Matematicki list 1980 XV 2

7/28/2019 Matematicki list 1980 XV 2

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1980-xv-2 1/18

OBAVESTENJE PRETPLATNICIMA

F I l. UredniStvo poziva nastavnike .i profesore matematike kao i ostale ditaoccda Salju svoje priloge za list: dlanke, odabrane zadatke, zadatke sa prijemnih ispitai matematidkih takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi (osim

uEenidkih reieqia zadataka) budu pisani pisaiom ma5inom, s proredom. Rukopisise ne vra6aiu.

2. MatematiEki /r.rl namenjen je svim uCenicima IV-VIII raz. osnovne 5kole.List izlazi 6 puta u toku Skolske godine i to l. X, 15. XI, l I, 15. II, l.IV i 25. V.

3. Godi3nja pretplata (za svih 6 brojeva) iznosi 60 dinara. Naruliocima za vi5e

od l0 kompleta odobravamo rabat (2O%, l5%, l0%), zavisno od roka do kojeg se

isplati celokupna pretplata (1. XII, l. m l. VD. Nikakvi drugi odbici ne uvaZavaju se.NarudZbine se mogu vr5iti samo pismenim putem i Salju se samo neposredno

na adresu lista. Novac za sve narudZbine se Salje na iiro-radun Dru5tva mat€mati-Cara, fizidara i astronoma SR Srbije broi 60806678-10766' Knez Mihailova 35/IV,sa naznakom za Matematiiki lrbl. Pri tome treba obavezno navesti tatnu adresu

na koju list treba dostaviti i jasno naznaditi na Sta se narudZbina odnosno uplataodnosi.

NarudZbine na manje od l0 primeraka lista isporuduju se samo po izvr5enojpretplati. Ostale narudZbine treba da budu isplaiene najkasnije na 90 dana po pri'jemu prve isporudene poiiljke, a u svakom sludaju najkasnije do 31. V 1981. g.

Obaveitenja se ttogu dobiti preko telefona redakciie, br. Oll-638'263.

4. Redakcija Matematiikog lr'sla raspolaZe svima do sada izaSlim godi5tima

Matematidkog /isra osim prvog i drugog godi5ta i brojeva l-3 petog godi5ta.

od ovih godista prodaju se: godista III, IV, VMI i VIII po sniZenoj ceni od 20

dinara za komplet, godiSte V po ceni od l0 dirara i godi5ta IX, X, XI, XII XIIIi XIV po ceni od 30 dinara po kompletu.

Semtoga se

odizdanja Matematiikog

lrsla mogu dobili: Zbirka reienih

zadataka sa matematiikih takmitenja uCenika osnovne .fftole (drugo, dopunjenoizdanje) po c€ni od 30 dinara i dodatne sveske Matematiikog lista iz proSle trigodine, i tot Mali reinik matematiikih termina, Mala zbirka matematiikih zanim'ljivosti i Razni dokazi Pitagorine teoreme, po ceni od 6 dinara.

5. Mole se poverenici Matematitkog lista da izmire sva zaostala dugovanja.

6. Sve priloge, primedbe i narudZbe slati iskliuiivo na adresu:

Matematidki list, Knez Mihailova 35/IV, p. 9. 72E, 11001 Beograd.

SADRZAJ

l. D. Milo5evi6: Neke primene Paskalovog trougla.

2. V. Andrii: Brojevi i kocka

3. Zadaci za proveravanje stedenog znanja iz matematike

4. Zadaci sa republidkog natjecanja uCenika osnovnih Skola SR Hrvatske ..

5. Odabrani zadaci .

6. Konkursni zadaci.

7. Nagradni zadatak.

8. Zanimljivosti i razno

MATEMATICKI LIST

ZA UCENIKE OSNOVNE STOTN

XV

2

33

38

42

47

5454\5eI60)

BEOGRADr980.

40

:-t ll

39

4:t

I 2 3 42 47 46

3t l3 T4 32 35 t2

30 26 2l 2B 20 II

tt 27 ZJ 23 L7 7

6

5

r6 ,, 29 24 J.t 44

I5 37 36 t8 19 45

4 49 4B 47 o 9 10



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATICKI LIST

za uEenike osnovnih Skola

God. XV, broj 2 (1980)

Izlazi Sest puta godiSnje

IZDAJE DRUSTVO MATEMATIEARA, FIZICARA I ASTRONOMA

SR SRBIJE

Beograd, Knez Mihailova 35/IV' p. D. 72t.

Urednici:Platon Dimi6 i Miroslav Zivkovi€

Redakcioni odbor:

tugumila Kolenko (Ljubljana), dr Zeliko Paule (Tagreb),Kosta Mijatovrd (Sarajevo), Danilo Siepanovrd (Titograd),

Duiko Kovaier, (Skoplje), Velimir SotiroviC (Novi Sad),

Yladimir Stojanovi0 (Beograd)

Glavni i odgovorni urednik: Miroslav 2ivkovi6

Sva prava umnolavanja, pre5tampavanja i prevodeqia zadtlavt-DruBtvo

matematidara, fizidara i astronoma SR Srbije

Oslobodeno pla6anja poreza na promet na osnovu re$enja Republidtog sckrctarijataza liulturu SR Srbije br. 413-18G03 od ll. l. 1973. godine

Stampa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode MiSiCa br. l7

fuarory6 l\{momenrh (flpararr)

HEKE NPI,IMEIIE IIACKAJIOBOT TPOYTJIA

V jeanor"r oA paurrjffi 6pojeaa Matueua6tutuKoi /tucfra I{3JIoxeEa

je npulrena r3B. nacxuuloBor rpoyrna y oApebnBalby KoeQurvieuara

Loffilrorua Kojr'r [peAcraBJba crerreu 6unova y pa3Brljexorvr o6ruryl)OrAe heuo rrplrKasarx npI{MeHy ror rpoyrna y:

, a) o.qp€furarby 6poja uoacKytroBa ca rro k eleuenara cxytra

oA neJleMeHara;6) usnecxnrvr npo6neM[Ma teopllje reporarnohe.

1.1. Ilo,qcernMo ce Aa lrltaroBe flacxalonor rpoyrna ,qo6rjalrona cneAehrr Haurx. flpnn u nocJreAbn rurau cBaKor Pe,qa je 6poj I'a ocraJre ruraHoBe ao6ujaruro ca6[palLeM no lpa qnaHa Ir3 rlperxo.ryorpeAa rr To osor xoju je u3lraA Tpaxeuor tulaua rr ouor roju rray uper-

xo.w. (Ta6. l).

(0) (l) (2) (3) (4) (t(0) I

I(1)1=I

2 2.1(2\l--I 1.2

3 3.2 3.2.1(3)lTt:2t.2.J

4 4,3 4.3.2 4.3.2.1(4) I r ta t.2t' t.z'4

5 5.4 5.4.3 5.4.3.2 5.4.4.2.1/<\t _\J' ' r 1.2 r.z.i 1.2.1.4 1.2.3.4.5

Mebyrrrvr, JraKo ce yBepaBaMo Aa ce 6pojeBu u3npBID( HeKoJIEXo

peAona flacxanoaor lpoyrna tr3 ra6. I tuory trp€AcraBlrrn Ir oHaKo

iao *ro je ro y'runerlo y ra6. 2. Tlpn roMe KoA pa:,noMaKa KojEMa

r) ExAerr o roMe luauar: II. Agunh, Ilacraaos rpoyrao',MJl. XIV' 3.

33

(0) (l) (2) (3) (4) (5)

(0) I

(1)l I

(2')l 2 t

(3)l 3 3 r

(4)t 4 6 4 I

(5)l 5 l0 l0 5 r

Ta6. I Ta6.2



p Y ra6. 2 npegcaranrenr trJrarroBz flacraaosor rpoyrna npzruehyjeuo usnecny 3aKoutrTocr. (Iby u caM q[Taraq Moxe Aa ycrauorn.)Moxe ce, rroroM, Aoxa3arlr Aa ra 3ar(outrTocr Baxrl Ir 3a rulauoBe oc-Tzurlnr peAoBa ug flacra;roBor rpoyrna. 36or rora, aro ce AoroBopuMoAa lpBrr oA pe,qoEa flacxanosor rpoyrna cMarpaMo 3a HyJrrn, Apyru3a [pBu,

''TA.,u Aa rrpBr{ oA ruraHoBa cBaKor cTymla cMaTpaMo 3a

Hynrtr,.Apyrtr 3a trpBr.r, I{TA., rurauoBrr tt-Tor pega flacxanoBor rpoyrnaao6rjajy ce uo $opuynarrra:

catra oApel@r,ro roJrtrKo cryn s ulda Tpowraf,Irx troAcKynoBa.

Axo ce 6ruro rojerrr ,@oqrauoM troAcxyny npulpyxu no jegan o.q nlro-cr:urux (n-2) eneMenara cxyna S, ao6nja ce no jeAax rporurault troA-

cxyr cxyra S. Me$yrnrur, TaKBI{x uprrApyxnBarra (rou6maurja) uuaTpr{ nyra Marbe Hero rrrro ce, Ha rrpBrr rroureA, oreryje. Harue, aroce, Ha rrpnMep, ABounHrrM cKyrroBnMa {o, ot}, {ou" or}, {ap ap} npm-

Apyxe peAoM eJreMenTrr a14 e1r a, Iio6uiaiy ce cKynoBH {ai, ai, ap),

{ap a7r, at}, {a1u a1r, ar}. Kaxo cy oBlI cxynoBu rvrefyco6uo jegnarn,. n(n-l)

ro 6poj npuApyxrBarsa ABoruIaHI{x noAcxytrora, xojux uvra --_-,no je.ryorra oA rrp€ocraJrrrx (n---2) eJreMeHara cxyna S a3uoclt y crBaptr

n (n-l). ,--2 :n (n-l) (n--2\ . 3aro 6poj rpouauru( noAcKyuoBa

I

cl-r, cI:n,"1:n(n-t) 1.2

nk _n(n- l) (n-2)...(n-k+l)-":T,?n-t _n(n-l)(n-2)...3.2 nn n(n- l)(n-2)...3.2. Ivd - t4t3...(n-l) '"":@'

Ooe r[oprvryae aajy ruoryhnocr Aa ce turauoBrr n-ror pega flac-KalroBor rpoyrna zrpauyuajy Ar(pexruo, 6ee ogpe$roana taarroBa tr3nperxoAErrx peAoBa, a y Eegn ca EnMa ce Jraxo yrnpfyje ,qa je:

Cl=Ci, Cl:Ci-|, Cto:Cl-3,. ..

- _1.?. Hera je Aar cqfir oA z eJreMeuara S:{a1, d2, . . . r orttp). Tai cEm trMa, oqEUreAEo, Kao rroAcKyrrone jegau'npazaucxyn o ujegan -n-ro.uranrr cKytr {ot oz, . . . , ao-t, on]''.

CsaKtr ueupa3ar cqm, AaJbe, maa je,Gou:ranrx cxytrona KoJIffioE eneMexara, ruro 3Ha!M Aa cryn S tloria n je,tpounamlx cKynoBa; araro oe us,ryajaneu uo jepor eneMeuTa u:r cKytra S ,qo6uja (oatrpeocraJrrrx unarora) yBeK tro jeaan uoacrlm o4(n- l) rnaxora, sa-xrryryjerr,ro va, je n 6poj orn troAcEmoBa n.

Axo ce no je4an eJreMeET crcyna S rorr,r6nryje ca uo je,rynvr o4upeosraJrtrx eJreMerrara, ao6ujajy ce ,qDoqraEu uoAcr)moBtr oBor cKytra.

CA.HEKNM APYTNM, tr 3ATITM TOT APYTOT EJICMEETA CA OHUM trPBUM,

ao64fa rrcrtr noAcrytr

-

rj._ uoruro je {a, a1}:{ap a,}

-

ro he 6poj

oBtrx uoAcKyuoBa 6u'rn It ceM Tora, uoruro ce usgpaja*e*r2

cBaxor oBaKBor noAcEma rlg cKytra.9no6zja no jegar uoAcEm ca uo

(n-2) ercuenra, sarryryjeuo ga je r 6poj oBtrx uoAcryn *"ry

.

34

23cxyna S rnrrocn

1.2.3n(n-l)(n4)

, tra je, ycJreA Tora, ro u 6poj onnx1.2.3

troAcKJAroBa crqyua S xoju nr'rajy no (n-3) eJreMenra.

Pesonyjyhu na raj HarIlrH .qona3trMo Ao 3axJbyqxa Aa trMa

I n (n-l) (n--a) (na)rrErBoporura'rrx,

1.2.3.4

"s

_ n (n - l) (n - 2) (n - 3) (n - 4)trerotura'ux, n c:&.ro.u,a'',

""-- r.2.3.4.5noAcKynoBa cKyrra o.q n eJIeMeIraTa. Mefyrnr,r, BurHMo Aa ce cBII oBIt

6pojeau H{ulase y n-ToM pe.uy IlacraloBor rpoyrna. 3aro MoxeMo.petv: fipojeeu us n-woi pega llacxatoaol frpoyita iloxaeyjy KoltuKo

uua ilpazuux, jegnovnanux, gaoqrraHux, ung., ilogcxlnToea cKyila og

n ereileuffia.1.3. Onae her"ro yrrpArru joru u cleAehe.Ha oorory flacxalonor rpoyrna Brr,IprMo Aa cxytr oA jeAgor

eJreMerrra rrMa yrqynHo 2:2r uoAcrynosa; cKyrl oA 2 eaeuexra uMayrymro 4:22 no1cxyrroBa; cKytr oA 3 eaeuexra urvra yrynxo 8:23uoAcKynoBa; nrg. Ilpeua roMe, 3a oBa rprl cKyrla BaxII cBaxatro trpa-

rnno: e6np cBtrx troAcKynoBa n-Toru[ranor cryna ngnocn 2".

Iloxaxnvro Aa HaBeAeHo trpaBlIno Baxlr B 3a qerBopoluraulr cKyn.

Hanre, aro ce eJreMeHTr{Ma rporulauor cKy[a AoAa jour u qerBprlr ere-Menar, onna he ce, ceM reh r[opr'mpauru( uoAcxyuoBa, ao6-lrn jolrf,cro roJrr{Ko rroBrx troAcxytroBa, re heruo uMaru yKynuo 23 ' 2:24troAcrynoBa. Hacranrajyhu oraj trocrynax, yrrpAuher'ro Aa, sau.cra,

uanpeA traBeAelro [paBruro Baxtr 3a cBaKo n, 3a cBaKf, cxytr oA n q]ra-

EOBA.

35



Ilpuuep l. - O.qpeaurn (ueuocpeauo) 6poj trerBopoqnanux

rroAcKyrroBa [recTorrJlaaor' cKyna.

Taj 6poj je ^4 6.5.4.3v6--

Ilpunep 2. - Konrrr jesJralror cryna?

t.2.3 .4

yxyflHrr 6poj no.qcKyuoBa treroura-

Taj 6poj je S:2s:32.

2.1. Axo nonqnh 6aunr"ro y Ba3r[yx, MoxeMo r'rrlrreKr{Barn Aaucrll [aAHe Ha ,,rp6" (f), unn na ,,6poj" (B). HcxycrBo Hac yqu .u,a

he xoA BeJrr{ror 6poja 6aqarba npn6rnxno r{cro roJruKo rryra flacrr{

,,rp6" xoJrI{Ko rlyra r{ ,,6poj". Taro, y Ana 6aqana npocerrHo rraAHejeaaunyr ,,rp6", [rro 3Harrx 4a je oeponarnoha ga he npunuxou 6a-rlarba HoBtu{ha nacru ,,rp6" ynpaBo 5O\, nnu I 12 (u.qa je ronura se-poaarxoha ga he uacru ,,6poj").2)

Mefyruu, aro 6a-quuo y Ba3Ayx 2 noaruha, ra4a nocrojrl Mo-

ryhuocr aa ce ao6uje: ,,rp6" - ,,fp6", ,,rp6" - ,,6poj", ,,6poj" -,,fp6", ,,6poj" - ,,6poj". Karo cy cBe oBe rlernpn uoryhnocru jeana-

Ko BepoBarHe (urvrajy ucry BepoBarxohy), To 3Haq[ Aa cBaKa lrMa Be-

ponaruohy oA25%, rj. I p. Y crryvajy ga goralaje fE u 6f He pa3rlrl-

ryjevro (Ao qera cBaKaKo Aona3r{ arco cy o6a nosquha jeAnara), raAaje neporarnoha Aa he npunuxou 6aqarra nacrrr ABe uejegnare crpaHe

nosqllha l- .z:J-. T"*o, neporarnoha Aa he ce Ao6urN gBa,,rp6a"42

rr3Hocr ll4, rcponaruoha aa he ce.qo6nrr,,rp6" u,,6poj" - ll2,a BepoBarHoha Aa he ce Ao6uru gra,,6poja"

- oner l/4.Ha xpajy, np€rnocraBrrMo Aa rrMaMo 3 nosquha. Kaxo 2 nos-

rnha r"rory uacrll Ha 4 na.rtlta" a cBaK[ ce oA IbI,Ix r"roxe xou6nnoBarrlca uo ane uoryhnocrn naAarba rpeher nonyuha, ro je yxynax 6pojrvroryhnocru, y oBoM crryrajy, ytrpaBo 4 " 2:8. flpeua roMe, Bepo-saruoha Aa Hacryrru 6nao roja oA oBnx r'roryhnocru je I /8. Ho, raxocy cKynoBH {f, f, E}, {f, E, F} r {8, f, f} (a r{cro raKo rr crynoBlr

{8, 6, f}, {8, f, E}, {F, B, E}) r'refyco6no jeAnaxu, ro neporarnohaAa npr{Jrr{Kou 6aqana naArry 2 ,,rp6a" N jegau ,,6poj" (oAnocno AanaAHY gna ,,6poja" r jeAan ,,rpg") rI3HocH 3/8. HanoclerKy, BepoBar-

noha Aa naAny 3 ,,rp6a" (rnu 3 ,,6poja") je I /8.

Aro neporaruohe ga uojelgue cfiysajeBe' y EaBeAeEa rpn trpx'

Mepa, trpeAcraBtrMo Ta6JIrqoM' AO6BjaMO

rl2 tlz

rl4 214 tl4

I /8 3/8 3/8 I /8

Ta6. 3

OAasAe ce B4F Aa ce y oBnM cJryqajeBl{Ma 6pojuouu outrx pa3-

JIoMaKa rojn npe4crannajy BepoBarHohy Aa he ce upruInroM 6aqapa

n nomuha ,,rp6oBu" u ,,6pojern" nojaruru y oApeDenoj pa3Meplr -Aa ce rrr 6pojeru rraory nahn y n-roM pe,4y. IlacraloBor rpoyrura, AoK

je ur"renuaall oEtrx pa3noMara ytex 2".

Vnepruo ce caA Aa oBo rlpaBtrJlo Eaxtr yourure.

flpernocraruMo Aa je 6aveno n sosqtrha. .{a crn oHIr tra,4ry c

,,rp6ou?' Harope, Moxe ce Aoro.AnTrr caMo Ira jegan naum.- Aa og

z uosquha zJ na.ue c ,,rp6oM" Irarope' a caMo jeAan c ,,6pojeM"Harope, Moxe ce AoToAETII lra n Haquna, c o6snpon l'a ro Aa ce cBa-

rov ba z nosquha Moxe AoroAtrTr{ Aa traAEe c ,,6poje*t" uarope. .{aoA n Eorsuha (n--2) tra$ry c

',rp6oM"Earope' a 2 c ,,6pojeM" Harope,

Moxec€AoroAETtrHaofloJlIIKoHaIIIIHaKoJIHKo,q9oIUIaHID(IIoAcKy-troBa trMa cKyrl oA n eJleMelrara fiep caAa cBe tro ABa oA.yKylrrro ttn(r*l\

sonqtrha naAajy c ,,6pojeM" uarope), a ro 3Eaqr""i

HaqrHa'

.{a on n xogsuha n-3 nagry c ,,4)6oM" trarope' a 3 c ,,6pojeM" Ha-

rop€'MoxeceAorolrrsHaoHoJruKoIIaqI{EaKoJIuKoI{MaTpoIUraHI[x

uoAcrytroBa cr(ytr oA z eJreMe'ara, a ro"yur, ry; urA.' 3.2.1

Crora je yrytralr 6poj rvroryhm uaqwra lLaAair;a uouurha, flpeMa olroMe

Iuro cMo BtrAeJIu y uperxo,ryoM rurauy' 2n, a aeporaruoha Aa ce ua-

Aarbe oAtrrpa 6aur na jeaax oaPebeH lraqrrn ll2n,nz qera [pou3trra3uga je naupeA saBeAexo rIpaBBJIo raltrro.

3aAaqr2) IIoA MareMarrrxoM neponarnohou troApa3yMeBa ce 6poj y:!-, rne ie

mp 6poj uoaornrx a m 6poj crux rrroryhux oryrajeaa.

36

l. Konmo xMa rpotutasux troacxytroBa cxytr oA 20 enevesara?

2. Axo 6argrrao 8 roruha, soirf,ra je reporarroha Aa ce nojanr xov6nra'

ryja: rpunyr ,fp6" E uer tryra'6poj"?

37



Voiislav tudriG (Valjevo)

BROJEVI I KOCKA

Ako ste nekada re5avali problem razmeltanja brojeva 1,2,3,4,5,6,7,8 u whore (temena) kocke tako da zbir brojeva na svakoj stranibude isti, onda ste ga, verovatno, brzo re5ili, raanatraju6i i kombi-nujuCi razne mogu6nosti razmeltaja.

Oni mladi matematiEari koji su problem malo dublje sagledali

uodili su da postoje izvesne zakonitosti po kojima se vr3i razme5tajbrojeva u temena kocke; da se po istim zakonitostima mogu razmestitii brojevi nekog drugog (ali ne svakog) osmodlanog skupa brojeval dapostoji vi5e re5enja datog problema, itd.

Cilj ovog teksta je da ditaocima koji ovaj problem nisu re5avali,ili nisu sagledali odgovore na sva ova pitanja, pruZi obja5njenje i ukaZe

Posledica 1. Da bi se celi brojevi a,b,cd,ayb1,c1,d1 mogli razmes-

titi u vrhove kocke tako da zbir brojeva na svakoj strani bude isti, po-

trebno je da zbir svih brojeva bude deljiv sa 2.

Tako, na primer, brojevi 1,2,3,4,5,6,7,8" zadovoljavaju navedeni

nrrZni uslov da mogu biti razmeiteni na temeninra kocke na pomenuti

oadin, jer je zbir tih brojeva m:36 deljiv sa 2; a da bi taj razme5taj bio

izvr5en, nuZno je da zbir b'rojeva na svakoj strani bude 18.

2. Ma koje dve susedne .ttutt" kocke imaju po jednu zajednid-ku ivicu. Ova Einjenica se moZe iskoristiti da se pronatlu jo5 neke

zakonitosti ovog razme5taja.

Teorema 2. Ako je zbir brojeva na svakoj strani kocke isti, onda

su zbirovi brojeva ga naspramnim ivicama kocke medusobno jednaki.

Dokaz:

(l) a*b*c*d:a*b*br*ar iz Eega sleduje cld :a1*b1 (l')

na nove puteve i probleme.

1. Posmatrajmo kocku (sl. l)ABCDA${1D1 u dija temena su sm€-Steni brojevi a, b, c, d, ay by cp dt.Temena koja pripadaju jednoj ivicikocke (l i B, A i D, B, C,itd.) zva6emosusednim, a brojeve koji su razme5-

Steni u susedna tem.ena - susednimbrojevima. Paralelne ivice koje nepripadaju istoj strani kocke (ll1 iCCy BB1 i DDy itd.) nazivacemonaspramnim ivicama, Terrena kojapripadaju velikim dijagonalama koc-ke zvademo naspramnim, a brojeve koji su razrne5teni u naspramnatemena - nasprarnnim brojevima.

Teorema l. Ako je zbir brojeva na svima stranama kocke isti,onda je on jednak poluzbiru svih razme5tenih brojeva.

Dokaz. Svako teme kocke pripada trima stranama kocke, pazzto zbit brojeva sa svih 6 strana kocke, predstavljene na sl. l, iznosi3(a*b*ctd*ar*br+ct*dr). Kako imamo 6 strana, a zbir bro-

jeva na svakoj strani je isti, to taj zbir iznosi

o_ atb*cld*ar*h*4*du"_2,

tj. jednak je polovini zbira svih brojeva.

38

(2) atb*c*6:s{d}dt*ct ,, ,, ,,

(3) a*b*br*ar:b*clc1*b1 ,, ,, ,'

@) a*b*br*ar:a*d*d1!a1 ,, ,, ,,

(5) a*b*c*f,:Slgi-cl{b1 ,, ,, ,,

(6) a*btc*d:ald*dr*q ,, ,, ,,

a{b :c1!d1 Q')

a*at:c*cr (3')

b+br:414, (4')

ald :b1*c1 (5')

b{c :a1*d1 (6')

Jednakosti iz desnog stupca gornje tabele pokazuju da je dokaz

teoreme izveden.

Posledica 2. Da bi se celi i medusobno razliditi brojevi xr<.xzl1x31x41x51x61x7<.xs rnogli razmestiti u vrhove kocke tako da

zbif brojeva na svako; strani kocke bude isti, potrebno je da brojevi

x1 i x2, x1 i x3, .16 i xg, x7 i xg budu nesusedni.

Dokaz. Ako bi brojevi x1 i x2 (dva najmanja bili) susedni, tj.pripadali jednoj od ivica kocke, onda bi i zbir brojeva na naspramnoj

ivicikocke morao biti isto toliki, Sto je nemoguce, jer je zbir ma koja

dva od preostalih brojeva ve6i od xrlxz. Na sliEan nadin se izvodi do'kazi za ostale navedene parove brojeva.

lz tog razloga, na primer, da bi se brojevi 1,2,3,4,5,6,7,8 moglirazmestiti u vrhove kocke tako da zbirovi na svakoj strani kocke budu

sr. I

39



tnedirsobnojednaki, potrebnoje da brojevi I i2, I i 3, 6 i 8,7 i 8 budunesusedni.

3. Iako smo neke zakonistosti razme5taja i u konkretnom i op-tem sluCaju ve6 uodili, one nisu dovoljne za re5avanje na5eg i op5tijihproblema. Zato nastavljamo istraZivanje.

Teorema 3. Ako su zbirovi brojeva sa svake strane kocke medu-sobno jednaki, onda je razlika naspramnih brojeva konstantna.

Dokaz. Koristedi se jednakostima (l')-(3') dobijamo:

C-A1:fit-4, a-c1:/r-6, A-ct:C-ab

odakle zakljudujemo da je

a-c 1: S 1-/: c-at: d t-D odnosno c 1-a1: d-b t: at-c : b-d rKako su parovi a i cy b i d1, c i a1 d i bl zaista naspramni brojevi,

to je dokazivanje teoreme zavrSeno.

Posledica 3. Ako je od 8 datih brojeva moguce obrazovati 4 ure-dena para brojeva, takvih da su razlike izmedu prvog i drugog od svakadva broja koja dine isti par medusobno jednake, ti brojevi se mogu raz-mestiti po temenima kocke tako da zbirovi brojeva sa svake -strane

kocke budu isti.Dokaz.Ako su zadovoljeni uslovi a - c:1:Sr-4:c_-ar-'dr_-b:

:&, tako da je a:cy.yk, b:d1-k, c:d1!k, d:bt-k, onda se putemneposrednog'proveravanja moie utvrditi da 6e biti zadovoljene i jed-nakosti | - 6, Sto znadi da 6e zbirovi brojeva na svima stranicama koc-ke biti isti.

Kako se pak svaki od 4 uredena para brojeva, koji imaju svojstvoda su razlike izmedu prvog i drugog dlana svakog od njih medusobnojednake, moZe smatraii za po jedin od parova (i, ti, (tr, il (c, ar) i(dt b), odnosno za paro've (cy a), (d, br), (ar c) i (db b), to se onimogu razmestiti po temenima kocke tako da zbir brojeva na svakojstrani kocke bude i-sti.

Prema tome, potreban

idovoljan usloy da bi se 8 brojeva mogla

razmestiti po temenima kocke tako da zbir brojeva na svakoj strani budeisti jeste to da se od njih mogu obrazovati 4 uredena pora, takva da surazlike izmedu prvog i drugog od brojeva koji iine isti par medusobnojednake.

40

Napomena. Kako se 4 pra brojeva mogu poredati naspram pa-

rcva (a,i1), (bud), (c, ar\ i (du b), odnosno naspram parova- (ct a),

(dy b)'(a1-, d { @, d) na Po 4.3.2.1:24 naEina, to je razlre5raj parova

io]i iadouoljavaju navedeni uslov mogu6e inrr5iti na 24.2:48 nadina.

Tako, na primer, ako su u pitanju brojevi 1,2,3,,4,5,6,7,8- ,pa se

od njih formir4iu parovi (2,I), (4,3), (6,5) i (8,7), onda se moie uzeti

da je a:2, c1:l;-fr1:$, d:5; i:8, al:1, dl:4,,b:-3,-ali se- moZe

,rzeii i da je a:t, ci:2;bt:5, d:6;'c:7, dt:gdt:3, b:4- U o'ta

dva sludaji brojevi 6e se pojaviti na kocki onako kao Sto je predstav-, ljeno nu il. 2, odnosno ni il. 3, i u oba sludaja 6e zbirovi brojeva na

svakoj strani kocke biti medusobno jednaki.

-/t // --r- 6

il

3Jz,/, ,/-l

l,ll1,"'9

- - -)-l'l; l,)sl. 2 st. 3

No, rasporetliva4ie ovih brojeva mogu6e je izvr5iti, kao Sto smo

videli, pi"m" postavljenom zahtevu jo5 na 22 nailinra'

Zailacl

1. Pokafite da se od brojeva 1,2,3'4,5,6,7 i 8 mogu formirati na-3 naCina po

+ *eA"na-p-uia [o:i;...i" svojstlvo dairi iadike iznretlu prvog i drugog bloja svakog

para medusobno jednake.

2. Dokaiite da se ma kojih 8 uzastopnih celih brojeva mogu raanestiti u

temna Locte taib aa je zbir brojeva na svakoj strani kocke isti'

3. Utwdite zakonitost razmestaja 8 brojeva u temena kocke tako da proizvodi

brojeva sa svake strane kocke budu medusobno jednaki'

4.PokuSajtedaformuli5etepromemerazrrre5taja[ojevgutemenatetraedrai of;taeAra

tt-ii ii tuf"" pioUiit*-prooa<lete odgovarajuce zakonitosti razme$taja'

oooooooaoooooooooeooooooooo 4l



Varijanta IUOCAVANJE GEOMETRIJSKIHFIGURA. SABIRANJE BROJEVA

1. Podvuci tadne iskaze:a) Trougao ima detiri ugla.b) Pravougli

trougaomoZe biti

jednokraki trougao.c) Trougao rnoZe imati tri stra-nice jednake.

d) Trougao moZe imati dva fiirPa

ugla.

2.7-apiSi skup trouglova sa stranicomAC (sl. l) i skup trouglova sa t€-menom .F.

F

sl. I3. Koristeci zagradu, napi5i izraz koji

odgovara zadatku:a) Najmanjem trocifrenom brojudodati zbir Dajveceg detvorocifre-nog i petocifrenog broja,b) Zbiru najmanjeg trocifrenog inajveceg detvorocifrenog broja do'dati najveci petocifreni.broj. Izra'dunaj vrednosti oba iz.raz.a.

4. Ako je 27 896t34 569*345::62 8lO, odgovori samo na osnovu

PosmatraDja ovog zbira, bez za-pisivaaja, koliko je:

a) a) 27 897+34 569+435:b) 527 896+23 4 569*345:

c) 27 896J34 569*300 345:d) 27 896+34 569+lrS:5. Na primeru 3+4+5 objasni i

pokaii:a) osobinu komutacije ib) osobinu asocijaciie.

42

st. 2

43

?,ADACIZA PROVERAVANJE STECET{OG ZNANJA IZ MATEMATIKE

IV RAZRED

ZADAC.IZA PROVE,RAVANJE SIECIA\IOG ZNANJA I'Z MATEMATIKE

V RAZRED

Varijanta.IIOPERACIJE SA SKUPOVIMA.SABIRANJE I ODUZIMANJE USKUPU N.RESAVANJE NEJEDNAEINAl. Napi5i elemente skuPa l, ako je

((b,b), (b,k), (b,e) \A' : l(k,b), (k,k), (k,e), Il(e,b), (e,k), (e,e) )

2. Skupovi A, B, C zadati su dija'gramom (sl. 1). NaPi5i elemente

skuoa:a\ )oanc: b) (A u Bl.c;c) 8nC; d) (lnC) tr B-

sl. r3. Upisivanjem jednog od znakova T

ili I izoad crtice, odredi istinitosne

vrijednosti sledecih redenica.:a) .iVUff:rV-

; b) jVOff:rV- ;'c) ffn|:o-; dl Ae B:BU A-.

4. Pomoiu cifara 6,0,4,3,7,1 naPi5i

najveii i najmanji broj, Pa:a) njihov zbir oduzrni od milion;b) qiihovu razliku oduzmi od mi-lion.

5. Prirqienom osobine asocijativnostii komutativnosti Pokaii da je:a') (a-m)+(b*m):"tb) (c*r:)*(6-m):c,ako' je afb:c, a>m, b>m, ia, b, meN.

6. odredi a i b tako da nejednadinaa*x>b

ima rjdseaje na brojevnoj Poluosi:

a) ^, **-JN\\\\NNir\:\NN\$N ut o , 2 3 1 5

VarijantalPR.ESLIKAVANIE. UZAJAMNOJEDNOZNAENO PRESLIKAVA.NJE. SKI.JPOVI TAEAKAl. Koja od ovih slika prikazuje funk-

ciju? ZaSto (sl. lX

a)st. I b)

2. Koja od ovih slika predstavlja obo-strano (uzajamno) jednoznadno pre-

slikavanje (sl. 2X

o)- sr.z b)Kako se zove funkcija koja presli-kava elemente skupa I na ele-

mente skupa a (sl. 3)?

4. U ravni je dato 6 tadaka od kojihni jedna trojka tadaka nije koli-nearna. Koliko je pravih odretlenopomodu. ovih tadaka? Obelefi tadke

i zapiSi skup pravih.5. U prostoru je dato 5 tadaka od ko-

jih nijedan skup od 4 tadke ne pri-pada jednoj ravni. Koliko je rav-ni odretftino pomodu ovih tadaka?

Obeldi talke i zapi5i skup ravni.

Varijanta IICENTRALNA ROTTACIJA. KRUG.KOMPOZTCIJA FUNKCIJA. SKT'P.APSOLUTNA VREDNOST BROJA.SUPROTNI BROJEVI.

1. Dati jednakostranidni trougao ;lBCpreslikaj

rotacijom zaprav ugao u

negativnom smeru, ako je centarrotacije taCka P 'an trougla.

2. Pravougaonik EFG|I preslikaj ro-tacijom za dati o5tar ugao u po-

zitivnom smeru oko tadke O kojapripada njegovoj unutra5njoj ob-lasti.

3. Data je prava I i na njoj tÊka A.Konstrui5i krug koji prolazi kroztadkrr A, dodiruje pravu / i diji jepoluprednik r:3 cm. Koliko ovajzadatak ima re5enja?

4. Dat je krttg k{O, rt) i na njemutaEka M. Konstrui5i krug kojiprolazi kroz tatkt M, dodiruje

krug ltr i ima PoluPrednik r:2 cm.Koliko ovaj zadatak ima reSenja?

5. odredi lG@D i s(@))ako ie f(x):2x*l i s(o):zx-l'Izradunaj:

a) /(g(1)); b) g(/0)).

6. Odredi s(.t), ako ie f(e@D:zx+*2, a f(x):)y-

7. I.a:ahnaj brojnu vrednost lxl 'lyl--xY

ako je .r:-5, a lYl:10.Koliko re$eqia ima ovaj zadataklZalto2

t. Kako se nazivaju brojevi x i Y,ako je 3r*3y:0?

9. Kojem skupu brojeva PriPada -Y'

ako vaZi 1:{a,lxQZ,-3(x(4} iY:x*3?

10. Odredi najmanji element skuPa:

a') zAN;, b) znN.; c) NU{ohd) {0}UZ+ ; e)Z+ nZ- i I ZnZ+.

b) b)

st. 3



Varijanta ITROUGAO. PODUDARNOSTTROUGLOVA. BINARNEOPERACIJE

l. Sta zna5 o uglovima trougla:

a) ako je zbir ma koja dva njegovaunutra$nja ugla veci od 90';

b) ako je jedan od unutra3njih

uglova jednak zbiru druga dva

ugla?

1 Sta zna5 o trouglu ako je jedan

njegov spolja5nji ugao o$tar?

3. Koja je najduia stranica u pravou-gloh irouglu, a koja u tuPouglom?

4. U trouglu MNP stranica MN ienajduia. Kakav je { P i koji su

uglovi tog trougla o3tri?

5. Postoji li jednakokraki trougaodije dve stranice imaju duiin:: 6 cmi 12 cm?

6. Ako je GHLEF (sl. l)' EH:HFi +l:{2, uPoredi duZi GE i GF-

FHFD

sl. I sl. 2

7. Ako je AD:BC i + l: {2 (sl. 2)'uporedi duti AB i DC.

t Obeldi podrdadenjem koje opera-cije predstavtjaju binarne opcracije:ai drir uroiir"i; b) mnozenF bro-j6va; c) kvddriranje brojeva; O od're<livanje sledbenika nckom broju;e) odrcilivan&: Prcthodnika nckombroju. Zr5to?

st. 2

ZADACIZA PROVERAVAI.IJE STECEI\OG ZNANJA IZ MATEMATIXE

VI RAZRED

Varijanta IICsrvonoucAo. sKLrP Q.UPOREDIVANJE U SKUPU A.

l. MoZe li detvorougao imati dva pra-' va ugla ili tri prava ugla?

2. Ako sri dva spolja5nja ugla jgdnogCetvorougla' 103" i ll5o, a jedanunutra5nji ugao 120", izradunajuglove tog detvorougla.

3. Podvuci tadne iskaze;

a) Dijagonale Pa.ralelogram+ sq

simetrale njegovih \uglova.

b) Dijagonale romba su Podudarne.c),Dijagonale paralelograma se po'love.d).Naspramni uglovi .pardelogra-ma su podudarnr.

e) Kvalrat je fravougli romb.

4. Koliko m je bila dugadka traka'ako je od nje ostalo 5 m kada seprvo o'dbacila njena Polovina,- a

iatim jo5 tri petine preostalog dela?

5. Elemente skuPova:

(3 5 6 I 2l

':l','v' - 7'n' -7Jooredai po velidini tako, da idudiia l"va-ni desno svaki element bude

manji od Prethodnog'

5. Dati su skuPovi:

,r:{xlx€Q, z,S+t:--S }},-'a:{xtx€o,*>-12+i.

Otlrcdi: a) A(\8', b) l' U t

VarijaDta IPITAGORINA TEOREMA

1. lzralunaj povrsinu pravorrglog tro'--

ucla a[o-je njegova hiPotcnuza

17cm, a jddna tatcta tscm'

2. Ako su duline sranica jedngg-tro-

uda 6cm" 9cm i llqn' da ll Jeti pravougli trougao?

3. Ak; ic lD:l8cm, DC:5crn i--

Cn26cn (sl. l), izraEtnî AB'

B

st. IMON

sl. 2

(l 1 I I I I l'l

'- tT' T' 1'T' ll' 7' zJ'(3 7 2 4 8 9)

':tt' T'T'T'T'TI'

4. U trouglu MNP ie PQ LMN (sl' 2)'--

lt"-ii-riv:10Cm i QN:6 un' iz'rarurij MP i MA-

5. Izradunaj povrlinu jednakokrakog- trougla it6 je AuZina njegove- os--? 5

novicelm, a dufina krakaTm'

6. Stranica romba ji 13 cn, a jedna--

aii-"go*t" je 24bm. Izradunaj po-

viiiiu i viiinu ovog romba'

7. Osnovice jednog jednakokrakog-" it"iiti-t" is cni i 9 cm, a visina je

7€'4crt krada od kraka' IzractnaJ

Povr3inu ovog trapezs'

S. izraEunaj povr5inu trapza. ABCD-'il".t-d"ti-Podacima Gl' 3)'

C

sl. 3

4

sl. I

45

ZADA CIzA PROVERAVAI{JE Srtrcinio!-4qrANJA Uz MATEMATITE

VU RAZREX'Variianta IIKVADRIRANJE I KORENOVAI{JE.REI.ACUE. FI.INKCUE

f. Izradunaj: a) 3z

A{ .ro ic x:-2,2, Y:+'z:3.2. Ako ie A2: a\ 0,04ril; b) 4xzYai- c) o,ino4x+yz, kolko ie A?

3. Rijdi jednadZbu:

a) 0,(DY:: g,gg81; b) - *t'-

9

;or(J)';"rf;,

llolol0lol0loa,:l+l+l+l+l+l+

_ol_o_lgl_o_l|_o

+l+l+l+l+l+

lo00'4. Relaciia R na skupu I Predstav'-

liena ii parovima (1,4), (1,2), (2,3),

(i,4),-(i3), (3,4). Koja je to re-

ta6liif fuje osobine ima?

5. Nlcrtai strelidast dijagram relacije

- iiueS<r*y<I0 zadane nad sku'pom A : 11,2,3,4,5,6,7\.

6. Koje je pravito preslikavanja i do-

men funtcije F, ako je

r:iti,rl, ti,o, (+,2), (io,g), (tt'g))t

Predstaviti to preslikavanie streli'

Castim dijagramom.

?. Koia od sledecih tatrcla na sl' I'-rridstavga funkciju? Napi5i njeno

Pravilo.

2

Ib):



ZADA C IZA PROVDRAVANJE STECENOG ZNAT.IJA TZ MATEMATIXE

VIII RAZRED

MATEMAflCKA TATMITbNJA

zx)Acr sA REPuBLrCroc

NATJECANJA UCET.ilKA OSNOVNIH

STOT,E SR IIRVATSKE

o{rtunog 9-11. svibnta 19t0. u Splitu

Kao i ranijihgodina, natjecatetji,su rjetavali dvije skupine zadataka' ovdje

eemo tiliti tamo-te# zadaike, koji saeinjavaju drugu skupinu'

Varijatrta IOSNOVNE LOGICKE OPERACIJE.OSNOVIV ZAKONI ZAKIJUCI..VANJA1. Odredi istinitosnu vrednost iskaza:

a> pV qi b) p Aq; c) p=q ako je

pistinito, aqlaln.o.2. Koji od slededih iskaza su istiniti:a) I (Bed je grad na reci Volgi);

b) 3+2:75 ABeI je grad na Du-navu;c) (Postoje bele ruZe)V3<2;d) 5 je prirodan broj=+5l nije ceobroj.

.

3. Koji je od zakljudaka

a) ACB, xeA+xeB,b> AcB, xQB+x€Atadan s obzirom sL l?

st. r

4. Koji je od zakljudaka

a) ACBABCA+A:C;b) ACc ABCCIACC;c) ACcABCC+CCiltadan s obzirom na sl. 2?

st. 2

5. Odredi istiniioanu wednost iskaza(o Aq)+q, za sve mogudc istinitosnevrednooti p i 4.

Varijanta IIJEDNACINE. NEIEDNAANE.SISTEM DVE LINEARNEJEDNACTNE SA DVENEPOZNATE. HOMOTETUA ISLIENOST

1. Rijeli jednadinu:x+2 x-l 1-3x!-_43t2

2. Ako se u jednadini 4 -r:trcpoznata x zameni vrednosScukoja je zz 5 manja od rgenja jed-nadine, za koliko de se onda radi-kovati leva strana od desne?

3. Odredi presjek slupova rjeSenjanejednadina:

2{x-3\4x)2-x i 5x)4.4. Rije$i sistem:

3x-2y 4x-y ,43

2y+ x Sy-x

-+l:-.37

5. Data je dru? AB. Odredi na njoj tad-k C i D tako da ie AC : CB:l:4,AD z DB--S:2.

6. Dat je centar homo-tetije O i koefi-t 3 5\

cijent /c[-t,

t,Z, - 4). Kon-

struiSi:

a) tadku homotetiaau datoj tacki M;b) duz homotetidnu datoj dutiPQ;c) pravu homoteti&lnu datoj pravoj 1.

7. Konstrui5i datom kvadrat! ABCDhomotetiCan kvadrat ako je terre

C entat homotetije, a k:-jkocficlient homotet[ie.

t. Podvuci tadne iskaze:a) Svi krugovi su slidni.b) Svi jednakokraki trouglovi au

8liCni.

VTI RAZRED

1. Od ,loo jednakih zlatnih Sipki treba izliti.dukate. Pozaato je da se od. svake

sioke moie izliti lb dukata;;i tilJ stanovita kolidina zlata preostane-i to toliko da

#&';'rfi1"to sdki ;;$ izliti nova Sipka jednaka prvotnim. Koliko se ukupno

dukata moie izliti iz danih 400 $ipki?

2. Zadani su krulni vijenac i duilina AB kao na slici l'Kolika je povr5ina tog vijenca, ako ie d(A,B):2?

3. Udenik je krenuo u Skolu izmetlu 8 i 9-sati ujutro. ito u trenutku kadi su se velika i mala kazaljka poklopile' Vratio

i" trei it*"0t7 i 3 sata popodne u trenutku tq{a su ka4ljteiii""iii" iip-rtt tut. r6uico je vremena proteklo od polaska

do powatka?

4.ZadagesutodkeA,MiN.KonstruirajparalelosFmkojemjeljedanvrh'a M i ii poto"ista dviju stranica. Koliko ima rje$eqia?

VIII RAZRED

1. Andrija i Boris izasli su istovremeno iz iste ku6e i uputi.li se u istu skolu.

Soriro"loruk]i; iOZ"-tt*i-ra e"drijinog, tro-zato

on za ist6 vrijeme napravi l0/o

k;;;ia" risi-"ito enoiija. Tko je priie stisao u skolu?

2.|JtrarrJzllABCDsosnovkamaABiCDlilretralakrrtaPri.whu.sokomitai" na strunicu 7-o i ti;.r" ie u toeti E t"ko da je d(A,E) :2' d(D'a,' U kojem omjeru-dijeli

sir.retrala .8E ploStinu trapeza?

3. u razredu ima 20 djedaka. f.etrnaestorica imaju smede oci,.petnaestorica

t"rno,, to*, ,edamnaestoiiL-iize vise od 'lO kg, a osamtraestoricasu visi od 160 cm'

;;ffiiiA-d;;- c"i"oti.. djecaka imaju sve navedene osotrine'

4. Izla.i.iiti volumen uspravDe trostrane prizme pomocu duljine 9?jdq!9stranice osnovte, ako se [""6i'"ii O"tiioa stranict osnovke odnose kao 8 : 13 : 25'

i Outjine dijagonala pobodki kao 7 :8 :' l0'

sl.

46 47



-

Rielenla zodatoll

VII RAZRED

l. Od 400 zlatnih $ipki izlide se t(l0o dukata i novih 20 Sipki. Od novih 20

Sipki izlicemo 2fi) dukata i jo5 jednu $ipku, od koje dobijemo joS l0 dukata. Dakle,idiveno je ukupno 4210 dukata i preostalo je zlata za neSto vi5e od pola dukata.

2. Uodimo pravokutni trokut zl,S? na sl. 2. Ovdje je Rz

-r2:1.Povr$ina P vijenca je: P:rc(Rz-r2), odnosno P:rc.

3. Oznadimo sa r broj minuta za koliko je pro5lo 8

sati u prvom sludaju. Dok velika kazaljka prode cio krug,mala prode Sezdeseti dio, a to je podeok koji odgovara jednojminuti. Mala kazaljka startuje sa broja 8, tj. sa detrdesetogpodeoka, a velika sa broja 12, tj. sa poCetnog pololaja. U mo-

mentu poklapanja kazalj$ vaii& jednadiba: n1:*.60

1

c) Konstruiramo duZinu lC paralelno sa MN, tako da je AC:2 MN, itd,.

O Konstruiramo poloviite S duZine MIV i odredimo todku C tako da jeL

Ac:: As- itd-3

VIII RAZRED

l. Oznadimo sa ',4 duljinu Andrijinog koraka. Tada je duljina Borisovogkoraka 0,91. Dok Andrija nadini jedan korak, Boris de naCini l,l koraka i predice

put duljine 0,9A .1,1, Sto iznosi 0,991. Dakle, Andirija se brZe krede i stiiice uSkolu prije Borisa.

2. Ako produljimo krake trapeza, dobicemo istokradni trol<ut ABF i njemupodoban trokut CD4 pri dernu su stranice trokuta CDF detiri puta manjih duljina,(s1.7). Zbog toga je plostina trokuta ABF ravno 16 puta veca. od ploStine trokutaCDF. Sada je odigledno da je plo3tina tapeza simetralom 8E podijeljeaa u or4ieruE:7. r

2M St.2Odavde je x:

SS.

U drugom sludrju poloZrji kazaljki razlikuju se za 30 podjelaka, pa

imamo jednadibu: tO+l:v-30, gdje smo sa y oznadili broj minuta poslije6()

2 sata, kada kazaljke zatvaraju ispruZen kut. Odavde n t:#. Dakle x:y,pa je od polaska u Skolu do povratka proSlo ravno 6 sati.

4. Rhdik.rjemo 4 osnovna sludaja, dija su rje$enja prikazana na.slikama 3,4, 5, i 6. Opisacemo svaku od ovih konstrukcija, a ditaocu prepu$tamo da zakljudikoje smo osobine pri tome koristili.

l) Konstruiramo polovi5te ,5 duiine Mff i produljirno duZinu ,{S do C, takoda je AC:4 AS. Zatim, konstruiramo pravce AM i lN i toCkom C paralelno njimacD i cB.

A sr.? 6sr.8

3. Od 14 udenika koji imaju smede odi, najviSe petorica nemaju tamru kosu,

jer od ukupno 20, njih 15 sigurno imaju tamnu kosu. To se moZe lako uoditi na Ve-aovim dijagramima skupa O udenika smedlih oCrju i skupa K udrcnika tarnne kose(sl. 8). Dakle, najmanje 9 djedaka imaju smede odi i tamnu kosu. Od ovih najviSe

trojica nisu teii od zl0kg, jer su njih l7 teiiod zl0kg. Preostaje najmaqie 6 dedakakoji imaju smede odi, tamnu kosu i teZi su od ,lO kg. Od ove Sestorice najvi5e dvo'jica nisu vi$i od l60cm. Preostala 4 djedaka sigurno imaju smede odi i tamnu kosu'a teZi su od 4okg i vi5i od l60cm.

' 4. Na osnovu datih podataka moZemo staviti da je: a2:8k2, b:13k2 iC:25k2, odnosno c:5&. Dalje ie dr:71t, dz:&n, dr:l0n, gdje su sa dr, dld,oznadene dijagonale poboCki, kao na sl. 9. Da bismo izraduaali plo5tinu Iosnovke, moramo nadi iluljinu v visine koja odgovara stranici c, (sl. l0)- Izpravokutnih trokuta BCD i ACD dobijamo: a2-i2:v2 i tf -(c-x)2:v2, odakleje a2-f :gz-(c-x),, odnosno 8k2-x2:13k'z-(5k-x\2 Re5eqie po x posljednjejednadZbe je x:2k. Seda dobijamo: v2:8k2-4k', pa ie v:?*. Dakle, osnovka

Iima ploStinu fl:- 6.v: Jls,z.

z

Visinu t priznre dobicemo iz uslova: a!:al:O: e+, odnosno (a2+h2):'t2s k,

2(It+h2r-49264. Smenjujudi a2 s &kz i 6p sa l3&'z, dobiCemot lrr-rr-' odak'

'is*lc ic i-:.

Y;l49

AMBst. 4 st. 5 sl.6

b) Konstruiramo toCku 8, tako da je AB:2 AM. Zalim, to&ama A i Bkonstriramo pravce paralclne sa MN i todkom /V pravac paralelatr sa lr.

\J

D

st. 3

-' 4t



Volumen prizme ieV - B' h: 5 0''/a-s k I t25kt

s Vs

(5 &)r ct:-sv3:v3

D

sl. 9

C

sl. l0

LETNJA Sxor,a unuSrvl NrlrsNrlrlCene, rtztCln4' tAsrRoNoMA sn snnii-b-ZA MtAnC naerBnaefrCARE, uC_pNtxE-6sii6nnil"Sxoln ibn-ve FAZE usMERENoc oBRAzovANrA

Ova Skola je radila u toku ovogodi5njeg Slof:lgg.l"ttjeg odmora u

vidu detiri desetodnema telaja i to : jedan za uCenike V i VI razreda osnowe

ii;i.,.i;;-ilt!f,ftmii virr razre-oa osnovne Skole i jedan za udenike prve

faze usmerenog obrazovanja'* -S'ffi;ft"oii" "lii6*tiItu

,,Suplja stena" kod Beograda, izmetlu l'iula i 10. aveusta ove godine.'*-' i.A;"?l; 6ti; i;;A;., prema predvitlenom prosramu,..t1

-ry,IiCasa dnevno u t-oku osam dana u svakoj smeni. Ostalo weme Je blIO precvl-

deno za izlete i rekreaciju u&nika.----OO-uiopoo U tai, koji su bili o-driani.udesnicima svake smene'

S darova je-bil'o

p."Ori6i"6 ia bUraOu teZih i teSkih zadataka u vezi sa re'dovnim Skolskim ptogt" l-,tor su ostali dasovi bili predvideni Lqlqloosebnih tema. TCko iu, na primer, na prvom od ovlh tecaJeya bile ooraoene

ieme: ,,Kratak istorijski pregled razvitka. brojanja'. zaplsrvanJa-91-"]:Yi i

nadinaiadunanja, sa olak5icama u radunanju, od abakusa do komp1urcra-' r

;;B;oj"""i ;isiemi, racunske operaclje u njlma i kodiranje redi i reEenica u

i;i";'fi; uiojiGo- .iri*u.;. u diusom-i trecem..teraju bile. su obradrvane

ieme: ,Jezit iadunara", ,,Geometrijske konstrukcije. t 9ctll1d"l-oJÎ3:l::^',,Problijmi ekstremuma u geometriji"; a u Cetwtom te'aju bi.Ie.su

P,1111?lf:pored ostalog, terne: ,,Nejednakosti", ,,Problern. pokrlvanJa". r

"AlgeDarsKri;;;t;;td;ini brojevl iitanje resivosti nekih klasidnih problemal'

- -' -""d;il'i;drj;;ifii"'ptfistvovalo95upqo oko 140 slusalaca' 7'a 26 od

o"in Gs"ila-t"iStone-toiuntu

u letovalistu je snosila redakcija Matematid'

t"" ri.tullo su bili oni .r.*iii koji su se ni3vise istakli na ovogo5dr5njina

;i"'#iiiil-t"r.-ic"riir"u ili kao resavaoci konskursnih zadataka. 7a

ijiuC""itu troskove Uoriuica su snosile pojedine,skole, dok su ostali uI'esnici

6;t""iii u letovali5tu o *ro- tro3ku. Svebrganizacione tro5kove Skole sno'

.io ie t"titematidki list za udenike osnovne Skole--" * I{;';;;';"c"fi; uitiiu p;rr-tje"i samo-udenici sa odlidnim uspehom

iz maternatike. svi-su ooi pazliiuo f,ratili predavanja, a.-mnogi su od njih i

;;;j;;6;;A;o-*oo"

koristili za iekvanje postavljenih z4datg.u'a-' - -.... -- Fil tedajevima su-radili profesori i tstavnici: dr Vladimir MiCi6,

mr Mi;ja;M;;ak, mr Milan Boiie, Branka.Derasimovii, vladimir st"J"+g-

;ie,'}ilild ilit6"iC, Voiirt"" Andri6. Jani6ije Davidovi6 i Platon Dimi6.

505l

I

3AAAIIUOAABPAH}T 3AAAIIII

Orr ralau rpc6e la Bar,r crrylo !t Er6y E ntlutrurEa!r rrrrcMartrlls rsrMFrcEa, rao n 16 paa V x&ayatuMoJ eK*Ju.Ola6tnar saarq! nrcy r€Erx r rroro,qa Er trutx cran yrcm rojrpc,qorEo trIrara uagruy MarcMarrro y Drortr. 3agsilo rpcSs cguo-crarEo .qa lEUEc, a FtBGAcxl p€yrraTE B y[yTcTSa xcra atM G'tyrcga ronrpony. 3a yrcrrrc xojr uany puolia Koaxypctux sgofuoxa[psaopylDsao jc ,qa npcrxo,qso pcrtrc Ogadpw mg&xe, jcp cy ounaruf, oA romypcaf,xr ua orrj Da.q tpcacraana ropzcgo yncr6aatte.

A) 3a yuenuxe IV a V paspega

1505. Konrmo je qrrbapa (sEaMeE(u) yuorpe6.neiro sa nynaepucarre jeg3e

Knr{re oA 480 crpaxa?

1506. Axo xexn 6poj yrr{arif,Mo ea 13, aobrjarvro lrpf,porarr 6poj rojr je ua- 'pn o,q 30. Onpear cre 6pojene xojr rcuynaaajy oraj ycloa.

1507. OApeAf, sajlehy a najrvrary BI!€rEocr nrpara 825-x, axo je r rlplpo- .

rau 6poj.

' l$t. Koucrpyrrrrq xra,rlpar n xaqpraj cre qerf,pr EeroBe oce cnraerprje.Kormo 'rpoynroBa (rporyra) yoqaBan na raxo .qo6f,jenoj $nypu?

l5lD. Pas[f,ra uruely iryxrlrc (.qyrbme) tr rmpf,He nparoyraoizxa (npa-

rorcyrruxa) je 50 cm. Konrxe cy EeroBe gnvrexruje, axo je neron o6nrt (oucer)500 cm?

B) lb yuenuxe V u YI paipega

1510. Hera je A:{1,2,3,4} f, Hera cy ta xQA set}nHucane Oyrmqrje /(.r)::x+2 a s@):S-x. 3a roje ereMerrre xeA rplxs f(x):6(x)?

1511. Mepnu 6pojern Aunrexsrja (BaJ1pa cy rprr y3acromra trapsa trptrpo4na6poja. Oapenurr 4rnvrenrnje ror xBaApa aro je a6np (g6poj) nyxma (4trnra)cBr:( EeroBux araqa (6pr.qoga) 72cm.

1512. Taxa (ro.rra) C .qeru ryx (ayxrsy) AB y patuepn AC : CB:3 :4.lItpatyuarr. Ayxrure (,qyrbme) Wm AB t CB axo je AC:l2cm.

C) 3a yuenuxe VI u VII paspega

1513. Ilponaron (nporcyrr) 7 yracrourmx rrprpo,qrux 6pojena rgrocr I 663.Kojr cy rx trprpoAur{ 6pojerr?

\ fSU. Vrvrecro sBe3Aur{e y 6pojy 3145r crarurs rryr$py (gxarrrerncy), raxo ,Ea

ce ups AeJrcBy Ao6rjeuor 6poja ca 3 r ca 5 ao6ajajy je*raxr ocrarF.



1515. Vqrtparrnr yrnoBl (yryraprr rytenr) pou6a o'qgoce -f rao

I z2:l:2. ,florararr m iil*tJ d;6;, roncrpyrcasc 13 reMeEa (4xa) je'qror

iw.i-n"l-id.rby .qsiarogary Ea rpE iclsare 'qctra'

D) k y4ewace VII u YIII WPcga

1tt16. Hers Aeqax f,Ma rontro rnf,repa Aa f,x Moxe pacnop€Anrf, tro qe'

troBsMa, f, TO Taro .q" y

"""*ot

tl€oy 6yne s!|fr 18' rnn 24' T .30 rutrrepa u Aa

iiffi&i*; j";"" ,;vrry. onperuir xajrvrarr'l uorvhr 6poj gurepa'15lt oApcrrtx pa3[oMar ca lrMeEf,oqeM (sa3EErsro]r) 9' rojr je rclrr

25oO T "

!.abf, oA ?'

o,""'i.ry#Tr5"sJTifi ffi :";yuy."srfl flJ"#3""iff ;"xJffi ;(sparorynot) TPoYrao.

E) la y,.enur.e VIII PagPega

1519. Aarr cy llorrf,rroMn P.(x\:vs-1 u Q@):fusaL OgpeAEu tryrre tro'

rf,EoMa R(r)- (P(.r))2-P(t)' g(x).

1520. Kolrqxrr ABo[g6pegor (rnoqsjecr 'qDo3gaMemacror)6poja n g6r'

pa (g6pojal rberoBltx tltdi"ii-(t-."t"ti") jei, ca ocrarKoM l' Axo us$paMa ga-

MerrrMo M€cra, ra lo""iJi" dpo.i"one""i""

parnrxoru (allSpequjoru) E€roBrD(

ur0apa, HoBE rorrnqrtu*-Otn" ytt6tra-MarbE' a ocrarar ABa rlyra rehu og [perxoA'

*i. kii" je raj ,qsolrf,0Pexu 6Poj?

1521. Ycnparxa Morxa Bf,CgIIe 320 crn nperourura ce Taro Ia x€E Bpx

no,q"pii" io" ;;i60d';;-;od;;j;'-Ha xojoi ce BEcrrHn cror{xJra uorra?

F) 3a Ytenuxe csux Pasgega

15t2. Ha 0yn6ancxoru rypHrr.py ylecrBoEaJu cy:"3nesaa"' "'{maMo"'

,,nupriiiJ. "_x"iav*-. flpe norerra raKMHeEa r(a.Enrerre cBsx exEtra rllraJllr cy

raxo he npohu na typttpv'" o"""tru"

cneAehe lsjare' Kamrer"Sse3Ae": "Ire'

i;;'i;;i- ;;r* c;t-. i6;il,,.[ti.at"" :,,E-uhe u o ilpeu*' \Wrex.. "rlaptu3a't'"t ,,HeheMa ouau ii-ipii"ii-a"""grcz"' Kauuren "Xaj'4na": "floutuctto Ho Eypnup "o n*iyuio iipovuua u 6ttreuo aocaelyyl, Kanrrerm

cy ce uo-

il;; ii5 n1"op" "p.it"np',lcpce caMo jelsa rpoi'om rsrje ocrsapwra' Ko

je norpcuno uPorrorrPao?

6At. Epar je 3 ryra cnprjr o-,l cccrp€' a 3 nyra"t*01-94":gllese'

:l6sp

(s6poD roarea ncI6 u,iwra ie to8. uepauyuarn ronaro cy crapB 6par' cecrpa rsaror .rcIIL

52

1t5Z,. 6t ry6nr ranrnrqpr jelror ry6ror rrcTpa clroxcrn cy uo upiroi:rpqir (npaory) jemr Ao Ap)tror, Taxo Aa xM ce trorxura uo jelga crpasa. Komorperrcna, 6psuou ol 50 km/h, uyryje rero BosEJIo' oA uolrer&a ,4o rpaja olorxrsa?

Peryrrrrr o.qr6Dou ltrtrlrr 1305-1524 rr MJf l(V, 2

151t5. 1332. 1506. 1415, . . . ,WALAL.litill.824 n 0. l5l[. 16. lslD. l50cm,

l0X)cm. $f0. x€{1,2}. t5ff. 4 cm, 6 cm, 8 cm. l!112. AB-28 cm, CB=l6crn.

1513. 5.5-7.8.9.10.11-16632(X}. 1514. Tpc6a aomcanr 6 wn 7. iltl6 361.

7ll'n. -. 1519. x:i. l3?I. 41. 1521. l20cm lllllll Ilorpeurxo jc raurr,cn ,,{5-92EaMa*. 1253.n,9 r 81. l5i2A.?fisaqorp,.

A|lrpcmne cnpr€tmu, acporrao a?lD!@ cJqraDcrc orolp)

53



KOITKI'RSI\II ZADACI

Ovi zedaci ru nancoicni Drvclttvcoo ta aanosldanrgd olih ulcaiks toii co u vcdoj mcri intc.rccuiu zg matrm.'

tikrLRclcdic rvelog zedstks bi& obiavljcao sr

-txtlp-isomonm rclawoca koii-budo pnvi poslrpsasvin t!,ho i lsiboljoobrizlolcoo rrJcqio u toku prvih 2[ @na po izlgsku lisls-

IDc!. onih rGsavaltca troii polaliu Dar 5 pravihihr&nie konkursoih zadstalr bido objavljor uvck Dotto s.od niih orimc oo ukuDno 5 t krih rdcojr. scm tos. dc u poslcd'nicd Urbiu fisia za ovu llolrtru godinu biti poscbEo objavlimri;Go. Ddboliih rcJavdaca, za Loir su tttcdvialcDc Dova.nonarradc.

Rclavaitc Dostsvticoc zadstk€ i ldjito ib u 3to vcdcnvoia Matcmtitkim ltsn. Rcsavaoci noelu- poslati tcdrtciiioia Matcmtitkim ltsn. Rcsavaoci nrogu t oslati tcdrl(ciiiicdnia semo onih zadetaka koji su NcdvfuIcnl zo nfihoY roztedi m itcnke srdh n*cfu Tadatkc t&avajto samostalno, Dc lralbdii itcnke svih n*cfu Ttdatic t*ivajto ssmostalno, Dc lralbdiponod d od kogB, SliLc sraitc prccizno, a rasclja-pi6itc obrado'-lcno

i Citlo. Naicdltom listu papira trcba napisati sa istc stranc:tcnoi Cirko. Nalcdlom listu papira-trcba napisaii sa istc stranc:

rcdni broj, tckst i komplctno rcSonjc ssmo fro icdnog adatka isvsko rcgoic trcba Dotpisrtirzutn imenom I prczlrercm'rcvo&ti nzred i odelienje,lkolu, mesto u kudm adresu. Nct otpuna

poIt

fu6 nzred i odelinic,lkolu, mesto u kudm adresu. Nct otpuna

sclcnia, Lao i rclcnja bcz obrazlotcnja, odrosno bcz punc adrcro posiljooca' ncdc so uzimati u obzin

Sva rcIcnja kojl !.ljcto istowcmcno stsvitc u jcdan kovc-rt.i posslilc ih na adruu rgdakc!.io

ra o"^.fo-,,X"ifuniii adrci',.lVa pohittnt koreila niv_editc rvojc imc,lkolu i rucd. R€Ecljr ad.-

tele iz ovol 6ioir ltuttrcb3

D$lstinsjL.tnijc do 20. 12- 19E0. g.

A) Za utenike M Y razrcdo

631. Zbroj (zbir) jednog detvoroznamenkastog (deWorocifrenog). i jedrrog

trozname,nkastog (t:rociir6nog) -brojaie 2119, a diferencija G"4ik l -brojeya'

kojg

dobijamo kada-zniaenke (cifu) ova dva broja napiSemo obrnutim r€dom, je I 554.

Odrediti te brojeve.

632. Svi kvadratni decimetri jednog kvadratnog kitometra. poredani su je9an

do drugog (poklapaju im se po jedna stianica) po jednoj.pravoj-liniji. 7a koliko

Ui aani tifiv pui ireiao bicinfta koji svakog dana vozi po 5 da$ova, a svakog

dasa prelazi 40 km?

633. Dufinu (dui) z{8:48cm uporedujemo sa maqiom-duZiqln-!{' Ou-

Ana CO-1u,dr71- se u duriti AB I puta-i preostaie C€tvrtina dutine CD. Koliko je

dutiiDa (duZina) dvtjrc CD?

B') Za uEenike Y i W razreda

634. Od 35 udcnika jednog odeljenja 20 u&nika su clanovi matematicke sek-

cije, 1l-uaenika iu llanovi jportstig setiile, a l0 uienika nisu C,anovi n!-iedne sekctie.

ii;tik; j" uoe"ifa tog odeijenja istovremeno udlanjeno u obc sclccije?

635. Dati su skupovi a:(1,2,31 iJ:(a,b). Odredi sva preslikarania skupa

I u skup r.

54

C) Za utenlke W t WI razredo

636. Na telefonsku centralu prikljudeno je 55 telefona. Mogu li se ovi te-lefoni povezati tako da svaki od njih ima direktnu vezu sa toC-

no l1 drugih telefona?-..

637. KoristeCi se samo Sestarom i ravnalom (ljeqiirom), -4,"izwsiti trisekciju (podjelir na 3 jednaka diiela) datog kuta (u- { !'ela) od 27" (sl. l.)

sl. r

D) Za udenike YII i WII razrefu

63t. Produkt (proizvod) jednog dvoznamenkastog (dvocifrenog) i jednog

trozDamenkastog broja iznosi 3 250, a upravo toliko iznosi zbroj (zbir) tog istog tro'znamenkastog i jednog detveroznamenkastog broja. Diferencrja (razlika) obrnutogtroznamenkastog i obmutog dvoznamenkastog brpja iznosi 459' Odrediti ove brojeve.

639. Ako dijagonale trapeza obrazuju prave kuteve (uglove) sa kracima,dokazati da je to istokradni Cednokraki) trapez,

E) Za uEenike VIII razreda

640. Dokazati da je xy(x*y--22)*yz(t*z-2x)*xz(x*z-2v))o akoje x>0, y)0, zl0.

6.11. Kvocijent duljina (kolidnik duZina) kateta pravokutnog trokuta (pr&vouglog trougla)-iznosi 1,05, a diferencija polutrtiera Gadika poluprednika) upi-sane

iopisane kruZnice ovog troluta je 17 cm. I2rafuDati ploitinu (pow5inu) tog

trokuta.

F) Za uCenike sYih razredt

6f2. Guska i po za dan i po snese jaje i po. Koliko jaja snesu 9 gusaka za 9

dana?

643. Aca, Borka, Vera, Gorana i Dara su svi jedni drugima bliski rotlaci.Metlu njiina postoje sledede veze. Borkina baba je Dariria sestra' a Dara je Gora'nina tetica; Acina-sestra je Borkina majka. U kakvom su srodstw Vera i Gorana?Odgovor obrazloZiti.

PETmEE KOHKyPCHX 3MATATCI\ 618 - 63ll

n3 MATEVIATI,TW(Or JMcrA xv, I

A) 3ayvenuxe

IV uV paspega

geoqtfrpena ( gcouauenxacfra) Kaxee Etpeda ga 6ygy fre ru6pe ga 6u pac'18. Ca gee pasiuqufre ryfipe (ztaaenxe) uoiy ce tmilucamu gea paztuuufra

bpena (gcociauenxacfra) 6poja. Kaxee Etpeda ga 6ygy fre rryfipe ga 6u pat'-ttuxi

Gufu"petralrja) sahucanux fiioieaa 6urc naiuana a Kar$a ga 6u paeauxa 6utonajcelp?

-HsecduApuwepe n o6a cnywja.



Aa 6n parnra rn 6pojesa 6rrq5aj19q3, 6pojeare 1ryryg:Y,;g1wtbapa

ilril 9. ila 6n Da3rrf,Ka 6una xajneha,6pojeme Bp€.qrocrr{ I{tilpapa MopaJy c: pa3-

iffiiii# ffs]T;6;-**iii!i"" i"i.; cuvnj:-gt

n tg' Isuiona paarrura je uaj-

la s scs.ocs 72.

Mutua Munoweeuh, ys' IV p' OItr ,,KapaDopDe"' TosoJIa

619. Pacfroiane og l80m noi iipefrpuu oa 12 cexyngu' Kotu sqll0 cexyngu

a aHfriutofra ea 9-cexyngu. Axo, frpvehu, coe frpoie ucfroopeMeHo cfrûiHy Ha twlb'

;;;oi ogc&oiany oi 4thaie iaaio og nux 6uo ilpe iegtoi uunyila?Hoj je ga jenry cexyx'qy rpeniurso 15 m, rorr 18 m, a anrrlona^20m' Mlr-

"vt "p" "ij',tn*i*oi "po"'ic*i-xporuu,' noj je 6uo y'.tube' oA l'era 900 m' xorr

xbp 1080m, a anrnnotra l20om.

Caewaau Cfuojnuh, y'r' IV, p' OE "M'fnumnh"' B' Kalrenrqa

620. Mexaausan sa ofraaqa,be'

aDotta veruvHe Kace y jegxoj 6an4u gaw

iL ca nea ry,Yloaa (cn. l) u Ha caaKoM

i-'e yilucarc Ao qe&upu 6poja- Bpawa c.e

odiaapajy fraxo wfro ce 6pwu Inwa4uJa(o6pAane) frux Kpyioqa oxo aaiegnuu'

Koi 4entupa y iegaou urru gpyioM cMepy

gor ce yauca*u _fipoieau He aocnaae- Ha

tunuje gsa MenycoOHo HopManHa upeq'

aw<a (guiaue&pa) u gox y3 ilo ilpou?aog

( ilpogyxta) ilefr dpoieea aa c84t@M og 4e-frupu gofiujeua ilolryilpeqHwa cilorwu'

'nei xpyta ue 6yge W. OEeoPu ePafra

Be xace u ilPufuoreu t4Pfreilc KaKo kPY'

ioeu wpe6a ga 6YgY ilocfraamexu.

ossarm\,ro erloJbalElbtr rcpyr Kao

rrpBr a rpajrn ylryrparrlrirr xao trertr.

Tpe6a srrpurrn porarujy ,qpyror Kpyra

y cMepy rpeTarf,n r(a3aJbl(e Ba qacoBlflxy

ia nonor,rcry EpaBor yrna; sarnrl rpe6a

rpeha rpyr Porlpars Y trcroM cMePY

3a BpaB yrao u qerBprE y cytrporlroM cM€'

py sa nora upaBor Yrna. EPojeau he

6arE uocralJbelg'rao Irrro Je gora3ano

a ct.2.

,'/ r---: -\

lrf#}',t:\\t,:rn/;l

\,\i2u-r.--.

2 -r'

sl. 2

'Cmfiana kyiyayuh, Yq- Vr p. OtrI ,,M' Kocosaq", I[a6au

B) 3a Yqeaw<e V u VI.PatPegl

(i21, rletca ie MUN:)P:{123A,51, MoivflP:tl'a}' N\P-{2'5} IP\M+u. OgPegufru crYE P.

5657

:16or \P-{2,5}, cnorreurr 2 n 5 crrypxo lucy y cryny P. Aaxtrc,2 n 5cy crreMerrrf, cryna ,lV xJru cryna Mnn. To ssa,rx Aa crytr M r;lta najrrme ene-ve-rre l-,2,4,5; a 16or P\M4 6 y cryrry P mopa 6nrs enelrexar 3, ua je saro p:-{1,3,4}.

Epaian flonoea4, yq. % p. OU ,,A. flpaouqa.., 3perauru

qn. Kcagpafr u ipaaoxyfraux (fipaeoyiaoaux) uuajy jegaaxe oilceie (o6u-ae). 36poj (t6up) gynuue (gyctcwe) apaieoKy4*u,ca u cnpaautqe Keagpama uettocu27 cm, a s6poj uupuae tpaeoKyfrnure u cfupauu4e xsagpafra ucnocu-il cm. Ogpe-gafuu ,tuxoce gyrbuae (gyctcune) capanutp.

. llr yotora 3aaarxa g{eA!,Aa je a6poj ryrbf,rre tr urpnxe rrpaBor(yruf,xa B

Arcjy crpaxuqa .xla.qpara 27 + 2l : 48 cm. Ono rcroapeMerro [peAcraBJba oucerrEaAltara, na je crpanrqa xna.qpara 48cm:4:t2cm,

,{yrrrua trpaloryrtrrxa je 27 crl2cm:15 cm, a Irruprura je 9 cm.

Jbumtu Munewbcuh, ys. % p. OIU ,,13 orro6ap.., byuprja

C) to yvenuxe YI u VII pazpega

6i23. floxazafru ga Je rrpo, ilo00tooo-l) gemuc ca 27.

, Epoi 10001000 nrra o6nnr 100. . . 0, ca 3000 Eyna, a 6poj l000rooo-l rrrlao6rq1 99.:.9, 91 3q)0 Aeserrx. Kal ce oaaj 6poj nb.ser" ca'9, .uo6nje ce Konrq-Exlll_j . . l, @ 30fl) je.unrnla. flocnennr 6poj nr'la obnp rlreapa 3000,-na je ae.rrnaca 3. Ilpcua ro-Me, rrrprn (1000t000-l) uoxe_ .qa ce nb.ser; ia 9, a-nor-ou ca 3,rtrro 3uana Aa je AeJbuB ca 27.

&cm Pagoearceuh, yt. Yl, p. Om ,,8. Paggreanh.., Beorpag

- 6iU. Jegan urfrafi je ilpeceten na 4 geta Ear@ ga je ceaxu ctegehu yilo.aaxpahu og- rpefrxog*oi geaa. Kaxae je uefreopoyiao (uiaiopoxya) vuj7 cy capa-uaup godujenu geaoeu utuatra?

Axo ,4;rxrlry najrpaher Ao6njexor aerra rur:ma o3xaqsMo ca d, raga coAyxxue ocrrurrx AeJIoBa: ?d,4d,8d. 36np,q)rrKrrrn rpr rpaba nena nsuocu.Td,a roJe Mau$e or ;ryxffie xajaeber Aena. Karo t6xp rpn crpalurte trerBopoyrna MopaoETE Eens oA qerDpre crpaEf,rle, H3rra3a Aa rpaxeE[ qerBopoyrao xe nocrojn.

Mupjana Cuuuh, yr. VI, p. OE ,,P. flanrherrh.., Eajrxa Eamra

D) 3a yveaaxe YII u YIII pazpega

- 625. Tpioaa4 fioxywaca ga tpefipoju saopfrtbe y iegnoJ xyfuuju, Axo ux 6poju1o 1, y xyfruju ocfraue 6 uapfrna; ano ux 6poju no 6, y xyfruju ocilane S:-ako6po1-u Ao 5, y xyfruju ocfraqe 4; axo ux 6poju ilo 4, y xyfruju ocnaue J; axo ux 6pojufro 3, y xy&uju ocnavy 2 zaepfrna. Kotuxu je aajuarcu aoiyh 6poj zaepfrma y-oCoJxyduju?

Crarr nyr Ee.qocraje jeAau oaBprars .ua 6r upe6pojasage 6ffio 6er ocrarra,3raru, rpaxerr 6poj je oa I varrr oA najr"rarrer rajqgxa*or caApxaoqa sa 6po-et e:7 , 6, 5, 4,3, a ro je 6poj (420-l), o,urocuo 419.

Mupjarc llotoauh, yr. VII, p. OU ,,Ap A. Mmoaub.., garar



3ti;iro'i';*'r:'*ltil#1fl?#';#"'?18ff. Koxcrpynumuo;;de oBor rlpyrna' Hajupe

xoxcrp:rf, rlreMo Ef, cryc r.1 r-gMer, a..{ 13'--9::-"lf

6i26. Ilpaee (aprcry) a u .b cexl c:. v go"1:.N' xoia ie cot qpfrexa (1ego

cnuctouie). IMa ie op*iiti"' ii' xi'capv"caii aitiv n xpoz frauxv N' [to

paltetty ca gaaiou EPasoM P'

;;i;ilfiil;;;p E

-

T*'3)' Karo-c'e-rpf,

:""*"-.HlyJy uPrvqeqrqP " \--' -,*pOi OprOq"irap, rO rpehayrna uopajy .trpotla3uTf, ,^,^nffi e r.o3

"U&;;; ii-"pa*""" niara n, Ko'crpv@e cc rpo3

raqcy I[, YtrPaEso Ea UPaBY g'

3afimtrJbrso je nocuarParu

ra,qa je rasa iV reMe rytror J/r.lla'

urje.)

Bepa KoJuh, Yr. Vtrt p. O[ ,,M. Kocola[", IIIa6al

6:n.vap@ovi'o,npov"!,l:ry::tyy!*f ofXffi,li"t;#;Yifffii""urffi

'c"o*ffi'f "f #'ii'-ir;o"o'yit'":"f i"ffi"f##le eucuaa CD. nya cy-.ua4Ka tu' ovcY,oav "'---ipii (Ap@ad AM tropuaatu'fr;;;'N ii"suwae svucu BD' !'oxaufru ga 1e

Tixiiuaa)- w awoi CN'

W"#, ffil ; i*-91 ::^,lfi,:'iTi;,Hn!#

Z ;Tffi: ffi.';"*r,,J;rff

?"f.'g"P"i:;i+1':f-;"i;ffi Ji;n^{1'*'ro je'

iffil1r-ry"ffr*"Hr:'x-*lffi"'fra jc rasra Mje sPlra BEcIda

"P9{11e Apyra BEcEna tPetrJrc.-#;r;; j; tpatE AMbprouexrap ror Tpoyrtra r,, ^ra ^mn*rra crDa-#ffi;!ffi;Joonni'r-civ i,9T;fl:nlf ff T;Dena Ernsrc rPvrr"E ";

7M nopuanxa je nauhrs ClV. ,{axne, npa

-----upaloj CN' ItrTo ce E TBPAf,JTo'

E) k Ywwace YIII PasPega

6tl. Ogpegtttiu tgwpy (nuuexry) a' alo' fraico ga ucpas (e-a)'tc

6yge gemue ca !o'- -- rA -,^-, ^, ffer aaa 3aBDuraDarE-'j "Aror,o!ry)_'n-6r 6no AetbEE ca to't:3i.:ff;:ffilTn*

wOpoil-pagirndrou oA 4' Itrro je r'roryhe caMo al

Mupiaw Caacoieeuh' yr' VI[' p' OE "O' Xyuawnr"'3€Myr

nodso qYqaj

(Ilpn'reg6a PeAar'

nsl. 3

Dsl. 4

Oala hgpo*a, yr' VI[, p' Ottr "b'Jarruh"' llypyr

F) 3a Y4eaw:'e osux WPega

62e. v ilpo:tuopuiu v xot u osp*!!-1r'ff;;ffi,!::#i;l #:,iuiffif r#;:l"ri:ff":,:;{iilT'h?:tr;'y,!';}7;1u"*Hu"'(l'vaaâ'Eaxo'awo pasrtut anux Ha'tuw iiit{y iii*p"cufru ocux 5 ytenwa?

58

Ha cn. 4 cy E1rmrl rpyxrimua ogratrcErr Aeqaqn, a rrpasmM xpyxxhxr'ra.qerojurqe. AesarlnMorlrceAerxyl.x3. ry:@ @ @ O O O.nn y l. r 4. rurynr, sra., mro je noryhe B3Becrn

@@ooos@coo@@

xa 6 xarrura, rrplxa3iurnx Ea cnf,rln. V crarov oa Oorux cnyrajena nocroje 2 vorybuocrr 3a pacno-peDmarrl iet"*". Hinrre, Anojs r Bopri r"rory @3aMexrrrr M@Ta, a Aa ce Aerojmle xe uorrrepajy.Taxol)e, y cBaroM og """.fr""i *y""j"* "&;; Ojr 6 uoryhaocrf, 3a pasMemra*e 3 lesoj.flqe. /1Crora je yIruaB 6poj voryhn p.terrnlrrf,x pac- \./uopena jepuar 6'2'6, rtrTo Errocrr 72 paelrrnra

llaqrHa.

ooOC@Co@

sl. 5

Eutwm h6uh, ys. VIIt p. OItr ,,M. KocoEa[", Itra6aq

53O. Jlefrene cy qro$e, clturune cy ,paile.Eo Epu opane, Urorra cuue'IIo gce cpane, apotm cuue.

'ro cltana? Koa'xo tPoa?

Epoj pasa je otllrtrergo f,€trapas f, ae,bf,E ca 3, a to je jelas rr mra 6po"jcra: 3, 9, i5,-. . . Aete ycnorc xcnyEaEa caMo 6poj 9. Aeue, Epasa f,Ma 9, a oAro-Dapajyhs 6poj rpara je 4.

Iparu llytrcuth, !'s. p. Ottr ,,B. Baaxorrh"' FpaAa'taq

NAGRADNI ZTDATAtr BR. 59

Iako je uoliti pravilo po kome se

iavWubtoJevl u pna tri polia kvadrata na

sl. l, pa, s obzirom na isto, poptotiti i Eetvrto plJe. Ti broJevi su 12, 22, 32, In u detvrtopolje dolazi brol Q:16.

PostaPite na slitot nahin i kd su u pttarlu kva&ati predstavlieni ru sl.2i sl.3,

Ito ttcce biti taka lako. Odgovor teba poslail sa obrazloienJem,

rl

+lrl

st. I sl. 3

7a t&no rcScnjo zadataka bi6o nagradcno malematilkim Lajigama ili priborom zapisanjc

2Q, otih kojipodalju

tokva rcScnja. Izbor nagratlenih bidc izvrlcn lrcbom.Rc6cnja poslati na adresu: MatcmatiIki list. p.p. 728, ll00l Bcograd. Na samom raduoblvczno trcba napisati lmc i prczime, odcljonjc, ime Skolc, i postu (s poatilskim brcjem), Nakovcrtu (omotu) laraditi: Nagradri zadatak br. 69. Resenjc poslati najkasniie do 20, 12. 1980.9.

Molc ro litaoci da iz rvakc Skolc lalju rclsnja lamo oni ulenici koji su adatal rcSiliaaEortdno.

liH

I

7

E

I

5

r25

I

I

TI

sl. 2

59



Svi znaju Sta su magdni kvafuati' To su kvadrati"izdeljeni na-':::'-."eN

ednakih kvadrata, ru.po'fr:iiii;;;;;;"1;;iubaca' ioji su pbpunjeni prirodnim

broievima tako da j" ,bi, ffi;;i;;;;Gi"d", iz ivitog stufca i sa svake dijago-

nali datog kvadrata i"oun"il"Ciii+ il;i-;ti"trt t"ua-t"tu'najvise su izudavani

kvadrati u kojima ," .iu"r.i..iifr"il"J"li, zi 1., . ::-;;; a;d njih je najpoznatiji maeicni

i;;;; t';dt koji jL piedstavlien na sl' l'

i ti-." nadeni tak i izresni

bilo redi u nekim ranijim

ftTrrT,3r l+l*l*Fl:rrl{8r l-lqlsll lsl4Zirll

f+l+l+l ffiEEI ld+'l+i+l{

ZANIMLJTVOSTI I RAZNO

HIPER'MAGTCXT XVEOUTT

r)

___--:-: +

St. I Sl. 2

Lako se uvida da se pcmo6u $ojeva.l'2'3 i 1g..Iff,:}-tt"3*ti yS:#r""o."lt3'T'"]lH,"iC,-"i?,*i{'::*:.1':*m^:?31i,}3mi3ep:qvadrat drugog reoa' a rr('e !e uv^s&qrr -- -- -vf.Autim.

te6 magienih kvadratal;il;i,itffi;j"i"o-t*eicni kvadrat -trectg

reda' I

*x,:r::*lg_,lmili:,,iii,l;i*ii.;#;,ff ""9'a*l*lll;.1:f#':lfillli- itnijim brojevima ovog lista'') ...

Meduti m, se m masdnih'li#dff"" 4o{ \9ji }..:: -::PT.j:T #TdiT ":'.t :Y:

kvih kvadrata, o Cemu c

Medutim' sem maFrcmn rsvasr4ra ^"- ^"''l"i&aii na sl. 2 i sl. 3) pcstoje(kuo sto si-poti.r.ti maficni kvadrat na st' l' pa )

i"'iidiir i"Iii"ii-ii,li -ilii'j*.'i-i1i-.:::l':.*tf.:ij";';Jlhl;,f?l!'Tll''HX,

-f'l-i!it"t"ii;:ii;l#ffi;tiG; Uk t *!'t--o-'l

* ust ove' ra ko' na p r me r' ma'

gidnikvadrat, p,.a.tuntj"'iiu"i:q$i4,-*i,:::t"-o:lJ-1y#"yJ:[it"'H*'i:3:iEni kvadrat, pr€ostavDen na ratruvrrur """"'-''"r"ojr*o daje svaki njegov deo,$il';$il;;diL'ii"in masicnih k'1d,t1l?:los,i.,*

"o ".h"uzet. oDer masican

iH,ii:ix;i;fl"ltrt,ilY**m**'n:*i,#,#'li,T"l?f i:iT''Fl"f Ji

ffi;ili *-ii-i""in hiper-magitni kvadrati'

20

47 l8

l9

3

2

r) P. Dinid. O rnagicnim kv-q{g$iPe, ML lX' 3 i ML IX' { - R' Tarovid'

.."t "t-ijil.i6iitveorlu. ML xlv' 3'

13ls2l38l27

lll6

l8l14l

rol

l3

12

17

74

79

8l

77

73

76

75

zsl

-l+l

-trl

35

32

28

3l

30

35l5 78 80

56

6l

63158

5e157

38 45

4l

40 20

25

n23

tt

A3 39

60 55 62 42 37 44 24 19 26

47 54 49 2 9 4 65 72 61

52

5

lsot-lqe

48

st7

6

5

13

-T70

668

a66

7t

60

icdg[ naEin

6t

_.. Ati su od svih magdnih kvadrata molda najzanim-ljiviji oni koji se nazivaju ilavolski kdvarari, a u kojeipadr ikvadra! na sl. 6. Oni imaju sledede svojsvto: ako se nckiod njih raseCe uzdul ili popreko po.kojoj bilo od deonihlinija ,pa ti delovi medusobno raznene svoja mesta, dobijasc opet.magidan kvadrat. Uradite to nekoliko puta, pa &rerc uvcriti da jc tako.

st. 5

JOS O N.ISMVT^TETT.IU rVN}NATA NA DELOYE

l. Ako se stranice kvadrata prepolove, onda sc lvadrat mole rastaviti, onako\ao Ilo je to predstavljeno na sl. l, na detove od kojih jo jcdan kvadrat, dok si od po

{va dJuqa mogu sklopiti 4 sa njim podudarna &vadratu, tako da se doblju ukupno5 podudarnih kvadrata.

E

Sl, 2s Sl.2bI

l

,

2. Ako sc stranica kvadrata izdeli na 5 jednakih delova, onda se kvadratmole, onako kao Sto je to predstavljeno na sl. 2t, rastaviti na 25 delova, tako dasc d po 5 takyih delova mogu sastvaiti 5 podu&rnih kvadrata onako kao Sto je toprcdstavljcno na sl. 2b.

3. Neka ie ABCD dati kvadrat (sl. 3). Noka jc tadka .E'odabrana tako da jeAE iednako polovini dijagonale ovog kvadrata. Sprjmo A sa E i oa powCcnu dul

rLEspustimonormale AFiDG. Neka je, &lje,FL-BF, i neka je IJlAE.7atimle,paralelno stranicama kvadrata, povlade duli GI I GH, i na .&lB se izablre taEka Ktako da je HK:HG, pa se povladi KMLBC. Tada dr: kvadrat biti podeljen oa osamdelova, od kojih se mogu sklopiti dva kvadrata (cl. 4a i sl. 4b) ili tri kvadrata (sl.5a, sl. 5b i sl. ft).



Sl. 5s sl. 5b Sl. 5c

DA LI STE IPVIIIJTYI

1. Na stolu stojc u redu tri prazoe.ca5e' t lli ,ffi;AHBS:t?t,Yd." ro#poiili-ii poitt loe" *-t!911:toi",:fl*tse radi toea

',zilrcu **Lilff *T,lfidiL koga su sve suscdnc stranie mc-

2. Da li se moze D

drsobno normlne? -.*11-r*b"dopuniti sa jo5 letiri llana niza --

lo, 8, ll, 9, 12, 10, 13" "

62

63

7. MoLcte li svalu od nacrtanih figura podcliti na po dva podudarna dcla?

st. l st. 2 st. 3 sl. 4

!. Koje brojeve predstavljaju a, b i c, ako ie 2Fb:&?9. Merni brojevi dveju stranica nekog trougla su 5 i l, a zna se da je i merni

broj treie stranice prirodan broj. Kolika je treca stranica?

DVA ZADATKA SEMA LOJDA

Tri neveste

Nekakav stari parajl[ia razglasioje da ce uz svaku svoju kder, kao miraz' dationoliko zlata, koliko je svaka od njih bila teska. Stoga se za tren oka za svaku od

niih naSao pogodan mladoienja. Sve su kCeri stupile u brak istog dana, a pre nego

Sio bi se iznreiile, okrepile su se veorna sadrZajnom svadbenom tortom. zbog cega

su srca rriihovih sudenika radosno zakucala.Nevestc su zajedno bile te5ke 396 funti, ali je Neli bila za l0 funti teZa nego

Kiti, a Mili za l0 funti tela nego Neli. Jedan od mladotenja, D-Zon B-raon, bio je teiakisto oholiko koliko i niegova nevesta, dok je VilijarU Dlons bio jedan i po puta teZi

a Carl Robiason dva-p-uta teii od svoje neveste.|nnict i neveste bili su,zajedno

tcski lo00 funti. Recite kojeje prezimc noeila koja od devojaka, posto su se udale.

Otlcijte oilnos veliEim dve kamena

Nije suvisno znati da cena brilijanta raste sraunerno kvadratu,-a cena rubinasraanerno kubu njegove teline. Tako, ako brilijant od I karata vredi 1000 dolara'

brilijant od 2 karata istog kvaliteta wedi 400 dolara, a brilijant iste Cistote od 3 karata

wedi 900 dolara. s druie strane, ako lep istocnjadki rubin tezine od I karata vredi

2fl) dolara, takav kamen od 2 karata wedide ved 1600 dolara.

Nekakav trgovac, koji je radio na iskopavanju brilijanata u Bg{flji pokazao

mi je par brilijaitskih-mnausa toje je on dobio u zamenu za dva brilijantq nejed-nake velidine,-pod napred navedenim uslovima. Da li bistemogli odrediti odnos

velidina brilijariata kojl je on dao za par jedoakih mintlula? Razurne se, odgovora

na ovo pitaqie ima mnoio, no vama se predlaic da oadete rnogude najmanji odnos

i da se pri tom ne javljaju delovi od karata.



DVA REBUSA

Fl3=T

s,m."ffi*ffiD. Itl, Milolevil

UICTCXI FIGIJRA

*'*ffr,j*',*:;ffiail&l$:ffir$ffffi.*g"A*:l:'l&?T:,H+'r[A':"ir[fi ioentar'

Rasporedite na ovakav naEin razliCite prirodne b'rojeve tako da pomenuti

zbirovi iznoee l98l'Miroslav staiie (Yetiki Polovio

64

I

ARITHME;YITKA

HORVA,ff$M&,

y nr &reda dtl jit

*&'.He.

'';

1i

Kol$:

Za Obchin&,ku vfzqgr Orl?ag1 h*fzcn, y pocrebochu

z-fugcmi izlbrr-ncmi,-Pdldajmi cbilnd i*oln*chil t

-rj

ITIIHAIY Sttt0n0n,Drug$cir

, BO LS$TtrSS,

&{ rr R rfN-fgjff YESZIus.LEBAN

Naslovna strana najstarijeg hrvatskog udZbenika aritmetike koji je istov.remeno inajstariji od svih ud|benika aritmetike napisanih na jezicima jugoslovenskth rraroda

Documents

Matematicki list 1980 XV 2