PB 1

UDESC2017/1

MATEMÁTICA

X

Comentário

r1

r2

r3

� �

� �

Se a reflexão ocorre em faces paralelas, perceba que r1

é paralelo a r3

�� devido à

propriedade geométrica dos ângulos alternos internos serem iguais.

E se a reflexão ocorre em faces adjacentes, perceba que r1

também será paralelo a r3

��. Logo, r1

e r3

�� serão sempre paralelos, independentemente do ângulo inicial do

feixe de laser.

2 3

UDESC2017/1

X

Comentário

sec

sec

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1 1x

tg x

x

cotg x

tg x

x

cosec cosec x + 1

c

2

oosec x

sec

cosec x

cosec x cosec xcos x

cos

2

2

2 2

2

2

tg x

x

sen x2

2

2

11

xx

.

1

1

1 2

2

2 2

2

sen x

sen x sen x

sen x

2 3

UDESC2017/1

X

Comentário

2

0 2 4 6 8 10

1

4

9

16

25

8

18

32

50

A

B

C

D

E

g(x)

g(x) = x

+ x + 1

g(0) = 0

+ 0 + 1 = 1 ponto A

g(2) = 2

2

2

2

4

4→

44

4

+ 2 + 1 = 4 ponto B

g(4) = 4

+ 4 + 1 = 9 ponto C

g(6)

2

→

→

= 6

+ 6 + 1 = 16 ponto D

g(8) = 8

+ 8 + 1 = 25

2

2

4

4

→

Soma das áreas dos triângulos:S = 2 + 8 + 18 + 32 + 50 = 110 u.a.

4 5

UDESC2017/1

X

Comentário

a = a . q

= . q

. = q

q =

q =

5 32

2

2

2

29

1027

29

271035

35

±

a = a . q

= .

=

n 5n 5

n 5

225

29

35

925

35

2 2

2

2

925

35

35

35

n 5

n 5

=

=

nn 52

n 5

22

5 4

9

n

n

Considerando mais os termos d e e, temos 11 termos.

4 5

UDESC2017/1

X

Comentário

2 2 3 27

3 4 4 44

4 5 6 59

x y z

x y z

x y z

(L )

(L )

(L

1

2

33

1 2

)

( 3 . L + 2 . L )

( 4 .

2 1 7

1 2 1

y z

y z LL + 3 . L )2 3

z = 3 e y = 5

Subst. em (L1) → 2x + 10 + 9 = 27 → x = 4

Logo, z < x < y.

6 7

UDESC2017/1

X

Comentário

( F ) v

v

13

23 3

4343

343

. R

. R) . 27R 27 . v1

(

( V ) D2 = a2 + b2 + c2 = 42 + 22 + 22 = 24 Como o paralelepípedo possui 4 diagonais de mesma medida, o produto delas será: D . D . D . D = D2 . D2 = 24 . 24 = 576.

( V ) v = . R . H = . (2r) . H = 4 . . r . H

v

cilindro2 2 2

con

ee2

cilindro

cone

2

2

= . . H

v

v4 . . r . H

. . H

13

13

1

r

r 22

6 7

UDESC2017/1

X

Comentário

(1) y x

x y

y

y

y

y

x

x

x

x

log

log

( ) ( )

24

24

4

4 4 4

4

4

4

4

4 2

4 2

4 2

2 4

Função inversa de (1)

(2) yx

xy

x y

2 .

2 .

log

log

log

2

2

2

44

44

24

4

y

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

44

2

4 2

2 2 4

2 4

2 4

2

2

2

2 2

22

42

12

4 .

.

( ))

( )

x

xy

4

4

4

2 4

Função inversa de (2)

(3) y x

x y

y

y

y

y

x

x

x

x

log ( )

log ( )

( )

4

4

2

2

2

2 8

2 8

2 8 4

2 2 8

2 2 8

22

882

2 42 1y x

Função inversa de (3)

8 9

UDESC2017/1

X

Comentário

Temos três tamanhos de mesas: P, M e G, em que cabem 1, 2 e 3 vasos, respectivamente. Como os vasos azul e verde devem estar lado a lado na mesma mesa, temos:

i) os dois vasos na mesa M, ouii) os dois vasos na mesa G.

Calculando o total de possibilidades de i:

2 1.

Mvaso azul

e verde

4

P

3 2 1 = 48

G

. . 3!.

Troca a posição

das mesas

= 288

Calculando o total de possibilidades de ii:

8 9

UDESC2017/1

X

10 11

UDESC2017/1

Comentário

Temos o quadrado ABCD inscrito na circunferência x2 + y2 – 6x – 10y + 25 = 0, de centro C1 (3; 5) e raio r1 = 3.Temos também o quadrado EFGH circunscrito à circunferência x2 + y2 – 4x – 10y + 4 = 0, de centro C2 (2; 5) e raio r2 = 5.

–3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

x

A

D

C

B

H

E

G

F

C (2,5)2 raio r = 5

2

I. Verdadeira.

O lado do quadrado ABCD mede 3 2 u.c., pois d d dAB AB AB ( ) ( )5 2 3 0 3 3 3 22 2 2 2 u.c.

Portanto, a área do ABCD mede 18 u.a.

O lado do quadrado EFGH mede 10 u.c., pois d d dEF EF EF ( ) ( ) ( )3 7 0 0 10 0 102 2 2 2 u.c.

Portanto, a área do EFGH mede 100 u.a.

Daí segue que a diferença entre as áreas é de 100 – 18 = 82 u.a.

II. Verdadeira. Calculando a área do triângulo EAB:

D

3 0 3 3

0 5 2 0D = –15 + 0 + 0 – 0 – 15 + 6

D = –24

Área = |D|2

Área =| 24|

2 u.a.

242

12

III. Falsa. O perímetro do quadrado ABCD mede 12 2 e o do quadrado EFGH mede 40. Portanto, a soma dos perímetros vale (40 + 12 3 ) u.c. = 4 . (10 + 3 3 ) u.u.

10 11

UDESC2017/1

X

Comentário

Temos que A . B =

2 10

2 2. Então, devemos resolver o sistema de equações matriciais:

x y

x y

x

1 5

1 1

21 3

2 2

1 13

4 4

y

0 8

3 3

det (y) = 0 – 24 = –24

Portanto, det (x) + det (y) = –72.

det (x) = 4 – 52 = –48

12 13

UDESC2017/1

X

Comentário

Temos três padrões de vídeos:

Cinema: 24 quadros/s. 1

242

243

24; ; ; ...

TV NTSC: 30 quadros/s. 1

302

303

30; ; ; ...

TV PAL: 25 quadros/s. 1

252

253

25; ; ; ...

I. Verdadeiro. 16

de segundo é múltiplo de 124

e de 1

30.

II. Falso. As três câmeras geram o 2o quadro idêntico após 1 segundo.

III. Verdadeiro. Como não existe uma fração de 1 segundo que seja múltipla de 1

24e

125

, o 2o quadro idêntico será após

1 segundo.

IV. Verdadeiro. A cada 1 segundo, as câmeras NTSC e PAL geram 5 quadros idênticos. Portanto, em 1 hora = 3600 s, elas irão gerar 18 000 quadros idênticos + 1 (momento inicial) = 18 001

V. Falso. As três câmeras geram o 2o quadro idêntico após 1 segundo.

12 13

UDESC2017/1

X

Comentário

f(x) = |x2 – 1|

–2 –1 1 2 3

1

1

2

2

3

� Im = [0;+ [�0

� Im = [0;3]

–2–2 –1 10 2

� Im = ]0;+ [�–2–2 –1 10 2

� Im = [0;3]

–2–2 –1 10 2

�

�

Im

Im

= [0;1[

= [0;+ [�

–2

–2

–2

–2

–1

–1

1

1

0

0

2

2

A

B

A–B

B–A

A B�

B A�

Por inspeção, temos: f(A ∪ B) ⇒ Im = [0; +∞[ e f(A) ∪ f(B) ⇒ Im = [0; +∞[ ∪ Im = [0; 3] ⇒ Im = [0; +∞[

Portanto, f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B).

14 15

UDESC2017/1

X

Comentário

Os múltiplos de 9 com quatro algarismos são: (1008; 1017; 1026; ...; 9999), que é uma P.A. de 1000 termos, pois:

an = a1 + (n – 1) . r9999 = 1008 + (n – 1) . 98991 = (n – 1) . 9999 = n – 1n = 1000

A soma dessa P.A. é calculada por:

sa a

s

s

s

nn

( )

( )

1

1000

1000

21008 9999

211007

. n

. 1000

. 500

11000 55 003 500

que é divisível por 6, pois é divisível por 2 (par) e por 3 (soma dos algarismos é múltiplo de 3) e, assim, deixa resto zero na divisão.

14 15

UDESC2017/1

X

Comentário

sen 60 = o y

y

10

5 3=

cos 60 = o x

x

10

5=

AD = 10

A

A

( )

( )

)

10 4 3 102

20 4 3

3

6

. 3

A = 12 (5 +