MATEMATICKÉ ZÁKLADY

KINEMATICKÉ TEORIE DIFRAKCE

Jiří Komrska

Ústav fyzikálního inženýrství,

Fakulta strojního inženýrství, VUT Brno,

Technická 2, 616 69 Brno

Přednášky pro doktorský studijní program

1

Matematické základy

kinematické teorie difrakce

Jiří Komrska

Ústav fyzikálního inženýrství, Fakulta strojního inženýrství, VUT Brno,

Technická 2, 616 69 Brno

Přednášky pro studenty doktorského studijního programu na FSI VUT v Brně. Textje upravenou verzí publikací: Komrska J.: The Fourier transform of lattices. In: Procee-dings of the International Summer School „Diagnostics and Applications of Thin Filmsÿ,May 27th — June 5th 1991 (L. Eckertová and T. Růžička eds.) IOP Publishing, Bristol1992, 87–113 a Komrska J.: Matematické základy kinematické teorie difrakce: Fourierovatransformace mřížky. In: Metody analýzy povrchů. Elektronová mikroskopie a difrakce.(L. Eckertová, L. Frank, ed.) Academia, Praha 1996, 231–277.

1 Úvod

Studium struktury látek založené na difrakci nějakého záření se většinou provádí tak, že na zkoumanoulátku dopadá rovnoběžný svazek záření a ve vzdálenosti R — velké ve srovnání s rozměry objektu — seregistruje difraktované záření. Z něho, de facto tedy ze směrového rozložení difraktovaného záření, se pakusuzuje na strukturu zkoumané látky. Jestliže se přitom předpokládá, že difrakce je slabá v tom smyslu,že neovlivní („neoslabíÿ) primární záření a že difrakce nastává pouze jednorázově, tj. že difraktuje pouzeprimární záření, resp. že difrakce už jednou difraktovaného záření je zanedbatelná, mluvíme o kinematickéteorii difrakce (též — a možná výstižněji — o geometrické teorii [18]). Bere-li se v úvahu ovlivněníprimární vlny v důsledku difrakce a difrakce záření už difraktovaného, mluvíme o dynamické teoriidifrakce.Matematickým základem kinematické teorie difrakce je Fourierova transformace v EN . Ať už nás

zajímá kterákoli oblast teorie difrakce — difrakce na jednorozměrných mřížkách (E1), Fraunhoferovadifrakce v optice (E2), strukturní analýza pevných látek (E3) včetně kvazikrystalů (EN ), difrakce vl-nění nejrůznějšího druhu (zvuk, elektromagnetické vlnění, elektrony, neutrony, protony, atomy, ionty,molekuly) a nejrůznějších energií, resp. vlnových délek — vždycky používáme aparátu a výsledků Fou-rierovy transformace. Je asi nemožné najít univerzální důvod, proč tomu tak je. Často se však setkáváme(Huygensův princip, Bornova formule) s asymptotickou aproximací jistého integrálu, která tento integrálpřevádí do tvaru blízkého Fourierovu integrálu. Úprava s tím spojená není korektní ani elegantní, je všaktak rozšířená, že ji uvedeme i zde.Předpokládejme, že objekt charakterizuje funkce f (~x) (funkce propustnosti v optice, elektronová

hustota v rentgenové difraktografii, elektrostatický potenciál v elektronové difraktografii atd.), kterápředstavuje schopnost objektu rozptylovat záření. Na objekt dopadá kolimovaný svazek, rovinná vlnacharakterizovaná výrazem exp (ik~n0 · ~x), v němž ~n0 značí jednotkový vektor ve směru šíření a k = 2π/λje vlnové číslo. Každý bod objektu působí rozptyl, jímž vzniká kulová vlna

f (~x) exp(ik~n0 · ~x)exp(ikr)

kr,

jejíž amplituda je úměrná jednak rozptylové schopnosti f (~x) objektu, jednak — a to je výrazem kinema-tické teorie — dopadající vlně. r značí vzdálenost mezi bodem ~x a bodem pozorování ~R, tj. r = |~R− ~x|(viz obr. 1). Difraktované vlnění v bodě pozorování ~R je pak charakterizováno integrálem

2

Ψd(~R) =∫∫∫ ∞

−∞f (~x) exp(ik~n0 · ~x)

exp(ik|~R− ~x|

)k|~R− ~x|

d3~x. (1)

Obrázek 1: K aproximaci (2).

Nyní se využije toho, že bod pozorování je velmi vzdálený od objektu. Míní se tím, že funkce f (~x)nabývá fyzikálně významných hodnot jen pro x � R a jinde je rovna nule. Všeobecně se má za to, žetento předpoklad dovoluje jednak nahradit výraz k|~R−~x| ve jmenovateli výrazem kR a vytknout jej předintegrál, jednak nahradit týž výraz v exponenciální funkci aproximací prvními dvěma členy Taylorovarozvoje

k|~R− ~x| ' kR− k~n · ~x, (2)

v níž ~n = ~R/R. S označením

~X = ~n− ~n0 (3)

pro tzv. vektor rozptylu lze pak přepsat integrál (1) do tvaru

Ψd =exp (ikR)

kR

∫∫∫ ∞

−∞f (~x) exp

(−ik ~X · ~x

)d3~x. (4)

Integrál v tomto výrazu má už formálně tvar Fourierova integrálu.Se skutečností, že proměnná ~X nenabývá všech možných hodnot v E3 — jak je tomu u Fourie-

rovy transformace —, ale že je omezena podmínkou (3), se teorie difrakce vyrovnává tzv. Ewaldovoukonstrukcí. Využívá Fourierovy transformace, ale dodává, že experimentálně přístupné jsou pouze tyhodnoty proměnné ~X, které splňují podmínku (3), tj. které jsou rozdílem dvou jednotkových vektorů.

Obrázek 2: Vektor rozptylu ~X (viz (3)).

Podstatou Ewaldovy konstrukce je tedy toto (viz obr. 2): V prostoru proměnné Fourierovy trans-formace sestrojíme kulovou plochu ρ o jednotkovém poloměru tak, že prochází počátkem O a její středC leží ve směru opačném ke směru šíření primární vlny, tj. CO = ~n0 (Ewaldova (též reflexní) kulová

3

plocha). Pak amplituda záření difraktovaného ve směru CQ = ~n = ~n0 + ~X je úměrná Fourierově trans-formaci F ( ~X) (funkce f (~x) charakterizující preparát) v bodě Q Ewaldovy kulové plochy, jehož průvodičje roven vektoru rozptylu ~X, tj. ~X = OQ.Po pravdě řečeno, ve snaze zdůvodnit, proč má Fourierova transformace základní význam pro teorii

difrakce, jsme Ewaldovu myšlenku [21] zobecnili do té míry, že je to na hranici přípustnosti. Ewald totižpoužil svou konstrukci pouze k diskusi difrakce na mřížkách. Protože Fourierova transformace mřížkyje rovněž mřížka (viz kap. 2, 5, 7, 8), říká Ewaldova konstrukce, že hlavní difrakční maxima jsou vesměrech, pro něž je vektor rozptylu ~X mřížkovým vektorem zmíněné mřížky ve Fourierově prostoru (vizkap. 9). Rovněž měřítko Ewaldovy konstrukce bývá jiné: Poloměr kulové plochy ρ nebývá jednotkový,nýbrž 1/λ.Skutečnost, že experimentálně dostupná je jen část prostoru proměnné ~X, není, bohužel, jediným

problémem jemuž musí strukturní analýza čelit. Druhou závažnou skutečností je, že experimentálně seregistruje nikoli amplituda difraktovaného záření, tedy veličina úměrná Fourierově transformaci F ( ~X),ale intenzita, tedy veličina úměrná |F ( ~X)|2. Tím se ztrácí informace o fázi komplexní funkce F ( ~X). Nafunkci f (~x) tak musíme usuzovat pouze na základě znalosti čtverce modulu její Fourierovy transformacev konečné oblasti prostoru. Při této interpretaci difrakčního experimentu je, za existence těchto dvoukrutých omezení, užitečné se opírat o věty o Fourierově transformaci.Ve fyzice povrchů se používá různých difrakčních technik (LEED, RHEED), při nichž dochází

k difrakci na dvojrozměrných i trojrozměrných strukturách. Při modelování struktur povrchů a ana-lýze elektronově mikroskopických snímků přichází ke slovu optická Fraunhoferova difrakce a při studiukvazikrystalů mohou být užitečné i vícerozměrné mřížky (srov.[28], str. 226, [29], str. 69). Proto sev následujících odstavcích budeme zabývat Fourierovou transformací N -rozměrných mřížek. Budemepostupovat poněkud nezvykle, totiž formálně matematicky a bez zřetele na způsob realizace difrakčníchexperimentů. Snad tím vynikne to, co je společné všem zmíněným difrakčním technikám a ozřejmí seformálně matematický původ zaváděných pojmů. Teprve v závěru (kap. 9) pojednáme o difrakčníchpodmínkách. I k nim však budeme přistupovat spíše z geometrického než fyzikálního hlediska. O teoriia experimentální realizaci jednotlivých difrakčních metod tato stať nepojednává.Tím, že se budeme zabývat Fourierovou transformací N -rozměrných mřížek, by neměl vzniknout

dojem, že směřujeme k nějaké N -rozměrné difrakční teorii. Něco takového by sotva mohlo mít význam.Vektory ~n0, ~n , ~X v rovnici (3) jsou téměř vždy trojrozměrné. Pouze objekt f (~x) může být trojrozměrnýnebo dvojrozměrný (nebo dokonce i jednorozměrný). Aby integrál v (4) měl smysl i když funkce f (~x) =f (x1, x1) je funkcí dvou proměnných, můžeme jí přiřadit funkci tří proměnných pomocí funkce delta:

f (x1, x2, x3) = f (x1, x2) δ (x3) . (5)

Fourierova transformace F ( ~X) funkce (5) nezávisí na třetí souřadnici,

F (X1, X2, X3) = A F (X1, X2) , (6)

neboť Fourierova transformace funkce delta v (5) je konstanta (viz 2(10)). Má tedy smysl pojednato Fourierově transformaci mřížek bez ohledu na jejich dimenzi. Při diskusi difrakce na mřížkách v kap. 9však probereme zvlášť difrakci na trojrozměrných a dvojrozměrných mřížkách.Stať má tedy následující obsah:V kap. 2 následuje po definici Fourierovy transformace několik příkladů, které směřují ke krystalo-

grafickým aplikacím. Zejména je ukázáno, že Fourierova transformace N -rozměrné nekonečné „kartézskéÿmřížky je ortogonální reciproká mřížka (srov. 2(18)). Výpočet je snadný, neboť N -násobnou řadu funkcídelta lze v tomto případě faktorizovat, tj. vyjádřit součinem jednoduchých řad. Pro difraktografické apli-kace je mimořádně užitečná věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze ztotožnit lineární regulárnítransformací souřadnic. Je dokázána v kap. 3, aplikována na translaci objektů v kap. 4 a v kap. 5 nadeformaci. Obecná N -rozměrná mřížka se zde považuje za deformovanou kartézskou mřížku a pomocíuvedené věty je ukázáno, že Fourierova transformace obecné mřížky je rovna (nebo aspoň podobná)reciproké mřížce (srov. 5(6)). Kromě toho je v kap. 5 odvozen vztah vyjadřující pomocí Gramova deter-minantu základní vektory reciproké mřížky prostřednictvím základních vektorů přímé mřížky a naopak(srov. 5(13), 5(14)) a to při libovolné dimenzi mřížky.V kap. 2 a 5 jde o nekonečné mřížky tvořené body. Aby bylo možné pohodlně pojednat o mřížkách

se složitější bází a konečných mřížkách, je v kap. 6 definována konvoluce a jsou diskutovány některé jejívlastnosti, zejména ve vztahu k Fourierově transformaci (Fourierova transformace konvoluce a součinu).

4

V závěru kap. 6 je ukázáno, že čtverec modulu Fourierovy transformace je Fourierovou transformacíautokorelace. V kap. 7 se využívá vlastností konvoluce k výpočtu Fourierovy transformace nekonečnémřížky s bází a k diskusi strukturního faktoru. V kap. 8 je Fourierova transformace konečné mřížkyvyjádřena jednak prostřednictvím mřížkové amplitudy, jednak prostřednictvím tvarové amplitudy. Dáleje v kap. 8 odvozen vztah mezi mřížkovou a tvarovou amplitudou a jsou naznačeny přednosti použitítvarové amplitudy k výpočtu Fourierovy transformace konečné mřížky. Tím končí pojednání o Fourierovětransformaci mřížek.Kap. 9 má už poněkud aplikační charakter. Jsou v ní odvozeny podmínky pro směry hlavních

difrakčních maxim a představuje povšechný návod jak přistupovat k interpretaci difrakce na mřížkáchv rámci kinematické teorie difrakce.

2 Definice Fourierovy transformace

Fourierova transformace bývá definována různými způsoby. V důsledku toho jsou různého tvaru (liší serůzně rozmístěnými konstantami) i věty, jež mají v aplikacích fyzikální obsah (např. věta o Fourierovětransformaci konvoluce, Rayleighova - Parsevalova věta apod.). V jednotlivých oborech se však zvolenédefinice užívá více méně důsledně. Tak dochází k tomu, že i tak základní pojem jako reciproká mřížka sezavádí jinak v krystalografii a jinak ve fyzice pevných látek a vznikají dokonce i spory o oprávněnosti téči jiné volby [1]. Abychom získali interdisciplinární nadhled, zavedeme do definice Fourierovy transfor-mace vhodné konstanty, jejichž konkrétní volba dovolí ztotožnit se s jednotlivými speciálními definicemiFourierovy transformace.Snad všechny definice Fourierovy transformace používané v literatuře jsou speciálním případem

transformace, definované s použitím tří nenulových konstant A,B, k. Definujme tedy Fourierovu trans-formaci FT {f (~x)} funkce f (~x) a inverzní Fourierovu transformaci FT−1

{F ( ~X)

}funkce F ( ~X) integrály

FT{f (~x)} = AN

∞∫· · ·

∫−∞

f (~x) exp(−ik ~X · ~x

)dN~x, (1)

FT−1{F ( ~X)

}= BN

∞∫· · ·

∫−∞

F ( ~X) exp(ik ~X · ~x

)dN ~X. (2)

Přitom se předpokládá, že f a F jsou absolutně integrovatelné komplexní funkce reálných proměn-ných ~x, ~X ∈ EN , které jsou všude spojité, s výjimkou množiny bodů míry nula, kde mohou mítkonečnou nespojitost. Konstanty A, B mohou být komplexní, konstanta k musí být ovšem reálná. Za-vádět konstanty A, B komplexní je však formální a bezúčelné, neboť to pouze komplikuje formulaciněkterých vět a jejich důkazů. Bez újmy na obecnosti můžeme považovat konstanty A a B za reálné akladné. Navíc konstanty A, B, k svazuje podmínka

AB =|k|2π

, (3)

jež vyplývá (viz [2]) z tzv. fundamentální věty o Fourierově transformaci. Podle ní platí v bodech spojitostifunkce f (~x)

FT−1{FT{f (~x)}

}= f (~x) (4)

a v bodech, v nichž má f (~x) konečnou nespojitost, se levá strana vztahu (4) rovná střední hodnotěfunkce f (~x) v infinitezimálním okolí bodu nespojitosti. Podmínka (3) je také nezbytná k tomu, aby bylosmysluplné nazývat funkce f (~x) a F ( ~X) dvojicí funkcí souvisejících spolu Fourierovou transformací.Z (1), (2) a (3) totiž vyplývá, že v bodech spojitosti platí

F ( ~X) = FT{f (~x)}, f (~x) = FT−1{F ( ~X)

}. (5)

Bylo již řečeno, že v různých oborech aplikací se používá navzájem odlišných definic Fourierovytransformace. V matematice samé se nejčastěji používá tzv. symetrického tvaru s A = B = 1, k = 2π[3,4], zdaleka však ne vždy [5]. Rovněž v krystalografii se ponejvíce používá tvaru s A = B = 1, k = 2π[7], často však také A = B = 1, k = −2π [6,8], a dokonce i A = 1/2π, B = 1, k = −1 [9]. Ve fyzicepevných látek, fyzice povrchů a v teorii obvodů A = 1, B = 1/2π, k = 1 nebo k = −1 atd. Na tyto

5

různé volby konstant je třeba dávat pozor při používání různých sborníků a sbírek vzorců pro Fourierovutransformaci.V aplikacích, při modelování reálných objektů a dějů, je často žádoucí počítat s Fourierovými trans-

formacemi funkcí, které nejsou absolutně integrovatelné. Např. v krystalografických aplikacích jde častoo výpočet Fourierova integrálu periodických funkcí. Pro tyto případy se zavádí tzv. limitní Fourierovatransformace:Není-li f (~x) absolutně integrovatelná funkce a existuje-li hladká funkce g (~x, ~ε) taková, že při libo-

volném ~x je lim~ε→~a

g (~x, ~ε) = 1 a∫

. . .∫

−∞

∞|f (~x) g (~x, ~ε) |dN~x existuje pro všechna ~ε z nějakého okolí ~a, pak

existuje Fourierova transformace součinu f (~x) g (~x, ~ε) a definujeme

F ( ~X) = FT {f (~x)} = lim~ε→~aFT {f (~x) g (~x, ~ε)} . (6)

V tomto smyslu lze mluvit např. i o Fourierově transformaci konstanty, jak vyplyne z příkladu 2.1.

2.1 Příklad

Pro výpočet Fourierovy transformace fázoru f (~x) = exp(ikX(0)x) zvolíme g(x, ε) = exp(−ε2x2):

FT{exp

(ikX(0)x

)}= A lim

ε→0

∫ ∞

−∞exp

[−ε2x2 − ik

(X −X(0)

)x]dx

= 2A limε→0

∫ ∞

0exp

(−ε2x2

)cos

[k

(X −X(0)

)x]dx =

= A limε→0

√π

ε2exp

[− k2

4ε2

(X −X(0)

)2]= A

2π|k|limε→0

√k2

4ε2πexp

[− k2

4ε2

(X −X(0)

)2].

Limita představuje funkci delta proměnné X −X(0), takže

FT{exp

(ikX(0)x

)}=1B

δ(X −X(0)

). (7)

V EN zřejmě je

FT{exp

(ik ~X(0) · ~x

)}=1

BNδ(

~X − ~X(0))

, (8)

neboť si můžeme představit, že výrazy na obou stranách rovnice (8) vznikly z faktorizovaného tvaru

N∏r=1

FT{exp

(ikX(0)r xr

)}=

N∏r=1

1B

δ(Xr −X(0)r

).

v nějaké kartézské soustavě souřadnic.Speciálně při ~X(0) = 0 dostáváme z (8)

FT{1} = 1BN

δ( ~X). (9)

2.2 Příklad

Výraz pro Fourierovu transformaci funkce δ(~x− ~x(0)) vyplývá z filtrační vlastnosti funkce delta:

FT{

δ(~x− ~x(0))}= AN

∞∫· · ·

∫−∞

δ(~x− ~x(0)) exp(−ik ~X · ~x)dN~x

= AN exp(−ik ~X · ~x(0)). (10)

Fázory a funkce delta tedy tvoří dvojice funkcí, které spolu souvisejí Fourierovou transformací.

6

2.3 Příklad

Vypočteme nyní Fourierovu transformaci tzv. mřížkové funkce (viz [28], str. 174)

f0(x) =∞∑

n=−∞δ(x− n) , (11)

která charakterizuje nekonečnou mřížku v E1 tvořenou body s celočíselnou souřadnicí (srov. obr. 3(a)).

Obrázek 3: (a) Lineární mřížka (11), (b) a její Fourierova transformace (14).

Uvedeme nejprve jiné vyjádření řady (11), které získáme, vyjádříme-li tuto periodickou funkci s periodoudélky jedna Fourierovou řadou

∞∑n=−∞

δ(x− n) =∞∑

h=−∞

exp(i2πhx) , (12)

jejíž Fourierovy koeficienty ch jsou rovny jedné, neboť

ch =∫ 1/2

−1/2

∞∑n=−∞

δ (x− n) exp (−i2πhx) dx = 1. (13)

Uděláme-li v exponenciálních funkcích v (12) formální úpravu∑

h exp(ik 2πk hx

), vyplývá ihned z (7), že

Fourierovou transformací nekonečné řady funkcí delta je opět nekonečná řada funkcí delta:

F0 (X) = FT

{ ∞∑n=−∞

δ(x− n)

}=1B

∞∑h=−∞

δ

(X − 2π

kh

). (14)

Tato řada charakterizuje rovněž nekonečnou mřížku v E1 tvořenou body (viz obr. 3(b)). Její mřížkovýparametr 2π/k závisí na volbě konstanty k ve Fourierově transformaci.

2.4 Příklad

S použitím výsledku (14) snadno vyjádříme Fourierovu transformaci N rozměrné mřížkové funkce

f0 (~x) =∑

~n∈inf

δ (~x− ~n) (15)

charakterizující nekonečnou mřížku v EN tvořenou body s celočíselnými kartézskými souřadnicemi. Mříž-kový vektor ~n = n1~i1+ . . .+nN

~iN , kde~i1, . . . ,~iN jsou jednotkové vektory ve směru kartézských os. Číslanr nabývají všech celočíselných hodnot a symbol ~n ∈ inf vyjadřuje, že jde o N -násobnou nekonečnouřadu. Protože jde o kartézskou soustavu souřadnic, lze funkci (15) faktorizovat:

∑~n∈inf

δ (~x− ~n) =∑

~n∈inf

N∏r=1

δ (xr − nr) =N∏

r=1

∞∑nr=−∞

δ (xr − nr) . (16)

Také jádro Fourierovy transformace v EN lze faktorizovat, takže dostaneme i faktorizovanou Fourierovutransformaci funkce (14). Podle (14) a (16) je

7

FT

∑~n∈inf

δ (~x− ~n)

= 1BN

N∏r=1

∞∑hr=−∞

δ

(Xr −

2πk

hr

). (17)

Postupem opačným jako v (16) pak dostaneme

F0(

~X)= FT

∑~n∈inf

δ (~x− ~n)

= 1BN

∑~h∈inf

δ

(~X − 2π

k~h

). (18)

kde ~h = h1~i1 + . . .+ hN~iN a čísla hr nabývají všech celočíselných hodnot. Představuje tedy Fourierova

transformace mřížky (15) nekonečnou „kubickouÿ mřížku bodů v EN s mřížkovým parametrem 2πk .

3 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze ztotožnitlineární regulární transformací proměnných

Mnohé věty o Fourierově transformaci mají v difraktografických aplikacích pozoruhodný fyzikální ob-sah [10]. Např. linearita

FT

n∑

j=1

αjfj (~x)

=n∑

j=1

αjFT {fj (~x)}

je vyjádřením tzv. Babinetovy věty pro Fraunhoferovu difrakci. Rayleighova–Parsevalova věta

AN

∞∫· · ·

∫−∞

|f (~x)|2 dNx = BN

∞∫· · ·

∫−∞

∣∣∣F ( ~X)∣∣∣2 dNX

vyjadřuje zachování energie. Pro krystalografii a difrakci je velmi obsažná věta, která udává vztah meziFourierovými transformacemi funkcí, jež lze ztotožnit regulární lineární transformací proměnných.Považujme vektor ~x za sloupcovou matici a vektor ~X za řádkovou matici. Nechť čtvercová matice

M = ‖mrs‖ charakterizuje regulární (tj. detM 6= 0) lineární transformaci souřadnic

~x′ = M(~x− ~x(0)

)(1)

Pak inverzní transformaci charakterizuje inverzní matice M−1 = ‖m−1rs ‖ = ‖ Msr

detM‖, kde Msr je alge-braický doplněk prvku msr v matici M a inverzní transformace má tvar

~x = M−1~x′ + ~x(0). (2)

O Fourierově transformaci funkcí, které lze ztotožnit regulární lineární transformací proměnnýchplatí věta:Nechť funkce f1, f2 spolu souvisejí vztahem

f2 (~x) = f1

(M

(~x− ~x(0)

)). (3)

Pak jejich Fourierovy transformace spolu souvisejí vztahem

F2( ~X) =1

|detM|exp

(−ik ~X · ~x(0)

)F1

(~XM−1

). (4)

Důkaz je založen na pouhé substituci ve Fourierově integrálu:

F2(X) = AN

∞∫· · ·

∫−∞

f2(~x) exp(−ik ~X · ~x

)dN~x

= AN

∞∫· · ·

∫−∞

f1

(M

(~x− ~x(0)

))exp

(−ik ~X · ~x

)dN~x

8

= AN

∞∫· · ·

∫−∞

f1(~x) exp[−ik ~X ·

(M−1~x+ ~x(0)

)] dN~x

|detM|

=1

|detM|exp

(−ik ~X · ~x(0)

)AN

∞∫· · ·

∫−∞

f1(~x) exp(−ik ~X ·M−1~x

)dN~x

=1

|detM|exp

(−ik ~X · ~x(0)

)F1

(~XM−1

).

Lineární regulární transformace (1) zahrnuje jako zvláštní případy translaci (když matice trans-formace je jednotkovou maticí, tj. M = I = M−1 a ~x(0) 6= ~0), rotaci, resp. zrcadlení (když je maticetransformace ortogonální, tj. M−1 = MT a ~x(0) = ~0) i lineární deformaci (když M je obecnou regulárnímaticí). O translaci a lineární deformaci pojednáme v následujících odstavcích.Závěrem tohoto odstavce si všimneme rotace resp. zrcadlení a využijeme dokázané věty k formálnímu

odvození určité vlastnosti Fourierovy transformace, kterou většinou pokládáme za samozřejmost. Protožev případě rotace resp. zrcadlení je matice M ortogonální, tj. M−1 = MT , tj. detM = ±1, vyplývá podlevěty (4) z předpokladu f2 (~x) = f1 (M~x), že F2( ~X) = F1( ~XM

T ) = F1((M ~XT )T

). Rotaci objektu i jeho

Fourierovy transformace charakterizuje tedy táž matice M. Pootočí-li se tedy nějak objekt, pootočíse stejně i Fourierova transformace objektu. Kromě toho, má-li objekt vlastnost symetrie související srotací, tj. je-li f(~x) = f (M~x) má touž vlastnost i Fourierova transformace F ( ~X) = F

((M ~XT )T

). Totéž

lze říci o zrcadlení: Má-li funkce f(~x) zrcadlovou symetrii podle nějakého objektu (přímky v E2, rovinyv E3), má také její Fourierova transformace F ( ~X) tuto zrcadlovou symetrii. Zkrátka a dobře, funkcef(~x) je invariantní vůči nějaké ortogonální transformaci souřadnic tehdy a jen tehdy, když je vůči tétotransformaci invariantní také její Fourierova transformace F ( ~X).

4 Translace a soustava identických stejně orientovanýchobjektů

Uvažujme o dvou identických a stejně orientovaných objektech, z nichž jeden f1 (~x) je vzhledem k dru-hému f0 (~x) posunut o vektor ~x(1) (viz obr. 4). Platí tedy

f1 (~x) = f0(~x− ~x(1)

). (1)

Obrázek 4: Translace objektu f0 (~x) podle (1).

Fourierovy transformace obou funkcí spolu zřejmě souvisejí vztahem, který získáme z věty 3(4) přiM = I = M−1, ~x(0) = ~x(1) :

FT {f1 (~x)} = FT{

f0(~x− ~x(1)

)}= exp

(−ik ~X · ~x(1)

)FT {f0(~x)} . (2)

9

Posun objektu se tedy ve Fourierově transformaci projeví právě jen fázorem exp(−ik ~X.~x(1)

). Je-li tedy

nějaký jev (difrakce) charakterizován Fourierovou transformací, avšak detekovatelný jen jako čtverecjejího modulu, neprojeví se posun preparátu jako celku. (Této skutečnosti se využívá např. při prácis optickým difraktografem k přesnému stanovení roviny, v níž se pozoruje Fraunhoferova difrakce, jež jeFourierovou transformací funkce propustnosti vyšetřovaného objektu. Posunujeme-li (bez rotace) objek-tem v rovině kolmé k optické ose, pak v rovině Fraunhoferovy difrakce se toto posouvání objektu nesmíprojevit.)Vyjádříme nyní Fourierovu transformaci souboru n identických stejně orientovaných objektů. Takový

soubor je charakterizován funkcí

f(~x) =n∑

j=1

f0(~x− ~x(j)

). (3)

Fourierova transformace funkce (3) má vzhledem k (2) tvar

FT {f(~x)} = FT

n∑

j=1

f0(~x− ~x(j)

)= FT {f0(~x)}

n∑j=1

exp(−ik ~X · ~x(j)

).

Fourierova transformace souboru n identických stejně orientovaných objektů je tedy součinem dvoufunkcí, z nichž jedna je Fourierovou transformací jednoho objektu a druhá závisí jen na vzájemné polozeobjektů (a nikoli na tvaru a jiných vlastnostech objektů samých). V aplikacích jde většinou o strukturu,tj. o vzájemné polohy objektů, tedy o druhou z uvedených funkcí, o součet

S(

~X;n)=

n∑j=1

exp(−ik ~X · ~x(j)

). (4)

V závislosti na polohových vektorech ~x(j) má součet S(

~X;n)různé vlastnosti. Např. mřížková amplituda

G( ~X), o níž se pojednává v kapitole o konečných mřížkách a jejich Fourierově transformaci (viz kap. 8,vztah (4)), je zvláštním případem součtu S

(~X;n

), kdy polohové vektory ~x(j) jsou mřížkovými vektory.

Funkce S(

~X;n)je v tomto případě periodickou funkcí. Jiným příkladem je případ, kdy polohové vek-

tory ~x(j) jsou náhodné. Pak střední hodnota čtverce modulu tohoto součtu, tj. střední hodnota funkce∣∣S(~X;n

)∣∣2, je n a fluktuace funkce∣∣S(

~X;n)∣∣2 kolem střední hodnoty je rovněž n.

Obecně — nezávisle na volbě polohových vektorů ~x(j), pouze za předpokladu ~x(i) 6= ~x(j), i, j =1, . . . , n a při konečném n — lze o součtu S

(~X;n

)říci, že je pro všechna ~X ∈ EN spojitou funkcí, že

modul∣∣S(

~X;n)∣∣ je ohraničenou funkcí, jež nabývá maximální hodnoty v bodě ~X = ~0 a platí

max∣∣∣S(

~X;n)∣∣∣ = S

(~0;n

)= n, (5)

že bod ~X = ~0 je stacionárním bodem modulu∣∣∣S(

~X;n)∣∣∣, tj.

∇ ~X

∣∣∣S(~X = 0;n

)∣∣∣ = ~0, (6)

že střední hodnota součtu S(

~X;n)je⟨

S(

~X;n)⟩= 0 , když ~x(j) 6= ~0, j = 1, . . . , n, (7)

resp. ⟨S

(~X;n

)⟩= 1, když jeden z vektorů ~x(j) je nulový vektor (8)

a že střední hodnota čtverce modulu ⟨∣∣∣S(~X;n

)∣∣∣2⟩ = n. (9)

10

5 Lineární deformace a reciproká mřížka

Lineární deformace objektu se projeví ve Fourierově transformaci „reciprokouÿ deformací. V nejjedno-dušším případě, deformujeme-li objekt v nějakém směru, deformuje se Fourierova transformace v témžsměru nepřímo úměrně. Tyto jevy jsou dobře známé z difraktografické praxe (viz obr. 5, 6 a 8).

Obrázek 5: Fraunhoferova difrakce na kruhovém a elipsovitém otvoru. Otvory jsou vyobrazeny v levýchdolních rozích difrakčních obrazců. Elipsovitý otvor vznikl roztažením kruhového otvoru ve vodorovnémsměru. V důsledku toho je difrakční obrazec ve vodorovném směru v témž poměru zkrácen.

Z krystalografie je známo, že stejným způsobem souvisí deformace mřížky s deformací reciprokémřížky. Reciproká mřížka se však v krystalografii definuje geometricky (vztahy (8) uvedenými níže) bezzřejmého vztahu k Fourierově transformaci mřížky. Pak se však bez dalšího odvozování předpokládá,že takto zavedená reciproká mřížka je Fourierovou transformací krystalové mřížky. Tento problém nynívyjasníme. Budeme při tom postupovat do jisté míry opačně. Vypočteme Fourierovu transformaci mřížkya ukážeme, jak souvisí s geometricky definovanou reciprokou mřížkou. V druhé části tohoto odstavceuvedeme, jak při libovolné dimenzi N vyjádřit vektory báze reciproké mřížky pomocí vektorů bázekrystalové mřížky a naopak.

Začneme příkladem.

5.1 Příklad

Vypočteme Fourierovu transformaci jednorozměrné nekonečné mřížky s parametrem a, tj. mřížkovéfunkce

f(x) =∞∑

n=−∞δ(x− na) (1)

(viz obr. 7(a)). Tuto funkci můžeme považovat za deformovanou funkci 2(11).

11

Obrázek 6: Fraunhoferova difrakce na čtvercovém a kosodélníkovém otvoru. Otvory jsou vyobrazenyv levých dolních rozích difrakčních obrazců. Představujeme-li si, že rovnoběžník vznikl deformací čtverce,je pro deformaci difrakčního obrazce příznačné, že ramen difrakčního obrazce zůstávají kolmá ke stranámrovnoběžníka (tzv. Abbeova věta).

Obrázek 7: (a) Lineární mřížka (1) s parametrem a, (b) a její Fourierova transformace (2).

Pro jednorozměrnou deformaci vyplývá z věty 3(3), 3(4): Je-li f(x) = f0(Mx), pak pro Fourierovutransformaci platí F (X) = |M−1|F0(M−1X). Vezmeme tedy za f0 a F0 funkce 2(11) a 2(14) a funkci(1) vyjádříme prostřednictvím funkce 2(11):

f(x) =∞∑

n=−∞δ(a

(a−1x− n

))= |a−1|

∞∑n=−∞

δ(a−1x− n

)= |a−1|f0

(a−1x

).

Fourierovu transformaci této funkce pak vyjádříme pomocí funkce 2(14)

F (X) = |a| |a−1| F0(aX) =1B

∞∑h=−∞

δ

(aX − 2π

kh

)=

=1B

∞∑h=−∞

δ

(a

(X − 2π

ka−1h

)),

takže Fourierova transformace funkce (1) má tvar

12

Obrázek 8: Fraunhoferova difrakce na dvojrozměrné mřížce. V horní části obrázku je táž dvojrozměrnámřížka tvořená jednou kruhovými, jednou obdélníkovými otvory. Ve střední části obrázku jsou celéFraunhoferovy difrakční obrazce těchto mřížek. Ukazují, že difrakční obrazec jako celek je vymezentvarem odpovídajícím difrakci na motivu vytvářejícím mřížku (rotačně symetrický Airyho difrakčníobrazec představuje difrakci na kruhovém otvoru, kříž s rameny kolmými na strany představuje difrakcina obdélníkovém otvoru). V dolní části obrázku je zvětšená centrální část difrakčního obrazce. Hlavnímaxima tvoří reciprokou mřížku k difrakční mřížce.

13

F (X) =1

B|a|

∞∑h=−∞

δ

(X − 2π

ka−1h

)(2)

(viz obr. 7(b)).Definujeme-li tedy reciprokou mřížku k jednorozměrné mřížce s parametrem a jako mřížku s para-

metrem a−1, je takto zavedená reciproká mřížka Fourierovou transformací jen používáme-li Fourierovytransformace s k = ±2π, A = B = 1.Ukážeme nyní, že k obdobnému výsledku dospějeme i v obecném případě N -rozměrné mřížky. V pří-

kladě 2.4 jsme se zabývali nekonečnou mřížkou tvořenou v EN body s celočíselnými kartézskými sou-řadnicemi a její Fourierovou transformací. Obecnou nekonečnou mřížku tvořenou body charakterizujemřížková funkce

f (~x) =∑

~n∈inf

δ (~x− n1~a1 − . . .− nN~aN ) , (3)

kterou lze považovat za deformaci mřížky 2(15). (~n zde značí multiindex.) Označme A = ‖ars‖ matici,jejíž řádky jsou tvořeny kartézskými složkami základních vektorů

~ar = ar1~i1 + . . .+ arN~iN (4)

obecné mřížky. Této matice použijeme k vyjádření obecné N–rozměrné mřížky (3) prostřednictvím kar-tézské mřížky 2(15):

f (~x) =∑

~n∈inf

δ(~x− AT~n

)=

∑~n∈inf

δ(AT

((AT

)−1~x− ~n

))= |detA−1|

∑~n∈inf

δ((AT

)−1~x− ~n

).

Deformace mřížky 2(15) v mřížku (3) je charakterizována maticí M =(AT

)−1. Podle věty 3(4) je pak

deformace Fourierovy transformace 2(18) charakterizována maticí AT a platí

F ( ~X) = F0(

~XAT)=

1BN

∑~h∈inf

δ

(~XAT − 2π

k~h

)

=1

BN

∑~h∈inf

δ

((~X − 2π

k~h

(AT

)−1)AT

)

=1

BN

1|detA|

∑~h∈inf

δ

(~X − 2π

k~h

(AT

)−1). (5)

Označme symboly a+rs prvky matice A−1, tj. A−1 = ||a+rs||. Prvky řádkové matice

~h(AT

)−1=

(a+11h1 + . . .+ a+1NhN , . . . , a+N1h1 + . . .+ a+NNhN

),

jsou kartézské složky vektoru h1~a+1 + . . .+ hN~a+N , kde vektory

~a+s = a+1s~i1 + . . .+ a+Ns~iN (6)

jsou sloupcové vektory matice A−1. I když prvky matice A jsou souřadnice základních vektorů mřížkyv nějaké konkrétní kartézské soustavě souřadnic (srov. (4)), absolutní hodnota determinantu této maticenezávisí na volbě kartézské soustavy (srov. vztahy (11) v dalším textu) a definuje N–rozměrný objemVU elementární buňky

|detA| = VU

(viz např. [17], str. 216). Má tedy Fourierova transformace obecné mřížky (3) tvar

14

F ( ~X) =1

VUBN

∑~h∈inf

δ

(~X − 2π

k

(h1~a

+1 + . . .+ hN~a+N

)), (7)

jenž představuje opět obecnou mřížku s bazálními vektory 2πk ~a+s , s = 1, . . . , N .Vyjasníme nyní vztah Fourierovy transformace (7) a reciproké mřížky. V krystalografii (viz např.

[6], str. 53) se definuje ke krystalové mřížce se základními vektory ~ar reciproká mřížka se základnímivektory ~a+s vztahy

~ar · ~a+s = δrs. (8)

V EN představuje (8) N2 rovnic, jimiž je báze reciproké mřížky jednoznačně určena. Kromě toho je zesymetrie rovnic (8) zřejmé, že reciproká mřížka k reciproké mřížce je původní krystalová mřížka.Co se Fourierovy transformace (7) týká, je především zřejmé, že vektory ~a+s určené vztahem (6)

a vektory ~ar určené vztahem (4) splňují rovnice (8). Vyplývá to ihned z toho, že vektor ~ar je řádkovývektor matice A a vektor ~a+s je sloupcový vektor inverzní matice A

−1. Pro prvky inverzní matice platía+rt =

Atr

| detA| , kde Atr je algebraický doplněk prvku atr v matici A a rovnost

ar1a+1s + . . .+ arNa+Ns = δrs,

tj.

ar1As1 + . . .+ arNAsN = detAδrs,

vyjadřuje rozvoj detA podle prvků s-tého řádku. Je tedy Fourierova transformace (7) reciprokou mřížkous reciprokou konstantou [11] K = 2π

k , jež závisí na definici Fourierovy transformace.Z toho, co bylo až dosud uvedeno, je vidět, jak bychom mohli k dané mřížce sestrojit reciprokou

mřížku. Vektory báze mřížky rozložíme do složek v nějaké kartézské soustavě souřadnic, utvoříme maticiA, jejíž řádky jsou složky jednotlivých vektorů báze mřížky. Vypočteme inverzní matici A−1 a její sloupcejsou složky vektorů báze reciproké mřížky. Takto bychom ovšem vyjádřili reciprokou mřížku prostřednic-tvím složek bazálních vektorů krystalové mřížky v nějaké pomocné kartézské soustavě souřadnic. To nenížádoucí a v krystalografii se, jak známo, vyjadřují vektory báze reciproké mřížky přímo prostřednictvímvektorů báze krystalové mřížky a naopak. Uvedeme nyní návod, jak takové vztahy odvodit v prostoruEN libovolné dimenze.Vektor ~a+s rozložíme v bázi tvořené základními vektory mřížky

~a+s = αs1~a1 + . . .+ αsN~aN (9)

a znásobíme postupně vektory ~ar. Podle (8) pak je

αs1~a1 · ~ar + . . .+ αsN~aN · ~ar = δrs. (10)

Při pevném s představuje (10) soustavu N rovnic pro N koeficientů αs1, . . . , αsN . Determinant tétosoustavy je Gramův determinant vektorů báze

G =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣~a1 · ~a1, ~a1 · ~a2, . . . , ~a1 · ~aN

~a2 · ~a1, ~a2 · ~a2, . . . , ~a2 · ~aN

. . .

. . .~aN · ~a1, ~aN · ~a2, . . . , ~aN · ~aN

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= det(AAT ) = (detA)2 = V 2U . (11)

Označíme-liGst algebraický doplněk prvku ~as·~at v determinantuG, dostáváme podle Cramerova pravidlapro koeficienty αst výrazy

αst =Gst

G. (12)

Dosadíme-li je do (9), dospějeme k pozoruhodnému vyjádření vektorů reciproké mřížky

~a+s =1G(Gs1~a1 + . . .+GsN~aN ) . (13)

Označíme-li tedy symbolem ~Gs determinant vzniklý z Gramova determinantu nahrazením s-téhořádku vektory báze, lze (13) zapsat ve tvaru

15

~a+s =~Gs

G. (14)

Tento výsledek — formálně velmi jednoduchý — je ve skutečnosti dosti komplikovaný, je-li třebarozepisovat determinanty. Skutečností je, že při N = 1 je výsledek (14) triviální, při N = 2 je cennýa v případě N = 3 je nepřiměřeně komplikovaný ve srovnání s běžně používaným vyjádřením prostřed-nictvím vektorových součinů.Závěrem této kapitoly uvedeme vztahy mezi vektory přímé a reciproké báze v E1, E2 a E3 :VE1 zřejmě je

~a+ =~a

a2, ~a =

~a+

(a+)2(15)

V E2 je

~a+1 =

∣∣∣∣ ~a1 ~a2~a2 · ~a1 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a21 ~a1 · ~a2~a2 · ~a1 a22

∣∣∣∣ , ~a+2 =

∣∣∣∣ a21 ~a1 · ~a2~a1 ~a2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a21 ~a1 · ~a2~a2 · ~a1 a22

∣∣∣∣ ,t.j.

~a+1 =a22~a1 − (~a1 · ~a2)~a2a21a

22 − (~a1 · ~a2)

2 , ~a+2 =a21~a2 − (~a1 · ~a2)~a1a21a

22 − (~a1 · ~a2)

2 . (16)

Naopak

~a1 =

(a+2

)2~a+1 −

(~a+1 ~a+2

)~a+2(

a+1)2 (

a+2)2 − (

~a+1 ~a+2)2 , ~a2 =

(a+2

)2~a+2 −

(~a+1 ~a+2

)~a+1(

a+1)2 (

a+2)2 − (

~a+1 ~a+2)2 . (17)

V E3 jsou vztahy tradičně používané mnohem jednodušší než (14). Odvozují se takto: z (8) vyplývá,že a+1 je kolmý k rovině (~a2,~a3), ~a

+2 je kolmý k rovině (~a3,~a1) a a+3 k rovině (~a1,~a2). Platí tedy

~a+1 = ε1 (~a2 × ~a3) , ~a+2 = ε2 (~a3 × ~a1) , ~a+3 = ε3 (~a1 × ~a2) .

Skalárním vynásobením těchto rovnic postupně vektory ~a1,~a2,~a3 dostaneme s přihlédnutím ke (8)

ε1 = ε2 = ε3 =1

~a1 · (~a2 × ~a3).

Takže

~a+1 =~a2 × ~a3

~a1 · (~a2 × ~a3), ~a+2 =

~a3 × ~a1~a1 · (~a2 × ~a3)

, ~a+3 =~a1 × ~a2

~a1 · (~a2 × ~a3). (18)

Naopak

~a1 =~a+2 × ~a+3

~a+1 ·(~a+2 × ~a+3

) , ~a2 =~a+3 × ~a+1

~a+1 ·(~a+2 × ~a+3

) , ~a3 =~a+1 × ~a+2

~a+1 ·(~a+2 × ~a+3

) . (19)

5.2 Příklad

Vypočítáme základní vektory reciproké mřížky k prosté obdélníkové mřížce v E2 s poměrem délek zá-kladních vektorů 1:2 a s delší stranou elementární buňky ve svislém směru. Délky základních vektorů~a1, ~a2 označíme a1 = a, a2 = 2a (viz obr. 9(a)), takže a21 = a2 , a22 = 4a

2, ~a1 · ~a2 = 0. Ze vztahů(16) pak vyplývají základní vektory reciproké mřížky ve tvaru ~a+1 = ~a1/a2, ~a+2 = ~a2/ (2a)

2. Mají tedyzákladní vektory reciproké mřížky týž směr jako vektory původní mřížky a jejich velikosti jsou a+1 = 1/a,a+2 = 1/2a. Reciproká mřížka je opět obdélníková, avšak s poměrem stran elementární buňky 2:1, tj. sdelší stranou ve vodorovném směru (viz. obr. 9(b)). Kdybychom z nějakého důvodu nezvolili základnívektory naší obdélníkové mřížky ortogonální, ale nějaké jiné, dostaneme ovšem touž reciprokou mřížku;bude pouze charakterizována jinými základními vektory: Zvolme za základní vektory mřížky např. vek-tory ~a′1 a ~a′2 podle obr. 9(c). Zřejmě je a′21 = 8a

2, a′22 = 5a2 , ~a′1 ·~a′2 = 6a2, takže ze vztahů (16) vyplývají

16

Obrázek 9: Dvojrozměrná obdélníková mřížka (a), (c) s různě zvolenými základními vektory ~a1, ~a2 a jejíreciproká mřížka (b), (d).

17

pro základní vektory reciproké mřížky výrazy ~a′+1 =(54~a′1 − 3

2~a′2

)/a2, ~a′+2 =

(− 32~a

′1 + 2~a

′2

)/a2 Velikosti

těchto vektorů jsou a′+1 =√5/2a , a′+2 =

√2/a (viz obr. 9(d)).

5.3 Příklad

Vypočítáme reciprokou mřížku k centrované obdélníkové mřížce v E2 s poměrem stran obdélníkové ele-mentární buňky 1:2 a s delší stranou ve svislém směru. Protože jsme se dosud zabývali pouze mřížkamitvořenými body (a nikoli dvojicemi bodů nebo jiným motivem), zvolíme za základní vektory neortogo-nální vektory ~a1 a ~a2 podle obr. 10(a). Zřejmě je a21 = a2, a22 = 5a

2/4 , ~a1 · ~a2 = a2/2. Z rovnic (16)pak vyplývá, že základní vektory reciproké mřížky jsou ~a+1 =

(54~a1 −

12~a2

)/a2, ~a+2 =

(− 12~a1 + ~a2

)/a2.

Jejich velikosti jsou a+1 =√5/2a , a+2 = 1/a (viz obr. 10(b)). Reciproká mřížka je tedy opět centrovaná

obdélníková mřížka, avšak s poměrem stran elementární buňky 2:1, tj. s delší stranou ve vodorovnémsměru.

Obrázek 10: Dvojrozměrná centrovaná obdélníková mřížka (a) se základními vektory ~a1, ~a2 definujícímiprimitivní mřížku a její reciproká mřížka (b).

6 Konvoluce

Konvolucí f = f1 ∗ f2 funkcí f1 (~x) a f2 (~x), ~x ∈ EN se rozumí integrál

f(~x) = f1(~x) ∗ f2(~x) =

∞∫· · ·

∫−∞

f1 (~y) f2 (~x− ~y) dN~y (1)

Podmínky existence jsou složité. Někdy se uvádí jako dostačující podmínka absolutní integrovatelnostaspoň jedné z funkcí f1, f2. Jinou dostačující podmínkou je existence 2N -antu, kde obě funkce jsouabsolutně integrovatelné.Konvoluce je komutativní

f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1 , (2)

asociativní

(f1 ∗ f2) ∗ f3 = f1 ∗ (f2 ∗ f3) , (3)

distributivní

18

(α1f1 + α2f2) ∗ f3 = α1f1 ∗ f3 + α2f2 ∗ f3 , (4)

invariantní vzhledem k translaci, tj. označíme-li f1 (~x) ∗ f2 (~x) = f3 (~x), platí také

f1(~x− ~x(0)

)∗ f2 (~x) = f3

(~x− ~x(0)

). (5)

Všechny tyto vlastnosti lze dokázat jednoduchou úpravou konvolučního integrálu.V krystalografických aplikacích se konvoluce hojně využívá k zápisu translace nějaké funkce f (~x)

(motivu, elementární buňky). Pak druhou funkcí v konvolučním integrálu je funkce delta a translace ~x(0)

se zapíše výrazem

f(~x− ~x(0)

)=

∞∫· · ·

∫−∞

f (~y) δ(~y −

(~x− ~x(0)

))dN~y

= f (~x) ∗ δ(~x− ~x(0)

)(6)

Při výpočtech Fourierovy transformace mřížky je pak důležité vědět, co je Fourierovou transformacíkonvoluce. Vypovídá o tom následující věta:Nechť F1 = FT {f1} a F2 = FT {f2}. Pak

1) FT {f1 ∗ f2} =1

ANF1F2 , (7)

a tedy

FT−1 {F1F2} = ANf1 ∗ f2 , (8)

2) FT {f1f2} = BNF1 ∗ F2 , (9)

a tedy

FT−1 {F1 ∗ F2} =1

BNf1f2 . (10)

Vyjádřeno slovy: 1) Fourierova transformace konvoluce funkcí je (až na eventuální konstantní faktor)součinem Fourierových transformací funkcí. 2) Fourierova transformace součinu funkcí je konvolucí Fou-rierových transformací funkcí.Vzhledem k důležitosti této věty naznačíme důkaz tvrzení (7) a (9):1) Důkaz tvrzení (7) je snadný a zakládá se na záměně pořadí integrace:

FT {f1 ∗ f2} = AN

∫. . .

∫~x

∫. . .

∫~y

f1 (~y) f2 (~x− ~y) dN~y

exp(−ik ~X · ~x

)dN~x

=∫

. . .

∫~y

f1 (~y)

AN

∫. . .

∫~x

f2 (~x− ~y) exp[−ik ~X · (~x− ~y)

]dN (~x− ~y)

exp(−ik ~X · ~y

)dN~y.

Výraz ve složené závorce je roven F2( ~X), takže

FT {f1 ∗ f2} = F2( ~X)1

ANF1( ~X) =

1AN

F1( ~X)F2( ~X) .

2) Důkaz tvrzení (9) je o málo složitější. Zakládá se na záměně pořadí integrace a integrálnímvyjádření funkce delta:

FT {f1f2} = AN

∫. . .

∫~x

f1 (~x) f2 (~x) exp(−ik ~X · ~x

)dN~x =

19

= ANB2N∫

. . .

∫~x

∫. . .

∫~r

F1 (~r) exp (ik~r · ~x) dN~r×

×∫

. . .

∫~s

F2 (~s) exp (ik~s · ~x) dN~s

exp(−ik ~X · ~x

)dN~x =

= ANB2N∫

. . .

∫~r

F1 (~r)∫

. . .

∫~s

F2 (~s)∫

. . .

∫~x

exp[ik

(~r + ~s− ~X

)· ~x

]dN~xdN~sdN~r.

Integrál podle ~x je integrálním vyjádřením funkce delta:

∞∫· · ·

∫−∞

exp[ik

(~r + ~s− ~X

)· ~x

]dN~x =

(2π|k|

)N

δ(~r + ~s− ~X

). (11)

S použitím filtrační vlastnosti funkce delta a vztahu 2(3) dostáváme tvrzení (9):

FT {f1f2} =(

AB2π|k|

)N

BN

∫. . .

∫~r

F1 (~r)F2(

~X − ~r)dN~r = BNF1 ∗ F2 .

Při difrakčních experimentech se téměř vždy registruje intenzita záření, a nikoli komplexní ampli-tuda příslušného vlnění. Je-li difrakční jev charakterizován Fourierovou transformací, znamená to, žeexperiment poskytuje údaje nikoli o Fourierově transformaci F ( ~X) nějaké funkce f (~x) charakterizujícízkoumaný objekt, ale o čtverci modulu |F ( ~X)|2 Fourierovy transformace funkce f(~x). Využijeme tedyprávě uvedené věty a odvodíme ještě jiný význam čtverce modulu Fourierovy transformace.Podle (7) je

F ( ~X)F ∗( ~X) = ANFT{

f (~x) ∗ FT−1{

F ∗( ~X)}}

. (12)

S použitím vztahu 2(3) a výrazu (11) pro funkci delta vypočteme inverzní transformaci komplexněsdružené Fourierovy transformace:

FT−1{

F ∗( ~X)}= BN

∞∫· · ·

∫−∞

F ∗( ~X) exp(ik ~X · ~x

)dN ~X =

= BN

∞∫· · ·

∫−∞

F ∗( ~X) exp[−ik ~X · (−~x)

]dN ~X = f∗ (−~x) .

Takže

F ( ~X)F ∗( ~X) = ANFT {f (~x) ∗ f∗ (−~x)} = ANFT

∞∫· · ·

∫−∞

f (~y) f∗ (~y − ~x) dN~y

. (13)

Integrál

f (~x) ∗ f∗(−~x) =

∞∫· · ·

∫−∞

f (~y) f∗ (~y − ~x) dN~y =

∞∫· · ·

∫−∞

f∗ (~y) f (~y + ~x) dN~y

se nazývá autokorelační funkcí funkce f (~x). (V krystalografických aplikacích se při reálné funkci f tentointegrál nazývá zobecněnou Pattersonovou funkcí (viz [8] str. 92).)Z (13) tedy vyplývá, že čtverec modulu Fourierovy transformace je Fourierovou transformací auto-

korelace funkce charakterizující objekt. Jinými slovy, kdybychom vypočetli nebo experimentálně získaliinverzní Fourierovu transformaci z intenzity I( ~X) = F ( ~X)F ∗( ~X), získali bychom nikoli funkci f (~x)charakterizující objekt, nýbrž pouze její autokorelaci.

20

7 Nekonečná krystalová mřížka a její Fourierova transformaceStrukturní faktor

V kap. 5 jsme se zabývali nekonečnou mřížkou tvořenou body. Využijeme nyní věty o konvoluci Fourie-rovy transformace k výpočtu Fourierovy transformace nekonečné mřížky tvořené pravidelným rozmís-těním nějakého složitějšího motivu. Takové mřížce se říká (bez ohledu na dimenzi) krystalová mřížka.Charakterizujeme-li elementární buňku funkcí fU (~x), je zřejmé (srov. 5(3), 6(6)), že nekonečnou krysta-lovou mřížku f (~x) charakterizuje konvoluce

f (~x) = fU (~x) ∗∑

~n∈inf

δ (~x− ~x~n) , (1)

v níž

~x~n = n1~a1 + . . .+ nN~aN (2)

značí mřížkový vektor. Podle věty 6(7) a s použitím 5(7) a 2(3) je zřejmé, že Fourierova transformacenekonečné mřížky (1) je dána součinem

F(

~X)=

(2π|k|

)N 1VU

FU

(~X

) ∑~h∈inf

δ

(~X − 2π

k~X~h

), (3)

v němž FU

(~X

)značí Fourierovu transformaci elementární buňky fU (~x) a

~X~h = h1~a+1 + . . .+ hN~a+N (4)

mřížkový vektor reciproké mřížky. Výraz (3) lze upravit do tvaru

F(

~X)=

(2π|k|

)N 1VU

∑~h∈inf

FU

(2πk

~X~h

)δ

(~X − 2π

k~X~h

). (5)

Fourierova transformace nekonečné mřížky (1), jejíž mřížkové polohy ~x~n jsou osazeny elementárnímibuňkami fU (~x) , je nekonečná mřížka (5) tvořená body, jejichž „váhaÿ je různá a je určena hodnotouFourierovy transformace FU v těchto bodech. To není nic překvapujícího, neboť nekonečná mřížka (1)je periodickou funkcí, a proto samozřejmě má diskrétní spektrum.Vyjádříme-li mřížku (1) prostřednictvím inverzní Fourierovy transformace 2(2) funkce (3), dosta-

neme Fourierovu řadu funkce (1):

fU (~x) ∗∑

~n∈inf

δ (~x− ~x~n) =1

ANVU

∞∫· · ·

∫−∞

FU

(~X

)exp

(ik ~X · ~x

) ∑~h∈inf

δ

(~X − 2π

k~X~h

)dN ~X =

=1

ANVU

∑~h∈inf

FU

(2πk

~X~h

)exp

(2πi ~X~h · ~x

). (6)

K úplnému popisu nekonečné krystalové mřížky i její Fourierovy transformace stačí tedy znát mřížkovévektory ~X~h reciproké mřížky a hodnoty Fourierovy transformace FU elementární buňky v bodech 2πk

~X~h.

Tyto hodnoty FU

(2πk

~X~h

)se nazývají strukturní faktor a jsou tabelovány. Rovněž jsou tabelovány rozvoje

(6) všech dvojrozměrných a trojrozměrných mřížek (viz [11], str. 353 až 525).Poznámka:Terminologie je zde poněkud nesjednocená (srov. např.[6, 11, 12], vs. [1, 14]). Logické by bylo

nazývat Fourierovu transformaci FU ( ~X) elementární buňky strukturní amplitudou, čtverec jejího modulu∣∣FU ( ~X)∣∣2 strukturním faktorem, hodnoty FU

(2πk

~X~h

), resp.

∣∣FU

(2πk

~X~h

)∣∣2 strukturní amplitudou, resp.strukturním faktorem v bodě ~X = 2π

k~X~h.

Uvedeme nyní, jak se strukturní faktor FU počítá. Nechť elementární buňku tvoří U rozptylovýchcenter (atomy, ionty, molekuly) charakterizovaných funkcemi fu (~x), u = 1, . . . , U (elektronová hustotav rentgenové difraktografii, elektrostatický potenciál v elektronové difrakci apod.). Je-li u-té rozptylovécentrum lokalizováno v elementární buňce v poloze

21

~xu = εu1~a1 + . . .+ εuN~aN , εur ∈< 0, 1), (7)

má funkce charakterizující elementární buňku tvar součtu

fU (~x) =U∑

u=1

fu (~x) ∗ δ (~x− ~xu) . (8)

Její Fourierova transformace má podle 6(7) a 2(10) tvar

FU

(~X

)=

U∑u=1

Fu

(~X

)exp

(−ik ~X · ~xu

)(9)

a hodnoty v bodech ~X = 2πk

~X~h jsou

FU

(2πk

~X~h

)=

U∑u=1

Fu

(2πk

~X~h

)exp

(−2πi ~X~h · ~xu

). (10)

Fourierova transformace Fu( ~X) se nazývá atomový rozptylový faktor. Je rovněž tabelována (viz např. [15,16]) pro rozptyl rentgenového záření, elektronů i neutronů. (Ve strukturní analýze se pro strukturní faktorFU

(2πk

~X~h

)používá symbolu F (hkl) a pro atomový rozptylový faktor Fu( ~X) symbolu f (viz např. [11],

str. 353).)Vypočteme strukturní faktor několika mřížek. Omezíme se na mřížky prvků (tj. fu (~x) = f0 (~x),

Fu( ~X) = F0( ~X) pro všechna u), zato však uvedeme strukturní faktor téměř všech mřížek, které jsou proprvky důležité (srov. [12], tab. 1.3 ).Pro mřížku s elementárními buňkami tvořenými jediným atomem umístěným v počátku elementární

buňky je zřejmě FU = F0.Prostorově centrovanou mřížku tvoří elementární buňky se dvěma atomy. Polohové vektory (7)

atomů jsou ~x1 = 0 , ~x2 = 12 (~a1 + . . .+ ~aN ) takže strukturní faktor (10) je

FU

(2πk

~X~h

)= F0

(2πk

~X~h

){1 + exp [−iπ (h1 + . . .+ hN )]}

= F0[1 + (−1)h1+...+hN

].

Takže

FU = 2F0, když h1 + . . .+ hN = sudé číslo,

FU = 0, když h1 + . . .+ hN = liché číslo. (11)

Plošně centrovaná trojrozměrná mřížka má elementární buňku se čtyřmi atomy s polohovými vektory~x1 = 0 , ~x2 = 1

2 (~a1 + ~a2) , ~x3 = 12 (~a2 + ~a3) , ~x4 = 1

2 (~a1 + ~a3) . Strukturní faktor pak je

FU = F0[1 + (−1)h1+h2 + (−1)h2+h3 + (−1)h1+h3

].

Takže

FU = 4F0, když čísla h1, h2, h3 jsou stejné parity,

FU = 0, když čísla h1, h2, h3 jsou různé parity.

Hexagonální nejsměstnanější mřížka má elementární buňku se dvěma atomy v polohách ~x1 = 0,~x2 = 2

3~a1 +13~a2 +

12~a3. Strukturní faktor je tedy dán výrazem

FU = F0

{1 + exp

[−23πi (2h1 + h2)

]exp (−iπh3)

}.

Rozborem tohoto výrazu lze nahlédnout, že

FU = 0, když 2h1 + h2 = 3n, h3 = liché číslo,FU = 2F0, když 2h1 + h2 = 3n, h3 = sudé číslo.

22

FU = 12

(3± i

√3)F0, tj. |FU |2 = 3 |F0|2 , když 2h1 + h2 = 3n± 1, h3 = liché číslo,

FU = 12

(1∓ i

√3)F0, tj. |FU |2 = |F0|2 , když 2h1 + h2 = 3n± 1, h3 = sudé číslo.

Diamantová mřížka má elementární buňku s osmi atomy s polohovými vektory

~x1 = 0 ~x5 = 14 (~a1 + ~a2 + 3~a3) ,

~x2 = 12 (~a1 + ~a2) , ~x6 = 1

4 (~a1 + 3~a2 + ~a3) ,~x3 = 1

2 (~a2 + ~a3) , ~x7 = 14 (3~a1 + ~a2 + ~a3) ,

~x4 = 12 (~a1 + ~a3) , ~x8 = 3

4 (~a1 + ~a2 + ~a3) .

Strukturní faktor (10) je pak dán výrazem

FU = F0[1 + (−1)h1+h2 + (−1)h2+h3 + (−1)h1+h3+

+ (−i)h1+h2+3h3 + (−i)h1+3h2+h3 + (−i)3h1+h2+h3 + ih1+h2+h3].

Rozborem tohoto výrazu se zjistí, že

FU = 0 , když h1, h2, h3 jsou různé parity, nebo když h1 + h2 + h3 = 2(2n+ 1),FU = 8F0 , když h1, h2, h3 jsou vesměs sudá čísla a h1 + h2 + h3 = 4n,FU = 4(1 ± i)F0, tj. |FU |2 = 32 |F0|2 , když h1, h2, h3 jsou vesměs lichá čísla (znaménko imaginárníčásti je shodné se znaménkem u jedničky ve výrazu h1 + h2 + h3 = 4n± 1).

Obrázek 11: Dvojrozměrná centrovaná obdélníková mřížka (a) a její reciproká mřížka (b). Za základnívektory mřížky byly zvoleny ortogonální vektory ~a1, ~a2, takže na elementární buňku připadají dvěrozptylová centra. V důsledku toho není strukturní faktor FU (h1, h2) týž pro všechny hodnoty h1, h2,nýbrž je roven nule v mřížkových bodech označených křížky a 2F0 v bodech označených kolečky.

7.1 Příklad

Vypočítáme znovu reciprokou mřížku k centrované obdélníkové mřížce v E2 s poměrem stran obdélníkovéelementární buňky 1:2, známou z příkladu 5.3. Nyní však zvolíme za základní vektory mřížky ortogonálnívektory ~a1, ~a2 podle obr. 11(a). Základní vektory reciproké mřížky se vypočítají stejně jako v příkladu5.2 a jsou tedy ~a+1 =

~a1a2 , ~a+2 =

~a2(2a)2

(srov. obr. 11(b)). Strukturní faktor je podle (11) roven nule v

bodech, kde h1, h2 jsou různé parity (na obr. 11(b) jsou označeny křížkem) a 2F0 v bodech, kde h1, h2jsou téže parity (na obr. 11(b) jsou označeny kolečky). Je zřejmé, že reciproká mřížka tvořená body snenulovým strukturním faktorem je stejná jako v příkladě 5.3 (obr. 10(b)). (Mohlo by se zdát, že je

23

rozpor v tom, že nenulové hodnoty strukturního faktoru jsou nyní 2F0, kdežto v příkladě 5.3 byly pouzeF0. Skutečně tomu tak je, je však třeba mít na paměti, že ve výrazu (5) pro Fourierovu transformacinekonečné mřížky je ve jmenovateli objem VU elementární buňky. Elementární buňka má v příkladu 7.1dvojnásobnou velikost ve srovnání s primitivní buňkou v příkladu 5.3 (srov. obr. 11(a) a 10(a))).

8 Konečná mřížka a její Fourierova transformaceMřížková a tvarová amplituda

Konečnou mřížku f (~x) — pravidelně rozmístěný motiv fU (~x) (elementární buňka) v konečné oblasti VN -rozměrného prostoru — lze matematicky popsat dvěma formálně odlišnými způsoby:

f (~x) = fU (~x) ∗∑~n∈V

δ (~x− ~x~n) , (1a)

f (~x) = fU (~x) ∗∑

~n∈inf

δ (~x− ~x~n) s (~x) . (1b)

Výraz (1a) je přirozenější, neboť suma představuje součet konečného počtu sčítanců (symbol ~n ∈ Vvyjadřuje, že součet tvoří sčítanci, v nichž koncový bod mřížkového vektoru ~x~n 7(2) patří do oblasti V ).Ve výrazu (1b) se naproti tomu vymezuje konečná oblast V z nekonečné mřížky (sčítá se přes všechnyhodnoty multiindexu ~n ) pomocí tzv. tvarové funkce s (~x) (charakteristické funkce oblasti V ):

s (~x) = 1, když ~x ∈ V

s (~x) = 0, když ~x 6∈ V(2)

Pokud předpokládáme, že konečná mřížka je tvořena jen kompletními elementárními buňkami, je vý-raz (1b) nezávislý na pořadí, v němž se provádí konvoluce a násobení a oba výrazy (1a) a (1b) jsouekvivalentní.Ekvivalentní jsou i Fourierovy transformace obou výrazů (1). Jsou však vyjádřeny různými funkcemi.Fourierova transformace výrazu (1a) je podle 6(7) a 2(10) součinem

F ( ~X) = FU ( ~X)G( ~X), (3)

v němž funkce

G( ~X) =∑~n∈V

exp(−ik ~X · ~x~n

)(4)

je součtem konečného počtu fázorů, který v. Laue [18] nazval mřížkovou amplitudou. Je zřejmě perio-dickou funkcí s 2πk -násobnou periodicitou reciproké mřížky a poněvadž

~X~h.~x~n je celé číslo, je

max∣∣∣G( ~X)∣∣∣ = G

(2πk

~X~h

)=

V

VU. (5)

Podíl VVUje počet elementárních buněk tvořících konečnou mřížku.

Fourierova transformace výrazu (1b) je podle 6(7), 6(9), 5(7) a 7(4) dána výrazem

F ( ~X) =1

ANVUFU ( ~X)

∑~h∈inf

δ

(~X − 2π

k~X~h

)∗ S( ~X), (6)

kde

S( ~X) = FT {s (~x)} = AN

∫. . .

∫V

exp(−ik ~X · ~x

)dN~x. (7)

Funkci S( ~X) nazval Ewald [19] tvarovou amplitudou. Týmž termínem se označují i veličiny úměrnéFourierově transformaci tvarové funkce, zejména bezrozměrné veličiny

24

S1( ~X) =1

ANVS( ~X) a G1( ~X) =

1ANVU

S( ~X). (8)

Je zřejmé, že pro ~X = ~0 nabývají absolutní hodnoty těchto veličin maximálních hodnot

S(~0) = ANV, S1(~0) = 1, G1(~0) =V

VU. (9)

S použitím tvarové amplitudy G1 lze přepsat Fourierovu transformaci (6) konečné mřížky do tvaru

F ( ~X) = FU ( ~X)∑

~h∈inf

δ

(~X − 2π

k~X~h

)∗G1( ~X), (10)

jenž má přesně stejnou výstavbu jako výraz (1b) charakterizující konečnou mřížku. Fourierovu trans-formaci konečné mřížky tvoří tedy tvarové amplitudy G1( ~X) rozmístěné v mřížkových bodech 2πk

~X~h a

násobené Fourierovou transformací FU ( ~X) elementární buňky. Tato analogie mezi konečnou mřížkou ajejí Fourierovou transformací je snad ještě zřejmější z výrazů, které se získají, když se v (1b) a (10)provede nejprve násobení a potom konvoluce:

f (~x) =∑

~n∈inf

s (~x~n) fU (~x− ~x~n) , (11)

F(

~X)=

∑~h∈inf

FU

(2πk

~X~h

)G1

(~X − 2π

k~X~h

). (12)

Jinými slovy a formálně nahlíženo, Fourierovou transformací konečné mřížky je opět „konečnáÿmřížka, v níž tvarové amplitudy G1 hrají roli elementárních buněk fU a Fourierova transformace FU

elementární buňky hraje roli tvarové funkce s a omezuje rozsah „konečnéÿ mřížky v prostoru Fourierovytransformace (srov. obr. 8, (13), (14)). Lze v tom opět spatřovat projev reciprocity: Velkému v prostoruproměnné ~x odpovídá malé ve Fourierově prostoru proměné ~X a naopak. Věcně však není analogiemezi konečnou mřížkou a její Fourierovou transformací tak úplná jako formálně. Už proto, že konečnámřížka je prostorově vymezena tvarovou funkcí s(~x), jež nabývá nulové hodnoty skokem (viz (2)), kdežtoFourierova transformace konečné mřížky je konečnou mřížkou ve Fourierově prostoru jen v tom smyslu,že je vymezena Fourierovou transformací FU ( ~X) elementární buňky, jež jde k nule pouze asymptoticky,když X →∞.

Fourierovu transformaci konečné mřížky lze tedy vyjádřit dvěma formálně různými výrazy. Jednakvýrazem (3), prostřednictvím mřížkové amplitudy (4), jednak výrazem (10), resp. (12) prostřednictvímtvarové amplitudy (8). Mohlo by se zdát, že k výpočtu Fourierovy transformace konečné mřížky je vždyvýhodnější použít výrazu (3), který je součinem dvou zdánlivě jednoduchých funkcí, než výrazu (10) nebo(12), které představují N -násobné nekonečné řady. Lze však uvést aspoň tři důvody, které vysvětlují,proč tomu bývá právě naopak:(i) Mřížkovou amplitudu G( ~X) bývá obtížné vypočítat podle definice (4). Je-li totiž vnější tvar

mřížky poněkud komplikovanější, bývá obtížné specifikovat meze součtu (4). Proto může být užitečnývztah, který se získá porovnáním (3) a (10):

G( ~X) =∑

~h∈inf

G1( ~X) ∗ δ

(~X − 2π

k~X~h

)=

∑~h∈inf

G1

(~X − 2π

k~X~h

). (13)

Vyjadřuje mřížkovou amplitudu G( ~X) (periodická funkce) superpozicí tvarových amplitud G1( ~X) (ne-periodická funkce).(ii) Je-li konečná mřížka tvořena velkým počtem elementárních buněk v každém směru, má modul

tvarové amplitudy∣∣G1( ~X)∣∣ velmi ostré maximum v počátku, tj. G1( ~X)VU

V = S1( ~X) se výrazněji liší od

nuly jen v blízkosti počátku. V důsledku toho v blízkosti bodů ~X = 2πk

~X~h platí

G( ~X).= G1

(~X − 2π

k~X~h

), pokud

∣∣∣∣ ~X − 2πk

~X~h

∣∣∣∣ � 2π|k|a+r , (14)

25

Obrázek 12: Fraunhoferova difrakce na dvojčetné Siemensově hvězdici. Hvězdice je vyobrazena v levémdolním rohu difrakčního obrazce. Ramena difrakčního obrazcce jsou kolmá na rovné úseky okraje hvěz-dice. Dvojčetné Siemensovy hvězdice je použito jako základního motivu, jehož translací vznikly mřížkyna obr. 13.

neboť příspěvky všech ostatních členů řady (1) jsou zanedbatelné. Tvarovou amplitudu G1(

~X − 2πk

~X~h

)lze tedy použít jako lokální aproximaci mřížkové amplitudy G( ~X) v okolí bodů ~X = 2π

k~X~h. To byl

také původní podnět ke studiu tvarové amplitudy, když v r. 1936 v. Laue [20] aproximoval součet (4)integrálem vyjadřujícím tvarovou amplitudu G1.(iii) Konečná mřížka má vždy tvar nějakéhoN -rozměrného mnohostěnu (polygonu v E2, mnohostěnu

v E3 ). Tvarové amplitudy mnohostěnů lze poměrně snadno vypočítat, neboť integrál (7) je vždy možnévypočíst analyticky, a tím vyjádřit tvarovou amplitudu algebraicky.V trojrozměrném případě na to upozornil v. Laue již v r. 1936 [20] a doporučoval využít k výpočtu

integrálu (7) tzv. Abbeovy transformace (viz [23]). V r. 1939 Patterson [22] počítal tvarové amplitudyněkterých mnohostěnů tak, že rozložil mnohostěn na čtyřstěny, vypočetl tvarovou amplitudu obecnéhočtyřstěnu a tvarovou amplitudu mnohostěnu vyjádřil jako superpozici tvarových amplitud čtyřstěnů. Al-gebraické formule pro tvarové amplitudy obecných mnohoúhelníků a mnohostěnů však byly publikoványaž v roce 1988 [23]. S jejich pomocí lze tvarovou amplitudu mnohostěnů resp. mnohoúhelníků bez obtížívypočítat (srv. [24], [25]) a Fourierovu transformaci konečné mřížky je pak výhodné počítat podle vztahu(12). Přitom je vzhledem k (14) možné nahradit nekonečnou řadu (12) několika sčítanci, často – téměřvždy – dokonce jediným.

9 Podmínky pro směry hlavních difrakčních maximpři difrakci na mřížkách

V úvodu bylo vysvětleno, že amplituda záření difraktovaného nějakým objektem f (~x) ve směru ~n = ~n0+~X je určena Fourierovou transformací F ( ~X) objektu f v bodě, jehož průvodič je roven vektoru rozptylu~X. Několik předchozích kapitol pojednávalo o Fourierově transformaci mřížek. Je tedy vše připravenok diskusi difrakce na mřížkách. Začneme difrakcí na trojrozměrné mřížce.Viděli jsme, že Fourierovou transformací mřížky je reciproká mřížka definovaná vztahy 5(8) homo-

genně a izotropně deformovaná v poměru 2πk (srov. např. 5(7)). V případě, že původní mřížka je konečná,

jsou mřížkové polohy 2πk~X~h této reciproké mřížky osazeny tvarovými amplitudami G1 (srov. 8(12)), jež

26

Obrázek 13: Dvojrozměrné čtvercové mřížky v levém sloupci jsou tvořeny translací různě orientovanýchdvojčetných Siemensových hvězdic. Fraunhoferovy difrakční jevy v pravém sloupci ukazují, že difrakčníobrazec na mřížce je vymezen difrakcí na motivu vytvářejícím mřížku (srov. orientaci ramen kolmýchk rovným okrajům Siemensovy hvězdice).

27

Obrázek 14: Vliv vnějšího tvaru konečné mřížky na tvar difrakčních stop [23]. (a),(b) — dvojrozměrnémřížky s touž strukturou (čtverečnou), avšak s různými vnějšími okraji. (c), (e) a (d), (f) — Fraunhofe-rova difrakce z (a) a (b): (c),(d) — celá střední část difrakčního obrazce, (e), (f) — detail ukazující tvardifrakčních stop (čtverec modulu mřížkové amplitudy G( ~X)).Vedlejší maxima uprostřed buněk reciprokémřížky zřetelná v (f) zanikají s rostoucí velikostí mřížky. (Jejich intenzita je úměrná počtu rozptylovýchcenter, kdežto intenzita hlavních maxim roste s kvadrátem počtu rozptylových center.)

28

superponují a vytvářejí mřížkovou amplitudu G( ~X) (srov. 8(13)). Hlavní difrakční maxima jsou tedy vesměrech ~n~h , pro něž je vektor rozptylu

~X roven mřížkovému vektoru této reciproké mřížky, ~X = 2πk

~X~h(srov. 8(5)), takže podle 1(3) je

~n~h − ~n0 =2πk

~X~h . (1)

Zde ovšem k už není konstanta, kterou bychom si mohli volit (jako ve Fourierově transformaci), nýbržvlnové číslo k = 2π

λ (λ je vlnová délka záření), jak je tomu v integrálu 1(4). Podmínka pro směry ~n~hhlavních maxim tím nabývá tvaru

~n~h − ~n0

λ= ~X~h (2)

známého z příruček strukturní analýzy (viz též např. [18] str. 115).

Obrázek 15: Ewaldova konstrukce. × představují tvarové amplitudy G1 v mřížkových bodech reciprokémřížky.

Geometrickou interpretací této podmínky je Ewaldova konstrukce, jíž se rozumí toto (viz obr. 15):

(i) Pomocí vztahů 5(8), resp. 5(18), sestrojíme reciprokou mřížku k mřížce, na níž dochází k difrakcia mřížkové polohy osadíme tvarovými amplitudami vypočtenými podle 8(7) a 8(8) (s k = 2π v 8(7)).

(ii) Počátkem O reciproké mřížky vedeme kulovou plochu ρ o poloměru 1λ a se středem v bodě C určenémpodmínkou CO = ~n0

λ (Ewaldova kulová plocha).

(iii) Z rovnice (2) pak vyplývá, že difrakční maxima mají směry ~n~h ze středu C k těm bodům Q kulové

plochy ρ, které koincidují s mřížkovými body ~X~h reciproké mřížky.

Jiným vyjádřením podmínky (2) jsou Laueovy rovnice [26]. Získají se z rovnic (2) postupným ska-lárním násobením základními vektory ~a1, ~a2, ~a3 mřížky. S použitím 5(8) dostaneme(

~n~h − ~n0).~a1 = h1λ ,(

~n~h − ~n0).~a2 = h2λ ,(

~n~h − ~n0).~a3 = h3λ ,

tj.

cosα1 − cosα01 = h1λa1

,

cosα2 − cosα02 = h2λa2

,

cosα3 − cosα03 = h3λa3

,

(3)

29

kde α0r značí úhel (~n0,~ar), tj. úhel směru dopadajícího záření a směru základního vektoru ~ar mřížky.Podobně αr značí úhel

(~n~h,~ar

), tj. úhel směru difrakčního maxima a vektoru ~ar.

Obrázek 16: K odvození Braggovy rovnice.

Porovnáním velikostí vektorů na obou stranách rov. (2) se získá známá Braggova rovnice [27]: Podleobr. 16 platí

∣∣~n~h − ~n0∣∣ = 2 sinϑ a z mřížkové geometrie je známo, že X~h =

1d~h, kde d~h je mezirovinná

vzdálenost rovin s Millerovými indexy (h1h2h3). Takže z (2) plyne

λ = 2dh1h2h3 sinϑ. (4)

Z Ewaldovy konstrukce (obr. 15) je zřejmé, že v obecném případě nemusí Ewaldova kulová plochaprocházet žádným jiným mřížkovým bodem reciproké mřížky kromě počátku O, takže žádné hlavnídifrakční maximum nemusí být pozorovatelné, a to i v případě, že je splněna podmínka λ < 2ar. Totéž jezřejmé i z Laueových rovnic (3), neboť představují tři podmínky pro tři směrové kosiny směru hlavníhodifrakčního maxima vázané ovšem ještě podmínkou, že jde o složky jednotkového vektoru ~n~h. Protose při experimentech používá spojitého rentgenového záření (laueogramy) a podmínka (2) je splněnapro záření určitých vlnových délek, nebo práškového preparátu se všemi možnými orientacemi mřížek(debyegramy) nebo otáčejícího se krystalu (v posledních dvou případech je (2) vždy splněna pro některouorientaci mřížkového vektoru ~X~h).Tvary difrakčních stop představují řezy čtvercem modulu tvarových amplitud rozmístěných v mříž-

kových bodech reciproké mřížky Ewaldovou kulovou plochou. Touto cestou vypovídají tvary difrakčníchstop o tvaru krystalu, na němž dochází k difrakci. Toho lze využít ke studiu tvaru nanokrystalů a počáteč-ního stádia krystalizace [30]. Proto byly vypočteny tvarové amplitudy některých základních mnohostěnů(odst. A.8, [23], [24], [25]).Při difrakci rychlých elektronů bývá vlnová délka o dva řády menší než mřížkové parametry, takže

Ewaldova kulová plocha ρ má tak velký poloměr ve srovnání s mřížkovými parametry reciproké mřížky,že ji můžeme nahradit tečnou rovinou τ v počátku O (viz obr. 17). Navíc preparáty bývají tenké, takžetvarové amplitudy mají tvar jehlic kolmých na preparát. V důsledku toho je difraktovaná amplitudave směrech CQ značná, i když vektor OQ se liší od mřížkového vektoru ~X~h = OQ′ reciproké mřížky(viz obr. 17). Difrakční obrazec lze pak (aspoň v jeho střední části) považovat za rovinný řez reciprokoumřížkou (odchylka Q′Q′′ je malá ve srovnání s mřížkovým parametrem reciproké mřížky).

Dvojrozměrná analogie k právě probrané trojrozměrné difrakci, kdy vektory ~n~h , ~n0 leží v rovinědvojrozměrné mřížky, by mohla eventuálně mít jistý význam pro planární optiku, nikoli však pro struk-turní analýzu. Nebudeme se jí proto zabývat. Uvedeme jen, že situace by byla obdobná: Ewaldovakružnice by procházela počátkem dvojrozměrné reciproké mřížky a dvě Laueovy rovnice by obecně pře-určovaly dva směrové kosiny směru hlavního difrakčního maxima vázané ještě podmínkou, že musí býtsložkami jednotkového vektoru ~n~h , mřížkové ”přímky” by byly charakterizovány dvěma Millerovýmiindexy (h1 h2) atd.Velký význam pro fyziku povrchů (LEED, RHEED) a optiku (Fraunhoferova difrakce) má však

30

Obrázek 17: Aproximace Ewaldovy kulové plochy ρ tečnou rovinou τ při difrakci rychlých elektronů nakrystalech (λ � ar).

trojrozměrná difrakce na dvojrozměrných mřížkách. Míní se tím situace, kdy na dvojrozměrný objektdopadá rovinná vlna s vektorem ~n0 neležícím v rovině objektu (v praxi většinou kolmým k objektu).Mějme tedy dvojrozměrnou mřížku se základními vektory ~a1, ~a2 a nechť na ni dopadá rovinná

vlna, jejíž vektor šíření ~n0 svírá s normálou k mřížce úhel α0 (viz obr. 18), tj. cosα0 = ~n0.~a1×~a2|~a1×~a2| .

Dvojrozměrná mřížka je nekonečně tenkým objektem v E3 (srov. 1(5)) a její Fourierovou transformací jedvojrozměrná reciproká mřížka v rovině rovnoběžné s původní mřížkou (podle vztahů (8)), nikoli všaknekonečně tenká, nýbrž naopak protažená do nekonečna ve směru kolmém k dvojrozměrné mřížce (srov.1(6)). Vedeme-li počátkem O Ewaldovu kulovou plochu ρ, můžeme očekávat hlavní difrakční maxima vesměrech ze středu C k bodům, v nichž kulovou plochu ρ protínají přímky jdoucí mřížkovými polohami~X~h dvojrozměrné reciproké mřížky kolmo k rovině mřížky (viz obr. 18). Podmínka pro hlavní difrakčnímaxima má tedy tvar

~n~h − ~n0

λ= ~X~h + l~h

~a1 × ~a2|~a1 × ~a2|

=

= h1~a+1 + h2~a

+2 + lh1h2

~a1 × ~a2|~a1 × ~a2|

, (5)

kde l~h = lh1h2 je vzdálenost v reciprokém prostoru mezi mřížkovým bodem ~X~h = h1~a+1 + h2~a

+2 dvoj-

rozměrné reciproké mřížky a bodem Q , v němž kolmice jdoucí bodem X~h protíná Ewaldovu kulovouplochu ρ.

31

Obrázek 18: Ewaldova konstrukce při šikmém dopadu záření na dvojrozměrnou mřížku L. RL — re-ciproká mřížka, ρ — Ewaldova kulová plocha, P0P — rovina difrakčního obrazce kolmého na směr ~n0dopadajícího záření.

Skalárním násobením rovnice (5) postupně vektory ~a1 ,~a2 a~a1×~a2|~a1×~a2| se dostane

cosα1 − cosα01 =h1λ

a1,

cosα2 − cosα02 =h2λ

a2, (6)

cosα3 − cosα03 = lh1,h2λ.

Pro λ < 2ar, r = 1, 2, existují vždy směry ~n~h (cosα1 , cosα2 , cosα3), jejichž směrové kosiny tyto rovnicesplňují, neboť parametr l může nabývat všech reálných hodnot, nejen celočíselných. Je ovšem zřejmé,že difrakční obrazce v rovině kolmé k primárnímu směru ~n0 nemusejí mít středovou symetrii. Mívajízajímavý vzhled, kdy difrakční stopy jsou rozloženy po obloucích představujících části kuželoseček.Při kolmém dopadu je cosα01 = cosα02 = 0, cosα03 = −1, takže podmínky (6) nabudou tvaru

cosα1 =h1λ

a1,

cosα2 =h2λ

a2, (7)

cosα3 = lh1h2λ− 1.

Ewaldova konstrukce odpovídající kolmému dopadu záření na dvojrozměrnou mřížku na obr. 19 ukazuje,že difrakční obrazec v rovině kolmé na primární směr má v tomto případě středovou symetrii. Difrakčníobrazce na obr. 8, 13 a 14 byly získány při tomto experimentálním uspořádání.Závěrem znovu zdůrazňujeme, že rovnice (1) až (7) představují právě jen podmínky pro směry

hlavních difrakčních maxim. V běžné řeči se jim totiž říká difrakční podmínky, čímž může vznikat dojem,že v jiných směrech žádné záření difraktováno není. Mluví se pak o diskrétních difrakčních stopách

32

Obrázek 19: Ewaldova konstrukce při kolmém dopadu záření na dvojrozměrnou mřížku L. RL — reci-proká mřížka, ρ — Ewaldova kulová plocha, P0P — rovina difrakčního obrazce.

a podobně. To je jistě tím oprávněnější, čím jsou konečné mřížky, na nichž k difrakci dochází, větší.Určitěji řečeno, měly by mít aspoň stovku či stovky elementárních buněk v každém směru. Tak tomu takéje v klasických oblastech strukturní analýzy. Jsou-li konečné mřížky menší, jsou zřetelně pozorovatelnái vedlejší difrakční maxima (srov. obr. 8 , 14), někdy i spojité rozložení intenzity v difrakčním obrazci.

Reference

[1] Kittel Ch.: Introduction to Solid State Physics. 4th ed., John Wiley, Inc., New York 1971, 62.

[2] Komrska J.: Proč Fourierova transformace dobře popisuje Fraunhoferovu difrakci. Pokroky mate-matiky, fyziky a astronomie 29 (1984), 321-338.

[3] Stein E. M., Weis G.: Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton UniversityPress, Princeton, N. J. 1975, 2.

[4] Schwartz L.: Matematické metody ve fyzice. SNTL, Praha 1972, 203.

33

[5] Schmeisser H. -J., Triebel H.: Topics in Fourier Analysis and Function Spaces. Akademische Ver-lagsgesellschaft Geest & Portig K. -G., Leipzig 1986, 14.

[6] Kasper J. S., Lonsdale K. (eds.): International Tables for X-Ray Crystallography. Vol. 2. The KynochPress, Birmingham 1959, 66.

[7] Hosemann R., Bagchi S. N.: Direct Analysis of Diffraction by Matter. North-Holland, Amsterdam1962, 79.

[8] Cowley J. M.: Diffraction Physics. North-Holland, Amsterdam 1975, 22-23.

[9] James R. W.: The Optical Principles of the Diffraction of X-Rays. G. Bell and Sons Ltd., London1967, 404.

[10] Komrska J.: Symetrie a obecné vlastnosti Fraunhoferových difrakčních jevů. Ve sborníku Sedmákonference čs. fyziků, Praha 24. - 28. 8. 1981, část II. Fyzikální vědecká sekce JČSMF, str. C8-07až C8-14.

[11] Henry N. F. M., Lonsdale K. (eds.): International Tables for X-Ray Crystalography. Vol. 1. TheKynoch Press, Birmingham 1952, 12.

[12] Kittel Ch.: Úvod do fyziky pevných látek. Academia, Praha 1985, 72.

[13] Bragg L.: The Crystalline State. A General Survey. G. Bell & Sons Ltd., London 1966, 96.

[14] Kraus I.: Úvod do strukturní rentgenografie. Academia, Praha 1985, odst. 4.8.

[15] MacGillavry C. H., Rieck G. D. (eds.): International Tables for X-Ray Crystallography, Vol. 3. TheKynoch Press, Birmingham 1962, section 3.3.

[16] Ibers J. A., Hamilton W. C. (eds.): International Tables for X-Ray Crystallography, Vol. 4. TheKynoch Press, Birmingham 1974, section 2.

[17] Gantmacher F. R.: Těorija matric. 4. izd. Izdatěl’stvo Nauka, Moskva 1988.

[18] Laue M. v.: Materiewellen und ihre Interferenzen. 2. vydání. Akademische Verlagsgesellschaft Geest& Portig K.-G., Leipzig 1948, §§ 9, 13.

[19] Ewald P. P.: X-ray diffraction by finite and imperfect crystal lattices. The Proceedings of thePhysical Society (London) 52 (1940), 167 - 174.

[20] Laue M. v.: Die äussere Form der Kristalle in ihrem Einfluss auf die Interferenzerscheinungen anRaumgittern. Annalen der Physik. 5. Folge 26 (1936), 55 - 68.

[21] Ewald P. P.: Zur Theorie der Interferenzen der Röntgenstrahlen in Kristallen. Physikalische Zeit-schrift 14 (1913), 465 - 472.

[22] Patterson A. L.: The Diffraction of X-Rays by Small Crystalline Particles. Phys. Rev. 56 (1939),972 - 977.

[23] Komrska J.: Algebraic expressions of shape amplitudes of polygons and polyhedra. Optik 80 (1988),171 - 183.

[24] Komrska J., Neumann W.: Crystal Shape Amplitudes of Platonic Polyhedra. I. General Aspects andthe Shape Amplitudes of the Tetrahedron, Cube and Octahedron. phys. stat. sol. (a) 150 (1995),89–111.

[25] Neumann W., Komrska J.: Crystal Shape Amplitudes of Platonic Polyhedra. II. The Regular Pen-tagonal Dodecahedron and the Icosahedron. phys. stat. sol. (a) 150 (1995), 113–126.

[26] Friedrich W., Knipping P., Laue M.: Interferenzerscheinungen bei Röntgenstrahlen. Sitzungsberichteder Bayer. Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-physikalische Klasse (1912), 303 - 322, rov.(7).

34

[27] Bragg W.L.: The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal. Proceedings of theCambridge Philosophical Society 17 (1912 - 1914), 43 - 57, str. 48.

[28] Giacovazzo C. (ed.): Fundamentals of Crystallography. International Union of Crystallography, Ox-ford University Press, Oxford 1992.

[29] Valvoda V., Polcarová M., Lukáč P.: Základy strukturní analýzy. Karlova univerzita, Praha 1992.

[30] Neumann W., Komrska J., Hofmeister H., Heydenreich J.: Interpretation of the Shape of ElectronDiffraction Spots from Small Polyhedral Crystals by Means of the Crystal Shape Amplitude. ActaCrystallographica A44 (1988), 890–897.