Matematika 1 - mat.fsv.cvut.czmat.fsv.cvut.cz/Ivana/p11ver3.pdf · 11. pˇredn ´aˇska (15.12.2010) Matematika 1 11 / 29 Budeme pouzˇ´ıvat n asleduj´ ´ıc´ı ozna ˇcen ´ı

Matematika 1

11. prednaska

MA1

1 Opakovanı

2 Determinant

3 Adjungovana matice

4 Cramerovo pravidlo

5 Vlastnı cısla a vlastnı vektory matic

6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .

11. prednaska (15.12.2010) Matematika 1 1 / 29

AMOS - prihlasovanı na zkousky

”predtermın” se nekona

strany skript 49 - 61


1 Opakovanı

2 Determinant






OpakovanıOperace s maticemi . . .Soucet matic (

a bc d

)+

(1 −10 3

)=

(a + 1 b − 1

c d + 3

),

skalarnı nasobek matice (ev. vytykanı)

15(

a bc d

)=

(15 a 15 b15 c 15 d

),

transpozice matice (a bc d

)T=

(a cb d

).

Soucin matic (nekomutativnı !!!) (a bc d

) (1 −10 3

)=

Nulova matice a jednotkova matice(0 0 00 0 0

),

(1 00 1

).


OpakovanıOperace s maticemi . . .Soucet matic (

a bc d

)+

(1 −10 3

)=

(a + 1 b − 1

c d + 3

),

skalarnı nasobek matice (ev. vytykanı)

15(

a bc d

)=

(15 a 15 b15 c 15 d

),

transpozice matice (a bc d

)T=

(a cb d

).

Soucin matic (nekomutativnı !!!)(a bc d

) (1 −10 3

)=

(a −a + 3bc −c + 3d

).

Nulova matice a jednotkova matice(0 0 00 0 0

),

(1 00 1

).


OpakovanıInverznı matice.

”(A |E) → (E |A−1)”,

(1 2 1 0−3 −2 0 1

)∼(

1 2 1 00 4 3 1

)∼(

1 2 1 00 1 3

414

)∼

∼(

1 0 − 12 − 1

20 1 3

414

).

AX = E .

Maticove rovnice.

XA + 7X = B − XB

XA + 7X + XB = B

X(A + 7E + B) = B

a bud a) resit soustavu X(A + 7E + B) = B (neboli (A + 7E + B)T X T = BT ),nebo b) vypocıtat X = B(A + 7E + B)−1, jestlize je matice A + 7E + B regularnı.


1 Opakovanı

2 Determinant






Permutace usporadane n-tice prvku 1, 2, 3, . . . , n.

Inverze je dvojice cısel v permutaci, pro kterou platı, ze hodnoty jsou v opacne relaci nez pozice.Pocet inverzı v permutaci (s1, s2, . . . , sn) oznacıme P(s1, s2, . . . , sn).

Napr. (1, 3, 2, 4) ma jen jednu inverzi (3, 2), tedy P(1, 3, 2, 4) = 1.Napr. P(2, 3, 1, 4, 5, 6, 7) = 2.

Znamenı permutace je (−1)P(s1,s2,...,sn).

Napr.(−1)P(2,1,3) = −1, (−1)P(1,2,3) = 1, . . . .

DefiniceJe-li A ctvercova matice typu n × n, je jejı determinant

det A =∑

(s1,s2...,sn)

(−1)P(s1,s2...,sn)a1,s1 a2,s2 . . . an,sn ,

kde scıtame pres vsechny permutace (s1, s2 . . . , sn) cısel (1, 2 . . . , n) (pocet scıtancu ve vzorci jetedy n!).

Cıslo P(s1, s2 . . . , sn) je pocet inverzı v permutaci (s1, s2 . . . , sn).


Determinant matice typu 1× 1 je hodnota jedineho prvku matice.Determinant matice typu 2× 2 je

det A = a11a22 − a12a21.

Determinant matice typu 3× 3 je

det A = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.

Pro snadne zapamatovanı dvou poslednıch vzorcu, muzeme pouzıt nasledujıcı schemata

det A =

(× .. ×

)−(

. ×× .

),

det A =

× . .. × .. . ×

+

. × .. . ×× . .

+

. . ×× . .. × .

−

. . ×. × .× . .

− . × .× . .. . ×

− × . .

. . ×

. × .

.


det A =

(× .. ×

)−(

. ×× .

),

det A =

× . .. × .. . ×

+

. × .. . ×× . .

+

. . ×× . .. × .

−

. . ×. × .× . .

− . × .× . .. . ×

− × . .

. . ×

. × .

.

Naprıklad pro

A =

(7 2−3 1

), B =

7 2 −1−3 1 0

1 3 5

je

det A = 7 · 1− (−3) · 2 = 13,

det B = 7 · 1 · 5 + 2 · 0 · 1 + (−3) · 3 · (−1)− 1 · 1 · (−1)− 2 · (−3) · 5− 7 · 3 · 0 = 75.


−1 0 1 2 3 4 5 6 7−1

0

1

2

3

4

5

[1,3]

[5,1]

−1 0 1 2 3 4 5

02

4

0

1

2

3

4

5

6

7

[1,3,7]

[−2,8,2]

[5,−1,1]

[0,0,0]

VetaAbsolutnı hodnota determinantu matice typu 2× 2 je rovna obsahu rovnobeznıka urcenehovektory, ktere jsou radky (nebo sloupce) matice.

Absolutnı hodnota determinantu matice typu 3× 3 je rovna objemu rovnobeznostenu urcenehovektory, ktere jsou radky (nebo sloupce) matice.

det(

1 35 1

), det

1 3 75 −1 1−2 8 2


VetaPro determinanty matic platı nasledujıcı

a) det AB = det A det B;

b) det A = det AT ;

c) je-li A regularnı, je det A−1 = 1det A ;

d) A je regularnı, prave kdyz det A 6= 0;

e) jestlize B vznikne z A prohozenım dvou ruznych radku nebo sloupcu, je det B = − det A;

f) jestlize B vznikne z A vynasobenım radku nebo sloupce cıslem s, je det B = s det A;

g) jestlize B vznikne z A prictenım libovolneho nasobku radku (sloupce) k jinemu radku(sloupci), je det B = det A.

Napr.

det(

1 10 3

)= − det

(0 31 1

), . . . 3 = −(−3),

det(

1 10 3

)= det

(1 15 8

), . . . 3 = 3.

Jak pomocı vypoctu detereminantu pozname, ze sada 2 resp. 3 vektoru z R2 resp. R3 je bazı ?


Budeme pouzıvat nasledujıcı oznacenı.

Aki je matice (submatice matice A), ktera vznikne z A vynechanım k -teho radku a i-teho sloupce.

Matice Aki je take ctvercova (ale mensı nez A), a tedy muzeme pocıtat jejı determinant.

Napr. pro

A =

1 1 00 3 2−1 0 7

je

det A12 = det(

0 2−1 7

)= 0 · 7− (−1) · 2 = 2,

det A33 = det(

1 10 3

)= 1 · 3− 0 · 1 = 3

Platıdet A = a11 · det A11 − a12 · det A12 + a13 · det A13.


Pro vypocet determinantu matice A muzeme pouzıt nasledujıcı pravidlo.

VetaNecht A je matice typu n × n a 1 ≤ k ≤ n. Potom

det A =n∑

i=1

(−1)k+i aki det Aki .

Uvedeny vzorec pro vypocet determinantu se nazyva rozvoj determinantu podle k -teho radku.

Obdobne lze toto pravidlo formulovat pro sloupce (rozvoj determinantu podle k -teho sloupce).

Napr. spocteme usporne determinant matice A,

A =

7 2 −1−3 0 0

1 3 5

.

Ve druhem radku je ”hodne nulovych prvku”, pouzijeme tedy rozvoj determinantu podle druhehoradku,

det A = (−1)2+1 · (−3) · det A21 = 3 · (2 · 5− 3 · (−1)) = 39.


1 Opakovanı

2 Determinant






Oznacme Adj A matici slozenou z determinantu vyse uvedenych submatic Aij

Adj A =

det A11 − det A21 . . . (−1)n+1 det An1− det A12 det A22 . . . (−1)n+2 det An2. . . . . . . . . . . .

(−1)1+n det A1n (−1)2+n det A2n . . . det Ann

,

cili na pozici (i, j) je cıslo(−1)i+j det Aji .

Matici Adj A nazyvame maticı adjungovanou k matici A.

Naprıklad pro matice

A =

(7 2−5 1

), B =

7 2 −1−3 1 0

1 3 5

jsou matice adjungovane

Adj A =

(1 −25 7

), Adj B =

5 −13 115 36 3−10 −19 13

.


Veta

Pro ctvercovou matici A platıA · AdjA = AdjA · A = det A · E .

Dukaz.Pro soucin

B = A · Adj A

platı, ze bii = det A a bij pro i 6= j je roven determinantu matice, ktera ma dva stejne radky, tedynule.

Veta

Je-li A regularnı, platı

A−1 =1

det AAdj A.

Tedy naprıklad (7 2−3 1

)−1=

113

(1 −23 7

).


1 Opakovanı

2 Determinant






Adjungovane matice lze vyuzıt take k vyjadrenı resenı soustavy linearnıch rovnic.

Veta(Cramerovo pravidlo) Mejme soustavu rovnic

Ax = b

s regularnı maticı A. Potom

xi =1

det Adet Bi ,

kde Bi je matice A, ve ktere byl i-ty sloupec vymenen za vektor prave strany b.

Dukaz.Jestlize Ax = b, potom

x = A−1b =1

det A(AdjA) b,

specialne i-ta slozka resenı je

xi =1

det A((AdjA)i1b1 + (AdjA)i2b2 + · · ·+ (AdjA)inbn) =

=1

det A((−1)i+1b1detA1i + (−1)i+2b2detA2i + · · ·+ (−1)i+nbndetAni ) =

1det A

det Bi ,

kde Bi je matice A, ve ktere byl i-ty sloupec vymenen za vektor prave strany b. Pouzili jsme rozvojdeterminantu podle i-teho sloupce.


Prıklad. Pomocı Cramerova pravidla urceme naprıklad poslednı slozku resenı v rovnici 1 0 10 2 11 1 1

x1x2x3

=

413

.

Determinant matice soustavy je det A = 2 + 0 + 0− 2− 0− 1 = −1.

Determinant matice soustavy, kde je poslednı sloupec vymenen za vektor prave strany 1 0 40 2 11 1 3

je det B3 = 6 + 0 + 0− 8− 1 = −3.

Resenı x3 je tedy

x3 =det B3

det A=−3−1

= 3.


Vypocet inverznı matice pomocı matice adjungovane

i resenı soustavy rovnic pomocı Cramerova pravidla

jsou pro rozsahlejsı ulohy nepouzitelne !


1 Opakovanı

2 Determinant






V mnoha inzenyrskych vypoctech se objevuje potreba pocıtat jeste dalsı charakteristiky maticnızkych i vysokych radu.

Definice

Necht A je ctvercova matice. Cıslo λ, pro ktere ma rovnice

Ax = λx

aspon jedno nenulove resenı x (tedy x 6= (0, 0, . . . , 0)), se nazyva vlastnı cıslo matice A.

Vektor x, ktery je tım nenulovym resenım je vlastnı vektor matice A.

Napr. (2 30 7

) (35

)= 7

(35

).

Hledanı vlastnıch cısel a vlastnıch vektoru . . .

. . . urcovanı hlavnıch smeru napetı, vlastnıch frekvencı nebo meznıch zatızenı systemu.

Rozlozenı vlastnıch cısel matic ma vliv na rychlost resenı a presnost vysledku pri resenı velkychsoustav linearnıch rovnic na pocıtaci.


Odvodıme prakticky vypocet vlastnıho cısla matice A typu n × n.

Veta

Cıslo λ je vlastnım cıslem matice A, prave kdyz je λ korenem polynomu det(A− λE).

Dukaz.Platı

Ax = λx ,

neboli(A− λE)x = 0

a pritom x 6= (0, 0, . . . , 0)T , prave kdyz matice A− λE je singularnı, a tedy

det(A− λE) = 0.

Cıslo λ tedy spocteme tak, ze vyresıme rovnici det(A− λE) = 0 vzhledem k λ. Rovnice senazyva charakteristicka rovnice matice A. Vyraz

p(λ) = det(A− λE)

je polynomem n-teho stupne v promenne λ a nazyva se chrakteristicky polynom matice A.Ma nejvyse n ruznych korenu, a tedy je nejvyse n vlastnıch cısel, obecne komplexnıch.


Vypocteme vlastnı cısla a prıslusne vlastnı vektory matice

A =

(2 31 0

).

Charakteristicky polynom matice A je determinant matice

A− λE =

(2− λ 3

1 −λ

),

p(λ) = det(A− λE) = (2− λ)(−λ)− 3 = λ2 − 2λ− 3 = (λ− 3)(λ+ 1),

tedy vlastnı cısla matice A jsouλ1 = −1, λ2 = 3.

Urcıme take vlastnı vektory. Dosadıme λ1 = −1 do matice A− λI a resıme

(A− λ1E) =

(3 31 1

)(v1v2

)=

(00

).

Dostaneme v = (1,−1)T (a vsechny jeho nenulove nasobky). Podobne pro λ2 = 3 zjistımeresenı

(A− λ2E)u =

(−1 3

1 −3

)(u1u2

)=

(00

).

Zjistıme, ze u = (3, 1)T (a vsechny jeho nenulove nasobky).


Pro vlastnı cısla matic platı mnoho zajımavych tvrzenı.

VetaDeterminant matice je soucinem jejıch vlastnıch cısel. (Tedy jestlize je jedno z nich nula, je nulovyi determinant.)

VetaCayleyova-Hamiltonova veta. Dosadıme-li do charakterisktickeho polynomu matice A matici A zapromennou λ, dostaneme nulovou matici.

VetaSoucet diagonalnıch prvku matice (tzv. stopa matice) je roven souctu vlastnıch cısel matice.


Prıklady.

1. Jaky determinant ma jednotkova matice?

2. Jaky je determinant diagonalnı matice?

3. Jaky je determinant hornı trojuhelnıkove matice?

4. Jaka je obecne inverznı matice k regularnı matici

A =

(a bc d

)?

5. Jaka vlastnı cısla ma matice

A =

(7 310 5

)?


1 Opakovanı

2 Determinant






Zkouska: 120 minut, sesite papıry, . . .

Odpovedi na otazky - vetami.

Nasledujıcı den: nahledy, zkousenı na A, zapis znamky do indexu.

Vyberova Matematika 2 . . . web Katedry matematiky

Vycichlova soutez v matematice, aplikovane matematice a geometrii, kveten

Rektorysova soutez v aplikovane matematice, listopad

Kapitoly ze soucasne matematiky XKSM,

seminar

. . . web Katedry matematiky









seminar










seminar



Katedra matematiky

predmet YZAI (Zaklady informatiky)

MATLAB

SCILAB - volne


Documents

Matematika 1 - mat.fsv.cvut.czmat.fsv.cvut.cz/Ivana/p11ver3.pdf · 11. pˇredn ´aˇska (15.12.2010) Matematika 1 11 / 29 Budeme pouzˇ´ıvat n asleduj´ ´ıc´ı ozna ˇcen ´ı