Matematika 9-12. (10-13.)- középszintű (K) - · PDF filematematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Ajánlás Ezen tanterv első két évre szóló része

K

Matematika 9-12. (10-13.)- középszintű (K)

Ez a tanterv az Országos Közoktatási Intézet tantervi adatbankjában az

OKI96PÁLMAT1-12 változat alatt szereplő minősített tanterv 9-12. osztályokra lebontott része. E minősítéssel az Országos Közoktatási Intézet szakmai felelősséget vállal azért, hogy ez a tanterv az általa megjelölt NAT követelményeknek megfelel. Ez a kiadvány az adatbankban tárolt tantervek összefésülésével készült a 3 órás és a 4 órás változatból az érettségi általános követelményeinek ismeretében. Átdolgozva a kerettantervi rendelet és az új iskolai ped. program alapján 2001. májusában, 2004.júniusában illetve 2007. decemberében Alkalmazható a négyosztályos gimnázium 9-12. illetve az ötosztályos gimnázium (HHT-AJTP, informatika, német nemzetiségi és angol nyelvi) specializációinak 10-13. évfolyamain a középszintű érettségire előkészítő csoportokban. (lásd Matematika Tantárgyi Program K jelű tanterve)

Matematika 9-12. illetve 10-13.középszintű 9(10).K

Részei Matematika 9(10) Matematika 10(11) Matematika 11(12) Matematika 12(13)

Óraszám Iskolai: 480 óra

Megjegyzés A tanterv készítői Lajos Józsefné főmunkatárs OKSZI, Pálmay Lóránt vezető-szaktanácsadó FPI. Átdolgozták 1998-ban veszprémi Lovassy László Gimnázium tanárai: Dr. Molnár Attiláné, Báder Anikó és Békefi Zsuzsa.

Kerettantervhez igazította 2001-ben és 2004-ben: Békefi Zsuzsa, valamint 2007-ben Böcskei Ákos és Pozsgainé Becze Boglárka A 9-12. (10-13.) évfolyamon heti 3,5+ 3 + 3 + 4 órára készült a tanterv.

A 9-12. (10-13.) évfolyam figyelembe veszi a kerettanterv valamennyi követelményét. Fő témái a kerettantervben megfogalmazott témák (Gondolkodási módszerek; Számtan-algebra; Függvények-sorozatok; Geometria; Valószínűség-statisztika). Ezen témákat bontottuk altémákra.

A tanterv spirális felépítésű. Az éves összóraszámot egyetlen évfolyamon sem osztottuk szét teljesen az öt témakörnek. Mindenütt időt biztosítottunk az ismétlésre, a pedagógus által fontosnak tartott, a tanulócsoport igényeihez igazodó foglalkozásra (gyakorlásra, az anyag elmélyítésére vagy bővítésére), a munkaközösség által jóváhagyott közös témazáró dolgozatok iratására, azok eredményeinek és hibáinak megbeszélésére.

A tanterv minden évfolyamon azzal indul, hogy meghatározza az évfolyamra vonatkozólag a tanítás célját, követelményeit, az előzményeket, a tartalmat, az értékelést, s a feltételeket. Az egyes témáknál (altémáknál) ezekre történnek visszautalások, illetve elsősorban a cél, a követelmény és a tartalom esetében részletes kifejtések. Egyaránt fontosnak tartjuk a számfogalom, műveletfogalom fejlesztését és a logikus, rugalmas gondolkodásra nevelést. A tantervben szerepet kap a tapasztalatokra épülő matematika oktatás, az irányított felfedeztetés, az induktív módszer. Ugyanakkor fontos a tapasztalatok által megszerzett ismereteknek az életkornak megfelelő pontossággal történő megfogalmazása, tudása, s a matematikán belül, illetve más tantárgyakban való alkalmazási készsége.

A 9.(10.) évfolyamtól az induktív módszerek, a tevékenykedtető ismeretszerzés mellett folytatódik a deduktív módszerek alkalmazása és az elvont bizonyításokra való felkészítés. Ez hosszú folyamat, s természetesen a tanulók képességei és érdeklődése is meghatározza az elérhető szintet, de az érettségiig megfelelő szintre el kell juttatni a tanulókat.

Fontosnak tartjuk a kerettantervben is leírt rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra nevelést, a megfelelő szintű problémamegoldást. Azt gondoljuk, hogy a kisebb de, megértett és begyakorolt ismeretanyag, a megfelelően fejlesztett gondolkodási képesség többet ér, mint a nagy, de kellően meg nem értett tananyag.

A 11-12. (12-13.) évfolyam tananyagának összeállításakor figyelembe vettük a középszintű érettségi általános követelményeit. Kellő időt biztosítottunk a rendszerezésre.

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra

Ajánlás Ezen tanterv első két évre szóló része a speciális matematika tagozaton kívül minden osztályra érvényes. Az utolsó két év a középszintű érettségire készülőknek szól. Így emelt szintű érettségi vizsgára a tanterv ezen része alapján tanuló diák nincs felkészítve, hiszen annak a vizsgának több előírt anyagát nem dolgozza fe az utolsó két év ( pl. analízis).

Óraszámok

évfolyamok 9.(10) 10.(11.) 11.(12.) 12.(13.)

óra/hét 3,5 3 3 4

összóraszám 130 111 111 128

Cél • A tanterv a kerettantervben megjelölt időszakaszokig a követelmények mindegyikét teljesíti. • A két utolsó évfolyamra írt tantervekben követelmény az ismeretek pontosítása, rendszerezése,

összefoglalása s kellő szintű feladatmegoldással a középszintű érettségi eredményes letételére való felkészítés.

• A minimális teljesítmény a kerettantervben foglaltaknál kevesebb nem lehet. A tantervet használó pedagógus tudja eldönteni a többlet-követelményt. Ezt a tanulóknak ismerniük kell.

Értékelés Az értékelés módját évfolyamonként adjuk meg a munkaközösségi ajánlások elvrendszerét figyelembevéve.

Feltételek • A tantervek tanításához a szükséges képesítést a Közoktatási Törvény előírja. (KT 17.§) • Szükséges, hogy a szaktanárnak legyenek alapfokú számítástechnikai - felhasználói ismeretei. • A javasolt taneszközöket évfolyamonként meghatározzuk. • A matematikában használt demonstrációs és tanulói eszközök az iskolánkban nagyrészt megvannak.

Bővíteni kell a tanári felkészülésben és az órai demonstrációban használható személyi számítógépeket és teljesítményüket. A tankönyvi segédletek tárát állandóan modernizálni kell. Ezeket a könyveket kiegészíthetik a CD-ROMok.

• Az érdeklődő tanulóknak szorgalmi feladatként adhatók általános iskolai szakköri ill. versenyfeladatok. Példásul a Zrínyi verseny feladatai. Tesztes versenybe, a nemzetközi KENGURU versenybe is beneveztethetők ezek a tanulók.

• A matematikatörténeti részek feldolgozását önálló otthoni feladat keretében is végzik a tanulók beszámolási kötelezettséggel: kiselőadások tartásával.

• A térgeometriai ismeretek megalapozását a tanulók által elkészített modellek jobban szolgálják, mint a demonstrációs céllal tanórára bevitt testek, a függvényfogalom elmélyítését is jobban szolgálják a tanulók által készített sablonok, mint a túl korán használt gépi grafika.

• A kerettantervben foglaltaknak megfelelően sokfüggvényes zsebszámológépre szüksége van minden tanulónak.

• Fontosnak tartjuk a jól megválasztott tankönyvek, a gyakorlást és az egyszerűbb alkalmazásokat tartalmazó feladatgyűjtemények használatát.

Lovassy Gimnázium - 2 - 2007


Matematika 9(10) 9.(10.) K

Részei Halmazok, logika, kombinatorika Valós számkör, műveletek, algebra, számelmélet Egyenletek, egyenlőtlenségek Függvények, függvénytranszformációk Alakzatok, geometriai mértékek Szerkesztések, bizonyítások Geometriai transzformációk Valószínűség, statisztika

Óraszám Iskolai: 130 óra (37 hét) Tanítási ciklus: 3,5 óra / 1 hét

Cél • Az első nyolc év tananyagának rendszerezett áttekintése, a tanultak gyakorlati alkalmazásának

megmutatása jól választott feladatokkal. • Az ismétlés során jól választott feladatokkal mutassuk meg a matematika különböző területeinek

összekapcsolódását. • Az év során igyekezzünk az ismétlésből kiindulva tanítani és megértetni az új témákat. • A folyamatos fejlesztés feltételezi, hogy a

− számkörbővítés során szemléletes alapon jussunk el a valós számok halmazának ismeretéhez, a szemléletes fogalomalkotáshoz;

− kapjon hangsúlyt a halmazszemlélet erősítése a tanult alakzatok rendszerező áttekintésében; − a szemléletes fogalomalkotással kiérleljük a definiált fogalmak megjelenését; − a függvényszemléletet erősíti az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása (pl. grafikus megoldás), a

geometriai transzformációk áttekintése. • A tanulók érdeklődését a tantárgy iránt a célszerű alkalmazások, (kapcsolat más műveltségterületekkel,

illetve a gyakorlati élettel) ötletes megoldások és matematikatörténeti érdekességek tehetik folyamatossá. • Felkészítjük a tanulókat az intézményi belső vizsgára. A belső vizsgának fontos szerepe van a

pályaorientálásban. Az emelt szintű érettségi felé törekvő tanulókat a 10.(11.) osztálytól a szakkörökbe, 11.(12.) évfolyamtól fakultációra irányítjuk.

Követelmény • Ismerje a valós számkört, tudjon benne műveleteket végezni helyes sorrendben. • Legyen képes egyszerű műveletek elvégzésére halmazokkal. • Tudja az algebrai kifejezéseket célszerű formára alakítani, s azokkal műveleteket végezni. • Ismerje és alkalmazza a nevezetes szorzatokat. • Értse az egész kitevőjű hatvány fogalmát, tudja az azonosságokat. • Tudja felírni a számokat normálalakban. • Értse a függvény fogalmát, tudja a megadásának módjait, a tanult függvények tulajdonságait, egyszerűbb

transzformációit. • Ismerje a nevezetes egyenlőtlenségeket, tudja alkalmazni feladatok megoldásában. • Legyen képes lineáris egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek egyszerű paraméteres egyenletek

megoldására. • Ismerje a legfontosabb síkbeli alakzatokat, azok tulajdonságait, mértékeit. • Tudja a háromszögek oldalai, szögei közötti összefüggéseket és nevezetes vonalaikkal kapcsolatos

tételeket. • Tudja a vektor fogalmát, jelölését.



• Tudja két vektor összegét, különbségét, számmal való szorzatát, összetevőkre bontását megszerkeszteni, végrehajtani. Ismerje a helyvektor fogalmát.

• Tudja a kör középponti szögéhez tartozó körív hosszát, a körcikk területét. • Értse a geometriai transzformáció, mint függvény fogalmát, tudja az egybevágósági transzformációkról és

a hasonlóságról tanultakat. Ismerje fel a szimmetriákat különböző alakzatokon. • Tudjon néhány bizonyítást (pl. Thalész, Pitagorasz), ismerjen nevezetes ponthalmazokat.

Előzmény • Az első nyolc év tananyagának megfelelő szintű elsajátítása; a korosztálynak megfelelő szintű írásbeli és

szóbeli kommunikációs készség, az értő-elemző olvasási készség megléte, birtoklása. • Nyitottság, érdeklődés, szorgalom.

Tartalom Tananyagegységek:

I. Gondolkodási módszerek: 8 óra + folyamatos 1. Halmazok, logika, kombinatorika (10 óra)

II. Számtan, algebra: 44 óra 1. Valós számkör, műveletek, algebra, egész kitevőjű hatványok, számelmélet (24 óra) 2. Egyenletek, egyenlőtlenségek (20 óra)

III. Függvények, függvénytranszformáció: 18 óra IV. Geometria: 34 óra

1. Alakzatok, geometriai mértékek (14 óra) 2. Szerkesztések, bizonyítások (12 óra) 3. Geometriai transzformációk ( 8 óra)

V. Valószínűség, statisztika: 10 óra VI. Rendszerezés, ismétlés, összefoglalás: 8 óra

VII. Témazáró dolgozat írása és értékelése: 8 óra.

A tanév folyamán négy egész órás témazáró felmérést iratunk a tanárok által közösen összeállított feladatsor alapján. Ezt követően egy-egy dolgozatjavító, értékelő órát iktatunk be.

A tanév anyagának felsorolása nem jelent feltétlenül feldolgozási sorrendet, a tanár felcserélheti és apróbb egységekre is felbonthatja az év matematika anyagát.

Értékelés • A tanuló munkájának értékelésekor megfelelő arányban kapjon szerepet a szóbeliség is. Figyelemmel

kísérjük az órai munkát, a tanulói aktivitást, rendszeresen ellenőrizzük a házi feladatok elkészítését. • A szóbeli feleletek és a rövid felmérések (röpdolgozatok) mellett négy egész órás témazáró felmérést

iratunk.

Feltételek • Egyetemet végzett matematika tanár. • Megfelelően felszerelt matematika "szertár". • A tanulóknak: tankönyv, melyet a matematika munkaközösség választ. Matematikai, geometriai

feladatgyűjtemény. Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, a matematika iránt nagyobb érdeklődést mutatók számára a KÖMAL című folyóirat.

• A tanároknak: a tanulóknál felsoroltakon túl: kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, , színes kréta, írásvetítő fóliákkal, személyi számítógép használati lehetőség, oktatóprogramok (szoftverek), matematikai témájú videokazetták, lehetőség sokszorosításra.



Halmazok, logika, kombinatorika 9.(10.)K


Cél • Halmazszemlélet fejlesztése. Halmazműveletek megismerése. • A szaknyelv és a fokozatosan bővülő jelölésrendszer helyes alkalmazása. • A kommunikációs készség továbbfejlesztése érvelésekben, vitákban, bizonyításokban. • Definiciók és tételek megkülönböztetése. • Többféle megoldás keresése. • Kombinatorikus gondolkodás továbbfejlesztése. • Ponthalmazok a koordinátarendszerben.

Követelmény • Gyakorlottság az összes eset rendszerezett felsorolásában kis elemszám esetén. • Ismerkedjen a matematikai jelölésekkel. • Legyen képes egyszerűbb matematikai szövegek értő elemzésére, tudja használni a szaklexikont. • Ismerje és értse a legalapvetőbb műveleteket, halmazokkal, tudja alkalmazni konkrét példák esetében. • Ponthalmazok a koordinátarendszerben.

Előzmény A témához kapcsolódó követelmények teljesítése 8. osztállyal bezárólag.

Tartalom • Számhalmazok, kapcsolatuk. Jelöléstípusok használata. • Részhalmaz, üreshalmaz. Halmazok egyenlősége. • Unióképzés, metszetképzés, különbségképzés, komplementerhalmaz képzése. • Venn-diagram használata feladatok megoldásában. • Alaphalmaz, megoldáshalmaz. • Példák a skatulyaelv alkalmazására. • Egyszerű kombinatorikai feladatok kapcsán az összes eset megkeresése. • Ponthalmazok a koordinátarendszerben.

Értékelés • A házi feladatok rendszeres megbeszélése. • Szóbeli és rövid, egyszerű feladatokat tartalmazó írásbeli felmérés.

Feltételek Írásvetítő fóliák, színes tollak, szemléltető eszközők.



Valós számkör, műveletek, algebra, számelmélet 9.(10)K


Cél • A számfogalom fejlesztése.A műveletek kiterjesztése algebrai egész és törtkifejezések esetében. A

műveleti tulajdonságok áttekintése. Helyes műveleti sorrend biztos alkalmazása. • A matematikai szimbólumok elmélyítése, alkalmazása különböző problémák lejegyzésére. • Nevezetes összefüggések, azonosságok megismerése és alkalmazása. • A hatványozás értelmezésének kiterjesztése egész kitevőkre. • A tanult számelméleti ismeretek áttekintése, alkalmazása algebrai kifejezéseket tartalmazó feladatokban. • A bizonyítási igény fejlesztése.

Követelmény • Ismerje a számírás alapelveit. Legyen tisztában a tízes számrendszerrel, a helyiérték fogalmával. • Tudja és értse a tanuló az algebrai egész és törtkifejezés fogalmát, tudja azok célszerű átalakítását

elvégezni, helyettesítési értéküket kiszámítani. • Ismerje a nevezetes azonosságokat és a nevezetes közepeket, és legyen képes alkalmazni egyszerűbb

feladatok megoldásában. • Tudja az egész kitevőjű hatvány fogalmát, értse és igazolja a hatványozás azonosságait. • Az oszthatósági alapismeretek: prímtényezős felbontás, osztó, többszörös, legnagyobb közös osztó,

legkisebb közös többszörös egyszerű feladatokban történő alkalmazása, relatív prím. • Oszthatósági szabályok. • Tudja alkalmazni a tanult számelméleti ismereteket, a műveleti és algebrai azonosságokat, valamint a

hatványozás azonosságait algebrai kifejezést tartalmazó oszthatósági feladatok megoldása esetén. • Számelmélet alaptételét ismerje. • Számrendszerek. átváltás 10-es számrendszerből 2-es alapú számrendszerbe és viszont.

Előzmény • Az előző nyolc év e témákhoz kapcsolódó követelményeinek teljesítése.

Tartalom • Valós számkör. Számhalmazok kapcsolata.Műveletek: alapműveletek a valós számok körében, műveleti

tulajdonságok, kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás, betűs kifejezések körében, halmazok körében (unió, metszet, különbség, kiegészítő halmaz).

• Algebrai egész és törtkifejezések átalakításai (kiemelés, beszorzás). Helyettesítési érték. • Nevezetes azonosságok: kéttagú betűkifejezések 2. és 3. hatványa, háromtagú kifejezés négyzete. • Egész kitevőjű hatványok (0 és negatív kitevő). • A hatványozás azonosságai és igazolásuk. • A számok normálalakja. • Gyakorlati alkalmazások. Kerekítés. Közelítő érték. • Nevezetes egyenlőtlenségek, számtani- és mértani közép fogalma, kapcsolata.

Értékelés • Házi feladatok rendszeres megbeszélése, ellenőrzése. • Rövid szóbeli és írásbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a halmazok

és valós számkör, műveletek, algebra és számelmélet témakörökből.



Feltételek Feladatgyűjtemények. Írásvetítő és fóliák, tollak. Prímszámtáblázatok. Sokfüggvényes zsebkalkulátor.

Egyenletek, egyenlőtlenségek 9.(10.)K


Cél • Értő-elemző olvasás fejlesztése. • Különböző problémák matematikai modelljének felírása. • Ellenőrzés igényének fejlesztése. • Szövegértelmezés, szöveges feladatok.

Követelmény • Tudjon elsőfokú- és elsőfokúra vezető törtes egyenleteket és egyenlőtlenségeket megoldani. • Tudjon elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszereket megoldani. • Legyen képes százalékszámítási és kamatszámítási feladatok önálló megoldására. • Szöveges feladatok.

Előzmény A témához kapcsolódó előző évi követelmények teljesítése.

Tartalom • Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek algebrai megoldása és ellenőrzése. Alaphalmaz, igazsághalmaz. • Egyenletek ekvivalenciája. Hamis gyök. • Egyszerűbb paraméteres elsőfokú egyenletek megoldása diszkusszióval. • Fizikai és kémiai képletekből a különböző mennyiségek kifejezése a kémia és fizika tankönyvek

felhasználásával. • Egyszerűbb abszolutértéket tartalmazó egyenletek. • Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek és megoldásuk algebrai (behelyettesítő módszer, egyenlő

együtthatók módszere, új ismeretlen bevezetése) és grafikus úton. • Százalék- és kamat számítási feladatok. Példák a gazdasági élet területéről is a történelem és földrajz

tankönyv felhasználásával. • Szöveges feladatok megoldása. Ellenőrzés a szöveg alapján. • Egyenes és fordított arányosság. • Egyenlőtlenségek megoldása grafikus úton.

Értékelés • A házi feladatok rendszeres ellenőrzése. • Rövid írásbeli és szóbeli felmérések. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a

függvények témakörrel együtt.

Feltételek Feladatgyűjtemény. Írásvetítő a grafikus megoldások kivetítésére, együttes ellenőrzésére.



Függvények, függvénytranszformációk 9.(10.)K


Cél • Függvényszemlélet fejlesztése. • A matematika különböző területeinek összekapcsolása (pl. függvénytranszformációk és geometriai

transzformációk). • A különböző gyakorlati alkalmazások megmutatása.

Követelmény • Ismerje és tudja jellemezni a tanult alapfüggvényeket, legyen képes azok legegyszerűbb transzformációit

végrehajtani. • Tudjon saját készítésű sablon alapján rendezett ábrát készíteni a vizsgált függvényekről. • Legyen képes a függvényekről tanultakat alkalmazni egyenletek, lineáris kétismeretlenes

egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek megoldásában, természet- és társadalomtudományos jelenségek, folyamatok leírásában.

Előzmény Az előző évek megfelelő témája követelményeinek teljesítése.

Tartalom • Függvény definíciója. • Az egyenes arányosság, a fordított arányosság fogalma, a függvény jellemzői, ábrázolása. • Lineáris függvények, négyzetgyökfüggvény, elsőfokú törtfüggvény. • Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. • Abszolútérték függvény • A másodfokú függvény és transzformációi. • Egészrész- és törtrész függvény, szignum függvény fogalma, ábrázolása. • Függvénytani alapfogalmak: hozzárendelés fajtái, az egyértelmű hozzárendelés, értelmezési tartomány,

értékkészlet, zérushely, növekedési viszonyok, szélsőérték szemléletes fogalma, paritás. • Konkrét függvények konkrét transzformációi.

Értékelés • Házi feladatok gyakori ellenőrzése. • A megoldások leírásának külalakjának, rendezettségének értékelése. • A megoldás ellenőrzésének értékelése. • Rövid szóbeli és írásbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az

egyenletek, egyenlőtlenségek témakörrel együtt.

Feltételek Feladatgyűjtemények. Írásvetítő.



Alakzatok, geometriai mértékek 9.(10.)K


Cél • A már tanult síkbeli és térbeli alakzatok ismétlése és újabb alakzatok megismerése. • Az alakzatok jellemzőinek, tulajdonságainak mértékeinek rendszerező áttekintése, kapcsolatok, össze-

függések felfedezése, rögzítése.

Követelmény • Nevezetes mértani helyek: kör, gömb, szögfelező, szakaszfelező merőleges. • A tanuló tudja a háromszög megadási módjait; szerkesztésének feltételeit. • Ismerje a háromszög szögei és oldalai közötti összefüggéseket. • Ismerje a háromszög nevezetes vonalait, pontjait, köreit, tudja megszerkeszteni azokat. • Tudja a sokszög szögösszegének, átlói számának meghatározását. • Tudjon szöget mérni fokban, radiánban. • Legyen képes adott kör középponti szögét, körívének hosszát, a körcikk területét kiszámítani. • Értse a háromszög, négyszög középvonalának fogalmát, ismerje a középvonalak tulajdonságait. • Vektor fogalma, vektorműveletek.

Előzmény A téma 8. osztály végi követelményeinek teljesítése.

Tartalom • Axiómák és alapfogalmak fontossága. • Szögek nagyság szerinti csoportosítása, nevezetes szögpárok. • Háromszögek jellemzői, csoportosításuk. • Összefüggések a háromszög szögei között, oldalai között, a derékszögű háromszög oldalai között. • A háromszögekben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szög, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög

van. • Sokszögek, szabályos sokszögek. Alaptulajdonságaik. • Négyszögek fajtái és tulajdonságai. • Konvex sokszög belső szögeinek összege, átlóinak száma. • Háromszögek nevezetes vonalai: oldalfelező merőlegesek, szögfelezők, magasságvonalak. • Beírt kör középpontja, köré írt kör középpontja, magasságpont. • A háromszög beírt köre, köréírt köre. • Háromszögek, négyszögek középvonalai. • Kör és részei. • A kör középponti szöge, körív hossza, körcikk területe. • Szögek mérése fokban, radiánban. • Összefüggés sokszögek külső és belső szögei között. • Vektor fogalma, vektorok összeadása, kivonása, szorzása számmal.

Értékelés • Házi feladatok gyakori ellenőrzése. • Rövid írásbeli és szóbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a szerkesz-

tések, bizonyítások témakörrel együtt.



Feltételek Mérőeszközök, síkbeli modellek.

Szerkesztések, bizonyítások 9.(10.)K


Cél • A bizonyítás, cáfolás, ellenpélda lényegének megmutatása. • A definició fogalmának mélyítése. • Pontos munkára nevelés szerkesztések kapcsán. • Esztétikus külalak igényének kialakítása. • Vázlat, megoldási terv szerepének megmutatása.

Követelmény • Igényes kivitelű szerkesztés, törekvés a diszkusszióra. • Pitagorasz- és Thalész-tétel, valamint bizonyításuk és megfordításuk ismerete. • A háromszöggel kapcsolatos tételek biztos ismerete és a bizonyításokban való jártasság.

Előzmény A téma 8. osztályig megfogalmazott követelményeinek teljesítése és az előző téma követelményeinek teljesítése.

Tartalom • A definíció, a tétel, a tétel megfordítása, „akkor és csak akkor” használata. • Thalesz- és Pitagorasz- tételek , bizonyításuk. • Thalesz-tétel, Pitagorasz-tétel megfordítása, bizonyítás. • Érintőszerkesztési feladatok. • Vázlat, megoldási terv készítése. • Thalesz-tétel felhasználása egyszerűbb bizonyításos feladatokban. • A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. • A háromszög köré írt kör és tulajdonságai. • A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. • A háromszög beírt köre és tulajdonságai. A háromszöghöz hozzáírt körök szerkesztése. • A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Magasságpont. • A háromszög középvonalaira vonatkozó tétel. • A négyszögek középvonalai. • A fentiek felhasználása egyszerűbb szerkesztéses és bizonyításos feladatokban. • Háromszög súlypontja, súlypontra vonatkozó tétel.

Értékelés • Házi feladatok ellenőrzése. • Rövid szóbeli és írásbeli felmérések. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az alakzatok,

geometriai mértékek témakörrel együtt.

Feltételek Tanulói szerkesztési eszközök, színes kréták, színes ceruzák.



Geometriai transzformációk 9.(10.)K


Cél • Függvényszemlélet fejlesztése. • A transzformációs szemlélet fejlesztése. • Egybevágósági transzformációk ismétlő összefoglalása után újabb tulajdonságok, definíciók megismerése.

Követelmény • Legyen képes a szerkesztések pontos kivitelezésére, vázlat készítésére. • Legyen képes a tanult geometriai transzformációk rendszerező áttekintésére, összefoglalására. • Tudja az alakzatok egybevágóságának feltételeit. • Vegye észre adott esetben a különböző alakzatok szimmetriáit.

Előzmény A témában nyolcadik osztályig tanultak követelményeinek ismerete.

Tartalom • Példák különböző geometriai transzformációkra. • A geometriai transzformáció fogalma. • Fixpontok, invariáns alakzatok. • Egybevágósági transzformációk (tengelyes és középpontos tükrözés, eltolás és a pont körüli elforgatás) síkban és térben. • Alakzatok (háromszögek, sokszögek, kör) egybevágóságának feltételei. • Szimmetrikus alakzatok. • Példák nem egybevágósági transzformációkra. • Szerkesztési feladatok transzformációkkal (diszkusszió).

Értékelés • Házi feladatok ellenőrzése. • Szerkesztések pontos kivitelezésének ellenőrzése. • Szóbeli és írásbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a

valószínűség, statisztika témakörrel együtt.

Feltételek Írásvetítő, fóliák, tollak, tanulói rajzeszközök, színes kréták, színes ceruzák.

Valószínűség, statisztika 9.(10.)K


Cél • A valószínűség fogalmának alakítása. • Statisztikai adatok helyes értelmezés, értékelés, ábrázolása, jellemzők leolvasásának megtanítása.



Követelmény • Valószínűségi kísérletek kimenetelére becslés adása. • Tudja a statisztikai adatokat táblázatba gyűjteni, ábrázolni. • Tudjon helyesen értelmezni különféle grafikonon megjelenített statisztikai adatokat.

Előzmény • A 8. osztály végéig tanultak ismerete.

Tartalom • Kísérletek végzése, a kimenetel vizsgálata. • Gyakoriság, relatív gyakoriság kiszámítása konkrét példák kapcsán. • Gyűjtött adatok rendszerezése, ábrázolása ( kördiagram, oszlopdiagram) • Statisztikai jellemzők (számtani közép, módusz, medián, terjedelem) keresése, megfogalmazása. • Különféle grafikonon megjelenített statisztikai adatok értelmezése a történelem és földrajz tankönyvekből

vett példák alapján is. • Szerkesztőprogramok ismertetése, a zsebkalkulátorok statisztikus üzemmódja.

Értékelés • Szóbeli számonkérés, órai munka értékelése. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a geometriai

transzformációk témakörrel együtt.

Feltételek Statisztikai adatok, kockák, pénzérmék, kártyák a kísérletekhez.

Matematika 10(11) 10.(11.)K Halmazok,logika Kombinatorika Számkörök, műveletek. Algebra. Egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú függvények, szögfüggvények Geometriai alakzatok, mértékek Geometriai bizonyítások Geometriai transzformációk Valószínűség, statisztika Rendszerező összefoglalás

Óraszám Iskolai: 111 óra Tanítási ciklus: 3 óra / 1 hét

Cél • A valós számkörben végzett műveletek hibátlan elvégzése. • A tanult témák rendszerező áttekintése, egymással és a gyakorlati élettel való kapcsolatának megmutatása. • A tanult fogalmak, tételek, bizonyítások öszefoglalása. • Eljárások, algoritmusok erősítése gyakorlati feladatok megoldása. • A függvény- és geometriai transzformációk kapcsolatának bemutatása koordinátarendszerben. • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. • A valószínűség szemléletes fogalmának kialakítása.



Követelmény • A valós számkör fogalmának és a benne végzett műveleteknek a biztos tudása. • Jártasság az algebrai kifejezésekkel, a halmazokkal, a vektorokkal való műveletek elvégzésében. • Tudja a hatványozás, a négyzetgyök és az n-edik gyök fogalmát, azonosságait, legyen járatos

alkalmazásaban egyszerű esetekben. • Egyszerű egyenletek, egyenlőtlenségek, lineáris kétismeretlenes egyenletrendszerek és lineáris

kétismeretlenes egyenlőtlenségrendszerek készségszintű megoldása, a megoldás ellenőrzése. • Jártasság egyszerű szöveges feladatok megoldásában. • A tanult függvények fogalmának ismerete, ábrázolásuk derékszögű koordinátarendszerben, tulajdonságaik

leolvasása, egyszerű transzformáltjaik megrajzolása. • A tanult alakzatok - definiciójának - jellemzőinek, mértékeinek biztos tudása. • A geometriai transzformációk és jellemzőik biztos ismerete, alkalmazásuk szerkesztési, bizonyítási

feladatokban. • Hasonlóságon alapuló geometriai tételek. • A tanult tételek biztos tudása, jártasság ezek bizonyításában és alkalmazásaikban. • A halmaz- és függvényszemlélet fejlesztés a rendszerezés alapján is. • Szögfüggvények fogalma, alkalmazása derékszögű háromszögben. • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése, a valószínűségi szemlélet fejlesztése.

Előzmény Az első 9 év követelményeinek megfelelő szintű teljesítése.

Tartalom Az első 9.(10.) év tananyagának folyamatos ismétlése mellett, • a négyzetgyök azonosságai • az n-edik gyök fogalma és azonosságai, • másodfokú egyenletek egyenlőtlenségek és megoldásuk, • középpontos hasonlóság, hasonló alakzatok és ezek kerülete, területe, • párhuzamos szelők tétele, • háromszögekre vonatkozó tételek (szögefelező téte, derékszögű háromszögben magasság-, befogó-tétel) • háromszögek területének kiszámítási módjai, • sokszögekre vonatkozó ismeretek, • körrel kapcsolatos ismeretek, • térgeometriai ismeretek, • trigonometriai alapismeretek, • vektorok a koordinátasíkon, • kombinatorikai feladatok, módszerek • valószínűségi és statisztikai alapfogalmak előkészítése.

Tananyagbeosztás:

I. Gondolkodási módszerek: 7 óra 1.Halmazok,logika (3 óra) 2.Kombinatorika (4 óra)

II. Számtan, algebra: 32 óra 1.Számkörök, műveletek. Algebra (14 óra) 2.Egyenletek, egyenlőtlenségek (18 óra)

III. Függvények: 19 óra 1.Másodfokú függvények, szögfüggvények (19 óra)

IV. Geometria: 33 óra 1.Geometriai alakzatok, mértékek (12 óra) 2.Geometriai bizonyítások (12 óra) 3.Geometriai transzformációk (9 óra)

V. Valószínűség, statisztika: 6 óra



VI.Rendszerező összefoglalás: 6 óra VII.Témazáró dolgozatok írása és értékelése: 8 óra

A tanév folyamán négy egész órás témazáró felmérést iratunk a tanárok által közösen összeállított feladatsor alapján. Ezt követően egy-egy dolgozatjavító, értékelő órát iktatunk be.

Értékelés • Házi feladatok alapján. • Szóbeli feleletek, rövid írásbeli dolgozatok alapján. • Házi dolgozatok (kutatási feladatok kapcsán) értékelése. • Választott és önállóan feldolgozott versenyfeladatok vagy matematikatörténeti érdekességekből tartott

kiselőadások alapján. • Négy egy órás témazáró dolgozat alapján.

Feltételek • Érettségit adó iskolatípus esetén egyetemet végzett matematika tanár. • Megfelelően felszerelt matematika "szertár". • A tanulóknak: tankönyv, melyet a szaktanár vagy a matematika munkaközösség választ. Matematikai,

geometriai feladatgyűjtemény. Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszá-mológép, a matematika iránt nagyobb érdeklődést mutatók számára a KÖMAL folyóirat, KENGURU verseny előkészítő tesztjei.

• A tanároknak: a tanulóknál felsoroltakon túl: kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, színes kréta, írásvetítő fóliákkal, oktatóprogramok (szoftverek), matematikai témájú videokazetták, lehetőség sokszorosításra.

Halmazok,logika 10.(11.) K


Cél • Halmazokról tanultak alkalmazása az első tíz év anyagának rendszerező áttekintésére. • A logika elemeinek, nyelvének helyes és pontos használata. • Újabb bizonyítási módszerekkel való ismerkedés.

Követelmény • A legegyszerűbb halmazműveletek ismerete és konkrét feladatok megoldásában való felhasználása. • Tájékozottság a "skatulyaelv", a teljes indukció és a szitamódszer (logikai szita) legfontosabb jellemzőiről.

Előzmény E témában a 9. osztály végéig tanultak követelményeinek teljesítése.

Tartalom • A halmazokról, halmazműveletekről tanultak alkalmazása más tananyagegységekben. • A nyelv logikai elemeinek helyes használata. • A skatulyaelv, a teljes indukció, a logikai szita, mint bizonyítási módszer bemutatása konkrét egyszerűbb

feladatok kapcsán. • Az indirekt bizonyítás



Értékelés • Konkrét - más témákhoz kapcsolódó - feladatok megoldása során történik az értékelés.

Feltételek Az általános részben megfogalmazott feltételek szükségesek.

Kombinatorika 10.(11.)K


Cél • Legyen képes a tanuló módszeresen megkeresni adott (kevés) elemszám esetén az összes lehetséges

sorrendet. (Permutációk) • Legyen képes néhány elemű halmaz összes lehetséges részhalmazát felsorolni, a részhalmazok számát

felsorolás nélkül is megadni (Kombinációk).

Követelmény • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. • Az összes megoldás megkeresésével kapcsolatos igény fejlesztése. • A matematika szépségének bemutatása.

Előzmény Az első 9(10) év során összegyűjtött tapasztalatok, módszerek ismerete, a követelmények teljesítése.

Tartalom • Egyszerű kombinatorikus feladatok. • Ismerkedés a Pascal-háromszöggel kis n-ek esetén, a Pascal-háromszög elemeinek tulajdonságai. • Adott kis elemszám esetén a sorrendek összeszámolása. • Adott kis elemszám esetén részhalmazok kiválasztása az összes lehetséges módon. • Kiválasztási és sorrendi kérdéseket tartalmazó érdekes feladatok megoldása.

Értékelés • A házi feladatok részletes megbeszélése. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a

számtan, algebra, logika, kombinatorika, halmazok, valószínűség, statisztika témakörökből.

Feltételek Az évfolyamra megfogalmazott feltételek teljesítése.

Számkörök, műveletek. Algebra. 10.(11.)K


Cél • Számolási készség fejlesztése a valós számkörben. • Az algebrai kifejezésekkel végzett műveletek értő elvégzése. • Nevezetes összefüggések alkalmazása gyakorlati példákban.



Követelmény • Értse a valós szám fogalmát. Tudja igazolni, hogy négyzetgyök 2 irracionális szám. • Tudja elvégezni helyes sorrendben a tanult műveleteket a valós számok körében: alapműveletek,

négyzetgyökvonás, hatványozás. Legyen tisztában a zárójel használatával. • n-edik gyökvonás fogalma és azonosságai • Legyen járatos az egyszerű algebrai kifejezésekkel végzett alapműveletekben. • Tudja kiszámítani egy adott algebrai kifejezés helyettesítési értékét. • Tudja meghatározni egyszerű esetekben az algebrai kifejezés értelmezési tartományát. • Tudja a tanult azonosságokat felhasználni algebrai kifejezések egyszerűbbé tételében. • Tudja kifejezni adott egyszerű képletek esetén a bennük szereplő változót.

Előzmény Az előző 9(10) év során e témában tanultak megfelelő szintű ismerete, a témához kapcsolódó követelmények teljesítése.

Tartalom • Példák irracionális számokra. • A négyzetgyök 2 irracionális szám. • Négyzetgyökvonás, hatványozás algebrai kifejezésekben, n-edik gyökvonás számolási feladatokban,

valamint ezek azonosságainak • Táblázatok és a zsebszámológép célszerű használata a számítások gyorsítására. • Kerekítés, becslés. • Algebrai egész és törtkifejezések, és ezek célszerű átalakításai a műveleti tulajdonságok és a tanult

azonosságok felhasználásával. • Algebrai kifejezések helyettesítési értéke, értelmezési tartománya.

Értékelés • Házi feladatok ellenőrzése. • Alapműveletek helyes és gyors végzésének ellenőrzése tesztlapokkal, szoftverekkel. • Rövid írásbeli és szóbeli számonkérés • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a


Feltételek Táblázatok és zsebszámológép.

Egyenletek, egyenlőtlenségek 10.(11.)K


Cél • Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása során a mérlegelv mellett a tanult azonosságok alkalmazása. • Az alaphalmaz és a megoldáshalmaz, igazsághalmaz vizsgálata. • A másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldási módjainak megismerése. • Másodfokú összefüggésekre vezető feladatok a természet- és társadalomtudományok és a gazdasági

számítások köréből. • Szélsőérték problémák megoldásával való ismerkedés.

Követelmény • Tudja alkalmazni a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Értse a diszkrimináns szerepét. • Ismerje a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket.



• Gyöktényezős alak. • Tudjon megoldani másodfokú egyenletre - , egyenlőtlenségre vezető feladatokat. • Tudja a szöveges feladatokat megfogalmazni a matematika nyelvén. • Alakuljon ki az önellenőrzés igénye. • Másodfokú törtes egyenletek, másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egyenletek.

Előzmény • Lineáris egyenletek, egyenlőtlenségek és törtes egyenletek megoldása. Szöveges feladatok megoldása. • A témához kapcsolódó első 9 év követelményeinek teljesítése.

Tartalom • Ismétlés szinten a lineáris egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldása. • Nevezetes szorzatok. Másodfokú egyenletek szorzat alakja teljes négyzetté alakítással. • Másodfokú egyenletek megoldása, megoldóképlet. • Másodfokú egyenletek gyöktényezős alakja, Viéte-formulák. • Egyszerűbb másodfokú egyenlőtlenségek. • Másodfokúra visszavezethető egyszerűbb egyenletek. • Szöveges feladatok. • Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között • Grafikus megoldások • Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások • Az ellenőrzés szerepének kiemelése.

Értékelés • Házi feladatok ellenőrzése. • Több rövid írásbeli ellenőrzés. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az egyenletek,

egyenlőtlenségek és a másodfokú függvények témakörből.

Feltételek Az általános részben megfogalmazottakon túl írásvetítő és fóliák, színes tollak.

Másodfokú függvények, szögfüggvények, trigonometrikus fgv.-ek 10.(11.)K


Cél • A függvényszemlélet erősítése. • Szövegek lefordítása a matematika nyelvére, a talált összefüggések ábrázolása derékszögű koordináta-

rendszerben. • A hegyesszög szögfüggvényeinek megismerése. • Ismerje a trigonometrikus függvényeket.

Követelmény • Tudja ábrázolni a másodfokú függvényt, legyen képes szemléltetni tulajdonságait, jellemzőit. • Legyen képes a másodfokú függvény egyszerű transzformációit elvégezni. • Értse és tudja a szögfüggvények definícióját hegyesszögre és forgásszögre. • Trigonometrikus függvények grafikonjai, jellemzése, transzformációi.

Előzmény A függvényekről az első 9(10) év során tanultak ismerete, a hozzájuk kapcsolódó követelmények teljesítése.



Tartalom • Másodfokú függvények és vizsgálatuk (ismétlésként). • Szélsőérték számítások. • Hegyesszögek szögfüggvényei (definíciók) és összefüggéseik. • Pótszögek szögfüggvényei. • Pitagoraszi összefüggés. • Néhány hegyesszög pontos szögfüggvényértéke. • Derékszögű háromszög, szabályos sokszög adatainak számítása. • Forgásszög szögfüggvényei, szögfüggvények tulajdosnágai, függvények ábrázolása, transzformációi és

jellemzései, alkalmazása egyszerűbb egyenletekben, egyenlőtlenségekben. • Szögfüggvények közötti összefüggések. • A fizika tantárgyban előforduló egyszerűbb problémák matematikai modellje is.

Értékelés • Házi feladatok megbeszélése. • Több rövid írásbeli és szóbeli beszámoló. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az egyenletek,

egyenlőtlenségek és a másodfokú függvények témakörből. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a

szögfüggvényekből a geometriai alakzatok, mértékek témakörrel együtt.

Feltételek Az általános részben megfogalmazottakon túl írásvetítő és fóliák, színes tollak.

Geometriai alakzatok, mértékek 10.(11.)K


Cél A témában eddig tanultak rendszerező összefoglalása és kiegészítése.

Követelmény • Tudja a háromszögek, négyszögek, sokszögek definícióját, jellemzőit, kerület- és terület számítási módjait. • Ismerje és alkalmazza szerkesztési és bizonyításos feladatokban a háromszög nevezetes vonalairól,

pontjairól tanultakat. • Tudja kiszámítani ismert alakzatok kerületét, területét, térfogatát. • Tudjon kocka-, téglatest-, tetraéder-, gúla modellt készíteni, és tudja ezen testek rendezett "beszédes "

ábráit a füzetében megjeleníteni. • Tudjon területet, térfogatot számolni a hasonlóság segítségével is. • Tudja meghatározni ismert és tanult geometriai alakzatok kölcsönös helyzetét, kiszámítani hajlásszögüket,

távolságukat.

Előzmény A 9. évfolyam végéig e témában tanultak követelményeinek teljesítése.

Tartalom • Háromszögekről, négyszögekről, sokszögekről tanult ismeretek áttekintése. • A körről tanultak áttekintése. • Pitagorasz tétele és a szögfüggvények kapcsolata, számításos feladatok megoldása. • Hasonló alakzatok kerület-, terület- és térfogataránya. • Két kitérő egyenes hajlásszöge és távolsága.



• Egyenes és sík hajlásszöge, két sík hajlásszöge. • Síkra merőleges egyenes. • Pont távolsága síktól. • Vektorok a koordinátasíkon. • Egyszerűbb testek méretes vonatkozásai, térelemek távolsága és szöge a kocka, téglatest, tetraéder,

szabályos gúlák esetében . • A tanultak rendszerező összefoglalása.

Értékelés • Házi feladatok rendszeres ellenőrzése. • Rövid írásbeli felmérések. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a szögfüggvények

és ezen téma geometriai számításos részéből. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján ezen téma elemi

geometriával, hasonlósággal kapcsolatos részéből a geometriai bizonyítások és a geometriai transzfor-máció témakörrel együtt.

Feltételek • Geometriai alakzatok modelljei, melyekkel a tartalomban leírtakat szemléltethetjük. • Rajzeszközök, színes kréták és ceruzák.A POLYDRON testépítő készlet.

Geometriai bizonyítások 10.(11.)K


Cél • A tanulók bizonyítási igényének fejlesztése. • A pontos, logikus következtetések egymásra épülése a bizonyítás során. • A gondolkodás szépségének, eredményességének megmutatása.

Követelmény • Tudja a párhuzamos szelők tételét, megfordítását, szelőszakaszok tételét (utóbbit bizonyítással). • Tudja a szögfelező osztásarányát, ismerje a bizonyítást. • Ismerje a derékszögű háromszögben a befogótételt, ismerje a bizonyítást.

Előzmény Az előző kilenc év megfelelő követelményeinek teljesítése.

Tartalom • A háromszög különböző területképletei. • Párhuzamos szelők tétele és a tétel megfordítása. • Szelőszakaszok tétele. • Szögfelező osztásaránya. • Befogótétel. Magasságtétel. • Irracionális mérőszámú szakaszok szerkesztése. • A tételek alkalmazása feladatokban.

Értékelés • Házi feladatok ellenőrzése. • Több rövid felmérés írása.



• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján ezen téma elemi geometriával, hasonlósággal kapcsolatos részéből a geometriai bizonyítások és a geometriai transzfor-máció témakörrel együtt.

Feltételek Tanulói rajzeszközök. Írásvetítő és fóliák, színes tollak.

Geometriai transzformációk 10.( 11.)K


Cél • Az egybevágósági transzformációk áttekintése. • A hasonlósági transzformáció fogalmának és tulajdonságainak, a hasonló alakzatoknak a megismerése.

Követelmény • Tudja az egybevágósági és a középpontos hasonlósági transzformáció fogalmát, tulajdonságait. • Tudja a geometriai transzformációkról tanultakat alkalmazni szerkesztési, bizonyításos és számítási

feladatok megoldása során. • Ismerje meg a vektor számmal szorzását , a vektorok felbontását a síkban

Előzmény A témában a 9.(10.) osztály végéig tanultak ismerete, és a követelmények teljesítése.

Tartalom • Egybevágósági transzformációk átismétlése konkrét feladatok kapcsán. • Középpontos hasonlóság fogalma és tulajdonságai. • A hasonlósági transzformáció fogalma, tulajdonságai. • Hasonló alazatok. • Háromszögek hasonlóságának alapesetei. • A vektor szorzása számmal, vektor felbontása a síkban

Értékelés • Házi feladatok ellenőrzése. • Szóbeli feleletek. • Több rövid írásbeli felmérés. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján ezen téma elemi

geometriával, hasonlósággal kapcsolatos részéből a geometriai bizonyítások és a geometriai transzfor-máció témakörrel együtt.

Feltételek • Feladatgyűjtemény. • Tanulói szerkesztési eszközök. Írásvetítő.



Valószínűség, statisztika 10.(11.)K


Cél • A valószínűség szemléletes fogalmának kialakítása. • A valószínűség becslése és kiszámítása egyszerű esetekeben. • Statisztikai adatok rendezése, jellemzése, ábrázolása. • Statisztikai témákhoz kapcsolódó ábrák értelmezése.

Követelmény • Tudja a gyakoriság, a relatív gyakoriság fogalmát, legyen képes kiszámítani egyszerű esetekben. • Találkozzon konkrét feladatok kapcsán a kombinatorikus valószínűségi modellel és a geometriai mértékkel

jellemezhető valószínűségi modellel (pl. lottó, totó).

Előzmény A témával kapcsolatos tapasztalatok és ismeretek az előző 9 évben, és az ezekhez kapcsolódó követelmények teljesítése.

Tartalom • Gyakoriság vizsgálata kisérletekkel. • Relatív gyakoriság fogalma. • A valószínűség személetes fogalma • Egyszerü problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján.

Értékelés • Házi feladatok megbeszélése. • Az órai problémák elsősorban frontális, közös megbeszélése. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a


Feltételek Az évfolyamra megfogalmazott feltételeken túl néhány előre megrajzolt, elkészített pörgettyű (színezve, számokkal). Kockák, kártyák, pénzérmék a valószínűségi kísérletekhez.

Rendszerező összefoglalás 10.(11.)K


Cél • Az első tíz évben tanult ismeretek, fogalmak, összefüggések, eljárások, algoritmusok, tételek, bizonyítások

rendszerezett áttekintése, átismétlése. • Különböző matematikai témakörök kapcsolatának bemutatása konkrét feladatokon keresztül. • Feladatok a való életből a matematika hasznosságának igazolására. • Segítségnyújtás a pályairány megválasztásához.



Követelmény • Az első tíz évben megfogalmazott tananyag ismeretéhez kapcsolódó követelmények teljesítése, a rugalmas,

fegyelmezett gondolkodás kialakulása. • Az életkornak megfelelő szóbeli és írásbeli kommunikációs készség kialakulása. • Problémahelyzetekben törekvés a helyes megoldás keresésére.

Előzmény A matematika műveltség területén az első 10 (11) évre megfogalmazottak teljesítése.

Tartalom Az első tíz(tizenegy) évben tanultak legfontosabb, legalapvetőbb részeinek kiemelése, a témakörök közötti kapcsolatok megmutatása sokszínű, érdekes gyakorlati és matematikai alkalmazásokon keresztül.

Matematika 11(12) 11.(12.)K

Részei Halmazok, matematikai logika elemei Kombinatorika Egyenletek, egyenlőtlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek Függvények Vektorok, trigonometria Koordináta-geometria Valószínűségszámítás Ismétlés, a felhasználható további órakeret

Óraszám Iskolai: 111 óra Tanítási ciklus 3 óra / 1 hét

Cél • Logikus gondolkodásra, elemi következtetésekre, szöveges indoklásokra (okfejtésre) azoknak a tanulóknak

is szükségük van, akik felsőfokú tanulmányaik során nem matematika igényes stúdiumokon vesznek részt, sőt azoknak is, akik a középszintű érettségivel lezárják tanulmányaikat. A z e m e l t s z i n tű é r e t t s é g i r e n e m k é s z í t i f e l i s k o l á n k a z e z e n ( K ) t a n t e r v s z e r i n t t a n u l ó k a t !

• Aki ezen (K) tanterv szerint tanult, és emelt szintű érettségire lesz szüksége, a tizenharmadik/tizennegyedik évben szintemelő foglalkozásokra járhat iskolánkban. A 13. ill 14. évfolyamon fogja megtanulni pl. az analízis elemeit, és a valószínűségi változókról szóló mélyebb ismereteket. A középszintű és emelt szintű érettségire felkészítő két utolsó évfolyam matematika tananyagában kb. 130 tanórányi különbség van.

• A helyes gondolkodás fejlesztéséhez ismeretekre van szükség. Az ismeretek az évek múltával elhalványulhatnak, de a tanulásuk során, az ismeretekhez kapcsolódó feladatok, problémák megoldása során a tanuló látásmódja fejlődik. A természettudományos, a technikai sőt a humán területek tanulmányozásához komoly segítséget nyújt a matematika, s annak nyelve.

• Azon tanulók számára, akik a későbbiekben humán területeken dolgoznak majd, komoly pozitív motivációt jelenthet, ha megmutatjuk a matematika és humán műveltség kapcsolatát, matematikatörténeti ismeretekkel fűszerezzük tanításunkat. Erre mód van a szöveges feladatok tanításakor, a trigonometria és az analitikus geometria tanításában is. Ehhez használjuk fel az iskolai könyvtárban megtalálható megfelelő enciklopédiákat lexikonokat, folyóiratokat, könyveket. a tanulók böngészhetnek az INTERNET-en is matematikatörténeti vonatkozásokat, életrajzi adatokat keresve.

• Ezen területek ugyanakkor alkalmat nyújtanak a matematika gyakorlati használhatóságának bemutatására is.

• A 11. ill. 12. évfolyamon elkezdődhet a különböző anyagrészek rendszerezése, folytatódhat az egyes tanult anyagrészek összekapcsolása (például az analitikus geometriában az algebra és a geometria összefésülése).



Követelmény • A tanulók ismerjék a permutáció, a variáció, a kombináció fogalmát, tudjanak egyszerűbb kombinatorikai

feladatokat megoldani. • Tudjanak másodfokúra visszavezethető, exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenleteket,

egyenlőtlenségeket megoldani, egyszerű azonosságokat igazolni. Tudják, hogy a megoldás során mikor végeznek ekvivalens lépéseket, s miként lehet a fellépő hamis gyököket kiszűrni. Tudjanak egyszerű kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszert megoldani. Ismerjék, hogy szöveges feladatokat hogyan lehet lefordítani a matematika nyelvére. Tudják, hogy a megoldásokat ellenőrizni kell.

• Ismerjék, hogy a hatványozás általánosításakor a permanencia elvét alkalmazzuk. Ismerjék az exponenciális, logaritmus és trigonometrikus függvények definícióját, elemi tulajdonságait és ábráit.

• Zsebszámológép célszerű felhasználásával legyenek képesek megfelelő pontosságú számításokat végezni. • Ismerjék a skaláris szorzat fogalmát, tulajdonságait. Tudják alkalmazni a trigonometriában és a koordináta-

geometriában. Ismerjék a sinus- és cosinustételt, s tudják ezeket feladatok megoldásában alkalmazni. • Tudják az egyenes, a kör tanult egyenleteit. Tudjanak metszési, érintési s egyszerű ponthalmaz keresési

feladatokat koordináta-geometriai módszerekkel megoldani. • Ismerjék a statisztikai alapfogalmakat, az átlag, modus, medián, szórás fogalmát, és tudják ezeket

kiszámítani konkrét számsokaság esetén • Tudjanak klasszikus valószínűségi feladatokat megoldani.

Előzmény A tanterv 10.(11.) osztály végéig előírt követelményeiben megfogalmazott, s a 11.(12.) osztály tanításakor szükséges ismeretek és módszerek. (Ezek folyamatos ismétlésére az új anyagrészek bevezetésekor célszerű sort keríteni.)

Tartalom I. Gondolkodási módszerek: 12 óra

1.Halmazok, matematikai logika elemei (4 óra) 2.Kombinatorika (8 óra)

II. Számtan-algebra: 25 óra 1.Egyenletek, egyenlőtlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek (25 óra)

III. Függvények: 20 óra IV. Geometria: 32 óra

1. Vektorok, trigonometra (12 óra) 2. Koordináta-geometria (20 óra)

V. Valószínűségszámítás: 8 óra VI. Ismétlés, rendszerezés, összefoglalás 8 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 6 óra

Megjegyzés: A Tartalomban leírtak nem jelentenek tanítási sorrendet.

Értékelés a) Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellenőrzése. b) Az írásbeli ellenőrzés formái:

1. rövid dolgozat 2. az év során három teljes órás felmérés, s ezeknek teljes órában történő értékelése.

Feltételek • Középiskolai matematika szakos tanár. Személyi számítógép. • A tanulóknak: Tankönyv (az iskolai munkaközösség választja). Matematikai és Geometriai feladatgyűj-

temények. Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép.



• A tanároknak: A tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, színes kréták, írásvetítő fóliák, (matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, videokazetták), fénymásolási lehetőség feladatlapok sokszorosításához.

Halmazok, matematikai logika elemei 11.(12.)K


Cél • A tanult halmazelméleti alapismeretek felhasználása a tanítandó anyag különböző területein: egyenleteknél,

függvényeknél, ponthalmazoknál. • A feltételek, a következtetések, bizonyítási módszereknél a matematikai logika elemeinek alkalmazása. Az

ekvivalencia, az implikáció, a konjukció és diszjunkció szerepének megláttatása az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásakor.

Követelmény • A tanulók az egyszerű bizonyításokban az indukciós eljárások mellett értsék meg a deduktív következtetési

módszert. • Egyszerű bizonyításokat tudjanak reprodukálni. • Az egyenletek megoldásakor keressenek ekvivalens módszereket, s tudják, hogy ha erre nincs lehetőség,

akkor ellenőrzéssel igazolható, hogy egy gyök megoldás, ill. ellenőrzéssel szűrhető ki a hamis gyök.

Előzmény Az előző tanévekben szereplő halmazelmélet és matematikai logika elemeinek ismerete.

Tartalom • Negáció, konjunkció, diszjunkció és jelöléseik. • Implikáció, ekvivalencia és jelölésük. • Szükséges feltétel, elégséges feltétel, szükséges és elégséges feltétel. • Tétel és megfordítása. Megjegyzés: Az altémára szánt 4 órát a tanév során a különböző anyagrészekbe építve célszerű felhasználni.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot.

Kombinatorika 11.(12.)K


Cél • A kombinatorika egyszerű feladataival, módszereivel a problémafelismerő és megoldó képesség

fejlesztése. A feladatokkal a matematika érdekes voltának, gyakorlati használhatóságának megmutatása. Az ismeretek, a feladatok megértésével s azok megoldásával logikus gondolkodásra és pontosságra nevelés.

• Az ismétléses és ismétlés nélküli permutáció, variáció, kombináció fogalmainak megkülönböztetése, alkalmazásuk egyszerű feladatokban.

• A gráfokkal kapcsolatos elemi ismeretek, s azok felhasználása a matematika különböző területein modell alkotásra.



• Annak ismerete, hogy a kombinatorika és gráfelmélet területén sok világhírű magyar matematikus tevékenykedett.

Követelmény • Ismerjék a permutációt, variációt ismétlés nélküli és ismétléses esetekben, valamint a kombinációt ismétlés

nélküli esetben. Egyszerű feladatokban tudják ezeket alkalmazni. • Ismerjék a binomiális együtthatók fogalmát • Ismerjék a gráfokkal kapcsolatos alapfogalmakat, s ezek segítségével egyszerűbb feladatokat tudjanak

megoldani. • Ismerjék néhány magyar származású matematikus munkásságának lényegét, akik ezen a területen alkottak

Előzmény Kombinatorikából a korábban szereplő módszerek ismerete (sorbarendezés, kiválasztás, fadiagram alkalmazása, „szorzási és összeadási szabály”).

Tartalom • Permutáció, variáció, kombináció (ismétlés nélküli és általános esetben is). • A binomiális együtthatók és egyszerübb tulajdonságaik. • Gráfokkal kapcsolatos alapfogalmak (szögpont, él, egyszerű gráf, összefüggő gráf, fagráf) Fokszám tétel.. • Matematikatörténeti vonatkozások. A kombinatorika "magyar műhelye" : Kőnig Gyula és Kőnig Dénes,

Erdős Pál, Lovász László munkássága.

Értékelés • Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a valószínűség,

statisztika témakörrel együtt.

Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.

Egyenletek, egyenlőtlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek 11.(12.)K


Cél • Az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatos ismeretek bővítése. • Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldási lehetőségeinek

megismerése. Ilyenekre vezető szöveges feladatok megoldása. • Egyszerű első- ill. másodfokúra visszavezethető exponenciális-, logaritmikus- és trigonometrikus

egyenletek megoldása. • Periodikus függvényt szerepeltető egyenletekben a végtelen sok gyök ellenőrzési módjának megismerése.

Követelmény • Ismerjék meg, hogy miként lehet felismerni, hogy egy egyenlet vagy egyenletrendszer másodfokúra

visszavezethető, s biztonsággal tudják e visszavezetést megtenni. • Tudjanak egyszerű exponenciális-, logaritmikus- és trigonometrikus egyenleteket megoldani. • Tudják, hogy ezen egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya és értékkészlete milyen

szerepet játszik a megoldások vizsgálatakor (pl. kettő hatványaként kapott negatív érték nem lehet megoldása az eredeti egyenletnek).

• Ismerjék fel, hogy az egyenlet megoldása során mikor végzünk ekvivalens átalakítást.



• Tudják, hogy a trigonometrikus egyenletnek végtelen sok megoldása is lehet, s tudják, hogy ilyen esetekben hogyan állapítható meg a gyökök valódi vagy hamis volta.

• Másodfokú egyenletekre visszavezethető egyszerű szöveges egyenleteket tudjanak megoldani. • Ismerjék a hatványozás kiterjesztését racionális kitevőkre. • Tudjanak egyszerű azonosságokat bizonyítani, ismerjék a tanult azonosságokat.

Előzmény Az egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldásának korábban tanult eljárásainak, tanult azonosságoknak ismerete. A tanult hatványfogalom biztos ismerete.

Tartalom • Másodfokúra visszavezethető magasabbfokú ill. négyzetgyökös egyenletek. • Elsőfokúra ill. másodfokú visszavezethető exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek. • A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőkre, permanencia elve. • A hatványozás és a logaritmus azonsságai. • Egyszerű trigonometrikus azonossságok (pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó azonosságok, négyzetes

összefüggés, áttérés egyik szögfüggvényről a másikra). • Egyszerűbb egyenlőtlenségek megoldása grafikus módszerrel is.

Értékelés • Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a hatvány, gyök,

logaritmus altémakörből a függvények témakörrel együtt. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a trigonometrikus

függvények altémából a trigonometrikus egyenletek és a vektorok, trigonometria témakörrel együtt.


Függvények 11.(12.)K


Cél • Újabb alapvető függvények (exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus) megismerésével a

függvényfogalom fejlesztése. Ezen függvények grafikonjainak ismerete. • Újabb függvény tulajdonságok megismerése (párosság, páratlanság, periodikusság, korlátosság), a régebbi

fogalmak tartalmának pontosítása és ezzel az elemi függvényvizsgálat bővítése.

Követelmény • Ismerjék a különböző alapú exponenciális és logaritmus függvények grafikonjait, elemi tulajdonságait. • Ismerjék a trigonometrikus függvények általános értelmezését, grafikonjait, tulajdonságait. • Tudjanak saját készítésű sablonokkal trigonometrikus függvényeket ábrázolni. • Legyen gyakorlatuk ezen függvények egyszerű transzformációiban, abban, hogy a transzformációk hogyan

jelentkeznek a függvények ábráin ill. miként módosulnak a függvények tulajdonságai. • Tudják a függvények grafikonjait egyszerűbb egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában felhasználni.

Előzmény Az előző tanévekben megismert függvények értelmezésének, tulajdonságainak és ábráinak ismerete.



Tartalom • Az exponenciális, a logaritmus függvény és tulajdonságai. • A függvény inverze. Az inverz függvénypárok grafikonja a koordináta-rendszerben • A folytonosság szemléletes fogalma. • A logaritmus és exponenciális függvény grafikonjai különböző alap esetén, exponenciális folyamatok a

természetben. • A trigonometrikus függvények általános értelmezése, ábrázolása, alapvető tulajdonságai (zérushelyek,

szélsőértékek, párosság, páratlanság, periodicitás, korlátosság). • A függvénytranszformációk átismétlése és alkalmazásuk általános esetben: f(x) + c, f(x + c), c f(x), f(cx). • A trigonometrikus függvények egyszerű transzformációi.

Értékelés • Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. Célszerű a tanult függvényekre vonatkozó

feladat szerepeltetése a teljes órás dolgozatban is. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a hatvány, gyök,

logaritmus témakörből az algebrai résszel együtt. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a trigonometrikus



Vektorok, trigonometria 11.(12.)K


Cél • A vektorok skaláris szorzatának ismerete és a matematikán belül a trigonometriában és a koordináta-

geometriában való alkalmazása. A fizikával való kapcsolat (a munka értelmezése) megmutatása. • A sinus- és a cosinustétel alkalmazása háromszöggel, négyszöggel kapcsolatos számításos feladatok során,

távolság-, magasság- és szög- meghatározási feladatok megoldása a gyakorlatban. • A zsebszámológép célszerű használata, a gyakorlati feladatokban megfelelő pontosságú értékek

meghatározása.

Követelmény • Ismerjék a skaláris szorzatot, tulajdonságait, koordinátákkal való kiszámítási módját; tudják alkalmazni a

cosinustétel levezetésében és trigonometriai feladatokban. • Ismerjék a sinus- és cosinustételt, és tudják alkalmazni a háromszög hiányzó részeinek meghatározásában.

Előzmény • Az elemi geometriában tanult anyag. A vektorokról és a trigonometriából korábban tanultak. • Táblázat és zsebszámológép használata.

Tartalom • A skaláris szorzat fogalma és tulajdonságai. • A skaláris szorzat felhasználása egyszerűbb feladatokban. • A sinus- és cosinustétel és levezetésük. • A háromszög területe két oldalból és a közbezárt szögből. • A sinus- és cosinustétel alkalmazása összetettebb síkbeli és térbeli feladatok megoldásában.



Értékelés • Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a trigonometrikus



Koordináta-geometria 11.(12.)K


Cél • Annak ismerete, hogy ponthalmazok jellemzése a koordináta-rendszerben egyenletek, egyenlőtlenségek

segítségével történik, továbbá, hogy ponthalmazok metszete egyenletrendszer megoldásával határozható meg. (Az algebra és a geometria kapcsolata.)

• Az egyenes, a kör, a parabola egyenletének alkalmazása matematikai és gyakorlati jellegű feladatokban. A kúpszeletek szerepének ismerete a fizikában és a tudománytörténetben.

Követelmény • Ismerjék az egyenes néhány egyenletét, kör középpontos és általános egyenletét. • Tudják ezen egyenleteket metszési és érintési feladatokban alkalmazni.

Előzmény • A tizedik évfolyamig bezárólag ezen tanterv geometriai anyagának ismerete. • Egyenletek, egyenletrendszerek biztos megoldása. • Ponthalmazok megadása, nevezetes mértani helyek ismerete. • A koordináta-rendszerben adott pont és egyenes ábrázolásának biztos ismerete. Vektorműveletek

koordinátákkal.

Tartalom • Vektor koordinátái, abszolútértéke, helyvektor fogalma. • Két pont távolsága, osztópont koordinátái, háromszög súlypontjának koordinátái. • Az egyenes irányvektoros, normálvektoros és általános egyenlete. • Adott ponton átmenő, adott iránytangensű egyenes egyenlete. • A párhuzamosság és merőlegesség feltétele. • A kör középpontos és általános egyenlete. • A kör érintőjének fogalma. Az érintő egyenlete konkrét esetekben. • Az egyenes, a kör egyenleteinek alkalmazása metszési és érintési feladatokban. • Távolsággal kapcsolatos feladatok.

Értékelés • Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján.




Valószínűségszámítás, statisztika 11.(12.)K


Cél • Statisztikai adatok rendszerezése, matematikai jellemzésük. • A valószínűség kombinatorikus fogalmának megismerése.

Követelmény • Ismerjék a statisztikai adatok rendszerezésének módszereit. • Ismerjék a különböző ábrázolási módokat: kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram. • Ismerjék a statisztikai adatok néhány jellemzőjét: átlag, modus, medián, szórás. • Ismerjék, hogy ha egy valószínűségi kisérletben véges sok elemi esemény lehetséges s azok egyenlően

valószínűek, akkor egy esemény valószínűsége kombinatorikus úton határozható meg. • Tudjanak egyszerű valószínűségi feladatokat (pl. kocka dobásával kapcsolatos feladatok) megoldani.

Előzmény A tanult kombinatorikai ismeretek és a valószínűség elemi ismeretei.

Tartalom • Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése. • Statisztikai adatok különböző ábrázolása: kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram. • A statisztikai sokaság átlaga, modusa, mediánja. • A gyakoriság, relatív gyakoriság fogalma. • A relatív gyakoriság változásának ábrázolása növekvő elemszám függvényében. • A valószínűség szemléletes fogalma, kapcsolata a relatív gyakorisággal. • Esemény, eseménytér konkrét esetekben. • Műveletek eseményekkel. • A valószínűség kombinatorikus meghatározási módja: kedvező esetek száma/összes lehetséges eset száma. • Egyszerűbb feladatok megoldása. • Binomiális eloszlás.

Értékelés • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a kombinatorika,

témakörrel együtt.


Ismétlés, a felhasználható további órakeret 11.(12.)K


Cél • A tanult ismeretek rendszerezése, a tanult fogalmak, tételek, eljárások ismétlése. A különböző témakörök

közötti kapcsolat megmutatása. Feladatok megoldása. • Ha az idő engedi, akkor a tanár által választott, az osztály (csoport) érdeklődésének megfelelő kiegészítő

anyag vagy gyakorló ill. nehezebb feladatok szerepeltetése a rendelkezésre álló időben.



Követelmény A 11. évfolyam tantervének altémáiban megfogalmazott követelmények.

Előzmény A tanév végén: az év során tanított anyag ismerete, a legfontosabb anyagrészek egyszerű feladatokon való alkalmazása.

Tartalom Az ismétlés során az év folyamán tanított tartalmak súlyponti részeinek kiemelése, s a különböző anyagrészek közötti kapcsolatok kimutatása.

Értékelés A tanulóknak az ismétlés idején nyújtott teljesítményét s az egész tanévi munkáját a végső értékelésnél együttesen vegyük figyelembe.


Matematika 12(13) 12.(13.)K

Részei A matematikai logika elemei Sorozatok Kerület, terület, felszín, térfogat számítás Valószínűségszámítás, statisztika Rendszerező összefoglalás

Óraszám Iskolai: 128 óra Tanítási ciklus: 4 óra / 1 hét

Cél • A tanév fő feladata e tanulócsoportnak a középszintű iskolai érettségire való eredményes felkészítése. • Ennek érdekében e tanévben a tanult matematikai anyag igen alapos rendszerező összefoglalására van

szükség. Kellő időt kell fordítani az anyag egyszerű feladatokon való begyakorlására. • A tanév során tanítandó új anyagrészek feladatainak kiválasztásában fontos, hogy szerepeltessünk érdekes

matematikatörténeti feladatokat, továbbá a matematika gyakorlatban való felhasználhatóságát megmutatható feladatokat is.

Követelmény • A tanulók ismerjék, hogy a matematikában a szereplő állítások igaz vagy hamis voltáról döntünk.

Korábban a tapasztalatok, a szemlélet segítségével, majd később alapfogalmak, axiómák, definiált fogalmak s már bizonyított tételek felhasználásával. A logikai következtetéseknél komoly szerepe van a negációnak, a konjukciónak és a diszjunkciónak.

• Ismerjék a számtani és a mértani sorozat fogalmát, az n-edik tag és az összeg meghatározási módját, s ezekre vonatkozó képleteket tudják alkalmazni a feladatok megoldásában. Tudják a kamatos kamatszámításokat gyakorlati feladatokban is.

• Ismerjék a korábban tanult síkidomokat és testeket, ezek lényeges jellemzőit, s szemléletesen (egyszerűbb esetekben bizonyítással) tisztázzuk a kerület, terület, felszín és térfogat fogalmát. Legyenek képesek ezekre



vonatkozó képletek alkalmazására geometriai és fizikai feladatokban. (Háromszög, speciális négyszögek, sokszögek, csonkagúla, forgáshengerből nyert csonkakúp, gömb).

• Ismerjék a statisztika és a matematikai statisztika néhány alapfogalmát. • Ismerjék, hogy a geometriai mértékek segítségével olyan események valószínűségét is meg tudják

határozni, melyeknek végtelen sok kimenetele lehet. (Például célbalövésnél a 10-es körbe való beletalálás valószínűsége, ha tudjuk, hogy a lövés a céltábla minden pontját egyenlő valószínűséggel találjuk el.)

• Az középszintű érettségire való felkészülés érdekében a rendszerező ismétlés segítségével meg kell, hogy erősödjenek a tanulókban a különböző témakörökben (a halmazok és matematikai logika, kombinatorika, számfogalom, műveletek, számolási eljárások, egyenletek, függvények, sorozatok, geometriai alakzatok, geometriai transzformációk, geometriai mértékek, vektorok, trigonometria, koordináta-geometria, statisztika, valószínűségszámítás) tanult fogalmak, összefüggések, eljárások. Ezeket feladatok megoldásakor alkalmazni is tudják.

Előzmény • Az új anyag tanításához szükséges a korábbi években tanult logikai, sorozatokra vonatkozó s geometriai

alakzatokra és mértékekre vonatkozó ismeretek. • A rendszerező összefoglalást segíti, ha a tanult matematika anyag súlypontjai már a korábbi évek évvégi

ismétléseikor kiemeltük, s a különböző témák közötti összefüggésekre rámutattunk.

Tartalom A matematika logika elemei: 4 óra Sorozatok: 19 óra Kerület, terület, felszín, térfogatszámítás: 28 óra Valószínűségszámítás: 17 óra Rendszerező összefoglalás (részletezés később): 46 óra Témazáró dolgozatok és javítások 14 óra

Értékelés a) Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellenőrzése. b) Az írásbeli ellenőrzés formái:

1. rövid dolgozatok 2. az új anyagból két teljes órás felmérés és ezeknek teljes órában történő értékelése 3. a rendszerező összefoglalásból két 90 perces összefoglaló dolgozat s annak teljes órában történő értékelése

4. április végén egy délutáni időpontban 180 perces "próbaérettségi" dolgozat írása a teljes érettségi anyagból.

Feltételek • Középiskolai matematika szakos tanár.Személyi számítógép.A POLYDRON testmodellkészlet. • A tanulóknak: Tankönyv (az iskolai munkaközösség választja). Matematikai és Geometriai

feladatgyűjtemények. Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, testmo-dellek.

• A tanároknak: A tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, színes kréták, írásvetítő fóliák, (matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, videokezetták,) demonstrációs testmodellek, fénymásolási lehetőség feladatlapok sokszorosításához.



A matematikai logika elemei 12.(13.)K


Cél • A matematika iránt kevésbé érdeklődő, de érettségire készülő tanulóknál is cél a bizonyítások lényegének

megértése, a definíció, a sejtés és a tétel megkülönböztetése, az axiómák jelentőségének ismerete. A feltétel és az állítás szerepére, bizonyos esetekben felcserélhetőségére példák bemutatása.

• Egyszerű állítások logikai értékének megállapítása. A bizonyításokban az ÉS , a VAGY, a NEM szavak helyes alkalmazása. Egyszerű példákon a teljes indukciónak, mint bizonyítási módszernek a megértése.

Követelmény • Tudják, hogy az állításoknak kétféle logikai értéke lehet. • Tudják, hogy mi a negáció, konjukció, diszjunkció, implikáció, kapcsolatok a halmazműveletekkel. • Állítások tagadása. Logikai kvantorok változása tagadásnál. • A tanult anyagban szereplő bizonyítási módszereket (pl. teljes indukciót) reprodukció szinten ismerjék.

Előzmény A korábbi tanévekben szereplő matematikai logika elemeinek, s bizonyítási módszereknek ismerete.

Tartalom • Állítások logikai értéke. • Negáció, konjukció, diszjunkció. • Néhány példa a teljes indukció megismerésére.

Értékelés • Felmérés, házi feladat ellenőrzés.


Sorozatok 12.(13.)K


Cél • A sorozatokkal kapcsolatos fogalmak bővítése, a sorozat általános fogalmának tisztázása. • A számtani és a mértani sorozat n-edik tagjára és az első n tag összegére vonatkozó képlet igazolása,

alkalmazása matematikai, gyakorlati és matematikatörténeti feladatok (pl. a sakk feltalálójának jutalma) megoldására.

Követelmény • A tanulók tudják, hogy a sorozat speciális függvény. • Ismerjék a számtani és a mértani sorozat általános tagjának és összegének képletét, tudják ezeket

feladatokban alkalmazni. • Ismerjenek néhány példát egyéb sorozatokra is, rekurzióval megadható sorozatokra. • Tudják kamatos kamatot számolni.



Előzmény A témáról korábban tanultak ismerete.

Tartalom • A sorozat fogalma. Különböző megadási módok. A sorozatok elemi tulajdonságai. • A számtani és mértani sorozat fogalma. • A számtani és a mértani sorozat n-edik tagja és első n tagjának az összege. • Kamatos-kamat számítása gyakorlati feladatokban.

Értékelés • Lásd az általános rész a) és b) pontját. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján.

Feltételek Lásd az általános részben leírtakat.

Kerület-, terület-, felszín-, térfogatszámítás 12.(13.)K


Cél • A geometria tanítás egyik fontos feladata a gyakorlati életben előforduló egyszerű síkidomok definícióinak,

testek származtatási módjának megismertetése. • A tanult síkbeli és térbeli alakzatok kerületére, területére, felszínére, térfogatára vonatkozó képletek elemi

meggondolásokkal történő megmutatása és átismétlése.

Követelmény • Ismerjék a sokszög fogalmát, a speciális sokszögek, a kör értelmezését és tulajdonságait. • Ismerjék a hasáb, forgáshenger, gúla, forgáskúp, csonkagúla, csonkakúp, gömb származtatását. • Tudjon egyszerűbb testekről és bizonyos metszeteikről rendezett, "beszédes" ábrát készíteni. • Ismerjék a felsoroltak kerületének, területének, felszínének, térfogatának képletét, s ezeket tudják

matematikai, fizikai, technikai feladatokban alkalmazni.

Előzmény A geometriai alakzatokkal és mértékekkel kapcsolatos korábbi ismeretek tudása.

Tartalom • Az elemi geometriai anyag ismétlése. • Síkidomok területének szemléletes fogalma, tanult síkidomok területei. • Terület meghatározása különböző módon: átdarabolások, számításos módszerek. • Térgeometriai ismeretek átismétlése. • Tájékozódás a térben, valóságos viszonyok becslése térkép alapján. • Térbeliség ábrázolása két dimenzióban, takarás, síkmetszetek, hálókészítés. • Térelemek távolsága és szöge. Ezek számítása egyszerűbb testeknél. • A kocka, téglatest, hasáb, gúla, csonkagúla, henger, kúp, csonkakúp, gömb származtatása, tulajdonságai. • A térfogat és felszín szemléletes fogalma ismert testekre. • Térfogat- és felszínszámítási feladatok.

Értékelés • Lásd az általános rész a) és b) pontját.



• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján.

Feltételek • Lásd az általános részben megfogalmazottakat. • POLYDRON testkészlet.

Valószínűségszámítás, statisztika 12.(13.)K


Cél • A valószínűségi szemlélet fejlesztése. Olyan események megmutatása, melyeknek végtelen sok kimenetele

lehet. • Van nulla valószínűségű, de nem lehetetlen esemény. • Annak beláttatása, hogy a valószínűség meghatározása geometriai mérték segítségével történhet

(hosszúság, terület, térfogat). • A nagy számok törvényének szemléletes megismerése. • A matematikai statisztika alapfogalmainak megismerése.

Követelmény • Ismerjék a közvéleménykutatás elemeit. • Ismerjék meg a mintavételi eljárásokat. • Ismerjék, s egyszerű esetekben alkalmazni is tudják a geometriai valószínűség fogalmát. (Pl. annak

megállapítása, hogy adott méretű négyzethálózatra dobott pénzérme milyen valószínűséggel esik valamelyik négyzet belsejébe.)

Előzmény • A kombinatorikai, statisztikai fogalmak, alapeljárások ismerete. • A valószínűségről, valószínűségi kísérletekről, mértékekről korábban tanultak ismerete.

Tartalom • A mintavételi eljárások: visszatevéses és visszatevés nélküli esetek. Urnás modellek. • A mintavételi eljárások során definiált események kombinatorikus kiszámolása visszatevéses és visszatevés

nélküli esetben (binomiális és hipergeometrikus eloszlás konkrét adatokkal). • Az átlag és szórás kapcsolata. Terjedelem, átlagos abszolút eltérés. • Egyszerű feladatok a geometriai valószínűség meghatározására. • A közvéleménykutatás elemei. • A matematikai statisztika alapfogalmai.

Értékelés Lásd az általános rész a) és b) pontját.

Feltételek Lásd az általános részben leírtakat.



Rendszerező összefoglalás 12.(13.)k


Cél Az évek során tanult matematika anyag rendszerezésével, a tanult témakörök lényeges fogalmainak, összefüggéseinek, megoldási eljárásainak ismétlésével, az anyagrészek, műveltségi területek közötti kapcsolatok megmutatásával, feladatok megoldásával a középszintű érettségi vizsgára való felkészítés.

Követelmény Tudják a tanult fogalmak definícióját, tételeket (az egyszerűbbek bizonyítását reprodukálni is), a tanult algoritmusokat, módszereket. Lássák a matematika különböző területei közötti kapcsolatokat, a matematika s az egyéb tudományok és műveltségi területek közötti összefüggéseket. Legyenek képesek a fogalmakat, összefüggéseket, eljárásokat feladatok megoldásában alkalmazni.

Előzmény A tanterv korábbi évfolyamain s a 12.(13.) évfolyam új témáiban előírt követelmények teljesítése.

Tartalom GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK: a) Halmazok, matematikai logika: 4 óra

Halmazok megadási módjai, részhalmaz, kiegészítő halmaz. Halmazok közötti műveletek. Venn-diagramos ábrázolás. Állítások, logikai értékük. Negáció, konjukció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia.

b) Kombinatorika: 5 óra Permutáció, variáció, kombináció, gráfok.

SZÁMTAN, ALGEBRA: a) Számfogalom, művelet fogalom, számolási eljárások: 4 óra

A természetes, az egész, a racionális és a valós számok halmaza. Számok normálalakja, az abszolút érték fogalma. Az alapműveletek és tulajdonságai. Közelítő értékek, kerekítések. Számelméleti alapfogalmak: legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, számok prímtényezős felbontása. Egyszerű oszthatósági feladatok. Helyiértékes írásmód alapelvei.

b) Egyenletek, egyenlőtlenségek: 8 óra Az egyenletek függvénytani és logikai értelmezése. Az alaphalmaz szerepe. A megoldás (gyök) fogalma és meghatározási módjai. Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés szerepe. Azonosságok. A hatványozás, gyökvonás és logaritmus azonosságai. Egyszerübb trigonometrikus azonosságok. Egyenletrendszerek.

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK: 6 óra A függvény és a sorozat fogalma. Speciális függvények és sorozatok: konstans, lineáris, másodfokú, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus függvények, számtani és mértani sorozat. A függvények grafikonjai és elemi tulajdonságai: zérushely, növekedés, fogyás, korlátosság, szélsőérték szemléletes fogalma, periodicitás, paritás. Függvénytranszformációk.Számítógépes függvényábrázolási módszer.

GEOMETRIA: a) Geometriai alakzatok, bizonyítások: 5 óra

Nevezetes ponthalmazok, síkidomok, testek, tulajdonságaik. Elemi sík- és térgeometriai tételek. b) Geometriai transzformációk: 3 óra

Egybevágósági és hasonlósági transzformációk, tulajdonságaik. Szerepük a bizonyításokban és a szerkesztésekben. Merőleges vetítés.

c) Vektorok, trigonometria, koordináta-geometria: 7 óra



A vektor fogalma, műveletek a vektorok körében. Vektorok koordinátái. Hegyesszög szögfüggvényei. Sinus- és cosinustétel. A háromszög hiányzó adatainak trigonometriával való meghatározása. Az egyenes, a kör, a parabola egyenlete.

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS, STATISZTIKA: 4 óra Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram). Gyakoriság, relatív gyakoriság. Átlagok: számtani közép, súlyozott közép, medián, modus. Szórás. Számítógépes feldolgozási módszerek. Mintavételi eljárások - visszatevéses mintavétel. Valószínűség, relatív gyakoriság, a nagy számok törvényének szemléletes tartalma. Sokaság, paraméter. Minta, relatív gyakoriság. A közvéleménykutatás elemei.

Értékelés • Lásd az általános rész a) és b) 1., 3. pontját. • A rendszerező összefoglalásból két 90 perces összefoglaló dolgozat s annak teljes órában történő

értékelése. − Az első ismétlő dolgozat témái: halmazok, algebra. − A második ismétlő dolgozat témái: kombinatorika, valószínűség, statisztika, függvények, geometria.

• Április végén egy délutáni időpontban 180 perces "próbaérettségi" dolgozat írása a teljes érettségi anyagból.


Documents

Matematika 9-12. (10-13.)- középszintű (K) - · PDF filematematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Ajánlás Ezen tanterv első két évre szóló része