17

ТЕМА 1

(Урок № 6 – Урок № 40)

ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ И ТЕЛА

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ:• окръжност, кръг, правилен многоъгълник;• ръбести тела – права призма,

правилна призма, правилна пирамида;

• валчести тела – прав кръгов цилиндър, прав кръгов конус, кълбо.

УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ:• да намират обиколка и лице на изучаваните равнинни

фигури;• да намират основните линейни елементи чрез

използване на формулите за обиколка и лице;• да пресмятат лице на повърхнина и обем на изучените

тела;• да намират основните елементи на разглежданите тела

чрез използване на формулите за лица и обеми.

18

6. ОКРЪЖНОСТ. ДЪЛЖИНА НА ОКРЪЖНОСТ

ЗАДАЧА

ОкръжностВсички точки в равнината, които са на едно и също разстояние r от избрана точка О, образуват окръжност k(O; r).Точката O се нарича център на окръжността.Разстоянието (OA) от центъра O до точка А на окръжността се нарича радиус и се означава с r.AA1 е диаметър на окръжността и се означава с d. Диаметърът минава през центъра на окръжността и има дължина 2.r, т.е. AA1 = MN = d = 2.r . Окръжност k: O − център на k OA − радиус r AA1 − диаметър, d = 2 .r, r = 1

2 . d

)

AN − дъга от окръжност

!

Нека точката O е начало на лъч Op и OA = 2 cm.Колко лъча с начало O можем да начертаем върху чертожния лист?С начало O можем да начертаем безброй много лъчи.

Върху всеки лъч намираме точка, която е на 2 сm от точката O: OA = OB = OC = OD = … = 2 сm.Лъчите са безброй много и върху всеки лъч има такава точка. Тогава точките A, B, C, … също са безброй много.

Ако поставим острието на пергела в точката O и писеца му в точката A, т.е. разтворът му да е 2 сm, и започнем да движим писеца, той ще премине през точките B, C, D, …Забелязваме, че всички точки от тази фигура са на разстояние 2 сm от точката O.

Всички точки в равнината, които са на едно и също разстояние от избрана точка O, образуват геометрична фигура, която се нарича окръжност.

Дадена е окръжност. а) Ако r = 12 сm, намерете диаметъра ѝ. б) Ако d = 10 сm, намерете радиуса £.Решение:а) d = 2 .r, d = 2 . 12 = 24, d = 24 сm б) r = от d, r = . d, r = = 5, r = 5 сm

Окръжността е геометрична фигура, обиколката на която, т.е. дължината ѝ, не може да се измери точно с линия.

19

ПРИМЕР I случай: Начертана е окръжност с r = 1,5 сm. Обхождаме окръжността с конец. Опъваме конеца и неговата дължина е дължината на отсечката AB ≈ 9,42 сm, т.е. дължината на окръжността е c1 ≈ 9,42 сm.

II случай: Начертана е окръжност с r = 2 сm. Ако повторим горния опит, ще получим, че дължи ната на конеца е CD ≈ 12,6 сm, т.е. дължината на окръжността е c2 ≈ 12,6 сm.

Забелязваме, че дължината на окръжността зависи от големината на нейния радиус: I случай: r1 = 1,5 сm → АB = c1 ≈ 9,42 сm; II случай: r2 = 2 сm → CD = c2 ≈ 12,6 сm,т.е. ако r се увеличава, то и c се увеличава.Пресмятаме частното от дължините на отсечките AB, CD и диаметрите на съответните им окръжности:

I случай: ; II случай: .

Ако се направят повече такива опити с по-прецизни измервания, се

забелязва, че частнотo е близко до числото 3,14.

Установено е, че частното от дължината на окръжност и нейния диаметър (d = 2 . r) е едно и също число за всички окръжности, т.е. е константа. Това число се означава с π (пи). π е безкрайна десетична дроб, π = 3,141592... За дължината на окръжността получаваме , т.е. c = π . d.

Дължината c на окръжност намираме по една от формулите:

c = π . d или c = 2 . π . r, където π ≈ 3,14 (π ≈ 227 ).

!

3,14 (227 ) е приблизителна стойност на π. Следователно дължината на

окръжност е число, приблизително равно на 2 . 3,14 . r (2 · 227 · r).

Прието е да се пише знак за равенство.

!

Дължината на окръжността се означава с буквата c.

20

7. ОКРЪЖНОСТ. ДЪЛЖИНА НА ОКРЪЖНОСТ. УПРАЖНЕНИЕ

Заобиколени сме от предмети, в които има окръжности:

ЗАДАЧА 1 Изберете точка O от чертожния лист и начертайте окръжност с център O и радиус r = 2,5 сm.Решение: С пергела отмерваме върху линий ката 2,5 сm и с този разтвор на пергела чертаем окръжност с r = 2,5 сm и център точката O.

При избора на точката O съобра­зяваме окръжност та да не излезе извън чер тожния лист.

ЗАДАЧА 2 Начертайте отсечка AB = 3,5 сm и окръжност:а) с център A и r = 2 сm;б) с център B и r = 1,5 сm.Решение: Забелязваме, че двете окръжности имат точно една обща точка.

ЗАДАЧА 3 Начертайте отсечка AB = 3 сm и окръжност:а) с център A и r = 2 сm;б) с център B и r = 1,5 сm.Решение: Забелязваме, че двете окръжности имат точно две общи точки.

ЗАДАЧА 4 Намерете дължината на окръжност, ако: а) r = 2 сm; б) d = 5 сm.Решение: а) c = 2 . π . r б) c = π . d c = 2 . 3,14 . 2 c = 3,14 . 5 c = 12,56 cm c = 15,7 cm

21

d = 2 . r d = 2 . 5,5 d = 11 сm

ЗАДАЧА 5 Дължината на окръжност е 34,54 сm. Намерете: а) r; б) d.Решение:а) б) c = 2 . π . r 34,54 = 2 . 3,14 . r 6,28 . r = 34,54 r = 34,54 : 6,28, r = 5,5 сm

• Диаметърът AB разделя окръжността на две равни части, всяка от които има дължина 12 от c. Всяка от тези две части се нарича полуокръжност.

• Два диаметъра, които образуват прав ъгъл (т.е. са перпен дикулярни), разделят окръжността на 4 равни части, всяка от които има дължина 1

4 от c. Всяка от тези части е четвърт окръжност.

!

ЗАДАЧА 6 На квадратна мрежа (приемаме едно деление за 1 сm) са начертани фигури. Намерете обиколките им.

Решение:а) P = 2 . 6 + 2 . 3,14 . 2 = 12 + 4 . 3,14 = 24,56, P = 24,56 сmб) P = 2 . 6 + 4 . 3,14 = 24,56, P = 24,56 сmв) P = 2 . 2 . 3,14 . 2 = 8 . 3,14 = 25,12, P = 25,12 сmг) P = 2 . 3,14 . 2 + 2 . 3,14 . 3 = 4 . 3,14 + 6 . 3,14 = 10 . 3,14 = 31,4, P = 31,4 сm ЗАДАЧИ 1 Начертайте окръжност с радиус r и

намерете дължината ѝ, ако:а) r = 3 cm; б) r = 1,5 cm; в) r = 2,8 cm.

2 Начертайте окръжност с диаметър d и намерете дължината £, ако:а) d = 7 cm; б) d = 4,4 cm; в) d = 5 cm.

3 Намерете радиуса на окръжност с дължина: а) c = 10 π cm*;

б) c = 4,8 π cm; в) c = 18,84 cm.4 Начертайте окръжност с радиус

4 сm. Намерете дължината на:а) окръжността;б) полуокръжността;

5 Намерете дължината на земния еква-тор, ако диаметърът му е 12 756 km. Отгово ра закръглете в километри.

* 10 . π, 4,8 . π, ... могат да се записват без знака за умножение: 10 π, 4,8 π, ...

22

8. ДЪЛЖИНА НА ОКРЪЖНОСТ. ПРАКТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ. УПРАЖНЕНИЕ

От равенството . c + AB + 2 . x = 5,37 намираме неизвестното x: 1,57 + 1 + 2 . x = 5,37 2,57 + 2 . x = 5,37 2 . x = 5,37 − 2,57 2 . x = 2,80 x = 2,80 : 2 x = 1,40.

Височината на прозореца получаваме от x + r = 1,40 + 0,50 = 1,90. Височината на прозореца е 1,90 m.

(AC = 2 . c)

ЗАДАЧА 1 Рамката на прозорец е с форма на правоъгълник и полуокръжност и има обиколка 5,37 m. Намерете височината на прозореца, ако широ-чината му е 1 m.

Решение: Означаваме правоъгълната част на прозореца с ABCD. Тогава AB = CD = 1 m, AD = BC = x.CD е диаметърът на полуокръжността, а r = . CD = . 1 = 0,5 m.Дължината на полуокръжността е

от c = . 2 . π . r = π . r = 3,14 . 0,5 = 1,57 m.

ЗАДАЧА 2 Гимнастичка играе с обръч, който има диаметър 80 сm. Колко метра ще измине об ръ чът, ако направи 2 пълни завъртания? А 10 пълни завъртания?Решение:

Получаваме зависимосттапътят (S) = броя завъртания (п) . дължината на окръжността (с), S = n . c.Зa дължината на окръжността получаваме с = π . d = 3,14 . 0,8 = 2,512 m (80 сm = 0,8 m).При две пълни завъртания → AC = 2 . c = 2 . 2,512 = 5,024 m.При десет пълни завъртания → 10 . с = 10 . 2,512 = 25,12 m.

23

Височината на прозореца получаваме от x + r = 1,40 + 0,50 = 1,90. Височината на прозореца е 1,90 m.

ЗАДАЧА 3 Майка разхожда малкото си дете в детска количка. Ако предното колело е с радиус 12 сm, можете ли да намерите колко пъти се е завъртяло то, ако майката е изминала 200 m?Решение: Колелото се е завъртяло x пъти. Изминатият от него път

е S = 200 m. От зависимостта x . c = S намираме

x . 2 . π . r = 20 000 (в cm) x . 6,28 . 12 = 20 000 x = 20 000 : 75,36 x ≈ 265,39. Броят на пълните завъртания е 265.

ЗАДАЧА 4 Колело на автомобил има радиус 40 сm. С каква скорост се движи ав-томобилът, ако колелото извършва 600 оборота (завъртания) в минута?Решение: Скоростта на автомобила е броят на километрите, които той изминава за 1 час (1 час = 60 минути).1 оборот = 1 пълно завъртане на колелото, т.е.1 оборот → c = 2 . π . 40 = 251,2 сm.За 1 минута прави 600 оборота → 600 . 251,2 = 150 720 сm.За 1 час прави 60 . 600 оборота → 60 . 150 720 = 9 043 200 сm.9 043 200 сm = 90 432 m = 90,432 km ≈ 90,43 km.За 1 час колелото изминава път, равен на 90,43 km, т.е. скоростта на автомобила е v = 90,43 km/h.

Още древните вавилонци са смятали, че частното от дължината на всяка окръжност и дължината на нейния диаметър е числото 3. Египтяните са използвали числото 3,16.Архимед (287 – 212 г. пр.н.е.) е определил числото π с точност до 3 знака след десетичната запетая. Рудолф ван Цойлен (1540 – 1610 г.) е въвел означението на това число – π (пи).Днес с помощта на компютрите π може да се изчислява до хиляди знаци след десетичната запетая: π = 3,14159265358979323846 ...

ЗАДАЧИ 1 Кръгло огледало има диаметър 80 сm. Намерете колко метра ще бъде обикол ката на рамката му.

2 Имате голямо парче стъкло и искате да покриете с него кръглата маса в столо вата, която има диаметър 1 m. За изрязване на стъклото стъкларят иска 12 лв., а за шлайфане на ръба – по 1,20 лв. за 10 сm. Колко лева трябва да платите?

3 Ани търкаля обръч с диаметър 80 сm. Ако обръчът напра ви 5 пълни завъртания, колко мет ра е изминал?

4 Милен изминал с велосипед 150 m. По кол ко завъртания са направили коле летата на велосипеда, ако и двете са с диаметър 56 сm?

5 Колелото на лек автомобил има ра диус 40 сm. С каква скорост се движи автомо би лът, ако колелото извършва 550 обо ро та в минута?

24

Елементи на кръга:център O 1 диаметър 2 радиуса радиус r разделя кръга разделят кръгадиаметър AB = d = 2 .r на два полукръга. на два сектора.AOC – централен ъгъл

9. КРЪГ. ЛИЦЕ НА КРЪГ

Как да намерим формула за лице на кръг?I случай:

Разделяме кръга на 16 равни части (сектори), 8 от които образуват полукръг.Оцветеният в розово полукръг може да заеме положение

.Оцветеният в синьо полукръг може да заеме положение

.

Оцветените части и поставяме в положение .Ивицата съдържа 16-те сектора, на които е разделен кръгът, т.е. лицето £ е равно на лицето на кръга.

На квадратна мрежа е начертана окръжност с център O и r = 4 деления (r = 4 м. ед.). Дължината на тази окръжност е c = 8 π м. ед.Оцветената част, т.е. частта, заградена от окръжността, се нарича кръг.

Кръг Частта от равнината, заградена от окръжност, се нарича кръг.

!

Начертаната геометрична фигура има:• обиколка → дължината на окръжността;• лице → лицето на кръга.

Централен ъгъл Ъгъл, чийто връх е центърът на кръг, а раменете му са радиуси на кръга, се нарича централен ъгъл.

!

25

II случай:

Разделяме същия кръг на 32 равни части (сектора).Повтаряме същите действия като в I случай и получа-ваме ивицата . Тя съдържа 32 сектора, на които е разделен кръгът, т.е. лицето ѝ е равно на лицето на кръга.

С компютър същият кръг може да се раздели на 64, на 128 и т.н. равни части. Тогава ивицата от вида ще се приближи до геомет ричната фигура правоъгълник

с изме рения 12 . c и r. Лицето на кръга ще е рав но

на лицето на този правоъгълник, т.е. S = . c . r = . 2 . π . r . r = π . r2 .

c

r

Лице на кръг S = π . r2

!

ЗАДАЧА 1 Намерете лицето на кръг с радиус: а) 10 сm; б) 2 сm; в) 2 сm.Решение:а) S = π . r2 б) S = π . r2 в) S = π . r2

S = 3,14 . 102 S = 3,14 . 22 S =

S = 314 сm2 S = 12,56 сm2 S = , S = 17 сm2

ЗАДАЧА 2 Намерете лицето на кръг, ако дължината на окръжността, която го загражда, е 50,24 сm.Решение: 1. c = 2 . π . r 2. S = π . r2

2 . π . r = c S = 3,14 . 82

2 . 3,14 . r = 50,24 S = 200,96 сm2

r = 50,24 : 6,28, r = 8 cm ЗАДАЧИ 1 Намерете лицето на кръг с радиус:

а) 7 cm; б) 1,2 сm; в) 2 cm.2 Намерете лицето на кръг с диаме-

тър: а) 16 сm; б) 5,8 dm; в) 0,6 m.3 Готварска печка има 4 нагревател-

ни плочи с диаметри 12 сm, 14 сm, 18 сm и 24 сm. Намерете лицето на всяка от плочите.

4 Кръгло огледало има диаметър 80 сm. Намерете цената му, ако 1 m2 огледало стру ва 60 лв. и за направата му се плащат 15 лв.

5 Намерете лицето на кръг, ако дължи-на та на окръжността, която го за-гражда, е:а) 37,68 сm; б) 56,52 сm; в) 131,88 сm.

26

10. ЛИЦЕ НА КРЪГ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Начертани са геометрични фигури. По дадените измерения (в сm) намерете лицата на оцветените части:а) б) в)

Решение: а) S = π . 72 − π . 32

S = π . 49 − π . 9 S = (49 – 9) . π S = 40 . π S = 40 . 3,14 S = 125,6 сm2

ЗАДАЧА 2 На квадратна мрежа (1 м. ед. = 1 деление) са начертани геометрични фигури. Намерете лицето на оцветената част (в кв. м. ед.).а) б) в)

Решение:

а) S = − π . 22 = 24 − 3,14 . 4 = 24 − 12,56 = 11,44 кв. м. ед.

б) жълта част: S = + = 16 + 8 = 24 кв. м. ед. синя част: S = π . 42 − 24 = 3,14 . 16 − 24 = 50,24 − 24 = 26,24 кв. м. ед.

в) S = 4 . 8 − . π . 42 = 32 − 3,14 . 8 = 32 − 25,12 = 6,88 кв. м. ед.

ЗАДАЧА 3 На квадратна мрежа (1 м. ед. = 1 деление) са начертани геометрични фигури. Намерете лицето на оцветената част (в кв. м. ед.).Решение:

кв. м. ед.

a) S

SSSS

= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

= − −= − −==

12

12

12

4 2 1 2

8 28 1 2

5

2 2 2π π π

π π ππ

π

. . .

. .( )..

1.

5515

. 3,14,7S =

б) S = π . 82 − π . 42

S = π . 64 − π . 16 S = (64 − 16) . π S = 48 . π S = 48 . 3,14 S = 150,72 сm2

в) S = π . 102 − 2 . π . 52

S = π . 100 − π . 50 S = (100 − 50) . π S = 50 . π S = 50 . 3,14 S = 157 сm2

27

ЗАДАЧИ 1 Колко пъти ще се увеличи лицето на кръг, ако радиусът му се увеличи 3 пъти?

2 Намерете лицето на оцветените фи-гури (в кв. м. ед.):

3 Арената на цирк има радиус 15 m. Намерете:

а) колко квадратни метра е площта на арената;

б) колко квадратни метра настилка трябва да се закупи за покриването £, като предвидите 10% загуби при разкрояването?

4 Намерете обиколката и лицето на оцветените фигури.

5 Баба иска да изплете кръгла покрив-ка за нашата кръгла маса. Премерих, че масата има диаметър 90 сm. Колко квадратни сантиметра дантела тряб-ва да изплете баба, ако покривката:а) покрива цялата маса и “пада” от всички страни с 10 сm;б) покрива средата на масата, като наоколо остават по 15 сm?

б) S

SSSS

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

= + −= + −==

−12

12

12

4 2 1 2

8 28 1 2

7

2 2 2π π π

π π ππ

π

. . .

. .( )..

1.

7721 98

.,3,14

S =

ЗАДАЧА 4

Решение:

кв. м. ед.

кв. м. ед.

кв. м. ед.

На квадратна мрежа (1 м. ед. = 1 деление) са начертани геометрични фигури. Намерете лицето на оцветената част (в кв. м. ед.).

a) S

SSSS

= ⋅ + ⋅ − ⋅

= + −===

12

12

12

4 2 2

8 2 28825

2 2 2π π π

π π ππ

. . .

. .

..

.

3,14,12

б) S

SS

= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

= + −=

8 7 2 2 2 2

56 456

12

12

2 2. . .

.

π π

π π4.

28

11. МНОГОЪГЪЛНИК. ПРАВИЛЕН МНОГОЪГЪЛНИК

Има равнинни фигури, които имат повече от четири ъгъла и повече от четири страни.Например петоъгълникът има шестоъгълникът има пет ъгъла и шест ъгъла и пет страни, шест страни и т.н.

Начертаните фигури наричаме с общо име – многоъгълници.

Правилен многоъгълник Многоъгълник, на който всички страни са равни и всички ъгли са равни, се нарича правилен многоъгълник.

!

Ще припомним, че: • равностранният триъгълник има 3 равни страни и 3 равни ъгъла; • квадратът има 4 равни страни и 4 равни ъгъла.

Равностранният триъгълник е правилен триъгълник.Квадратът е правилен четириъгълник.Върховете на всеки правилен многоъгълник лежат на окръжност, която те разделят на равни части (дъги).

Точката О – центърът на окръжността, се нарича център на правилния многоъгълник.OM = a, която е височината в ABO, се нарича апотема на правилния многоъгълник.

Апотемата на правилния многоъгълник е прието да се означава с буквата a. Затова е удобно страната му да се отбелязва с буквата b.

!

Периметърът на правилния многоъгълник е P = b + b + ... + b = n . b P = n . b ,където естественото число n (n ≥ 3) е броят на страните на многоъгълника. Ако: • n = 5, многоъгълникът е правилен петоъгълник; • n = 6, многоъгълникът е правилен шестоъгълник и т.н.

ЗАДАЧА 1 Намерете периметъра на правилен многоъгълник, ако:а) n = 6, b = 4,8 cm; б) n = 12, b = 3,5 cm.Решение: а) P = n . b б) P = n . b

P = 6 . 4,8, P = 28,8 cm P = 12 . 3,5, P = 42 cm

bb

b

b

29

ЗАДАЧА 2 Намерете броя на страните на правилен многоъгълник, ако P = 42 cm, b = 8,4 cm.Решение: P = n . b 42 = n . 8,4, n = 5

r

ЗАДАЧА 3 Като използвате окръжност, начертайте правилен шестоъгълник. Решение: • Начертаваме окръжност k(O; r) с r = 2 сm. • От произволна точка А на окръжността по сле дователно в една и

съща посока отмерваме с пергела (с разтвор r = 2 сm) равни отсечки AB = BC = CD = DE = EF = FA1. При това нанасяне точките A и A1 съвпадат. • Съединяваме последователно точките A с B, B с C, ... , F с A. Начертаният по този начин шестоъгълник е правилен, защото има: 6 равни страни – AB = BC = CD = DE = EF = FA = r; 6 равни ъгъла – A = B = C = D = E = F = 2 . 60° = 120°.

За правилния шестоъгълник е вярно, че страната му е равна на радиуса на окръжността, която минава през върховете на шестоъгълника.

!

Забелязваме, че големината на централния AOB на правилния шестоъгълник ABCDEF e 360°

6 .За всеки правилен многоъгълник ABCDE...AOB =

360°n , където n е броят на страните на многоъгълника.

ЗАДАЧА 4 С помощта на окръжност начертайте правилен петоъгълник. Решение: За да начертаем правилен петоъгълник ABCDE, трябва да намерим

големината на централния AOB. За n = 5 AOB =

360°5 = 72°.

Чертаем: • окръжност k(O; r) с r – произволна отсечка, и избираме произволна точка А от k;

• AOB = 72° (с помощта на транспортир); • BOC = COD = DOE = 72°; • отсечките АВ, ВС, CD, DE, EA. ABCDE е правилен петоъгълник. ЗАДАЧИ 1 Намерете периметъра на правилен

многоъгълник, ако:а) n = 7, b = 3,2 cm; б) n = 8, b = 0,9 dm.

2 Намерете броя на страните на пра-вилен многоъгълник, ако:а) P = 65,6 cm, b = 8,2 cm; б) P = 106,8 cm, b = 89 mm.

3 Намерете дължината на страната на правилен многоъгълник, ако:а) P = 14 cm, n = 5; б) P = 110,7 cm, n = 9.

4 Начертайте окръжност (r = 3 сm) и правилен шестоъгълник, върхове те на който лежат върху тази окръжност.

5 Начертайте правилен шестоъгъл ник със страна: а) 2 сm; б) 3,5 сm.

30

12. ЛИЦЕ НА МНОГОЪГЪЛНИК

Лицето на триъгълник с основа b и височина hb щe означаваме с В* B = b . hb

2 .

Превръщане на 1 m2 в по-малки квадратни мерни единици:1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm1 m2 = 10 . 10 dm2 = 100 . 100 cm2 = 1 000 . 1 000 mm2

Превръщане на 1 mm2 в по-големи квадратни мерни единици:1 mm = 1

10 cm = 1100 dm = 1

1 000 m

1 mm2 = 110 · 1

10 cm2 = 1100 · 1

100 dm2 = 11 000 · 1

1 000 m2

(0,01 cm2 = 0,0001 dm2 = 0,000001 m2 )

Даден е правилен шестоъгълник ABCDEF с център О.Ако съединим всеки от върховете му с центъра О, получаваме шест триъгълника:ABO, BCO, CDO, DEO, EFO, FAO.Лицето на шестоъгълника е сборът от лицата на тези триъгълници.

Лицето на квадрат със страна b e B = b2.

* За удобство лицето на равнинна фигура означаваме с В.

Мерни единици за лице

Лице на многоъгълникЛицето на произволен многоъгълник намираме като сбор от лицата на триъгълниците, които го съставят.

!

ЗАДАЧА 1 По дадените измерения на чертежа намерете лицето В на петоъгълника ABCDE.Решение:

Лице на правилен многоъгълник

или или

B = B1 + B2 + B3 + B4 B = B1 + B2 + B3 + B4 B = B1 + B2 + B3 + B4 + B5 + B6

B = BABE + BBDE + BBCD =

= 4 . 1,52 + 3 . 4

2 + 5 . 122 = 3 + 6 + 30 = 39

B = 39 кв. м. ед.

31

* При правилните многоъгълници се налага да използваме приближени стойности и обикновено знакa “≈” условно заменяме с “=”.

Забелязваме, че ако отрежем триъгълниците и ги наложим един върху друг, те ще съвпаднат, т.е. те имат равни лица. Тогава за лицето B на правилния шестоъгълник получаваме: B = 6 . BABO , B = 6 . b . a

2 , B = P . a2 .

Чрез аналогични разсъждения може да се намери лицето на всеки правилен много ъгълник.

Лице на правилен многоъгълник Лицето на правилeн многоъгълник се намира по формулата B = P . a

2 или B = n . b . a2 ,

където Р = n . b е периметърът, n – броят на страните, b – страната, и а – апотемата на правилния многоъгълник.

!

Равностранният триъгълник и квадратът са правилни многоъгълници. Лица­та им обикновено пресмятаме по познатите формули: B = b . h

2 и B = b2.!

ЗАДАЧА 2 Правилен шестоъгълник има страна b = 3 cm и апотема a = 2,6 cm (a* ≈ 2,6 cm). Намерете периметъра и лицето на шестоъгълника.Решение: 1. P = 6 . b P = 6 . 3 2. B = P . a

2 B = 18 . 2,62

P = 18 cm B = 23,4 cm2

ЗАДАЧА 3 Правилен петоъгълник има лице 2 100 mm2 и апотема 2,4 cm. Намерете периметъра и страната на петоъгълника.

Решение: 1. B = 2 100 mm2 = ( 1

100 · 2 100) cm2 = 21 cm2

2. B = P . a2 21 = 3. P = 5 . b

1,2 . P = 21 17,5 = 5 . b P = 17,5 cm b = 3,5 cm

ЗАДАЧИ За правилен многоъгълник са приети следните означения:n – брой на страните, b – страна, a – апотема, P – периметър, и B – лице.

4 Даден е правилен многоъгълник с b = 2,5 cm, B = 200 cm2 и a = 8. Намерете Р и n.

5 Даден е правилен шестоъгълник с P = 42 cm и a = 6 cm. Намерете В.

6 Даден е правилен шестоъгълник с a = 10,4 cm и B = 374,4 cm2. Наме -рете Р.

1 Даден е правилен десетоъгълник с b = 5,2 cm и a = 8 cm. Намерете Р и В.

2 Даден е правилен петоъгълник с P = 58 cm и B = 232 cm2. Намерете b и а.

3 Даден е правилен многоъгълник с P = 52,2 cm, b = 5,8 cm и a = 8 cm. Намерете n и В.

32

13. ПРИЗМА. ПРАВИЛНА ПРИЗМА

Геометричните модели на разглежданите предмети са:

1 2 3 4

l = h

Шоколадът, тебеширът, кутията за бонбони, моливът на рисунката са предмети, които имат форма на геометричното тяло права призма.

Правата призма на чертеж 2 (моделът на тебешира) е правоъгълен паралеле пипед. Другите прави призми имат по две стени, които не са правоъгълници, а останалите стени са правоъгълници. Фигура 1 е модел на права триъгълна призма. Фигура 2 е модел на права четириъгълна призма. Фигура 3 е модел на права петоъгълна призма. Фигура 4 е модел на права шестоъгълна призма. Всяка права призма (например фиг. 1 ) има: две основи → ABC – долна основа, A1B1C1 – горна основа; основни ръбове → AB, BC, CA, A1B1, B1C1, C1A1; околни стени → правоъгълниците ABB1A1, BCC1B1, ACC1A1; околни ръбове → AA1, BB1, CC1. Всички околни стени на правите призми са правоъгълници. Тогава: • всички околни ръбове са равни като срещуположни страни в

правоъгълник: AA1 = BB1 = CC1 = l; • всеки околен ръб е перпендикулярен на два основни ръба oт всяка

основа, които пресича, защото съседните страни на правоъгълника образуват прави ъгли.

Всеки околен ръб на една права призма дава представа за височината £ и се нарича височина на правата призма. Височината се означава с h.

За всяка права призма l = h, или AA1 = BB1 = CC1 = h; • всеки основен ръб от долната основа има равен на него основен

ръб от горната основа като срещуположни страни на правоъгълник: AB = A1B1, BC = B1C1, AC = A1C 1.

33

Основите на правите призми могат да бъдат триъгълници, четириъгъл-ници, петоъгълници и т.н. Ако изрежем двете основи на една призма и ги наложим по подходящ начин, те ще съвпаднат. Затова двете основи са еднакви многоъ гълници и имат равни лица.

Освен прави има и други призми, които не са прави. Те се наричат наклонени. В шести клас ще изучаваме само прави призми.

Правилна призмаПрава призма, на която основите са правилни многоъгълници, се нарича правилна призма.

!

Страната b на правилния многоъгълник е основен ръб на правилната призма.Например: Правоъгълният паралелепипед е права призма. Правоъгълният паралелепипед с основа квадрат (фиг. 2 ) е правилна четириъгълна призма. Кубът е правилна четириъгълна призма.

ЗАДАЧА 1 (Устно) Правилна ли е права четириъгълна призма с основа: а) квадрат; б) трапец?Отговор: а) да б) не

ЗАДАЧА 2 Правилна триъгълна призма има основен ръб b = 5 сm и околен ръб l = 7 сm. Намерете: а) сбора на основните ръбове; б) сбора на околните ръбове; в) сбора на всички ръбове на призмата.Решение: а) Всяка от двете основи на призмата е равностранен триъгълник и

има три равни ръба. Правилната триъгълна призма има 6 равни основни ръба. Тогава за

b = 5 сm 6 . b = 6 . 5 = 30. Сборът на основните ръбове е 30 сm. б) Всяка триъгълна призма има 3 равни околни ръба. За

l = 7 сm 3 . l = 3 . 7 = 21. Сборът на околните ръбове е 21 сm. в) Сборът на всички ръбове на правилната триъгълна призма е

6 . b + 3 . l = 6 . 5 + 3 . 7 = = 51. Сборът на всички ръбове е 51 сm. ЗАДАЧИ

2 Начертайте таблицата в тетрадките си и я попълнете.

Правилна призма

Брой ръбовеосновни околни общо

триъгълна ? ? ?четириъгълна ? ? ?петоъгълна ? ? ?шестоъгълна ? ? ?

1 Правилна ли е права призма с основа: а) разностранен триъгълник; б) равностранен триъгълник; в) равнобедрен трапец; г) правоъгълник, който не е квадрат?

3 Периметърът на основата на пра-вилна дванадесетоъгълна призма е 54 сm, а околният ѝ ръб е 5 сm. Намерете сбора на всички ръбове на призмата.

34

14. ПРАВА ПРИЗМА. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 На квадратна мрежа начертайте модели на:а) правилна триъгълна призма;б) правилна четириъгълна призма;в) правилна шестоъгълна призма.Решение:

* Прието е с буквата Σ (сигма) да се означава сбор.

При чертане на модел на права призма:• на чертежа всички околни ръбове са равни и са успоредни;• ако в основата има успоредни основни ръбове, на чертежа те остават

успоредни;• основите на призмата не се чертаят в действителния им вид, а така,

че представата за тялото да е по-добра;• ако тялото е плътно, ръбовете, които не се виждат, се чертаят с

прекъсната линия.

ЗАДАЧА 2 На чертежа е даден модел на права призма с основа трапец. Ако a = 8 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 5 cm и l = 10 cm, намерете сбора от всички ръбове на призмата.

Решение:I начин:Σ = 2 . a + 2 . b + 2 . c + 2 . d + 4 . l = = 2 . 8 + 2 . 4 + 2 . 3 + 2 . 5 + 4 . 10 = 80Σ = 80 cmII начин:Σ = 2 . P + 4 . l, където P = a + b + c + d P = 8 + 4 + 3 + 5 = 20Σ = 2 . 20 + 4 . 10 = 80 Σ = 80 cm

35

ЗАДАЧА 3 Основният ръб на правилна четириъгълна призма е 6 сm, а околният ѝ ръб е 10 сm. Намерете периметъра и лицето:а) на основата;б) на една околна стена.

Решение: а) Основата е квадрат със страна b. 1. P = 4 . b 2. B = b . b P = 4 . 6 B = 6 . 6 P = 24 сm B = 36 сm2

б) Околната стена е правоъ гълник със страни b и l. 1. Pок. ст. = 2 . (b + l) 2. Bок. ст. = b . l Pок. ст. = 2 . (6 + 10) Bок. ст. = 6 . 10 Pок. ст. = 32 сm Bок. ст. = 60 сm2

ЗАДАЧИ 1 На квадратна мрежа начертайте модели на правилна триъгълна, четириъ гълна и шестоъгълна приз-ми. Оцветете стените, които се виждат.

2 Правилна четириъгълна призма има осно вен ръб b = 0,8 dm и околен ръб l = 11 сm. Намерете периметъра и лицето на:

а) основата; б) една околна стена.3 Периметърът на основата на пра-

вилна триъгълна призма е 21 сm, а

4 Околна стена на правилна шестоъ-гълна призма има периметър 48 сm, а основ ният ръб b е 5

7 части от окол-ния ръб l. Намерете:а) периметъра на основата; б) лицето на основата, ако апотемата

е 8,7 сm;в) сбора на всички ръбове на приз-

мата.

околният £ ръб е 10,5 сm. Намерете периметъра и лицето на една околна стена.

ЗАДАЧА 4 Правилна шестоъгълна призма има основен ръб 8 сm и апотема 6,9 сm. Намерете сбора от лицата на двете основи.

Решение: Основата е правилен шестоъгълник със страна b.1. P = 6 . b 2. B = P . a

2

P = 6 . 8 = 48 B = 48 . 6,92

P = 48 сm B = 165,6 сm2 3. Двете основи имат равни лица. B + B = 2 . B 2 . B = 2 . 165,6 = 331,2Сборът от лицата на двете основи е 331,2 сm2.

b

l

36

15. ЛИЦЕ НА ПОВЪРХНИНА НА ПРАВА ПРИЗМА

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm5 cm

5 cm

4,5 cm

5 cm

4 cm

4 cm

5 cm

Начертаваме развивката (в сm).

ЗАДАЧА 1 Начертайте върху квадратна мрежа развивката на права триъгълна призма с височина 4,5 сm и основа правоъгълен триъгълник с катети 3 сm и 4 сm и хипотенуза 5 сm.Решение: Дадена е права триъгълна призма. Ако изрежем по оцве-

тените ръбове и разгънем по стрелките вляво и вдясно и по стрелките нагоре и надолу, ще получим развивката на правата триъгълна призма.

Околните стени на призмата образуват околната ѝ� повърхнина, а околните стени и основите – повърхнината (пълната повърхнина) на призмата.

37

Лице на околната повърхнина S на права призма е сборът от лицата на околните ѝ стени.

* За по-кратко вместо “лице на повърхнина” ще казваме “повърхнина”.

Правата призма от Задача 1 има лице на околната повърхнина

S = 3 . 4,5 + 4 . 4,5 + 5 . 4,5 = = (3 + 4 + 5) . 4,5 = 12 . 4,5 = 54, S = 54 сm2.

P l = hЗабелязваме, че 3 + 4 + 5 е периметърът P на основата, а 4,5 е околният ръб, който е равен на височината h на правата призма. Тогава за лицето на околната повърхнина на правата триъгълна призма от Задача 1 получихме, че S = P . h. Като разсъждаваме по същия начин, получаваме:

Лицето на околната повърхнина на всяка права призма се намира по формулата S = P . h,където P е периметърът на основата, а h е височината (околният ръб l) на правата призма.

!

Двете основи на правата призма имат равни лица B и сборът от двете лица е B + B = 2 . B.

Лице на повърхнина на права призма:• формула за лице на околна повърхнина → S = P . h • формула за лице на повърхнина (пълна повърхнина) → S1 = S + 2 . B

Ако към лицето на околната повърхнина S на права призма прибавим и лицата на двете основи, получаваме лицето на повърхнината (пълната повърхнина) S1 на правата призма, което намираме по формулата S1 = S + 2 . B.

ЗАДАЧА 2 Намерете повърхнината* на дадената в Задача 1 права триъгълна призма.Решение: S1 = S + 2 . B. Намерихме, че S = 54 сm2. Основата е правоъгълен триъгълник с катети 4 сm и 3 сm. Тогава B = 4 . 3

2 = 6 сm2, S1 = S + 2 . B = 54 + 2 . 6 = 66, S1 = 66 сm2. ЗАДАЧИ 1 Върху квадратна мрежа (1 деление =

1 м. ед.) начертайте развивката на пра вилна четириъгълна призма с ос-новен ръб 3 м. ед. и височина 4 м. ед.

2 Основата на права призма е триъ-гълник със страни a = 5 сm, b = 6 сm и c = 7 сm, а височината на приз мата е h = 10 сm. Намерете околна та по-върхнина на призмата.

3 Основата на права призма е правоъ-гълен триъгълник с катети a = 6 сm, b = 8 сm и хипотенуза c = 10 сm, а височината на приз мата е 20 сm. Намерете околната и пълната по-върхнина на призмата.

4 Периметърът на основата на пра-вилна четириъгълна призма е 2 dm, а височи на та ѝ е 80 mm. Намерете околната и пълната повърхнина на призмата (в сm2).

!

38

16. ЛИЦЕ НА ПОВЪРХНИНА НА ПРАВА ПРИЗМА. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Правилна четириъгълна призма има основен ръб 10 сm и околен ръб 25 сm. Намерете околната повърхнина и повърхнината на призмата.

Решение:Основата на призмата е квадрат със страна b.1. P = 4 . b 2. S = P . h Р = 4 . 10 S = 40 . 25 P = 40 сm S = 1 000 сm2

3. B = b . b 4. S1 = S + 2 . B В = 10 .10 S1 = 1 000 + 2 . 100 B = 100 сm2 S1 = 1 200 сm2

ЗАДАЧА 2 Правилна шестоъгълна призма има страна b = 9 сm, апотема a = 78 mm, а височината на призмата е h = 1,5 dm. Намерете околната повърхнина и повърхнина та на призмата.

ЗАДАЧА 3 Права призма с основа ромб има височина 5 сm и околна повърхнина 120 сm2. Намерете страната на ромба.

Решение:Основата на призмата е ромб със страна b.1. S = P . h 2. P = 24 сm 120 = P . 5 P = 4 . b P . 5 = 120 4 . b = 24 P = 120 : 5 b = 24 : 4 P = 24 сm b = 6 сm

b

b

Решение:Основата на призмата е правилен шестоъгълник със страна b и апотема а.1. P = 6 . b 2. S = P . h Р = 6 . 9 S = 54 . 15 P = 54 сm S = 810 сm2

3. B = P . a2 4. S1 = S + 2 . B

В = 54 . 7,82 S1 = 810 + 2 . 210,6

B = 210,6 сm2 S1 = 1 231,2 сm2b

а

bb

39

ЗАДАЧА 4 Правилна петоъгълна призма има околна повърхнина S = 210 сm, височина h = 12 сm и апотема на основата a = 2,4 сm. Намерете основния ръб b и повърх нината S1 на призмата.

Решение:Основата на призмата е правилен петоъгълник със страна b и апотема а.

4. S1 = S + 2 . B S1 = 210 + 2 . B S1 = 210 + 2 . 21 S1 = 252 сm2

ЗАДАЧА 5 Правилна триъгълна призма има повърхнини S = 315 сm2 и S1 = 357,7 сm2, а висо чината ѝ е h = 15 сm. Намерете основния ръб b и височината на основата hb .

Решение:Основата на призмата е равностранен триъгълник със страна b и височина hb.

ЗАДАЧИ 1 Правилна четириъгълна призма има височина h = 22 сm и околна повърхнина S = 1 408 сm2. Намерете повърхнината на призмата.

2 Основата на права призма е ромб с височина hb = 12 сm. Околната по-върхнина на призмата е 1 120 сm2, а повърхнината ѝ е 1 456 сm2. На-мерете основния ръб и околния ръб на приз мата.

3 Права триъгълна призма има за основа правоъгълен триъгълник с

катет a = 12 сm и хипотенуза c = 13 сm. Околната повърхнина на призмата е 300 сm2, а повърхнина-та – 360 сm2. Намерете катета b на основата и височи ната h на призмата.

4 Правилна шестоъгълна призма с висо чина h = 18 сm има околна повър хнина S = 1 512 сm2 и апотема на основата a = 12,1 сm. Намерете:а) повърхнината S1 на приз мата;б) сборa от всички ръбове на приз мата.

2. Р = 5 . b 5 . b = 17,5 b = 17,5 : 5 b = 3,5 сm

3. B = P . a2

B = 17,5 . 2,42

B = 21 cm2

1. S = P . h 210 = P . 12 P = 210 : 12 P = 17,5 сm

b

а

4. B = b . hb2

21,35 = 7 . hb2

hb = 6,1 сm

2. Р = 3 . b 3 . b = 21 b = 21 : 3 b = 7 сm

3. S1 = S + 2 . B 357,7 = 315 + 2 . B 2 . B = 42,7 B = 21,35 сm2

1. S = P . h 315 = P . 15 P = 315 : 15 P = 21 сm

b

hb

40

17. ОБЕМ НА ПРАВА ПРИЗМА

ЗАДАЧА 1 Намерете обема на правоъгълен паралелепипед с измерения на осно-вата a = 8 сm, b = 6 сm и височина h = c = 10 сm.

1 m3 → ? сm3 1 m3 = 100 . 100 . 100 сm3 = 1 000 000 сm3

1 сm3 → ? m3 1 cm3 = 1100 . 100 . 100 m3 = 0,000001 m3

Решение:V = a . b . cV = 8 . 6 . 10V = 48 . 10V = 480 сm3

Формулата за обем на правоъгълен паралелепипед e V = a . b . c, V = B . h, защото a . b = B, c = h.

!

Мерни единици за обем

ОпитРазполагаме с два съда с равни височини h = 10 сm.• Първият съд има форма на правоъгълен паралелепипед с измерения

на основата 8 сm и 6 сm. Тогава лицето на основата е B = 48 (сm2) и обемът е V = 48 . 10 = 480 (сm3).

• Вторият съд има форма на права триъгълна призма с основа триъ-гълник със страна 12 сm и височина към тази страна 8 сm. Тогава лицето на основата е B = 12 . 8

2 = 48 (сm2).V = ?За да намерим обема на втория съд, сравняваме обемите на правоъгълния пара лелепипед и на правата триъгълна призма, като правим следния опит:Напълваме първия съд на при мер с ориз (захар, теч-ност…) и го пресипваме във втория. Установяваме, че съдържанието на първия съд напълва точно втория. Това показва, че двата съда имат равни обеми, т.е. обемът на правата призма с основа триъгълник също е 480 сm3 и може да се намери по формулата V = B . h (48 . 10).Извод: Обемът на всяка права триъгълна призма се на-мира по формулата V = B . h,където В е лицето на основата, а h – висо чината на призмата.

41

Всяка права четириъгълна призма може да се разглежда като две долепени една до друга прави триъгълни призми с равни височини h и лица на основите B1 и B2. Тогава обемът V е V = B1 . h + B2 . h = (B1 + B2) . h = B . h, V = B . h.

Обемът на всяка права четириъгълна призма се намира по формулата V = B . h.

Всяка права петоъгълна призма може да се разглежда като три долепени една до друга прави триъгълни призми с равни височини h и лица на основите B1, B2 и B3. Тогава обемът V е V = B1 . h + B2 . h + B3 . h = (B1 + B2 + B3) . h = B . h, V = B . h.

По същия начин може да се намери обемът на всяка права призма.

Обем на права призмаОбемът на всяка права призма се намира по формулата V = B . h, където B е лицето на основата, а h е височината на призмата.

!

ЗАДАЧА 2 Основата на права призма е правоъгълен триъгълник с катети a = 9 сm и b = 8 сm. Намерете обема на призмата, ако височината £ е h = 16 сm.

Решение:

1. B = а . b2

B = 9 . 82

B = 36 сm2

ЗАДАЧИ 1 Основата на права призма е триъ-гълник със страна b = 7 сm и висо чи-на към нея hb = 6 сm. Височината на призмата h е 8 сm. Намерете обема на призмата.

2 Основата на права призма е ромб със страна b = 8 сm и височина hb = 7 сm. Намерете обема на приз-мата, ако височината ѝ е h = 12 сm.

3 Намерете обема на правилна чети-ри ъгълна призма с основен ръб b = 1,1 dm и h = 14 сm.

4 Резервоар с форма на правилна четири ъгълна призма е напълнен с нафта. Намерете колко литра нафта съдържа резервоарът, ако дълбочи-ната му е 1,50 m, а основният ръб на приз мата е 2 m.

2. V = B . h

V = 36 . 16

V = 576 сm3

42

18. ОБЕМ И ПОВЪРХНИНА НА ПРАВА ПРИЗМА. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Основата на права призма е трапец с основи a = 12 сm, b = 4 сm и ha = 7 сm. Намерете обема на призмата, ако височината ѝ е h = 18 сm.

Решение:1. B = а + b

2 · ha

B = 12 + 42 · 7 = 56

B = 56 сm2

2. V = B . h V = 56 . 18 V = 1 008 сm3

ЗАДАЧА 2 Намерете обема на правилна шестоъгълна призма с височина h = 15 сm, основен ръб b = 9 сm и апотема на основата a = 7,8 сm.

Решение:1. P = 6 . b P = 6 . 9 P = 54 cm

ЗАДАЧА 3 Правилна четириъгълна призма с основен ръб b = 7 сm има повърхнина S1 = 406 сm2. Намерете обема на призмата.

Решение:

ЗАДАЧА 4 Обемът на правилна шестоъгълна призма е V = 3654 сm3. Височината ѝ� е h = 14 сm, а апотемата на основата е a = 8,7 сm. Намерете околната повърхнина и повърхнината на призмата.

2. B = P . a2

B = 54 . 7,82

B = 210,6 сm2

3. V = B . h V = 210,6 . 15 V = 3 159 сm3

1. B = b . b B = 7 . 7 B = 49 сm2

2. S1 = S + 2 . B 406 = S + 2 . 49 S = 308 сm2

3. P = 4 . b P = 4 . 7 P = 28 сm

4. S = P . h 308 = 4 . 7 . h h = 11 сm

5. V = B . h V = 49 . 11 V = 539 сm3b

b

bа

b

а

ha

43

Решение:

ЗАДАЧИ 1 Основата на права призма е трапец с основи a = 50 mm, b = 2 cm и ви-сочина ha = 0,3 dm. Околният ръб на призмата е l = 7,5 cm. Намерете обема на призмата.

2 Основата на права призма е право-ъгълен триъгълник с катети 6 сm и 8 сm. Най-малката околна стена е квадрат. Намерете обема на призма-та.

3 Обемът на права призма е 240 сm3. Основата на призмата е ромб със страна 8 сm и височина 6 сm. Наме-рете височи ната на призмата.

4 Правилна четириъгълна призма има обем 832 сm3 и основен ръб b = 8 сm. Намерете височината на призмата, околната и пълната ѝ повърхнина.

5 Правилна шестоъгълна призма има обем 1 123,2 сm3, апотема на осно-вата 5,2 сm и височина, 2 пъти по-голяма от основния ръб. Намерете:а) основния ръб и височината на приз мата;б) лицето на повърхнината на приз-мата.

6 Трябва да се направи подпорна стена за укрепване на свлачище с формата на права призма. Стената е дълга 8 m, висока – 2,80 m, а напречното £ сечение е правоъгълен трапец с основи 160 cm и 80 cm. Колко куби-чески метра материал са необходими за направата ѝ?

ЗАДАЧА 5 От парче метал с форма на правоъгълен паралелепипед изработили детайл с форма и размери (в сm), показани на чертежа. Намерете колко процента от материала е отпаднал при обработката.

Решение:Парчето метал има обем V = 20 . 40 . 10 = 8000 сm3.Отпадналият материал (в сm3) е обемът V1 на права призма с височина h = 40 сm и основа равнобедрен триъгълник с основа 10 сm (20 – 2 . 5 = 10) и височина към нея 5 сm. V1 = B . h = 10 . 5

2 · 40 = 25 . 40 = 1000, V1 = 1000 сm3

x % от V = V1 х100 · 8000 = 1000, x . 80 = 1000, x = 12,5 %

1. V = B . h 3654 = B . 14 B = 3 654 : 14 B = 261 сm2

2. B = P . a2

261 = P · 8,72

P = 261 : 4,35

P = 60 сm

3. S = P . h S = 60 . 14 S = 840 сm2

4. S1 = S + 2 . B S1 = 840 + 2 . 261 S1 = 1362 сm2b

а

44

19. ПИРАМИДА. ПРАВИЛНА ПИРАМИДА

ПирамидаНачертани са модели на тела, които се наричат пирамиди:а) б) в)

Забелязваме, че на тези тела:• една от стените е многоъгълник – ABC, четириъгълник A1B1C1D1, петоъгълник A2B2C2D2E2;• останалите стени са триъгълници с осно ви страните на многоъгълника

и с общ връх – на черт. а) това са ABM, BCM, CAM.

Тяло, на което една от стените е произволен многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с основи страните на многоъгълника и с общ връх, се нарича пирамида.

!

Пирамидата е многостен (ръбесто тяло).• Многоъгълникът се нарича основа на пирамидата. На черт. в) основата е петоъгълникът A2B2C2D2E2.• Стените, които са триъгълници с общ връх, се наричат околни стени на пирамидата. На черт. а) околни стени са ABM, BCM, CAM.• Общият връх на околните стени на пирамидата се нарича връх на

пирамидата. На черт. б) връх на пирамидата е M1.• Страните на основата на пирамидата се наричат основни ръбове,

а останалите ръбове – околни ръбове. На черт. а) основни ръбове са AB, BC, CA; околни ръбове са MA, MB, MC.• Според вида на основата пирамидите биват: триъгълна (черт. а)), четириъгълна (черт. б)), петоъгълна (черт. в)) и т.н.

Правилна пирамида

Пирамида, на която основата е правилен многоъгълник и всичките и околни ръбове са равни, се нарича правилна пирамида.

!

Основата на правилна пирамида може да бъде равностранен триъгъл-ник, квадрат, правилен петоъгълник, правилен шестоъгълник и т.н.

45

h

Начертана е правилна шестоъгълна пирамида ABCDEFM.Центърът на правилния многоъгълник – основа на пирамидата, се означава с O. Основ ният ръб на правилната пирамида се означава с b, а апотемата на основата – с a. На чертежа AB = BC = CD = DE = EF = FA = b, OK = a.Равните околни ръбове на правилната пира мида се означават с l. На чертежа MA = MB = MC = MD = ME = MF = l.Всички околни стени на правилната пирамида са рав-нобедрени триъгълници и всеки от тях има основа b и бедро l. Ако изрежем и наложим по подходящ начин околните стени, те ще съвпаднат – ще имат равни лица. Тогава височините към страните b ще са равни. Всяка от тези височини се нарича апотема на правилната пирамида и се означава с k. На чертежа MK = k.Отсечката, която свързва върха M на правилната пира-мида с центъра O на основата ѝ, се нарича височина на правилната пирамида и се означава с h. На чертежа MO = h.

ЗАДАЧА 1 (Устно) Намерете: а) колко околни ръба има десетоъгълна пирамида;б) най-малкия брой на ръбовете, които може да има една пирамида;в) най-малкия брой стени, които може да има една пирамида;г) какво число е броят на ръбовете на всяка пирамида – четно или нечетно.

Отг.: а) 10, б) 6, в) 4, г) четно, защото броят на околните ръбо-ве е равен на броя на основните ръбове.

ЗАДАЧИ 1 Намерете периметъра на основата на правилна седмоъгълна пира мида с основен ръб 3 сm.

2 Намерете сбора на околните ръбо ве на правилна деветоъгълна пира-мида, ако околният ѝ ръб е 5,2 сm.

3 Намерете сбора на всички ръбове на правилна десетоъгълна пирамида

с основен ръб 3,5 сm и околен ръб 1,6 dm.

4 Периметърът на основата на пра вил-на шестоъгълна пирамида е 30 сm, а окол ният ѝ ръб е 13 сm. Намерете периме търа на една околна стена на пирамидата.

ЗАДАЧА 2 (Устно) Намерете: а) периметъра на основата на правилна осмоъгълна пирамида с основен ръб b = 2 сm;б) сбора на околните ръбове на правилна петоъгълна пирамида, ако l = 7 сm;в) сбора на всички ръбове на правилна шестоъгълна пирамида, ако b = 3 сm и l = 5 сm.

Отг.: а) 16 сm, б) 35 сm, в) 48 сm

46

20. ПРАВИЛНА ПИРАМИДА. УПРАЖНЕНИЕ

а) б) в)

ЗАДАЧА 1 На квадратна мрежа начертайте модели на правилни пирамиди така, както е показано на чертежа.

При чертане на модел на правилна пирамида:Първо – начертаваме основата на пирамидата (черт. а), б), в)). Успо-

редните основни ръбове запазват успоредността си.Второ – намираме центъра на правилния многоъгълник – основа на пи-

рамидата (както е показано на чертежа). Точката O е центърът на окръжността, минаваща през върховете на многоъ гълника. Ако основата е равностранен ABC (черт. а)), центърът O е точка от височината CQ на този триъгълник и OQ = 1

3 от CQ.Трето – начертаваме височината OM така, че да е върху права, пер-

пендикулярна на страната AB (черт. а), б), в)) (AB обикновено чертаем хоризонтално на чертож ния лист).

Четвърто – съединяваме точката M с върховете на основата.Ако тялото е плътно, ръбовете, които не се виждат, както и височината чертаем с прекъсната линия.

ЗАДАЧА 2 Основният ръб на правилна четириъгълна пирамида е b = 5 сm, а апо-темата ѝ k = 10 сm. Намерете лицето на околната стена на пирамидата.

Решение:Околната стена на пирамидата е триъгълник с основа b = 5 сm и височина към основата hb = k = 10 сm.

Bок. ст. = b . k2

Bок. ст. = 5 . 102

Bок. ст. = 25 сm2

47

ЗАДАЧА 3 Правилна петоъгълна пирамида има периметър на основата 26 cm и периметър на една околна стена 18 cm. Намерете сбора от дължините на всички ръбове на пирамидата.

ЗАДАЧА 4 Правилна шестоъгълна пирамида има периметър на основата 36 сm, а лицето на една околна стена е 24 сm2. Намерете апотемата на пира-мидата.

Решение:Основата на пирамидата е правилен шестоъгълник със страна b.

ЗАДАЧИ 1 На квадратна мрежа начертайте модели на: а) правилна триъгълна пирамида; б) правилна четириъгълна пира-

мида;в) правилна шестоъгълна пирамида.Оцветете стените, които се виждат.

2 Периметърът на основата на пра-вилна петоъгълна пирамида е 35 сm, а апотемата на пирамидата е 9 сm. Намерете лицето на една околна стена на пирамидата.

3 Апотемата на правилна осмоъ гълна пирамида е 12 сm, а лицето на една околна стена е 54 сm2. Намерете пери метъра на основата на пирами-дата.

4 Правилна осмоъгълна пирамида има периметър на основата 56 cm и периметър на една околна стена 25 cm. Намерете сбора от дължините на всички ръбове на пирамидата.

Решение:Основата на пирамидата е правилен петоъгълник със страна b.

3. Σ = 5 . b + 5 . l Σ = 5 . 5,2 + 5 . 6,4 Σ = 5 . (5,2 + 6,4) Σ = 5 . 11,6 Σ = 58 cm

1. Р = 5 . b 5 . b = 26 b = 26 : 5 b = 5,2 сm

2. Рок. ст. = b + 2 . l 18 = 5,2 + 2 . l 2 . l = 12,8 cm l = 6,4 cm

b

1. Р = 6 . b 6 . b = 36 b = 36 : 6 b = 6 сm

2. Bок. ст. = b . k2

24 = 6 . k2

24 = 3 . k

k = 8 сm

b

48

21. ЛИЦЕ НА ПОВЪРХНИНА НА ПРАВИЛНА ПИРАМИДА

Начертани са развивките на а) правилна триъгълна пирамида; б) правилна четириъгълна пирамида.

Околните стени на една пирамида образуват околната ѝ повърхни-на. Сборът от лицата на околните стени се нарича лице на околната повърхнина на пирамидата и се обозначава с S.• Ако пирамидата е правилна триъгълна (черт. а), S = b . k

2 + b . k2 + b . k

2 = 3 . b . k2 = 3 . b . k

2 = Р . k2 .

• Ако пирамидата е правилна четириъгълна (черт. б), S = b . k

2 + b . k2 + b . k

2 + b . k2 = 4 . b . k

2 = 4 . b . k2 = Р . k

2 ,където P е периметърът на основата, k е апотемата на пирамидата.Чрез същите разсъждения може да се намери лицето на околната по-върхнина на всяка правилна пирамида.

Лицето на околната повърхнина S на правилна пирамида се намира по формулата S = Р . k

2 , където P е периметърът на основата, а k е апотемата на пирамидата.

!

Околните стени на пирамидата и основата ѝ образуват повърхнината (пълната повърхнина) на пирамидата. Сборът от лицата на околните стени и лицето на основата се нарича лице на повърхнината (лице на пълната повърхнина) на пирамидата и се означава с S1.

Лицето на повърхнината (пълната повърхнина) S1 на правилна пирамида се намира по формулата S1 = S + B,където S е околната повърхнина, а B е лицето на основата на пирамидата.

!

kb

49

ЗАДАЧА 1 Намерете лицето на околната повърхнина S на правилна седмоъгълна пирамида с основен ръб b = 2 сm и апотема k = 5 сm.

ЗАДАЧА 2 Намерете лицето на повърхнината на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 2 dm и апотема 450 mm.

ЗАДАЧА 3 Колко материал (специален плат) е необходим за направата на палатка с форма на правилна шестоъгълна призма, чийто покрив е правилна шестоъгълна пира мида (измеренията в метри са дадени на чертежа), ако е предвидено 15 % от повърхнинaтa на палатката да са за шевовете?

Решение:Околната повърхнина на призмата означаваме с S.

S = P . h → P = 6 . 4,6 = 27,6, P = 27,6 сmS = 27,6 . 3, S = 82,8 m2.

Околната повърхнина на пирамидата означаваме с S′.S′ = Р . k

2 = 27,6 . 52 = 69, S′ = 69 m2

Повърхнината на палатката е S + S′.S + S′ = 82,8 + 69 = 151,8, S + S′ = 151,8 m2

За шевовете са предвидени 15 % от 151,8 = 22,77 m2.

ЗАДАЧИ 1 Апотемата на правилна триъгълна пира мида е 5 сm, а основата ѝ има стра на 10,4 сm и височина 9 сm. Намерете околната и пълната по-върхнина на пирамидата.

2 Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 16 сm и апотема 10 сm. Намерете повърхнината ѝ.

3 Правилна шестоъгълна пирамида има апотема 10 сm, основен ръб

9,2 сm и апо тема на основата 8 сm. Намерете окол ната повърхнина и по вър хнината на пирамидата.

4 Покрив на къща има форма на пра-вилна четириъгълна пирамида с основен ръб 12 m и апотема 10 m. Колко керемиди са необходими за покриване на къщата, ако 15 кере-миди покриват 1 m2?

1. P = 7 . b P = 7 . 2 P = 14 сm

Решение:2. S = Р . k

2

S = 14 . 52

S = 35 сm2

Решение: b = 2 dm = 20 cm, k = 450 mm = 45 cm

За направата на палатката са необходими (151,8 + 22,77) 174,57 m2 плат.

1. P = 4 . b P = 80 сm

2. B = b . b B = 400 сm2

3. S = Р . k2

S = 80 . 452

S = 1 800 сm2

4. S1 = S + B S1 = 1 800 + 400 S1 = 2 200 сm2

50

22. ЛИЦЕ НА ПОВЪРХНИНА НА ПРАВИЛНА ПИРАМИДА. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Намерете повърхнината* на правилна шестоъгълна пирамида с основен ръб 2 сm, апотема на основата 1,7 сm и апотема на пирамидата 6 сm.

* Под “повърхнина” ще разбираме “лице на повърхнина”.

ЗАДАЧА 2 Околната повърхнина на правилна пирамида е 100 сm2, а периметърът на основата е 20 сm. Намерете апотемата на пирамидата.

Решение:S = Р . k

2

ЗАДАЧА 3 Околната повърхнина на правилна пирамида е 60 сm2, а апотемата ѝ е 10 сm. Намерете периметъра на основата.

Решение:S = Р . k

2

При решаване на Задачи 2 и 3, т.е. когато е дадена околната повърхнина и търсим k или P на правилна пирамида, не е необходимо да знаем броя на страните на правилния многоъгълник – основа на пирамидата.

ЗАДАЧА 4 Ако S, P и k са съответно околната повърхнина, периметърът на основата и апотемата на пирамида, проверете вярно ли е попълнена таблицата.

S P k49 сm2 2,8 dm 35 mm

123,2 сm2 385 mm 6,4 cm20 020 mm2 45,5 cm 0,88 dm

Отг.: Таблицата е попълнена вярно.

1. P = 6 . b P = 6 . 2 P = 12 сm

2. B = Р . а2

B = 12 . 1,72

B = 10,2 сm2

3. S = Р . k2

S = 12 . 62

S = 36 сm2

4. S1 = S + B S1 = 36 + 10,2 S1 = 46,2 сm2

Решение:

100 = 20 . k2

100 = 10 . k k = 10 сm

60 = Р . 102

60 = 5 . Р Р = 12 сm

51

ЗАДАЧА 5 Правилна четириъгълна пирамида има околна повърхнина 42 сm2 и апотема 7 сm. Намерете повърхнината ѝ.

Решение:

ЗАДАЧА 6 Покривът на беседка има форма на правилна шестоъгълна пирамида с апотема 2 m и основен ръб 2 m. Колко листа ламарина са необходими за покриването £, ако 1 лист покрива 1,5 m2, а 1 лист е предвиден за загуба при покриването.

Решение:

ЗАДАЧИ 1 Правилна четириъгълна пирамида има околна повърхнина 720 сm2 и апотема 15 сm. Намерете повърх-нината ѝ.

2 Намерете повърхнината на правил-на шестоъгълна пирамида с осно-вен ръб 2 cm, апотема на основата 1,7 cm и апотема на пирамидата 5 cm.

3 Правилна триъгълна пирамида има околна повърхнина 337,35 сm2, апо тема 13 сm и височина на основата 15 сm. Намерете основния ръб и повърхнината на пирамидата.

4 Правилна шестоъгълна пирамида има околна повърхнина 897 сm2, апотема 26 сm и апотема на основа-та 10 сm. Намерете основния ръб и повърхнината на пирамидата.

5 Начертайте таблицата в тетрадките си и я попълнете, като използвате приетите означения за правилна четириъгълна пирамида.

1. S = Р . k2

42 = Р . 72

Р = 12 сm

2. P = 4 . b 12 = 4 . b b = 3 сm

3. B = b . b B = 3 . 3 B = 9 сm2

4. S1 = S + B S1 = 42 + 9 S1 = 51 сm2

3. Необходими са x листа ламарина. x . 1,5 = 12 x = 8 8 + 1 = 9Необходими са 9 листа ламарина.

1. P = 6 . b P = 6 . 2 P = 12 сm

2. S = Р . k2

S = 12 . 22

S = 12 сm2

b (cm) ? 10 8k (cm) 5 ? ?P (cm) 24 ? ?B (cm2) ? ? ?S (cm2) ? 260 ?S1 (cm2) ? ? 144

52

23. ИЗРАБОТВАНЕ НА МОДЕЛИ НА ГЕОМЕТРИЧНИ ТЕЛА. ПРАКТИЧЕСКА РАБОТА. УПРАЖНЕНИЕ

Предварително заданиеВсеки ученик да има за урока:• два листа паус, размер А4;• два листа картон, размер А4;• лепило, тиксо, ножичка;• линия, молив, кламери.

Практическа работа в часа1. Прекопирайте развивката на

пирамидата върху единия лист паус.2. Залепете пауса върху единия лист

картон.3. Изрежете развивката и сгънете по

червените ръбове.4. Залепете само ръбовете и .Получената пирамида е с отваряща се основа (капак).

Модел на правилна четириъгълна пирамида

53

Модел на права призма

1. Прекопирайте развивката на пира-мидата върху другия лист паус.

2. Залепете пауса върху втория картон.3. Изрежете развивката и сгънете по

червените ръбове.4. Залепете ръбовете с еднаква номера-

ция.

Получената права четириъгълна призма е без горна основа.Изработихме модели на пирамида и при-зма. Те се използват за опита в урок № 24.

Начертана е развивката на права четириъгълна призма без горна ос-нова с височина h = 9 cm и основа правоъгълен трапец с размери, дадени на чертежа.

54

24. ОБЕМ НА ПРАВИЛНА ПИРАМИДА

Опит Разполагаме с два съда с форма на пирамида и на призма, които имат равни височини h и равнолицеви основи с лице B. На чертежа:

І съд е правилна четириъгълна пирамида с височина h = 9 cm и основен ръб b = 5 cm. B = 52 = 25 сm2 V = ?ІІ съд е права четириъгълна призма с ви со чина h = 9 cm и основа правоъгълен трапец с основи 6 cm, 4 cm и височина 5 cm. B = 6 + 4

2 · 5 = 25 сm2

V = B . h = 25 . 9 = 225 сm3

Напълваме І съд например с ориз (захар, теч ност, …) и го пресип ваме във ІІ съд. Установяваме, че ІІ съд се напълва след третото пресипване. Това показва, че след първото пресипване се напълва 1

3 част от ІІ съд, т.е. обемът на пирамидата е 1

3 част от обема на призмата. Опитно получаваме формулата V = 1

3 · B . h.

Обемът на пирамида се намира по формулата V = B . h3 ,

където B е лицето на основата, а h е височината на пирамидата. !

Оттук следва, че правилната четириъгълна пирамида с височина h = 9 cm и основен ръб b = 5 cm (виж опита) има обем V = 1

3 · B . h = 13 · 25 . 9 = 75, V = 75 сm3.

ЗАДАЧА 1 Намерете обема на пирамида с лице на основата B = 90 сm2 и височина h = 10 сm.Решение:V = 1

3 · B . h

ЗАДАЧА 2 Намерете обема на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб b = 5 сm и височина h = 33 mm.Решение: h = 33 mm = 3,3 cm

V = 13 · 90 . 10

V = 300 сm3

1. B = b . b B = 5 . 5 B = 25 сm2

2. V = 13 · B . h

V = 13 · 25 . 3,3

V = 27,5 сm3

55

ЗАДАЧА 3 Ако V, B и h са съответно обемът, лицето на основата и височината на пирамидата, попълнете таблицата.

V (m3)

B (m2)

h (m)

1. 180 40

23 13,8 2.

28 3. 10

Решение: V = B . h3

ЗАДАЧА 4 Обемът на правилна осмоъгълна пирамида е 38,4 сm3. Апотемата на осно-вата е 24 mm, а височината на пирамидата е 0,6 dm. Намерете основния ръб на пирамидата.

2. B = Р . a2

B = P . 2,42

19,2 = 1,2 . P P = 16 сm

ЗАДАЧА 5 Намерете обема на Хеопсовата пирамида, построена в древния Египет. Основата ѝ е квадрат със страна 230 m, а височината на пирамидата е 144 m.Решение: Лицето на основата е B = 230 . 230 = 52 900, B = 52 900 m2. V = 1

3 · B . h = 13 · 52 900 . 144 = 2 539 200, V = 2539 200 m3

Интересно е да се знае, че обе мът на Хеопсовата пира мида е равен на обема на сграда с размери: широчина 20 m, височина 100 m и дължина 1 269,6 m

(20 . 100 . 1 269,6 = 2 539 200).

ЗАДАЧИ 1 Намерете обема на пирамида с лице на основата 72 сm2 и височина 13 сm.

2 Намерете обема на правилна чети-риъгълна пирамида с основен ръб 0,3 dm и височина 17 сm.

3 Намерете обема на правилна пира-мида с височина 15 сm и основа:а) равностранен триъгълник със страна 4 сm и височина 3,46 сm;б) правилен петоъгълник със стра-на 6 сm и апотема 4,13 сm;

в) правилен шестоъгълник със стра-на 7 сm и апотема 6,06 сm.

4 Дадена е правилна триъгълна пира-мида с височина h = 12 сm, апотема k = 13 cm, височина на основата hb = 15 сm и обем V = 510 сm3. На-мерете основния ръб b, околната повърхнина S и повърхнината S1 на пирамидата.

5 За правилна шестоъгълна пирамида знаем, че V = 348 сm3, h = 12 сm, k = 13 сm и a = 5 сm. Намерете b, S и S1.

Решение: h = 0,6 dm = 6 сm, a = 24 mm = 2,4 сm

1. V = 13 · B . h

38,4 = 13 · B . 6

38,4 = B . 2 B = 19,2 сm2

3. P = 8 . b 16 = 8 . b b = 2 сm

1. V = 180 . 403

V = 60 . 40

V = 2 400 m3

2. 23 = 13,8 . h3

23 = 4,6 . h

h = 5 m

3. 28 = B . 103

103 . B = 28

B = 8,4 m2

56

25. ОБЕМ И ПОВЪРХНИНА НА ПРАВИЛНА ПИРАМИДА. УПРАЖНЕНИЕ

O

B

O

KA

M

Дадена е правилна пирамида. В урока ще използваме означенията: основен ръб b, апотема a на основата, височина h на пирамидата, aпотема k на пирамидата, периметър и лице на основата съответно P и B, околна повърхнина S, повърхнина S1 и обем V.

ЗАДАЧА 1 Правилна четириъгълна пирамида има S1 = 96 cm2, h = 4 cm и P = 24 cm. Намерете S и V.

ЗАДАЧА 2 Правилна десетоъгълна пирамида има S = 260 cm2, h = 6 cm, P = 52 cm, a = 8 cm. Намерете S1, V и k.

Решение:Основата на пирамидата е правилен десетоъгълник със страна b и апотема a.

Решение:S1 = S + B96 = S + B → B = b2 → b = ? P = 4 . b, 24 = 4 . b, b = 6 cm B = 62

B = 36 cm2

96 = S + 36S = 60 cm2

V = В . h3 = 36 . 4

3 = 48, V = 48 cm3

Решение:1. P = 4 . b 24 = 4 . b b = 6 cm

2. B = b . b B = 6 . 6 B = 36 сm2

4. V = В . h3

V = 36 . 43

V = 48 cm3

3. S1 = S + B 96 = S + 36 S = 60 cm2

1. B = P . a2

B = 52 . 82

B = 208 cm2

3. V = В . h3

V = 208 . 63

V = 416 cm3

2. S1 = S + B S1 = 260 + 208 S1 = 468 cm2

4. S = P . k2

260 = 52 . k2

260 = 26 . k k = 10 cm

57

O

O

O

ЗАДАЧА 3 Правилна триъгълна пирамида има V = 519 cm3, h = 12 cm, k = 13 cm и височина на основата hb = 15 cm. Намерете S и S1.

Решение:

ЗАДАЧА 4 Правилна шестоъгълна пирамида има S = 69 cm2, V = 55,2 cm3, k = 5 cm, a = 4 cm. Намерете b, h, S1.

Решение:

ЗАДАЧИ 1 Правилна четириъгълна пирами-да има обем V = 48 сm3, височина h = 4 сm и апотема k = 5 сm. На-мерете основния ръб b, околната повърхнина S и повърх нината S1 на пирамидата.

2 Правилна шестоъгълна пирамида има околна повърхнина S = 69 сm2, височина h = 3 сm, апотема k = 5 сm и апотема на основата a = 4 сm. Намерете основния ръб b, повърх-нината S1 и обема V на пирамидата.

3 Правилна петоъгълна пирамида има повърхнина S1 = 522 сm2, апо-тема k = 10 сm, апо тема на основата a = 8 сm и обем V = 464 сm3. Намерете основния ръб b, окол ната повърхни-на S и височината h на пирамидата.

4 Правилна триъгълна пирамида има височина h = 4 сm, обем V = 62,4 сm3 и повърхнина S1 = 124,8 сm2. Ако височината на основата е hb = 9 сm, намерете основния ръб b, апотемата k и околната повърхнина S на пира-мидата.

1. V = В . h3

519 = B . 123

519 = B . 4 B = 129,75 cm2

2. B = b . hb2

129,75 = b . 152

129,75 = b . 7,5 b = 17,3 cm

3. P = 3 . b P = 3 . 17,3 P = 51,9 сm

4. S = P . k2

S = 51,9 . 132

S = 337,35 cm2

5. S1 = S + B S1 = 467,10 cm2

1. S = P . k2

69 = P . 52

P = 27,6 cm2

2. P = 6 . b 27,6 = 6 . b b = 4,6 сm

3. B = P . a2

B = 27,6 . 42

B = 55,2 cm2

4. V = В . h3

55,2 = 55,2 . h3

h = 3 cm5. S1 = S + B S1 = 69 + 55,2 S1 = 124,2 cm2

58

26. ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ И РЪБЕСТИ ТЕЛА”

ЗАПОМНЕТЕ! Окръжност (k)

Кръг

Правилен многоъгълник

Права призма

Правоъгълният паралелепипед е вид права призма, на която основите са правоъ гълници.

Правилна призма е вид права призма, на която основите са правилни многоъ гълници.

О – център c = 2 . π . rr – радиус AB = 2r = d – диаметър π ≈ 3,14 ≈

– дъга AOC – централен ъгъл

– кръгов сектор B = π . r 2

АB = BC = CD = DE = EA = bA = B = C = D = Еa – апотемаP = n . b (n – брой на страните)

B =

Околни стени – правоъгълници, две основи – многоъгълници,S = P . h, S1 = S + 2 . B, V = B . h,където h е височината на призмата, h = l, P е периметърът на основата, B е лицето на основата.Σ = 2 . P + n . h (h = l),където Σ (сигма) е сборът от ръбовете на призмата.

59

Геометрично тяло, заградено от повърхнина, която се състои само от многоъгълници, се нарича многостен. Многоъгълниците се наричат стени, а техните страни – ръбове на многостена.Многостените се наричат още ръбести тела.

Правилна пирамида Околни стени – еднакви равнобедрени триъгълници,основа – правилен многоъгълник,

S = , S1 = S + B, V = ,където k е апотема на пирамидата, B = , a е апотема на основата.

Σ = P + n . l, където Σ (сигма) е сборът от ръбовете на пирамидата.

ЗАДАЧИ 1 Начертайте таблицата в тетрадките си и я попълнете за правил-на шестоъгълна призма с основен ръб b, апотема на основата a, периметър на основата P и лице на основата B. Височината на призмата е h, oколната повърхнина – S, повърхнината – S1, обе-мът – V, и сборът от всички ръбове – Σ.

ЗАДАЧА

Решение: а) P = 5 . b B = S = S1 = S + B V =

P = 58 B = 232 S = 290 S1 = 522 V = 464

б) B = P = 6 . b S1 = S + B S = V =

P = 34,8 b = 5,8 S = 226,2 k = 13 V = 348

в) P = 12 . b B = V = S = S1 = S + B

b = 5,2 B = 249,6 h = 6 k = 10 S1 = 561,6

Дадена е правилна n-ъгълна пирамида с основен ръб b и апотема на основата a. Пирамидата има височина h, апотема k, околна повърхнина S, повърхнина S1 и обем V. Попълнете таблицата:

п b (cm)

a (cm)

P (cm)

B (cm2)

h (cm)

k (cm)

S (cm2)

S1 (cm2)

V (cm3)

а) 5 11,6 8 ? ? 6 10 ? ? ?б) 6 ? 5 ? 87 12 ? ? 313,2 ?в) 12 ? 8 62,4 ? ? ? 312 ? 499,2

2 От правилна четириъгълна пирамида е отрязана правилна четириъгълна пира мида по показания на-чин. Като използвате означенията на чертежа (в сm), намерете обема и повърхнината на полученото тяло.

b(cm)

a(cm)

P(cm)

B(cm2)

h(cm)

S(cm2)

S1(cm2)

V(cm3)

Σ(cm)

а) 4,6 4 ? ? 10 ? ? ? ?б) ? ? 21 31,5 ? 126 ? ? ?в) ? ? 34,8 87 ? ? 348 ? ?г) ? 3,5 ? ? 10 ? ? 420 ?

60

27. “ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ И РЪБЕСТИ ТЕЛА”ТЕСТ № 1

1. Дължината на окръжност е 6π cm. Лицето на кръга, заграден от тази окръжност, в квадратни сантиметри е:

А) 3π; Б) 6π; В) 9π; Г) 12π.2. Права призма има височина 10 сm

и основа правоъгълен триъгълник с катети 5 сm и 12 сm. Обемът на при-змата в кубически сантиметри е:

А) 200; Б) 300; В) 400; Г) 600.3. Правилна петоъгълна пирамида има

основен ръб 6 сm и апотема 8 сm. Околната повърхнина на пирамидата в квадратни сантиметри е:

А) 120; Б) 160; В) 220; Г) 240.4. Пирамида има 18 ръба. Броят на сте-

ните на пирамидата е: А) 6; Б) 4; В) 9; Г) 10.5. Правилна триъгълна пирамида има

периметър на основата 27 cm и лице на околна стена 36 cm2. Апотемата k на пирамидата в сантиметри е:

А) 6; Б) 7; В) 8; Г) 9.

6. Обемът на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 9 сm и ви-

сочина, която е 23 от основния ръб,

в кубически сантиметри е: А) 162; Б) 232; В) 243; Г) 486.7. Околните стени на правилна шесто-

ъгълна призма са квадрати и сборът от дължините на всичките £ ръбове е 90 сm. Околната повърхнина на призмата в квадратни сантиметри е:

А) 120; Б) 140; В) 150; Г) 180.8. Тялото на чертежа е съставено от куб

и правилна четириъгълна пирамида. Ако височина-та на пирамидата е 6 cm и е равна на ръба на куба, намерете в кубически сантиметри:

а) обема на пирамидата; б) обема на тялото.9. Околната повърхнина на правилна

четириъгълна призма с височина h = 10 cm е 240 cm2. Намерете:

а) основния ръб на призмата (в cm); б) повърхнината на призмата (в cm2); в) обема на призмата (в cm3).10. Правилна шестоъгълна пирамида има

околна повърхнина 210 cm2, апотема на основата a = 6 cm, апотема на пира-мидата k = 10 cm и височина на пира-мидата h = 80 mm. Намерете обема на пирамидата в кубически сантиметри и повърхнината в квадратни сантиме-три.

61

“ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ И РЪБЕСТИ ТЕЛА”ТЕСТ № 2

1. Лицето на кръг с диаметър 12 cm в квадратни сантиметри е:

А) 6π; Б) 12π; В) 24π; Г) 36π.2. Призма има 24 ръба. Броят на върхо-

вете на призмата е: А) 8; Б) 10; В) 16; Г) 24.3. Основата на права призма е успоред-

ник с периметър 24 сm. Височината на призмата е 1,1 dm. Сборът от всич-ки ръбове на призмата в сантиметри е:

A) 44; Б) 48; В) 68; Г) 92.4. Правилна деветоъгълна пирамида

има периметър на основата 63 cm и лице на околната повърхнина 378 cm2. Апотемата k на пирамидата в сантиметри е:

А) 7; Б) 14; В) 6; Г) 12.5. Правилна четириъгълна призма има

периметър на основата 24 dm и лице на една околна стена 42 dm2. Обемът на призмата е:

А) 252 литра; Б) 25,2 dm2; В) 540 литра; Г) 504 dm2.

6. Колко пъти ще се увеличи обемът на правилна четириъгълна призма, ако основният ръб се увеличи 3 пъти, а височината – 4 пъти?

А) 7; Б) 12; В) 9; Г) 36. 7. Ако лицето на всяко квадратче е

1 cm2, лицето на оцветената фигура в квадратни сантиметри е:

А) 20; Б) 20 − 4 π; В) 20 + 2π; Г) 4π.8. Правилна шестоъгълна призма има

основен ръб b = 4 cm и апотема на основата а = 3,5 cm. Обемът на при-змата е 420 cm3. Намерете в квадратни сантиметри:

а) околната повърхнина на призмата; б) повърхнината на призмата.9. Права призма има обем V = 240 cm3

и основа правоъгълен триъгълник с хипотенуза 13 cm и катет 5 cm. Ако височината на призмата е 8 cm, наме-рете:

а) дължината на другия катет на ос-новата (в cm);

б) околната повърхнина на призмата (в cm2);

в) повърхнината на призмата (в cm2).10. Права призма има обем 120 cm3. Ос-

новата ѝ е ромб със страна 5 cm и ви-сочина 4 cm. Намерете повърхнината на призмата в квадратни сантиметри.

62

28. ПРАВ КРЪГОВ ЦИЛИНДЪР

Нарисуваните чаша, барабан, консервни кутии са пред мети, които имат форма на геометрично тяло, наречено прав кръгов цилиндър.

Опит Да разгледаме модел на прав кръгов цилиндър, направен от картон. Ако разрежем и разгънем този модел така, както е показано на чертежа, ще получим развивката на правия кръгов цилиндър.

Изводи: В правия кръгов цилиндър: • двата еднакви кръга (които при налагане съвпадат) се наричат основи на правия кръгов цилиндър; • правоъгълникът AMM1A1 се нарича цилиндрична повърхнина,

като AM = A1M1 = 2 π r – дължина на окръжността, заграждаща всяка от основите на цилиндъра;

AA1 = MM1 = h – височина на цилиндъра.

Цилиндърът е тяло, повърхнината на което е съставена от два кръга и цилин дри ч­на повърхнина.

!

Прав кръгов цилиндър може да се получи при пълно завъртане на правоъгълник AOO1A1 около една от страните му, например около OO1. При това въртене:

• отсечката AA1 описва цилиндрична повърхнина и се нарича образуваща l на правия кръгов цилиндър;• отсечките OA и O1A1 описват двата еднакви кръга и са радиусите на двете основи (OA = O1A1 = r); r се нарича радиус на цилиндъра;• отсечката OO1 остава върху правата o, която се нарича ос на въртене;• правоъгълникът ABB1A1 се нарича осно сечение на правия кръгов цилиндър;

63

• отсечката OO1 съединява центровете на двете основи и е перпен-дикулярна на двата радиуса OA и O1A1. Тя се нарича височина h на правия цилиндър,

h = OO1 = AA1 = l .

Освен прави кръгови цилиндри има и тела, които се наричат наклонени цилиндри.

На фиг. а) е изобразен прав кръгов цилиндър.

На фиг. б) е изобразен наклонен цилиндър.

Ще изучаваме само прав кръгов цилиндър и за по­кратко ще го наричаме цилиндър.

!а) б)

ЗАДАЧА Върху квадратна мрежа начертайте цилиндър с радиус r = 3 м. ед. и височина h = 8 м. ед. За начертания цилиндър:

Решение:Чертежът на цилиндър се състои от правоъгълник с измерения h = 8 м. ед., d = 2 . r = 6 м. ед.а), б) – отбелязани са на чертежа;в) оста на цилиндъра е правата ОО1;г) начертаните височини са AA1 = OO1 = BB1 = h;д) начертаните образуващи са AA1 = BB1 = l;е) OA = OB = O1B1 = O1A1 = r.

а) Отбележете центровете на основите с O и O1.б) Именувайте едно осно сечение с ABB1A1.в) Начертайте оста на въртене.г) Посочете начертаните височини.д) Посочете начертаните образуващи.е) Именувайте начертаните радиуси на основите.

Обикновено гледаме цилиндъра отпред и отгоре. Тогава виждаме основи­те, които са кръгове, леко “сплескани” и ги чертаем като геометрични фи­гури, наричани елипси. Например движението на Земята около Слънцето става по елипса.

ЗАДАЧИ 1 Даден е правоъгълник със страни a = 7 сm и b = 5 сm. Намерете r и h на цилиндъра, който се получава при за-въртането на правоъгъл ника около:а) страната a = 7 сm; б) страната b = 5 сm.

2 Върху квадратна мрежа (1 деление = = 1 cm) начертайте прав кръгов ци-лин дър с радиус r и височина h, ако:а) r = 1 сm, h = 3 сm; б) r = 2 сm, h = 5 сm; в) r = 3 сm, h = 2 сm.

64

29. ЛИЦЕ НА ПОВЪРХНИНА НА ПРАВ КРЪГОВ ЦИЛИНДЪР

ЗАДАЧА 1 На квадратна мрежа (1 деление = 1 cm) начертайте развивката на цилиндър с радиус r = 1 сm и височина h = 3 сm.

Решение:На квадратна мрежа (1 деление = 1 cm) начертаваме:1. правоъгълник AMM1A1 с измерения: AA1 = 3 cm, AM = 2 . π . 1 = 6,28 cm;2. два кръга с r = 1 сm, като: – единият има една обща точка с AM, – другият има една обща точка с A1M1

така, както е показано на чертежа.Правоъгълникът AMM1A1 е цилиндрич-ната повърхнина на цилиндъра с даде-ните размери. Лицето на правоъгълника AMM1A1 е лицето S на околната повърх-нина на този цилиндър: S = AM . AA1 = 2 . π . r . h = P . h.

Цилиндричната повърхнина и двете основи на цилиндъра образуват повърхнината (пълната повърхнина) на цилиндъра. Ако към лицето на околната повърхнина S прибавим лицата на двата кръга (всеки с лице B), получаваме лицето на повърхнината S1 на цилиндъра:

S1 = S + 2B.

Лицето на околната повърхнина на прав кръгов цилиндър се намира по формулата

S = 2 . π . r . h или S = P . h, където P = 2 . π . r, а r е радиусът на основата, h е височината на цилиндъра.Лицето на повърхнината на прав кръгов цилиндър се намира по формулата

S1 = S + 2 . B, където B = π . r2.

!

Формулите S = P . h и S1 = + 2 . B

са едни и същи за права призма и за прав кръгов цилиндър.

!

ЗАДАЧА 2 Намерете околната повърхнина и повърхнината на прав кръгов ци-линдър с радиус r = 2 сm и височина h = 5 сm.

65

Решение:

ЗАДАЧА 3 Намерете височината на цилиндър с r = 5 сm, ако повърхнината му е 160 π сm2.

Решението на Задача 2 ще е вярно, ако в отговора остане π, без да се замести с 3,14. Тогава S = 20 π сm2, S1 = 28 π сm2.

ЗАДАЧА 4 Кутия без капак с форма на прав кръгов цилиндър има диаметър на основата 14 сm и височина 20 сm. Колко материал е необходим за направата на 1000 такива кутии?Решение:От d = 2 . r = 14 сm → r = 7 сm.Кутия във форма на цилиндър без капак има повър хнина S + B.S + B = 2 π . r . h + π . r2 = 14 π . 20 + π . 72 = 280 π + 49 π = = (280 + 49) π = 329π = 329 . 3,14 = 1033,06 сm2

1000 . (S + B) = 1000 . 1033,06 = 10330601000 . (S + B) = 103,306 m2

По­рационално е първо да изразим търсената величина (S + B) чрез π и да заместим π с 3,14 в крайния израз (S + B = 329 π), ако това е необходимо (както в практическата Задача 4).

ЗАДАЧИ 1 Върху квадратна мрежа (1 м. ед. = = 0,5 cm) начертайте развивката на прав кръгов цилиндър с диаме-тър на основата 3 сm и височина 3,5 сm.

2 Радиусът на основата на цилин дър е 3 сm, а височината му е 6 сm. Наме-рете:а) лицето на околната повърх нина;

б) лицето на повърхнината на цилин-дъра.

3 Диаметърът на основата на ци лин-дър е 6 сm, а образуващата му е 80 mm. Наме рете околната повърх-нина и повърхни ната на цилин дъра.

4 Намерете повърхнината на цилин-дър, ако околната му повърхнина е 168π сm2 , а височината му е 12 сm.

1. S = 2 . π . r . h S = 2 . 3,14 . 2,5 S = 62,8 сm2

2. B = π . r2

B = 3,14 . 2 . 2 B = 12,56 сm2

3. S1 = S + 2 . B S1 = 62,8 + 2 . 12,56 S1 = 87,92 сm2

Решение:1. B = π . r2

B = π . 5 . 5 B = 25π сm2

2. S1 = S + 2 . B 160 π = S + 2 . 25 π 160 π = S + 50 π S = 160 π − 50 π S = (160 − 50) π S = 110 π сm2

3. S = 2 . π . r . h 110 π = 2 . π . 5 . h 10π . h = 110 π h = 11 сm

66

30. ОБЕМ НА ПРАВ КРЪГОВ ЦИЛИНДЪР

Опит Разполагаме с два съда с равни височини h = 7 сm, които нямат горна основа.• Първият съд има форма на правоъгълен паралелепипед с измерения на основата 8,1 сm и 6,2 сm. Тогава лицето на основата е B = 8,1 . 6,2 = 50,22 сm2, а обемът V = B . h е V = 50,22 . 7 = 351,54 сm3.• Вторият съд има форма на цилиндър с r = 4 сm. Тогава лицето на основата е B = π . r2 = 3,14 . 16 = 50,24 сm2.

cmcm

cm

cm

Vцилиндъра = ?

Лицата на основите на двата съда (с точност до 0,1) са 50,2 сm2, т.е. можем да приемем, че са равни.За да намерим обема на цилиндъра, срав-няваме обемите на двата съда:Напълваме първия съд напри мер с ориз (захар, течност, …) и го пресипваме във втория. Установяваме опитно, че съдър-жа нието на първия съд напълва точно втория съд, т.е. обемът на цилиндъра е също 351,54 сm3 и може да се получи по фор мулата V = B . h или V = π . r2 . h.

Този опит може да се направи и с други два съда − паралелепипед и цилиндър, които имат равни височини h и равнолицеви основи с лице B. Отново се получава, че обемът на цилиндъра е V = B . h.

Обемът на всеки цилиндър се намира по формулата V = B . h или V = π . r2 . h,

където B = π . r2 е лицето на основата, а h е височината на цилиндъра.

!

Формулата за обем на цилиндър V = B . h е същата като формулата за обем на права призма.

!

ЗАДАЧА 1 Намерете обема V на цилиндър с радиус r = 8 сm и височина h = 20 сm.Решение:V = π . r2 . hV = π . 82 . 20 = 64 . 20 π = 1280 πV = 1280 π сm3

67

ЗАДАЧА 2 Намерете обема на цилиндър с диаметър на основата 12 сm и височина 140 mm.Решение:d = 12 сm, 2 r = 12 сm, r = 6 сmV = π . r2 . hV = π . 62 . 14 = 36 . 14 . π = 504 πV = 504 π сm3

ЗАДАЧА 3 Намерете колко литра е вместимостта на затворен варел с форма на цилиндър с диаметър 80 сm и височина 1 m.

Решение:d = 80 сm = 8 dm, 2 . r = 8, r = 4 dmV = π . r2 . hV = π . 42 . 10 = 160 π, V = 160 . 3,14 = 502,4V = 502,4 dm3

От 1 dm3 = 1 L → V = 502,4 L.

ЗАДАЧА 4 Намерете височината на цилиндър с радиус r = 5 сm и обем V = 175π сm3.Решение:V = π . r2 . h175 π = π . 52 . h, 25 π . h = 175 π

h = 175π25π , h = 7 сm

ЗАДАЧА 5 Колко тежи арматурно желязо с форма на цилиндър, което е дълго 4 m и има напречно сечение кръг с диаметър 8 mm (специфичното тегло на желязото е 7,8 g/cm3)?

Решение:теглото = V . специфичното теглоV = π . r2 . h, r = 0,4 сmV = π . 0,42 . 400 = 0,16 . 400 π = 64 πV = 64 . 3,14 = 200,96, V = 200,96 сm3

Теглото е 200,96.7,8 = 1 567,488 g, т.е. 1,567 kg.

ЗАДАЧИ Ако r, d, h, B, S, S1, V са приетите означения за цилиндър, решете задачите:

1 r = 7 сm, h = 10 сm, V = ?2 d = 10 сm, h = 8 сm, V = ?3 r = 3 сm, h = 5 сm, V = ?, S = ?, S1 = ?4 r = 4 сm, S = 48π сm2, S1 = ?, V = ?5 r = 5 сm, S1 = 150π сm2, S = ?, V = ?6 Цилиндричен съд с диаметър 20 сm

има вместимост 4 литра. Намерете височината на съда.

7 Начертайте таблицата в тетрадките си и я попълнете.

r (cm) B (cm2) h (cm) V (cm3) 3 ? 2 ?4 ? ? 80π? 25π ? 100π? 36π 5 ?

8 Цилиндрична чугунена тръба с дължина 3 m има външен диаметър 12 сm и вътрешен диаметър 10 сm. Колко тежи тръбата (специфичното тегло на чугуна е 7,3 g/сm3)?

68

31. ПРАВ КРЪГОВ КОНУС

Нарисуваните отвес и шапка са предмети, които имат форма на гео-метрично тяло, наречено прав кръгов конус.Да разгледаме модел на прав кръгов конус, направен от картон. Ако разрежем и разгънем този модел така, както е показано на чертежа, ще получим развивката на правия кръгов конус.

В правия кръгов конус:• точката M се нарича връх на конуса;• кръгът се нарича основа на конуса;• фигурата AA1M се нарича околна повърхнина на конуса или ко-

нична повърхнина, а AM = A1M = l – образуваща на конуса.Коничната повърхнина е част от друг кръг, ограничена от дъга и два радиуса, равни на l, т.е. е кръгов сектор, на който отговаря цен-трален AMA1.Дължината на дъгата е равна на дължината на окръжността на основата, т.е. = 2π . r.

Конусът е тяло, повърхнината на което е съставена от един кръг и конична повърхнина.

!

Прав кръгов конус може да се получи при пълно завъртане на право-ъгълен AOM (AOM = 90°) около един от катетите му, например OM.

При това въртене:• отсечката MA описва коничната повърхнина и затова

се нарича образуваща l на правия кръгов конус;• отсечката OA описва кръга на основата (OA = OA1 =

= OA2 = r); r се нарича радиус на конуса;• отсечката OM остава върху правата o − оста на вър-

тене;• равнобедреният ABM се нарича осно сечение на

правия кръгов конус;• отсечката OM съединява върха на правия кръгов ко-

нус с центъра на основата O и се нарича височина h на правия кръгов конус, т.е. OM = h.

69

Освен прави кръгови конуси има и тела, които се наричат наклонени конуси.

На фиг. а) е изобразен прав кръгов конус, OM = h.

На фиг. б) е изобразен наклонен конус, OM не съвпада с h, a MH = h.

Ще изучаваме само прав кръгов конус и за по­кратко ще го наричаме конус.

!

h

a) б)

ЗАДАЧА Върху квадратна мрежа (2 деления = 1 cm) начертайте конус с радиус r = 1,5 сm и височина h = 4 сm.

Решение:Чертежът на конуса се състои от:• равнобедрен ABM с бедра MA = MB = l и основа диаметърът на окръжността;• елипса, която минава през точките A и B, AB = 2r, като частта откъм нас е видима.При чертане на равнобедрения ABM е по-удобно първо да начертаем правоъгълния AOM (O = 90°) с катети AO = r (=1,5 сm) и OM = h (= 4 сm).Начертаваме:1. AB = 2 r = 3 сm → точките A и B;2. O − средата на AB, OA = OB = r = 1,5 сm;3. AOM = 90°;4. OM = h = 4 сm → точката M;5. ABM;6. елипса през точките A и B.

ЗАДАЧИ 1 Даден е правоъгълен триъгълник с катети a = 3 сm, b = 4 сm и хи-потенуза c = 5 сm. Намерете r, l и h на конус, който се получава при завъртане на триъгълника около:а) катета a;б) катета b.

2 Даден е правоъгълен триъгълник с катети a = 5 сm, b = 12 сm и хи-потенуза c = 13 сm. Намерете r, l и

h на конус, който се получава при завъртане на триъгълника около:а) катета a;б) катета b.

3 Върху квадратна мрежа (1 деление = = 1 cm) начертайте прав кръгов ко-нус с радиус r и височина h, ако:а) r = 1 сm, h = 3 сm; б) r = 2 сm, h = 5 сm; в) r = 3 сm, h = 2 сm.

70

32. ЛИЦЕ НА ПОВЪРХНИНА НА ПРАВ КРЪГОВ КОНУС

ЗАДАЧА Начертайте развивката на конус с радиус r = 2 сm и образуваща l = 5 сm.

Допълваме коничната повърх нина (сектора AMA1) до цял кръг така, както е показано на чертежа. Този кръг има обиколка 2π . l.

Знаем, че ъгълът при центъра M на кръга е 360°.

На всеки кръгов сектор с ъгъл 1° отговаря дъга EE1 с дължина 2 . π . l

360 , т.е. EE1 = 2 . π . l

360 . На всеки кръгов сектор с ъгъл х° от­

говаря дъга AA1 с дължина 2 . π . l360 · x,

т.е. AA1 = 2 . π . l360 · x.

От друга страна, AA1 = 2 . π . r (обиколката на кръга – основа на конуса). Получаваме 2 . π . l

360 · x = 2 . π . r, x = r l · 360.

Тогава х°= r l · 360° е централният ъгъл, на който съответства дъга AA1

(

. Полу­чихме, че централ ният ъгъл на сектора, представляващ околната повърхни ­ на на конус, се намира по формулата х°= r

l · 360°.

Решение:С формулата(1) x° = r

l · 360° пресмятаме ъгъла, който образуват двете образуващи, и след това можем да начер-таем коничната повърхнина на конус по дадени r и l.Първо по формула (1) пре смятаме AMA1 = x°. x° = r

l · 360°

x° = 25 . 360° = 144°

Начертаваме:1. кръгов сектор AMA1 с l = 5 сm и AMA1 = 144° (освен линийка с

деления използваме пер гел и транспортир);2. произволна права през M, която пресича AA1

(

в точка T;3. точка O върху правата MT, такава, че OT = 2 сm;4. окръжност с център O и r = 2 сm.

71

Кръговият сектор AA1M е коничната повърхнина на конус с радиус r и образуваща l. Лицето на кръговия сектор AA1M съвпада с лицето S на околната по-върхнина на дадения конус.

Как ще намерим лицето на повърхнината S на конус с дадени r и l? Sконуса = Sкр. сектор

На всеки кръгов сектор с ъгъл 1° отговаря лице π . l2

360 .

На всеки кръгов сектор с ъгъл x° отговаря лице π . l2

360 · x. За да намерим лицето на този кръгов сектор, който е околна

повърхнина на конус с образуваща l и радиус r, заместваме x с израза x = r

l · 360:

π . l2

360 · x = π . l . l360 · r

l · 360 = π . r . l.За лицето на околната повърхнина S на прав кръгов конус получихме формулата S = π . r . l.

Лицето на околната повърхнина на прав кръгов конус се намира по формулата S = π . r . l,където r е радиусът на конуса, а l е образуващата на конуса.

!

Ако към лицето на околната повърхнина S прибавим лицето на осно-вата B, получаваме лицето на повърхнината (пълната повърхнина) на конуса S1 = S + B.

Лицето на повърхнината на прав кръгов конус се намира по формулата S1 = S + B,където S = π . r . l, а B = π . r2 е лицето на основата.

!

Формулата S = π . r . l може да се запише S = 2π . r . l2 или S = P . l

2 , където периме тъ рът P на основата е дължината 2π . r на окръжността.Получаваме, че чрез формулите S = P . l

2 и S1 = S + B могат да се намерят повърхнините на правилна пирамида и на прав кръгов конус при l = k.

ЗАДАЧИ 1 Намерете в градуси ъгъла x° меж-ду двете образуващи на коничната повърх нина, ако:а) r = 3 сm, l = 10 сm; б) r = 4 сm, l = 9 сm; в) r = 1 сm, l = 6 сm.

2 Начертайте развивката на прав кръ-гов конус, ако:а) r = 3 сm, l = 6 сm; б) r = 2 сm, l = 6 сm;в) r = 1 сm, l = 6 сm;г) r = 3 сm, l = 10 сm.

72

* Под “конус” ще разбираме “прав кръгов конус”.

33. ЛИЦЕ НА ПОВЪРХНИНА НА ПРАВ КРЪГОВ КОНУС. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Намерете лицето на околната повърхнина и лицето на повърхнината на конус* с радиус r = 7 сm и образуваща l = 11 сm.

ЗАДАЧА 2 Намерете лицето на повърхнината на конус с образуваща 12 сm, ако дължината на основата му е 14π сm.

ЗАДАЧА 3 Намерете образуващата на конус с диаметър 12 сm и лице на повърхни-ната 96 π сm2.

Решение:

1. S = π . r . l S = π . 7 . 11 S = 77 π сm2

3. S1 = S + B 96 π = S + 36 π S = 96 π − 36 π S = (96 − 36) π S = 60 π сm2

1. c = 2 π . r 14 π = 2 π . r r = 14π

2π r = 7 сm

2. B = π . r2

B = π . 7 . 7 B = 49 π сm2

3. S1 = S + B S1 = 77 π + 49 π S1 = (77 + 49) π S1 = 126 π сm2

Решение:2. S = π . r . l S = π . 7 . 12 S = 84 π сm2

3. B = π . r2

B = π . 7 . 7 B = 49 π сm2

4. S1 = S + B S1 = 84 π + 49 π S1 = (84 + 49) π S1 = 133 π сm2

Решение:1. d = 2 . r 12 = 2 . r r = 6 сm

2. B = π . r2

B = π . 6 . 6 B = 36 π сm2

4. S = π . r . l 60 π = π . 6 . l l = 60π

6π l = 10 сm

73

ЗАДАЧА 4 Правоъгълен ABC с катети AC = 3 сm и BC = 4 сm има височина към хипотенузата CO = 2,4 сm. Ако този триъгълник е завъртян около хипотенузата AB, намерете повърхнината на полученото тяло.

Решение:Полученото тяло е съставено от два ко-нуса с обща основа, която е кръг с радиус r = CO = 2,4 сm. Търсената повърхнина Sт е сбор от окол-ните повърхнини на двата конуса:Sт = π . r . l1 + π . r . l2 = = π . 2,4 . 4 + π . 2,4 . 3 = = π . 2,4 . (4 + 3) = = π . 2,4 . 7 = 16,8πSт = 16,8π сm2.

ЗАДАЧА 5 Правоъгълният трапец ABCD е завъртян около малката си основа CD. По данните на чертежа (в cm) намерете повърхнината на полученото тяло.

Решение:Полученото тяло е съставено от цилиндър с издълбан в него конус.цилиндър конусr = 3 cm r = 3 cmh = AB = 10 cm l = 5 cm

Sт = Sцилиндър + Sконус + B

Sт = 2 . π . r . h + π . r . l + π . r2

Sт = 2 . π . 3 . 10 + π . 3 . 5 + π . 3 . 3Sт = (60 + 15 + 9) πSт = 84π сm2

ЗАДАЧИ 1 Прав кръгов конус с радиус 8 сm има образуваща 10 сm. Намерете повърхни ната на конуса.

2 Прав кръгов конус с диаметър 12 сm има образуваща 8 сm. Намерете повърхни ната на конуса.

3 Околната повърхнина на прав кръгов конус е 77π сm2, а образуващата му е 11 сm. Намерете повърхнината на конуса.

4 Правоъгълен триъгълник с катети a = 10 сm и b и хипотенуза c = 26 сm

е завъртян около катета b. Намерете околната и пълната повърх нина на полу ченото тяло.

5 Правоъгълен трапец с основи 13 cm и 7 cm и бедра 8 cm и 10 cm е завъртян около голямата си основа. Намерете повърхнината на полученото тяло.

6 Правоъгълен трапец с основи 14 cm и 10 cm и бедра 3 cm и 5 cm е завър-тян около малката си основа. Наме-рете повърхнината на полученото тяло.

74

34. ОБЕМ НА ПРАВ КРЪГОВ КОНУС

Опит Разполагаме с два съда с форма на прав кръгов конус без основа и прав кръгов цилиндър без горна основа.

• Двата съда имат равни височини h.• Двата съда имат равни радиуси r на основите, т.е.

основите им са кръгове с равни лица B = π . r2.

Напълваме тялото с форма на конус с ориз (захар, теч-ност, …) и пресипваме в тялото с форма на цилиндър. Установя ваме, че цилин дърът се напълва след третото пресипване, т.е.Vцил. = 3 . Vконуса или Vконуса = 1

3 . Vцил.

За обема на конуса получихме Vk = 1

3 . B . h или Vk = 1

3 π . r2 . h.

Опитно намерихме, че

Обемът на всеки конус се намира по формулата V = 1

3 . B . h или V = 13 π . r2 . h,

където B = π . r2 е лицето на основата, а h е височината на конуса.

!

Формулата за обем на конус V = 13

. B . h е същата като формулата за обем на пирамида.

!

ЗАДАЧА 1 Намерете обема на прав кръгов конус с радиус r = 5 сm и височина h = 9 сm.

ЗАДАЧА 2 Намерете височината на конус с радиус 9 сm, ако обемът на конуса е 540π сm3.

1. B = π . r2

B = π . 5 . 5 B = 25 π сm2

Решение:2. V = 1

3 . B . h

V = 13

. 25π . 9 V = 75 π сm3

Решение:1. B = π . r2

B = π . 9 . 9 B = 81 π сm2

2. V = 13

. B . h

540 π = 13

. 81π . h

h = 540π27π

h = 20 сm

75

ЗАДАЧА 3 Правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 4 cm има хипотенуза 5 cm. Намерете обема и повърхнината на тялото, получено при завъртане на триъгълника около: а) по-големия катет; б) хипотенузата.

Решение:а) Полученото тяло е конус с r = 3 cm, h = 4 cm, l = 5 cm.1. Sт = π . r . l + π . r2 Sт = π . 3 . 5 + π . 32 Sт = 24 π cm2

2. Vт = π . r 2. h3

Vт = π . 9 . 43

Vт = 12 π cm3

б) Полученото тяло е съставено от два конуса с обща основа:

конус 1 има l1 = 4, h1, r; конус 2 има l2 = 3, h2, r, като h1 + h2 = 5, а r е височината към хипотенузата в

правоъгълния триъгълник.

Използваме формулите за лице на правоъгълен триъгълник.От c . hc

2 = a . b2 получаваме 5 . r

2 = 3 . 42 или r = 2,4 cm.

ЗАДАЧИ 1 Намерете обема на конус с диаме-тър на основата 12 сm и височина 100 mm.

2 Начертайте табли цата в тетрадките си и я попълнете за конус с радиус r, лице на основата B, височина h и обем V.

на съда, ако радиусът на конуса е 1,5 m.

4 Даден е правоъгълен триъгълник с катети a = 6 сm, b = 8 сm и хипотенуза c = 10 сm. Намерете S, S1 и V на ко-нус, който се получава при завъртане на триъгълника около:а) катета a; б) катета b.

5 Правоъгълен трапец с основи 10 сm и 6 сm и бедра 3 сm и 5 сm е за-въртян около голямата си основа. Намерете повърх нината и обема на полученото тяло.

r (cm) B (cm2) h (cm) V (cm3)3 ? 5 ?5 ? ? 75π ? 36π ? 96π ? 49π 12 ?

3 Вместимостта на съд с форма на ко-нус е 4710 L. Намерете височината

1. Повърхнината на тялото е сбор от окол ните повърхнини на двата конуса:

Sт = π . r . l1 + π . r . l2 Sт = π . r . (l1 + l2) Sт = π . 2,4 . 7 Sт = 16,8π cm2.

2. Обемът на тялото е сбор от обемите на двата конуса:

Vт = π . r 2. h13 + π . r 2. h2

3

Vт = π . r2

3 · (h1 + h2)

Vт = π . 2,4 . 2,43 · 5

Vт = 9,6π cm3.

76

35. СФЕРА. ЛИЦЕ НА ПОВЪРХНИНА НА СФЕРА

* Формулата се извежда в следващите класове.

Топката, балонът и другите предмети от фигурата имат формата на геометричното тяло кълбо. Кълбото е огра-ничено от повърхнина, която се нарича кълбовидна (сферична) повърхнина или сфера.Сфера може да се получи при пълно завъртане на по-луокръжност (окръжност) с център O и радиус r около диаметър.Точката O е център и на сферата, защото всички точки от нея са на равни раз стояния r от точката O.Отсечката, която съединява точка от сферата с центъра O, се нарича радиус на сферата. OA = OA1 = OA2 = OM = OM1 = … = rОтсечката, която съединява две точки от сферата и ми-нава през центъра O, се нарича диаметър на сферата. AA3 = A1A2 = 2r = dОкръжност с център O и диаметър 2r се нарича голя-ма окръжност на сферата. Тя разделя сферата на две полусфери.

Сферата има: център O, радиус r, диаметър d = 2r, голяма окръжност k, k1, k2 …

Модел на сфера получаваме чрез три големи окръжности k, k1 и k2, като чертаем:• едната – k (O; r), в истинската и� големина;• другите две – окръжностите k1 и k2, като елипси, които минават през краищата на два взаимноперпендикулярни диаметъра.

Както и да разрежем сферата, не можем да я разгънем така, че да се получи равнинна фигура, т.е. сферата няма развивка. Формулата* , по която се намира лицето на сфера, е S = 4π . r2.

Лицето на сфера се намира по формулата S = 4π . r2,където r е радиусът на сферата.

!

77

Сферата е повърхнина. Затова под “лице на сфера” разбираме лицето на повърхнината, която е сфера.

Лицето на кръг, заграден от голяма окръжност, е π . r2. Тогава лицето на сферата е 4 пъти по­голямо от лицето на този кръг, т.е. S = 4 π . r2.

!

ЗАДАЧА 1 Намерете лицето на сфера с радиус: a) r = 10 сm; б) r = 2 сm.

Решение: S = 4 π . r2 а) S = 4 . 3,14 . 102 S = 4 . 3,14 . 100 S = 4 . 314 S = 1 256 сm2

ЗАДАЧА 2 Намерете радиуса на сфера, ако лицето £ е: а) S = 324 π сm2; б) S = 452,16 m2.

Решение: S = 4 π . r2

а) 324 π = 4 π . r2

4π . r2 = 324 π

r2 = 324π

4π r2 = 81От r2 = 92 съобразяваме, че r = 9 сm.

б) 452,16 = 4 . 3,14 . r2

4 . 3,14 . r2 = 452,16 r2

= 452,164 . 3,14

r2 = 36От r2 = 62 съобразяваме, че r = 6 сm.

ЗАДАЧА 3 Лицето на сфера е 4 069,44 сm2. Намерете нейния радиус.Решение: S = 4 π . r2

4 069,44 = 4 . 3,14 . r2

4 . 3,14 . r2 = 4 069,44 r2

= 4 069,444 . 3,14

r2 = 324За да намерим r, разлагаме 324 на прости множители →324 = 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 = (2 . 3 . 3) . (2 . 3 . 3) = 18 . 18 = 182.От r2 = 182 съобразяваме, че r = 18 сm.

ЗАДАЧИ 1 Намерете лицето на сфера с радиус:а) r = 3 сm; б) r = 12 сm;в) r = 1,5 сm; г) r = 2,5 сm.

2 Намерете радиуса на сфера, ако лицето £ е:а) S = 196π сm2; б) S = 256π m2;в) S = 100π dm2; г) S = 100π m2.

3 Намерете радиуса на сфера, ако ли-цето £ е:а) S = 50,24 m2; б) S = 113,04 сm2.

4 Като използвате разлагането на чис-ла на прости множители, намерете радиуса на сфера, ако лицето £ е:а) S = 17 424π сm2; б) S = 2 704π m2;в) S = 1 764π dm2; г) S = 1 296π m2.

б) S = 4 . 3,14 . 22 S = 4 . 3,14 . 4 S = 16 . 3,14 S = 50,24 сm2

78

36. КЪЛБО. ОБЕМ НА КЪЛБО

Кълбото е тяло, повърхнината на което е сфера. Къл-бото и ограничаващата го сфера имат общ център и един и същ радиус.

Кълбото има: център O, радиус r, диаметър d = 2r, голeми кръгове k, k1, k2.

Модел на кълбо чертаем така, както чертаем модел на сфера.Една голяма окръжност загражда кръг, който се нарича голям кръг на кълбото (сечение на кълбото, което минава през центъра О).Всеки голям кръг разделя кълбото на две полу кълба.

Кълбото може да се получи при пълно завъртане на полукръг (кръг) с център O и радиус r около диаметър. При това завъртане съответната полуокръжност (окръж-ност) описва кълбовидна повърхнина (сфера) със същия център и същия радиус.

Повърхнината на кълбо с радиус r се намира по формулата S = 4 π . r2.

Лицето на повърхнината на кълбото е лицето на сферата, която загражда кълбото, т.е. S = Sкълбо = Sсфера = 4π . r2.

!

За да намерим обема на кълбото, правим следния опит:

Опит Разполагаме с метално кълбо с радиус r. За да намерим обема на това кълбо, ще го потопим в съд с вода. За удобство избираме съд с цилиндрична форма (мензура с деления) с радиус на основата 2 . r и височина например 6 . r.

79

2r

2r 2r

r3

В съда наливаме вода до делението, което отгова ря на 2.r. Потапяме кълбото и отчитаме по деленията, че нивото на водата в цилин-дъра се покачва с r

3 . Тогава обемът на кълбото е равен на обема на изместе ната течност, т.е. на цилиндър с радиус 2.r и височина r

3 : Vкълбо = Vцилиндър, където

Vцилиндър = B . h = π . (2 . r)2 · r3 = π . 4 . r 2 · r

3 = 43 π . r 3.

Обемът на кълбо се намира по формулата V = 43 π . r 3, където r е радиусът на кълбото.

!Този опит ни дава основание да приемем, че Vкълбо = 4

3 π . r 3.

ЗАДАЧА 1 Намерете обема на кълбо, ако: а) r = 3 сm; б) d = 8 сm.Решение:

V = 43 π . r 3 a) V = 4

3 π . 33

V = 43 · 3,14 . 33

V = 36 . 3,14

V = 113,04 cm3

ЗАДАЧА 2 Намерете обема на кълбо, което има повърхнина 36 π сm2.Решение:1. S = 4 π . r2

36 π = 4 π . r2

r2 = 36π4π

r2 = 9 r = 3 cm

ЗАДАЧИ 1 Намерете обема на кълбо със: а) r = 6 сm; б) d = 10 сm.

2 Намерете обема на кълбо с повър х-нина: а) 324π сm2; б) 576π сm2.

3 Полукръг с диаметър d се върти около диаметъра си. Намерете по-върхнината и обема на полученото тяло, ако:а) d = 12 сm; б) d = 18 сm.

б) d = 2 . r = 8, r = 4 cm V = 4

3 · 3,14 . 43

V = 4 . 3,14 . 643

V = 803,843

V ≈ 268 cm3

2. V = 43 π . r 3

V = 43 π . 33

V = 43 π . 27

V = 36π cm3

80

37. ПОВЪРХНИНА И ОБЕМ НА КЪЛБО. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Намерете радиуса на кълбото, ако обемът му е:

а) V = 323 π сm3; б) V = 288π сm3.

Решение:

V = 43 π . r 3 a) 32

3 π = 43 π . r 3

r3 = 323 π43 π

r3 = 323 · 3

4 r3 = 8 r3 = 23

От r3 = 23 намираме, че r = 2 сm.

б) 288 π = 43 π . r 3

r3 = 288 π43 π

r3 = 216Като разложим 216 на прости множите ли, получаваме216 = 2 .2 .2 .3 .3 .3 = = (2 .3) . (2 .3) . (2 .3)216 = 63.От r 3 = 63 намираме, чеr = 6 сm.

441 3147 3

49 77 71

ЗАДАЧА 2 Повърхнината на кълбо е 1 764π сm2. Намерете обема му.

Решение:

1

7

ЗАДАЧА 3 Обемът на полукълбо е 18π сm3. Намерете повърхнината на полукълбото.

2. Sполукълбо = 2π .r 2 + π .r 2

Sполукълбо = 3π .r 2

Sполукълбо = 3π .32

Sполукълбо = 27π cm2

1. S = 4π . r2 4π . r2 = 1 764π

r2 = 1 764π4π

r2 = 441 441 = 3 .3 .7 .7 441 = (3 .7) . (3 .7) 441 = 21 . 21 = 212.От r 2 = 212 намираме, че r = 21 сm.

2. V = 43 π . r 3

V = 43 π . 213

V = 43 π . 21 . 212

V = 28π . 441 V = 12 348π сm3

Решение:

1. Vполукълбо = 23 π . r 3

23 π . r 3 = 18π

r3 = 18π : 23 π

r3 = 27 r = 3 cm

81

ЗАДАЧА 4 Повърхнината на сфера с радиус r е 15 cm2. Намерете повърхнината на сфера с радиус r1 = 3r.

Решение:

S1 = 4 π . r12 =

= 4 π . (3 . r)2 = = 4 π . 9 . r2 = = 9 . 4 π . r2 S1 = 9 . S = = 9 . 15 = = 135S1 = 135 cm2

ЗАДАЧА 5 Обемът на кълбо с радиус r e 32 cm3. Намерете обема на кълбо с радиус r1 = r

2 .

Решение:

Ако увеличим радиуса на сфера 3 пъти, повърхнината и се увеличава 9 пъти (= 32) (Задача 4). Ако намалим радиуса на кълбо 2 пъти, обемът му се намалява 8 пъти (23) (Задача 5).

ЗАДАЧИ 1 Намерете радиуса на кълбо, ако обемът му е 113,04 сm3.

2 Намерете колко тежи кълбо с радиус 30 сm, ако специфичното тегло на материала, от който е направено кълбото, е 2,3 g/сm3.

3 Как ще се измени обемът на кълбо, ако радиусът му:а) се увеличи 3 пъти; б) се намали 2 пъти?

4 Намерете лицето на повърхни-ната на кълбо, ако обемът му е 4500π сm3.

5 Радиусът на кълбо е 6 сm. Намерете с колко ще се увеличи S и V на къл-бото, ако радиусът му се увеличи с 3 сm.

6 Тяло е образувано от цилиндър и полу-кълбо с обща осно-ва. Ако радиусът на полу кълбото е 3 cm, а височината на цилин-дъра е 10 cm, намерете повърх нината и обема на тялото.

S = 4π .r 2 = 15 cm2

V = 43 π . r 3 = 32 cm3

V1 = 4

3 π . r 13 =

= 43 π · ( r

2 )3 =

= 43 π · r3

8 =

= 43 π . r 3 · 1

8

V1 = V · 1

8 =

= 32 · 18

V1 = 4 cm3

82

38. ВАЛЧЕСТИ ТЕЛА. ПРАКТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ.УПРАЖНЕНИЕ

4 43 3 4

4 9 44 9

4

3 2

2 2

2

2

⋅ =

=

=

π π

π ππ

π

. . .

. . ...

h

h

h

h == 9 cm

ЗАДАЧА 1 От 4 метални кълба с радиус 3 сm е направен чрез претопяване цилиндър с радиус 4 сm. Намерете височината на цилиндъра.Решение:

4.Vкълбо = Vцилиндър

ЗАДАЧА 2 Чаша за вода има форма на прав кръгов цилиндър с диаметър на осно-вата 7 сm и височина 87 mm. Колко пълни чаши вода са необходими за отмерването на един литър?Решение: d = 2 .r, r = 3,5 сm, h = 87 mm = 8,7 cm

ЗАДАЧА 3 Цилиндрична чугунена тръба има дължина 2 m, вътрешен диаметър 10 сm и външен диаметър 14 сm. Определете масата (теглото) на тръбата, ако знаете, че плътността на чугуна е 7,3 g/сm3.Решение:

1. B = π.r2 B = π .3,52 B = 3,14.12,25 B = 38,465 сm2

За да намерим обема на тръбата, от обема на външния цилиндър изваждаме обема на вътрешния цилиндър.r1 = 14

2 = 7 cm, r2 = 10

2 = 5 cm, h = 2 m = 200 сm

1. V1 = π .r12.h

V1 = π .72.200 V1 = 200.49π cm3

2. V = B .h V = 38,465.8,7 V = 334,6455 V ≈ 334,6 сm3

3. Превръщаме 1 L вода в сm3 → 1 L = 1 dm3 = 1000 cm3. Тогава 1000 : 334,6 ≈ 2,9886 ≈ 3. 1 литър се отмерва с 3 чаши.

2. V2 = π .r22.h

V2 = π .52.200 V2 = 200.25π cm3

3. V1 − V2 = 200.49π − 200.25π V1 − V2 = 200π.(49 − 25) V1 − V2 = 4800π V1 − V2 = 15072 сm3

4. 15072.7,3 = 110 025,6 g ≈ 110 kg Тръбата тежи 110 kg.

83

2 m

160 cm

V

ЗАДАЧА 4 Колко литра вода се изпомпват от кладенец с диаметър 160 сm, ако нивото на водата се понижава с 2 m?

Решение: r = 1602 = 80 cm = 8 dm, h = 2 m = 20 dm

ЗАДАЧА 5 Баща подарил на трите си деца златни бижута с форма на цилиндър, кълбо и конус (размерите в милиметри са дадени на чертежа). Сравнете подаръците по обем.Решение:

V1 = π .32.4 V1 = 36π mm3

Подаръците и на трите деца са с равни обеми.

ЗАДАЧИ 1 Намерете колко тежи кълбо, ако диаме търът му е 20 сm, а 1 сm3 от мате риала, от който е направено кълбото, тежи 2,4 g.

2 Кутия за кафе има форма на прав кръ гов цилиндър с диаметър на основата 10 сm и височина 13 сm. Намерете:а) вместимостта на една такава кутия;

б) колко квaдратни метра ма териал са необходими за напра вата на 1 000 такива кутии, като се знае, че капа-кът се изработва от друг материал.

3 Колко литра вода има в кладенец с диаметър 140 сm и дълбочина 6 m, ако водата заема 2

3 от кладенеца?

4 Цилиндрична чугунена тръба с дъл жи на 3 m има външен диаметър 16 сm и вътрешен − 12 сm. Опреде-ле те масата на тръбата, ако плът-ността ѝ е 7,3 g/сm3.

5 Бойлер има цилиндрична форма с диаметър на основата 32 сm и вмести мост 80 литра. Намерете дъл-жината на бойлера.

6 От медно парче с форма на цилин-дър е изтеглен проводник. Медното парче има дължина 2,5 m и диаметър 2,5 сm, а изтегленият проводник е с диаметър 2,5 mm. Намерете дължи-ната на про водника.

1. B = π.r2 B = π .82 B = 64 π dm2

2. V = B .h V = 64π .20 V = 1 280π V = 4 019,2 dm3

V = 4 019,2 литра

От кладенеца се изпомпват 4 019,2 литра вода.

V2 = 43 π .33

V2 = 36π mm3

V3 = π . 62. 33

V3 = 36π mm3

84

39. ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “ВАЛЧЕСТИ ТЕЛА”

ЗАПОМНЕТЕ!

Прав кръгов цилиндър

l − образуващаl = hS = P . h = 2π . r . hS1 = S + 2 . B, B = π . r2

V = B . h = π . r2 . h

Прав кръгов конус

l − образуващаl > hS = = π . r . l

S1 = S + B, B = π . r2

V = =

Кълбо, сфера

S = 4 π . r2

V = 43 π . r3

Полукълбо

S = Sкълбо + π . r2

V = Vкълбо

Формулите за околна повърхнина на конус и цилиндър са открити от Архимед (287 – 212 г. пр.н.е.). Формулите за лице на сфера и обем на кълбо са изведени от Архимед в неговото произведение “За кълбото и цилиндъра”.

ЗАДАЧА 1 За прав кръгов конус знаем, че r = 60% от l и периметърът на осното му сечение е 64 cm. Намерете S и S1 на конуса.Решение:1. r = 60% . l r = 0,6 . l

2. PABM = 2 . r + 2 . l 64 = 2 .0,6 . l + 2 . l 3,2 . l = 64 l = 20 cm

3. r = 0,6 . 20 r = 12 cm

4. S = π . r . l S = π . 12 . 20 S = 240 π cm2

5. B = π.r2 B = π .122 B = 144 π сm2

6. S1 = S + B S1 = 240 π + 144 π S1 = 384 π cm2

85

3

3

10

3

4 5

ЗАДАЧА 2 Разполагаме с два цилиндрични съда с равни височини h = 24 сm и различни диаметри на основите d1 = 12 сm и d2 = 8 сm. В първия съд има сироп, който заема част от вместимостта му. Ако прелеем сиропа от първия съд във втория, до каква височина на съда ще достигне той?

Решение:Обемът на сиропа в І съд е:V = π . r1

2 . h1 → h1 = . 24 = 8 cmV = π . 62 . 8 = 36 . 8 πV = 36 . 8 π сm3.Обемът на сиропа във втория съд също е V (h2 = ?): V = π . r2

2 . h2 = π . 42 . h2 V = 16 π . h2 cm3.Тогава 36 . 8 π = 16 π . h2

h2 = = 18, h2 = 18 сm.

ЗАДАЧА 3 Намерете S и V на тялото, показано на чертежа, състоящо се от цилиндър, конус и полукълбо (измеренията са в сантиметри).

Решение:S = . 4 π . r2 + 2 π . r . h + π . r . l = = 2 π . 9 + 2π . 3 . 10 + π . 3 . 5 = = 18 π + 60 π + 15 π = 93 π , S = 93 π сm2

V = . 43 π . r3 + π . r2 . h + =

= π . 27 + π . 9 . 10 + =

= 18 π + 90 π + 12 π = 120 π, V = 120 π сm3

ЗАДАЧИ 1 От цилиндър с обем 45 dm3 е изрязан конус, както е пока-зано на чертежа. Намерете обема на изрязаната част.

2 Тяло е образувано от конус и полукълбо с обща основа. По данните на чертежа (в cm) намерете повърхнината и обема на тялото.

4 Намерете S и V на тялото, показано на чертежа, състоящо се от цилин дър и конус (измеренията са в сан-тиметри).

3 От цилиндър с обем 72 cm3 е изрязан конус, както е показано на чертежа. Ако радиусът и висо чината на конуса са съответно от радиуса и от височи-ната на цилиндъра, намерете обема на конуса.

5 Намерете повърхнина-та на тялото, показано на чертежа − полукъл-бо с радиус 12 сm, в което е издълба но по-лукълбо с радиус 6 сm.

6 Кълбо има радиус 3 сm. С колко ще се увели чат повърхнината и обемът на кълбото, ако радиусът му се уве-личи с 6 сm?

86

40. ТЕСТ ВЪРХУ ТЕМАТА “ВАЛЧЕСТИ ТЕЛА”

1. Околната повърхнина S на прав кръ-гов цилиндър с диаметър d = 4 cm и h = 5 cm в квадратни сантиметри е:

А) 10 π; Б) 20 π; В) 40 π; Г) 52 π.

2. Повърхнината на конус с диаметър d = 8 cm и образуваща 0,5 dm в ква-дратни сантиметри е:

А) 20 π; Б) 36 π; В) 40 π; Г) 52 π.

3. Лицето на сфера с диаметър 6 cm в квадратни сантиметри е:

А) 36 π; Б) 56 π; В) 72 π; Г) 144 π.

4. Околната повърхнина на конус с образуваща 13 cm и височина 12 cm e 65 π cm2. Обемът V на конуса в ку-бически сантиметри e:

А) 60 π; Б) 100 π; В) 120 π; Г) 300 π.

5. Ако увеличим радиуса на сфера 2 пъ-ти, повърхнината £ се увеличава:

А) 2 пъти; Б) 3 пъти; В) 4 пъти; Г) 8 пъти.

6. Обемът V на цилиндър с h = 5 cm и S = 30π cm2 в кубически сантиметри е:

А) 15 π;

* Разбираме прав кръгов цилиндър, прав кръгов конус.

Б) 30 π; В) 39 π; Г) 45 π.

7. Прав кръгов конус с височина 24 cm и образуваща 26 cm има обем 800 π cm3. Околната повърхнина на конуса в квадратни сантиметри е:

А) 130 π; Б) 160 π; В) 234 π; Г) 260 π.

8. Правоъгълник с по-малка страна 4 cm е завъртян около по-голямата си стра-на. Ако повърхнината на полученото тяло е 80 π cm2, намерете:

а) периметъра на правоъгълника в сантиметри;

б) обема на полученото тяло в куби-чески сантиметри.

9. Обемът на тялото, показано на чер-тежа, е 250 π cm3. По данните на чертежа намерете:

а) диаметъра на цилиндъра в санти-метри;

б) обема на цилиндъра в кубически сантиметри;

в) обема на конуса в кубически сан-тиметри.

10. Тяло е образувано от конус и полукълбо с обща основа. По дан-ните на чертежа (в cm) намерете повърхнина-та и обема на тялото.