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Segredos da Matemática financeira
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Curso: Carreiras Públicas
Prof. Rafael Serra Disciplina: Matemática
Financeira
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1. Calcule as seguintes porcentagens:
a) 80% de 120
b) 75% de 160
c) 25% de 64
2. Escreva as seguintes porcentagens em forma decimal:
a) 30%
b) 45%
c) 7%
d) 0,2%
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Fator de Aumento
Quando precisamos aumentar um valor 𝑥 em uma certa porcentagem (ou proporção) 𝑝, ao invés de
somar vamos utilizar o fator de multiplicação (1 + 𝑝).
Assim, o valor aumentado será:
𝑉 = 𝑥. (1 + 𝑝)
3. Uma máquina de lavar que custava 600 reais sofreu um aumento de 25%, qual é seu valor após
o aumento?
4. O salário de um funcionário teve reajustes no valor de 10% em abril, de 20% em maio e de
30% em junho. Qual o percentual final de aumento?
5. Em um belo dia de calor, Homer foi tomar uma cerveja na taverna do Moe. Devido ao período
de alta demanda, Moe decidiu aumentar o preço da cerveja em 20%, passando a custar R$6,00.
Quanto custava o copo de cerveja antes do aumento?
a) R$ 5,00
b) R$ 5,40
c) R$ 4,80
d) R$ 7,20
e) R$ 6,80
Fator de Redução
Quando precisamos reduzir um valor 𝑥 em uma certa porcentagem (ou proporção) 𝑝, ao invés de
subtrair vamos utilizar o fator de multiplicação (1 − 𝑝).
Assim, o valor reduzido será:
𝑉 = 𝑥. (1 − 𝑝)
6. Após muita negociação, um cliente que iria pagar R$ 55000,00 em um carro, conseguiu um
desconto de 10%. Qual o valor do carro após o desconto?
7. Uma mercadoria que custava 750 reais sofreu um aumento de 30%. Após algum tempo, sofreu
um desconto de 20%. Qual é o valor da mercadoria após o desconto?
8. Um título foi pago com 10% de desconto sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi
de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total desse título era de
a) R$ 345,00.
b) R$ 346,50.
c) R$ 350,00.
d) R$ 358,50.
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e) R$ 360,00.
9. Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua loja
tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende
voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na
liquidação devem ser aumentados em
a) 18,5%
b) 20%
c) 22,5%
d) 25%
e) 27,5%
Introdução à Matemática Financeira
Definições:
Juro: Remuneração pelo empréstimo de um recurso financeiro. Será representado por J.
Capital (ou Principal): Recurso financeiro transacionado. Será representado por C.
Taxa de Juro: Valor do juro, em uma unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do
Capital. Será representado por i.
Ou seja, a taxa de juro depende da unidade de tempo à qual ela se refere, por exemplo:
a) A taxa de juro de 20 % a.a. (ao ano) significa que, em um ano, o valor do juro é de 20 % do
capital.
b) A taxa de juro de 4 % a.m. (ao mês) significa que, em um mês, o valor do juro é de 4% do
capital.
Montante: Valor acumulado do capital mais o juro. Será representado por M.
A partir das definições, podemos estabelecer as seguintes fórmulas:
𝐽 = 𝐶. 𝑖
𝑖 =𝐽
𝐶
𝑀 = 𝐶 + 𝐽
10. Calcule o juro e o montante de uma aplicação de R$ 2.000,00 durante um ano a uma taxa de
25% a.a.
11. Calcule o juro e o saldo devedor de um empréstimo de R$ 8.000,00 após um mês a uma taxa de
15% a.m.
12. Um produto é vendido a R$ 240,00 à vista ou com uma entrada de 25% e mais uma parcela de
R$ 216,00 após um mês. Qual é a taxa de juro mensal envolvida nesta operação?
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13. Qual a taxa de juro de uma aplicação anual de R$ 500,00, sabendo que eu resgatei R$ 630,00?
Regime de Capitalização Simples
É o regime em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. Assim, em cada período da
aplicação, os juros são sempre iguais ao produto do capital pela taxa do período.
𝐽 = 𝐶. 𝑖. 𝑛
𝑀 = 𝐶 + 𝐽
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖. 𝑛)
14. Em uma aplicação de R$ 2000,00, calcule o juro e o montante acumulado após três meses, a
uma taxa de 5% a.m.
15. Um capital de $ 20.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 30% a.a. pelo prazo de 4anos.
Calcule o montante obtido.
16. A qual taxa mensal de juros simples, um capital de R$ 25.000,00 gera um montante de
30.000,00 após 4 meses?
Taxas equivalentes
Duas taxas são chamadas equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital e em um mesmo intervalo de
tempo, resultam em um mesmo montante.
Em juros simples:
Uma taxa 𝑖 durante um determinado período, é equivalente a uma taxa 𝑖𝑘 em 1
𝑘 subperíodos do período
original quando 𝑖𝑘. 𝑘 = 𝑖 ou 𝑖𝑘 =𝑖
𝑘.
Exemplo:
Uma taxa de 36% a.a. (ao ano) é equivalente a uma taxa de:
18% a.s. (ao semestre)
9% a.t. (ao trimestre)
6% a.b. (ao bimestre)
3% a.m. (ao mês)
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17. Calcule as taxas mensais e semestrais que são equivalentes à taxa de 10% ao bimestre.
18. Calcule o juro simples e o montante de uma aplicação de R$ 1.500,00 a uma taxa de 30% a.a.
por um prazo de 6 meses.
19. Determine os juros produzidos por uma aplicação de um capital de R$ 20.000,00 à taxa de
juros simples de 30% a.a. pelo prazo de 8 meses.
Taxa Média:
Considere os capitais 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑘 aplicados, respectivamente, às taxas 𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘, por um mesmo
prazo 𝑛. A taxa média 𝑖𝑚 destes mesmos capitais que geraria o mesmo juro total é dado por:
𝑖𝑚 =𝐶1𝑖1 + 𝐶2𝑖2 + ⋯ + 𝐶𝑘𝑖𝑘
𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑘
20. (ESAF) Três capitais nos valores respectivos de 100, 250 e 150 são aplicados a juros simples
no mesmo prazo às taxas de 3%, 4% e 2% ao mês, respectivamente. Obtenha a taxa média
mensal de aplicação desses capitais.
a) 3,4%
b) 3,2%
c) 3%
d) 2,8%
e) 2,6%
21. (ESAF) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados
respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o
mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais.
a) 4%
b) 8%
c) 12%
d) 24%
e) 48%
Exercícios de Juros Simples
22. (Funrio) Em quanto tempo um determinado capital tem seu valor octuplicado, considerando
uma taxa de 120% ao ano e capitalização mensal simples?
a) 80 meses
b) 5 anos e 10 meses
c) 6 anos e 4 meses
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d) 72 meses
e) 6,5 anos
23. (FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00 a uma taxa de juros simples de
0,5% ao dia, ao final de 78 dias, é de:
a) R$ 6.255,00
b) R$ 5.500,00
c) R$ 6.500,00
d) R$ 4.855,00
e) R$ 5.750,00
24. Um capital C foi aplicado a juros simples durante 10 meses, gerando um montante de
R$ 10.000,00; esse montante, por sua vez, foi também aplicado a juros simples, durante 15
meses, à mesma taxa da aplicação anterior, gerando um montante de R$ 13.750,00. Qual o
valor mais próximo do capital C inicialmente aplicado?
a) R$ 6.500,00
b) R$ 7.000,00
c) R$ 7.500,00
d) R$ 8.000,00
e) R$ 9.000,00
Regime de Capitalização Composta
É o regime em que a taxa de juro de cada período incide sobre o montante obtido no período anterior,
para gerar juro no período atual.
𝑀 = 𝐶. (1 + 𝑖)𝑛
𝐽 = 𝑀 − 𝐶
25. (FGV) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante dois anos a uma taxa de 20% ao ano, juros
compostos. Ao final desse período, esse investimento totalizava:
a) R$ 694,44
b) R$ 1.440,00
c) R$ 1.400,00
d) R$ 1.240,00
e) R$ 1.514,12
26. Qual foi o capital de uma aplicação que obteve R$ 338.000,00 de montante em 2 anos, a uma
taxa de 30% a.a.?
27. Que quantia mínima devo aplicar hoje a juros compostos, à taxa anual de 20%, para que, ao
completar-se um período de 3 anos, eu consiga, com o montante, comprar um carro no valor de
R$ 10.800,00?
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a) R$ 6.000,00
b) R$ 6.250,00
c) R$ 6.500,00
d) R$ 6.750,00
e) R$ 6.800,00
28. Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa de 36% ao ano. O
montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, por um
bimestre. O total de juros obtido nessas duas aplicações foi
a) R$ 149, 09
b) R$ 125,10
c) R$ 65,24
d) R$ 62,55
e) R$ 62,16
29. Qual é o montante de uma aplicação de R$ 20.000,00 a juros compostos de 5% ao mês, durante
6 meses?
30. Calcule o valor do montante de uma aplicação de R$ 100.000,00 a juros compostos de 15% a.a.
durante 8 anos.
Taxas Equivalentes em Juros Compostos
Uma taxa 𝑖 durante um determinado período, é equivalente, em juros compostos, a uma taxa 𝑖𝑘 em 𝑘
subperíodos do período original quando:
(1 + 𝑖) = (1 + 𝑖𝑘)𝑘 ou
√(1 + 𝑖)𝑘
= (1 + 𝑖𝑘)
ou
(1 + 𝑖)1𝑘 = (1 + 𝑖𝑘)
31. Qual é a taxa anual equivalente à taxa de 5% a.m., sob o regime de juros compostos?
32. Qual é a taxa semestral equivalente à taxa de 44% a.a., sob o regime de capitalização
composta?
33. (FGV) A taxa de juros compostos semestral equivalente à taxa de 10% ao bimestre é:
a) 3,33%.
b) 30,00%.
c) 31,33%.
d) 33,10%.
e) 36,66%.
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Convenções Linear e Exponencial
Quando o prazo de aplicação não é um número inteiro de períodos de aplicação, (por exemplo, taxa de
15% a.m. durante 3 meses e 10 dias) devemos observar que tipo de convenção será definido para
avaliar o juro durante a parte fracionária (no exemplo acima, 10 dias).
Convenção Linear
Pela convenção linear, incidem juros compostos somente durante os períodos inteiros de capitalização;
A seguir, sobre o montante aí calculado, incidem juros simples durante o período fracionário de
capitalização
Exemplo: Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado durante dois anos e meio à taxa de juros compostos
de 10% a.a., calcule o montante obtido no final do período considerando-se a convenção linear.
Convenção Exponencial
Pela convenção exponencial, os juros compostos incidem tanto durante os períodos inteiros como
durante o fracionário.
Exemplo: Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado durante dois anos e meio à taxa de juros compostos
de 10% a.a. , calcule o montante obtido no final do período considerando-se a convenção exponencial.
(Dado: 1,10,5 = 1,0488)
34. (ESAF)Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período durante quatro
períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a
convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda que 1,24= 2,0736; 1,24,5
=2,271515 e 1,25=2,48832.
a) 107,36%
b) 127,1515%
c) 128,096%
d) 130%
e) 148,832%
35. Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período durante quatro períodos e
meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a convenção
exponencial para cálculo do montante. Considere ainda que 1,24= 2,0736; 1,24,5 =2,271515 e
1,25=2,48832.
a) 107,36%
b) 127,1515%
c) 128,096%
d) 130%
e) 148,832%
36. (ESAF) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à taxa de juros compostos de
10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a convenção linear para cálculo do
montante.
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a) 22,5%
b) 24%
c) 25%
d) 26,906%
e) 27,05%
Taxas Proporcionais
Se a razão entre duas taxas for a mesma que a razão entre as unidades de tempo a que elas se referem.
Assim, a taxa 𝑖1a 𝑛1 é proporcional à taxa 𝑖2 a 𝑛2 se, e somente se:
𝑖1
𝑖2=
𝑛1
𝑛2
Exemplo:
Calcule a taxa mensal proporcional à taxa de 60% ao ano.
37. A partir da taxa de 12% a.s., calcule as taxas proporcionais nos seguintes períodos:
a) Ao mês
b) Ao bimestre
c) Ao trimestre
d) Ao ano
Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Taxa nominal é aquela em que a unidade de referência de seu tempo é diferente da unidade de tempo
nos períodos de capitalização.
Exemplos:
48% a.a. com capitalização mensal
30% a.a. com capitalização bimestral
6% a.m. com capitalização diária
OBS: a taxa nominal não representa a taxa efetivamente aplicada ao capital.
Taxa efetiva é a taxa proporcional à taxa nominal, mas no período de capitalização.
Nos exemplos acima teríamos:
Taxa nominal de 48% a.a. com capitalização mensal:
Como 1 ano corresponde a 12 meses, a taxa efetiva mensal será: 48%
12= 4% a.m.
Taxa nominal de 30% a.a. com capitalização bimestral:
Como 1 ano corresponde a 6 bimestres, a taxa efetiva bimestral será: 30%
6= 5% a.b.
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Taxa nominal de 6% a.m. com capitalização diária:
Como 1 mês corresponde a 30 dias, a taxa efetiva diária será: 6%
30= 0,2%.
38. Um capital de $ 20.000,00 é aplicado, no regime de capitalização composta, à taxa nominal de
60% a.a., com capitalização mensal, pelo prazo de 10 meses. Calcule o montante ao final da
aplicação.
39. Uma taxa de juros nominal de 21% ao trimestre, com juros capitalizados mensalmente,
apresenta uma taxa de juros efetiva, trimestral de, aproximadamente,
a) 21,7%.
b) 22,5%.
c) 24,8%.
d) 32,4%.
e) 33,7%.
40. Calcule o juro final como porcentagem do capital inicial aplicado a uma taxa de juros nominal
de 24% ao ano, com capitalização mensal em um prazo de dezoito meses.
a) 36,00%
b) 38,12%
c) 40,00%
d) 42,82%
e) 44,75%
Valor Nominal e Valor Atual (ou Presente)
Chamamos de valor nominal N (ou valor face, ou valor de resgate no vencimento) de um título, ao
seu valor na data de vencimento.
Chamamos de valor atual A (ou valor presente) de um título, ao seu valor em alguma data antes do
vencimento.
Assim, o valor atual de um título será um valor que, aplicado durante 𝑛 períodos de antecipação ao seu
vencimento, produzirá como montante o valor nominal do título. A valorização durante estes 𝑛
períodos pode ser de acordo com juros simples ou compostos.
Então, em cada caso, a relação entre A e N é dada por:
Juros Simples
𝑁 = 𝐴. (1 + 𝑖. 𝑛)
Ou
𝐴 =𝑁
1 + 𝑛𝑖
Juros Compostos
𝑁 = 𝐴. (1 + 𝑖)𝑛
Ou
𝐴 =𝑁
(1 + 𝑖)𝑛
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41. O valor nominal de um título é de R$ 1.600,00 sendo que seu vencimento ocorrerá daqui a 3
meses. Se a taxa de juros simples de mercado é de 20% a.m., determine o valor atual do título
hoje.
42. Seja um título cujo valor nominal é R$ 1.464.100,00. Qual o seu valor atual (ou presente), se a
taxa de juros compostos é de 10% a.m., e seu vencimento é daqui a 4 meses?
Descontos
Chamamos de desconto 𝑑 ao abatimento obtido sobre o valor nominal de um título quando este é
resgatado antes da data do vencimento. Ou seja, o desconto será a diferença entre o valor nominal de
um título e o valor atual (ou valor descontado) do título na data do resgate:
𝑑 = 𝑁 − 𝐴
Exemplo:
Seja um título de crédito que deve ser resgatado pelo valor de R$ 1.000. Tendo a necessidade de
dinheiro, o proprietário do título vende-o a um negociante, um ano antes do vencimento, pelo valor de
R$ 800. O comprador ganhará, então, R$ 200 nessa transação, uma vez que, na data do vencimento do
título, irá resgatá-lo pelo seu valor de face, ou seja, R$ 1.000. Pede-se:
a) Qual foi o valor do desconto obtido pelo negociante, em R$?
b) Que porcentagem este desconto representa sobre o valor da compra do título?
c) Que porcentagem aquele mesmo desconto representa sobre o valor de resgate do título?
Quando a taxa de desconto 𝑖 é calculada conforme o item b), sobre o valor atual do título, temos a
chamada taxa de desconto por dentro (ou racional).
Quando a taxa de desconto 𝑖 é calculada conforme o item c), sobre o valor nominal do título, temos a
chamada taxa de desconto por fora (ou comercial).
Desconto Racional ou Por Dentro
O desconto racional, ou desconto por dentro, é obtido aplicando-se a taxa de desconto 𝑖 (como fator de
aumento) ao valor atual 𝐴 do título durante os 𝑛 períodos que faltam para o vencimento do título.
Desconto Simples Racional ou Por Dentro
𝑁 = 𝐴. (1 + 𝑛𝑖)
Desconto Composto Racional ou Por Dentro
𝑁 = 𝐴. (1 + 𝑖)𝑛
Observe que são as mesmas fórmulas de juros simples e composto.
43. Um título de valor nominal de R$ 3.000,00 é resgatado 5 meses antes de seu vencimento, à taxa
de desconto racional simples de 5% a.m.
a) Qual o valor descontado racional simples?
b) Qual o desconto racional?
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44. Uma duplicata com valor de face igual a R$ 2.250 será descontada 2 anos antes de seu
vencimento, à taxa de desconto composto por dentro de 50% a.a.. Determine:
a) O valor descontado do título.
b) O valor do desconto.
Desconto Comercial ou Por Fora
O desconto comercial, ou desconto por fora, é obtido aplicando-se a taxa de desconto 𝑖 (como fator de
redução) ao valor nominal 𝑁 do título durante os 𝑛 períodos que faltam para o vencimento do título.
Desconto Simples Comercial ou Por Fora
𝐴 = 𝑁. (1 − 𝑛𝑖)
Desconto Composto Comercial ou Por Fora
𝐴 = 𝑁. (1 − 𝑖)𝑛
45. (FGV) Um título com valor de R$ 5.000,00, com 1 mês para seu vencimento, é descontado no
regime de juros simples a uma taxa de desconto “por fora” de 3% ao mês. O valor presente do
título é igual a:
a) R$ 5.500,00.
b) R$ 5.150,00.
c) R$ 4.997,00.
d) R$ 4.850,00
e) R$ 4.500,00
46. O valor atual de um título é R$ 6.400, descontado com 2 anos para seu vencimento no regime
de juros compostos a uma taxa de desconto comercial de 20% ao ano. Calcule o valor nominal
do título.
47. O valor nominal de uma dívida á igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a
antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de
R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a:
a) R$ 230.000,00
b) R$ 250.000,00
c) R$ 330.000,00
d) R$ 320.000,00
e) R$ 310.000,00
Exercícios de Desconto Simples
48. (FCC) Considere o desconto, na data de hoje, de dois títulos de valores nominais iguais,
conforme descrito abaixo:
I. O primeiro título, descontado 4 meses antes de seu vencimento, com a utilização do desconto
comercial simples.
II. O segundo título, descontado 2 meses antes de seu vencimento, com a utilização do desconto
racional simples, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00.
Se em ambos os casos a taxa de desconto considerada foi de 18% ao ano, então, o valor atual do
primeiro título é igual a:
a) R$ 18.128,00.
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b) R$ 19.364,00.
c) R$ 19.673,00.
d) R$ 19.982,00.
e) R$ 20.291,00.
49. Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 33.000,00 é descontada em um banco, 4 meses
antes de seu vencimento, conforme uma operação de desconto comercial simples. Verificou-se
que o valor atual deste título foi igual a R$ 29.700,00. Descontando-se 3 meses antes de seu
vencimento um segundo título, também conforme uma operação de desconto comercial simples
e com a mesma taxa de desconto mensal do primeiro título, obtém-se um valor atual igual a R$
49.950,00. O valor nominal do segundo título, em reais, é igual a:
a) 51.500,00
b) 52.000,00
c) 52.500,00
d) 54.000,00
e) 55.000,00
50. Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto
racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um
valor atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor
nominal do primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma
operação de desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao
mês. O valor atual deste segundo título é de
a) R$ 42.160,80.
b) R$ 41.529,60.
c) R$ 40.664,40.
d) R$ 39.799,20.
e) R$ 38.934,00.
51. (ESAF) O valor atual racional de um título é igual a metade de seu valor nominal. Calcular a
taxa de desconto simples, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 5 meses.
a) 200% a.a.
b) 20% a.m.
c) 25% a.m.
d) 28% a.m.
e) 220% a.a.
52. Um título com valor de face de R$ 1.000,00, faltando 3 meses para seu vencimento, é
descontado em um banco que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa de desconto
simples “por fora”, de 5% ao mês. O valor presente do título, em reais, é:
a) 860,00
b) 850,00
c) 840,00
d) 830,00
e) 820,00
Relação entre descontos comercial e racional simples
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Sendo 𝑑𝑐 o desconto comercial e 𝑑𝑟 o desconto racional, ambos com a mesma taxa e mesma
antecipação.
𝑑𝑐 = 𝑑𝑟(1 + 𝑖. 𝑛)
53. (ESAF) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu
vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à
mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.
a) R$ 9.810,00
b) R$ 9.521,34
c) R$ 9.500,00
d) R$ 9.200,00
e) R$ 9.000,00
54. O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é de
R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial simples correspondente,
isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.
a) R$ 960,00
b) R$ 666,67
c) R$ 973,32
d) R$ 640,00
e) R$ 800,00
Taxa efetiva de Juros Simples (Implícita)
Seja 𝑖 a taxa de desconto comercial e 𝑖𝑒 a taxa efetiva (implícita) de juros simples. Assim, valem:
𝑛. 𝑖. 𝑖𝑒 = 𝑖𝑒 − 𝑖
55. Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% ao trimestre para
operações de cinco meses. Deste modo, o valor mais próximo da taxa de desconto comercial
trimestral que o banco deverá cobrar em suas operações de cinco meses deverá ser igual a:
a) 19 %
b) 18,24 %
c) 17,14 %
d) 22 %
e) 24 %
56. Uma nota promissória de valor nominal R$ 7.200,00 foi resgatada 50 dias antes do vencimento,
à taxa mensal de 2,4%, com desconto simples comercial. A taxa efetiva mensal cobrada nessa
transação foi de:
a) 2,2%
b) 2,5%
c) 2,6%
d) 2,8%
e) 2,9%
Exercícios de Desconto Composto
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57. Um título de valor nominal igual a R$ 10.000,00 é resgatado 2 meses antes de seu vencimento,
segundo o critério de desconto racional composto. Sabendo-se que a taxa de juro composto é de
10% a.m., qual o valor do desconto?
58. Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto
racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual
igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto
comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de
a) R$ 21.780,00
b) R$ 21.600,00
c) R$ 20.702,00
d) R$ 19.804,00
e) R$ 19.602,00
59. Um título de valor nominal igual a R$ 10.000,00 é resgatado 2 meses antes de seu vencimento
segundo o critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto
composto é 10% a.m., qual o valor do desconto?
60. (ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00 quatro meses antes de seu vencimento.
Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao
mês.
a) R$ 140,00
b) R$ 104,89
c) R$ 93,67
d) R$ 105,43
e) R$ 168,00
61. Um título de valor nominal igual a R$ 25 000,00 foi descontado por uma empresa 40 dias antes
de seu vencimento, segundo a operação de desconto comercial simples, à taxa de desconto de
3% ao mês. Considerando a convenção do ano comercial, a empresa recebeu, no ato da
operação,
a) R$ 24 000,00
b) R$ 23 850,00
c) R$ 23 750,00
d) R$ 23 500,00
e) R$ 22 500,00
Taxa Real e Taxa Aparente
Sendo 𝐼 a taxa da inflação em um determinado período, 𝑖𝑎 a taxa de juros aparente e 𝑖𝑟 a taxa real de
juros. Então:
1 + 𝑖𝑎 = (1 + 𝐼). (1 + 𝑖𝑟)
62. Uma pessoa comprou um lote de ações e o revendeu, um ano depois, por um valor 20%
superior ao preço de compra. Se a inflação do período foi de 4%, e não houve incidência de
tributos nessa operação, determine a taxa de ganho real do investidor.
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63. (FGV) Para um financiamento no valor de R$ 1000,00, a ser pago ao final de um ano, a taxa de
juros real a ser cobrada é igual a 10%, enquanto a taxa de inflação, para esse mesmo período, é
de 5%. A taxa aparente anual para esse financiamento será de:
a) 50%.
b) 20%.
c) 15,5%.
d) 10%.
e) 5%.
64. (FGV) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no início de um terminado ano e resgatou no
final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando totalmente seu crédito referente a
esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano da aplicação foi de 5%
e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta aplicação, foi de
a) 11,25%
b) 12,5%
c) 12,85%
d) 13,65%
e) 13,85%
65. (FCC) Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um
ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período
correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo
investidor foi de
a) R$ 27.060,00
b) R$ 27.000,00
c) R$ 26.460,00
d) R$ 26.400,00
e) R$ 25.800,00
Equivalência de Capitais a Juros Compostos
Quando aplicamos um valor 𝑥 durante 𝑛 períodos a uma taxa 𝑖, obtemos um montante 𝑦. Assim, os
capitais 𝑥 e 𝑦 são equivalentes, então:
𝑦 = 𝑥(1 + 𝑖)𝑛
Ou
𝑥 =𝑦
(1 + 𝑖)𝑛
Valor atual de um conjunto de capitais:
Ao efetuarmos uma série de aplicações 𝑁0, 𝑁1, 𝑁2, … , 𝑁𝑛 durante 𝑛 períodos a uma taxa 𝑖, podemos
calcular o valor atual 𝐴 deste conjunto de capitais através das seguintes fórmulas:
𝐴 = 𝑁0 +𝑁1
1 + 𝑖+
𝑁2
(1 + 𝑖)2+ ⋯ +
𝑁𝑛−1
(1 + 𝑖)𝑛−1+
𝑁𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
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Ou
𝐴. (1 + 𝑖)𝑛 = 𝑁0. (1 + 𝑖)𝑛 + 𝑁1. (1 + 𝑖)𝑛−1 + 𝑁2. (1 + 𝑖)𝑛−2 + ⋯ + 𝑁𝑛−1. (1 + 𝑖) + 𝑁𝑛
Exercícios
66. Um artigo cujo preço à vista é R$ 662,00 é vendido à prazo com pagamentos em três
prestações iguais, uma no ato, outra após 1 mês e outra após dois meses. Sabendo que a taxa de
juros compostos cobrado é igual a 10% ao mês, qual é o valor de cada prestação?
67. Considere o fluxo de caixa a seguir, com os valores em reais.
Se a taxa interna de retorno deste fluxo é igual a 8%, o valor de X é igual a
(A) R$ 5.230,00
(B) R$ 5.590,00
(C) R$ 5.940,00
(D) R$ 6.080,00
(E) R$ 6.160,00
68. (FCC) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um projeto de investimento (com os valores em
reais), em que se apurou uma taxa interna de retorno igual a 20% ao ano.
O valor de X é igual a:
a) R$ 10.368,00
b) R$ 11.232,00
c) R$ 12.096,00
d) R$ 12.960,00
e) R$ 13.824,00
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Rendas Certas (ou Anuidades)
É uma sequência de pagamentos ou recebimentos.
Classificação das Rendas
Quanto à duração
Temporárias: possuem um número finito de termos.
Perpétuas: possuem um número infinito de termos.
Quanto à periodicidade
Periódicas: os pagamentos se dão em intervalos de tempo iguais.
Não periódicas: os pagamentos se dão em intervalos de tempo variáveis.
Quanto ao valor dos termos
Constantes: todos os termos possuem o mesmo valor.
Variáveis: os valores dos termos variam.
Quanto ao momento do pagamento das prestações:
Antecipadas: os pagamentos ocorrem no início dos períodos.
Postecipadas: os pagamentos ocorrem no final dos períodos.
Diferidas: o primeiro pagamento não ocorreno primeiro período, mas em momento posterior.
Vamos começar estudando as rendas temporárias, periódicas e constantes.
Valor atual de uma Renda Postecipada (sem entrada)
Seja 𝑅 uma renda fixa em cada período, então o valor atual 𝐴 pode ser dado por:
𝐴 =𝑅
1 + 𝑖+
𝑅
(1 + 𝑖)2+
𝑅
(1 + 𝑖)3+ ⋯ +
𝑅
(1 + 𝑖)𝑛
𝐴 = 𝑅.(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖. (1 + 𝑖)𝑛
Ou
𝐴 = 𝑅. (1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖)
Para calcular esse fator de multiplicação, dizemos: 𝑎𝑛¬𝑖 =(1+𝑖)𝑛−1
𝑖.(1+𝑖)𝑛 (valor apresentado na tabela 2)
Assim:
𝐴 = 𝑅. 𝑎𝑛¬𝑖
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Exercício:
69. Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos mensais e iguais de R$ 1000,00 vencendo-se a
primeira prestação um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m., qual
o preço deste carro à vista?
Valor Atual de uma Renda Antecipada
Na renda antecipada, temos duas partes:
(i) 𝑅 já é o valor atual do primeiro pagamento (entrada).
(ii) O restante será uma renda postecipada com 𝑛 − 1 termos de pagamento.
Assim:
𝐴 = 𝑅 + 𝑅. 𝑎𝑛−1¬𝑖
70. Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos mensais e iguais de R$ 1.000,00, vencendo a
primeira prestação no ato da compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m., qual o
preço à vista desse carro?
Valor Atual de uma Renda Diferida de 𝒎 Períodos
Existem dois cálculos para isso:
(i) Calculando o valor atual na época 𝑚 e trazendo para a época de origem:
𝐴 =𝑅. 𝑎𝑛¬𝑖
(1 + 𝑖)𝑚
(ii) Calculando o que seria o valor atual durante todos os 𝑛 + 𝑚 períodos e tirando o valor
atual de 𝑚 períodos: 𝐴 = 𝑅. 𝑎𝑛+𝑚¬𝑖 − 𝑅. 𝑎𝑚¬𝑖
71. Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos mensais e iguais de R$ 1.000,00, vencendo a
primeira prestação 3 meses após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m., qual
o preço à vista desse carro?
Montante (Valor futuro) de uma Renda Uniforme
Montante é o valor futuro acumulado equivalente a toda a renda certa.
𝑀 = 𝑅.(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
O fator 𝑆𝑛¬𝑖 =(1+𝑖)𝑛−1
𝑖 é chamado de fator de acumulação de capital, e será obtido na tabela 3.
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72. Uma pessoa aplica mensalmente R$ 100,00 em um fundo que oferece remuneração mensal à
taxa de juro composto de 10% a.m.. Se a pessoa fizer 5 aplicações mensais, qual será o
montante no momento da última aplicação?
Exercícios
73. Uma pessoa aplica mensalmente R$ 1.000,00 em um fundo que oferece remuneração mensal a
taxa de juros compostos de 2% a.m.. Se a pessoa fizer 5 aplicações mensais, qual será o
montante no instante após a última aplicação?
74. (SRF) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $23,60 na compra de um equipamento, e paga
mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas, no valor de $14,64 cada uma. A instituição
financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros
compostos). Com base nestas informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima
do valor à vista do equipamento adquirido é:
a) $ 70,00
b) $ 76,83
c) $ 86,42
d) $ 88,00
e) $ 95,23
75. (BB) Uma pessoa deposita no início de cada mês R$ 5.000,00 em um banco que remunera os
depósitos de seus clientes à taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal.
Após ter realizado o seu oitavo e último depósito, decide que, após um mês, irá retirar
mensalmente 5 parcelas iguais, esgotando totalmente seu crédito. Utilizando os dados da tabela
acima, o valor de cada parcela a ser retirada é igual a:
a) R$ 9.779,00
b) R$ 8.445,00
c) R$ 7.112,00
d) R$ 6.223,00
e) R$ 6.128,00
76. (ESAF) O preço de um automóvel é de R$ 500.000,00. Um comprador ofereceu R$ 200.000,00
de entrada e o pagamento do saldo restante em 12 prestações iguais, mensais. A taxa de juros
compostos é de 5% a.m.. O valor de cada prestação, desprezados os centavos, é:
a) R$ 36.847
b) R$ 25.847
c) R$ 31.847
d) R$ 30.847
e) R$ 33.847
77. Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00 a vista ou financiado pelo sistema de
juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar esse
apartamento e propõe a Ana pagar os R$ 400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos
a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com
vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem considerar os
centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:
a) R$ 220.237,00
b) R$ 230.237,00
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c) R$ 242.720,00
d) R$ 275.412,00
e) R$ 298.654,00
Amortização
As prestações de um empréstimo ou financiamento são compostas de duas parcelas:
A amortização, que corresponde à devolução do principal emprestado;
O juro, que corresponde à remuneração do capital.
Assim,
Prestação = Amortização + Juro
78. Seu Madruga tomou um empréstimo de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10%
a.m., para ser amortizado em 4 meses em 20%, 20%, 30% e 30% do valor da dívida. Faça um
quadro de amortização.
Sistema Francês de Amortização
A principal característica deste sistema é que as prestações são iguais e periódicas.
Sendo o valor principal 𝑉, amortizado em 𝑛 prestações periódicas de valor 𝑅, temos:
𝑉 = 𝑅. 𝑎𝑛¬𝑖
Ou
𝑅 =𝑉
𝑎𝑛¬𝑖
79. Um financiamento no valor de R$ 10.000,00 será pago em 4 prestações mensais, sem período
de carência, à taxa de juros de 10% a.m., pelo Sistema Francês de Amortização. Determine o
valor das prestações e construa a planilha de amortização.
80. Uma empresa deve pagar duas prestações, iguais e sucessivas, de R$ 10.000,00. A primeira
deve ser paga, no ato, pelo Sistema Francês – Tabela Price (ou seja, a série é antecipada no
Sistema Price). A segunda prestação será paga ao final de 6 meses. O valor atual dessa dívida,
dada uma taxa de juros de 60% ao semestre, é de:
a) R$ 10.156,25.
b) R$ 16.250,00.
c) R$ 16.750,00.
d) R$ 18.133,57.
e) R$ 20.000,00.
81. Homer tomou um empréstimo de R$ 10.000,00, a uma taxa de juros compostos de 60% a.a.,
para ser quitado em 4 meses pelo Sistema Price. Faça o quadro de amortização.
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82. (C ou E) Tendo em vista que um empréstimo no valor de R$ 32.000,00, que foi entregue no
ato, sem prazo de carência, será amortizado pelo sistema Price, à taxa de juros de 60% ao ano,
em 8 prestações mensais e consecutivas, e considerando 0,68 como valor aproximado para
1,05-8. Desta forma, a amortização correspondente à primeira prestação será superior a R$
3.500,00.
Sistema de Amortização Constante (SAC)
As amortizações são constantes e as parcelas são variáveis (parcelas decrescentes).
83. Michael tomou um empréstimo de R$ 1.000,00, a uma taxa de juros compostos de 10% a.m.,
para ser quitado em 5 meses pelo sistema de amortização constante (SAC). Faça o quadro de
amortização.
84. Paul tomou um empréstimo de R$ 10.000,00, a uma taxa de juros compostos de 5% a.m., para
ser quitado em 4 meses pelo sistema de amortização constante (SAC). Faça o quadro de
amortização.
85. Um indivíduo faz um financiamento, sem entrada, no valor de R$ 100.000,00, a ser pago em
100 prestações, no Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo que a taxa de juros, no
regime de juros compostos, é de 1% ao mês, o valor da 4ª parcela a ser paga é de:
a) 1970.
b) 2000.
c) 2566.
d) 1000.
e) 1400.
Sistema de Amortização Misto (SAM)
As prestações são a média aritmética entre o sistema francês e o SAC.
86. (FCC) Um plano de pagamento referente à aquisição de um imóvel foi elaborado com base no
sistema de amortização misto (SAM) e corresponde a um empréstimo no valor de R$
120.000,00, a uma taxa de 2% ao mês, a ser liquidado em 60 prestações mensais, vencendo a
primeira um mês após a data do empréstimo.
O valor de 30ª (trigésima) prestação é igual a:
a) R$ 3.320,00
b) R$ 3.360,00
c) R$ 3.480,00
d) R$ 4.140,00
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e) R$ 4.280,00
Exercícios
87. (FCC) Uma dívida de R$ 4.999,50 vai ser paga em 4 parcelas mensais, a primeira delas
vencendo ao completar um mês da data do empréstimo, com taxa de juros de 3% ao mês, pelo
sistema francês de amortização. Abaixo tem-se o quadro de amortização, incompleto.
Completando o quadro, verifica-se que o valor aproximado de
a) s é R$ 151,30.
b) t é R$ 1.210,02.
c) u + y é R$ 153,30.
d) x − w é R$ 1.159,80.
e) v + z é R$ 2.573,62.
88. (FCC) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais,
iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida.
Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos
de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC)
correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da
dívida, imediatamente após o pagamento da 2a prestação, apresenta um valor de
a) R$ 37.473,15
b) R$ 36.828,85
c) R$ 35.223,70
d) R$ 35.045,85
e) R$ 34.868,15
89. (CESPE) Considere que, em uma loja, um televisor seja vendido à vista por R$ 2.325,00 ou por
20% do valor à vista como entrada e mais 2 prestações mensais iguais e sucessivas, a primeira
vencendo 1 mês após a compra, calculadas considerando-se uma taxa de juros compostos de
5% ao mês. Nessa situação, supondo que (1,05)-1 = 0,95 e que(1,05)-2 = 0,91, então, para que as
duas formas de pagamento sejam equivalentes (tenham o mesmo valor atual), o valor de cada
prestação deverá ser superior a R$ 1.100,00.
90. (CESPE) Considere que um empréstimo de R$ 42.000,00 deva ser quitado em 8 prestações
anuais iguais e sucessivas, com a primeira prestação vencendo 1 ano após o empréstimo,
usando-se o sistema de amortização constante (SAC). Nessa situação, se a primeira prestação
for de R$ 8.400,00, então a taxa de juros compostos dessa operação será superior a 6% ao ano.
91. (FCC) Uma dívida correspondente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada por meio de
80 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da
dívida. O sistema de amortização utilizado foi o Sistema de Amortização Constante (SAC) a
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uma taxa de 2% ao mês. Se o valor da última prestação apresentou o valor de R$ 1.479,00,
então o valor da primeira prestação foi igual a, em R$,
a) 3.640,00.
b) 3.705,00.
c) 3.723,00.
d) 3.770,00.
e) 3.835,00
Valor Presente Líquido
𝑉𝑃𝐿 = −𝐴 +𝑃1
(1 + 𝑖)+
𝑃2
(1 + 𝑖)2+
𝑃3
(1 + 𝑖)3+ ⋯ +
𝑃𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
Ou
𝑉𝑃𝐿. (1 + 𝑖)𝑛 = −𝐴. (1 + 𝑖)𝑛 + 𝑃1. (1 + 𝑖)𝑛−1 + 𝑃2(1 + 𝑖)𝑛−2 + ⋯ + 𝑃𝑛
Avaliação do investimento:
Caso VPL>0: O investimento é viável.
Caso VPL<0: O investimento é inviável.
Caso VPL=0: O investimento é indiferente.
92. (Funrio) Um determinado projeto de investimento da empresa BITBIT apresenta o fluxo de
caixa representado abaixo:
Ano 0 ) – R$35.000.000,00
Ano 1 ) R$40.000.000,00
Ano 2 ) R$20.000.000,00
Ano 3 ) R$80.000.000,00
Ano 4 ) R$160.000.000,00
A opção que representa o VPL (Valor Presente Líquido) desse projeto, considerando uma taxa de
desconto de 100% ao ano, é
a) R$10.000.000,00.
b) R$5.000.000,00.
c) R$10.000.000,00.
d) R$15.000.000,00.
e) R$0,00.
93. Um determinado projeto apresenta o seguinte fluxo de caixa:
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Considerando uma Taxa Mínima de Atratividade – TMA de 12% ao ano, o Valor Presente Líquido –
VPL do projeto, em reais, é
a) 340,15 e o projeto é economicamente viável.
b) 340,15 e o projeto é economicamente inviável.
c) 910,71 e o projeto é economicamente viável.
d) 910,71 e o projeto é economicamente inviável.
e) 1.406,64 e o projeto é economicamente viável.
Taxa Interna de Retorno (TIR)
A taxa interna de retorno é a taxa que faz com que VPL=0.
94. (FCC)Considere o seguinte fluxo de caixa cuja taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano:
O valor de X é igual a:
a) R$ 11.000,00
b) R$ 11 550,00
c) R$ 13 310,00
d) R$ 13 915,00
e) R$ 14 520,00
95. (FGV)Observe o gráfico abaixo, no qual o Valor Presente Líquido (VPL) dos fluxos
financeiros de dois projetos, (I) e (II), varia com a taxa de desconto adotada:
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Considerando o gráfico, conclui-se que
a) (I) e (II) têm a mesma taxa interna de retorno.
b) (I) e (II) têm o mesmo VPL, com a taxa de desconto de 5% a.a.
c) a taxa interna de retorno de (II) é igual a 10% a.a.
d) o projeto (I) é preferível ao (II).
e) o projeto (II) é preferível ao (I).
96. A figura abaixo mostra o Valor Presente Líquido (VPL) de dois projetos, em função da taxa de
desconto usada. A taxa de juros de mercado para estes projetos é R.
Com base nessas informações, é possível concluir que
a) o projeto A é menos interessante que B, quando a taxa for R.
b) o VPL do projeto A é menos sensível às variações da taxa de juros do que o de B.
c) a taxa de juros de mercado deveria ser igual à TIR do projeto B.
d) à taxa de juros do mercado, o VPL de A é maior do que o de B.
e) É melhor fazer B, pois tem maior TIR.
97. (CESPE) O critério da taxa interna de retorno (TIR) consiste no cálculo da taxa de desconto (ou
juros) empregada para descontar o fluxo futuro de benefícios líquidos e que iguala a zero o
valor presente desses benefícios ou, em outras palavras, é a taxa de desconto que iguala o valor
presente dos benefícios de um projeto ao valor futuro dos seus custos (exclusive o investimento
inicial).
Payback
Payback é o período em que você recupera o capital de seu investimento.
98. Ao fundar uma pizzaria, João investiu inicialmente R$ 20.000,00 na compra de bens de
serviços para alavancar o seu negócio. No decorrer do tempo, verificamos a planilha da
empresa da data zero à data 5 (meses).
Data (tempo) R$
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0 -20.000
1 7.000
2 6.500
3 6.500
4 5.000
5 6.000
O payback de acordo com a tabela vale:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 4,5
99. Determine o tempo de retorno (payback) não descontado do projeto a seguir:
Tempo (anos) 0 1 2 3
Projeto -80 30 40 50
a) 2 anos
b) 2,2 anos
c) 2,5 anos
d) 2,8 anos
e) 3 anos
100. (Cesgranrio) Sejam dois projetos de investimento A e B, com os seguintes fluxos de
caixa:
Ano Projeto A Projeto B
0 -5.000 -5.000
1 3.500 2.500
2 1.500 1.600
3 1.200 1.800
Utilizando a interpolação linear, qual é o prazo de recuperação do investimento de ambos os projetos,
A e B, nessa ordem:
a) 3 e 3
b) 2 e 3
c) 2 e 2,4
d) 2 e 2,5
e) 2 e 2,8
Exercícios Complementares:
1. Um televisor é vendido em uma loja onde o comprador pode escolher uma das seguintes
opções:
I. R$ 5.000,00 à vista sem desconto;
II. R$ 1.000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4.500,00 em um mês após a data da
compra.
A taxa mensal de juro cobrada pela loja no pagamento da segunda opção, que vence em um
mês após a data da compra, é:
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a) 30%
b) 25%
c) 20%
d) 15%
e) *12,5%
2. (Esaf) Os capitais de R$ 2.500,00, R$3.500,00, R$4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros
simples durante o mesmo prazo às taxas médias mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%,
respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais.
a) 2,9%
b) 3%
c) 3,138%
d) 3,25%
e) *3,5%
3. (Esaf) Os capitais de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo
prazo, as taxas de juros simples de 6% ao mês, 4 % ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente.
Calcule a taxa média desses capitais.
a) 4,83% ao mês
b) 3,206% ao mês
c) 4,4167% ao mês
d) *4% ao mês
e) 4,859% ao mês
4. (FCC) Um investidor aplica 30% de seu capital a uma taxa de juros simples de 12% ao ano,
durante 18 meses. O restante do capital ele aplica a uma taxa de juros simples de 18% ao ano,
durante 20 meses. Se a soma dos montantes das duas aplicações é igual a R$ 31.600,00, então o
valor dos juros da segunda aplicação supera o valor dos juros da primeira aplicação em, em R$,
a) 3.600,00.
b) *3.900,00.
c) 4.200,00.
d) 4.500,00.
e) 4.800,00.
5. (FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00 a uma taxa de juros simples de
0,5% ao dia, ao final de 78 dias, é de:
a) *R$ 6.255,00
b) R$ 5.500,00
c) R$ 6.500,00
d) R$ 4.855,00
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e) R$ 5.750,00
6. Uma pessoa aplicou um capital no valor de R$ 15.000,00 a juros simples, por 6 meses, a uma
taxa de 12% ao ano. O montante obtido nessa aplicação ela aplicou a juros compostos, durante
2 meses, à taxa de 1% ao mês. A soma dos juros correspondentes das duas aplicações é igual a
a) R$ 1.600,00.
b) R$ 1.538,23.
c) R$ 1.339,18.
d) R$ 1.219,59.
e) R$ 1.200,00.
7. Um capital é aplicado à taxa de juros compostos de i ao ano, durante 2 anos, apresentando
então o montante M1 no final do período. Se este mesmo capital fosse aplicado à taxa de juros
simples também de i ao ano, durante o tempo t, apresentaria no final deste período o montante
M2. Sabe-se que, quando i = 10% ao ano, M1 = M2. O valor de t, em anos, é igual a:
a) 2,44
b) 2,4
c) 2,21
d) 2,2
e) *2,1
8. Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao
mês.
a) *60% ao ano
b) 30% ao semestre
c) 24% ao semestre
d) 10% ao trimestre
e) 6% ao bimestre
9. (ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de
juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem
do capital inicial, usando a convenção linear?
a) 46,11%
b) 48,00%
c) 41,85%
d) *44,69%
e) 50,36%
10. (ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio.
Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela
convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,41,5
=1,656502.
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a) 0,5%
b) 1%
c) *1,4%
d) 1,7%
e) 2,0%
11. Um capital de R$ 1.000.000,00 foi aplicado, a juros compostos, durante um ano, à taxa de 60%
a.a., com capitalização mensal. Qual o montante dessa aplicação? (R: M = R$ 1.795.852,00)
12. Qual a taxa efetiva trimestral correspondente a juros de 30% ao trimestre com capitalização
mensal?
a) 30%
b) 31%
c) 32,5%
d) 32,8%
e) *33,1%
13. Uma duplicata foi descontada em R$ 700,00, pelos 120 dias de antecipação. Se foi usada uma
operação de desconto comercial simples, com a utilização de uma taxa anual de desconto de
20%, o valor atual do título era de:
a) R$ 7 600,00.
b) R$ 8 200,00.
c) *R$ 9 800,00.
d) R$ 10 200,00.
e) R$ 10 500,00.
14. Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o
valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de
desconto simples por fora será igual a
a) 5%.
b) 6%.
c) 7%.
d) *8%.
e) 9%.
15. O valor do desconto de um título, em um banco, é igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se
que este título foi descontado 50 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de
desconto comercial simples e considerando a convenção do ano comercial. A taxa anual de
desconto proporcional é igual a
a) 12%
b) 15%
c) *18%
d) 20%
e) 24%
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16. (FGV) A representação abaixo corresponde ao fluxo de caixa de um projeto de investimento
com a escala horizontal em anos.
Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual a 10% ao ano e (X + Y) = R$ 10.285,00,
tem-se que X é igual a:
a) R$ 3.025,00
b) R$ 3.267,00
c) R$ 3.388,00
d) R$ 3.509,00
e) R$ 3.630,00
17. Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00 a vista ou financiado pelo sistema de
juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar esse
apartamento e propõe à Ana pagar os R$ 400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos
a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com
vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem considerar os
centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:
a) * R$ 220.237,00
b) R$ 230.237,00
c) R$ 242.720,00
d) R$ 275.412,00
e) R$ 298.654,00
18. Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma
parcela de R$ 200.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema
de pagamentos para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as
demais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6 % ao trimestre,
então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:
a) R$ 66.131,00
b) R$ 64.708,00
c) * R$ 62.927,00
d) R$ 70.240,00
e) R$ 70.140,00
19. (SRF) Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento
de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal
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do bônus de $1.000,00 e de cada cupom $ 60. Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar o
último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com
um ágio de 7,72% sobre o valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual
cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc.
a) 16%
b) 14%
c) 12%
d) *10%
e) 8%
20. (ESAF) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado no dia primeiro de junho e no último dia de
julho foi resgatado todo o montante de R$ 11.082,30. Nesse período, as taxas de inflação
foram, respectivamente:
Junho: 2%
Julho: 2,5%
A taxa real desse investimento, nesse período, foi de
a) 6,32%
b) *6,00%
c) 5,50%
d) 5,00%
e) 4,50%
21. (SRF) Um microcomputador é vendido pelo preço à vista de $ 2.000,00, mas pode ser
financiado com 20% de entrada e a uma taxa de juros de 96% a.a., segundo a tabela Price.
Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em 5 meses, o total de juros pagos pelo
comprador é de, aproximadamente:
a) *$403,65
b) $408,23
c) $410,74
d) $412,90
e) $420,23
(SEFIN) Utilize o seguinte enunciado para as questões 23 e 24:
A fim de expandir os seus negócios, certa pessoa consegue um financiamento de R$300.000 nas
seguintes condições:
Taxa de juros de 8% a.a., com pagamentos semestrais;
Amortização pelo SAC;
Prazo de amortização: 3 anos.
22. Nessas condições, é correto afirmar que os juros a serem pagos no terceiro pagamento
importam em:
a) R$ 14.000
b) R$ 12.000
c) R$ 10.000
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d) *R$ 8.000
e) R$ 6.000
23. O valor da quinta prestação deverá ser:
a) *R$ 54.000
b) R$ 55.000
c) R$ 56.000
d) R$ 57.000
e) R$ 58.000
24. (SEFAZ) Um equipamento é vendido através de um financiamento em doze prestações mensais
e iguais, sendo que a loja exige 20% sobre o preço à vista como entrada. A taxa de juros
compostos da loja é 18% ao ano, “Tabela Price”. A primeira prestação no valor de R$ 500,00,
vence um mês após a compra. O valor do equipamento, desprezados os centavos, e a taxa de
juros efetiva cobrada, em termos anuais, são, respectivamente: (Dados: 𝑆12¬1,5% =
13,041211; 𝑎12¬1,5% = 10,907505; (1,015)12 = 1,195618)
a) R$ 5.453,00 e 19,56%
b) R$ 5.453,00 e 18,56%
c) R$ 6.817,00 e 18,56%
d) *R$ 6.817,00 e 19,56%
e) R$ 27.269,00 e 18,56%
25. (SEFAZ) Com relação ao Sistema de Amortização Constante (SAC) e ao Sistema Price (SP),
podemos afirmar que:
a) No SAC, as prestações são constantes ao longo do tempo.
b) No SP, as amortizações são constantes ao longo do tempo.
c) No SAC, os juros são crescentes ao longo do tempo.
d) *No SP, as amortizações são crescentes ao longo do tempo.
26. A um investidor é oferecida a seguinte possibilidade de investimento: aplicar $10.000 hoje e
mais $5.000 daqui a 4 meses, devendo receber $12.000 daqui a 6 meses e mais $18.000 daqui a
12 meses. Considerando-se que o custo de oportunidade do capital para o investidor é de 10%,
pergunta-se: trata-se de um investimento aceitável? (R: não)
27. A tabela abaixo registra o fluxo de caixa anual de um projeto de investimento com duração de
4 anos. A terceira coluna fornece os respectivos valores atuais (na data 0) em função da taxa
mínima requerida de 10% ao ano.
VPL: Valor Presente Líquido.
Utilizando interpolação linear, obtém-se que, pelo método do Payback descontado, o tempo necessário
para recuperar o investimento é
a) * 2,2 anos.
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b) 2,4 anos.
c) 2,6 anos.
d) 2,8 anos.
e) 3,2 anos.