Mandag den 17. august 2015kl. 9.00 - 14.00hhx152-MAT/A-17082015

Matematik AHøjere handelseksamen

51146.indd 1 10/06/15 09.19

Matematik A

Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 12 med i alt 18 spørgsmål. De 23 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med hver 5 point. Af opgaverne 12A, 12B og 12C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes. I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Ved brug af grafer og illustrationer skal der være en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Til eksamenssættet hører følgende tre datafiler:

rengoering unibrew

51146.indd 2 10/06/15 09.19

Hhx matematik A august 2015 side 1 af 9

Delprøven uden hjælpemidler

Kl. 9.00 – 10.00 Opgave 1

a) Tegn grafen for en funktion f , der opfylder følgende: • [ [Dm( ) 6;4f = −

• [ ]Vm( ) 5;3f = − • (3) 0f ′ = • 0)2( =−f

Bilag 1 kan benyttes. Opgave 2 Figuren til højre viser graferne for xxf 3)( = og xxxg 63)( 2 +−= . Graferne skærer hinanden i 0x = og 1x = . De to grafer afgrænser et område, der er markeret med gråt på figuren. a) Bestem arealet af det grå område.

Opgave 3 Figuren viser tre grafer A, B og C. a) Gør rede for, hvilken af graferne

der er grafen for funktionen xxf 3,14)( ⋅= .

Opgave 4

a) Undersøg, om 2( ) 4 2f x x x= − + er en løsning til differentialligningen 2 ( )x y y x′⋅ = ⋅ − .

1 2-1

1

2

3

4

x

y

f

g

x

y

A

B

C

4

3

2

1

y

g

f

x

1 2-1

x

y

A

B

C

51146.indd 3 10/06/15 09.19

Hhx matematik A august 2015 side 2 af 9

Opgave 5

For en vare A er sammenhængen mellem efterspørgsel og pris bestemt ved funktionen 30,10235,0002,0)( 23 ≤≤+−−= xxxxxd hvor x angiver efterspurgt mængde (i ton), og )(xd angiver den tilsvarende pris (i 1000 kr.). Sammenhængen mellem udbud og pris for samme vare A er bestemt ved funktionen 30,265,0002,0)( 23 ≤≤++= xxxxs hvor x angiver udbudt mængde (i ton), og )(xs angiver den tilsvarende pris (i 1000 kr.). Ligevægtsmængden er defineret som den mængde, hvor udbud og efterspørgsel er lige store. a) Bestem ligevægtsmængden for vare A.

Besvarelsen af delprøven uden hjælpemidler afleveres kl. 10.00

3

3

6

9

mængde (i ton)

pris (i 1000 kr.)

d

s

3

3

6

9

mængde (i ton)

pris (i 1000 kr.)

d

s

51146.indd 4 10/06/15 09.19

Hhx matematik A august 2015 side 3 af 9

Delprøven med hjælpemidler

Kl. 9.00 – 14.00 Opgave 6 En virksomhed producerer en vare i serier. De samlede lageromkostninger kan beskrives ved en funktion f med forskriften

0,121)( >⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅= x

xSAx

KSVRxf

hvor x er seriestørrelsen. For at bestemme den optimale seriestørrelse x, skal minimum for f bestemmes. Fremgangsmåden er vist nedenfor for værdierne R = 0,1, V = 12, S = 30000, K = 90000 og A = 600. a) Forklaringer til bestemmelse af minimum skal gives, benyt evt. bilag 2.

xSAx

KSVRxf ⋅+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅= 1

21)( Funktionsudtrykket er skrevet op.

xxxf 180000004,0)( +⋅= ____________________________________

2

180000004,0)(x

xf −=′ ____________________________________

0180000004,0 2 =−x

____________________________________

6708,20x = ± ____________________________________

Der er globalt minimum i x = 6708,20. Den optimale seriestørrelse er 6708 stk.

Den optimale seriestørrelse x kan generelt bestemmes som den positive løsning til ligningen

0121

2 =⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅

xSA

KSVR

b) Bestem en formel for den optimale seriestørrelse x, evt. ved brug af CAS-værktøj.

0 6708,20

Konstanternes betydning:

R: Lagerrente i procent V: Fremstillingsomkostninger i kr. pr. stk. S: Det årlige salg i stk. K: Den årlige produktionskapacitet i stk. A: Forberedelsesomkostninger i kr. pr. serie.

x

f ′ – 0 +

51146.indd 5 10/06/15 09.19

Hhx matematik A august 2015 side 4 af 9

En virksomhed sælger et bestemt rengøringsmiddel. I forbindelse med en kommende markedsføring af rengøringsmidlet overvejer virksomheden at målrette kampagnen mod mænd. Virksomheden vil dog først undersøge, om mænd og kvinder bruger rengøringsmidlet lige meget. Der laves en stikprøve, hvor 544 personer spørges til brugen af rengøringsmidlet. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen rengoering.

a) Konstruér et skema som nedenstående, der indeholder data fra undersøgelsen.

Bruger aldrig Bruger ind imellem Bruger ofte Kender ikke Total

Kvinde Mand Total 544

b) Undersøg med et signifikansniveau på 5%, om der er uafhængighed mellem køn og brugen af rengøringsmidlet.

c) Undersøg, om resultatet af undersøgelsen ændres, hvis de personer der svarede ”Kender ikke” fjernes fra stikprøven.

Opgave 7

Køn Brug Kvinde Bruger ofte Kvinde Bruger ind imellem Kvinde Bruger aldrig

: :

51146.indd 6 10/06/15 09.19

Opgave 8 Royal Unibrew er Danmarks næststørstesodavand på dåse med et indhold på 0,33 I en stikprøve på 106 produktionsserier amålt i hektoliter og produktionstiden må Tabellen herunder viser et udsnit af data

a) Bestem den gennemsnitlige produ

b) Bestem en lineær regressionsmodproduktionstid y og bestem den f

c) Bestem et 95%-konfidensinterval

d) Skriv et kort notat til direktøren fospørgsmål a), b) og c).

Produktions-mængde

Produktionstid

2386 61 633 21 4930 123

: :

Hhx matematik A

e bryggerikoncern målt på omsætning. De producer3 liter.

af sodavand undersøges sammenhængen mellem prålt i timer.

a, som findes i filen unibrew.

uktionsmængde og kvartilsættet for produktionsmæ

el baxy += for sammenhængen mellem produktioforventede produktionstid for en produktionsmæng

for hældningskoefficienten a .

or Royal Unibrew, hvor du præsenterer dine svar p

Kilde: Royal Unib

d

A august 2015 side 5 af 9

rer blandt andet

roduktionsmængden

ængden.

onsmængde x og gde på 3000 hektoliter.

på

brew

51146.indd 7 10/06/15 09.19

Hhx matematik A august 2015 side 6 af 9

Opgave 9 En virksomhed afsætter en vare på to forskellige markeder: det udenlandske - og det indenlandske marked. På det udenlandske marked er der monopol, hvilket betyder, at pris-afsætningsfunktionen er givet ved forskriften

600,67510)( ≤≤+−= xxxp hvor x angiver den afsatte mængde af varen. På det indenlandske marked er der fuldkommen konkurrence, hvilket betyder, at pris-afsætningsfunktionen er givet ved forskriften 0,400)( ≥= yyq hvor y angiver den afsatte mængde af varen. De variable enhedsomkostninger på hvert marked er 150 kr. pr. afsat mængde af varen. Dækningsbidraget pr. afsat mængde kan bestemmes ved

dækningsbidrag = afsætning ⋅ (pris pr. afsat mængde – variable enhedsomkostninger)

a) Gør rede for, at virksomhedens samlede dækningsbidrag kan bestemmes ved funktionen DB med forskriften

yxxyxDB 25052510),( 2 ++−=

Udover begrænsningerne på p og q er virksomhedens salg underlagt begrænsningen 0,5 80y x≤ − + .

Niveaukurven )(tN er defineret ved tyxDB =),( .

b) Gør rede for, at niveaukurven 15000)( =tN fremstiller en parabel og tegn denne samt begrænsningerne i samme koordinatsystem.

c) Bestem den mængde af varen, virksomheden skal afsætte på såvel det udenlandske som på det

indenlandske marked for at opnå størst muligt dækningsbidrag.

51146.indd 8 10/06/15 09.19

Hhx matematik A august 2015 side 7 af 9

A

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100procent af indkomsten

B

L

procent afbefolkningen

y x=

Opgave 10 Indkomstfordelingen i et land kan beskrives ved en såkaldt Lorenzkurve. Funktionen L med forskriften

2( ) 0,0075 0,25 , 0 100L x x x x= + ≤ ≤ er estimeret ud fra indkomstfordelingen i Danmark i 2010, hvor x er procent af befolkningen, og ( )L x er procent af indkomsten. Grafen for L kaldes Lorenzkurven. For eksempel har de 20 % af befolkningen med lavest indkomst 8 % af den samlede indkomst, da (20) 8L = . a) Bestem hvor stor en andel af den samlede indkomst, de 50% af befolkningen der tjener mindst, tjener.

GINI-koefficienten er et udtryk for uligheden i et land, og kan beregnes ud fra følgende formel

BAAGINI+

=

hvor A er arealet mellem linjen med ligningen xy = og Lorenzkurven, og B er arealet mellem x-aksen og Lorentz-kurven som vist i nedenstående graf. b) Bestem GINI koefficienten for Danmark i 2010.

A

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100procent af indkomsten

B

L

procent afbefolkningen

y=x

51146.indd 9 10/06/15 09.19

Hhx matematik A august 2015 side 8 af 9

Opgave 11

En funktion f er bestemt ved forskriften

2,)8ln()( 3 −>+= xxxf Funktionen kan bl.a. beskrives ved følgende analysepunkter:

nulpunkter fortegnsvariation monotoniforhold ekstrema vendetangenter krumningsforhold

a) Beskriv funktionen f ved hjælp af 2 af ovenstående analysepunkter. Funktionen har en tangent t med hældningen 1. b) Tegn grafen for funktionen f og tangenten t i samme koordinatsystem.

51146.indd 10 10/06/15 09.19

Hhx matematik A august 2015 side 9 af 9

52

uger

omsætning i 1000 kr.

a b

r

Af opgaverne 12A, 12B og 12C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.

Opgave 12A

Omsætningen af en vare efter introduktionen på et marked antages at kunne beskrives ved følgende differentialligning

0,1 500 , 0dy y xdx

= − + ≥

hvor )(xry = er omsætningen i 1000 kr. x uger efter introduktionen.

Omsætningen ved introduktionen af varen er 0, dvs. 0)0( =r .

a) Bestem en forskrift for )(xr .

Den samlede omsætning i en periode fra uge a til uge b efter introduktionen kan bestemmes som arealet af det grå område på figuren. b) Bestem den samlede omsætning fra uge 9 til uge 24 efter

introduktionen.

Opgave 12B Erik optager et lån på 260000 kr. Lånet betales tilbage med en fast årlig ydelse, dog er den sidste ydelse mindre end de første. Nedenfor er vist et uddrag af amortiseringsplanen for lånet.

Termin Primogæld Rentedel Afdragsdel Ydelse Ultimogæld 1 260000,00 6500,00 3000,00 257000,00 2 257000,00 6425,00 3075,00 253925,00 : : : : : :

a) Bestem den årlige rente og den årlige ydelse på lånet.

b) Bestem antallet af ydelser på lånet og bestem størrelsen på den sidste ydelse. Opgave 12C Det daglige dækningsbidrag for en virksomhed antages at være normalfordelt med en middelværdi på 42000 kr. og en spredning på 25000 kr. a) Bestem sandsynligheden for, at dækningsbidraget på en tilfældig dag er over 75000 kr.

Der udtages en stikprøve på 80 dage, hvor andelen af dage med et dækningsbidrag over 75000 kr. tælles. b) Bestem sandsynligheden for, at højst 6 dage af de 80 giver et dækningsbidrag over 75000 kr.

52

uger

omsætning i 1000 kr.

a b

r

51146.indd 11 10/06/15 09.19

51146.indd 12 10/06/15 09.19

EG

YM

152

-18

A

Bilag 1 til opgave 1

Skole:

Hold:

Eksamensnr. Navn:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

51146.indd 13 10/06/15 09.19

EG

YM

152

-18

B

Bilag 2 til opgave 6

Skole:

Hold:

Eksamensnr. Navn:

xSAx

KSVRxf ⋅+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅= 1

21)( Funktionsudtrykket er skrevet op.

xxxf 180000004,0)( +⋅= ____________________________________

2180000004,0)(

xxf −=′ ____________________________________

0180000004,0 2 =−x

____________________________________

20,6708±=x ____________________________________

51146.indd 15 10/06/15 09.19

EG

YM

152

-18

C