MOROZOVSCHI VALENTINAGIMNAZIUL CORNEŞTI

01.01.20142014

MATEMATICA ÎN GIMNAZIUPROBLEME, EXERCIŢII, TESTE

MANUAL PENTRU PROFESORI

Argument

,, Un elev nu este un vas pe care trebuie să-l umpli, ci o flacără pe care trebuie să o aprinzi...”

Societatea prezentului, dar mai ales a viitorului, se circumscrie unui timp al informaţiei, al complexităţii. De aceea, investiţia în inteligenţa, creativitatea şi capacitatea de inovare a indivizilor, a grupurilor, va fi extrem de rentabilă în viitor. Copilul este un proiect “aruncat” în lume, aflat într-o stare de “facere”, pentru ca apoi, devenit adult, să se formeze continuu de-a lungul vieţii. Rolul învăţătorului în procesul de modelare a omului este poate cel mai important. Punându-şi elevii în situaţii variate de instruire, el transformă şcoala “într-un templu şi un laborator” (M. Eliade ).Şcoala nu trebuie înţeleasă ca fiind locul unde profesorul predă şi elevii ascultă. Învăţarea devine eficientă doar atunci, când elevii participă în mod activ la procesul de învăţare. Matematica este obiectul care generează la marea majoritate a elevilor eşecul şcolar. De aceea profesorul de matematică trebuie să creeze un climat instituţional favorabil folosind diverse metode moderne care să-l determine pe elev să se implice activ în procesul instructiv - educativ. Toate situaţiile şi nu numai metodele active propriu-zise în care elevii sunt puşi şi care îi scot pe aceştia din ipostaza de obiect al formării şi-i transformă în subiecţi activi, coparticipanţi la propria formare, reprezintă forme de învăţare activă. "Achiziţia unei formaţii matematice - spunea academician Nicolae Teodorescu - trebuie să fie, în mod integral un rezultat al activităţii elevilor. Este nepedagogic confruntarea dintre elev şi o matematică gata făcută şi trebuie aplaudată ideea fundamentării învăţământului matematicii pe activitatea spontană a elevului. Dar, pentru aceasta, elevul trebuie învăţat să analizeze situaţii reale şi să construiască modele care derivă din acestea, pentru a le matematiza. Plecând de la realitate şi străbătând el însuşi, ca explorator, toate etapele, elevul poate ajunge să aplice matematica la realitate."

"Tot ce este gândire corectă este sau matematică, sau susceptibilă de matematizare." 

( Grigore Moisil )

1

Obiective Promovarea strategiilor ce asigură stimularea creativităţii în şcolile

din Republica Moldova şi sporirea interesului pentru disciplina Matematică;

Diseminarea practicilor pozitive în utilizarea strategiilor didactice interactive, dezvoltarea unui învăţământ centrat pe elev şi orientat spre formarea capacitatilor cognitive, creative şi acţionale;

Încurajarea cadrelor didactice în utilizarea unor strategii didactice inovative, pentru a răspunde nevoilor elevilor şi societăţii;

Promovarea bunelor practici privind integrarea tehnologiilor multimedia în şcoală;

Inovaţii în educaţie, auxiliare didactice, soft-uri educaţionale proprii, reviste şcolare;

Încurajarea şi evidenţierea caracterului formativ al actului didactic; Deprinderea elevilor cu munca de cercetare; Familiarizarea elevilor cu munca de selectare a materialului pentru

realizarea unei lucrări ştiinţifice; Coordonarea elevilor pentru întocmirea unei lucrări ştiinţifice; Formarea deprinderii de muncă individuală a elevilor; Sporirea creativităţii prin munca individuală; Prezentarea unei lucrări ştiinţifice; Dobândirea deprinderii de a se prezenta în faţa unui public.

2

Scopul manualului:

"Învătând matematică, înveţi să gândeşti." (Grigore Moisil)

Modernizarea lecţiilor de matematică folosind metode active de lucru; Prilejuirea schimburilor de experienţă în domeniul strategiilor

didactice interactive; Valorizarea şi promovarea demersurilor didactice şi iniţiativelor de

succes; Perfecţionarea deprinderii de a asimila matematica în maniera

modernă, solicitarea abilităților intelectuale și stimularea imaginației creatoare;

Realizarea un vast schimb de experinţă între profesori cu discipline de predare diferite.

Promovarea imaginii şcolii.

3

Clasa a V-aSubcompetenţe:

1.1. Identificarea caracteristicilor numerelor naturale şi a formei de scriere a unui număr natural în contexte variate.1.2. Aplicarea operaţiilor aritmetice şi a proprietăţilor acestora în calcule cu numere naturale.1.3. Utilizarea de algoritmi relevanţi pentru efectuarea operaţiilor cu numere naturale şi pentru divizibilitatea cu 10, 2 şi 5.1.4. Rezolvarea ecuaţiilor de tipul: x±a=b; a±x=b; x×a=b, (a≠0, a – divizor al lui b); x:a=b (a≠0); a:x=b (x≠0, b – divizor al lui a) utilizînd proprietăţile operaţiilor aritmetice studiate şi algoritmul de determinare a componentei necunoscute în cadrul operaţiei indicate.1.5. Estimarea rezultatelor unor calcule cu numere naturale.1.6. Completarea succesiunii de numere asociate după reguli identificate prin observare şi/sau indicate.1.7. Descrierea activităţilor, precizarea metodelor şi/sau a operaţiilor utilizate în rezolvarea unei probleme.1.8. Transpunerea unei situaţii reale şi/sau modelate în limbaj matematic, rezolvarea problemei obţinute utilizînd mulţimi, operaţii cu mulţimi, ecuaţii, organizarea datelor şi interpretarea rezultatului.1.9. Comunicarea în cadrul activităţilor de învăţare în grup.1.10. Interpretarea unor contexte uzuale şi/sau matematice utilizînd limbajul mulţimilor, relaţiilor şi a operaţiilor cu mulţimi.

4

Domeniul: Numere şi operaţii cu numere№ Standard Indicatori gimnaziu1 Identifică şi aplică numere, modalităţile de reprezentare a

numerelor, relaţiile dintre numere, sisteme de numeraţii.Elevul:1.1. Recunoaște şi aplică în diverse contexte numere scrise cu cifre arabe sau cu cifre romane.1.2. Argumentează cum se schimbă valoarea cifrei arabe în funcţie de poziţia acesteia în numărul scris în sistemul zecimal de numeraţie.1.3. Identifică numere naturale, întregi, raţionale (fracţii ordinare, numere zecimale, numere mixte) şi iraţionale utilizate în situaţii reale şi/sau modelate;1.4. Clasifică după unul sau mai multe criterii implicite sau explicite numere naturale, fracţii ordinare, numere zecimale, numere întregi, numere raţionale, numere iraţionale, numere reale.1.5. Recunoaște şi reprezintă numere reale în diverse forme echivalente.1.6. Reprezintă numere reale pe axă şi determină poziţia lor aproximativă pe axa numerelor.1.7. Compară, ordonează, aproximează numere reale.1.8. Utilizează numere reale în rezolvări de probleme, inclusiv în calcule cu vector1.9. Compară, ordonează, aproximează numere reale, utilizînd diverse modalităţi cunoscute.

2 Efectuează operaţii cu numere, utilizează proprietăile operaţiilor şi a relaţiilor dintre operaţii în contexte diverse.

2.1. Recunoaște în diverse contexte operaţiile studiate (adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea, ridicarea la putere cu exponent întreg, extragerea rădăcinii pătrate) cu numere reale şi a proprietăţilor operaţiilor utilizate.2.2. Justifică aplicarea operaţiei respective, a proprietăţilor utilizate cu calcule în rezolvări de probleme, inclusiv a problemelor de aritmetică.2.3. Efectuează calcule cu numere reale utilizînd relaţiile dintre operaţii, proprietăţile, ordinea operaţiilor, semnificaţia parantezelor, modulul numărului real (întreg, raţional) şi proprietăţile acestuia.2.4. Calculează valoarea expresiei numerice date sau obţinute, utilizînd proprietăţile operaţiilor studiate şi identificînd ordinea efectuării operaţiilor corespunzătoare.2.5. Aplică operaţia adecvată şi proprietăţile raţionale în efectuarea de calcule cu numere reale.

3 Calculează fluent şi utilizează calculele cu numere în situații reale şi/sau modelate.

3.1. Elaborează şi aplică strategii pentru efectuarea calculelor respective cu numere reale.3.2. Efectuează fluent, mintal sau în scris, calcule simple cu numere reale.3.3. Aplică în situaţii reale şi/sau modelate diverse tehnici, instrumente şi metode de calcul, inclusiv estimările, aproximările, rotunjirile, calculul mintal, calculul scris, calculatorul.3.4. Selectează tehnicile, instrumentele şi metodele adecvate pentru efectuarea calculelor cu numere reale în situaţii reale şi/sau modelate.3.5. Elaborează şi utilizează strategii şi tehnologii de estimare a rezultatelor calculelor cu numere reale.3.6. Argumentează semnificaţia rezultatelor obţinute în calcule cu numere reale.3.7. Investighează valoarea de adevăr a unei afirmaţii referitoare la calcule cu numere rea-le.

4 Utilizează algoritmi relevanţi pentru optimizarea calculelor. 4.1. Compune şi descompune numere naturale în termeni zecimali, în produs de factori primi.4.2. Utilizează adecvat criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9, 10 în situaţii reale şi/sau modelate.4.3. Elaborează, aplică şi analizează algoritmi relevanţi de calcul cu numere naturale, fracţii, numere zecimale, numere întregi, numere mixte, numere iraţionale, numere reale.4.4. Aplică algoritmul de descompunere a numerelor naturale în produs de puteri de numere prime în diferite contexte.4.5. Utilizează algoritmii pentru determinarea c.m.m.d.c. (cel mai mare divizor comun), c.m.m.m.c.(cel mai mic multiplu comun) a două numere naturale în rezolvări de probleme.4.6. Calculează valoarea rădăcinii pătrate dintr-un număr raţional nenegativ utilizînd al-goritmul sau calculatorul.4.7. Utilizează calculatorul pentru a optimiza calculele cu numere.4.8. Justifică aplicarea algoritmului respectiv în calcule cu numere, recurgînd la argumentări, exemple, contraexemple.

1

Exemple de activităţi desfăşurate cu elevii pe baza aplicării metodelor de

învăţare activ-participative în lecţiile de matematică din gimnaziu:

Capitolul I: Numere naturale 1. Scrierea şi citirea numerelor naturale. Şirul numerelor naturale. 2. Reprezentarea numerelor naturale pe axă. 3. Compararea şi ordonarea numerelor naturale. 4. Operaţii cu numere naturale: adunarea, scăderea, înmulţirea (factorul al doilea

este un număr cel mult de trei cifre) şi împărţirea (împărţitorul este un număr cel mult de două cifre), împărţirea cu rest.

5. Ordinea efectuării operaţiilor. 6. Factor comun. 7. Divizor. Multiplu. Divi-zibilitatea cu 10, 2 şi 5. 8. Numere pare şi numere impare. 9. Rezolvarea în mulţimea numerelor naturale a ecuaţiilor de tipul: x±a=b; a±x=b;

x×a=b, (a≠0, a – divizor al lui b); x:a=b (a≠0); a:x=b (x≠0, b – divizor al lui a) utilizînd proprietăţile operaţiilor aritmetice studiate şi algoritmul de determinare a componentei necunoscute în cadrul operaţiei indicate.

10. Compunerea de ecuaţii şimple şi probleme care conduc la utilizarea operaţiilor studiate (inclusiv elemente de organizare a datelor).

11. Noţiunea de putere cu exponent natural a unui număr natural. Pătratul şi cubul unui număr natural.

12. Sistemul de numeraţie zecimal. 13. Propoziţii adevărate şi propoziţii false pe exemple simple. 14. Mulţimi (descriere şi scriere), element, relaţie de apartenenţă. Moduri de

definire a mulţimilor. Mulţimile N şi N*. 15. Operaţii cu mulţimi: intersecţie, reuniune. Exemple de mulţimi finite; mulţimea

divizorilor unui număr natural. 16. Exemple de mulţimi infinite; mulţimea multiplilor unui număr natural.

Jocuri didactice:Metoda jocurilor ofera un cadru propice pentru învăţarea activă, participativă, stimulând în acelaşi timp iniţiativa şi creativitatea elevilor. Jocurile didactice reprezintă o formă de învătare placută si atractivă, ce corespunde particularităţilor psihice ale acestei vârste. Lecţiile înviorate cu jocuri didactice susţin efortul elevilor, menţinându-i mereu interesaţi, îi determină să lucreze efectiv şi în acelaşi timp să gândească în mod creator si original.

Eficienţa acestor metode constă în capacitatea fiecărui învăţător de a le utiliza în procesul de însuşire a cunoştinţelor matematice, constă în modul în care fiecare cadru ştie să-i antreneze pe elevi pe parcursul acestor ore. Jocurile logico-matematice au avantajul de a dispune de nenumărate ocazii, care să influenţeze pozitiv calităţile gândirii elevilor.Sunt jocuri matematice prin care vom dezvolta spiritul critic al elevilor, ceea ce înseamnă că aceştia nu vor prelua în totalitate o situaţie, un fapt,o soluţie, ci, vor remarca calităţile şi defectele, determinând cauzele şi modalităţile de îndreptare a defectelor. Pentru exersarea spiritului critic putem rezolva cu elevii jocuri logico-matematice, în care introducem voit anumite greşeli, iar elevii au sarcina de-a identifica şi corecta aceste greşeli. Astfel, se poate folosi jocul ”Găseşte intrusul”, în care li se cere copiilor să calculeze şi să elimine termenul sau factorul care este în plus. Pentru a exersa spiritul de observaţie şi puterea de analiză a copiilor, în locul rezultatului 0 se scrie uneori, echivalentul său:

7+5 –3+6 –8+7+2 –9+1 –7=6 –64x7x25x3x10=2100

Jocul matematic „Câţi vecini au zece numere naturale?” Enunţul jocului permite copiilor alegerea celor zece numere naturale în diferite moduri. Astfel elevii care aleg numerele consecutive 0-9 vor găsi 11 vecini. În cazul numerelor naturale 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 elevii vor identifica 12 vecini, deoarece, fiecare dintre aceste numere are un vecin mai mic, dar este şi vecin pentru succesorul său, iar al zecelea număr are un vecin mai mare. Dacă elevii vor lua cele zece numere naturale la întâmplare, însă primul ar fi 0, vor găsi 19 vecini, pentru că 0 are numai un vecin mai mare. Dacă numerele naturale au fost scrise aleatoriu, fără a fi consecutive şi fără ca primul număr să fie 0, elevii vor găsi câte doi vecini pentru fiecare număr, în total 20 de vecini.Prin jocul logico-matematic „Cine calculează mai repede” se urmăreşte ca elevii să descopere procedee de calcul rapid, să ştie să folosească proprietăţile operaţiilor, să-şi dezvolte spiritul inventiv-creator şi flexibilitatea gândirii.

1

Iată câteva jocuri matematice de acest fel:a. a)1+2+3+4+5+6+7+8+9=b. b)1+2+3+4+5+5+4+3+2+1=c. c)1+2+3+4+5+15+16+17+18+19=d. d)1+2+3+4+5+6+9+10+11+12+13+14=Am urmărit prin aceste jocuri să observ dacă elevii ştiu să asocieze corect termenii adunării, obţinând 10 la jocurile a) şi b),20 –la jocul c) şi 15 –la jocul d), pentru a obţine rapid rezultatul final.

Jocul logico-matematic” Ne jucăm, observăm, operaţii cu cifre romane, corect rezolvăm”. Li se cere elevilor să mute o singură liniuţă pentru a transforma fiecare expresie matematică într-o egalitate:

• V –V=II• X –X=XIX• VI+I=IV• II=II –I• L –II=LI• VI –V=I+I• III –II=IV• L –V=LIV

Jocul numit „Pătrate magice”, în care suma numerelor de pe fiecare rând, de pe fiecare coloană şi de pe fiecare diagonală este acceaşi. Dacă utilizăm „Pătratul magic”, îi provocăm pe elevi să completeze cele 9 căsuţe ale pătratului cu numere de la 1 la 9, găsind mai multe variante, astfel ca suma magică să fie 15. Apoi am mărit dificultatea „Pătratelor magice”, astfel fiecare pătrat să aibă 16 numere, iar variantele de completare să fie multiple. Elevii au sarcina de a completa pătratele, după cum urmează:

- cu numere de la 1 la 4,astfel ca suma magică să fie 10;- cu numerele 2,4,6,8,astfel încât suma magică să fie 20;- cu numere de la 1 la 16,astfel ca suma magică să fie 34;- cu numere de la 6 la 21,astfel încât suma magică să fie 54...

Prin jocul „O excursie interesantă”, aş dori să descopăr ingeniozitatea, inventivitatea şi agerimea copiilor. Pentru acest joc putem porni de la următoarea simulare:

2

826 152 86 59674

756 572 350180 100

Imaginaţi-vă că am fost împreună într-o excursie la munte. Pe traseu aţi văzut câteva animale: un iepuraş, o vulpe, un cerb, un urs şi o veveriţă. Întrebarea este:- Care dintre animalele pe care le-aţi văzut trăieşte cel mai mult şi care trăieşte cel mai puţin?Văzând că elevii nu pot da răspunsul le putem da câteva lămuriri: iepurele trăieşte jumătate din cât trăieşte vulpea, cerbul de trei ori mai mult decât iepuraşul, ursul de cinci ori mai mult decât iepurele, iar veveriţa cu trei ani mai puţin decât iepurele. Iepurele, vulpea, cerbul şi ursul trăiesc în total 110 ani.Se poate rezolva cu uşurinţă acest joc, utilizând metoda grafică şi găsind că ursul trăieşte cel mai mult-50 ani, iar veveriţa-7 ani.Descifrează mesajul examinatorului:

a. efectuează calculele

b. scrie litera corespunzătoare fiecărui rezultat

823-

469

291-

207

507-

268

600-

246

452-

175

708-

469

354

C

732-

378

206-

79

435-

377

900-

375

633-

279

323-

124

Rezultat 354 239 84 277 127 525 199 58

Litera C L A U O E T R

Observă regula şi completează casetele libere:

3

Pentru ca elevii să descopere tainele şi frumuseţea operaţiilor matematice, le propunem jocul „Găsiţi semnele aritmetice!” în care li se cere copiilor să introducă semnele matematice, între cifrele date, pentru a ajunge la rezultatele înscrise.

7 7 7 7= 6 6 6 6 6=66 5 5 5 5=10 8 8 8 8= 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2=90 1 2 3 4 5 6 7 8 93 5=60

Prin varietatea jocurilor propuse elevilor se urmăreşte să dezvoltăm şi originalitatea gândirii copiilor, modul personal de a găsi soluţii pentru diferite situaţii-problemă, independenţa în raţionament, complexitatea de vederi, înalta capacitate de generalizare. În acest sens le-am propus elevilor jocul logic ”Socoteli codificate”, în care le-am cerut acestora să găsească cât mai multe soluţii pentru a reconstitui operaţiile date, astfel încât o literă dintr-un exerciţiu să reprezinte aceeaşi cifră,pe tot parcursul exerciţiului.

CAR+         SANDA+                 ABx                          TREIx            SAC              DANA                   AB                              TREI         GREU           D0AS 2                    BD                           . . . . T                                                                         AB                                . . . .R                                                               ADD                       . . . .E                                                                                             . . . . I                                                                                . . . . . . . . Elevii cu o experienţă matematică bogată se pot întrece în rezolvarea acestor jocuri, găsind o mulţime de soluţii corecte. Lista jocurilor folosite la clasă ar putea continua, dar consider că aş putea concluziona, afirmând că matematica pune în joc puteri sufleteşti asemănătoare cu cele solicitate de poezie şi artă, ceea ce înseamnă că un adevăr matematic este plin de armonie interioară ca şi o poezie. Cred că şi jocul logico-matematic, la fel ca şi poezia cere din partea elevilor, dar şi a dascălului, imaginaţie, intuiţie şi nu se poate realiza fără vocaţie, fără dăruire de sine.

Tehnica „Ciorchinelui”4

• "Ciorchinele" este o tehnica eficienta de predare si invatare care incurajeaza elevii sa gandeasca liber si deschis.• "Ciorchinele" este un "brainstorming" necesar, prin care se stimuleaza evidentierea legaturilor dintre idei; o modalitate de a construi sau realiza asociatii noi de idei sau de a releva noi sensuri ale ideilor.• "Ciorchinele" este o tehnica de cautare a cailor de acces spre propriile cunostinte evidentiind modul de a întelege o anumita tema, un anumit continut.Etapele realizarii "ciorchinelui"

1. Scrieţi un cuvânt sau o propoziţie nucleu în mijlocul tablei.2. Scrieti cuvinte sau sintagme in legatura cu tema pusa in discutie.3. Legati cuvintele sau ideile produse de cuvantul sau propozitia nucleu prin linii care evidentiaza conexiunile intre idei.4. Scrieti ideile în legatura cu tema propusa realizand o structura in forma de ciorchine.

Reguli pentru utilizarea acestei tehnici• Scrieti tot ceea considerati necesar legat de tema respectiva.• Nu judecati ideile expuse, doar luati act de acestea.• Nu va opriti pana nu epuizati toate ideile pe care le aveti legate de tema data.• Dintr-o idee dată pot apărea alte idei, astfel puteti construi "sateliti" ai ideei respective.• Lasati sa apara cat mai multe si mai variate legaturi intre idei. Nu limitati numarul de idei, nici fluxul de legaturi dintre ele.

Avantajele acestei tehnici de invatare• Prin aceasta tehnica se fixeaza mai bine ideile si se structureaza informatiile facilizandu-se retinerea si intelegerea acestora.• Tehnica "ciorchinelui" poate fi aplicata atat individual (chiar si la evaluare), cat si la nivelul intregii clase pentru sistematizarea si consolidarea cunostintelor.• In etapa de reflectie elevii pot fi ghidati prin intermediul unor intrebari, in gruparea informatiilor in functie de anumite criterii.

5

Operaţii matematice

adunare scădere

înmulţireîmpărţire

sumă termenitermeni

diferenţă (rest)

descăzut scăzător

factori produscâtrest

deîmpărţit împărţitor

25

6•5-5 69-44

45-2050:2

5•5

30-520+5

Metoda cubului

Metoda cubului presupune explorarea unui subiect, a unei situaţii din mai multe perspective, permiţând abordarea complexă şi integratoare a unei teme.Sunt recomandate următoarele etape:

Realizarea unui cub pe ale cărui feţe sunt scrise cuvintele: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează. Anunţarea temei, subiectului pus în discuţie. Împărţirea clasei în 6 grupe, fiecare dintre ele examinând tema din perspectiva cerinţei de pe una din feţele cubului.• Descrie: culorile, formele, mărimile, etc.• Compară: ce este asemănător? Ce este diferit?• Analizează: spune din ce este făcut, din ce se compune.• Asociază: la ce te îndeamnă să te gândeşti?

6

• Aplică: ce poţi face cu aceasta? La ce poate fi folosită?• Argumentează: pro sau contra şi enumeră o serie de motive care vin în sprijinul afirmaţiei tale. Redactarea finală şi împărtăşirea ei celorlalte grupe. Afişarea formei finale pe tablă sau pe pereţii clasei.

Turul galeriei

Turul galeriei este o metodă interactivă de învăţare bazată pe colaborarea între elevi, care sunt puşi în ipostaza de a găsi soluţii de rezolvare a unor probleme. Această metodă presupune evaluarea interactivă şi profund formativă a produselor realizate de grupuri de elevi.Astfel, turul galeriei constă în următoarele:

1. Elevii, în grupuri de trei sau patru, rezolvă o problemă (o sarcină de învăţare) susceptibilă de a avea mai multe soluţii (mai multe perspective de abordare).2. Produsele muncii grupului se materializează într-o schemă, diagramă, inventar de idei etc. notate pe o hârtie (un poster).3. Posterele se expun pe pereţii clasei, transformaţi într-o veritabilă galerie.4. La semnalul profesorului, grupurile trec pe rând, pe la fiecare poster pentru a examina soluţiile propuse de colegi. Comentariile şi observaţiile vizitatorilor sunt scrise pe posterul analizat.5. După ce se încheie turul galeriei (grupurile revin la poziţia iniţială, înainte de plecare) fiecare echipă îşi reexaminează produsul muncii lor comparativ cu ale celorlalţi şi discută observaţiile şi comentariile notate de colegi pe propriul poster.

Turul galeriei se foloseşte cu succes împreună cu metoda cubului aşa cum se poate vedea şi în exemplul prezentat anterior.Aplicarea metodei mozaicului la predarea criteriilor de divizibilitate cu 2, 5, 10 şi 3 la clasa a V-a, a VI-a.

Etape:1. Împărţirea clasei în 5 grupuri eterogene de 4 elevi, fiecare dintre aceştia primind câte o fişă de învăţare notată cu câte o literă (A, B, C, D). Fişele cuprind părţi ale unui material, ce urmează a fi înţeles şi discutat de către elevi.Propuneţi lecţia „Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10 şi 3” – clasa a V-a, a VI-a2. Prezentarea succintă a subiectului tratat. Explicarea sarcinii de lucru şi a modului în care se va desfăşura activitatea.În cazul analizat, subiectul analizat este „Criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10 şi 3”.

7

3. Regruparea elevilor, în funcţie de litera fişei primite, în grupuri de experţi: toţi elevii care au litera A vor forma un grup, cei cu litera B vor forma alt grup ş.a.m.d.Aşadar, unul dintre grupurile de „experţi” va fi format din toţi elevii care au primit, în cadrul grupului iniţial de 4, Criteriul de divizibilitate cu 3.4. Învăţarea prin cooperare a secţiunii care a revenit fiecărui grup de experţi. Elevii citesc, discută, încearcă să înţeleagă cât mai bine, hotărăsc modul în care pot preda ceea ce au înţeles colegilor din grupul lor originar.Elevii din fiecare grup decid cum vor „preda”. Ei pot folosi exemple numerice, texte în vorbirea curentă, simboluri matematice.5. Revenirea în grupul iniţial şi predarea secţiunii pregătite celorlalţi membri. Dacă sunt neclarităţi, se adresează întrebări expertului. Dacă neclarităţile persistă se pot adresa întrebări şi celorlalţi membrii din grupul expert pentru secţiunea respectivă.În fiecare grup, sunt astfel „predate” cele patru criterii de divizibilitate, cu exemple. În acest fel, fiecare elev devine responsabil atât pentru propria învăţare, cât şi pentru transmiterea corectă şi completă a informaţiilor. Este important să monitorizaţi această activitate, pentru ca achiziţiile să fie corect transmise.6. Trecerea în revistă a materialului dat prin prezentare orală cu toată clasa / cu toţi participanţii.Câteva exerciţii bine alese de profesor vor evidenţia nivelul de înţelegere a temei.Metoda Mozaicului are avantajul că implică toţi elevii în activitate şi că fiecare

dintre ei devine responsabil, atât pentru propria învăţare, cât şi pentru învăţarea celorlalţi. De aceea, metoda este foarte utilă în motivarea elevilor: faptul că se transformă, pentru scurt timp, în „profesori” le conferă un ascendent moral asupra colegilor.Metoda mozaicul presupune învăţarea prin cooperare la nivelul unui grup şi predarea achiziţiilor dobândite de către fiecare membru al grupului unui alt grup.Are avantajul că implică toţi elevii în activitate şi că fiecare dintre ei devine responsabil atât pentru propria învăţare, cât şi pentru învăţarea celorlalţi. De aceea, metoda este foarte utila în motivarea elevilor cu rămâneri în urmă: faptul că se transformă pentru scurt timp, în ‚, profesori” le conferă un ascendent moral asupra colegilor. Se împarte clasa în grupe eterogene de 4 elevi,fiecare primind câte o fişă numerotate de la 1 la 4,ce conţine părti ale unui material ce urmează a fi înţeles şi discutat de către elevi.Elevii sunt regrupaţi în funcţie de numărul fişei primite şi încearcă să înţeleagă conţinutul informativ de pe fişe şi stabilesc modul în care pot

8

preda ceea ce au înţeles colegilor din grupul lor original.Se revine în gruparea iniţială şi are loc predarea secţiunii pregătite celorlalţi membri.

Şi în final are loc trecerea în revistă a materialului dat prin predarea orală cu toată clasa/ cu toţi participanţii.

Fişe de experţi

• Fişa „A”: Criteriul de divizibilitate cu 2Un număr natural este divizibil cu 2 dacă şi numai dacă ultima sa cifră este cifră pară.• Fişa „B”: Criteriul de divizibilitate cu 5Un număr natural este divizibil cu 5 dacă şi numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.• Fişa „C”: Criteriul de divizibilitate cu 10Un număr natural este divizibil cu 10 dacă şi numai dacă ultima sa cifră este 0.• Fişa „D”: Criteriul de divizibilitate cu 3Un număr natural este divizibil cu 3 dacă şi numai dacă suma cifrelor sale este multiplu de 3.

EXEMPLU: Tema: Propoziţii compuse, clasa: a V-a.

Cele patru fişe de lucru sunt paragrafe prezentate în manual cu titlurile: Când obţinem propoziţii adevărate folosind ,,şi”/ ,,sau”/ ,,nu”/ ,,dacă…atunci…” Avantaje: anihilarea “efectului Ringelmann”(lenea socială,când individul îsi imagineaza că propria contribuţie la sarcina de grup nu poate fi stabilită cu precizie),dezvoltă interdependenţa dintre membrii grupuluik,ameliorează comunicarea.

Metode de rezolvare a problemelor de aritmeticaFISA DE LUCRU

FISA 1.Metoda reducerii la unitate.Intr-o excursie un elev parcurge cu bicicleta 40 km. in 2 ore.In cate ore va parcurge 80 km.? Dar 10 km.?

FISA 2. Metoda comparatiei.Un croitor foloseste pentru 4 costume si 4 paltoane 20 m stofa , iar pentru 4 costume si 8 paltoane foloseste 28 m.stofa. Cati metri de stofa foloseste pentru un costum si cati metri pentru un palton?

FISA 3 .Probleme de miscare.9

Un autocar parcurge distant dintre 2 localitati in 6 h , circuland cu viteza de 52km./h.In cat timp va parcurge aceeasi distant un automobile care ruleaza cu o viteza de 78km./h

FISA 4.Metoda falsei ipoteze.În cadrul unui concurs , un elev raspunde la 10 intrebari si obtine 130 puncte. Sa se afle cate raspunsuri au fost corecte si cate gresite stiind ca pentru un raspuns corect a obtinut 25puncte iar pentru un raspuns gresit a pierdut 15 puncte.

FISA 5.Metoda figurativa.Suma a 3 nr. este 800.Daca suma primelor doua este 600,iar suma ultimelor doua este 540 , sa se calculeze numerele!

FISA 6.Metoda mersului invers.La un magazin alimentar s-a adus o cantitate de zahar. In prima zi se vinde 3/9 din cantitate, a doua zi se vinde 4/9 din cantitate iar a treia restul de 96kg.Cate kg. s-au vandut in fiecare zi ?

La rezolvarea problemelor se pot aplica ,,metoda cubului “ şi metoda ,,turul galeriei”Cerinte:

1. Descrie si rezolva problema cu metoda falsei ipoteze.2.Compara si rezolva (metoda comparatiei ).3.Analizeaza –rezolva problema de miscare.4. Asociaza unitatea si rezolva ( reducerea la unitate ).Aplica –metoda figurativa .6.Argumenteaza –metoda mersului invers ( rezolva )Ficare raportor va prezenta rezultatele

SCHEMA DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

1.Observ si inteleg.Sa citesc problemaSa raspund la : a) care sunt datele problemei; b) care sunt datele cunoscute; c) ce se cere sa calculam…

Sa caut modalitati mai scurte si mai clare pentru a formula …..2.Planific si calculez.

Sa gandesc un plan de actiune;Sa gasesc raspuns la: a)cum se leaga ceea ce … b) ce mai trebuie;

Sa efectuez calcule ce conduc la rezultate partiale sau finale10

Sumă -operaţii matematice Semnul plus - termeni Termen₁= sumă-termen₂ - proba prin adunare -proba prin scădere

Diferenţă Semnul minus Descăzut Scăzător Semnul minus Descăzut= diferenţă+scăzător Scăzător= descăzut-diferenţă

ADUNARE SCĂDEREA

3.Organizez si redactez.Sa gasesc calea prin care se ajunge la rezultat;Sa prezint solutia gasita.

4.Verific si dezvolt.Sa evaluez solutia:

Rezultatul este plauzibil?Am folosit toate datele?Verifica rezultatul conditiile din enunt?Exista o solutie mai buna?Pot gasi un alt mod de rezolvare?Pot gasi o problema mai generala?Să descopăr probleme noi care se rezolva prin metode asemanatoare.

Diagrama Wenn are rolul de a reprezenta sistematic, într-un mod cât mai creativ, asemănările şi deosebirile evidente dintre două categorii de operaţii matematice. Dă rezultate deosebite la activitatea în echipă.Diagrama Wenn ceea ce ştiţi voi despre operaţia de adunare şi de scădere:

Metoda cadranelor se poate folosi frontal şi individual, în rezolvarea problemelor prin metoda figurativă . Fişa de lucru este împărţită în patru cadrane destinate textului problemei, reprezentării grafice, rezolvării şi, respectiv, răspunsului problemei. Am considerat această metodă eficientă deoarece a delimitat clar în mintea copilului etapele pe care trebuie să le parcurgă pentru a obţine rezultatul problemei. Apoi acoperind celelalte cadrane şi descoperind doar pe cele cu nr. II, III sau IV se cere elevilor să creeze probleme asemănătoare (asemănătoare reprezentării grafice, sau planului de rezolvare sau al cărui răspuns să fie identic cu cel obţinut în problemă).

11

Pânză roşie

Pânză albă56 m

I

Bunica are 56 m de pânză roşie şi albă. Pânza albă este de 7 ori mai mare decât cea roşie. Care este lungimea fiecărei bucăţi?

II

III

1. Care este lungimea pânzei roşii?

56 (m) : 8 = 7 (m)

2. Care este lungimea pânzei albe? 7 (m) • 7 = 49 (m)

sau 56(m) -7(m) =49 (m)

Răspuns:

7 m pânză roşie

49 m pânză albă

IV

JOCUL 1:GHICITOAREA

DIVIZIBILITATE SI COMPARAREFiecare elev poarta agatat pe spate un numar de la 1la 100.Nu cunoaste numarul lui !Numerele rosii vor fi pare cele albastre impare!Poate intreba :E mai mic decat nr lui Alin(Cristi,..)?E rosu sau albastru?E divizibil cu....( )E prim?

JOCUL 2:JERRYPentru a putea pleca la mare cu prietenii sai, Tom i-a promis lui Jerry ce daca indeplineste toate sarcinile nu-l va mai supara, ba chiar ii va face rost de o roata mare de cascaval pentru drum.Ce are Jerry de facut:1.Sa numeroteze corespunzator scaunele din gradina:16, 26,36,..,...,...,....2.Sa aseze fiecare canar in colivia corespunzatoare:canar 12 canar 47 canar 60

50-3 30X2 14-2(ilustratii sugestive)

3.Sa completeze tabelul 1(desenat in curte, pe pamant)Termen 56 30Termen 48 22Suma

4.Sa completeze tabelul 2(desenat in curte, pe pamant)

12

descazut 56 30scazator 48 22rest

5.Sa cistige la jocul de zaruri jucat cu Tom si sa ajunga la FINISHregulile sunt :-fiecare jucator arunca 2 zaruri-jucatorul care are suma zarurilor cea mai mare incepe jocul( m si p) schema asta e cu start, si tot felul de conditii- conditii care presupun cunoasterea celor 4 operatii si a conditiilor de divizibilitate-si un zar bun.Un fel de Piticot...

13

Il ajutam pe Jerry sa plece la mare ??????

14

Fişă de lucru – Numerele de la 0-30 Unește numerele și numără:

,,FLOAREA OPERAŢIILOR”

Descrirea jocului: Pe un carton se desenează tulpina unei flori cu 2 frunze.În mijlocul florii este scris: ,,Operaţii cu numere naturale”. Elevii sunt împărţiţi în echipe de 3-4 elevi, de toate nivelele de performanţă. Căpitanul fiecărei echipe extrage un bilet cu o operaţie. Fiecare echipă va primi un nume în funcţie de operaţia pe care o va descrie şi va completa câte o petală a florii. Vor fi 5 petale, pentru că acum cunoaştem 5 operaţii cu numere naturale:

ADUNAREA

1. De ce ordin este această operaţie ?2. Cum se numesc numerele care participă la adunare ?3. Cum se numeşte rezultatul adunării ?4. Cum se face proba adunării ?5. Proprietăţile adunării: 1. 2. 3.6. Într-un exerciţiu, în care sunt mai multe operaţii, când se efectuează adunarea ?7. Calculaţi: 12 + 23 = 129 + 587 = 473 + 58 = 10975 + 7387 =

SCĂDEREA

1. De ce ordin este această operaţie ?2. Cum se numesc numerele care participă la scădere ?3. Cum se numeşte rezultatul scăderii ?4. Cum se face proba scăderii ?5. Într-un exerciţiu, în care sunt mai multe operaţii, când se efectuează adunarea ?6. Calculaţi: 44 – 22 =

347 – 163 = 245 – 189 =

5474 – 1968 =

ÎNMULŢIREA

1. De ce ordin este această operaţie ?2. Cum se numesc numerele care participă la înmulţire ?3. Cum se numeşte rezultatul înmuţirii ?4. Cum se face proba înmulţirii ?5. Proprietăţile înmulţirii: 1. 2. 3. 4.

1

6. Într-un exerciţiu, în care sunt mai multe operaţii, când se efectuează înmulţirea ?7. Calculaţi: 2 ∙ 3 = 12 ∙ 5 = 123 ∙ 13 = 248 ∙ 24 =

ÎMPĂRŢIREA

1. De ce ordin este această operaţie ?2. Cum se numesc numerele care participă la împărţire ?3. Cum se numeşte rezultatul împărţirii ?4. Cum se face proba împărţirii ?5. Enunţaţi teorema împărţirii cu rest.6. Într-un exerciţiu, în care sunt mai multe operaţii, când se efectuează împărţirea ?7. Calculaţi: 12 : 2 = 847 : 7 = 5739 : 5 = 4755 : 12 =

RIDICAREA LA PUTERE

1. De ce ordin este această operaţie2. Cum se numesc numerele care participă la ridicarea la putere3. Cum se obţine pătratul perfect4. Cum se obţine un cub perfect5. Reguli de calcul cu puteri: 1.

2. 3. 4.

6. Într-un exerciţiu, în care sunt mai multe operaţii, când se efectuează ridicarea la putere7. Calculaţi: 2 2 = 3 3 = 22 ∙ 24 = 35 : 32 = (52)3 = (2 ∙ 5)2=

ANEXA 2REBUS

2

1. Operaţie de ordinul al doilea.

2. Prima operaţie cu numere învăţată de voi.

3. Altă operaţie de ordinul al doilea.

4. Operaţia inversă adunării.

5. Rezultatul adunării.

6. Operaţie de ordinul al treilea, nou învăţată (3 cuvinte).

7. Proprietate a adunării şi a înmulţirii.

8. Se obţine în urma scăderii.

9. Ridicarea la puterea a treia se mai numeşte şi ridicarea la............ .

10. În urma ridicării la puterea a doua se obţine un.................(2 cuvinte).

Dacă aţi rezolvat corect rebusul de mai sus, pe coloana marcată vă va apărea numele unei ştiinţe exacte.

Capitolul II: Numere raţionale pozitive

Fracţie. Reprezentarea fracţiei cu ajutorul unor desene. Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare. Fracţii egale. Scoterea îbtregului dintr-o fracţie. Introducerea întrtegului în fracţie. Amplificarea şi simplificarea fracţiilor. Aducerea fracţiilor la acelaşi numitor (unul dintre numitori este multiplul celuilalt numitor). Compararea fracţiilor cu acelaşi numitor sau acelaşi numărător. Operaţii cu fracţii: adunarea şi scăderea fracţiilor cu acelaşi numitor, adunarea şi scăderea fracţiilor al căror cel mai mic numitor comun se poate calcula prin observare directă sau prin încercări simple, utilizînd amplificarea şi simplificarea fracţiilor. Reprezentarea fracţiilor pe axa numerelor.

3

Aflarea unei fracţii dintr-un număr natural, utilizînd unităţile fracţionare. Noţiunea de raport.

Numere zecimale finite: scrierea fracţiilor cu numitori puteri ale lui 10 sub formă de număr zecimal. Scrierea şi citirea numerelor zecimale finite. Compararea, ordonarea, reprezentarea pe axă a numerelor zecimale finite. Rotunjiri. Operaţii cu numere zecimale finite. Adunarea a două sau mai multe numere zecimale finite. Scăderea a două numere zecimale finite. Înmulţirea unui număr zecimal finit cu 10, 100, 1000; înmulţirea cu un număr natural(factorul al doilea este un număr cel mult de trei cifre); înmulţirea a două numere zecimale finite.

Împărţirea numerelor zecimale finite la 10, 100, 1000. Ridicarea unui număr zecimal finit la pătrat şi la cub. Ordinea efectuării operaţiilor. Probleme de aritmetică (metoda figurativă, metoda reducerii la unitate, metoda mersului invers).

JOCUL MATEMATIC

“Caută vecinii ! “ Scopul didactic este “consolidarea deprinderilor de comparare a unor numere raţionale”, Sarcina didactică este “să găsească numărul mai mare sau mai mic cu o unitate decât numărul dat; să găsească între ce numere naturale este cuprins numărul raţional dat”

4

5

1. Unul din numerele care se înmulţesc.2. Ỉmpǎrţirea numǎrǎtorului şi numitorului la

acelaşi numǎr diferit de zero.3. Ca sǎ aflǎm suma a douǎ sau mai multe

numere efectuǎm operaţia de ............ .4. Ỉnmulţirea numǎrǎtorului şi numitorului cu

acelaşi numǎr diferit de zero.5. Ne aratǎ cîte pǎrţi luǎm dintr-un întreg.6. Ỉntre numǎrǎtor şi numitor se pune ....... de

fracţie.7. Jumǎtate.

6

Dezvoltarea creativităţii prin rezolvarea şi compunerea de probleme

Noul curriculum al disciplinei Matematică pune accent pe caracterul explorativ-investigativ al învăţării matematicii, pe valoarea formativă a contextelor problematice în care trebuie să se producă învăţarea şi pe raţionalizarea conţinuturilor la nivelul anului de studiu.

Obiectivele-cadru au un grad ridicat de generalitate şi complexitate şi marchează evoluţia copilului de-a lungul întregului ciclu primar. Acestea sunt:

1. cunoaşterea şi utilizarea conceptelor specifice matematicii;2. dezvoltarea capacităţilor de explorare/investigare şi

rezolvare de probleme;3. formarea şi dezvoltarea capacităţii de a comunica utilizând

limbajul matematic;4. dezvoltarea interesului şi a motivaţiei pentru studiul şi

aplicarea matematicii în contexte variate.Matematica participă cu mijloace proprii la modelarea personalităţii atât sub aspect intelectual cât şi sub aspect estetic şi moral.

Din punctul de vedere al dezvoltării intelectuale, învăţarea matematicii exersează capacitatea de a judeca, ajută elevul să distingă adevărul ştiinţific de neadevăr, să-l demonstreze; antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoaşterea ipotezelor şi a concluziilor, îl învaţă pe copil să distingă diversele aspecte ale unei situaţii, să separe esenţialul de neesenţial; dezvoltă atenţia, antrenează memoria logică, exersează analiza şi sinteza, favorizează dezvoltarea

7

imaginaţiei creatoare; dezvoltă spiritul critic, formează spiritul ştiinţific obiectiv şi stimulează dorinţa de cercetare.

Sub aspect estetic se dezvăluie frumuseţea matematicii exprimată prin formule, relaţii, figuri, demonstraţii, cultivă calităţi ale exprimării gândirii (claritate, ordine, conciziune, eleganţă), îl ajută pe elev să recunoască şi să aprecieze legătura formală a creaţiei artistice din echilibrul arhitectural, compoziţia artelor plastice, ritmuri şi structuri muzicale, frumuseţea şi organizarea naturii şi a tehnicii.

Din punct de vedere moral, matematica formează capacitatea aprecierii adevărului, obiectivităţii şi echităţii, creează nevoia de rigoare, discernământ şi probarea ipotezelor, dezvoltă nevoia de cunoaştere, de a înţelege. Se formează deprinderi de cercetare şi investigare, e stimulată perseverenţa.

Gândirea creatoare se dezvoltă în mod deosebit prin rezolvarea unor probleme care solicită strategii atipice, inventate şi prin compunerea de probleme. O problemă este sau nu creativă, în funcţie de vârsta, experienţa şi capacitatea intelectuală a elevului. Compunerea de probleme reprezintă o treaptă superioară de dezvoltare a gândirii creatoare, de legare a teoriei de practică. Pentru ca elevul să elaboreze textul unei probleme este necesar să găsească împrejurările corespunzătoare, să-şi imagineze acţiunea, să aleagă datele numerice în concordanţă cu realitatea, să stabilească soluţii aritmetice corespunzătoare între informaţiile date şi să formuleze întrebarea problemei.

În activitatea de învăţare a compunerii de probleme se pot folosi mai multe procedee, care pot fi grupate după forma de

8

prezentare, strategiile şi mecanismele gândirii pe care le solicită.

1.      Compuneri de probleme după o acţiune sau o povesteSe iau ca model activităţi zilnice sau povestiri. De exemplu, doi copii care au adus o vază cu flori pot da naştere ideii de creaţie a unei probleme. Acţiunea se va desfăşura în faţa clasei, florile vor fi numărate cu voce tare. Astfel se poate alcătui problema:

,,Ionuţ a pus în vază 3 garoafe şi Ana a mai pus încă 5.

Câte flori sunt în vază?”

2.      Compuneri de probleme după desenePot fi folosite desene viu colorate, cu imagini sugestive precum fructe, flori, figuri geometrice, animale, insecte ş.a. sub formă de tablouri sau desene pe tablă. Se sugerează, astfel, ce să cuprindă enunţul problemei şi ce numere vor constitui datele problemei.

Creativitatea se manifestă în transpunerea datelor din desen în relaţii matematice şi în găsirea a cât mai multe variante de probleme. Elevii trebuie stimulaţi să inventeze probleme cât mai originale sau să le complice.Se vor folosi şi desene care să indice operaţiile pe care trebuie să le efectueze. Astfel, pentru operaţia de adunare pot fi desenate amimale sau insecte care vin într-un grup, iar pentru scădere care pleacă. De asemenea, pot fi desenate elemente tăiate cu o linie pentru a indica operaţia de scădere.

O altă modalitate de compunere a unor probleme este reprezentarea unor numere în tabele la care se indică, de

9

exemplu: cantitatea avută, cantitatea consumată, cantitatea rămasă. Cantitatea care trebuie calculată e marcată de semnul întrebării. Pe baza acestor informaţii se pot compune probleme cât mai variate.

3.      Compuneri de probleme după modelul unor probleme rezolvate anteriorAcest procedeu solicită elevii să compună probleme prin analogie, schimbând enunţul şi datele iar întrebarea să rămână aceeaşi. În clasa I, tendinţa este de a păstra enunţul şi întrebarea, elevii schimbând numai datele. Acum ei trebuie să fie îndrumaţi să aleagă şi alte domenii din care să se inspire.

În mod asemănător se cere elevilor să schimbe denumirea mărimilor şi să păstreze datele.

În clasele mai mari procedeul devine mobilizator, antrenează gândirea elevilor şi dezvoltă capacitatea de creaţie prin muncă independentă.

4.      Completarea de către elevi a datelor care lipsescAceste probleme nu solicită în mod deosebit creativitatea. Elevii trebuie să înlocuiască spaţiile libere cu numere, având grijă să îndeplinească cerinţele problemei. Astfel, ei sunt puşi în situaţia de a înţelege că au dreptul să intervină în compunerea de probleme, solicitându-li-se iniţiativa.

Exemplu:

,,Un elev are de citit 120 de pagini în 3 zile. În prima zi a citit………pagini, în a doua zi………pagini, iar în a treia zi restul.

Câte pagini a citit în a treia zi?”

10

5.      Alcătuirea de probleme după întrebări dateAcestea pot fi abordate începând din clasa a II-a. Li se face cunoscută elevilor întrebarea şi li se cere să potrivească enunţul. Întrebările vor fi clare, cerând în mod precis o anumită operaţie: ,,Cât au împreună?”, ,,Cât a mai rămas?”, ,,Cu cât este mai mare?”, ,,De câte ori este mai mare?”, ,,Câte pagini a citit a doua zi?” etc.

Creativitatea va fi stimulată prin necesitatea găsirii unor domenii cât mai variate.

6.      Completarea (formularea) întrebării unei problemeFolosind această formă de activitate în perioada în care elevii învaţă să desprindă din conţinutul problemei enunţul de întrebare, se realizează conştientizarea cunoştinţelor cu privire la elementele componente ale unei probleme, se conving elevii de necesitatea separării întrebării de enunţ în rezolvarea ulterioară a problemelor.

Găsirea de întrebări noi contribuie la dezvoltarea imaginaţiei, a gândirii divergente şi flexibile.

Exemplu:

,,Într-o cutie sunt 63 de creioane. În altă cutie sunt de 9 ori mai puţine.”

Pot fi formulate întrebările:

,,Câte creioane sunt în a doua cutie?!

,,Cu câte creioane sunt mai multe în prima cutie?”

,,Câte creioane sunt în cele două cutii?”

11

7.      Compuneri de probleme după formulă numerică datăAceastă activitate va avea succes dacă elevii au fost obişnuiţi să transpună problemele în exerciţii după ce le-au rezolvat (formule numerice sau literale).

După ce au fost stabilite datele numerice şi relaţiile dintre ele, efortul gândirii se concentrează la transpunerea formulei numerice sub formă de problemă concretă. Posibilităţile sunt limitate deoarece se pune accent pe rigoarea ştiinţifică a transformării.

Exemple:

Se cere compunerea unor probleme după exerciţii date:

a)      70 kg + 20 kg =

b)      2 x 30 l =

c)      40 m : 2 =

d)      90 – 30 =

e)      338 + ( 338 – 127) =

f)        280 – (10 x 2) + 50 =

g)      Compuneţi o problemă cu numerele 197, 425, 200 astfel încât să aveţi în rezolvare o adunare şi o scădere.

La ultimul exemplu fiecare elev îşi poate  manifesta independenţa în gândire, spiritul inventiv, ingeniozitatea, spontaneitatea gândirii, originalitatea.

12

8.      Compuneri de probleme după formulă literală   Mecanismul gândirii este acelaşi ca la alcătuirea problemelor după formulă numerică, dar se face un pas către abstractizare şi generalizare, adică spre gândirea specifică următoarei etape de dezvoltare intelectuală. Aici, elevii sunt puşi în situaţia de a înlocui literele cu numere adecvate.

Din clasa I se pot alcătui probleme după formule literale simple:

a + b = c; a – b = c; a + b + c = d; a + b – c = d; a – b + c = d; a + (b + c) = d; (a + b) + (c + d) = e; a + (a + b) =c.

În clasele mai mari formulele literale se vor complica:

a = 29

b = a + 14

c = (a + b) + 47

a + b + c = ?

sau

a = 3

b = a x 6

c = a x b

a + b + c = ?

sau

a = b x 513

b = 8

c = a – b

a + b + c = ?

9.      Compuneri de probleme după schemea) Scheme simple ce pornesc de la relaţiile dintre datele problemei, ajungându-se la întrebarea problemei (metoda sintetică):

5 mere 3 mereCâte mere în total?

b) Scheme alcătuite pe calea metodei analitice (pornind de la întrebarea problemei): 10 + 6  ?             20 – 5  ?                         c) Scheme fără indicarea operaţiilor:

*** **?

Variante posibile: a + b =              ; a – b =

d) Scheme cu indicaţia operaţiilor şi simboluri:

a b c

………………           ………………….

                         +                             - ?

?

a + b – c

e) Scheme grafice:

19

14

____________________

______________ _____4

10.     Complicarea treptată a unei probleme    Acest procedeu se poate folosi în perioada în care se trece de la probleme simple la probleme mai complicate, în clasele a III-a şi a IV-a.

Se cere elevilor să adauge date şi să completeze enunţul, fiind solicitaţi să creeze relaţii, să-şi pună în valoare cunoştinţele despre realitatea practică.

11.   Compuneri de probleme de un anumit tipAcest procedeu se poate folosi când elevii învaţă să rezolve probleme tipice, când ei înţeleg şi ştiu să folosească algoritmul de rezolvare a problemei, care să fixeze în mintea lor regula sau procedeul de calcul.

De exemplu: ,,Compuneţi o problemă care să se rezolve prin metoda figurativă.

12.     Rezolvarea problemelor prin mai multe metodeAcesta este un mijloc eficient de antrenare a gândirii creatoare, care necesită o gândire logică bine dezvoltată, pentru a putea vedea raţionamentul în întregime, pentru a putea găsi noi relaţii între aceleaşi cantităţi, mărimi, valori.

Fiecare variantă de rezolvare poate fi transformată în formulă numerică sau literală după care să se compună alte probleme.

13.     Probleme ale căror soluţii nu sunt unic determinate

15

Acestea se întâlnesc în viaţa practică, în producţie, unde se cere găsirea tuturor posibilităţilor, compararea lor şi luarea unor decizii.

Copiii trebuie obişnuiţi să caute mai multe variante de rezolvare, respectând condiţiile impuse. Acest tip de probleme duce la dezvoltarea gândirii probabilistice.

De exemplu:

a) Scrieţi toate numerele posibile a căror sumă să fie 9.

b) Găsiţi cât mai multe soluţii pentru exerciţiile: a + b = 6, a – b = 4, unde a<10. Alegerea valorilor unei necunoscute nu se face la întâmplare, ci trebuie să se încadreze în cerinţele impuse de condiţiile date. Lucrurile se pot complica introducându-se condiţii suplimentare.

c) Introducerea variabilelor în operaţii cu numere

Se urmăreşte dezvoltarea spiritului de independenţă, consolidarea cunoştinţelor referitoare la numere, operaţii cu numere, relaţii dintre numere.

Varietatea exerciţiilor de acest fel contribuie la formarea deprinderilor de alcătuire a problemelor creative în care să se utilizeze proprietăţile operaţiilor (comutativitatea), scrierea numerelor ca o sumă sau diferenţă (simetria egalităţii), utilizarea parantezei în cazul adunării unui număr cu o sumă sau o diferenţă (asociativitatea).

De exemplu exerciţiul de forma 5 + a =  se poate rezolva dacă lui ,,a” i se dau anumite valori.

16

d) Exerciţii de aflare a numărului necunoscut dintr-o relaţie de egalitate sau inegalitate

Exemple:

Găsiţi numărul ce trebuie scris, astfel încât egalitatea să fie adevărată:

….  +   2 =   8

40 + …. = 90

…. – 50 = 20

e) Exerciţii de sinteză cu mai multe operaţii:

● Găsiţi numerele potrivite astfel încât propoziţiile să fie adevărate:

5 + …. + 1 = 9

8 = 4 + 1 + ….

90 + 10 – …. = 3

● Rezolvaţi exerciţiile aflând valoarea lui a:1 + 2 + a < 7a + 4 – 3 = 2● Ce numere putem scrie în locul lui n astfel încât să fie adevărată inegalitatea?n + 14 < 19f) Exerciţii pentru aflarea semnului operaţiei:

Completaţi spaţiile punctate cu unul dintre semnele învăţate, pentru ca relaţiile să fie adevărate:

17

2 x (3 + 6) …. 2 x 3 + 2 x 6;

17  –  (2 + 9)…. 17 – 2 + 9.

14.    Probleme în care căutarea soluţiei se face prin încercare-eroare-reglarePentru rezolvarea unei astfel de probleme, elevul trebuie să aleagă dintre mai multe variante pe cele mai potrivite. Pentru aceasta trebuie să formuleze ipoteze, să analizeze, să tragă concluzii, să descopere calea ce duce la rezultatul căutat. În această activitate se manifestă gândirea probabilistică şi cea deductivă.

Exemplu:

Se dă exerciţiul: 5 x 4 : 2 + 8 – 2

Aşezaţi corespunzător paranteze pentru a obţine pe rând, rezultatele: 40; 16; 48.

15.    Probleme care se rezolvă prin strategii atipice descoperite de eleviPentru rezolvarea acestor probleme elevii trebuie să se îndepărteze de tentaţia de a aplica modele cunoscute. Ei trebuie să găsească strategia de rezolvare adecată specificului problemei. În această categorie se vor întâlni mai multe probleme de genul celor prezentate la punctele anterioare. Rezolvarea lor solicită flexibilitatea gândirii şi capacitatea de adaptare mentală la noua situaţie descoperită.

Exemple:

a)      Scrieţi cel mai mic număr natural de 3 cifre diferite.

18

b)      Care este cel mai mare număr natural de 3 cifre egale?

c)      Efectuaţi înmulţirile într-o ordine care să uşureze calculele:

5 x 21 x 26 =     ; 25 x 5 x 6 x 12 =

16.    Probleme specifice de logică şi perspicacitateAcest tip de probleme este mai dificil. Este necesară o reflectare mai atentă asupra conţinutului, selectarea cu precizie a întrebării, reţinerea informaţiilor care ajută la rezolvarea problemei.

Se dezvoltă gândirea logică, atenţia, capacitatea de a descoperi pistele false, spiritul de iniţiativă şi observaţia, deprinderea de a lucra corect şi rapid.

Exemple:

a)      Câte degete sunt la o mână? Dar la două mâini? Dar la 10 mâini?

b)      O punte rezistă la cel mult 70 kg. Un om care avea 69 kg şi 800 g şi ducea în mână două mere de 200 g fiecare, a traversat puntea dintr-o dată , fără să se rupă. Cum a procedat?

Răspuns: Din momentul în care a păşit pe punte şi până a părăsit-o, a jucat merele aruncându-le în aer, în aşa fel încât avea în mână doar un măr, celălalt fiind în aer.

Astfel nu a depăşit greutatea admisă.

c)      Cum am putea scădea pe 22 din 20, ca să obţinem 88?

Răspuns:19

XX -     (cifre romane)

2 28 8

d)      Zboară un cârd de gâşte: o gâscă în faţă, două în spate, două în faţă, una între două şi trei în şir.

Câte zboară în total?

Sfera procedeelor pentru compunerile de probleme şi rezolvarea lor prin muncă independentă, nu este limitată. Scopul rămâne acelaşi: dezvoltarea creativităţii gândirii elevilor, asigurarea succesului spre domeniul cercetării ştiinţifice care se bazează, în primul rând, pe matematică.

Fractii

Def. Fractia are forma generala

ab , unde a si b sunt numere naturale sau intregi.

Clasificarea fractiilor

1.Fractia

ab spunem ca este supraunitara daca a>b.(Ex:

53 )

2. Fractia

ab spunem ca este subunitara daca a<b.(Ex:

35 )

3. Fractia

ab spunem ca este echiunitara daca a=b.(Ex :

55 )

4. Fractia

ab spunem ca este ireductibila daca nu se mai poate simplifica.(Ex :

1517 este ireductibila ;

1510este reductibila deoarece se poate simplifica prin 5)

JOC MATEMATIC

20

REGULAMENT:Se împarte clasa în 4 echipe (de exemplu: galbenă, roşie, albastră şi

verde). Fiecare echipă primeşte o foaie de parcurs şi un set de exerciţii; fiecare echipă trebuie să treacă prin locaţiile:

1) NUMĂRĂ!2) CE ESTE CODIFICAT?3) CARE ESTE SEMNUL POTRIVIT?4) GÂNDEŞTE!La 4) fiecare echipă primeşte un plic cu litere, fiecărei litere

corespunzându-i un număr. Dacă la locaţiile 1) şi 4) exerciţiile sunt rezolvate corect, atunci copiii formează din litere cuvântul „FELICITĂRI”.

La 1) se vor număra triunghiurile ce apar în desen.La 2) elevii rezolvă exerciţiile cu ajutorul alfabetului şi descifrează

propoziţia „Prietenia este ca o floare”.La 3) se va completa cu semnele +, –, ¿ , : şi paranteze astfel încât să se

obţină propoziţii (enunţuri) matematice adevărate.La 4) se vor rezolva 10 probleme de logică.

21

1) NUMĂRĂ! Câte triunghiuri apar în desenul următor?

2) CE ESTE CODIFICAT?1. ) (1306+694 ) :1000+ (100:10 )=2. ) 1+ {2×[3+ (4−4 )×5 ] :6 }×7=3 .) 10−10: {1+3×[ (57−60:4×2 ) :3+21 ] :10 }=4 . ) 5×5−5+2×6=5 .) {14+ [3×(9−3 ) ] :2}−2×(5×2 )=6 .) 16×[2−(13×2−14−12 ) ]=7 .) 42:2+57×0=8 .) 1×986−977=9 .) 45×4−2×80=

10 .) 2×4×8×16−256×2−6×8×10=11.) 3+3:3=12 .) 2:2+2=13 .) 2×2×2×2×2=14 . ) (5:5+5 )×5=15 .) 500:5:5=16 .) 1×2×3×0×7×6×5=17 .) 25×3:75=18 .) 57−2×[3×(14−3×2 )−2 ]=19 .) 144:12−100:10−2:2×2=20 .) 1+1×2+2×3+3×4−100:100=21 .) 67+586−610=22 .) 64−16×2= a

Fiecărui răspuns corect îi corespunde o literă. Dacă toate cele 22 de exerciţii sunt rezolvate corect, veţi putea forma cu ajutorul literelor o propoziţie. Care este aceasta?

0 1 3 4 9 12 13 20 21 30 32 43O F T S I P L A N C E R

3) CARE ESTE SEMNUL POTRIVIT?22

5 5 5 5= 35 5 5 5= 45 5 5 5= 55 5 5 5= 65 5 5 5=265 5 5 5=30

4) GÂNDEŞTE!1. Preţul unei cărămizi. O cărămidă costă 1 leu şi o jumătate de

cărămidă. Cât costă o cărămidă?2. O problemă cu ouă de găină. O găină şi jumătate fac un ou şi

jumătate într-o zi. Câte găini vor oua 16 ouă în 8 zile?3. Bătăile orologiului . Ca să bată ora 5 un orologiu are nevoie de 5

secunde. De câte secunde va avea nevoie pentru a bate ora 9?4. Numărătoarea oilor. Un cioban fiind întrebat câte oi are în turma sa

răspunde că nu cunoaşte numărul lor exact, dar dacă le numără câte 2, câte 3, câte 4, câte 5 sau câte 6 îi rămâne întotdeauna o oaie de prisos. Însă dacă numără câte 7, nu-i rămâne nici una. Câte oi are ciobanul în turma sa?

5. O problemă cu 3 mere. Andrei, Barbu şi Costică primesc trei mere de mărimi diferite. Mărul lui Andrei este pe jumătate faţă de mărul lui Costică, iar mărul lui Barbu pe trei sferturi faţă de mărul lui Costică. Cum poate obţine fiecare copil o parte egală, tăind numai unul din mere?

6. Cinci pâini. Doi oameni care au călătorit împreună şi din care unul avea două pâini asupra sa, iar altul 3 pâini, au întâlnit pe un al treilea călător flămând. După ce toţi trei s-au ospătat împreună în mod egal, al treilea călător, odată cu mulţumirile sale, dădu primilor doi cinci lei şi şi-a văzut apoi de drum. Cum au trebuit să-şi împartă primii doi călători această sumă?

7. O socoteală cu nişte mingi. În 6 mingi albe se află 6 mingi albastre. Fiecare minge albastră conţine câte 6 mingi roşii, iar în fiecare minge roşie se află câte 6 mingi verzi. Câte mingi sunt în total?

8. Drumul melcului. Un melc vrând să iasă din fundul unui puţ adânc de 10 metri, urcă în fiecare zi câte 2 metri, iar în fiecare noapte coboară câte 1 metru. Cât timp îi va trebui melcului pentru a-şi atinge scopul?

9. Cu gâştele la păscut. - „Cu câte gâşte ai fost la păscut?”- „Dacă una mergea înaintea altor două, alta între două şi una după alte

două gâşte, atunci cu câte gâşte am fost la păscut?”10. Cu patru linii drepte. Desenaţi pe o foaie de hârtie nouă puncte,

aşezate la distanţe egale, ca să formeze un pătrat. Fără să ridicaţi creionul de pe hârtie, trageţi 4 linii drepte în aşa fel încât să treceţi prin toate punctele.

PROBLEME DIVERSE1. Puţină aritmetică

23

- „În ce clasă sunteţi voi, măi băieţi?”- „Toţi suntem într-a şasea afară de 12; toţi suntem într-a şaptea afară de

12; toţi suntem într-a opta, afară de 12 şi toţi suntem într-a noua afară de 12.”Câţi elevi sînt în total?

2. Preţul unei cărămiziO cărămidă costă 1 leu şi o jumătate de cărămidă. Cât costă o cărămidă?

3. Găinile şi iepurii de casăÎntr-o curte se plimbă laolaltă găini şi iepuri de casă, în total 100 de capete

şi 120 de perechi de picioruşe. Ştiţi câte găini şi câţi iepuri sunt acolo?

4. Cât costă un metru de stofă- „Cât costă metrul de stofă?”- „O treime şi jumătate din 100 de lei!”- „Dar cum să împart o sută exact prin trei?”- „Nici nu ţi-am cerut aşa ceva!”- „Atunci, cît costă metrul de stofă?”- „Ghici!”

5. În cât timp se taie un buşteanDouă echipe au de tăiat nişte buşteni de aceeaşi mărime, cu ajutorul unor

ferăstraie mecanice, în câte 20 de bucăţi egale. O echipă taie un buştean în 100 secunde. A doua are nevoie de 5 secunde pentru fiecare tăietură. Care din cele două echipe câştigă întrecerea?

6. O problemă cu ouă de găinăO găină şi jumătate fac un ou şi jumătate într-o zi. Câte găini vor oua 16

ouă în 8 zile?

7. Bătăile orologiului Ca să bată ora 5 un orologiu are nevoie de 5 secunde. De câte secunde va

avea nevoie pentru a bate ora 9?

8. O socoteală greşită cu mereO ţărancă vine la târg cu 60 de mere. Ea vinde, 30 de mere pentru care

încasează 10 lei. Văzând că merele au căutare, ţăranca vinde restul cu preţul de 0,50 lei mărul şi încasează deci, pentru ultimele 30 de mere, 15 lei. Venind a doua zi la târg tot cu 60 de mere, femeia îşi face socoteala că va ajunge la acelaşi rezultat ca în ajun, dacă va vinde de la început merele dând 5 bucăţi la 2 lei. La sfârşitul vânzării se trezeşte că a încasat numai 24 lei în loc de 25 lei, cât încasase cu o zi înainte şi cum s-ar fi aşteptat să primească. Cum de a încasat a doua zi mai puţin cu 1 leu ?

9. Numărătoarea oilorUn cioban fiind întrebat câte oi are în turma sa răspunde că nu cunoaşte

numărul lor exact, dar dacă le numără câte 2, câte 3, câte 4, câte 5 sau câte 6 îi rămâne întotdeauna o oaie de prisos. Însă dacă numără câte 7, nu-i rămâne nici una. Câte oi are ciobanul în turma sa?

10. Câţi nepoţi are buniculDe ziua bunicului au venit toţi nepoţii să-l felicite. Pentru a-şi trata

musafirii, bunicul a cules din grădina lui un număr de mere şi de trei ori mai

24

multe nuci. După ce fiecare nepot a fost servit cu câte 3 mere şi câte 8 nuci, bunicului i-au mai rămas 20 de mere şi 75 de nuci. Câţi nepoţi are bunicul?

11. O problemă cu 3 mereAndrei, Barbu şi Costică primesc trei mere de mărimi diferite. Mărul lui

Andrei este pe jumătate faţă de mărul lui Costică, iar mărul lui Barbu pe trei sferturi faţă de mărul lui Costică. Cum poate obţine fiecare copil o parte egală, tăind numai unul din mere?

12. Cinci pâiniDoi oameni care au călătorit împreună şi din care unul avea două pâini

asupra sa, iar altul 3 pâini, au întâlnit pe un al treilea călător flămând. După ce toţi trei s-au ospătat împreună în mod egal, al treilea călător, odată cu mulţumirile sale, dădu primilor doi cinci lei şi şi-a văzut apoi de drum. Cum au trebuit să-şi împartă primii doi călători această sumă?

13. Iepurele şi câinele de vânătoareUn iepure aleargă urmărit de un câine de vânătoare. În timp ce iepurele,

mai iute de picior, face 8 salturi, câinele execută numai 5. În schimb câinele, mai lung de picidare, face 3 sărituri cât 7 ale iepurelui. Dacă iepurele este cu 88 de salturi mai înaintat decât câinele, câte sărituri mai are el de făcut până să fie ajuns de câine?

14. O socoteală cu nişte mingiÎn 6 mingi albe se află 6 mingi albastre. Fiecare minge albastră conţine

câte 6 mingi roşii, iar în fiecare minge roşie se află câte 6 mingi verzi. Câte mingi sunt în total?

15. Drumul melculuiUn melc vrând să iasă din fundul unui puţ adânc de 10 metri, urcă în fie-

care zi câte 2 metri, iar în fiecare noapte coboară câte 1 metru. Cât timp îi va trebui melcului pentru a-şi atinge scopul?

16. Cu gâştele la păscut- „Cu câte gâşte ai fost la păscut?”- „Dacă una mergea înaintea altor două, alta între două şi una după alte

două gâşte, atunci cu câte gâşte am fost la păscut?”

17. Frunza de nufărPe luciul apei unui lac a apărut o frunzuliţă de nufăr abia vizibilă cu ochiul

liber. Hrănită abundent de tulpina care o poartă, ea se dezvoltă dublându-şi zilnic suprafaţa, astfel că după 30 de zile acoperă lacul pe toată întinderea lui. După câte zile frunza de nufăr a acoperit numai jumătate din suprafaţa lacului?

18. Cei 20 de dansatoriLa o serbare vin 20 de tineri, băieţi şi fete. Unul din băieţi a dansat cu 5

fete. Un al doilea a dansat cu 6 fete, un al treilea cu 7 şi aşa mai departe. Ultimul din ei a dansat cu toate fetele. Ştiţi câţi băieţi şi câte fete au luat parte la această serbare?

19. Preţul peştelui- „Cu ce preţ vinzi peştele, pescarule?”- „Cu cât vând corpul, cu atât vând şi capul cu coada la un loc.”- „Dar cât costă capul şi coada?”

25

- „Capul costă 2 lei, iar coada, cât capul şi încă o jumătate de corp. Ei, acum ştii cu cât vând un peşte?”

20. Banii din buzunar- „Câţi bani ai în buzunar?”- „Dacă-i împart la 10 îmi rămân 9 bani. Dacă-i împart la 9 îmi rămân 8

bani, dacă-i împart la 8 îmi rămân 7 bani şi aşa mai departe. La urmă dacă-i împart la 2 îmi rămâne 1 ban. Acum ştii câţi bani am în buzunar?”

21. Un butoi plin şi trei goaleUn podgorean dăruieşte celor trei fii ai săi un vas cu 240 litri de vin, cu

condiţia ca să-şi împartă toată cantitatea de vin în părţi egale. Ei nu au la dispoziţie altă măsură de capacitate decât 3 vase goale de 130, 110 şi 50 litri. Cum au reuşit să facă împărţirea în părţi egale?

22. Suta de gâşteO gâscă, întâlnind un cârd de gâşte la păscut, spuse primei gâşte din cârd:- „Bună dimineaţa, sută de gîşte!”- „Greşeşti, soro, îi răspunse cealaltă. Nu suntem o sută! Dacă am fi de

doua ori câte suntem, cu o jumătate din câte suntem, cu un sfert din câte suntem şi cu tine împreună am fi de abia o sută.”

Câte gâşte au fost în cârd?

23. Cele două coşuri cu păsăriO ţărancă şi-a trimis cele două fiice ale ei cu două coşuri de păsări la oraş.

Păsările erau toate de greutate egală. Cum una din fete se văita din cauza greutăţii prea mari a coşului ei, cealaltă a calmat-o zicându-i: „De ce te plângi? Dacă eu aş lua una din păsările tale, aş avea dublul greutăţii pe care o porţi tu, pe când dacă eu ţi-aş da o pasăre dintr-ale mele, am avea de purtat greutăţi egale.” Câte păsări ducea fiecare din fete?

24. Vârsta mea şi vârsta ta- „Ce vârstă ai tu, frate?”- „Când tu vei avea vârsta mea vom avea împreună 54 de ani.”- „Dar tocmai asta vreau să ştiu, care este vârsta ta actuală?”- „Eu am de două ori vârsta pe care o aveai tu când eu aveam vârsta ta

actuală. Ei, acum ştii câţi ani am?”

25. Cele trei vase cu vinIată trei vase având fiecare câte o altă cantitate de vin. Dacă din vasul

care are cantitatea cea mai mare turnăm în celelalte două atâta vin încât să se dubleze conţinutul lor, obţinem din nou trei cantităţi diferite, dar un alt vas va avea acum mai mult vin. Dacă dublăm iar conţinutul vaselor care au mai puţin vin, luând din cel cu vin mai mult, al treilea vas le va întrece de data aceasta pe toate. Dacă mai dublăm conţinutul celor două vase care au rămas cu mai puţin vin, luând din al treilea vas, obţinem câte 72 de litri în fiecare din ele. Puteţi să spuneţi cât vin a fost în fiecare vas?

26. Greutăţile de la 1 la 40 kgUn comerciant are o bară de oţel perfect omogen, de formă prismatică şi

grea de 40 kg. El vrea să taie această bară într-un număr minim de bucăţi, de greutăţi diferite, astfel ca să poată cântări cu ele orice greutate reprezentată de un număr întreg de la 1 până la 40 kg. Ştiţi cum va proceda?

26

27. Mucurile de ţigarăDin cauza unui viscol, doi alpinişti se văd siliţi să rămână într-o cabană

câteva zile. Unul din ei avea cu el 8 ţigări, iar celălalt 9.- „Ei acum ce facem aici în timpul acesta ca să nu ne plictisim? întrebă cel

cu 9 ţigări.”- „Vom fuma şi vom rezolva probleme de aritmetică recreativă”, răspunse

celălalt scoţând din rucsacul lui o carte, hârtie şi creion.- „Cât vei putea fuma, dacă nu ai decât 8 ţigări?”- „Ai uitat că îmi rămân şi mucuri. La nevoie le voi folosi şi voi, face câte o

ţigară din 3 mucuri.”- „Şi câte ţigări vei mai putea fuma din cele 8 mucuri care îţi vor rămâne.”- „Exact atâtea câte vei putea fuma tu din cele 9 mucuri ale tale şi nu-mi

va mai rămâne nici un muc după ce voi termina.”- „Nu văd cum ai să faci tu din 8 mucuri, tot atâtea ţigări câte voi face eu

din 9.” - „Ai să vezi! Răbdare şi... tutun!”

28. Cu patru linii drepteDesenaţi pe o foaie de hârtie nouă puncte, aşezate la distanţe egale, ca să

formeze un pătrat. Fără să ridicaţi creionul de pe hârtie, trageţi 4 linii drepte în

aşa fel încât să treceţi prin toate punctele.

29. Zece rânduriNu e greu de aflat cum trebuie aşezate 16 piese de table în 10 rânduri care

să cuprindă fiecare câte 4 piese. Mult mai greu este să aşezaţi 9 piese în 10 rânduri şi fiecare rând să aibă câte 3 piese. Rezolvaţi amândouă problemele.

30. De la 1 la 19Se cere să aşezaţi în cele 19 cerculeţe toate numerele întregi de la 1 la 19,

astfel ca suma cifrelor din oricare 3 cerculeţe aflate pe aceeaşi dreaptă să fie egală cu 30.31. Câţi ani am?

Când tatăl meu avea 31 de ani, eu aveam 8 ani. Astăzi tatăl meu este de 2 ori mai în vârstă ca mine. Câţi ani am acum?

32. Câţi sunt?Un băiat are tot atâtea surori, câţi fraţi, dar sora lui are de două ori mai

puţine surori decât fraţi. Câţi fraţi şi câte surori sunt?

33. Cu aceleaşi cifreFolosind numai semnul adunării, scrieţi numărul 28 cu ajutorul a cinci de

doi, iar numărul 1.000 cu ajutorul a opt de opt.

34. Îndreptaţi greşealaLuaţi 12 chibrituri şi aşezaţi-le ca în figura de mai jos. După cum vedeţi,

egalitatea este greşită, deoarece rezultăa că 6 – 4 = 9.

27

Mutaţi un singur chibrit în aşa fel, încât egalitatea să fie corectă.

35. Din trei faceţi patru (farsă)Pe masă se găsesc 3 chibrituri. Fără să adaugaţi nici un chibrit, faceţi din

trei – patru. Nu aveţi voie să rupeţi chibriturile.

36. Încă opt şaradeDin 24 de chibrituri a fost construit un pătrat mare, cu 9 pătrate interioare.

Se cere:a) să se mute 12 chibrituri, ca să se obţină 2 pătrate egale;b) să se scoată 4 chibrituri, astfel încât cele rămase să formeze un pătrat

mare şi alte patru mici;c) să formeze 5 pătrate egale, scoţând fie 4, fie 6 din 8 chibrituri;d) să se scoată 8 chibriturituri, în aşa fel ca cele rămase să formeze patru

pătrate egale (2 soluţii);e) să se scoată 6 chibrituri, formând 3 pătrate;f) să se scoată 8 chibrituri, astfel încât să rămână 2 pătrate (2 soluţii);g) să se scoată tot 8 chibrituri, în aşa fel încât să rămână 3 pătrate;h) să se scoată 6 chibrituri, spre a obţine 2 pătrate şi 2 hexagoane

neregulate egale.

28

29

F 1E 2L 3I 4C 5I 6T 7Ă 8R 9I 10

1) La mâini avem 10 degete, câte degete avem la 10 mâini?2) Doi copii au jucat dame în 4 ore. Câte ore a jucat fiecare

dintre ei?3) Un echipaj cu trei cai a parcurs timp într-o oră 15 km. Cu ce

viteză mergea fiecare cal?4) Cât obţinem la adunarea celui mai mare şi celui mai mic

număr de o cifră.5) Cât obţinem dacă din cel mai mic număr de 4 cifre scădem

cel mai mare număr de 2 cifre, apoi scădem cel mai mic număr de o cifră?

6) La construcţia gardului, meşterii au pus în linie dreaptă 10 stâlpi, distanţa între ei fiind de 2 metri. Care este lungimea gardului?

METODA MERSULUI INVERS

I. Rezolvă problema şi încercuieşte varianta corectă: 1. Andra primeşte cadou o cutie de bomboane. Ea mănâncă în

prima zi jumătate din numărul bomboanelor, a doua zi o treime din ce a mai rămas, iar a treia zi jumătate din noul rest. Dacă acum se găsesc în cutie 5 bomboane, la început au fost:

a) 15 bomboane; b) 30 bomboane; c) 16 bomboane. 2. Doi turişti au vizitat împrejurimile oraşului nostru, astfel:

jumătate din drum cu autobuzul, două treimi din restul distanţei cu trenul şi noul rest, adică 12 km, pe jos. Lungimea itinerariului a fost de:

a) 36 km; b) 72 km; c) 60 km.3. Irina are la C.E.C o anumită sumă de bani. În prima lună a

scos jumătate din ea, în a doua lună o treime din rest, a treia lună jumătate din noul rest, iar în a patra lună o treime din suma rămasă. Dacă acum se găsesc 240 de Euro în contul Irinei, la început erau:

a) 1080 Euro; b) 2160 Euro; c) 2080 Euro.4. O maşină a parcurs un drum în mai multe etape, astfel: în

prima etapă străbate 4 /8 din drum, a doua oară 1/2 din restul drumului, iar a treia etapă 1/2 din ceea ce a mai rămas după a doua etapă. El constată că au mai rămas de parcurs 60 km. Câţi km a avut

30

întregul drum:a) 480 km; b) 240 km; c) 360 km?

II. Rezolvă problemele şi apoi pune în ordine crescătoare rezultatele obţinute:

1. Produsul numerelor 300 şi 2 micşorează-l de x ori, iar rezultatul măreşte-l cu triplul lui 100. Dacă şesimea noului rezultat este 100, cât este x?

2. Optimea unui număr x se adună cu şeptimea numărului 490. Suma obţinută se micşorează de 10 ori şi se obţine 11. Află numărul necunoscut x.

3. Zecimea unui număr măreşte-o de 5 ori; jumătatea rezultatului micşoreaz-o cu câtul numerelor 100 şi 5 şi vei obţine 480. Care este numărul necunoscut?

4. Mă gândesc la un număr. Împart sfertul lui la sfertul lui 40, apoi măresc câtul obţinut de 25 de ori şi ajung la 100. La ce număr m-am gândit?

5. Mă gândesc la un număr. Îl măresc de 10 ori, apoi adaug 90. Cincimea noului rezultat o micşorez de 4 ori şi obţin 10. La ce număr m-am gândit?

6. Norocul şi Mintea se prind tovarăşi de drum. Mintea îi spune Norocului: „Dacă la cincimea drumului de parcurs adăugăm treimea lui 9, atunci parcurgem 7 km. Câţi kilometri are drumul?” Norocul zice că vreo 20 km. A avut dreptate?

7. La o expoziţie a păsărilor neîmpăiate s-au prezentat de 3 ori mai multe păsări decât sfertul păsărilor participante în anul anterior, adică 750 de exemplare. Câte păsări s-au prezentat în anul anterior?

III. Diverse:

31

8. Dublul unui număr mărit cu 3 a fost înmulţit cu 4. Produsul obţinut, micşorat cu 5, a fost împărţit cu 9 şi s-a obţinut 15. Care a fost numărul iniţial?

9. Avem două grămezi de nuci. Punem din prima grămadă într-a doua atât cât conţinea. Apoi punem din a doua în prima atât cât conţine prima. În sfârşit, punem din nou din prima grămadă în a doua atât cât conţine a doua. La sfârşit se găsesc în fiecare grămadă câte 24 de nuci. Câte nuci au fost la început în fiecare grămadă?

10. Avem două vase de apă A şi B. Turnăm din A în B atât cât conţine B; apoi turnăm din B în A atât cât a rămas în A ş.a.m.d. După 4 operaţii, în cele două vase rămân câte 16 l de apă. Cât era la început în fiecare vas?

11. O femeie vinde nişte ouă la 3 cumpărători. Primul ia jumătate din numărul ouălor care se găsesc în coş şi încă jumătate de ou. Al doilea ia jumătate din numărul ouălor care se găsesc în coş şi încă o jumătate de ou. Al treilea ia de asemenea jumătate din numărul ouălor care se găsesc în coş şi încă o jumătate de ou şi astfel coşul rămâne gol. Câte ouă a avut femeia la început?

Variante: 4 cumpărători; 5 cumpărători12. Cineva pleacă de acasă cu o sumă de bani şi face

cumpărături în 3 magazine. În primul magazin cheltuieşte 25 din bani

şi încă 10 lei; în al doilea magazin cheltuieşte cu 30 de lei mai puţin

decât 34 din banii care i-au rămas după prima cumpărătură; în

magazinul al treilea cheltuieşte 12 din banii care i-au rămas după a

doua cumpărătură şi încă 30 de lei. La sfârşit îi rămân 10 lei. Câţi lei a avut la început?

13. Un biciclist trebuie să parcurgă un anumit traseu. El parcurge în prima oră mai puţin cu 1 km din jumătatea drumului. În a

32

doua oră, el parcurge 57 din drumul rămas şi încă 1 km şi mai rămân

de făcut 3 km. Câţi kilometri a avut traseul?

14. Dintr-un vas cu vin se scoate pe rând: 12 din conţinut şi încă

1 l, 23 din rest şi încă 1 l,

34 din noul rest şi încă 1 l,

45 din acest rest

şi încă 1 l, 56 din acest rest şi încă 1 l. La sfârşitul operaţiilor rămân

în vas 3 l de vin. Cât vin a fost la început?15. Avem 3 vase A, B şi C. Turnăm din A în B atât cât conţine B

şi din A în C cât conţine C; apoi din B în A şi C atât cât conţine A, respectiv C; iar la sfârşit turnăm din C în A şi B atât cât conţine A, respectiv B. După a treia operaţie, fiecare vas conţine 8 l. Cât conţinea fiecare vas la început?

Probleme care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze

Metoda falsei ipoteze constă în formularea de către rezolvitor a unei noi ipoteze (sau mai multe), ajungându-se la o nepotrivire cu enunţul, nepotrivire ce ne duce la determinarea necunoscutelor.

Problemă:Într-o ogradă sunt fazani şi iepuri, în total fiind 100 picioare şi 36 capete.Câţi fazani şi câţi iepuri sunt ?

Rezolvare : Dacă în ogradă ar fi doar fazani am avea 36 de capete şi 72 de picioare de fazan. Cum

problema spune că avem 100 de picioare, obţinem că 28 de picioare sunt ale iepurilor care au patru picioare. Deci 28:2=14, adică avem 14 iepuri. Din 36-14=22 obţinem că în ogradă sunt 22 fazani.

Răspuns: 14 iepuri şi 22 fazani

Problemă:Un biciclist urcă cu 6 km/h şi coboară aceeaşi pantă cu 20 km/h. Ştiind că drumul urcat şi coborât a durat 3h şi 15 minute, să se afle lungimea drumului.

Rezolvare : Presupunem că lungimea pantei este de 60km. În baza ipotezei făcute

timpul de urcare va fi  tu  = 60 km : 6 km/h = 10 ore iar

timpul de coborâre va fi tc = 60 km : 20 km/h = 3 ore,timpul total în acest caz fiind t = 13 h.

33

Comparăm timpul total ipotetic cu cel real din problemă şi avem

treal

t =

13/ 413 =

14 .

Dacă t real este de patru ori mai mic decât timpul ipotetic rezultă că drumul real este mai mic de patru ori decât drumul ipotetic (60 km) adică d = 15 km. Răspuns: 15 km.

Problemă:La un depozit s-au adus 48 saci cu orez, unii de 50 kg, alţii de 54 kg şi alţii de 63 kg. Să se afle câţi saci au fost de fiecare fel ştiind că numărul sacilor de 50 kg era cu 8 mai mic numărul celor de 54kg şi că în total s-au adus 2552 kg orez.

Rezolvare : Dacă s-ar mai adăuga 8 saci de 50 kg (adică 400kg) atunci datele noii probleme ar fi:S-au adus 56 saci de câte 50kg, 54kg, 63kg, în total 2952 kg orez. Numărul celor de 50kg este triplul celor de 54 kg.

Presupunem că ar fi 30 saci de 50 kg. Avem 1500 kg în cei 30 saci de câte 50kg fiecare, 540 kg în 10 saci de 54kg fiecare şi 1008 kg în cei 16 saci de 63kg, deci în total 3048 kg. Observăm că a crescut cantitatea de orez cu 3048-2952=96kg. Emitem o nouă ipoteză asupra numărului de saci de 50kg: în loc de 30 saci luăm 27saci sau 33 saci(multiplu de 3). Fie 33 saci de 50kg. În acest caz am avea 1650kg în cei 33 saci de 50kg, 594kg în cei 11 saci de 54kg, 756kg în cei 12 saci de 63 kg fiecare, deci în total 3000 kg. Observăm că dacă s-a mărit cu 3 numărul sacilor de 50kg (de la 30 la 33) atunci cantitatea totală a scăzut cu 3048 – 3000 =48kg. Noi avem 2952 kg, deci mai trebuie micşorată cantitatea cu 48kg. Atunci, dacă, mărind cu 3 numărul sacilor de 50 cantitatea a scăzut la 48, pentru a avea 2952 kg mai mărim cu încă 3 numărul sacilor de 50kg. Aşadar avem 36 saci de 50kg, 12 saci de 54kg şi 8 saci de 63kg.Având în vedere că am mai adăugat la început 8 saci de 50kg avem : 28 saci de 50kg,12 saci de 54 kg şi 8 saci 63 kg.

Probleme care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate

Această metodă prezintă avantajul că este foarte accesibilă putând fi folosită de orice elev într-o gamă variată de probleme. Singura dificultate este de a reuşi să se stabilească felul dependenţei între mărimi(direct sau invers proporţionale).Problemă: Zece muncitori termină o lucrare în 6 zile.

a) În câte zile ar termina lucrarea 12 muncitori lucrând în aceleaşi condiţii?b) Dacă după 2 zile de lucru pleacă 2 muncitori câte zile sunt necesare pentru finalizarea

lucrării?c) Dacă după 3 zile vin încă 8 muncitori în câte zile se va finaliza lucrarea?

Rezolvare:a) 10 muncitori termină lucrarea în 6 zile, atunci 1 muncitor va termina lucrarea într-un timp de 10 ori mai mare, adică în 60 zile, iar 12 muncitori vor termina lucrarea într-un timp de 12 ori mai mic decât 60, adică în 5 zile.b) 10 muncitori.....................................................6 zile 10 muncitori.....................................................6-2 = 4 zile 1 muncitor......................................................40 zile 10-2 =8 muncitori............................................40: 8 = 5 zile.c) 10 muncitori.....................................................6 zile 10 muncitori.....................................................6+3= 9 zile 1 muncitor......................................................90 zile 10+8 = 18 muncitori.........................................90: 18 = 5 zile.

34

Răspuns: 5 zileProblemă: O lucrare poate fi executată în 20 zile de către15 muncitori. Deoarece după 8 zile de lucru unii dintr muncitori pleacă pe alt şantier lucrarea se termină după alte 30 zile. Câţi muncitori au plecat pe alt şantier?

Rezolvare:Dacă 15 muncitori în 20 zile termină o lucrare, notată 1L, atunci 15 muncitori într-o zi termină 1/20 din L, deci 15 muncitori în 8 zile termină 8/20 din L.Ce parte din lucrare mai rămâne pentru următoerele 30 zile? 1L – 8/20L=12/20 LCâţi muncitori execută 12/20L? Pentru 8/20 L este nevoie de 8 zile în condiţiile în care lucrează 15 muncitori. Pentru 1/20L.........................1 zi................................................. 15 muncitori Pentru 12/20L......................30 zile............................................. 12⋅15 : 30 =6muncitori.Câţi muncitori au plecat pe alt şantier? 15 – 6 = 9 muncitori.

Răspuns: 9 muncitoriProblemă: Prin trei robinete, fiind deschise timp de 4 zile câte 7 ore pe zi, curg 30240 litri apă. În câte zile, prin 4 robinete cu acelaşi debit, fiind deschise câte 3 ore pe zi, curg 21600 litri apă?

Rezolvare:3 robinete……………………..28 ore(4 zile cu 7ore pe zi)…………………30240 litri3 robinete……………………..1 oră………………………………30240:28=1080 litri1 robinet…………………….1 oră……………………………….....1080: 3=360 litri4 robinete...............................1 oră.....................................................4⋅360=1440 litri4 robinete...............................3 ore....................................................1440⋅3=4320 litriDacă prin acelaşi număr de robinete în 3 ore curg 4320 litri, în câte zile zile vor curge 21600 litri? 21600 : 4320 = 5 (zile)

Răspuns: 5 zile

Probleme care se rezolvă cu metoda figurativă

Caracteristica acestei metode constă în reprezentarea necunoscutelor problemei şi a relaţiilor dintre acestea , cu ajutorul unor desene (de regulă segmente de dreaptă).

Problemă: Fie trei numere naturale. Dacă se împarte primul număr la al doile, se obţine câtul 3 şi restul 3, iar dacă se împarte al treilea la al doilea se obţine câtul 5 şi restul 2. Ştiind că diferenţa dintre al treilea şi primul număr este 121, aflaţi cele trei numere.

Rezolvare:

3I

II 2III

35

121

(121+3-2) : 2 = 61 (reprezinta un segment, adica numarul al II-lea) 61x3+3 = 183+3 = 186 (primul numar) 61x5+2 = 305+2 = 307 (al III-lea numar)

Probleme care se rezolvă cu metoda comparaţiei

Metoda comparaţiei se utilizează de regulă în problemele în care mărimile care trebuie comparate sunt caracterizate prin câte două valori fiecare. Se încearcă aducerea unei mărimi la aceeaşi valoare , simplificîndu-se astfel problema iniţială, ajungându-se la final la o singură necunoscută.

Problemă:Dacă 20 de cosaşi au cosit în 15 zile 15 hectare, aflaţi câte hectare vor cosi 30 de cosaşi în 30 de zile.

Rezolvare:

20 cosaşi ……….15 zile ……….15 hectare30 cosaşi ……….30 zile ………. ? hectare___________________________________

20 cosaşi ……….15 zile ……….15 hectare20 cosaşi ……….30 zile ……….30 hectare10 cosaşi ……….30 zile ……….15 hectare30 cosaşi ……….30 zile ……….45 hectare

Răspuns: 45 hectare

Probleme care se rezolvă cu metoda mersului invers

În unele probleme relaţiile dintre mărimi sunt date într-o ordine succesivă. Dacă s-ar aplica ordinea naturală a calculelor raţionamentele devin greoaie. Metoda mersului invers constă în folosirea datelor problemei în ordine inversă.

Problemă: Un elev are o sumă de bani din care cheltuieşte astfel:Pentru a cumpăra o uniformă şcolară cheltuieşte 1/3 din sumă şi încă 18 lei, pentru caiete 1/3 din suma rămasă şi încă 18 lei, pentru rechizite 1/3 din rest şi încă 18 lei; la cofetărie 1/3 din noul rest şi îi mai rămân 28 lei. Câţi lei a cheltuit pentru fiecare cumpărătură şi ce sumă a avut iniţial?

Rezolvare:La cofetărie a cheltuit 1/3 din restul rămas după cumpărarea rechizitelor şi i-au rămas 28 lei. Deci, cei 28 lei corespund la 2/3 di banii rămaşi după cumpărarea rechizitelor. Deci banii cheltuiţi la cofetărie sunt 1/3 din rest, ceea ce corespunde la 14 lei. La cofetărie a cheltuit 14 lei şi i-au rămas 28 lei, aşadar restul rămas după cumpărarea rechizitelor a fost de 28lei +14lei = 42lei. –pentru rechizite a cheltuit 1/3 din restul rămas pentru cumpărarea caietelor şi încă 18 lei, adică 2/3 din banii rămaşi corespund la 42+18=60 leiŞi atunci 1/3 corespund la 60 : 2 = 30 lei. Aşadar pentru rechzite a cheltuit 30+18=48 lei.După cumpărarea caietelor i-au rămas deci 90lei.

36

Pe caiete a cheltuit 1/3 din banii rămaşi după cumpărarea uniformei şi încă 18 lei, aşadar 2/3 din banii rămaşi corespund la 90+18=108 lei.1/3 din banii rămaşi corespund la 108 : 2 = 54 lei şi atunci banii rămaşi după cumpărarea uniformei au fost 54⋅3=162 lei. Deci pentru caiete a cheltuit 54+18 =72lei.Pe unformă a plătit 1/3 din sumă şi încă 18 lei, adică 2/3 din banii rămaşi după cumpărarea uniformei corespund la 162 +18 = 180 lei; 1/3 din banii rămaşi corespund la 180 : 2 = 90 lei.Deci suma avută iniţial a fost de 270lei şi pe uniformă a plătit 90 + 18 = 108 lei.

Răspuns: 270 lei

Probleme de mişcare1. Din oraşele A şi B aflate la o distanţă de 210 km, pornesc unul spre altul în acelaşi timp,

doi motociclişti. Viteza medie a motociclistului care pleacă din A este 34 din viteza celeuilalt

motociclist. După două ore de la pornire, cei doi mai aveau de parcurs, până la întâlnirea lor, 70 km. Aflaţi viteza medie a fiecărui motociclist.

Rezolvare :( metoda aritmetic ă )

Reprezentarea grafică poate fi:

A v1→ 70 km ←v2 BI I I I I I I I I

d1=2v1⏟ d2=2 v2⏟Cum se ajunge la această prezentare?

Deoarece v1= 34 v2⇒ d1=

34 d2 , timpul fiind acelaşi.

Reprezentarea grafică a distanţelor parcurse poate fi aşezată astfel:d2 I I I I I

→ 210 km

d1 I I I I

Din desen rezultă că 7 părţi, fiecare parte fiind egală cu 14 din d2 reprezintă 210km–

70km=140km.Câţi km a parcurs primul în două ore?

140:7.3=60 (km)Câţi km a parcurs al doilea în două ore?

140:7.4=80 (km) sau 34 .d2=60km⇒ d2=60:3.4=80 (km)

Care a fost viteza medie a motociclistului care a plecat din A? 60:2=30 (km/h)

Care a fost viteza medie a motociclistului care a plecat din B?

80:2=40 (km/h) sau 34 .v2=30km/h⇒ v2=30:3.4=40(km/h)

Rezolvare :( metoda algebric ă )

Păstrăm notaţiile de mai sus. Dacă d1=2v1 şi d2=2v2, iar v1=34 v2 ⇒ 2v1+2v2+70km=210km

37

234 v2+2v2=140km 3v2+4v2=2.140km 7v2=280km v2=40km/h v1=30km/h.

2. Un motociclist pleacă din oraşul A cu o viteză medie de 30 km/h. După 4 ore pleacă din acelaşi oraş şi în acelaşi sens un autoturism care are o viteză medie de 60 km/h. După cât timp autoturismul va ajunge din urmă motociclistul?

Rezolvare :( metoda aritmetic ă ) Reprezentarea grafică poate fi:

→ moto v1=30km/hA auto v2=60km/h B CI I →

Câţi km parcurge motociclistul în cele 4 ore?4.30=120km

Când autoturismul s-a pus în mişcare, motociclistul avea un avans de 120 km (se afla în punctul B).

Pentru ca autoturismul să ajungă motociclistul, el trebuie să recupereze distanţa de 120 km.Când autoturismul pleacă la drum, motociclistul îşi continuă mişcarea spre punctul C.Este posibil ca autoturismul să ajungă biciclistul? Da, deoarece viteza maşinii era mai mare.Cât recuperează într-o oră?

60-30=30km/h}In cât timp autoturismul recuperează 120 km?

120:30=4 ore

Rezolvare :( metoda algebric ă )

Se ştie că d=vt. Deci AC=60t, BC=30t de unde AC-BC=60t-30t=4.30 de unde t=4h.

Completaţi următorul rebus:

V1.

2.

3.

38

4.

5.

6.

7.

Orizontal:

1. O mulţime este formată din ……….2. Din mulţimile {1, 2, 3} şi {3, 4} obţinem mulţimea {1, 2, 3, 4} prin

operaţia de ………….3. Mulţimea vidă (mulţimea care nu are nici un element) este ……… în orice

mulţime.4. Mulţimea numerelor naturale N* este o ……… a mulţimii numerelor

naturale N.5. Numărul natural 5 este un element ce ……… mulţimii N.6. N, N* sunt mulţimi de …………7. Operaţie cu mulţimi care nu este comutativă.

Ce cuvânt apare pe verticala notată cu V ?

39