Matemáticas con Mathematica. Álgebra

Introducción a Mathematica.

En esta primera parte se pretende que el alumno aprenda a utilizar el programa Mathematica, se familiarize con el teclado y sepa manejar algunas opciones básicas del menú.

Ya se encuentra dentro de un fichero de Mathematica, que se suele denominar genéricamente "notebook". Una primera observación es que todas las herramientas del programa están en inglés, puesto que no existe versión española del mismo. Vamos a comenzar utilizando el programa como si de una calculadora se tratase. Si queremos realizar una suma, debemos simplemente escribirla con el teclado

¿Qué hacer para que el ordenador nos dé la respuesta?

Obsérvese que la estructura del programa está basada en celdas que se van delimitando con corchetes a la derecha de la pantalla. Estos corchetes delimitadores son diferentes según el tipo de celda. Básicamente podemos distinguir tres tipos de celdas: - de entrada, In: en las que se escriben las órdenes que se quieren ejecutar - de salida, Out (NO EJECUTABLES): donde el programa coloca el resultado de las instrucciones que acaba de ejecutar -de texto: hay de varios tipos según sea un título, subtítulo,el nombre de una sección, etc.

Los tipos de celdas pueden verse marcando con el ratón en la opción Format - Style del menú superior.

Para ejecutar una celda de entrada hay que colocarse con el ratón en cualquier lugar de la celda (no es necesario colocar el cursor al final de lo escrito) y pulsar la tecla INTRO, que se encuentra en el bloque de los números del teclado. Otra opción es pulsar al mismo tiempo, las teclas SHIFT+ENTER. Realize su primera evaluación:

Obsérvese cómo tanto la entrada como la salida aparecen marcadas con el mismo número. Las siguientes órdenes que se ejecuten se irán marcando sucesivamente. De manera que una forma de saber si hemos ejecutado o no una deteminada orden es fijarnos en si lleva su número correspondiente o no.

Escribamos unas cuantas órdenes de operaciones aritméticas con el teclado:

Observe la diferencia entre

y

La prioridad en Mathematica, salvo que se especifique lo contrario por medio de PARÉNTESIS, es la siguiente: primero se efectúa la exponenciación, después la división, multiplicación y, por último, las sumas y restas. No se pueden emplear otro tipo de delimitadores tales comos corchetes o llaves para indicar prioridad en las operaciones, puesto que éstos desempeñan otras funciones en la sintaxis del programa, las cuales se especificarán en breve.

Mathematica trabaja con precisión infinita, con lo cual siempre devuelve un resultado lo más exacto posible, por eso no expresa los resultados en su expresión decimal, salvo que en la entrada aparezcan los números expresados ya de esa forma.

Si se quiere una expresión decimal del resultado se utiliza el comando "N" aplicado al número cuya aproximación decimal buscamos. Por ejemplo, para dar una aproximación del número irracional π, se escribe

Si se quiere un número concreto de cifras se utiliza el comando SetPrecision

Ejercicio 1 Realize las siguientes operaciones aritméticas y exprese posteriormente los resultados con cuatro cifras decimales. a) b)

c)

Sobre la sintaxis del programa.

Observe un momento la estructura de ambos comandos, que podemos tomar como representativos de cualquier otro comando de Mathematica. Todos son palabras o abreviaturas de palabras en inglés (que suelen sugerir la acción que realizan) y la primera letra es siempre mayúscula. Asimismo, los argumentos de todos los comandos van entre corchetes.

Fíjese cómo a un mismo argumento se le pueden aplicar distintos comandos de forma consecutiva.

donde Log[argumento] calcula el logaritmo neperiano (en base e) del argumento.

Pero este programa permite también trabajar de forma simbólica, efectuando multitud de operaciones algebraicas y de cálculo con variables que no tienen por qué tomar un valor numérico concreto. Por ejemplo

Asignación de nombres

Para trabajar más cómodamente con el programa, resulta útil asignar nombres a los elementos que se están utilizando. Dicho nombre debe comenzar por una letra, aunque puede contener números. Se recomienda que al elegirlo, la primera letra sea minúscula, para evitar conflictos con posibles comandos del programa.

La asignación de nombre puede hacerse para cualquier elemento. Por ejemplo, para nombrar una expresión polinómica, elegimos el nombre "polinomio" y sólo hay que usar el signo "=".

De forma que siempre que escribamos ese nombre, el programa lo identificará con la expresión polinómica correspondiente. Ese nombre permanece en la memoria del programa durante toda la sesión, incluso si cambiamos de notebook.

Si se quiere que el programa "olvide" la asignación de nombre que se ha hecho para un determinado elemento, hay que borrar dicho nombre mediante el comando Clear[ ] o bien escribir "nombre=." y ejecutar dicha celda.

Para comprobar que el programa ya no recuerda lo que eran "polinomio" y "angulo", escribimos el nombre en una celda de entrada y la ejecutamos.

Cuando asigne algún nombre, recuerde que el programa distingue entre mayúsculas y minúsculas, con lo cual deberá escribir los mismos caracteres cuando quiera hacer uso del elemento nombrado.

Matrices

En primer lugar, una lista para el programa es un conjunto de elementos escritos entre llaves { } y separados por comas.

Se pueden efectuar las operaciones aritméticas básicas con listas, haciéndolas elemento a elemento, o considerar la lista como argumento de un comando.

Ejercicio 2 Crea la lista de ocho elementos formada por los dígitos de tu fecha de nacimiento. Asígnale el nombre "nacimiento". Da la expresión decimal de los cuadrados de los cosenos de cada elemento de dicha lista.

En Mathematica, las matrices son listas de listas, es decir, listas cuyos elementos son a su vez listas, que corresponden a las filas de la matriz. Así, por ejemplo, para representar la matriz

, se considera la siguiente lista

Si en la celda de salida no se visualiza la matriz en forma matricial, puede cambiar el formato de las celdas de salida en el menú Cell+Default Output Format Type+TraditionalForm, o bien aplicarle a la matriz el comando MatrixForm[ ].

Operaciones con matrices

A continuación fíjese cómo se realizan las distintas operaciones con matrices.

Suma de matrices

Producto de un número por una matriz

Producto de matrices

Conviene resaltar la sintaxis para el producto de matrices. Hay que colocar un punto ("dot", en inglés) entre ambas matrices y NO UN *, puesto que en ese caso, si los tamaños son compatibles, lo que realiza es la multiplicación de las dos listas, es decir, elemento a elemento. También es válido el comando Dot[ ].

Potencias de matrices cuadradas

De nuevo, conviene destacar un error frecuente para el cálculo de la potencia de una matriz, que es utilizar el signo ^. De esta forma, se consigue una matriz cuyos elementos son las potencias de cada uno de los elementos que la forman.

Traspuesta de una matriz

Rango de una matriz

Una forma de calcular el rango de una matriz es someterla a trasformaciones elementales por filas, buscando una matriz semejante a la dada pero triangular superior, a la que se denomina forma escalonada reducida de la matriz. Esto se consigue con la orden

RowReduce[ ]. Para la matriz , el rango es a lo sumo dos, así que calculamos su

forma escalonada reducida

El rango coincide con el número de filas no nulas de la matriz semejante que nos proporciona esta serie de transformaciones elementales. Luego, la matriz tiene rango 2.

Recuerde que para una matriz cuadrada inversible de orden n, su forma escalona reducida es la matriz identidad de orden n.

Para calcular la inversa de una matriz regular, se emplea la orden Inverse[ ]

Ejercicio 3 Se consideran las matrices

y

Calcula: a) a + dT; 3a; la potencia cuarta de b b) producto de a por b c) la traspuesta del producto de b por d d) el cuadrado de a por d c) inversa de b, si la tuviera d) los rangos de las tres matrices.

Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

La forma más sencilla de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones es el comando Solve[ ]. Hay que tener en cuenta que hay que poner una doble igualdad al expresar la ecuación, pues si no, lo que se hace es un asignación de nombre y no se entiende la ecuación como algo a resolver.

La orden NSolve[ ] resuelve la ecuación utilizando métodos numéricos, lo cual hace que

el resultado se exprese en forma decimal. Cuando lo que se pretende es resolver un sistema de ecuaciones hay que expresar las ecuaciones del sistema como una lista (encerradas entre llaves y separadas por comas) o bien separadas por &&.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se puede utilizar RowReduce[ ] aplicado a la matriz ampliada del sistema,que nos devuelve la reducción por filas de dicha matriz,con lo cual se obtiene un sistema equivalente al de partida pero escalonado (método de Gauss). Por ejemplo, para el sistema formado por las ecuaciones x-y=1 & 2x-2y=2,

Para obtener la solución general explícitamente se puede emplear Reduce[ ], poniendo como argumento el sistema de ecuaciones

Otros ejemplos:

Ejercicio 4 Resuelve el sistema de ecuaciones homogéneo cuya matriz de coeficientes es la matriz d del ejercicio 3, de tres formas distintas.

Transformaciones lineales

En esta sección se visualizarán cómo afectan las transformaciones lineales a polígonos, curvas y superficies parametrizadas. Para introducir los polígonos en el programa se escribirán sus vértices en una lista.

Para visualizar el rectángulo se escribe

Se considera la transformación lineal dada por f(x,y)=(2x-y, x+4y). Para definir funciones con Mathematica, hay que elegir, en primer lugar, el nombre que se la va a asignar a la función y después seguir una estructura del tipo: nombre[variable1_, variable2_,... ].

Conviene resaltar dos elementos importantes en la definición de funciones: - detrás del nombre de la función se colocan corchetes, no paréntesis. - el uso de las barras _ que se colocan detrás del nombre de las variables. Ésta es la forma de indicarle al programa que a dichas variables se les pueden asignar diferentes valores. Así, si queremos calcular la imagen del elemento (2, 1), hacemos la sustitución correspondiente en las variables x , y.

Otra forma de calcular la imagen es utilizar la matriz asociada a la transformación lineal. En este caso

Y se realiza el correspondiente producto de matrices

La transformación lineal aplica el rectángulo anterior en otro cuadrilátero cuyos vértices son las imágenes de los vértices del rectángulo de partida.

Los vértices del cuadrilátero son las filas de la matriz anterior. Para visualizarlo se usa Show[Graphics[Polygon[ ]]].

Veamos cómo afecta la transformación anterior a otras figuras planas.

Ejercicio 5 Aplica la transformación lineal f(x,y)=(-x+y,2x+2y) a a) el triángulo cuyos vértices son los puntos (1,1), (0,-2) y (-1,2) b) la circunferencia unidad Visualiza gráficamente los resultados.

Al aplicar la transformación lineal representada por la matriz a una figura plana, por ejemplo, un polígono de vértices conocidos, se puede visualizar la transformación de una figura en otra descomponiendo la matriz de partida en producto de matrices elementales

y ver los distintos pasos.

Consideramos otra matriz que representa a una transformación lineal, por ejemplo una rotación de ángulo 45 grados.

Aplicamos la rotación a varios elementos.

Podemos pensar en el mismo proceso para figuras tridimensionales.

Aplicamos la transformación dada por la matriz a= a varios elementos en el

espacio.

Para cosnstruir una pirámide de base cuadrada se definen cada una de sus caras y se disponen en una lista.

Matemáticas con Mathematica. Cálculo

Representación gráfica de funciones reales.

En la práctica anterior, ya se aprendio a definir funciones. Recordamos la estructura definiendo f(x)=

Recuerde el uso de los corchetes y el "guión bajo" que se coloca detrás de la variable. El uso de los dos puntos detrás del signo =, es opcional.

Para representar la función se utiliza la orden Plot[ ], en la que es necesario especificar el dominio, es decir el intervalo en el que se quiere representar. Por ejemplo, si queremos la gráfica en el intervalo [-2, 2], la orden sería

Para representar dos funciones a la vez, se colocan éstas en una lista (esto es, entre llaves y separadas por comas)

Se pueden utilizar colores distintos o bien representar una de ellas con línea discontinua, para distinguirlas

Ejercicio 1 Representa las funciones a) f(x)=ex

b) g(x)=e-x2/2

c) h(x)=Sen x

Se pueden también representar funciones de dos variables. El procedimiento es análogo, únicamente hay que utilizar el comando Plot3D[ ] y especificar el rango en el que se quiere que varíen las dos variables.

Ejercicio 2 Representa las funciones

a) f(x,y)=

b) f(x,y)= y2-x3

c) f(x,y)= x e(x2-y2)/2

Para representar las curvas de nivel de una función de dos variables (curvas que unen puntos que están a la misma altura), se emplea la orden ContourPlot[ ], indicando en una lista el rango en el deben variar x e y.

Por defecto, Mathematica muestra treinta curvas de nivel sombreadas en una escala de grises para indicar las diferentes alturas. Si se quiere representar menos curvas, se deben especificar cuántas, escribiendo Contour-> y para eliminar los grises ContourShading->False

Ejercicio 3 Visualizar las curvas de nivel y las gráficas de las siguientes funciones

a) f(x,y)=(x2+y2)e1-x2-y2

b) f(x,y)=sen x sen y

c) f(x,y)=x2e1-x2-y2

Derivadas

El comando para el cálculo de derivadas es D[ ], en el que hay que especificar respecto de cual variable se está calculando dicha derivada.

Para calcular derivadas sucesivas, se tiene la opción de repetir el comando D[ ] el número de veces que se quiera

También se puede usar la estructura D[f[x],{x, n}], donde n es el orden de la derivada que se quiere calcular.

Ejercicio 4 Calcula las derivadas de las funciones del ejercicio 1.

Ejercicio 5 Calcula las derivadas parciales de las funciones del ejercicio 3.

Concepto de derivada direccional visto gráficamente con Mathematica.

Se considera el campo escalar f(x,y)= , el punto p=(1/2, 0) y el vector u=(1,2). Pensamos en el plano perpendicular al plano XY que contiene a la recta que pasa por p y tiene a "u" como vector de dirección. Gráficamente

Dicho plano corta a la superficie (la gráfica de la función) en una curva.

La derivada direccional de f(x,y) en el punto p en la dirección del vector"u"representa la pendiente de la recta tangente a dicha curva en el punto p.

Como caso particular de las derivadas direccionales, consideramos las derivadas parciales en el punto p=(1/2, 0). Para la derivada respecto de x, consideramos el plano X=1/2 y para la derivada respecto de y, el plano Y=0.

Problemas de máximos y mínimos.

Vamos a calcular los extremos relativos de la función f(x,y)=(x2+y2)e1-x2.Para ello,

seguimos los pasos habituales, pero utilizando Mathematica como herramienta de cálculo. Para calcular los puntos críticos hay que resolver el sistema de ecuaciones que resulta al igualar a cero las dos derivadas parciales de la función.

Ahora consideramos la matriz hessiana para cada uno de los puntos críticos.

Según el criterio de clasificación de extremos, ( ) es un mínimo relativo y (

) es punto de silla.

Ejercicio 6 Calcula los extremos de la función f(x,y)=x3+y3-3x2-3 y2

Calcula los extremos relativos de la función f(x,y)=xy sujeta a la restricción x2+y2=10. Definimos las dos funciones implicadas

y la lagrangiana

Calculamos los puntos críticos de la lagrangiana

Como el dominio de la función sujeta a la restricción es un cerrado y acotado, para determinar los extremos absolutos, basta con calcular la imagen de cada uno de los puntos críticos.

Ejercicio 7 Calcula los extremos relativos de la función f(x,y)=x2+y2 sujeta a la restricción

x2+y2- 2 x =3