Matematica

lezione del 10 aprile 2013appunti

eventi e

PROBABILITÀ

prova risultato elementare

spazio S delle probabilità = insieme di tutti i possibili risultati

l’evento è un sottoinsieme A dello spazio S, cioèun insieme di risultati possibili.

Diremo che in una prova si verifica l’evento A, seil risultato “a” della prova appartiene ad A (favorevole)

Si può definire la probabilità che si verifichi l’evento A come il quoziente fra il numero di risultati favorevolie il numero di risultati possibili della prova:

quindi

p A m

n

0p 1

esempi

• in un vassoio ci sono 100 caramelle di cui 35 all’arancia, 33 alla menta e 32 al limone. Prendendo a caso una caramella dal vassoio, qual è la probabilità che non sia alla menta?

• in questo caso si chiede la probabilità che NON si verifichi l’evento A:

• e quindi

p(A )133

10067

100

p A 1 p(A)

esempi

Si costruisce un grafico ad alberoordine di estrazione: numero coincidenze

1- 2 – 3 1 – 2 - 3 3- 3 – 2 1 – 3 – 2 1

2- 1 – 3 2 – 1 – 3 1- 3 – 1 2 – 3 – 1 0

3- 1 – 2 3 – 1 – 2 0- 2 – 1 3 – 2 – 1 1

riassumendo: 0 coincidenze con 2 casi favorevoli su totale 6 1 coincidenze con 3 casi favorevoli su totale 6 2 coincidenze con 0 casi favorevoli su totale 6 3 coincidenze con 1 casi favorevoli su totale 6

il triangolo di Pascal fornisce la probabilità delle diverse combinazioni, nel caso in cui per ogni prova ci siano due diversi risultati (naturalmente con pari valore) quando l’esperimento è ripetuto un numero fissato di volte.C’è poi un modello algebrico che corrisponde al triangolo di Pascal ed è il binomio di Newton:Dall’algebra elementare si conoscono le formule per due casi particolari, lo sviluppo del quadrato di un binomio e del cubo di un binomio.

a b n

Si costruisce una tabella “prodotto cartesiano”

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

La probabilità di avere somma 4 è il risultato della divisione tra il numero di casi favorevoli (caselle con somma 4) e il numero totale di combinazioni (il numero totale di caselle con la singola somma)

La probabilità di avere somma inferiore a 5 è il risultato della divisione tra il numero di casi favorevoli (caselle con somma 2, 3,4) e il numero totale di combinazioni (il numero totale di caselle con la singola somma)

p(4)4

361

9

p(4)6

361

6

probabilità composta

• Se gli eventi sono più d’uno, la probabilità che si verifichino entrambi è data dal prodotto delle singole probabilità.

gli eventi sono indipendenti (quello che esce da un dado non condiziona l’altro

p A 26

p B 26

p A p B 19

• Da un mazzo di 40 carte (10 cuori, 10 quadri, 10 fiori, 10 picche) se ne estraggono tre; qual è la probabilità che siano tutte e tre di fiori, supponendo di rimettere la carta estratta nel mazzo?

• L’esito di ciascuna prova è indipendente dall’esito precedente:

p A 1040

10

4010

401

4

3

1

64

a. 7/10b. 3/247c. 3/37d. 11/247e. 3/40

Da un mazzo di 40 carte (10 cuori, 10 quadri, 10 fiori, 10 picche) se ne estraggono tre; qual è la probabilità che siano tutte e tre di fiori, supponendo di non rimettere la carta estratta nel mazzo?

questa volta gli eventi sono dipendenti …., l’uscita di “fiori” nelle estrazioni successive è condizionata dall’esito precedente

A ritardo davanti a scuola, B ritardo per la sosta al bar sono due eventi indipendenti quindi la probabilità di fare ritardo sarà data dalla somma delle due probabilità.A sua volta il ritardo B è condizionato dalla puntualità davanti a scuola ( 2 su 3), quindi:

Di conseguenza l’evento contrario, ossia la puntualità sarà:

Luca entra puntualmente in classeun giorno su due, un giorno sì e un

giorno no!!

p(ritardo)1

32

31

43

61

2

p(puntuale)11

21

2

Si poteva risolvere il problema con le frazioni o con il m. c. m.

consideriamo 12 mattine (m. c. m. di 3 e 4):• 4 mattine (1 ogni 3) Luca fa ritardo davanti a scuola• 8 mattine (12 – 4) Luca è puntuale davanti a scuola• 2 mattine (1 su 4 delle 8 puntuali) fa ritardo al bar• 6 mattine (8 – 2) Luca è puntuale in classe• in conclusione Luca è puntuale 6 mattine su 12, che

corrisponde a ½.

• Si estrae una carta da un mazzo di 52. Qual è la probabilità che questa carta sia una “figura nera” ?

Probabilità condizionata:p(A) . p(B) =(12/52)(6/12)=3/26