Matemáticas

Primera Prueba Parcial Lapso 2015-1 175-176-177 –1/3

Especialista: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles

Área de Matemática

Universidad Nacional Abierta Matemática I (Cód. 175-176-177)

Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 126 -236- 237-280- 281

508-521-542-610-611

612-613

Área de Matemática Fecha: 23-05-2015

MODELO DE RESPUESTAS

Objetivos 1 al 6.

OBJ 1 PTA 1 Supongamos que al consumir una hamburguesa con queso y papas fritas consume 1070

calorías. Si las papas tienen 30 calorías más que la hamburguesa, ¿Cuántas calorías hay al consumir

una hamburguesa con queso? Y ¿Cuántas calorías hay al consumir papas fritas?

SOLUCIÓN:

Sea h las calorías de la hamburguesa con queso, y las papas es h+30. Entonces, según el enunciado

sabemos que:

h + 30 + h = 1070

Entonces, 2h = 1040

De donde el valor de h es:

h = 520. Por lo tanto, al ingerir una hamburguesa con queso se están consumiendo 520 calorías y al comer las

papas se consumen 550 calorías.

OBJ 2 PTA 2 Dada la ecuación x2 = p, donde, p es un número entero positivo. Resuelva las

siguientes partes:

a. Explica con tus propias palabras cuándo la solución de la ecuación dada no es un número racional y

da un ejemplo.

b. ¿En qué conjunto tiene solución la ecuación?

Nota: Para el logro de este objetivo debes responder correctamente las dos partes de la pregunta.

SOLUCIÓN:

a. La solución de la ecuación no es número racional cuando p no es el cuadrado de algún número

entero. (Ver página 105 del Módulo I del texto). Varios ejemplos donde ocurre esta situación son

las ecuaciones:

x2 = 2 , x

2 = 22 , x

2 = 3 , x

2 = 37 , x

2 = 12

b. Como p es un número entero positivo, entonces la ecuación tiene solución en el conjunto de los

números reales.

OBJ 3 PTA 3 Resuelva la siguiente inecuación x2 11 x + 30 0.

SOLUCIÓN:

Al factorizar se obtiene: x2 11 x + 30 = (x 6) (x 5). ¡Compruébalo!

Luego, la inecuación inicial se transforma en:

(x 6) (x 5) 0.

Para determinar los signos de (x 6) (x 5) representamos en un recta sus raíces, las cuales son




x = 5 y x = 6.

Estas raíces dividen la recta en tres intervalos: ( , 5), (5 , 6) y (6 , +). Para determinar el signo de

(x 6) (x 5) en cada uno de estos intervalos evaluamos esta expresión en un punto de cada uno de

esos intervalo. El signo en el intervalo será el signo que se obtenga al evaluar en un punto del intervalo

(ver p.158 del texto-Módulo I), como se muestra en la siguiente tabla:

Intervalo Punto del intervalo Signo de (x 6) (x 5)

( , 5) x = 0 positivo

(5 , 6) x = 5,5 negativo

(6 , +) x = 8 positivo

Además, debemos incluir en el conjunto solución las raíces de (x 6) (x 5).

En conclusión, el conjunto solución de la inecuación x2 11 x + 30 0 es:

( , 5] U [6 , +)

OBJ 4 PTA 4 Los puntos A(3 , 4), B(2 , 5), C(4 , 6) son los vértices de un triángulo. Halla la longitud

del lado AC de dicho triángulo.

SOLUCIÓN:

La longitud de un lado de un triángulo está dada por la distancia entre los vértices de ese lado. En

nuestro caso nos piden la longitud del lado AC . Por lo tanto, los vértices de ese lado son A(3,4) y

C(4,6). La distancia entre esos puntos del plano, se halla aplicando la fórmula de la distancia dada en la

página 46 en el Módulo II. Es decir, la distancia entre dos puntos A(x0 ,y0) y C(x1,y1) es:

d((x1 , y1) , (x0 , y0)) = 201

201 yyxx .

Al tomar C(x1 , y1) = C(4 , 6) y A(x0,y0) = A(3 , 4). Luego,

d((4,6),(3,4)) = 224634 = 22

27 = 53 .

Por lo tanto, la longitud del lado AC = d((4 , 6),(3 , 4)) = 53 .

OBJ 5 PTA 5 Expresa la función dada por 5cos 2 xsenxf como compuesta de 3 funciones.

SOLUCIÓN:

Basta observar que la función f no es más que la composición xfxpnm , de donde se

identifican las funciones:

5: 2 xxp ; Función cuadrada más una constante y = 5.

xxn cos: ; Función coseno

senxxm : ; Función seno.

Donde,

pnmfesEsto

xsenxxxmnp

))5(cos()5cos(5 222

5 6




Con, )5(p(x) , cosn(x) , )( 2 xxsenxxm .

OBJ 6 PTA 6 Elabora un polígono de frecuencias acumuladas para los siguientes datos:

Tiempo de vida (en horas) de bombillos

(950; 1050] 4 (1550; 1650] 53

(1050; 1150] 9 (1650; 1750] 37

(1150; 1250] 19 (1750; 1850] 20

(1250; 1350] 36 (1850; 1950] 9

(1350; 1450] 51 (1950; 2050] 3

(1450; 1550] 58 (2050; 2150] 1

SOLUCIÓN: Ver el ejercicio Nro. 3 de la Autoevaluación III de la página 220 del módulo II de libro maestro de

Matemáticas I.

FIN DEL MODELO.

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