MATEMÁTICA 1 PARA ARQUITECTURA

SESIÓN 3: LA PARÁBOLA: FORMA ORDINARIA ELEMENTOS BÁSICOS

Departamento de Ciencias

¿QUE PREDOMINA EN EL DISEÑO DE ESTOS PUENTES?

Responda las siguientes preguntas:

• ¿Qué predominan en los diseños de Gaudí?

• ¿Qué es un sección cónica?

• ¿Qué secciones cónicas conoces?

• ¿Qué elementos necesito para determinar la ecuación de una parábola?

• ¿Cómo se dibuja una parábola? • ¿Cómo se obtiene la ecuación de la

parábola en el Dr. Geo?

¿Qué forma tiene el puente?, ¿Cuánto miden cada uno de los soportes intermedios?

¿Qué teoría se utiliza para resolver este problema?

Un arquitecto diseña un puente, como se ve en la figura. Determine la ecuación que expresa el soporte del puente.

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve ejercicios en los que obtiene analíticamente la ecuación de la parábola y los aplica al diseño arquitectónico

CONTENIDOS

• La Parábola

• Elementos de la parábola

• Ecuaciones de la parábola

• Aplicaciones de la parábola

LA PARÁBOLA

Una parábola es el conjunto de puntos que se encuentran a una

misma distancia de un punto fijo llamado Foco y una recta fija llamada

Directriz.

• Al punto medio entre el foco y la directriz se le dice Vértice.

• La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, se le

dice eje de simetría ( o Eje focal )

𝒑

𝒑

• El parámetro de una parábola denotado por: p, es un número real

cuyo módulo representa la distancia entre el foco y el vértice de la

parábola

x

y

𝑽(𝟑, 𝟐)

EJEMPLO

𝑭(𝟑, 𝟑)

El parámetro de la siguiente parábola es 𝑝 = 1, encuentre las coordenadas

del foco y la ecuación de la directriz

𝑫: 𝒚 = 𝟏

Eje

focal

Recuerda: El foco y vértice son

puntos, tienen COORDENADAS

La directriz es una recta, tiene ECUACIÓN

x

y

𝑽(𝟑, 𝟐)

EJEMPLO

𝑭(𝟑, 𝟎)

El parámetro de la siguiente parábola

es 𝑝 = −2, encuentre las coordenadas

del foco y la ecuación de la directriz

𝑫: 𝒚 = 𝟒

Eje

focal

x

y

𝑽(𝟐, 𝟑)

¿Cuál es el parámetro de la parábola

mostrada?

𝑫: 𝒚 = −𝟏

Eje

focal

Respuesta: 𝐩 =2

𝑽

POSICIONES DE LA PARÁBOLA

Cuando el eje focal es paralelo al eje Y

Eje

focal

𝑭

𝑽

Eje

focal

𝑭

𝐩 > 𝟎

𝐩 < 𝟎

Cuando el eje focal es paralelo al eje X

𝑽

Eje focal

𝑭

𝑽

Eje focal

𝑭

𝐩 > 𝟎

𝐩 < 𝟎

CASO I: 𝐩 > 𝟎

La gráfica es:

x

y

𝒉

𝒌 𝑽(𝒉, 𝒌)

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

(𝒙 − 𝒉)𝟐= 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)

𝑭(𝒉, 𝒌 + 𝒑)

𝒑

La ecuación de la parábola con vértice 𝑉(ℎ, 𝑘) y eje focal paralelo al eje 𝑌, es:

𝒑

𝑫: 𝒚 = 𝒌 − 𝒑 (𝒉, 𝒌 − 𝒑)

Eje

focal

CASO II: 𝐩 < 𝟎

x

y

𝒉

𝒌 𝑽(𝒉, 𝒌)

𝑭(𝒉, 𝒌 − 𝒑)

𝒑

𝒑

𝑫: 𝒚 = 𝒌 + 𝒑 (𝒉, 𝒌 + 𝒑)

Eje foca

l

x

y

𝑽(𝟑, 𝟐)

EJEMPLO

𝑭(𝟑, 𝟎)

Encuentre la ecuación de la parábola

Eje

focal

x

y

𝑽(𝟐, 𝟑)

𝑫: 𝒚 = −𝟏

Eje

focal

Encuentre la ecuación de la parábola

(𝒙 − 𝟑)𝟐= 𝟒(−𝟐)(𝒚 − 𝟐)

(𝒙 − 𝟑)𝟐= −𝟖(𝒚 − 𝟐)

(𝒙 − 𝟐)𝟐= 𝟒(𝟒)(𝒚 − 𝟑)

(𝒙 − 𝟐)𝟐= 𝟏𝟔(𝒚 − 𝟑)

CASO I: 𝐩 > 𝟎

La gráfica es:

x

y

𝒉

𝒌 𝑽(𝒉, 𝒌)

(𝒚 − 𝒌)𝟐= 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)

𝑭(𝒉 + 𝒑, 𝒌)

𝒑

La ecuación de la parábola con vértice 𝑽(𝒉, 𝒌) y eje focal paralelo al eje 𝑿, es:

𝒑

𝑫: 𝒙 = 𝒉 − 𝒑

(𝒉 − 𝒑, 𝒌) Eje focal

Ecuaciones de la Parábola

CASO II: 𝐩 < 𝟎

x

y

𝒉

𝒌 𝑽(𝒉, 𝒌) 𝑭(𝒉 + 𝒑, 𝒌)

𝒑 𝒑

𝑫: 𝒙 = 𝒉 + 𝒑

(𝒉 − 𝒑, 𝒌) Eje focal

𝑽(𝟓, 𝟕)

Encuentre la ecuación de la parábolas mostradas

𝑫: 𝒙 = 𝟏

Eje focal

Ejemplos

𝑽(𝟏𝟎, 𝟓) 𝑭(𝟐, 𝟓)

Eje focal

𝐩 = 𝟒

(𝒚 − 𝟕)𝟐= 𝟒(𝟒)(𝒙 − 𝟓)

𝐩 = −𝟖

(𝒚 − 𝟓)𝟐= 𝟒(−𝟖)(𝒙 − 𝟏𝟎)

𝑽(𝟐, 𝟑)

Para encontrar la ecuación de la parábola, a partir de datos literales, a veces es necesario bosquejar la gráfica

Eje focal

Ejemplos

𝑭(𝟐, 𝟕)

𝐩 = 𝟒

(𝒙 − 𝒉)𝟐= 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)

Ejemplo 1

Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en 2, 3 y foco en (2, 7)

Bosquejamos

Respuesta: P: (𝒙 − 𝟐)𝟐= 𝟏𝟔(𝒚 − 𝟑)

Eje focal

𝑭(𝟑, 𝟕)

𝐩 = −𝟐

(𝒚 − 𝒌)𝟐= 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)

Ejemplo 2

Encuentre la ecuación de la parábola con foco en 3, 7 y directriz 𝑥 = 7

Bosquejamos

Respuesta: P: (𝒚 − 𝟕)𝟐= −𝟖(𝒙 − 𝟓)

𝑫: 𝒙 = 𝟕

𝐕 = (𝟓, 𝟕)

𝑽(𝟓, 𝟕)

𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐

𝑽(𝟐, 𝟒)

A partir de la ecuación de una parábola, se pueden deducir todos sus elementos

Eje focal

Ejemplos

𝑭(𝟐, 𝟔)

Ejemplo 1

A partir de la parábola definida por: 𝑃: (𝑥 − 2)2= 8(𝑦 − 4)

Encuentre: El valor del parámetro, las coordenadas del vértice, foco y la ecuación de la directriz

4𝑝 = 8 → 𝑝 = 2

Bosquejamos

Ejemplo 2

𝑉 = (2, 4)

Como el parámetro es positivo, la parábola se abre hacia arriba

𝑝 = 2

A partir de la parábola definida por: 𝑃: (𝑦 − 3)2= −12(𝑥 − 6)

Encuentre: El valor del parámetro, las coordenadas del vértice, foco y la ecuación de la directriz

𝐹 = (2, 6)

𝑫: 𝒚 = 𝟐 𝑝 = 2

4𝑝 = −12 → 𝑝 = −3

𝑉 = (6, 3)

Bosquejamos

𝑽(𝟔, 𝟑) Eje focal

Como el parámetro es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda

𝑝 = −3

𝑭(𝟑, 𝟑) 𝑝 = −3

𝑫: 𝒙 = 𝟗

A partir de la gráfica de una parábola, es posible obtener su ecuación, sin embargo NO SE DEBEN SUPONER datos que no se encuentren debidamente indicados

Uso de la ecuación de la parábola

Ejemplo 1

¿Cómo encontramos la ecuación de ésta parábola?

Del gráfico se pueden deducir las coordenadas del vértice: 𝑉 = (2,2), pero no ni el Foco ni el vértice

Necesitamos un punto de paso

(6, 4) (−2, 4)

(2, 2)

Planteamos la ecuación: (𝑥 − ℎ)2= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

(𝑥 − 2)2= 4𝑝(𝑦 − 2)

Dado que (6, 4) pertenece a la parábola:

(6 − 2)2= 4𝑝(4 − 2)

𝑝 = 2 (𝑥 − 2)2= 8(𝑦 − 2)

Uso de la ecuación de la parábola

Ejemplo

Encuentre el valor de 𝑦1 si la curva es una parábola, V es el vértice y A es un punto de paso de la parábola

𝑽(𝟎, 𝟔)

𝑨(𝟒, 𝟓)

𝑩(𝟐, 𝒚𝟏)

La ecuación de la parábola tiene la forma:

(𝑥 − ℎ)2= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

Con el punto de paso 𝐴(4, 5) hallamos el parámetro:

(4 − 0)2= 4𝑝(5 − 6)

Reemplazamos el vértice: V(0, 6) (𝑥 − 0)2= 4𝑝(𝑦 − 6)

𝑝 = −4

Obtenemos la ecuación:(𝑥 − 0)2= −16(𝑦 − 6)

Ahora calculamos 𝑦1 usando la ecuación obtenida, reemplazando el punto 𝐵(2, 𝑦1):

(2 − 0)2= −16(𝑦1 − 6)

Por lo tanto:𝑦1 =23

4

Uso de la ecuación de la parábola

Ejemplo

Encuentre el valor de 𝑦1 si la curva es una parábola, V es el vértice y A es un punto de paso de la parábola

𝑽(𝟒, 𝟏)

𝑨(−𝟏, 𝟓)

𝑩(𝟏, 𝒚𝟏)

La ecuación de la parábola tiene la forma:

(𝑦 − 𝑘)2= 4𝑝(𝑥 − ℎ)

Con el punto de paso 𝐴(−1, 5) hallamos el parámetro:

(5 − 1)2= 4𝑝(−1 − 4)

Reemplazamos el vértice: V(4, 1) (𝑦 − 1)2= 4𝑝(𝑥 − 4)

𝑝 = −4

5

Obtenemos la

ecuación:(𝑦 − 1)2= −16

5(𝑥 − 4)

Ahora calculamos 𝑦1 usando la ecuación obtenida, reemplazando el punto 𝐵(1, 𝑦1):

(𝑦1 − 1)2= −16

5(1 − 4)

Por lo tanto:𝑦1 = −2.1 Observe que se ha tomado la raíz cuadrada negativa!

Uso de la ecuación de la parábola

Ejemplo

Encuentre la longitud del segmento AB, si la curva mostrada es una parábola

𝑽(𝟎, 𝟎)

𝑪

PRIMERO: Ubicar el sistema de coordenadas, lo más recomendable es ubicar el origen en el vértice

Con las distancias señaladas ubicamos un punto de paso y otras coordenadas

Reemplazamos el punto de paso: C(128, −64) (128 − 0)2= 4𝑝(−64 − 0)

𝑝 = −64

Obtenemos la ecuación: 𝑥2 = −256𝑦

Ahora calculamos 𝑦1 usando la ecuación obtenida, reemplazando el punto 𝐵(25, 𝑦1):

(25)2= −256𝑦1

Por lo tanto:𝑦1 = −2.44

256 m

64 m

La ecuación de la parábola tiene la forma: (𝑥 − 0)2= 4𝑝(𝑦 − 0)

𝑥2 = 4𝑝𝑦

𝑨

𝑩

25 m

𝑪(𝟏𝟐𝟖, −𝟔𝟒)

128 m

-64 m

𝑩(𝟐𝟓, 𝒚𝟏)

(𝟐𝟓, −𝟔𝟒)

𝐴𝐵 = 𝑦1 − −64 = −2.44 + 64 = 61.56 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 61.56 𝑚

x

y

Aplicación

El arco de la foto tiene la forma de una parábola, la altura de su centro es de 15 pies y tiene en su base una luz de 10 pies. Determine la altura del arco a la distancia de 2 pies de un extremo.

𝑽(𝟎, 𝟏𝟓)

𝑨(𝟓, 𝟎)

𝟐 𝟏𝟎 𝒇𝒕

𝟏𝟓 𝒇𝒕 𝒚𝟏

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝟗. 𝟔 𝒇𝒕)

Un puente colgante de 120m de longitud tiene un arco parabólico sostenido por torres de igual altura, si la directriz se encuentra en la superficie del suelo y el punto más bajo de cada cable está a 15m de altura de dicha superficie, a) Determine la ecuación de la parábola b) Calcule la altura de las torres.

Aplicación

𝑫𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛

𝑷(𝟔𝟎, 𝒚)

𝟏𝟓 = 𝟐𝒑

Aplicación de la ecuación de la Parábola

Una carretera atraviesa un cerro a través de un túnel con forma de un arco parabólico, que tiene 4 metros de base y 6 metros de altura. Cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 2m de ancho, para pasar sin atorarse del túnel

𝟒 𝒎

6 𝒎

Un arquitecto diseña un puente, como se ve en la figura. Determine la ecuación que expresa el soporte del puente.

Resolvamos el problema inicial

• ¿Qué aprendí en esta sesión?

• ¿Cómo resolví las dificultades encontradas en el problema inicial?

• ¿Qué otros temas se relaciona con la temática de hoy?

• ¿Cómo puedo mejorar mi aprendizaje?

METACOGNICIÓN