MATEMATICAS

G.E.C.O.

Curso 2019/2020

Seminario de TaylorGrupo 1

Apellidos Nombre

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Objetivos

F Aproximar una funcion mediante el polinomio de Taylor.

F Calcular el valor aproximado de una funcion en un punto.

F Trabajar en grupo.

Situacion teorica

Un problema importante en las Matematicas consiste en aproximar una funcion cualquiera (posiblemente muycomplicada) mediante un polinomio (funcion sencilla).

B Sea f : D → R derivable en a ∈ D, llamaremos polinomio de Taylor de orden (o grado) 1 de la funcion fen el punto a al polinomio

P1(x) = f(a) + f ′(a)(x− a).

Este polinomio satisface que f(a) = P1(a) y f ′(a) = P ′1(a). En este sentido, puede verse a P1(x) como

una aproximacion de f cerca de a.

B Sea f : D → R dos veces derivable en a ∈ D, llamaremos polinomio de Taylor de orden (o grado) 2 de lafuncion f en el punto a al polinomio

P2(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2(x− a)2 ,

y se cumple que f(a) = P2(a), f ′(a) = P ′2(a), f ′′(a) = P ′′

2 (a).

B Sea f : D → R tres veces derivable en a ∈ D, llamaremos polinomio de Taylor de orden (o grado) 3 de lafuncion f en el punto a al polinomio

P3(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2(x− a)2 +

f ′′′(a)

6(x− a)3.

Se verifica que f(a) = P3(a), f ′(a) = P ′3(a), f ′′(a) = P ′′

3 (a) y f3)(a) = P3)3 (a).

1

B Sea f : D → R n veces derivable en a ∈ D, llamaremos polinomio de Taylor de orden (o grado) n de lafuncion f en el punto a al polinomio

Pn(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2(x− a)2 + ... +

fn)(a)

n!(x− a)n,

donde n! = n · (n− 1) . . . 3 · ·2 · 1.

Esta vez tenemos que f(a) = Pn(a),f ′(a) = P ′n(a),..., fn)(a) = P

n)n (a). Las derivadas de f y Pn coinciden

hasta orden n y, de hecho, Pn(x) es el unico polinomio de grado menor o igual a n que tiene esta propiedad.Tomando n muy grande esperamos que las graficas de f y de Pn sean cercanas alrededor del punto a.

Ejercicio resuelto

Dada la funcion f(x) = ln(x), vamos a calcular los polinomios de Taylor de f(x) en a = 1, de grados 1, 2 y 3.

B Para calcular el polinomio de Taylor de grado 1 necesitamos conocer el valor de f(1) y f ′(1).

f(x) = ln(x) f(1) = 0

f ′(x) =1

xf ′(1) = 1 .

Por tanto, el polinomio de Taylor de grado 1 de f en a = 1 es:

P1(x) = 0 + 1(x− 1) = x− 1 .

B Para calcular el polinomio de Taylor de grado 2 necesitamos conocer f(1), f ′(1) y f ′′(1).

f(x) = ln(x) f(1) = 0

f ′(x) =1

xf ′(1) = 1

f ′′(x) = − 1

x2f ′′(1) = −1 .

Entonces, el polinomio de Taylor de grado 2 de f en a = 1 es:

P2(x) = 0 + 1(x− 1)− 1

2(x− 1)2 = x− 1− 1

2(x− 1)2.

B Para calcular el polinomio de Taylor de grado 3 necesitamos conocer f(1), f ′(1), f ′′(1) y f ′′′(1).

f(x) = ln(x) f(1) = 0

f ′(x) =1

xf ′(1) = 1

f ′′(x) = − 1

x2f ′′(1) = −1 ,

f ′′′(x) =2

x3f ′′′(1) = 2 .

Entonces, el polinomio de Taylor de grado 3 de f en a = 1 es:

P3(x) = 0 + 1(x− 1)− 1

2(x− 1)2 +

2

6(x− 1)3 = x− 1− 1

2(x− 1)2 +

1

3(x− 1)3 .

B Podemos estimar el valor de ln(1.1) mediante los polinomios de Taylor:

f(1.1) = ln(1.1) w P1(1.1) = 0.1

f(1.1) = ln(1.1) w P2(1.1) = 0.095

f(1.1) = ln(1.1) w P3(1.1) = 0.0953333

Nota: El valor verdadero de ln(1.1) es 0.0953102...

2

B Si representamos graficamente la funcion f y los distintos polinomios de Taylor, obtenemos:

1 2

grado 1

1 2

grado 2

1 2

grado 3

Ejercicios similares propuestos

1 Polinomio de Taylor de la funcion√x + 4:

(a) Calcula el valor de√

5 usando la calculadora. (Quedate con todas las cifras decimales).

(b) Calcula el polinomio de Taylor de orden 1, P1(x), de f(x) =√x + 4 = (x+ 4)1/2 en a = 0. ¿Cual es

el valor aproximado de P1(1)? ¿Es parecido al valor exacto de f(1) =√

5? Comenta lo que ocurre.

(c) Calcula el polinomio de Taylor de orden 3, P3(x), de f(x) =√x + 4 = (x + 4)1/2 en a = 0.

¿Cual es el valor aproximado de P3(1)? ¿Es mas o menos parecido al valor exacto de f(1) =√

5?

3

2 Determina el polimonio de Taylor de orden 3 de la funcion f(x) = ex2

en el punto cero.

3 Sea f(x) una funcion cuyo polinomio de Taylor de orden 2 en el punto a = 1 es

p(x) = 2 + 5(x− 1)− 3(x− 1)2 .

(a) Calcula f(1), f ′(1) y f ′′(1).

(b) ¿Cual es la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto a = 1?

4