UNIVERSIDADNACIONALPEDRORUIZGALLOFACULTADDECIENCIASFISICASYMATEMATICASESCUELAPROFESIONALDEMATEMATICASEMINARIODEMATEMATICAAPLICADATitulo:ModelacionmatematicadelosmovimientosdelajedrezyalgunosjaquematePresentadopor:MestaPurihuamanManuel
AntonioAsesor:SantamariaSantistebanOscarLAMBAYEQUEPERU2015Indicegeneral4Captulo1PRELIMINARES1.1.
FuncionesVectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 41.1.1. Funciontraslacionentera: . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Teoradeconjuntos . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1.
Igualdad,inclusionyconjuntovaco . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 61.3. ReglasdelAjedrez: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 71.4. Movimientos . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.
Unmovimientoespecial:elenroque. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 121.5.1. Jaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2. Jaquemate . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3.
AlgunosJaquemate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1320Captulo2MODELACIONDELOSMOVIMIENTOSDELAJEDREZ2.1. Tablero
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 202.2. FuncionMovimiento . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.1. Funcionhorizontal . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2.
Funcionvertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 222.3. Modelamientodelaspiezas . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 232.3.1. Latorre . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2. Elcaballo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.3.3. Elall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 282.3.4. Ladama . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.5. ElPeon . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.6.
ElRey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 351IntroduccionEnel
largocaminodenuestrasvidashemosobservadoquemuchascosasestanligadasalamatematica.
En este peque no, pero riguroso trabajo tratare de resolver una
pregunta que
meheplanteadohacemuchotiempoExisteunarelacionentrelasmatematicasyelajedrez?.Conel
tiempoescuchemuchasrespuestasarmativas, hastaejemplos, comoel
decuantoscuadrados puedo encontrar con el tablero de ajedrez, o
cual es la probabilidad de lanzar unamonedayquecaigaenel
cuadroblanco, etc.
Hastalosmatematicosmasingeniosostraba-jaroneneso, comoel
granmatematicoKarl GaussEl PrncipedelasMatematicasquiendesarrollo
parte del problema de las ocho reinas.Se puede seguirenumerando
ejemplos de
larelacionentrelamatematicayelajedrez.Perorealmenteningunorespondiomi
pregunta, pues
encuentranlarelacionentrelama-tematicayunapartedeloselementosdel
ajedrez, jamaslorelacionanconel
juegoensutotalidad.Enestetrabajotratarededarleunaestructuramatematicajuegoajedrez.Podemosreal-mente
modelar los movimientos desde un punto puramente matematico?
Podemos
estudiarelajedrezdesdeunpuntomatematico?Conestaspreguntasplanteadasnosavalancharemosaatratardedarlesrespuestasarmati-vasacadaunadeellas.Enelprimercapitulodenuestrotrabajonosavocaremosenmodelarelmovimientodecadaunadelaspiezasdesdeunpuntoindividualista.Enelsegundocapituloestructuraremosestedeporte-cienciaElajedrezdeunamanerato-talmente.Ennuestrotercercapitulo,modelaremosalgunosjaquemate,comoelclasicojaquepastor,entreotrosnomuycomunes.Lespudieraenumerarlossiguientescaptulos,peroenrealidadesunmisterio,tengotantasideasquerevuelansobremimentequenosabrapordondeempezar.Esteesuntrabajoquetodava
no se ha culminado en su totalidad , quizas alguien interesado en
este tema , lo
pueda23modicar,ampliar,mejorar,lesagradeceramucho.3Captulo1PRELIMINARES1.1
FuncionesVectorialesUna funcion Fcuyo dominio es un subconjunto Dde
Rny cuya imagen esta en Rmse deno-minafuncionvectorialsin; m >
1.Fesunafunciondevariablevectorialyvalorvectorial.Notacion:F: D
Rnen Rmconz= F(x)Propiedad1:SiFesunafuncionvectorialdeD Rnen
Rm,entonces:(i) EldominiodeFeselmayorsubconjuntoDde
RnenelqueFestadenida,oseaelconjuntodelasx Rntalesque
F(x)existe.(ii) ElcodominiodeFes Rn.(iii) El rangoorecorridodeFesel
conjuntoF(D), oseael conjuntodepuntosF(x)paracadax
D.DosfuncionesvectorialesFyGdeD Rnen RmsonigualessiF(x) =
G(x)paratodoxdeD,luegodebentenerigualdominioeigualrango.Si
Fesunafuncionvectorial deD Rnen Rm, entoncesparacadazidez;
Fi(x)=zisedenomina funcion componente o coordenada de F. Las
funciones componentes o coordenadasdeunafuncionvectorial
FsonfuncionesFidenominadascamposescalares,quesetrataronenlaanteriorseccion.(zi=
F(x))Ejemplo1:LafuncionvectorialF(x; y) =[1x +y,1x
y,1x+1y]asociaacada(x, y) R2un unicovectorF(x, y)
R3cuyasfuncionescoordenadassonF1(x, y)=1x +y, F2(x, y)=1x yyF3(x,
y) =1x+1y.DominioF1= {(x, y)|x =y}, DominioF2= {(x, y)|x =
y}ydominiodeF3= {(x, y)|x=yyx =
y}45Propiedad2:SiFesunafuncionvectorialdeD Rnen Rm,entonces:(i) Fes
inyectiva o uno a uno si a cada elemento del rango de Fle
corresponde exactamenteunelementodel dominiodeF. Si
F(x)=F(y)entoncesx=yosi x =yentoncesF(x) = F(y).(ii)
FessobreyectivasielcodominiodeFesigualalrangodeF.OseasitodoF(x)delcodominiodeFprovienedeporlomenosunelementoxdel
dominiodeF,codominiodeFes Rm.(iii)
FesbiyectivasiFesinyecticaysobreyectiva.Ejemplo2:SeaF(x; y) = [a11x
+ a12y; a21x + a22y]veamosquesiFesinyectivoentoncesFessobreyectivo.
SupongamosqueF(x1; y1)=F(x2; y2)implicaquex1=x2yy1=y2,luego[x1, y1]
= [x2; y2],entoncesFesinyectivoycomodominiodeFes
R2yrangodeFesR2entoncesFessobreyectivo.Si en una funcion vectorial
Fde D Rnen Rmes igual a m, entonces Fse denomina
campovectorial.LagracadeuncampovectorialestadeterminadaporunconjuntodevectoresenRndeiniciox
DyextremoF(x).1.1.1
Funciontraslacionentera:Lastraslacionessontransformacionesquecambianlaposiciondelagracadeunafuncion.Laformageneraldelagracadeunafuncionsetrasladahaciaarriba,abajo,aladerechaoalaizquierda.Lastraslacionessonconsideradastransformacionesrgidas.Ejemplo:
Utilizar lagracade f(x) =x2parabosquejar lagracade y =f(x) + 2yy=
f(x) 2.SolucionLagracadef(x)=x2sellamaragracadelafuncionmodelo.
Lospuntosprincipalesdelagracadeestafuncionson(1, 1), (0, 0)y(1,
1).Lagracadey= f(x) +
2eslagracamodelodesplazadadosunidadeshaciaarriba.Porlotantoenlospuntosdesplazadoscambianlasy,
losnuevospuntosseobtienensumando2alasy.Losnuevospuntosson(1, 3),
(0, 2)y(1, 3).Lagracay=f(x)
2eslagracadelafuncionmodelodesplazadadosunidadeshaciaabajo.Porlotantoenlospuntosdesplazadoscambianlasy,losnuevospuntosdesplazadosseobtienenrestandodosalasy.Losnuevospuntosson(1,
1), (0, 2)y(1, 1).561.2
Teoradeconjuntos1.-ELlenguajedelaTeoradeConjuntosAcontinuacionpresentamosellenguajedeprimerordenLenelqueescribiremoslaTeorade
Conjuntos. Puede entenderse de dos maneras distintas: comolenguaje
formal ycomoabreviaturas deexpresiones enespa nol.
Estasegundainterpretacionseraposiblementelaconvenienteenuncursointroductorio,antesdeconocerlalogicadeprimerorden.Lossmbolosdellenguajeformaldelateoradeconjuntosson:Lossmbolosdeconjuntosseranlasletrasdelalfabeto,may
usculasymin
usculas.Elsmbolodelarelaciondepertenenciaentreconjuntoses
.Conestossignosbasicossegenerantodaslasformulasdelateoradeconjuntos.Lasreglasdeformaciondeformulassonlashabitualesenlalogicadeprimerorden.Asaber:1.
x yyx = ysonformulas.Paracualquierax,y.2.
Siysonformulas,tambienloson: , , , y 3. Siesunaformula, xy
xtambienloson.1.2.1 Igualdad,inclusionyconjuntovacoDeniciones:A
Beslaabreviaciondenopertenencia (A B)Igualdad
(Axiomadeextensionalidad). x(x A x B) A=B?Si
todoelementoloesdeAsiysolosiloestambiendeBentoncesAyBcoinciden?.Inclusion,
subconjunto: A B?A esta incluido en B? (A es subconjunto de B), es
unaabreviaturade x(x A x
B))(todoelementodeAeselementodeB).Inclusionestricta: A
Besunaabreviaturade(A B)?(A = B).Conjuntovaco: esel
unicoconjuntotalque x(xnoperteneceal )?paratodox,xnopertenecea
?(ning unelementopertenecea
).67Teorema:Losresultadossiguientessonteoremasquesededucendemaneradirectadelasdenicionesanteriores.1.
A( A)2. A(A A)3. AB((A B) (B A) (A = B))4. ABC((A B) (B C) (A
C))1.3
ReglasdelAjedrez:Jugadores:Dos.Requiere:Tablerocuadrado8x8de64casillasconcoloresalternados(tpicamenteblancoynegro).Dossetsigualesde16piezascadauno,unodepiezasblancasyotronegras.Objetivo:DarjaquematealReycontrario.Mecanica:Porturnos,
comenzandoporlasBlancas,
conexactamenteunmovimientoporturnoyconunaposicioninicialdelaspiezasja,hastaquealg
unjugadorconsigueelobjetivo,serindeoseproduceunasituaciondeempate(tablas).Nosepuedepasarnimovermasdeunavezenning
uncaso.Especicaciones:Ambosjugadoresestancolocadosenfrentadosyseparadosporeltablero,quedebecolocarseentreellosdeformaquelacasilladelaesquinaderechamascercanadecadajugadorseablanca.Cadaunadelaslneashorizontalessellamaranlasylasverticalescolumnas.Lascasillassuelenidenticarsemediantecoordenadasdelasiguienteforma:unaletra[a..h]paralacolumnaseguidodeunn
umero[1..8]paralala,ytomandocomoorigenlaesquinainferiorizquierdadeljugadorconBlancas.Cadajugadortieneasudisposicionungrupode16piezasdel
mismocolorconnombresycaractersticasdeterminadasquerepresentasuejercito.Eljugadorpuedeensuturnomoverpiezas
solode suejercitoatendiendoalas normas legales del
movimientoenparticular.Ademas cadapiezatienelahabilidaddecapturar
piezas enemigas, quesonretiradas
del78tablero.Las16piezasdecadaejercitoestanformadaspor:1Rey1Dama2Alles2Caballos2Torres8peonesLadisposicioninicialdelaspiezasenlapartidaes:Los8Peonesocupanlasochocasillasdelasegundaladecadajugador.Las2Torresocupanlasesquinasdelaprimerala.JuntoalasTorresseubicanlosCaballosydespueslosAlles.EnlascasillascentralesdelaprimeralaseubicanelReyylaDamadeformaqueelcolordelaDamacoincidaconeldelacasilla.1.4
MovimientosTodomovimientoquerealiceunjugadorensuturnodeberespetarsiempreestasmaximas,queseconsideranprioritarias:Ningunapiezapuedesalirdeltablero,nihaberdosenlamismacasilla.Unjugadornopuedecapturarpiezasdesupropioejercito.No
se puede hacer un movimiento tal que deje al nal del turno el
propio Rey en
jaque,esdecir,queelrivalpudieracapturarloensuturno.89Cadatipodepiezamuevedelasiguienteforma(ordenadoporsencillez):1.4.1Torre:Movimiento:
todas las casillas que se deseen por la misma la o columna de la
original,con lmite el nal del tablero o la primera pieza encontrada
en el camino. Si la pieza
esenemiga,estadentrodelrango.(a)Movimientohorizontal
(b)MovimientoverticalFigura1.1:MovimientosdelatorreCaptura:si
unapiezaenemigaesalcanzable,
sepuedecapturarcolocandolatorreenlacasillaocupadaporlapiezaenemigayretirando
estadeltablero.1.4.2All:Movimiento:todas las casillas que se deseen
por una de las cuatro diagonales que partende lapieza, hastael nal
del tableroolaprimerapiezaencontrada. Si
lapiezaesenemiga,estadentrodelrango.910Figura1.2Captura:secolocaelAllenlacasillaocupadaporlapiezarival,y
estaseretira.Notese que cada uno de los alles comienza en casillas
de distinto color, y que no
puedenalcanzarlasdecolorcontrario.1.4.3Dama:Movimiento:
funcionacomounaTorreyunAll combinados, esdecir,
encualquieradelas8direccionesposiblestodaslascasillasdeseadas,
hastael nal del
tableroolaprimerapiezaencontrada.Siesrival,estadentrodelrango.Figura1.3Captura:secolocalaDamaenlacasillaocupadaporlapiezarival
retirandoestadeltablero.1.4.4Rey:Moviemiento:funciona como la Dama
pero solo una casilla por vez, es decir, solo
puededesplazarseacasillasadyacentes.1011Captura:cualquierpiezaenemigasituadaenalgunadelas8casillasadyacentespuedesercapturada,situandoelReyenellayretirandolapiezaenemiga.Notese
que en particular implica que el Rey no puede desplazarse al lado
del otro,
puesquedaraasuvezatacadoporelrival.1.4.5Caballo:Movimiento:
puedemoverseaunadelas 8casillas queestanubicadas
aunaciertadistancia suya, sin importar las piezas que pudieran
haber en medio. Cada una de
estascasillasdestinoformanunaguradeLdesdelacasillainicial.
Todasellassondedistintocolordelainicial.Figura1.4:MovimientodelcaballoCaptura:
toda pieza enemiga situada en una casilla destino de un Caballo,
sin importarlas que haya en medio, puede ser capturada
desplazandolo all y retirando la capturada.1.4.6Pe
on:Movimiento:hacia delante, en la misma columna, una casilla por
vez. Si es la primera vezque ese peon es movido (a un se halla en
la segunda la) puede desplazarse 1 o 2 casillas.Captura:
adiferenciadel restodepiezas, nocapturancomosemueven.
CadaPeonatacalasdoscasillasqueestanendiagonal haciadelante,
deformaqueal
capturarcambiandecolumna.Cualquierpiezaenemigaqueseubiqueenestascasillasatacadaspuedesercapturada.Ademas,
unPeondisponedeunaformaadicional
paracapturarpeonesenemigosenunadeterminadacircunstancia(capturaalpaso).Paraello:Elpeonoriginaldebeestarensuquintala.1112Elpeonrivaldebeestarensuposicioninicialenunacolumnaadyacente.El
rival debe avanzar dos pasos su peon, de modo que ambos peones
quedan juntosenlamismala.En ese momento, si el jugador quiere,
puede capturar al enemigo como si este
solosehubieramovidounacasilla, es decir, desplazandoel
propioendiagonal alalasiguienteyretirandoal capturado. Si
decideignorarlacapturaeneseturnoperderaelderechoahacerlo.Esla
unicacapturadeljuegoenlaquelapiezaquecapturanoacabaenlacasilladelacapturada.Coronaci
on:cuandounpeonllegaala
ultimalahadesercambiado(coronado)porunCaballo,All,TorreoDama,aunqueeljugadoryaposeaesapieza.Deestaformase
puede incrementar la propia fuerza al poder disponer, por ejemplo,
de varias
Damas.Estasustitucionestaincluidaenelmismoturnodelpeon.1.5
Unmovimientoespecial:elenroqueElenroqueesla
unicajugadaenlaqueenelmismoturnosemuevendospiezaspropias:elRey y
una Torre. Este movimiento solo puede hacerlo cada jugador 1 vez en
toda la partida,siendoopcional perocumpliendounaseriederequisitos,
unodeellosqueloimposibilitaradenitivamenteyotrossolotemporalmente:DebeserelprimermovimientotantodelReycomodelaTorreaenrocar.Si
semueveel Rey, el enroquequedaimposibilitadoparael
restodelapartida. Si semuevelaTorre,a
unesposibleusarlaotra.NodebehaberningunapiezaentreelReyylaTorre,niamiganicontraria.El
Rey no puede estar en jaque(atacado) en ese momento, ni su casilla
destino,nilaintermedia.Otrascasillas,comolaorigendelaTorre,sipuedenestarlo.El
movimiento se efect ua en este orden sea cual sea el lado por el
que se enroque: primero sedesplaza el Rey dos casillas hacia la
Torre y despues se mueve la Torre a la casilla
adyacentealotroladodelRey.12131.5.1 JaqueSe dice que un jugador
esta en jaque cuando su Rey esta siendo atacado por una o dos
piezasenemigas, y sera posible para el rival el capturarlo al
siguiente turno. No es obligatorio anun-ciarexplcitamenteel jaque.
Siguiendolasnormas, el
jugadordebeactuarenconsecuenciadeformaqueesasituaciondesaparezcaensuturno.Paraellopuede:Capturarlapiezaqueataca,
si dispone de alguna pieza que lo haga, y solo hay
unapiezaatacando.Ponerunapiezaenel
medioamododeescudo,silapiezaqueatacanoesunCaballoynohaymasdeunaatacando.MoverelReyaunacasillatalquedejedeestarenjaque,sihay.1.5.2
JaquemateCuandose produce unjaque yunjugador nopuede ejecutar ning
unmovimientoque
lepermitaresolveresasituacion,haperdidolapartida.1.5.3
AlgunosJaquematePartidan1GracaJugador1:DondeF: T TF= FPFP: T T(5,
2) FP(5, 2)paraj= 2FP(5, 2) = (5, 2 + 2) = (5, 4)Jugador2:DondeF: T
T1314F= FCFC: T T(2, 8) FC(2, 8)parai = 2; j= 2FC(2, 8) = (2 + 1, 8
2) = (3, 6)GRacaJugador1:DondeF: T TF= FAFA: T T(6, 1) FA(6,
1)parai = 3; j= 3FA(6, 1) = (6 3, 1 + 3) = (3, 4)Jugador2:DondeF: T
TF= FPFP: T T(1, 7) FP(1, 7)paraj= 2FP(1, 7) = (1, 7 2) = (1,
5)GracaJugador1:DondeF: T TF= FDFD: T T(4, 1) FD(6, 1)parai = j=
2FD(4, 1) = (4 + 2, 1 + 2) = (6, 3)Jugador2:DondeF: T T1415F= FPFP:
T T(8, 7) FP(8, 7)paraj= 1FP(8, 7) = (8, 7 1) = (8,
6)Jugador1:DondeF: T TF= FDFD: T T(6, 3) FD(6, 3)paraj= 4FD(6, 3 +
4) = (6,
7)Jaquemate,eljugador1ganalapartidan1.Partidan2GracaJugador1:DondeF:
T TF= FPFP: T T(5, 2) FP(5, 2)paraj= 2; m = cte.FP(5, 2) = (5, 2 +
2) = (5, 4)Jugador2:DondeF: T TF= FPFP: T T(7, 7) FP(7, 7)paraj=
2FP(7, 7) = (7, 7 2) = (7, 5)1516GracaJugador1:DondeF: T TF= FPFP:
T T(4, 2) FP(4, 2)paraj= 2; m = cte.FP(4, 2) = (4, 2 + 2) = (4,
4)Jugador2:DondeF: T TF= FPFP: T T(6, 7) FP(6, 7)paraj= 2, m =
cte.FP(6, 7) = (6, 7 2) = (6, 5)GracaJugador1:DondeF: T TF= FDFD: T
T(4, 1) FD(4, 1)parai = 4; j= 4FD(4, 1) = (4 + 4, 1 + 4) = (8,
5)Jaquemate,eljugador1ganalapartidan2.Partidan3GracaJugador1:DondeF:
T T1617F= FPFP: T T(5, 2) FP(5, 2)param = cte.; j= 2FD(5, 2) = (5,
2 + 2) = (5, 4)Jugador2:DondeF: T TF= FPFP: T T(8, 7) FP(8,
7)paraj= 2, m = cte.FP(8, 7) = (8, 7 2) = (8,
5)GracaJugador1:DondeF: T TF= FAFA: T T(6, 1) FA(6, 1)parai = 3; j=
3FA(6, 1) = (6 3, 1 + 3) = (3, 4)Jugador2:DondeF: T TF= FPFP: T
T(1, 7) FP(1, 7)paraj= 2, m = cte.FP(1, 7) = (1, 7 2) = (1,
5)Graco1718Jugador1:DondeF: T TF= FCFC: T T(7, 1) FC(7, 1)parai =
1; j= 2FC(7, 1) = (7 1, 1 + 2) = (6, 3)Jugador2:DondeF: T TF= FPFP:
T T(2, 7) FP(2, 7)paraj= 1, m = cte.FP(2, 7) = (2, 7 1) = (2,
6)GracaJugador1:DondeF: T TF= FCFC: T T(6, 3) FC(6, 3)parai = 1; j=
2FC(6, 3) = (6 + 1, 3 + 2) = (7, 5)Jugador2:DondeF: T TF= FCFC: T
T(2, 8) FC(2, 8)parai = 1, j= 2FC(2, 8) = (2 + 1, 8 2) = (3,
6)1819Jugador1:DondeF: T TF= FCFC: T T(7, 5) FC(7, 5)parai = 1; j=
2FC(7, 5) = (7 1, 5 + 2) = (6,
7)Jaquemate,eljugador1ganalapartidan3.19Captulo2MODELACION DE LOS
MO-VIMIENTOS DEL
AJEDREZEnestecapitulomodelaremoscadamovimientodecasapiezaatravesdefunciones,quenoseranotracosaquefuncioneshorizontaleseverticales.Caberesaltarqueestecapitulonosotrosnosdaremosunenfoqueindividualista,estoquieredecir
queel modelamientodecadapiezaestaradadopor el
desplazamientodecadaunadeellas, quitandoas el
factordelaintersecciondetantocomodelapiezanegrayblanca,cuandointervenganambaspiezas,
el enfrentamientosentreellas, laluchaporconseguirunsolo ganador
existiran algunas restricciones que seran modeladas en el siguiente
capitulo; porahorasolonosenfocaremosdesdeunpuntoindividualista.Aqu
tambienpresentamoslasherramientasquenosayudaraaresolvernuestroproblema,comoelTABLEROylaspiezasqueconstituyenelajedrez.2.1
TableroSera denotado por T, y es dividido en 64 cuadrados(o
cuadros). Cada cuadro se ubica teniendoencuentalos parametros myn,
dondemdenotalam-esima layndenotalan-esimacolumna,con1 m 8y1 n
8.Elpar(m,
n)denotalaposiciondelapiezaenelcuadroquecorrespondelaintersecciondelacolumnamylan.Si(m,
n) = ,signicaraquenoexistepiezaenesaposicion.Si(m, n) =
,indicaraqueexistepiezaenesaposicion.2021Figura2.1:TableroEjemplo:Figura2.2:Noexistepiezaenlaposicion(4,4)Posicion(4,
4) = ,indicaraquenoexistepiezaenesaposicion.2.2
FuncionMovimientoLadenotamosporF.Donde:F: T
T(funcionquevadeltablerohaciaeltablero)2122Figura2.3F: T T(m, n)
F(m,
n)DondeFpuederepresentar:FA:FuncionAllFC:FuncionCaballoFT:FuncionTorreFP:FuncionPeonFD:FuncionDamaFR:FuncionReyquemasadelantelosdeniremos.2.2.1
Funci onhorizontalLadenotaremosporHyesdenidocomoH: T T(m, n) H(m,
n) = (mi, n)dondei = 0, 1, ..., 7yn=constante2.2.2 Funci
onverticalLadenotaremosporVyesdadapor2223V: T T(m, n) V (m, n) =
(m, n i)dondej= 0, 1, ...,
7ym=constanteApartirdeestasfuncionescomenzaremosadenirelmovimientodelaspiezas.2.3
Modelamientodelaspiezas2.3.1
LatorreLosmovimientosdelatorreestanmodeladosporlafuncionV: T T(m,
n) V (m, n) = (m, n j)dondej= 0, 1, ..., 7ym=constante,yH: T T(m,
n) H(m, n) = (mi, n)dondei = 0, 1, ...,
7yn=constanteEnestecasolafuncionFT,Funciontorre,tomaraFT= V oFT=
H(deacuerdoalmovi-miento).Dondelafunciontorreeseldesplazamiento.Ejemplo:Posicion(4,
3)deseollevarloal(4,
7).Comoobservamoslalaesconstante.2324Figura2.4:LaTorreFigura2.5TomaremosFT=
VV: T T(4, 3) H(4, 3), paraj= 4.H(4, 3) = (4, 3 + 4) = (4,
7)Observacion1:DescripciondelMovimientodelaTorre1)SiFT= HFT: T T(m,
n) FT(m, n) = (mi, n), parai = 0, 1, .., 7.(p, n) = FT(m, n) =(m+k,
n) dondek = 0, 1, ..., p 1 sip > n(mk, n) dondek = 0, 1, 2, ...,
p + 1 sip < n2)SiFT= V2425Figura2.6:MovimientohorizontalFT: T
T(m, n) FT(m, n) = (m, n j), parai = 0, 1, .., 7.(m, q) = FT(m, n)
=(m, n +j) dondej= 1, 2, ..., q 1 sin < q(m, n j) dondej= 1, 2,
..., q + 1 sin > qFigura2.7:Movimientovertical2.3.2
ElcaballoSumovimientoestamodeladoporlacomposiciondelasfunciones:VyH.EnestecasolafuncionFC,Funcioncaballo,estaradadopor:2526Figura2.8:MovimientodelcaballoFC=
V H T T(m, n) FC(m, n) = V H(m, n) = V (mi, n) = (mi, n j), dondei
= j,1 i 2, 1 j 22627Ejemplo:Figura2.9Posicion(4,
4)deseollevarloa(5, 6)FC= H V T T(4, 4) FC= (4, 4) = H V (4, 4)=
H(V (4, 4)), paraj= 2= H(4, 4 + 2)= H(4, 6), paraj= 1= (4 + 1, 6)=
(5, 6)Observe que HV= V H, es decir, H y V conmutan respecto a la
composicion de
funciones.Observacion2:DescripciondelmovimientodelcaballoEnestecasononosimportaraeldesplazamientodedichapieza.DondelaFC,debecumplirciertosrequisitos:fC(m,
n) =(m+ 1, n + 2) si(m+ 1, n + 2) = donde 1 m 71 n 6(m+ 2, n + 1)
si(m+ 2, n + 1) = donde 1 m 61 n 7(m1, n 2) si(m1, n 2) = donde 2 m
83 n 8(m2, n 1) si(m2, n 1) = donde 3 m 82 n 8Donde(m,
n)representalaposiciondondeseencuentray(mi, n j)donde1 i 2, 1 j
2,representaalaposiciondondedeseatrasladarse.27282.3.3
ElallEstamodeladoporlacomposiciondelasfuncionesV: T T(m, n) (m, n
j), dondej= 0, 1, .., 7.H: T T(m, n) (mi, n), dondei = 0, 1, ..,
7.Figura2.10EnestecasolafuncionFA,FuncionAllestaradadapor:FA= V H T
T(m, n) FA= (m, n) = V H(m, n)= V (mi, n)= (mi, n
i)DondelaFA,FuncionAll,eseldesplazamiento.Ejemplo:Posicion(4,
5)deseollevarloa(8, 1)2829Figura2.11FA= V H: T T(4, 5) FA= (4, 5) =
V H(4, 5)= V (H(4, 5)), parai = 4, j= 4= V (8, 5)= (8, 5 4)= (8,
1)2930Observacion3:DescripciondelmovimientodelAllSiFA= V HFA: T
T(m, n) FA(m, n)FA(m, n) = V H(m, n)= V (mi, n)= (mi, n j)(p, q) =
FA: T Tsetrasladacomomaximo(p 1, q
1)respectoalaposicion.Figura2.12(p, q) = (4, 4) = 2.3.4
LadamaSumovimientoestamodeladoporlassiguientesfunciones FT= H: T
T(m, n) Ft= H(m, n) = (mi, n), donde0 i 7 FT= V: T T(m, n) FT= V
(m, n) = (m, n j), donde0 j 7 FA: T T(m, n) FA(m, n) = (mi, n i),
donde0 i
73031Figura2.13EnestecasoFD,puedetomarlaformadeFT,FAdeacuerdoalmovimiento.Ejemplo:Figura2.14Posicion(4,
5)deseollevarloa(7, 8)Comoobservamosenlagura2,tomamosFD= FA:FD= FA:
T T(4, 5) FD(4, 5)para i = 3, j= 3FD(4, 5) = (4 + 3, 5 + 3)= (7,
8)Ejemplo1.2Posicion(4, 5)deseollevarloa(4,
1)3132Figura2.15Comoobservamosenlagura3tomamosFD= FtFD= Ft: T T(4,
5) FD(4, 5)para j= 4FD(4, 5) = (4, 5 4)= (4,
1)Observacion4:DescripciondelmovimientodelaDamaSilaFD=
FTCumplelaobservacion1.SilaFD= FACumplelaobservacion3.2.3.5 ElPe
onLosmovimientosdelpeonestanmodeladosporlasiguientefuncionV: T T(m,
n) V (m, n) = (m, n +j)dondej= 0, 1, 2ym =
constanteEnestecasolaFP,funcionPeontomaraFP= V
,dondeFPeseldesplazamiento.Observacion5:DescripciondelmovimientodelPeonCaso1:Si(m,
n)donde1 m 8yn = 2.3233Figura2.16:PeonFp: T T(m, n) Fp(m, n) = (m,
n +j)dondejpuedetomarj= 1 j= 21.1.-SiFp: T T(m, n) Fp(m, n) = (m, n
+j)dondej= 1 j= 2(p, q) = Fpsetrasladacomomaximoa(p, q
1)Ejemplo:Figura2.17PosiciondelPeon(4, 2),posiciondelaTorre(4,
4)setrasladacomomaximoa(3, 2)Caso2:Si(m, n)donde1 m 8y3 n8.3334Fp:
T T(m, n) Fp(m, n) = (m, n +j)dondejsolotomaj= 12.1.-SiFp: T T(m,
n) Fp(m, n) = (m, n +j)dondej= 1(p, q) = Fpnoactuasobre(m,
n)3435Ejemplo:Figura2.18PosiciondelPeon(5, 6),posiciondelaTorre(5,
7)lafuncionnoact uasobre(5, 6)2.3.6
ElReySumovimientoestamodeladoporlacomposiciondelasfuncionesVyH.GracoEnestecasolaFR,FuncionReyestadadoporFR=
V H T T(m, n) FR= (m, n) = V H(m, n)= V (mi, n)= (mi, n i)dondei =
0, 1yj= 0, 1.Ejemplo:Figura2.19Posicion(8, 7)deseollevarloa(8,
8)3536Entonces:FR: T T(8, 7) FR(8, 7) = V H(8, 7)parai = 0= V (8,
7)paraj= 8= (8, 7 + 1)= (8, 8)36
