Matematika Diskrit 1 - Official Site of AHMAD SABRI ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50652/4...Aturan pengurutan ini dapat diperluas untuk n-tupel. Matematika Diskrit

Matematika Diskrit 1Poset dan Lattice

Dr. Ahmad Sabri

Universitas Gunadarma

Matematika Diskrit 1

Poset

Himpunan terurut parsial

Himpunan terurut

Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan S dan memenuhiketiga sifat berikut ini:

Refleksif (untuk sebarang a ∈ S, berlaku (a, a) ∈ R);

Antisimetrik (jika (a, b), (b, a) ∈ R, maka a = b;

Transitif (jika (a, b), (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R;

mala R disebut sebagai sebuah pengurutan parsial, atau singkatnyarelasi urut. Dalam hal ini R dikatakan sebagai pengurutan parsialdari S.


Poset



Definisi

Sebuah himpunan terurut parsial (partially ordered set/POSET)adalah sebuah himpunan di mana elemen-elemennya terurutberdasarkan sebuah relasi urut.


Poset


Simbol relasi urut

• Relasi urut yang berlaku pada bilangan riil: ≤, <.• Simbol umum: - (dibaca: mendahului), ≺ (tepat mendahului).


Poset


Relasi urut semu (quasi order)

Definisi

Misalkan ≺ adalah relasi pada himpunan S dengan dua sifatberikut:

Irefleksif (untuk sebarang a ∈ S, berlaku a 6≺ a).

Transitif.

Dalam hal ini, ≺ disebut sebagai relasi urut semu pada S.


Poset


Komparabilitas

Definisi

Misalkan a dan b adalah elemen pada poset S. Maka, a dan bdikatakan dapat dibandingkan (comparable) jika

a - b atau b - a.

Dalam hal lain, a dan b dikatakan tidak dapat dibandingkan(noncomparable), dan dinotasikan sebagai a||b.


Poset


Himpunan terurut total

Sebuah himpunan S dikatakan terurut total atau terurut linier(totally ordered/linearly ordered) jika sebarang dua elemen pada Sdapat dibandingkan. Dalam hal lain, dikatakan S terurut parsial.

Q1: Apakah subhimpunan dari himpunan terurut parsialdimungkinkan untuk terurut total?Q2: Apakah subhimpunan dari himpunan terurut totaldimungkinkan untuk terurut parsial?


Poset


Himpunan terurut total

Sebuah himpunan S dikatakan terurut total atau terurut linier(totally ordered/linearly ordered) jika sebarang dua elemen pada Sdapat dibandingkan. Dalam hal lain, dikatakan S terurut parsial.

Q1: Apakah subhimpunan dari himpunan terurut parsialdimungkinkan untuk terurut total?Q2: Apakah subhimpunan dari himpunan terurut totaldimungkinkan untuk terurut parsial?


Poset


Pengurutan himpunan hasil kali

Dua cara di antaranya:

Urutan hasil kali (product order): (a, b) - (a′, b′) jika a ≤ a′and b ≤ b′.Urutan leksikografis (urutan kamus/alfabetis): (a, b) ≺ (a′, b′)jika a < a atau jika a = a′ dan b < b′.

Aturan pengurutan ini dapat diperluas untuk n-tupel.


Poset


Pengurutan himpunan hasil kali

Dua cara di antaranya:

Urutan hasil kali (product order): (a, b) - (a′, b′) jika a ≤ a′and b ≤ b′.Urutan leksikografis (urutan kamus/alfabetis): (a, b) ≺ (a′, b′)jika a < a atau jika a = a′ dan b < b′.

Aturan pengurutan ini dapat diperluas untuk n-tupel.


Poset


Penutup Kleene

Definisi

Diberikan A himpunan alfabet terurut linier. A∗ disebut penutupKleene dari A, jika A∗ terdiri dari semua untai w pada A.


Poset


Relasi urut pada penutup Kleene

Relasi urut pada A∗:

Urutan leksikografis:

1 Jika λ =, maka λ < w untuk sebarang w tidak-kosong.2 Misalkan u = au′ dan v = bc′ adalah dua untai tidak-kosong,

di mana a, b ∈ A dan u′, v′ ∈ A∗. Maka u ≺ v jika a < b ataujika a = b namun u′ < v′.

Urutan short-lex: A∗ terlebih dahulu diurutkan menurutpanjangnya, kemudian secara leksikografis. Secara formal, jikau, v ∈ A∗, u 6= v, maka berlaku: u ≺ v jika |u| < |v| atau jika|u| = |v| dan u ≺ v.


Poset


Relasi urut pada penutup Kleene

Relasi urut pada A∗:

Urutan leksikografis:

1 Jika λ =, maka λ < w untuk sebarang w tidak-kosong.2 Misalkan u = au′ dan v = bc′ adalah dua untai tidak-kosong,

di mana a, b ∈ A dan u′, v′ ∈ A∗. Maka u ≺ v jika a < b ataujika a = b namun u′ < v′.

Urutan short-lex: A∗ terlebih dahulu diurutkan menurutpanjangnya, kemudian secara leksikografis. Secara formal, jikau, v ∈ A∗, u 6= v, maka berlaku: u ≺ v jika |u| < |v| atau jika|u| = |v| dan u ≺ v.


Poset


Pendahulu dan penerus terdekat

Definisi

Diberikan poset S dan a, b ∈ S di mana a < b. Jika tidak terdapatc ∈ sehingga a < c < b, maka, a dikatakan sebagai pendahuluterdekat (immediate predecessor) dari b, atau b adalah penerusterdekat (immediate successor) dari a, atau b adalah tutup dari a,dan dinotasikan sebagai a� b.

Relasi urut pada S terdefinisi jika kita mengetahui semua pasanganelemen a, b ∈ S di mana a� b.


Poset


Diagram Hasse

Diagram Hasse dari poset berhingga S adalah graf berarah dimana simpulnya adalah elemen dari S dan busurnyamenghubungkan simpul a dan b jika a� b.

Secara alternatif, diagram Hasse dapat digambarkan secaravertikal, di mana simpul a digambarkan di bawah simpul b jikaa < b, dan kedua simpul tersebut terhubung langsung oleh ruasgaris jika a� b.


Poset


Diagram Hasse

Diagram Hasse dari poset berhingga S adalah graf berarah dimana simpulnya adalah elemen dari S dan busurnyamenghubungkan simpul a dan b jika a� b.

Secara alternatif, diagram Hasse dapat digambarkan secaravertikal, di mana simpul a digambarkan di bawah simpul b jikaa < b, dan kedua simpul tersebut terhubung langsung oleh ruasgaris jika a� b.


Poset


Elemen maksimum dan minimum

Definisi

Diberikan poset S. Sebuah elemen a ∈ S disebut elemenminimum[maksimum] jika tidak ada elemen lain dengan urutan sebelum[sesudah] a.

Poset hingga memiliki elemen minimum dan maksimum.Sedangkan poset tak-hingga mungkin tidak memiliki elemenmaksimum, minimum, atau tidak keduanya.

Elemen minimum dan maksimum dimungkinkan lebih dari satu.Jika hanya terdapat satu elemen minimum [maksimum], makaelemen ini disebut juga elemen pertama [terakhir].


Poset



Definisi





Poset



Definisi





Poset


Enumerasi konsisten

Definisi

Diberikan poset S. Enumerasi konsisten adalah sebuah fungsif : S → N di mana f(a) < f(b) untuk semua a, b ∈ S di manaa < b.

Teorema

Terdapat enumerasi konsisten untuk sebarang poset hingga S.


Poset


Enumerasi konsisten

Definisi

Diberikan poset S. Enumerasi konsisten adalah sebuah fungsif : S → N di mana f(a) < f(b) untuk semua a, b ∈ S di manaa < b.

Teorema

Terdapat enumerasi konsisten untuk sebarang poset hingga S.


Poset


Supremum

Definisi

Diberikan A subhimpunan dari poset S. Sebuah elemen M ∈ Sdisebut batas atas (upper bound) dari A jika untuk semua x ∈ Aberlaku x -M . Lebih lanjut, jika sebuah batas atas dari Amendahului batas atas A lainnya, maka batas atas ini disebutsupremum dari A, dan dinotasikan sebagai sup(A).

Istilah lain supremum: batas atas terkecil.


Poset


Infimum

Definisi

Diberikan A subhimpunan dari poset S. Sebuah elemen m ∈ Sdisebut batas bawah (lower bound) dari A jika untuk semua x ∈ Aberlaku m - x. Lebih lanjut, jika sebuah batas bawah dari Amendahului batas bawah A lainnya, maka batas bawah ini disebutinfimum dari A, dan dinotasikan sebagai inf(A).

Istilah lain infimum: batas atas terbesar.


Poset


Relasi-relasi urut yang isomorfis

Diberikan poset X dan Y . Sebuah fungsi injektif (satu-satu)f : X → Y disebut pemetaan keserupaan (similarity mapping) dariX ke Y jika f mempertahankan relasi urut, yaitu denganterpenuhinya dua kondisi berikut:

1 Jika a - a′ maka f(a) - f(a′).

2 Jika a||a′, maka f(a)||f(a′).


Latis

Latis (Lattice)

Definisi

Sebuah latis (kisi) L adalah sebuah poset di mana inf(a, b) dansup(a, b) ada untuk sebarang a, b ∈ L.

Dalam konteks latis, infimum disebut meet, dan supremum disebutjoin.


Latis

Pendefinisian latis secara aksioma

Diberikan L sebuah himpunan tidak kosong dan tertutup terhadapoperasi ∧ (meet) dan ∨ (join). Maka, L adalah sebuah latis jika,untuk (a, b, c ∈ L), ketiga aksioma berikut terpenuhi:

1 a ∧ b = b ∧ a, dan a ∨ b = b ∨ a (komutatif)

2 (a∧ b)∧ c = a∧ (b∧ c), dan (a∨ b)∨ c = a∨ (b∨ c) (asosiatif)

3 a ∧ (a ∨ b) = a dan a ∨ (a ∧ b) = a (absorpsi)

Jika latis L juga memenuhi aksioma hukum distributif

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) dan a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

maka L disebut latis distributif.


Latis










Latis










Latis










Latis

Relasi urut pada latis

Diberikan latis L, urut parsial pada L didefinisikan sebagai:

a - b jika a ∧ b = a

analog dengana - b jika a ∨ b = b


Latis

Sublatis

Definisi

Misalkan M adalah subhimpunan tidak kosong dari latis L. Maka,M adalah sublatis dari L jika M adalah latis.

Definisi

Dua latis L dan L′ dikatakan isomorfis jika terdapat korespondensisatu-satu f : L→ L′ sedemikian sehingga

f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b) dan f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b)

untuk sebarang a, b ∈ L.


Latis

Sublatis

Definisi

Misalkan M adalah subhimpunan tidak kosong dari latis L. Maka,M adalah sublatis dari L jika M adalah latis.

Definisi

Dua latis L dan L′ dikatakan isomorfis jika terdapat korespondensisatu-satu f : L→ L′ sedemikian sehingga

f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b) dan f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b)

untuk sebarang a, b ∈ L.


Latis

Komplemen

Definisi

Diberikan L latis berbatas dengan batas bawah 0 dan batas atas I,dan a ∈ L. Sebuah elemen x ∈ L dikatakan komplemen dari a jika

a ∨ x = I dan a ∧ x = 0.

Teorema

Diberikan L latis distributif berbatas. Komplemen dari setiapelemen di L , jika ada, adalah unik.


Latis

Komplemen

Definisi

Diberikan L latis berbatas dengan batas bawah 0 dan batas atas I,dan a ∈ L. Sebuah elemen x ∈ L dikatakan komplemen dari a jika

a ∨ x = I dan a ∧ x = 0.

Teorema

Diberikan L latis distributif berbatas. Komplemen dari setiapelemen di L , jika ada, adalah unik.


Latis

Latis komplemen

Sebuah latis L dikatakan memiliki komplemen jika L berbatas dansetiap elemen di L memiliki komplemen

Documents

Matematika Diskrit 1 - Official Site of AHMAD SABRI ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50652/4...Aturan pengurutan ini dapat diperluas untuk n-tupel. Matematika Diskrit