Matematika a zeneacutebenSzakdolgozat

Keacutesziacutetette Kiss GabriellaMatematika Bsc tanaacuteri szakiraacuteny

Teacutemavezető Szeredi Eacuteva főiskolai docensELTE TTK Matematikataniacutetaacutesi eacutes Moacutedszertani Koumlzpont

Eoumltvoumls Loacuteraacutend Tudomaacutenyegyetem

Termeacuteszettudomaacutenyi Kar

Budapest 2010

2

Tartalomjegyzeacutek

Bevezeteacutes 4

1 A Pythagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk 5

11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese 5

12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese 7

13 Irracionaacutelis szaacutemok leacutetezeacutese 10

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll 15

2 Az aranymetszeacutes 17

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa 17

22 Szerkeszteacutesi moacutedok 19

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel 20

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes 24

-Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

3 Szimmetriaacutek 27

31 Transzformaacutecioacutek csoportok reacuteszcsoportok 27

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek 31

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport 37

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben 38

- Johann Sebastian Bach d-moll keacutetszoacutelamuacute invencioacute

Oumlsszegzeacutes 40

Melleacutekletek 41

Irodalomjegyzeacutek 43

3

bdquo Oh egek ndash mennyi uumlgyes moacutedszer szolgaacutel arra hogy valamit

elrejtsuumlnk egy zeneműbenhelliprdquo

( D R Hofstadter Goumldel Escher Bach)

4

Bevezeteacutes

2007-ben felveacutetelt nyertem az ELTE TTK aacuteltal meghirdetett Matematika Bsc

szakra A matematika tanaacuteri szakiraacuteny vaacutelasztaacutesa nem volt keacuterdeacuteses hiszen maacuter az

egyetemre valoacute jelentkezeacutes előtt tudtam hogy erre a teruumlletre szeretneacutek szakosodni

Mindig is nagyon szerettem a zeneacutet iacutegy maacutesodik eacutevben felvettem az Eacutenek-zene tanaacuteri

szakiraacutenyt Egyik vezeacutenyleacutes oacuteraacuten egy Bartoacutek koacuterusművet kellett vezeacutenyelni ahol a

tanaacuterom eacuterdekesseacutegkeacuteppen elaacuterulta hogy a darab csuacutecspontja eacuteppen az

aranymetszeacutespontban van Az aranymetszeacutes fogalmaacuteval maacuter koraacutebban is talaacutelkoztam

matematikai tanulmaacutenyaim soraacuten iacutegy nagyon megoumlruumlltem hogy a zene ily moacutedon

oumlsszekapcsoloacutedhat a matematikaacuteval Annyira felkeltette az eacuterdeklődeacutesemet hogy

elkezdtem ebben a teacutemaacuteban kutakodni nem csak aranymetszeacutest keresve hanem

baacutermilyen matematikai vonatkozaacutest a zeneacuteben Meglepődve tapasztaltam hogy a

rendelkezeacutesemre aacutelloacute szakirodalom eacutes tanulmaacutenyok sokasaacutega hatalmas anyagreacuteszt fed

le elegendőt egy szakdolgozati teacutema koumlruumlljaacuteraacutesaacutehoz ezeacutert doumlntoumlttem a sajaacutet magam

aacuteltal kitalaacutelt teacutema vaacutelasztaacutesa mellett

Az anyag amit talaacuteltam tuacutel nagy egy Bsc diplomamunkaacuteban valoacute kifejteacuteshez

iacutegy annak csak egy reacuteszeacutet tudom reprezentaacutelni A teacutemakoumlroumlk amelyek mellett

doumlntoumlttem a zeneacuteben valoacute araacutenyok - reacuteszletesebben az aranymetszeacutes- valamint az

egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek megjeleneacutese Ennek megfelelően proacutebaacuteltam meg

oumlsszeszedni matematikai definiacutecioacutekat teacuteteleket amelyek szervesen kapcsoloacutednak zenei

kompoziacutecioacutekhoz

Az első fejezetben a phytegoreusok aacuteltal felfedezett zenei araacutenyokroacutel valamint

az irracionaacutelis szaacutemokroacutel beszeacutelek A maacutesodik fejezetben az aranymetszeacuteshez

oumlsszegyűjtoumltt matematikai eacutes zenei eredmeacutenyeket ismertetem A harmadik fejezetben a

szimmetriaacutekkal foglalkozom Ez egy hatalmas teruumllet a matematikai haacutettere eacutes a

keacutepzőműveacuteszetben zeneacuteben valoacute megjeleneacutese is nagyon gazdag Ennek a gazdagsaacutegnak

a dolgozatomban csak egy kis szeleteacutet mutatom be de teacutemaacuteban nagyon sziacutevesen

folytatnaacutem a keresgeacuteleacutest eacutes bővebben kifejteneacutem egy Msc-s szakdolgozati

diplomamunka kereteacuteben

5

1 A Phytagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk

11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese

A matematika eacutes zene kapcsolataacutenak kutataacutesaacuteroacutel maacuter ie a VI szaacutezadboacutel is

vannak forraacutesaink ezek koumlzuumll elsőkkeacutent emliacutethetjuumlk meg Pythagoras tanait illetve

taniacutetvaacutenyainak a pythagoreusok aacuteltal feljegyzett eacutes megfogalmazott eacuteszreveacuteteleket

bdquoPythagoras koumlruumll meacuteg eacuteleteacuteben egy filozoacutefiai iskola eacutes koumlzoumlsseacuteg szerveződoumltt Kroton

vaacuterosaacuteban Az oacutekori forraacutesokboacutel a pythagoreus iskola koumlvetkező keacutepe bontakozik ki

egy szigoruacute eacuteletelvekhez eacutes kemeacuteny felveacuteteli felteacutetelekhez koumltoumltt a beavatottsaacuteg foka

szerint bdquokoumlroumlkrerdquo osztott elitista eacutes arisztokratikus jellegű szervezeteacute melynek

Pythagoras felteacutetlen iraacutenyiacutetoacuteja voltrdquo [4] A pythegoreusok felfogaacutesa szerint a szaacutemok

aacutelltak mindenek felett bdquo amiről ki tudtaacutek mutatni hogy megegyezik a szaacutemokban eacutes a

harmoacuteniaacutekban az eacuteg tulajdonsaacutegaival reacuteszeivel eacutes az egeacutesz rendszerrel azokat

oumlsszeszedve egymaacutessal kapcsolatba hoztaacutek Ha pedig valami hiacuteja volt minden

igyekezetuumlkkel azon voltak hogy egeacutesz elgondolaacutesuk heacutezagtalanul oumlsszefuumlggő egeacutesz

legyenrdquo [1] A harmoacutenia termeacuteszeteacutet eacutes viszonyait is a szaacutemok segiacutetseacutegeacutevel proacutebaacuteltaacutek

meghataacuterozni

Gyakran kiacuteseacuterleteztek monochordon (egyhuacuteruacute hangszer) a konszonancia (zenei

hangok harmonikus oumlsszecsengeacutese) eacutes a huacuterhosszak koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacuteseket keresve

Mesteruumlk Pythagoras fogalmazta meg a huacuterhosszak araacutenyaacutet a konszonancia

megszoacutelaltataacutesaacutera Ennek felfedezeacuteseacuteről szoacutel egy monda mely szerint bdquo Egy

alkalommal eacuteppen gondolataiban eacutes feszuumllt toumlprengeacutesben meruumllt el afelől hogy nem

tudna-e a hallaacutesnak valami segiacutető eszkoumlzt kitalaacutelnihellipEkoumlzben egy kovaacutecsműhely mellett

ment el s valami isteni veacuteletlen folytaacuten meghallotta a kalapaacutecsokat amint az uumlllőn a

vasat kalapaacuteltaacutek s hogy egymaacutesnak egy kapcsolat kiveacuteteleacutevel vegyesen de

oumlsszhangzoacutean adtaacutek a hangokat Felismerte ugyanis bennuumlk az oktaacutevot a kvintet a

kvartothellipberohant a kovaacutecsműhelybe eacutes sokfeacutele kiacuteseacuterlet reacuteveacuten uacutegy talaacutelta hogy a

hangok kuumlloumlnbseacutegeacutenek oka a kalapaacutecsok suacutelyaacuteban rejlikhellipEz utaacuten a meacuterteacutekeket eacutes a

kalapaacutecsokkal a legteljesebben megegyező suacutelyokat pontosan megjegyezve hazateacutert eacutes

aacutetloacutesan a falakba erősiacutetett egyetlen coumlvekethellipErre felfuumlggesztett neacutegy azonos anyaguacute

6

azonos hosszuacutesaacuteguacute azonos vastagsaacuteguacute eacutes egyformaacuten sodrott huacutert eacutespedig egyiket a

maacutesik melleacute A nehezeacutekeket alsoacute reacuteszuumlkre koumltoumltte uacutegy szerkesztve hogy a huacuterok

hosszuacutesaacutega teljesen egyenlő legyen Akkor felvaacuteltva kettőnkeacutent megpendiacutetette a

huacuterokat eacutes iacutegy megtalaacutelta az hellipoumlsszhangokatrdquo [1] hogy Pythagoras valoacuteban egy

kovaacutecsműhelyben joumltt raacute erre a felismereacutesre azt nem tudjuk ami viszont biztos hogy

tőle szaacutermazik a hangkoumlzoumlk araacutenyainak leiacuteraacutesa A feljegyzeacutesek szerint neacutegyfeacutele suacutelyt

hasznaacutelt melyek rendre 12 9 8 eacutes 6 meacuterteacutekűek voltak A legnagyobb suacutely a

legkisebbel oktaacutev hangzatot adott (126 ahogy a suacutelyok araacutenylottak) iacutegy megaacutellapiacutetotta

hogy az oktaacutev 21 araacutenyuacute A legnagyobb a legkisebb mellett leacutevővel kvinthangzaacutest adott

(128) iacutegy az araacuteny 32 a legnagyobb illetve a suacutelyban utaacutena koumlvetkező (129) a kvart

hangkoumlzt eredmeacutenyezte iacutegy annak araacutenya 43 lett

Tovaacutebbi eszkoumlzoumlkoumln is kiacuteseacuterletezett toumlbbek koumlzoumltt monochordon is A kifesziacutetett

huacutert megpendiacutetve kapta az alaphangot Ugyanezzel a fesziacuteteacutessel ha a huacutert a feleacutere

roumlvidiacutetette akkor az alaphang oktaacutevja hallatszott A keacutetharmadaacutera roumlvidiacutetett huacuter a

kvintet a haacuteromnegyed hosszuacutesaacuteguacute huacuter pedig a kvarthangzaacutest adta

A pythegoreusok az alaphangot adoacute huacuter hosszaacutet 12 egyseacutegnek vetteacutek iacutegy ők is

megkaptaacutek ugyanazokat a szaacutemokat mint Pythagoras mely szerint a kvarthoz tartozoacute

huacuterhossz 9 a kvinthez 8 az oktaacutevhoz pedig 6 egyseacuteg Ezek utaacuten pedig a koumlvetkező

oumlsszefuumlggeacuteshez jutottak melyek a huacuterhosszak araacutenyaira vonatkoznak 129=86 mind a

keacutet oldalon leacutevő araacuteny a kvarthangzaacutest hataacuterozza meg

Az oktaacutevot keacutetfeacutelekeacuteppen is feliacuterhatjuk a kvint eacutes kvart hangkoumlzoumlk

oumlsszeilleszteacuteseacuteből kvart+kvint=oktaacutev illetve kvint+kvart=oktaacutev

1 aacutebra

Ha araacutenyokban akarunk gondolkodni - vagyis a kvart (43) illetve kvint (32)

araacutenyaacuteboacutel hogyan fejezhetjuumlk ki az oktaacutev araacutenyaacutet (21)- akkor nem az oumlsszeadaacutes

műveleteacutet kell alkalmaznunk hanem a pythagoreusok helyes eacuteszreveacutetele szerint

szoroznunk kell

7

bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből

koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel

megrdquo [2]

12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese

Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet

egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a

huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe

veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az

alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a

huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk

A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni

A phytagorasi hangsor

A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas

rendszerben a koumlvetkezőket

2aacutebra

De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz

keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal

Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak

Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez

viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti

taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet

8

3aacutebra

Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk

Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re

jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik

ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha

leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a

hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval

meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h

hangot 8164∙32=243128

Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket

az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy

szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett

moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy

meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz

hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni

nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom

az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki

hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem

Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk

feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal

sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak

nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely

pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az

alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-

9

nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg

meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg

A diatoacutenikus skaacutela

A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven

heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet

hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak

kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten

4aacutebra

A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk

meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e

hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva

8164 8064=54

A temperaacutelt skaacutela

A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem

csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera

Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is

toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk

beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő

hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a

10

hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk

ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az

egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort

5aacutebra

13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese

Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket

eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek

segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni

A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti

elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a

viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is

megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a

hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez

kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell

Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő

hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak

Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek

Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel

Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai

Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon

hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

11

Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett

Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen

uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az

aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk

Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest

folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus

folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk

an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n

A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett

moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek

tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra

keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű

műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel

hivatkozik is

A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute

kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a

nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk

Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a

kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget

kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek

A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls

osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a

folyamatnak nem lesz veacutege

A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls

meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten

12

Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az

alaacutebbi aacutebra szerint

6aacutebra

Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy

az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D

csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők

hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo

A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE

az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja

brsquo=a-arsquo arsquo=b-a

A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek

szabaacutelya

a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo

Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra

alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek

koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk

azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a

rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes

iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

2

Tartalomjegyzeacutek

Bevezeteacutes 4

1 A Pythagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk 5

11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese 5

12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese 7

13 Irracionaacutelis szaacutemok leacutetezeacutese 10

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll 15

2 Az aranymetszeacutes 17

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa 17

22 Szerkeszteacutesi moacutedok 19

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel 20

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes 24

-Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

3 Szimmetriaacutek 27

31 Transzformaacutecioacutek csoportok reacuteszcsoportok 27

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek 31

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport 37

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben 38

- Johann Sebastian Bach d-moll keacutetszoacutelamuacute invencioacute

Oumlsszegzeacutes 40

Melleacutekletek 41

Irodalomjegyzeacutek 43

3

bdquo Oh egek ndash mennyi uumlgyes moacutedszer szolgaacutel arra hogy valamit

elrejtsuumlnk egy zeneműbenhelliprdquo

( D R Hofstadter Goumldel Escher Bach)

4

Bevezeteacutes

2007-ben felveacutetelt nyertem az ELTE TTK aacuteltal meghirdetett Matematika Bsc

szakra A matematika tanaacuteri szakiraacuteny vaacutelasztaacutesa nem volt keacuterdeacuteses hiszen maacuter az

egyetemre valoacute jelentkezeacutes előtt tudtam hogy erre a teruumlletre szeretneacutek szakosodni

Mindig is nagyon szerettem a zeneacutet iacutegy maacutesodik eacutevben felvettem az Eacutenek-zene tanaacuteri

szakiraacutenyt Egyik vezeacutenyleacutes oacuteraacuten egy Bartoacutek koacuterusművet kellett vezeacutenyelni ahol a

tanaacuterom eacuterdekesseacutegkeacuteppen elaacuterulta hogy a darab csuacutecspontja eacuteppen az

aranymetszeacutespontban van Az aranymetszeacutes fogalmaacuteval maacuter koraacutebban is talaacutelkoztam

matematikai tanulmaacutenyaim soraacuten iacutegy nagyon megoumlruumlltem hogy a zene ily moacutedon

oumlsszekapcsoloacutedhat a matematikaacuteval Annyira felkeltette az eacuterdeklődeacutesemet hogy

elkezdtem ebben a teacutemaacuteban kutakodni nem csak aranymetszeacutest keresve hanem

baacutermilyen matematikai vonatkozaacutest a zeneacuteben Meglepődve tapasztaltam hogy a

rendelkezeacutesemre aacutelloacute szakirodalom eacutes tanulmaacutenyok sokasaacutega hatalmas anyagreacuteszt fed

le elegendőt egy szakdolgozati teacutema koumlruumlljaacuteraacutesaacutehoz ezeacutert doumlntoumlttem a sajaacutet magam

aacuteltal kitalaacutelt teacutema vaacutelasztaacutesa mellett

Az anyag amit talaacuteltam tuacutel nagy egy Bsc diplomamunkaacuteban valoacute kifejteacuteshez

iacutegy annak csak egy reacuteszeacutet tudom reprezentaacutelni A teacutemakoumlroumlk amelyek mellett

doumlntoumlttem a zeneacuteben valoacute araacutenyok - reacuteszletesebben az aranymetszeacutes- valamint az

egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek megjeleneacutese Ennek megfelelően proacutebaacuteltam meg

oumlsszeszedni matematikai definiacutecioacutekat teacuteteleket amelyek szervesen kapcsoloacutednak zenei

kompoziacutecioacutekhoz

Az első fejezetben a phytegoreusok aacuteltal felfedezett zenei araacutenyokroacutel valamint

az irracionaacutelis szaacutemokroacutel beszeacutelek A maacutesodik fejezetben az aranymetszeacuteshez

oumlsszegyűjtoumltt matematikai eacutes zenei eredmeacutenyeket ismertetem A harmadik fejezetben a

szimmetriaacutekkal foglalkozom Ez egy hatalmas teruumllet a matematikai haacutettere eacutes a

keacutepzőműveacuteszetben zeneacuteben valoacute megjeleneacutese is nagyon gazdag Ennek a gazdagsaacutegnak

a dolgozatomban csak egy kis szeleteacutet mutatom be de teacutemaacuteban nagyon sziacutevesen

folytatnaacutem a keresgeacuteleacutest eacutes bővebben kifejteneacutem egy Msc-s szakdolgozati

diplomamunka kereteacuteben

5

1 A Phytagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk

11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese

A matematika eacutes zene kapcsolataacutenak kutataacutesaacuteroacutel maacuter ie a VI szaacutezadboacutel is

vannak forraacutesaink ezek koumlzuumll elsőkkeacutent emliacutethetjuumlk meg Pythagoras tanait illetve

taniacutetvaacutenyainak a pythagoreusok aacuteltal feljegyzett eacutes megfogalmazott eacuteszreveacuteteleket

bdquoPythagoras koumlruumll meacuteg eacuteleteacuteben egy filozoacutefiai iskola eacutes koumlzoumlsseacuteg szerveződoumltt Kroton

vaacuterosaacuteban Az oacutekori forraacutesokboacutel a pythagoreus iskola koumlvetkező keacutepe bontakozik ki

egy szigoruacute eacuteletelvekhez eacutes kemeacuteny felveacuteteli felteacutetelekhez koumltoumltt a beavatottsaacuteg foka

szerint bdquokoumlroumlkrerdquo osztott elitista eacutes arisztokratikus jellegű szervezeteacute melynek

Pythagoras felteacutetlen iraacutenyiacutetoacuteja voltrdquo [4] A pythegoreusok felfogaacutesa szerint a szaacutemok

aacutelltak mindenek felett bdquo amiről ki tudtaacutek mutatni hogy megegyezik a szaacutemokban eacutes a

harmoacuteniaacutekban az eacuteg tulajdonsaacutegaival reacuteszeivel eacutes az egeacutesz rendszerrel azokat

oumlsszeszedve egymaacutessal kapcsolatba hoztaacutek Ha pedig valami hiacuteja volt minden

igyekezetuumlkkel azon voltak hogy egeacutesz elgondolaacutesuk heacutezagtalanul oumlsszefuumlggő egeacutesz

legyenrdquo [1] A harmoacutenia termeacuteszeteacutet eacutes viszonyait is a szaacutemok segiacutetseacutegeacutevel proacutebaacuteltaacutek

meghataacuterozni

Gyakran kiacuteseacuterleteztek monochordon (egyhuacuteruacute hangszer) a konszonancia (zenei

hangok harmonikus oumlsszecsengeacutese) eacutes a huacuterhosszak koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacuteseket keresve

Mesteruumlk Pythagoras fogalmazta meg a huacuterhosszak araacutenyaacutet a konszonancia

megszoacutelaltataacutesaacutera Ennek felfedezeacuteseacuteről szoacutel egy monda mely szerint bdquo Egy

alkalommal eacuteppen gondolataiban eacutes feszuumllt toumlprengeacutesben meruumllt el afelől hogy nem

tudna-e a hallaacutesnak valami segiacutető eszkoumlzt kitalaacutelnihellipEkoumlzben egy kovaacutecsműhely mellett

ment el s valami isteni veacuteletlen folytaacuten meghallotta a kalapaacutecsokat amint az uumlllőn a

vasat kalapaacuteltaacutek s hogy egymaacutesnak egy kapcsolat kiveacuteteleacutevel vegyesen de

oumlsszhangzoacutean adtaacutek a hangokat Felismerte ugyanis bennuumlk az oktaacutevot a kvintet a

kvartothellipberohant a kovaacutecsműhelybe eacutes sokfeacutele kiacuteseacuterlet reacuteveacuten uacutegy talaacutelta hogy a

hangok kuumlloumlnbseacutegeacutenek oka a kalapaacutecsok suacutelyaacuteban rejlikhellipEz utaacuten a meacuterteacutekeket eacutes a

kalapaacutecsokkal a legteljesebben megegyező suacutelyokat pontosan megjegyezve hazateacutert eacutes

aacutetloacutesan a falakba erősiacutetett egyetlen coumlvekethellipErre felfuumlggesztett neacutegy azonos anyaguacute

6

azonos hosszuacutesaacuteguacute azonos vastagsaacuteguacute eacutes egyformaacuten sodrott huacutert eacutespedig egyiket a

maacutesik melleacute A nehezeacutekeket alsoacute reacuteszuumlkre koumltoumltte uacutegy szerkesztve hogy a huacuterok

hosszuacutesaacutega teljesen egyenlő legyen Akkor felvaacuteltva kettőnkeacutent megpendiacutetette a

huacuterokat eacutes iacutegy megtalaacutelta az hellipoumlsszhangokatrdquo [1] hogy Pythagoras valoacuteban egy

kovaacutecsműhelyben joumltt raacute erre a felismereacutesre azt nem tudjuk ami viszont biztos hogy

tőle szaacutermazik a hangkoumlzoumlk araacutenyainak leiacuteraacutesa A feljegyzeacutesek szerint neacutegyfeacutele suacutelyt

hasznaacutelt melyek rendre 12 9 8 eacutes 6 meacuterteacutekűek voltak A legnagyobb suacutely a

legkisebbel oktaacutev hangzatot adott (126 ahogy a suacutelyok araacutenylottak) iacutegy megaacutellapiacutetotta

hogy az oktaacutev 21 araacutenyuacute A legnagyobb a legkisebb mellett leacutevővel kvinthangzaacutest adott

(128) iacutegy az araacuteny 32 a legnagyobb illetve a suacutelyban utaacutena koumlvetkező (129) a kvart

hangkoumlzt eredmeacutenyezte iacutegy annak araacutenya 43 lett

Tovaacutebbi eszkoumlzoumlkoumln is kiacuteseacuterletezett toumlbbek koumlzoumltt monochordon is A kifesziacutetett

huacutert megpendiacutetve kapta az alaphangot Ugyanezzel a fesziacuteteacutessel ha a huacutert a feleacutere

roumlvidiacutetette akkor az alaphang oktaacutevja hallatszott A keacutetharmadaacutera roumlvidiacutetett huacuter a

kvintet a haacuteromnegyed hosszuacutesaacuteguacute huacuter pedig a kvarthangzaacutest adta

A pythegoreusok az alaphangot adoacute huacuter hosszaacutet 12 egyseacutegnek vetteacutek iacutegy ők is

megkaptaacutek ugyanazokat a szaacutemokat mint Pythagoras mely szerint a kvarthoz tartozoacute

huacuterhossz 9 a kvinthez 8 az oktaacutevhoz pedig 6 egyseacuteg Ezek utaacuten pedig a koumlvetkező

oumlsszefuumlggeacuteshez jutottak melyek a huacuterhosszak araacutenyaira vonatkoznak 129=86 mind a

keacutet oldalon leacutevő araacuteny a kvarthangzaacutest hataacuterozza meg

Az oktaacutevot keacutetfeacutelekeacuteppen is feliacuterhatjuk a kvint eacutes kvart hangkoumlzoumlk

oumlsszeilleszteacuteseacuteből kvart+kvint=oktaacutev illetve kvint+kvart=oktaacutev

1 aacutebra

Ha araacutenyokban akarunk gondolkodni - vagyis a kvart (43) illetve kvint (32)

araacutenyaacuteboacutel hogyan fejezhetjuumlk ki az oktaacutev araacutenyaacutet (21)- akkor nem az oumlsszeadaacutes

műveleteacutet kell alkalmaznunk hanem a pythagoreusok helyes eacuteszreveacutetele szerint

szoroznunk kell

7

bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből

koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel

megrdquo [2]

12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese

Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet

egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a

huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe

veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az

alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a

huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk

A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni

A phytagorasi hangsor

A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas

rendszerben a koumlvetkezőket

2aacutebra

De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz

keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal

Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak

Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez

viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti

taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet

8

3aacutebra

Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk

Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re

jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik

ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha

leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a

hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval

meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h

hangot 8164∙32=243128

Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket

az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy

szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett

moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy

meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz

hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni

nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom

az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki

hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem

Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk

feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal

sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak

nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely

pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az

alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-

9

nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg

meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg

A diatoacutenikus skaacutela

A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven

heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet

hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak

kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten

4aacutebra

A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk

meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e

hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva

8164 8064=54

A temperaacutelt skaacutela

A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem

csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera

Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is

toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk

beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő

hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a

10

hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk

ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az

egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort

5aacutebra

13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese

Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket

eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek

segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni

A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti

elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a

viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is

megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a

hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez

kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell

Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő

hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak

Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek

Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel

Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai

Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon

hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

11

Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett

Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen

uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az

aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk

Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest

folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus

folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk

an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n

A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett

moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek

tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra

keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű

műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel

hivatkozik is

A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute

kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a

nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk

Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a

kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget

kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek

A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls

osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a

folyamatnak nem lesz veacutege

A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls

meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten

12

Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az

alaacutebbi aacutebra szerint

6aacutebra

Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy

az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D

csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők

hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo

A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE

az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja

brsquo=a-arsquo arsquo=b-a

A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek

szabaacutelya

a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo

Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra

alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek

koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk

azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a

rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes

iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

3

bdquo Oh egek ndash mennyi uumlgyes moacutedszer szolgaacutel arra hogy valamit

elrejtsuumlnk egy zeneműbenhelliprdquo

( D R Hofstadter Goumldel Escher Bach)

4

Bevezeteacutes

2007-ben felveacutetelt nyertem az ELTE TTK aacuteltal meghirdetett Matematika Bsc

szakra A matematika tanaacuteri szakiraacuteny vaacutelasztaacutesa nem volt keacuterdeacuteses hiszen maacuter az

egyetemre valoacute jelentkezeacutes előtt tudtam hogy erre a teruumlletre szeretneacutek szakosodni

Mindig is nagyon szerettem a zeneacutet iacutegy maacutesodik eacutevben felvettem az Eacutenek-zene tanaacuteri

szakiraacutenyt Egyik vezeacutenyleacutes oacuteraacuten egy Bartoacutek koacuterusművet kellett vezeacutenyelni ahol a

tanaacuterom eacuterdekesseacutegkeacuteppen elaacuterulta hogy a darab csuacutecspontja eacuteppen az

aranymetszeacutespontban van Az aranymetszeacutes fogalmaacuteval maacuter koraacutebban is talaacutelkoztam

matematikai tanulmaacutenyaim soraacuten iacutegy nagyon megoumlruumlltem hogy a zene ily moacutedon

oumlsszekapcsoloacutedhat a matematikaacuteval Annyira felkeltette az eacuterdeklődeacutesemet hogy

elkezdtem ebben a teacutemaacuteban kutakodni nem csak aranymetszeacutest keresve hanem

baacutermilyen matematikai vonatkozaacutest a zeneacuteben Meglepődve tapasztaltam hogy a

rendelkezeacutesemre aacutelloacute szakirodalom eacutes tanulmaacutenyok sokasaacutega hatalmas anyagreacuteszt fed

le elegendőt egy szakdolgozati teacutema koumlruumlljaacuteraacutesaacutehoz ezeacutert doumlntoumlttem a sajaacutet magam

aacuteltal kitalaacutelt teacutema vaacutelasztaacutesa mellett

Az anyag amit talaacuteltam tuacutel nagy egy Bsc diplomamunkaacuteban valoacute kifejteacuteshez

iacutegy annak csak egy reacuteszeacutet tudom reprezentaacutelni A teacutemakoumlroumlk amelyek mellett

doumlntoumlttem a zeneacuteben valoacute araacutenyok - reacuteszletesebben az aranymetszeacutes- valamint az

egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek megjeleneacutese Ennek megfelelően proacutebaacuteltam meg

oumlsszeszedni matematikai definiacutecioacutekat teacuteteleket amelyek szervesen kapcsoloacutednak zenei

kompoziacutecioacutekhoz

Az első fejezetben a phytegoreusok aacuteltal felfedezett zenei araacutenyokroacutel valamint

az irracionaacutelis szaacutemokroacutel beszeacutelek A maacutesodik fejezetben az aranymetszeacuteshez

oumlsszegyűjtoumltt matematikai eacutes zenei eredmeacutenyeket ismertetem A harmadik fejezetben a

szimmetriaacutekkal foglalkozom Ez egy hatalmas teruumllet a matematikai haacutettere eacutes a

keacutepzőműveacuteszetben zeneacuteben valoacute megjeleneacutese is nagyon gazdag Ennek a gazdagsaacutegnak

a dolgozatomban csak egy kis szeleteacutet mutatom be de teacutemaacuteban nagyon sziacutevesen

folytatnaacutem a keresgeacuteleacutest eacutes bővebben kifejteneacutem egy Msc-s szakdolgozati

diplomamunka kereteacuteben

5

1 A Phytagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk

11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese

A matematika eacutes zene kapcsolataacutenak kutataacutesaacuteroacutel maacuter ie a VI szaacutezadboacutel is

vannak forraacutesaink ezek koumlzuumll elsőkkeacutent emliacutethetjuumlk meg Pythagoras tanait illetve

taniacutetvaacutenyainak a pythagoreusok aacuteltal feljegyzett eacutes megfogalmazott eacuteszreveacuteteleket

bdquoPythagoras koumlruumll meacuteg eacuteleteacuteben egy filozoacutefiai iskola eacutes koumlzoumlsseacuteg szerveződoumltt Kroton

vaacuterosaacuteban Az oacutekori forraacutesokboacutel a pythagoreus iskola koumlvetkező keacutepe bontakozik ki

egy szigoruacute eacuteletelvekhez eacutes kemeacuteny felveacuteteli felteacutetelekhez koumltoumltt a beavatottsaacuteg foka

szerint bdquokoumlroumlkrerdquo osztott elitista eacutes arisztokratikus jellegű szervezeteacute melynek

Pythagoras felteacutetlen iraacutenyiacutetoacuteja voltrdquo [4] A pythegoreusok felfogaacutesa szerint a szaacutemok

aacutelltak mindenek felett bdquo amiről ki tudtaacutek mutatni hogy megegyezik a szaacutemokban eacutes a

harmoacuteniaacutekban az eacuteg tulajdonsaacutegaival reacuteszeivel eacutes az egeacutesz rendszerrel azokat

oumlsszeszedve egymaacutessal kapcsolatba hoztaacutek Ha pedig valami hiacuteja volt minden

igyekezetuumlkkel azon voltak hogy egeacutesz elgondolaacutesuk heacutezagtalanul oumlsszefuumlggő egeacutesz

legyenrdquo [1] A harmoacutenia termeacuteszeteacutet eacutes viszonyait is a szaacutemok segiacutetseacutegeacutevel proacutebaacuteltaacutek

meghataacuterozni

Gyakran kiacuteseacuterleteztek monochordon (egyhuacuteruacute hangszer) a konszonancia (zenei

hangok harmonikus oumlsszecsengeacutese) eacutes a huacuterhosszak koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacuteseket keresve

Mesteruumlk Pythagoras fogalmazta meg a huacuterhosszak araacutenyaacutet a konszonancia

megszoacutelaltataacutesaacutera Ennek felfedezeacuteseacuteről szoacutel egy monda mely szerint bdquo Egy

alkalommal eacuteppen gondolataiban eacutes feszuumllt toumlprengeacutesben meruumllt el afelől hogy nem

tudna-e a hallaacutesnak valami segiacutető eszkoumlzt kitalaacutelnihellipEkoumlzben egy kovaacutecsműhely mellett

ment el s valami isteni veacuteletlen folytaacuten meghallotta a kalapaacutecsokat amint az uumlllőn a

vasat kalapaacuteltaacutek s hogy egymaacutesnak egy kapcsolat kiveacuteteleacutevel vegyesen de

oumlsszhangzoacutean adtaacutek a hangokat Felismerte ugyanis bennuumlk az oktaacutevot a kvintet a

kvartothellipberohant a kovaacutecsműhelybe eacutes sokfeacutele kiacuteseacuterlet reacuteveacuten uacutegy talaacutelta hogy a

hangok kuumlloumlnbseacutegeacutenek oka a kalapaacutecsok suacutelyaacuteban rejlikhellipEz utaacuten a meacuterteacutekeket eacutes a

kalapaacutecsokkal a legteljesebben megegyező suacutelyokat pontosan megjegyezve hazateacutert eacutes

aacutetloacutesan a falakba erősiacutetett egyetlen coumlvekethellipErre felfuumlggesztett neacutegy azonos anyaguacute

6

azonos hosszuacutesaacuteguacute azonos vastagsaacuteguacute eacutes egyformaacuten sodrott huacutert eacutespedig egyiket a

maacutesik melleacute A nehezeacutekeket alsoacute reacuteszuumlkre koumltoumltte uacutegy szerkesztve hogy a huacuterok

hosszuacutesaacutega teljesen egyenlő legyen Akkor felvaacuteltva kettőnkeacutent megpendiacutetette a

huacuterokat eacutes iacutegy megtalaacutelta az hellipoumlsszhangokatrdquo [1] hogy Pythagoras valoacuteban egy

kovaacutecsműhelyben joumltt raacute erre a felismereacutesre azt nem tudjuk ami viszont biztos hogy

tőle szaacutermazik a hangkoumlzoumlk araacutenyainak leiacuteraacutesa A feljegyzeacutesek szerint neacutegyfeacutele suacutelyt

hasznaacutelt melyek rendre 12 9 8 eacutes 6 meacuterteacutekűek voltak A legnagyobb suacutely a

legkisebbel oktaacutev hangzatot adott (126 ahogy a suacutelyok araacutenylottak) iacutegy megaacutellapiacutetotta

hogy az oktaacutev 21 araacutenyuacute A legnagyobb a legkisebb mellett leacutevővel kvinthangzaacutest adott

(128) iacutegy az araacuteny 32 a legnagyobb illetve a suacutelyban utaacutena koumlvetkező (129) a kvart

hangkoumlzt eredmeacutenyezte iacutegy annak araacutenya 43 lett

Tovaacutebbi eszkoumlzoumlkoumln is kiacuteseacuterletezett toumlbbek koumlzoumltt monochordon is A kifesziacutetett

huacutert megpendiacutetve kapta az alaphangot Ugyanezzel a fesziacuteteacutessel ha a huacutert a feleacutere

roumlvidiacutetette akkor az alaphang oktaacutevja hallatszott A keacutetharmadaacutera roumlvidiacutetett huacuter a

kvintet a haacuteromnegyed hosszuacutesaacuteguacute huacuter pedig a kvarthangzaacutest adta

A pythegoreusok az alaphangot adoacute huacuter hosszaacutet 12 egyseacutegnek vetteacutek iacutegy ők is

megkaptaacutek ugyanazokat a szaacutemokat mint Pythagoras mely szerint a kvarthoz tartozoacute

huacuterhossz 9 a kvinthez 8 az oktaacutevhoz pedig 6 egyseacuteg Ezek utaacuten pedig a koumlvetkező

oumlsszefuumlggeacuteshez jutottak melyek a huacuterhosszak araacutenyaira vonatkoznak 129=86 mind a

keacutet oldalon leacutevő araacuteny a kvarthangzaacutest hataacuterozza meg

Az oktaacutevot keacutetfeacutelekeacuteppen is feliacuterhatjuk a kvint eacutes kvart hangkoumlzoumlk

oumlsszeilleszteacuteseacuteből kvart+kvint=oktaacutev illetve kvint+kvart=oktaacutev

1 aacutebra

Ha araacutenyokban akarunk gondolkodni - vagyis a kvart (43) illetve kvint (32)

araacutenyaacuteboacutel hogyan fejezhetjuumlk ki az oktaacutev araacutenyaacutet (21)- akkor nem az oumlsszeadaacutes

műveleteacutet kell alkalmaznunk hanem a pythagoreusok helyes eacuteszreveacutetele szerint

szoroznunk kell

7

bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből

koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel

megrdquo [2]

12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese

Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet

egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a

huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe

veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az

alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a

huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk

A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni

A phytagorasi hangsor

A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas

rendszerben a koumlvetkezőket

2aacutebra

De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz

keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal

Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak

Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez

viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti

taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet

8

3aacutebra

Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk

Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re

jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik

ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha

leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a

hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval

meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h

hangot 8164∙32=243128

Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket

az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy

szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett

moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy

meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz

hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni

nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom

az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki

hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem

Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk

feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal

sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak

nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely

pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az

alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-

9

nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg

meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg

A diatoacutenikus skaacutela

A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven

heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet

hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak

kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten

4aacutebra

A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk

meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e

hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva

8164 8064=54

A temperaacutelt skaacutela

A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem

csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera

Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is

toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk

beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő

hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a

10

hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk

ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az

egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort

5aacutebra

13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese

Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket

eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek

segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni

A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti

elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a

viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is

megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a

hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez

kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell

Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő

hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak

Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek

Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel

Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai

Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon

hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

11

Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett

Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen

uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az

aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk

Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest

folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus

folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk

an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n

A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett

moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek

tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra

keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű

műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel

hivatkozik is

A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute

kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a

nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk

Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a

kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget

kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek

A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls

osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a

folyamatnak nem lesz veacutege

A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls

meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten

12

Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az

alaacutebbi aacutebra szerint

6aacutebra

Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy

az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D

csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők

hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo

A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE

az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja

brsquo=a-arsquo arsquo=b-a

A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek

szabaacutelya

a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo

Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra

alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek

koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk

azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a

rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes

iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

4

Bevezeteacutes

2007-ben felveacutetelt nyertem az ELTE TTK aacuteltal meghirdetett Matematika Bsc

szakra A matematika tanaacuteri szakiraacuteny vaacutelasztaacutesa nem volt keacuterdeacuteses hiszen maacuter az

egyetemre valoacute jelentkezeacutes előtt tudtam hogy erre a teruumlletre szeretneacutek szakosodni

Mindig is nagyon szerettem a zeneacutet iacutegy maacutesodik eacutevben felvettem az Eacutenek-zene tanaacuteri

szakiraacutenyt Egyik vezeacutenyleacutes oacuteraacuten egy Bartoacutek koacuterusművet kellett vezeacutenyelni ahol a

tanaacuterom eacuterdekesseacutegkeacuteppen elaacuterulta hogy a darab csuacutecspontja eacuteppen az

aranymetszeacutespontban van Az aranymetszeacutes fogalmaacuteval maacuter koraacutebban is talaacutelkoztam

matematikai tanulmaacutenyaim soraacuten iacutegy nagyon megoumlruumlltem hogy a zene ily moacutedon

oumlsszekapcsoloacutedhat a matematikaacuteval Annyira felkeltette az eacuterdeklődeacutesemet hogy

elkezdtem ebben a teacutemaacuteban kutakodni nem csak aranymetszeacutest keresve hanem

baacutermilyen matematikai vonatkozaacutest a zeneacuteben Meglepődve tapasztaltam hogy a

rendelkezeacutesemre aacutelloacute szakirodalom eacutes tanulmaacutenyok sokasaacutega hatalmas anyagreacuteszt fed

le elegendőt egy szakdolgozati teacutema koumlruumlljaacuteraacutesaacutehoz ezeacutert doumlntoumlttem a sajaacutet magam

aacuteltal kitalaacutelt teacutema vaacutelasztaacutesa mellett

Az anyag amit talaacuteltam tuacutel nagy egy Bsc diplomamunkaacuteban valoacute kifejteacuteshez

iacutegy annak csak egy reacuteszeacutet tudom reprezentaacutelni A teacutemakoumlroumlk amelyek mellett

doumlntoumlttem a zeneacuteben valoacute araacutenyok - reacuteszletesebben az aranymetszeacutes- valamint az

egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek megjeleneacutese Ennek megfelelően proacutebaacuteltam meg

oumlsszeszedni matematikai definiacutecioacutekat teacuteteleket amelyek szervesen kapcsoloacutednak zenei

kompoziacutecioacutekhoz

Az első fejezetben a phytegoreusok aacuteltal felfedezett zenei araacutenyokroacutel valamint

az irracionaacutelis szaacutemokroacutel beszeacutelek A maacutesodik fejezetben az aranymetszeacuteshez

oumlsszegyűjtoumltt matematikai eacutes zenei eredmeacutenyeket ismertetem A harmadik fejezetben a

szimmetriaacutekkal foglalkozom Ez egy hatalmas teruumllet a matematikai haacutettere eacutes a

keacutepzőműveacuteszetben zeneacuteben valoacute megjeleneacutese is nagyon gazdag Ennek a gazdagsaacutegnak

a dolgozatomban csak egy kis szeleteacutet mutatom be de teacutemaacuteban nagyon sziacutevesen

folytatnaacutem a keresgeacuteleacutest eacutes bővebben kifejteneacutem egy Msc-s szakdolgozati

diplomamunka kereteacuteben

5

1 A Phytagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk

11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese

A matematika eacutes zene kapcsolataacutenak kutataacutesaacuteroacutel maacuter ie a VI szaacutezadboacutel is

vannak forraacutesaink ezek koumlzuumll elsőkkeacutent emliacutethetjuumlk meg Pythagoras tanait illetve

taniacutetvaacutenyainak a pythagoreusok aacuteltal feljegyzett eacutes megfogalmazott eacuteszreveacuteteleket

bdquoPythagoras koumlruumll meacuteg eacuteleteacuteben egy filozoacutefiai iskola eacutes koumlzoumlsseacuteg szerveződoumltt Kroton

vaacuterosaacuteban Az oacutekori forraacutesokboacutel a pythagoreus iskola koumlvetkező keacutepe bontakozik ki

egy szigoruacute eacuteletelvekhez eacutes kemeacuteny felveacuteteli felteacutetelekhez koumltoumltt a beavatottsaacuteg foka

szerint bdquokoumlroumlkrerdquo osztott elitista eacutes arisztokratikus jellegű szervezeteacute melynek

Pythagoras felteacutetlen iraacutenyiacutetoacuteja voltrdquo [4] A pythegoreusok felfogaacutesa szerint a szaacutemok

aacutelltak mindenek felett bdquo amiről ki tudtaacutek mutatni hogy megegyezik a szaacutemokban eacutes a

harmoacuteniaacutekban az eacuteg tulajdonsaacutegaival reacuteszeivel eacutes az egeacutesz rendszerrel azokat

oumlsszeszedve egymaacutessal kapcsolatba hoztaacutek Ha pedig valami hiacuteja volt minden

igyekezetuumlkkel azon voltak hogy egeacutesz elgondolaacutesuk heacutezagtalanul oumlsszefuumlggő egeacutesz

legyenrdquo [1] A harmoacutenia termeacuteszeteacutet eacutes viszonyait is a szaacutemok segiacutetseacutegeacutevel proacutebaacuteltaacutek

meghataacuterozni

Gyakran kiacuteseacuterleteztek monochordon (egyhuacuteruacute hangszer) a konszonancia (zenei

hangok harmonikus oumlsszecsengeacutese) eacutes a huacuterhosszak koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacuteseket keresve

Mesteruumlk Pythagoras fogalmazta meg a huacuterhosszak araacutenyaacutet a konszonancia

megszoacutelaltataacutesaacutera Ennek felfedezeacuteseacuteről szoacutel egy monda mely szerint bdquo Egy

alkalommal eacuteppen gondolataiban eacutes feszuumllt toumlprengeacutesben meruumllt el afelől hogy nem

tudna-e a hallaacutesnak valami segiacutető eszkoumlzt kitalaacutelnihellipEkoumlzben egy kovaacutecsműhely mellett

ment el s valami isteni veacuteletlen folytaacuten meghallotta a kalapaacutecsokat amint az uumlllőn a

vasat kalapaacuteltaacutek s hogy egymaacutesnak egy kapcsolat kiveacuteteleacutevel vegyesen de

oumlsszhangzoacutean adtaacutek a hangokat Felismerte ugyanis bennuumlk az oktaacutevot a kvintet a

kvartothellipberohant a kovaacutecsműhelybe eacutes sokfeacutele kiacuteseacuterlet reacuteveacuten uacutegy talaacutelta hogy a

hangok kuumlloumlnbseacutegeacutenek oka a kalapaacutecsok suacutelyaacuteban rejlikhellipEz utaacuten a meacuterteacutekeket eacutes a

kalapaacutecsokkal a legteljesebben megegyező suacutelyokat pontosan megjegyezve hazateacutert eacutes

aacutetloacutesan a falakba erősiacutetett egyetlen coumlvekethellipErre felfuumlggesztett neacutegy azonos anyaguacute

6

azonos hosszuacutesaacuteguacute azonos vastagsaacuteguacute eacutes egyformaacuten sodrott huacutert eacutespedig egyiket a

maacutesik melleacute A nehezeacutekeket alsoacute reacuteszuumlkre koumltoumltte uacutegy szerkesztve hogy a huacuterok

hosszuacutesaacutega teljesen egyenlő legyen Akkor felvaacuteltva kettőnkeacutent megpendiacutetette a

huacuterokat eacutes iacutegy megtalaacutelta az hellipoumlsszhangokatrdquo [1] hogy Pythagoras valoacuteban egy

kovaacutecsműhelyben joumltt raacute erre a felismereacutesre azt nem tudjuk ami viszont biztos hogy

tőle szaacutermazik a hangkoumlzoumlk araacutenyainak leiacuteraacutesa A feljegyzeacutesek szerint neacutegyfeacutele suacutelyt

hasznaacutelt melyek rendre 12 9 8 eacutes 6 meacuterteacutekűek voltak A legnagyobb suacutely a

legkisebbel oktaacutev hangzatot adott (126 ahogy a suacutelyok araacutenylottak) iacutegy megaacutellapiacutetotta

hogy az oktaacutev 21 araacutenyuacute A legnagyobb a legkisebb mellett leacutevővel kvinthangzaacutest adott

(128) iacutegy az araacuteny 32 a legnagyobb illetve a suacutelyban utaacutena koumlvetkező (129) a kvart

hangkoumlzt eredmeacutenyezte iacutegy annak araacutenya 43 lett

Tovaacutebbi eszkoumlzoumlkoumln is kiacuteseacuterletezett toumlbbek koumlzoumltt monochordon is A kifesziacutetett

huacutert megpendiacutetve kapta az alaphangot Ugyanezzel a fesziacuteteacutessel ha a huacutert a feleacutere

roumlvidiacutetette akkor az alaphang oktaacutevja hallatszott A keacutetharmadaacutera roumlvidiacutetett huacuter a

kvintet a haacuteromnegyed hosszuacutesaacuteguacute huacuter pedig a kvarthangzaacutest adta

A pythegoreusok az alaphangot adoacute huacuter hosszaacutet 12 egyseacutegnek vetteacutek iacutegy ők is

megkaptaacutek ugyanazokat a szaacutemokat mint Pythagoras mely szerint a kvarthoz tartozoacute

huacuterhossz 9 a kvinthez 8 az oktaacutevhoz pedig 6 egyseacuteg Ezek utaacuten pedig a koumlvetkező

oumlsszefuumlggeacuteshez jutottak melyek a huacuterhosszak araacutenyaira vonatkoznak 129=86 mind a

keacutet oldalon leacutevő araacuteny a kvarthangzaacutest hataacuterozza meg

Az oktaacutevot keacutetfeacutelekeacuteppen is feliacuterhatjuk a kvint eacutes kvart hangkoumlzoumlk

oumlsszeilleszteacuteseacuteből kvart+kvint=oktaacutev illetve kvint+kvart=oktaacutev

1 aacutebra

Ha araacutenyokban akarunk gondolkodni - vagyis a kvart (43) illetve kvint (32)

araacutenyaacuteboacutel hogyan fejezhetjuumlk ki az oktaacutev araacutenyaacutet (21)- akkor nem az oumlsszeadaacutes

műveleteacutet kell alkalmaznunk hanem a pythagoreusok helyes eacuteszreveacutetele szerint

szoroznunk kell

7

bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből

koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel

megrdquo [2]

12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese

Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet

egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a

huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe

veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az

alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a

huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk

A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni

A phytagorasi hangsor

A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas

rendszerben a koumlvetkezőket

2aacutebra

De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz

keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal

Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak

Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez

viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti

taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet

8

3aacutebra

Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk

Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re

jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik

ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha

leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a

hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval

meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h

hangot 8164∙32=243128

Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket

az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy

szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett

moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy

meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz

hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni

nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom

az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki

hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem

Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk

feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal

sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak

nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely

pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az

alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-

9

nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg

meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg

A diatoacutenikus skaacutela

A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven

heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet

hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak

kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten

4aacutebra

A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk

meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e

hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva

8164 8064=54

A temperaacutelt skaacutela

A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem

csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera

Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is

toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk

beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő

hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a

10

hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk

ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az

egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort

5aacutebra

13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese

Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket

eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek

segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni

A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti

elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a

viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is

megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a

hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez

kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell

Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő

hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak

Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek

Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel

Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai

Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon

hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

11

Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett

Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen

uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az

aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk

Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest

folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus

folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk

an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n

A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett

moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek

tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra

keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű

műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel

hivatkozik is

A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute

kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a

nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk

Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a

kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget

kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek

A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls

osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a

folyamatnak nem lesz veacutege

A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls

meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten

12

Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az

alaacutebbi aacutebra szerint

6aacutebra

Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy

az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D

csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők

hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo

A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE

az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja

brsquo=a-arsquo arsquo=b-a

A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek

szabaacutelya

a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo

Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra

alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek

koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk

azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a

rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes

iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

5

1 A Phytagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk

11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese

A matematika eacutes zene kapcsolataacutenak kutataacutesaacuteroacutel maacuter ie a VI szaacutezadboacutel is

vannak forraacutesaink ezek koumlzuumll elsőkkeacutent emliacutethetjuumlk meg Pythagoras tanait illetve

taniacutetvaacutenyainak a pythagoreusok aacuteltal feljegyzett eacutes megfogalmazott eacuteszreveacuteteleket

bdquoPythagoras koumlruumll meacuteg eacuteleteacuteben egy filozoacutefiai iskola eacutes koumlzoumlsseacuteg szerveződoumltt Kroton

vaacuterosaacuteban Az oacutekori forraacutesokboacutel a pythagoreus iskola koumlvetkező keacutepe bontakozik ki

egy szigoruacute eacuteletelvekhez eacutes kemeacuteny felveacuteteli felteacutetelekhez koumltoumltt a beavatottsaacuteg foka

szerint bdquokoumlroumlkrerdquo osztott elitista eacutes arisztokratikus jellegű szervezeteacute melynek

Pythagoras felteacutetlen iraacutenyiacutetoacuteja voltrdquo [4] A pythegoreusok felfogaacutesa szerint a szaacutemok

aacutelltak mindenek felett bdquo amiről ki tudtaacutek mutatni hogy megegyezik a szaacutemokban eacutes a

harmoacuteniaacutekban az eacuteg tulajdonsaacutegaival reacuteszeivel eacutes az egeacutesz rendszerrel azokat

oumlsszeszedve egymaacutessal kapcsolatba hoztaacutek Ha pedig valami hiacuteja volt minden

igyekezetuumlkkel azon voltak hogy egeacutesz elgondolaacutesuk heacutezagtalanul oumlsszefuumlggő egeacutesz

legyenrdquo [1] A harmoacutenia termeacuteszeteacutet eacutes viszonyait is a szaacutemok segiacutetseacutegeacutevel proacutebaacuteltaacutek

meghataacuterozni

Gyakran kiacuteseacuterleteztek monochordon (egyhuacuteruacute hangszer) a konszonancia (zenei

hangok harmonikus oumlsszecsengeacutese) eacutes a huacuterhosszak koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacuteseket keresve

Mesteruumlk Pythagoras fogalmazta meg a huacuterhosszak araacutenyaacutet a konszonancia

megszoacutelaltataacutesaacutera Ennek felfedezeacuteseacuteről szoacutel egy monda mely szerint bdquo Egy

alkalommal eacuteppen gondolataiban eacutes feszuumllt toumlprengeacutesben meruumllt el afelől hogy nem

tudna-e a hallaacutesnak valami segiacutető eszkoumlzt kitalaacutelnihellipEkoumlzben egy kovaacutecsműhely mellett

ment el s valami isteni veacuteletlen folytaacuten meghallotta a kalapaacutecsokat amint az uumlllőn a

vasat kalapaacuteltaacutek s hogy egymaacutesnak egy kapcsolat kiveacuteteleacutevel vegyesen de

oumlsszhangzoacutean adtaacutek a hangokat Felismerte ugyanis bennuumlk az oktaacutevot a kvintet a

kvartothellipberohant a kovaacutecsműhelybe eacutes sokfeacutele kiacuteseacuterlet reacuteveacuten uacutegy talaacutelta hogy a

hangok kuumlloumlnbseacutegeacutenek oka a kalapaacutecsok suacutelyaacuteban rejlikhellipEz utaacuten a meacuterteacutekeket eacutes a

kalapaacutecsokkal a legteljesebben megegyező suacutelyokat pontosan megjegyezve hazateacutert eacutes

aacutetloacutesan a falakba erősiacutetett egyetlen coumlvekethellipErre felfuumlggesztett neacutegy azonos anyaguacute

6

azonos hosszuacutesaacuteguacute azonos vastagsaacuteguacute eacutes egyformaacuten sodrott huacutert eacutespedig egyiket a

maacutesik melleacute A nehezeacutekeket alsoacute reacuteszuumlkre koumltoumltte uacutegy szerkesztve hogy a huacuterok

hosszuacutesaacutega teljesen egyenlő legyen Akkor felvaacuteltva kettőnkeacutent megpendiacutetette a

huacuterokat eacutes iacutegy megtalaacutelta az hellipoumlsszhangokatrdquo [1] hogy Pythagoras valoacuteban egy

kovaacutecsműhelyben joumltt raacute erre a felismereacutesre azt nem tudjuk ami viszont biztos hogy

tőle szaacutermazik a hangkoumlzoumlk araacutenyainak leiacuteraacutesa A feljegyzeacutesek szerint neacutegyfeacutele suacutelyt

hasznaacutelt melyek rendre 12 9 8 eacutes 6 meacuterteacutekűek voltak A legnagyobb suacutely a

legkisebbel oktaacutev hangzatot adott (126 ahogy a suacutelyok araacutenylottak) iacutegy megaacutellapiacutetotta

hogy az oktaacutev 21 araacutenyuacute A legnagyobb a legkisebb mellett leacutevővel kvinthangzaacutest adott

(128) iacutegy az araacuteny 32 a legnagyobb illetve a suacutelyban utaacutena koumlvetkező (129) a kvart

hangkoumlzt eredmeacutenyezte iacutegy annak araacutenya 43 lett

Tovaacutebbi eszkoumlzoumlkoumln is kiacuteseacuterletezett toumlbbek koumlzoumltt monochordon is A kifesziacutetett

huacutert megpendiacutetve kapta az alaphangot Ugyanezzel a fesziacuteteacutessel ha a huacutert a feleacutere

roumlvidiacutetette akkor az alaphang oktaacutevja hallatszott A keacutetharmadaacutera roumlvidiacutetett huacuter a

kvintet a haacuteromnegyed hosszuacutesaacuteguacute huacuter pedig a kvarthangzaacutest adta

A pythegoreusok az alaphangot adoacute huacuter hosszaacutet 12 egyseacutegnek vetteacutek iacutegy ők is

megkaptaacutek ugyanazokat a szaacutemokat mint Pythagoras mely szerint a kvarthoz tartozoacute

huacuterhossz 9 a kvinthez 8 az oktaacutevhoz pedig 6 egyseacuteg Ezek utaacuten pedig a koumlvetkező

oumlsszefuumlggeacuteshez jutottak melyek a huacuterhosszak araacutenyaira vonatkoznak 129=86 mind a

keacutet oldalon leacutevő araacuteny a kvarthangzaacutest hataacuterozza meg

Az oktaacutevot keacutetfeacutelekeacuteppen is feliacuterhatjuk a kvint eacutes kvart hangkoumlzoumlk

oumlsszeilleszteacuteseacuteből kvart+kvint=oktaacutev illetve kvint+kvart=oktaacutev

1 aacutebra

Ha araacutenyokban akarunk gondolkodni - vagyis a kvart (43) illetve kvint (32)

araacutenyaacuteboacutel hogyan fejezhetjuumlk ki az oktaacutev araacutenyaacutet (21)- akkor nem az oumlsszeadaacutes

műveleteacutet kell alkalmaznunk hanem a pythagoreusok helyes eacuteszreveacutetele szerint

szoroznunk kell

7

bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből

koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel

megrdquo [2]

12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese

Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet

egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a

huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe

veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az

alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a

huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk

A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni

A phytagorasi hangsor

A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas

rendszerben a koumlvetkezőket

2aacutebra

De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz

keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal

Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak

Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez

viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti

taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet

8

3aacutebra

Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk

Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re

jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik

ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha

leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a

hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval

meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h

hangot 8164∙32=243128

Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket

az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy

szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett

moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy

meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz

hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni

nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom

az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki

hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem

Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk

feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal

sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak

nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely

pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az

alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-

9

nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg

meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg

A diatoacutenikus skaacutela

A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven

heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet

hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak

kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten

4aacutebra

A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk

meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e

hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva

8164 8064=54

A temperaacutelt skaacutela

A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem

csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera

Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is

toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk

beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő

hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a

10

hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk

ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az

egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort

5aacutebra

13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese

Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket

eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek

segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni

A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti

elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a

viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is

megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a

hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez

kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell

Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő

hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak

Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek

Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel

Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai

Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon

hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

11

Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett

Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen

uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az

aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk

Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest

folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus

folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk

an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n

A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett

moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek

tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra

keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű

műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel

hivatkozik is

A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute

kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a

nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk

Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a

kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget

kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek

A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls

osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a

folyamatnak nem lesz veacutege

A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls

meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten

12

Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az

alaacutebbi aacutebra szerint

6aacutebra

Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy

az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D

csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők

hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo

A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE

az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja

brsquo=a-arsquo arsquo=b-a

A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek

szabaacutelya

a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo

Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra

alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek

koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk

azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a

rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes

iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

6

azonos hosszuacutesaacuteguacute azonos vastagsaacuteguacute eacutes egyformaacuten sodrott huacutert eacutespedig egyiket a

maacutesik melleacute A nehezeacutekeket alsoacute reacuteszuumlkre koumltoumltte uacutegy szerkesztve hogy a huacuterok

hosszuacutesaacutega teljesen egyenlő legyen Akkor felvaacuteltva kettőnkeacutent megpendiacutetette a

huacuterokat eacutes iacutegy megtalaacutelta az hellipoumlsszhangokatrdquo [1] hogy Pythagoras valoacuteban egy

kovaacutecsműhelyben joumltt raacute erre a felismereacutesre azt nem tudjuk ami viszont biztos hogy

tőle szaacutermazik a hangkoumlzoumlk araacutenyainak leiacuteraacutesa A feljegyzeacutesek szerint neacutegyfeacutele suacutelyt

hasznaacutelt melyek rendre 12 9 8 eacutes 6 meacuterteacutekűek voltak A legnagyobb suacutely a

legkisebbel oktaacutev hangzatot adott (126 ahogy a suacutelyok araacutenylottak) iacutegy megaacutellapiacutetotta

hogy az oktaacutev 21 araacutenyuacute A legnagyobb a legkisebb mellett leacutevővel kvinthangzaacutest adott

(128) iacutegy az araacuteny 32 a legnagyobb illetve a suacutelyban utaacutena koumlvetkező (129) a kvart

hangkoumlzt eredmeacutenyezte iacutegy annak araacutenya 43 lett

Tovaacutebbi eszkoumlzoumlkoumln is kiacuteseacuterletezett toumlbbek koumlzoumltt monochordon is A kifesziacutetett

huacutert megpendiacutetve kapta az alaphangot Ugyanezzel a fesziacuteteacutessel ha a huacutert a feleacutere

roumlvidiacutetette akkor az alaphang oktaacutevja hallatszott A keacutetharmadaacutera roumlvidiacutetett huacuter a

kvintet a haacuteromnegyed hosszuacutesaacuteguacute huacuter pedig a kvarthangzaacutest adta

A pythegoreusok az alaphangot adoacute huacuter hosszaacutet 12 egyseacutegnek vetteacutek iacutegy ők is

megkaptaacutek ugyanazokat a szaacutemokat mint Pythagoras mely szerint a kvarthoz tartozoacute

huacuterhossz 9 a kvinthez 8 az oktaacutevhoz pedig 6 egyseacuteg Ezek utaacuten pedig a koumlvetkező

oumlsszefuumlggeacuteshez jutottak melyek a huacuterhosszak araacutenyaira vonatkoznak 129=86 mind a

keacutet oldalon leacutevő araacuteny a kvarthangzaacutest hataacuterozza meg

Az oktaacutevot keacutetfeacutelekeacuteppen is feliacuterhatjuk a kvint eacutes kvart hangkoumlzoumlk

oumlsszeilleszteacuteseacuteből kvart+kvint=oktaacutev illetve kvint+kvart=oktaacutev

1 aacutebra

Ha araacutenyokban akarunk gondolkodni - vagyis a kvart (43) illetve kvint (32)

araacutenyaacuteboacutel hogyan fejezhetjuumlk ki az oktaacutev araacutenyaacutet (21)- akkor nem az oumlsszeadaacutes

műveleteacutet kell alkalmaznunk hanem a pythagoreusok helyes eacuteszreveacutetele szerint

szoroznunk kell

7

bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből

koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel

megrdquo [2]

12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese

Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet

egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a

huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe

veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az

alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a

huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk

A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni

A phytagorasi hangsor

A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas

rendszerben a koumlvetkezőket

2aacutebra

De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz

keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal

Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak

Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez

viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti

taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet

8

3aacutebra

Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk

Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re

jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik

ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha

leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a

hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval

meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h

hangot 8164∙32=243128

Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket

az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy

szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett

moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy

meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz

hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni

nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom

az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki

hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem

Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk

feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal

sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak

nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely

pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az

alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-

9

nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg

meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg

A diatoacutenikus skaacutela

A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven

heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet

hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak

kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten

4aacutebra

A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk

meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e

hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva

8164 8064=54

A temperaacutelt skaacutela

A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem

csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera

Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is

toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk

beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő

hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a

10

hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk

ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az

egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort

5aacutebra

13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese

Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket

eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek

segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni

A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti

elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a

viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is

megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a

hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez

kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell

Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő

hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak

Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek

Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel

Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai

Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon

hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

11

Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett

Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen

uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az

aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk

Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest

folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus

folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk

an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n

A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett

moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek

tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra

keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű

műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel

hivatkozik is

A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute

kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a

nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk

Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a

kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget

kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek

A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls

osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a

folyamatnak nem lesz veacutege

A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls

meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten

12

Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az

alaacutebbi aacutebra szerint

6aacutebra

Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy

az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D

csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők

hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo

A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE

az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja

brsquo=a-arsquo arsquo=b-a

A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek

szabaacutelya

a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo

Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra

alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek

koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk

azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a

rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes

iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

7

bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből

koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel

megrdquo [2]

12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese

Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet

egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a

huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe

veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az

alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a

huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk

A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni

A phytagorasi hangsor

A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas

rendszerben a koumlvetkezőket

2aacutebra

De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz

keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal

Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak

Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez

viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti

taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet

8

3aacutebra

Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk

Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re

jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik

ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha

leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a

hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval

meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h

hangot 8164∙32=243128

Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket

az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy

szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett

moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy

meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz

hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni

nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom

az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki

hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem

Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk

feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal

sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak

nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely

pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az

alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-

9

nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg

meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg

A diatoacutenikus skaacutela

A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven

heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet

hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak

kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten

4aacutebra

A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk

meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e

hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva

8164 8064=54

A temperaacutelt skaacutela

A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem

csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera

Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is

toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk

beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő

hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a

10

hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk

ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az

egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort

5aacutebra

13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese

Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket

eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek

segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni

A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti

elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a

viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is

megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a

hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez

kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell

Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő

hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak

Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek

Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel

Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai

Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon

hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

11

Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett

Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen

uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az

aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk

Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest

folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus

folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk

an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n

A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett

moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek

tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra

keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű

műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel

hivatkozik is

A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute

kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a

nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk

Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a

kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget

kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek

A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls

osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a

folyamatnak nem lesz veacutege

A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls

meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten

12

Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az

alaacutebbi aacutebra szerint

6aacutebra

Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy

az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D

csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők

hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo

A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE

az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja

brsquo=a-arsquo arsquo=b-a

A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek

szabaacutelya

a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo

Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra

alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek

koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk

azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a

rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes

iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

8

3aacutebra

Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk

Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re

jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik

ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha

leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a

hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval

meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h

hangot 8164∙32=243128

Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket

az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy

szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett

moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy

meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz

hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni

nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom

az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki

hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem

Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk

feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal

sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak

nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely

pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az

alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-

9

nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg

meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg

A diatoacutenikus skaacutela

A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven

heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet

hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak

kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten

4aacutebra

A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk

meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e

hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva

8164 8064=54

A temperaacutelt skaacutela

A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem

csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera

Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is

toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk

beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő

hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a

10

hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk

ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az

egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort

5aacutebra

13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese

Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket

eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek

segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni

A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti

elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a

viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is

megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a

hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez

kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell

Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő

hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak

Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek

Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel

Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai

Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon

hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

11

Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett

Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen

uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az

aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk

Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest

folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus

folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk

an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n

A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett

moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek

tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra

keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű

műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel

hivatkozik is

A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute

kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a

nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk

Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a

kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget

kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek

A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls

osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a

folyamatnak nem lesz veacutege

A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls

meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten

12

Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az

alaacutebbi aacutebra szerint

6aacutebra

Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy

az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D

csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők

hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo

A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE

az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja

brsquo=a-arsquo arsquo=b-a

A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek

szabaacutelya

a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo

Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra

alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek

koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk

azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a

rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes

iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

9

nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg

meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg

A diatoacutenikus skaacutela

A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven

heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet

hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak

kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten

4aacutebra

A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk

meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e

hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva

8164 8064=54

A temperaacutelt skaacutela

A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem

csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera

Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is

toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk

beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő

hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a

10

hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk

ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az

egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort

5aacutebra

13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese

Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket

eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek

segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni

A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti

elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a

viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is

megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a

hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez

kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell

Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő

hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak

Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek

Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel

Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai

Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon

hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

11

Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett

Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen

uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az

aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk

Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest

folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus

folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk

an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n

A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett

moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek

tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra

keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű

műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel

hivatkozik is

A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute

kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a

nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk

Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a

kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget

kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek

A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls

osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a

folyamatnak nem lesz veacutege

A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls

meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten

12

Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az

alaacutebbi aacutebra szerint

6aacutebra

Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy

az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D

csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők

hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo

A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE

az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja

brsquo=a-arsquo arsquo=b-a

A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek

szabaacutelya

a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo

Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra

alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek

koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk

azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a

rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes

iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

10

hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk

ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az

egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort

5aacutebra

13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese

Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket

eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek

segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni

A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti

elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a

viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is

megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a

hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez

kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell

Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő

hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak

Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek

Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel

Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai

Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon

hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

11

Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett

Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen

uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az

aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk

Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest

folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus

folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk

an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n

A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett

moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek

tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra

keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű

műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel

hivatkozik is

A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute

kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a

nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk

Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a

kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget

kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek

A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls

osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a

folyamatnak nem lesz veacutege

A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls

meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten

12

Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az

alaacutebbi aacutebra szerint

6aacutebra

Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy

az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D

csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők

hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo

A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE

az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja

brsquo=a-arsquo arsquo=b-a

A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek

szabaacutelya

a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo

Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra

alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek

koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk

azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a

rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes

iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

11

Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett

Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen

uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az

aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk

Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest

folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus

folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk

an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n

A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett

moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat

A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek

tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra

keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű

műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel

hivatkozik is

A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute

kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a

nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk

Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a

kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget

kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek

A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls

osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a

folyamatnak nem lesz veacutege

A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls

meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten

12

Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az

alaacutebbi aacutebra szerint

6aacutebra

Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy

az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D

csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők

hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo

A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE

az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja

brsquo=a-arsquo arsquo=b-a

A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek

szabaacutelya

a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo

Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra

alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek

koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk

azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a

rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes

iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

12

Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az

alaacutebbi aacutebra szerint

6aacutebra

Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy

az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D

csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők

hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo

A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE

az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja

brsquo=a-arsquo arsquo=b-a

A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek

szabaacutelya

a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo

Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra

alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek

koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk

azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a

rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes

iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

13

Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez

A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt

d n2=2 a n

2plusmn1

Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben

igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet

Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra

(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2

4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2

A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege

Ezutaacuten a d n2=2 a n

2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet

1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)

k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)

Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor

pozitiacutevval

2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis

d n2=2 a n

2plusmn1

3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re

Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes

n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot

(2a n +d n)2+d n2=2a n

2+2(a n +d n) 2

A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

14

d n+12+d n

2=2a n2+ 2an+1

2

Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n

2plusmn1

d n+12=2an+1

2+2a n2-d n

2

d n+12=2an+1

2-(plusmn1)

Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes

ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is

Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes

aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip

Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre

jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket

23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip

Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart

Bizonyiacutetaacutes

Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest

d n2=2 a n

2plusmn1 a n2

d n2a n

2=2plusmn1a n2

a n rarr infin 1a n2rarr0

d n2a n

2rarr2

d na nrarrradic2

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

15

14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll

A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben

sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek

megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek

Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel

roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is

talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek

= = = =

7aacutebra

Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első

osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult

fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel

Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk

hogy ezek egyben szaacutemok nevei is

=1 =12 =14 = 18 = 116

8aacutebra

Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig

tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre

Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az

egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek

hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis

= +

1 = 12 + 12

9aacutebra

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

16

Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab

negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok

= + + +

1 = 14 +14 + 14 + 14

10aacutebra

Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb

Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen

ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek

segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva

=

12 = 18+18+14

11aacutebra

Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben

= =116+116+18+14=216+18+14=12

12aacutebra

Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet

hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a

maacutesikon pedig toumlrtek legyenek

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

17

2 Az aranymetszeacutes

21 A fogalom tisztaacutezaacutesa

bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a

geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]

Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek

szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute

Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen

keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz

(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy

mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval

13aacutebra

Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel

(p+q)q=qp

Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a

legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig

egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel

az araacutenyokat

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

18

14aacutebra

1x=x(1-x)

rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk

x2+x-1=0

a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de

mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll

x1=(radic5-1)2asymp0618

[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]

Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2

A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2

A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg

Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet

sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev

roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

19

22 Szerkeszteacutesi moacutedok

Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek

ismertetni

Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz

Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk

15aacutebra

Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet

A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr

sugaraacuteval azonos

Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak

eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes

szaacutemmal egyezik meg

A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben

aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq

araacuteny fennaacutell

Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet

16aacutebra

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

20

Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban

aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a

kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C

pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot

kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett

taacutevolsaacutegot AD=p-t

A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel

q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE

AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel

23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel

Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk

van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi

bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető

Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden

szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel

Segeacutedteacutetel

Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik

- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev

- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

21

Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak

Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok

aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen

meghataacuterozhatoacute

Koumlvetkezmeacuteny1

bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega

neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]

Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz

Koumlvetkezmeacuteny2

bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott

eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]

Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval

meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez

Bizonyiacutetaacutes

Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A

csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget

kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő

szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon

fekvő szoumlgek 72deg-osak

17aacutebra

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

22

Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy

kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni

Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes

veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval

Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre

18aacutebra

A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg

Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak

Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r

szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz

meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet

ar=r(a+r)

Ez pedig a keresett araacuteny

Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban

bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten

megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget

Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs

oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk

A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is

ami az alaacutebbi teacutetelen alapul

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

23

Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal

szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

Bizonyiacutetaacutes

A koumlvetkezőt kell megmutatnunk

r2+a2=b2

ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos

oumltszoumlg oldala

Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből

19aacutebra

Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC

haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD

haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal

hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő

szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg

ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz

Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon

Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen

b2-a2=a∙(a+r)

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

24

A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel

megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek

bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest

kaptuk

Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi

hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak

megszerkeszteacuteseacutere

Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra

merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk

ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk

Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)

meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1

eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az

OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r

sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az

aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala

24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes

Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is

szeretneacutem kiemelnem

Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok

szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema

vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben

Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az

uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy

dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy

az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy

oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

25

szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat

ami gyanuacutera adhat okot

Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben

hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely

biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint

Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak

haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)

Bartoacutek Beacutela

2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel

A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem

A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev

illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor

0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat

A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel

zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten

A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most

csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem

szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni

Formai feleacutepiacuteteacutes

3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten

(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)

(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)

(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)

A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi

A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3

darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev

aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok

tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

26

Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173

ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja

Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet

toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban

aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev

metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep

A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73

Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő

eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad

hangokban

A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz

hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A

tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes

a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal

A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang

megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev

metszeacutespontban aacutell

A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott

aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet

20aacutebra

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

27

3 Szimmetriaacutek

31 Transzformaacutecioacutek csoportok

Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet

huacutezott fuumlggőleges tengelyre

21aacutebra

Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig

folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven

megfogalmazni leiacuterni

Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom

hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a

csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is

Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve

eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

28

A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis

esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel

jeloumlljuumlk

Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor

beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis

SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1

Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű

lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute

Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak

hiacutevjuk

Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot

prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p

pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t

alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk

A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk

A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik

abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy

asszociatiacutev

Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel

Az Sx halmaz elemeire igaz hogy

-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a

kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve

-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely

minden elemet oumlnmagaacuteba visz

-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen

egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

29

Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott

Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven

Sx szimmetrikus csoport

A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom

bevezeteacuteseacutere

Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy

baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az

azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz

Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk

- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket

elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon

- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek

Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont

aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel

Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az

O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a

keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg

22aacutebra

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

30

Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є

R eseteacuten ex=xe=x

Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a

neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a

kmiddot360deg-os forgataacutesok

Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x

balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes

inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes

balinverze is

Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1

Megjegyzeacutes

t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett

eltolaacutes

Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy

(A1 A2)-1=A2-1 A1

-1

Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet

melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent

1)A művelet asszociatiacutev

2)Van neutraacutelis elem G-ben

3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze

Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H

reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve

Jeloumlleacutes H le G

Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)

reacuteszcsoportot alkot-e

-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H

-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme

-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

31

32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek

A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria

megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera

Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy

d(PQ)=d(f(P)f(Q))

Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus

forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa

Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva

tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad

A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel

ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll

forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest

Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak

illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni

Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a

taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja

Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak

Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E

Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi

transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik

Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

32

Peacutelda

A pentagramma

A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt

visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely

szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek

a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a

pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak

tekintetteacutek

Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit

Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os

szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek

23aacutebra

10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos

szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre

valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os

forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest

Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute

elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten

Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0

Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes

tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk

Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

33

Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira

Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz

Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel

kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is

t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti

fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes

Szemleacutelteteacutes

Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az

eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)

inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet

eltolaacutest kapunk

Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk

24aacutebra

A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok

koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el

(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)

A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

34

Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)

mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben

Bizonyiacutetaacutes

Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok

zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-

beli inverzkeacutepzeacutesre

A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten

Segeacutedaacutelliacutetaacutes1

Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg

keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute

tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen

Segeacutedaacutelliacutetaacutes2

Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes

melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d

Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes

tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent

Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet

1) Neutraacutelis elem

E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz

hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz

2) Inverzkeacutepzeacutes

H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes

mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen

kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja

Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α

eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

35

3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg

Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak

kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről

felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport

Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei

2 forgataacutes szorzata

f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel

Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel

Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal

meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes

szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő

tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe

Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2

ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes

viszi f2=t t2

Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr

vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id

Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a

metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel

Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes

Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata

A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben

Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re

merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk

Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely

paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle

F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes

amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

36

F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t

ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute

Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel

E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott

taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes

F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute

tuumlkroumlzeacutes

E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P

pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban

ismeacutet forgataacutest kaptunk

Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja

Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az

eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel

Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai

valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

37

33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport

Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely

a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt

reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z

Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor

g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben

az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk

Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes

1 generaacutetor elem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek

oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja

A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon

definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem

generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni

g-1= E((-1)v)

Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra

oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek

2 generaacutetorelem leacutetezeacutese

Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja

a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja

A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

38

34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben

Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek

Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege

hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet

meghataacuterozza

Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne

talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok

sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel

Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de

reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet

Laacutesd 1)-es melleacuteklet

d-moll invencioacute

Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk

25aacutebra

Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz

hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a

tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a

leacutepeacutesekkel

Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute

szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik

uumltemtől kezdve

A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7

pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

39

iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első

szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222

szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve

mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt

A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet

az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222

vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki

A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a

2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll

Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű

formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak

melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut

A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az

első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema

szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le

Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2

kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a

szimmetria megjeleneacuteseacutet

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

40

Oumlsszegzeacutes

Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes

oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt

Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes

eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben

Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a

koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős

felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent

Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a

termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen

meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban

A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni

amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes

soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra

Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban

taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb

laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz

Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az

aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka

Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az

oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny

teruumlleteacuten

Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak

miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

41

Melleacutekletek1)

Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute

2)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

42

3)

Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

43

Irodalomjegyzeacutek

[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982

[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986

[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977

[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok

[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960

[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993

[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965

[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977

[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007

[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982

[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998

[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland

[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby

44

[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978

[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978

[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby