Matematik - Alt hvad du bør vide om naturvidenskab - eller ...pure.au.dk/portal/files/44855305/Hvad_enhver2.pdf · Forandring og forskel på formel Geometri Matematik Alt hvad du

Tallenes oprindelse og matematisk metodeDifferential- og integralregning. Forandring og forskel på formel

Geometri

MatematikAlt hvad du bør vide om naturvidenskab - eller næsten

Johan P. Hansen1

1Institut for MatematikAarhus Universitet

10. april 2012

Johan P. Hansen Matematik


Geometri

Disposition1 Tallenes oprindelse og matematisk metode

Oprindelse – indledningSumererneGrækerne – matematiske beviser – Euklids ElementerLøsning af ligninger – udvidelse af talbegrebet

2 Differential- og integralregning. Forandring og forskel påformel

Forandring på formel – et faldende æbleDifferential- og integralregningens hovedsætningHistorie

3 GeometriPlan geometri - vinkelsummen i en plan trekantKrumme flader – Gauss krumningTotal krumning og vinkelsum i en geodætisk trekant



Geometri

Oprindelse – indledningSumererne for 4-5 tusinde år siden. KileskriftGrækerne – matematiske beviser – Euklids ElementerLøsning af ligninger – udvidelse af talbegrebet

Tallenes oprindelse

Talbegrebet ligger før sproget og samtlige storeverdenskulturer har haft talbegrebet under en eller andenform.I Renaissancen (14.-17. århundrede) opsamledes ogkonsolideredes verdens viden til den nu herskende viden;men det var først mod slutningen af 1800–tallet, at manfuldt ud forstod det grundlæggende talbegreb.I det 18. – 19. århundrede er talbegrebet udvidet.



Geometri


Babylonsk lertavle YBC 7289 (Yale) fra den førstetredjedel af det andet årtusinde f.Kr.



Geometri


Babylonernes 60 – tals system

De naturlige tal, som vi skriver 1,2,3, . . . , menes at være(op)fundet af sumererne i den sydlige del af Mesapotamien– landet mellem floderne Eufrat og Tigris i det nuværendeIrak.Kort før 2000 f.Kr. kom de med historiens første kendtepositions–talsystem. Tallene skrives ved hjælp afskrifttegnet for tallet 1 og skrifttegnet for 10 i etseksagesimalt (60-tals) positionssystem, hvor cifrenedannedes udfra og .Tallet 2599801 skrives

(10 + 1 + 1)× 603 + (1 + 1)× 602 + 10× 601 + 1× 600



Geometri


YBC 7289 – god værdi for√

2 = 1.4142135 . . .

Skrifttegnene læses til 1 24 51 10, som tolkes til

1 + 24× 160

+ 51× 1602 + 10× 1

603 = 1,4142129 . . .



Geometri


Det matematiske bevis

Hvor den mesopotaniske kultur fokuserede sin matematik på atudvirke løsninger til problemer, mere end på argumenter ellerbeviser, var den græske matematiks særkende detmatematiske bevis’ centrale rolle.Eksempler

Naturlige tals entydige faktorisering i et produkt af primtal.Uendelig mange primtal.√

2 er ikke en brøk.



Geometri


Talteoriens hovedsætning – entydig faktorisering

Et primtal p er et positivt helt tal, skarpt større end 1, hviseneste positive divisorer er 1 og p.

Theorem (Aritmetikkens hovedsætning)

Ethvert naturligt tal forskellig fra 1 kan på én og kun én mådefaktoriseres

a1︷︸︸︷p1 · · · · · p1 ·

a2︷︸︸︷p2 · · · · · p2 · · · · ·

ak︷︸︸︷pk · · · · · pk , (1)

hvor ai er positive hele tal og p1 < p2 < · · · < pk er primtal.

Eksempelvis er 60 = 2 · 2 · 3 · 5.Behandles i Euklids Elementer (bog VII).



Geometri


Euklid – uendelig mange primtal

TheoremDer er uendelig mange primtal.

Bevis.Lad p1,p2, . . . ,pj være primtal. Så er

n = p1 · p2 · · · · · pj + 1

et tal, der ikke kan divideres af noget pi , idet dets rest veddivision med pi er 1. Primdivisorerne i n, kan altså ikke væreiblandt p1,p2, . . . ,pj – de er altså andre og dermed nye primtal.Heraf følger umiddelbart, at der må være uendelig mangeprimtal.



Geometri

Oprindelse – indledningSumererne for 4-5 tusinde år siden. KileskriftGrækerne – matematiske beviser – Euklids ElementerLøsning af ligninger – udvidelse af talbegrebet√

2 er ikke en brøk

Theorem√

2 er ikke en brøk.

Bevis.

Antag modsætningsvis, at√

2 er en brøk og vælg det mindsten, så n

√2 er et naturligt tal.

Tallet m = n(√

2− 1) er et skarpt mindre naturligt tal, der ilighed med n tilfredsstiller, at m

√2 = n(2−

√2) er et naturligt

tal.Dette strider imidlertid mod minimaliteten af n, og vi har enmodstrid med antagelsen om, at

√2 er en brøk.



Geometri


Ligningen x2 = 2

At√

2 ikke er en brøk, kan også udtrykkes ved, at ligningen

x2 = 2 (2)

ikke har en løsning blandt de rationale tal Q (brøkerne).Inden for de reelle tal R har (2) en løsning, nemlig længdenaf hypothenusen i en retvinklet trekant, hvis kateter harlængde 1 (Pythagoras).

1

1√

2



Geometri


Ligningen x2 = −1

Ligningenx2 = −1 (3)

har ikke en løsning blandt de reelle tal R – kvadratet påethvert reelt tal er større end eller lig med 0.Det er muligt at udvide de reelle tal R til de komplekse talC, så (3) har en løsning.

Theorem (Algebraens hovedsætning)

Enhver ligning på formen

anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a0 = 0, ai ∈ C,an 6= 0 (4)

har en løsning i C.



Geometri


Tallet π er ikke algebraisk – det er transcendent

Tallet π er ikke algebraisk1, altså det er ikke løsning til nogenligning på formen

anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a0 = 0, ai hele tal,an 6= 0 ,

specielt er

π 6= 227.

1Lindemann, 1882Johan P. Hansen Matematik


Geometri


Birch and Swinnerton-Dyer formodningen

Allerede Euklid bestemte samtlige heltalsløsninger til

x2 + y2 = z2 .

For mere komplicerede ligninger er situationen ekstrem.Men er løsningsmængden en såkaldt abelsk varietet, såsiger formodningen, at størrelsen af gruppen af rationalepunkter afhænger af opførslen af zeta-funktionen ζ(s) nærs = 1.

Hvis ζ(1) = 0, så er der uendelig mange løsninger.Hvis ζ(1) 6= 0, så er der kun endelig mange løsninger.



Geometri

Forandring på formel – et faldende æbleDifferential- og integralregningens hovedsætningHistorieOpsummering

Faldende æble - jævnt stigende fart

tid acceleration fart distance distance ialt

0 10 0 0 01 10 10 5 52 10 20 15 203 10 30 25 454 10 40 35 805 10 50 45 125

t 10 10 · t 12 · 10 · t2

Tabel: Søjlen "distance" giver faldlængden sekund for sekund udfragennemsnitsfarten i det pågældende sekund



Geometri


Tangent – forandring i det små

Den afledede af en funktion beskriver størrelsen afforandringer nær udgangspunktet.Bestemmelse af den afledede kaldes differentation.

Hældningen af den røde tangentlinie er den afledede affunktionen i punktet.



Geometri


Den afledede - hældningen af tangenten

t

f (t)

t0

∆t∆f

Hældingen af den orangesekantlinie er ∆f

∆t .Infinitisimalregning gør detmuligt konkret at beregne∆f∆t , når ∆t bliver mindre ogmindre. Vi benævnerværdien df

dt (t0).Den beregnede værdi erhældningen af den rødetangentline og dermedværdien f ′(t0) af denafledede f ′ = df

dt i t0.



Geometri


Integralet

Integralet ∫ b

af (x) dx

er arealet (regnet med fortegn) af området begrænset af grafen:



Geometri


Integral- og differentialregningens hovedsætning

Differentation med hensyn til t

f � f ′ =dfdt

Integration, hvor vi varierer den øvre grænse t , giverstamfunktionen

G(t) =

∫ t

ag(x) dx � g

Operationerne er indbyrdes modsatte (pånær en konstant):

G′(t) =dGdt

= g(t) ,

∫ t

af ′(x) dx = f (t) + konstant



Geometri


Stamfunktionen til g(x) = x

g(x)=x

t

t

areal = 12 t2

Stamfunktionen til g(x) = xbliver

G(t) =

∫ t

0x dx = arealet =

12

t2

med den afledede

G′(t) =dGdt

= g(t) = t



Geometri


Stamfunktionen til g(x) = 1

g(x)=1

t

1areal = t

Stamfunktionen til g(x) = 1bliver

G(t) =

∫ t

01 dx = arealet = t

med den afledede

G′(t) =dGdt

= g(t) = 1



Geometri


Faldende æble – differentialregning

tid acceleration fart distance distance ialt0 10 0 0 01 10 10 5 52 10 20 15 203 10 30 25 454 10 40 35 805 10 50 45 125

t 10 v(t) = 10 · t s(t) = 12 · 10 · t2

t a = dvdt = d2s

dt2 v(t) = dsdt s(t)

Tabel: Distance er stamfunktion til hastighed og hastighed erstamfunktion til acceleration.Den afledede af distance er hastighedog den afledede af hastighed er acceleration.



Geometri


Variationsregning – kædelinien

Kædelinien er en løsning til

d2fdx2 =

1a

√1 +

( dfdx

)2

Løsningerne er

f (x) = a cosh(x − b

a

)+ c ,

hvor a,b, c er konstanter



Geometri


Bevægelse i væske og luft

Hvirvler kan opstå omkring vingespidserne af et fly ibevægelse og kan påvirke dets bevægelse nær jorden.Den primære hvirvel er rød og den sekundære, der dannesved sammespil med jorden, er grøn.



Geometri


Navier–Stokes ligninger. Bevægelse i væske og luft

Navier–Stokes ligningerne.Ligningerne opstår ved at anvende Newtons 2. lov underiagttagelse af momentbevarelse, viskositet og tryk. (Navier1820 og Stokes 1845).De kan blandt meget andet bruges til:

vejrmodellermodellering af havstrømmeforståelse af luftstrømme omkring en flyvingedesign af fly og bilerstudiet af blodstrømmedesign af kraftværkeranalyse af forurening



Geometri


ρ

(∂v∂t

+ v · ∇v)

= −∇p +∇ · T + f,

v er hastigheden i strømmen, ρ er trykket, T er den(deviatoriske) stress tensor, og f kræfterne og ∇ er en operator,der involverer flere afledede.



Geometri


Newton og Leibnitz – skaberne af differential- ogintegralregning

Sir Isaac Newton (1643 — 1727) skrev bogen PhilosophiæNaturalis Principia Mathematica fra 1687 som lagdegrundlaget for klassisk mekanik ved at beskrive loven ommassetiltrækning og de 3 bevægelseslove – love sombeskriver såvel bevægelser på jorden somhimmellegemers. Opfandt i den anledning differential- ogintegralregningen.Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 — 1716) opfandtuafhængigt af Newton differential- og integralregningen –hans notation er den, der fandt anvendelse.



Geometri


Opsummering

Differential- og integralregningen- giver et universelt sprog og værktøj til at beskrive og

håndtere forandring.- finder anvendelse i stort set alle kvantitative discipliner.

Matematisk udfordringClay : "Although these equations were written down in the 19th

Century, our understanding of them remains minimal. Thechallenge is to make substantial progress toward amathematical theory which will unlock the secrets hiddenin the Navier-Stokes equations."



Geometri

Plan geometri - vinkelsummen i en plan trekantKrumme flader – Gauss krumningTotal krumning og vinkelsum i en geodætisk trekant

Vinkelsummen i en trekant i planen er 180◦

180◦

Parallelforskydningerlangs trekantenssider bringer orangelinier til at dækkehinanden – de rødeog grønne vinkler erderfor lige store.Rotation på en halvomgang bringer deblå vinkler over ihinanden – de erderfor lige store.



Geometri


Sfærisk og hyperbolsk flade



Geometri


Gauss krumningen af en flade

En myre kravler en rundtur om P på fladen, hele tiden i enafstand af r fra P. Når omgangen er slut, viser det sig, atlængden af den tilbagelagte vej er C(r).På en plan flade er C(r) = 2πr (omkredsen af en cirkel).På en krum flad er det anderledes – Gauss krumningen i Per

K (P) = limr→0+

32πr − C(r)

πr3 ,

hvor r gøres mindre og mindre.



Geometri


Total krumning og vinkelsum i en geodætisk trekant

Den totale krumning af en (geodætisk2) trekant T erintegralet3 ∫

TK (P) dA ,

hvor K (P) er Gauss krumningen i P.Afvigelse af vinkelsummen fra π = 180 grader

vinkelsummen = π + total krumning2Hver af de 3 sider er geodæter, der realiserer korteste afstande på fladen.3Integralet "opsummerer" krumningsbidrag fra alle trekantens punkter, jvf.



Geometri


Vinkelsummen i en geodætisk trekant

Den totale krumning af en sfærisk trekant er positiv og afen hyperbolsk trekant T er den negativ.Da den totale krumning er et mål for afvigelse afvinkelsummen fra π = 180 grader er vinkelsummen størreend π = 180 grader i en sfærisk trekant og mindre i enhyperbolsk.


Documents

Matematik - Alt hvad du bør vide om naturvidenskab - eller ...pure.au.dk/portal/files/44855305/Hvad_enhver2.pdf · Forandring og forskel på formel Geometri Matematik Alt hvad du