Matematicka

sazba

∑Richard Starý

Matematická sazba

1 Předmluva

Vážení čtenáři, dostala se vám do rukou práce zabývající se obecnou problematikou sazby ma-tematiky bez návaznosti na použitý sázecí program. Náplň je koncipována tak, aby čtenář pojejím prostudování byl schopen vysázet jakýkoliv matematický vztah, resp. věděl jak správněsazbu provést – schopnost tuto představu realizovat musí čtenář nabýt jinde.Práce se opírá především o propracovanou a všeobecně uznávanou knihu vydanou naklada-

telstvím Academia v roce 1966 pod názvem Pravidla matematické sazby [1], jejímž autorem jeznámý odborník na typografii Karel Wick. Vzhledem k datu vydání však kniha nemohla reflek-tovat nástup éry počítačů a potenciál možností digitální sazby, kterou nám přinesla. Kniha mělaza cíl sjednotit pravidla tiskáren a autorů matematických publikací a usnadnit automatizacijejich mechanické sazby. Nicméně Wickem deklarovaná pravidla plně respektovala typografic-kou i estetikou stránku sazby matematických vztahů a snaha o usnadnění automatizace nevedlak degradaci jeho díla. Z tohoto důvodu jsem čerpal především z literatury [1], přičemž jsemse snažil přidržet zásad zajišťujících kvalitní sazbu matematiky, ale k pravidlům, která vzniklaz důvodů omezených možností tiskáren, jsem nepřihlížel. Doplňkově jsem využíval literaturuuvedenou v závěru této práce.Tento dokument vznikl na jaře roku 2005 jako semestrální práce z předmětu TEX vyučovaném

RNDr. Petrem Olšákem pod záštitou katedry matematiky ČVUT FEL v Praze. Práce bylavysázena programem pdfLATEX.

2 Písmo

2.1 Volba písma

Volba písma a jeho velikosti je pro sazbu matematických vztahů velmi důležitá. Mělo by seužívat písma, které je jednak dobře čitelné a to i v menších stupních a jednak má dostatečnýsortiment speciálních matematických znaků, značek a příslušných vyznačovacích řezů, jako jepolotučná latinka, antikva, kurzíva, slabá a polotučná řečtina, stojatá a kurzívní, pak fraktura,skript apod.Tyto požadavky splňují například písma Times New Roman, Modern či Imprint.Co se velikosti písma týká, sázíme zpravidla na 12bodovou1 kuželku 10 nebo 9bodové písmo,

což umožňuje sázet čitelné indexy druhého řádu (xk2), které by při sazbě 8bodového písma na12bodovou kuželku nemusely být dobře čitelné a přehledné. Navíc tato volba je vhodná pročtenáře vědeckých a naučných textů, vzhledem k možnosti podtrhávání formulací a vpisovánípoznámek, aniž by se podstatně snížila čitelnost.Sazbu 10bodového písma na 12bodovou kuželku budeme uvažovat, pokud nebude řečeno

jinak, v celém textu této práce.

2.2 Volba řezu

Matematické symboly vyjádřené písmeny řezu základního písma (bez ohledu na jeho stupeň,tedy stejně v hlavním řádku jako v indexech či mezích) se sázejí kurzívou (ležatě).Antikvou (stojatě) se sázejí:

• číslice2, pokud nemají speciální rozlišovací funkci (v takovém případě se sázejí z kurzívy),• značky měrných jednotek (m, cm, s, h, h, min, V, W, H, N, arc, rad; „předponyÿ n – nano,m – mili, k – kilo, M – mega, G – giga atd.),

1V této práci budou pod pojmem body chápány body Didotovy, tj. 1 b = 0,375mm.2Ani v textu sázeném kurzívou se neužívá kurzívních číslic a číslování rovnic bývá jen zřídka kurzívou.

2

Matematická sazba

• zkratky, zejména slitkové indexové, jako min, max, log, lim atd.,• znaky funkcí a značky operací, jako log, lg, ln; sin, argcosh, argcotgh; exp; d (diferenciálobyčejný, úplný), D (derivace), ∆ (diference, přírůstek, Laplaceův operátor), ∇ (nabla,Hamiltonův operátor), det, rot, grad, div; F, E, Π, K (eliptické integrály), Si, Ci, si, ci; sn,cn, dn (eliptické funkce); B, Γ (Eulerovy integrály), C (Eulerova konstanta), Φ (Krampova-Gaussova funkce); J (Besselova cylindrická funkce), P, Q (Legendrovy sférické funkce); Re,Im (reálná a imaginární část komplexního čísla) atd.

Také e (základ přirozených logaritmů), i, j (znak imaginární jednotky) a π (Ludolfovo číslo),která se běžně sázejí kurzívou je možno sázet stojatě ve vědních oborech, kde tyto kurzívní znakymají svůj vžitý odlišný speciální význam (fyzika, fyzikální chemie, elektrotechnika).Symboly vyjádřené literami jiných písem, např. řeckými, polotučnými, groteskem (Gillem)

apod. mohou být stojaté nebo kurzívní, podle svého významu. Tak například vektory se sázejíz polotučného kurzívního grotesku (nikoliv ~a ), matice ze stojatého polotučného grotesku neboz polotučné řečtiny, množiny frakturou.Některá písma užívaná v matematické sazbě, např. fraktura nebo skript (psací písmo –

A,B,L) se vyskytují jen v jednom řezu, stojatá nebo kurzívní.

3 Zjednodušený zápis vzorců

Zjednodušený zápis vzorců má smysl brát na zřetel kvůli snadnější čitelnosti vysázených výrazů,resp. přehlednější, opticky stručnější a elegantnější sazbě. Dalším pozitivem je lepší využití plo-chy stránky a její rovnoměrné pokrytí sazbou, k čemuž zjednodušení vzorců zpravidla vede.Nicméně vždy mějme na zřeteli, že zjednodušeným zápisem nesmí daný výraz utrpět na pře-hlednosti a jednoznačnosti.Při sázení matematických výrazů a vzorců se rozlišuje způsob sazby v textových řádcích a na

zvláštní řádek.V běžném textu je povinností autora nebo redakce používat sazebně zjednodušené (zpravidla

jednořádkové) formy zápisu, zatímco na zvláštních řádcích se vertikálně co nejnižší forma zápisupouze doporučuje.Sazebně lze výraz nebo vzorec zjednodušit použitím šikmého lomítka nebo záporného moc-

nitele místo vodorovné zlomkové čáry, značky dělení (:) místo hlavní zlomkové čáry ve složenýchzlomcích. V běžném textu se užívá bezvýhradně šikmé lomítko a zlomkové číslice; ve vzorcíchna zvláštním řádku je toto zjednodušení povinné v mezích a exponentech.Tedy výraz

ab

czapíšeme lépe jako

a/b

cnebo ab−1c−1 či (a/b) : c nikdy však a : b : c .

U odmocnic nám zase může pomoci užití odmocnítka (kořene√) bez horizontální linky

s příslušným závorkováním nebo lomeného mocnitele místo odmocnin s vodorovnými linkaminad odmocněncem. Tento způsob psaní odmocnin umožňuje také snadno sázet odmocněncedelší než je šířka formátu strany, což se při odmocnítkách s vodorovnou linkou řeší dost těžko-pádnou substitucí. Při užití odmocnítka bez vodorovné čáry nad odmocněncem je třeba důslednězávorkovat – 4

√[2k(x+ 5)] – aby bylo zřejmé, co náleží pod odmocninu. Vhodné je též umístit

odmocninu na konec celého výrazu, čímž se notace vzorce sazebně zjednoduší.Místo√(

x+ zy

)w výhodněji w

√x+ zy

.

3

Matematická sazba

Další možností je užití lomeného exponentu – [2k(x+ 5)]14 .

Následuje-li za odmocninou ještě další část výrazu, je často vhodné uzávorkovat odmocněncespolu s odmocnítkem. Například[√(

(4k1+3k2)3

10L

)k2

]ph2

30Lnebo

[3√(1 + σω/σy)

]− 4σω/σy .

Často užívaným prvkem umožňujícím zjednodušení zápisu výrazů je tzv. násobicí tečka (tečkas mezerou po obou stranách); sázíme ji za jmenovatelem zlomku se šikným lomítkem, meziodmocninami, v součinech goniometrických funkcí apod. Při jejím vhodném použití si ušetřímezávorkování a vzorec se horizontálně lépe rozčlení a prosvětlí. Například

cos ωτ · sin2 ωit nebo f(x)/g(y) · h(y) .

Viz též výrazy (6) a (9).Násobicí tečku užíváme jen tam, kde je nutná k jednoznačnému zápisu, nikoliv mezi všemi

koeficienty!Dalším důležitým faktorem k zjednodušení sazby, tj. redukce dvouřádkového výrazu na jed-

nořádkový, může být použití zlomkových číslic ( 115x,14y). Jako v textu vůbec, je i ve vzorcích na

zvláštním řádku žádoucí vyhýbat se jmenovatelům vyjádřeným jenom číslicí (číslicemi, celýmičísly).Místo

a

2nebo a/2 ,

sázíme 12a,14π apod. To platí i o exponentech a mezích: místo e

x2 sázíme e

12x, místo

√x

k∫. . . dw sázíme

∫ x12 /k

. . . dw ,∫ x

12 k−1

. . . dw apod.

Nyní bych rád na jednoduchém příkladu demonstroval, jak mnoho záleží na způsobu zápisuvzorce:

∑xi+a je lépe psát

∑(xi)+a, aby se mylně nečetlo jako

∑(xi+a); nejlepší a nejjednodušší

je notace a+∑xi. Vhodným zápisem se dá ušetřit závorkování a výraz je lépe srozumitelný.

Na závěr bych znovu připomenul, že existují případy, kdy je dobře použít zlomků s vodorov-ným lomítkem a raději ponechat vzorec vyšší, aby se vešel na daný formát a neztratil přehlednostnásledkem přílišné délky čitatele i jmenovatele.

3.1 Příklady

Nyní se podívejme na pár příkladů demonstrujících výše uvedená pravidla pro zjednodušovánímatematických vzorců.

a+ bc+ d −→ (a+ b)/c+ d nebo (a+ b) c−1 + d (1)

abc

−→ a/b

cnebo ab−1c−1 nebo a(bc)−1 (2)

4

Matematická sazba

a+ bz + xb+ y

−→ [(a+ b)/(z + x)] : (b+ y) (3)

ea2+

b2 −→ e

12 (a+b) (4)

e∫x2m−1 dx −→ exp (

∫x2m−1 dx) (5)

σ =V

2π21

2√1 + x2

−→ σ = V/(2π2

)·(1 + x2

)− 12 (6)

(∂f∗

∂x

)−→ (∂f∗/∂x) (7)

1

2n2

π2

(1− cos πn

) −→ (2n2/π2) [1− cos (π/n)]−1 (8)

e

cos πl2l0 +3πσEσ0

l2

l′ l0sin πl

2l0

−→ e

cos (πl/2l0) + 3/π · σE/σ0 · l2/l′ l0 · sin (πl/2l0)

(9)

ζ

ζ + 2(1+µ)G3l21

π2stE

−→ ζ(ζ + 2(1 + µ)G3l21/π

2stE) (10)

nikoliv ζ

/(ζ +2(1 + µ)G3l21

π2stE

)(11)

A =bn

[1 + a

(nπl

)2][1 + a

(nπl

)2]2+ a2

(nπl

)4 −→ A =bn

[1 + a(nπ/l)2

][1 + a(nπ/l)2

]2+ a2(nπ/l)4

(12)

4 Závorky

Závorky sázíme vždy vzpřímeně; kurzívních závorek neužíváme ani v pasážích psaných kurzí-vou. Velikost závorek volíme takovou, aby opticky zachycovaly a uzavíraly horní i dolní indexyhlavního řádku, tj. má platit, že závorky jsou tak velké jako nejvyšší výraz jimi uzavřený – a toi v případě, kdy je vzorec sázen na více řádek.

· · ·· · ·+

[4 sin2 ϕ0 + (2− 18 sin3 ϕ0 + 20 sin4 ϕ0) sin2 ψ +

+ · · · +(− b

a+ 15 sin2 ϕ0 −

b

asin4 ϕ0

)sin2 ψ

]∆i

S(ψ) .

5

Matematická sazba

Samozřejmostí je, že počáteční závorka odpovídá svým obrazem a velikostí svému koncovémuprotějšku.Sortiment závorek je relativně chudý; používají se následující typy: okrouhlé ( ), hranaté [ ],

složené neboli svorky , svislé | |, dvojité [[ ]], lomené 〈 〉 a zaokrouhlovací d e, b c. Konkrétnítyp závorek volíme dle ustálených matematických konvencí (|x| pro absolutní hodnotu; (−2, 3〉pro zprava uzavřený interval atp.), popř. při logickém dělení výrazů v posloupnosti [( )], kteráovšem není bezpodmínečně závazná – upřednostňuje se vžité specifické použití daného typuzávorek i kdyby to bylo v rozporu s výše uvedenou posloupností, např. A ∪B ∪ C · · · ∪ F.Respektuje se též analogie souvisejících vztahů. Například

x1 = κb1 −[C1

(cos

x

a− 1

)+ 2C2 sin

x

a

],

x2 = κb2 +[2C1 sin

x

a+ C2 cos

x

a

].

Vzhledem k tomu, že rovnítko (nebo některé ze znamének nerovnosti <,>,≥, . . . ) dělí vzorecna typograficky samostatné části, platí pravidlo o výšce závorek vždy jen na symboly předrovnítkem nebo za rovnítkem či mezi rovnítky.Co se mezer týká, platí konvence, že před 12bodovou počáteční závorkou se mezera nesází,

za koncovou se sází mezera vždy. Mezi závorkami se mezera sází – (. . .) [. . .] –, a to i v případě,že první závorka má horní nebo dolní index. Závorky 26bodové a větší mají před sebou i zasebou (tj. za koncovou závorkou) mezeru. Výjimka platí jen pro odmocnítko, po němž následujepočáteční závorka (bez ohledu na velikost) vždy bez mezery – více o pravidlech mezerování viz8. kapitola, Mezery.

5 Znaky pro speciální matematické operace

V této kapitole se podíváme na pravidla sazby znaků integrálů, sum, produktů, sjednocenía průniků množin, spojení a průseků a dalších

(∫ ∑∏ ⋃ ⋂ ∨ ∧. . .

).

Výška znaku pro integraci bývá pevná – 26 bodů pro vzorce na zvláštním řádku a 12 bodůpro vztahy sázené v textu – a nemění se s výškou integrovaného výrazu3.∫ a

−a

G12(x)k + πx

dx ;∫ a−aG12(x)/(k + πx) dx .

Snažíme se však, aby integrovaný výraz nebyl vůči integračnímu znaku opticky příliš vysoký,dominantní. K tomu mužeme využít doporučení uvedená v kapitole Zjednodušený zápis vzorců– viz výše. Například nikdy nesázíme výraz podobný tomuto

∫ ∞

0

Lnπ

sin πz1− (1 + α) σ0σE

2

dz , nýbrž lépe∫ ∞

0

Ln (π/sin πz)12 [1− (1 + α) · σ0/σE ]

dz .

Meze se u integračních znamének uvedených v textu i na samostatném řádku sázejí vedlevpravo, přičemž by výrazy v mezích neměly být příliš dlouhé, protože by mohly činit výraz hůřepřehledným – dlouhé výrazy nám v takovém případě pomůže odstranit vhodná substituce. Ve

3Pozn.: V případě, že se navzdory výše uvedenému doporučení rozhodnete sázet i jiné velikosti integračníchznamének, vězte, že zde stejně jako u závorek platí pravidlo o rovnítku a znaméncích nerovnosti, totiž, že tytosymboly dělí rovnici na typograficky samostatné části, tj. v jednom vztahu mohou být použity různé velikostiintegračních znaků – platí rovněž pro znaky

∑ ∏ ⋃ ⋂ ∨ ∧apod.

6

Matematická sazba

vzorcích na zvláštním řádku sázíme u integrálů meze vedle vpravo i v případě integrace přesoblast – výjimku tvoří integrační oblast vypsaná svými vlastnostmi.∫

Ωf(x) dx ,

∫ T

t1

∫ T

t2

· · ·∫ T

tn︸ ︷︷ ︸k+1

,

∫x2+y2+z2≤1

x≥ 12 |y|

f(x, y, z) dxdy dz .

K variantámb∫a

,

∫Ω

,

∫∫Ω

∫.

se uchylujeme pouze v případě rozvinutých výrazů za účelem zkrácení jejich šířky. Analogickyje možné ve výjimečných případech, kdy je zapotřebí uspořit místo na výšku, sázet rozvinutoumez vedle značky integrálu

G1(y) = a∫

∑Nk=1 1<(xk1+xk2)

(fx1, x2, . . . , xn)+ (ζ) dζ .

Vícerozměrné integrály (typograficky nazývané dvojité a trojité), o jejichž výšce a mezerováníplatí totéž co o jednorozměrných (jednoduchých), se sázejí těsně k sobě – viz výše. V situaci,kdy je třeba uvést meze pak∫ b

a

∫ 3

1,

∫a

∫ ∫α, popř. nevhodně a nedosti jasně

∫a

∫∫α

.

Důraz je třeba klást na optickou vyrovnanost mezer mezi znaky integrálů, což si žádá vlo-žení mezery i za integrál bez mezí (viz trojitý integrál ve výše uvedeném příkladu). Pro lepšípřehlednost sázíme mezeru i mezi integrální znaménka s mezemi (viz dvojitý integrál výše).Mezerovat je rovněž nutno u křivkových a jiných speciálních integrálů. Následuje-li jich po

sobě několik a jeden má mez nebo meze, je nutné optické vyrovnání mezer mezi nimi.V situaci, kdy po jednorozměrné integraci přichází integrace dvojrozměrná, je třeba druhou

integraci závorkovat, tedy

4∫ b

a

∫∫Ωf(x, y, z) dxdy

dz .

Znaky∑∏ ⋃ ⋂ ∨ ∧

apod. sázíme v textu o výšce 12 bodů. Ve vzorcích na zvláštním řádkuje vhodné sázet tyto znaky větší (přibližně 14bodové) s kresbou výraznější než u znaků uvedenýchv textu, které naopak musí splynout textem a nepůsobit výrazně.

2N∑n=1

xn ,

∞⋂k=0

Ak ; 2∑N

n=1 xn ,

⋂∞k=0Ak .

Omezerování u znaků∫ ∑∏ ⋃ ⋂ ∨ ∧

apod. lze říci, že před nimi se sází mezera vždy (kroměuvedených příkladů několikanásobných integrálů bez mezí anebo předchází-li bezprostředně zna-ménko plus či minus, které nevyjadřuje početní výkon, ale „předznamenáníÿ), za nimi se mezeranesází, jsou-li bez mezí; v opačném případě se za mezemi integrálu v textu pro lepší přehlednostmezera sází, za integrálem na samostatném řádku se mezera sází jen pokud následuje dvou-řádkový výraz (zlomek). Symboly jednořádkových výrazů následujících za mezemi 26bodovýchintegrálů nebo za přesahujícími mezemi ostatních znaků se přisazují k myšlené svislici za nej-širší mezí, a nezapouštějí se nikdy mezi (nad, pod) meze. Jak už bylo řečeno, doporučuje sesubstituovat za příliš dlouhé meze výraz stručnější.Více o mezerování bude pojednáno v kapitole Mezery.

7

Matematická sazba

6 Indexy

Sázíme-li 9bodový nebo 10bodový obraz na 12bodovou kuželku, měly by být horní a dolní indexytéhož symbolu nad sebou.

α21 , β3k , Amk′

nk1 , Aαβγδφ , δµβ .

V menším písmu (např. 8bodovém na 8bodovou kuželku), kde nelze bez obtíží vyhovět tomutopožadavku, je uspořádání indexů p12, cxy, tedy nejdříve dolní index a potom horní (exponent).V případě tenzorového počtu se řídíme vžitými matematickými konvencemi

T λµτρ , T νι

k , αλµ .

Obecně se indexy mohou vyskytovat ve čtyřech pozicích vzhledem k symbolu(12A34

)– umís-

ťování indexů nad či pod symbol se nedoporučuje – běžně je však sázíme vpravo od symbolu.Výjimky lze nalézt v některých oborech matematiky jako například v deskriptivní geometrii,topologii, kombinatorice apod.

4C2 ,n+1Pr−1 ,

(1As2As

)2, cσ

ab .

(Před každým indexem stojícím vlevo od symbolu se sází mezera, aby se vizuálně zdůraznilajeho příslušnost k symbolu. Výjimku lze připustit jen ve výrazech z deskriptivní geometrie jakoje výše uvedený s pruhem.Rovněž při sazbě indexů je vhodné snažit se uplatňovat pravidla pro zjednodušený zápis

vzorců uvedený výše. Vždy se ale snažíme, aby indexy byly dobře čitelné a jejich význam jed-noznačný. Není též vhodné sázet více indexů nad sebe.

n+1′′r −→ (r′′)n+1 , a1

3 −→ (a1)3 .

Při sazbě vztahů v textu viz též vztah (5).Při sazbě 8bodového písma, například ve vysvětlivce, pomocném textu nebo poznámce, sá-

zíme na 10bodovou kuželku, aby bylo možno dodržet jednotnou úpravou celého dokumentu,především pak podmínku, že indexy prvního stupně mají stát nad sebou.Za indexy se považují z typografického hlediska také derivace, označované zpravidla „sto-

pamiÿ (x′, y′′, z′′′). Derivace vyšší než třetí se označují římskými číslicemi nebo arabskými čísli-cemi v závorce – yIV , y(7). Mocniny derivací se sázejí takto: x(4)2 = x(4) · x(4).V tomto odstavci bych rád upozornil též na způsob označení hodin, stupňů, gradů a jejich

částí: doporučuje se užívat psaní 0h21m31s, 1224′16,5′′ a 1g25c47cc místo 1g25′47′′ popřípadě1g25cg47ccg.

7 Zlomky

Z typografického hlediska se zlomky zpravidla nazývají matematické výrazy s vodorovnou zlom-kovou čarou, zřídkakdy se šikmým lomítkem. V zásadě rozlišujeme co do obrazu zlomky, jejichžčitatel a jmenovatel jsou vyjádřeny symboly ve velikosti základního písma, a zlomky s písmemmenším. V některých zemích je zvykem sázet všechny zlomky z písma o stupeň menšího než jezákladní. U nás je obvyklé užívat v hlavním řádku z menšího písma leda číslic; ty se nazývajízlomkové. Velikostí zhruba odpovídají číslicím indexovým. Na výšku i se zlomkovou čarou majítyto zlomky 12 bodů, stejně jako dva indexy stojící nad sebou – 35a

35.

Zlomkových nebo indexových cifer lze ovšem užít jen tehdy, je-li čitatel i jmenovatel vyjádřenpouze číslicemi. Vyskytuje-li se ve zlomku také písmeno musí se použít dvouřádkového zlomku,

8

Matematická sazba

je-li písmeno ve jmenovateli – lze všem užít rovněž šikmého lomítka nebo záporného exponentu– je-li naopak jmenovatel vyjádřen jednoduchým číslicovým výrazem, lze použít zlomkovýchčíslic s jednotkovým čitatelem a připojit písmeno (písmena) v hlavním řádku:

r

8= 18r ,

m

3= 13m.

Zásady, kterých bychom se měli při sazbě zlomků držet, jsou následující:

1. Zlomek ze zlomkových číslic bývá součinitelem širšího výrazu obsahujícího veličiny ozna-čené písmeny. Tedy: zlomkových číslic se užívá tam, kde zlomek nestojí samostatně, nýbržje součástí jednořádkového matematického výrazu. Také ve smíšených číslech (např. 134)se užívá zlomkových číslic. (Jsou-li současně v zápise čísla i písmena, nesmí se použítsmíšeného čísla: ne 513x nýbrž

163 x.)

43(1 + α

2) , −12πk ,(34a

)3, 3

5[α2(1− 3β5)] .

2. Číslic velikosti základního písma naopak použijeme tam, kde zlomky stojí samostatně,anebo kde se dosazuje za obecná čísla, jak to často bývá v technických příručkách a v apli-kované matematice vůbec:

A = 10 logP2P1= 10 log

21813

.= 12,25 dB .

3. V netypických případech se můžeme řídit tímto pravidlem: Zlomek z číslic ve velikostitextového písma sázíme pokud se v témže vzorci vyskytne jiný zlomek, který má ve svémjmenovateli buď písmeno nebo rozvinutý výraz (tj. několikanásobný součin nebo mnohočlen– např. pks, 2xy, a+ b) a tyto zlomky nemají bližší souvislost.

Můžeme tedy sázet

. . . ≤ 12K1L1ε

2ψ2 + ε2K2ψ

[2a0

(1− ε

a0K

)]−1,

stačí ovšem

. . . ≤ 12K1L1ε

2ψ2 + ε2K2ψ[2a0(1− (ε/a0)K)]−1 .

Obdobně sázíme

12 log x namísto

12log x ,

protože jde o polovinu logaritmu a ne o polovinu dvouřádkového zlomku. Podobně budemesázet

W =12c1 + c2c1

c1U2c1k

c2= 2Wuk ,

ale sázeli bychom

W = 2c1 + c2c1

· 12c1U2c1k = . . . ,

protože v druhém případě se 12 vytahuje k jednořádkovému výrazu a početně je lhostejné,jde-li o výraz

c1U2c1k

2nebo

c12U2c1k .

9

Matematická sazba

Tedy: jsme-li si jisti, že v témže vzorci se vyskytující číslicový zlomek nebo zlomky (např.34 ,1516) a zlomek nebo zlomky, které mají ve jmenovateli písmeno nebo rozvinutý výraz (even-

tuelně i s nějakou číslicí) mezi sebou úzce nesouvisí nebo netvoří část podobných (tj. takétypograficky podobných) výrazů, kde je v jednom nebo v několika případech nutně užito čís-lic velikosti textového písma, dáme přednost zlomkovým číslicím. Musíme tu ovšem přihlížetk oběma svrchu uvedeným pravidlům o samostatnosti resp. nesamostatnosti. V učebnicích sevětšinou dává přednost dvouřádkovým zlomkům z číslic velikosti textového písma.Příklady:

W = 12UAUc1c2 =

12UA

c22c1 + c2

= UA12

c22c1 + c2

,

wmax =517

(ε

µ

)2t2 =

πc

bt2 .

Z hlediska typografického je použití zlomkových číslic velmi vhodné; úspora místa na stráncejasně mluví pro tento způsob. Následující příklady mají ukázat, že sázením zlomků ze zlomkovýchčíslic netrpí ani matematická přehlednost a výraznost vzorce, ani vzhled formule:

f4 =34(1 + β2vs) f2 −

13(1− β2vs)

2 f0 −2βvs3(1− β2vs) ,

f6 =85(1 + β2vs) f4 −

35(1− β2vs)

2 f2 −2βvs5(1− β2vs)

2 ,

B1 =12

[βvs

3√(1 + β2vs) + arcsin βvs −

π

2β2vs

];

f4 =34(1 + β

2vs) f2 −

13(1− β2vs)

2 f0 − 23βvs(1− β2vs) ,

f6 =85(1 + β

2vs) f4 −

35(1− β2vs)

2 f2 − 25βvs(1− β2vs)

2 ,

B1 =12

[βvs

3√(1 + β2vs) + arcsin βvs −

12πβ

2vs

].

Sázíme-li výrazy se zlomky musíme dbát na to, aby byl výsledek naší práce matematickykorektní, přehledný a jednoznačný a dále též typograficky správný. Držíme se tedy pravideluvedených v kapitole Zjednodušený zápis vzorců. Především se snažíme nevytvářet zlomky o vícejak dvou řádcích, či zlomky, které jsou delší než šířka formátu sazby. K zamezení těchto jevůnám mohou pomoci následující úpravy.

1. Rozložení zlomku na součin, jehož jeden koeficient (tj. jmenovatel) umocníme na −1,

V (r) =

=−8(α2 − γ2)

α2(τ/N)2 e−4γr + (τ/N) e−2γr[γ2(e2αr + e−2αr) + 2(α2 − γ2) + α2]

2 (τ/N) e−2γr[(α+ γ) eαr + (α− γ) e−αr] + (α+ γ) e−αr + (α− γ) eαr

=

=[[−8(α2 − γ2)

α2(τ/N)2 e−4γr + (τ/N) e−2γr[γ2(e2αr + e−2αr) + 2(α2 − γ2) + α2]

]]·

·[[2

(τ/N) e−2γr[(α+ γ) eαr + (α− γ) e−αr] + (α+ γ) e−αr + (α− γ) eαr

]]−1,

10

Matematická sazba

2. šikmé lomítko, které rovněž umožňuje psát vzorec do několika řádek,

−2(α2 − γ2) + (τe−γr +Neγr)2

τe−γr[(α+ γ) eαr + (α− γ) e−αr] +Neγr[(α+ γ) e−αr + (α− γ) eαr]=

= [−2(α2 − γ2) + (τe−γr +Neγr)2]/τe−γr[(α+ γ) eαr + (α− γ) e−αr] +

+Neγr[(α+ γ) e−αr + (α− γ) eαr] ,

3. dosazením stojaté verzálky za výraz (čitatel nebo jmenovatel), který se nevejde bez dělenína formát (tento způsob je běžný pro svou názornost především v učebnicích a příručkách)

Pro 1. příklad:

V (r) = AB,

kde A = čitatel, B = jmenovatel. V práci z oblasti chemie naopak použijeme kurzívníhoA, B, X, Y, protože stojatá písmena by příliš připomínala symboly sloučenin.

4. Ve vertikálně členitějších výrazech působí poněkud nepřehledně čtvrtý způsob, který spo-čívá v tom, že se čitatel napíše do dvou řádek nad zlomkovou čáru. V tom případě je třebadbát na to, aby byl dvouřádkový čitatel zřetelně opticky oddělen od ostatních vzorcovýchřádků.

2(a+b2)+ a3(b+2b2+2b3+b4)+ a5(b2+2b3+2b4)+

+ a7(b4 + 2b5 + 2b6 + b7) + a9(b6 + b7)

I3.

Převrácené hodnoty1a,1

x+ yje rozhodně snazší zapisovat jako a−1, (x+ y)−1 .

Řetězové zlomky se sázejí následujícím způsobem:

a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 + 1a4

Délka zlomkové čáry má být stejná jako délka rozsáhlejšího výrazu (čitatele nebo jmenova-tele). U složených zlomků bývá zvykem sázet zlomkovou čáru po obou stranách o něco delší.Nutné je to u osamoceně stojících zlomků, kde není z typografické souvislosti patrno, kterázlomková čára je hlavní. Tam, kde je rovnítko apod. to není bezpodmínečně nutné.

8 Mezery

Pravidla správného mezerování – sama o sobě již dostatečně typograficky významná – nabývajív matematických textech na váze ještě tím, že určují smysl sázeného vzorce, resp. vzájemné

11

Matematická sazba

vztahy mezi symboly v tomto vzorci. Je proto třeba být s nimi důvěrně obeznámen a správněje v praxi používat.Ve výkladu se přidržím pravidla jednotné univerzální mezery zavedené v [1]. Zrušení dříve

používaného systému dvou mezer podstatně zjednodušuje soustavu pravidel, aniž by se to nega-tivně projevilo na výsledných vysázených vztazích. Velikost univerzální mezery může být různá.Wick se drží mezery 5jednotkové (= 0,96mm) a já se pokusím v této kapitole o totéž.Univerzální mezera se sází před i za znaky +,−, .,×, :,=,≥,,≈,, apod., po obou stra-

nách znaků matematické logiky (⇒,⇔,∪,∩, 6∈ apod. – za znaky⋃,⋂,∨,∧se mezera nesází),

před i za znaky funkcí: logaritmických, goniometrických, cyklometrických, hyperbolometrických,exponenciálních (log, cos, cosh, arcsin, argcosh, sn,dn, exp), eliptických, cylindrických, sférickýchi ostatních speciálních funkcí.

4 log2 8a=5 , 12 f(x)≥ 9 , J2(ψ) J3(φ)= exp (a+b)/c , ∂ρ G(x, ζ)=nmod 2 ,

4 log2 8a=5 , 12 f(x)≥ 9 , J2(ψ) J3(φ)= exp (a+b)/c , ∂ρ G(x, ζ)=nmod 2 .

Mezera je i před a za diferenciálem a diferencí, před odmocnítkem jakékoli velikosti a u znakůreálné a imaginární části, např.:

K

∫sin x dx= a

√(b+c) , Re x=2∆α , d log β=3 ∂f,

K

∫sin x dx= a

√(b+c) , Re x=2 ∆α , d log β=3 ∂f,

ale df(x),∆∆z, ∂i∂nγ!Obecně lze říci, že mezera před odmocnítkem je dána kresbou kořene – vždy se snažíme, aby

nedošlo k tomu, že by byl koeficient před odmocnítkem považován za řád odmocniny.U znaku e (základu přirozených logaritmů) se mezera nedělá – βe, ae3ψb.Za faktoriálem se mezera sází: n! (a+ b), N !N,M ! . 7r, (n− 1)! (n+ 1).Mezi číslicí (i zlomkem ze zlomkových číslic) a písmenovým symbolem se mezera nedělá

– neplatí ovšem o znacích funkcí a operací, kde je nutná. Naopak však nesmí za symbolemvyjádřeným písmenem následovat číslice těsně; zpravidla se použije násobicí tečky s mezeramipo obou stranách: 19x, a . 8,1;w · 715(x+3), g ·

18ω. Součiny číslicových koeficientů musejí mít mezi

sebou znak násobení: 16 · 8; 2× 5.U znaků + a −, které nevyjadřují početní výkon, mezeru nesázíme – jedná se především

o intervaly, určení bodů v analytické geometrii, apod.

−1 , P (−2,−8) , −3,5 C , +√a , −34α , −(−2)n , +∞ .

Ovšem před dvouřádkovým zlomkem je i v tomto případě mezera, tedy

−14a , ale − 14a

.

Před a za šikmým lomítkem se nedělá žádná mezera: a/b, (a+ b)/[c− (d+ e)], 2/√3.

Všechny indexy (horní i dolní) stojící vlevo od symbolu se oddělují od předcházejícího me-zerou: u3 (2)a01(λ), u 1a(λ).Veškeré mezerování odpadá v exponentech a indexech (i po tečkách a čárkách, matematických

i syntaktických).

12

Matematická sazba

U zlomků se mezeruje takto: u dvouřádkových zlomků se sází mezera před i za zlomkem,pokud to neodporuje jinému pravidlu.

2π

γ

a

b=d

cc ,

x

y

(a− b

c

)= a

√a

b,

∫a

b=

∑a− c

b− d,

2π

γ

a

b=d

cc ,

x

y

(a− b

c

)= a

√a

b,

∫a

b=

∑a− c

b− d.

U číslicových zlomků (jednořádkových, ze zlomkových číslic) se sázejí mezery před nimi, zanimi jen vyžaduje-li to některé jiné pravidlo: 23a, log

512β, y ·

13(1−

37b), cos

12 sin α.

Univerzální mezeru je třeba sázet také před znaky∫,∑,∏,⋃,⋂,∨,∧apod. Za těmito znaky

se však mezera nesází, jsou-li bez mezí nebo následuje-li za znakem s mezemi bezprostředně jed-nořádkový výraz. Stojí-li však vpravo od mezí dvouřádkový výraz (zlomek), je třeba zajistit, abyse symboly mezí a čitatele nebo jmenovatele výrazu nepřekrývaly, resp. příliš opticky nestýkaly;viz kapitola 5, Znaky pro speciální matematické operace. Stejně tak je možno sázet mezeru zaznak bez mezí, pokud by hrozila kolize obrazu znaku a následujícího symbolu.∫

x2+y2+z2≤1x≥12 |y|

f(x, y, z) dx dy dz=1Sa

∑i

Ai

∫ +π

−πdα ,

∫ 2m

n

drr=2m∏k=m

ak ,

∫x2+y2+z2≤1

x≥12 |y|

f(x, y, z) dx dy dz=1Sa

∑i

Ai

∫ +π

−πdα ,

∫ 2m

n

drr=2m∏k=m

ak .

Za mezemi 12bodového integrálu v textu se pro lepší přehlednost a čitelnost mezera sází:∫f0(x) dx ,

∫ a+b0 x dx , resp.

∫f0(x) dx ,

∫ a+b0 x dx.

Více než jednorozměrné integrály se sázejí bez mezer, nemají-li meze nebo oblasti; křivkovéintegrály je nutné mezerovat, protože mají přesah – viz 5. kapitola.V součinu dvou nebo více funkcí, kde je alespoň na předposledním místě funkce goniomet-

rická, cyklometrická apod., je třeba za touto funkcí užít znaku násobení (tečka s mezerami poobou stranách). Rovněž tak v součinu funkcí goniometrických atd. je vhodné užít znaku násobenípodle matematického symbolu, protože samotná mezera často nestačí. Např.:

cos ωτ . sin2 ωiτ =cos (α+β)2 . sin ω , cotg γ . arccos u=1 ,

cos ωτ . sin2 ωiτ =cos (α+β)2 . sin ω , cotg γ . arccos u=1 .

Význam násobicí tečky jako typografického nástroje pro jednoznačný zápis je patrný z ná-sledujícího příkladu:

A sin2πL· vs=

(A sin

2πL

)v

s6= A sin 2π

L

v

s= A sin

2πvLs

.

Před 12bodovými závorkami ve formulích se mezera nesází; výjimka je po 12bodovém in-tegrálu s mezemi v textu. Naopak u 26bodových a vyšších závorek se mezera sází v každémpřípadě, kromě po integrálu bez mezí a za odmocnítkem). Za závorkami a mezi nimi, následují-li hned za sebou (počáteční a koncová, nikoliv dvě počáteční nebo dvě koncové), se mezerasází vždy: 15(1 + a)

2 z, (α + β)(γ + δ). Mezerování u svislých linek párových (| . . . |, || . . . ||) jestejné jako u závorek; u nepárových, jednotlivých svislých linek je mezera po obou stranách:|a|, ||kp||, S1/a | p ∈ F.

13

Matematická sazba

Má-li svislá linka funkci hranaté závorky, je k ní index přisazen těsně: . . . |x=2.Dvojtečka v homomorfismech (topologie) se odděluje z obou stran mezerou: f : y=2x+3 .Mezerování u determinantů a matic bude probráno v další kapitole.Setkají-li se dvě pravidla, vyžadující mezeru, sází se jen jedna mezera.Mezi vzorci na zvláštním řádku se sází mezera jednoho čtverčíku; v textu naproti tomu stačí

tzv. variábl, tj. proměnná poměrná mezera mezi slovy řádku. Čtverčíková mezera se sází nasamostatném řádku též mezi rovnicí a vztahem, určujícím podmínky, za nichž rovnice platí,nebo mezi vzorcem a rozměry v hranatých závorkách a po obou stranách krátkého slovníhospojení mezi vzorci.

R =U

I, [R] = Ω .

Čitelnost vzorců v textu se dá někdy zlepšit, sází-li se před nimi i za nimi vedle variábluještě pevná univerzální čtvrtčverčíková mezera. Hodí se to v takovém textu, kde není mnohomatematickách výrazů; jinak by hrozilo nebezpečí opticky „děravéÿ stránky.Také za znakem, k němuž je připojena značka poznámky, se sází mezera, např. abc 2, [1,−8] ∗

apod. Ke slovům lze přisazovat odkazové značky těsně, ať to jsou exponentové číslice, hvězdičkynebo značky, které se nevyskytují nikdy v matematickém významu. Mezi symbolem (i číslico-vým), závorkou apod. a jakoukoli nematematickou značkou mezera být musí.Mezerování u schémat, např. ve sloupcích čísel, je následující:

B(+ 1,24 ,− 5,81)D(± 3,7 ,+15,73)C(−15,45 ,+13,5 )

nebo

3,36 · 1034,85 · 1043 · 1023,9 · 103

nebo1 – 1010 – 100100 – 1000

ne však1 – 1010 – 100100 – 1000

apod.

Je-li třeba v soustavě rovnic vyrovnávat mezerování, aby určité výrazy byly přesně pod sebou,je nutno zvětšovat mezery u znamének nebo tam, kde je mezera z matematických důvodů, a netam, kde se mezeruje z důvodů typografických, protože typografické mezerování je záležitostívzhledu, zatímco matematické má význam funkční.Ke zvýšení přehlednosti se vícemístná čísla rozdělují na skupiny po třech číslicích, mezi

než se sází mezera: 2 626 436,876 15; e40 000. Miliony se neoddělují čárkou, ani tisíce tečkou, abynedošlo k záměně s desetinnou čárkou nebo se značkou násobení. V odůvodněných případech(např. v tabulkách) lze užít i jiného dělení na přehledné skupiny. Tato poslední směrnice platípro české práce a pro práce v jazycích, v jejichž mateřských zemích se užívá desetinné čárky.V anglosaských zemích a tam, kde se používá desetinné tečky, je zvyklost odchylná. V pracíchurčených pro tyto země je nutno se jí přizpůsobit, tj. tisíce a miliony se oddělují také čárkou, nemezerou.Desetinné čárky ani tečky se od číslic mezerou neoddělují.Závěrem bych chtěl poznamenat, že zavedení univerzální mezery, které jsem při svém výkladu

pravidel respektoval, mělo své zásadní opodstatnění především v době ruční či poloautomati-zované sazby. Dnes, s prostředky, které nám nabízí počítače a tiskárny, si můžeme bez většíchpotíží sázet mezery libovolné velikosti a především kolik různých velikostí chceme. Kam tímmířím – chtěl jsem vám říci, že byste samozřejmě měli výše uvedená pravidla respektovat – a topředevším v tom, kde se mezera sází a kde nikoliv –, ale zároveň byste měli být při sazbě při-praveni zapojit i trochu toho „kumštuÿ a v případě, že by ona univerzální 5jednotková mezerabyla na daném konkrétním místě příliš velká (nebo malá), že by na stránce „svítilaÿ, nebo jinaktam „nesedělaÿ, sami zkorigovali její velikost tak, aby výsledek byl typograficky přijatelný.Nezapomínejte ovšem na to, že úprava vaší práce by měla být pokud možno jednotná!

14

Matematická sazba

9 Matice a determinanty

V této kapitole zaměřím svou pozornost na determinanty a matice. Z typografického hlediskajsou to vlastně malé tabulky bez linek. Determinanty jsou ohraničeny po obou stanách svis-lými jednoduchými linkami, matice jsou uzavřeny okrouhlými nebo hranatými závorkami, popř.dvojitými svislými linkami – ne však složenými závorkami.

Kα =

−2a0 a1 a0 + a23a1 − a4 −a2 a1 + 2a1 + 2a0 a4 1− a3

, (dm,n) = −2a0, a1, a0 + a2,3a1 − a4, −a2, a1 + 2,a1 + 2a0, a4, −a3 + 1,

.

Maticový zápis se zpravidla označuje jedinou literou (polotučným vzpříměným groteskem A,K; nebo polotučnou řečtinou), která zastupuje celé pravoúhlé uspořádání symbolů.V determinantech a maticích rozeznáváme vodorovné řádky a svislé sloupce, do nichž jsou

prvky uspořádány. Rovná-li se počet sloupců počtu řádků, je matice čtvercová. Za prvky seu nás píše a sází zpravidla čárka, a to těsně, bez mezery, pokud nejde o dvouřádkové zlomky,za nimiž se univerzální 5jednotková mezera sází vždy; mezi jednotlivými sloupci se sází mezeraminimálně 9 jednotek (počítáno od nejširšího prvku; mezi kratšími prvky je pak ovšem mezeravětší).Tvoří-li determinant či matice část širšího matematického výrazu nebo rovnice, sázejí se

předcházející a následující symboly zpravidla do účaří prvního řádku determinantu nebo matice,uzavřených hranatými závorkami nebo svislými linkami; následující čárka nebo tečka (syntak-tická) se sází též do prvního nebo posledního řádku. V případě násobicí tečky jen do řádkuprvního, eventuálně na střed, mají-li násobené determinanty stejný počet řádek. V případě, žetento první řádek obsahuje zlomkový výraz, ať už uvnitř determinantu nebo před ním či za ním,považuje se zlomková čára za osu prvního řádku a tak se také přisazuje eventuální číslovánívzorce, ať vlevo nebo vpravo.V případě, kdy je matice uzavřena okrouhlými závorkami, sázíme předcházející i následující

symboly vždy na střed výšky závorek.

D7 = 2D1D2 =2µP

∣∣∣∣∣∣−a, a/b, a,3b, −c, a,c, b, −c,

∣∣∣∣∣∣.∣∣∣∣ −a, b,

b, −a,

∣∣∣∣ , 12a

(1, 0,0, −1,

)sin ω = 1 .

Vyskytuje-li se malá matice v textu, sázíme ji naopak na střed výšky řádku – tj.

[VJ

]–

bez ohledu na tvar závorek, aby mezery mezi řádky byly menší; popř. sázíme menší symboly[VJ

],(1 00 1

), čímž opticky méně narušíme rozložení světla na stránce.

Co se zarovnání prvků v matici týká, připouštějí se dvě varianty: Buď jsou prvky seřazenypod sebou tak, že zařezávají jejich levé okraje – přičemž se zpravidla vypouštějí doleva zápornáznaménka (kladná se na začátku sloupce nepíší) a číslice, nebo číslice se zápornými znaménky,nebo se prvky sázejí na střed nejširšího prvku toho kterého sloupce, který je zase oddělen v celévýšce vzorce minimálně 9jednotkovou mezerou od sousedních sloupců, tj. od myšlených rov-noběžek procházejících koncovými body nejširších prvků v sousedních sloupcích. Tento druhýzpůsob je výhodný zejména v případech, kdy determinant nebo matice zabírají téměř celou šířkuužitečného formátu, tj. formátu zmenšeného o eventuelní číslování rovnice a mezeru, nebo kdeje veliký rozdíl v šířce prvků a vznikaly by nehezké mezery. Při zachování dobré přehlenosti jemožno za uvedených okolností zapouštět prvky částečně pod sebe nebo nezachovat 9jednotkovoumezeru mezi sloupci.

15

Matematická sazba

Není ovšem správné kombinovat oba způsoby zarovnávání v jedné práci (jedině pouze zcelavýjimečně, aby se vzorec vešel na daný formát) – natož pak v jediné matici! Stejně tak zarovnánípodle pravého okraje není obvyklé a nedoporučuje se. Rovněž oddělování prvků determinantunebo matice pomocí středníků namísto čárek je zbytečné.Mezi okrajové linky a sloupce symbolů patří vizuální mezera. Jednoduché a dvojité svislé

linky se blokují 8jednotkovými mezerami. Kulaté a hranaté závorky díky svému obrazu vytvářípotřebnou mezeru sami o sobě a proto je od sloupců neoddělujeme speciální mezerou – nej-vnitřnější bod obrazu závorek se dotýká pomyslné svislice vedené nejvnějšejším bodem krajníhoprvku matice.Interpunkce za celým determinantem se odděluje nezbytnou univerzální 5jednotkovou meze-

rou.Chceme-li se vyhnout zápisům následujícího typu:

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n...

......

. . ....

am1 am2 am3 · · · amn

můžeme psát zkráceně [aik], (aik) nebo ||aik|| nebo označit matici jediným písmenem, častoverzálkou z polotučného stojatého grotesku. Podobně matici o jednom řádku (řádkový vektor)lze zapsat ve tvaru (x1, . . . , xn); diagonální matici, jejíž všechny prvky kromě x11, . . . , xnn hlavníuhlopříčky jsou nulové, potom jako diag (x11, . . . , xnn). Analogicky lze doporučit použití stručnéformy det |xik| nebo |xik| u determinantů. Kde by se tato forma mohla plést s modulem, je možnépsát ||xik||.

10 Úprava víceřádkových vzorců a vztahů

Dělit vzorce je dovoleno jen tehdy, nelze-li se tomu vyhnout, tj. nevejde-li se vzorec na formát.V těchto případech je přípustné dělit formuli v prvé řadě u značek =, <,>,≥ atd., v druhéřadě u +,−,± apod. Méně vhodné je dělit u značek násobení (.,×) nebo dělení (:); ve vzorci sesoučiniteli ve „vyššíchÿ závorkách ([ ], ) nebo s 26bodovými či většími závorkami je však tentozpůsob vhodnější než dělení u +,−,± atd. uvnitř závorek. Uvnitř „nejnižšíchÿ, tj. zpravidlaokrouhlých závorek se dělit nemá vůbec.Při dělení vzorce se opakuje vždy značka, kterou jeden řádek končí, na začátku druhého, ať

jde o jakoukoli značku. (V cizině se někdy rozlišuje, zda první řádek končí matematicky úplnýmvýrazem či nikoliv, a podle toho se opakují +,−, .,×, :; neopakují se však značky =, <,>, ≥ .)apod.Rovněž značka pokračování nebo zkrácení zápisu matematické řady , . . . nebo . . . , se při

přechodu z řádku na řádek opakuje. Týká se to zejména dělení vzorců v textu.Jen pro úplnost bych rád podotknul, že nelze rozdělit indexy, funkční značky a argumenty

všecho druhu (logaritmické, goniometrické, eliptické atd., integrály), limity, odmocniny s vodo-rovnou linkou nad odmocněncem a zlomky s vodorovnou zlomkovou čarou. U odmocnin a zlomkůse lze tomuto úskalí vyhnout volbou jiného způsobu zápisu: lomeným exponentem u odmocnin,u zlomků záporným exponentem, šikmým lomítkem, substitucí nebo vypsáním čitatele resp.jmenovatele do dvou řádek – blíže viz 3. kapitola, Zjednodušený zápis vzorců.Není-li možno při dělení vzorce v textu vyplnit řádek na celou šíři formátu bez násilného

zvětšení mezer mezi slovy nebo matematickými výrazy, ponecháme jej kratší a přeneseme celývzorec nebo jeho část na další řádek.

16

Matematická sazba

Nyní se podívejme na několik zásad, kterými je možno se při dělení víceřádkových vztahůřídit.

1. Poměrně hodně praktikované dělení vzorců tím způsobem, že se všechny jednotlivé řádkyvzorce vysadí na střed formátu – přičemž se ovšem dbá výše uvedených pravidel –, ječasto mechanické, nepřihlíží k matematické struktuře vzorce a nepřispívá k jeho výraznostia dobré čitelnosti. Také snadno může dojít u čtenáře k přehlédnutí, když při zběžnémsledování vzorce považuje např. východ vzorce za samostatnou formuli, zejména začíná-lizáporným znaménkem – viz rovnice (13).

π3[X(t)] = z3[X(t)]− F [X(t)] π2[X(t)]−F [X(t)] F [X(t)]− 1

2π1[X(t)] = (13)

= z3(t) [F (t)− 1] + z2(t) z3(t)− [F (t) + 1] π2(t) z3(t)−[F (t) + 1] · [F (t) + 1]

2π1 −

− F (t) π1(t) = π3(t) .

Toto uspořádání dává však dobrý výsledek, jsou-li druhé (východové) řádky krátké:

urL =Pd

µ

−

∫ λ′′

1/γS4(λ)B

(2,a)S dλ+

∫ λ′

1/γS4(λ)B

(1,a)S dλ + (14)

+ 8Re∫ 1/γ

1S1(λ)R(λ, r, z, t) dλ

.

nebo vychází-li souměrný typografický útvar:

i = i′R′f

Rf

(1 +

R

Rf

)−1= i′

R′f∞

R(1− v2

) −1 +

√1 +

2RR′f∞

(1− v2

). (15)

.

1 +

[−1 +

√1 +

2RR′f∞

(1− v2

) ]−1

=

= i′R′f∞

R(1 + v2

) −1 +

√1 +

2RR′f∞

(1− v2

) √1 +

2RR′f∞

(1− v2

)−1

.

2. Druhý způsob spočívá v tom, že se vzorec jako celek, ne jeho jednotlivé řádky, vyváží nastřed, tj. jeho nejdelší „výběžkyÿ vlevo jsou opticky souměrně rozloženy podle osy stránky.Podle toho se volí zarážka z levého kraje:

Hy =I

8πab

[(x+ a) (ψ1 − ψ3)− (x− a) (ψ2 − ψ4) +

+ (y + b) lnr2r1− (y − b) ln

r4r3

]. (16)

Dále je vhodné zajistit takové zarovnání řádků rozděleného výrazu, aby byla rovnítka podsebou, čímž se čtenáři usnadní přechod od počátečního tvaru matematického vztahu kekonečnému.

17

Matematická sazba

Zároveň se v případech jako4

d2J = [F 1 d2x+ (d2yi − yix d2x)F 1y′i]

01 + [(F

1x + yixF

1yi) dx

2 + 2F 1yi dyi dx]01 +

+ [F 2 d2x+ (d2yi − yix d2x)F 2y′i]

20 + [(F

2x + yixF

2yi) dx

2 + 2F 2yi dyi dx]20 +

+∫ x0

x12ω1(x, η, η′) dx+

∫ x2

x02ω2(x, η, η′) dx− 2

∫ x2

x12ω1,2(x, η, η′) dx +

+ [F 3 d2x+ (d2yi − yix d2x)F 3y′i]

20 + [(F

3x + yixF

3yi) dx

2 + 2F 3yi dyi dx]21 .

(17)

dostane výrazně uzávorkovaný rozvitý výraz na pravé straně rovnice do nejvýhodnějšípolohy k pozici závorek, je nejpřehlednější. Podobně lze říci, že pokud se ve vzorci vyskytujeněkolik (různých) znamének =, >,≥ apod. současně, nemají se řadit pod sebe, pokud byjich v jednom řádku zůstalo několik, protože by to mohlo vést k přehlédnutí rovnítkaa zhoršovalo by to přehlednost. Tedy ne

< = ≤≤ ,

nýbrž raději

< = ≤≤ ,

nebo

< = ≤≤ .

3. Ve velmi dlouhých, nepřehledných vzorcích, kde přirozené dělení podle „frázíÿ není vždyproveditelné, je „nejpohodlnějšíÿ sázet každou jednotlivou řádku vzorce na střed. Alespoňje tak vzorec názorně odlišen od textu. Ovšem ani úprava podle bodu 2. není nevhodná.

Než přejdeme k soustavám rovnic a vzorců, které mohou vzhledem k širšímu kontextu ovlivnitpravidla uspořádání platná pro jednotlivé vzorce upravené podle výše uvedených bodů 1 a 2v tom smyslu, že je třeba přizpůsobit úpravu jednotlivých rovnic celku, upozorňuji ještě nanutnost prokládat řádky vzorce k vyrovnání jeho optického obrazu. Jde o vzorce, v nichž posobě střídavě následují např. 26bodové a 12bodové řádky. Nejsou-li jednotlivé řádky proloženya jejich odstup vyrovnán, působí vzorce nepřehledně – viz demostrativně špatně vyrovnané řádkyu příkladu (17) a správné vertikální mezerování u příkladu (13).Rovnice jsou často součástí soustavy rovnic. Tu je třeba – ovšem při zachování základních

pravidel dělení vzorců a jejich uspořádání na stránce – přizpůsobit jejich uspořádání celkovémukontextu. Zpravidla je tu směrodatná nejdelší rovnice (a v ní nejdelší řádek) celé soustavy, kterýse postaví na střed nebo s určitou zarážkou zleva. Před rovnítky nebo znaky nerovnosti se podlecharakteru levých stran rovnic nebo nerovností buď přisazuje zleva k rovnítku, nebo se naopaknechává před rovnítkem mezera a zaříznou se začátky levých stran rovnic.

a = b , (18)

d− c = b+ c ,

a− b+ c = d ;

4V rovnici (17) jsou záměrně (demonstrativně) špatně vysázeny mezery mezi řádky výrazu – správně by mělobýt světlo mezi řádky stejné, tj. kvůli dvouřádkovým výrazům (zlomkům) ve třetím řádku je třeba zvětšit odstupyřádků s jednořádkovými výrazy (1. a 2.).

18

Matematická sazba

L[P ′t, 0] =1

s+ µ0,

L[P ′t, pk] = − 1s

µ0s+ µ0

[Φ(s)]p−1 [Φk−1(s)− Φ(s)] ,

L[P ′t, pk + 1] = 1s

µ0s+ µ0

[Φ(s)]p [1− Φ1(s)] ,

L[P ′t, pk + j] = 1s

µ0s+ µ0

[Φ(s)]p [Φj−1(s)− Φj(s)] ;

(19)

J13 =12J02 +

12J04 + αJ03 ,

J22 = J11 − J02 + J13 − 2αJ12 ,J23 = J12 − αJ22 ,J14 = −J12 + J03 + J23 − 2αJ12 ,J05 = −J03 + 2J14 − 2αJ04 .

(20)

Ve sledech rovnic většinou působí sázení jednotlivých vzorců na střed rušivě a je na škodupřehlednému uspořádání.To, co bylo výše řečeno o prosvětlení a proložení nestejně vysokých řádků vzorce, platí

i o soustavě rovnic nestejně vysokých a členitých. Vzdálenosti mezi vzorci ve svislém směru majíbýt opticky stejné a vyvážené. Totéž platí o vzdálenostech mezi vzorcem a textem. Prosvětlenímá přispívat k čitelnosti a pěknému uspořádání stránky.K lámání vzorců a soustav rovnic nebo nerovností je třeba poznamenat a upozornit, že je

typograficky neodborné dělit vzorec tak, že by jeho druhý konec nebo další řádek přecházelna druhou stránku, zejména jde-li o přechod z liché stránky na sudou. Omluvitelný je tentonedostatek u mnohařádkového vzorce, kdy by přelamování strany bylo obtížné a někdy i nepro-veditelné.Při přechodu sledu rovnic ze stránky na stránku (není-li vyhnutí) je třeba zachovat stejnou,

jednotnou zarážku i v tom případě, že vzorec, který svým nejširším rozměrem určuje umístěnícelého sledu, zůstává – pochopitelně – jen na jedné stránce.Stránka, ani lichá, nemá začínat vzorcem bez uvozujícího textu. Toto typografické pravidlo

nelze ovšem splnit u sledů vzorců bez textu a nesmějí se jím rušit jiná pravidla uplatněná napředcházející straně.Číslování vzorců se provádí zpravidla v okrouhlých závorkách, většinou na levém kraji řádku,

tj. před vzorci. Možné je též číslování na pravém okraji. Číslujeme-li rovnice vlevo a je-li prvnířádek tak široký, že se číslování nevejde do tohoto řádku, sázíme jej o řádek výše, před rovnici.Obdobně při číslování vzorců vpravo se při plném posledním řádku sází číslo vzorce o řádek nížna pravý okraj. Minimální mezera mezi číslováním (zpravidla v okrouhlých závorkách) a vzorcemse doporučuje 1,5 čtverčíku.Systém stejně označených rovnic se čísluje pouze u prvního vzorce, a to při číslování vlevo

i vpravo; popř. je možno číslovat soustavu rovnic na střed výšky.V dílech obsahujících číslované rovnice nemají odkazy na ně stát na začátku textového řádku

(při číslování rovnic vlevo) nebo na jeho konci (při číslování vpravo), protože by toto číslovánív textu mohlo vést k přehlédnutí vlastního číslování rovnic.

11 Interpunkce

Interpunkce v matematické sazbě neporušuje syntaktická pravidla užití interpunkčních znaménekplatná v běžném textu. Směrnice, které sem spadají, se týkají spíše umístění znamének.

19

Matematická sazba

Ve vzorcích vysázených na zvláštní řádek se před syntaktická interpuknční znaménka sází5jednotková mezera. V textových řádcích se znaménka přisazují k symbolům těsně. Končí-livěta třemi tečkami, není třeba dělat ještě tečku na ukončení věty, ať je to v textu nebo ve vzorcina zvláštním řádku. Končí-li řádek třemi tečkami, které tvoří součást matematického výrazu,opakují se tyto tři tečky – s čárkou – na začátku dalšího řádku:

−−−− x1, x2, . . .

. . . , xn, xn+1 −−−

Za vykřičníkem ve významu faktoriálu se tečka nebo čárka na konci věty ovšem sázet musí.Uvnitř vzorce se i na konci jednotlivých částí přisazuje interpunkce těsně:

P = ψ(a) + r exp iγ;α1 ≤ γ ≤ α2, 0 ≤ r ≤ R .

Interpunkce v „dělenýchÿ rovnicích je znázorněna v následujícím příkladu:

· · · =

0 pro m 6= n ,1 pro m = n .

ne

· · · =

0 pro m 6= n1 pro m = n

.

ale

Aξ +Bη + ε1 = 0

Cξ +Dη + ε2 = 0

, nebo

Aξ +Bη + ε1 = 0 ,

Cξ +Dη + ε2 = 0 .

U determinantů a matic se interpunkce za linkami nebo závorkami sází buď do prvního řádkunebo do posledního, nebo také na střed výšky (u okrouhlých závorek) – podle uspořádání výrazu,za nímž stojí – viz 9. kapitola, Matice a determinanty. Uvnitř determinantů a matic a rovněžvůbec za každými třemi tečkami, které naznačují pokračování matematického výrazu a nestojína konci celého vzorce (a po nichž nenásleduje souřadná spojka), se přisazuje interpunkčníznaménko těsně. Mezi prvky determinantů a matic se někdy čárky nesázejí.V chemické sazbě je vypuštění interpunkce pochopitelné vzhledem k četnému výskytu struk-

turních formulí, které bývají až příliš členité.Výrazy tvaru F (xi) (i = 1, 2, . . . , n) se píší buď se závorkou a s mezerou bez čárky, nebo

s čárkou bez závorky: F (xi), i = 1, 2, . . . , n.Odkazová znaménka vztahující se na poznámky (pod čarou, na konci práce, na literaturu)

se umísťují za celek, k němuž patří – za slovo, někdy i za symbol, část věty, větu.V této souvislosti bych připomněl, že za symbolem, k němuž je připojena odkazová značka 1),

2), ∗), ∗∗) apod., se před ni v matematické sazbě sází mezera, aby se odkazová značka nepletlas horními indexy. Místo horních indexových číslic a značek se v matematické sazbě z tohotodůvodu doporučuje užívat raději znamének †, ††, ‡, ‡‡. Pak ovšem není třeba v textových řádcíchsázet před nimi mezeru.V delším sledu desetinných čísel se jednotlivá čísla oddělují středníkem a ne čárkou, aby

nevznikl omyl a pro lepší přehlednost.

20

Matematická sazba

12 Jak psát matematické texty

Rád bych na závěr přehledu typografických zásad spojených se sazbou matematických pracíčtenáři sdělil pár slov ohledně celkové koncepce takové práce. Mám na mysli doporučení týkajícíse jednak základní myšlenky práce, kterou hodláme sepsat a jednak charakteru tohoto sdělení.Tato kapitola byla inspirována knihou Wie schreibt man mathematische Texte [4]. Čtenářům,

kteří by rádi tuto problematiku nastudovali důkladněji než bude uvedeno dále, vřele doporučujijejí přečtení!Nyní tedy opusťme typografická pravidla a zamysleme se nad tím, s jakými problémy se

budeme potýkat, budeme-li chtít sepsat knihu s matematickou (popř. fyzikální, elektrotechnickouči jinou technickou) tématikou. Obecně lze říci, že základní problém, před který jsme postavenipři psaní matematických textů, je stejný jako v případě psaní knih o biologii, psaní románů čisepsání návodu k sestavení kusu nábytku. Problém tkví ve sdělení myšlenky. Abychom se tohotoklíčového úkolu úspěšně zhostili, musíme mít především co sdělit a dále musíme mít někoho, kdonás bude poslouchat.Možná to zní komicky „mít co sdělitÿ a „mít někoho, kdo bude poslouchatÿ, ale zamyslíme-li

se, jistě najdeme ve své paměti nemálo příkladů, nemálo prací, které vznikly zcela nepromyšleněa které se objevily na trhu aniž by si jejich autor uvědomil, co vlastně chtěl sdělit a komu to chtělsdělit. Výsledkem jsou stovky stránek ubíjejícího obsahu, zcela nečitelné a zamotané, které vevýsledku nemají co říci nikomu. Snažme se tedy vždy si ujasnit – a pevně se toho při psaní držet– pro koho je práce určená a co mu chce sdělit. Přizpůsobme tomu charakter práce, hloubkuvýkladu atp., ať naše snaha zasáhne vytyčený cíl.Máme-li tedy něco, co stojí za to být sděleno a někoho, kdo bude ochoten číst, musíme to, co

chceme sdělit, rozčlánkovat a seřadit tak, jak to chceme říct. Snažme se ať naší prací vede onapomyslná logická nit, která spojuje jednotlivé kapitoly a dává naší práci charakter celistvosti.Neměňme zbrkle témata, ale pomalu a systematicky sledujme náš cíl a po řádné přípravě čtenářemu jej úspěšně vyložme.Pišme správnou češtinou! Neznehodnocujme svou rodnou řeč nadmírou slangových slov,

česko-anglických kříženců apod. Mějme vždy po ruce Pravidla českého pravopisu a přehled ty-pografických zásad sazby a buďme s nimi obeznámeni. Dbejme na to, aby odborné termíny, kterépoužíváme, byly užity správně a jejich význam byl čtenáři zřejmý. Vyvarujme se nadměrnéhoužívání obratů typu „jak je zřejméÿ, „jak z výše uvedeného vyplýváÿ, „z obrázku je patrnéÿatp. a neužívejme těchto spojení vůbec, pokud tomu tak skutečně není!Co se výkladu látky týká, představujme si, že jdeme na procházku se svým přítelem, bez

papíru a tužky, a že mu během dlouhé procházky lesem vysvětlujeme danou problematiku.Jinými slovy, uchylujme se k symbolismu jen je-li to skutečně nezbytné. Jak praví P.Halmosv [4]: „Nejlepší označení je žádné označení. Kdy je to jen možné zabránit užití komplikovanéalfabetické aparatury – zabraňte tomu!ÿ.Doufám, že jsem výše zvoleným tónem některé čtenáře nepohoršil. Chtěl jsem však jen pa-

třičně zdůraznit naléhavost zodpovědného přístupu k psaní matematických knih, které ne vždymusí budit dojem významné činnosti – například na první pohled nevýznamná činnost, jakou prozkušeného matematika může být sepsání matematické cvičebnice pro střední školy, či napsánískripta pro studenty prvního ročníku vysoké školy, vyžaduje rovněž promyšlené a pečlivé zpra-cování, aby se práce jejím čtenářům stala nápomocnou a nepostradatelnou a nikoliv zbytečnoua nesrozumitelnou.Uchovejte, prosím, výše uvedená doporučení v paměti a snažte se jich při psaní vašich prací

přidržet.

21

Matematická sazba

Obsah

1 Předmluva 2

2 Písmo 22.1 Volba písma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Volba řezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Zjednodušený zápis vzorců 33.1 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Závorky 5

5 Znaky pro speciální matematické operace 6

6 Indexy 8

7 Zlomky 8

8 Mezery 11

9 Matice a determinanty 15

10 Úprava víceřádkových vzorců a vztahů 16

11 Interpunkce 19

12 Jak psát matematické texty 21

Literatura 22

Literatura

[1] Wick, Karel Pravidla matematické sazby . Vydavatelství Academia, Praha, 1966. 1, 8

[2] Knuth, Donald Ervin TEXbook – Computer & Typesetting Volume A. American Mathe-matical Society a Addison-Wesley Publishing Company, 1991. ISBN 0-201-52983-1.

[3] Rybička, Jiří LATEX pro začátečníky . Nakladatelství KONVOJ, 3. vydání, Brno, 2003.ISBN 80-7302-049-1.

[4] Halmos, P.R. Wie schreibt man mathematische Texte. BSB B.G. Teubner Verlagsgesell-schaft, 1977. 12

[5] Nohel, F. Sazba matematická a chemická. SNTL, Praha, 1972.

[6] Kopka,H., Daly, P.,W. A Guide to LATEX2ε– Document Preparation for Beginners andAdvanced Users. Addison-Wesley Publishing Company, 1993. ISBN 0-201-42777-X.

22