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MATEMATICA II
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Planos en el espacio
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gro
nóm
ica -
UC
V Planos en el espacio
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i erí
a A
gro
nóm
ica -
UC
V Planos en el espacioTres puntos no alineados P, Q, R
Eje X
Eje Y
Eje Z
P R
Q
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i erí
a A
gro
nóm
ica -
UC
V Planos en el espacio
v
u
Un punto P y direcciones no paralelas u, v
Eje X
Eje Y
Eje Z
P
Ing
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i erí
a A
gro
nóm
ica -
UC
V Planos en el espacio
Un punto P y un vector ortogonal
Eje X
Eje Y
Eje Z
P
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i erí
a A
gro
nóm
ica -
UC
V Planos en el espacio
¿Cuál es la condición geométrica que debe
satisfacer un punto P para estar en el plano que
pasa por P0 y es ortogonal a ?
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gro
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ica -
UC
V Planos en el espacio
P0
P (x,y,z)
Eje X
Eje Y
Eje Z
P-Po
P(x,y,z) si y sólo
si P-Po
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gro
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UC
V Planos en el espacioEcuación del plano que pasa
por P0(xo,yo,zo) y es ortogonal a =(a,b,c)
El punto P(x,y,z) si y sólo si P-Po, es decir si .(P-Po)=0 (a,b,c).(x-xo, y-yo, z-
zo)=0.a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0 ax+by+cz=axo+byo+czo
Si d= axo+byo+czo
ax+by+cz=d Ecuación normal del
plano
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UC
V Planos en el espacio¿Cuál es la condición geométrica que debe
satisfacer un punto P para estar en el plano determinado por las
direcciones no paralelas u, v y el punto P0?
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a A
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V Planos en el espacio
Po
P
u
Eje X
Eje Y
Eje Z
v
tu
sv
tu+sv
vsutOPOP o
O
vsutPPo
PoP
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UC
V Planos en el espacioEcuación del plano que pasa
por P0(xo,yo,zo) con vectores directores u=(u1,u2,u3) y
v=(v1,v2,v3) P(x,y,z) si y sólo si
(x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(u1,u2,u3)+s(v1,v2,v3)
Ecuaciones paramétricas
del plano
vsutOPOP o
33o
22o
11o
svtuzz
svtuyy
svtuxx
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a A
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UC
V Planos en el espacio
¿Cuál es la condición geométrica que debe
satisfacer un punto para estar en el plano que pasa por los puntos no
alineados P,Q, R?
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a A
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V Planos en el espacio
P R
Q
Pasa por P con normal =(Q-
P)x(R-P)Pasa por P con vectores
directores u=(Q-P) y v=(R-P)
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UC
V Planos en el espacioEcuación del plano que pasa
por los tres puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3),
R=(r1,r2,r3)ax+by+cz=d Ecuación normal
(a,b,c)= 332211
332211
prprpr
pqpqpq
kji
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UC
V Planos en el espacioEcuación del plano que pasa
por los tres puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3),
R=(r1,r2,r3)
)pr(s)pq(tpz
)pr(s)pq(tpy
)pr(s)pq(tpx
33333
22222
11111
Ecuaciones paramétricas
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V Planos en el espacio
Ejercicio Nº1
Encuentre el plano que pasa por los puntos P(2,0,1), Q(1,2,0), R(-3,2,1) de tres maneras distintas
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V Planos en el espacio
Ejercicio Nº2
Encuentre el plano que pasa por el punto P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)
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V Planos en el espacio
Ejercicio Nº3
Sea L: 42z
2y1
6x39 y : 3x-2y+6z=-
5
Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano , que pasa por el origen.
Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L y pasa por el origen.
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V Planos en el espacio
Ejercicio Nº4
Sea L: y : x-y+z=1
Hallar la distancia de la recta L al plano .
t3z
t22y
t1x
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V Planos en el espacio
PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0)
025
121
kji
=(2,5,8
)
2x+5y+8z= 2.2+5.0+8.12x+5y+8z=12
Solución Nº1:
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a A
gro
nóm
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V Planos en el espacio
u=(-1,2,-1) y v=(-5,2,0)
Ecuaciones paramétricas
t1z
s2t2y
s5t2x
Vectores directores del
plano:
Solución Nº1:
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gro
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V Planos en el espacioPasar de las ecuaciones paramétricas a la ecuación
normal
z1t
ys2t2
x2s5t
t1z
s2t2y
s5t2x
12z8y5x200
10
z101
z101
y22
x251
2z22y
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V Planos en el espacio
0dcb2a3
0dc0b2a
0dcb0a2
0dczbyax
Un punto (x,y,z) en el plano debe satisfacer la ecuación: ax+by+cz-d=0
Como (2,0,1), (1,2,0) y (-3,2,1) están en el plano, se debe cumplir:
Sistema homogéneo en la variables
a,b,c,d que debe tener infinitas
soluciones.
Solución Nº1:
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gro
nóm
ica -
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V Planos en el espacio
0
1123
1021
1102
1zyx
Por lo tanto, el
determinante de la matriz del sistema
debe ser nulo
123
021
102
)1(
123
121
102
z
113
101
112
y
112
102
110
x
1123
1021
1102
1zyx
2x+5y+8z-12=0
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V Planos en el espacio
El vector director de la recta es el vector normal al plano.
Como la recta pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)
Su vector director es: (4,-4,1)=(4,-4,1)
4(x+2)-4(y-3)+(z-4)=0
Ecuación del plano: 4x-4y+z+16=0
Solución Nº2:
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V Planos en el espacioSolución Nº3:
El vector director de la recta debe ser paralelo al vector normal al plano, por lo tanto =(3,-
2,6). Como además debe pasar por el (0,0,0), la ecuación de la recta buscada es:
t ,
t6z
t2y
t3x
t60z
t20y
t30x
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V Planos en el espacioSolución Nº3:
Para encontrar el vector normal al plano tomamos primero dos vectores en el plano y
como el (0,0,0) queremos que esté en el plano, esto equivale a tomar dos puntos cualesquiera
sobre la recta, por ejemplo, para valores de t=0, 1 obtenemos u=(3,1,2) y v
=(1,-1,6)
uv
611
213
kji
=(8,-16,-4)
Ecuación normal: 2x-4y-z=0
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V Planos en el espacioSolución Nº3:
Otra forma es tomar u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) como los vectores directores del plano y hallar las ecuaciones paramétricas
uv
Ecuación paramétricas del Plano
s6t2z
sty
st3x
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nóm
ica -
UC
V Planos en el espacioSolución Nº4:
Vector director de la recta u=(1,2,1)
Sustituimos las ecuaciones de L en la del
plano y obtenemos:
Vector normal del plano =(1,-1,1)(1,2,1).(1,-1,1)=0 u L y son paralelos
d ¿(1+t)-(2+2t)+(3+t)=1?
21
La recta y el plano no se cortan
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ica -
UC
V Planos en el espacioSolución Nº4:
Un punto de la recta Q=(1,2,3)Un punto del plano P=(1,1,1)
PQ=(1,2,3)-(1,1,1)=(0,1,2)
d
P
Q
31
)1,1,1(
)2,1,0).(1,1,1(d
PQoyPrd
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ica -
UC
V Planos en el espacioPOSICIONES RELATIVAS
ENTRE DOS PLANOS
Paralelos: Sus vectores normales son paralelos
Ortogonales:
Sus vectores normales son ortogonales
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V Planos en el espacio
Un plano Son paralelos
Una recta: Son secantes
El conjunto vacío Son paralelos
La intersección de dos planos puede ser:
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UC
V Planos en el espacio
Una recta La recta está incluida en el plano
Un punto: Son secantes
El conjunto vacío El vector director de la recta es
ortogonal al normal del plano
La intersección de un plano y una recta puede ser:
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V Planos en el espacio
El ángulo entre dos rectas es el formado por sus vectores directores
El ángulo entre dos planos es el formado entre sus vectores normales
El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del formado entre el vector director de la recta y el vector normal al plano
ANGULOS ENTRE PLANOS Y RECTAS