Matematicki list 1979 XIV 3

7/28/2019 Matematicki list 1979 XIV 3

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1979-xiv-3 1/17

(]BAV.f,5TEN.t0 PilF.TPtr- i.. ['Nr tr { ;r 1r "i,,1

i. l--i-l:i:riitv: Dozivii it,rstavntk* r iltrli:tlr: ;l;iit'rrrlriii,, lirrr rrlt' L, r

Cll (a1j.l s\'.;.i9 priii,-uc z:a Iisi; diankc, c--ti:tl.;n,;ru rltllrtkt, z:rrl;rri..L ii I ,itl i,,r , r ; I

i mat,:rnr:iii;kih lakr-;riierrja. i'.rzii': zofiimlji"'t sri i1)zrlino .jc rl;i ,r,',,1,

,,'i.r I

uleriitkil relen.ja zadatakl:) l'.idr-i ir;sani f,i>l'-loni nrii:,iir(rli . rlr ()r{ {lt,rr l.lllrl"o::r ;r

lie y|aiajr!"

2, i;l'tittmatitl:i li,r/ lernenjcn ]e ,;','i,,: iiIcti:tint(r :.\' Vlli r.r.' ,\',i],)1.,,,'t-.istiziitz.i 'i ruil; ioliu i,l<ciske gcdi;r.c. 'o 1.;{, [li. Xl, r i l:, il" i. iV ' i'

i. GoCilnja Dietphi;r {::a svih 5 bnojc'r:r} izliosi ;ii tlin:tr:1. iri,rrrr:rlt il r,r .., . r',1'

cal l0 k-a,rtt:.iil odollravan.]c rlblt (201,j, t!:).?: liJ']:/.,i, zlrr,'i:rtl ,.rri rlkrr {'( [,ri,.]' .,r

ispiat: eiioirr;rna pietplata (i XI[, i. ]it. f . iV). i.iikikvr ilr rrlli oiliri.i r,r'{i,,r.' r\ i;ir ,'NlrudZbine sc lnogu trti;li s:rr:t,t p,sntcnirtt pulerrt:!:rl1tr sc.,jirnl) rrr'l),.,rr'(lni){!a adresu lista. Novilc za svc nenidZbinr sc Saijc nlr iirrr-n:rt:un: I)rrrili;l nr:r{tnr:r1i-'ibra, fizidara i

"stronDmaSR Srbije, irr" 60806-67!i-i07ir(r, Krrt., r'l ilriril()\.ir lsil\,

:!a j:razaitkcnt za h'[oiriilaliikj /ili. Inri ttrri.tc li;blt r.rb,r .d;no r,t\,"11 /t!atlii !ttl.t \tina koj''i iist ircbli dost;"iti ijasncr nltt.tiadrti na Sta sc 'r.rrutlzbrrrr ltlrrtrs;rl irl;l.rirodnosr.

h,i;'.ru<iibir-tc ita m:t.njc otl l0 piirr-rcrak:r lisla !.;rroruiLrirr sL \ilr]r() irl) rz\'r(,,'lr(ijprtipigil. (lsiale narudibinc treba de"rudu ispi;crc,t najllasnijc na 9{) dan:r p,' |rrjemu prvc ispor-uiiene po(iljke .

Obuveitenja se mogrN dobiti preko taitfono rttlaii:tjc, ir. 0tr t -618-l(j.,.

4. RespolrZemo kompictirlra lista iz ikoiskc i9arlr/69. god. {l)r. {ll. l-:,),ak. 1969/70. go..l. (br. IV, l-5)" ik. 1070i71. goti. ibr. V,3 i.1), Sli. !97il7J 1:od.(br. Vl, 1--5), Sk. \9,12173. gotl. (br'. VII, I--5), Sk. i97l/7-1. gcttl. (.br'. Vtitr. i 5).

5k. 197"1/7,!. god. (br. trX, l--(r), !k. 1975/76. gtiti. (l-.r. X, 2. 3, '1. 6). sk. l97t ii-l"

goC" (br. >:.1, I 6), sk. 1911 i13. goti. (br. Xii, i-6), ik. l\)13179. !:()(1. (lrr

Xitl, 1--(r).rJdovih godiSta prodljLrst: godlita: IIl, i\/, Vl, \'tl, VIll iXi)r)snr/!rr'i,ceni ocl 15 rlinara, godrite V po 5 dinara igodiita IX, XI, XII i Xlll po ){) rirri

Seil toga sc mr.)grl riobiti iprcostali prilr.:rci tli_ju rlo:utllr i.,rr(lilr tlotlrrlnilr.,\'-lirk:ilvlL (,,Maternetitk.l tablicc",,,fr{aii r-cinik nratcrrrtiikih lclniiriii", i .,Nl,rlrr rlrirl..lmat. zanimljivosti") svaka po rcrli od 5 t{inaia. Zbirli:r |ci,:nilt zlrtllrt:rlu :,1 nrirt {.rr!-denja i:icnika osn. ikolc molc sc dobiti pr: ccni od 2L) tlirr-

5, Mole se poverioci t1'lI. da izmirc sva zaostlil:r tlug,r'rrn;rr

ti, Sve priloge, primcrlbc i narudZbinc sluti r.rIfia'rr',r rr:r :rtlrc,rr:

I\fatematidki list, Knez Mihailova 35/lV" p.p" 728, ll01 llcoiir:rd

SA, DRZAJ5. Arslanagic -- D. Miloicvic: Podcla duZi nrr tri jctlnrrkrr rlcl,r

Bcrk-Bagateij: Neitc o gr'afovima

P. Dimic: Paskalov trougao

R. Tasovii: Jedan nadin sastavljanja magidnill kvutlnrtrr

Matenrrt iikatukmiden ia

{r5

(, i1t

1,t

iil

fi /

li ')

Odabr;rni zadaci....Konkrusni zadaci ..Nagradni zadatak ...Zanimljivosti i razno

,).1

().1

MA'l'l ;MA'l'l('Kl LIST

/,,\ ll('lrNll(li ()SNOVNI' SKOLE

XIV

-)

lil ()(;ltAl,

t,) I')



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATIEARA, FIZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATICKI LIST

zs uEenike ostrowe Skole

God. XIV, broj 3 (1979)

Izlazi 3cst puta godi5njc

IZDAJE DRUSTVO MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Bcogred, Kncz Miheilove 35/IV, 9. g. 728.

Urcdnici:

Platon Dimit i Miro.rlav ?,ivkovit

Rcdakcioni odbor:

Bogumila Kolcnko (Ljubljana), dr Leljko Pauie (Zagrcb),

Kosta Mijatovrc (Sarajcvo), I)anilo S<.epunovii (Titograd),DuJko Kovatcr (Skopjc), y(lintir Sotirovrc (Novi Sad),

Yladimir Stojunov i(t (tlcograd)

Glavni i odgovorni urcdnik: Miroslav Zivkovit

Sva prava umnoZavanja, prcstampavanja i prcvodcnja zadriavaDruitvo matcmalidara, fizidara i astronoma SR Srbijc

Oslobodcnopladanja porcza

napromct

na osnovu rclcnja Republidkog sekrctarijatza kulturu SR Srbijc br. 413-186-03 od ll. l.1973. godinc

Stampa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Ilul. vojvodc MiSiia br. l7

Sefket Arslanagid (Irebinje)- Dragotjub Mito3evid (praniani)

PODELA DUZI NA TRI JEDNAKA DELA*

Podela duZi na 3 jeonaka dela, uz upotrebu samo Sestara i Ie-njira, izvodi se obidno na slededi nadin.

Ako treba datu duZ lB Gl.l) podeliti na 3 jednaka dela, trebaiz jedne od r{enih krajnjih tadaka (na primeriz taEke l) povuii proizvoljnu polupravu /,i na nju preneti 3 jednake duZi AA1:A/2::AzAy Zatim treba nacrtati d:ul A3B i kroztaLke A2 i 13 povuii poluprave m i n, para-lelne sa A3B, koje seku dttu duZ AB u tae-kama P1 i P2. Tadkama P1 i P2 bi6e datadtu;i AB podeljena na 3 jednaka dela.

4\sl.

mI

Jednakost delova AP1,P1P2 i P2B lako se dokazuje s obziromna podudarnost trouglova .AP1Ay A1M1A2 i AyM2Ay (ArMrilAB,ezMzll4B) i,na poznata svojstva paralelogiama Aff2Ml i 2rnrbAr'.

podeJq duZi na 3 jednaka dela samo pomodu Sestara i Gnjiramoze se izvesti i drugojade i ovde 6e biti izloiena 4 razliEita nadina ovedeobe.

Prvi naiin. Neka je data duZ 18. Povucimo proizvoljne polupraveAryl]Anftt.Zl. Na njih nanesimo Sestarom tadke *t i t't tuio aile iU::28N.

Spojmo talke M i lf. U preseku duZiAB i MN dobija se tadka L, takva da je AL::28L. Prema tome. ako se iz taEke .r4 prenesena dui AB dtfi, AK:BL, dui AB biie tadkamaK i Z podeljena na 3 jednaka dela.

D o k a z. Neka je AP:PM:.BN i nekaje PQ llZr, Sto znaEi!d,a je AL:2pe. Kakoje pak APQM - L,BLN (PQ:nw, 4M:{:N, 4P:48), to je PQ:}t. Usled togaje AL:2 BL, paje duZ AB taEkama K i L pode-ljena na 3 jednaka dela.

i rema >Podela duZi na rn jednakih delova< pojavljuje se eksplicitno samo ugeklm 9d nasih republickih i pokrajinskih nastavniir pro&ima za uibnike osnovnihSkola, dok se u ostalima ne nav_odi; no i tamo gde se ia tima pominje, ona se vezuje

svugde za Talesovu teoremu. Medutim, podela duZi na 3 jednika deia'samo pomo6uSestara i lenjira moie se izvesti i nezavisno od opstepoznatog postupka koji se zas-ni-va na Talesovoj teoriemi, io tome su Ram poilali-svoje piltoge, nezavisno jedanod drugog, na5i saradnici sefker Arslanagii i Dragoljuu tvfiiosevle.'rato se n:itrovaizlaganja delimidno,poklapaju, odlucili smo da ih objavimo, uz njhovu saglasnost,u vidu jednog dlanka. Uiedniitvo

."1

sl. 2

65



Drugi naiin Kroz krajnju tadku Aproizvoljna prava / i na njoj se odaberuda je AM:IN (sl. 3). Spajanjem tadakaM i N sa tadkom A dobija se trougao MBN,u kojem je data duZ jedna od njegovih te-Zi5nih duZi. Ako se konstrui5e joS jedna odteZiSnih duZi ovog trougla, na primer duZMP, ona 6e prese6i datu duZ AB t taEki Ctako da ie biti BC:LAC. Dtfi, AC predstav-lja6e, prema tome, jednu tre6inu dtrti AB.Zato, ako se iz tadke C prenese na duZAB dfi, CD:AC, ta1ka C i D deli6e duZAB na 3 jednaka dela.

date duii l^B povude se

2taEkeM i N tako

sl. 3

sr. 4

Aetvrti naiin. Konstrui5imo tro-u,gao ABC iija je jedna stranica datadul AB (sl. 5). Nacrtajmo teZilnu duZAA1 i potom odredimo sredi5te .t11 teduZi. U preseku pravih CM i AB do-bijamo tadku D, kojom je data duZpodeljena u odnosu 2 : l. Ako na duZl.B nanesemo duZ DE:AD, taEka Epredstayljade sredi5te drtLi BD, pa (e

taEkama D i E dui. AB biti podeljenana tri jednaka dela.

D o k a z.Poznatoje da se sve tri teZi5ne linije svakog trougla sekuu jednoj tadki tako da ih ta tadka deli po razmeri 2: l. prema tome,BC:2CA, pa je navedeni postupak za deljenjc duZi na tri jednaka delarspravan.

Tretinaiin. Nekaje data duZ AB. Ako se nad ovom duZi, kao naddijagonalom, konstrui5e proizvoljan paralelogram ABCD (sl. 4), i akojedno od dva temena C i D (na primer teme D) spojimo sa sredi5timaM i N dveju susednih stranica AC i BC pa-ralelograma ACBD, duli DM

iDN se6i

6e duZ l.B u dvema tadkama P i 0 tako daje AP :PQ:QB.Prema tome tome, datadu? AB bi6e tadkama P i Q podeljena na trijednaka dela.

Dokaz. Spojmo temena C i D dija-gonalnom CD, i obeleZimo tadku presekadveju dijagonala sa O. Kako su DN i .BO

dve teZi5ne duZi u trouglu CBD, to je OQ:BQlz.Na isti nadin se dolazi i do zakljudkada je PO:AP|2. Kako je LCBD-.L,ACD(AC:BD, CB:DA,CD:CD), to je AP:BQ, OP:OQ. Prema tome je pQ:),ep::2OQ:AP:BQ.

N a p o m e n a. Da bi se navedena kaonstrukcija izvela Sto brZei Sto lak5e, najpodesnije je da se nad datom duii AB, kao nad dijago-nalom, konstrui5e romb. U tom sludaju oko tadke A i ta1ke B opisujuse kruZni luci sa istim otvorom Sestara a polovina jedne stanice rombapredstavlja istovremeno i polovinu druge stranice.

66

D o k a z- Konstrui5imo,iztalke Bpolupravu paralelnu tezisnoj duziAA.1 i odredimo njen presek_p sa-produZenotkom stranice cA irekotadke 1.._U preseku prave CD i duZi,Bp dobijamo tadku.Af.-Ato r.{93.rstqu1s.uj.gi.! 4A.'llCN i Afir'lj Cil, lako se dokazuje da je .t/ sre-di5te duZi BP, i.daje I srediste d,uli cp. prema ton:e Ju auii ,en i cudve teZi5ne duZi trougla BCP, pa njihova taEka D deli svaku oO olilu odnosu I :2.

NESTO O GRAFOVIMA I NJIHOVOJ UPOTREBI

. zaileci teorije-grafova javljaju se u r8. stole6u. Stari grad Kenigs-

-!erg(-poznat takode po tome sto se tamo nalaze posmrtii ostaci ie-

likog filozofa Kanta) bio je ukrasen sa sedam -osiova koji su povezi-vali ob.ale reke Pregela sa ostrvima u njoi Gl. r). Mestane kenilsbergaje prilidno dugo zaokupljalo sledeie pitanje: Da li je moguei priipreko svih mostova tako da se prede pleko-svakog mosta samo jedan-put? Poku5ajte!

@ffiffimsl. 1

i

st. 2

st. 5

67



T!

Za ovaj problem sazano je i tada najveii matematiCar LeonardOjler (1707

- 1783). On je ovaj problem pojednostavio tako Sto jeobale i ostrva oznaEio kruZi6ima, pa ih je povezao linijama koje pred-stavljaju mostove (sl. 2). Takvu shemu nazivamo graf. JoS.neki od gra-Iova su prikazani na slimkama 3 i 5.

Kao Sto vidimo, svaki graf je sastavljen od mno5tva kruZiia ilitaiaka grafa, koje su medusobno poparno povezane mno5tvom linijaili spojnica. Umesto redi tadka (grafa) i spojnica Cesto se upotrebljavajui reli ivor i grana. Tadke koje vezuju spojnice nazivamo krajevimaspojnica. To ,da spojnica p ima krajeve u tadkama u i v beleiilemo o-vako: p (u;v).

Primer: Graf na sl. 3 je odreden sku-pom tadaka T:{x, !, z, wl i skupom spoj-,tisa P:{a(x; x), b (x; y), c (y;z), d(z;w),e(w,y) f (w;y)1. Medu spojnicama privuklaje naSu paZnju pre svega spojnica a (x;x)koja ima za oba kraja istu tadku x. Takvespojnice nazivamo petlje.

Broj spojnica koje imaju krajeve utadki t pokazuje kolikostruka je ta tadka iobeleZavamo ga sa k (t). Petlje wimamo uobzir pri odredivanju broja k dvaput. Tako

vaZi zagraf

na sl. 3:k (x):k(w):3, k (y):4, k (z):2.

Postavimo se u neku tadku grafa. Time Sto 6emo se po spojnicikoja ima kraj u toj tadki premestiti u njen drugi kraj moZemo ))puto-vati<< po grafu od tadke do tadke. Niz spojnica koje pri tome prelazi-mo nazivamo put po grafu.

Za graf na sl. 3 su , na primer, nizovi spojnica:P1:4,g,cd,e,e,f iPz:c; niz P3:fi,a,e ne postoji.

Svaki put ima svoj poietak i svoj kraj. Put P1 ima podetak uta6ki x i zavr5etak u tadki y, zbog dega piSemo Pr(x,y). Za podetak putaP2 moZemo izabrati koji bilo od krajeva spojnice c. Za to, da put pografu bude potpuno odreden, moramo uop5te uzev pored niza spojnica

oznaditi i njegov podetak.Ako postoji put iz tadke u (podetak) do tadke v (kraj), kaZemo

da je tadka v dostupna iz taEke a. Ako su sve tadke grafa medusobnodostupne, re6i iemo da je graf povezan.

68

!, Graf na sl. 3 je povez:rn; ako pak >zbri5emo<< spojnicu D, dobi-Jamo nepovezan graf , jer tadka x nije vise dostupna iz irugih racakagrafa.

Sada znamo o grafovima ve6 toliko, da moZemo pratiti re5enjezadatka o-kenigsb-erikim mostovirya, koji 6emo svesti t

"giuion" ovako:

. Da li postoji na datom grafu puf koji sadrZi svati spoinicu tad-no jedanput?

T"\uy. put zovemo Ojlerov pzt. Re5enje postavljen og zadatkadaje slededi iskaz:

! : Na.g1afu. postoji Ojlerov put tada i samo tada ako je isti povezanr rma.naJvrse dve neparne tadke (tadke u kojima se stide neparin brojspojnica).

. Ako p.gstoje dv3 pgarne tadke (a na grafu postoji uvek paranbroj neparnih tadaka), jedan je podetai, a diugi kiaj Ojle;;;;; puta.Ako su pak sve tadke parne, blrerov put je

'uiuor"oil..aiiuirii ,u-

tvorenu krivu, i tada.se njegoy- podetik i-kraj poklapdu; ,u poeetatputa moZemo izabrati proizvoljnu tadku.

ObrazloZicemo _najpre stav: ako na datom grafu postoji Ojle_

Iov pqt' onda na grafu ima najvise dve neparne t;Eke. iamislimo-da

Je gral nacrtan kredom. uzmimo u ruke sunder i sledimo ojlerov putpo grafy., Predeni put za sobom brisimo. Kad predemo cet"fut, uieesve spojnice grafa zbrisane i sve ie tadke biti nultostruke, biE{ dakte

l1T" _Odiglgdno,

pri svakom prolazu kroz tadkubri5emo po dve spoj_ntce, onu go kojgj smo do5li, i onu po kojoj smo tadku napristili. prema

tome, posle prolaza kroz tadku ostaje svai<a parna tadka' furnu, u ,r"-parna neparna. Samo na podetku puta i na kiaju puta moZem o da iz-menimo parnost tadke, jei samo u ta dva sludaja uiis.*, u auioj tuenpo. jednu spojnicu. Posio na kraju moraju biti sve t"et" p".r.,-iaklju-dujem-o_ da na podetku imamo nliniSe die neparne tadke.

, Neka sada. graf z,adovoljava navedeni uilov, tj, neka ima najvi5edve neparne tadke. Kako {ob!j1qo Ojlerov put? A[o na grafu poito.i"neparne tadke, podinjemo- kod jedne od njih i putuje-o fo gru'fu. no_sto u.svako_j paqnoj tadki-put moZemo nastaviti, zaustavidemo se prea posle u {1ugoj neparnoj-tadki. Na celom neprldenom delu lrafa susada sve.tadke parne. To vazi takode u sludaju kada u poreitu n"",nu rr"g3.fu -nrj.eane

neparne tadke. U oba sludaja izaUirimo pioiôrjnutaEku.koja

de predstavljati kraj jos nepredene spojnice i poelnjemo pu-tovar-rje. PoSto su na ovom putu sve ia6ke parne, putovanje eeô u-vr5iti u podetnoj tadki - douijeni put je, iakle, iatvorina tiiva. roponavljamo dok ne pokrijemo zatvorenim krivima sa.' grai.

-ucirju

povezanosti grafa moiemo dobijene zatvorene krive (i pirg aa zaru-

sl. 3

69



l, z atv-krtva

zimo u jednu jedinu zatvorenu krivu (put). osnovna zamisao z&liii-vanja je prikazana na sl. 4.

st. 4

- . Tt"T ovg-pog razmi(ljanja je Ojler okondao pomenuto tra_Zenje. Svoje zakljudke- je objavio u raspravi: Solutio iroutemaiis ad

9::ye1l31. situs pertinentis, Commentirii Academiae petropolitanaeVIII' 1736. (1741), p. 128-140. zad,atak o kenigsberskim mlstovimanije re5iv jer ogovarajudi graf ima detiri neparni tadke.

ovakve zadatke-sre6emo u enigmatskim rubrikama desto podnaslovom >nacrtaj jednim potezom<. rutui zadaci nam sad neJ neeepridinjavati teskoie. Ali Sta, ako ima vide od dve neparne tadke? Sa ko-koliko najmanje poteza moZemo nacrtati takav graf? odgovor dajeiskaz:

. Povezani graf sa 2m neparnih tadaka moZemo pokriti (:svakaspojnica ulazi u neki put) sa rn odvojenih (:syaLu spojnica uiazi naj-vi5e jedanput) puteva.

- .t.Nagrtaj gra! odreden. rn"S.lu,loll a T:lx,y,z,u,v) i skupom spojnicaP:{a(z;y), b(y;v), c(v;z), d(u;z), e(i;v) f(u;y), e|;vj\2. Nacrtaj povezani graf sa pet taCaka, Cija je vi5estrukost 2.3. Na svakom grafu ima paran broj neparnih tadaka. DokaZi.

,-,_.-.â:_lykj od grafova na sl. 5 nac_rtaj putem Sto manje poteza (potez:nepre_

Krnuta crta), pri Cemu svaku crtu treba preii samo jedanput.

Ilaaron [nunh (Eeorpaa)

IIACKAJIOB TPOYTAO

flpu peuanarby MareMaruvrux npo6leMa Burue nyra je norpe6Ho3HaTH KOJrr{KO r{3Eoce He caMo ApyrH u rpehn creleH

'n]Hovraa*b,

Hero u HeKr{ oA Br{[rnx cre[eHa osor 6rgor4a.To ce Moxe [ocrrrhu nyreu jegnocrannor MHoxerba, oBaKo:(a+ b)2: (a+ b) (a+ b): az * 2 ab + b2

(a + b)3 : (a + b)z (a + b) : (a, + 2 ab + b2) (a + b) : q3 + 3 a2 b ++ 3 ab2 +bJ

(a+ b)a : (a+ b)i (a+ b): (o, + 3 a2 b -t 3 ab2 + b3) (a+ b):: aa + 4 a3 b + 6 a2 b2 + 4 ab3 + ba

Me!yrn'r,_ ooaj Hauuu 4o6r.rjana pe3yJrrara, Ka.q cy y nr{TarbyBI'IITIH crerrenu 6lil{owa, BeoMa je :ao6urasaH, ra ce g6oi rbra uuuo3a TnM ga ce nale HeKo [paBrrJro rlpeMa rojervt 6n ce [oJrI.rHoM cre-neaa(alb),, zf y'y'vorao yBex Ao6uru Henocpe4no. flpn rovre je, xa4cy y rrrrarby $opvryae (l), yoveno clegehg.

1. Kaxo je uyarlr cTe[eu cBaKor 6poja roju Hlrje Hyla _ no Ao_roBopy

-jegan, a npBr.r crereH cBaKor 6poja cirrr raj Opbi, ro ce Qop_uyle (l) Mory AonyHHT:aH, Tarco .qorryrbeHe, Hanrrcaru oBaxo:

(a+ b)o: I(a+b)t:labo+laob(2) (a+b)2:la2bo+2arbr+ao b2

(a + b)3 : l aj bo * 3 a2 bl * 3 al b2 + d b3

(a+b)a:l aabo+4q3br+6a2b2+4at b3+ I aoba

(l)

Sl. 5a sl. 5b Sl. 5c sl. 5d

2. Ha AecnuM crpanaMa onux QoplryJra HaJra3e ce noJurHoMr{tuju cy'unanonn o6lura kapbq, rj. npolcnogu je4nor roe$urlrtjeHrar{ r.r3BecHnx creneHa ca6upara a u b, a rbr.rxoB 6poj je yrex :a jegarnehuoA Ir3Jloxuoua Aaror creneHa 6lrgoua.

3. IIIro ce rr'rqe xoe0uqnjeHra MoHoMa Ha AecHHM crparraMarQopr"ryna (2) ouu, HarucaHr.r je4uu ucnog Apyrux, jajy :a ,J0J,2,3n 4 cnegehy ra6nr.rqy:

,.5: Pravilan z-tougaonik sa svojim dijagonalama je

zapravo graf sa z taCaka(temena). AkoJe n neparan broi,.lal<o ga mozemo nacrtati prema o.llerovom stavuputem Z poteza. Pokusaj nacrtati jednim potezom pravilni sidmougaonik sa svimanjegovim dijagonalama.

(<<Presek<<, VIII-Po ilanku D. Bezka priredioV. Bagatelj-preveo p. D.)

70

(3)I2l3314 64 t

7t



C o6supou Ea oBo, y flornelry xoer[nrTnjeuam npmrlehyje ce cJre-

Aehe.

a) Koer[qrjeHTr rpBor E nocJreAser ca6upra cy I (na ce 360rrora o6uuro rr He nuury).

, 6) Koerbnrujeurr{ ocraJrrD( ca6upara rc6ujajy ce, p€AoM ,ca-6upanervr Eo Asa roe$nlr,ljenra r.r3 rperxo.qror pe,qa Ha[r{caHe ral6n1e,rr ro yBeK onor xojn y rperxoAuoM peAy crojr usnag roe{nlujeurarojn ce rpaxu rr oHor roju vy flperxoAn.

4. Kog MoHoMa rojn ce janrajy Ha AecHfiM crpaHaMa $opuyla(2) ns.rroxnoqfi 6poja 4 flocrenexo ouagajy, norurryhu oA ugnoxuoqa6nroua n rta Eo 0, a uuoxuoqu 6poja b nocreneno pacry oA 0 na gon,TaKo ga je nuxon s6up y cBa(oM ca6[pry je4gax r.r3Jroxuoqy 6nroMaMA n.

flpevra roMe, aKo 6u ce nper"ra yotreunM [paBr.rJrHocr[Ma xreJroAa ce Hanntue rroJrHHoM sa (a{b), rpe6ano 6u ra6luqy (3) npoay-xuru joru aa je4au peg, raxuuje Ao,qarr joj sa n:5 pe4

l5l0l05lna 6u ce oHAa Moura salucarr{ llopruy-na

. (alb)s:las fiof Jaa il *10as b2*l0az gtlJ ar gt]lao [5

tufti.o4ll,'.ax, KoHaquo

(a { b)s : as t, 5an fi { l0a3 Sz { lla! fi2 ! Jaz b3 * Saba * bs.

. Aln ro ruro yotleHa npaBuJrHocr Baxyy HeroJrlrKo clyuajena, joruHlr3e.qor(a3 Aa oHa Baxr{ yonrrrre; na rIaK uxa46n ce yrBpAuno Aa ouaBa)Krrn sa jour MHoro nuure cly,rajeBa, He 6u ro 6no Aoxas Aa oHa Baxr{yrer, rj. n xaA je y crereHy (a{b)'nzrcxnnarl n 6wto xoju 6poj. 3aroce Ha oBoM [nrarby MopaMo noce6no 3aApxarrr, TI{M npe r:rrro cy .tll-Taoqfi oBor Jrr.IcTa yqeHr.ilIH ocHoBHe ruKoJre.

la 6u ce AoKa3aJra yoqena [paBr{nHocr 3a cBaKo z, rpe6a npecBera 3Harr{ KaKo ce MHoxe creuenujegnaKnx ocuoBa, rl.aaje

aP' QP:o,P+q

sa 6r.uro roje qele 6pojere p fi q u a*0. Taxo je, Ha npnMep

d-3.a:d-z, jer je a:ar i (n-3)+ l:n-2;bo-r .b -U, jer je D: bt i (n- l) + I : n.

72

, 3arnu npernocraDuMo 4a je 6ap sa Hero n yrnpfeuo ,qa BaxrrQopuyna

(a + b)" : ko d bo + k, d-r br * kran-2 b2 + . . . + k n_, a2 bn-2 +

*ko-rar F-r +knd U,

rAe cy ko, kr, kr,.. . ko-2, kn-t, kn r{3BceHr{ roe$r.rqujeuru, (urrocMo, y crBapr{ , neh u yrBp.qrurH, fiyreM MHoxerba, xa!. je n::0, 1,2r3 u 4).

Ta4a je

(a + b'1"* t : (a + b)" (a + b) : 7!o an bo * k, g-r br + k, an-z b2 +. . . ++ ko-ra2 b"-z * kn-t ar F-r + koao b'1 @ + b) : koen*r bo * kr a" b1 ++ k2 d-r b2 + . . . * kn-z at bn-z -l kn-, a2 6"-r * kn at b" + ko a" br ++k2d-r bz +krd-zb3+ . . . t ko-ra2 bn-r * kn_rar b" + knao g"+r

Ka4a ce Aecln crpaHa nocJreArbe jegnaxocrr cBeAe, go6lrja ce

(a + b1"* r : ko d * t b0 + (k, + ko) a" br + (kr+ k r) on- t g2 a' . . +

* (kn_r* k,_r\ 02 bn-r + .(k^+ k^_r) ar b" + koq0 gn+r 'oAHocHo je,Unocranurje HanucaHo

(a + b1"*r : ko dn+ | + (&r + &o) d b + (kr* kr) a"-r b2 + . . . +

* (k,-r+kn-) a2 U-r + (k^+ kn-r) abn + k,b,*r'

Anu rura ce nprurehyje xoA oBe r[oprrayne? Ilpuvrehyje ce.q,a oHaIrcra 3axourrrocr xoja ce Monra nyoqnrrr npu Qopur,lpalby noJrr.rHoMacrene8a (a{b)z Ha ocHoBy roJrrrHoMa creneua (a+bjt, oAHocHo rrpnQopuuparry noJrrrnoMa creneHa (a-tb)t Ha ocuoBy roJrlrHoMa creneHa(a*b)2, rrrA., Baxrr yolrrrre, rr oHAa KaA ce Sopr"rupa nolunovr 6uloNor cTeneHa 6nnor"ra a*b ga ocuoBy [oJ[rHoMa crerreHa roju je o.qrbera 3a I uanu; A? cy, HaHMe, lr y oBoM cnyuajy roer[uqnjenrn rrpBoru llocJre.Erber ca6npra y go6ujeuoj rloprury-nn je4naxn [pBoM, oAHocHo[ocJleArbeM xoeQmlujeury ca6upxa y nperxo,qroj r[oprr,rynu; Aa cy Koe-

QuuujeHru ocranux rurauoBa s6nponn xoeSuqujenara oA rro ABa o,q-ronapajyha turaua rrperxoArror noJrnuoMa, urA.. A ro 3HaqE Aa ll oHAaxaqa je y nuTarby 6uno xojn crereH 6unorura

afb,werov rroJrr,filoM Hac-uacraje r{3 noJrHHoMa rrperxoAHor creneHa Kao r{ r(aA cy y [Lrrarbycrenexr.r sa xoje cllo seh yrBpAr.rnn r,r3BecHy npaBrrJrHocr, Te Aa 3aroMoxeMo u uafeuy ra6nnuy (6) nponsnorbno npoA]xrrrrr.

ti

{(l

t

a; 73



Ta6lnua (6), c o6rupoM Aa uva o6.nur rpoyrura, 3oBe ce flacxa-noB Tpoyrao, [peMa uMeHy rryBeHor Spanuycxor MareMar[qapa (Blai-se Pascal) rojl je poleu 1623.r.ayMpo 1662.r. uxojrjenpruua-rruHllo ory ra6luuy.

3aAaqx

- 1. }{zpatyrrajre noruuorue caeAehrx creneHa: a) (2xi-y)t; 6) (m_nt)..

, (#-'r:)'; ') ('-1)';2. Oapeaure HerrocpeAgo KoJIllKo rr3Hocu: a) uerx yrau noJItHoMa crenega

(2x*y2)s; 6) ocrur qJraH rroJruHoMa creneHa (3a-2)7.

3. Koprcrehr ce bnnovnou $opr'rynoru rsparynajre xo.lrrxo xrxocn: a)1,035; 6) 0,998..

PncaH Tacosrh ()Kaprono)

JEAAH HAqI4H CACTABJbAIf,A MATUqHLTX KBAAPATAHEIIAPHOT PEAA

l. flo.q Marr{trHuM KBaAparoM n-Tor peAa [oApa3yMeBa ce rBa-Apar r{3AeJbeH rra n x n Marbr.rM KBaApara (nona) rojn cy [onyrbeHu6pojeaurnra raxo Aa je s6up 6pojena Ir3 cBaKor peAa, ca cBaKor cryu{ar{ ca cBaKe gujaronaae ,q,aror KBaApara je4an ucru 6poj. Taj 6poj ce

Ha3r{Ba cyMoM Ma[lrHor KBaApara n oguaqataheMo ra @ Mn. TaranJe, Ha rrpuMep xBaApar xa ca. l.

xaxe: flpe Mrroro Ber(oBa jegna xopna.ra je rr3arrrJra us Xyre pexe(Xoanrxo) na o6aly u ua leluua cbor orJrona r.rMiura je .ryAan pac-flope,q raqaKa. Ka4a cy ra JbyAr{ [peupran[, o.uronerHynu cy ga rajcKy[ Taqaxa ]rMa 3Haqerbe MaruqHor xBaApara. Taj xnagpar (ct.2)xojn najaepnaruuje Aarnpa jour us XI s. u. H. e., caAt(praanparo 9[pBr{x rprpo,qHux 6pojeaa, }r ro pacropefeHux raro ga s6up 6pojeray cBaroM peAy, Ha cBaKoM cryqy H no caaxoj 4ujarouanu usnocu 15.

Maru.rnl.r xBagparu cy y crapa BpeMeHa Hrura3nJrr{ cnoje npucra-rurue xoju cy ,,rajarrcrreuoM" pac[opeAy 6pojena rrpmucr.rBarr qy-

4ecHa (uarurnra) crojcrna. Osoje gonpuHeao Aa cy ce raKBrr rBaAparryrrnenll y MHore npa3uoBep[qe r sa6lyAe roje cy rlBeraJre y cpeArteMB€Ily r roje ce y npr{Mrrr}rDuuu saje4nmlaMa cycpehy joru u ,qanac.Cyjenepxn cy cMarpanr{ Aa 3anr.rc y o6nury Mamqnor xBa,4para, aKoce Hocr{ co6oM, flpegcr:rBJba 3arrrrury o4 uecpehe. Tarofe, oBaKBnrBaAparrr cy npe[ucr.rBaurr xao neK paArr cyz6njawa 6oaecru, a ceMrora 6ruu cy yKnecaHr.r fl pa3ue o6jerre, rtpe cBera H3HaA xyhunx npa-roBa, y otrexuBarby ga he xyhu rl [opoAurlr{ Aouerrr cpehy.

- Meby MamwrrM KBaAparurvta noce6uy Bpcry npeAcranrajy uuajnurue cy pa3Marparrr oHr.r MarurrlHa rnagpaiu xoju cy nonyrbeHunpupoArrr.rM 6pojenuua oA I Ao n2. Ebux helro nasrnarr{ ocrroBHr{MMarr{qnnM rcBaAparuMa. V ry Bpcry Marr{qnfix KBaApara cna@jy aKBaAparr.r npe,qcraBJbeHlr Ha cJr. I r cl. 2. IIIro ce rbr.rx rlrrre, Moxe cenaro yrBpArrrrr xoJruKa je cyrvra cBaKor oA rbr{x. flosHaro je, nanue,

4aje

cyua crrDr rrprpo4nux 6pojena oA I Ao n Aara o6pacqeug1o1- n (l +z)*

2

ua je, npeua roMe, cyM:l cErD( nprpo4nux 6pojena oA I 4o n2:

^S(n2): n2 (l + n2)

.

2

,Kaxo cy naK KoA Man{rrHor KBaApara n-Tor peAa crn 6pojenu pac-nopefenu y n WAoBa, o,qrocno y n cry6a4a, raxo ,qa je s6up 6pojeray cBaKoM p€,{y, o.qtocno y cBaKoM cryrrqy, [cru, To je xo4 cBarorocEoBEor Maf[tlEor xBaApaTa

fi*/roA

o\1 $o/b3

r\8i Avo--o-. \P

Cx. 2

Hajuapujw MarurrHlr xBagpar xoju je rro3xar ra ncropuje par-BUTKa MareMarr.rKe npul(asan je ua cil.2, a Hiura3fi ce y crapoj xruecroj,,Krbu3n pa3Meue", roja norr.r.re r.r3 nepr{oAa 4nnaciu.le Xan (202 r.rr. H. e. - 22A r.). 3a claj uaruwrri K.qpaApar Be3arra je nerenga xoja

74

Mo:,S(zt) n(l +nz)

2

Ilper*a roMe, KoA ocnoBnt4x Manrtruru( KBaApara 3,4 n S pega jecyMa KAaBpara M3:15, o,Urocgo M :34, o,qroc5o M :65.

* Bu4err o roMe luranax: M. Mapxorrh, ,,JeAa[ xa.rux uonoftra rlopuyaara.. .," ML Xry, I

l6 3 2 l3

5 l0 lt I9 6 7 t2

1 t5 l/, I

Cn. I

75



2. Ilonyrranabe uoJba MamqHor KBaApara rrpo6anerrl npeg-craBJba BeJr[Ko ry6.rrerre BpeMeHa. 3aro he orAe 6riu pequ o roMeKaKo ce oA IbHx onu roju cy HenapHor pe4a najje,qHocrannr,rje uony:nanljy 6pojenurrra roju rao qenuHa npe4crannajy aprrMerfirrKvr lans.(To je raKaB Hr.r3 xo4 rojer ce, noqeB o,q Apyror ruraua, cBarn wrau pa3-nuryje oA nperxoAnor rura,Ha 3a ncru 6poj, rao rrrro cy, Ha nprrMep,HIl3oBrI: 1,2,3,4,... . . . wru 3,7,11,15,. . . ). Ono helro cxsar[rn ua npu-Mepy Je.4ror ocHoBHor Marr{rrHor KBaApaTa rreTor pe,qa.

V roa4pary ABCD (cr. 3) rnna D_n x n cKyn cBr{x noJba KoJa nexe Ha A4a-

roHaJrrr AC HazosuMo BeJrlrKoM gujaro-HaJroM, a cBaK[ cxyn cBr.rx nora xojaoApebyjy no je4an npaBarl napaJrenaH Eaelnroj 4njaronaln Ha3oBHMo M:uroM4ujaronaaor"r. (Ha cn. 3 cy (npmvrepn)MaJrux aujarouata 4ujaroxane E F u G H).

3arnr'r upucrynnr'ro qprarby uo"tof- A

Hux uona. OBo rrocrr.rxeMo rrrMe rxro npoAyxyjernro, rj. 4onyrryjetuo non-rrM noJbr.rMa cBaKy,4pyry rraaly gujaroHany [oqeB oA BenHKe Ar.rjarouane,n ro ca o6e rreHe lTpau€. flpo4yxararbe ce Bprrr[ ,qo Ayxr.rxe Benure 4n)jaronane, aJrlr raxo ga je yner 6poj 4ouprannx rroJba ca o6arpaja cnaxecnopegxe gr{arouiure ucru (cl. 4). Hanocnerry, y noJba npo4yxeHn ruaa-ux gnjaronaJra, Kao rr y rloJba BeJrure gujarouane, ynncyjer,ro pe4ou 6poj-eBe oA I go 25, r{ To rroJra3ehu oA Aoner rpaja ,,najropne.. gnjaronane,

rra HacraBJbajyhu ynucnBarbe oA Aorber rpaja cne4ehe npo.ryxexe gu-JaroHaJre, rrrA,. cBe AoK He 3aBprrrrrMo ca roprbr{M rpajer"r ,,Eaj4orLe,.4ujaronare.

Ca4a rpe6a 3aM[cJurrrr Aa ce cBaKa oA ,,nnpaMr.tAa.. nolra (ra3-gaHlax vr ,,Tepace") roje ce HaJra3e HaA crpaHr.rrlaMa HarlpraHor KBa-Apara rroMepuna TpaHcnaTopHo TaKo Aa ce rbeHa ocHoDruIa IoXJTO_

H

B

ng.:na ca cylporgoM crpaxqoM KBa.qItaTa, na cBe 6pojene ns ,,n:g.pa-Mtr4e" ytrHcaru y trpa3xa [oJba KBaApurarra roja cy ru 6pojenn nanz.Taro he [ocJre rora 6urn [olyrbeHa cBa rroJba KBa.rrpara ABCD,a qlM KBaApar he npe4craubarrr

-Marntlnr.r KBaApar neror pega!

Ho, orxy4 To Aa ce na onaj Haqrru 4o6uja 6aru uaru.rnu roa4par?flornyno o6jauneme onor je cnoxeno rr Mr{ ra onAe neheno rr3nocr{Tr{,nero heuo yr(a3aTrr caMo Ha HeKe eJreMeHTe AoKa3a.

Tpe6a ilr$arfi y BuAy na s6vtp cBaKa .qBa 6poja ua unza 1,2,3, . . .

25, axoje npnu oA rbrrx sa ononr{Ko nehu o4 I ga roluxo je 4pru ruratruoA 25, H3uocu rrcro KoJrr{o u s6np lt25:26, u ,qa 6poj 13, roju je

no,qje;graro yAaJbeH oA o6a xpaja onor Husa, :6or caMor Haqr.rHa yrrr-r-cvBarba 6pojena y rroJba, Mopa uacTl y caMo rleHrpanHo nore. VcleArora he ce Ha BeJrrrroj gnjaronanu nahu nonapno (jeaas ,,H3Ha4" aje4aH ,,ucuoA" ueutpalrnor nora) rro ABa 6poja oa xojnx je je4an saoHoJrI{Ko Marbrr o4 13 ea KonEKo je apyrlr nehn o4 13, raro ga he a6up6pojena na mannoj gnjaronarn 6wu 13*2.26:65, AaKJre onoJrrrKoxonlrKo r jecre Ms:65. Aau na.Iug y111ac1aBalba 6pojena AoBoAI{ AoTora Aa ce rr ua Apyroj 4njaronaan .qoroAr.r Heruro cJrr.rrrHo, TaKo Aaje r6up cnux 6pojena fileLa roj 4njaronanu 65. A ra4a ce tr3BprurTpaHcnarop[o noMeparbe ,,Tepaca", oHAa rrr cJITMHIIX pa3Jlora AoJIa3]IrI Ao rronyrbaBarsa peAoDa u cry6aqa raKo Aa s6np 6pojena r{3 cBaKoroA rLux ugnocu 65.

3. Ono urro je oBAe rr3noxeHo rrpeAcran.ma jegan oA HeKonr{Ko

rIo3HaTID( HaqnHa CacTaBJbearba MarI{tIHnx KBaApaTa HenapHof peAa.*

Ho, uanouelruMo Aa Ha ocHoBy fiocrynKa rojn o'ro u3HeJrr{ MoxeMoAo6nrr He caMo Manrqnr{ KBa,4par rojn je npe.qcraBJbeu Ha cl. 5,

Hero lr 6es6poj Apyrux Marrrqrnx KBaApara neror peAa. To uoxevronocruhu na ABa HaqHHa. flpro, aKo cBaK[ 6poj rs na$enor Marr{rruorrBaApara Ha cn. 5 nolmoxxrvro HeKnM 6pojer"r a rr oHoM ruro 4o6ujeuoAoAaMo nern 6poj D, n aro re HoBe 6pojene ynrureMo y KAaBpar Ha

Mecro crapro(; rr Apyro, tr axo ca xaKBr.D( 6uto 25 y3acronnr{x lurarroBararBor apr{TMeTuttr(Or Hrr3a nocTyrrHMo oHaKo Kao rrrro cMo nocTy-UEJIU ca 6pojeaurvra og I go 25, ruro trrrraoqn npo6a6eirl Mory naKonIrcBepurtr.

3aAaqnl. Cacrasf,Tf, Marrlrurr rBa.qpar rpeher pega norr,rohy 6pojesa cne.qehro< aput-

MerFrKEr nr3oua: a) 1A,7,...; 6)-3,-1,1,3,... ;

2.C.;actaturu

MarFrHuKBaApar

rpeherpe4a

raKo Aace y rberoBoM rlegTpan-

soM uorby rrana3f, 6poj 0.

3. CacrasnTr MarEyHr KBaApar treror pe.qa oA qnaxoBa rmla 0,3,6, 9,...

' BrAerr o roMe luranar: U. Anrsh, ,,O Maruurnf, trDa4parnr4a," ML IX, 3-*4

7;

d:1

1..

i

r6



z LIt ACtZA PROVEMVANJE STECENOG ZNAJA IZ MATEMA'TIXE

IY RAZREI)

Varijanta ISABIRANJE I ODUZIMANJE USKUPU N. BROJNA POLUOSA

l. Pokaii da za ma koja dva prirod-na broja a, bEN2 vrijedi: a*+beNz ili alD€i[€Nr.

2. Odredi na brojnoj poluosi svarje5enja nejednadine: a) 7<x<13;b) t0<y<16; c) y<15.

3. Zamjeni zvjezdice odgovarajudimciframa

5.24+6 .3*67*

_*4*16* _5*74*5

237t82 317*39

4. Od miliona oduzmi najveci brojkoji moZe5 napisati pomoeu ci-fara 2,5,3,7,4.

5. Duiina dviju duZi je 56 cm, ali jejedna z.a 18 cm duZa od druge.Izradunaj duZinu svake od njih.

6. Odredi skuprjeienja nejednaiine:a) l7 658* <25 876; b) 285-x>

227.

7. Dat je par (x,y) kod kojeg je xrjeSenje jednadine 76.563-x::3756, a y je najveci elemenatskupa lV2. Koji se broj pridruiujetom paru s obzirom na a) sabi-ranje; b) oduzimanje?

t. Umaqienik razlike brojeva 254000i 154000 smanjen je za 4&@.Kako treba promijeniti uma-njilac da bi se radika smaqiitaza 50000?

9. Primjenom osobina asocijativnos-ti i komutativnosti pokaZi da je

(a*m) * (b-m):6 kad je a, b,mfN i c:a*b, blm.

Varijanta II

.OPERACIJE SA SKUPOVIMA

l. Ddti su s{upovi A:{a,b,c} i B:{b,c,d,e,l. Odredite AnB, AnB,l\a i r\,{.

2. Z,a dati skup A:{a,b,c} odrediteproizvod AxA:A2 i taj proiz-vod predstavite dijagramom.

3. Upisujudi znakove :ili+ u praznekvadratide, obrazujte istinite iskazeu sledecim sludajevima: a) {15, 23}

[ 23, 15; b) (15, 23) ! (23, r5); c)(7,1+5) D (l+3.2,9):

4. Skupovi E, Fi Giu dati'di- //r-\jagramom. ,//a)\Odredite EftF f

-.r

ei EUF i na \-*/datim dijagra-mima oiio]iie sl' I

deo koji predstavlja Entrnc.5.7a date skupove l:{xlxe jV i

2<x <41 ; .B: {xlx€rV, I I <x< 14}

odredite AnB, Al)8, l\A, ^B\1,AxB.

6. Za skupove C i D, koji su disjunkt-ni, odredite CnD, C\D i D\C.

7. Upisivanjem jednog od znakova J,J- u prazne kvadratice. oznaditeistinitosne wednosti sledeCih re.Cenica:

a) /YnrV-rV!; b) iVUs:X[];C)

NAA:ilI; O AUB:BUAN|e) AxB-BxAn.

Vari janta IIZOMETRIJA RAVNI I KOMPO-ZICIJA FUNKCIJA1. Nacrtaj pravu koja je osno simet-

ridna pravoj p (A,B) u odnosu napravu a (sl. l).

sl. l st. 2.

2. Nacrtaj detvorougao na koji trans-

lacija ravni za vektor lZ presli-kava detverougao ABCD (sl. 2).

3. Nacrtaj sliku tro- r ûgla ABC s obzi- -f\rom na rotaciju I >^ravni oko tadke,4 L/ Eza ugao 75o u po- L/zitivnom smislu l./(sl. 3). A{ St.t

4. Neka je /. N+N definisana ovako:

f(x):x*l za r neparan broj,f(x):x-l za x paran broj.a) Da li je ovo bijekcija? b) Na-piSi joj invers.

5. Ako ie f(x):a43 i g(x):3 1, 6-piSi izraz a sf@) izradunaj g/(7)i fe(6).

6. Date su funkcije/(x):x-12 i g(x\::3x*5. NapiSi izraze a sf@),fe(x), ff(x) i es@), i izradunajefo), fsQ), ff(t) i ss(J).

7. Translaciju ravni za vektor Prt oz-znadimo e f, a a centralnu sime-triju ravni na tadki O ozdadimosa g. Nacrtaj trougao na kojikompozicija g/ preslikava trougao

ABC. -.cc/\.ABo-+ ô Sl.4P AU

Zadaci su pripremljeni u dve varijante zbog razlicitiosti u nastavnimprogramima i planovima na5ih republika i pokrajina.

78

Z AD ACIZA PROVERAVANJE STECENOG ZNAJA IZ MATEMAIItrE

V RAZREI)

Varijanta IISKUP CELIH BROJEVA. CENT-RALNA ROTACIJA. KRUG

l. Dat je skup ,4:{xlxeZA-3<<r< 3.) Odredite B: { yl xeA A x++.v:0). Kakvi su brojevi r i ymedusobno?

2. lzraiwajte brojnu vrednost izraza6lxl-alyl, za x:-lO, y:-7.

3. Skup E:{alaeZ, lal<4} zapiSitenabrajanjem elemenata, i na bro-jevnoj osi oznadite skup tadaka ko-jima su pridruZeni elementi skupa E

4. Skup M:{xlxezAx<-2\ za-pi5ite nabrajanjem elemenata, azatim: a) Poretlajte elemente togaskupa u prirodni redosled uodnosu na relaciju >><; b) Utvr-dite da li u skupu M postoji naj-manji, odnosno najveci elemenati, ako ga ima, odredite ga.

5. Da li skupovi: a) Z\(Z-U{0})iZn(OIUZ-) imaju svoj najveci,

odnosno najmanji elemenat? Akoih imaju, koji su?

6. DUZ Imnl rotirajte oko taCkeo(o€[mnl) za vgao 75'. eime jeodredena centralna rotaciia?

7. Trougao a6c preslikan je u trougaoarbrct rotacijom oko tadke s. Kon-strui5ite tadku koja odgovara tadkim u toj rotaciji (sl. I)

zrA"st. l

8, Dopunite definicije:a) Poluprednik je duZU) fetiva truga je ....::::::.:::c) Prednik kruga je

79



Z AI' ACT.ZA PROVERAVANJE STECENOG ZNAJA IZ MATEMATIKE

VI RAZREI)

zA pRovERAvANr" r"ltJ-i."rl^rA rz MATEMATTKEVII RAZRED

Varijanta IRACUNSKE OPERACIJE SRAZLOMCIMA

1. Traktor prbore prvog aana Sj na,

,2drugog dana za I ; ha vi5e nego

3

prvog dana, a treceg dana"u

z La,t2

manje nego drugog dana. Koliko jepreorao za sva gri dana?

2. Rije5i jednadine:

313a) x-18 7:4 z , b) 26o**:

t:37-.

3. Otac, majka i sin imaju zajedno 6343

godine. Otac ima ;, a majka i9' '7

ovih godina. Koliko godina imaotac, koliko majka, a koliko sin?

4. U neki bazen utjede jednom cijevi

3214 :- hl, a drugom 16 - hl vode naE-5sat. Istovremeno voda istjeCe na

13dva mjesta, i to po 8 := H i 7: hl105

na sat. U bazenu se nalazi Olfrt8

vode. Koliko 6e biti vode u bazenunakon I sata?

5. Jedan vrtlar prekopa n 3 sata 2415

mz vrta, a drugi za 2 sata n !mz.5

Koliko su obojica zajedno preko-pali za jedan sat?

6. Koji razlomak treba napisati umje-3

sto x, pa da bude: 2 _ dm:x m?4

Varijanta IISKUP Q. SABIRANJE I ODUZI.MANJE U SKUPU Q. PODUDAR.NOST TROUGLOVA. EBTVORO-UGAO

l. Za dati rt,ro Z:11-[z' 2, 24,

9324r-tI'T'og] odreaite Bq-A raz'

lomaka koji se mogu predstavitiu decimalnom zapisu, a zatim ih izapi5ite u tome zapisu.

2. Elemente skupova:a) {4,7; 4,78; 4,777...; 4,771,b) {-8,58; -8,6111...; -8,6il}oretlajte u pirodni redosled riodnosu na relaciju ><<.

3. Izradunajte vrednost izraza:

'(.+)-(,.+)-(1.-')'32b) 1-3--0,125+1;.

4. Dati su skupovi:

z:{xhe n, (-ri)*": -8+},_ I 5 3)

":l*,*=Q, -8e-x<-3Ti.Odredite AnB, Al)8, A\8.

5. Udesnici VI razreda jedne Skolebrali su jabuke u voiqiaku. Prvog

2dana nabrali su 3 -.- t jabuka, dru-

3I

gog dana l; t vi5e nego prvog

dana, a treceg dana ul,^ r"nego prvog i drugog dana. Koliko

su udenici ukupno nabrali jabukaprvog, drugog i tredeg dana?

Varijanta IKVADRIRANJE I KORENOVANIE.PITAGORINA TEOREMA

/t-1)'r. Izradunaj: t

Ij

l' "-t(-*)"'

|.'-Tl.r (o;-

3

)'.('-+)'2. Koliko 6e sekundi padali kamen

pu5ten s krova kude visoke 19,62 m?

3. Rije3i jednading: a) -0,3 x2: --1241

-0,003; b) 6,2 x2:-; "\ i,r,

4-18'

4. Obim jednakokrakog trapeza je 54cm, a paralelne stranice su 20 cm i4cm. Izradunaj mu: a) krak; b)visinu; i c) povr5inu.

5. Vertikalnistup visine 45 m udvrS-6enje pomodu 4 delidna uZeta tako

da se svako uie uhdvr56uje za vrhstupa i za tlo na udaljenosti od15 m od podnoZja stupa. Kolikaje duiina uZadi?

6. Na ravnoj podlozi nalaze se 2 stupavisoka 6 m i 15 m, a na medusobnojudaljenosti od zlo m. Koliko su u-daljeni njihovi vrhovi?

7. Sajednog aerodroma Doleti avion u9'sati brzinom od 600km/h i letitom brzinom u istom smjeru. U 9,30sati poleti drugi avion brzinom od ,

7m km/h i leti tom brzinom u smje-ru okomitom na smjer prvog avi-ona. Kolika ce biti metlusobna uda-

ljenost ta dva aviona u 10,30 sati?t. Prostorna dijagonala kocke imaduilinu D:3/t NaOi povrSinu izapreminu te kocke.

V a r i j a n t a IIRELACIJE. FUNKCIJE1. Nad skupom S: {1,2,3,4,5,6 ,} zada-

na je relacija xRy <> 3<.x*/<8.a) Zapi5ite ovu relaciju kao skupuredenih parova; i b) nacrtajte stre-liCasti dijagram te relacije.

2. Nad skupom 4:{4,5,6,7,8,9\ defi-nisana je relacija R >l<. Nacrtajtetablidni dijagram te relacije i utvr-dite da li je refleksivna.

3. Nacrtajte dijagram relacije xRy<>exAy<5(xCN) i 3.odredite jojosobine.

4. Dat.je skup M:{5,6,7} i relacijaR:(5,5), (s,7), (7,s), (7,7), (6,6)\.PokaZite da je to relacija ekviva-lencije.

5. Dat je skup 5:{25,50,75,100} irelacija R : (x,r) l(r,y) 6 ^!z 4 .r <y).a) Relaciju R napi5ite u analitid-kom obliku i nacrtajte streliCastidijagram te relacije.b) Utvrdite da li je R relacija ek-

vivalencije ili relacija poretka.

tI

6. Funkcija je pred-stavljena strelidas-tim dijagramom(sl. l).Pri ovom preslika-vanju:Aie..BjePravilo preslikavanja

sl. lglasi:

7. Koja od sledecih koordinatnih slikapredstavlja funkciju f: A+8, A::{x, !, zl, B:{a, b, c}?

iffi bcsl.2

z

vx

\

{

cttsl. 3

808l



Varijanta I

JEDNAEINE, NEJEDNAEINE ISISTEM JEDNAEINA

f. RijeSi jednadinu

3 x-3 2x+3 I x-6

-

L):

--l

5 3 \22 x- l2t__ I3 l'

2. Odredi presjek skupova rje5enjanejednadine 3(x-l) -t 4(2-x) > 5(l --x) i brojeva iz skupa x€R i

-l <x<6.

3. Otac je detiri puta stariji od sina,a prije pet godina jo bio sedam putastariji od sina. Koliko je godinaocu, a koliko sinu?

4. Zbir cifara dvocifrenog broja je12. Ako cifre zamijene mjesta, do-bije se broj za 54 vtci od datog.

Koji je to broj?

5. Obim pravouglog trougia je 30 cm.Kolike su ostale stranice, ako je jed-na kateta 5 cm?

6. Rije5i sistem jednadina

2x-y+l x+3y-l 7

3-6:T'3x-2y x+2y-3__o_-__-i-:t.

7. Posuda panunjena tekuiinom gus-

tine 0,8 g/cm3 teZi 390 ponda.Ako se teku6ina zamijeni drugom,gustine 0,9 g/cm3, posuda teZi420 ponda. Koliko je teSka posuda?

Koliki joj je kapacitet?

8. Broj 80 rastavi na dva sabirka takose trostruki manji prema vedem od-nosi kao 3 prema 4.

Varijanta IIHOMOTETIJA I SLIENOST.TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE

l. Nacrtajte duZ lmnl:6cm. Ses-tarom i neskaliranim lenjirom po-delite je na 5 jednakih delova.

2. Konstrui5ite homotetidnu sliku tro-lugla abc ako je centar homotetijeteme trougla a, a koeficijent ho-motetidnosti je

-3.3. Obimi dva slidna trougla odnose

se kao 3:5. Kolike su duZine stra-nica jednog trougla ako su du-Zine stranica drgog trougla 14,16 i18 cm?

4. Badena senka kro5nje drveta viso-kog 3 m duga je 8 m. Kolika jesenka stabla ako je senka ditavogdrveta 12 m?

5. Dokaiite da se dve odgovarajucevisine slidnih trouglova odnosekao njima odgovarajuie stranice.

6. Odredite ugao c( ako je:a) sin25'32':cos a; b) tg a ::ctg 18" 41'; c) cos 59'35':sin a.

7. Konstrui5ite ugao a, ako je:

a) sina:0,6; b) cos cr:3 ;5'c) tga:2.

E. U pravouglom trouglu poznata jekateta x:5,28 m naspram uglau:52"3V. Odredite ostale elementetoga trougla.

9. Koliko je visok televizijski toranjako baca senku ll0m dugu utrenutku kada ugao sundevih zrakaprema horizontalnoj ravni iznosi42"50',.

10. Dijagonale romba iznose 30 cm i404n. Izradunajte strnanicu iuglove romba.

MATEMATICKA TAKMICNN.I.I,

ZADACI SA REPUBLICKOGTAKMIEENJA UCENIKA OSNOVNIH

Sxor,e sR CRNE GoRE

odrfunog 18. maja 1979. godine u

Bijelon polju

ZADACIZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VIu RAZR-ED

VII RAZRED

3-{th-7)1. Rje5enje jednadine -j----::l je mjerni broj visine jednakokrakog tra-

peza, dije.su dijqgoqalg normalne na krakove. Izracunati povrsinu tog trapeza akosu mu.dijagonale duZine 17.

4.,*" se stranice kvadrata uvedaju za lofi, za koliko 6e se procenata uve-cati njelova povrSina?

3. i Dokazati identitet : (az ! bz) (cz I dz) : (ac-bd)z | (ad ! bc)2.

,.f Uporedi vrijednosti iztaza (l+a\ i (laazy za razliEite vrijednosti a.

5. Presjg! kruZnica k (9, ,) i k1(Oy 11) su taCke A i B. Duhina dvti AB je12 cm. Duz l8 je stranica pravilnog Sestougla upisanog u kruZnicu & i stranica kvi-drata gpisanog u kruT.oicu &r. Izradunati povrsinu i obim figure odredene presjekomovih krugova.

VIII RAZRED

. . - 1.-Odrediti_parametar m, tako da taEka A (-4, 4) pripada grafiku prave Cijaje jednadina y:(5n-8).r* 2m-1. Zatim:

a) Napisati jednaCinu prave koja je simetridna datoj pravoj u odnosu napravu Jt: -x.- - b) IzraCunati. zapreminu tijela koje nastaje rotacijom oko x-ose trougla

odredenog x-osom i tom simetriCnom piavom. -

- - 2. Povr$ina kruga op.isanog oko jednakostranidnog trougta ie l2r- crn2.Izradunati povrSinu i zapreminu prave prizme cija je baza-taj troulao, a mjerni brojvisine u centimetrima je rjeSenje jednadine. <H+2F-(H-rt-n:iZni+g.

3. Z,aboravni profesor je otvorio slavinu za vodu nad kadom i zaboravioda kadu.zaCepi. Po-znatoje da se ova kada, prazna, puni za 2Ominuta, apuna prazniza 30 minuta. Profesor se sjetio Cepa nakon 48 minuta. Da li se kada prelili?

4. Dokazati da je zbir prirodnih brojeva od I do 1000 djeljiv sa 143.

5. Dokazati da je zasve vrijednosti *, *+ 4|, ioat:

IExt I \ l4x2 I \

[t"-*2r*

1/-[2r*1*

2.-r)pozitivaD.

82



a

RjeSenja zadataka

l. RjeSenje date jednaCine je &:8. Pri-menjujuii Pitagorinu teoremu na trougao ACF(sl. 1), dobiiemo: An:y'1g2-W:15. Znamo dase jednakokraki trapez razlaie*na paralelo-gram (AECD) i jednakokraki trougao (BCE)i da je BF:FE. Prema slici je AB:AFIBF:1i*+BF i CD:AF-FE:15-FE. Povr5ina traped,

ltie P:; (AB+CD). h:;- (15+BF+ls

- FE)' h :Z.

I:-.3.08:120.2

2. Akoje duZina stranice prvobitnog kvadrata a, novi kvadrat ima6e stranicu1,1a. Povr5ina prvobitnog kvadrata je P:az, a povr3ina novog je P1:(l,la)z::l,2la2:1,21P. Prema tome, povr5ina se uveia za 2ll.

3. Po6i6emo od desne strane jednakosti i dokazati da je ona identidna salijevom stranom : (a c - b d)z | (ad I bc)z : az sz - 2 abc d + LP dz * a2 d2 + 2 abcd + b2 c2 :-a2s2!gz c2!a2d2+bzd2:c2(a2+ b2)+d2(az 1 gz):(az -lbz)(cz tdz).

4. Uvedimo oznake: A:l|a i B:l*az. Treba utvrditi kad, je A:8, za-tim kad je A<B i kad. je A>8.

Uslov ,4:.8 daje jednaCinu l+a:l+a2. Odavde je a-a2:O, tj. a(l---a):0,Sto je ispunjeno za a:O ili a:1.

Uslov A<B daje nejednadinu l*a<1*42, odnosno a(l----c)<0. Rjelenjaove nejednaCine su c<0 ili a>1.

Uslov l>B daje rlejednadinu a(l-a)>0, dija rjeSenja su 0<a<1.

5. Prema datim uslovima trougao AOfi jepravougli jednakokraki (sl. 2), pa je rr2lrrz:122,odnosno ,t:y'72:lh6a:6 l/l cm. Metlutim,trougao ABO je jednakostranidan, pa je r:l2cmi 4 AOB:70.. TraZena povr5ina (osenCena fi-gura) sastoji se iz dva odsjedka, koje u krugovima/r i &1 odretluje tetiva AB. Dakle:

ll I \ tt I _\

":tAr,'E-A '"1*|.e'"n-Z'" V3

):42n-36(l + y'l) cm,.

ltObim ove figure je zbir

"

obima kruga & i

-o - !.2, "

* lo 2 r,r : tc (4 + 3 y'Ty cm.

A

st. 2

obima kruga /r1.

t4 85

VIII RAZRED

l. U datoj jednadini sirjenimo r sa -4 i y sa 4. Dobidemo; 4:-2-0m*32+2n-1. Odavde :" *:!. Sada zamijenimo rz u datoj jednadini i dobijemo

.xr--Vt2.

B

a) Prava koja je simetridna sa datom pravom u odnosu na pfavrr y:-xmora prolaziti kroz tadke (4, 4) i (0,

-4). Njena jednadina je y:-gr-4, d gr:t-fik je prikazan na sl. 3.

- b) Rotacijom trougla ABC oko x -ose dobijamo dve kupe sa zajednidkombazom. Poluprednik baze je CD:4, a visine su DB:8 i AD:2. Tapremina tijeia

je razlika zapremina ovih dveju tuna: l.:f +,n.S-I4,rc.2:32n.

jednaiinu

sl. 3

nice trougla, jer je, prema izloZenom

jednCine lako dolazimo do podatka

st. r

st. 4 sl. 5

2. PovrSina kruga izraCunava se po formuliP:r2 E,paza krug sa sl.4 vaZijednakost: rz r:12n. Odavde je r:/n: /q'l:Z !,/3 cm. Poznato je da je kod

jednakostranidnog trougla polupreCnik opisanog kruga -lvisine , avisinaieh:!E.

prema tome ,:1n:141:!E sada moZemo izradunati duZinu a srra-3323ay'T

t:2 /3. Dobijamo a:6cm. lz date

,EI:8 cm. Povr5ina P prizme (sl. 5) ie P:- o2 y'T az t/T:2.-

;- #aH:18/l +tU:tS(l/3+A)cmz. Zapremina je V:"-'^' n::72 /Tcmt.

3. 7a iedarrminut napuni s"

f

Upu"it"ta kade, a za isto vrijeme isprazni se

I3-

puo" kade. Posle 48 minuta u kadi 6e biti 48

napunjeno vodom. Kada se neCe preliti.

tl l\ 4

b'-ml , odnosno-zapremine



4. Zbir priro&rih brojeva od I do ld)0 moierno izraziti na slededi nadin:t +2+ .. . +999+ 1000) : (l + 1000) +(2+eD)+ . . . +(500+501): l0l * l0ol * . . .

+f001. Kako je l00l:7 . ll . 13 . :7 .143, to je i dati zbir djeljiv sa 143.

5. Dati izraz transformisademo na sledeCi nalin:

(2x-l)(4x2+2x+l)2x-l

za sve vrijednosti x.

REZULTATI KOI\KURSA ZA NAGRADM ZADATAK BR. 63

ReSenj e zadatka.-Po jezeru su plivale 1,2,3,4,5,6 ili 7 sitih Stuka,lto zavisi od toga

. tr-tJr-rJtv

uni5tavale. Moglo se dogoditiila je, na primer, najpre druga

/8xt I \ l4x, I \ 8xr-l 4x2-lt_I_ t_l _f _ t:___

\2x-l 2x+ll \ 2x+ I 2x-l I 2x-l 2x+l(2x-l)(2x+l) : 4x2 + 2x + I -Q x-l) : 4x2 + 2. Poslednji iztaz je

2x+lpozitivan jer je 4xzp0

Sto zavisi od toga kojim redom su se one medusobno uni5tavale. Moglo se dogoditilak i to da ni poslednja preostala Stuka ne bude sita, da je, na primer, najpre drugaStuka pojela prvu, pa onda treda pojela drugu, i tako redom; ali vi5e od 7 sitih Stukatuka pojela prvu, pa onda treda pojela drugu, i takoniie moglo ostati u iezeru. ier da bi ih ostalo makarije moglo ostati u jezeru, jer da bi ih ostalo makar osam, moralo bi da na poCetkubiti u jezeru najmanje 32 5tuke.

Do predvitlenog roka stiglo je ukupno I 025 odgovora, ali je od ajih samo l0odgovora bilo tadno. Svih 10 po5iljaoca talhih odgovora nagradeni su-po jednomknjigom i priborom za pisanje.

Nagraileni su slededi ulenicl

OS,,L

L.-Ribar", Listica; Tasid Goran,,OS,,V.

Karadii,E", Cuprija; Trajkovtd

^SrzrTa, OS ,,B Radidevii", Bujanovac; Zivanovi| Zoran, O$ ,,B. Mandi6", Dra-ilpvac.

' VIII nz:d. Bajti| Radoje, OS ,,C. Milosavljevii", Pecka; CvetinovitDejot OS,,Karadorde", Topola; Stankovi| Zoran, OS ,,V. Kara{li#i Cuprija;Sdepanovid Danijela, OS ,,M. Miljanov", Titograd; Popov Jasmina, OS ,,B. Radii'.,BavaniSte.

NAPOMENA

7a lkolske biblioteke, keo I za rad so ulenicime, prellorulujemo slededekniige m5eg izdania:

1. J. Pereliman: Zanimtjiva geometriia (u ptevodu dr M. Ilid- Dahvid,

sE 284) - 60 rlin.2. M. Militid - V. Stoianovi& ZbirLa re$enih zadataka

-bmlevi, ied-

naEine, nelednaEine, logiEki zadaci (str. 32)-

12 din.

3. ,Matematilki priruEnici, I kolo (1. M. Mtmak Prva desetica; 2

-3.

J. Yukadinovid: Geometriia u f razredu osnovne Skole; 4. M. Igntatovid: I)odatmnastava u fV razredu osnoyne Skole - str. 12E) - 50 din.

Na narudZbine od 10 do 20 primeraka odobrava se rabat od l0"l, a wnandlinc od preko 20 primerata :abut od Xf/.

86

1425. Kolika je plo.itina (povr5ina) pravou-kutnika. (pravougaonika) Ciji jeopseg (obim) 220m, a dutjina (iiuZina):"'ri zoor" Cri:";; ;i;il"?""-,

1426. odredi sve troznamenkaste (trocifrene) brojeve koji se mogu podijeritibrojem 15, a kod kojih je znamenka;edinica;ia"aka znamenki stotin?l

-

. l4!1..2a tetiri jednaka.zimska-kaputa i rri j_ednaka mantira praieno jeukupno 17160 dinara. odrediti cene kaiuta i

'''untiruu[ol";ilrt.i#iniji odkaputa za 1305 dinara.

1428. sta treba dodati.deliocu (divizoru) da bi se pri derjenju.bez ostatkakoliCnik (kvocijent) prepolovio?

1429. U ravnini ie. {atg 7 totaka (tadaka) od kojih nikoje 3 nisu korinearne.Koliko je pravaca (prai,itr) oareclno--ti"i-i"Ei.Ii"iz

B) Za uienike V i VI razreda

1430. Koliko ukupnoîma parnih dvoznamenkastih (dvocifrenih) brojeva ikoliki je njihov zbroj (zbir)?

1431. Kako se sve broj 333 mnZ:^ppisati kao proizvod dva cijela broja ada svaki od dinilaca bude minji od l0? '-1432. Duiina (duZy..ep..Oo4rjelj.en? je na tri dijela u odnosu 2:3:4. Rastoja-nje izrnecu sredista krajnjih dijerova j" e &t- ror*" li a"r:rii'6iiirij jirzj", ,ear

C) Za uienike VI i WI razreda

1433..Broj*.9r dopisati zdesna dve zoamenke (cifre), tako da se dobije det-veroznamenkast (Cetvorocifren) broj kojije djeljiv sa i, sa4 i sa i.-- ----

. . llg!.-A"f je napisala t-roznamenkast (trocifren)_broj, a onda mu je dopi_sala isti taj broi' dobivsi tako sesteroznamentiiiGo3.'rako'douiveni 6io:'na:prijeje podijetita sa 77, a zatim dobiveni !:egij*t (k"ticliiri-'i"jii"iii" i" J"Jri.oi,ronapisanim troznamenkastim brojem. foliti;e.i.uii Lu.ici:'*ti--'-'-

"*

"'. . r6t. Dat je proizvorjan^cetverokut (detvorougao) AB1D sa odgovarajucimk'tevima.(ugtovima) cr, p, i i s. Dokazati aa ." .uile,i,"ntoi tutJuil'jil'touru-zuju ga simetrale kuteva d, i p1 i 4coo ("ur"ir:" eird.ti"G-kui."i'il'i tl.

ZADACI

ODABRANI ?ZADACI

Ovi zadaci treba da.vam sluZe za veZbu i pripremanje zamatematicka rak6iccn ja, kao i za, aa iîi.

oi t i"i""i.ii.,ibo.

uru"izaoact ntsu teski i moZe da_rh- resi svaki uCenik koji redovno pratinastavu -malematike u Skoli. Zadatk€ tr€ba samostalno di reSiie, a1a-v-edegj rezultati i uputstva neka vam sluie ,i l""ii"iu.-Z"

"e""i*"o_ji salju. r&nja Ronk rusni h zadatoka prip"-itji"6]"-a. irerhodnorcle,odabtme zadatake, jer su. oni lafsi oi lonliusiit, pa-o"uj ,lOprcdsaavlja lorisno uvetbayanJc.

A) Za uEenike IV i V razreda

8?



,/" '

D) Za uCenike VII i WII razreda

1436. Izradunati vrijednost izraza:

,4 : ro ror ( ==+_- -: - -_._l-), l1-rl .\3.7.1r.37.t3 ill tlr 2222221 \33 I

1437. Ako su a2 i b2 prirodni brojevi, tada je djeljiv sa 5 ili njihov produkt(proizvod), ili njihov zbroj (zbir), ili njihova diferencija (razlika). Dokazati.

143E. Neka je R polovi5te (sredi5te) stranice AB kvadrata ABCD. Odreditiu kojem omjeru duZina (razmeri dui) DE dijeli dijagonalu dC.

l\ f. KOHKyPCHT,I 3AAAIIIIOal eaaaux cy EaMescntr npBcnctBeEo 3a caMocrartrr

parl ornx yqennra xoju cc y rehoj uepn rnrepecyjy 3a MarcMa-rrry. Peuene cBaxor 3a,qafia 6rhe objanEero ca trortrncoMoxor peuaBaoqa xojn 6y,ue trocnao cacanM Taqlo r flaj6orcobpa3noxeEo peuere y roxy npaux 20 ,aana tro n3nacxy nucra.

lluena osrx lrcraBanaqa xojn nouany 6ap 5 npa-Bnmnx peuena xonrylrcBnx 3a,qaraxa 6uhe o6jaa*era laexnouro ce oa btrx npnMe tro yKynno 5 ranstx peue*a. CcuTora he y uocre.nl*w 6itojy nncra 3a oBy uxorcxy roaxHy6nrn iloce6Ho o6jarrcna xueaa uajEotrx peuararraqa, 3axojc cy npe.qnnlrexg HoBrase Harpaae,

Peuarajre trcraBJLene 3a,qarKe E nartrTc f,x y uroaehey 6pojy MaaenaaucKot Lucfry. PeuaBaorls Mory n(tscaarn pe,uaxAujr peu€Ea caMo ogxx 3a,qarara Koju cy ilpeg-aufienu za buxos paspeg u sa ycemKe ceux pazpega.3aarxcDeuaejre caMocranHo, re rpaxehu nouoh us o,[ Kora. CruKcuprajTe npeqn3no, a peue*a rnuxre o6pauoxeno n qurKo.Ha je,qnou ntrcry nampa rpe6a xanucaru ca ucrc crpax€p€,qBr 6poj, TeKcr tr KoMnnerHo peue*e caMo tro je.uuor :a-

apcauiletot,Hacosehupsspesu"0"^X?:;".i";;",n#:;Tt,f,i%r:ff\12?#"i#{",#;i",1"ix peue*a 6e: o6pa3troxeba, o.qEocxo 6er nyxc a,qpece trouf,saoqa, Behe ce yruuarz y o6sxp.

.Cra peuesa xoja ruarcre f,croBpeMeno crarure y jeqax roBepar f, trouansre sx Ea arpocypeaarqaje ca Ha3HaxoM,,Koxnypcxu raaa{s". Ha noaellran xo8epra xaBeatrTe cBoje sMe, uxonys pa3lrca. Peusna ga,qaraxa s3 oEor 6poja rrcra rpe6a nocaaru uajxacnxje Ao 5. 2. 1980. r.

A) 3a yvenuxe IV u V paspega

579. Clryuose A u B trpeAcraBlrn Besosnvr ,ujarpaMoM aKo je:

A:{xlr€ (C\D) rlm x€(D\C)i B:{xlxeC u x*Dl.C n D cy Ma Kojtr crytroBu. O,q QopMym: ACB, BCA, A-B- xoja je ratrxa?

580. Bucrna 6paaje 126m, a Bncnga ApBera y rberoBoM uoAgoxjy l4m..{yxnna (gyruna) ceHr(e ApBera je 3 m. Koaura je gyxnua cexKe 6pAa?

581. Moxe Jrff ce rrorperarn MexaH[3aM oA 9 3y[.raur{Ka ar<o je npun, crrForHYT caMo ca aeBeTrrM tr ApyrEM, Apyrl caMo ca [pBr{M B Tpeh[M, nTA.,

Ir AeBerr caMo c:r ocMrM rr npBnM? flpunoxolru rlprex n Aaru objnmrsane.

B) 3a yvenuxe V u VI pazpega

582. y jeAnoj nocaacrrflapxnru nMa oApeDeH 6poj cro:iosa. Hexn cro-toBx nMajy 3 nore, a Her(I{ 4 nore, 3a csa(u croJroM cy TaqHo rro 4 cToJrr{qe IIcBe oHe t{Majy IIo 4 xore, Cse croruqe uvajysajeAxo ll2 xory,acBrrcronoBEultajy rajeaxo 25 nory. Koauxo uMa croJroBa ca 3 HoIe, a KoJrnKo ca 4 Hore?

. 5E3. Ilonpurnxa (uaonrrnna) jeanor raaApara rl3rrocrl 9 cmz n AeBer [yraje vara Ao roBpuurre Apyror KBaAApara. V xojoj pa3Mepn (pasMepy) je o6uu(oncer) Beher r(BaApara npeMa o6uMy Marser (BaApara?

' C) 3a yuenuxe VI u VII paspega

584. Aymro je orruI

ro?

IIyEe ruoJbrrqe qpHe r€oe rI Ao[yHr{o je unerolr,

Harlpaa[Brru Sery rarfy. 3aruru je orooo I Te rnoJluqe rr trorroBo je Aonylso3

89

E) Za utenike VIII razreda

1439. RijeSiti jednadZbu:

r.F_t(,.

yt')_l?_ u_,,] _ (;_.)):,

1,140. Visina pravilne trostrane piramide ima duljinu (duZinu) lOcm. Polo-vi5te (sredi5te) visine udaljenoje 3cm od bodne strane piramide. IzraCunati volumen(zapreminu) piramide.

1441. Dimenzije kvadra su: z, z*l i 2n-ll, edje je n prirodan broj. Kolikoje oploSje (povr3ina) kvadra, ako mu je volumen (zapremina) 84?

F) Za uienike svih razreda

l*fi2.'Razgovaraju Zoran i DuSan.Zoran: >>Duiane, daj mi 5 klikera, pa iu ih imati dva puta vi5e od tebe.(Duian: >>7ngane, daj mi 5 klikera, pa 6u ih imati tri puta vi5e od tebe.(.

Koliko ukupno klikera imaju Tnran i Du5an?143. Znamenka (cifra) jedinica nekog dvoznamenkastog (dvocifrenog) brojaje 4. Ako se taj broj smanji za 9, dobija se broj napisan istim znamenkama u obrnlr-tom poretku. NaCi taj broj.

1444. Na skladi5tu ima 40 sanduka sa po 30 kg exoZda i 33 sanduka sa po25kg gro1da. U toku dana stiglo je vi5e porudZbina, i svaka je glasila na lO0 kg ili na2OOkg grolda. Magacioner je isporuCio sve narudene koliCine i ostao mu je jo5jedansanduk gtolda. Kolikoje bilo porud2bina po l0Okg?

Rezultati odabranih zadataka 1425 - 1444

t429. 24W. 1426. 525,555,585. t$n. 2 895 i I 860. 1428. Delilac. t42g. 21.1430. Ima 46 parnih dvocifrenih brojeva, a njihov zbir je 3 484. 1431.

-333.(-t),

-111.(-3), -37.(-g). 1432. AB:9cm. 1433. 9184. 1434. 13. t4g6. A:2=.1437.5

Uputstvo:Brojevi a i b pri dijeljenju sa 5 mogu dati ostatke O, 1,2, 3 ili 4, itd. 143E.tt25 .-.

I :2. 1439. x:5. t440. - V3 cml. 144I. 122. 144,2,24. 143.54. 14H./,. Narudenoje 4 puta po lfl)kg.

2

' Tadatak 1434 sastavio je B. Simid, nastavnik iz V. Popovida

88



MJIetroM, tra je osAa rrorrlo je jo- I -or"q, n jom je,ryov je ,qotrymo MJreroM.z

Hajsa,u je tronno cBe f,3 rtroJbf,qe. 9era je ,{ymo Btrrtre trormo: ra$e uru unera?

- 585. Aar je rpoyrao (rporyr) ABC u pegou cpeAunra (norryormra) E, Fu G EeronrD( crpamrqa AB, AC u BC. C-a, ctroJbar$rue (narcre) crpa.Ee rpoyrna

AB ACtroByrreHe cy .Nrxx (ryxrue)

"r-Ty FN-

,,raKoaajeEMIABUFN!

tAC. E5xa:ers sa je GM- GN.

D) lla yvenuxe VII u WII patpega586. Ha cn. I naqprano je 8 je.ryalux xpy-

roBa, Tar(o Aa 6 neocer.renf,x xpyroBa.so.upyjy ceAl\,ttr,

Jrrryrpam*u reyr, tr cnarr Ao,qrpyje E ABa cyceAca Kpy-ra. Ocenrexl xpyr 6er Knu3arba ce rorpJba y je,ryolrcMepy oro rreoc€Hrreuru( xpyroBa. Konnco o6prajaHatrrrru oaaj xpyr AoK [eoce[qeHe xpyroBe obrfejeaantryr?

5E7. y je.qraxorparolr (rcroxparuorvr) rpauesy pjaronala d-l6crn urpar c:l2m garnanajy EpaB yrao (4yr). Oape.ryru.ryxurre (,qyrbme) ocEoBurlaE troBprnrrry lnnoumury) Tparre3a.

El 3a yueaure VIII pacpega

588. 3a xoje BpeAHocrE x, !, z sispart 2x2+4y2+322-20x-36y-l8z++157 mua xajlrany Bpe,qrcr?

5E9. flpanmra lrerBopocrparra rtrpaMnAa SABCD, xaja je 6ata ABCD,troroluberra je y soAy, Taro Aa joj je apx .S uo,q t'oaorvr, 6oqna narua (6pul) Slje aeprrranna (oro nra), a reMe (npx) C 6are je rarruo Ha norpurrrr.(patuxz)no4e. Pacroja*e AC ngvocu 60 cm, a Aeo uButle ,Sl, rojn ce HaJra3rr u3BarrBoAe, [3uocr 36cm. Llrpavynarrr, u3paxeHy y ntrTptrMa, 3atrpeMrilry (sonyMen)oBe rrupal{nAe.

F) !!a Y'aeauxe ceux Pa3Pega

590, Epauuu. [apoBri Aecunh, Jeporuh n Heuuh Ta(Mnrrurf, cy ce y crpe-JbarrrrBy. Yxyrnro cy nMann l00O noroAaxa. Myxerr cy 6nnu 6orr n nrvranu cy 5604nororKa. Jeporuh (Myja) uuao je ncrlr 6poj roro,qaxa r<ao rr tberoBa xeua. Aecruh(fror,qeu) rlrao je jenan r ro rryra Bnme roroAara o4 caoje xere, 3 Hemuh (l!!ruar)ruaoje ABa nyra Blrrue noroAara og cnoje xene. OA xena Anraje 6rna raj6ora uga l0 noroAara nobeArra Bu.qy, roja je rarobe ga l0 noroAara no6eAana Cuowy.O.qpeArru KoJrnKo cy uMaJrn troroAara trorMetrrltruo r xo je KoMe Myx, o.urocroxeFa.

591 , Ha caery y.recrnyjy 1979 yrenura, rojn Hoce peAoM 6pojere: l, 2, , . . ,1979. Ilo urqaroj Hapegbu cBaKr{ oA rbrrx Moxe c 6rno rojurvr aprflM Aa 3aMeuu Me-cro, t{Jlrr Aa ce rre noMepa. Moxe llr ce flocne ABe r(oMaH,qe ao6nrr pa3MertrTaj: 19791,2, . . . ,1978? Aro je 6nno 1980 yqecgrKa, Aa nf, ce uoxe Ao6uru paruemraj:1980, 1., 28, 1979?

90

RESENJA KONKURSNIH ZADATAXA 566 - 57tIZ MATEMATTCKOG LrSTA XrV, 2

566. Tri jednake knjtge i Eetiri je&ake teke (sveske) staju l4O dinara. Ko-liko staje knjiga a koliko teka, ako je knjiga za 2l dinar skuplja od teke?

Ako bi sveska i knjiga bile iste cene, tada bi se suma pladena za sve njih sma-njila za 63 dinara, pa bi se za 4 sveske i 3 knjige plaiene po istoj ceni platilo ZZ dinara.To znadi da je cena sveske ll dinara, a cena knjige 32 dinara. :-

A) Za utenike IY i V razreda

Dijona Rudovlr!, ud. IV6 r. OS ,,J. L. Ribar.., Kakanj

56i1. Priloiena slika predstavlja kvadrat naiinjen

od tetiri domhe tako da je zbroj (zbir) poena na svakojstranici kvadrata 8.Koristeti cijelu zbirku domina naiinile sedam kva-

drata sa po Eetiri domine, tako da zbrojevi na svakojstranici jednog kvadrata budu jednaki. (Priloiiti crteietih kvadrata.)

Ovajzadatak ima viSe re5enja, a-jedoo od.njih je:I kvadrat si zbirom 3

I kvadiat sa zbirom 62 kvadrat sa zbirom 9

I kvadrat sa zbirom l0I kvadrat sa zbirom llI kvadrat sa zbirom 16

aaaa

aaaaaa

Cr. I

ffiffiffiffiffiffiffiYesna Marjanovld, ud. \ r. OS ,,A. Savdii", Valjevo

56E. ffa pravcu (pravoj) p nalaze.se srediilta (centi) dveju nejednakih krui-nica na 5 cm udaljenosti iedno od drugog, tako da se jedna kruZnica nalazi unutardruge. Najmanje rastojanje presetnih toiaka (tataka) jedne i druge kruinice sapravcem p je 5 cm, a najveie 29 cm. Kolika je duljina (duiina) polumjera Qtoluprei-nika) svake od tih kruinica?

PriloZeni crteZ ilustruje zadatak Neka suA, B, C, D presedne taCke tih kru?tica i prave p.CD je ndjmanje rastojanje, a AC najvete. Zbir dviinaduZi AC i CD je 34 cnt, a to je prednik vedeg knrgR.Ako se od njegovog polupreCnika oduznre rastoja-nje izme<lu centara i duZina CD, dobije se da je polu-prednik manje kruznice 7 cm.

Em.iira Mujovrt, ud. IV, i. OS ,,R. Radidevi6," Priboj

B) Za uienike V i W razreda

569. Treba odrediti koliko se puta u razlici 280 -

- N:2NsadrZi broj 16, jer se 8 oduzima od veCeg,

a dodaje manjem broju. Tako se dobija 240:16:15,Zoran MilinkoyrC ud. V, r. OS,,M. Pavlovi6", Cadak

570.-Re5enje zadatka predstavljeno je na sl. 4.

Jovan Smiljanrd, ud. V, r. oS ,,F. Kljaji6 Fica', V. Reka

st. 3

sl 4

9l

f-,-. 1):-in'nn*,ll- ?;'..-t-tr -..,''' Lr,r') --"



':tfi.l;)^{- !

E\ Za utenike VIII razreda i '" t

Jli. Odrediti dva uzastopna prirodna broja koji su dati izrazima: 2 (n-3)..(z+l) i (n-2) (2n-l\. Naii sva rjeienja.

frebS.da -tu$eZ(1-l) (n + l) - \n-2n) (2n-t) : 1, s66kle je z : 9, iti (n-2).

,(2n;l)-2-(n-3)(n*l):1,_a. o-{avde je n:7. U''prvom sludaju traieni irroijvisu 120 i ll9, a u drugom 65 i g.

Radoje Bojtid, ud. VIII, OS ,,e. Mitosavljevi6.., Pecka

.___576. Qao jg kocka ABCDATBTCTDT. Duiina (dui) koja spaja centar O straneABCD sa vrhom (temenom) At sijete dijagolanu ACy kocke'u itkt p. iutiina (ai-

Iiina) odsieika oP i" G. Koliko je opbije etovriina) kockel.c1

C) Za udenike VI i WI razreda

571. Ako Domnoiimo, dua. troznamenkasta (trocifrena) broja, dobidemo pro-dukt-Qtroizvod) 222222. odrediti sve parove triri^"i*iriii b;;j;;" k;j;-iaiu ovaiprodukt.

-^Rastavimo ,na prosre Cinjoce broj 222222. Dobijamo 222222:2.3.7.I I' 13 . 37. Kombinovanjem

.clryl1ca .dobijamo I -

p:i.i:Ij . At.yl-:{oZ . +st.(2'1:7_'ll'(t1.37):s46.4o.t;_. t!;'!.r\).Q.13.37):23r'.e62; . '6:i.fiy'. <z'.li.ztl:-?l].!lq: (2.3.11.t3).(2.37):858.'se;-(3.n.ji).i2.7:itj':+zdiis-'i'ij.'rr.rl.

.(3.7.37):286.777. prema tdme, zadatit ima t' riililitifi ,"S"n:r-Vlado Slovit, ud. VI, r. OS ,,S. Markovii.., Sjenica

tl2.Nacrtan je

kut (ugao) aoB,proizvorjna

kruinica ,o ""itro^ o odsje-ca na ,kracima ou-og kuta teiivi cD. Ako ,,pre:nosimo,, tui* co i Truzniciiza.toike p, uvijek u istom smjeru, tada ii- posrije 2ss iinoseua'irh-i"rtoro4yv! -nut dospieti ponovio

.u, t?itu^g: pri tome je iatinjeni iiii'ii p'ii"'*rue".Koliko u stepenima iznosi kut AOB? ' p

.- Neka je velidina nacrtanog ugla cro. >>preno_s.*i<< ovaj-rgao,255 puta dobijamo ugdo 255 . cr stepeni.Ali, to je jednako sa 34 puna uda,l. jednako ji sa

34' 360'. lz 2SSd:34'360. dobijamo,r:34'360"

:4g".- 255

,oo",1i3ii'ill' i?i.'"lifi*,1:.Fi:)ic1'nt, i+odnosno A1P:OP:2:,1, pa je Af:2.Op:+. I \S

Sada iz pravougtog trougla AAlo dobijamo:,V2

I AAA,2+Ao2:A,o,, ti.."*(+)' :G) rg

Odavde n +:+, pa je a2:3. povrsina kocke je j\oran Cvetkovit, ud. VI, r. OS ,,Bratstvo-jedinstvo.., Sarajevo st. 4

D) Za uienike YII i Wil razreda

sl. s

573- Deiifrouati jednakost: a&^:abba, gdje seu a i b razliiite znanenke (cifre).Za a:l moie biti samo b:3. ier ieli::t:3|. Ze a:2 niie -ô,'<"'

'io

aa:l moie biti samo b:-3, jer j-e ti::t:lt. Zi-i:i;ld;.;;d;'Ade-detvorocifren broj. svaka druga viednost za a, ve(a oo r. tai.ooe-ie ,''"82b bude detvorocifren broj-. Svaka Arir{i viednos t ia a, veea od.7,da dovede do relenja. Dalile, jedino relenie ie a:l- b:3.

F) Za uEenike svih razreda

- : 57-7. Bolit ig plgdao kuglu sladoleda 2 dinara i razmiiljao na koliko naEinay9i" d.o plati iednu kuglu, koristeti metalne novEite od lo pari,5o para i I dinara.Nabrojati sve mogutnosti.

. ..Poris_moZe d.a qta{ ku.glu sladoleda samo jednom vrstom novCiia: 2.(l di-narlîli 4'(50 para), ili 20'(lo para).

-osimtoga, mogude su sledede kombinicije:

5._(I0_para).+.-1 .(50 para), ili 10.(10 para) +'2.(i0 para), ili 10.(10 para)-**1,.(l dinar), ili 15_.-(10 p?ra) + t.(50 para), 'ti 2:(5d puii) + t.ir Ainarj, tti5'(10 para) + I .(50 para) * I . 1( dinar). Ukupno poitoji 9 kombinacija.

Miodrag Stojanovii, ud. VI. r. OS ,,D. Todorovii-

Kaplar.., Knjalevacs78. Rade i roma su brata blizanci, koji se razlikuju samo po tome ito jedan

uvijek laie, a *-ugi uvijek govori istinu. Na iva postavljZna pitanja ont odgivamiusamo sa>>Da!<< ili sa >>Ne!<<. Treba postaviti jedno iito.pitanje i naai i romi,ili takodaoba brata daiu isti odgoyor. Navesti iedio pitanje

-nakoie te oboiica odgoioriti sa

>>Da!<< i jedno pitanje na koje te obojica odgovbriti sa ,iNe<<.

_ t{a pri1n9r, na pitanje: >rDa li ti uvek g.ovorii istinu?<<, oba brata ie odgovoritisa >Da!<. onaj koji laZe i ovog puta ie slagati. Ako ih pitamo :>>Da li ti uvekTaiei?<<,

oba ce odgovoriti: >Nel(. eitaocu prepuitamo da utvrdi kakav 6e odgovor dobitiako postavi pitanja: >>Da li tvoj brat goiori istinu?<<,ili>>Da li tvoi brat iiZe?<i

P:64,2:18. St. 6Nataia Jevtlit, ut. VIII, r. OS ,,Kara<lortle.., Topola

Ivan Milenkovrc, ud. VI, OS ,,Lj. Nikolii.., Aleksinac+ Tadatak 577 poslao je I. Tomaki6, nastavnik iz Slavooskeog Broda.

i t'',

,1,;

:t

93

da dovede do relenja. jedino re3enje je a:1, b:J.

od tadke zl i pretlimo put AAr:MI\i, paJ(r racKe /{ I preolmo put AAr:MN, paralelno i u is-tom smeru sa- MN. Tada je detvorougao AA1MN para_lelogram, pa je l1N jednai<o i paralelio sa lii .4U+*NB:AM*NM. Na osnovu nejednakosti trouglaznamoda je AN*NB najmanje ako tadka N pripida

duil Afi.S-1d.a j9. konstrukcija odigledna. Najpre konstrui5emo lll: MN i AArLm.racKu.lv dobrjamo u preseku duzi Afi i prave n, itd. Dokaz sledi direktno izkon-strukcije.

Nenad Risti6, ud. VII, r. OS ,,Karadorde.., Topola

92

ne moZe

Biljana Milosavljevii, ud. VII, r. OS ,,Kara<lorde.,, Topola

,-,,-- ,57!. U/esta,l i-B nalaze se sa raznihstrana kanala,iije su obale m i n para_y-he melu .sobom (sl' 5). M_ost prekg kanara gradi se okomito (uspravno) na obate.Konstruiruti most i cestu, n(o_da dutiina (duii-na) puta izmedu i iV b;;; iiimania.Konstrukciju detaljno obrazloiiti.

^Ma gde postavili most MN, put od I do B

qa-s19jade se iz tri dela: AM*MN+IV8. po5to je mostMN ta[no odredene duZine, treba odrediti [,f i lttafo d9 zbir AM*NB bude najmanji. Stoga, krenimood tadke zl i pretlimo put AAr:MI\i, paral-elno i u is-

A



NAGRADNI ZADATAK BR. 65

Na nekom ostrvu postojalo je prorotanstvo pri kojem su se iuvali kipovi bo-gova: kip boga istine, koji je uvek davao istinite odgovore; kip boga laii, koji je uvekdavao laine odgovore; i kip boga diplomatije, koji je neki put govorio istinu, a nekiput lagao.

Da bi ustanovio koga je koji od ovih kipova predstavljao, jedan posetilac iezapitao onog boga iiji je kip stajao levo: ko stoji do tebe? Na to je dobio odgovor:bog istine. Onda je zapitao onog u sredini: ko si ti? Na to mu je bilo odgovoreno: bogdiplomatije. Naposletku je zapilao i treteg: ko stoji do tebe? Bog laii -

bio je od-govor.

- Eh, onda je sve jasno - rekao je na to posetilac. - Zbog Eega je mogaoon to da kaie?

Za taCto reScnje ovog zadatka bidc nagradeno matcmatiikim knjigama ili priborom za pisanjcnajmanje 20A onih koji posalju tacna reSenja. Izbor nagradenih bide izvrsen po potrebi Zrebom.

Rescnje poslati na adresu: Matematidki list, Beograd, Knez Mihailova 35/IV, p,p.728. Na sa-mom radu obav€zno treba napisati ime i prezime, razred, odeljenje, ime Skole i poStu (sa poStanksimbrojem). Na kovertu (omotu) traznaditi: Nagradni zadatak br. 65. ReSenje poslati najkarnije do 20,2.1980. g.

Molo so ditaoci da iz svako Skole Salju re5enja samo ooi ulenici koji su zadatak rcSili samostalno.

ZANIMLJWOSTI I RAZNO

Stomahion

Sirine, izdeli se na 14 delova ona-ko kako je naznadeno na slici crnoizvudenim linijama. Zatim se odovako dobijenih delova sastavljajunove figure, obiCno tako da podse-Caju na pojedine predmete ili ljude.Takva je, na primer, figura pred-stavljena na sl. 2, koja podse6aDa rodu. No igra se ne sastoji sa-mo u tom da se dovitljivo uoCavaju I Sl. I Cfigure koje se pomodu dobijenihdelova pravougaonika ABCD moga sastavljati, nego i u tom da se, obratno, pro-nade kako je sastavljena izvesna figura kad je data samo njena kontura. Takav

sluCaj, na primer, kada su u pitanju figure predstavljene na sl. 3, i 4 koje trebarastaviti na delove sliCne onima na koje je izdeljen pravougaonik ABCD.

Zanimljiva je i istorija, ove igre. Smatra se da ona potiCe od starogrkogmatematidara Arhimeda Q87---212 g.p.D.e.). Potvrda za to natlena je najpre 1899godine, na osnow jednog arapskog rukopisa koji je nosio mslov )Knjiga Arhimeda

96

. r:rstavljanju figure stomahiona na l4 delova koji stoje prema njoj u racionalnim

.tlnosima<. No, sasvim sigurnoje to utvrdeno tek poietkom ovog veka, kadaje danskin;rudnik G:rjberg otkrio na jednom pergamentu biblioteke u Jerusalimu ost;tak jed-n()g sastruganog matematickog rukopisa, preko kojeg je kasnije bio napisan nekakavt'rkvcni tekst. Taj rukopis je predstavljao prepis nekoliko duvenih Arhimedovihtlcla, a jedan njegov deo odnosio se na stomahion.

No,stomahion daje povoda i da se u vezi sa njim postaveizvesni pravi mate-nurlidki zadaci, koji su pristupaini i starijim udenicima osnovne skole. ovde 6e bitiirrrcla dva tzv. Arhimedova zadatka o stomahionu.

Zadatak l. Dokazati da povr5ina svakog od delova pravougaonika ABCD(sl. l) predstavlja izvestan broj detrdesetosmina povrSine samog pravougaonika.

Zadatak 2. Grupisati delove stomahiona tako da se povriine novodobijenihtlclova (u Cetrdesetosmim delovima povr5ine paralelograma) mogu izrazitil-

a) pomoiu tri jedhaka cela broja; b) pomoiu tri uzastopna cela broja;c) celim brojevima od I do 8 i brojem 12.Potrudite se da re5ite ove zadatke, pa 6ete, vervatno , u.tome i uspeti.

(Prema dlanku J. Danilova iz )Kvanta(, 1978/8 - priredila E. M.)

Stomahion je svakako rodonaCelnik jedne vrste solo-igara koje se sastojeu tom da se od delova neke ravne figure sastavljaju nove figure, po svojoj povrSini

iednake datoj, odnosno da se otkriva kako su izvesne druge figure sastavljene odednake datoj, odnosno da se otkriva kako su izvrdelova date figure. Ona se sastoji û slededem. t

Pravougaonik ABCD (sl. l).A-Cija je duZina dva puta veda od Jt\

Documents

Matematicki list 1979 XIV 3