (B ⊆ A) jika setiap anggota di B adalah juga anggota di A.
2. Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A.
3. Himpunan A dikatakan himpunan kosong / empty set (A = ∅ atau A = {}) jika himpunan A tidak memiliki elemen. Atau dengan kata lain kardinal dari A samadengan 0 (n(A) = 0).
9/20/2016 ©Aswad2016 7
Contoh 4.
1. Misalkan A = {1, 3, 5}, dan B = {1, 2, 3, 4,
5}. Maka A ⊆ B.
2. Jika K = {0, 1} dan L = {x | x(x – 1) = 0},
maka K = L.
3. S = {orang indonesia yang pernah ke bulan}
= ∅
9/20/2016 ©Aswad2016 8
Definisi 1.4.
Misalkan diberikan himpunan A. Himpunan dari
semua himpunan bagian dari A disebut dengan
power set dari A, disimbolkan dengan P(A).
9/20/2016 ©Aswad2016 9
Contoh 5.
Misalkan K = {1, 3, 5}.
Himpunan bagian dari K adalah K1 = {1}, K2 = {3}, K3 = {5}, K4 = {1, 3}, K5 = {1, 5}, K6 = {3, 5}, K7 = {1, 3, 5}, dan K8 = ∅.
Karena K1 sampai dengan K8 merupakan himpunan bagian dari K maka power set dari K = P(K) = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, K7, K8}.
9/20/2016 ©Aswad2016 10
Banyaknya elemen / kardinal dari suatu power
set dari suatu himpunan terbatas A, ditulis
n(P(A)) sama dengan 2 dipangkatkan dengan
kardinal dari himpunan A.
n((P(A)) = 2n(A)
9/20/2016 ©Aswad2016 11
Contoh 6.
Perhatikan kembali Contoh 5.
Diketahui n(K) = 3.
Sehingga n(P(K)) = 2n(K) = 23 = 8.
9/20/2016 ©Aswad2016 12
9/20/2016 ©Aswad2016 13
Definisi 2.1.
Gabungan (union) dari
himpunan A dan B adalah
sebuah himpunan yang setiap
elemennya merupakan
elemen dari himpunan A
atau himpunan B.
Notasi : A ∪ B = {x | x ∈ A
atau x ∈ B}.
9/20/2016 ©Aswad2016 14
Definisi 2.2.
Irisan (intersection) dari
himpunan A dan B adalah
sebuah himpunan yang setiap
elemennya merupakan
elemen dari himpunan A dan
himpunan B.
Notasi : A ∩ B = {x | x ∈ A
dan x ∈ B}.
9/20/2016 ©Aswad2016 15
Definisi 2.3.
Selisih dari dua himpunan A
dan B adalah suatu himpunan
yang elemennya merupakan
elemen dari A tetapi bukan
elemen dari B.
Notasi: A – B = {x | x ∈ A dan
x ∉ B} = A ∩
9/20/2016 ©Aswad2016 16
B
Definisi 2.4.
Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.
Notasi: Ac = {x | x ∈ U dan x ∉ A}.
9/20/2016 ©Aswad2016 17
Contoh 7.
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {3, 5, 7}, dan B = {2, 3, 4, 7, 8}. Maka:
a) A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 7, 8}.
b) A ∩ B = {3, 7}.
c) A – B = {5}.
d) B – A = {2, 4, 8}.
e) Ac = {1, 2, 4, 6, 7, 8}
f) Bc = {1, 5, 6}.
9/20/2016 ©Aswad2016 18
Misalkan diberikan suatu himpunan A, B, dan
C. Beberapa sifat dasar yang berlaku pada
himpunan tersebut diantaranya:
1. Komutatif
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
2. Assosiatif
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
3. Distributif
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
9/20/2016 ©Aswad2016 19
Contoh 8.
Misalkan A = {3, 4, 5}, B = {3, 5, 6, 7}, dan C =
{2, 3}. Maka:
(A ∩ B) ∪ C = {3, 5} ∪ {2, 3} = {2, 3, 5}
(A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = {2, 3, 4, 5} ∩ {2, 3, 5, 6, 7}
= {2, 3, 5}
Jadi terlihat bahwa (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B
∪ C) = {2, 3, 5}.
9/20/2016 ©Aswad2016 20
Misalkan A dan B adalah suatu himpunan
berhingga. |A| dan |B| melambangkan
kardinal dari A dan B. Maka:
a) |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|
b) |A – B| = |A| – |A ∩ B| = |A ∪ B| – |B|
9/20/2016 ©Aswad2016 21
Contoh 9.
Suatu dealer mobil telah menjual 350 buah mobil
sepanjang tahun ini. Dari jumlah tersebut, 130
mobil memiliki ekstra penyejuk udara, 255 mobil
memiliki power steering, dan 110 mobil memiliki
sistem navigasi. Sementara itu, 75 mobil memiliki
power steering dan sistem navigasi, 10 mobil hanya
memiliki sistem navigasi, 20 mobil tidak memiliki
ekstra penyejuk udara, power steering, maupun
sistem navigasi, dan 10 mobil lagi justru memiliki
ketiganya. Jika dimisalkan A adalah himpunan
mobil yang memiliki ekstra penyejuk udara, P
adalah himpunan mobil yang memiliki power
steering, dan N adalah himpun mobil dengan
sistem navigasi, gambarkan diagram venn-nya.
9/20/2016 ©Aswad2016 22
Penyelesaian:
Diketahui |S| = 350, |A| = 130, |P| = 255,
|N| = 110, |P ∩ N| = 75, |N – (A ∪ P)| = 10,
|A ∪ P ∪ N|c = 20, dan |A ∩ P ∩ N| = 10.
9/20/2016 ©Aswad2016 23
Berdasarkan diagram venn tersebut, maka
x + y + 35 = 130 atau x + y – 95 = 0 (1)
y + z + 75 = 255 atau y + z – 180 = 0 (2)
x + y + z + 110 = 350 – 20
atau x + y + z – 220 = 0 (3)
dari (1) dan (2) diperoleh x = z – 85
dari (3) diperoleh y = 180 – z
Selanjutnya, subtitusi x = z – 85 dan y = 180 – z ke persamaan (3)
x + y + z – 120 = 0
⇔ (z – 85) + (180 – z) + z – 220 = 0
⇔ (z – 85) + (180 – z) – + z – 220 = 0
⇔ z = 125
Jadi, x = 125 – 85 = 40 dan y = 180 – 125 = 55.
9/20/2016 ©Aswad2016 24
Sehingga diagram venn-nya menjadi:
9/20/2016 ©Aswad2016 25
Definisi 2.5.
Suatu pasangan terurut (a, b) dengan a ∈ A
dan b ∈ B disebut hasil kali produk/cartesian
product dari A x B.
Notasi: A x B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}.
9/20/2016 ©Aswad2016 26
Contoh 10.
Misalkan A = {2, 3} dan B = {3, 4, 5}.
A x B = {(2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3,
5)}
B x A = {(3, 2), (4, 2), (5, 2), (3, 3), (4, 3), (5,
3)}
9/20/2016 ©Aswad2016 27
Misalkan A dan B himpunan berhingga dengan
|A| = n dan |B| = m. Maka
|A x B| = |B x A| = |A| . |B| = n . m.
9/20/2016 ©Aswad2016 28
Contoh 11.
Perhatikan kembali Contoh 10
|A| = 2 dan |B| = 3.
Jadi, |A x B| = |B x A| = 2 . 3 = 6.
9/20/2016 ©Aswad2016 29
9/20/2016 ©Aswad2016 30
9/20/2016 ©Aswad2016 31
9/20/2016 ©Aswad2016 32